Mémoire présenté devant l’Université Paris Dauphine

pour l’obtention du diplôme du Master Actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le 24/01/2018

Par : Mohamed Amine MECHERGUI

Titre: Evaluation du capital économique sous Solvabilité 2 : Mise en

place de l’approche Curve Fitting

Confidentialité : þ NON o OUI (Durée : o 1 an o 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membre présent du jury de l’Institutdes Actuaires :

Signature :Entreprise : Mazars Actuariat

Nom : Grégory BOUTIER

Signature :

Directeur de mémoire en entreprise :

Membres présents du jury du MasterActuariat de Dauphine :

Nom : Alexandra MAAREK

Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion dedocuments actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise :

Secrétariat :

Bibliothèque : Signature du candidat :

Université Paris-Dauphine,�Place du Maréchal de Lattre de Tassigny,�75775 PARIS Cedex 16

Master Actuariat de Dauphine

Résumé

Mots-Clés : Assurance Vie, Solvabilité II, Capital économique, Own Risk Solvency Assessment(ORSA), Solvency Capital Requirement (SCR), Curve fitting, ALM, Générateur de scénarioséconomiques, Contrat d’épargne en euros.

L’évaluation du SCR ou du capital ORSA en Assurance Vie représente une tâche difficile du faitde la structure complexe des interactions Actif-Passif et des options et garanties que peuventcontenir certains contrats.

À la complexité des modèles ALM s’ajoutent des problématiques de temps de calcul notammentpour le calcul du SCR, défini comme la Value at Risk à 99.5% à horizon 1 an. L’approche théo-rique de valorisation la plus conforme aux critères de Solvabilité 2 nécessite l’utilisation d’uneméthode dite de « simulations dans les simulations », c’est-à-dire simuler un nombre importantde trajectoires monde réel 1 à horizon 1 an et sous chacune de ces trajectoires simuler un nombretout aussi conséquent de trajectoires en monde risque neutre 2. Cette approche nécessite doncun nombre de simulations extrêmement élevé compromettant ainsi sa mise en place opération-nelle.

Ce mémoire s’inscrit alors dans le cadre d’une problématique de minimisation du temps decalcul, en proposant une méthode alternative de valorisation du bilan économique : le CurveFitting.

L’approche du Curve Fitting part du principe qu’en retenant un certain nombre de « bons »facteurs de risques (valeur de marché de l’actif, valeur de rachat, niveau des taux. . . ), il estpossible de prédire la dynamique des fonds propres économiques, et ce grâce à une spline. Enl’occurrence, cette approche part du principe fondamental que les fonds propres peuvent s’ex-primer comme l’espérance (dans un univers risque neutre) de la valeur actualisée des profitsfuturs, conditionnellement à la projection du bilan en univers monde réel. Elle consiste à ap-procher d’une manière analytique les fonds propres grâce à une fonction spline ajustée sur unnombre fini de facteurs de risque selon des scénarios bien choisis et ce afin de répliquer l’aléacontenu dans les fonds propres économiques.

Après avoir mis en place un modèle ALM pour une compagnie d’assurance dont le portefeuillene contient que des contrats d’épargne en euros et implémenté un générateur de scénarioséconomiques, l’objectif est d’identifier des facteurs de risque pertinents, de sélectionner desscénarios pour ces facteurs de risques puis de déterminer les fonds propres associés. Une fois larégression de la série des Fonds Propres effectuée à t = 1 an sur les facteurs de risque, celle-ciest ensuite ajustée et testée afin d’être utilisée pour établir le montant du SCR.

1. Monde réel : c’est l’univers de projection sous la probabilité historique, c’est-à-dire que le rendement desactifs intègrent d’une manière implicite une prime de risque.

2. Monde risque neutre : c’est l’univers de projection sous la probabilité risque neutre, c’est-à-dire que tousles processus de prix évoluent, en moyenne, au taux sans risque.

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Abstract

Keywords : Life insurance, Solvency II, Economic capital, Own Risk Solvency Assessment(ORSA), Solvency Capital Requirement (SCR), Curve fitting, ALM, Economic Scenarios Ge-nerator, Savings Contract.

In life insurance, the assessment of the SCR or the ORSA capital is not an easy task. Thatis due to the complex structure of Asset-Liability interactions and the options and guaranteescontained in some policies.

Adding to ALM models’complexity, we have to deal with computing time problems in parti-cular for SCR calculation. The SCR is defined as the Value at Risk at 99,5% over the next12 months. The theoretical valuation approach most in line with Solvency 2 criteria requiresof the so-called "simulations in simulations" method, that consists on simulating a significantnumber of real world 3 paths over the next 12 months, then simulating under each path anequally large number of risk neutral 4 paths. Hence, this approach requires an extremely highnumber of simulations which compromises its operational applicability.

This memo deals with the problem of computing time minimization, by proposing an alterna-tive method of valuing economic balance-sheet : The Curve Fitting method.

The Curve Fitting method assumes that by selecting a number of "good" risk factors (asset mar-ket value, surrender value, interest rate, etc.), it is possible to predict economic own funds usinga polynomial spline. In other words, this method is based on the fundamental principle thatown funds can be expressed as the conditional expectation of the present value (in risk-neutralworld) of future profits provided given the projected balance-sheet in real-world environment.It consists of approximating analytically own funds using a spline function. This function is ad-justed to a finite number of risk factors as per well-chosen scenarios to de replicate the hazardcontained in economic own funds.

After setting up an ALM model for an insurance company whose portfolio contains only savingspolicies and implemented an economic scenario generator, the current aim is to identify relevantrisk factors, to select risk factor scenarios and then determine the corresponding own funds.After carrying out the regression of Own funds series on the risk factors at t = 1 year, this oneis adjusted and tested in order to be used to establish the amount of the SCR.

3. Real world : this is the universe of projection under historical probability, ie the return on assets incorporateimplicitly a risk premium

4. Risk-neutral world : it is the universe of projection under the risk-neutral probability, ie all price processesevolve, on average, at the risk-free rate.

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Note de synthèse

Contexte et problématique

Avec plus de 1800 Milliards d’euros d’encours à fin 2016, l’assurance vie constitue le placementprincipal des ménages français. Ces contrats permettent aux assurés de se constituer un com-plément de retraite, transmettre un patrimoine ou bien financer un projet d’investissement futur.

En plus de sa fiscalité avantageuse, ces contrats offrent à l’assurés diverses options et garantiesfinancières :

— Le taux minimum garanti : correspond au taux minimum de revalorisation annuelle desprovisions mathématiques.

— La participation aux bénéfices : c’est la part du résultat de l’assureur dédiée aux assurésqui s’ajoute aux taux minimum garanti. L’article A331-3 du Code des Assurances exigequ’au minimum 85% du résultat financier et 90% du résultat technique de l’assureur soientreversés aux assurés.

— Option de rachat : cette option donne à l’assuré le droit de se faire rembourser la totalitéou une partie de son épargne à tout moment.

— Option d’avance : cette option permet à l’assuré de récupérer une partie de son épargnesans modifier le fonctionnement de son contrat. En l’occurrence, cette partie n’est pasdéduite de l’épargne par l’assureur et continue à générer des intérêts comme prévu par lecontrat.

Selon le type de contrat choisi, les capitaux placés sur les contrats d’assurance vie peuvent êtreinvestis :

— Soit en fonds monétaire : les versements de l’assuré sont investis en euros (majoritairementen obligations) et vont générer des intérêts annuels qui seront acquis définitivement etcapitalisés à la période suivante. Ils généreront eux-mêmes des intérêts qui s’ajouterontau capital qui ne peut donc jamais diminuer. Ces contrats sont des fonds à capital garantiet permettent d’investir sans prise de risque.

— Soit en unité de compte : Contrairement aux contrats en euros, ces contrats correspondentà des portefeuilles diversifiés, plus ou moins risqués selon leur profil, qui ne prévoient pascontractuellement de taux de rémunération : le souscripteur supporte seul le risque deplacement. En effet, la valorisation de ces contrats varie en fonction de l’évolution de lavaleur des unités de compte, elles-mêmes reflétant les fluctuations des marchés boursiers.

— Soit en multi-support : L’assuré peut également souscrire ce type de contrat, faisant gé-néralement référence à un support en euros et à un ou plusieurs supports en unités decompte. Les sommes investies en euros sont garanties par l’assureur par le rendement mini-mal garanti et la participation aux bénéfices. Les fonds en unités de compte offrent, quant

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à eux, un rendement potentiellement plus performant mais non garanti et présentent unrisque pour le souscripteur.

La solvabilité d’un assureur est sa capacité à respecter les engagements qu’il prend à l’égard deses clients et des ressources dont il dispose pour y faire face. Face aux faiblesses de Solvabilité1, la Directive Solvabilité 2, entrée en vigueur au 1er janvier 2016, favorise une approche fondéesur le profil de risque particulier de l’entreprise d’assurance.

Les exigences du Pilier 1 portent notamment sur la nécessité de déterminer un montant de fondspropres économiques de façon prospective, en se basant sur les risques propres à la compagnied’assurance : le SCR. Celui-ci est défini comme le montant dont il faut disposer dans les fondspropres de la compagnie pour éviter sa ruine face aux divers sinistres avec une probabilité de99,5% à l’horizon d’un an. Mathématiquement, il est donné par cette formule :

SCR = FP (0)−D(0, 1).VaR0.5%(FP (1))

Où :— VaRα(X) : Value At Risk de niveau α de la variable X

VaRα(X) = infx∈R{P(X ≤ x) ≥ α}

— D(0, 1) : Facteur d’actualisation correspondant au prix d’une obligation zéro coupon dematurité 1 an

— P : la probabilité historique— FP (0) : Les fonds propres économiques à la date initiale— FP (1) : Les fonds propres économiques à horizon 1 an (variable aléatoire)

Il peut-être calculé de différentes manières :

— Soit à l’aide de la « Formule Standard », reposant sur l’agrégation des risques par unematrice de corrélation et incluant des niveaux de chocs à appliquer imposés par le régu-lateur pour toutes les entreprises d’assurance.

— Soit à l’aide d’un « Modèle Interne », pensé et développé par la compagnie en se focalisantsur les risques liés à ses activités. Celui-ci est soumis à sa validation par l’ACPR.

Dans le cadre du modèle interne, le calcul de ce montant réglementaire revient à estimer ladistribution des fonds propres économiques de la compagnie à t = 1.

Dans ce mémoire, nous nous intéressons à l’établissement du SCR dans le cadre du modèleinterne pour une compagnie d’assurance vie commercialisant des contrat en euros. L’approchedirecte d’estimation conduisant à des simulations dans les simulations (SdS), présente de nom-breuses problématiques de mise en œuvre opérationnelle. En effet, la structure des interactionsActif/Passif des options et garanties des contrats complexifie et ralentit la valorisation des fondspropres de la compagnie.

L’approche directe répondant aux exigences de la Directive Solvabilité 2 est la méthode des «simulations dans les simulations ». Cette méthode nécessite deux types de projection :

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Projection en monde réel : Le bilan de la compagnie d’assurance est projeté entre t = t0et t = t1 suivant la probabilité historique en tenant compte des facteurs de risques agissantsur le bilan. Ceci permet de créer plusieurs scénarios économiques qui doivent être calibrés surles données historiques tout en respectant la corrélation entre les différents risques. Chaquescénario constitue une simulation primaire.

Projection en monde risque neutre : Conditionnellement à l’information obtenue à t1 grâceà la projection en monde réel, le bilan est projeté selon la probabilité risque neutre. Concrè-tement, pour chaque simulation primaire, il y a plusieurs simulations secondaires générées enmonde risque neutre afin d’évaluer les fonds propres de la compagnie. Le calibrage des simula-tions secondaires se fait à partir des données de marché disponibles à t1 issues de la projectionprimaire.

Figure 1 – L’approche des simulations dans les simulations

Face aux nombreuses problématiques de mise en œuvre opérationnelle, de nouvelles méthodesont été élaborées pour tenter de réduire le nombre de simulations et donc rendre l’exerciced’estimation des fonds propres plus rapide.

C’est dans ce cadre que s’inscrit notre mémoire, dont l’objectif est de mettre en place uneméthode alternative, le Curve Fitting, afin de pallier les problématiques de tempsde calcul de la méthode des Simulations dans les simulations et estimer ainsi lemontant du SCR d’une compagnie d’assurance vie.

La méthode du Curve Fitting (CF) part du principe qu’en retenant un certain nombre de fac-teurs de risques pertinents (valeur de marché de l’actif, valeur de rachat, niveau des taux. . . ),il est possible de prédire la dynamique des fonds propres économiques. Cette méthode consisteainsi à ajuster une forme paramétrique sur les facteurs de risque retenus, permettant d’estimerla distribution des fonds propres économiques d’une compagnie d’assurance à partir de l’évolu-tion de ces facteurs.

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Par conséquent, elle permet de réduire le nombre de simulations primaires puisqu’un nombreréduit de valeurs de fonds propres économiques est nécessaire à l’interpolation. Le nombre desimulations secondaires reste, quant à lui, équivalent à celui de la méthode des simulations dansles simulations comme le montre la figure suivante.

Figure 2 – l’approche Curve Fitting

La fonction d’interpolation aura pour antécédents l’ensemble des différents chocs de facteurs derisque issus des simulations primaires.

FPt(choc1, choc2, ..., chocn) = F̃ (choc1, choc2, ..., chocn)

Avec :— chock : le choc du facteur de risque k par rapport au scénario central— F̃ : la fonction d’interpolation— FPt(choc1, choc2, ..., chocn) : les fonds propres résultant des chocs combinés (choc1, choc2, ..., chocn)

Méthodologie

Nos travaux de mise en place du Curve Fitting ont été effectués à partir du bilan d’une com-pagnie d’assurance vie commercialisant des contrats d’épargne en support euros. Ces donnéesfictives proviennent de données réelles ayant légèrement modifiées. La structure du bilan restedonc inchangé.

Le Curve Fitting permet d’établir une fonction de perte globale de la compagnie d’assurancevie simulée comme suit :

LF (choc1, choc2, ..., chocn) =∑

i∈CHOCLFi(choci) +

∑i 6=j∈CHOC

ESi,j(choci, chocj)

Où :

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— n : le nombre de facteurs de risque retenus.— CHOC = {risque1, ..., risquen}— LF (choc1, choc2, ..., chocn) = FPt=1(0, 0, ..., 0)− FPt=1(choc1, choc2, ..., , chocn)— LFi(choci) = LF (0, .., choci, .., 0) fonction de perte stand-alone issue d’un choc du facteur

i de valeur de choci.— ESi,j(choci, chocj) = LFi,j(choci, chocj) − LFi(choci) − LFi(choci) fonction excédent de

perte pair-wise traduisant les contributions croisées des facteurs de risque.

Cette fonction peut être déterminée à l’aide d’une interpolation spline ou d’une interpolationpolynômiale. Nous avons opté à l’interpolation spline pour ses avantages de régularité.

Afin de déterminer les facteurs ayant le plus d’impact sur le résultat de la compagnie, unepremière étape a consisté en la compréhension du fonctionnement des contrats d’épargne et laconsultation des différents rapports d’analyses et synthèses publiés par l’ACPR. Par ailleurs,un benchmark nous a permis de retenir les facteurs de risques suivants : les variations des tauxd’intérêt, des actions, de la volatilité implicite des actions et des rachats.La diffusion de ces facteurs tout au long de la projection a représenté la deuxième étape qui aconsisté en l’implémentation d’un générateur de scénarios économiques sous le logiciel R per-mettant de diffuser ces facteurs retenus dans le monde réel entre t = 0 et t = 1 et le monderisque neutre entre t = 1 et t = 50.

Facteurs de risque Monde réel Monde risque-neutreAction Black-Scholes Black-Scholes

Volatilité implicite (action) Black-Scholes ConstanteTaux ACP-Vasicek (Zero Coupon) CIR (Taux courts)

Rachat structurel Modèle Log-Normal

Table 1 – Modélisation des facteurs de risque

Nous distinguons ensuite dans ce mémoire trois étapes pour l’établissement des fonctions depertes stand-alone et des excédents de perte pair-wise :

— Calibrage : Les scénarios de calibrage sont déterminés selon le niveau de significativitédes facteurs de risque et constituent les points d’interpolation. Les tableaux suivantsillustrent le processus de calibrage des fonctions de perte standalone ainsi que les excédentsde perte pairwise.

Significativité | LFi(chocq1/200i )

F P BEt=1

| Nombre de point de calibrage1 ... ≥ 20% 8 points2 5% ≤ ... ≤ 20% 6 points3 ... ≤ 5% 4 points

Table 2 – Calibrage des des fonctions de pertes standalone

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Significativité | ESi,j(chocqxi ,choc

qyj )

LFi,j(chocqxi ,choc

qyj ) | Nombre de point de calibrage

1 ... ≥ 20% 4 points2 ... ≤ 20% 2 points

Table 3 – Calibrage des excédents de pertes pairwise

— Interpolation : Une fois les points de calibrage retenus, il convient d’ajuster une courbeparamétrique sur les facteurs modélisés. Nous avons fait le choix d’opter pour des splinescubiques pour les fonctions de pertes stand-alone et des splines bilinéaires pour les excé-dents de perte pair-wise. En effet, l’interpolation spline permet d’utiliser des polynômesde degrés bas et donc d’éviter le phénomène de Runge qui accompagne souvent l’interpo-lation polynômiale classique.

— Validation : Afin de valider les courbes retenues, nous calculons l’écart maximal (EM),l’écart quadratique moyen (EQM) et l’écart absolu moyen (EAM) entre les valeurs obte-nues à partir des courbes interpolées et les valeurs obtenues à partir du SdS sur quelquesscénarios non utilisés à l’étape précédente. Ces écarts doivent être inférieurs à des seuilsde précision afin de permettre de valider la fonction de perte stand-alone ou l’excédent deperte pair-wise.

Mesure de précision Fonctions de pertestandalone

Excédents de pertepairwise

EAM = 1n

∑ni=1 |yi − f̃(xi)| 2%× FPBE

t=1 4%× FPBEt=1

EQM =√

1n

∑ni=1(yi − f̃(xi))2 2%× FPBE

t=1 4%× FPBEt=1

EM = maxi∈{1,...,n}

|yi − f̃(xi)| 5%× FPBEt=1 10%× FPBE

t=1

Table 4 – Seuils des tests de validation

Une fois la fonction de perte globale déterminée, la détermination de la distribution des fondspropres économiques revient à générer N scénarios économiques primaires représentant ainsi lesantécédents de la fonction de perte globale.

Résultats

Le bilan S2 de la compagnie d’assurance vie simulée est le suivant :

Actif 1 401 M€ Passif 1 401 M€Obligations 1 189 M€ Fonds Propres éco. 57 M€Actions 148 M€ Best Estimate 1 344 M€Monétaire 64 M€

Table 5 – Bilan S2 de la compagnie fictive au 31/12/2016

La mise en place du Curve Fitting a nécessité le calcul des fonds propres économiques en 210scénarios primaires selon la méthode SdS (134 points de calibrage et 74 points de validation).Par la suite, nous avons établi la distribution des fonds propres économiques de la compagnie

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à t = 1 comme le montre la figure suivante. (1000 scénarios économiques primaires ont permisl’obtention de 1000 fonds propres économiques.)

Figure 3 – La distribution des fonds propres économiques de la compagnie obtenue à l’aidedu Curve Fitting

Le tableau ci-dessous montre la valeur du SCRCF ainsi que le ratio de solvabilité de la compagniefictive.

F P (0) SCRCF Ratio de Solvabilité57,2 M€ 37,7 M€ 151,58%

Table 6 – les montants réglementaires de la compagnie fictive

Le Curve Fitting vise à approcher les résultats que l’on peut obtenir avec la méthode SdS. C’estpourquoi que nous avons cherché à comparer les résultats de ces deux méthodes. Pour ce faire,nous avons établi la distribution des fonds propres économiques issue de la méthode SdS enprenant comme inputs les mêmes scénarios économiques utilisés dans le Curve Fitting soit 1000scénarios.

Le diagramme quantile-quantile des distributions FPSdS et FPCF permet d’analyser l’adéqua-tion de ces distributions.

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Figure 4 – Diagramme quantile-quantile des distributions SdS et CF des fonds propres éco-nomiques à t = 1

Le diagramme quantile-quantile montre une adéquation très précise sur la partie centrale desvaleurs. Le tableau suivant présente les montants réglementaires de la compagnie fictive obtenusà l’aide des méthodes SdS et Curve Fitting.

SCR Ratio de SolvabilitéCurve Fitting 37 738 217 € 151,58%

SdS 36 456 279 € 156.91%

Table 7 – les montants réglementaires de la compagnie fictive SdS et CF

L’écart entre les montants des SCR calculés est dû à la dégradation de l’adéquation des dis-tributions FPSdS et FPCF au niveau des valeurs extrêmes basses. La méthode Curve Fittingsous-estime légèrement le ratio de solvabilité de la compagnie en comparant avec le SdS.

Par ailleurs, les variations du ratio de solvabilité sont limitées dans un intervalle d’amplitude de2% à partir de 5 000 simulations. Nous retenons ainsi que le nombre de simulations nécessaire àl’estimation du SCR de la compagnie simulée est de 5000 simulations. Le Curve Fitting permetdonc de diviser le temps de calcul par 22,5.

Conclusion

Ce mémoire détaille la méthodologie suivie dans l’élaboration d’un modèle interne d’une com-pagnie d’assurance vie en utilisant l’approche du Curve Fitting.

L’approche Curve Fitting a consisté en le calibrage de courbes d’interpolation pour les fonctionsde perte stand-alone et les excédents de perte des chocs pair-wise. Ces fonctions interpolées ontété systématiquement confrontées à des tests de validation afin de juger de leur pertinenceavant l’étape d’agrégation. L’agrégation de ces fonctions établit la fonction de perte globale dela compagnie permettant d’estimer la distributions des fonds propres économiques en partantde scénarios économiques primaires.

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Cette approche a permis de réduire le nombre de simulations primaires considérablement : nousavons eu recours à 210 simulations primaires afin de calibrer et valider les différentes fonctionsd’interpolation. Le temps de calcul a été réduit d’un facteur de 22 rendant ainsi la détermina-tion des fonds propres économiques à t = 1 et du SCR de la compagnie une tache très rapide.Nous notons cependant que cette approche demande une bonne connaissance de ses risques etde leurs interactions afin d’obtenir des résultats cohérents, comme le montre les différents testsde sensibilités réalisés.

La méthode de Curve Fitting apparaît donc comme un outil puissant et efficace pour le calculdu capital réglementaire. Celui-ci est plus rapide et moins coûteux en ressources informatiques.Par ailleurs, cette méthode peut facilement être étendue à différents horizons temporels (t = 2,t = 3, . . . ) dans le cadre du plan stratégique de la compagnie. Cette implémentation permetun accès plus rapide aux résultats et donc facilite des projets comme le pilotage de risque àmoyen terme (ORSA), la quantification de l’impact de lancement de nouveaux contrats sur lesmontants réglementaires ou les stress tests souvent demandés par l’ACPR.

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Executive summary

Context and Issues

With more than 1800 billion euros outstanding at the end of 2016, life insurance is the maininvestment of French households. These contracts allow policyholders to build up a pensionsupplement, transfer assets or finance a future investment project.

In addition to its advantageous taxation, these contracts offer the insured various financial op-tions and guarantees :

— The guaranteed minimum rate : corresponds to the minimum rate of annual revaluationof mathematical provisions.

— Profit sharing : this is the part of the insurer’s result dedicated to policyholders and addedto the guaranteed minimum rate. Article A331-3 of the Insurance Code requires at least85% of the financial result and 90% of the technical result of the insurer be reversed topolicyholders.

— Repurchase option : this option gives the policyholder the right to have the entire amountor part of his savings repaid at any time.

— Advance option : this option allows the policyholder to recover a portion of his savingswithout altering the operation of his contract. In this case, this part is not deducted fromthe savings by the insurer and continues to generate interest as planned contract.

Depending on the type of contract chosen, capital in life insurance contracts may be invested :

— In monetary fund : the insured’s payments are invested in euros (mainly in bonds) and willgenerate annual interest that will be definitively acquired and capitalized in the followingperiod. They will themselves generate interest that will be added to the capital that cannever decrease. These contracts are guaranteed capital funds and allow investing withoutrisk taking.

— In unit of account : Contrary to contracts in euros, these contracts correspond to diversifiedportfolios, more or less risky depending on their profile, which do not contractually providefor rates of remuneration : the subscriber bears only the investment risk. Indeed, thevaluation of these contracts varies according to the evolution of the value of the units ofaccount, themselves reflecting the fluctuations of the stock markets.

— In multi-support : The insured can also take out this type of contract, generally referringto a support in euros and to one or more supports in units of account. Sums invested ineuros are guaranteed by the insurer by the guaranteed minimum return and the profitsharing. Unit-linked funds, on the other hand, offer a potentially more efficient but unse-cured return.

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The solvency of an insurer is its ability to meet the commitments made to its clients and to dealwith the available resources. In view of the weaknesses of Solvency 1, the Solvency II Directive,which came into effect on 1 January, 2016, favors an approach based on the particular riskprofile of the insurance company.

The requirements of Pillar 1 include the need to determine an amount of economic equity ona prospective basis, based on the risks specific to the insurance company : the SCR. This isdefined as the amount that must be available in the equity of the company to avoid its ruinagainst the various claims with a probability of 99.5 % by one year. Mathematically, it is givenby this formula :

SCR = FP (0)−D(0, 1).VaR0.5%(FP (1))

With :— VaRα(X) : Value At Risk level α of the random variable X

VaRα(X) = infx∈R{P(X ≤ x) ≥ α}

— D(0, 1) : Discount factor corresponding to the price of a Zero Coupon Bond of 1 yearmaturity

— P : the historical probability— FP (0) : The economic capital at the initial date— FP (1) : The economic capital over 1 year (random variable)

The SCR can be calculated in several ways :

— Using the "Standard Formula", based on the aggregation of risks by a correlation matrixand including levels of shocks to be applied imposed by the regulator for all insurancecompanies.

— Using the "Internal Model", designed and developed by the company, focusing on the risksrelated to its activities. This is subject to validation by the ACPR.

Under the internal model method the calculation of this regulatory amount comes to estimatingthe distribution of the company’s economic own funds at t = 1.

In this thesis, we are interested in the establishment of the SCR as part of the internal model fora life insurance company marketing contracts in euros. The direct estimation approach leadingto simulations in the simulations (SdS) presents many problems of operational implementation.Indeed, the structure of the Asset / Liability interactions of options and guarantees of contractscomplicates and slows down the valuation of the company’s own funds.

The direct approach that meets the requirements of Solvency Directive 2 is the "simulations insimulations " method. This method requires two types of projection :

Projection in real world : The balance sheet of the insurance company is projected betweent = t0 and t = t1 according to the historical probability and taking into account the risk factors

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acting on the balance sheet. This allows for the creation of several economic scenarios that mustbe calibrated on the historical data while respecting the correlation between the different risks.Each scenario constitutes a primary simulation.

Projection in the risk Neutral world : Conditionally to the information obtained at t1thanks to the projection in real world, the balance is projected according to the risk neutralprobability. Concretely, for each primary simulation, there are several secondary simulations inthe risk neutral world in order to evaluate the company’s own funds. The calibration of thesecondary simulations is done on the basis of the market data available at t1 from the primaryprojection.

Figure 5 – Simulations in simulations approach

To face the several operational implementation problems, new methods have been developed totry to reduce the number of simulations and thus make the capital assessment more rapid.

In this context, this paper’s aim is to set up an alternative method, the Curve Fitting,in order to provide solutions to the computing time problems of the Simulationsin simulations method and to estimate the amount of the SCR of a life insurancecompany.

The Curve Fitting method is based on the assumption that starting from a number of relevantrisk factors (market value of assets, cash value, level of interest rates ...), it is possible to predictthe dynamics of economic own funds. This method consists in adjusting a parametric form onthe selected risk factors, making it possible to estimate the distribution of the economic ownfunds of an insurance company based on the evolution of these factors.

In this way, it reduces the number of primary simulations since a reduced number of economicown funds values is required for interpolation. The number of secondary simulations remainsequivalent to the one of the simulation in the simulations method as shown in the followingfigure.

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Figure 6 – Curve Fitting approach

The interpolation function will have as antecedents all the different shocks of the risk factorsgiven by the primary simulations.

FPt(choc1, choc2, ..., chocn) = F̃ (choc1, choc2, ..., chocn)

Where :— chock : the shock of the risk factor k comparing to the central scenario— F̃ : The interpolation function— FPt(choc1, choc2, ..., chocn) : Own funds resulting from the combined shocks (choc1, choc2, ..., chocn)

Methodology

Our work on setting up Curve Fitting was based on the balance sheet of a life insurance companymarketing savings contracts in euro support. These fictitious data come from real data havingslightly modified. The balance sheet structure remains therefore unchanged.The Curve Fitting allows for establishing an overall loss function of the simulated life insurancecompany as follows :

LF (choc1, choc2, ..., chocn) =∑

i∈CHOCLFi(choci) +

∑i 6=j∈CHOC

ESi,j(choci, chocj)

Where :— n : the number of selected risk factors.— CHOC = {risque1, ..., risquen}— LF (choc1, choc2, ..., chocn) = FPt=1(0, 0, ..., 0)− FPt=1(choc1, choc2, ..., , chocn)— LFi(choci) = LF (0, .., choci, .., 0) : a standalone loss function resulting from a shock of

the factor i, the shock’s value is choci.

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— ESi,j(choci, chocj) = LFi,j(choci, chocj)−LFi(choci)−LFi(choci) the function of the ex-cess of pairwise loss reflecting the cross-contributions of risk factors.

This function can be determined using spline interpolation or polynomial interpolation. Weselected spline interpolation for its regularity advantages.

A good understanding of the functioning of a euro savings contract and the consultation of thevarious analysis and synthesis reports published by the ACPR allowed to detect the risk factorsthat have the greatest impact on the company’s performance.

In order to determine the factors having the greatest impact on the company’s results, a firststep consisted in understanding the operation of the savings contracts and consulting the variousreports of analyzes and summaries published by the ACPR. In addition, a benchmark allowedus to retain the following risk facets : interest rate, equity, implied volatility of equity andredemptions.To spread these factors throughout the projection, a second step consisted of the implementationof an economic scenarios’ generator under the software R to disseminate these factors retainedin the real world between t = 0 and t = 1 and the risk-neutral world between t = 1 and t = 50.

Risk factors Real world Risk-neutral worldEquity Black-Scholes Black-Scholes

Implied volatility (equity ) Black-Scholes ConstantInterest rates ACP-Vasicek (Zero Coupon) CIR (Short rates)

Structural redemptions Log-Normal Model

Table 8 – Modeling of risk factors

We then distinguish in this thesis three stages for the establishment of stand-alone loss functionand excess of pairwise loss functions is done in three steps :

— Calibration : The calibration scenarios are determined according to the threshold levelof significance of each risk factor and constitute the points of interpolation. The followingtables illustrate the process of calibrating the standalone loss functions as well as theexcess of pairwise loss.

Significativity | LFi(chocq1/200i )

F P BEt=1

| Number of calibration points1 ... ≥ 20% 8 points2 5% ≤ ... ≤ 20% 6 points2 ... ≤ 5% 4 points

Table 9 – Calibration of standalone loss functions

Significativity | ESi,j(chocqxi ,choc

qyj )

LFi,j(chocqxi ,choc

qyj ) | Number of calibration points

1 ... ≥ 20% 4 points2 ... ≤ 20% 2 points

Table 10 – Calibration of excess of pairwise loss.

17

— Interpolation : Once the calibration points have been selected, a parametric curve shouldbe adjusted on the selected factors. We opted for cubic splines for stand-alone loss func-tions and bilinear splines for for excess of pairwise loss. In fact, spline interpolation allowsto use polynomials of low degrees and thus to avoid the Runge phenomenon which oftenaccompanies the classical polynomial interpolation.

— Validation : In order to validate the selected curves, we calculate the maximum devia-tion (EM), the mean squared difference (MSE) and the mean absolute difference (AME)between the values obtained from the interpolated curves and the values obtained fromthe SdS on some scenarios not used in the previous step. These deviations must be lowerthan precision thresholds in order to validate the standalone loss function or excess ofpairwise loss.

Precision measurement Standalone loss func-tions

Excess of pairwiseloss

EAM = 1n

∑ni=1 |yi − f̃(xi)| 2%× FPBE

t=1 4%× FPBEt=1

EQM =√

1n

∑ni=1(yi − f̃(xi))2 2%× FPBE

t=1 4%× FPBEt=1

EM = maxi∈{1,...,n}

|yi − f̃(xi)| 5%× FPBEt=1 10%× FPBE

t=1

Table 11 – Thresholds of validation tests

Once the global loss function is determined, determining the distribution of economic equityis equivalent to generating N primary economic scenarios representing the antecedents of theoverall loss function.

Results

The S2 balance sheet of the simulated life insurance company is as follows :

Asset 1 401 M€ Liability 1 401 M€Bonds 1 189 M€ Economic capital 57 M€Shares 148 M€ Best Estimate 1 344 M€Cash 64 M€

Table 12 – The company S2 balance sheet on the 31/12/2016

The implementation of Curve Fitting required the calculation of economic equity in 210 primaryscenarios using the SdS method (134 calibration points and 74 validation points). Subsequently,we have established the distribution of the company’s own funds at t = 1 as shown in thefollowing figure. (1000 primary economic scenarios have enabled the obtaining of 1000 economicown funds).

18

Figure 7 – Distribution of economic capital obtained with the Curve Fitting method

The table below shows the value of the SCRCF and the S2 ratio of sumulated company.

F P (0) SCRCF S2 Ratio57,2 M€ 37,7 M€ 151,58%

Table 13 – Regulatory amounts of the fictitious company

The Curve Fitting method aims to approach the results that can be obtained with the SdSmethod. That is why we have tried to compare the results of these two methods. for this, wehave established the distribution of economic own funds derived from the SdS method, takingas inputs the same economic scenarios used in the Curve Fitting, ie 1000 scenarios.

The quantile-quantile plot of the FPSdSand FPCF distributions makes it possible to analyzethe match of these distributions.

Figure 8 – Quantile-quantile plot of distributions SdS and CF of economic capital at t = 1

19

The quantile-quantile plot shows a very precise fit on the central part of the values. The followingtable presents the regulatory amounts of simulated company obtained using the SdS and Curvefitting methods.

SCR S2 RatioCurve Fitting 37 738 217 € 151,58%

SdS 36 456 279 € 156.91%

Table 14 – Regulatory amounts of the fictitious company SdS and CF

The difference between the amounts of the calculated SCRs is due to the degradation of the fitof the FPSdS and FPCF distributions at the extremely low values. The Curve Fitting methodslightly overestimates the company’s solvency ratio comparing to the SdS method.

In addition, changes in the solvency ratio are limited in an amplitude range of 2% from 5 000simulations. We thus retain that the simulation number needed to estimate the SCR of thesimulated company is 5 000 simulations. Hence, the Curve Fitting allows to divide the calcula-tion time by 22,5.

Conclusion

This paper details the methodology used in developing an internal model of a life insurancecompany using the Curve Fitting approach.

The Curve Fitting approach involved the calibration of interpolation curves for stand-aloneloss functions and the surplus of pair-wise shock loss. These interpolated functions have beensystematically confronted with validation tests in order to judge their relevance before the ag-gregation step. The aggregation of these functions establishes the overall loss function of thecompany to estimate the distribution of economic capital based on primary economic scenarios.

This approach has reduced the number of primary simulations considerably : we used 210 pri-mary simulations to calibrate and validate the different interpolation functions. The calculationtime was reduced by a factor of 22 thus making the determination of the economic capitalat t = 1 and the SCR of the company a very fast task. We note however that this approachrequires a good knowledge of its risks and their interactions in order to obtain coherent results,as shown by the different sensitivity tests carried.

Hence, the Curve Fitting method appears as a powerful and efficient tool for calculating regu-latory capital. It is faster and less expensive in computing resources.In addition, this method can easily be extended to different time horizons (t = 2, t = 3, ...) aspart of the company’s strategic plan. This implementation allows faster access to results andtherefore facilitates projects such as medium-term risk management (ORSA), the quantificationof the impact of launching new contracts on regulatory amounts or stress tests often requestedby the ACPR.

20

Remerciements

Je tiens à remercier particulièrement ma tutrice Alexandra MAAREK pour m’avoir guidé etapporté ses conseils tout au long de cette étude.

Je présente également mes plus sincères remerciements à toute l’équipe de Mazars Actuariatpour les précieux conseils qu’ils m’ont apportés tout au long de cette expérience.

Je souhaite remercier les équipes pédagogiques de l’École Centrale Paris et du Master Actuariatde l’Université Paris Dauphine pour la qualité de leurs enseignements.

Un grand merci à Jannate GSEYRA pour son aide et sa gentillesse tout au long de cette der-nière année d’études.

Enfin, je remercie évidemment ma famille pour leur soutien inconditionnel.

21

Table des matières

Introduction 24

1 Cadre réglementaire 261.1 Assurance Vie : épargne, options cachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2 Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 Pilier 1 : Exigences quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.2 Pilier 2 : Exigences qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.3 Pilier 3 : Reporting et Transparence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Simulations dans les simulations et Curve fitting 352.1 L’approche des simulations dans les simulations (SdS) . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Replicating Portfolio (RP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Least Square Monte Carlo (LSMC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Curve Fitting (CF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Générateur de scénarios économiques 453.1 Choix des facteurs de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Dynamique des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Dynamique de la volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 Dynamique de l’indice action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Dynamique des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Dépendance entre les facteurs de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7 Validation des scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7.1 Test de martingalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2 Test de normalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Modélisation ALM du portefeuille 584.1 Modélisation du Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1 Model Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.2 Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.3 Décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.4 Rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.5 Frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.6 Prélèvements Sociaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.7 Imposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.8 Provisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.1 Obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.3 Monétaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Bilan à t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

22

4.4 Interaction actif/passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.1 Produits financiers (PF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 Revalorisation des PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.3 Réallocation d’actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5 Calcul du Best Estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6 Validation du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.6.1 Paramètres du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6.2 Test de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Curve Fitting : Approche et méthodologie 735.1 Fonction de perte, Excédent de perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Critères de choix des scénarios de calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1 Fonctions de perte (Chocs « stand-alone ») . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Excédents de perte (Chocs « pair-wise » et « N-wise ») . . . . . . . . . . 78

5.3 Splines candidates à l’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.1 Fonctions de perte (Chocs « stand-alone ») . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.2 Excédents de perte (Chocs « pair-wise » et « N-wise ») . . . . . . . . . . 80

5.4 Validation des fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Curve Fitting : Mise en place 836.1 Chocs « stand-alone » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.1.1 Analyse de risque Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.1.2 Analyse de risque Volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1.3 Analyse de risque Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.4 Analyse de risque Pentification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.5 Analyse de risque Rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Chocs « pair-wise » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2.1 Analyse du choc Niveau-Pentification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.2 Analyse du choc Action-Rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2.3 Analyse du choc Rachat-Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3 Agrégation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 Calcul du SCR par la méthode « Curve Fitting » : SCRCF . . . . . . . . . . . . 101

7 Analyse des résultats 1037.1 Sensibilité du SCRCF aux scénarios de calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Sensibilité du SCRCF aux scénarios primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3 Comparaison du SCRCF et SCRSdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Conclusion 110

Bibliographie 113

Annexes 114

23

Introduction

La crise financière de 2007-2008 a été marquée par l’effondrement du premier assureur amé-ricain AIG 5. Ce dernier a été sauvé de la faillite grâce à l’intervention de la réserve fédéraleaméricaine par l’apport de 182 milliards de dollars. Sur le continent européen, plusieurs groupesassurantiels ont été touchés par la crise, on en cite à titre d’exemple : la société mutuelle d’as-surance belge Ethias et Fortis Holding Assurances. En effet, l’état belge a été contraint à verserdes sommes importantes afin de sauver ces compagnies d’assurances. Globalement, les pertesréalisées sont dues en grande partie au fait que ces compagnies entreprenaient des placementstellement risqués qu’elles ne couvraient plus leurs engagements. [BONNARD(2012)].

Bien que la Directive Solvabilité 2 ait été engagée avant le déclenchement de la crise finan-cière, elle prévoyait déjà des mesures prudentielles concernant les exigences en matière de fondspropres et de marges de solvabilité des compagnies d’assurance. Cette directive a introduit desmontants réglementaires (Solvency Capital Requirement et Minimum Capital Requirement) encohérence avec les risques pris par la compagnie d’assurance afin de mieux protéger les assuréscontre son défaut.

Au-delà de son aspect réglementaire, l’estimation des fonds propres économiques de la compa-gnie est devenue une tache centrale pour des raisons de management. En effet, le pilotage desrisques de la compagnie dans la cadre du plan stratégique nécessite idéalement l’estimation desfonds propres sur plusieurs horizons temporels.

L’utilisation de la méthode des « Simulations dans les simulations » dans l’estimation des fondspropres économiques s’avère coûteuse en ressources (temps de calcul et espace de stockage) etnécessite la mobilisation de plusieurs calculateurs de haute performance. D’autant plus que lesoptions et les garanties incluses dans les contrats d’assurance vie ajoutent plus de complexité àla modélisation.

L’objectif de ce mémoire est de mettre en place une méthode alternative, le « CurveFitting », afin de pallier les problématiques de temps de calcul de la méthode Simu-lations dans les simulations et estimer ainsi le montant du SCR d’une compagnied’assurance vie.

Dans la première partie du mémoire, il convient de revenir sur les grandes lignes du cadre pru-dentiel Solvabilité 2, les spécificités des contrats d’assurance vie « euros » et les principes desméthodes Simulations dans les simulations et Curve Fitting.

Dans un second temps, un outil de projection ALM sur un contrat d’épargne en euros seraimplémenté afin de valoriser le bilan économique d’une compagnie d’assurance vie fictive. Cetteétape sera suivie par l’élaboration d’un générateur de scénarios économiques.

5. American International Group

24

La méthode Curve Fitting sera ensuite abordée de façon détaillée en commençant par unepartie théorique reprenant la méthodologie et l’approche pour finir par son implémentation etson utilisation dans l’établissement de la distribution des fonds propres économiques et donc lecalcul du SCR.

La dernière partie du mémoire sera consacrée à la comparaison des résultats obtenus à l’aidedu Curve Fitting avec les résultats donnés par l’approche Simulations dans les simulations ainsiqu’à l’analyse de la sensibilité du montant du SCR.

25

CHAPITRE 1

Cadre réglementaire

1.1 Assurance Vie : épargne, options cachéesL’assurance vie est la branche de l’assurance faisant émerger des engagements dépendant princi-palement de la durée de vie humaine. Une opération d’assurance vie est définie selon un contratprécisant les relations entre les différentes contreparties.Dans cette opération, l’assureur s’engage à payer une prestation (capital ou rente) au profitd’une autre personne morale, le bénéficiaire, lorsque survient un événement de vie ou de décèssur l’assuré. En contrepartie, le souscripteur paie une somme d’argent appelée prime.Le contrat d’assurance vie est régi par le code des Assurances et bénéficie du régime fiscal del’assurance vie.

En France, l’assurance vie est le placement préféré des français. En 2016, le montant des cotisa-tions collectées s’élevait à 42,4 milliards d’euros et les placements d’assurance vie (non risqués)représentaient environ 34% [Banque de France(2016)].

Figure 1.1 – Encours des placements financiers des ménages en 2016Source : Banque de France

26

L’assurance vie regroupe deux types de contrats :— Contrats en cas de vie : Ce sont des contrats individuels ou collectifs souscrits par une

association ou une entreprise donnant lieu à la récupération d’une prestation sous formede capital ou de rente en cas de vie au terme du contrat.

— Contrats en cas de décès : Ce sont des contrats individuels ou collectifs donnant lieuà la récupération d’une prestation à un bénéficiaire, en cas de décès de l’assuré avant leterme du contrat.

En France, le contrat d’épargne en assurance vie bénéficie d’une fiscalité intéressante par rap-port aux autres supports disponibles sur le marché.

Durée de contrat d’assurance vie Taux du prélèvementAvant 4 ans 35%

Entre 4 ans et 8 ans 15%A partir de 8 ans 7, 5% 1

Table 1.1 – Taux de prélèvement sur les gains d’assurance vie en fonction de la durée ducontrat

Les contrats d’épargne se présentent principalement sous trois formes : contrats en « Euros »,contrats en « Unités de compte » et contrats « Multi-support » comme le montre le tableausuivant [Scheid(2015)] .

Contrat en « Euros » Contrat en « Unités de compte » Contrat « Multi-support »Description Le montant des

garanties et desprimes sont expri-més en euros.

Le montant des garanties estexprimé en unité d’investisse-ment, les unités de compte, quipeuvent être un nombre de partsdans un OPCVM 2, des parts deSCI 3, etc.

Le montant des garantiesfait référence à un ou plu-sieurs supports en UC etun support en euro.

Garantie del’assureur

Le montant en eu-ros.

Le nombre d’UC, par leur va-leur.

Le montant euros pour lapart du contrat en euro etle nombre d’UC pour lapart du contrat en UC.

Risque finan-cier porté par

l’assureur l’assuré L’assureur pour la partieen euro et l’assuré pour lapartie en UC.

Table 1.2 – Principaux types de contrats épargne

1. Imposition après abattement annuel de 4 600 € (ou de 9 200 € pour un couple marié ou pacsé)2. OPCVM : Organisme de Placement Collectif en Valeurs Mobilières3. SCI : Société Civile Immobilière

27

Dans la suite, nous nous intéresserons particulièrement au contrat épargne en « euros » .Ce dernier intègre des options et des garanties financières variées qui concrètement constituentdes droits en faveur de l’assuré et donc des aléas ou/et des risques pour l’assureur. Parmi lesoptions et les garanties les plus répandues :— Le taux minimum garanti : correspond au taux minimum de revalorisation annuelle

des provisions mathématiques. Il peut être défini contractuellement et être valable pourtoute ou une partie de la durée du contrat.

— La participation aux bénéfices : c’est la part du résultat de l’assureur dédiée auxassurés. Cette partie s’ajoute aux taux minimum garanti. L’article A331-3 du Code desAssurances exige qu’au minimum 85% du résultat financier et 90% du résultat techniquede l’assureur soient reversés aux assurés. La gestion de la participation aux bénéfices estfaite de façon globale dans le sens où l’assureur est sensé l’attribuer à un horizon de 8 ansà la totalité ou une partie de ses contrats. Cela lui permet de favoriser certains contratsde son portefeuille selon la situation économique et ses objectifs commerciaux.

— Option de rachat : cette option donne à l’assuré le droit de se faire rembourser la tota-lité ou une partie de son épargne à tout moment. En général, un rachat est accompagnéd’une pénalité variable selon les contrats.

— Option d’avance : cette option permet à l’assuré de récupérer une partie de son épargnesans modifier le fonctionnement de son contrat. En l’occurrence, cette partie n’est pas dé-duite de l’épargne par l’assureur et continue à générer des intérêts comme prévu par lecontrat.

Ces diverses options et garanties sont souvent considérées comme « cachées » dans les contrats.Elles provoquent une complexité importante dans la modélisation ALM. Une approche stochas-tique s’avère donc indispensable afin de valoriser leurs impacts sur les capitaux économiques dela compagnie.

1.2 Solvabilité 2La Directive Solvabilité 2 4 constitue le cadre prudentiel des compagnies d’assurance et de

réassurance européennes 5. Entrée en vigueur le 1er janvier 2016, elle vise à maintenir la stabilitédu système assurantiel européen pour diverses finalités :— Mieux protéger les assurés et les actionnaires à travers une approche de valorisation de la

compagnie plus adaptée à ses risques réels.— Promouvoir une nouvelle régulation rigide et commune à toutes les entreprises européennes

d’assurance.— Renforcer l’intégration au sein du secteur assurantiel afin de créer un marché assurantiel

européen compétitif et attirer les investisseurs.

4. Solvabilité 2 : surnom de la Directive 2009/138/CE du Parlement européen et du Conseil du 25 novembre2009.

5. Solvabilité 2 s’applique à toutes les entreprises d’Assurance, Mutuelles et Institut de Prévoyance à l’ex-ception des compagnies qui ont moins de 5 millions d’euros de primes ou/et moins de 25 millions d’euros deprovisions

28

Afin d’atteindre ces objectifs, la Directive Solvabilité 2 repose sur trois piliers, chacun d’entreeux incarnant des exigences différentes :

Figure 1.2 – Les trois piliers de la directive Solvabilité 2

1.2.1 Pilier 1 : Exigences quantitatives

Ce premier pilier précise les exigences quantitatives de la Directive dans le calcul des pro-visions techniques et définit deux montants réglementaires nécessaires afin d’ajuster les fondspropres de la compagnie : le MCR (Minimum Capital Requirement) et le SCR (Solvency Capi-tal Requirement). Ce pilier impose d’estimer ces montants réglementaires de façon prospective,en se basant sur le profil de risque de l’entreprise d’assurance (politique d’allocation d’actif,politique de réinvestissement, politique de participation aux bénéfices,...). Solvabilité 2 tientdonc compte du profil de risque lors des calculs des provisions exigées, contrairement au régimeSolvabilité 1 où le montant réglementaire, appelé Exigence de Marge de Solvabilité, est calculéselon une approche rétroactive et reflétant l’activité de l’entreprise en assurance non vie et lestock de contrat de l’entreprise en assurance vie.

29

Figure 1.3 – Bilan Solvabilité 2

i. Les provisions techniques : Best Estimate + Marge du risque

Le Best Estimate reflète la meilleure estimation des engagements de l’entreprise vis àvis des assurés. Cette estimation doit être calibrée sur les prix issus du marché assurantielou financier. A cette dernière s’ajoute une marge du risque qui correspond au coût ducapital lié à la détention des engagements au passif.

Un best estimate valorisé en monde risque neutre est donné suivant cette formule :

BE = EQ (∑Tt≥1 Fluxt ×DFt)

Avec :— Fluxt : Le flux de l’année t (Il s’agit d’une variable aléatoire), le détail de ce flux

sera abordé dans la partie ALM du mémoire.— DFt : facteur d’actualisation à l’année t

La marge du risque repose sur l’évaluation du coût généré par l’immobilisation du SCRcomme le montre sa formule :

RM = CoC×(∑Tt≥0 SCRt ×DFt)

Avec :— CoC : Taux de coût du capital : 6%— SCRt : Le SCR de l’année t— DFt : facteur d’actualisation à l’année t

30

Le Best Estimate et la marge du risque constituent les provisions techniques. Le montantde ces provisions techniques est équivalent au montant que des organismes d’assurancetiers demanderaient comme dédommagement pour supporter les mêmes engagements quileur seraient transférés.

ii. Le MCR

Le MCR correspond au montant au minimum de fonds propres réglementaires, dont lenon respect constitue le seuil déclencheur du retrait d’agrément par le régulateur 6.

iii. Le SCR

Le SCR est le niveau de fonds propres dont doit disposer la compagnie pour faire faceà un sinistre majeur (Catastrophe naturelle, Choc des marchés financiers,..). Si les fondspropres de la compagnie passent en-dessous de ce montant, le régulateur avertit la compa-gnie et intervient pour auditer sa gestion. Le SCR est l’indicateur principal de la DirectiveSolvabilité 2 car il est le seul à être calculé en se basant sur les différents risques de lacompagnie (Risques de marché, risque de crédit, risque de souscription, risque opération-nel,..).Plus précisément, le SCR est défini comme le montant dont il faut disposer dans les fondspropres de la compagnie pour éviter sa ruine avec une probabilité de 99,5% à l’horizond’un an.

Figure 1.4 – Cacul du SCRSource : The underlying assumptions in the standard formula for the Solvency Capital Requirement

calculation, EIOPA, 25/07/2014

Cette dernière définition se traduit mathématiquement par la formule suivante :

P(FP (1) ≥ 0|FP (0) = SCR) ≥ 99, 5%

Où :6. En France, le régulateur du secteur assurantiel est l’ACPR : l’Autorité de Contrôle Prudentiel et Résolution

31

— P : la probabilité historique— FP (0) : Les fonds propres économiques 7 à la date initiale— FP (1) : Les fonds propres économiques à horizon 1 an (variable aléatoire)

Après simplification, on trouve cette expression mathématique du SCR :

SCR = FP (0)−D(0, 1).VaR0.5%(FP (1))

Où :— VaRα(X) : Value At Risk de niveau α de la variable X

VaRα(X) = infx∈R{P(X ≤ x) ≥ α}

— D(0, 1) : Facteur d‘actualisation correspondant dans un cas simplifié au prix d’uneobligation zéro coupon de maturité 1 an

Le SCR peut être calculé de différentes manières :— Soit à l’aide de la « Formule Standard », proposée par l’EIOPA 8 : Cette méthode

repose sur l’agrégation des risques par une matrice de corrélation. Cette approcheinclut des hypothèses identiques pour toutes les entreprises d’assurance notammentsur les niveaux de chocs à appliquer dans le calcul du SCR.

— Soit à l’aide d’un « Modèle Interne », pensé et développé par la compagnie, etvalidé par l’ACPR : Cette méthode du calcul du SCR est propre à chaque compa-gnie d’assurance. La Directive Solvabilité 2 impose aux acteurs désireux de calculerleur capital réglementaire à l’aide d’un modèle interne, de calculer leur distributionde fonds propres économiques à un horizon de 1 an. Ce modèle est élaboré en sefocalisant sur les risques liés à l’activité de l’entreprise. Cela permet de présenterune image fidèle de sa santé financière. Il est construit selon l’expérience de l’en-treprise, les données historiques et surtout les jugements des experts. L’approche laplus commune d’estimation de ces fonds propres est la méthode «des Simulationsdans les simulations». Enfin, La mise en œuvre de ce modèle nécessite de modéliserles interdépendances entre les différents facteurs de risques ainsi qu’un générateur descénarios économiques.

7. Les fonds propores économiques correspondent à la différence entre l’actif et les provisions techniques8. EIOPA : European Insurance and Occupational Pensions Authority

32

Figure 1.5 – Agrégation des risques

1.2.2 Pilier 2 : Exigences qualitatives

Ce pilier concerne les normes qualitatives de la Directive Solvabilité 2 en mettant en avantles aspects du suivi et gestion des risques, gouvernance et supervision de la compagnie. Ainsi,ce pilier permet de s’assurer que la compagnie est en mesure de gérer correctement ses activitésà travers une bonne compréhension de ses risques.Afin de répondre aux exigences de ce pilier, la compagnie d’assurance accorde une importancemajeure à certains pôles de sa structure que sont :— L’audit interne : Fonctionnement de la gouvernance et le contrôle interne.— L’actuariat : Contribution à la politique de souscription— La conformité : Evaluation l’impact de tout changement juridique— Le pilotage des risques : Interactions Actif Passif, Provisionnements, risques opérationnels

L’entreprise d’assurance doit prouver au régulateur qu’elle développe en interne des processusde pilotage, suivi et gouvernance des risques. Pour cela, l’assureur recourt à l’ORSA (Own Riskand Solvency Assesment).

Article 45 de la Directive Solvabilité 2 (extraits) sur l’ORSA : [Parlement euro-péen(2009)]

Dans le cadre de son système de gestion des risques, chaque entreprise d’assurance et de réas-surance procède à une évaluation interne des risques et de la solvabilité. Cette évaluation porteau moins sur les éléments suivants :

a) le besoin global de solvabilité, compte tenu du profil de risque spécifique, des limitesapprouvées de tolérance au risque et de la stratégie commerciale de l’entreprise.b) le respect permanent des exigences de capital et des exigences concernant les provisionstechniques.

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c) la mesure dans laquelle le profil de risque de l’entreprise s’écarte des hypothèses quisous-tendent le capital de solvabilité requis.

Le processus ORSA est une évaluation prospective du besoin de solvabilité de l’entreprise quidoit cerner tous les risques auxquels elle est exposée, tout en tenant compte de leurs modifica-tions au cours du temps dans le cadre du plan stratégique de l’entreprise. Dans ce contexte, lacompagnie définit à la fois sa tolérance et son appétence aux risques. Par exemple, une compa-gnie peut être amenée à privilégier des risques financiers dans son portefeuille et donc inciter sesclients à souscrire des contrats d’épargne alors qu’une autre pourrait vouloir éviter les risquesde mortalité et donc inciterait ses clients à ne pas souscrire des contrats d’assurance décès. Demanière générale, un plan stratégique est de durée de 3 à 5 ans ce qui induit une composantepluriannuelle dans l’ORSA.

1.2.3 Pilier 3 : Reporting et Transparence

Ce pilier a pour objectif d’assurer la publication des informations utiles au régulateur, auxactionnaires et aux tiers. Différents reportings selon des thèmes précis sont attendus de la partdu régulateur. Cela permet de vérifier si l’analyse effectuée par l’entreprise est fidèle à la réalité.Ses reportings concernent essentiellement :— Le profil de risque de la compagnie— La performance financière— La sensibilité des résultats à la volatilité des marchés

En exigeant plus de transparence et de clarté de l’entreprise d’assurance, ce pilier permet derenforcer la discipline au sein du secteur assurantiel européen.

34

CHAPITRE 2

Simulations dans les simulations et Curve fitting

2.1 L’approche des simulations dans les simulations (SdS)

Cette méthode s’inscrit dans le cadre du modèle interne et permet de calculer des capitauxéconomiques en assurance : SCR et capital ORSA.

En pratique, on recourt à cette approche afin d’estimer la distribution des fonds propres de lacompagnie d’assurance à un horizon temporel défini t1 puis en déduire un montant du capitaléconomique grâce à une mesure de risque comme la Value at Risk, l’Expected Shortfall ou laTail Value at Risk.Cette méthode nécessite deux types de projections [Devineau Loisel(2009)] :

Projection en monde réel : Le bilan de la compagnie d’assurance est projeté entre t = t0et t = t1 suivant la probabilité historique en tenant compte des facteurs de risques agissantsur le bilan. Ceci permet de créer plusieurs scénarios économiques qui doivent être calibrés surles données historiques et respecter la corrélation entre les différents risques. Chaque scénarioconstitue une simulation primaire.

Projection en monde risque neutre : Conditionnellement à l’information obtenue en t1grâce à la projection en monde réel, le bilan est projeté selon la probabilité risque neutre. Ainsi,pour chaque simulation primaire, il y a plusieurs simulations secondaires générées en monderisque neutre afin d’évaluer les fonds propres de la compagnie. Le calibrage des simulationssecondaires se fait à partir des données de marchés disponibles à t1.

35

Figure 2.1 – Simulations dans les simulations

On aurait pu penser, à tort, que la projection selon la probabilité risque neutre est non néces-saire pour calculer la valeur des fonds propres étant donné que la propriété de martingalité 1

nous offre en général des formules fermées d’évaluation des actifs. En effet, ceci est vrai unique-ment pour les actifs échangeables dans un marché liquide. En revanche la non liquidité et la «path dependency » 2 des options et des garanties du passif imposent d’adopter une approcheMonte Carlo 3 pour la valorisation, d’où l’intérêt de l’utilisation de l’approche des Simulationsdans les simulations en assurance.

En pratique, cette méthode est coûteuse en ressources en termes de temps de calcul et d’espacede stockage. Elle s’avère ainsi inefficace pour un suivi régulier à fréquence réduite (mensuelle ouhebdomadaire) de la compagnie d’assurance. Par conséquent, de nouvelles approches, souventappelées des méthodes proxy, ont été élaborées afin de réduire le nombre de simulations et ainsipallier les problèmes de temps de calcul et d’espace de stockage.

1. Le processus des prix actualisés des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous laprobabilité risque neutre.

2. Une option path dependent est une option dont la valeur à l’échéance est fonction de la valeur prise parle sous-jacent au cours de la vie de l’option, par opposition aux options vanille, dont la valeur de l’option àéchéance dépend uniquement de la valeur du sous-jacent à échéance

3. La méthode de Monte Carlo désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à calculer une valeurnumérique approchée en utilisant des techniques probabilistes

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2.2 Replicating Portfolio (RP)La technique du Replicating Portfolio est une méthode proxy qui permet de répliquer le pas-

sif d’une compagnie d’assurance à travers des portefeuilles constitués uniquement d’instrumentsfinanciers facilement valorisables.Par exemple, le passif peut être réparti sous forme de fondsou cantons présentant des risques homogènes. Pour chaque fond, un portefeuille d’instrumentsfinanciers est formé pour le répliquer au mieux. [Ben Dbabis(2012)]Cette méthode permet de réduire le temps de calcul en agissant sur le nombre de trajectoiressecondaires de la projection en monde risque neutre. En effet, les instruments financiers quiconstituent le portefeuille répliquant sont valorisables en monde risque neutre grâce à des for-mules fermées contrairement au passif qui impose une valorisation de Monte Carlo.

Figure 2.2 – Comparaison de SdS et RP

La constitution du portefeuille répliquant repose sur la minimisation de l’écart entre la valeuractualisée nette (VAN) du canton du passif et celle du portefeuille d’instruments selon plusieursscénarios économiques.

Malgré son efficacité en temps de calcul, le portefeuille répliquant n’est pas facilement calibrécar les instruments financiers le constituant sont sensibles à plusieurs facteurs de risques simul-tanément et donc la composition de ce portefeuille pourrait être une tâche complexe. En outre,cette technique a le défaut de ne matérialiser que les risques de marché et donc des risques im-portants en assurance comme le risque de rachat ou de longévité ne pourront pas être valoriséssuivant cette approche.

2.3 Least Square Monte Carlo (LSMC)Cette approche était initialement utilisée dans le cadre de la modélisation des instruments

financiers, notamment pour valoriser les options américaines bermudiennes. Elle permet deréduire le nombre de trajectoires secondaires dans la méthode des simulations dans les simula-tions. En général, le nombre de trajectoires secondaires passent de 1000-5000 trajectoires à 1-2

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trajectoires, ce qui assure un gain important de temps de calcul et d’espace de stockage. [HA-GUET(2013)]Dans le cadre assurantiel, la méthode Least Square Monte Carlo est mise en œuvre afin d’estimerles valeurs économiques des fonds propres à un horizon temporel donné. Mathématiquement, cesvaleurs économiques sont des espérances conditionnelles aux réalisations des facteurs de risqueretenus dans la modélisation. En réduisant le nombre de trajectoires secondaires, on n’obtientplus les valeurs économiques exactes des fonds propres mais uniquement un nuage de pointsautour de ces valeurs.

Figure 2.3 – l’approche LSMC

A partir de ce nuage, on cherche à estimer les vraies valeurs économiques des fonds propresgrâce à une régression polynômiale en fonction d’un nombre fini de chocs des facteurs de risque.Si l’on considère un portefeuille sensible à n facteurs de risque, la valeur économique des fondspropres est estimée par la formule :

F̂Pt(choc1, choc2 ,..., chocn) = E (∑Ti≥t Fluxi ×DFi) =

∑nk=1 αk × fk(chock)

Avec :— chock : le choc du facteur de risque k par rapport au scénario centrale— DFi : facteur d’actualisation— fk : fonction polynomiale choisie arbitrairement pour le facteur de risque k

Cette méthode a l’avantage de prendre en compte les risques biométriques comme la longévité etla mortalité tout en assurant un temps de calcul très réduit. Cependant, la forme paramétriqueretenue suite à la régression peut présenter une instabilité au cours du temps.

38

2.4 Curve Fitting (CF)De façon similaire à l’approche Least Square Monte Carlo, le Curve Fitting consiste à ajus-

ter une forme paramétrique qui permet d’estimer la distribution des fonds propres économiquesd’une compagnie d’assurance. Plus précisément, il s’agit d’établir une fonction d’interpolationcontinue à partir d’un nombre restreint de valeurs de fonds propres économiques calculées aupréalable. Ainsi, la fonction ajustée doit passer par tous les points prédéfinis et vérifier despropriétés supplémentaires de régularité.

Par conséquent, cette méthode permet de réduire le nombre de simulations primaires puis-qu’un nombre réduit de valeurs de fonds propres économiques est utilisé pour l’interpolation.Le nombre de simulations secondaires reste, quant à lui, équivalent à celui de la méthode desSimulations dans les simulations comme le montre la figure suivante.

Figure 2.4 – l’approche Curve Fitting

La fonction d’interpolation aura pour ensemble de départ l’ensemble des différents chocs desfacteurs de risque issus des simulations primaires.

F̂Pt(choc1, choc2 ,..., chocn) = F̃ (choc1, choc2 ,..., chocn)

Avec :— chock : le choc du facteur de risque k par rapport au scénario central— F̃ : la fonction d’interpolation

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Deux types d’interpolation se présentent pour la détermination de la fonction d’interpolation :

— L’interpolation polynômiale : Il s’agit de définir un seul polynôme passant par tousles points d’interpolation en vertu du théorème de Stone-Weierstrass. Ce théorème esténoncé en annexes.

— L’interpolation spline : il s’agit d’établir une fonction définie par morceaux par des po-lynômes passant par tous les points d’interpolation. Ceci est réalisé en vérifiant plusieurspropriétés de régularité.

Dans les problèmes d’interpolation, la méthode des splines est souvent préférée à l’interpolationpolynomiale, car des fonctions passant par les points d’interpolation sont obtenues en se servantde polynômes ayant des degrés inférieurs, tout en évitant le phénomène de Runge.

Définissons d’abord le cadre de l’interpolation spline dans le cas d’une fonction à une seulevariable (les définitions peuvent être étendues au cadre de n variables) avant de revenir sur lephénomène de Runge. [Demengel Pouget(1998)]

Définition d’une fonction spline

Une courbe spline est une fonction polynomiale par morceaux définie sur un intervalle [a, b]subdivisé en partition [xi, xi+1]tels que :a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = bOn la note donc S : [a, b] −→ R. Sur chaque intervalle [xi, xi+1], nous définissons un polynômePi : [xi, xi+1] −→ R, cela nous donne une spline à n intervalles :

S(x) = P1(x), x0 ≤ x < x1S(x) = P2(x), x1 ≤ x < x2...S(x) = Pn(x), xn−1 ≤ x < xn

Le degré de la spline est défini comme le maximum des degrés des polynômes Pi. Si tous lespolynômes ont le même degré, la spline est dite uniforme.

La continuité de la spline définit les caractéristiques de la jonction entre chaque intervalle.Sachant que la dérivabilité d’un polynôme est infinie, la dérivabilité d’une spline dépend de lacontinuité au niveau de la jointure des courbes polynômes.Si pour tout i et j, tels que 0 < i < k et 0 ≤ j ≤ n l’égalité suivante : P (j)

i (xi) = P(j)i+1(xi)

est vérifiée, alors la spline est de continuité n, notée Sn. Nous regardons les cas particuliersn = 0 et n = 2 :

— S0 est la continuité minimum : les polynômes successifs passent bien par les points dejonction. Il s’agit de l’interpolation linéaire. Graphiquement, ce sont des segments quirelieront les points xi.

— S2 indique la continuité de la courbure : les polynômes successifs ont de plus des dérivéessecondes égales aux points jonction.

40

Dans ce cadre, la spline cubique est la spline la plus utilisée. Elle est uniforme et définie pardes polynômes de degré 3.Un polynôme de degré 3 s’écrivant P (x) = a+bx+cx2+dx3, nécessite 4 contraintes (a,b,c,d) pourêtre défini. Ceci permet d’avoir plusieurs variantes comme solutions selon les conditions imposéessur les tangentes notamment. Dans la littérature mathématique, de nombreuses méthodes despline cubique sont définies selon les conditions de bord, parmi lesquelles on cite :— Spline avec conditions « naturelles » : S ′′(a) = S ′′(b) = 0— Spline avec conditions périodiques : S ′′(a) = S ′′(b) et S ′(a) = S ′(b)

Phénomène de Runge

Dans le domaine mathématique de l’analyse numérique, le phénomène de Runge se manifestedans le contexte de l’interpolation polynômiale. Avec certaines fonctions (même analytiques),l’augmentation du nombre n de points d’interpolation ne constitue pas nécessairement unebonne stratégie d’approximation.

Intuitivement, plus ce nombre est grand plus le degré du polynôme est important et plus laprécision devrait être grande. Pour des degrés d’interpolation trop grands, le polynôme d’inter-polation comportera en fait des oscillations importantes au voisinage des bornes de l’intervalled’interpolation. Ces oscillations, d’autant plus amples que le degré d’interpolation augmente,vouent invariablement toute tentative d’interpolation par un polynôme de degré trop élevé àun échec retentissant. Ce résultat s’appelle le phénomène de Runge.

Afin de mieux visualiser ce phénomène, nous étudions un exemple particulier dans lequel nousappliquons l’interpolation polynômiale, une spline linéaire et une spline cubique avec conditionsnaturelles.

Soit g : [−1, 1] −→ 11+25x2 , et appliquons les différents types d’interpolation pour n = 10 et

n = 20. L’interpolation polynômiale consiste à calculer le polynôme de degré n − 1, qui passepar tous les points d’interpolation.

Figure 2.5 – Les résultats d’interpolation avec 10 points

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Figure 2.6 – Les résultats d’interpolation avec 20 points

Nous observons le phénomène de Runge notamment aux extrémités de l’intervalle d’étude. Nousnotons aussi que ce phénomène est accentué quand n passe de 10 à 20. Par ailleurs, l’approchespline cubique présente de meilleures performances en termes de minimisation et de régularité.Ce constat est un résultat particulier du théorème de Relation intégrale pour les splines cubiques.

Théorème Relation intégrale pour les splines cubiques

Soit d(x) = f(x)− s(x), l’erreur entre la fonction f(x) et la spline s(x).Pour la spline cubique s(x), la condition limite :

s′′(a)d′(a) = s′′(a)d′(a)

est réalisée si et seulement si la relation intégrale suivante est réalisée :∫ b

af ′′(x)2 dx =

∫ b

a(f ′′(x)− s′′(x))2 dx+

∫ b

as′′(x)2 dx

Deux corollaires immédiats de ce théorème sont déduits :

Corollaire 1 : Interprétation mécanique de la spline cubique

Soit s(x) ∈ S3(x0, x1, ..., xn), la spline cubique interpolant f(x) ∈ C2[a, b]. Alors s(x) est lasolution du problème de minimisation (M) :

ming∈G

∫ b

ag′′(x)2

où G est l’ensemble des fonctions C2[a, b] vérifiant les mêmes conditions d’interpolation ques(x) :— g(xi) = f(xi) avec i = 0, 1, . . . , n— l’une des conditions limite (périodique ou naturelle)

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Corollaire 2 : Unicité de la solutionLe problème de minimisation (M) admet une unique solution. Autrement dit, il existe uneunique spline cubique s(x) ∈ S3[a, b] solution du problème d’interpolation (avec l’un des troischoix de conditions limite).

Ces résultats confirment les propriétés de régularité et optimalité remarquées précédemment.La spline cubique sera ainsi adoptée dans la mise en place du Curve Fitting.

Notons que la mise en place de l’approche Curve Fitting se fait en 4 étapes majeures :

— Sélection des facteurs et des scénarios de calibrage : Cette étape constitue la briquede base de l’approche. En réalité, la qualité des résultats issus de la méthode dépend engrande partie de cette étape. D’abord, on est amené à choisir les facteurs de risque qui sontles plus pertinents pour le calcul du résultat technique et financier de la compagnie. Celanécessite une bonne compréhension du stock présent dans les portefeuilles d’actifs et depassif de la compagnie, permettant ainsi l’identification des facteurs les plus intéressantsau regard des risques auxquels la compagnie est exposée. Ensuite, la sélection des scéna-rios suppose une bonne connaissance théorique des lois de probabilités de ces facteurs derisque afin de choisir les scénarios correspondant aux quantiles les plus pertinents. Dansle cadre du calcul du SCR, on se réfère systématiquement au quantile 99,5% privilégié parnature du capital économique.

— Estimation des fonds propres économiques aux scénarios sélectionnés : Pourchaque simulation primaire sélectionnée en monde réel, un nombre suffisamment élevéde trajectoires secondaires est lancé dans le monde risque neutre afin d’avoir les fondspropres économiques. Ces derniers constituent les points d’interpolation et de calibragede la fonction polynômiale.

— Calibrage de la fonction spline : Une spline d’interpolation est ajustée sur les valeursdes fonds propres économiques déterminées dans l’étape précédente.

— Application de la fonction polynômiale trouvée : Cette étape nécessite de générerun grand nombre de scénarios primaires par le générateur de scénarios économiques etappliquer la fonction précédemment calibrée afin de déterminer la distribution de fondspropres économiques.

Cette approche sera mise en œuvre dans ce mémoire et chacune des étapes sera détaillée par lasuite.

L’idée est de concevoir le modèle interne d’une compagnie fictive d’assurance vie dont le porte-feuille intègre uniquement un contrat d’épargne en euros.

Ceci nécessite l’implémentation d’un modèle de projection actif passif (ALM) et d’un générateurde scénarios économiques. Par la suite, l’étape Curve Fitting nous permettra de calculer lemontant du capital réglementaire.

43

Figure 2.7 – Structure du modèle interne de la compagnie fictive

44

CHAPITRE 3

Générateur de scénarios économiques

Le générateur de scénarios économiques (GSE) est un outil permettant de projeter des gran-deurs économiques (financières et/ou macroéconomiques) selon des modèles de diffusion sur unedurée déterminée. Notre but est de développer un GSE permettant de diffuser des facteurs derisque sélectionnés dans l’univers monde réel entre t = 0 et t = 1 et l’univers risque neutre entret = 1 et t = 50.

Dans le monde réel, il existe une prime de risque reflétant l’aversion ou l’appétence au risque.Ceci est constaté sur les variations historiques des facteurs de risque. Cependant, le monderisque neutre, comme son nom l’indique, n’inclut aucune prime de risque.

Le calibrage des modèles de diffusion stochastiques en monde réel se fait en adoptant une visionhistorique afin de projeter le plus fidèlement possible le comportement statistique et historiquedes grandeurs financières considérées. Cependant, en monde risque neutre nous calibrons lesmodèles de diffusion sur les prix de marché afin de répliquer au mieux les anticipations desagents économiques.Dans notre cas, la projection en monde risque neutre se fait après une projection en monderéel : les modèles de diffusions en monde risque neutre seront donc calibrés conditionnellementaux résultats de la projection en monde réel.

Pour la modélisation des facteurs de risque en monde risque neutre, nous nous plaçons dans lecadre des hypothèses suivantes :

— Absence d’opportunité d’arbitrage,— Absence de coûts de transaction et égalité des prix à l’achat et à la vente— Divisibilité des actifs à l’infini,— Aucune contrainte sur les quantités d’actifs vendus ou achetés pour assurer la couverture

dynamique des options,— Prêts et emprunts au même taux,— Liquidité du marché : il existe des acheteurs et des vendeurs pour tous les titres du marché,— Vente à découverte sans pénalités, ni contraintes.

Nous avons élaboré un GSE sous le logiciel R. Pour la génération des nombres aléatoires, Rpropose par défaut le générateur Mersenne Twister 1. Il s’agit d’un générateur pseudo-aléatoire

1. Le générateur Mersenne Twister est un générateur de nombres pseudo-aléatoires particulièrement réputépour sa qualité.

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qui bénéficie d’une exécution très rapide. Il permet de générer des nombres réels selon des loisuniformes indépendantes.La méthode de Box Muller est utilisée par la suite pour les transformer en réalisation de loisnormales indépendantes.

Méthode de Box Muller :

Soit (U1, U2) un couple de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivanttoutes deux la loi uniforme standard U([0; 1]). Alors les variables aléatoiresX =

√−2 ln(U1) cos(2πU2)

et Y =√−2 ln(U1) sin(2πU2) sont indépendantes identiquement distribuées suivant toutes deux

la loi normale centrée réduite.

A noter que les scénarios économiques obtenus à l’aide du logiciel R sont enregistrés dans desfichiers de format CSV pour être importés aisément dans le modèle ALM grâce à une macroVBA.

3.1 Choix des facteurs de risqueLa sélection des facteurs de risque de la compagnie fictive est une étape déterminante dans la

suite de la modélisation. En effet, les facteurs influents sur le bilan économique de la compagnieseront retenus pour constituer le générateur de scénarios économiques.

Pour effectuer cette étape, notre compréhension du fonctionnement d’un contrat d’épargne euronotamment le mécanisme de la participation aux bénéfices nous permet de détecter les facteursagissant le plus sur le rendement de la compagnie. En outre, nous consultons les différentsrapports d’analyses et synthèses publiés par l’ACPR sur la structure du SCR des compagniesd’assurance vie en 2014 afin d’avoir une idée sur les risques modélisés dans le secteur assu-rantiel [Banque de France(2015)].Ces analyses repose sur des données représentant environ98% du marché global de l’assurance française.L’étude montre une prédominance du risque de marché et du risque de souscription vie sur lastructure du SCR des organismes vie et mixte (respectivement 90% et 21% des BSCR en 2014)gardant la même tendance des années précédentes.

La structure en sous-modules du SCR marché de l’ensemble des organismes vie et mixte faitapparaître la prépondérance de deux risques majeurs : le risque sur actions et le risque de tauxd’intérêt représentant respectivement 49% et 15% de l’ensemble des risques de marché.

Le principal risque intervenant dans le SCR de souscription vie est le risque de rachat pour 61%du SCR de ce module.

Par conséquent, nous établissons la liste suivante des facteurs de risque retenus dans l’élabora-tion le générateur de scénarios :— Taux : Ce facteur est indispensable parmi les risques à modéliser. En effet, à peu près

85% du portefeuille d’actifs est constitué d’obligations qui sont des produits extrêmementsensibles à ce facteur.Le niveau des taux détermine la valeur de marché des obligations.De façon générale, la hausse entraîne mécaniquement une baisse des cours des obligationset inversement. Par ailleurs, ce facteur intervient aussi sur le rachat conjoncturel.

— Action : 10% du portefeuille d’actifs est constitué des actions (CAC40). Vu le rendementélevé des actions par rapport aux obligations, le facteur action détermine en grande partie

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le rendement total de la compagnie.— Volatilité Implicite : Ce facteur est décisif dans l’établissement du rendement des ac-

tions.— Rachat : Ce risque est un risque de passif contrairement aux risques sélectionnés précé-

demment. Le Curve Fitting a l’avantage de traiter des risques autres que les risques demarché. Le risque Rachat inclut deux composantes le risque de rachat conjoncturel établiselon la formule déjà présentée et le risque structurel.

Certes, les facteurs de risque retenus pour le générateur de scénarios économiques sont les pluspertinents. Cependant, il y a bien d’autres facteurs de risque auxquels notre compagnie fictiveest exposée notamment le risque de longévité. En effet, les prestations décès sont indexées di-rectement sur ce risque.

Figure 3.1 – Structure du générateur des scénarios économiques

Par simplification, nous avons choisi des modèles de diffusion classiques, très développés dansla littérature des mathématiques financières présentant ainsi des facilités d’implémentation. Deplus, le générateur de scénarios économiques ne constitue pas le cœur de ce mémoire. En effet,nous avons utilisé uniquement des équations différentielles stochastiques pour la projection desfacteurs des risques alors que nous aurions pu exploiter la piste des modèles de séries temporellesARMA et GARCH largement utilisés en économétrie dans la prédiction des séries financières.

3.2 Dynamique des tauxPour ce facteur de risque, deux modélisations différentes sont proposées incarnant des vi-

sions distinctes selon le monde de projection.

Monde réel :

Dans cet univers de projection, une analyse de l’historique des taux est effectuée pour capterles effets et les comportements du sous-jacent dans la modélisation. Une des méthodes utilisées

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est l’Analyse en Composantes Principale (ACP).

Il s’agit d’une méthode d’analyse de données et plus généralement de la statistique multivariée,qui consistant à transformer des variables corrélées en de nouvelles variables décorrélées lesunes des autres. Ces nouvelles variables sont nommées « composantes principales », ou « axesprincipaux ». Le spectre d’application de cette méthode est large et a été étendu aux courbesde taux par Litterman et Scheinkman 2. [WILHELMY(2010)]

Notre modélisation se fera plusieurs étapes présentées ci-après :

Etape 1 : Détermination d’une base de composantes principales grâce à un histo-rique de courbes de zéro-coupons (ZC)

Nous disposons d’un historique journalier des 10 dernières années (du 31/12/2006 au 31/12/2016,source : Bloomberg) et nous ne gardons que les observations dont les taux sont strictement po-sitifs 3. Ainsi, une matrice de dimensions n = 2000 observations (lignes) et m = 50 maturitésannuelles (colonnes) est formée.

Nous calculons la variation annuelle des taux ZC pour chaque maturité m : δZC(ti,m) =ZC(ti+1,m)− ZC(ti,m) et sur la matrice résultante [δZC(ti,m)] (de dimension 1750 x 50) laméthode ACP est appliquée en utilisant le logiciel R.

Par ailleurs, nous ne détaillons pas le processus de calcul de la méthode ACP. Ceci ne fait pasl’objet de ce mémoire et dans la littérature mathématique plusieurs œuvres détaillent l’approchethéorique. [Bouroche G.Saporta(1977)]

Etape 2 : Sélection des composantes contenant le plus d’informations.

Nous obtenons 50 vecteurs propres décorrélés formant ainsi une base de l’espace des variationsdes taux ZC. Afin de sélectionner les composantes les plus importantes, nous nous réfèrons à laproportion de la variance de chaque vecteur propre dans la variance totale de la base.

Composante 1 Composante 2 Composante 3Proportion de la variance 86, 54% 8, 54% 3, 99%

Proportions cumulés 86, 54% 95, 08% 99, 07%

Table 3.1 – L’information expliquée par les trois premières composantes de l’ACP

Le tableau ci-dessus montre que les trois premières composantes expliquent 99,07% de l’infor-mation contenus dans une courbe des taux. Ces composantes sont interprétées graphiquement.

2. LITTERMAN. R, SHEINKMAN. J (1991) Common factors affecting Bond Returns3. Les taux négatifs sont éliminés de l’ACP car leur intégration mène à des résultats moins concluants

notamment sur l’interprétation des composantes principales et aussi sur la quantité d’informations expliquéepar les premières composantes.

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Figure 3.2 – Représentation graphique des trois premières composantes principales de l’ACP

Composante 1 : Elle a pratiquement la même valeur pour toutes les maturités. Cela signifiequ’elle correspond à une variation identique de toute la courbe, c’est-à-dire une Translation(appelée aussi Niveau).

Composante 2 : Elle a des coordonnées négatives pour les maturités courtes et des coordonnéespositives pour les maturités plus longues. Elle correspond donc à une variation dans des sensopposés des maturités courtes et longues, ce qui est bien un mouvement de Pentification.

Composante 3 : Elle admet des coordonnées positives pour les maturités courtes et les maturitésles plus longues. Cependant elle possède des coordonnées négatives sur les maturités moyennes.Il s’agit d’un mouvement de Courbure.

Dans notre modélisation, nous diffusons uniquement les coordonnées des composantes Niveauet Pentification par souci de simplification. La conservation de ces composantes nous permetde garder 95,08% de l’information initiale. Ainsi, le facteur de risque taux sera matérialisé pardeux facteurs non corrélés : le facteur Niveau et le facteur Pentification.

Etape 3 : Déduction des coordonnées de la courbe des zéro-coupons du 31 décembre2016 en ces composantes et leur diffusion selon un modèle Vasicek en monde réel

A partir de la courbe des taux fournie par l’EIOPA au 31/12/2016, nous déterminons les coor-données niveau et pentification par projection dans la base de composantes principales.

Soit x la coordonnée de la composante niveau et y la cordonnée de la composante pentification.La diffusion de ces coordonnées de t = 0 à t = 1 est assurée avec deux modèles de Vasicek 4

calibrés séparément.

4. Le modèle de Vasicek est un modèle différentielle stochastique décrivant l’évolution des taux d’intérêt. Ila été introduit par le mathématicien tchèque Oldrich Vasicek en 1977.

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dxt = ax(bx − xt)dt+ σxdBx,Pt sous la probabilité historique P

dyt = ay(by − yt)dt+ σydBy,Pt sous la probabilité historique P

Les mouvements browniens By,Pt et By,P

t sont indépendants.

La discrétisation de ces équations selon le schéma d’Euler [THEROND(2006)] avec un pas detemps égal à 1 nous donne :

xt+1 = axbx + (1− ax)xtdt+ σxWx,P

yt+1 = ayby + (1− ay)ytdt+ σyWy,P

Où : W x,P et W y,P sont deux variables aléatoires indépendantes de loi N(0, 1).

Les paramètres bx et by sont supposés nuls afin d’assurer une convergence vers 0 en moyennepour les dates élevées même si nous nous contentons d’une projection d’une durée d’un an.

En outre, le calibrage de ces modèles se fait sur l’historique des observations utilisées dansl’ACP par maximisation de la vraisemblance. En effet, grâce à la matrice [δZC(ti,m)], le vec-teur propre P1 de la première composante et le vecteur propre P2 de la deuxième composantenous déterminons les vecteurs de coordonnées[xi] = [δZC(ti,m)]P1 et [yi] = [δZC(ti,m)]P2.Cela nous permet de déduire les valeurs de ax, ay, σx et σx suivant les formules suivantes.

ax = (1−∑n

1 xi+1xi∑n

1 x2i

)

ay = (1−∑n

1 yi+1yi∑n

1 y2i

)

σ2x = 1

n

∑n1 (xk+1 − (1− ax)xk)2

σ2y = 1

n

∑n1 (yk+1 − (1− ay)yk)2

Avec n = 1749, le nombre de ligne de la matrice [δZC(ti,m)].

Etape 4 : Reconstitution de la courbe des taux diffusée

Suite à la diffusion, nous obtenons les coordonnées x′1 et y′1 pour chaque trajectoire de simulation

en monde réel. Par conséquent, la courbe des taux ZC résultante de la diffusion sera reconstruitegrâce aux vecteurs propres de la base de l’ACP comme l’indique la formule suivante :

x′t=1P

T1 + y

′t=1P

T2 , où P T est la transposée du vecteur P

Monde risque neutre :

Le modèle stochastique Cox-Ingersoll-Ross (CIR) est choisi parmi plusieurs modèles dans lalittérature financières pour la diffusion des taux courts en monde risque neutre. Il a l’avantagede fournir des formules explicites pour le calcul des prix ZC à partir des taux courts diffusés.Cependant, ce modèle a le défaut de ne pas reproduire toutes les formes de courbes observéessur les marchés.

Le taux court instantané r est défini par l’équation différentielle stochastique suivante :

50

drt = ar(br − rt)dt+ σr√rtdB

r,Qt sous la probabilité risque neutre Q

Avec σ2r ≥ 2arbr où σr, ar et br sont des constantes positives

Le calibrage de ce modèle nécessite d’abord le calcul de la courbe de taux courts à partir de lacourbe de taux ZC reconstruite suite à la diffusion en monde réel.

Avec un pas de discrétisation égal à 1an, la courbe de taux courts est déterminée grâce à cetteformule :

rt = [1+ZC(1,t)]t[1+ZC(1,t−1)]t−1 − 1

Une méthode exhaustive de calibrage est de chercher les paramètres minimisant l’écart entreles prix des ZC obtenus à t=1 grâce à la projection en monde réel et les prix des ZC simuléspar notre modèle de CIR en monde risque neutre. En effet, à chaque trajectoire de simulationprimaire, on cherche ar, br et σr solution de ce problème :

(ar, br, σr) = argmin(ar,br,σr)∈R3

∑m=50i=2 (Bréel(1, Ti)−Br.neutre(1, Ti))2

Néanmoins, les algorithmes utilisés pour résoudre ce problème sont côuteux en temps de calculce qui ralentit énormément notre générateur de scénarios.

Afin de pallier ce problème, nous supposerons que σr est constante tout au long de la projection.Ainsi, σr est déterminée à t=0 et sera identique à t=1 pour toutes les simulations.

Afin de déterminer ar et br à chaque trajectoire primaire, nous procèdons à une régressionlinéaire. En effet, la discrétisation de l’équation de la diffusion des taux court avec un pas égalà 1 est donnée par cette expression :

rt+1 = arbr + (1− ar) rt +X, avec X une variable aléatoire de loi normale N(0, σ2rrt)

Par conséquent, il suffit d’appliquer la régresion linéaire sur le modèle rt+1 = α rt + β pourdéterminer les paramètres ar et br de l’équation de diffusion.

ar = 1− αbr = β

1−α

3.3 Dynamique de la volatilité impliciteLa volatilité implicite est parmi les facteurs de risque auquel notre portefeuille d’actions est

sensible. Nous décidons de la projeter en monde réel et la supposer constante en monde risqueneutre.

Monde réel :

Le modèle de diffusion retenu est semblable à celui de Black-Scholes 5 avec un drift nul. Ce quidonne cette équation stochastique :

5. le Modèle de Black-Scholes est considéré comme le plus grand succès dans le domaine de la théoriefinancière. Il a été introduit en 1977 pour modéliser l’évolution des cours boursiers des actions

51

dσimpt = σimpt volσimpdBimp,P

t sous la probabilité historique P

Où :— volσ

imp : La volatilité de la volatilité implicite— BP

t : un mouvement brownien sous la probabilité historique

Le calibrage du modèle revient à estimer volσimp sur la base de l’historique sur les 5 dernièresannées (source : Bloomberg) des rendements de volatilités implicites observées par maximisationde la vraisemblance.En utilsant un pas de temps égal à 1 an, la résolution de l’équation donne :

σimpt+1 = σimpt × exp(−(volσimp)2/2 + σaWσ) sous la probabilité historique

Où :— Wσ : une variable aléatoire de loi N(0; 1)

Monde risque neutre :

Dans le monde risque neutre, la volatilité implicite sera considérée constante et égale à sa valeurobtenue à t = 1 grâce à la diffusion en monde réel. Cette volatilité sera un paramètre du modèlede la diffusion des actions.

3.4 Dynamique de l’indice actionParmi de nombreux modèles de diffusion des actions dans la littérature des mathématiques

financières, nous retenons le modèle de Black-Scholes sans distribution de dividendes pour lemonde réel et le monde risque neutre.

Ce modèle présente l’avantage de fournir des formules fermées d’évaluation facilitant la résolu-tion numérique.

Monde réel :

Le portefeuille action est modélisé sur la base d’un processus de Black-Scholes :

dSt = St(µadt+ σadBa,Pt ) sous la probabilité historique P

Où :— µa : le drift du sous jacent— σa : la volatilité du sous jacent— Ba,P

t : un mouvement brownien sous la probabilité historique

En utilsant un pas de temps égal à 1 an, la résolution de l’équation donne :

St+1 = St × exp(µa − σ2a/2 + σaWa) sous la probabilité historique

Où :— Wa : est une variable aléatoire de loi N(0; 1)

52

Le calibrage du modèle en monde réel repose sur la maximisation de la vraisemblance desobservations log(St). Ce qui mène à considérer :— µa : la moyenne empirique du log rendement historique du CAC40 sur les 5 dernières

années, source : Bloomberg.— σa : la volatilité historique du CAC40 sur les 5 dernières années, source : Bloomberg.

Monde risque neutre :

Dans le cadre du modèle Blach & Scholes, la dynamique des actions en monde risque neutreest donnée par :

dSt = St(rtdt+ σimpt=1dBa,Qt ) sous la probabilité risque neutre Q

La discrétisation est la même que dans le monde réel et ici le calibrage est fait automatiquement.En effet, le taux court rt provient de la diffusion des taux courts et la volatilité σimpa provient de ladiffusion de la volatilité implicite en monde réel. Cette volatilité implicite est supposée constanteen monde risque neutre. En outre, Ba,Q

t est un mouvement brownien sous la probabilité risqueneutre.La volatilité était systématiquement constante pour tous les modèles alors qu’elle ne l’est pasdans les marchés financiers. Tel est l’exemple des actions, où on observe sur les marchés finan-ciers un « smile » de volatilité.En effet, On aurait pu recourir aux modèles de Dupire ou deHeston pour tenir compte de cette particularité.

3.5 Dynamique des rachatsLe facteur de risque s’interprète comme le résultat de 2 types de rachat conceptuellement

différents (rachat conjoncturel et rachat structurel). Le rachat conjoncturel est drivé essentiel-lement par les taux servis par la concurrence modélisé dans notre modèle ALM. Toutefois, lerachat structurel est déduit d’une table d’expérience sur le portefeuille de contrats reflétant uncomportement propre à l’assuré indépendamment de la conjoncture économique. Une explica-tion plus détaillée de ces deux composantes sera abordée dans le chapitre suivant.

Pour déterminer une distribution aléatoire de la loi de rachat structurel, on recourt à un his-torique retraité d’une compagnie d’assurance commercialisant des contrats d’épargne euros etfaisant partie des clients de Mazars Actuariat.

L’hypothèse d’une loi log-normale des taux de rachat structurels est retenue.

Une méthode exhaustive est de considérer une loi aléatoire du taux de rachat structurel pourchaque année d’ancienneté. Ceci revient à calibrer un vecteur de variables aléatoires log-normales.Par simplification, nous décidons de calibrer une loi log-normale qui sera appliquée sur la loi derachat structurel globale.

RSchoqué = RScentrale × τ

— avec log(τ) suit la normale N(µ, σ)

53

L’historique retenu permet de calculer un taux de rachat structurel par an sur une période de23 ans (de 1992 à 2014). La maximisation de la vraisemblance permet d’estimer les paramètresde la loi log-normale comme suit :

— µ = 1n

∑22i=1(log(RS1992+i

RS1991+i))

— σ2 = 1n

∑22i=1(log(RS1992+i

RS1991+i)− µ)2

Ce type de rachat est indépendant de la situation économique et financière. Ainsi la variabledéterminée ne sera pas corrélée aux autres facteurs de risque retenus dans le générateur descénarios économiques.

3.6 Dépendance entre les facteurs de risqueLes facteurs de risque modélisés présentent une certaine dépendance dans la vraie vie. Pour

reproduire cette dépendance dans notre générateur de scénarios économiques, on recourt à unestructure de corrélation simultanée. Celle-ci est déterminée principalement à travers l’estimationdes relations de dépendance observées simultanément dans le passé entre les différents facteursde risque.

Le calcul des corrélations entre ces facteurs sur les observations des dernières 5 années (du01/01/2011 au 31/12/2016, source : Bloomberg) nous permet d’établir deux matrices de corré-lation linéaire :

— En monde réel, pour les risques : Rachat, Niveau, Pentification, Action et volatilité im-plicite.

— En monde risque neutre, pour les risques : Action et Taux Court.

Monde réel :

Niveau Pentification Action Volatilité Implicite Rachat StructurelNiveau 100% 0% 10% 1,5% 0%

Pentification 0% 100% −36% 1% 0%Action 10% −36% 100% −63% 0%

Volatilité Implicite −1, 5% 1% −63% 100% 0%Rachat Structurel 0% 0% 0% 0% 100%

Table 3.2 – Matrice de corrélation en monde réel

Monde risque neutre :

ActionTaux court −2%

Table 3.3 – Matrice de corrélation en monde risque neutre

Les mouvements browniens présents dans toutes les équations stochastiques de diffusion serontcorrélés suivant les matrices ci-dessus à l’aide de la décomposition de Choleski.

54

3.7 Validation des scénarios économiquesCette étape de validation post-projection permet de s’assurer que la projection des différents

facteurs de risque est conforme aux hypothèses théoriques. De nombreux tests sont possiblesselon la nature de projection (monde réel ou monde risque neutre).

3.7.1 Test de martingalité

Ce test concerne la partie de la projection en monde risque neutre. Il s’agit de vérifier queles processus des prix actualisés issus des modèles sont bien des martingales comme stipulé parla propriété d’absence d’opportunité d’arbitrage.

Test sur le modèle action

Sur un scénario monde réel, nous vérifions que l’estimateur ê(tj) = 1n

∑ni=1

δi(tj)Si(tj)S1

convergebien vers son espérance à chaque pas de temps, c’est à dire : pour tout j ∈ {2, ..50}

ê(tj) −→n→+∞

E(δ(tj)S(tj)S1

) = 1

Où :— δi(tj) = exp(

∫ tj1 −ri(u)du)

— n : le nombre de simulations, ici n = 5000

Figure 3.3 – Test de martingalité sur le modèle action en monde risque neutre

L’erreur du modèle est comprise dans l’intervalle [−0, 94%; 1, 21%].

55

Test sur le modèle taux

Nous nous assurons de la convergence des estimateurs empiriques des prix de ZC vers les prixthéoriques. C’est à dire : pour tout j ∈ {2, .., 50}

P̂ (1, tj)P (1, tj)

−→n→+∞

1

Où :— P̂ (1, tj) = 1

n

∑ni=1 exp(−∑j

k=1 ri(tk))— P (1, tj) = E(exp(−

∫ tj1 rsds)

Figure 3.4 – Test de martingalité sur le modèle taux en monde risque neutre

L’erreur du modèle est comprise dans l’intervalle [−0, 01%; 2, 21%].

Ainsi, les résultats du test sont satisfaisants et notre générateur de scénarios vérifie bien lapropriété d’absence d’opportunité d’arbitrage.

3.7.2 Test de normalité

Les facteurs de risque volatilité implicite en monde réel et action en monde réel et en monderisque neutre sont des processus log-normaux. Ceci implique une distribution normale des ren-dements de ces facteurs de risque.

Le test statistique Shapiro-Wilk 6 dont l’hypothèse nulle est la normalité de la distribution estsollicitée afin de tester la normalité de ces rendements.

6. Le test de Shapiro-Wilk est un test statistique permettant de savoir si une série de données suit une loinormale.

56

A titre d’exemple, nous appliquons ce test à la distribution des rendements actions à t = 1projetés en monde réel et nous traçons le diagramme quantile-quantile qui est une techniquegraphique permettant de comparer la distribution des actions normalisées à la distribution théo-rique d’une loi normale centrée réduite.

Test Shapiro-Wilkp− value 0, 42

Table 3.4 – Résultat du test Shapiro-Wilk

Figure 3.5 – Le Q-Q Norm de la distribution des rendements actions à t = 1

La p − value est supérieure à 0, 1 donc l’hypothèse nulle n’est pas rejetée et nous admettonsainsi la normalité de la distribution des rendements actions.

57

CHAPITRE 4

Modélisation ALM du portefeuille

Ce chapitre vise à expliciter les hypothèses prises dans la modélisation de la compagniefictive d’assurance vie notamment les interactions actif passif afin d’établir tous les cashs flowsfuturs nécessaires dans le calcul du Best Estimate. Nous développons ainsi un outil VBA deprojection en se basant sur des travaux précédents ayant eu lieu au sein du cabinet MazarsActuariat. La durée de projection du bilan économique de la compagnie d’assurance fictive estde 50 ans. Le portefeuille de cette compagnie contient un seul support de contrat d’épargne :le contrat en Euro. Notons que la construction des portefeuilles actif et passif de la compagniefictive a été inspirée de données réelles de certains clients de Mazars Actuariat.

4.1 Modélisation du Passif

4.1.1 Model Points

Pour faciliter la modélisation du passif de la compagnie fictive, une agrégation du portefeuillede contrats s’avère indispensable. Nous nous référons à l’article 35 du Règlement Délégué [Par-lement européen(2014)]. Le regroupement des contrats est ainsi fait en identifiant des classesde risques homogènes que nous convenons de croiser avec les caractéristiques du contrat d’as-surance (niveau des taux minimum garantis, ancienneté des contrats, âge à la souscription ducontrat,...). Par conséquent, ces croisements constituent les model points du portefeuille.

Notre portefeuille de contrats est donc agrégé en 10 model points selon les caractéristiques descontrats d’épargne euros. Cette agrégation repose sur trois paramètres :— le taux minimum garanti : il correspond au taux minimum de revalorisation annuelle des

provisions mathématiques.— l’ancienneté des contrats : Le comportement des assurés en terme de rachat dépend de ce

facteur qui décide le taux d’imposition en cas de rachat partiel ou total.— l’âge à la souscription : L’estimation des prestations décès au cours de la projection ALM

dépend des âges des assurés.

58

Figure 4.1 – Structure du passif de la compagnie fictive

Notre portefeuille contient des contrats avec des taux minimum garantis élevés par rapport auxtaux proposés sur le marché actuellement. En effet, ces contrats rémunérant 2,50% à 3,50% surle fonds euro ont été souscrits il y a 18 ans. A cette époque, les obligations françaises d’étatavaient des coupons élevés donc les assureurs étaient capables de faire face aux engagementsgénérés par ces contrats sans prise de risque majeure dans leurs gestions d’actifs.

4.1.2 Primes

Par souci de simplification, nous décidons de modéliser un portefeuille de contrats en run-off.Ainsi, les contrats du portefeuille ne sont plus commercialisés et il n’y a donc plus de primesfutures projetées dans le modèle.

4.1.3 Décès

Les prestations décès sont des prestations versées par l’assureur en cas de décès d’un assuré.Le calcul de ces prestations nécessite de recourir à des tables de mortalité. Dans notre cas, latable de mortalité retenue est la « TF 00− 02 ».

Décèst =∑

x∈{âges}PMt × t−1qx

Où t−1qx la probabilité de décès pour une personne d’âge x entre les dates t− 1 et t

4.1.4 Rachat

En assurance, on distingue deux types de rachat :— Le rachat structurel— Le rachat conjoncturel

Chaque type de rachat est modélisé séparément afin de déterminer le montant des prestationsliées à ces événements.

Rachat structurel (Rstru) :

Il s’agit du rachat effectué par les assurés pour des besoins de liquidité indépendamment destaux garantis proposés sur le marché pour des contrats semblables. L’assureur n’a donc aucunmoyen d’agir sur ce type de rachat.

59

Le rachat structurel dépend essentiellement de la fiscalité et l’ancienneté du contrat. C’est pourcette raison qu’on recourt à l’historique des rachats sur un portefeuille de contrats euros afin dedéterminer la loi de ce type de rachat. Intuitivement, ce type de rachat est exprimé en fonctionde l’ancienneté du contrat. Nous disposons d’un historique de taux de rachat sur des contratsd’épargne d’une compagnie d’assurance. Nous traçons le graphe des taux de rachat en fonctionde l’ancienneté.

Figure 4.2 – Loi des rachats structurels

Le figure ci-dessus montre un taux de rachat assez stable sauf à l’année 8 et 9 où un pic derachat est repéré. Ceci est expliqué principalement par la fiscalité du contrat épargne. En ef-fet, la fiscalité en vigueur mandate l’exonération d’imposition des plus-values réalisées sur lescontrats ayant plus de 8 années d’existence. Cette dynamique de rachat structurel sera retenuedans notre modélisation ALM.

Rachat conjoncturel (Rconj) :

Ce type de rachat est lié à la conjoncture économique. Il vient en réponse à une situation demarché pour laquelle les taux servis par les concurrents sont supérieurs au taux proposé par lacompagnie. Ainsi, il faut définir un taux de la concurrence duquel dépendra le taux de rachatconjoncturel. Dans notre modélisation, le taux de la concurrence est la moyenne des taux OAT 1

de maturité 10 ans sur les dernière 5 années.

Notre modélisation du taux de rachat conjoncturel repose sur les recommandations proposéespar l’ACPR. La méthodologie de l’ACPR attribue un taux de rachat conjoncturel en fonctionde l’écart entre le taux servi par l’assureur et le taux attendu par l’assuré qui est ici le taux dela concurrence modélisé.

Notons Tconc et Tservi respectivement le taux de la concurrence et le taux servi. Le taux derachat conjoncturel est donné par la formule suivante :

Rconj(Tconc, Tservi) =

RCmax si Tservi − Tconc ≤ α

RCmax × Tservi−Tconc−βα−β si α ≤ Tservi − Tconc ≤ β

0 si β ≤ Tservi − Tconc ≤ γRCmin × Tservi−Tconc−γ

δ−γ si γ ≤ Tservi − Tconc ≤ δ

RCmin si Tservi − Tconc ≥ δ

1. OAT : Obligations Assimilables du Trésor

60

Avec :

α β γ δ RCmin RCmax−4% 0% 1% 4% −4% 40%

Table 4.1 – Les valeurs des paramètres de la loi des rachats conjoncturels

Figure 4.3 – Taux de rachat conjoncturel en fonction de la différence entre le taux servi et letaux de la concurrence

L’ACPR propose une interprétation des différents paramètres :— α est le seuil en-deçà duquel les rachats conjoncturels sont constants et fixés à RCmax. Ce

n’est plus l’écart de taux qui explique le comportement des assurés.— β et γ sont respectivement les seuils d’indifférence à la baisse et à la hausse du taux servi.

Entre ces 2 seuils, le comportement de l’assuré n’est pas modifié.— δ est le seuil au-delà duquel la diminution du taux de rachat structurel est constante et

fixée à min RC . Ce n’est plus l’écart de taux qui explique le comportement des assurés.

Le taux de rachat total s’exprime alors comme suit :

Rtotale(Ancienneté, Tservi, Tconc) = min(100%,max(0%, Rconj(Tservi, Tconc) +Rstru(Ancienneté))

4.1.5 Frais

Plusieurs types de frais sont établis dans le bilan ou le compte de résultat de la compa-gnie d’assurance. Ces frais doivent subir une ventilation selon leurs destinations en adéquationavec l’article 31 du Règlement Délégué [Parlement européen(2014)]. Le tableau ci-dessousrécapitule les frais retenus ainsi que leurs drivers de projection dans notre cadre de modéli-sation. Nous avons opté à une projection de frais en pourcentage d’autres flux (provisions ousinistres) [Groupe de travail(2016)] .

61

Destinations Pourcentage Driver de projectionFrais de gestion des sinistres 0, 10% Prestations

Frais administratifs 0, 50% Provisions MathématiquesFrais d’acquisition 2, 00% PrimesFrais de placement 0, 15% Actifs

Table 4.2 – Tableau récapitulatif des frais de la compagnie modélisée

4.1.6 Prélèvements Sociaux

Le taux des prélèvements applicable est celui en vigueur à la date d’acquisition des intérêts.Actuellement il est de 15,5 %. Ces prélèvements sont précomptés directement par l’assureur quiles reverse à l’administration fiscale, lors de l’inscription des intérêts au contrat.

4.1.7 Imposition

Le taux d’imposition sur les sociétés doit subir une baisse progressive pour passer de 33,1/3%à 28% en 2020. Cette baisse se fera en plusieurs étapes selon l’année, le bénéfice et le chiffred’affaire de la compagnie. Pour simplifier le calcul, le taux de 28% est fixé dès la première annéede projection, c’est à dire dès l’année 2017.

4.1.8 Provisions

Provision Mathématique (PM)

L’article R 331-3 du Code des Assurances définit la provision mathématique comme la différenceentre la valeur actuelle des engagements futurs de l’assureur à l’instant t et la valeur actuelledes engagements futurs à l’instant t de l’assuré.Réglementairement, elle se calcule d’une manière prospective. Dans le cas d’un contrat épargne,il s’agit de l’épargne de l’assuré capitalisée à l’instant t à un taux supérieur ou égal au tauxminimum garanti.La PM augmente avec les primes versées par l’assuré ainsi que la revalorisation promise parl’assureur et diminue avec les prestations (rachats et décès) et les frais.

PMt+1 = PMt×(1+TauxITt+TauxPBt)+Primest−Rachatt−Décèst−Fraist−PrélèvementsSociauxt

Le taux TauxITt constitue le taux technique de revalorisation garanti par le contrat, alors quele taux TauxPBt représente la partie discrétionnaire rajoutée pour des raisons managarielles.

Provision pour Participation aux Excédents (PPE)

L’assureur est tenu de redistribuer une partie de ses bénéfices aux assurés. Cependant, il n’estpas obligé de la verser immédiatement et peut donc la provisionner dans le cadre de la PPE etla verser ultérieurement.Néanmoins, la loi oblige l’assureur à verser au moins 85% de son résultat financier et 90% deson résultat technique.C’est cette obligation qui permet à un assuré de bénéficier d’un taux de revalorisation de sonépargne supérieur au taux minimum garanti.

62

Réserve de Capitalisation (RC)

Cette provision est destinée à lisser les résultats financiers des placements obligataires à tauxfixe en cas de variation des taux. Les plus-values réalisées en cas de cession d’obligations luisont affectées. Les moins-values réalisées lui sont reprises.Cette provision a la particularité d’appartenir à l’assureur et elle est donc comptabilisée parmiles fonds propres de la compagnie.

En outre, nous n’avons pas modélisé toutes les provisions possibles que peut constituer une com-pagnie d’assurance vie dans son bilan (Provision pour Dépréciation Durable (PDD), Provisionpour risque d’exigibilité (PRE), Provision pour Aléa Financier (PAF), . . . ) afin d’assurer sasolvabilité. Toutefois, la compagnie doit justifier chaque provision constituée au régulateur carles provisions ont tendance à baisser le résultat de la compagnie d’assurance et ainsi diminuerles impôts à payer à l’état.

4.2 Modélisation de l’actifLe portefeuille d’actif de la compagnie fictive est composé de trois types de placements :

Obligations, actions et cashs (monétaire). Notre projection nécessite l’établissement du bilanéconomique, en valeur de marché, et du bilan comptable, en valeur d’acquisition.

4.2.1 Obligations

C’est le placement classique qui vient adosser les engagements issus des contrats en euros.Notre portefeuille obligataire n’est constitué que de 7 OAT de maturité 10 ans et ne comprenddonc pas de risque de spread car ces OAT sont des obligations d’état d’un pays membre del’Union Européenne. Les obligations sont des produits de taux dans le sens où leurs prix sontdéterminés grâce à la courbe des taux ZC déduite de la diffusion des taux d’intérêt dans notregénérateur de scénarios.La valeur comptable et la valeur économique se calculent différemment pour ce type de place-ment.

La valeur nette comptable à la date t pour une obligation de maturité T est donnée par cetteformule :

Vnc =T∑

i=t+1

Ci(1 +RTRI)i

+ N

(1 +RTRI)T

La valeur de marché à la date t pour une obligation de maturité T est donnée par cette formule :

Vm =T∑

i=t+1

Ci(1 +R(t, i))i + N

(1 +R(t, T ))T

Où :

— N : le nominal

63

— Ci : Le taux de coupon à la date t = i

— Vnc : La valeur nette comptable— Vm : La valeur de marché— T : La maturité— RTRI : Le taux de rendement actuariel 2

— R(t, i) : la courbe des taux ZC à l’instant t déterminée grâce à notre diffusion des tauxdans le générateur de scénarios.

Le tableau ci-dessous présente les caractéristiques des sept obligations dont nous disposons dansle portefeuille d’actifs au 31/12/2016.

Figure 4.4 – Portefeuille obligataire de la compagnie au 31/12/2016

4.2.2 Actions

Dans notre modélisation, tout le portefeuille d’actions est constitué de l’indice CAC40. Savaleur de marché est donnée directement par le générateur de scénarios économique et sa valeurcomptable est égale à sa valeur d’achat modulo les ventes ou/et les achats effectués sur les plusou moins-values réalisées.

4.2.3 Monétaire

Cette partie d’actif concerne la cash investi par l’assureur à court terme ne présentant pasde risque de défaillance comme les billets de trésorerie ou les certificats de dépôts. Sa rentabilitéest indexée sur le taux court dont la valeur provient du générateur des scénarios. Avec un pasde temps de discrétisation égal à 1 an, la valeur de marché de cet actif est la même que savaleur nette comptable.

4.3 Bilan à t = 0Au 31 décembre 2016, la compagnie d’assurance simulée admet les bilans économique et

comptable suivants :

2. Le taux de rendement actuariel est le taux d’actualisation qui égalise la valeur actuelle nette à la valeurde marché à t.

64

Actif 1 277 307 554 € Passif 1 277 307 554 €Obligations 1 085 711 421 € PM 1 155 934 438 €Actions 127 730 755 € PPE 23 118 688 €

Monétaire 63 865 377 € RC 5 779 672 €Actifs libres 92 474 755 €

Table 4.3 – Bilan comptable de la compagnie fictive au 31/12/2016

Actif 1 401 303 982 €Obligations 1 189 270 928 €Actions 148 167 676 €

Monétaire 63 865 377 €

Table 4.4 – Valeur de marché de l’actif de la compagnie fictive au 31/12/2016

Notre modèle ALM nous permettra d’établir le bilan S2 de la compagnie simulée. Dans notremodélisation, nous nous contentons du Best Estimate pour calculer les provisions techniquesde la compagnie. La marge du risque n’est pas calculée par souci de simplification et est doncsupposée nulle.

4.4 Interaction actif/passifLa projection du bilan économique durant les 50 exercices comptables fait intervenir une

dépendance entre l’actif et le passif notamment dans la détermination de la revalorisation desprovisions mathématiques et la provision pour participation aux excédents. Aux obligationsréglementaires s’ajoutent les décisions du management qui imposent diverses contraintes d’al-location d’actif et une politique de taux servis dans le cadre du respect de la réglementation.

Le schéma ci-dessous présente les différentes interaction actif-passif dans le cadre de notremodélisation.

65

Figure 4.5 – Le mécanisme d’interaction actif-passif de la compagnie fictive

4.4.1 Produits financiers (PF)

A la fin de chaque exercice comptable, les produits financiers sont établis :

Résultat FinancierSomme des coupons

10% des plus-values latentes réalisées sur les actionles plus-values latentes réalisées sur le cash

frais de placements

Table 4.5 – Les flux intervenants dans le résultat financier

Ces produits financiers sont partagés entre les actionnaires et les assurés selon une clé derépartition. En effet, durant la projection, nous ne faisons pas la différence entre les actifsalloués aux fonds de propres et aux autres provisions. Les parts des produits financiers sontcalculés sur la base du bilan à t – 1.

PartAssurést = (PMt−1 + PPEt−1)/Passift−1

PartActionnairest = 1− PartAssurést

66

4.4.2 Revalorisation des PM

La revalorisation des PM fait partie des décisions du management. Cette revalorisation doitrespecter les contraintes réglementaires (TMG+PB) et est souvent influencée par les taux servispar les concurrents. Le management définit ainsi une revalorisation cible des PM contenant deuxcomposantes : la revalorisation réglementaire et la revalorisation discrétionnaire.

PM ciblet = PM regl

t + PMdisct

Revalorisation réglementaire

La revalorisation réglementaire est la revalorisation garantie contractuellement. Cette revalo-risation dépend de deux paramètres : le TMG et la PB contractuelle. Elle est donc calculédifféremment pour chaque model point.

PM reglt+1 = PMt ×max(TMG;PBcontrat)

Nous définissons alors Tregl = max(TMG;PBcontrat).

Revalorisation cible

Pour des raisons commerciales, le management définit une politique de participation aux bé-néfices afin de maintenir la compétitivité de la compagnie vis-à-vis de ses concurrents. Dansnotre modèle ALM, un taux de la concurrence est modélisé. Ce taux est la moyenne des tauxdes obligations OAT 10 ans sur les 5 dernières années. Pour calculer le taux OAT 10 ans, lesobligations sont supposées cotées au pair. La revalorisation cible de la PM est donc :

PM ciblet+1 = PMt ×max(Tregl;Tconc)

Par conséquent, l’intervention du management se fait sur la partie discrétionnaire qui se déduitcomme :

PMdisct+1 = PMt ×max(Tconc − Tregl; 0)

Prélèvement

La revalorisation cible souhaitée dépend des produits financiers de la compagnie. Chaque partiede cette revalorisation (réglementaire ou discrétionnaire) est prélevée de façon différente.

Pour assurer la partie PMregl de la PMcible , le prélèvement se fait sur les sources suivantesdans l’ordre avec arrêt de prélèvement dès que la contrainte contractuelle est satisfaite :— Produits financiers (PF) : part assuré— Produits financiers (PF) : part actionnaires— Plus-value latente sur les actions restante

Si nous ne pouvons pas satisfaire la contrainte réglementaire, la compagnie enregistre une pertesur l’année en question.

Dans le cas où cette contrainte est satisfaite, nous cherchons à satisfaire la partie rajoutéepar le management PMdisc de la PMcible en prélevant sur les sources dans l’ordre. Commeprécédemment, nous nous arrêtons dès l’atteinte de la revalorisation cible.

67

— Produits financiers (PF) : part assuré restante— De 10% à 90% de la PPE 3 réalisée jusqu’à t− 1— Plus-value des actions restante— Produits financiers (PF) : part actionnaires

Si la part assuré des PF et plus-value latente sur les actions n’ont pas été épuisées durant ceprocessus, elles sont versées à la PPE.

Notons que la condition du versement de la participation aux bénéfices réalisée dans un horizonde 8 ans n’est pas vérifiée dans le cadre de notre modélisation.

Figure 4.6 – Politique de taux servi et établissement de la PPE

4.4.3 Réallocation d’actifs

Une fois les étapes de vieillissement d’actif et de passif réalisées ainsi que les étapes de reva-lorisation, nous procèdons à une étape de réallocation d’actif. Tout au long de la projection,le modèle ALM doit assurer à chaque fin d’exercice comptable une allocation d’actif selon unerépartition fixe en valeur de marché correspondant à celle des actifs au 31/12/2016.

Figure 4.7 – Structure de l’allocation d’actifs cible

Notre politique d’achat et de vente est soumise à plusieurs conditions :— Achat : Nous achetons uniquement des obligations OAT de maturité 10 ans dont l’année

d’émission est la même que l’année comptable.

3. La réglementation impose de verser la PB réalisée dans un horizon de 8 ans, cette condition n’est pasmodélisée dans modèle ALM par souci de simplification.

68

— Vente : Nous appliquons le principe du FIFO 4 dans la vente des obligations et ainsi nousprivilégions la vente des obligations de courtes échéances.

Cette réallocation s’accompagne de la réalisation de plus ou moins-value latente sur nos actifs.Les plus-values latentes sont partagées entre assurés et actionnaires selon la clé de répartitionprécédemment établie. La part assuré vient alimenter encore la PPE. Par ailleurs, les moins-values viennent baisser le part actionnaires des produits financiers.

L’allocation d’actifs dans notre modèle est fixe dans le temps alors qu’elle devrait être dyna-mique dépendante de la situation des marchés financiers. En réalité, l’allocation d’actifs doitrépondre à un critère de performance qui intègre rendement et risque. L’allocation d’actifs d’unecompagnie d’assurance vie est un sujet d’actualité surtout avec le contexte actuel des taux baset peut donc faire l’objet d’un mémoire d’actuariat en entier.

4.5 Calcul du Best EstimateLe montant best estimate (BE) retenu est une moyenne sur toutes les trajectoires de pro-

jections des flux actualisés de la compagnie. Chaque trajectoire de projection est déduite desréalisations aléatoires des facteurs de risque que l’on déterminera dans la partie suivante. Ainsi,le BE est une espérance d’une variable aléatoire.

Dans notre modèle ALM, les flux impliqués dans le caclul du BE sont : les prestations décèset rachat, les prélèvements sociaux et les frais tout au long de la projection. Ces flux serontprojetés sur 50 ans, l’horizon de projection correspond rarement à la durée nécessaire pourliquider l’ensemble d’engagements. Des éléments résiduels (Stocks de provisions, plus ou moins-values latentes,...) peuvent donc subsister à la fin de projection.Une approche répandue sur le marché est d’attribuer les stocks de fin entre le BE et la réservede réconciliation 5 (i.e entre assurés et assureur) selon des règles prédéfinies. Dans le cas deprojections stochastiques, il convient de traiter les éléments résiduels dans chaque scénario,d’actualiser les résultats puis de calculer leur moyenne.Le tableau suivant propose le traitement des éléments résiduels dans le cadre de notre modéli-sation [Groupe de travail(2016)] :

4. FIFO : acronyme anglais désignant la méthode du premier entré, premier sorti5. La réserve de réconciliation est un élément des fonds propres de base.

69

Éléments résiduels Traitement en fin de projectionPM La valeur résiduelle des provisions en fin de projection

est intégrée dans le BE de la dernière année de projectionpour refléter l’obligation restante de l’assureur vis-à-visdes assurés.

Plus ou moins-values latentes Les plus ou moins-values latentes sur les actions fontl’objet d’un partage entre assurés (BE) et actionnaires(réserve de réconciliation). Les plus ou moins-values la-tentes sur les obligations sont affectées directement auxactionnaires.

Réserve de capitalisation La valeur de la réserve de capitalisation de fin de périodeest enregistrée dans la réserve de réconciliation et revientdonc aux actionnaires.

PPE Une approche simple consiste à affecter la valeur actuellede la participation aux bénéfices résiduelle au BE.

Table 4.6 – Traitement des éléments résiduels en fin de projection

4.6 Validation du modèle ALM

4.6.1 Paramètres du modèle ALM

Les deux paramètres principaux du modèle ALM sont le nombre de trajectoires (en monderisque neutre) et la durée de projection. Ces paramètres sont décisifs vis-à-vis à la qualité desrésultats des grandeurs économiques qu’on cherche à estimer notamment le BE et par la suitele SCR.

L’analyse de la convergence du montant BE en fonction du nombre de trajectoires du scénariocentrale (appelé aussi scénario Best Estimate) permet de déterminer le nombre de trajectoires.

Figure 4.8 – Le montant du BE en fonction du nombre de trajectoires

Le graphe montre que le montant du BE devient stable à partir de 500 trajectoires. Il est égal à1 344 millions d’euros présentant un écart de 0,03% par rapport au montant calculé avec 10 000itérations. L’écart type calculé à la 500e est faible, il est de 18 millions d’euros ce qui représente1,34% du montant du BE. On retient ainsi un nombre de 500 de trajectoires en monde risque

70

neutre. Suite au calcul du BE, on déduit le bilan S2 de la compagnie :

Actif 1 401 303 982 € Passif 1 401 303 982 €Obligations 1 189 270 928 € Fonds Propres éco. 57 203 220 €Actions 148 167 676 € Best Estimate 1 344 100 762 €Monétaire 63 865 377 €

Table 4.7 – Bilan S2 de la compagnie fictive au 31/12/2016

L’écoulement de la PM est notre indicateur concernant le nombre de d’année de projection.De façon générale, les contrats d’épargne sont des contrats à duration élevée. Les compagniesd’assurance françaises ont mis en place des modèles ALM dont la durée est de 30 à 60 ans afinde pouvoir épuiser totalement la PM avant la fin de la projection.Nous choisissons une durée de 50 ans et on trace le graphe illustrant l’écoulement de la PMrésiduelle (la moyenne sur toutes les trajectoires en monde risque neutre) en fonction de l’annéede projection selon le scénario BE.

Figure 4.9 – Ecoulement de la PM au cours de la projection

Le graphe montre que l’on a PM49PM0

= 0, 28%. Ainsi la PM est quasiment épuisée avant la fin dela projection et nous conservons donc 50 ans comme durée de projection.

4.6.2 Test de fuite

Les tests de fuite sont effectués afin de s’assurer que le modèle ALM ne comporte aucuneanomalie d’implémentation. Ces tests permettent de vérifier que le modèle implémenté intègrebien tous les flux de la compagnie générés à partir de ses actifs et passifs présents au bilan à ladate t = 0.

Il s’agit donc de vérifier l’égalité :

VMactift=0 = EQ

∑t≥0

δtFt

Où :

71

— Ft : la somme des flux payés par l’entreprises (aux assurés et aux actionnaires)— δ = exp(

∫ t1 −r(u)du) avec r le taux sans risque utilisé dans l’actualisation des flux du BE.

Figure 4.10 – Réponse du modèle ALM au test de fuite

A la 500e itération, l’écart est de 0.86%. Cet écart n’excède pas à 1% et donc considéré commesatisfaisant.

72

CHAPITRE 5

Curve Fitting : Approche et méthodologie

L’implémentation du modèle ALM et du GSE nous permet de valoriser les fonds propreséconomiques de la compagnie. Parmi les méthodes possibles, nous avons sélectionné le CurveFitting. Dans cette partie, nous revenons sur cette approche afin d’expliciter la méthodologiequi sera suivie dans la mise en place.

Le Curve Fitting consiste à calculer la valeur des fonds propres économiques qui correspondent àplusieurs scénarios de stress (bien choisis) sur les facteurs de risque du portefeuille, puis, grâce àune fonction d’interpolation, à ajuster une courbe aux résultats obtenus. La courbe ajustée obte-nue permet d’approcher la distribution complète des fonds propres de la compagnie d’assurance.

Dans ce mémoire, nous cherchons à estimer la distribution des fonds propres économiques àt =1 grâce à une fonction d’interpolation. Ceci nécessite donc une projection des facteurs derisque précédemment sélectionnés en monde réel suivi d’une projection en monde risque neutrede t =1 à t = 50. Par la suite, l’outil de projection du bilan économique permet de calculer lesfonds propres à t = 1.

Pour ce faire, on définit quelques notions intermédiaires pour arriver à constituer la fonctiond’interpolation finale qui est le proxy permettant de simuler la distribution des propres écono-miques.

5.1 Fonction de perte, Excédent de perteLa détermination de la fonction d’interpolation repose sur l’ajustement des fonctions de

perte et des excédents de perte selon les réalisations des facteurs de risque.

Fonction de perte (LF) :

Cette fonction associe à chaque état des facteurs de risque, la variation des capitaux propreséconomiques de la compagnie par rapport à une situation centrale, celle du scénario « BestEstimate ». Cette fonction, notée LF, est exprimée par cette formule :

LF (choc1, choc2, .., chocn) = FPt=1(0, 0, ..., 0)− FPt=1(choc1, choc2, .., chocn)

Où :— FPt=1(0, 0, ..., 0) : le montant des fonds propres économiques de la compagnie à t = 1

correspondant au scénario « Best Estimate ».— n : le nombre de facteur de risque.

73

— choci : variation de la valeur du facteur de risque i par rapport à celle du scénario BestEstimate.

Suivant le nombre de facteurs de risque variant par rapport au scénario central, un termespécifique est accordé au choc étudié comme suit :— Un choc d’un seul facteur de risque est un choc « stand-alone ».— Un choc de deux facteurs est un choc « pair-wise ».— Un choc de N facteurs est un choc « N-wise » (N>2).

Par la suite, une fonction de perte résultant d’un choc stand-alone sera appelée à son tourfonction de perte stand-alone et ainsi de suite.On utilise les notations suivantes :— LFi(choci) = LF (0, .., choci, .., 0) pour un choc stand-alone issu d’un choc du facteur i de

valeur de choci.— LFi,j(choci, chocj) = LF (0, .., choci, ..., chocj, ..., 0) pour un choc pair-wise issu d’un choc

simultané du facteur i de valeur choci et du facteur j de valeur chocj.

Excédent de perte (ES) :

Cette fonction reflète l’impact de l’interaction entre les facteurs de risque sur la variation desfonds propres économiques de la compagnie. En effet, elle sert à valoriser la contribution croiséedes risques. Par conséquent, elle permet de raffiner l’approximation par rapport aux approchessupposant la linéarité des facteurs de risque comme de la formule standard .On définit la fonction excédent de perte (notée ES) issue de la réalisation de n facteurs derisques par rapport au scénario central comme suit :— Si n = 1, alors ESi(choci) = LFi(choci)— Si n ≥ 1, alors

ES1,...,n(choc1, ..., chocn) = LFi,...,n(choc1, ..., chocj)−∑

c∈P{CHOC}Card{c}≤n

ES(c)

Où :— CHOC = {choc1, ...., chocn}— P (CHOC) : l’ensemble des partitions de CHOC— Card {c} : le nombre de chocs (éléments) dans l’ensemble c

En particulier pour un choc « pair-wise », l’excédent de perte s’écrit comme suit :

ESi,j(choci, chocj) = LFi,j(choci, chocj)− LFi(choci)− LFj(chocj)

Une propriété que nous pouvons tirer de la définition de l’excédent de perte est que ce dernierest nul quand l’un des facteurs de risque admet un choc nul. Cette propriété peut être démon-trée par une récurrence forte sur n, le nombre de facteurs de risque.

74

Fonction de perte globale :

Grâce à la définition précédente, nous déduisons l’expression de la fonction de perte globale :

LF (choc1, choc2, .., chocn) = LF1,...,n(choc1, choc2, .., chocn) = ∑c∈P (CHOC) ES(c))

Cette fonction inclut donc toutes les contributions marginales des facteurs de risque ainsi queleurs contributions croisées possibles. Compte tenu de l’enchainement entre les différentes no-tions décrites ci-dessus, l’étape du calibrage de la fonction de perte globale revient au calibragedes fonctions excédents de perte.

Par simplification, nous nous contenterons, dans notre implémentation, du calibrage des fonc-tions de perte marginales (chocs stand-alone) et des excédents de perte de niveau 2 (chocspair-wise). Ceci implique que les contributions croisées n’incluront que les contributions descouples de facteurs de risque. Cette limitation dans la modélisation sera analysée à la fin de lamise en place du Curve Fitting en fonction de l’écart entre les résultats du Curve Fitting etceux des SdS.

5.2 Critères de choix des scénarios de calibrageTous les jugements et les choix faits dans cette partie sont valables pour le portefeuille de

la compagnie fictive simulée et les lois de probabilité des facteurs de risque sélectionnés.L’approche développée dans cette section pourrait être un point de départ à une généralisationpour toute compagnie d’assurance.

5.2.1 Fonctions de perte (Chocs « stand-alone »)

Nombre de scénarios de calibrage :

Afin de déterminer le nombre de scénarios de calibrage, nous décidons de recourir à la significa-tivité de la variation des fonds propres économiques relativement à un choc correspondant auquantile 99,5% de la distribution du facteur de risque. A noter que dans le cadre de l’ORSA, ilpeut être amené à changer.

Les facteurs de risque retenus pour le curve fitting sont :1 - Action2 - Volatilité implicite3 - Niveau (Taux)4 - Pentification (Taux)5 - Rachat

Le principal but du Curve Fitting étant de réduire le nombre de scénarios primaires, le nombrede scénarios de calibrage doit être faible. Nous limitons le nombre de scénarios maximal à 8scénarios pour chaque facteur de risque. En effet, ayant 5 facteurs de risque retenus, le nombremaximal des scénarios de calibrage des fonctions de perte est de 40 scénarios. Cependant, laréduction du nombre de scénarios de calibrage ne doit pas dégrader la qualité de l’interpolation.La réduction à 40 scénarios de calibrage sera jugée suivant la précision des fonctions d’interpo-lation à l’issue du Curve Fitting.

75

On définit la grandeur « significativité » qui peut prendre trois valeurs selon la valeur du rap-port :

|LFi(choc

q1/200i )

F P BEt=1

|

Le calcul de ce rapport pour un facteur de risque nécessite, en plus de la valeur des fonds propreséconomiques à t = 1 au scénario BE, de procéder à ces étapes dans l’ordre :— Établir la distribution du facteur de risque à t = 1.— Récupérer la valeur du facteur correspondant au quantile 1/200.— Obtenir les 500 trajectoires risque-neutres, grâce au GSE, constituant le scénario chocq1/200 .— Lancer le modèle ALM afin de récupérer la valeur des fonds propres économiques à t = 1

en ce scénario.Une fois ce rapport calculé, nous nous référons au tableau suivant afin de déterminer la valeurde la significativité.

Significativité Variation relative

1 | LFi(chocq1/200i )

FPBEt=1

|≥ 20%

2 5% ≤| LFi(chocq1/200i )

FPBEt=1

|≤ 20%

3 | LFi(chocq1/200i )

FPBEt=1

|≤ 5%

Table 5.1 – Détermination des niveaux de la significativité des chocs standalone

Les seuils présents dans le tableau ci-dessus ont été définis suite à quelques tests sur les fonctionsde perte standalone de la compagnie. Ils peuvent varier d’une compagnie à une autre selon leprofil de risque et les exigences actuarielles en matière de précision.

76

Figure 5.1 – Détermination des scénarios de calibrage pour les fonctions de perte

Choix de scénarios de calibrage :

Une fois la grandeur significativité déterminée, Nous nous référons au tableau suivant pouridentifier les scénarios de chocs à appliquer au bilan économique.

Significativité Scénarios correspondant aux quantiles1 8 scénarios : quantiles : 1/200, 1/50, 1/10, 1/4, 3/4, 9/10, 49/50, 199/200.2 6 scénarios : quantiles : 1/200, 1/10, 1/4, 3/4, 9/10, 199/200.3 4 scénarios : quantiles : 1/200, 1/4, 3/4, 199/200.

Table 5.2 – Tableau de correspondance entre la significativité des fonctions de perte standaloneet les scénarios de calibrage

L’intérêt derrière ce choix de quantiles est de parcourir uniformément l’espace des valeurs pos-sibles des facteurs de risque, tout en privilégiant les valeurs dont la probabilité de réalisation estsignificative au regard du calcul du SCR. En effet, la fonction d’interpolation prend en antécé-dents les valeurs prises par un facteur de risque et non pas les quantiles de sa distribution. Parconséquent, une répartition uniforme des points de calibrage dans l’ensemble des valeurs pos-sibles que peut prendre le facteur de risque améliore la qualité de l’interpolation des fonctionsde perte étant donné que notre interpolation sera faite sur les valeurs des chocs des facteurs derisque et non pas sur les quantiles.

77

5.2.2 Excédents de perte (Chocs « pair-wise » et « N-wise »)

Soit n le nombre de facteurs de risque pouvant se produire simultanément.

Nombre de scénarios de calibrage :

Pour simplifier l’étude, nous décidons de partager l’espace des valeurs possibles des chocs résul-tant des n facteurs de risque en plusieurs parties selon le signe des chocs. On utilise le symbole+1 pour un signe strictement positif et −1 pour un signe strictement négatif.Par exemple pour n = 2 avec les facteurs de risque i et j, 4 parties de l’espace R2 (l’espace desvaleurs possibles) se présentent : (+1; +1), (−1; +1), (+1;−1), (−1;−1).De façon générale, pour n facteurs de risque on obtient 2n parties possibles.

Par ailleurs, sur les frontières de ces parties, c’est-à-dire quand le choc de l’un des facteurs derisque est nul, l’excédent de perte est nul.

Afin déterminer les scénarios à appliquer dans chaque partie de l’espace, nous traitons le cas dela partie de l’espace (+1i,−1j) pour un choc « pair-wise » qui va être généralisé par la suite.

La partie de l’espace (+1i,−1j) est la partie hachurée dans cette figure.

Figure 5.2 – La partie du plan correspondant au (+1i,−1j)

La valeur correspondante au quantile 199/200 du facteur de risque i et la valeur correspon-dante au quantile 1/200 du facteur de risque j sont incluses dans cette partie de l’espace. Enappliquant le choc simultané (chocq199/200

i , chocq1/200j ) au bilan économique de la compagnie, on

calcule le rapport suivant :

| ESi,j(chocq199/200i ,choc

q1/200j )

LFi,j(chocq199/200i ,choc

q1/200j )

|

Le calcul de ce rapport est fait en suivant ces instructions :— Établir les distributions des facteurs de risque i et j à t = 1.— Récupérer la valeur du facteur i correspondant au quantile 199/200 et la valeur du facteur

j correpondant au quantile 1/200.— Obtenir les 500 trajectoires risque-neutres, grâce au GSE, constituant le scénario

(chocq199/200i , choc

q1/200j ).

78

— Lancer le modèle ALM afin de récupérer la valeur des fonds propres économiques à t = 1en ce scénario.

Une fois calculé, le rapport nous permet de déduire la valeur de la significativité pour les chocspairwises :

Significativité Variation relative

1 | ESi,j(chocq199/200i ,choc

q1/200j )

LFi,j(chocq199/200i ,choc

q1/200j )

|≥ 20%

2 | ESi,j(chocq199/200i ,choc

q1/200j )

LFi,j(chocq199/200i ,choc

q1/200j )

|≤ 20%

Table 5.3 – Détermination des niveaux de la significativité des chocs pairwise

Les seuils présents dans le tableau ci-dessus ont été établies grâce à quelques tests sur les fonc-tions excédents de perte et peuvent être ajustés à la fin de la mise en place du Curve Fittingen fonction de la qualité des résultas en matière de précision.

Choix de scénarios de calibrage :

Une fois la grandeur significativité déterminée, Nous nous référons au tableau suivant pouridentifier les scénarios de chocs à appliquer au bilan économique.

Significativité Scénarios correspondant aux quantiles1 4 scénarios : (199/200; 1/200), (9/10; 1/10), (199/200; 1/10), (9/10, 1/200).2 2 scénarios : (199/200; 1/200), (9/10; 1/10).

Table 5.4 – Tableau de correspondance entre la significativité des fonctions excédents de pertepairwise et les scénarios de calibrage

Pour n facteurs de risque où n ≥ 2, dans chaque partie de l’espace de valeur étudiée, chaquefacteur de risque admet soit une valeur correspondant au quantile 1/200 soit une valeur corres-pondant au quantile 199/200. La clé du tableau est donc toujours calculable.

De façon générale, le nombre de scénarios de calibrage de la fonction d’interpolation doit croîtreavec la significativité du rapport calculé. Par ailleurs, nous cherchons toujours à bien répartirles quantiles des scénarios dans la partie de l’espace concernée. C’est ainsi, que l’on pourragénéraliser notre raisonnement.

5.3 Splines candidates à l’interpolationComme dans la partie précédente, nous faisons la distinction entre les fonctions de perte et

les excédents de perte.

5.3.1 Fonctions de perte (Chocs « stand-alone »)

Pour ce type de choc, nous retenons la spline cubique avec des conditions naturelles.

79

La spline interpolant la fonction de perte aura donc cette forme :

L̃F (x) =

α x si x ∈]−∞, x1]∑n−1i=1

∑3j=1 βi,j x

j 1x∈[xi,xi+1], si x ∈ [x1, xn]γ x si x ∈ [xn,+∞[

Où :— n : Le nombre de points d’interpolation— (x1, . . . , xn) : les points de chocs de sélectionnés pour le calibrage— α, βi,j, γ : Les coefficients de la spline cubique.

5.3.2 Excédents de perte (Chocs « pair-wise » et « N-wise »)

Par souci de simplification, nous nous intéressons uniquement au cas des chocs pair-wise.Cependant, comme dans les parties précédentes, le raisonnement peut être étendu aux chocsN-wise.

Le nombre de points dans ce cas est réduit à 4 ou 2. Ainsi, la méthode du spline bicubique(l’extension de l’approche du spline cubique à un espace de deux dimensions) n’est pas appli-cable car cette interpolation nécessite un plus grand nombre de points.

Afin de faciliter l’implémentation, nous nous contentons d’une spline bilinéaire et une extrapo-lation dont les valeurs sont constantes et égales aux valeurs prises par la fonction aux extrémitésde la zone interpolée.

La spline bilinéaire consiste à utiliser un polynôme à deux variables qui qui attribue à chaquearête d’un carré élémentaire la valeur exacte de la fonction. Sur chaque cellule élémentaireformée par les points de calibrage (xi; yj), (xi; yj+1), (xi+1; yj+1), (xi+1; yj), la spline bilinéaired’interpolation aura cette forme :

P (x, y) = αxy + βx+ γy + δ

5.4 Validation des fonctions d’interpolationLe processus de validation des fonctions de perte et des excédents de perte interpolés sert

à vérifier que les estimations faites à l’aide de la méthode du Curve Fitting ne sont pas tropéloignées des estimations obtenues par la méthode SdS. La méthode SdS, étant intuitivementla plus adaptée, est notre point de repère dans le processus validation des fonctions interpolées.

Pour ce faire, nous nous plaçons dans le cadre des chocs stand-alone et des chocs pair-wise.Pour cela, il faut d’abord choisir des scénarios qui n’ont pas été intégrés dans le processus decalibrage, ensuite calculer les fonds propres économiques associés à ces scénarios grâce à la mé-thode des simulations dans les simulations et enfin évaluer les fonctions de perte en ces scénarioschoisis et quantifier les écarts observés selon plusieurs mesures de précision.

80

Le choix des scénarios de validation repose sur la même motivation que les scénarios de cali-brage : favoriser une répartition uniforme de ces scénarios dans l’espace des valeurs possiblesdes facteurs de risque et privilégier des quantiles proches aux quantiles significatifs.

Par conséquent, nous proposons les scénarios de validation suivants :

5 Scénarios : quantiles : 1/100, 1/5, 1/2, 4/5, 99/100

Table 5.5 – Scénarios de validation des fonctions de perte

Partie du plan Scénarios de validation(+1; +1) 2 scénarios : quantiles : (99/100; 99/100), (8/10; 8/10)(+1;−1) 2 scénarios : quantiles : (99/100; 1/100), (8/10; 2/10)(−1; +1) 2 scénarios : quantiles : (1/100; 99/100), (1/10; 8/10)(−1;−1) 2 scénarios : quantiles : (1/100; 1/100), (1/10; 2/10)

Table 5.6 – Scénarios de validation des excédents de perte dans le cas d’un choc « pair-wise »

Parmi les mesures de précision connues dans la littérature, nous choisissons trois mesures afind’élaborer nos tests de validation :— L’Ecart Absolu Moyen (EAM) : c’est la moyenne arithmétique des valeurs absolues

des erreurs d’interpolation.

EAM = 1n

∑ni=1 |yi − f̃(xi)|

— L’Ecart Quadratique Moyen (EQM) : c’est la racine carrée de la moyenne arithmé-tique des carrés des erreurs d’interpolation.

EQM =√

1n

∑ni=1(yi − f̃(xi))2

— L’Ecart Maximal (EM) : c’est le maximum des valeurs absolues des erreurs d’interpo-lation.

EM = maxi∈{1,...,n}

|yi − f̃(xi)|

Où :— f̃ : la fonction d’interpolation— n : le nombre de scénarios de validation— xi : le choc des facteurs de risque au scénario i— yi : la valeur des fonds propres au scénarios i donnée par la méthode des SdS

81

Toutes ces mesures de précision sont indifférentes au signe de l’écart, ainsi elles donnent lamême information pour une surestimation ou une sous-estimation de la même valeur absolue.

Par ailleurs, la mesure EM a été choisie afin de capter le plus grand écart alors que l’EAMnous fournit une valeur moyennée de l’écart global de l’interpolation. Afin de donner un poidsrelativement élevé aux grands écarts, nous avons intégré l’EQM parmi les mesures de validation.

Nous établissons dans le tableau suivant des seuils de test afin de valider les fonctions d’inter-polation :

Mesure de précision Fonctions de perte Excédents de perteEAM 2%× FPBE

t=1 4%× FPBEt=1

EQM 2%× FPBEt=1 4%× FPBE

t=1EM 5%× FPBE

t=1 10%× FPBEt=1

Table 5.7 – Seuils des tests de validation

Le choix des seuils a été fait afin d’obtenir des écarts non significatifs entre les fonds propresissus de la méthode Curve Fitting et ceux de la méthode SdS. A ce stade d’avancement, nousne pouvons pas juger de la pertinence des niveaux des seuils choisis. En effet, à la suite de lamise en place du Curve Fitting, nous revenons sur ce choix en fonction de la précision de notrerésultats.Les niveaux des seuils de validation des excédents de perte pair-wise sont supérieurs à ceuxdes fonctions de perte stand-alone. Ceci est dû au choix de l’interpolation. En effet, nous nousattendons à une meilleure précision par interpolation par spline cubique (cas des fonctions stand-alone) que par interpolation bilinéaire (cas des excédents de perte pair-wise) comme mentionnédans la présentation de l’interpolation spline. Ainsi, il est tout à fait naturel que nos exigencesen matière de précision soient revues en fonction du type de l’interpolation.Si une fonction interpolée ne répond pas à la totalité des tests, alors nous serons obligés d’inclured’autres scénarios dans le processus de calibrage afin de raffiner la qualité de l’interpolation etparvenir donc à vérifier les tests de validation avec succès.

Une fois l’étape de validation assurée, l’établissement de la fonction de perte globale permet desimuler la distribution des fonds propres économiques de la compagnie.

82

CHAPITRE 6

Curve Fitting : Mise en place

Dans ce chapitre, nous procédons à la mise en œuvre pratique de l’approche curve fittingselon le processus décrit dans le chapitre précédent. Durant cette mise en œuvre, nous nenous contenterons pas de présenter les résultats, mais nous les analyserons afin d’en tirer desconclusions robustes.

6.1 Chocs « stand-alone »A l’issu de la modélisation ALM, nous avons sélectionné 5 facteurs de risque afin de détermi-

ner la distribution des fonds propres économiques de la compagnie d’assurance. L’établissementdes fonctions de perte « stand-alone » exige dans un premier temps le calcul du niveau designificativité de chaque facteur de risque. C’est ainsi que l’on pourra déduire les scénarios àintégrer dans le processus de calibrage.

Nous retrouvons à l’aide du générateur de scénarios économiques les distributions des facteursde risque à t = 1. Nous déterminons ainsi les quantiles 1/200 de ces distributions pour chaquefacteur de risque.Le tableau suivant montre les valeurs du rapport F (chocq1/200)/FPBE

t=1 permettant d’attribuerle niveau de significativité à chaque facteur de risque selon le règles établies dans le chapitreprécédent. A noter que FPBE

t=1 = 91 075 881 €

Facteur de risque chocq1/200 LFi(chocq1/200i )/F P BE

t=1 Niveau de significativitéAction −33, 16% 53, 34% 1

Volatilité Implicite −51, 89% 1, 06% 3Niveau −260, 55% 20, 77% 1

Pentification −1695, 06% 12, 93% 2Rachat −75% 38, 36% 1

Table 6.1 – Calcul des niveaux de significativité

Pour tous les chocs « stand-alone », les résultats de la projection ALM selon les scénarios decalibrage seront importés dans le logiciel R pour assurer l’interpolation cubique. De plus, lareprésentation graphique de la fonction de perte sera faite en fonction du choc du facteur derisque par rapport à sa valeur au scénario BE, c’est à dire LF = f(ChocFR) où :— FR désigne facteur de risque.— ChocFR = FR

FRBE − 1

83

Par conséquent, l’abscisse x = 0 représente le facteur de risque du scénario BE.

6.1.1 Analyse de risque Action

Le facteur de risque Action présente une valeur de significativité égale à 1. Le processusde calibrage repose ainsi sur 8 scénarios correspondant aux quantiles : 1/200, 1/50, 1/10, 1/4,3/4, 9/10, 49/50 et 199/200 répartis sur la distribution de l’indice action (CAC40) comme lemontre la figure suivante.

Figure 6.1 – Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Action

La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la fonction de perte déduite suite àl’interpolation cubique en fonction du facteur action.

84

Figure 6.2 – Fonction de perte au facteur Action

Cette représentation illustre une dépendance négative entre les deux variables. En effet, l’aug-mentation du cours de l’action permet à la compagnie de réaliser des plus-values qui viennentaccroître son résultat (donc la part des actionnaires du résultat) ainsi les fonds propres éco-nomiques de la compagnie augmentent par rapport à ceux du scénario BE. Par conséquent, lafonction de perte diminue en fonction du facteur action.

Le tableau ci-dessous montre les résultats des tests de validation de la fonction de perte inter-polée.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 866 770 0, 95% 2%EQM 1 005 389 1, 11% 2%EM 1 430 285 1, 57% 5%

Table 6.2 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Action

Au regard du tableau précédent, nous remarquons que la fonction d’interpolation vérifie avecune bonne marge les tests de validation en affichant des mesures de précision inférieures auseuil de validation. L’interpolation admet ainsi des performances très satisfaisantes à l’égarddes mesures de précision, montrant ainsi l’efficacité du processus de calibrage.

6.1.2 Analyse de risque Volatilité implicite

Le facteur de risque Volatilité implicite présente une valeur de significativité égale à 3. Leprocessus de calibrage fait intervenir 4 scénarios correspondant aux quantiles : 1/200, 1/4, 3/4et 199/200 comme le montre la figure suivante.

85

Figure 6.3 – Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Volatilitéimplicite

Suite au processus de calibrage de la fonction interpolée, nous traçons la courbe de la fonctionde perte en fonction du choc volatilité implicite.

Figure 6.4 – Fonction de perte au facteur Volatilité implicite

La fonction de perte est légèrement décroissante en fonction de la volatilité jusqu’ à une valeurde 12%, puis elle devient croissante. Afin de pouvoir expliquer ce comportement, nous devonsrevenir au modèle de Black-Scholes implémenté dans notre générateur de scénarios. La volatilitéillustre l’incertitude sur le rendement des actions autour du scénario déterministe (le scénarioavec une volatilité nulle). En effet, dans notre modélisation le rendement d’actions suit une loi

86

normale de moyenne µa et d’écart type σimp. Ainsi, une petite valeur de σimp permet d’avoir unnombre de trajectoires avec des rendements d’action positifs plus élevé que celui avec un σimpplus élevé. Ceci illustre les généralités connues dans les marchés financiers, où il est appréciéd’investir dans des actions ayant une volatilité faible, plutôt qu’investir dans un dépôt à termeou dans des actions ayant une volatilité très élevée.

Le tableau suivant récapitule les performances de la fonction interpolée vis à vis des tests devalidation.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 551 355 0, 61% 2%EQM 787 512 0, 87% 2%EM 1 564 623 1, 72% 5%

Table 6.3 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Volatilitéimplicite

Le tableau des mesures de précision montre que le processus de calibrage a permis d’établir unefonction d’interpolation satisfaisante au regard des seuils de validation.

6.1.3 Analyse de risque Niveau

Le risque Niveau affecte considérablement l’activité de la compagnie d’assurance. Il présenteune valeur de significativité égale à 1. 8 scénarios bien répartis dans l’espace des valeurs de cefacteur sont donc indispensables au processus de calibrage comme le montre la figure suivante.

Figure 6.5 – Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Niveau

Afin d’interpréter la valeur du facteur niveau, nous traçons les courbes ZC correspondant auxdifférents scénarios de calibrage.

87

Figure 6.6 – Les courbes ZC diffusées à t = 1

Nous remarquons que l’augmentation du facteur Niveau signifie une translation vers le basde la courbe des taux et donc une baisse globale du niveau des taux. Par conséquent, noustraçons la fonction de perte en fonction de l’opposé de la valeur du facteur Niveau (c’est-à-direLF (−ChocNiv)) pour pour mieux comprendre l’évolution de la courbe de la fonction de pertecomme le montre la figure qui suit.

Figure 6.7 – Fonction de perte au facteur Niveau

La fonction de perte décroit quand le niveau global des taux augmente. L’analyse d’un tel com-portement nécessite la bonne connaissance des portefeuilles d’actif et de passif de la compagnied’assurance. Le risque niveau agit principalement sur le portefeuille obligataire. Rappelons quele portefeuille obligataire est constitué uniquement d’obligations OAT de maturité 10 ans et

88

que le processus de réallocation n’autorise que le réinvestissement dans des obligations OATde maturité 10 ans, cotées au pair. Le portefeuille d’actif de la compagnie d’assurance simuléeadmet donc une duration plus faible que celle du passif.

Notons ainsi que le processus de réallocation d’actif est déclenché en moyenne 7 années sur 10,le portefeuille initial étant constitué de 7 obligations d’échéances différentes. Cela signifie unrenouvellement très rapide de la composition de notre portefeuille, le portefeuille obligatairechangeant complètement de composition au bout de 10 ans de projection. L’augmentation duniveau global des taux diminue mécaniquement la valeur de marché du portefeuille obligataire.Cependant cet effet est rapidement dilué au cours de la projection à cause du renouvellementdu portefeuille et donc ce mouvement ne permettra pas à la compagnie de réaliser des gains surune longue durée de projection.

Par ailleurs, dans un environnement de taux élevés, la compagnie investit dans des obligationsdont les coupons sont de plus en plus élevés. Ceci provoque une hausse très rapide du couponmoyen du portefeuille, qui devient largement supérieur au taux minimum garanti moyen. Lacompagnie réalise alors des gains tout au long de la projection permettant ainsi une baissede la fonction de perte. De plus, avec l’effet d’actualisation, les engagements de la compagniediminuent permettant donc une situation plus favorable.Cette explication est entièrement en adéquation avec les stratégies d’allocation d’actif pour unecompagnie d’assurance dont la duration de passif excède celle de l’actif anticipant une haussefuture du niveau de la courbe des taux.

Les résultats obtenus pour les tests de validation sont les suivants :

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 621 654 0, 68% 2%EQM 655 644 0, 72% 2%EM 965 197 1, 06% 5%

Table 6.4 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Niveau

Les mesures de précisions affichent des valeurs inférieures des seuils de validation et la fonctionde perte interpolée réussit donc les tests de validation. Par conséquent, le processus de calibrages’avère très rassurant pour la suite de la mise en place du curve fitting.

6.1.4 Analyse de risque Pentification

Le facteur Pentification, qui est la deuxième composante du risque de taux traité dans cemémoire, admet une significativité de valeur égale à 2. Le processus de calibrage de la fonctionde perte fait donc appel à 6 scénarios correspondant aux quantiles : 1/200, 1/10, 1/4, 3/4, 9/10et 199/200.

89

Figure 6.8 – Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Pentification

De même que le facteur Niveau, nous traçons les courbes ZC correspondant aux différents scéna-rios de calibrage afin d’interpréter la valeur du facteur Pentification. En effet, une augmentationdu facteur Pentification signifie une augmentation de la pente globale de la courbe des taux (uneaugmentation de l’écart entre les taux courts et les taux longs). Nous traçons donc directementla fonction de perte en fonction de la valeur du facteur pentification LF (ChocPen).

Figure 6.9 – Les courbes ZC diffusées à t = 1

La fonction de perte obtenue suite à l’étape d’interpolation est représentée sur le graphiquesuivant :

90

Figure 6.10 – Fonction de perte au facteur Pentification

Le graphe montre que la perte en fonds propres économiques de la compagnie augmente avecl’augmentation de la pente de la courbe. Avant toute chose, notons que l’intensité de la baissedes taux sur le court et moyen terme (jusqu’à l’année 18) suite à un choc du facteur pentifica-tion est considérablement plus forte que celle de la hausse des taux sur le long terme.

L’augmentation du facteur Pentification provoque une chute considérable des taux sur le courtet moyen terme. Cet effet contraint les compagnies à investir dans des obligations dont lescoupons sont de niveau nettement plus faible que ceux des obligations arrivant à échéance,entraînant après paiement de prestations, des résultats faibles voire négatifs aux actionnairessur les premières années de projections.

En outre, la hausse du facteur Pentification ne permet pas une hausse significative des tauxà long terme. Par conséquent, le gain espéré grâce aux réinvestissements sur cette période deprojection ne compense pas la perte réalisée en début de projection, l’actualisation des fluxamortissant d’autant plus l’effet des gains sur les fonds propres économiques.

les résultats obtenus pour l’étape de validation sont les suivants.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 713 387 0, 79% 2%EQM 793 301 0, 87% 2%EM 1 185 968 1, 31% 5%

Table 6.5 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Penti-fication

La fonction d’interpolation déterminée vérifie les tests de validation avec des performances deprécisions importantes. En effet, les résultats de ces tests sont largement en-dessous des seuils devalidation. Par conséquent, la fonction d’interpolation sera retenue pour la suite du processus.

91

6.1.5 Analyse de risque Rachat

Le facteur de risque Rachat est le dernier facteur de risque à étudier. Il présente un niveausignificativité égal à 1. Le processus de calibrage fait donc intervenir de 8 scénarios répartis surla distribution du facteur comme le montre le graphe suivant.

Figure 6.11 – Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Rachat

La fonction de perte en fonction du facteur Rachat obtenue suite à l’étape d’interpolation estreprésenté sur le graphique suivant.

Figure 6.12 – Fonction de perte au facteur Rachat

Le graphe ci-dessus montre que la fonction de perte de la compagnie d’assurance fictive admet

92

un comportement très particulier vis-à-vis du taux de rachat. En effet, la fonction de perteest décroissante avec l’augmentation du rachat montrant ainsi que notre portefeuille inclut descontrats d’épargne non rentables pour la compagnie d’assurance. Le niveau de taux historique-ment bas et l’allocation constante d’actif font que l’activité de la compagnie est non rentable carnous proposons des taux minimum garantis nettement plus élevés que sa performance financière.

Les résultats des tests de validation sont récapitulés dans le tableau ci-dessus.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 787 947 0, 87% 2%EQM 1 041 031 1, 14% 2%EM 2 190 216 2, 40% 5%

Table 6.6 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Penti-fication

Comme le montre le tableau ci-dessus, la fonction d’interpolation présente des mesures précisionsatisfaisantes à l’égard des seuils de validation.

6.2 Chocs « pair-wise »Le processus du curve fitting nécessite le calibrage des excédents de perte pour intégrer les

effets croisés des risques dans l’estimation des fonds propres économiques. Par souci de simpli-fication, nous allons aborder uniquement les chocs pair wise dans cette partie.La formule de la fonction excédent de perte d’un choc pairwise est la suivante :

ESi,j(choci, chocj) = LFi,j(choci, chocj)− LFi(choci)− LFj(chocj)Rappelons une propriété importante de l’excédent de perte : celui-ci est nul quand l’un desfacteurs de risque admet un choc nul.

Ayant 5 facteurs de risques, nous obtenons 10 couples de chocs à appliquer dans le cadre del’étude.Dans le chapitre précédent, nous avons montré que l’impact d’un choc du facteur VolatilitéImplicite sur les fonds propres ne dépassait pas 3, 5% de leur valeur en scénario central. Cettefaible variation nous mène à se contenter du choc croisé (Action, Volatilité Implicite) et ne pasgarder les autres chocs pair-wise possibles avec le facteur Volatilité Implicite. Le nombre decouple restant est de 7.

Nous présentons, de façon détaillée, les processus de calibrage et de validation de 3 chocs pair-wise. Les résultats des 4 chocs restants seront présentés en annexe.

Les processus de calibrage et de validation sont établis par partie de l’espace de valeurs commeprésenté dans le chapitre précédent.

Nous avons choisi de présenter les courbes d’excédent de perte avec des graphiques en deuxdimensions avec un code de couleur uniforme où :

93

— Les valeurs nulles sont présentées par une couleur blanche.— Les valeurs positives sont présentées par une couleur bleu.— Les valeurs négatives sont présentées par une couleur rouge.

6.2.1 Analyse du choc Niveau-Pentification

La détermination du nombre de scénarios à intégrer dans le processus de calibrage estexpliquée par le tableau suivant :

Partie de l’espace | ESi,j(chocqxi ,choc

qyj )

LFi,j(chocqxi ,choc

qyj ) | Significativité Nombre de scénarios

(−1Niv,−1Pen) 52, 61% 1 4(+1Niv,−1Pen) 141, 85% 1 4(+1Niv,+1Pen) 25, 31% 1 4(−1Niv,+1Pen) 71, 65% 1 4

Table 6.7 – Détermination des scénarios de calibrage pour le choc simultané : Niveau-Pentification

La figure suivante illustre la représentation graphique de l’excédent de perte en fonction desfacteurs Niveau et Pentification.

Figure 6.13 – Excédent de perte aux facteurs Niveau et Pentification

La figure ci-dessous montre que les contributions croisées des facteurs Niveau et Pentificationdans la fonction de perte de la compagnie augmentent quand les chocs simultanés des facteursaugmentent.

Pour deux mouvements de même sens des facteurs Niveau et Pentification (hausse simultanéeou baisse simultanée), le choc simultané fait augmenter la perte de la compagnie par rapportà deux chocs stand-alone de ces mêmes facteurs de risque. Cependant, pour deux mouvements

94

de sens contraire de ces facteurs de risque, le choc simultané entraîne une perte moins élevéequ’avec deux chocs stand-alone séparés.

Remarquons aussi que l’effet des contributions croisées de ces risques est quasiment symétriqueautour du scénario central.

En conclusion, nous retenons que la hausse du facteur Niveau (la baisse du niveau global destaux) couplée à la hausse du facteur Pentification (la baisse donc des taux de court et moyenterme) provoque une perte supérieure à celle avec les deux effets séparés.Le tableau suivant récapitule les résultats obtenus suite aux tests de validation de la fonctionexcédent de perte interpolée.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 2 356 758 2, 59% 4%EQM 3 132 648 3, 44% 4%EM 5 864 858 6, 44% 10%

Table 6.8 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte auxfacteurs Niveau et Pentification

La fonction excédent de perte interpolée montre des résultats inférieurs aux seuils de validationet vérifie ainsi les tests de validation. La fonction de perte obtenue est retenue pour la suite ducurve fitting.

6.2.2 Analyse du choc Action-Rachat

Le nombre de scénarios de calibrage permettant d’obtenir la fonction interpolée de l’excé-dent de perte aux facteurs Action et Rachat est donné par le tableau suivant :

Partie de l’espace | ESi,j(chocqxi ,choc

qyj )

LFi,j(chocqxi ,choc

qyj ) | Significativité Nombre de scénarios

(−1Act,−1Rac) 4, 00% 2 2(+1Act,−1Rac) 50, 15% 1 4(+1Act,+1Rac) 19, 40% 2 2(−1Act,+1Pen) 382, 32% 1 4

Table 6.9 – Détermination des scénarios de calibrage pour le choc simultané : Action-Rachat

La représentation graphique de la fonction excédent de perte est représentée comme ci-dessous.

95

Figure 6.14 – Excédent de perte aux facteurs Action et Rachat

L’effet croisé des risques Action et Rachat sur les fonds propres économiques augmente quandles variations simultanées des facteurs de chocs par rapport au scénario centrale augmentent.

Nous constatons que l’augmentation du facteur Action a tendance, en général, à entraîner uneperte inférieure à la somme de pertes obtenues en effectuant des chocs stand-alone. Inverse-ment, la baisse du facteur Action mène à une perte plus élevée qu’à celle obtenue avec des chocsstand-alone de ces deux facteurs.

Nous remarquons que l’excédent de perte est fortement négatif dans le cas d’une hausse du chocAction combinée à une hausse de choc Rachat. Ceci suppose que la fonction de perte associéeaux chocs simultanés est inférieur à la somme des fonctions de perte obtenues en stand-alone.Cet effet s’explique par :— Une hausse des actions permet de réaliser plus de plus-values latentes.— Une hausse de Rachat entraîne des gains grâce à la vente des actions en plus-value latente

et la baisse du stock des contrats moins rentables.Ces bénéfices combinés sont plus importants que dans le cadre des chocs stand-alone.

Le tableau ci-dessous montre les résultats des tests de validation de la fonction interpoléed’excédent de perte aux facteurs Action et Rachat.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 3 439 072 3, 78% 4%EQM 4 583 819 5, 03% 4%EM 8 769 868 9, 63% 10%

Table 6.10 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte auxfacteurs Action et Rachat

Notre interpolation bilinéaire ne nous permet pas d’obtenir des résultats satisfaisants à l’égarddes seuils de validation. La valeur de l’EQM dépasse le seuil de validation. Par conséquent, nous

96

devons rajouter des points d’interpolation afin de gagner en précision.Les écarts les plus élevés proviennent de la partie (+1Act,+1Rac) . En effet, sur cette partie,nous avons conservé que 2 points de calibrage. Nous intégrons ainsi 2 points de calibrage sup-plémentaires qui sont : (q199/200

Act , q9/10Rac ), (q9/10

Act , q199/10Rac ). Notons que le rapport de calibrage sur

cette partie de l’espace des valeurs a été légèrement inférieur au seuil (19,40% < 20%) et doncla nécessité de plus de points de calibrage n’est pas incohérente avec notre démarche. De plus,comme attendu, la mesure EQM nous a permis de valoriser les grands écarts et qui n’ont pasété détectés par la mesure EAM.Nous procédons à l’interpolation bilinéaire avec les deux nouveaux points de calibrage. Voiciles nouveaux résultats au tests de validation :

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 2 689 072 2, 95% 4%EQM 3 419 718 3, 75% 4%EM 6 769 868 7, 43% 10%

Table 6.11 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte auxfacteurs Action et Rachat après recalibrage

Cette fois-ci, les résultats des tests de la mesure de précision sont satisfaisants à l’égard desseuils de validation. la fonction d’interpolation obtenue est retenue pour la suite de processus.

6.2.3 Analyse du choc Rachat-Niveau

La première étape du calibrage de la fonction d’interpolation de l’excédent de perte aux fac-teurs Rachat et Niveau nécessite l’établissement du nombre de points de calibrage sur chaquepartie de l’espace.

Partie de l’espace | ESi,j(chocqxi ,choc

qyj )

LFi,j(chocqxi ,choc

qyj ) | Significativité Nombre de scénarios

(−1Rac,−1Niv) 296, 55% 1 4(+1Rac,−1Niv) 73, 37% 1 4(+1Rac,+1Niv) 76, 82% 1 4(−1Rac,+1Niv) 40, 37% 1 4

Table 6.12 – Détermination des scénarios de calibrage pour le choc simultané : Rachat-Niveau

La représentation graphique de la fonction interpolée excédent de perte est illustrée sur la figuresuivante.

97

Figure 6.15 – Excédent de perte aux facteurs Rachat et Niveau

De même que les autres couples de facteurs de risques étudiés, la valeur absolue de la fonctionexcédent de perte augmente lorsque les variations simultanées des facteurs de risque par rapportau scénario BE augmentent.

Un mouvement dans le même sens (hausse ou baisse) des facteurs Niveau et Rachat entraîneune baisse de la perte réalisée par la compagnie par rapport à la somme des pertes stand-alone.En revanche, un mouvement de sens opposé conduit à une perte supérieure que la somme deuxpertes stand-alone.

Notons que le comportement de la fonction excédent de perte est presque symétrique au tourdu scénario centrale.

Nous concluons aussi que la hausse du facteur Niveau (donc la baisse du niveau global des taux)couplée à la baisse du facteur Rachat (provoquant une perte sur le processus de réallocation,étant la duration de l’actif est inférieure à celle du passif, et le versement de moins de pres-tations les premières années) entraîne une perte plus importante qu’avec les deux chocs séparés.

Les résultats des tests de validation sont présentés dans le tableau suivant.

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1 Seuil de validation

EAM 2 767 392 3, 04% 4%EQM 3 536 321 3, 88% 4%EM 8 458 488 9, 29% 10%

Table 6.13 – Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte auxfacteurs Rachat et Niveau

Les résultats des tests de validations sont inférieurs aux seuils et donc la fonction interpoléed’excédent de perte aux facteurs Rachat et Niveau est retenue. Nous remarquons qu’en général,

98

les performances des excédents de pertes interpolés en matière de précision sont largement en-dessous de celles des fonctions de perte stand-alone. En effet, ce constat peut-être expliquépar le changement de la méthode d’interpolation. En effet, pour les excédents de perte nousavons opté pour une interpolation bilinéaire contrairement à une interpolation cubique pourles fonctions de perte. Ce choix de simplification a mené à des résultats moins satisfaisants carnous avons perdu tous les avantages de régularité et de monotonie de l’interpolation cubique.

6.3 AgrégationL’agrégation des fonctions interpolées validées vient clôturer la mise en place de la méthode

du Curve Fiting. Tous les résultats obtenus à l’aide du logiciel R lors du calibrage et la valida-tion des fonctions de pertes et excédents de perte sont importés dans un outil VBA. Cet outilassure le processus d’agrégation et ses résultats sont enregistrés dans des fichiers de format CSV .

Nous nous sommes contentés de calibrer les excédents de perte des chocs « pair-wise ». Ainsila formule permettant de retrouver la fonction de perte globale, dans le cadre de notre modéli-sation, devient :

LF (chocAct, chocNiv, chocPen, chocV ol, chocRac) =∑

i∈CHOCLFi(choci) +

∑i 6=j∈CHOC

ESi,j(choci, chocj)

Où : CHOC = {Act,Niv, Pen, V ol, Rac}

L’étape d’agrégation est entamée par la génération de 1000 scénarios primaires à l’aide duGSE, représentant ainsi les antécédents de la fonction de perte globale. Cette dernière produitainsi 1000 valeurs de fonds propres économiques permettant d’établir la distribution des fondspropres de la compagnie fictive à t = 1.

Figure 6.16 – Etablissement de la distribution des fonds propres à l’aide du Curve Fitting

Etant donné la rapidité du processus d’agrégation, nous pouvons aller bien au-delà de 1000scénarios primaires pour construire la distribution des fonds propres économiques. Cependant,

99

nous choisissons 1000 scénarios pour pouvoir lancer notre outil de projection ALM sur ces scé-narios et obtenir donc, dans un temps raisonnable, une distribution de fonds propres à l’aide dela méthode des simulations dans les simulations. Par conséquent, nous comparons les distribu-tions obtenues dans le chapitre suivant.Tous les résultats de l’outil d’agrégation sont importésdans le logiciel R.

La figure suivante montre la distribution des fonds propres économiques de la compagnie simu-lée obtenue à l’aide du Curve Fitting.

Figure 6.17 – La distribution des fonds propres économiques de la compagnie obtenue à l’aidedu Curve Fitting

Les tableaux suivants récapitulent quelques éléments d’analyse statistique de la distribution desfonds propres économiques à t = 1 (les valeurs sont en €).

Minimum Premier quartile Médiane Moyenne Troisième quartile Maximum-5 715 178 74 264 663 91 443 178 92 187 346 110 151 847 178 339 736

Ecart-type Skewness Kurtosis27 388 982 0,0047 2,9678

Table 6.14 – Quelques éléments d’analyse statistique de la distribution des fonds propres àt = 1

L’ensemble des valeurs possibles des fonds propres de la compagnie s’étale sur l’intervalle[-5,7 Mio€ ; 178,3 Mio€]. Nous remarquons que la distribution ne prend que peu de valeursnégatives. Ceci est expliquée principalement par la situation confortable de la compagnie fictivequi admet dans son bilan initial des plus-values latentes sur les actions et les obligations. Nousconstatons également que l’écart type de la distribution est important.

100

Par ailleurs, les valeurs des quantiles ainsi que la représentation graphique de la distributiondes fonds propres suggèrent une distribution symétrique. Ceci est confirmé par le coefficientd’asymétrie (Skewness) de la distribution qui est proche de 0. Par ailleurs, le coefficient d’apla-tissement (Kurtosis) est très de proche de 3 indiquant que la distribution est mésokurtique. Ladistribution trouvée présente ainsi une forme très proche de celle d’une distribution normale.

6.4 Calcul du SCR par la méthode « Curve Fitting » :SCRCF

Ayant la distribution des fonds propres économiques de la compagnie (1000 fonds propres),obtenue à l’aide de la méthode Curve Fitting en t = 1, nous calculons la valeur du SCRCF . Savaleur est donnée par cette formule :

SCR = FP (0)−D(0, 1).VaR0.5%(FP (1))

Où :— VaRα(X) : Value At Risk de niveau α de la variable X

VaRα(X) = infx∈R{P(X ≤ x) ≥ α}

— D(0, 1) : Facteur d‘actualisation correspondant au prix d’une obligation zéro coupon dematurité 1 an

— P : la probabilité historique— FP (0) : Les fonds propres économiques à la date initiale— FP (1) : Les fonds propres économiques à horizon 1 an (variable aléatoire)

Le tableau ci-dessous montre la valeur du SCRCF ainsi que le ratio de solvabilité de la compa-gnie fictive. Ces valeurs seront retenues pour la suite du mémoire.

F P (0) SCR∗CF Ratio de Solvabilité57 203 220 € 37 738 217 € 151,58%

Table 6.15 – les montants réglementaires de la compagnie fictive

Une fois le SCR∗CF calculé, nous déterminons le scénario le plus proche au quantile 99,5% dela distribution des fonds propres économiques. Pour ce scénario, la valeur des fonds propreséconomiques est de 37 765 784 € soit un écart de 27 567 € par rapport au SCRCF .

Facteur de risque Action Volatilité Implicite Niveau Pentification RachatChoc −25, 87% 43, 53% 32, 11% −143, 35% −45, 53%

Table 6.16 – Le scénario le plus proche du quantile 99,5%

101

Ce scénario correspond à une réunion de conditions économiques défavorables à la compagnied’assurance. Grâce aux fonctions de pertes établies, nous savons que la chute de la valeur demarché des actions, la baisse du taux de rachat, la hausse de la volatilité implicite des actions etl’augmentation du facteur Niveau (la hausse du facteur Niveau implique une baisse du niveaudes taux) constituent des scénarios pour lesquels la fonction de perte de la compagnie augmente.

Le seul facteur de risque correspondant à un scénario favorable à la compagnie est le facteurPentification affichant une baisse de valeur. Cependant, l’effet de cette dernière condition favo-rable est non significatif sur les fonds propres économiques par rapport aux effets couplés desautres facteurs de risque.

Notons que les sens d’évolution des facteurs de risque sont en adéquation avec les hypothèsesthéoriques de corrélation.

102

CHAPITRE 7

Analyse des résultats

Ce chapitre est destiné à l’analyse et l’interprétation des résultats trouvés suite à l’approcheCurve Fitting. La partie précédente nous a permis de calculer une seule valeur de SCRCF . Afind’aller plus loin dans l’analyse, nous tacherons d’obtenir des distributions SCRCF en faisantvarier quelques paramètres de sensibilité. De plus, nous comparerons les résultats du CurveFitting et ceux de la méthode des Simulations dans les Simulations.

7.1 Sensibilité du SCRCF aux scénarios de calibrageDans cette section, nous revenons sur le choix de scénarios de calibrage des fonctions de

perte stand-alone. En effet, le Curve Fitting repose sur l’interpolation de la courbe des fondspropres économiques. De façon générale, la fonction d’interpolation est très sensible aux pointsd’interpolation et donc naturellement la qualité des résultats du Curve Fitting l’est également.

Intuitivement, les points de calibrage de la fonction d’interpolation doivent être bien répartis surl’espace des valeurs possible de nos facteurs de risque. Afin d’analyser la sensibilité du SCRCF

aux choix des scénarios de calibrage, nous menons un positionnement aléatoire des points decalibrage pour toutes les fonctions de perte stand-alone étudiées.

Pour chaque facteur de risque, nous fixons le nombre de scénarios de calibrage de la fonctionde perte stand-alone comme le montre le tableau suivant :

Facteur de risque Action Volatilité Implicite Niveau Pentification RachatNombre de scénarios 9 5 9 7 9

Table 7.1 – Nombre de scénarios de calibrage des fonctions de perte stand-alone

Le nombre de scénarios de calibrage est celui utilisé dans le chapitre précédent auquel on rajouteun scénario. En effet, nous voulons intégrer le scénario correspondant au quantile 1/2 dans leprocessus de calibrage alors qu’avant il faisait partie des scénarios de validation uniquement.

Par ailleurs, pour tous les facteurs de risque, nous fixons la position de 3 scénarios de calibragequi sont les scénarios correspondant aux quantiles 1/200, 1/2 et 199/200. Les scénarios restantssont choisis selon un tirage aléatoire sans remise sur les 10 scénarios correspondant aux quan-tiles suivants : 1/100, 1/50, 1/10, 1/5, 1/4, 3/4, 4/5, 9/10, 49/50, 99/100.

Nous effectuons, par la suite, les interpolations des fonctions de perte stand-alone uniquementet nous récupérons donc des résultats de chocs pairwise établis dans le chapitre précédent, afin

103

de procéder ensuite à l’étape d’agrégation déterminant la distribution des fonds propres écono-miques et donc le SCRCF . Notons que les scénarios économiques utilisés dans l’établissementdes fonds propres sont les mêmes que ceux utilisés dans le chapitre précédent.

Nous réitérons ce processus 500 fois ce qui nous permet de constituer la distribution de SCRCF .Nous considérons le SCRCF calculé dans le chapitre comme le SCRCF de référence.

Figure 7.1 – Distribution des SCRCF

Le tableau ci-dessous montre quelques grandeurs statistiques de cette distribution.

Minimum Maximum Médiane Moyenne Ecart-type35 392 337 € 39 267 966 € 37 058 013 € 37 072 233 € 672 071

La distribution des SCRCF est unimodale et centrée autour de sa moyenne. La moyenne decette distribution s’éloigne du SCR∗CF de référence avec 1, 76% de sa valeur. La valeur maximaleet minimale de la distribution présentent des écarts respectifs de 4, 1% et −6, 2% de la valeurdu SCR∗CF de référence. Quant au ratio de solvabilité, il varie entre de 146% et 162%

Cette analyse révèle que le montant du SCR ainsi que le ratio de solvabilité de la compagniepeuvent varier significativement selon le choix de positionnement des scénarios de calibragedes fonctions d’interpolation. La bonne répartition des points d’interpolation demeure doncfondamentale dans l’approche Curve Fitting.

7.2 Sensibilité du SCRCF aux scénarios primairesL’obtention de la fonction de perte globale de la compagnie fictive nous permet d’établir

rapidement les fonds propres économiques pour un nombre très élevé de scénarios. Afin d’affinerdavantage notre étude, il convient d’examiner une distribution des SCRCF . Pour ce faire, nous

104

utilisons la méthode de ré-échantillonnage permettant d’analyser l’impact du choix de scénariosprimaires sur le montant du SCRCF .

L’algorithme du ré-échantillonnage est le suivant :

1 - A partir de 10 000 scénarios primaires générés par notre GSE, nous calculons les fondspropres économiques correspondants à ces scénarios à l’aide du Curve Fitting.

2 - Nous réitérons les opérations suivantes 5 000 fois :— Tirage avec remise de 8 000 fonds propres économiques parmi les 10 000 déjà calculés

pour former une distribution de fonds propres.— Calcul du SCRCF à partir de cette distribution de fonds propres constituée.3 - A partir des 5 000 valeurs de SCRCF obtenus, nous formons la distribution des SCRCF .

Le graphe ci-dessous montre la distribution du SCRCF suite au ré-échantillonnage.

Figure 7.2 – Distribution des SCRCF

Le tableaux suivant montre quelques informations clés permettant de mieux comprendre ladistribution.

Minimum Maximum Médiane Moyenne Ecart-type36 584 200 € 38 756 808 € 37 526 058 € 37 559 715€ 526 264

Les valeurs du SCRCF s’étalent sur un intervalle d’amplitude de 2,1 M € conduisant à desratio de solvabilité entre 148% et 156%. Le ratio de solvabilité moyen est de 152,4% sachantque notre ratio de solvabilité de référence est égal à 151,57%.

Par ailleurs, l’analyse de la stabilité de la valeur du SCRCF par rapport aux nombres descénarios économiques (donc le nombre de simulations) est cruciale. Nous calculons ainsi le

105

SCRCF et l’écart-type en fonction du nombre de simulations. Les résultats sont reportés dansle graphe et le tableau suivants :

Figure 7.3 – SCR en fonction du nombre de simulations

Nombre de scénarios SCRCF Ecart-type Ratio de solvabilité500 38 516 559 € 29 720 688 148,5%1000 37 890 265 € 29 244 331 150,9%5000 37 692 108 € 27 532 670 151,7%10000 37 667 369 € 28 601 653 151,8%

Table 7.2 – Nombre de scénarios de calibrage des fonctions de perte stand-alone

Nous remarquons que le SCR calculé est assez régulier pour un nombre de scénarios élevé. Leratio de solvabilité oscille dans un intervalle d’amplitude égale à 2% pour un nombre de simu-lation entre 5 000 et 10 000. Par ailleurs, l’écart-type décroit lentement en fonction du nombrede scénarios. Nous retenons ainsi que le nombre de simulation nécessaire pour l’estimation duSCR de notre compagnie est de 5000 simulations.

7.3 Comparaison du SCRCF et SCRSdS

Le Curve Fitting vise à approcher les résultats que l’on peut obtenir avec la méthode dessimulations dans les simulations. C’est pourquoi nous cherchons à comparer les résultats de cesdeux méthodes. Pour ce faire, nous avons établi la distribution des fonds propres économiquesissue de la méthode des simulations dans les simulations en prenant comme inputs les mêmesscénarios économiques utilisés dans le Curve Fitting, soit 1000 scénarios.

Afin d’obtenir la distribution FPSdS (1000 réalisations), nous avons dû lancer notre modèlede projection ALM par groupe de 50 scénarios (50 trajectoires primaires × 500 trajectoiressecondaires, soit 25 000 simulations). Chaque groupe a pris 108 minutes pour tourner avec unordinateur de 32 Go de RAM. Par conséquent, le temps nécessaire pour l’obtention de tous

106

les résultats est de 36 heures. Cependant, la mise en place du Curve Fitting a nécessité 134scénarios de calibrage et 76 scénarios de validation soit au total 210 scénarios pour 7 heureset 34 minutes de temps de calcul. Notons que l’étape de passage des scénarios primaires auxfonds propres économiques à l’aide des fonctions interpolées est très rapide et ne dépasse pas 3minutes pour 10 000 scénarios. En outre, une fois la fonction de perte globale calibrée, le CurveFitting nécessite uniquement des scénarios primaires impliquant ainsi un gain de temps. En ef-fet, la génération d’un scénario primaire suivi de 500 trajectoires secondaires dure 5,4 secondeset donc la génération de 1000 scénarios économiques complets (primaires + secondaires) dure90 minutes. Cependant, la génération de 1000 scénarios primaires dure 4 secondes.

Ayant estimé le temps de calcul nécessaire à l’établissement d’un scénario économique completet l’estimation d’un seul point de fonds propres, nous faisons une comparaison du temps decalcul entre le Curve Fitting et les SdS sur la base de 5000 réalisations de fonds propres écono-miques de la compagnie simulée.

Le tableau suivant récapitule le temps de calcul en minutes des différentes étapes durant leprocessus de l’établissement des fonds propres économiques.

Curve Fitting SdSGSE 19,6 450ALM 453,6 10800

Traitement 33 10Totale 506,2 11 260

Table 7.3 – le temps de calcul selon les méthodes CF et SdS pour 5000 réalisations de fondspropres

Le Curve Fitting permet donc d’accélérer l’estimation des fonds propres économiques de lacompagnie et de diviser le temps de calcul par 22.2 sur le temps de calcul.

Afin de comparer les distributions FPCF et FP SdS, il convient de calculer les mesures deprécision utilisées dans la partie validation sur tous les points de fonds propres établis. Cetableau récapitule ces mesures :

Mesure de précision Valeur %F P BEt=1

EAM 4 434 609 4.90%EQM 5 895 190 6.51%EM 19 994 591 22.07%

Table 7.4 – Mesure de l’écart entre les fonds propres issus des méthodes CF et SdS

Avec un écart moyen égal à 4,4 M €, le Curve Fitting admet une précision de qualité moyennepour une estimation ponctuelle. Ceci est dû en grande partie à la simplification menée dansle processus du Curve Fitting, où nous avons décidé d’abandonner les contributions croiséesdes triplets de facteurs de risque et à la qualité de l’interpolation bilinéaire des chocs pairwise.Cependant, nous espérons une précision meilleure au niveau des distributions.

La figure suivante présente les distributions FP SdS et FPCF à t = 1.

107

Figure 7.4 – Distributions des fonds économiques de la compagnie à t = 1 obtenues à l’aidedu CF et des SdS

Nous effectuons le test non-paramétrique de Kolmogorov-Smirnov dont l’hypothèse nulle est «la distribution des FP SdS suit la même loi que la distribution FPCF ». Les résultats du testsont les suivants :

Statistique du test (D) p-value0,024 0,692

Table 7.5 – Résultats du test Kholmogorov-Smirnov sur les distributions FP SdS et FPCF

La p-value du test est supérieure à 10%, il n’y a donc pas de présomption contre l’hypothèsede nulle (les distributions FP SdS et FPCF suivent la même loi).

Nous remarquons une adéquation entre les parties centrales des distributions. Les valeurs desécarts relatifs faibles des quantiles 25%, 50% et 75% confirment ce constat.

Méthode Premier quartile Médiane Moyenne Troisième quartileSdS 75 496 484 € 91 937 083 € 92 568 971 € 111 362 070 €CF 75 264 663 € 91 443 178 € 92 187 346 € 110 151 847 €

Ecart relatif −0.31% −0.54% −0.41% −1.09%

Table 7.6 – Quelques éléments d’analyse statistique des distributions CF et SdS des fondspropres à t = 1

Par ailleurs, nous nous intéressons particulièrement aux valeurs extrêmes de la distribution desfonds propres (les queues de la distribution) et notamment aux valeurs extrêmes basses. Pourcette raison, nous traçons le diagramme quantile-quantile des distributions FPSdS et FPCF .

108

Figure 7.5 – Q-Q plot des distributions SdS et CF des fonds propres économiques à t = 1

Le diagramme quantile-quantile montre une adéquation très précise sur la partie centrale desvaleurs. La précision se dégrade sur les queues de la distribution. Le tableau suivant présenteles montants réglementaires de la compagnie fictive obtenus à l’aide des méthodes SdS et CF.

SCR Ratio de SolvabilitéCurve Fitting 37 738 217 € 151,58%

SdS 36 456 279 € 156.91%

Table 7.7 – les montants réglementaires de la compagnie fictive SdS et CF

L’écart entre les montants des SCR calculés est de 3.52% impliquant un écart de 5, 33% surle ratio de solvabilité. Ceci est dû à la dégradation de l’adéquation des distributions FPSdS etFPCF au niveau des valeurs extrêmes basses. Le fait de ne pas intégrer tous les couples pair-wise et les contributions croisées des chocs three-wise dans le processus du Curve Fitting s’estavéré pénalisant en créant un écart significatif sur ces valeurs basses. Notons que la méthodedu Curve Fitting sousestime le SCR de la compagnie et donc surestime de le ratio de solvabilitépar rapport à la méthode des SdS.

Pour remédier à cet écart, un moyen serait de diminuer les seuils de validation des fonctionsinterpolées, rajouter des points d’interpolation et d’intégrer évidemment tous les couples pair-wise et three-wise. Par ailleurs, nous pouvons traduire les mesures de précision calculées lorsdes étapes de validation en terme de capital add-on qui s’ajoute au SCR calculé à l’aide de laméthode Curve Fitting pour constituer le SCR de la compagnie.

109

Conclusion

Les exigences de la Directive Solvabilité 2, entrée en vigueur au 1er janvier 2016, ont mis enavant l’importance de l’estimation des fonds propres économiques d’une compagnie d’assuranceou de réassurance que ce soit pour le calcul du SCR ou dans le cadre du pilotage des risques.En effet, le calcul du capital économique doit être adapté au profil de risque de chaque assureuret doit prendre en compte ses spécificités.

Dans cette optique, de nombreux assureurs ont recours à des modèles stochastiques afin dedéterminer ces montants. En pratique, cet exercice est assez difficile pour les compagnies d’as-surance vie du fait de la structure complexe des interactions Actif/Passif. En effet, l’approchedirecte conduisant à des simulations dans les simulations présente de nombreuses probléma-tiques de mise en œuvre opérationnelle.

C’est dans ce contexte que s’est inscrit ce mémoire, dont l’objectif est de décrire et mettre enplace une méthode alternative faisant face à ces problématiques de temps de calcul : le CurveFitting.

Après avoir élaboré un modèle ALM permettant de valoriser le bilan économique d’une compa-gnie d’assurance vie fictive commercialisant des contrats d’épargne, nous avons sélectionné lesfacteurs de risques les plus pertinents pour notre portefeuille.

L’objectif de cette sélection est d’élaborer un générateur de scénarios économiques permettantla diffusion des facteurs de risque en monde réel (de t = 0 à t = 1) puis en monde risque neutre(de t = 1 à t = 50), selon des modèles de projection adaptés.

L’approche Curve Fitting a consisté en le calibrage de courbes d’interpolation pour les fonctionsde perte stand-alone et les excédents de perte des chocs pair-wise. Ces fonctions interpolées ontété systématiquement confrontées à des tests de validation afin de juger de leur pertinenceavant l’étape d’agrégation. L’agrégation de ces fonctions établit la fonction de perte globale dela compagnie permettant d’estimer la distribution des fonds propres économiques en partantde scénarios économiques primaires.

Cette approche a permis de réduire le nombre de simulations primaires considérablement : nousavons eu recours à 210 simulations primaires afin de calibrer et valider les différentes fonctionsd’interpolation. Le temps de calcul a été divisé par 22 rendant ainsi la détermination des fondspropres économiques à t = 1 et du SCR de la compagnie une tache très rapide.Nous notons cependant que cette approche demande une bonne connaissance de des facteursde risque et de leurs interactions afin d’obtenir des résultats cohérents, comme le montre lesdifférents tests de sensibilités réalisés.

110

Par souci de temps, nous avons opté pour des approches simplifiées et certaines d’entre ellespourraient être améliorées à titre d’exemple : recours à des interpolations bilinéaire, implémen-tation des chocs three-wise.

La méthode de Curve Fitting apparaît donc comme un outil puissant et efficace pour le calculdu capital réglementaire. Celui-ci est plus rapide et moins coûteux en ressources informatiques.Par ailleurs, cette méthode peut facilement être étendue à différents horizons temporels (t = 2,t = 3, . . . ) dans le cadre du plan stratégique de la compagnie. Cette implémentation permetun accès plus rapide aux résultats et facilite donc des projets tel le pilotage de risque à moyenterme (ORSA), la quantification de l’impact du lancement de nouveaux contrats sur les mon-tants réglementaires ou les stress tests souvent demandés par l’ACPR.

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113

Annexe 1 : Théorème de Stone-Weierstrass

Nous introduisons les notations suivantes :— X désigne un espace métrique— K désigne le corps C ou R— C(X,K) est l’espace des fonctions continues de X à valeurs dans K

Théorème de Stone-Weierstrass

Soit X un espace métrique compact et A ∈ C(X,K) tel que :i) A est une sous-algèbre auto-adjointe (c’est-à-dire, f ∈ A implique f ∈ A)ii) A contient les fonctions constantes.iii) A sépare les points de X (c’est-à-dire, pour tous x, y ∈ X, x 6= y, il existe une fonctionf ∈ A telle que f(x) 6= f(y)).

Alors A est dense dans C(X,K) pour la topologie de la norme ||.||∞ 1. Autrement dit, pour toutefonction A ∈ C(X,K), il existe une suite de fonction (fn) dans A qui converge uniformémentvers f .

1. Si f ∈ C(X,K), alors ||f ||∞ = supx∈X|f(x)|

114

Annexe 2 : Splines des chocs pair-wise restants

Figure 6 – Excédent de perte aux facteursAction et Volatilité Implicite

Figure 7 – Excédent de perte aux facteursAction et Pentification

Figure 8 – Excédent de perte aux facteursRachat et Pentification

Figure 9 – Excédent de perte aux facteursAction et Niveau

115

Liste des tableaux

1 Modélisation des facteurs de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Calibrage des des fonctions de pertes standalone . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Calibrage des excédents de pertes pairwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Seuils des tests de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Bilan S2 de la compagnie fictive au 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 les montants réglementaires de la compagnie fictive . . . . . . . . . . . . . . . . 107 les montants réglementaires de la compagnie fictive SdS et CF . . . . . . . . . . 118 Modeling of risk factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Calibration of standalone loss functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710 Calibration of excess of pairwise loss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Thresholds of validation tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812 The company S2 balance sheet on the 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . 1813 Regulatory amounts of the fictitious company . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914 Regulatory amounts of the fictitious company SdS and CF . . . . . . . . . . . . 20

1.1 Taux de prélèvement sur les gains d’assurance vie en fonction de la durée ducontrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Principaux types de contrats épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 L’information expliquée par les trois premières composantes de l’ACP . . . . . . 483.2 Matrice de corrélation en monde réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Matrice de corrélation en monde risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Résultat du test Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1 Les valeurs des paramètres de la loi des rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . 614.2 Tableau récapitulatif des frais de la compagnie modélisée . . . . . . . . . . . . . 624.3 Bilan comptable de la compagnie fictive au 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Valeur de marché de l’actif de la compagnie fictive au 31/12/2016 . . . . . . . . 654.5 Les flux intervenants dans le résultat financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6 Traitement des éléments résiduels en fin de projection . . . . . . . . . . . . . . . 704.7 Bilan S2 de la compagnie fictive au 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1 Détermination des niveaux de la significativité des chocs standalone . . . . . . . 765.2 Tableau de correspondance entre la significativité des fonctions de perte standa-

lone et les scénarios de calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Détermination des niveaux de la significativité des chocs pairwise . . . . . . . . 795.4 Tableau de correspondance entre la significativité des fonctions excédents de

perte pairwise et les scénarios de calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5 Scénarios de validation des fonctions de perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.6 Scénarios de validation des excédents de perte dans le cas d’un choc « pair-wise » 815.7 Seuils des tests de validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

116

6.1 Calcul des niveaux de significativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Action 856.3 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Vola-

tilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Niveau 896.5 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Pen-

tification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.6 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction de perte au facteur Pen-

tification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.7 Détermination des scénarios de calibrage pour le choc simultané : Niveau-Pentification 946.8 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte aux

facteurs Niveau et Pentification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.9 Détermination des scénarios de calibrage pour le choc simultané : Action-Rachat 956.10 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte aux

facteurs Action et Rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.11 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte aux

facteurs Action et Rachat après recalibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.12 Détermination des scénarios de calibrage pour le choc simultané : Rachat-Niveau 976.13 Mesure de la précision de l’interpolation de la fonction Excédent de perte aux

facteurs Rachat et Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.14 Quelques éléments d’analyse statistique de la distribution des fonds propres à

t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.15 les montants réglementaires de la compagnie fictive . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.16 Le scénario le plus proche du quantile 99,5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1 Nombre de scénarios de calibrage des fonctions de perte stand-alone . . . . . . . 1037.2 Nombre de scénarios de calibrage des fonctions de perte stand-alone . . . . . . . 1067.3 le temps de calcul selon les méthodes CF et SdS pour 5000 réalisations de fonds

propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.4 Mesure de l’écart entre les fonds propres issus des méthodes CF et SdS . . . . . 1077.5 Résultats du test Kholmogorov-Smirnov sur les distributions FP SdS et FPCF . 1087.6 Quelques éléments d’analyse statistique des distributions CF et SdS des fonds

propres à t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.7 les montants réglementaires de la compagnie fictive SdS et CF . . . . . . . . . . 109

117

Table des figures

1 L’approche des simulations dans les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 l’approche Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 La distribution des fonds propres économiques de la compagnie obtenue à l’aide

du Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Diagramme quantile-quantile des distributions SdS et CF des fonds propres

économiques à t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Simulations in simulations approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Curve Fitting approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Distribution of economic capital obtained with the Curve Fitting method . . . . 198 Quantile-quantile plot of distributions SdS and CF of economic capital at t = 1 19

1.1 Encours des placements financiers des ménages en 2016 . . . . . . . . . . . . . . 261.2 Les trois piliers de la directive Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3 Bilan Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Cacul du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5 Agrégation des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Simulations dans les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Comparaison de SdS et RP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 l’approche LSMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 l’approche Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Les résultats d’interpolation avec 10 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Les résultats d’interpolation avec 20 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7 Structure du modèle interne de la compagnie fictive . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Structure du générateur des scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Représentation graphique des trois premières composantes principales de l’ACP 493.3 Test de martingalité sur le modèle action en monde risque neutre . . . . . . . . 553.4 Test de martingalité sur le modèle taux en monde risque neutre . . . . . . . . . 563.5 Le Q-Q Norm de la distribution des rendements actions à t = 1 . . . . . . . . . 57

4.1 Structure du passif de la compagnie fictive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Loi des rachats structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Taux de rachat conjoncturel en fonction de la différence entre le taux servi et le

taux de la concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Portefeuille obligataire de la compagnie au 31/12/2016 . . . . . . . . . . . . . . 644.5 Le mécanisme d’interaction actif-passif de la compagnie fictive . . . . . . . . . . 664.6 Politique de taux servi et établissement de la PPE . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.7 Structure de l’allocation d’actifs cible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8 Le montant du BE en fonction du nombre de trajectoires . . . . . . . . . . . . . 704.9 Ecoulement de la PM au cours de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.10 Réponse du modèle ALM au test de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

118

5.1 Détermination des scénarios de calibrage pour les fonctions de perte . . . . . . 775.2 La partie du plan correspondant au (+1i,−1j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.1 Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Action . . . 846.2 Fonction de perte au facteur Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Volatilité

implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4 Fonction de perte au facteur Volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5 Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Niveau . . . 876.6 Les courbes ZC diffusées à t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.7 Fonction de perte au facteur Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.8 Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Pentification 906.9 Les courbes ZC diffusées à t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.10 Fonction de perte au facteur Pentification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.11 Scénarios choisis pour le calibrage de la fonction de perte au facteur Rachat . . . 926.12 Fonction de perte au facteur Rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.13 Excédent de perte aux facteurs Niveau et Pentification . . . . . . . . . . . . . . 946.14 Excédent de perte aux facteurs Action et Rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.15 Excédent de perte aux facteurs Rachat et Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.16 Etablissement de la distribution des fonds propres à l’aide du Curve Fitting . . . 996.17 La distribution des fonds propres économiques de la compagnie obtenue à l’aide

du Curve Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.1 Distribution des SCRCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Distribution des SCRCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 SCR en fonction du nombre de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.4 Distributions des fonds économiques de la compagnie à t = 1 obtenues à l’aide

du CF et des SdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5 Q-Q plot des distributions SdS et CF des fonds propres économiques à t = 1 . . 1096 Excédent de perte aux facteurs Action et Volatilité Implicite . . . . . . . . . . . 1157 Excédent de perte aux facteurs Action et Pentification . . . . . . . . . . . . . . 1158 Excédent de perte aux facteurs Rachat et Pentification . . . . . . . . . . . . . . 1159 Excédent de perte aux facteurs Action et Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

119