Par : Damien Tichit - Institut des actuaires

Mémoire présenté devant l'ENSAE ParisTechpour l'obtention du diplôme de la �lière Actuariat

et l'admission à l'Institut des Actuairesle 19/02/2019

Par : Damien Tichit

Titre : Construction d'un modèle ALM pour l'analyse del'impact d'une remontée des taux sur la solvabilitéd'un assureur vie

Con�dentialité : � NON � OUI (Durée : � 1 an � 2 ans)

Les signataires s'engagent à respecter la con�dentialité indiquée ci-dessus

Membres présents du jury de la �lière Entreprise :Nom : Michael Donio

Signature :

Membres présents du jury de l'Institut Directeur du mémoire en entreprise :des Actuaires

Nom : Arnaud Buzzi

Signature :

Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

di�usion de documents actuariels

(après expiration de l'éventuel délai decon�dentialité)Signature du responsable entreprise

Secrétariat :

Signature du candidat

Bibliothèque :

École Nationale de la Statistique et de l'Administration Économique (ENSAE)5, avenue Henry Le Chatelier - 91120 PALAISEAU, FRANCE

M. ELIE Romuald

M. CORIAT Sylvain

M. WILHELMY Florent

Remerciements

En premier lieu, je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Michaël Donio, directeur de l’UC

Actuariat chez Sia Partners pour son écoute, sa disponibilité ainsi que pour son implication dans la

réussite de ce mémoire.

Je tiens à accorder des remerciements particuliers à Arnaud Buzzi, consultant chez Sia Partners,

mon encadrant pour ce mémoire. Je le remercie pour ses innombrables idées, ses conseils avisés, ses

nombreuses relectures ainsi que pour son investissement tout au long de l’élaboration de ce mémoire.

Ce mémoire n’aurait également pu aboutir sans l’aide de Antoine Mazurie, actuaire manager chez

Sia Partners. Je le remercie pour son aide sur le choix de la problématique ainsi que pour le temps

qu’il a consacré à répondre à mes nombreuses questions. Son expertise m’a notamment été précieuse

lors du développement du modèle ALM.

J’adresse également des remerciements à Santiago Fiallos, actuaire manager au sein du pôle vie

chez Sia Partners et guide spirituel de Nicolas Servan - l’Homme Exceptionnel, pour son suivi et

l’intérêt porté à mes travaux.

Je remercie Benoît Menoni et Ronan Davit, directeurs chez Sia Partners pour leur accueil au sein

de leur service.

J’aimerais également remercier toutes les personnes de l’UC Actuariat pour les très bons moments

partagés avec eux lors de la rédaction de ce mémoire avec en particulier : Nicolas S, Albin, Chris-

tophe, Louis, Jeremy, Nicolas L, Murielle, Cedrik, Corentin, Jordan, Gauthier, Andréa...

J’ai, bien entendu, une pensée pour ma famille et mes proches pour leur soutien sans faille dans

toutes mes entreprises.

En dernier lieu, je tiens à remercier le corps professoral de l’ENSAE ainsi que toutes les personnes

ayant participé, de près ou de loin, à l’aboutissement de ce mémoire.

I

Résumé

Les taux d’intérêts constituent des indicateurs économiques particulièrement surveillés en assu-

rance, et d’autant plus en assurance vie. Leurs mouvements présentent un fort impact sur la valori-

sation des bilans. D’un côté, l’actif, principalement constitué d’obligations de durations élevées, est

fortement sensible aux fluctuations de la courbe des taux. D’autre part, au passif, l’évaluation des

engagements techniques sous Solvabilité II s’effectue par actualisation des flux futurs. A ce titre, de

forts mouvements sur la courbe des taux peuvent mettre à mal la solvabilité d’un assureur.

Les principales économies européennes connaissent depuis plus de trente ans une baisse ininter-

rompue des taux d’intérêt. Ils ont atteint des niveaux historiquement bas, jusqu’à même devenir

négatifs. Cette situation anormale, le contexte de reprise économique et un environnement écono-

mique de plus en plus volatil pourraient conduire à une remontée subite des taux d’intérêt.

L’objectif de ce mémoire est alors de mesurer, dans le cadre des contrats d’épargne en assurance

vie, l’impact qu’aurait une remontée des taux d’intérêt sur la solvabilité d’un assureur vie.

Pour ce faire, il a d’abord été nécessaire de mettre en place une modélisation Actif-Passif en phase

avec les standards de marché pour calculer les engagements techniques d’un assureur vie. Néan-

moins, pour y parvenir, de nombreuses simulations doivent être effectuées. Pour pallier la lourdeur

des calculs d’un moteur ALM classique, une approche innovante pour la construction des ModelPoints a été développée. Cette dernière consiste à effectuer des modifications sur les tables de rachats

et de mortalité afin de réduire le nombre de Model Points.

En second lieu, afin de mieux anticiper une possible hausse des taux, ce mémoire présente les im-

pacts d’un tel contexte économique sur la solvabilité d’un assureur vie. Les études, menées sur un

portefeuille aussi représentatif que possible du marché de l’assurance vie en France, permettent de

mettre en évidence une sensibilité de 0,6 point du ratio de solvabilité lorsqu’un mouvement uni-

forme d’un point de base est constaté sur la courbe des taux sans risque.

Mots-clés : Assurance vie, ALM, Flexing, Fonds euros, Best Estimate of Liabilities, TVFOG, SCR, FormuleStandard, Taux d’intérêt, Remontée des taux.

III

Abstract

Interest rates are economic indicators that are particularly monitored in insurance, and even more

in life insurance. Their movements have a strong impact on the valuation of balance sheets. On the

one hand, assets, mainly composed of high-duration bonds, are highly sensitive to fluctuations of the

yield curve. On the liabilities side, the valuation of technical reserves under Solvency II is carried

out by discounting of future cash flows. As such, strong movements on the yield curve can affect

insurer’s solvency.

The main European economies have been experiencing an uninterrupted decline of interest rates

for more than thirty years. They have reached historically low levels, even becoming negative. This

abnormal situation, the context of economic recovery and an increasingly volatile economic envi-

ronment could lead to a sudden rise in interest rates with a significant impact on insurers’ solvency

ratios.

The objective of this essay is to measure, in the context of life insurance savings contracts, the

impact of a rise in interest rates on the solvency of a life insurer.

To do this, it was first necessary to set up an ALM model in line with market standards to calcu-

late the technical reserves of a life insurer. Nevertheless, to achieve this, many simulations must be

carried out. To overcome the cumbersome calculations of a conventional ALM engine, an innovative

approach to the construction of the Model Points has been developed. The latter consists of making

changes to the surrender and mortality tables in order to reduce the number of Model Points.

Secondly, in order to better anticipate a possible increase of rates, this paper presents the impacts of

such an economic context on the solvency of a life insurer. The studies, conducted on a representative

portfolio of the French life insurance market, show a sensitivity of 0.6 point in the solvency ratio

when a uniform movement of one basis point is observed on the risk-free yield curve.

Keywords : Life insurance, ALM, Flexing, Euro savings contracts, Best Estimate of Liabilities, TVFOG,SCR, Standard formula, Interest rates.

V

Note de synthèse

Introduction

La tendance à la baisse des taux observée ces dernières décennies a permis aux assureurs de ser-

vir des taux attractifs à leurs assurés. Néanmoins, dans un scénario, probable, de hausse des taux

d’intérêt, les compagnies d’assurance feraient face à plusieurs sources de risque.

A la suite de la crise financière et de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce, en

mai 2010, la Banque Centrale Européenne (BCE) a mis en place une politique de taux bas. Parmi

les mesures déployées peut notamment être cité le Quantitative Easing consistant pour une banque

centrale à racheter massivement des titres de dettes aux acteurs financiers (bons du Trésor ou obli-

gations d’entreprises). Le principal objectif de cette politique est de faire baisser les taux d’intérêt.

Néanmoins, la fin du Quantitative Easing prévue pour fin 2018, le contexte anormal de taux négatifs,

la reprise économique et un environnement économique de plus en plus volatil pourraient conduire

à une remontée subite des taux d’intérêt pouvant mettre à mal la solvabilité des assureurs.

L’objectif de ce mémoire est d’étudier l’impact qu’aurait une hausse des taux sur la solvabilité d’un

assureur vie. Pour répondre à cette question, il a dans un premier temps été nécessaire de développer

un modèle de projection Actif-Passif permettant de calculer les engagements Best Estimate et les

exigences en capital sous Solvabilité II (SCR) pour des fonds en euros.

VII

Construction d’un modèle ALM

Les compagnies d’assurance vie sont exposées à des risques inhérents aux actifs, à leurs engage-

ments présents au passif ainsi qu’aux corrélations existant entre les deux. Dans le cas de l’assurance

vie, les rendements financiers constatés à l’actif ont une influence directe sur l’évolution du passif

d’une société d’assurance. Par exemple, les rachats, ainsi que la revalorisation des contrats d’épargne

par le biais de la participation aux bénéfices, sont directement liés à la performance financière. Afin

d’étudier et de mieux anticiper l’impact qu’aurait une hausse subite des taux d’intérêt sur la solvabi-

lité d’un assureur vie, il a été question de développer un modèle de gestion Actif-Passif.

L’une des difficultés majeures pour un assureur vie est la bonne évaluation des relations existant

entre l’actif et le passif. Le principe d’un modèle de gestion Actif-Passif assurantiel est de projeter sur

un horizon temporel défini les flux de trésorerie d’une compagnie d’assurance. Selon les orientations

formulées par la directive Solvabilité II, le calcul des provisions techniques repose sur le principe de

Fair Value. Une modélisation au plus proche de la réalité est alors requise. A ce titre, il est nécessaire

de simuler l’évolution des différents éléments comptables en normes statutaires françaises FrenchGAAP.

Immobilier

Monétaire

Actif Passif

Fonds Propres

Reserve de Capitalisation

Provision

Mathématique

PRE

PPE

Actions

Obligations

(a) Bilan comptable

Excédent

Actif Passif

Actifs en

Valeur de Marché

Basic Own

Funds SCR

Best Estimate of

Liabilities

(b) Bilan économique

Figure 1 – Modélisation des bilans au sein du modèle implémenté

La figure 1 présente les bilans comptable et économique associés au modèle développé au sein de

ce mémoire. Comme toute démarche de modélisation, celle conduite à travers ce mémoire repose sur

des pratiques de marché mais présente des simplifications. Concernant le bilan comptable, seules les

provisions présentant un impact sur la valeur actuelle des prestations futures ont été implémentées.

Quant au bilan économique, il a été choisi de ne pas modéliser la marge pour risque. Le SCR a quant

à lui été estimé selon la Formule Standard.

L’étude menée dans ce mémoire a nécessité de recalculer le SCR selon de nombreuses hypothèses.

A ce titre, il a été nécessaire de déployer un modèle permettant de diminuer, de façon significative,

les temps de calcul lors des projections Actif-Passif. Pour ce faire a été implémentée une approche

VIII

innovante du flexing permettant de réduire le nombre de Model Points lors des projections. Cette

approche vise à agréger les contrats en modifiant les tables de mortalité et de rachat. Cette hypothèse

repose sur le constat que seuls la participation aux bénéfices et le taux minimum garanti peuvent

changer la répartition en proportion des provisions mathématiques dans les scénarios stochastiques.

Impact d’une hausse des taux sur la solvabilité d’un assureur

vie

Les taux d’intérêts constituent des variables économiques particulièrement suivies en assurance,

et d’autant plus en assurance vie. Leurs fluctuations présentent des impacts significatifs sur le bilan

d’un assureur. En effet, l’actif, principalement constitué d’instruments obligataires, est fortement

sensible aux mouvements de la courbe des taux d’intérêt. Il convient de rappeler la relation permet-

tant d’appréhender la dépendance du prix d’une obligation vis-à-vis des taux d’intérêt. Soient r un

taux d’actualisation continu et une obligation de prix P et de duration D :

dPP

= −D × dr

Autrement dit, en temps continu, l’impact d’un mouvement uniforme des taux d’actualisation

sur la valorisation d’une obligation est inversement proportionnel à sa duration. En assurance vie,

et d’autant plus pour un fond en euros, la duration des engagements techniques est supérieure à 10

ans. Une hausse de 100 points de base sur la courbe des taux entraîne une chute d’au minimum 10%

de la valorisation du portefeuille obligataire.

Des variations sur la courbe des taux impliquent également des impacts lors de l’évaluation des

engagements Best Estimate. Ces derniers sont calculés par actualisation des flux futurs. De plus un

scénario de hausse des taux implique généralement une vague de rachats massifs des contrats de la

part des assurés.

L’ensemble des études menées dans ce mémoire ont été réalisées sur un portefeuille aussi repré-

sentatif que possible du marché de l’assurance vie en France.

Pour ce mémoire, il a été question de s’intéresser aux différents mécanismes comptables condui-

sant à l’évolution du ratio de solvabilité en cas d’une hausse instantanée de la courbe de taux. La

méthodologie déployée consiste à appliquer un choc d’amplitudes diverses à la courbe des taux sans

risque. Le choc retenu est une translation de paramètres fixes (choc parallèle). Ce type de choc per-

met de modéliser une hausse brutale et immédiate des taux.

IX

L’évolution du ratio de couverture du SCR, en fonction du choc appliqué, est présentée sur la

figure 5. L’aspect linéaire de la courbe permet de projeter ce ratio à partir d’un modèle de régression

linéaire. Ce type de régression, pouvant être construit avec seulement deux SCR, permet d’effectuer

des tests de sensibilité sur la solvabilité d’un assureur vis-à-vis des mouvements de la courbe des

taux sans risque. Sur le portefeuille étudié, un mouvement uniforme de 1 point de base sur la courbe

des taux sans risque entraînerait une chute de 0,6 point du ratio de couverture.

80

120

160

0 25 50 75 100

Hausse de la courbe des taux (en BP)

Rat

io d

e co

uver

ture

(%

)

Figure 2 – Évolution du ratio de couverture du SCR

D’autre part, afin de mieux appréhender une hausse subite des taux d’intérêt, il a également été

question d’étudier différents mécanismes comptables du modèle de projection Actif/Passif, avec

parmi eux, l’évolution des taux de rachats dont les résultats sont présentés sur la figure 3. L’étude de

ces éléments s’est portée sur deux scénarios : le scénario central ainsi que le scénario pour lequel une

hausse de 100 points de base a été appliquée à la courbe des taux.

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50

Année de projection

Rac

hats

(en

% d

es P

M)

Central deterministe

Central stochastique

Up stochastique

Figure 3 – Évolution des taux de rachats

Dans un scénario de hausse de taux, une société d’assurance vie fait face à un risque de rachats

massifs intense et continu. Ce risque est principalement causé par l’inertie du portefeuille d’actifs.

X

Autrement dit, en cas de scénario entrainant une remontée des taux, les obligations achetées plu-

sieurs années auparavant auraient un rendement plus faible que celui observé sur le marché. Les

assurés sont alors incités à investir sur des produits concurrents plus rentables.

Conclusion

Les études exposées à travers ce mémoire ont permis de mettre en évidence une forte sensibilité

du ratio de couverture du SCR vis-à-vis des taux d’intérêt. D’autre part, l’option de rachat sur les

contrats d’assurance vie faisant intervenir et interagir trois parties – l’assuré, l’assureur et le marché

– est une source de risque particulièrement importante dans un scénario de hausse des taux. Cette

source de risque est même devenue en 1991 la cause de faillite d’une compagnie d’assurance. C’est

pourquoi, à travers la loi Sapin II, le Haut Conseil de Stabilité Financière est autorisé à suspendre,

retarder ou limiter les rachats sur les fonds en euros.

Enfin, à travers les différents tests de sensibilité effectués au cours de cette étude, il a été vu que la

bonne modélisation du comportement des assurés était nécessaire compte tenu de la sensibilité du

ratio de solvabilité par rapport à leur niveau. L’instauration du Prélèvement Forfaitaire Unique, éga-

lement appelé flat tax, modifiant en profondeur la fiscalité française pourrait causer une modification

du comportement de ses assurés. Par conséquent des études de la part des sociétés d’assurance vont

devoir être nécessaires afin de modéliser, de façon la plus adéquate, l’ensemble des comportements

des assurés.

XI

Executive summary

Introduction

The downward rates’ trend observed in recent decades has enabled insurers to offer attractive rates

to their policyholders. Nevertheless, in a scenario of rising of interest rates, insurance companies

would face several sources of risk.

Following the financial crisis and the disclosure of Greece’s bad public accounts in May 2010, the

European Central Bank (ECB) implemented a low interest rate policy. Among the measures deployed,

the Quantitative Easing consists for a central bank to massively buy debt from financial actors. The

main objective of this measure is to lower interest rates. Nevertheless, the end of the QuantitativeEasing scheduled for the end of 2018, the abnormal context of negative rates, the economic recovery

and an increasingly volatile economic environment could lead to a sudden rise of interest rates that

could undermine insurers’ solvency.

The objective of this paper is to study the impact that a rate increase would have on the solvency of

a life insurer. To answer this question, it was first necessary to develop an asset-liability management

model to calculate the technical reserves under Solvency II and capital requirements (SCR) for euro

funds.

ALM model

Life insurance companies are exposed to risks inherent in the assets, in the liabilities and in the

correlations between both of them. In the case of life insurance, the financial returns recorded on the

assets side have a direct influence on the evolution of an insurance company’s liabilities. For example,

surrender, as well as the revaluation of savings contracts through profit-sharing, are directly linked

XIII

to financial performance. In order to study and better anticipate the impact that a sudden increase of

interest rates would have on the solvency of a life insurer, it was decided to develop an asset-liability

management model.

One of the major difficulties for a life insurer is the valuation of the relationship between assets and

liabilities. The principle of an insurance asset-liability management model is to project the cash flows

of an insurance company over a defined time horizon. According to the guidelines of the Solvency II

Directive, the calculation of technical reserves is based on the principle of Fair Value. A modeling as

close as possible to reality is required. As such, it is necessary to simulate the evolution of the various

accounting items under French statutory standards French GAAP.

Assets Liabilities

EquitiesCapital Stock

Bonds

Capitalisation Reserve

Provision for liquidity risk

Profit Sharing Reserve

Mathematical

ProvisionReal estate

Cash

(a) Balance sheet

Excess

Assets Liabilities

Assets

Market Value

Basic Own

Funds SCR

Best Estimate of

Liabilities

(b) Economic balance sheet

Figure 4 – Modeling of balance sheets within the implemented model

Figure 4 shows the accounting and economic balances associated with the model developed. As

with any modelling approach, the one conducted in this paper is based on market practices but

has some simplifications. Concerning the balance sheet, only provisions that have an impact on the

present value of future cash flows have been implemented.

The study conducted in this paper required the recalculation of the SCR under many assumptions.

As such, it was necessary to deploy a model that significantly reduces the calculation times for asset-

liability projections. To do this, an innovative approach of flexing was implemented to reduce the

number of Model Points during projections. This approach aims to aggregate contracts by changing

the mortality and surrender tables. This assumption is based on the observation that only profit sha-

ring and the minimum guaranteed rate can change the distribution in proportion to policy liabilities

in stochastic scenarios.

XIV

Impact of a rate increase on a life insurer’s solvency

Interest rates are particularly important economic variables in insurance, and even more so in life

insurance. Their fluctuations have significant impacts on an insurer’s balance sheet. Indeed, assets,

mainly composed of bond instruments, are highly sensitive to movements of the interest rate curve.

It is worth recalling the relationship that makes it possible to understand the dependence of the price

of an obligation on interest rates. Let r be a continuous discount rate and a price obligation of P and

duration of D :dPP

= −D × dr

In other words, the impact of a uniform movement in discount rates on the valuation of an obli-

gation is inversely proportional to its duration. In life insurance, and especially for a euro fund, the

duration of technical commitments is more than 10 years. A 100 basis point increase in the yield

curve results in a minimum 10% drop in the valuation of the bond portfolio.

Changes in the yield curve also have an impact on commitments. These are calculated by discoun-

ting future cash flows. In addition, a scenario of rising rates generally implies a wave of massive

policy surrenders by policyholders.

All the studies conducted in this thesis were carried out on a portfolio that is as representative as

possible of the life insurance market in France.

For this paper, it was discussed to look at the different accounting mechanisms leading to the

evolution of the solvency ratio in the event of an instantaneous increase in the yield curve. The

methodology used consists in applying a shock of various amplitudes to the risk-free yield curve.

The shock retained is a translation of fixed parameters (parallel shock). This type of shock makes it

possible to model a sudden and immediate increase in rates.

The change in the SCR coverage ratio is shown in Figure 5. The linear aspect of the curve allows this

ratio to be projected from a linear regression model. This type of regression, which can be constructed

with only two SCRs, allows sensitivity tests to be carried out on the solvency of an insurer with

regard to movements in the risk-free yield curve. On the portfolio studied, a uniform 1 basis point

movement on the risk-free yield curve would result in a 0.6 point drop in the hedging ratio.

XV

80

120

160

0 25 50 75 100


Rat

io d

e co

uver

ture

(%

)

Figure 5 – Change in the SCR coverage ratio

In order to better understand a sudden increase in interest rates, it was also discussed to study

different accounting mechanisms of the Asset/Liability Management model, including the evolution

of surrender rates, the results of which are presented in Figure 6. These elements were studied under

two scenarios : the central scenario and the scenario for which a 100 basis point increase was applied

to the yield curve.

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50


Rac

hats

(en

% d

es P

M)



Up stochastique

Figure 6 – Change in surrender rates

In an interest rate increase scenario, a life insurance company faces an intense and continuous risk

of massive surrender. This risk is mainly caused by the inertia of the asset portfolio. In other words,

in the event of a scenario involving a rise in interest rates, bonds purchased several years earlier

would have a lower yield than that observed on the market. Policyholders are then encouraged to

invest in more profitable competitive products.

XVI

Conclusion

The studies presented in this paper have shown that the SCR’s coverage ratio is highly sensitive

to interest rates. On the other hand, the surrender option on life insurance contracts involving and

interacting with three parties – the policyholder, the insurer and the market – is a particularly im-

portant source of risk in a scenario of rising rates. This source of risk even became the cause of an

insurance company’s bankruptcy in 1991. This is why, through the Sapin II law, the Haut Conseil deStabilité Financière is authorised to suspend, delay or limit surrenders on euro funds.

Through sensitivity tests, it was seen that the proper modelling of policyholders’ behaviour was

necessary because of the sensitivity of the solvency ratio to their level. The introduction of the flattax which significantly modifies French taxation, could change the behaviour of its policyholders.

Consequently, insurance companies should carry out studies in order to model, in the most appro-

priate way, all the behaviour of policyholders.

XVII

Table des matières

Remerciements I

Résumé III

Abstract IV

Synthèse VI

Executive summary XII

Liste des figures XXIII

Liste des tableaux XXV

Introduction 1

1 Cadre de l’étude 6

1.1 Le taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Contexte historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Baisse continue des taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Les banques centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Impact d’un mouvement de taux sur le bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Risques liés aux placements obligataires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Évaluation des provisions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I Modélisation de contrats d’épargne en euros 12

2 Assurance vie et fonds en euros 14

2.1 Généralités sur l’activité d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Généralités sur l’assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Les contrats d’épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Le bilan comptable en normes statutaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Le bilan prudentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

XIX

TABLE DES MATIÈRES

2.3.1 De Solvabilité I à Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 La nécessité d’une modélisation ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Modélisation Actif-Passif dans le cadre des fonds en euros 22

3.1 Principes d’un modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Généralités sur la gestion Actif-Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3 Fonctionnement du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Principes d’un GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Facteurs de risques modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3 Modélisation des dépendances entre actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.4 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Hypothèses sur le modèle ALM développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Hypothèses liées à l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Hypothèses liées au passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Modélisation du bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Modélisation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Approche innovante du flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2 Généralités sur le flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.3 Présentation de l’approche implémentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.4 Analyse critique de cette approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Projection au sein du modèle Actif-Passif 42

4.1 Rappels sur la projection d’un bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Projection du portefeuille financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Revalorisation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Modélisation des produits financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3 Paiement des frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Paiements des prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Évaluation des décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Évaluation des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.3 Décaissements relatifs aux prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.4 Modélisation des frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Réallocation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Calcul de l’assiette de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.2 Stratégie de réinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.3 Mécanismes d’achat/vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

XX

TABLE DES MATIÈRES

4.5 Gestion des différentes provisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.1 Gestion de la PRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.2 Gestion de la réserve de capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 Revalorisation des contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.1 Calcul des résultats technique et financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.2 Politique de revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Construction des éléments comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7.1 Construction du compte de résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7.2 Construction du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8 Gestion de la fin de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Validation et limites du modèle ALM 64

5.1 Validation du moteur ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Définition de l’écart de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Validation à partir d’un scénario déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 Validation à partir de scénarios stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Limites du modèle implémenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.1 Projection du bilan en norme statutaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.2 Les Management Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Implémentation de la formule standard 74

6.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Présentation des modules considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2.1 Estimation du SCR Marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.2 Estimation du SCR Vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.3 Estimation du SCR Opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

II Application 82

7 Présentation du portefeuille d’étude 84

7.1 Synthèse du bilan étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.2 Présentation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.1 Portefeuilles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.2 Hypothèses relatives aux actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.3 Présentation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3.1 Présentation du portefeuille d’assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3.2 Hypothèses relatives aux passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Impact d’une hausse des taux 92

8.1 Méthodologie de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1.1 Application d’une hausse à la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1.2 Présentation des indicateurs analysés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

XXI

TABLE DES MATIÈRES

8.2 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2.1 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2.2 Duration des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2.3 Flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2.4 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.2.5 Mécanismes comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.3 Projection du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.4 Études de sensibilité sur le Best Estimate et sur le SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4.1 Effet de la loi de rachats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4.2 Sensibilité du ratio de couverture du SCR aux chargements . . . . . . . . . . . . 106

Conclusion 110

Annexes I

A Démonstration de la relation entre les taux d’actualisation et la sensibilité d’une obliga-

tion IV

B Construction d’une table de scénario suite à une agrégation de données VI

C Matrices de corrélation utilisées pour l’estimation du SCR en Formule Standard VIII

C.1 Matrice de corrélation des modules de risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

C.2 Matrice des risques sous-modulaires marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

C.3 Matrice des risques sous-modulaires vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Bibliographie IX

XXII

Liste des figures

1 Modélisation des bilans au sein du modèle implémenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

2 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

3 Évolution des taux de rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

4 Modeling of balance sheets within the implemented model . . . . . . . . . . . . . . . . XIV

5 Change in the SCR coverage ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

6 Change in surrender rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

1.1 Évolution du taux des OAT 10 ans françaises. Source : Banque de France [10] . . . . . . 8

3.1 Principe d’un modèle de projection Actif/Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Comparaison de l’approche directe et de l’approche avec flexing . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 Projection sur 1 an d’un bilan comptable au sein du modèle ALM implémenté . . . . . 45

4.2 Loi des rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Synthèse de la politique de revalorisation développée dans le modèle . . . . . . . . . . 60

5.1 Test de martingalité des déflateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Test de Market Consistency du modèle de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Analyse de la convergence sur 1000 scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1 Cartographie des risques selon la formule standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Cartographie des modules de risques retenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Choc appliqué sur les actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1 Statistiques concernant le profil des assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2 Répartition des TMG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.3 Distribution des provisions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4 Représentation des tables de mortalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.5 Représentation des tables de rachats structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.1 Construction d’un scénario de hausse des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.2 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.3 Flux de trésorerie nécessaires au calcul des engagements Best Estimate . . . . . . . . . . 97

8.4 Évolution des provisions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.5 Évolution des taux de rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

XXIII

LISTE DES FIGURES

8.6 Évolution de la Provision pour Participation aux Excédents . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.7 Évolution de la Réserve de Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.8 Projection du ratio de couverture du SCR selon une régression linéaire . . . . . . . . . . 103

8.9 Évolution des engagements Best Estimate selon la loi de rachats dynamiques . . . . . . 105

8.10 Évolution du ratio de couverture du SCR selon la loi de rachats dynamiques . . . . . . 106

8.11 Évolution des engagements Best Estimate en fonction des chargements . . . . . . . . . . 107

8.12 Évolution du ratio de couverture du SCR en fonction des chargements . . . . . . . . . . 108

XXIV

Liste des tableaux

2.1 Bilan comptable en assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Bilan prudentiel sous Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Modélisation du bilan comptable dans le moteur ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 Synthèse des flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Résultat financier d’une compagnie d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Nomenclature du compte de résultat implémenté dans le modèle . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Résultats sur le scénario équivalent certain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.1 Structure du portefeuille étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.2 Caractéristiques du portefeuille obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.3 Synthèse des portefeuilles actions, immobilier et monétaire . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.4 Frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.5 Allocation cible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.1 Comparaison des durations stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.3 Coût de l’option de rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.4 Plafonds de la loi de rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

XXV

Préambule

L’objet de ce mémoire s’inscrit dans une optique de développement d’outils actuariels au sein du

cabinet Sia Partners. Jusqu’alors, le cabinet Sia Partners ne disposait pas de modèle ALM suffisam-

ment précis lui permettant d’évaluer des engagements Best Estimate et des exigences en capital sous

Solvabilité II en assurance vie. C’est dans ce contexte qu’a été réalisé ce mémoire.

L’estimation des engagements techniques sous Solvabilité II s’effectue en vision Fair Value. Une

modélisation au plus proche de la réalité est alors requise. Néanmoins, comme toute démarche de

modélisation, le modèle ALM implémenté repose sur des hypothèses simplificatrices. La construc-

tion du modèle ALM a été effectuée selon les pratiques actuarielles émises par le groupe de travail

"Best Estimate of Liabilities Vie" de l’Institut des Actuaires Français [14]. L’ensemble de ces hypothèses

sont des pratiques de marché et seront présentées au cours de ce mémoire.

Le modèle développé a servi de base à des travaux de Recherche et Développement au sein de

l’Unité de Compétences Actuariat de Sia Partners. Celui-ci a permis d’effectuer des études concernant

l’intégration d’un modèle de diffusion de spreads au sein d’un GSE et également des études relatives

à la nouvelle norme IFRS 17.

Enfin, l’ensemble des études menées dans ce mémoire ont été réalisées sur un portefeuille aussi

représentatif que possible du marché de l’assurance vie en France. Le portefeuille financier et le

portefeuille d’assurés sont ceux d’une compagnie d’assurance vie française. Les autres éléments du

bilan ont été construits selon les statistiques fournies par la Fédération Française de l’Assurance

pour les sociétés d’assurance vie et mixtes en 2017 [11]. Le portefeuille à l’étude fera l’objet d’une

présentation dans ce présent rapport.

2

Introduction

Près de la moitié des français possède un contrat d’assurance vie. L’encours total associé à ce type

de placement représentait plus de 1 700 milliards d’euros en juin 2018. Afin de protéger l’épargne des

assurés, le régulateur encadre assez strictement les sociétés d’assurance qui font face à de nombreuses

sources de risque. Le risque de taux d’intérêt est l’un d’entre eux et est particulièrement important

pour les compagnies d’assurance vie.

La politique de taux bas menée par la Banque Centrale Européenne depuis près de 10 ans prendra

fin en 2018. Un contexte de reprise économique s’observe depuis plusieurs trimestres. L’ensemble de

ces éléments couplés à un environnement économique de plus en plus volatil pourraient conduire

à une remontée subite des taux. L’objectif de ce mémoire est alors de présenter l’impact qu’aurait

un tel évènement sur le passif ainsi que sur la solvabilité d’un assureur vie proposant des fonds en

euros.

Le calcul des provisions techniques sous la directive Solvailité II fait appel à différents types de

modélisation. Dans le cadre des fonds en euros, une modélisation stochastique des risques et la prise

en compte d’interactions Actif/Passif est nécessaire du fait, entre autres, des exigences règlemen-

taires de participation aux bénéfices. A ce titre, il s’agira au cours de ce mémoire de développer un

modèle de projection Actif/Passif permettant d’évaluer les engagements Best Estimate. La Formule

Standard a également été implémentée selon les spécifications de l’EIOPA afin d’estimer les exi-

gences en capital requis (SCR).

En second lieu, une méthodologie permettant de modéliser une hausse brutale et immédiate des

taux a été définie. Dès lors, il s’agira d’étudier, à l’aide du modèle ALM implémenté, les différents

mécanismes intervenant dans un contexte de hausse des taux. Des études de sensibilité sur le BestEstimate ainsi que sur le SCR seront également présentées afin de mieux anticiper une possible re-

montée des taux d’intérêt.

Ce mémoire accordera une importance particulière à la modélisation ALM et à la présentation des

méthodes actuarielles retenues.

4

Chapitre 1

Cadre de l’étude

Sommaire

1.1 Le taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Contexte historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Baisse continue des taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Les banques centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Impact d’un mouvement de taux sur le bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Risques liés aux placements obligataires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Évaluation des provisions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6

CHAPITRE 1. CADRE DE L’ÉTUDE

1.1 Le taux sans risque

Pour une devise fixée, le taux sans risque est un taux de référence correspondant à la valeur temps

de l’argent, sans risque de contrepartie. En général, il correspond au taux d’intérêt sur les marchés

des emprunts d’état de pays reconnus comme solvables. Par exemple, pour le dollar ou le yen, la

courbe des taux sans risque est établie à partir des emprunts d’états des États-Unis ou du Japon.

En Europe, l’euro est une devise présente dans plusieurs pays. Chacun des pays peut émettre de la

dette et dispose d’une banque centrale nationale. La courbe des taux sans risque correspond donc à la

courbe des taux la plus basse. Depuis la création de l’euro, il s’agit de la courbe des taux allemands. La

différence entre la courbe des taux d’un pays et la courbe des taux allemands est interprétée comme

un spread correspondant au risque de défaut du pays.

L’European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) publie de façon mensuelle une

courbe des taux sans risque dans le cadre de l’évaluation des provisions techniques sous Solvabilité

II. Cette courbe de taux est particulièrement suivie par les compagnies d’assurance. En effet, le niveau

des taux affecte à la fois le passif (actualisation) et l’actif (évaluation indirecte des actifs).

1.2 Contexte historique

1.2.1 Baisse continue des taux d’intérêt

Les Obligations Assimilables au Trésor (OAT) françaises sont des titres représentant une part d’un

emprunt de l’État Français, émises pour des maturités variables. Le taux de coupon des OAT de ma-

turité dix ans est un indicateur économique particulièrement suivi par les acteurs institutionnels.

Bien que des obligations de maturité 10 ans ne soient pas représentatives de l’exhaustivité du por-

tefeuille obligataire d’un assureur vie, elles constituent un indicateur : sa maturité est proche de la

duration usuelle de l’actif des assureurs.

L’historique du taux de l’OAT 10 ans depuis janvier 1987 a été tracé sur le graphique 1.1.

7


0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

1990 2000 2010 2020

Taux

OAT

10

ans

− F

ranc

e (e

n %

)

Figure 1.1 – Évolution du taux des OAT 10 ans françaises. Source : Banque de France [10]

Depuis plus de trois décennies les taux d’intérêt suivent une tendance à la baisse très marquée et

quasi ininterrompue. Une légère tendance haussière a été observée en 2017 mais ne s’est pas prolon-

gée en 2018.

1.2.2 Les banques centrales

Les banques centrales sont les institutions responsables de la gestion d’un système monétaire.

Leurs objectifs dépendent principalement des zones monétaires qu’elles encadrent. En zone euro, la

Banque Centrale Européenne (BCE) doit répondre à plusieurs objectifs.

• Maîtriser le taux d’inflation en le maintenant sous la barre des 2%, sans pour autant qu’il ne la

dépasse.

• Assurer la convergence des taux d’intérêt pour l’ensemble des pays de la zone euro. Les taux

d’intérêt ne doivent pas varier de plus de 2% par rapport à la moyenne des taux des trois États

ayant l’inflation la plus basse.

A la suite de la divulgation des mauvais comptes publics de la Grèce en mai 2010, la BCE a mis en

place une politique dite de taux bas. Différentes mesures ont été déployées par la BCE afin de remplir

ses objectifs. La première d’entre elles est le Securities Market Program permettant essentiellement

aux banques centrales nationales et à la BCE de racheter des parts importantes des dettes des états

membres. Cette mesure avait pour but de limiter la charge de la dette pour les pays de la zone euro

en évitant une envolée des taux d’intérêt.

Cependant, face à l’inefficacité de cette mesure et de la politique menée jusqu’alors, la BCE met en

place à partir de janvier 2015 le Quantitative Easing (QE). Cette mesure prévoit le rachat massif de

titres de dettes aux acteurs financiers (obligations d’états et d’entreprises). Ce programme est égale-

ment accompagné en 2016 d’une baisse des taux directeurs. L’ensemble de ces mesures a notamment

provoqué une baisse des taux d’intérêt.

8


En juin 2018, la BCE a annoncé l’arrêt de son programme d’achat massif de dettes pour la fin

de l’année 2018. L’institution a cependant indiqué que les taux directeurs resteraient à leur niveau

historiquement bas au moins jusqu’à la fin de l’été 2019.

La baisse des taux a dans un premier temps été favorable à l’activité d’assurance vie en permettant

aux compagnies d’assurance de proposer des rendements attractifs grâce à leurs précédents investis-

sements, dont le rendement devenait bien supérieur à celui observé sur les marchés. Néanmoins, le

risque de taux demeure une préoccupation majeure des assureurs. Une remontée des taux d’intérêt

pourrait mettre à mal leurs profits mais également leur solvabilité.

Les principales économies européennes observent depuis plusieurs décennies une baisse quasi

ininterrompue des taux d’intérêts. Ces derniers ont atteint des niveaux historiquement bas, jusqu’à

même devenir négatifs. Cette situation anormale ainsi que la fin du Quantitative Easing font craindre

une remontée subite des taux d’intérêts.

1.3 Impact d’un mouvement de taux sur le bilan

La tendance à la baisse des taux observée ces dernières décennies a permis aux compagnies d’as-

surance de servir des taux compétitifs. Néanmoins, en cas de scénario entrainant une remontée des

taux, les obligations achetées plusieurs années auparavant auraient un rendement moindre que celui

observé sur le marché actuel. Les assureurs se trouveraient alors exposés, entre autres, à un risque de

rachat massif.

Les conséquences d’une brusque hausse des taux sont multiples et affectent de nombreuses com-

posantes du bilan.

1.3.1 Risques liés aux placements obligataires

Les obligations constituent une partie importante du bilan des assureurs vie. Il s’agit d’un instru-

ment financier fortement sensible aux variations de taux.

Il convient de rappeler la relation permettant d’appréhender la dépendance du prix d’une obliga-

tion vis-à-vis des taux d’intérêt. Cette relation sera démontrée en annexe A.

dPP

= −S × dr

avec :

• P le prix de l’obligation ;

9


• S la sensibilité (ou modified duration) de l’obligation ;

• r le taux d’actualisation.

Autrement dit, pour une obligation de modified duration égale à 10 ans, une hausse d’un point du

taux d’actualisation entraîne une chute de 10% de sa valeur de marché.

En assurance vie, pour des contrats d’épargne, la duration d’un portefeuille d’assurés au passif est

généralement supérieure à 10 ans. Afin de faire correspondre les cash flows futurs, un assureur vie

doit disposer d’un portefeuille obligataire de duration proche de celle du passif. Par conséquent, la

sensibilité du portefeuille obligataire aux mouvements des taux est relativement importante.

Enfin, en période de hausse des taux, les obligations peuvent se trouver en situation de moins-

values latentes. Certes, en cas de réalisation de ces dernières, la réserve de capitalisation permet

d’en limiter l’impact. Mais dans le cas où cette réserve serait nulle, il serait nécessaire d’absorber les

moins-values en résultat.

1.3.2 Évaluation des provisions techniques

Présenté dans le chapitre suivant en section 2.3.2, le Best Estimate est défini comme l’espérance

des flux de trésorerie futurs actualisés.

En cas de hausse des taux, deux mécanismes entrent en jeu pour le calcul des provisions tech-

niques. Tout d’abord, l’actualisation pour le calcul du Best Estimate est plus forte ; cela viendra donc

en diminution des provisions. Néanmoins, dans un scénario de hausse des taux, la compagnie d’as-

surance se verra confrontée à un risque de rachats massifs, principalement causé par l’inertie du

portefeuille d’actifs. Il faut un certain temps pour que les rendements de l’assureur rattrapent ceux

observés sur les marchés. Les assurés sont alors plus susceptibles d’investir sur des produits concur-

rents plus rentables.

Adrien Suru rappelle dans son mémoire [2] les mécanismes ayant conduit la compagnie d’assu-

rance américaine Executive Life à la faillite en 1991, notamment à cause des rachats massifs.

1.4 Démarche

Ce mémoire a pour objectif d’étudier l’impact d’une hausse des taux sur la solvabilité d’un assu-

reur vie. Pour ce faire, la démarche mise en œuvre a d’abord consisté à implémenter un modèle de

projection Actif-Passif permettant d’évaluer les engagements Best Estimate pour des fonds en euros.

La Formule Standard a également été implémentée, selon les spécifications de la directive Solvabilité

II, afin d’évaluer les exigences en capital (SCR).

10


Le calcul d’un SCR nécessite d’effectuer de nombreuses simulations. L’une des principales pro-

blématiques pour un modèle ALM classique est le temps de calcul nécessaire pour évaluer un SCR.

L’une des approches couramment utilisées par les compagnies d’assurance consiste à regrouper les

contrats présentant des caractéristiques communes en Model Points. Au cours de ce mémoire sera

présentée une approche innovante permettant de réduire de façon significative le nombre de ModelPoints. Cette approche vise à agréger les contrats en modifiant les tables de mortalité et de rachat.

Cette hypothèse repose sur le constat que seuls la participation aux bénéfices et le taux minimum

garanti peuvent changer la répartition relative des provisions mathématiques dans les scénarios sto-

chastiques.

En dernier lieu, le mémoire étudiera l’impact d’un scénario de hausse des taux sur la solvabilité

d’un assureur vie. La méthodologie déployée consiste à appliquer une translation d’amplitudes di-

verses à la courbe des taux sans risque. Ce type de choc permet de modéliser une hausse brutale et

immédiate des taux. Dès lors, il s’agira d’étudier les différents mécanismes comptables activés par

cette hausse. Des tests de sensibilité seront également effectués afin de mieux anticiper une probable

hausse des taux.

11

Première partie

Modélisation de contrats d’épargne eneuros

12

Chapitre 2

Assurance vie et fonds en euros

Sommaire

2.1 Généralités sur l’activité d’assurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Généralités sur l’assurance vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Les contrats d’épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.2 Options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Le bilan comptable en normes statutaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Le bilan prudentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 De Solvabilité I à Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2.1 La valorisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2.2 La valorisation des éléments du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 La nécessité d’une modélisation ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

14

CHAPITRE 2. ASSURANCE VIE ET FONDS EN EUROS

2.1 Généralités sur l’activité d’assurance

2.1.1 Généralités sur l’assurance vie

L’assurance vie se caractérise par l’engagement de l’assureur à verser une prestation lorsque sur-

vient un événement lié à la durée de vie de l’assuré. Il est possible de distinguer deux événements

générateurs de la prestation.

• L’assurance en cas de décès : la compagnie s’engage à verser un capital ou une rente à un ou

plusieurs bénéficiaires lorsque le décès de l’assuré survient avant la fin du contrat.

• L’assurance en cas de vie : à la différence de la précédente, un capital ou une rente est versé à

l’assuré si ce dernier est toujours en vie.

En France, la désignation des contrats d’assurance vie dans le langage courant est trompeuse. Le

terme assurance vie est souvent employé pour désigner un contrat pouvant contenir une garantie en

cas de vie mais également en cas de décès. Cela peut être assimilé à un contrat d’épargne avec la par-

ticularité que l’échéance du contrat est aléatoire. Les primes versées ainsi que leurs revalorisations

sont garanties par l’assureur.

Ces contrats constituent un moteur essentiel à l’économie française et ont suscité l’intérêt de

nombreux souscripteurs dont les objectifs sont multiples :

• investir de façon peu risquée ;

• transmettre un patrimoine financier à des tiers du fait des avantages fiscaux en matière de

succession ;

• défiscaliser les revenus du capital.

Selon la Fédération Française des Assurances (FFA), l’encours total des contrats d’assurance vie

s’élevait à 1 701 milliards d’euros en juin 2018. A titre de comparaison, à la même date, le livret

A représentait un encours total de 260 milliards d’euros. A ce titre, l’assurance vie est couramment

dénommée "le placement préféré des français". Il s’agit effectivement du produit d’épargne le plus

important en termes d’encours.

2.1.2 Les contrats d’épargne

2.1.2.1 Description

Le contrat d’épargne est une assurance mixte. Sur le marché français, il en existe plusieurs types.

• Les contrats monosupports, également appelés fonds en euros. Le capital investi sur ce type

de fonds est garanti par la compagnie d’assurance. Les fonds en euros sont principalement

constitués d’obligations.

15


• Les contrats multisupports. Il s’agit de contrats ouvrant la possibilité d’investir sur des Unités

de Compte (UC). Le capital versé sur les fonds en UC est investi sur des actifs plus risqués

(Actions, SICAV, FCP, etc...). A l’inverse des contrats monosupports, le capital investi sur ces

derniers n’est pas systématiquement garanti par la compagnie d’assurance. Il se peut néan-

moins que le contrat soit accompagné d’une garantie plancher.

Dans le cas des contrats multisupports, le risque lié au montant investi sur les Unités de Compte

n’est pas porté par la compagnie d’assurance. Par conséquent, les exigences en capital sont moins

importantes pour ce type de contrats. Le cadre de cette étude se restreindra au cas des contrats

monosupports.

Dès lors et jusqu’à la fin de ce mémoire, les termes contrat d’épargne et fonds en euros désigneront

le même produit.

2.1.2.2 Options et garanties

Les garanties : Le Taux Minimum Garanti et la Participation aux Bénéfices

Dans le cas des contrats d’épargne, le capital investi sur les fonds est garanti par les compagnies

d’assurance. Ce capital est, chaque année, revalorisé par le biais de deux mécanismes :

• le taux minimum garanti (TMG). Ce taux est contractuel et doit être versé quels que soient les

rendements financiers de la compagnie d’assurance ;

• la participation aux bénéfices (PB). Cette dernière représente une partie des bénéfices financiers

et techniques réalisés par la compagnie d’assurance avec l’épargne des assurés.

Selon l’Article A331-4 du Code des Assurances, une compagnie d’assurance doit reverser à ses as-

surés a minima 85% du résultat financier et 90% du résultat technique de l’année. L’assureur possède

une certaine liberté pour distribuer la PB. En particulier, la PB peut ne pas être distribuée de façon

équitable entre les contrats et peut être différée dans le temps.

En général, du fait de la pression de la concurrence, l’assureur peut reverser aux assurés un mon-

tant de PB supérieur à l’exigence règlementaire.

L’option de rachat

Dans le cas des contrats d’épargne, les compagnies d’assurance proposent à leurs clients une option

de rachat. Cette option permet aux assurés de retirer leur épargne à tout moment et, en général, sans

pénalité.

Les assurés exercent le droit de racheter leur contrat dans différents contextes. Le comportement

de rachat est modélisé à travers deux mécanismes.

16


• Les rachats structurels : modélisation du comportement habituel des rachats calibré sur l’étude

statistique des rachats constatés sur les années précédentes. Ce type de rachat est modélisé

selon l’ancienneté du contrat et l’âge de l’assuré.

• Rachats conjoncturels : modélisation des départs vers la concurrence en fonction de la diffé-

rence entre le taux servi et les taux observés sur le marché.

Les rachats conjoncturels peuvent être coûteux pour une compagnie d’assurance. Dans un envi-

ronnement de hausse des taux, si la compagnie d’assurance n’offre pas des rendements suffisants aux

assurés, les rachats conjoncturels auront tendance à augmenter. De plus, dans ce même environne-

ment, les valeurs de marché obligataires seront à la baisse. Ainsi, dans le but d’honorer les rachats,

l’assureur pourrait devoir réaliser des moins-values.

2.2 Le bilan comptable en normes statutaires

Du fait de l’inversion du cycle de production, le bilan d’une compagnie d’assurance présente des

différences fortes par rapport à celui d’une entreprise traditionnelle. L’actif est très majoritairement

constitué de placements financiers. Le passif est quant à lui découpé en plusieurs composantes dont

seulement deux seront modélisés dans ce mémoire.

• Les fonds propres représentent la dette de l’entreprise à l’égard de ses actionnaires.

• Les provisions techniques représentent les charges probables qu’une entreprise aura à suppor-

ter en cas de réalisation d’événements générateurs de prestations. Il existe différentes provi-

sions en assurance vie. Parmi elles peuvent notamment être citées les provisions mathéma-

tiques (PM), la provision pour participation aux excédents (PPE) ou la provision pour risque

d’exigibilité (PRE). Ces provisions sont définies dans la section 3.4.2.2.

Actif Passif

Actifs en Valeur Comptable

VNC

Fonds Propres

Réserve de Capitalisation

Provision Mathématique

PM

Autres Provisions Techniques

Tableau 2.1 – Bilan comptable en assurance vie

17


2.3 Le bilan prudentiel

2.3.1 De Solvabilité I à Solvabilité II

En France, et jusqu’à l’entrée en vigueur de la directive Solvabilité II, le régime prudentiel auquel

étaient soumises les compagnies d’assurance était Solvabilité I.

Solvabilité I reposait sur trois principes.

1. Des provisions techniques suffisantes, calculées de façon prudente.

2. Les engagements devaient être représentés par des actifs équivalents sûrs et liquides.

3. L’assureur devait disposer d’une marge de solvabilité suffisante.

Ce régime présentait de nombreuses limites. Il était uniquement basé sur des éléments comptables.

De plus, la marge de solvabilité reflétait mal les risques portés par la compagnie d’assurance et le

régime n’était pas harmonisé au niveau européen.

C’est dans cette perspective qu’a été définie la directive Solvabilité II. Cette dernière a notamment

introduit un bilan prudentiel basé sur des éléments économiques.

2.3.2 Solvabilité II

La Directive 2009/138/CE du Parlement européen et du Conseil du 25 novembre 2009 [18], également

appelée Solvabilité II, a pris effet au 1er Janvier 2016. Cette dernière a pour principal objectif de

garantir la stabilité de l’activité d’assurance ainsi qu’une protection et une information appropriées

tant pour les investisseurs que pour les assurés.

Solvabilité II introduit une évaluation des risques à la fois quantitative et qualitative. A la diffé-

rence de Solvabilité I, les compagnies d’assurance sont tenues de prendre en compte l’ensemble des

risques auxquels elles sont soumises. Afin d’atteindre cet objectif, la directive a instauré la notion de

bilan prudentiel. Ce dernier permet d’avoir une vision économique du bilan. L’actif et le passif sont

évalués à leurs justes valeurs.

• Les actifs sont comptabilisés en valeur de marché.

• Les engagements techniques sont calculés en Fair Value. Aucune marge de prudence n’est com-

prise dans le calcul du Best Estimate.

18


Excédent

Actif Passif

Net Asset Value

NAV SCR

Risk Margin RMActifs en Valeur de Marché

VM

Best Estimate of Liabilities

BEL

Tableau 2.2 – Bilan prudentiel sous Solvabilité II

Dans le cadre simplifié considéré, la marge pour risque ne sera pas prise en compte. La somme

de cette dernière et du Best Estimate représente les engagements techniques d’une compagnie d’assu-

rance. Il convient également de noter que la réserve de réconciliation n’a pas été modélisée. Il s’agit

d’un élément composant les fonds propres et correspondant à la somme, après prise en compte de

l’impôt différé, des plus ou moins-values latentes et de l’écart entre les provisions comptables et la

provision économique Best Estimate.

2.3.2.1 La valorisation de l’actif

Le bilan prudentiel défini par la norme Solvabilité II repose sur une vision économique. Chacun

des éléments composant le bilan doit être estimé à la valeur à laquelle il peut être échangé. De ce

fait, dans la plupart des cas, les actifs sont évalués en valeur de marché.

2.3.2.2 La valorisation des éléments du passif

Le Best Estimate of Liabilities

Le Best Estimate est une notion centrale du bilan économique défini par Solvabilté II. Il permet

d’évaluer à leur juste valeur les engagements d’une compagnie d’assurance à l’égard de ses assurés. Le

Best Estimate est défini comme l’espérance des flux de trésorerie futurs actualisés avec la courbe des

taux sans risque, éventuellement corrigée d’un volatility adjustment (VA) afin de prendre en compte

la volatilité des marchés.

BEL = EP⊗Q

∑t≥1

Lt × δt

avec

• P la probabilité sous laquelle est modélisée la durée de vie des assurés ;

• Q la probabilité risque neutre ;

• δt le facteur d’actualisation s’exprimant en fonction du taux sans risque ;

• Lt les flux futurs de trésorerie. Ces montants sont constitués des prestations et des frais.

19


Compte tenu de la définition du Best Estimate, il convient de noter que le bilan prudentiel défini

par la directive Solvabilité II est prospectif.

Les Basic Own Funds

Comme le Best Estimate, les Basic Own Funds constituent un indicateur économique pertinent pour

la mesure de l’exposition au risque d’un assureur. Ils sont définis comme la différence entre l’actif

comptabilisé en valeur de marché et la somme des engagements valorisés en Best Estimate, marge

pour risque incluse.

BOF = VM0 − (BEL+RM)

2.4 La nécessité d’une modélisation ALM

Par définition, le Best Estimate est un indicateur économique : il est calculé à partir des flux futurs

sous-jacents aux engagements d’une compagnie d’assurance à l’égard de ses assurés. Il est alors né-

cessaire de projeter l’ensemble des éléments comptables d’une société d’assurance vie dès lors qu’ils

présentent un impact sur la valeur actuelles des prestations et des frais futurs.

En second lieu, dans le cas de l’assurance vie, les rendements financiers constatés à l’actif ont

une influence directe sur l’évolution du passif d’une compagnie. Par exemple, la revalorisation des

contrats d’épargne par le biais de la participation aux bénéfices ainsi que les rachats sont directement

liés à la performance financière.

Du fait de ces contraintes de modélisation, le choix d’un modèle Actif-Passif est nécessaire dans

le cadre d’un calcul de Best Estimate en assurance vie. Un tel modèle permet en effet de prendre en

compte les différentes interactions existant entre l’actif et le passif d’une compagnie d’assurance.

20

Chapitre 3

Modélisation Actif-Passif dans le cadredes fonds en euros

Sommaire

3.1 Principes d’un modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Généralités sur la gestion Actif-Passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3 Fonctionnement du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3.1 Algorithme du modèle ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3.2 Projection sur une année d’un bilan comptable . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Principes d’un GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Facteurs de risques modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2.1 Modèles de diffusion implémentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2.2 Le modèle de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2.3 Les modèles action et immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2.4 Le modèle d’inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3 Modélisation des dépendances entre actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.4 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Hypothèses sur le modèle ALM développé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Hypothèses liées à l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Hypothèses liées au passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Modélisation du bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1.1 Généralités sur les actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1.2 Les différentes classes d’actifs développées dans le modèle . . . . . . 32

3.4.2 Modélisation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2.1 Modélisation des fonds propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2.2 Modélisation des provisions techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.2.3 Modélisation du portefeuille épargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

22

CHAPITRE 3. MODÉLISATION ACTIF-PASSIF DANS LE CADRE DES FONDS EN EUROS

3.5 Approche innovante du flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2 Généralités sur le flexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.3 Présentation de l’approche implémentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.3.1 Première agrégation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.3.2 Modification des tables de scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.4 Analyse critique de cette approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

23


Dans ce chapitre seront présentés les principes généraux d’un modèle ALM ainsi que les choix

de modélisation effectués lors de l’implémentation du modèle. Sera également présenté en fin de

chapitre une approche innovante du flexing.

3.1 Principes d’un modèle ALM

3.1.1 Généralités sur la gestion Actif-Passif

L’une des grandes difficultés pour une compagnie proposant des contrats d’assurance vie est d’éva-

luer correctement les relations existant entre l’actif et le passif. L’objectif d’une modélisation Actif-

Passif est de projeter les différents flux d’une compagnie d’assurance.

Dans le cadre d’une telle modélisation, l’assureur doit gérer une multitude de flux de trésorerie.

Certains sont facilement prévisibles, comme par exemple les frais de gestion ou le paiement des

intérêts de la dette. En revanche, d’autres le sont moins : les prestations (décès ou rachat), les revenus

financiers... Dans le but d’évaluer sa solvabilité à tout moment, une compagnie d’assurance doit être

en mesure d’estimer ses encaissements et décaissements futurs.

Comme évoqué dans le chapitre précédent (section 2.3.2.2), le calcul d’un Best Estimate nécessite

de connaitre les flux futurs de trésorerie. La valeur économique des engagements dépend beaucoup

de l’actif que la compagnie possède en contrepartie. Par exemple, si le rendement financier est faible,

le rendement des contrats le sera également. Dans cet environnement, les assurés, mécontents, pour-

raient racheter leurs contrats. Une telle opération aura une incidence directe sur le Best Estimate.

L’un des principaux objectifs du modèle développé sera ainsi d’évaluer un Best Estimate pour un

assureur proposant des contrats d’épargne.

La figure 3.1 décrit le fonctionnement du modèle ALM développé. A partir d’un portefeuille initial

et de scénarios économiques, le modèle ALM implémenté permet de projeter des bilans comptables

et des comptes de résultat sur un horizon de projection donné. Compte tenu des résultats fournis par

le modèle, il est possible d’évaluer les engagements Best Estimate d’une compagnie d’assurance.

24


Model Points de passif

PM – Age- Sexe – Ancienneté –TMG – Chargements - …

Model Points d’actifs

Valeurs de marché – Valeurs comptables - …

Hypothèses

Mortalité – Rachats –Frais…

Tables de scénarios économiques

Courbes de taux

Inflation

Rendements

…

Moteur ALM

Actif PassifFlux

Figure 3.1 – Principe d’un modèle de projection Actif/Passif

3.1.2 Méthode de Monte-Carlo

Le modèle ALM implémenté s’appuie sur des scénarios stochastiques fournis à par le générateur

de scénarios économiques (GSE) présenté dans la section 3.2. Dans le cadre d’une modélisation avec

de tels scénarios, le Best Estimate peut s’estimer de la façon suivante :

Best Estimate =1N

N∑i=1

T∑j=1

Fluxi,j × δi,j

avec :

• N le nombre de scénarios économiques ;

• T l’horizon de projection ;

• Fluxi,j les flux de trésorerie de l’année j pour le scénario i ;

• δi,j le déflateur relatif à l’année j et au scénario i.

25


3.1.3 Fonctionnement du modèle ALM

Dans cette section sera présenté, dans les grandes lignes, le fonctionnement du modèle développé,

son algorithme ainsi que les étapes suivies afin de projeter un bilan comptable.

3.1.3.1 Algorithme du modèle ALM

Comme évoqué précédemment, le but d’un modèle ALM est de projeter sur N années les flux de

trésorerie d’une compagnie d’assurance. Ces flux permettront notamment de construire les comptes

de résultat et les bilans comptables futurs.

En général, il est nécessaire de choisir T suffisamment grand pour que les engagements de l’as-

sureur soient négligeables en fin de projection. Le choix de T dépend du type de produit modélisé,

de l’âge moyen des assurés ainsi que du niveau de la courbe des taux. Par exemple, dans un envi-

ronnement économique présentant des taux élevés, les facteurs d’actualisation seraient rapidement

très faibles. Par conséquent, il ne serait pas nécessaire de projeter les flux sur un horizon temporel

lointain.

D’autre part, le générateur de scénarios économiques fournit en entrée un millier de scénarios

avec le même horizon temporel. S’en suivent alors deux boucles imbriquées l’une dans l’autre. Une

première sur le pas temporel et l’autre sur les scénarios économiques. Ces différentes étapes sont

synthétisées dans l’algorithme 1.

Algorithme 1 Calcul d’un Best Estimatenb_scenarios← 1000

T ← 50

BE_scenarios← liste[nb_scenarios]

pour n = 1 à nb_scenarios faire

f lux← 0

pour t = 1 à T faire

f lux← f lux+Flux_Actualise(num_scen = n,annee = t)

fin pour

BE_scenarios[n]← f lux

fin pour

BE←MOYENNE(BE_scenarios)

26


3.1.3.2 Projection sur une année d’un bilan comptable

Au vu de l’algorithme précédent, le principe de fonctionnement d’un modèle ALM est d’abord

d’évaluer les flux de trésorerie pour un scénario et pour une année de projection fixés. Cette évalua-

tion s’effectue en plusieurs étapes.

• Étape 1 : Vieillissement du portefeuille financier.

• Étape 2 : Gestion du portefeuille épargne.

• Étape 3 : Calcul de l’assiette de trésorerie et réallocation des actifs.

• Étape 4 : Revalorisation des contrats.

• Étape 5 : Construction du bilan comptable et du compte de résultat en normes statutaires.

L’ensemble de ces étapes s’effectue sur une année calendaire. L’évaluation des engagements se fai-

sant au 31 décembre, une année désignera par la suite, et sans perte de généralité, la période allant

du 1er janvier au 31 décembre.

Le but de ce chapitre est de présenter les différents choix effectués lors de la modélisation d’un

bilan comptable d’une compagnie d’assurance. La projection de ce dernier sera vue de façon plus

approfondie dans le chapitre 4.

3.2 Générateur de scénarios économiques

Le GSE déployé dans le cadre de ce mémoire a été développé, en interne, par le cabinet Sia Partners.

Le but de ce mémoire n’est pas d’entrer en détail dans les spécifications techniques du généra-

teur de scénarios économiques. En revanche, de par l’importance accordée à la modélisation dans

ce mémoire, il est nécessaire, pour la compréhension des résultats du modèle ALM, de préciser la

modélisation retenue pour le GSE.

3.2.1 Principes d’un GSE

Un scénario économique correspond à la projection de grandeurs financières et/ou économiques

sur un horizon donné. Comme son nom l’indique, un GSE est un moteur permettant de générer des

scénarios économiques de façon stochastique.

La projection sur le long terme des actifs financiers constitue une phase importante dans l’im-

plémentation d’un modèle de gestion Actif-Passif pour une entreprise proposant des contrats d’as-

surance vie de par la longévité de ces contrats et de par leur forte dépendance à l’environnement

économique.

27


La construction de scénarios économiques permet également de déclencher des options qui ne le

seraient pas sur un scénario moyen.

3.2.2 Facteurs de risques modélisés

Le générateur de scénarios économiques permet de disposer d’un certain nombre de simulations

stochastiques. Quatre modèles de diffusion ont été implémentés :

• diffusion d’un indice action ;

• diffusion d’un indice immobilier ;

• diffusion de taux d’intérêt ;

• diffusion de l’inflation.

Il est à noter que les lois de diffusion des indices du GSE sont exprimés sous la probabilité risque

neutre. Autrement dit, l’espérance du rendement de tout actif est égal au taux sans risque donné par

la courbe des taux.

3.2.2.1 Modèles de diffusion implémentés

3.2.2.2 Le modèle de taux

Le modèle de taux développé dans le générateur de scénarios économiques est le modèle gaussien

à deux facteurs présenté dans l’ouvrage de Mercurio et Brigo [8]. Il s’agit d’un modèle où le taux

court s’écrit comme la somme de deux facteurs gaussiens corrélés et d’une fonction déterministe

permettant de reproduire la structure par termes de la courbe des taux.

rt = xt + yt +ϕ(t) ;

où : dxt =−α1 × xt × dt + σ1 × dW 1t ; x0 = 0

dyt =−α2 × yt × dt + σ2 × dW 2t ; y0 = 0

avec :

• α1 et α2 : coefficients de retour à la moyenne ;

• σ1 et σ2 : volatilités des processus ;

• (W 1t ) et (W 2

t ) : deux mouvements browniens tels que dW 1t dW

2t = ρdt ;

• ϕ une fonction déterministe avec ϕ(0) = r0.

Le modèle G2++ est calibré sur la base des prix de swaptions à la monnaie. Le calibrage vise à

estimer les cinq paramètres du modèle en minimisant l’écart entre les prix de marché et les prix

théoriques. L’estimation s’effectue par un algorithme d’optimisation tel que le recuit simulé.

28


3.2.2.3 Les modèles action et immobilier

La diffusion des indices action et immobilier est simulée par le modèle de Black-Scholes. L’expres-

sion du taux fournie par le modèle G2++ est directement intégrée dans l’équation de diffusion de

Black-Scholes. Pour rappel, sous la probabilité risque neutre, la dynamique d’un processus (St)t≥0

décrivant le cours d’une action selon le modèle de Black-Scholes est le suivant :

dSt = St ((rt − div)dt + σBSdWt)

avec :

• rt le taux court ;

• div le taux de dividende ;

• σBS la volatilité ;

• (Wt) un mouvement brownien.

3.2.2.4 Le modèle d’inflation

Le risque inflation est projeté selon le modèle de Vasicek. En univers risque neutre, l’évolution du

taux est décrite par la dynamique suivante :

drt = k(µ− rt)dt + σdWt

avec :

• k la vitesse de retour à la moyenne ;

• µ la moyenne à long terme ;

• σ la volatilité ;

• (Wt) un mouvement brownien.

Ce modèle permet de projeter l’inflation de telle sorte qu’elle oscille autour de sa valeur moyenne.

3.2.3 Modélisation des dépendances entre actifs

La modélisation de plusieurs types d’actifs implique l’étude de leurs corrélations. Dans le cadre

d’un GSE, cette modélisation se traduit par l’introduction d’une matrice de corrélation.

Les différentes corrélations sont introduites via le coefficient de corrélation linéaire :

ρX,Y =Cov(X,Y )σXσY

Ces corrélations ont été estimées en considérant les historiques du CAC 40, des prix du logement

de l’INSEE et des taux swap EURIBOR 6 mois.

29


3.2.4 Estimation des paramètres

Les différents modèles de diffusion implémentés ont été calibrés à partir de données datant du

31/12/2017, qui est la date de clôture la plus récente au moment de l’écriture de ce mémoire.

De part la complexité de sa mise en œuvre, le développement d’un générateur de scénarios éco-

nomiques peut donner lieu à des erreurs. Il est nécessaire d’effectuer différents tests afin de valider

les données fournies par le GSE. Les tests déployés seront présentés dans un chapitre ultérieur, lors

de la validation du modèle ALM (section 5.1.3.1).

3.3 Hypothèses sur le modèle ALM développé

L’implémentation d’un modèle ALM est censée refléter au mieux le cycle d’une compagnie d’assu-

rance. En revanche, un tel modèle ne peut être parfait.

De manière à limiter la complexité du modèle et par conséquent réduire le temps de calcul, un

certain nombre de simplifications ont été effectuées lors de l’implémentation du modèle.

Dans cette section seront présentées les hypothèses inhérentes aux spécifications techniques du

modèle et de façon plus générale à la directive Solvabilité II.

Les hypothèses simplificatrices retenues pour la modélisation du bilan comptable sont définies

dans la partie 3.4.

3.3.1 Hypothèses liées à l’actif

Les actifs évoluent selon les rendements fournis par le GSE. Les actifs sont ainsi supposés suivre les

hypothèses prises par le GSE : les actifs sont infiniment divisibles et le marché est supposé liquide.

Ils sont de plus projetés dans un univers risque neutre.

3.3.2 Hypothèses liées au passif

La société d’assurance est supposée fonctionner en run-off. Aucun nouveau contrat n’est souscrit

pendant la projection. De plus, les primes ne sont pas modélisées au sein du modèle.

Aucune réassurance n’a été implémentée au sein du modèle. Dans les faits, les contrats d’épargne

sont assez peu soumis à la réassurance.

30


3.4 Modélisation du bilan comptable

Le but de cette partie est de présenter les différents choix effectués lors de la modélisation du

bilan comptable dans le moteur ALM développé. Seront vus en premier les choix portant sur la

modélisation des éléments composant l’actif avant de s’intéresser à la modélisation des fonds propres

et des provisions.

Le tableau 3.1 présente le bilan simplifié considéré dans le cadre du modèle ALM développé.

Monétaire

Actif Passif

ActionsFonds Propres

Obligations


Provision pour Risque d'Exigibilité

Provision pour Participation aux Excédents


PMImmobilier

Tableau 3.1 – Modélisation du bilan comptable dans le moteur ALM

Selon la FFA [11], en 2017, l’actif des sociétés d’assurance vie et mixtes était principalement com-

posé d’obligations (70%), d’actions d’entreprises (16%), de trésorerie et dépôts (7%) et d’immobiliers

(4%). Ces placements financiers représentent plus de 95% de l’actif total des compagnie. Ainsi, seules

ces quatre classes d’actifs ont été implémentées dans le modèle ALM. La FFA classe les actifs restant

comme Autres actifs.

Concernant le passif : s’y trouvent les fonds propres, les provisions mathématiques ainsi que trois

autres provisions techniques. Seules les provisions ayant le plus d’influence sur les flux de trésorerie,

et par conséquent sur le Best Estimate, ont été prises en compte, à savoir : la réserve de capitalisation,

la provision pour risque d’exigibilité et la provision pour participation aux excédents.

3.4.1 Modélisation de l’actif

Dans cette partie, il convient d’expliquer les différents choix de modélisation effectués lors de la

projection du portefeuille d’actifs dans le modèle ALM développé.

3.4.1.1 Généralités sur les actifs

En comptabilité française (FRENCH GAAP), les placements financiers ne sont pas toujours comp-

tabilisés à leur valeur d’acquisition. Le Code des Assurances définit deux classes pour la comptabili-

31


sation des actifs : les actifs amortissables et les actifs non-amortissables.

Actifs amortissables

Selon l’Article R343-9 du Code des Assurances, chaque année, la valeur comptable du bien est

modifiée. Les actifs de ce type sont généralement des placements financiers assimilables à des obli-

gations. Autrement dit, il s’agit d’un titre à revenu fixe ou variable et ayant une valeur de rembour-

sement connue. L’amortissement vient constater la dépréciation de ces titres du fait de la tombée des

coupons.

Dans le cas du modèle ALM développé, seules les obligations à taux fixe entrent dans la catégorie

des actifs amortissables.

Actifs non amortissables

Les actifs non amortissables sont définis dans l’Article R343-10 du Code des Assurances. Il s’agit de

l’ensemble des actifs n’étant pas énumérés à l’Article R343-9. Ces derniers sont comptabilisés sur la

base du prix d’achat, ou de revient.

Plus ou moins-values

Les plus- (resp. moins-) values correspondent au profit (resp. perte) réalisé lors de la vente d’un

élément de l’actif.

Au cours de ce mémoire seront énumérés deux types de plus ou moins-values.

1. Les plus ou moins-values réalisées (PMVR) correspondent à un gain (ou une perte) effectif à la

suite d’une vente d’actif.

2. Les plus ou moins-values latentes (PMVL) correspondent à un gain (ou une perte) potentiel

dans le cas où l’actif devrait être vendu au moment du calcul.

3.4.1.2 Les différentes classes d’actifs développées dans le modèle

Les obligations

Une obligation est un instrument financier représentant une part de dette. Il existe différents types

d’obligations. Dans le cadre du modèle développé, seules les obligations à taux fixe ont été implé-

mentées. Ces dernières sont caractérisées par le versement de coupons en guise d’intérêts.

Une obligation est caractérisée par plusieurs paramètres.

1. Nominal : montant unitaire d’adossement des coupons.

2. Taux d’intérêt nominal : rémunération perçue par le porteur de l’obligation.

3. Modalités de remboursement : conditions dans lesquelles l’obligation est remboursée (date de

remboursement, valeur de remboursement).

32


La liste des paramètres énumérés ci-dessus n’est pas exhaustive. De nombreux autres paramètres

peuvent également entrer en compte. Il est par exemple possible de citer l’échéance des coupons, les

destinataires du contrat... En revanche, dans le cadre simplifié du modèle développé, il n’a pas été

nécessaire de tous les considérer. Seuls les paramètres présents dans la liste ont été pris en compte.

Risque neutralisation

Le spread de crédit correspond à un écart sur la courbe des taux zéro-coupon qu’il est nécessaire

d’appliquer afin d’aboutir au prix de l’obligation observé sur le marché.

Dans le cas de la projection d’obligations risquées, la probabilité de défaut de l’entreprise ayant

émis les obligations est non nulle. S’il est supposé qu’aucun défaut n’intervient, cette probabilité

n’est pas prise en compte. Ainsi, de façon à ne pas surestimer les flux engendrés par l’obligation,

un taux de défaut est appliqué chaque année sur le nominal et sur la valeur de remboursement de

l’obligation.

Le GSE développé ne comprend pas de modèle de diffusion des spreads. Cette problématique est

traitée par la prise en compte d’un taux de défaut fixe sur chaque obligation. Ce taux est calibré de

manière à retrouver la valeur de marché du titre considéré. Jusqu’à présent, une telle modélisation

était une pratique de place.

Afin de risque-neutraliser une obligation de spread s, le coefficient de défaut appliqué chaque

année est défini par :

c = exp{−s}

avec s le spread de crédit, constant, appliqué sur la courbe des taux sans risque afin de retrouver la

valeur de marché du titre.

Amortissement d’une obligation

Comme évoqué dans la partie précédente, l’obligation à taux fixe est un actif amortissable. De ce

fait, chaque année, après la tombée du coupon, sa valorisation dans le bilan comptable est modifiée.

L’amortissement d’une obligation correspond à la réévaluation de sa valeur du fait du versement

du coupon. Il convient ainsi de déterminer un taux d’amortissement de la valeur nette comptable.

Ce taux d’amortissement, noté par la suite ra, est calculé de telle sorte que la valeur nette comp-

table tende vers la valeur de remboursement de l’obligation lorsque celle-ci arrive à maturité.

Les actions

Une action est un titre délivré par une société à capitaux conférant à son détenteur une part du

capital. La détention d’un tel titre permet de dégager des revenus, appelés dividendes.

33


L’actif action est modélisé de manière globale à travers un indice, dont le rendement est fourni par

le générateur de scénarios économiques. Deux paramètres permettent de modéliser ce type d’actif :

la valeur comptable ainsi que la valeur de marché.

L’immobilier

L’immobilier est modélisé de la même façon que les actions : il est modélisé selon un indice dont le

rendement est fourni par le GSE. Au sein du modèle, l’actif immobilier est caractérisé par sa valeur

comptable et sa valeur de marché. De plus chaque année les actifs immobiliers produisent des loyers.

L’actif monétaire

L’actif monétaire représente les liquidités détenues par la compagnie d’assurance. Chaque année,

ce montant est placé au taux sans risque de maturité un an.

Outre ces quatre classes d’actifs, aucun autre élément n’est implémenté lors de la modélisation

de l’actif d’une compagnie d’assurance dans le cadre du modèle ALM développé.

3.4.2 Modélisation du passif

Au cours de cette section seront présentés les choix effectués lors de la modélisation du passif au

sein du modèle ALM. Il a été supposé que le passif d’une compagnie d’assurance était découpé en

deux principales parties : les fonds propres et les provisions techniques.

3.4.2.1 Modélisation des fonds propres

Généralités sur les fonds propres

Les fonds propres constituent la part d’une compagnie d’assurance détenue par ses propriétaires

(actionnaires, par exemple). De façon générale, les fonds propres peuvent être divisés en deux par-

ties :

• capital versé par les actionnaires ;

• profits générés qui ne sont pas distribués en dividendes.

Modélisation des fonds propres au sein du modèle

L’implémentation des fonds propres au sein du modèle ALM fait suite à leur définition. Deux va-

riables permettent ainsi de les modéliser.

Le premier élément est dénommé capitaux propres. Il correspond aux fonds propres de la compa-

gnie d’assurance lors du lancement du modèle.

La seconde variable permettant de modéliser les fonds propres est le report à nouveau (RAN). Il

est constitué de la somme des résultats générés par la compagnie d’assurance au cours de la projec-

34


tion. Ce dernier est toujours positif. Dans le cas où un résultat entraînerait un RAN négatif, la perte

impacterait la variable capitaux propres.

3.4.2.2 Modélisation des provisions techniques

Les provisions techniques correspondent à une part très importante du passif des compagnies

d’assurance. Le calcul d’un Best Estimate Vie doit simuler l’évolution des provisions comptabilisés

sous le référentiel français (French GAAP) dès lors que celles-ci présentent un impact sur la valeur

actuelle des prestations futures. Les provisions modélisées sont au nombre de quatre.

• Provision Mathématique ;

• Réserve de Capitalisation ;

• Provision pour Participation aux Excédents ;

• Provision pour Risque d’Exigibilité.


En assurance vie, la provision mathématique est l’une des provisions les plus importantes. Elle

correspond à la dette probable de l’assureur vis-à-vis de ses assurés. Cette provision est définie à

l’Article R322-2 du Code des Assurances comme la différence entre les valeurs actuelles probables

(VAP) des engagements respectivement pris par l’assureur et l’assuré :

PM = VAPassureur −VAPassuré

Dans le cas des contrats d’épargne, la valeur actuelle probable des engagements prise par l’assuré

est nul. La provision mathématique est alors égale au capital détenu par l’assuré. Ce dernier est

constitué des primes investies ainsi que des revalorisations passées.


La réserve de capitalisation est définie à l’Article R322-2 du Code des Assurances. Il s’agit d’une

réserve alimentée par les plus ou moins-values réalisées lors de la cession d’actifs amortissables.

Le rôle de la réserve de capitalisation est double. Elle permet de lisser les résultats en cas de moins-

values. Ceci permet à la compagnie d’assurance de construire une politique d’investissement moins

sensible aux variations de taux.

Cette réserve permet également de dissuader les compagnies d’assurance de vendre leurs obliga-

tions en cas de baisse des taux et de dégager des bénéfices ponctuels avant d’acquérir, plus tard,

d’autres obligations moins performantes.


Une compagnie d’assurance a pour obligation de verser un montant minimal de participation aux

bénéfices (PB) à ses assurés. Ce montant peut soit être versé directement sur les contrats soit être mis

35


en réserve afin de le verser plus tard. Dans le deuxième cas, le résultat non distribué est doté à la

Provision pour Participation aux Excédents (PPE). Cette provision permet à l’assureur de servir un

taux plus régulier à ses assurés.

La compagnie dispose de huit années pour redistribuer le montant doté. Cette provision fait

partie intégrante de la stratégie de revalorisation des contrats.

Provision pour Risque d’Exigibilité

Selon l’Article R331-5-1 du Code des Assurances, la provision pour risque d’exigibilité (PRE) est

destinée à faire face aux engagements de l’assureur en cas de moins-value de l’ensemble des actifs non

amortissables. La PRE est constituée lorsque les placements financiers non amortissables se trouvent

en situation de moins-value latente.

La dotation annuelle de la PRE ne peut excéder le tiers du montant de la moins-value latente

globale. Dans le cadre simplifié de ce mémoire, cette règle n’a pas été modélisée dans le moteur ALM.

La PRE introduit un effet d’anticipation des pertes probables et impacte, à travers la prise en

compte de la variation de ladite provision dans le compte de résultat, les exigences au titre des mi-nima de participation aux bénéfices règlementaires.

3.4.2.3 Modélisation du portefeuille épargne

Le portefeuille d’assurés d’une compagnie d’assurance est constitué de plusieurs contrats. Chaque

contrat est défini selon des éléments qui lui sont propres (propriétaire du contrat, âge, frais...).

La modélisation d’un portefeuille d’assurés est particulièrement délicate puisqu’il s’agit d’antici-

per le comportement des détenteurs des contrats. La qualité de l’évaluation d’un Best Estimate s’ap-

puie autant sur la qualité des données du portefeuille que sur les hypothèses émises permettant de

le modéliser. Pour ce faire, il convient d’associer des hypothèses de natures diverses aux contrats afin

d’anticiper au mieux les comportements futurs : données comptables, données comportementales,

données de gestion...

Au sein du modèle ALM développé, un contrat est défini par les éléments suivants :

• capital détenu par l’assuré (Provision Mathématique) ;

• sexe de l’assuré ;

• âge de l’assuré ;

• ancienneté du contrat ;

• taux minimum garanti associé au contrat ;

• chargement d’administration ;

• frais associés à la gestion du contrat ;

36


• frais associés aux prestations : rachats et décès.

3.5 Approche innovante du flexing

3.5.1 Contextualisation

La directive Solvabilité II insiste sur la qualité des données en définissant trois critères : exacti-

tude, exhaustivité et caractère approprié. Aucune technique de regroupement n’est proscrite par la

directive. Cependant, il est stipulé que l’utilisation de regroupements de contrats ne doit pas fausser

les résultats des projections. C’est pourquoi les méthodologies présentées dans cette section n’im-

pliquent aucune approximation dans l’évaluation des flux de trésorerie.

L’une des principales problématiques dans la conception d’un modèle ALM est le temps de calcul

nécessaire afin d’obtenir une estimation des engagements Best Estimate. Pour pallier ce problème,

plusieurs approches peuvent être mises en œuvre. L’une d’entre elles, couramment utilisée par l’en-

semble des compagnies d’assurance, consiste à effectuer des regroupements par Model Points de

contrats présentant des caractéristiques similaires. Cette approche permet de réduire le nombre de

lignes présentes dans le portefeuille d’assurés au passif de la compagnie.

Au cours de cette partie sera présentée une seconde approche permettant de réduire les temps de

calcul lors de projections ALM : le flexing. Une nouvelle approche, implémentée dans le modèle ALM

et permettant de réduire de façon significative les temps de calcul, sera également présentée.

3.5.2 Généralités sur le flexing

Lors d’une évaluation des engagements Best Estimate, de nombreux flux sont indépendants de

l’environnement économique, et par conséquent égaux quel que soit le scénario économique. Le

flexing est une approche consistant à projeter ces flux sur un scénario déterministe, puis de les uti-

liser dans le cadre des projections stochastiques. Lors d’une projection ALM, et plus spécifiquement

dans le modèle développé, les seuls flux pouvant être projetés selon cette méthodologie sont les décès

et les rachats structurels.

Cette approche est synthétisée dans la figure 3.2.

37


Actif Passif

Méthode de projection ALM par approche standard

Méthode de projection ALM avec flexing

Moteur ALM

Actif Passif

Moteur ALM

ActifFlux de PassifProjection des

flux de passif

Actif Passif

Figure 3.2 – Comparaison de l’approche directe et de l’approche avec flexing

3.5.3 Présentation de l’approche implémentée

L’approche déployée au sein du modèle est une combinaison des deux approches présentées. Sa

mise en œuvre est décomposée en deux parties.

1. Construction de Model Points selon une première agrégation des contrats.

2. Seconde agrégation entraînant la modification des tables de scénario.

Cette section détaillera ces deux étapes permettant de réduire le nombre de Model Points présents

dans le portefeuille des assurés.

3.5.3.1 Première agrégation des données

La première étape dans l’approche implémentée consiste à construire des Model Points en regrou-

pant les contrats selon des caractéristiques communes : l’âge de l’assuré, l’ancienneté du contrat,

le sexe et le TMG associé au contrat. Il s’agit d’une approche classique de construction des ModelPoints, particulièrement appliquée par les compagnies d’assurance. Cette première agrégation selon

ces quatre caractéristiques ne provoque aucune perte d’information au sein de la projection.

Une autre approche pourrait consister à utiliser des méthodes d’analyse de données (ACP, par

exemple) afin d’identifier des cohortes de contrats pouvant être regroupées. Néanmoins cette mé-

38


thode ne permet pas de conserver la totalité de l’information. L’estimation des provisions techniques

serait biaisée.

Ensuite, à partir des Model Points constitués, il est possible de procéder à l’approche classique

du flexing. Comme évoqué en section 3.5.2, les flux indépendants de l’environnement économique

peuvent être projetés sur un scénario déterministe. A titre de rappel, les flux répondant à ce critère

sont les décès et les rachats structurels.

3.5.3.2 Modification des tables de scénarios

Au cours de la deuxième étape, il s’agit d’effectuer une seconde agrégation. Le flexing repose sur

une hypothèse selon laquelle les interactions Actif/Passif se font exclusivement par l’intermédiaire

de deux mécanismes.

1. La participation aux bénéfices - dépendant seulement de l’environnement économique : rende-

ments des actifs, taux cible...

2. Le comportement dynamique des assurés, à savoir ici les rachats conjoncturels. La modélisation

de ces prestations, présentée en section 4.3.2.2, s’effectue par l’estimation d’un taux de rachats

dépendant à la fois de l’environnement économique (taux de référence) et données relatives

aux Model Points (taux servi).

Connaissant les flux futurs relatifs aux engagements, le seul mécanisme indépendant de l’envi-

ronnement économique et susceptible de modifier la répartition des Provisions Mathématiques est

le Taux Minimum Garanti. Une agrégation selon ce critère devient alors possible sans pour autant

perdre d’information.

Il convient de noter que les nouvelles caractéristiques des Model Points ne comprennent plus l’âge,

l’ancienneté ou le sexe. Pour ce faire, à partir des flux projetés et des hypothèses initiales, il est

possible de construire de nouvelles tables de scénarios. Il s’agit de calculer les moyennes des taux de

prestations pondérés par les provisions mathématiques.

Le détail de la construction de la nouvelle table de mortalité permettant de suivre l’évolution des

provisions mathématiques est présenté en annexe B. La construction des tables de rachats s’effectue

selon la même méthodologie.

Enfin, l’évolution d’un Model Point s’effectue selon deux caractéristiques : la provision mathéma-

tique lui étant associée mais également le nombre de contrats qu’il regroupe. Ces deux quantités

n’évoluent pas de la même façon. A ce titre, les tables de projection doivent être construites pour ces

deux quantités.

39


L’ensemble des étapes présentées dans cette partie permet de réduire le nombre de Model Points pré-

sents dans le portefeuille d’assurés. A la suite de la seconde agrégation, le nombre de Model Points consi-

dérés est égal au nombre de TMG différents.

3.5.4 Analyse critique de cette approche

Cette approche présente un avantage certain. Elle permet de réduire le nombre de lignes présentes

dans le portefeuille passif d’une compagnie d’assurance. Par conséquent, le temps de calcul néces-

saire pour l’évaluation d’un Best Estimate est plus faible.

Cette approche présente néanmoins des inconvénients. Tout d’abord, il n’est pas possible d’effec-

tuer des analyses à une maille fine au niveau du passif. Elle suppose de plus que le taux servi ne

dépend que du TMG.

40

Chapitre 4

Projection au sein du modèle Actif-Passif

Sommaire

4.1 Rappels sur la projection d’un bilan comptable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Projection du portefeuille financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Revalorisation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1.1 Gestion du portefeuille obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1.2 Gestion des portefeuilles action et immobilier . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2 Modélisation des produits financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3 Paiement des frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Paiements des prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Évaluation des décès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Évaluation des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2.1 Les rachats structurels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.2.2 Les rachats conjoncturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3 Décaissements relatifs aux prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.4 Modélisation des frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Réallocation des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Calcul de l’assiette de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.2 Stratégie de réinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.3 Mécanismes d’achat/vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.3.1 Cas 1 : Investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.3.2 Cas 2 : Désinvestissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Gestion des différentes provisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.1 Gestion de la PRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.2 Gestion de la réserve de capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 Revalorisation des contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.1 Calcul des résultats technique et financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.1.1 Le résultat technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.1.2 Le résultat financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.2 Politique de revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

42

CHAPITRE 4. PROJECTION AU SEIN DU MODÈLE ACTIF-PASSIF

4.6.2.1 Constitution des différents paniers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6.2.2 Montants pouvant être distribués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6.2.3 Gestion des chargements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6.2.4 Gestion de la PPE 8 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6.2.5 Synthèse de la politique de revalorisation . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.7 Construction des éléments comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7.1 Construction du compte de résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7.2 Construction du bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.8 Gestion de la fin de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

43


Dans cette partie seront présentées les différentes politiques modélisées au sein du modèle ALM

développé. Il convient de noter qu’il n’existe pas de politique universelle. De ce fait, les choix d’hy-

pothèses effectués sont propres au modèle implémenté. Les hypothèses retenues sont néanmoins des

hypothèses standards observées sur le marché.

La projection du bilan comptable s’effectue en plusieurs étapes. Le but d’une telle projection est de

déterminer le montant total des flux de trésorerie au cours de l’année de projection. Pour ce faire, il

est nécessaire de projeter, notamment à l’aide du GSE, le portefeuille financier de la compagnie d’as-

surance et d’estimer pour chaque trajectoire les prestations que l’assureur devra verser. Le paiement

de ces prestations nécessite un décaissement sur l’actif de l’assureur. Il est alors nécessaire d’émettre

des hypothèses sur la politique de réallocation ainsi que sur les réinvestissements obligataires. Enfin,

la dernière étape consiste à déterminer le taux de revalorisation appliqué sur les contrats d’épargne.

Une telle estimation nécessite de définir une politique de revalorisation.

Du fait de la projection du portefeuille d’assurés sur un horizon temporel (T=50 ans) ne permettant

pas de liquider l’ensemble des contrats, il est nécessaire d’émettre des hypothèses concernant la fin

de projection. Ces hypothèses seront présentées en fin de chapitre.

4.1 Rappels sur la projection d’un bilan comptable

L’ensemble des étapes retenues lors de la projection d’un bilan comptable au sein du modèle im-

plémenté sont synthétisées dans la figure 4.1.

La projection d’un bilan comptable peut se décomposer en trois principales parties.

En début d’année, il convient de projeter sur un an le portefeuille financier de la compagnie d’as-

surance. Au cours de cette étape sont calculées les valeurs de marché ainsi que les produits financiers

récoltés.

Dans un second temps, seront évaluées les prestations liées à la détention de contrats d’épargne :

décès et rachats. Suite à la variation des valeurs de marché ainsi qu’au paiement des prestations sera

effectuée une réallocation des actifs. Au terme de cette étape, à l’exception de la PPE, les différentes

provisions modélisées seront gérées.

En dernier lieu, seront calculés les différents résultats ainsi que la PB devant être distribuée. A

partir de cela les taux servis seront calculés. Et enfin, le bilan comptable sera établi.

44


Projection du portefeuille financier1. Évolution des valeurs de marché2. Récolte des produits financiers

Gestion du portefeuille épargne1. Vieillissement des Model Points2. Evaluation des prestations

Réallocation des actifs1. Calcul du solde de trésorerie2. Suivi de la stratégie d’investissement3. Mécanismes d’achat/vente

Revalorisation des contrats1. Détermination de la PB pouvant être

distribuée2. Gestion de la PPE3. Réalisation de plus values4. Calcul du taux servi

1. Gestion de la réserve de capitalisation2. Gestion de la PRE

1. Construction du compte de résultat2. Construction du bilan comptable

Début d’année

Milieu d’année

Fin d’année

Figure 4.1 – Projection sur 1 an d’un bilan comptable au sein du modèle ALM implémenté

4.2 Projection du portefeuille financier

La première étape lors de la projection d’un bilan comptable consiste à projeter le portefeuille

financier. Cela s’effectue en trois temps. Tout d’abord, les actifs sont revalorisés. Ensuite les produits

financiers sont récoltés. En dernier lieu, les frais financiers sont payés.

45


4.2.1 Revalorisation des actifs

4.2.1.1 Gestion du portefeuille obligataire

Le portefeuille obligataire est le portefeuille le plus complexe à modéliser. Sa gestion nécessite de

recalculer les valeurs de marché ainsi que les valeurs comptables à chaque arrêté. Il est notamment

nécessaire de risque-neutraliser les obligations soumises au risque de crédit.

Mise à jour des valeurs comptables

Chaque année, la valeur nette comptable est recalculée afin de prendre en compte la dépréciation

de l’obligation. Cette nouvelle valorisation dans le bilan comptable peut s’exprimer par :

VNCt =T∑

i=t+1

CFi × e−(i−t)×ra = VNCt−1 × e−ra

avec :

• T la maturité de l’obligation ;

• CFi les flux engendrés, durant l’année i, du fait de la possession de l’obligation ;

• ra le taux d’amortissement.

Mise à jour de la valeur de marché

Les valeurs de marché des obligations détenues par la compagnie d’assurance sont également recal-

culées en fonction des taux fournis par le GSE. La valeur de marché d’une obligation est déterminée

par actualisation de ses flux futurs.

VMt =T∑

i=t+1

CFi × e−(r(t,i−t)+s)×(i−t)

avec :

• T la maturité de l’obligation ;

• CFi les flux engendrés, durant l’année i, du fait de la possession de l’obligation ;

• r(t, i) le taux zéro-coupon de maturité i sur l’année de projection t ;

• s le spread.

Prise en compte des défauts

Dans le cas où des obligations soumises au risque de crédit sont présentes dans le portefeuille, il

est nécessaire de prendre en compte les défauts survenus. Pour ce faire, et comme présenté dans la

partie 3.4.1.2, les valeurs de remboursement ainsi que les nominaux sont écrêtés. Ces valeurs sont

écrêtées selon un taux de survie défini de la façon suivante :

Taux surviek = e−sk

avec sk le spread déterministe de l’obligation k.

46


4.2.1.2 Gestion des portefeuilles action et immobilier

Les portefeuilles action et immobilier sont modélisés de la même façon qu’un indice. Ainsi, leurs

valeurs de marché sont réévaluées selon les rendements, noté rdtt, fournis par le GSE :

VMt = VMt−1 × erdtkt ; k ∈ {action, immobilier}

4.2.2 Modélisation des produits financiers

Après avoir mis à jour les valeurs de marché des différents actifs, il convient de récolter les produits

financiers engendrés du fait de leur possession.

Récolte des coupons

Les obligations à taux fixe fournissent, chaque année, un revenu appelé coupon. Les coupons sont

calculés sur la base du nominal. Le montant total des coupons récoltés est calculé de la façon sui-

vante :

Coupon =M∑k=1

TauxCouponk ×Nominalk

avec :

• M le nombre d’obligations présentes dans le portefeuille ;

• TauxCouponk le taux de coupon de l’obligation k ;

• Nominalk le nominal de l’obligation k.

Récolte des dividendes et des loyers

Les dividendes (resp. loyers) sont calculés sur la base de la valeur de marché de l’actif.

Dividendest = VMt × tx_div

Récolte des intérêts monétaire

Chaque année, placé au taux sans risque 1 an, le montant investi dans le monétaire rapporte des

intérêts.

Intérêts_monétairest = VMMonétaire,t × r(t,1)

4.2.3 Paiement des frais financiers

Au sein du modèle ALM implémenté, deux types de frais financiers ont été modélisés :

• des frais sur les produits engendrés ;

• des frais de garde calculés sur les valeurs de marché.

Dans les deux cas, il s’agit d’un pourcentage retenu sur le montant en question.

47


4.3 Paiements des prestations

Le calcul des engagements sous le référentiel Solvabilité II repose sur le principe de Fair Value. Une

projection au plus proche de la réalité de la vie des contrats est requise. En ce sens, la prise en compte

de tous les comportements observables est nécessaire pour l’évaluation des provisions Best Estimate.

Une compagnie d’assurance proposant des contrats d’épargne fait principalement face à deux types

de prestations : les décès et les rachats. Il s’agit ainsi des deux seules prestations implémentées au

sein du modèle.

Dans le premier cas, la compagnie d’assurance doit verser le montant total du contrat à ses ayants

droits. Pour le cas des rachats, il est possible d’en distinguer deux types : les rachats partiels et les

rachats totaux.

La modélisation des prestations doit être cohérente avec les flux constatés historiquement. Au

cours de cette section il s’agira de présenter les choix retenus en matière de modélisation des com-

portements des assurés.

4.3.1 Évaluation des décès

Les prestations liées aux décès sont projetées à l’aide de tables de mortalité. Le Code des Assu-

rances autorise l’utilisation de différentes tables. Il peut s’agir de tables de mortalité produites par

l’INSEE sur l’ensemble de la population française. Néanmoins, la compagnie d’assurance peut éga-

lement utiliser des tables d’expérience construites sur son portefeuille d’assurés. En général, ce type

de table permet de modéliser de façon plus précise la mortalité.

Les prestations liées aux décès au cours de l’année t sont calculées sur le montant de la provision

mathématique détenue par les assurés.

Décèst =M∑k=1

PMkt × qkx

avec :

• M : le nombre de Model Points présents dans le portefeuille de l’assureur ;

• PMkt : la provision mathématique en début d’année t et pour le Model Point k ;

• qk : la probabilité de décès pour le Model Point k.

4.3.2 Évaluation des rachats

Les rachats sont la conséquence de différents comportements de la part des assurés. Deux caté-

gories de rachats ont été distinguées au sein du modèle de projection : les rachats structurels et

48


conjoncturel.

4.3.2.1 Les rachats structurels

Le premier type de rachat modélisé est le rachat structurel. Il s’agit d’un comportement classique

des assurés. Il est modélisé de façon déterministe à l’aide d’une table de rachats. Les tables de rachats

sont construites par les compagnies d’assurance via une analyse statistique du rachat sur les années

précédentes. En général, la table est fonction de l’âge et de l’ancienneté de l’assuré.

En général, du fait de la fiscalité avantageuse à partir de huit années de détention du contrat pour

l’assuré, les tables de rachats présentent un pic de rachats pour des anciennetés de 8 et 9 ans.

4.3.2.2 Les rachats conjoncturels

Il a également été montré que les assurés rachètent de manière corrélée avec la situation écono-

mique. Ainsi, en plus des rachats structurels, modélisés de façon déterministe, sont modélisés les

rachats conjoncturels. L’assuré exerce son option de rachat lorsqu’il constate un écart entre la reva-

lorisation de son contrat et un taux attendu.

Les rachats conjoncturels sont modélisés selon la loi de rachat proposée par l’EIOPA dans le cadre

du QIS5. Cette loi suppose que le rachat conjoncturel est fonction de l’écart entre le taux servi et un

taux représentatif de l’environnement économique. Dans le modèle développé, ce taux cible est le

taux sans risque 10 ans.

Rachats_conjoncturels =

RCmax blanc si α ≥ ∆taux

RCmax∆taux−βα−β si α < ∆taux ≤ β

0 si β < ∆taux ≤ γRCmin

∆taux−γδ−γ si γ < ∆taux ≤ δ

RCmin si δ < ∆taux

avec :

• ∆taux est la différence entre le taux servi et le taux cible ;

• α est le seuil en-deçà duquel les rachats sont constants et fixés à RCmax ;

• β et γ sont respectivement les seuils d’indifférence à la baisse et à la hausse du taux servi ;

• δ est le seuil au-delà duquel le taux de rachat est constant et fixé à RCmin.

L’EIOPA propose une estimation de ces paramètres. Le graphique 4.2 présente la fonction modéli-

sant ce type de rachats avec les paramètres fixés par l’EIOPA.

49


0.0

0.1

0.2

0.3

−0.075 −0.050 −0.025 0.000 0.025 0.050Différence entre taux servi et taux cible

Rac

hat c

onjo

nctr

el

Figure 4.2 – Loi des rachats conjoncturels

Le modèle permet également de différencier les rachats conjoncturels partiels et les rachats conjonc-

turels totaux. Un taux, noté α, a été mis en place pour pouvoir différencier les deux types de rachats :

τ = α.τpartiel + (1−α).τtotal

avec :

• τ : le taux de rachat conjoncturel ;

• α : la proportion des rachats conjoncturels étant des rachats partiels.

Le montant total des prestations liées aux rachats est calculé par Model Point et sur le montant de

provision mathématique qui lui est associé.

Prestations rachatst =M∑k=1

PMkt ×max

(τkstructurel, t + τkconjoncturel, t;0

)avec :

• M : le nombre de Model Points présents dans le portefeuille ;

• PMkt : la provision mathématique au cours de l’année t pour le Model Point k ;

• τkconjoncturel : le taux de rachat conjoncturel au cours de l’année t et pour le Model Point k ;

• τkstructurel, t : le taux de rachat structurel au cours de l’année t et pour le Model Point k. Ce taux

est la somme des taux de rachats structurels partiels et totaux.

50


4.3.3 Décaissements relatifs aux prestations

Le montant total de prestations décaissées par la compagnie d’assurance est égal à la somme des

décès et des rachats. De plus, dans le modèle développé, les prestations sont augmentées du TMG

sur 6 mois, selon l’hypothèse que les rachats et les décès sont uniformément repartis sur l’année.

Ainsi, le montant total relatif aux prestations devant être décaissé par la compagnie d’assurance

s’évalue de la façon suivante :

Prestations =M∑k=1

(Décèsk + Rachatsk)×(1 +

TMGk2

)avec :

• M : le nombre de Model Points présents dans le portefeuille ;

• Décèsk et Rachatsk : les prestations relatives au Model Point k ;

• TMGk : le Taux Minimum Garanti pour le Model Point k.

4.3.4 Modélisation des frais

La modélisation des frais liés à la gestion des obligations de la part d’une société d’assurance envers

ses assurés est nécessaire afin de prendre en compte l’ensemble des flux de trésorerie probables lors

de l’évaluation des engagements Best Estimate. Dans une perspective de projection en run-off, seuls

les frais récurrents ont été modélisés. Les frais pris en compte dans le modèle ALM peuvent être

ventilés selon différentes natures.

• Frais de gestions des contrats.

• Frais de gestion des prestations : frais sur décès et frais sur rachats.

Afin d’adopter une modélisation des frais la plus adéquate, les frais sont calculés en coûts unitaire.

L’inflation, fournie par le générateur de scénarios économiques, est de plus appliquée chaque année

sur le montant unitaire des frais.

4.4 Réallocation des actifs

Du fait de l’évolution des valeurs de marché et de la prise en compte des flux de trésorerie (récolte

de produits financiers, paiements des prestations...), l’allocation d’actifs évolue au cours des années

de projection. Il convient alors d’effectuer une réallocation du portefeuille financier afin de gérer la

composition et l’adéquation de l’ensemble des actifs et des passifs de l’entreprise

51


Cette étape s’effectue en plusieurs temps. En premier lieu, il est nécessaire de déterminer l’assiette

de trésorerie constituée des flux ayant eu lieu depuis le début de l’année.

Ensuite, le modèle développé vise à conserver une allocation stratégique cible en valeur de marché

à chaque pas de projection. Pour respecter cette contrainte, il convient de réallouer par des méca-

nismes d’achat/vente, chaque compartiment d’actif et à chaque période.

4.4.1 Calcul de l’assiette de trésorerie

La première étape consiste à déterminer l’assiette de trésorerie constituée des flux ayant eu lieu

depuis le début de l’année tant à l’actif qu’au passif. Elle est notamment composée des produits

financiers (dividendes, coupons, loyers), du remboursement des obligations arrivées à maturité, des

frais, des prestations ainsi que de leurs revalorisations.

L’ensemble des flux ayant eu lieu depuis le début de l’année de projection sont synthétisés dans le

tableau 4.1.

Décaissements Encaissements

Frais Produits financiers

sur les produits financiers Dividendes

sur les valeurs de marché Loyers

Coupons

Intérêts monétaires

Remboursement

Obligations arrivées à maturité

Frais

sur les prestations

de gestion

Prestations

Décès

Rachats

Revalorisations

Enga

gem

en

ts

Total EncaissementTotal Décaissement

Assiette de trésorerie

Act

if

Tableau 4.1 – Synthèse des flux de trésorerie

52


L’assiette de trésorerie est alors calculée par la différence entre la somme des encaissements et la

somme des décaissements.

L’assiette de trésorerie correspond à un flux auquel doit faire face la compagnie d’assurance. Au

sein du modèle implémenté, le solde de trésorerie est absorbé par l’actif monétaire, quel que soit son

signe. Cela permet ainsi de déterminer le montant de cash existant afin de procéder à la ré-allocation

du portefeuille financier.

4.4.2 Stratégie de réinvestissement

La seconde étape d’une réallocation d’actifs consiste à suivre une stratégie de réinvestissement.

Elle est notamment définie par une allocation cible.

Une stratégie d’investissement a plusieurs objectifs. Le premier est un but de gestion et de suivi des

risques. Le second objectif d’une stratégie de réinvestissement est d’assurer des projections réalistes.

Dans la littérature, de nombreuses stratégies sont présentées. Il existe des stratégies évolutives

dépendant des environnements économiques fournis par le GSE. Ce type de stratégie permet de

mieux projeter les objectifs d’une compagnie d’assurance.

La stratégie d’investissement développée dans le moteur ALM est une stratégie dite statique. Il

s’agit d’une allocation cible, fixée en début de projection pour les différentes classes d’actifs modéli-

sées.

4.4.3 Mécanismes d’achat/vente

Lorsque l’allocation cible est définie, il convient d’acheter ou de vendre des actifs afin de la respec-

ter. Dans chacun des cas, différentes hypothèses ont été émises afin que le modèle ALM projette au

mieux la stratégie de la compagnie d’assurance.

Les mécanismes d’achat/vente consistent à faire converger l’allocation d’actifs observée vers l’allo-

cation cible définie.

4.4.3.1 Cas 1 : Investissement

Portefeuille obligataire

Parmi les classes d’actifs modélisées, les obligations sont celles ayant le plus de caractéristiques.

Un portefeuille obligataire de réinvestissement doit être défini.

53


En fonction de l’environnement économique, les taux des coupons des obligations varient. Ainsi, à

chaque année de projection, les taux de coupon du portefeuille obligataire sont recalculés en fonction

de la courbe zéro-coupon fournie par le GSE.

Le réinvestissement s’effectue uniquement sur des obligations émises au pair et non soumises au

risque de crédit. De ce fait, pour une obligation de maturité T , le taux de coupon est défini de la

façon suivante :

T∑t=1

N × c × exp {−t × r(t)}+N × exp {−T × r(T )} =N

⇔ c =1− exp {−T × r(T )}T∑t=1

exp {−t × r(t)}

Portefeuilles action et immobilier

En cas d’investissement sur ces portefeuilles, la valeur de marché et la valeur comptable sont

augmentées du montant investi.

4.4.3.2 Cas 2 : Désinvestissement

Portefeuille obligataire

La vente de certaines obligations peut engendrer la réalisation de moins-values. Les obligations

n’ont ni le même risque ni le même rendement. Par conséquent, la vente d’obligations doit s’effectuer

selon une politique de gestion risque/rendement définie par la compagnie.

Au sein du modèle ALM développé, deux hypothèses ont été faites concernant la vente des obliga-

tions. En premier lieu, il convient de vendre les obligations soumises au risque de crédit (spread non

nul). Il s’agit des obligations présentes dans le portefeuille initial. En second lieu sont vendues les

obligations dont la maturité résiduelle est minimale.

Portefeuilles action et immobilier

La vente d’actions ou d’immobilier s’effectue dans l’optique de conserver une cohérence dans le

montant des plus ou moins-values latentes. Les nouvelles valeurs de marché et valeurs comptables

sont calculées de la façon suivante :

VCt← VCt

(1− Vente

VMt

)VMt← VMt −Vente

54


4.5 Gestion des différentes provisions

A la suite des premières étapes, la gestion de deux provisions est nécessaire : la provision pour

risque d’exigibilité et la réserve de capitalisation.

4.5.1 Gestion de la PRE

A la suite de la revalorisation des actifs non amortissables (action et immobilier), les PMVL ont

évolué. A ce titre, il est nécessaire de mettre à jour la PRE.

Dans le modèle, la PRE est considérée comme égale à la somme des moins-values latentes globales

sur les actifs action et immobilier. Comme évoqué dans la section 3.4.2.2, la gestion de la PRE au

sein du modèle développé est sensiblement différente de celle définie dans l’Article 322-2 du Code

des Assurances.

4.5.2 Gestion de la réserve de capitalisation

Suite à la réallocation des placements financiers, il a pu être nécessaire de vendre des obligations.

Une telle opération entraîne la réalisation de plus ou moins-values. Ces flux sont alors intégrés à la

réserve de capitalisation.

Il convient de noter que la réserve de capitalisation ne peut être négative. Une réalisation de moins-

value supérieure au montant présent dans la réserve viendrait impacter le résultat de l’année.

4.6 Revalorisation des contrats

Au sein du modèle développé, la dernière étape lors de la projection du bilan comptable est la

revalorisation des contrats. Cette étape s’effectue en plusieurs temps. Dans un premier temps, il

convient de déterminer les résultats technique et financier. Sera ensuite appliquée la politique de

revalorisation.

4.6.1 Calcul des résultats technique et financier

Dans le but de déterminer le montant de revalorisation pouvant être distribué aux assurés, il

convient de déterminer le résultat de la compagnie d’assurance. Selon la définition faite par le Code

des Assurances de la participation aux bénéfices, il est nécessaire de différencier le résultat technique

du résultat financier.

55


Dans ce qui suit seront présentés les résultats technique et financier avant la revalorisation des

contrats. Ils ne prennent ainsi pas en compte le montant de PB distribué, l’impôt sur les sociétés

ainsi que la participation distribuée aux salariés. Il s’agit de proxies utilisés afin de déterminer le

montant de participation aux bénéfices pouvant être distribué aux assurés.

4.6.1.1 Le résultat technique

Pour le calcul du minimum de PB règlementaire, et dans le cadre du modèle ALM développé, le

résultat technique est constitué des charges sur provisions. Il convient de noter que pour des fonds

en euros les charges sur provisions mathématiques sont nulles. Par conséquent, seules les charges sur

PRE sont prises en compte dans le résultat technique.

4.6.1.2 Le résultat financier

Le résultat financier exprime le résultat réalisé par une compagnie en raison de sa situation finan-

cière. Il est calculé à partir des produits réalisés auxquels sont soustrait les charges.

Le résultat financier, tel que calculé au sein du modèle de projection, est présenté dans le tableau

4.2.

Charges Produits

Frais Produits financiers

Frais sur valeurs de marche Dividendes

Frais sur produits Loyers

Coupons

Moins values réalisées (MVR) Intérêts monétaires

MVR Actions

MVR Immobilier Plus values réalisées (PVR)

MVR Obligations PVR Actions

PVR Immobilier

Charges provisions PVR Obligations

Charges sur réserve de capitalisation

Variation VNC

Variation VNC obligataires

Résultat financier

Total Charges Total Produits

Tableau 4.2 – Résultat financier d’une compagnie d’assurance

Le résultat financier exprime les gains - ou les pertes - engendrés du fait de la détention de pla-

cements financiers. Une part de ces actifs appartient aux actionnaires de la compagnie. Il convient

ainsi qu’une part de ce résultat leur soit distribué.

56


Le modèle de gestion Actif-Passif développé ne permet pas de cantonner les actifs. Ainsi, une

règle de proportionnalité est appliquée afin de déterminer la part du résultat financier devant être

distribuée aux assurés.

Résultat financier assurés =(1− Fonds Propres

Passif total

)×Résultat financier

Dès lors, l’expression "résultat financier" désignera la part du résultat financier correspondant aux

provisions techniques.

4.6.2 Politique de revalorisation

Une politique de revalorisation est définie par l’ensemble des règles mises en place par une com-

pagnie d’assurance lors de la revalorisation des contrats. Pour l’assureur, il existe une contrainte

contractuelle qui est de fournir a minima le TMG ainsi qu’une contrainte règlementaire lui imposant

de redistribuer une partie de son résultat. En revanche, il existe de nombreuses voies pour atteindre

ces objectifs. C’est pourquoi, dans un objectif de projection de bilans comptables, il est nécessaire de

modéliser, à travers la politique de revalorisation, les choix effectués par une compagnie d’assurance.

De manière générale, il n’existe pas de politique de revalorisation universelle. Ainsi, la politique

présentée dans ce qui suit est la politique développée dans le moteur ALM.

4.6.2.1 Constitution des différents paniers

Dans le modèle développé, différents paniers ont été calculés afin de déterminer les montants

devant être distribués aux assurés.

Premier panier : Taux minimum garanti

Le premier panier est constitué du montant devant être distribué afin de verser le TMG à chacun

des contrats. Le montant total ainsi nécessaire peut être calculé comme suit :

Panier1 = Revalorisation prestation +M∑k=1

PMk ×TMGk

avec :

• M le nombre de Model Points dans le portefeuille de la compagnie ;

• PMk le montant de provision mathématique pour le Model Point k ;

• TMGk le taux minimum garanti pour le Model Point k.

La suite de cette partie décrira les hypothèses émises afin que la compagnie d’assurance puisse,

dans tous les scénarios, verser ce montant à ses assurés.

57


Deuxième panier : Taux cible

Le deuxième panier est quant à lui composé du montant nécessaire afin que la compagnie d’as-

surance revalorise ses contrats au taux cible. Le taux cible retenu est le taux sans risque 10 ans.

L’hypothèse selon laquelle le taux cible est le taux sans risque 10 ans permet, dans le cadre de la

modélisation ALM, de minimiser les rachats conjoncturels.

Le montant relatif à ce panier est calculé de la façon suivante :

Panier2 =M∑k=1

PMk ×max {Taux cible−TMGk ; 0}

avec :

• M le nombre de Model Points dans le portefeuille de la compagnie ;

• PMk le montant de provision mathématique pour le Model Point k ;

• TMGk le taux minimum garanti pour le Model Point k.

4.6.2.2 Montants pouvant être distribués

Résultat

Afin de satisfaire la condition de PB minimale, l’approche retenue dans le modèle est de verser

l’intégralité des résultats aux assurés. Ainsi, à partir des résultats déterminés dans la partie 4.6.1, la

part du résultat distribué est la suivante :

Résultat =Max {Max {Résultat financier ; 0}+ Résultat technique ;0}

Plus-values latentes

Le versement des TMG est obligatoire pour une compagnie d’assurance. Ainsi, si le résultat n’est

pas suffisant, il est nécessaire de réaliser des plus-values.

Seules les plus-values de titres non amortissables peuvent être réalisées. La réalisation de plus-

values obligataires n’entre pas en compte dans le calcul du résultat. Elles sont dotées dans la réserve

de capitalisation.

En cas de réalisation de plus-values, les actifs sont vendus selon un ordre de liquidité défini dans

le modèle. Les actions sont alors vendues en priorité. Dans le cas où cela ne serait pas suffisant, le

modèle procède à la vente d’actifs immobiliers.


Afin d’atteindre le taux cible, la compagnie d’assurance peut effectuer des reprises sur la PPE. En

revanche, la PPE appartient déjà aux assurés. Ainsi, la compagnie d’assurance ne peut en aucun cas

reprendre la PPE afin de servir le TMG à ses assurés.

58


Dans le modèle développé, la reprise de PPE est réalisée en priorité sur le stock le plus ancien.

Il convient de rappeler que le montant de la PPE dotée huit années auparavant doit obligatoire-

ment être distribué aux assurés.

4.6.2.3 Gestion des chargements

Il n’existe pas de méthode universelle permettant de gérer les chargements dans une politique de

revalorisation. L’approche retenue dans le modèle consiste à faire varier le taux de chargement en

fonction des montants pouvant être distribués.

Pour rappel, la compagnie d’assurance a pour obligation de verser a minima le TMG à ses assurés.

Les chargements ne peuvent pas venir en diminution de ce montant. Pour ce faire, le montant total

de chargement est repris à l’assiette de produits financiers de l’année à laquelle a déjà été repris le

montant nécessaire afin de revaloriser l’ensemble des contrats aux TMG. Dans le cas où cette assiette

ne serait pas suffisante, les chargements appliqués seraient diminués.

4.6.2.4 Gestion de la PPE 8 ans

Dans le cas où le taux cible a été servi pour chacun des contrats et qu’il reste une part de la PPE

dotée huit années auparavant, le montant est versé sur tous les contrats proportionnelement à la PM

qui leur est associée.

4.6.2.5 Synthèse de la politique de revalorisation

La politique de revalorisation implémentée dans le modèle a été synthétisée dans la figure 4.3.

59


PPE > Panier 2

Reste(1) < PVL non obligataires

OUI NON

OUI NON

Extériorisation des PVLExtériorisation des PVL

Diminution fonds propres

Résultat > Panier 1

OUI NON

- Reprise de la PPE- Revalorisation des

contrats au même taux

PPE 8 ans > 0

OUI NON

Verser le montant doté à la PPE 8 années auparavant

au prorata de la PM

Dotation du reste(1) à la PPE

- Reprise de la PPE- Revalorisation des

contrats au taux cible

(1) : Reste = Panier 1 - Résultat

Gestion des chargements

Figure 4.3 – Synthèse de la politique de revalorisation développée dans le modèle

La variable Reste, annotée par la référence (1), est définie comme la différence entre le montant

relatif au premier panier et le résultat pouvant être distribué.

60


4.7 Construction des éléments comptables

Lors d’une projection, la dernière étape est la construction des différents éléments comptables : le

compte de résultat et le bilan.

4.7.1 Construction du compte de résultat

Le premier élément construit est le compte de résultat. Il est établi pour l’exercice d’inventaire.

Le compte de résultat modélisé au sein du modèle ALM a été construit selon la nomenclature

présentée dans le tableau 4.3.

- Charges sur Provisions Mathématiques

- Prestations

+ TMG et PB incorporés à la PM - nets de chargements

+ Chargements d'administration

- Frais

+ Résultat financier

- Charges sur Réserve de Capitalisation

- Charges sur Provision pour Participation aux Excédents

- Charges sur Provision pour Risque d'Exigibilité

- TMG et PB incorporés à la PM - nets de chargements

- Revalorisation des prestations

- Impôt sur bénéfices

- Participation salariés

Marge financière

Résultat de l'exercice

Compte de résultat

Marge de souscription

Marge de gestion

Tableau 4.3 – Nomenclature du compte de résultat implémenté dans le modèle

Le résultat de l’exercice est égal à la somme des marges de souscription, de gestion et financière

auxquelles sont déduits l’impôt sur les bénéfices et la participation versée aux salariés.

Il convient de noter que la nomenclature présentée diffère de celle établie par l’Autorité des Normes

Comptables (ANC) dans le règlement n°2015-11 relatifs aux comptes annuels des entreprises d’as-

surance [5].

61


4.7.2 Construction du bilan

Le bilan est construit selon la même nomenclature que celle présentée dans le chapitre précédent

au tableau 3.1. Le nouveau résultat est mis à jour dans le bilan. Le résultat du précédent exercice est

quant à lui intégré aux fonds propres (cf. section 3.4.2.1).

4.8 Gestion de la fin de projection

En général, l’horizon de projection (50 ans) n’est pas suffisant pour liquider l’ensemble des provi-

sions mathématiques présentes dans le portefeuille. Il convient ainsi d’émettre des hypothèses de fin

de projection.

Dans le modèle implémenté, la fin de projection est modélisée par la liquidation de la compagnie

d’assurance. Cela se traduit ainsi par le versement des différents éléments du passif à leurs déten-

teurs. Il a été supposé que les versements se faisaient de la façon suivante :

• actionnaires : Fonds propres, Réserve de Capitalisation résiduelle et PRE ;

• assurés : Provisions Mathématiques et PPE.

Le versement de ces éléments se traduit par la vente de la totalité des actifs. Les plus ou moins

values-réalisées ont été supposées appartenir aux actionnaires.

62

Chapitre 5

Validation et limites du modèle ALM

Sommaire

5.1 Validation du moteur ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Définition de l’écart de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Validation à partir d’un scénario déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.2.1 Construction du scénario équivalent certain . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.2.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 Validation à partir de scénarios stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3.1 Validation d’un GSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.3.2 Étude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Limites du modèle implémenté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.1 Projection du bilan en norme statutaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1.1 Hypothèses inhérentes à l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1.2 Simplifications effectuées au passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1.3 Les rachats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2.1.4 Gestion du pas temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.2 Les Management Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.2.1 Allocation stratégique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.2.2 Politique de versement de la Participation aux Bénéfices . . . . . . . 72

64

CHAPITRE 5. VALIDATION ET LIMITES DU MODÈLE ALM

5.1 Validation du moteur ALM

L’implémentation d’un modèle ALM revêt un caractère complexe de par le déploiement de nom-

breux modules entrelacés. Par conséquent, une erreur d’implémentation peut conduire à des incohé-

rences dans les flux de trésorerie. Il convient ainsi de procéder à des tests afin de valider la cohérence

du modèle.

Lors de l’implémentation d’un modèle ALM stochastique, l’étude de la convergence des sorties de

ce dernier est indispensable. Il s’agit de s’assurer de la bonne prise en compte de l’ensemble des flux

pouvant intervenir et de leur bonne actualisation pour assurer la cohérence avec les entrées.

5.1.1 Définition de l’écart de convergence

D’un point de vue financier, la richesse initiale détenue par une compagnie d’assurance corres-

pond à la valeur de marché de son portefeuille financier pouvant être partagée entre actionnaires et

assurés.

La part de richesse distribuée aux assurés est égale au Best Estimate. Il s’agit de l’engagement de la

part d’une compagnie d’assurance à l’égard de ses assurés.

De même que pour le Best Estimate, il est possible de définir la P V FP comme la valeur actuelle des

profits (ou des pertes) futurs distribués aux actionnaires :

P V FP = EQ

∑t≥1

Rt × δt

avec :


• Rt les flux de trésorerie relatifs aux actionnaires (résultats versés, augmentation de capital ...) ;

• δt le facteur d’actualisation.

L’écart de convergence peut alors être défini comme l’écart entre la richesse initiale de la compa-

gnie d’assurance (actifs économiques) et la richesse projetée (passifs économiques).

Ecart de convergence = 1− Valeur de marchéP V FP +BEL

L’écart de convergence peut se définir comme la part de richesse initiale non distribuée.

65


5.1.2 Validation à partir d’un scénario déterministe

L’une des premières étapes lors de la validation d’un modèle ALM consiste à vérifier la convergence

du modèle sur un scénario déterministe. Dans un tel scénario, en l’absence de stochastique, l’écart

de convergence doit être nul.

5.1.2.1 Construction du scénario équivalent certain

Le scénario équivalent certain est celui selon lequel tous les actifs rapportent le taux sans risque.

La construction du scénario équivalent certain s’effectue à partir d’une courbe de taux zéro-coupon

(celle fournie par l’EIOPA, par exemple).

Les prix zéro-coupons sont déterminés à partir de la courbe des taux. Les taux sont projetés selon

la mesure de taux forward implicite.

L’évolution des indices action et immobilier est identique à celle du taux court.

5.1.2.2 Résultats

Dans un tel scénario, en l’absence d’aléa, l’écart de convergence doit être nul.

A partir du scénario équivalent certain construit avec la courbe des taux de Décembre 2017 fournie

par l’EIOPA, les résultats obtenus sont présentés dans le tableau 5.1.

PVFP 129 473 993 €

BEL 1 004 911 713 €

Passif économiqueActifs (en VM)

Valeur de

Marché1 134 223 533 €

Tableau 5.1 – Résultats sur le scénario équivalent certain

L’écart de convergence, égal à 0,14%, valide ainsi la convergence du modèle ALM sur le scénario

équivalent certain.

5.1.3 Validation à partir de scénarios stochastiques

La deuxième étape lors de la validation d’un modèle ALM est l’étude des résultats fournis par le

modèle à partir de scénarios stochastiques.

66


Valider les sorties d’un modèle ALM se basant sur des trajectoires stochastiques nécessite que

lesdites trajectoires soient cohérentes avec le marché sous-jacent à la modélisation.

Il est alors nécessaire d’effectuer des études sur les données fournies par le Générateur de Scénarios

Économiques. Parmi les tests effectués peuvent notamment être cités le test de martingalité ainsi que

le test de cohérence avec le marché.

5.1.3.1 Validation d’un GSE

De part la complexité de sa mise en œuvre, la génération de trajectoires économiques à partir d’un

GSE peut donner lieu à des erreurs.

Il convient ainsi de mettre en place un processus de validation des trajectoires simulées par le GSE

afin de s’assurer de leur cohérence et de valider leur utilisation dans le modèle ALM développé.

La validation du générateur de scénarios économiques a été effectuée selon deux axes.

• Montrer que les trajectoires sont risque-neutres à partir d’un test de martingalité.

• Montrer le caractère Market Consistent du modèle.

Test de martingalité

Sous la probabilité risque neutre, tous les actifs actualisés sont des martingales. Il convient ainsi

de vérifier la relation suivante pour tout t :

EQ [Dt × St] = S0

avec :


• Dt le déflateur ;

• St l’indice testé.

En pratique, le test de martingalité consiste à construire, pour tout t, la statistique suivante :

ζt =1N

N∑n=1

Dn,t × Sn,t

avec :

• N le nombre de trajectoires ;

• Sn,t l’indice sur la trajectoire n et de maturité t ;

• Dn,t le déflateur sur la trajectoire n et de maturité t.

Le test de marginalité est vérifié si ∀t, ζt = S0.

67


Le test de martingalité a par exemple été effectué pour les déflateurs. Ses résultats sont présentés

sur la figure 5.1.

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20 30 40 50


Def

late

ur ZeroCouponEIOPA

Esperance desdéflateurs

Figure 5.1 – Test de martingalité des déflateurs

Le test de martingalité montre que la moyenne des déflateurs fournis par le GSE est proche de la

courbe de déflateurs construite à partir de la courbe des taux zéro-coupon fournie par l’EIOPA.

Il convient de noter que ce test doit être effectué pour l’ensemble des indices fournis par le GSE.

Les différents tests réalisés ont permis de valider les sorties fournies par le générateur de scénarios

économiques.

Test de Market Consistency

Le caractère Market Consistent des trajectoires d’un générateur de scénarios économiques permet

de s’assurer de leur cohérence avec les instruments utilisées lors du calibrage du GSE.

Pour vérifier cette caractéristique ont été comparés les prix des swaptions utilisées lors du calibrage

du GSE à ceux calculés par formule fermée. Ces derniers sont calculés à partir des paramètres du

modèle obtenus à la suite du calibrage du modèle G2 + +.

Les résultats du test réalisé sont présentés sur le graphique 5.2.

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50

Prix

Sw

aptio

n

Prix marché

Prix GSE

Figure 5.2 – Test de Market Consistency du modèle de taux

Le graphique 5.2 a permis de vérifier que les taux simulés présentent un caractère market consistent.

68


5.1.3.2 Étude de la convergence

L’étude de la convergence sur des scénarios stochastiques a été effectué sur 1000 simulations. Les

données utilisées dans le cadre de cette étude sont issues des portefeuilles présentés dans le chapitre

7.

Le graphique 5.3 présente les résultats obtenus.

−8

−4

0

0 250 500 750 1000Nombre de simulations

Eca

rt d

e co

nver

genc

e (%

)

Figure 5.3 – Analyse de la convergence sur 1000 scénarios

L’écart de convergence semble se stabiliser à partir de N = 600. Pour N = 1000, l’écart de conver-

gence est égal à 0,2%.

La loi forte des grands nombres assure la convergence presque sûrement du Best Estimate et de la

P V FP .

5.2 Limites du modèle implémenté

Comme toute démarche de modélisation, celle conduite pour construire un modèle ALM présente

des limites qu’il convient de rappeler. Même si les hypothèses retenues sont des pratiques de marché,

celles-ci tendent à atténuer la complexité de la réalité.

Les limites inhérentes à la modélisation ALM sont nombreuses. Par conséquent, seules les limites

les plus importantes feront l’objet d’une présentation dans cette section.

69


5.2.1 Projection du bilan en norme statutaire

5.2.1.1 Hypothèses inhérentes à l’actif

Les actifs sont projetés selon les simulations générées par le GSE et par conséquent dans un univers

risque-neutre. De plus, les sorties fournies par le GSE reflètent les conditions de marché à la date de

valorisation du Best Estimate. Les modèles de diffusions sont calibrés à partir des données de marché

observés a priori (courbe des taux, volatilités, corrélations).

Les actifs doivent également suivre les hypothèses sous-jacentes à un Générateur de Scénarios

Économiques. Ils sont supposés infiniment divisibles. Le marché est de plus supposé entièrement

liquide et sans frais de transaction. Il s’agit d’hypothèses fortes et non représentatives de la réalité.

5.2.1.2 Simplifications effectuées au passif

Un modèle ALM calculant un Best Estimate doit simuler l’évolution des provisions techniques

comptabilisées sous le référentiel French GAAP dès lors qu’elles présentent un impact significatif

sur l’estimation des flux de trésorerie futurs. A ce titre, seules les provisions présentées en section

3.4.2.2 ont été implémentées. Néanmoins une parfaite modélisation de la réalité simulerait égale-

ment l’évolution de l’ensemble des provisions techniques énumérées à l’Article R331-3 du Code des

Assurances.

D’autre part, sous les recommandations formulées par la directive Solvabilité II, le calcul des pro-

visions techniques repose sur le principe de la Fair Value. Néanmoins, la modélisation des com-

portements des assurés s’effectue avec de nombreuses simplifications compte tenu de la difficulté

d’anticiper ces comportements.

L’utilisation de tables de mortalité ou de rachats représente effectivement une approximation. Bien

que construites sur l’historique des flux constatés au sein des portefeuilles, elles font l’objet d’estima-

tion et ne permettent pas de modéliser des événements exceptionnels comme une vague de rachats

massif ou une forte augmentation de la durée de vie humaine.

5.2.1.3 Les rachats dynamiques

Les rachats conjoncturels ont été modélisés selon les spécifications effectuées par l’EIOPA à travers

le QIS5. Néanmoins, l’exercice d’option de rachat ne s’explique pas entièrement par la différence

observée entre le taux servi et les taux observés sur le marché.

En France, certaines compagnies d’assurance ont modélisé ce type de rachats selon une fonction

mesurant la satisfaction des clients. Cette fonction peut prendre en paramètre la notoriété de la

société d’assurance, le profil de l’assuré...

70


5.2.1.4 Gestion du pas temporel

L’une des principales hypothèses simplificatrices d’un modèle ALM est la gestion des pas tem-

porels. Il est supposé que les éléments modélisés à l’actif et au passif évoluent de façon annuelle.

Cependant la réalité est bien différente. La majorité des éléments tels que le cours des actions, le

comportement des assurés ou l’inflation évoluent dans le temps de manière continu.

Une modélisation en pas mensuel pourrait effectivement être un axe d’amélioration du modèle.

Cela permettrait d’effectuer une modélisation plus fine des tombées de coupons obligataires ou des

dividendes.

5.2.2 Les Management Actions

Les Management Actions représentent l’ensemble des stratégies construites par le management

d’une compagnie d’assurance. La prise en compte de ces stratégies est fondamentale en ALM puis-

qu’elles influencent de façon importante les flux de trésorerie. Elles ont un impact direct sur les

profits futurs de la société ou encore sur le calcul des engagements Best Estimate.

Il s’agit souvent de politiques évolutives et construites sur le long terme. L’implémentation de ces

dernières au sein d’un modèle est donc soumise à plusieurs simplifications. Tout d’abord, il n’existe

pas de Management Actions universelles. D’autre part, ces dernières sont en général fixées sur cinq

voire dix ans ; il est donc impossible d’anticiper les stratégies définies sur tout l’horizon de projection

nécessaire au calcul d’un Best Estimate.

5.2.2.1 Allocation stratégique

La stratégie de réallocation implémentée au sein du modèle est une stratégie statique, l’allocation

cible est fixée avant même de lancer les simulations stochastiques. Elle ne dépend pas des trajectoires

suivies par les actifs financiers. Néanmoins, dans un scénario extrême, la stratégie de vente ou d’achat

pourrait être différente de celle utilisée dans un scénario moyen. L’assureur pourrait par exemple

vendre plus d’actions lorsque celles-ci se trouvent en situation de plus-values latentes.

L’allocation cible implémentée présente également une limite concernant les obligations. L’alloca-

tion cible étant fixe dès le début de projection, il est nécessaire, à chaque pas de projection, d’acheter

ou de vendre des obligations. En général, une compagnie d’assurance conservera ses obligations jus-

qu’à maturité afin de limiter les dotations ou reprises sur la réserve de capitalisation.

Enfin, lors d’une projection Actif-Passif, le réinvestissement en obligations se fait uniquement sur

des obligations dont les caractéristiques sont définies en amont de la projection.

71


5.2.2.2 Politique de versement de la Participation aux Bénéfices

Bien que la participation aux bénéfices soit versée de façon relativement homogène par groupe de

contrats, les compagnies d’assurance versent une part de PB plus importante aux assurés qu’elle sou-

haite conserver dans leurs portefeuilles. Par exemple, une société peut privilégier les jeunes assurés

ou alors les assurés possédant des contrats à faible TMG. L’un des axes d’amélioration du modèle

pourrait être alors d’implémenter un algorithme de versement de la PB à une maille plus fine.

De plus la modélisation de la politique de versement de la Participation aux Bénéfices est faite

en univers risque neutre. Les concepts de concurrence et de satisfactions clients sont à considérer

différemment du cas usuel.

72

Chapitre 6

Implémentation de la formule standard

Sommaire

6.1 Contextualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2 Présentation des modules considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2.1 Estimation du SCR Marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1.1 Risque de taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1.2 Risque action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.1.3 Risque immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.1.4 Risque de spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.2 Estimation du SCR Vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.2.1 Risque de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.2.2 Risque de longévité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.2.3 Risque de rachat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.2.4 Risque de frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.3 Estimation du SCR Opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

74

CHAPITRE 6. IMPLÉMENTATION DE LA FORMULE STANDARD

6.1 Contextualisation

Le pilier I de la directive Solvabilité II définit l’ensemble des exigences financières pour une com-

pagnie d’assurance. Parmi elles peuvent notamment être citées les méthodologies de calcul du besoin

en capital en introduisant deux seuils réglementaires : le MCR et le SCR.

La Capital de Solvabilité Requis (SCR) représente le niveau minimum de fonds propres dont doit

disposer une compagnie d’assurance pour s’assurer, avec une probabilité de 99,5%, de ne pas être en

faillite à horizon 1 an.

La compagnie d’assurance a la possibilité de déployer un modèle interne lui permettant de calculer

un SCR. Néanmoins, dans le cas où la compagnie d’assurance ne disposerait pas d’un modèle interne

validé par l’EIOPA, la directive Solvabilité II définit une méthode de calcul du SCR, appelée Formule

Standard. Dans le cadre de ce mémoire, le SCR est calculé selon la Formule Standard.

A titre de rappel, le SCR, calculé par la Formule Standard, correspond à l’agrégation des modules

définis dans la figure 6.1.

Figure 6.1 – Cartographie des risques selon la formule standard

75


L’estimation du SCR selon la formule standard s’effectue en quatre étapes.

Étape 1 : Évaluation des SCR sous-modulaires

Pour chaque sous-module de risque présenté sans la figure 6.1 doit être calculé un besoin en ca-

pital. Le SCR associé à chaque sous-module est défini comme la variation des Basic Own Funds à la

suite d’un choc.

Étape 2 : Déduction des SCR modulaires

Le besoin en capital relatif à chaque module de risque est déduit par agrégation des besoins en

capitaux associés aux sous-modules de risques qui le composent.

L’agrégation est effectuée selon les matrices de corrélations définies par l’EIOPA.

Étape 3 : Déduction du BSCR

Le Basic Solvency Capital Requirement, noté BSCR, s’obtient par agrégation des SCR associés aux six

modules de risques.

BSCR =√∑

i,j

Corr(i, j)SCRiSCRj

avec :

• SCRi le capital de solvabilité requis au titre du module de risque i ;

• Corr(i, j) le niveau de corrélation entre le module de risque i et le module de risque j. La

matrice de corrélation est définie dans [18].

Étape 4 : Déduction du SCR global

Le SCR global correspond à la somme du BSCR, du SCR relatif au risque opérationnel ainsi que de

l’ajustement pour capacité d’absorption des pertes.

SCR = Adj +BSCR+Op

6.2 Présentation des modules considérés

Cette section décrira les principes de calcul des différents SCR liés au portefeuille d’épargne en

respectant les spécifications techniques publiées par l’EIOPA.

Dans le cas d’un portefeuille composé de contrats d’épargne, et pour le modèle ALM implémenté,

le calcul du SCR nécessitera la prise en compte des modules de risques présentés dans la figure 6.2.

76


Figure 6.2 – Cartographie des modules de risques retenus

6.2.1 Estimation du SCR Marché

Dans le cadre du modèle ALM développé, les sous-modules de risque retenus pour l’estimation du

SCR de marché sont les suivants : risque de taux d’intérêt, risque action, risque immobilier et risque

de spread.

Une matrice de corrélation est fournie par le règlement délégué. Cette matrice sera notée CorrMkt.

Le SCR relatif au module de risque marché est estimé de la façon suivante :

SCRMkt =√

(SCRRate,SCREq,SCRP rop,SCRSprd)T .CorrMkt .(SCRRate,SCREq,SCRP rop,SCRSprd)

6.2.1.1 Risque de taux d’intérêt

Le risque de taux a un impact sur la valorisation des actifs ainsi que sur les facteurs d’actualisation

utilisés dans le calcul des provisions Best Estimate.

Afin d’estimer le capital requis lié au risque de taux, deux chocs sont déployés : une hausse et une

baisse de la courbe des taux initiale.

Chocs à la hausse

Une hausse des taux entraîne une baisse de la valorisation des actifs mais, en même temps, une

baisse des provisions techniques par augmentation de l’actualisation.

77


Pour chaque taux sans risque central (RCentral), l’augmentation liée au choc est a minima de 1 point

et est définie de la façon suivante :

RUp = RCentral + max(1% ; RCentral .shockup

)Les niveaux de choc shockup dépendent de la maturité du taux sans risque.

Le SCR lié au risque de taux à la hausse s’écrit alors :

SCRUp = max(BOFCentrale −BOFChocT auxUp;0

)Chocs à la baisse

A l’inverse, une baisse des taux entraîne une hausse de la valorisation des actifs et également une

hausse des provisions techniques.

Si le taux sans risque central (RCentral) est négatif, aucun choc n’est appliqué, sinon :

RDown = RCentral ×(1 + shockdown1RCentral>0

)Les niveaux de choc shockdown dépendent de la maturité du taux sans risque.

Le SCR lié au risque de taux à la baisse s’écrit alors :

SCRDown = max(BOFCentrale −BOFChocT auxDown;0)

Estimation du SCR de taux

Le SCR lié au risque de taux est égal au maximum des deux quantités précédemment définies.

Ainsi, le SCR de taux s’estime de la façon suivante :

SCRRate = max(SCRUp;SCRDown

)6.2.1.2 Risque action

Le calcul du besoin en capital pour le risque action nécessite de distinguer deux types d’actions.

• Type 1 : actions cotées sur des marchés réglementaires de l’EEE ou de l’OCDE.

• Type 2 : actions cotées sur les marchés des pays émergents, actions non cotées, hedge funds...

Selon le règlement délégué, le besoin en capital pour le risque action est calculé par application

d’un choc à la baisse sur les valeurs de marché des actions. Ce choc correspond à une possible perte

de valeur des actions.

78


Le niveau du choc dépend du type de l’action. Ces chocs sont présentés dans le tableau 6.3.

Type action Choc

Type 1 39%

Type 2 49%

Figure 6.3 – Choc appliqué sur les actions

Le SCR lié au risque action s’écrit alors :

SCREq = max(BOFCentrale −BOFChocAction;0)

6.2.1.3 Risque immobilier

Le risque immobilier se définit comme le risque de chute des prix des biens immobiliers. Pour

calculer le SCR lié au risque immobilier, un choc de 25% est appliqué sur la valeur de marché initiale

de l’immobilier.

Le SCR lié au risque immobilier s’écrit alors :

SCRP rop = max(BOFCentrale −BOFChocImmobilier ;0)

6.2.1.4 Risque de spread

Le risque de spread correspond au risque de variation, à la hausse, des spreads de crédit par rap-

port à la courbe des taux d’intérêt sans risque. Ces variations viennent impacter les valorisations de

produits financiers tels que les obligations.

Le sous-module de risque de spread est divisé en SCR de spread liés aux obligations, aux positions

de titrisation et aux dérivés de crédits. Parmi ces trois, seules les obligations sont modélisées au sein

du moteur ALM. Par conséquent, seul le SCR de spread lié aux obligations est considéré.

Le SCR de spread est évalué par diminution, de manière immédiate, des valeurs de marché obliga-

taires. Le choc appliqué dépend de la notation et de la duration de l’obligation.

Le SCR lié au risque de spread s’écrit alors :

SCRSpread = max(BOFCentrale −BOFChocSpread ;0

)

79


6.2.2 Estimation du SCR Vie

Le risque de souscription Vie résulte de l’incertitude liée à l’évaluation des engagements d’assu-

rance vie.

Dans le cadre de notre étude, les sous-modules de risque retenus sont les suivants : risque de

longévité, risque de mortalité, risque de rachat et risque de frais.

Une matrice de corrélation est fournie par le règlement délégué. Cette matrice sera notée CorrLif e.

Le SCR relatif au module de risque de souscription vie est estimé de la façon suivante :

SCRLif e =√

(SCRMort ,SCRLong ,SCRLapse,SCRExp)T .CorrLif e.(SCRMort ,SCRLong ,SCRLapse,SCRExp)

6.2.2.1 Risque de mortalité

Le risque de mortalité est défini comme le risque de sous-estimation de la mortalité des assurés. Il

résulte de l’incertitude liée aux taux de mortalité utilisés dans le calcul des provisions techniques.

Le SCR de mortalité correspond à la variation de la Net Asset Value résultant d’un choc défini par

une augmentation permanente de 15% des taux de mortalité.

Le SCR lié au risque mortalité s’écrit alors :

SCRMort = max(BOFCentrale −BOFChocMotalite;0)

6.2.2.2 Risque de longévité

A l’inverse du risque de mortalité, le risque de longévité se définit comme le risque d’avoir sures-

timé la mortalité lors du calcul des provisions techniques.

Le SCR de longévité correspond à la variation de la Net Asset Value résultant d’un choc défini par

une baisse permanente de 20% des taux de mortalité.

Le SCR lié au risque longévité s’écrit alors :

SCRLong = max(BOFCentrale −BOFChocLongevite;0

)6.2.2.3 Risque de rachat

Le risque de rachat des contrats provient d’une possible mauvaise anticipation des résiliations de

contrats.

80


Le SCR relatif au module de risque de rachat est calculé en considérant trois chocs différents.

• Le premier choc consiste à diminuer de 50% les taux de rachats (down).

• Le second choc consiste à appliquer une hausse permanente de 50% des taux de rachats (up).

• Le dernier implémente une hypothèse selon laquelle 40% des contrats sont rachetés dès la

première année (mass).

Le SCR lié au risque de rachat s’écrit alors :

SCRRachat = max(SCR

upRachat;SCR

downRachat;SCR

massRachat

)SCRiRachat = max

(BOFCentrale −BOFiRachat;0

); avec i ∈ {down,up,mass}

6.2.2.4 Risque de frais

Le risque de frais se définit comme le risque de sous-estimation des frais afférents aux contrats

d’assurance.

Le SCR de frais correspond à la variation de la Net Asset Value résultant de la combinaison de deux

chocs.

• Hausse de 10% du montant des frais utilisés dans le calcul des provisions techniques.

• Hausse de 1 point du taux de l’inflation.

Le SCR lié au risque de frais s’écrit alors :

SCRExp = max(BOFCentrale −BOFChocFrais;0)

6.2.3 Estimation du SCR Opérationnel

Le risque opérationnel se définit comme le risque de perte résultant d’erreurs issues de procédures

internes, de membres du personnel ou de systèmes inadéquats ou défaillants.

Le besoin en capital relatif au risque opérationnel est calculé de façon forfaitaire et augmente avec

le volume de l’activité.

SCROp = min(30%.BSCR ; Op)

avec :

Op = 0,45%×max(Provisions Techniques;0)

81

Deuxième partie

Application

82

Chapitre 7

Présentation du portefeuille d’étude

Sommaire

7.1 Synthèse du bilan étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.2 Présentation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.1 Portefeuilles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.1.1 Portefeuille obligataire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.1.2 Portefeuilles actions, immobilier et monétaire . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.2 Hypothèses relatives aux actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2.2.1 Frais financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2.2.2 Stratégie de réallocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3 Présentation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3.1 Présentation du portefeuille d’assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3.2 Hypothèses relatives aux passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

84

CHAPITRE 7. PRÉSENTATION DU PORTEFEUILLE D’ÉTUDE

Les études menées dans ce mémoire ont été réalisées sur un portefeuille représentatif d’une com-

pagnie d’assurance vie française proposant des contrats d’épargne. Il convient d’en fournir une pré-

sentation. C’est dans cette optique qu’a été rédigée cette partie.

A travers le portefeuille présenté dans cette partie a pour objectif d’être aussi représentatif que

possible. Pour ce faire, le bilan a été construit selon les statistiques fournies par la Fédération Fran-

çaise de l’Assurance [11]. Le portefeuille financier et le portefeuille d’assurés sont quant à eux ceux

d’une compagnie d’assurance française.

7.1 Synthèse du bilan étudié

Dans un souci de lisibilité, le portefeuille de la compagnie a été modifié de telle sorte que le taille

du bilan comptable soit égale à 1 000 000 000 €. Le bilan ainsi construit est présenté dans le tableau

7.1.

Actions 45 313 837,30 €

RK 20 000 000,00 €

PRE - €

PPE 50 000 000,00 €

Immobilier 14 788 862,71 €

Monétaire 11 325 891,65 €

Actif Passif

1 000 000 000,00 € 1 000 000 000,00 €

Obligations 928 571 408,33 €

Fonds Propres 50 000 000,00 €


PM880 000 000,00 €

Tableau 7.1 – Structure du portefeuille étudié

Le montant des fonds propres a été déterminé selon les statistiques fournies par la Fédération

Française de l’Assurance. En 2017, le montant de fonds propres des assurances vie représentaient en

moyenne 3,8% des provisions techniques.

La Provision pour Participation aux Excédents a été définie de manière à ce que son montant soit

égal à environ 5% des Provisions Mathématiques. Ce choix a été effectué en concertation avec l’équipe

experte en Gestion Actif-Passif du cabinet Sia Partners.

85


7.2 Présentation de l’actif

7.2.1 Portefeuilles financiers

7.2.1.1 Portefeuille obligataire

Le portefeuille obligataire est constitué de seize obligations. Différentes données le caractérisant

sont présentées dans le tableau 7.2. Les données présentées sont les moyennes pondérées selon les

nominaux.

Taux de coupon moyen 3%

Maturité residuelle moyenne 12,5 ans

Duration 11 ans

Tableau 7.2 – Caractéristiques du portefeuille obligataire

Le portefeuille obligataire a été modifié de telle sorte que sa duration soit proche de celle du por-

tefeuille passif. Un tel choix permet de minimiser l’exposition au risque de taux pour la compagnie

d’assurance.

7.2.1.2 Portefeuilles actions, immobilier et monétaire

Les portefeuilles actions, immobilier et monétaire sont présentés dans le tableau 7.3.

Actions Immobilier Monétaire

Valeur nette comptable 45 313 837 € 14 788 863 €

Valeur de marché 54 461 303 € 19 052 973 €

Part de PMVL 20% 29%

Dividendes / Loyers 3% 4%

11 325 892 €

Tableau 7.3 – Synthèse des portefeuilles actions, immobilier et monétaire

Il convient de noter que les deux portefeuilles actions et immobiliers présentent des plus-values

latentes.

7.2.2 Hypothèses relatives aux actifs

Le traitement des actifs est soumis à différentes hypothèses. Parmi elles, peuvent notamment être

cités les frais ou les hypothèses inhérentes à la stratégie de réallocation.

86


7.2.2.1 Frais financiers

Comme évoqué dans la section 4.2.3, deux types de frais ont été implémentés dans le modèle ALM.

Les frais retenus dans le cadre de ce mémoire sont présentés dans le tableau 7.4.

Frais sur produits Frais de garde

Action 0,12% 0,01%

Obligation 0,04% 0,01%

Immobilier 0% 1,52%

Tableau 7.4 – Frais financiers

Les frais financiers ont été calibrés par la compagnie d’assurance sur les frais observés au cours

des années précédentes.

7.2.2.2 Stratégie de réallocation

Allocation cible

L’allocation cible est identique à l’allocation observée sur le portefeuille initial. Cette allocation est

présentée dans le tableau 7.5.

Placements financiers Allocation cible

Action 4,8%

Obligation 92,5%

Immobilier 1,7%

Trésorerie 1,0%

Tableau 7.5 – Allocation cible

Portefeuille obligataire de réinvestissement

Le portefeuille obligataire de réinvestissement est constitué d’obligations de maturités égales à 7,

10 et 12 ans.

7.3 Présentation du passif

7.3.1 Présentation du portefeuille d’assurés

Le portefeuille d’étude est constitué de 100 000 individus ayant souscrit à un contrat d’épargne

mono-support. Le portefeuille est composé à 40 % de femmes et à 60 % d’hommes.

87


Les épargnants sont âgés de 1 à 105 ans. La pyramide des âges a été tracée sur la figure 7.1a. L’âge

moyen est de 57 ans.

0

25

50

75

100

1000 0 1000Population

Age

Sexe

Femme

Homme

(a) Répartition des assurés par âge et par sexe

0

5000

10000

0 5 10 15 20Ancienneté

Nom

bre

d'as

suré

s(b) Histogramme synthétisant l’ancienneté des assurés

Figure 7.1 – Statistiques concernant le profil des assurés

A également été tracé sur la figure 7.1b la répartition des assurés par ancienneté. L’ancienneté

moyenne est de 6 ans.

De part la fiscalité avantageuse sur les contrats d’épargne à partir de 8 ans d’ancienneté, il est

possible d’observer sur le graphique 7.1b une forte baisse du nombre d’assurés entre les années 8 et

9.

Le portefeuille est composé de quatre TMG différents. La répartition des TMG par PM est synthé-

tisée dans le tableau 7.2.

TMG PM Proportion

0% 308 244 096 € 35,0%

0,8% 323 673 146 € 36,8%

1,3% 248 047 286 € 28,2%

Figure 7.2 – Répartition des TMG

De plus, le taux de chargement d’administration est identique pour l’ensemble des contrats et est

égal à 0,6%.

La PM totale associée au portefeuille est égale à 880 millions d’euros. La PM moyenne associée à

un assuré est de 9 550€. La distribution des PM est présentée sur le graphique 7.3.

88


0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0 10000 20000 30000 40000 50000

Provision mathématique

Den

sité

Figure 7.3 – Distribution des provisions mathématiques

7.3.2 Hypothèses relatives aux passifs

Tables de mortalité

Les tables de mortalités utilisées dans le cadre de cette étude sont les tables TH 00-02 et TF 00-02.

Ces deux tables de mortalité sont présentées sur le graphique 7.4.

0

25000

50000

75000

100000

0 30 60 90 120Age

Nom

bre

de s

urvi

vant

s

Sexe

Femme

Homme

Figure 7.4 – Représentation des tables de mortalités

Tables de rachats structurels

La modélisation des rachats structurels est effectuée selon les lois d’expérience construites, par la

compagnie d’assurance, à partir de l’historique des rachats observés sur son portefeuille. Deux tables

ont été construites : les rachats structurels partiels et totaux. Elles sont présentées sur la figure 7.5.

89


1

2

3

4

5

0 25 50 75 100

Ancienneté

Taux

de

rach

ats

part

iels

(en

%)

(a) Table des rachats structurels partiels

1

2

3

4

5

0 10 20 30

Ancienneté

Taux

de

rach

ats

tota

ux (

en %

)

(b) Table des rachats structurels totaux

Figure 7.5 – Représentation des tables de rachats structurels

Les tables de rachats sont fonction de l’âge de l’assuré ainsi que de l’ancienneté. Ainsi, dans un

souci de lisibilité, les graphiques présentent les moyennes des taux de rachats par ancienneté.

Un pic de rachats s’observe sur la table des rachats partiels au cours de la huitième année. Cela

peut s’expliquer par la fiscalité avantageuse sur les revalorisations engendrées au cours de la période

de détention du contrat.

Modélisation des rachats conjoncturels

Les rachats conjoncturels ont été modélisés par une fonction dépendant de l’écart entre le taux

servi et un taux dépendant de l’environnement économique selon les préconisations émises dans le

QIS 5 [19].

La fonction modélisant ce type de rachats a été présentée en section 4.3.2.2.

90

Chapitre 8

Impact d’une hausse des taux

Sommaire

8.1 Méthodologie de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1.1 Application d’une hausse à la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.1.2 Présentation des indicateurs analysés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.1.2.1 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.1.2.2 Ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.1.2.3 Duration des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2.1 Évolution du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2.2 Duration des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2.3 Flux de trésorerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2.4 Coût des options et garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.2.5 Mécanismes comptables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2.5.1 Évolution des provisions mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.2.5.2 Suivi des rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.2.5.3 Évolution de la PPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.2.5.4 Évolution de la Réserve de Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.3 Projection du ratio de couverture du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.4 Études de sensibilité sur le Best Estimate et sur le SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4.1 Effet de la loi de rachats dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4.2 Sensibilité du ratio de couverture du SCR aux chargements . . . . . . . . . . . 106

92

CHAPITRE 8. IMPACT D’UNE HAUSSE DES TAUX

Au cours de cette partie, il a été question d’étudier l’impact qu’aurait une hausse subite des taux

d’intérêt sur le passif ainsi que sur la solvabilité d’une compagnie d’assurance vie.

Pour répondre à cette question, ce chapitre a été découpé en différentes parties. Sera vue dans un

premier temps la méthodologie déployée afin d’étudier l’impact d’une hausse de la courbe des taux.

En second lieu, les résultats des différentes études seront présentés.

8.1 Méthodologie de l’étude

8.1.1 Application d’une hausse à la courbe des taux

La méthodologie déployée dans le cadre de ce mémoire consiste à appliquer un choc spécifique

d’amplitudes diverses à la courbe des taux sans risque (avec Volatility Adjustment) du 31 décembre

2017, fournie par l’EIOPA. Le choc retenu consiste à appliquer une translation, de paramètre fixe,

pour chacune des maturités. La méthodologie est schématisée sur la figure 8.1.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0 10 20 30 40 50Maturite

Zer

oCou

pon

Courbe

Courbe du 31/12/2017

Hausse des taux

Figure 8.1 – Construction d’un scénario de hausse des taux

Une telle méthodologie permet de modéliser une hausse brutale et immédiate des taux. Ce choc a

été choisi afin de répondre à plusieurs critères.

• Intensité : application d’une translation de paramètre suffisamment élevé.

• Durabilité : application du choc sur l’ensemble des maturités.

• Soudaineté : application, dès t = 0, d’une translation de même paramètre sur l’ensemble des

maturités.

L’application d’un choc sur la courbe des taux présente un effet immédiat sur la valorisation des

obligations au sein du bilan de la compagnie d’assurance.

93


8.1.2 Présentation des indicateurs analysés

L’impact d’une hausse des taux présente des conséquences sur les provisions techniques mais éga-

lement sur le montant d’exigence de capital requis. Afin de mieux comprendre leurs variations, il

convient de définir plusieurs indicateurs.

Les provisions techniques Best Estimate sont estimées à partir du modèle ALM implémenté et pré-

senté dans la partie précédente. Le SCR est quant à lui estimé selon la Formule Standard, présentée

dans le chapitre 6.

8.1.2.1 Coût des options et garanties

Afin d’étudier l’impact d’une hausse des taux d’intérêt sur le passif d’un assureur, il convient

d’étudier tout d’abord le coût des options et garanties engendré de part cette hausse des taux. Pour

cela, il peut être intéressant d’analyser la Time Value of Financial Options and Guarantees, couram-

ment notée TVFOG, représentant le coût, porté par l’assureur, des options et garanties attachées à un

contrat d’assurance.

La TVFOG se quantifie comme l’impact sur le Best Estimate des variations observées sur les actifs

modélisés. Elle est définie comme la différence entre un Best Estimate calculé à partir de scénarios

stochastiques et d’un Best Estimate issu du scénario équivalent certain.

Best Estimate = Best Estimate deterministe + TVFOG

La TVFOG est générée par l’asymétrie du partage de la création de valeur entre actionnaires et

assurés selon les diverses évolutions des marchés financiers. Autrement dit, une perte financière

est supportée en totalité par les actionnaires alors que les profits financiers sont partagés selon les

clauses réglementaires et contractuelles de participation aux bénéfices.

De la même façon que pour la TVFOG, a été défini le coût des rachats conjoncturels par différence

de la moyenne des rachats actualisés sur les scénarios stochastiques et de ceux issus du scénario

équivalent certain.

8.1.2.2 Ratio de couverture du SCR

Le capital de solvabilité requis, noté SCR, correspond au montant minimum de fonds propres

devant être détenu par la compagnie d’assurance afin d’absorber une perte provoquée par plusieurs

chocs exceptionnels corrélés. Son taux de couverture se défini comme le rapport entre les fonds

propres éligibles et le capital de solvabilité requis.

Ratio de couverture =BOFSCR

=VM0 −BEL

SCR

94


De façon générale, le ratio de couverture du SCR doit, en permanence, être au dessus de 100% afin

de garantir la solvabilité d’une compagnie d’assurance à tout moment. Dans les faits, l’ensemble des

organismes soumis à la directive Solvabilité II ont pour objectif de conserver leur ratio de couverture

bien au dessus de 100% afin de s’assurer une marge de sécurité. A titre d’exemple, en 2017, selon la

FFA [11], les sociétés d’assurance vie et mixtes disposaient, en moyenne, d’un ratio de couverture du

SCR de 207%.

8.1.2.3 Duration des engagements

Le dernier indicateur étudié dans cette partie est la duration du portefeuille des assurés au passif.

A ce titre, il a été nécessaire de définir une mesure permettant de prendre en compte l’ensemble des

simulations nécessaires pour un calcul de Best Estimate. La duration sur le Best Estimate stochastique

a été définie de la façon suivante :

Duration engagements =1

BESto

T∑t=1

t ×

1N

N∑n=1

CFn,t .δn,t

avec :

• N le nombre de simulations effectuées ;

• T l’horizon de projection ;

• CFn,t les flux de trésorerie de l’année t pour le scénario n ;

• δn,t le déflateur relatif à l’année t pour le scénario n.

La duration correspond à la moyenne des durées pondérées par les valeurs actuelles probables des

flux.

8.2 Présentation des résultats

8.2.1 Évolution du ratio de couverture du SCR

Le première étude menée dans cette section visera à effectuer un suivi du ratio de couverture en

augmentant, de façon graduelle, la courbe des taux fournie par l’EIOPA au 31/12/2017.

Pour ce faire, la méthodologie définie en section 8.1 a été appliquée pour différentes translations.

Il a été question d’effectuer des translations de paramètres {5 bp, 10 bp, ..., 100 bp}. Les résultats sont

présentés sur la figure 8.2.

95


80

120

160

0 25 50 75 100


Rat

io d

e co

uver

ture

(%

)

Figure 8.2 – Évolution du ratio de couverture du SCR

Sur la figure ci-dessus s’observe une chute du ratio de couverture du SCR lorsque la hausse de

la courbe des taux s’intensifie. Par exemple, pour le scénario auquel aucune hausse des taux n’a été

appliquée, le ratio de couverture du SCR est égal à 157%. En revanche, lorsqu’une hausse de 100 bp

intervient, le ratio de couverture passe sous la barre des 100% et est égal à 91%. Ce dernier a donc

chuté de près de 70 points.

Une tendance quasi-linéaire peut s’observer sur l’évolution du ratio de couverture. Ce point sera

présenté de façon plus approfondie en section 8.3.

Dès lors et jusqu’à la fin de cette partie, il a été question de se restreindre à l’étude de deux

scénarios afin d’étudier, plus en profondeur, les mécanismes ayant le plus d’impact sur la solvabilité

de l’assureur. Les deux scénarios retenus sont les suivants :

1. le scénario sur lequel aucun choc n’a été appliqué (scénario central) ;

2. le scénario sur lequel un choc de 100 bp a été appliqué à la courbe du 31/12/2017 (scénario

up).

8.2.2 Duration des engagements

Cette section a pour vocation d’étudier la duration des engagements, définie en section 8.1.2.3. Les

valeurs prises par cet indicateur sont présentées dans le tableau 8.1

Scénario central Scénario UP

Duration des engagements 12,2 ans 10,3 ans

Tableau 8.1 – Comparaison des durations stochastiques

96


Sur le tableau ci-dessus, il peut être noté que la duration chute de deux ans lorsqu’une translation

de 100 bp est appliquée à la courbe des taux.

Le scénario central présente une duration plus faible que le scénario up ce qui explique que les

flux de trésorerie, principalement constitués des prestations, interviennent de façon plus rapide lors

de la projection Actif-Passif.

8.2.3 Flux de trésorerie

L’évaluation des engagements Best Estimate s’effectue par actualisation des flux de trésorerie futurs.

Une étude de ces flux permettraient d’avoir une première vision de l’impact d’une hausse des taux

sur le passif d’un assureur vie.

L’ensemble des flux de trésorerie nécessaires au calcul d’un Best Estimate ont été tracés sur la figure

8.3. Les données présentées sous forme d’histogramme montrent les flux de trésorerie actualisés. Les

lignes représentent quant à elles les flux de trésorerie non actualisés.

0e+00

2e+07

4e+07

6e+07

0 10 20 30 40 50


Flu

x de

trés

orer

ie


Up stochastique

Figure 8.3 – Flux de trésorerie nécessaires au calcul des engagements Best Estimate

La figure 8.3 montre clairement que deux mécanismes concurrents, tous deux liés à l’actualisation,

viennent impacter le Best Estimate. D’une part, un décalage des flux vers le présent s’observe, sans

doute lié aux rachats conjoncturels plus importants en début de projection du fait de l’écart plus

marqué entre les taux servis et les taux de marchés. L’actualisation donne ainsi plus de poids à ces

décaissement dans le calcul du Best Estimate, qui augmente, du fait de leur proximité temporelle.

D’autre part, l’augmentation des taux sans risque diminue les facteurs d’actualisation employés dans

la pondération des flux. Ceci a pour effet de réduire le Best Estimate, toutes choses égales par ailleurs,

par pur effet d’actualisation.

L’influence du mouvement des taux sur le Best Estimate est donc le cumul de ces deux mécanismes,

avec une prépondérance du second mise en évidence par la diminution du Best Estimate observée.

97


Le rapprochement temporel des flux ne suffit pas à gommer l’impact du changement des facteurs

d’actualisation. Toutefois, la diminution du passif économique de l’assureur s’accompagne également

d’une diminution de la valeur de ses actifs, notamment obligataires, ce qui explique la dégradation

du ratio de solvabilité malgré la baisse des engagements.

8.2.4 Coût des options et garanties

Afin de mieux appréhender les deux scénarios, les engagements Best Estimate ainsi que les TVFOGassociés aux deux scénarios ont été présentés dans le tableau 8.2.1.


BE stochastique 1 030 662 421 959 158 210

BE deterministe 1 004 911 713 918 630 859

TVFOG 25 750 708 40 527 351

Tableau 8.2 – Coût des options et garanties

Au vu des résultats présentés dans le tableau ci-dessus, il peut être noté un important écart de

près de 15 millions entre les deux TVFOG. Cela indique que les options inhérentes aux fonds en

euros coûtent plus cher dans un scénario de hausse des taux.

Afin de mieux comprendre l’écart entre les deux TVFOG, les coûts de l’option de rachat imputable

aux rachats conjoncturels ont été présentés dans le tableau 8.3 pour les deux scénarios étudiés.


Cout rachats - stochastique 636 053 875 665 171 355

Cout rachats - deterministe 606 267 914 579 466 042

Cout de l'option rachat 29 785 961 85 705 313

Tableau 8.3 – Coût de l’option de rachats conjoncturels

Le différentiel entre les coûts de cette option pour chacun des deux scénarios est d’environ 56

millions d’euros. Cette différence, supérieure à celle observée pour la TVFOG, permet de conclure

que l’augmentation du coût d’options et garanties provient principalement de l’augmentation des

rachats.

De plus, au sein du modèle ALM développé, seuls les fonds en euros ont été considérés. Les prin-

cipales options et garanties sous-jacentes à ce produit sont les rachats et les garanties TMG et PB.

Par conséquent, le fait que la différence entre le coût des rachats conjoncturels soit supérieure à celle

observée sur la TVFOG signifie que le modèle rencontre moins de difficultés à remplir les obligations

contractuelles liées au TMG. En réinvestissant sur des obligations offrant des coupons supérieurs, il

98


est plus facile pour la compagnie d’assurance de servir le TMG à ses assurés.

Ainsi, malgré la baisse du Best Estimate constatée, les rachats sont bien supérieurs pour le scénario

haussier, ce qui met en évidence l’impact de la hausse des taux sur les rachats conjoncturels. Ceux-ci

interviennent à présent en amont de la mortalité et des rachats structurels et prennent donc une part

plus importante dans les décaissements.

Il est aussi intéressant de remarquer dans le tableau 8.3 que, si la moyenne des rachats augmente

dans le cas des simulations stochastiques, ceux-ci diminuent dans le cadre du scénario déterministe.

L’explication la plus cohérente est que, dans le cadre de ce scénario, l’augmentation de la courbe des

taux n’est pas suffisante pour sortir du palier d’indifférence de la loi de rachat conjoncturel, ce qui

implique que les rachats n’augmentent pas suffisamment pour compenser la baisse de l’actualisation.

Dès lors, afin de mieux comprendre les différents indicateurs présentés dans cette partie ainsi que

l’impact qu’aurait une hausse subite des taux sur le passif d’une compagnie d’assurance vie, il a été

question de présenter et d’étudier différents mécanismes comptables du modèle ALM.

8.2.5 Mécanismes comptables

Afin de mieux appréhender les deux scénarios, il a été question d’étudier les différents mécanismes

comptables implémentés au sein du modèle ALM. Parmi eux peuvent notamment être cités l’évolu-

tion des provisions mathématiques, des rachats ou de la réserve de capitalisation.

En plus des deux scénarios évoqués en section 8.2.1, le scénario équivalent certain construit à partir

de la courbe des taux du 31/12/2017 sera également intégré, à titre de comparaison, à la présentation

des résultats.

L’ensemble des éléments présentés dans cette section sont les moyennes sur l’ensemble des scéna-

rios nécessaires au calcul des engagements Best Estimate.

99


8.2.5.1 Évolution des provisions mathématiques

En premier lieu a été étudiée l’évolution des provisions mathématiques sur l’horizon de projection

nécessaire au calcul du Best Estimate. Ces données sont présentées sur la figure 8.4.

0.0e+00

2.5e+08

5.0e+08

7.5e+08

0 10 20 30 40 50


Pro

visi

on M

athé

mat

ique



Up stochastique

Figure 8.4 – Évolution des provisions mathématiques

Il est possible d’observer une chute plus rapide des provisions mathématiques dans un scénario de

hausse des taux. Il convient également de noter un point de rupture sur le scénario central au cours

de la neuvième année de projection. Cette hausse des provisions mathématiques, présentée plus en

détail en section 8.2.5.3, est causée par une liquidation de la PPE initiale selon la règle des huit ans.

Au sein du modèle développé, seules deux prestations ont été modélisées : les décès et les rachats.

Les décès, indépendants de l’environnement économique, ne peuvent pas être la cause d’une diffé-

rence si marquée entre les provisions mathématiques. A ce titre, il convient d’étudier les rachats dans

chacun des scénarios.

8.2.5.2 Suivi des rachats

Deux types de rachats ont été implémentés au sein du modèle ALM : les rachats structurels, in-

dépendants de l’environnement économique, ainsi que les rachats conjoncturels, calculés selon la

différence entre le taux servi et le taux observé sur le marché. Une hausse des taux d’intérêt présente

alors un impact sur les rachats au cours de la projection. Le suivi de cette prestation est présenté sur

la figure 8.5.

100


5

10

15

20

0 10 20 30 40 50


Rac

hats

(en

% d

es P

M)



Up stochastique

Figure 8.5 – Évolution des taux de rachats

Différents éléments peuvent être notés concernant la figure ci-dessus. Dans un premier temps,

les rachats sont nettement supérieurs lorsqu’une translation de 100 bp est appliquée à la courbe des

taux. En moyenne, les taux de rachats dans le scénario choqué sont supérieurs de près de 10 points à

ceux observés sur le scénario central.

Dès la vingtième année de projection, une translation quasi parfaite des taux de rachats entre les

deux scénarios peut être mise en évidence. Cet écart constant provient de la structure gaussienne des

taux projetés, qui applique un lissage sur les paliers de la loi de rachat conjoncturel. Dans le cadre de

la deuxième moitié de projection, où le régime est stationnaire, le changement de palier est lissé par

le passage à la moyenne, ce qui permet de retrouver une augmentation des rachats proportionnelle à

l’augmentation des taux.

D’autre part, la Provision pour Participation aux Excédents présente un rôle important sur les

taux de rachats. Par exemple, une baisse des rachats est observée au cours de la neuvième année de

projection. Cela s’explique par la redistribution aux assurés de la PPE dotée huit années auparavant,

c’est à dire la PPE initiale. Il est également possible de noter une rupture des taux de rachats au cours

de la cinquième année de projection sur le scénario up. Cette hausse subite peut s’expliquer par le

fait que la PPE n’est plus suffisante pour servir le taux cible à l’ensemble des contrats.

8.2.5.3 Évolution de la PPE

Comme évoqué précédemment, la provision pour participation aux excédents, élément central

d’une politique de revalorisation, peut par sa gestion influer de façon importante les rachats et par

conséquent sur l’évaluation des engagements Best Estimate. L’évolution de cette provision est présen-

tée sur la figure 8.6.

101


0e+00

2e+07

4e+07

6e+07

0 10 20 30 40 50


PP

E



Up stochastique

Figure 8.6 – Évolution de la Provision pour Participation aux Excédents

Sur le graphique ci-dessus, il est possible d’observer une forte chute de la PPE à la suite de la

huitième année, s’agissant de l’année au cours de laquelle la PPE initiale est redistribuée aux assurés.

A partir de la vingtième année, il n’existe plus de forte différence entre les deux scénarios.

Compte tenu de l’évolution des rachats présentée en section 8.2.5.2, il convient de noter que les

taux de rachats des premières années de projection sont proches quel que soit le scénario. Cette

proximité peut s’expliquer par des reprises de PPE de la part de la compagnie d’assurance afin de

servir le taux cible à l’ensemble des assurés au cours des premières années de projection.

8.2.5.4 Évolution de la Réserve de Capitalisation

Le dernier élément présenté dans cette partie est la réserve de capitalisation. Il s’agit d’une réserve

alimentée par les plus ou moins-values réalisées lors de la cession d’actifs obligataires. Elle permet

notamment à la compagnie d’assurance de construire une politique d’investissement moins sensible

aux variations de taux.

1.0e+07

1.5e+07

2.0e+07

0 10 20 30 40 50


Res

erve

de

Cap

italis

atio

n



Up stochastique

Figure 8.7 – Évolution de la Réserve de Capitalisation

102


Dans un contexte de hausse des taux d’intérêt, deux mécanismes entrent en compte et ont un

impact direct sur la réserve de capitalisation. En premier lieu, une hausse des taux d’intérêt im-

plique des modifications sur la valorisation des instruments obligataires, représentant plus de 90%

du portefeuille financier. Les obligations se trouvent en situation de moins-values latentes. En cas de

réalisation de ces dernières, la réserve de capitalisation est directement impactée.

En second lieu, comme évoqué en section 8.2.5.2, dans un contexte de hausse des taux, la compa-

gnie d’assurance doit faire face à une vague de rachats massifs et doit à ce titre céder une part de

ses actifs afin de pouvoir honorer ses engagements. La compagnie doit alors céder des obligations en

situation de moins-value latente et par conséquent puiser dans la réserve de capitalisation.

Dans un contexte où la réserve de capitalisation ne serait pas suffisante pour faire face à l’ensemble

des moins-values, la compagnie d’assurance devrait puiser dans ses fonds propres.

8.3 Projection du ratio de couverture du SCR

Au vu des résultats présentés en section 8.2.1, l’évolution du ratio de couverture semble être pro-

portionnel à la translation appliquée à la courbe des taux du 31 décembre 2017. A ce titre, il pourrait

être intéressant de projeter le ratio de solvabilité à partir d’une régression linéaire.

Le coefficient de corrélation linéaire associé à cette régression est de 97,6%. Le test de normalité

de Shapiro-Wilk appliqué aux résidus conduit à une p-value de 19,5%, validant ainsi le caractère

gaussien des résidus. De plus, le test de non corrélation de Durbin-Watson conduit à p-value de

78,7%. Au vu de ces différentes statistiques, l’hypothèse selon laquelle le ratio de solvabilité peut

être projeté par le paramètre de translation semble cohérente.

80

120

160

0 25 50 75 100


Rat

io d

e co

uver

ture

(%

)

Figure 8.8 – Projection du ratio de couverture du SCR selon une régression linéaire

103


Ce type de régression présente de nombreux avantages. Ses résultats sont facilement interpré-

tables. De plus, une telle régression nécessite seulement le calcul de deux SCR pour être construite.

Elle permet donc aux compagnies d’assurance d’effectuer, rapidement, une étude de sensibilité sur

le ratio de couverture du SCR vis-à-vis des taux d’intérêt.

A partir de cette régression, il devient possible d’effectuer rapidement des tests de sensibilité sur

le ratio de solvabilité compte tenu d’une hausse observée sur la courbe des taux sans risque. Sur la

base du portefeuille présenté au chapitre 7, une hausse de 1 point de base sur la courbe des taux sans

risque fait chuter de 0,6 point le ratio de couverture du SCR.

8.4 Études de sensibilité sur le Best Estimate et sur le SCR

Il a été présenté dans ce chapitre que des mouvements sur la courbe des taux engendraient de forts

impacts sur la solvabilité d’un assureur vie. Il existe peu d’inducteurs sur lesquels la société d’assu-

rance peut jouer afin de limiter leurs impacts. Au cours de cette section il a été question d’effectuer

des tests de sensibilité sur les engagements Best Estimate ainsi que sur le SCR à travers son ratio de

couverture.

8.4.1 Effet de la loi de rachats dynamiques

Comme évoqué tout au long de ce chapitre, les principaux facteurs de risque sous-jacents à un

scénario de hausse des taux sont les rachats. A ce titre, l’estimation des paramètres de la loi de ra-

chat conjoncturel revêt un caractère essentiel de par l’impact de ce mécanisme sur les engagements

prospectif, renforcé dans le cadre d’un scénario de hausse des taux.

L’EIOPA propose dans les spécifications techniques du QIS5 une modélisation des rachats conjonc-

turels à partir de la différence observée entre le taux servi et un taux dépendant de l’environnement

économique. Cette fonction a été présentée de façon plus détaillée en section 4.3.2.2. Néanmoins, le

régulateur propose différents jeux de paramètres dont les plafonds sont présentés dans le tableau

8.4.

α β γ δ RCmin RCmax

Plafond max -4% 0% 1% 4% -4% 40%

Plafond min -6% -2% 1% 2% -6% 20%

Tableau 8.4 – Plafonds de la loi de rachats conjoncturels

Il a été question au cours de cette partie d’étudier l’impact du choix du jeu de paramètres dans

le cadre d’un scénario de taux élevés. Pour ce faire, de même que précédemment, les études ont été

104


menées sur le scénario central ainsi que sur le scénario auquel a été appliquée une hausse uniforme

de 100 points de base à la courbe des taux sans risque. Quatre différents jeux de paramètres ont été

étudiés.

1. Plafond maximal présenté dans le tableau 8.4.

2. Plafond minimal présenté dans le tableau 8.4.

3. Loi utilisée dans l’ensemble des études de ce mémoire.

4. Suppression des rachats conjoncturels. Bien que non réaliste, cette étude permet de mieux com-

prendre l’impact des rachats dynamiques sur la solvabilité d’un assureur vie.

Il s’agit dans un premier temps de présenter les résultats concernant l’évolution des engagements

Best Estimate selon le jeu de paramètres utilisé. Ces résultats sont affichés sur la figure 8.9.

9.60e+08

9.90e+08

1.02e+09

Nul Minimal Moyen Maximal

Jeu de paramètres

Eng

agem

ents

Bes

t Est

imat

e



Up stochastique

Figure 8.9 – Évolution des engagements Best Estimate selon la loi de rachats dynamiques

Il convient de noter que, sans surprise, les engagements Best Estimate augmentent avec la sévérité

de la fonction de rachats conjoncturels. Néanmoins, l’augmentation des engagements est plus mar-

quée sur le scénario choqué. D’autre part, l’étude du ratio de couverture du SCR, plus intéressante,

est présentée sur la figure 8.10.

105


100

150

200

Nul Minimal Moyen Maximal

Jeu de paramètres

Rat

io d

e co

uver

ture

(en

%)



Up stochastique

Figure 8.10 – Évolution du ratio de couverture du SCR selon la loi de rachats dynamiques

La tendance observée sur la figure 8.9 pour les engagements Best Estimate se confirme avec l’étude

du ratio de couverture du SCR. La première remarque pouvant être faite concerne l’évolution à la

baisse du ratio de couverture lorsque les rachats conjoncturels augmentent. D’autre part, la chute se

fait de façon plus marquée pour le scénario choqué. La différence entre le ratio de solvabilité pour

lequel les rachats conjoncturels ne sont pas modélisés et celui pour le jeu de paramètres maximal est

de 66 points pour le scénario central contre 108 points pour le scénario choqué.

Compte tenu de l’impact important de la loi de rachat, quasiment doublé dans le cas du scénario

choqué, sur le ratio de solvabilité, la bonne estimation des paramètres de cette loi revêt un caractère

stratégique dans la construction d’une modélisation ALM. Une mauvaise estimation de ces para-

mètres pourrait conduire à des indicateurs de solvabilité complètement erronés.

A partir ce test de sensibilité, il est également possible de noter qu’une faible différence observée

sur les engagements Best Estimate présente un fort impact sur le ratio de couverture du SCR. A

travers cette étude, en ne considérant que le scénario central, une différence de 1,2% s’observe sur

les engagements Best Estimate entre les deux plafonds de paramètres alors que la différence sur le

ratio de solvabilité est de 37 points.

8.4.2 Sensibilité du ratio de couverture du SCR aux chargements

Le deuxième test de sensibilité concerne les chargements. De manière à couvrir ses charges l’assu-

reur prélève annuellement une part de l’encours dee ses assurés. Cet élément impacte directement

le résultat de l’assureur. Il a donc été question d’étudier s’il présentait également un impact sur le

ratio de solvabilité. Les variations croisées de cet élément avec les mouvements de taux d’intérêts

ont aussi été étudiées, afin d’observer si une modification de la redistribution des résultats dans le

modèle permettait de compenser les impacts négatifs d’une hausse des taux.

106


Afin d’étudier l’impact des chargements sur le passif d’un assureur vie mais également sur sa

solvabilité, il a été question d’appliquer différentes hausses aux chargements initiaux observés sur

les Model Points au passif. Le choc appliqué est un choc multiplicatif (homothétie). Des chocs de

différentes amplitudes ont été testés.

De la même façon que pour le précédent test de sensibilité, l’évolution des provisions techniques

Best Estimate a, dans un premier temps, été étudiée en fonction de la hausse appliquée sur les char-

gements. Ces résultats sont présentés sur la figure 8.11

9.30e+08

9.60e+08

9.90e+08

1.02e+09

0 25 50 75 100

Hausse des chargements (en %)

Eng

agem

ents

Bes

t Est

imat

e



Up stochastique

Figure 8.11 – Évolution des engagements Best Estimate en fonction des chargements

Plusieurs déductions peuvent être tirées de cette étude. Tout d’abord, l’évolution des engagements

Best Estimate selon la hausse appliquée est similaire quel que soit le scénario. Dans les deux cas, une

tendance quasi-linéaire peut être observée.

Le deuxième élément pouvant être évoqué est le fait que le Best Estimate sur le scénario équivalent

certain central est constant pour les différentes hausses appliquées. Cela s’explique par la politique

de distribution de Participation aux Bénéfices présentée en section 4.6.2. Pour rappel, dans la poli-

tique implémentée au sein du modèle ALM, le prélèvement des chargements sur l’encours des assurés

s’effectue uniquement si les produits financiers sont suffisants pour verser le TMG à tous les assurés.

Dans le cas où ils ne seraient pas suffisants, les chargements seraient diminués. Cette modélisation

explique le comportement observé sur la figure 8.11. Ainsi, dans ce type d’environnement écono-

mique, une hausse des chargements ne présente aucun impact sur l’estimation des engagements BestEstimate.

La seconde étude effectuée concerne le ratio de couverture du SCR. La méthodologie présentée a

été déployée pour des chocs croisés sur les taux et sur les chargements. Les résultats sont présentés

sur la figure 8.12.

107


0

25

50

75

100

0 25 50 75 100

Hausse des chargements (en %)

Cho

c su

r la

cou

rbe

des

taux

(en

bp)

1.0

1.2

1.4

Figure 8.12 – Évolution du ratio de couverture du SCR en fonction des chargements

La figure présentée ci-dessus permet de mettre en évidence que les chargements ne constituent

pas un levier efficace pour atténuer l’impact d’une hausse des taux sur la solvabilité d’un assureur

vie. De plus, l’impact d’une hausse des chargements sur le ratio de couverture est identique quel que

soit le choc appliqué.

Il convient cependant de noter que les résultats présentés dans cette section ne sont pas nécessaire-

ment représentatifs du marche de l’assurance vie en France. Cette même étude menée avec une fonc-

tion de distribution de participation aux bénéfices différente pourrait ne pas conduire aux mêmes

conclusions.

Conclusion

Tout au long de ce mémoire et plus particulièrement au sein de cette partie, il a été question de

mettre en évidence l’impact qu’aurait une hausse subite des taux d’intérêt sur le passif ainsi que, plus

globalement, sur la solvabilité d’un assureur vie. Les différentes études menées ont montré qu’une

des principales sources de risque d’une compagnie d’assurance vie en cas de remontée des taux est

une vague de rachats massifs.

Dans un tel contexte, la solvabilité de la société d’assurance est mise à mal. Sur le portefeuille

étudié, il a pu être mis en évidence qu’une hausse de 1 point de base sur la courbe des taux sans

risque entrainait une chute de 0,6 point du ratio de couverture du SCR.

Les rachats constituent un facteur de risque particulièrement important dans un scénario de hausse

des taux. Les différentes études de sensibilité menées au sein de ce mémoire ont permis de montrer

108


que leur bonne estimation, dans le cadre de la modélisation ALM, était nécessaire compte tenu de la

sensibilité du ratio de solvabilité par rapport à leur niveau.

Enfin, en cas de scénario économique présentant une menace grave pour la solvabilité des assu-

rances, le Haut Conseil de Stabilité Financière est autorisé à suspendre, retarder ou limiter, à travers

la loi Sapin II, les rachats sur les fonds en euros. Cette mesure a pour vocation de prévenir un risque

systémique en cas de remontée des taux.

109

Conclusion

Au cours de ce mémoire, il a été question de développer, dans un premier temps, un modèle de

projection Actif-Passif permettant d’avoir une vision très complète des pratiques actuarielles et de

l’ensemble des mécanismes comptables intervenant dans la projection des engagements d’une société

d’assurance vie. La démarche mise en œuvre a ainsi permis d’étudier l’effet de la structure de la

courbe des taux sur la solvabilité d’un assureur vie.

L’option de rachat proposée dans les contrats d’assurance vie apporte une plus forte attractivité

aux contrats d’assurance vie tels que les fonds en euros. Néanmoins, cette option est un risque par-

ticulièrement important pour les compagnies d’assurance vie. Comme présenté dans ce mémoire, ce

risque est d’autant plus marqué lorsque le contexte économique subit une remontée des taux.

Les études exposées à travers ce mémoire ont permis de mettre en évidence une forte sensibilité

du ratio de couverture du SCR vis-à-vis de la courbe des taux sans risque. A partir du portefeuille

étudié, un mouvement uniforme d’un point de base sur la courbe des taux entraîne une chute de 0,6

point du ratio de solvabilité.

Enfin, il a également été vu à travers des tests de sensibilité sur la loi de rachats dynamiques que

la bonne modélisation du comportement des assurés, est nécessaire dans le cadre d’une projection

Actif-Passif. L’instauration du Prélèvement Forfaitaire Unique, également appelé flat tax, de 30% sur

les revenus des capitaux mobiliers vient modifier en profondeur la fiscalité française et pourrait, à

ce titre, changer le comportement des assurés. Par conséquent, des études de la part des sociétés

d’assurance vont être nécessaires afin de modéliser, de façon la plus adéquate, l’ensemble des com-

portements des assurés.

110

Annexes

II

Annexe A

Démonstration de la relation entre lestaux d’actualisation et la sensibilité d’uneobligation

Soit une obligation de maturité T et, sans perte de généralités, versant des coupons de façon an-

nuelle. Les flux engendrés au cours de l’année i seront notés CFi .

Soit r un taux d’actualisation continu. Le prix d’une obligation, noté P , correspond aux flux futurs

actualisés engendrés de part la détention de cette obligation.

P (r) =T∑t=1

CFt × e−r.t

La sensibilité, ou Modified Duration en anglais, notée S, est une mesure définie comme la déri-

vée, en pourcentage du prix de l’obligation, par rapport au taux d’actualisation. Autrement dit, la

sensibilité d’une obligation est définie comme suit :

S(r) = −dPdr (r)

P (r)

Par conséquent, la relation suivante se retrouve de façon immédiate :

dP (r)P (r)

= −S(r)× dr

La sensibilité est une grandeur permettant d’appréhender la dépendance du prix d’une obligation

vis-à-vis des taux d’intérêt. Cette grandeur correspond à la variation relative du prix de l’obligation

lorsque le taux d’actualisation bouge de 1%.

Il convient de noter qu’en temps continu la sensibilité d’une obligation est égale à sa duration.

Néanmoins en temps discret la sensibilité peut s’exprimer en fonction de la duration D(r) :

D(r) = S(r)× (1 + r)

IV

Annexe B

Construction d’une table de scénario suiteà une agrégation de données

Dans cette annexe il a été question de détailler la construction de la nouvelle table de mortalité

permettant de suivre l’évolution des provisions mathématiques. La construction des tables de rachats

s’effectue selon la même méthodologie.

Soit k un Model Point. Soit t ≥ 1 une année de projection. La part de PM survivante face aux décès,

notée P̃Mk,t, est définie par :

P̃Mk,t = PMk,0 ×t∏j=1

(1− qk,j

)avec :

• PMk,0 la provision mathématique initiale associée au Model Point k ;

• qk,j la probabilité de décès associée au Model Point k au cours de l’année de projection j.

Soit θ un TMG. Soit Aθ l’ensemble des Model Points ayant leur TMG égal à θ. La probabilité de

décès, notée q̂θ,t, pour l’ensemble de ces Model Points est alors définie de la façon suivante :

q̂θ,t =1∑

k∈AθP̃Mk,t

∑k∈Aθ

qt,k × P̃Mk,t

q̂θ,t correspond à la moyenne pondérée, par les PM, des taux de mortalité.

VI

Annexe C

Matrices de corrélation utilisées pourl’estimation du SCR en Formule Standard

L’annexe IV de la directive Solvabilité II fournit les matrices de corrélation nécessaires à l’estima-

tion du SCR en Formule Standard.

C.1 Matrice de corrélation des modules de risques

Niveau de corrélation Marché Défaut Vie Santé Non-vie

Marché 1

Défaut 0,25 1

Vie 0,25 0,25 1

Santé 0,25 0,25 0,25 1

Non-vie 0,25 0,5 0 0 1

C.2 Matrice des risques sous-modulaires marché

Niveau de corrélation Taux Actions Immobilier Spread Concentration Change

Taux 1

Actions 0 ou 0,5 1 1

Immobilier 0 ou 0,5 1 0,75 1

Spread 0 ou 0,51 0,75 0,5 1

Concentration 0 0 0 0 1

Change 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1

1. Lorsque le SCR relatif au risque de taux d’intérêt résulte du scénario à la hausse des taux, les corrélations taux-actions, taux-immmobilier, et taux-spread sont nulles, sinon elles sont fixées à 0,5

VIII

ANNEXE C. MATRICES DE CORRÉLATION UTILISÉES POUR L’ESTIMATION DU SCR ENFORMULE STANDARD

C.3 Matrice des risques sous-modulaires vie

Niveau de corrélation Mortalité Longévité Invalidité Frais Révision Rachat CAT

Mortalité 1

Longévité -0,25 1

Invalidité 0,25 0 1

Frais 0,25 0,25 0,5 1

Révision 0 0,25 0 0,5 1

Rachat 0 0,25 0 0,5 0 1

CAT 0,25 0 0,25 0,25 0 0,25 1

IX

Bibliographie

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spécifications techniques pour l’exercice 2013 de préparation à Solvabilité II, 2013.

[5] Autorité des Normes Comptables. Règlement n°2015-11 du 26 novembre 2015 relatif aux

comptes annuels des entreprises d’assurance, 2015.

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un portefeuille d’assurance vie. 2010.

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[16] Institut des Actuaires. Groupe de travail - Générateurs de Scénarios Economiques, 2018.

XII

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[21] Sia Partners. Guide d’aide à la réalisation des calculs Solvabilité II. 2014.

[22] Sia Partners - Antoine Mazurie. Formation interne ALM, 2018.

XIII

Documents

Par : Damien Tichit - Institut des actuaires