Le Calcul de Malliavin Applique a La Finance 04062002

5/8/2018 Le Calcul de Malliavin Applique a La Finance 04062002 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/le-calcul-de-malliavin-applique-a-la-finance-04062002 1/77

L e C a l c u l d e M a l l i a v i n

A p p l i q u é à l a F i n a n c e

F r é d é r i c C o s m a o , F r é d é r i c D u p u y e t A n t o i n e G u i l l o n

G r o u p e d e T r a v a i l

D i r i g é p a r J e a n - F r é d é r i c J o u a n i n , A s h k a n N i k e g h b a l i e t T h i e r r y R o n c a l l i

4 J u i n 2 0 0 2





I n t r o d u c t i o n

C e m é m o i r e i n t r o d u i t u n e t h é o r i e d e c a l c u l v a r i a t i o n n e l s t o c h a s t i q u e a u s s i a p p e l é e C a l c u l d e

M a l l i a v i n . L a r e c h e r c h e d a n s c e d o m a i n e e s t t r è s v i v a n t e d e p u i s u n e d i z a i n e d ' a n n é e s e t l e s a p p l i c a -

t i o n s d e c e t t e t h é o r i e à l a n a n c e s o n t n o m b r e u s e s . C e t t e t h é o r i e c o m p o r t e u n e g r a n d e d o m i n a n t e

d e c a l c u l s t o c h a s t i q u e a u f o r m a l i s m e p a r f o i s c o m p l e x e .

P o u r l a r e n d r e a c c e s s i b l e a u x n o n - i n i t i é s , n o u s a v o n s t e n t é d e l ' e x p o s e r d e m a n i è r e d i d a c t i q u e

e t i n t u i t i v e e n p r i v i l é g i a n t l e s e x e m p l e s . N o u s n o u s i n t é r e s s o n s i c i e s s e n t i e l l e m e n t à d e u x c h a m p s

d ' a p p l i c a t i o n s .

D a n s u n p r e m i e r t e m p s n o u s p r é s e n t o n s u n e n o u v e l l e t e c h n i q u e p o u r l e c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s

d u p r i x d ' u n e o p t i o n à d i é r e n t s p a r a m è t r e s , a u s s i a p p e l é e s g r e c q u e s , d a n s u n c a d r e a s s e z g é n é r a l

d ' o p t i o n s à p a y o d i s c o n t i n u s , p a t h - d e p e n d e n t , s u r m u l t i s o u s - j a c e n t s . L e r é s u l t a t f o n d a m e n t a l d e

l ' a p p r o c h e p a r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n ( F o u r n i é

e t a l . [ F L L L T 9 9 a ] , B e n h a m o u

[ B E N 0 0 a ] ) e s t q u e

c e l u i - c i p e r m e t , p a r d e s m é t h o d e s d e M o n t e C a r l o , d ' e s t i m e r l e s g r e c q u e s n o n p l u s p a r D i é r e n c e s

F i n i e s c o m m e c ' e s t h a b i t u e l l e m e n t l e c a s , m a i s p a r u n e s e u l e e s p é r a n c e , c e l l e d u p r o d u i t d u p a y o

p a r u n p o i d s i n d é p e n d a n t d u p a y o ( g r e c q u e = E[p a y o .p o i d s ]) . N o u s e s s a y o n s é g a l e m e n t d e

c o m p a r e r l e s d e u x a p p r o c h e s , D i é r e n c e s F i n i e s e t M a l l i a v i n , p o u r d é t e r m i n e r l e s p r o l s d e p a y o

p o u r l e s q u e l s l e c a l c u l d e M a l l i a v i n s ' a v è r e l e p l u s p e r t i n e n t .

D a n s u n d e u x i è m e t e m p s n o u s p r o p o s o n s , à l ' a i d e d u c a l c u l d e M a l l i a v i n ( F o u r n i é e t a l .

[ F L L L 0 1 b ] , L i o n s e t R e g n i e r [ L R 0 1 ] ) , u n e n o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n d e s e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s

a i n s i q u e s e s a p p l i c a t i o n s a u p r i c i n g e t a u h e d g i n g d ' o p t i o n s a m é r i c a i n e s .

N o u s t e n o n s à r e m e r c i e r :

n o s d i r e c t e u r s d e G T ( J e a n - F r é d é r i c J o u a n i n , A s h k a n N i k e g h b a l i e t T h i e r r y R o n c a l l i ) p o u r

l e u r s o u t i e n t e c h n i q u e e t m o r a l , l e u r d i s p o n i b i l i t é ,

t o u t e l ' é q u i p e d u G R O ,

E m m a n u e l G o b e t e t B r u n o - D e n i z e B o u c h a r d p o u r l e u r s é c l a i r c i s s e m e n t s ,

l e s a n i m a t e u r s e t i n t e r v e n a n t s d u c o l l o q u e A p p l i c a t i o n d u C a l c u l d e M a l l i a v i n e n F i n a n c e ,

l e s 1 3 e t 1 4 d é c e m b r e 2 0 0 1 à l ' I N R I A .

1



2



T a b l e d e s m a t i è r e s

I n t r o d u c t i o n 1

1 I n t r o d u c t i o n a u c a l c u l d e M a l l i a v i n 5

1 . 1 D é n i t i o n d e s o p é r a t e u r s d e M a l l i a v i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 1 . 1 D é n i t i o n s u r d e s e s p a c e s s i m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 1 . 2 E x t e n s i o n d e s o p é r a t e u r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 P r o p r i é t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 1 F o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 2 . 2 F o r m u l e s d e c a l c u l e t d e c o m m u t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 3 U n e x e m p l e f o n d a m e n t a l : l e p r o c e s s u s d e s v a r i a t i o n s p r e m i è r e s . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 4 E x t e n s i o n a u c a s m u l t i - d i m e n s i o n n e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

2 C a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s e t a p p l i c a t i o n s a u x o p t i o n s e x o t i q u e s 1 3

2 . 1 C a l c u l d e M a l l i a v i n e t c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s : m é t h o d o l o g i e . . . . . . . . . . . . . 1 3

2 . 1 . 1 L e s s e n s i b i l i t é s : c a d r e d e t r a v a i l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

2 . 1 . 2 E v a l u a t i o n p a r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

2 . 1 . 3 E x t e n s i o n d e s r é s u l t a t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . 2 C o m p a r a i s o n d e s m é t h o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 2 . 1 L a m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 2 . 2 L a m é t h o d e d u p o i d s d e M a l l i a v i n e t i n t r o d u c t i o n d ' u n e f o n c t i o n d e c o n t r ô l e 2 0

2 . 3 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 3 . 1 L e c a s d e l ' o p t i o n e u r o p é e n n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 3 . 2 L e c a s d e l ' o p t i o n b i n a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

3 E x t e n s i o n a u c a s d e s o p t i o n s m u l t i s o u s - j a c e n t s 2 7

3 . 1 C a l c u l s t h é o r i q u e s d e s c o e c i e n t s d e s e n s i b i l i t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

3 . 1 . 1 R é s u l t a t s g é n é r a u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

3 . 1 . 2 A p p l i c a t i o n a u c a l c u l d e s g r e c q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

3 . 2 A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 2 . 1 U n e x e m p l e a v e c l ' o p t i o n s u r S p r e a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 2 . 2 U n e x e m p l e a v e c l ' o p t i o n W o r s t O f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

4 V a l o r i s a t i o n e t s e n s i b i l i t é s d ' u n e o p t i o n a m é r i c a i n e 3 5

4 . 1 L ' é c h e c d e M o n t e C a r l o p o u r l e s o p t i o n s a m é r i c a i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

4 . 1 . 1 F o r m u l a t i o n d u p r o b l è m e e n t e r m e d ' e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s . . . . . . . 3 6

4 . 1 . 2 U n a l g o r i t h m e i n e c a c e n u m é r i q u e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

4 . 2 N o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n d ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

4 . 2 . 1 U n e x e m p l e d e p r o c e s s u s u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

4 . 2 . 2 L e c o n c e p t d e f o n c t i o n l o c a l i s a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

4 . 3 A p p l i c a t i o n s a u x o p t i o n s a m é r i c a i n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

4 . 3 . 1 L ' a l g o r i t h m e d e v a l o r i s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

4 . 3 . 2 R é s u l t a t s n u m é r i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

C o n c l u s i o n 4 3

3



4 T A B L E D E S M A T I È R E S

A C o m p l é m e n t s s u r l e C a l c u l d e M a l l i a v i n i

A . 1 L i e n e n t r e M a l l i a v i n e t c a l c u l d e s e n s i b i l i t é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

A . 1 . 1 L ' o p é r a t e u r d ' O r n s t e i n - U h l e n b e c k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

A . 1 . 2 F o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

A . 2 P a s s a g e d e s p a y o d a n s C∞K a u x p a y o d a n s L2

: d é m o n s t r a t i o n . . . . . . . . . . . i i

B U n e a p p l i c a t i o n d e l a f o r m u l e d e C l a r k - O c o n e v

C E x t e n s i o n à l a v o l a t i l i t é s t o c h a s t i q u e v i i

D L e s t e c h n i q u e s d e M o n t e - C a r l o i x

D . 1 R a p p e l M o n t e - C a r l o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i x

D . 2 M é t h o d e s c l a s s i q u e s d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

E Q u e l q u e s o p t i o n s e x o t i q u e s x i i i

E . 1 L e s o p t i o n s a s i a t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i i i

E . 1 . 1 C a r a c t é r i s a t i o n d e s p o i d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i v

E . 1 . 2 V a l o r i s a t i o n d ' o p t i o n s a s i a t i q u e s p a r l e s t e c h n i q u e s d e M o n t e - C a r l o . . . . . x i v

E . 2 E D P e t a r b r e s a p p l i q u é s a u x o p t i o n s a s i a t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i

E . 2 . 1 U n e m é t h o d e a u x d i é r e n c e s n i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i

E . 2 . 2 L a m é t h o d e d ' i n t e r p o l a t i o n d e H u l l e t W h i t e . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i

E . 3 L e s o p t i o n s b a r r i è r e s e t l o o k b a c k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i i

E . 3 . 1 P r é l i m i n a i r e s s u r l e s o p t i o n s b a r r i è r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x v i i i

E . 3 . 2 L e s a m é n a g e m e n t s n é c e s s a i r e s p o u r l a m é t h o d e . . . . . . . . . . . . . . . . x x i

E . 3 . 3 P a s s a g e d e l a d i u s i o n à u n b r o w n i e n a v e c d r i f t . . . . . . . . . . . . . . . . x x i

E . 3 . 4 D e u x e x e m p l e s d e p r o c e s s u s d o m i n a n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i i

F R é s u l t a t s n u m é r i q u e s d a n s l e c a s m u l t i d i m e n s i o n n e l x x i i i

F . 1 C a l c u l d u K a p p a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i i i

F . 2 R é s u l t a t s n u m é r i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i v

G S e n s i b i l i t é s d ' o p t i o n s a m é r i c a i n e s x x v i i

G . 1 L e s s e n s i b i l i t é s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x v i i

G . 2 P r i c i n g e t H e d g i n g d ' u n e o p t i o n a m é r i c a i n e : c a s m u l t i - d i m e n s i o n n e l . . . . . . . . x x i x

G . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n e t n o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i x

G . 2 . 2 L e c a l c u l d u D e l t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x i x



C h a p i t r e 1

I n t r o d u c t i o n a u c a l c u l d e M a l l i a v i n

E n d i m e n s i o n n i e , l e c a l c u l d i é r e n t i e l u s u e l t r a d u i t l a d é p e n d a n c e d ' u n e f o n c t i o n p a r r a p p o r t

a u x c o o r d o n n é e s d ' u n v e c t e u r d e Rd . L e c a l c u l d e M a l l i a v i n e s t u n c a l c u l d i é r e n t i e l m a i s s u r u n

e s p a c e d e d i m e n s i o n i n n i e , l ' e s p a c e d e W i e n e r C([0, 1],Rd). S u r c e t e s p a c e , u n e t r a j e c t o i r e d u

b r o w n i e n p e u t - ê t r e c o m p r i s e c o m m e l a f o n c t i o n c o n t i n u e l a p l u s g é n é r a l e q u i s o i t . L e s t r a j e c t o i r e s

d u b r o w n i e n s o n t l e s p e n d a n t s d e s v e c t e u r s e n d i m e n s i o n n i e : l ' o p é r a t e u r d e d i é r e n t i a t i o n , o u

d é r i v é e d e M a l l i a v i n D , t r a d u i t l a d é p e n d a n c e d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e

1

p a r r a p p o r t a u x a c c r o i s -

s e m e n t s d ' u n e t r a j e c t o i r e d u b r o w n i e n . P o u r u n e a p p r o c h e q u i s e v e u t d ' a b o r d d i d a c t i q u e , n o u s

n o u s l i m i t o n s a u x o u t i l s n é c e s s a i r e s à l a c o m p r é h e n s i o n d u r e s t e d u r a p p o r t . N o u s f o u r n i s s o n s é g a -

l e m e n t d e s e x e m p l e s s i m p l e s m a i s i n s t r u c t i f s . P o u r u n e p r é s e n t a t i o n p l u s c o m p l è t e , l e s o u v r a g e s

d e r é f é r e n c e s o n t c e u x d e N u a l a r t [ N U A 9 5 ] e t d e F r i z [ F R I 0 1 ] . N o u s n o u s s o m m e s i n s p i r é s d ' u n

c o u r s s u r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n p a r B a l l y [ B A L 0 1 ] .

C e t t e s e c t i o n s ' o r g a n i s e e n t r o i s p a r t i e s . D a n s l a p r e m i è r e , n o u s d é n i s s o n s s u r d e s o b j e t s

s i m p l e s d e u x o p é r a t e u r s : d ' u n e p a r t l ' o p é r a t e u r d e d é r i v a t i o n , o u d é r i v é e d e M a l l i a v i n D , d ' a u t r e

p a r t l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d

2

δ . E n s u i t e , o n l e s é t e n d p a r d e n s i t é à d e s e s p a c e s p l u s r i c h e s . N o u s

n o u s c o n t e n t e r o n s e s s e n t i e l l e m e n t d e r é s u l t a t s e n d i m e n s i o n 1 , c e p e n d a n t o n t r o u v e r a à l a n

d e c e c h a p i t r e l e s e x t e n s i o n s a u c a s m u l t i d i m e n s i o n n e l . D a n s u n s e c o n d t e m p s , n o u s p r é s e n t o n s

l e s p r o p r i é t é s q u i n o u s i n t é r e s s e n t à c o m m e n c e r p a r l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s . E l l e

j o u e r a u n r ô l e c e n t r a l d a n s l e s d é m o n s t r a t i o n s t h é o r i q u e s d e l ' e x p o s é . E n n , n o u s c o n s a c r e r o n s

u n p a r a g r a p h e à u n e x e m p l e f o n d a m e n t a l p o u r l e s c a l c u l s e t l e s i m p l é m e n t a t i o n s n u m é r i q u e s . E n

e e t , n o u s c a l c u l o n s l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d ' u n e d i u s i o n d a n s u n c a d r e g é n é r a l a v a n t

d ' e x h i b e r l e s f o r m u l e s f e r m é e s d a n s l e c a d r e s i m p l i é d e B l a c k - S c h o l e s .

1 . 1 D é n i t i o n d e s o p é r a t e u r s d e M a l l i a v i n

D a n s c e t t e s e c t i o n n o u s d é n i s s o n s l e s o p é r a t e u r s f o n d a m e n t a u x . O n s e r e s t r e i n t à l ' i n t e r v a l l e

[0, 1] p o u r s i m p l i e r .

N o t a t i o n s 1 O n c o n s i d è r e u n e s p a c e d e p r o b a b i l i t é (Ω, F ,P) s u r l e q u e l e s t d é n i u n m o u v e m e n t

b r o w n i e n n o t é (W t)0≤t≤1 e t o n n o t e F t = σ(W s ; s ≤ t) . O n s u b d i v i s e l ' i n t e r v a l l e [0, 1] à l ' a i d e d e s

d y a d i q u e s tnk = k2−n

p o u r n ∈ N

e t k ∈ 0, . . . , 2n

. E n n , o n n o t e é g a l e m e n t ∆n

k = W tnk+1

− W tnk

l e s a c c r o i s s e m e n t s d u m o u v e m e n t b r o w n i e n e t ∆n = (∆n0 , . . . , ∆n

2n−1)

1 . 1 . 1 D é n i t i o n s u r d e s e s p a c e s s i m p l e s

N o u s i n t r o d u i s o n s m a i n t e n a n t l e s e s p a c e s s i m p l e s s u r l e s q u e l s o n v a d é n i r n o s d e u x o p é r a t e u r s .

C

∞ p (R2

n

) d é s i g n e l ' e n s e m b l e d e s f o n c t i o n s i n n i m e n t d é r i v a b l e s à c r o i s s a n c e a u p l u s p o l y n ô m i a l à

l ' i n n i .

1

P o u r p r é c i s e r l ' a n a l o g i e , u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e p e u t s ' i n t e r p r é t e r c o m m e u n e f o n c t i o n d ' u n e s p a c e d e W i e n e r

v e r s u n e s p a c e v e c t o r i e l r é e l .

2

C ' e s t u n e e x t e n s i o n d e l ' i n t é g r a l e d ' I t ô v a l a b l e p o u r d e s p r o c e s s u s q u i n e s o n t p a s a d a p t é s .

5



6 C H A P I T R E 1 . I N T R O D U C T I O N A U C A L C U L D E M A L L I A V I N

D é n i t i o n 1 ( L ' e n s e m b l e d e s f o n c t i o n n e l l e s s i m p l e s ) S o i t :

S n = f (∆n0 , . . . , , ∆n

2n−1); f ∈C

∞ p (R2n).

L e s S n f o r m e n t u n e s u i t e c r o i s s a n t e d ' e n s e m b l e s i n c l u s d a n s L2(Ω). L e s é l é m e n t s d e S =

n≥1 S ns ' a p p e l l e n t f o n c t i o n n e l l e s s i m p l e s .

C e t e n s e m b l e n o u s p e r m e t t r a d e d é n i r l a d é r i v é e d e M a l l i a v i n . L ' e s p a c e d e s f o n c t i o n n e l l e s s i m p l e s

e s t c o n s t r u i t d e t e l l e s o r t e q u ' a p p a r a î s s e c l a i r e m e n t l a d é p e n d a n c e d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e d e S na v e c l e s a c c r o i s s e m e n t s d u b r o w n i e n . D e f a ç o n a n a l o g u e , n o u s d é n i s s o n s l e s e n s e m b l e s q u i s e r v i r o n t

à c o n s t r u i r e l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d .

D é n i t i o n 2 ( L ' e n s e m b l e d e s p r o c e s s u s s i m p l e s ) S o i t :

P n = 2n−1

i=0 1[tni ,tni+1[(t)F i(ω); (t, w)

∈[0, 1]

×Ω e t F k

∈S n.

L e s P n f o r m e n t u n e s u i t e c r o i s s a n t e d ' e n s e m b l e s i n c l u s d a n s

L2([0, 1] × Ω). L e s é l é m e n t s d e

P =n≥1 P n s ' a p p e l l e n t p r o c e s s u s s i m p l e s .

N o u s p o u v o n s d é s o r m a i s i n t r o d u i r e l e s o p é r a t e u r s s u r c e s e s p a c e s :

D é n i t i o n 3 ( L ' o p é r a t e u r d e d é r i v a t i o n a u s e n s d e M a l l i a v i n ) S o i t F ∈ S , a l o r s ∃n ∈ N∗

t e l q u e F = f (∆n) . L ' o p é r a t e u r d e d é r i v a t i o n , a u s e n s d e M a l l i a v i n , d e l a f o n c t i o n n e l l e s i m p l e

F e n u n p o i n t s ∈ [tnk , tnk+1[ e s t a l o r s l a f o n c t i o n D : S n −→ P n d é n i e p a r DsF = ∂f ∂xk

(∆n),

c ' e s t - à - d i r e :

DsF =2n−1

i=0 1[tni ,tni+1[(s)∂f

∂xk

(∆n)

I l e s t l o g i q u e q u e c e t o p é r a t e u r d e d é r i v a t i o n a s s o c i e à u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e u n p r o c e s s u s . A l a

d a t e s, l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n t r a d u i t l ' i m p a c t d e s a c c r o i s s e m e n t s d u b r o w n i e n à c e t t e

d a t e s u r u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e . A p a r t i r d e c e t t e d é n i t i o n , o n c o n s t a t e d é j à q u e p o u r u n e v a r i a b l e

a l é a t o i r e F t - a d a p t é e e t p o u r s > t o n a DsF = 0 : u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e c a r a c t é r i s é e à u n e d a t e

d o n n é e n e d é p e n d p a s d e s a c c r o i s s e m e n t s p o s t é r i e u r s d u b r o w n i e n .

E x e m p l e : o n c a l c u l e l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d e W 1 . N o t o n s q u e W 1 = ∆11 d o n c DsW 1 =

1[0,1](s)

D é n i t i o n 4 ( L ' o p é r a t e u r d ' i n t é g r a t i o n a u s e n s d e S k o r o k h o d ) S o i t u

∈P , a l o r s

∃n

∈N∗ t e l q u e u ∈ P n . L ' o p é r a t e u r d ' i n t é g r a t i o n , a u s e n s d e S k o r o k h o d , d u p r o c e s s u s s i m p l e u e s t a l o r s

l a f o n c t i o n δ : P n −→ S n d é n i e p a r

δ(u) =2n−1i=0

f i(∆n)∆ni −

2n−1i=0

∂f i∂xi

(∆n)1

2n

a v e c :

u(t, ω) =2n−1i=0

1[tni ,tni+1[

(t)F i(ω) e t F i = f i(∆n)

N o t o n s q u e l e p r e m i e r t e r m e d e c e s d e u x s o m m e s c o r r e s p o n d à u n e i n t é g r a l e u s u e l l e d ' I t ô . L e s e c o n d

t e r m e p r e n d e n c o m p t e , l e f a i t q u e l e p r o c e s s u s n ' e s t p a s n é c e s s a i r e m e n t a d a p t é . C e d e u x i è m e

t e r m e e s t n é c e s s a i r e p o u r o b t e n i r l a r e l a t i o n d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s e t a é t é i n t é g r é

d a n s l a d é n i t i o n d a n s c e b u t . N o u s r e v i e n d r o n s s u r c e p o i n t d a n s l a p a r t i e r e l a t i v e a u x p r o p r i é t é s

d e c e s o p é r a t e u r s .



1 . 1 . D É F I N I T I O N D E S O P É R A T E U R S D E M A L L I A V I N 7

S i o n d é n i t l e s p r o c e s s u s p r é v i s i b l e s p a r :

∀k ∈ 0, . . . , 2n − 1, f k(∆n) = f k(∆n0 , . . . , ∆n

k−1)

O n r e m a r q u e q u e l o r s q u e l e p r o c e s s u s s i m p l e u e s t p r é v i s i b l e , l e s e c o n d t e r m e d e c e t t e s o m m e

s ' a n n u l e . Q u a n d o n é t e n d c e t t e p r o p r i é t é p a r d e n s i t é , l e s p r o c e s s u s a d a p t é s é t a n t d e s l i m i t e s d e

p r o c e s s u s p r é v i s i b l e s , l e s i n t é g r a l e s d e S k o r o k h o d c o ï n c i d e n t a v e c c e l l e s d ' I t ô .

1 . 1 . 2 E x t e n s i o n d e s o p é r a t e u r s

N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t é t e n d r e l e s o p é r a t e u r s D e t δ à d e s e s p a c e s p l u s g r o s . N o t o n s d a n s u n

p r e m i e r t e m p s q u e :

S e s t d e n s e d a n s L2(Ω),

P e s t d e n s e d a n s L2([0, 1] × Ω).

L e b u t s e r a i t d o n c d ' é t e n d r e l e s o p é r a t e u r s D e t δ r e s p e c t i v e m e n t à L2(Ω) e t à L2([0, 1]×Ω). P o u r -

t a n t , c e s o p é r a t e u r s n ' é t a n t p a s c o n t i n u s , n o u s n e p o u v o n s p a s a p p l i q u e r l e s m é t h o d e s h a b i t u e l l e s

d ' e x t e n s i o n e t n o u s d e v r o n s n o u s c o n t e n t e r d ' u n e e x t e n s i o n m o i n s r i c h e .

P r o p o s i t i o n 1 D e t δ s o n t d e s o p é r a t e u r s f e r m é s , c ' e s t - à - d i r e q u e s i (F n)n e s t u n e s u i t e d e

S q u i t e n d v e r s 0 d a n s L2(Ω) e t s i (D F n)n t e n d v e r s u d a n s L2([0, 1] × Ω), a l o r s u = 0 . I l e n v a

d e m ê m e p o u r δ .

C i - d e s s o u s l a d é n i t i o n d e l ' e s p a c e D1,2 s u r l e q u e l o n p e u t é t e n d r e l a n o t i o n d e d é r i v é e a u s e n s d e

M a l l i a v i n .

D é n i t i o n 5 O n d é n i t

D1,2 = F

∈L2(Ω), tq

∃( F n)n s u i t e d e S tq

F nL2(Ω)−−−−→

F

D F nL2([0,1]×Ω)−−−−−−−→ u

O n p o s e a l o r s p o u r F ∈ D1,2 ,

D F = u

R e m a r q u e 1 L a d é n i t i o n d e DF n e d é p e n d p a s d e l a s u i t e (Fn)n c a r l ' o p é r a t e u r D e s t f e r m é .

O n d é n i t é g a l e m e n t l ' e s p a c e Dom(δ) s u r l e q u e l o n é t e n d l a n o t i o n d ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d .

D é n i t i o n 6 O n a p p e l l e Dom(δ) l ' e n s e m b l e d e s u

∈L2([0, 1]

×Ω) t e l q u ' i l e x i s t e u n e s u i t e (un)n

d e P t e l l e q u e unL2([0,1]×Ω)−−−−−−−→ u

δ(un)L2(Ω)−−−−→ F

O n d é n i t a l o r s p o u r u n t e l u

F = δ(u)

L à e n c o r e , l a f e r m e t u r e d e l ' o p é r a t e u r δ i m p l i q u e q u e l e r é s u l t a t n e d é p e n d p a s d e l a s u i t e c h o i s i e .

R e m a r q u e 2 O n a u r a i t p u c a r a c t é r i s e r l ' e s p a c e D1,2a u t r e m e n t . E n e e t , s i o n d é n i t s u r S l a

n o r m e

F 1,2 = F L2(Ω) + DF L2([0,1]×Ω)a l o r s

D1,2e s t l a f e r m e t u r e d e S p o u r c e t t e n o r m e .



8 C H A P I T R E 1 . I N T R O D U C T I O N A U C A L C U L D E M A L L I A V I N

1 . 2 P r o p r i é t é s

L e c a l c u l d e M a l l i a v i n a d e n o m b r e u s e s a p p l i c a t i o n s e n n a n c e . L a p r e m i è r e a é t é p e r m i s e

d a n s l e c a d r e d e m a r c h é c o m p l e t . S o u s c e t t e h y p o t h è s e , o n p e u t v a l o r i s e r u n e o p t i o n à l ' a i d e

d e s p o r t e f e u i l l e s a u t o n a n ç a n t s d e r é p l i c a t i o n . U n p o r t e f e u i l l e a u t o n a n ç a n t t r a d u i t q u e l e p r i x

d ' u n e o p t i o n e s t l a c o m b i n a i s o n à t o u t i n s t a n t d ' u n e c e r t a i n e q u a n t i t é d ' a c t i f r i s q u é e t n o n r i s q u é .

U n d e s r é s u l t a t s d u c a l c u l d e M a l l i a v i n , l a f o r m u l e d e C l a r k - O c o n e ( q u i d é n i t c o m p l è t e m e n t

l a r e p r é s e n t a t i o n d ' u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e p a r u n e m a r t i n g a l e . ) p e r m e t d e t r o u v e r c e s q u a n t i t é s

d i r e c t e m e n t . N o u s d o n n o n s e n A n n e x e B u n e x e m p l e d e c e t y p e d ' a p p l i c a t i o n d a n s l e c a s B l a c k -

S c h o l e s . C e p e n d a n t , a u j o u r d ' h u i , l a f o r m u l e c e n t r a l e p o u r l e s a p p l i c a t i o n s à l a n a n c e e s t l a f o r m u l e

d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s ( e n a b r é g é I . P . P ) . S e s a p p l i c a t i o n s n e s e l i m i t e n t p a s a u m a r c h é c o m p l e t .

G r â c e à e l l e , o n p e u t p a r e x e m p l e c a l c u l e r l e s s e n s i b i l i t é s d a n s l e c a d r e d ' u n m o d è l e à v o l a t i l i t é

s t o c h a s t i q u e

3

.

1 . 2 . 1 F o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s

P r o p o s i t i o n 2 ( F o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s )

∀F ∈ D1,2, ∀u ∈ Dom(δ) o n a E(

10

DsF.usds) = E(F.δ(u))

O n a d o n c l a r e l a t i o n d ' a d j o n c t i o n s u i v a n t e

< DF, u >L2([0,1]×Ω)=< F, δ(u) >L2(Ω) .

P o u r d é m o n t r e r c e t t e p r o p o s i t i o n o n a b e s o i n d u l e m m e s u i v a n t :

L e m m e 1 s o i t ∆ u n e v . a . r . d e l o i N (o, σ2), a l o r s p o u r ϕ, g ∈ C 1(R), o n a

Eϕ(∆)g(∆) = Eϕ(∆)(∆

σ2g(∆)

−g(∆))

P r e u v e . C e l a r é s u l t e d ' u n c a l c u l d i r e c t p a r i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s :

E

ϕ(∆)g(∆)

=

∞−∞

ϕ(x)g(x)1√

2πσ2exp(

−x2

2σ2)dx

=

ϕ(x)g(x)

1√2πσ2

exp(−x2

2σ2)

∞−∞

− ∞−∞

ϕ(x)

g(x) − x

σ2g(x)

1√2πσ2

exp(−x2

2σ2)dx

= E

ϕ(∆)

∆

σ2g(∆) − g(∆)

P r e u v e d e l a p r o p o s i t i o n 2 . O n s e d o n n e F ∈

S n, u∈

P n e t o n u t i l i s e l a d é n i t i o n d e DsF :

E

10

DsF.usds

=

2n−1k=0

E

∂f

∂xk(∆n)f k(∆n)

1

2ns o i t e n u t i l i s a n t l e l e m m e

=2n−1k=0

E

f (∆n)

∆n

2−nf k(∆n) − ∂ kf k(∆n)

1

2n

= E

F.

2n−1k=0

f (∆n)∆n −2n−1k=0

∂f k∂xk

(∆n)1

2n

= E

F.δ(u)

3

I l p e u t s e m b l e r s u r p r e n a n t d e c a l c u l e r d e s s e n s i b i l i t é s a l o r s q u ' u n m a r c h é i n c o m p l e t n e p e r m e t p a s u n e c o u v e r t u r e

p a r f a i t e . N o u s r e v i e n d r o n s s u r c e p o i n t d a n s l a p a r t i e c o r r e s p o n d a n t e .



1 . 2 . P R O P R I É T É S 9

1 . 2 . 2 F o r m u l e s d e c a l c u l e t d e c o m m u t a t i o n

L a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s e s t f o n d a m e n t a l e d a n s l e c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s . E n e e t , s i

o n d é s i r e c a l c u l e r l a s e n s i b i l i t é d ' u n e s p é r a n c e p a r r a p p o r t à u n e c o n d i t i o n i n i t i a l e , o n a m o y e n n a n t

l a p o s s i b i l i t é d e p e r m u t e r e s p é r a n c e e t d é r i v a t i o n c e q u i s e r a l e c a s e n g é n é r a l

∂ E(φ(F(x)))

∂x= E(

∂φ(F(x))

∂x).

E n a n t i c i p a n t s u r l a p r o c h a i n e p a r t i e , o n v o i t q u ' u n l i e n e n t r e l a d é r i v é e u s u e l l e e t l a d é r i v é e

a u s e n s d e M a l l i a v i n p e r m e t t r a i t l ' a p p l i c a t i o n d e l ' I . P . P . U n e f o i s a p p l i q u é e , o n a e x p r i m é c e t t e

d é r i v é e d ' e s p é r a n c e c o m m e u n e e s p é r a n c e c l a s s i q u e o ù a p p a r a î t u n p o i d s q u i s ' e x p r i m e c o m m e u n e

i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d . D u p o i n t d e v u e d e l ' i m p l é m e n t a t i o n , c e t t e n o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n e s t p l u s

i n t é r e s s a n t e . P o u r c e l a i l n o u s f a u t p r é c i s e r l e l i e n e n t r e l a d é r i v é e u s u e l l e e t l a d é r i v é e a u s e n s d e

M a l l i a v i n :

P r o p o s i t i o n 3 ( F o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e ) ∀F 1, . . . , F d ∈ D1,2

, ϕ ∈ C1

(Rd

)o n a

ϕ(F 1, . . . , F d) ∈ D1,2

a i n s i q u e l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n ( d i t e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e ) :

Dsϕ(F 1, . . . , F d) =d

i=1

∂ϕ

∂xi(F 1, . . . , F d).DsF i

C e t t e f o r m u l e d e c o m m u t a t i o n p e r m e t é g a l e m e n t d e c a l c u l e r d e t r è s n o m b r e u s e s d é r i v é e s a u

s e n s d e M a l l i a v i n .

E x e m p l e : n o u s p o u v o n s m a i n t e n a n t c a l c u l e r l a d é r i v é e d e M a l l i a v i n

Ds(exp(W t)), o ù

t ∈ [0, 1]à

l ' a i d e d e l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e :

Ds(exp(W t)) = exp(W t)1[0,t](s)

D è s q u e c e l a a u n s e n s , o n a é g a l e m e n t l e s f o r m u l e s d e c o m m u t a t i o n s u i v a n t e s e n t r e l e s o p é r a t e u r s

d ' i n t é g r a t i o n u s u e l s ( I t ô e t R i e m a n n ) e t l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n :

P r o p o s i t i o n 4 P o u r (ut) a d a p t é , o n a :

Ds 1

0

utdW t = us + 1

s

DsutdW t

a i n s i q u e :

Ds

10

utdt

=

1s

Dsutdt

R e m a r q u e 3 R a p p e l o n s q u e s i (ut) e s t u n p r o c e s s u s a d a p t é , a l o r s Dsut = 0 p o u r s ≥ t e t q u e

l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d e s t u n e i n t é g r a l e d ' I t ô .

P o u r c o n c l u r e , n o u s i n t r o d u i s o n s u n e f o r m u l e s t r è s p r a t i q u e d ' u n p o i n t d e v u e n u m é r i q u e . P o u r ,

l ' i n s t a n t n o u s d i s p o s o n s d e p l u s i e u r s o u t i l s p o u r l e c a l c u l d e s d é r i v é e s d e M a l l i a v i n . C e n ' e s t p a s

l e c a s p o u r l e s i n t é g r a l e s d e S k o r o k h o d s a u f q u a n d l e p r o c e s s u s à i n t é g r e r e s t u n p r o c e s s u s s i m p l e

o u a d a p t é ( c ' e s t a l o r s u n e i n t é g r a l e d ' I t ô q u ' o n p e u t c a l c u l e r n u m é r i q u e m e n t c o m m e u n e l i m i t e ) .

Q u a n d l e p r o c e s s u s n ' e s t p a s a d a p t é o u u n p r o c e s s u s s i m p l e , l a d é p e n d a n c e a v e c l e s a c c r o i s s e -

m e n t s d u b r o w n i e n n ' e s t p a s e x p l i c i t e e n g é n é r a l . C e l a e m p ê c h e u n c a l c u l d i r e c t o u u n e s i m u l a t i o n

n u m é r i q u e p e r f o r m a n t e , p o u r p a l l i e r c e p r o b l è m e , o n u t i l i s e l a f o r m u l e s u i v a n t e :



1 0 C H A P I T R E 1 . I N T R O D U C T I O N A U C A L C U L D E M A L L I A V I N

P r o p o s i t i o n 5 S o i t

F u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e

F T - m e s u r a b l e a p p a r t e n a n t à D1,2

. A l o r s , p o u r t o u t

u a p p a r t e n a n t à Dom(δ) o n a :

δ(F u) = F.δ(u) − T 0

DtF.u(t)dt

A u c o u r s d e l ' e x p o s é , o n u t i l i s e r a r é g u l i è r e m e n t c e t t e f o r m u l e p o u r e x p l i c i t e r l e s i n t é g r a l e s

d e S k o r o k h o d . E n g é n é r a l , d a n s l e s a p p l i c a t i o n s , u e s t a d a p t é e t o n p e u t c a l c u l e r l e s i n t é g r a l e s

s t o c h a s t i q u e s d ' I t ô . O n t r o u v e r a d e s e x e m p l e s d a n s l a p a r t i e 2 , p o u r l e c a l c u l d u g a m m a o u e n

a n n e x e s u r l e s b a r r i è r e s .

1 . 3 U n e x e m p l e f o n d a m e n t a l : l e p r o c e s s u s d e s v a r i a t i o n s p r e -

m i è r e s

N o u s a l l o n s c o n s i d é r e r u n e c l a s s e d e p r o c e s s u s t r è s i m p o r t a n t e e n p r a t i q u e p o u r l a m o d é l i s a -

t i o n : l e s p r o c e s s u s d ' I t ô X (t), t ≥ 0, d i u s i o n s s o l u t i o n s d ' u n e é q u a t i o n d i é r e n t i e l l e s t o c h a s -

t i q u e . C ' e s t p o u r n o u s l ' o c c a s i o n d e m e t t r e e n o e u v r e l e s p r o p r i é t é s d i t e s d e c a l c u l , p r é c é d e m m e n t

e x p o s é e s . L e p r o c e s s u s X (t) v é r i e l ' é q u a t i o n :

dX t = b(t, X t)dt + σ(t, X t)dW t et X (0) = x,

o ù W t e s t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n s t a n d a r d . O n s u p p o s e a u s s i q u e σ e t b s o n t

C∞e t à d é r i v é e

p r e m i è r e b o r n é e

4

. A i n s i

X t = x +

t0

σ(s, X s)dW s +

t0

b(s, X s)ds

O n a s s o c i e à c e p r o c e s s u s l e p r o c e s s u s Y (t) v é r i a n t l ' é q u a t i o n d i é r e n t i e l l e s t o c h a s t i q u e s u i -

v a n t e :

dY t = Y t(b

2(t, X t)dt + σ

2(t, X t)dW t) et Y (0) = 1.

Y t e s t l e p r o c e s s u s d e s v a r i a t i o n s p r e m i è r e s a s s o c i é a u p r o c e s s u s X t : Y t = ∂Xt

∂x .

P r o p o s i t i o n 6 ∀t ≥ 0

X (t) ∈ D1,2

e t

DsX (t) = Y (t)Y (s)−1σ(s, X s)1s≤t

P r e u v e . N o u s d é m o n t r o n s i c i l a d e u x i è m e a s s e r t i o n d e l a p r o p r i é t é p r é c é d e n t e .

X t = x + t

0

σ(s, X s)dW s + t

0

b(s, X s)ds

E n d i é r e n c i a n t c e t t e e x p r e s s i o n a u s e n s d e M a l l i a v i n p u i s e n u t i l i s a n t l e s p r o p r i é t é s d e c o m m u t a -

t i o n o n o b t i e n t , e n r e m a r q u a n t q u e l e p r o c e s s u s X t e s t a d a p t é :

DsX t = Ds(

t0

σ(u, X u)dW u) + Ds(

s0

b(u, X u)du)

= σ(s, X s) +

ts

Dsb(u, X u)du +

ts

Dsσ(u, X u)dW u

G r â c e à l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e , o n o b t i e n t u n e é c r i t u r e s i m p l i é e d e c e t t e d é r i v é e a u

s e n s d e M a l l i a v i n :

DsX t = σ(s, X s) + ts

b2(u, X u)DsX udu + ts

σ2(u, X u)DsX udW u

4

c e q u i a s s u r e l ' e x i s t e n c e d u p r o c e s s u s .



1 . 4 . E X T E N S I O N A U C A S M U L T I - D I M E N S I O N N E L 1 1

N o t o n s Z t = DsX t ; l e p r o c e s s u s Z t v é r i e l ' é q u a t i o n d i é r e n t i e l l e s t o c h a s t i q u e s u i v a n t e :

dZ tZ t

= b2(t, X t)dt + σ2(t, X t)dW t

a v e c Z s = σ(s, X s). L e s p r o c e s s u s Z t e t

Y t v é r i e n t d o n c l a m ê m e é q u a t i o n d i é r e n t i e l l e

s t o c h a s t i q u e m a i s p o u r d e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s d i é r e n t e s : Z s = σ(s, X s) e t Y s = Y s . P a r a i l l e u r s ,

l e p r o c e s s u s X t é t a n t a d a p t é , o n a Z t = 0 p o u r t < s . I l e x i s t e d o n c u n e c o n s t a n t e λ t e l l e q u e

Z t = λY t 1 s≤t . C e t t e c o n s t a n t e e s t t r è s f a c i l e m e n t d é t e r m i n é e à l ' a i d e d e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s à

l a d a t e s . F i n a l e m e n t , o n o b t i e n t b i e n :

DsX (t) = Y (t)Y (s)−1σ(s, X s)1s≤t.

R e m a r q u e 4 D a n s l e c a s d ' u n e d i u s i o n d e t y p e B l a c k - S c h o l e s , l e p r o c e s s u s d e s v a r i a t i o n s p r e -

m i è r e s s ' e x p r i m e e n c o r e p l u s s i m p l e m e n t . E n e e t , s i

dX t = b(t)X tdt + σX tdW t et X (0) = x

a l o r s

dY t = b(t)Y tdt + σY tdW t et Y (0) = 1

e t d o n c

Y t =X tx

P− p.s

1 . 4 E x t e n s i o n a u c a s m u l t i - d i m e n s i o n n e l

D a n s c e t t e s e c t i o n n o u s t r a i t o n s l e c a s m u l t i - d i m e n s i o n n e l . S o i t u n b r o w n i e n d - d i m e n s i o n n e l

W = (W 1, W 2,...,W d) , e t l e s a c c r o i s s e m e n t s c o r r e s p o n d a n t s ∆nk = (∆1,nk , . . . , ∆d,nk ). M a i n t e n a n t ,

n o u s m o d i o n s l e s d é n i t i o n s d e s f o n c t i o n n e l l e s s i m p l e s p o u r q u ' e l l e s c o r r e s p o n d e n t à d e s f o n c t i o n s

C∞a u x d é r i v é e s d e c r o i s s a n c e a u p l u s p o l y n ô m i a l à l ' i n n i d e c e s a c c r o i s s e m e n t s . S o i t u n e v a r i a b l e

a l é a t o i r e r é e l l e , F = f (∆n0 , . . . , ∆n

2n−1), l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n e s t a l o r s u n p r o c e s s u s

v e c t o r i e l :

DisF =

∂F

∂ ∆is

=∂f

∂xik(∆n)

si tnk ≤ s ≤ tnk+1

DF = (D1F , . . . , DdF ) et < DF,DG >=d

k=1

10

DisF.Di

sGds.

O n o b t i e n t é g a l e m e n t l e s d é r i v é e s d ' o r d r e s s u p é r i e u r s . P o u r α m u l t i - i n d i c e t e l q u e

ki=1 αi = k ,

DisF = ∂ kF

∂ ∆α1s1 , . . . , ∆αk

sk

R e m a r q u e 5 Q u a n d l a v a r i a b l e a l é a t o i r e F e s t d e d i m e n s i o n m, l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n

e s t a l o r s u n e m a t r i c e d e d i m e n s i o n s m × d.

O n r e d é n i t l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d m u l t i - d i m e n s i o n n e l l e . O n l a d é n i t s u r d e s p r o c e s s u s

s i m p l e s u(t, ω) =d

k=1 1[tnk ,tnk+1[

f k(∆n) . A l o r s δi =d

k=1 f k(∆n)∆n,ik − d

k=1∂f k∂xi

k

(∆nk) 1

2n= 1

0usdW is . C ' e s t l ' i n t é g r a l e p a r r a p p o r t a u m o u v e m e n t b r o w n i e n W i .

L a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s d e v i e n t :

E 1

0

d

k=1D

i

sF.u

i

sds =

d

k=1E(F δi(u

i

)) =E

(F δ(u))

E n n o n i n t r o d u i t l a m a t r i c e d e c o v a r i a n c e d e M a l l i a v i n .



1 2 C H A P I T R E 1 . I N T R O D U C T I O N A U C A L C U L D E M A L L I A V I N

D é n i t i o n 7 ( m a t r i c e d e c o v a r i a n c e d e M a l l i a v i n ) S o i t

F = (F 1, F 2, . . . , F n)a v e c

F i ∈ D1,2,

o n i n t r o d u i t l a m a t r i c e d e c o v a r i a n c e d e M a l l i a v i n d e l a v a r i a b l e a l é a t o i r e n - d i m e n s i o n n e l l e F p a r

σF = (σijF )1≤i,j≤n o ù

σijF =< DF i, DF j >=

dk=1

10

Dks F iDk

s F jds

E x e m p l e : o n c o n s i d è r e d e s d i u s i o n s s a n s d r i f t F i = ci+d

j=1

10

hi,js dW js , o n a d o n c Dk

sF i = hiks

d ' o ù l a m a t r i c e d e c o v a r i a n c e

< DF i, DF j >=d

k=1

10

hi,ks hj,k

s ds.

O n r e t r o u v e

σij = E[F i − ci]E[F j − cj]

c ' e s t - à - d i r e l a m a t r i c e d e c o v a r i a n c e u s u e l l e .



C h a p i t r e 2

C a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s e t a p p l i c a t i o n s

a u x o p t i o n s e x o t i q u e s

U n e d e s t â c h e s p r i n c i p a l e s d u g é r a n t d e p o r t e f e u i l l e o u d u t r a d e r e s t d e p o u v o i r c o n t r ô l e r

s o n e x p o s i t i o n a u x r i s q u e s . D a n s c e t t e o p t i q u e , i l d o i t d é t e r m i n e r l e s s e n s i b i l i t é s d e s v a l e u r s d e

s o n p o r t e f e u i l l e p a r r a p p o r t , p a r e x e m p l e , à u n e v a r i a t i o n d u c o u r s d e s a c t i o n s o u e n c o r e u n e

d é f o r m a t i o n d e l a c o u r b e d e s t a u x . D a n s c e c h a p i t r e n o u s p r é s e n t o n s u n e n o u v e l l e m é t h o d e d e

d é t e r m i n a t i o n d e c e s s e n s i b i l i t é s , é g a l e m e n t a p p e l l é e s g r e c q u e s . L ' a r t i c u l a t i o n p r i n c i p a l e d e c e t t e

d é m a r c h e r e p o s e s u r l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s d u c a l c u l d e M a l l i a v i n .

2 . 1 C a l c u l d e M a l l i a v i n e t c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s : m é t h o d o -

l o g i e

2 . 1 . 1 L e s s e n s i b i l i t é s : c a d r e d e t r a v a i l

N o u s n o u s p l a ç o n s e n h o r i z o n n i t ∈ [0, T ] e t e n m o n d e i n c e r t a i n (Ω, F ,P) d a n s l e q u e l v i t u n

b r o w n i e n à u n e d i m e n s i o n

1 (W t)0≤t≤T e t o n n o t e F t = σ(W s ; s ≤ t), l a l t r a t i o n n a t u r e l l e .

S u r c e t e s p a c e , o n m o d é l i s e l e p r i x d e l ' a c t i f s o u s - j a c e n t à l a d a t e t, X t , p a r u n p r o c e s s u s d ' I t ô

c l a s s i q u e :

dX t = σ(t, X s)dW s + b(t, X s)dt e t X 0 = x

o ù l a f o n c t i o n b : R+ × R → R e s t l a d é r i v e d e n o t r e p r o c e s s u s e t σ : R+ × R → R s a v o l a t i l i t é .

O n s u p p o s e q u e c e s d e u x f o n c t i o n s v é r i e n t l e s c o n d i t i o n s u s u e l l e s : e l l e s s o n t l i p s c h i t z i e n n e s e t l a

d i u s i o n σ e s t u n i f o r m é m e n t e l l i p t i q u e . C e s c o n d i t i o n s a s s u r e n t l ' e x i s t e n c e d ' u n e u n i q u e s o l u t i o n

f o r t e . L e t a u x d ' i n t é r ê t s a n s r i s q u e e s t n o t é r(t, X t).

O n n o t e P (t, x) l e p r i x d e n o t r e a c t i f c o n t i n g e n t à l a d a t e t p o u r u n e v a l e u r i n i t i a l e d e l ' a c t i f

d e

x, e t

P (x)s a v a l e u r à l a d a t e

0. I l e s t d e m a t u r i t é

T e t s o n p a y o s ' e x p r i m e c o m m e u n e

f o n c t i o n d e s v a l e u r s d u s o u s - j a c e n t à d i é r e n t e s d a t e s f (X t1 , X t2 , . . . , X tm) a v e c l e s c o n v e n t i o n s

t0 = 0 e t tm = T . P o u r d e s r a i s o n s t e c h n i q u e s e l l e e s t s u p p o s é e d é r i v a b l e a u p r e m i e r o r d r e a v e c

u n e d é r i v é e a u p l u s à c r o i s s a n c e p o l y n ô m i a l e

2

. N o u s t r a v a i l l o n s d a n s l e c a d r e c l a s s i q u e d ' a b s e n c e

d ' o p p o r t u n i t é d ' a r b i t r a g e

3

e t d e c o m p l é t u d e d e m a r c h é

4

.

T h é o r è m e 1 ( P r o b a b i l i t é r i s q u e n e u t r e ) S o u s c e s d e u x h y p o t h è s e s , i l e x i s t e u n e u n i q u e p r o -

b a b i l i t é Q, d i t e r i s q u e n e u t r e , s o u s l a q u e l l e l e p r i x d ' u n a c t i f c o n t i n g e n t e s t u n e m a r t i n g a l e l o c a l e ,

c ' e s t à d i r e s o u s l a q u e l l e l e p r i x d e l ' a c t i f c o n t i n g e n t e s t l ' e s p é r a n c e d u p a y o a c t u a l i s é :

P (x) = EQx (e−R

T 0 r(s,Xs)dsf (X t1 , X t2 , . . . , X tm))

1

L e s r é s u l t a t s s ' é t e n d e n t n a t u r e l l e m e n t a u c a s m u l t i d i m e n s i o n n e l q u a n d l e b r o w n i e n e s t c a n o n i q u e , i . e à c o o r -

d o n n é e s i n d é p e n d a n t e s . C e t t e q u e s t i o n s e r a d é t a i l l é e d a n s l e c h a p i t r e s u i v a n t .

2

O n m o n t r e p l u s l o i n q u e l ' o n p e u t e e c t i v e m e n t r a i s o n n e r s u r d e s p a y o s r é g u l i e r s a v a n t d ' é t e n d r e l e s r é s u l t a t s

à d e s p a y o s p l u s g é r é r a u x

3

A . O . A : i l n ' y a p a s d e s t r a t é g i e d e t r a d i n g p e r m e t t a n t u n g a i n s u r p o u r u n e m i s e i n i t i a l e n u l l e .

4

c o m p l é t u d e : t o u s l e s a c t i f s c o n t i n g e n t s s o n t r é p l i c a b l e s à p a r t i r d e s a c t i f s i n i t i a u x d u m o d è l e .

1 3



1 4 C H A P I T R E 2 . C A L C U L D E S S E N S I B I L I T É S E T A P P L I C A T I O N S A U X O P T I O N S E X O T I Q U E S

o ù EQx (.) = EQ(.|X 0 = x).

O n d é n i t m a i n t e n a n t l e s p r i n c i p a l e s s e n s i b i l i t é s :

D é n i t i o n 8 ( L e s s e n s i b i l i t é s o u g r e c q u e s ) L e d e l t a e s t d é n i c o m m e l a s e n s i b i l i t é d u p r i x d e

l ' o p t i o n p a r r a p p o r t à l a v a l e u r i n i t i a l e d u s o u s - j a c e n t , l e g a m m a c o r r e s p o n d à l a d é r i v é e s e c o n d e :

∆ =∂P (x)

∂x, Γ =

∂ 2P (x)

∂x2

L a d é n i t i o n d u v é g a e s t p l u s a m b i g ü e e t s e r a d é t a i l l é e p l u s l o i n d a n s c e c h a p i t r e . I n t u i t i v e m e n t ,

l e v é g a c o r r e s p o n d à l a v a r i a t i o n d u p r i x d e l ' o p t i o n p o u r u n e v a r i a t i o n i n n i t é s i m a l e d e l a v o l a t i l i t é

d u s o u s - j a c e n t ( d a n s u n e d i r e c t i o n d o n n é e ) .

Q u a n d l e m a r c h é e s t c o m p l e t , l e p o r t e f e u i l l e a u t o n a n ç a n t d e c o u v e r t u r e e s t c o n s t r u i t à p a r -

t i r d u d e l t a . E n c a s d e m a r c h é i n c o m p l e t , l e s a u t r e s g r e c q u e s ( g a m m a , v e g a , . . . ) s o n t é g a l e m e n t

i n d i s p e n s a b l e s p o u r d é t e r m i n e r l e p o r t e f e u i l l e d e c o u v e r t u r e .

N o t o n s e n n q u ' i l y a e n c o r e p e u d e t e m p s ( e t e n c o r e a u j o u r d ' h u i d a n s b e a u c o u p d ' é q u i p e s

d e t r a d i n g ) l e s g r e c q u e s é t a i e n t c a l c u l é e s e x c l u s i v e m e n t p a r l a m é t h o d e s d e s D i é r e n c e s F i n i e s .

N o u s a l l o n s v o i r q u e l e c a l c u l d e M a l l i a v i n p e r m e t d ' e s t i m e r c e s g r e c q u e s a u t r e m e n t , e t q u e c e t t e

n o u v e l l e a p p r o c h e e s t p l u s e c a c e p o u r c e r t a i n e s o p t i o n s .

2 . 1 . 2 E v a l u a t i o n p a r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n

L a m é t h o d e d é v e l o p p é e l a p r e m i è r e f o i s p a r F o u r n i é e t a l . [ F L L L T 9 9 a ] , p e r m e t d ' é c r i r e l e s

s e n s i b i l i t é s s o u s l a f o r m e d ' u n e e s p é r a n c e .

P r o p o s i t i o n 7 O n a :

grecque = EQx [e−

R

T 0 r(s,Xs)dsf (X t1 , X t2 , . . . , X tm) × π]

o ù l e p o i d s π n e d é p e n d p a s d u p a y o d e l ' o p t i o n . O n r e t r o u v e a l o r s u n e v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e e n

O (n−1/2) d u t h é o r è m e d e l a l i m i t e c e n t r a l e .

M é t h o d o l o g i e d a n s l e c a s d u d e l t a

P o u r l a c l a r t é d e l ' e x p o s é o n s e c o n t e n t e r a d ' é t u d i e r l e c a s d u d e l t a e t o n s u p p o s e r a q u e l e t a u x

d ' i n t é r e t r n e d é p e n d p a s d e X , s o i t r(s, X s) = r(s) . L ' o b j e c t i f e s t d ' u t i l i s e r l a r e l a t i o n d ' i n t é g r a t i o n

p a r p a r t i e a n d ' é c r i r e l e s d é r i v é e s d ' e s p é r a n c e s c o m m e d e s e s p é r a n c e s a v e c u n p o i d s .

L a d é m o n s t r a t i o n s e f a i t e n t r o i s t e m p s :

O n r e s t r e i n t l ' e n s e m b l e d e t r a v a i l a u x p a y o f o n c t i o n s C∞ à s u p p o r t c o m p a c t c a r c e t e n s e m b l e

e s t d e n s e d a n s L2

.

P e r m u t a t i o n d e s o p é r a t e u r s e s p é r a n c e e t d é r i v a t i o n .

U t i l i s a t i o n d e l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e e t d é t e r m i n a t i o n d ' u n p o i d s .

P a s s a g e d e s p a y o d a n s C∞K ( f o n c t i o n s i n n i m e n t d i é r e n t i a b l e s à s u p p o r t c o m p a c t )

a u x p a y o f s d a n s L2

O n m o n t r e i c i q u e l ' o n p e u t s e c o n t e n t e r d e r a i s o n n e r s u r d e s p a y o C∞K p o u r é t a b l i r l a p r o p r i é t é

p r é c é d e n t e . E n n o t a n t l e p a y - o F = f (X t1 , X t2 , . . . , X tm), o n v e u t d o n c m o n t r e r q u e s i p o u r t o u t e

f o n c t i o n f d e C∞K o n a l a p r o p r i é t é s u i v a n t e :

∂

∂xEx[F ] = Ex[F × π] ,

a l o r s c e t t e p r o p r i é t é r e s t e v r a i e p o u r t o u t e f o n c t i o n d e p a y o f d a n s L2. C e r é s u l t a t r e p o s e s u r

u n a r g u m e n t d e d e n s i t é e n u t i l i s a n t C a u c h y - S c h w a r t z a i n s i q u e s u r l a c o n t i n u i t é d e l ' o p é r a t e u r

e s p é r a n c e

5

.

5

O n t r o u v e r a l a d é m o n s t r a t i o n d e c e r é s u l t a t e n a n n e x e A . 2 .



2 . 1 . C A L C U L D E M A L L I A V I N E T C A L C U L D E S S E N S I B I L I T É S : M É T H O D O L O G I E 1 5

P e r m u t a t i o n d e s o p é r a t e u r s E s p é r a n c e e t D i é r e n t i a t i o n

I l s ' a g i t m a i n t e n a n t , e n r a i s o n n a n t s u r d e s f o n c t i o n s a p p a r t e n a n t à C∞K , d e m o n t r e r q u e l ' o n

p e u t i n t e r v e r t i r l e s o p é r a t e u r s E s p é r a n c e e t D é r i v a t i o n :

∂

∂xEx[F ] = Ex[

∂

∂xF ]

L a d é m o n s t r a t i o n d e c e r é s u l t a t s ' a p p u i e s u r l e t h é o r è m e d e c o n v e r g e n c e d o m i n é e e t s u r l e

t h é o r è m e d e T a y l o r L a g r a n g e , m a i s é g a l e m e n t s u r u n t h é o r è m e p l u s c o m p l i q u é é t a b l i p a r R e v u z

e t Y o r [ R Y 9 4 ] . N o u s n e d é m o n t r e r o n s d o n c p a s c e r é s u l t a t .

D é t e r m i n a t i o n d ' u n p o i d s à l ' a i d e d e l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s

A c e s t a d e , o n p e u t d o n c p e r m u t e r e s p é r a n c e e t d é r i v a t i o n e t r a i s o n n e r s u r u n p a y o d a n s

C∞K , c o n t i n û m e n t d i é r e n t i a b l e e t à d é r i v é e s b o r n é e s . O n s i m p l i e c i - d e s s o u s l ' e x p r e s s i o n o b t e n u e

e n u t i l i s a n t l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e u s u e l l e e t e n s u i t e e n i n t r o d u i s a n t l e p r o c e s s u s d e s

v a r i a t i o n s p r e m i è r e s Y = ∂X∂x :

∆ = EQx [

∂e−R

T 0

r(s)dsf (X t1 , X t2 , . . . , X tm)

∂x] ( 2 . 1 )

= EQx [e−

R

T 0

r(s)dsmi=1

∂ if (X t1 , X t2 , . . . , X tm)∂X ti

∂x] ( 2 . 2 )

= EQx [e−

R

T 0 r(s)ds

mi=1

∂ if (X t1 , X t2 , . . . , X tm)Y ti ] ( 2 . 3 )

N o t o n s q u e l ' e x p r e s s i o n s u i v a n t e n ' e s t p a s e n c o r e c o m p l è t e m e n t i n t é r e s s a n t e . E n e e t , s i p o u r

c a l c u l e r l e d e l t a , o n n ' a p l u s q u ' à c a l c u l e r u n e e s p é r a n c e , l e t e r m e à m o y e n n e r d é p e n d d e l a d é r i v é e

d u p a y o e t n ' e s t p a s " u n i v e r s e l " . C ' e s t l à q u ' i n t e r v i e n t l e c a l c u l d e M a l l i a v i n .

O n c h e r c h e u n p o i d s π q u i p u i s s e s ' e x p r i m e r c o m m e u n e i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d : π = δ(w), o ù we s t a p p e l é g é n é r a t e u r . D e f a ç o n i m p l i c i t e o n p e u t a l o r s é c r i r e , e n u t i l i s a n t l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n

p a r p a r t i e s :

∆ = EQx [e−

R

T 0 r(s)dsf (X t1 , X t2 , . . . , X tm) × δ(w)] ( 2 . 4 )

= EQx [

T 0

Ds[e−R

T 0 r(t)dtf (X t1 , X t2 , . . . , X tm)]w(s)ds] ( 2 . 5 )

E n u t i l i s a n t l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e a u s e n s d e M a l l i a v i n p u i s l ' e x p r e s s i o n d e l a

d é r i v é e d e M a l l i a v i n a v e c l e p r o c e s s u s Y , o n e n d é d u i t q u e :

∆ = EQx [e−

R

T 0 r(s)ds

mi=1

∂ if (X t1 , X t2 , . . . , X tm) T 0

DsX ti .w(s)ds] ( 2 . 6 )

= EQx [e−

R

T 0 r(s)ds

mi=1

∂ if (X t1 , X t2 , . . . , X tm)

T 0

Y tiY −1s σ(s, X s)1s≤tiw(s)ds] ( 2 . 7 )

A c e s t a d e , e n i d e n t i a n t l e s e x p r e s s i o n s 2 . 3 e t 2 . 7 , o n o b t i e n t l a c o n d i t i o n q u e d o i t v é r i e r l e

g é n é r a t e u r w d u p o i d s π p o u r t o u t e s f o n c t i o n s f e t r :

EQx [e−

R

T 0 r(s)ds

mi=1

∂ if (X t1 , X t2 , . . . , X tm)Y ti − T 0

Y tiY −1s σ(s, X s)1s≤tiw(s)ds] = 0

E n i n t r o d u i s a n t l e s e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s a d é q u a t e s , o n t r o u v e l ' e x p r e s s i o n q u e d o i t v é r i e r

w p o u r l e d e l t a . P o u r é t a b l i r l a c o n d i t i o n s u s a n t e , i l s u t d e r e p r e n d r e l a m ê m e d é m a r c h e d a n s

l ' a u t r e s e n s .




T h é o r è m e 2 ( F o r m u l e d e M a l l i a v i n p o u r l e d e l t a , B e n h a m o u

[ B E N 0 0 a ] ) I l e x i s t e d e s c o n d i -

t i o n s n é c e s s a i r e s e t s u s a n t e s p o u r q u ' u n e f o n c t i o n w g é n è r e u n p o i d s p o u r l a s i m u l a t i o n d e s

g r e c q u e s . L a p r e m i è r e c o n d i t i o n e s t l ' i n t é g r a b i l i t é a u s e n s d e S k o h o r o d d e c e t t e f o n c t i o n . L a s e c o n d e

c o n d i t i o n d é p e n d u n i q u e m e n t d e s c a r a c t é r i s t i q u e s d e l a d i u s i o n s o u s - j a c e n t e e t e s t i n d é p e n d a n t e

d e l a f o n c t i o n p a y o , d a n s l e c a d r e d u d e l t a :

∀i = 1 . . . m

EQx [(Y ti −

ti0

Y tiY −1s σ(s, X s)w(s)ds|X t1 , X t2 , . . . , X tm)] = 0

U n e f a ç o n n a t u r e l l e d ' o b t e n i r u n e e x p r e s s i o n e x p l i c i t e d e w c o n s i s t e à c o n t r a i n d r e e n c o r e p l u s

l a c o n d i t i o n n é c e s s a i r e é n o n c é e d a n s l e t h é o r è m e p r é c é d e n t e n c h e r c h a n t w t e l q u e :

Y ti − ti

0

Y tiY −1s σ(s, X s)w(s)ds = 0

L e s p o i d s p r o p o s é s p a r F o u r n i é e t a l . [ F L L L T 9 9 a ] s o n t s o l u t i o n s d e c e t t e d e r n i è r e é q u a t i o n .

P o u r e x p l i c i t e r c e s s o l u t i o n s , i n t r o d u i s o n s d ' a b o r d l ' e n s e m b l e

T m =

a ∈ L2[0, T ] |

ti0

a(t)dt = 1 ∀i = 1,...,m

A l o r s , l e s g é n é r a t e u r s ω s u i v a n t s m è n e n t à d e s p o i d s a d m i s s i b l e s :

ω = a(t)Y t

σ(t, X t)

E x e m p l e : S i l e s o u s - j a c e n t s u i t u n e d i u s i o n d e t y p e B l a c k - S c h o l e s , a l o r s , n o u s a v o n s d é j à

v u ( c h a p i t r e 1 , r e m a r q u e 4 ) q u e Y t = X t/x. S i d e p l u s o n s ' i n t é r e s s e à u n e o p t i o n d o n t l e p a y o

n e d é p e n d q u e d e l a d a t e n a l e T ( t y p e e u r o p é e n n e ) a l o r s o n p e u t t r è s n a t u r e l l e m e n t p r e n d r e

a(t) = 1/T . D a n s c e c a s , l e p o i d s d e M a l l i a v i n p o u r l e d e l t a d e c e t t e o p t i o n s ' é c r i t :

poids = δ(ω) =

T 0

1

T

X txσX t

dW t =W T xσT

2 . 1 . 3 E x t e n s i o n d e s r é s u l t a t s

L e G a m m a Γ

T h é o r è m e 3 ( F o r m u l e d e M a l l i a v i n p o u r l e g a m m a , B e n h a m o u [ B E N 0 0 a ] ) I l e x i s t e d e s

c o n d i t i o n s n é c e s s a i r e s e t s u s a n t e s p o u r q u ' u n e f o n c t i o n w g é n è r e u n p o i d s p o u r l a s i m u l a t i o n d e s

g r e c q u e s . L a p r e m i è r e c o n d i t i o n e s t l ' i n t é g r a b i l i t é a u s e n s d e S k o r o k h o d d e c e t t e f o n c t i o n . L a s e c o n d e

c o n d i t i o n d é p e n d u n i q u e m e n t d e s c a r a c t é r i s t i q u e s d e l a d i u s i o n s o u s - j a c e n t e e t e s t i n d é p e n d a n t e

d e l a f o n c t i o n p a y o , d a n s l e c a d r e d u g a m m a :

EQx [δ(ωgamma) − δ(ωdelta · δ(ωdelta) +

∂

∂xωdelta)|X t1 , X t2 , . . . , X tm ] = 0

P r e u v e . N o u s d o n n o n s i c i l ' e s p r i t d e l a d é m o n s t r a t i o n q u i f o n c t i o n n e c o m m e d a n s l e c a s d u

d e l t a . N o u s s u p p o s o n s q u e f e s t d e u x f o i s c o n t i n û m e n t d é r i v a b l e e t q u e s e s d é r i v é e s p r e m i è r e e t

d e u x i è m e s o n t b o r n é e s .

Γ =∂

∂x(

∂

∂xEx[F ])

=∂

∂x (Ex[F.δ(ωdeltax )])

= Ex[∂

∂xF.δ(ωdelta

x )] + Ex[F.∂

∂xδ(ωdelta

x )]



2 . 1 . C A L C U L D E M A L L I A V I N E T C A L C U L D E S S E N S I B I L I T É S : M É T H O D O L O G I E 1 7

O n p e u t m a i n t e n a n t , g r â c e à d e s a r g u m e n t s d e c o n v e r g e n c e d o m i n é e , p e r m u t e r l ' o p é r a t e u r δ(.) e t

l a d i é r e n t i e l l e p a r r a p p o r t à x :

Γ = Ex[F (δ(ω

delta

x )δ(ω

delta

x ) + δ(

∂

∂x ω

delta

x ))]

= Ex[F δ

ωdeltax δ(ωdelta

x ) +∂

∂xωdeltax

]

C o m m e p a r a i l l e u r s , p a r d é n i t i o n , o n a :

Γ = Ex[F.δ(ωgamma]

e t q u e l ' é g a l i t é d o i t ê t r e v é r i é e p o u r t o u t F , o n o b t i e n t n a t u r e l l e m e n t l a c o n d i t i o n n é c e s s a i r e e t

s u s a n t e é n o n c é e d a n s l e t h é o r è m e .

E x e m p l e : N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t o b t e n i r u n e e x p r e s s i o n e x p l i c i t e d ' u n p o i d s d e M a l l i a v i n

p o u r l e g a m m a e n p r o c é d a n t c o m m e d a n s l e c a s d u d e l t a e t r e t r o u v e r a i n s i l e r é s u l t a t f o u r n i p a r

F o u r n i é e t a l . [ F L L L T 9 9 a ] O n s u p p o s e d o n c q u e l e s o u s - j a c e n t s u i t u n e d i u s i o n d e t y p e B l a c k -

S c h o l e s e t o n s ' i n t é r e s s e à u n e o p t i o n d o n t l e p a y o n e d é p e n d q u e d e l a v a l e u r n a l e d u s o u s - j a c e n t

( t y p e e u r o p é e n n e ) . O n a v u q u ' a l o r s

ωdelta =1

xσT

P o u r t r o u v e r u n p o i d s d e M a l l i a v i n p o u r l e g a m m a , o n p e u t c o n t r a i n d r e e n c o r e p l u s l a C N S d o n n é e

p a r l e t h é o r è m e e t c h e r c h e r δ(ωgamma) t e l q u e :

δ(ωgamma) = δ(ωdelta · δ(ωdelta) +∂

∂xωdelta)

d o n c

δ(ωgamma) = δ 1xσT

× W T xσT

− 1x2σT

=

1

x2σ2T 2× δ(W T ) − W T

x2σT

D ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 5

d u c h a p i t r e 1

:

δ(W T ) = W T .δ(1) − T 0

DtW T dt = W 2T − T

E t n a l e m e n t o n o b t i e n t c o m m e e x p r e s s i o n d u p o i d s d e M a l l i a v i n p o u r l e g a m m a :

δ(ωgamma) =1

x2σT W 2T σT

− W T − 1

σq u i e s t c e l l e d o n n é e p a r F o u r n i é e t a l . [ F L L L T 9 9 a ]

L e V é g a V

L e v e g a r e p r é s e n t e l a s e n s i b i l t é d u p r i x d ' u n e o p t i o n p a r r a p p o r t à l a v o l a t i l i t é d u s o u s - j a c e n t

σ(t, x) q u i e s t i c i u n e f o n c t i o n . A i n s i , l e v e g a q u a n t i e l ' i m p a c t , d a n s u n e d i r e c t i o n d o n n é e , d ' u n e

p e t i t e p e r t u r b a t i o n d e l a v o l a t i l i t é s u r l e p r i x d ' u n e o p t i o n . I l s ' a g i t e n d ' a u t r e s t e r m e s d ' u n e d é r i v é e

d u p r i x d e l ' o p t i o n p a r r a p p o r t à l a v o l a t i l i t é a u s e n s d e G a t e a u .

S o i t σ : R×R → R l a d i r e c t i o n d e l a p e r t u r b a t i o n . S o u s c e r t a i n e s h y p o t h è s e s

6

s u r l e s f o n c t i o n s

σ(t, x) e t (σ + ε

σ)(t, x) , a v e c ε ∈ [−1, 1], o n d é n i t l e p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t " p e r t u r b é "

X ε,vegat :

dX ε,vegat = b(t, X

ε,vegat ).dt + (σ(t, X

ε,vegat ) + εσ(t, X

ε,vegat )).dW t

6 σ(t, x) e t (σ + εe σ)(t, x) s o n t c o n t i n û m e n t d i é r e n t i a b l e s à d é r i v é e s b o r n é e s , v é r i e n t l e s c o n d i t i o n s d e L i p s c h i t z

e t l a c o n d i t i o n d ' u n i f o r m e e l l i p t i c i t é s u i v a n t e : ∃η > 0 , |(σ + εe σ)(t, x)| ≥ η∀x ∈ R




a v e c l a c o n d i t i o n i n i t i a l e (X ε,vega0 = x) . O n d é n i t a l o r s n a t u r e l l e m e n t l e p r i x d e s o p t i o n s u r l e

s o u s - j a c e n t " p e r t u r b é " :

P vega(x) = EQx [e−R

T 0

r(s,Xε,vegat )ds.f (X ε,vegat1 , . . . , X ε,vegatm

)]

D é n i t i o n 9 L e v e g a e s t l a d é r i v é e d e G a t e a u d e l a f o n c t i o n d e p r i x " p e r t u r b é " P vega(x) d a n s l a

d i r e c t i o n d o n n é e p a r l a f o n c t i o n σ(., .) :

vega =∂

∂εP vega(x)

ε=0, e σ d o n n é

O n p e u t m a i n t e n a n t r e p r e n d r e l a m ê m e d é m a r c h e q u e c e l l e d é v e l o p p é e d a n s l e c a s d u d e l t a . L e

r a i s o n n e m e n t e s t l e m ê m e m a i s i l f a u t r e m p l a c e r

∂ ∂x X t = Y t p a r

∂ ∂ε X ε,vegat = Z ε,vegat , o ù

Z vegat = limL2,ε→0

X ε,vegat − X tε

.

L a p r o p o s i t i o n c i - d e s s o u s e x p r i m e l e p r o c e s s u s Z vegat e n f o n c t i o n d u p r o c e s s u s d e v a r i a t i o n s

p r e m i è r e s

Y t.

P r o p o s i t i o n 8

Z vegat =

t0

Y tσ(s, X s)

Y sdW s −

t0

Y tσ

(s, X s)σ(s, X s)

Y sds

I l e s t d è s l o r s n o r m a l d ' o b t e n i r p o u r l e v e g a u n e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e e t s u s a n t e f a i s a n t i n t e r v e n i r

l e p r o c e s s u s d e v a r i a t i o n s p r e m i è r e s e t d o n c u n p o i d s f o n c t i o n d e Y t .

T h é o r è m e 4 I l e x i s t e d e s c o n d i t i o n s n é c e s s a i r e s e t s u s a n t e s p o u r q u ' u n e f o n c t i o n w g é n è r e u n

p o i d s p o u r l a s i m u l a t i o n d e s g r e c q u e s . L a p r e m i è r e c o n d i t i o n e s t l ' i n t é g r a b i l i t é a u s e n s d e S k o r o k h o d

d e c e t t e f o n c t i o n . L a s e c o n d e c o n d i t i o n d é p e n d u n i q u e m e n t d e s c a r a c t é r i s t i q u e s d e l a d i u s i o n s o u s -

j a c e n t e e t e s t i n d é p e n d a n t e d e l a f o n c t i o n p a y o , d a n s l e c a d r e d u v e g a :

∀i = 1, . . . , m

EQx,Xt1 ,...,Xtm

Y ti

ti0

σ(t, X t)

Y tωvega(t)dt

= E

Qx,Xt1 ,...,Xtm

ti0

σ(t, X t)Y tiY t

dt− ti0

σ

(s, X s)σ(t, X t)Y ti

Y tds

O n p e u t , à p a r t i r d e c e t t e C N S , p r o p o s e r d e s p o i d s d e M a l l i a v i n p o u r l e c a l c u l d u v e g a ;

p l u s i e u r s a p p r o c h e s s o n t i m a g i n a b l e s , o n s e c o n t e n t e i c i d e l a s o l u t i o n p r o p o s é e p a r F o u r n i é

e t a l . [ F L L L T 9 9 a ] O n d é n i t

T m = a ∈ L2[0, T ]| titi−1 a(t)dt = 1 ∀i = 1, . . . , m. P l u t ô t q u e

d e c h e r c h e r d e s s o l u t i o n s v é r i a n t l ' é g a l i t é d e s e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s , o n c h e r c h e r à é g a l e r

d i r e c t e m e n t l e s t e r m e s à l ' i n t é r i e u r d e s e s p é r a n c e s . F o u r n i é

e t a l . [ F L L L T 9 9 a ] p r o p o s e n t a i n s i l e s

p o i d s s u i v a n t s p o u r l e v e g a :

poidsvega = δ(W vega) = δ 1

σ(t, X t)a(t)Σmi=1(Z vegati − Z

vegati−1 )1ti−1≤t<ti

o ù a ∈ T m .

E x t e n s i o n a u c a s o ù r e s t s t o c h a s t i q u e

D a n s c e p a r a g r a p h e n o u s s u p p o s o n s q u e l e t a u x d ' i n t é r ê t s a n s r i s q u e d é p e n d n o n s e u l e m e n t d u

t e m p s t m a i s a u s s i d e l ' a c t i f s o u s - j a c e n t X t . C e l a n o u s a m è n e à p r e n d r e e n c o m p t e l a d é p e n d a n c e d u

t a u x s a n s r i s q u e e n X t e t , e n r e p r e n a n t l a m ê m e d é m a r c h e q u e p o u r l a d é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e

2 , o n a b o u t i t à u n e d e u x i è m e c o n d i t i o n n é c e s s a i r e e t s u s a n t e q u i s ' a j o u t e à l a p r e m i è r e :

EQx T

s=0 T t=0

r(s, X s)Y sY −1t σ(t, X t)w(t)t1t≤sdtds|X t1, . . . , X tm = EQx T

0r(s, X s)Y sds|X t1, . . . , X tm



2 . 2 . C O M P A R A I S O N D E S M É T H O D E S 1 9

L e p o i d s o p t i m a l

P a r m i t o u s l e s p o i d s p o s s i b l e s , i l y e n a u n q u i e s t o p t i m a l , c ' e s t c e l u i q u i m i n i m i s e l a v a r i a n c e

d e l ' e s t i m a t e u r d e l a s e n s i b i l i t é r e c h e r c h é e . P u i s q u e l a q u a n t i t é e s t i m é e e s t é g a l e à l ' e s p é r a n c e d u

p r o d u i t d u p a y o , q u i e s t F T m e s u r a b l e , e t d ' u n p o i d s , i l e s t a s s e z i n t u i t i f , p a r l e t h é o r è m e d e s

p r o j e c t i o n s , q u e l e p o i d s o p t i m a l e s t t o u t s i m p l e m e n t l ' e s p é r a n c e d e c e p o i d s ( q u e l c o n q u e p a r m i

l e s p o i d s a d m i s s i b l e s ) c o n d i t i o n n e l l e m e n t à F T .

P r o p o s i t i o n 9 ( p o i d s o p t i m a l ) A p a r t i r d ' u n p o i d s d e M a l l i a v i n q u e l c o n q u e , e n c o n s i d é r a n t s o n

e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e p a r r a p p o r t à l a l t r a t i o n F T , o n o b t i e n t u n p o i d s d e v a r i a n c e m i n i m a l e :

π0 = E(π|F T )

C e t t e p r o p o s i t i o n n o u s i n d i q u e q u ' i l s e r a t o u j o u r s p r é f é r a b l e d e n e r e t e n i r p a r m i l e s p o i d s

a d m i s s i b l e s , q u e l e s p o i d s F T m e s u r a b l e s .

2 . 2 C o m p a r a i s o n d e s m é t h o d e s

D a n s c e t t e s e c t i o n o n c o m p a r e l ' a p p r o c h e u s u e l l e p a r d i é r e n c e s n i e s e t p a r p o i d s d e M a l l i a v i n

p o u r d e u x t y p e s d ' o p t i o n s : u n c a l l v a n i l l e ( l e p l u s c l a s s i q u e p o s s i b l e ) e t u n e d i g i t a l e . P r a t i q u e m e n t ,

d e s f o r m u l e s f e r m é e s e x i s t e n t p o u r c e s d e u x o p t i o n s e t l e s m é t h o d e s d e M o n t e - C a r l o n e s o n t d o n c

p a s u t i l i s é e s p o u r l e s é v a l u e r o u l e s c o u v r i r . C e p e n d a n t , l e u r é t u d e p e r m e t n é a n m o i n s d e d o n n e r

q u e l q u e s c o n c l u s i o n s g é n é r a l e s p o u r u n e u t i l i s a t i o n o p t i m a l e d e l a m é t h o d e q u e n o u s a v o n s e x p o s é e .

2 . 2 . 1 L a m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s

D a n s l e c a d r e d e l a m é t h o d e c l a s s i q u e d e M o n t e - C a r l o , l e c a l c u l d e s g r e c q u e s s e f a i t p a r u n

s c h é m a d e d i é r e n c e s n i e s . A i n s i , s i o n n o t e P (x) l e p r i x d ' u n e o p t i o n p o u r u n e v a l e u r i n i t i a l e d u

s o u s - j a c e n t d e x, o n p e u t a p p r o c h e r l a v a l e u r d u d e l t a ∆ p a r l e s t r o i s s c h é m a s s u i v a n t s : d i é r e n c e

f o r w a r d

P (x+ε)−P (x)ε , d i é r e n c e c e n t r a l e

P (x+ε)−P (x−ε)ε , d i é r e n c e b a c k w a r d

P (x)−P (x−ε)ε . A i n s i ,

s u r l e m ê m e e n s e m b l e d e s i m u l a t i o n s ( m é t h o d e d e s c o m m o n r a n d o m n u m b e r s ) , o n c a l c u l e l e s

d i é r e n t s p r i x P (x), P (x + ε), P (x − ε), p u i s o n d é t e r m i n e l e s s c h é m a s p r é c é d e n t s . B i e n q u e l e s

e x p r e s s i o n s p r é c é d e n t e s , s ' e x p r i m a n t c o m m e d e s d i é r e n c e s à p a r t i r d ' u n m ê m e j e u d e s i m u l a t i o n s ,

e n t r a î n e n t m é c a n i q u e m e n t u n e r é d u c t i o n d e l a v a r i a n c e d u r é s u l t a t , o n p e u t o b s e r v e r d é j à d e u x

s o u r c e s d ' e r r e u r :

l ' a p p r o x i m a t i o n d e l a d é r i v é e p a r l e s c h é m a d e d i s c r é t i s a t i o n

l ' e s t i m a t i o n i m p a r f a i t e d e s p r i x P (x) , P (x + ε) e t P (x − ε)L e s l i m i t e s d e c e t t e m é t h o d e p r é c é d e m m e n t c i t é e d e v i e n n e n t e n c o r e p l u s n e t t e s q u a n d o n p a s s e à

u n o r d r e d e d é r i v a t i o n s u p é r i e u r . A i n s i , p o u r l e g a m m a l e s a p p r o x i m a t i o n s d e v i e n n e n t t r è s l o u r d e s .

D e p l u s , i l a p p a r a î t é g a l e m e n t q u e p o u r d e s f o n c t i o n s d e p a y o d i s c o n t i n u s , u n s c h é m a d e d i é r e n c e s

n i e s p e u t c o n d u i r e à d e g r a v e s e r r e u r s c a r l a d é p e n d a n c e p a r r a p p o r t à l a c o n d i t i o n i n i t i a l e xd e v i e n t c r u c i a l e .

P o u r s e r e n d r e c o m p t e d e l ' e c a c i t é d e l a m é t h o d e d e s c o m m o n r a n d o m n u m b e r s , i l s u t d e

r e m a r q u e r q u e l a v a r i a n c e d u n u m é r a t e u r d e l ' e s t i m a t e u r d u d e l t a s ' é c r i t :

V a r (P (x + ε) − P (x)) = V a r (P (x)) + V a r (P (x + ε)) − 2 C o v (P (x + ε), P (x))

L a v a r i a n c e d e l ' e s t i m a t e u r e s t d o n c d ' a u t a n t p l u s f a i b l e q u e P (x) e t P (x + ) s o n t p o s i t i v e m e n t

c o r r é l é s . L a m e i l l e u r e v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e t h é o r i q u e p o u r u n t e l s c h é m a a v e c l a m é t h o d e d e s

c o m m o n r a n d o m n u m b e r s e s t e n n−1/2 . M a i s c e t t e v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e n ' e s t p a s t o u j o u r s a t -

t e i n t e ; e l l e d é p e n d e n e e t d e l a v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e d e P (x + ε) v e r s P (x). O n p e u t m o n t r e r ,

s o u s c e r t a i n e s h y p o t h è s e s

7

, q u e d a n s l e c a s d ' u n e o p t i o n c a l l v a n i l l e

E[|P (x + ε) − P (x)|2] = O(ε2)

7

h o m o g é n é i t é d u p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t : XT (ε) = XT × (1 + x

ε)




e t d a n s l e c a s d ' u n e o p t i o n d i g i t a l e

E[|P (x + ε) − P (x)|2] = O(ε)

O n p e u t e n q u e l q u e s o r t e c o n s i d é r e r q u ' o n e s s a i e d ' e s t i m e r l a v r a i e v a l e u r d u d e l t a d a n s u n

e s p a c e à d e u x d i m e n s i o n s ( n , ε) , o ù n e s t l e n o m b r e d e s i m u l a t i o n s u t i l i s é e s d a n s l a m é t h o d e d e

M o n t e C a r l o e t ε e s t l e p a s d e d i s c r é t i s a t i o n d a n s l e s c h é m a d e d i é r e n c e s n i e s . L e s c o m m o n r a n -

d o m n u m b e r s r e n d e n t l ' e s t i m a t i o n p l u s e c a c e d a n s l a d i r e c t i o n n , l ' a x e ε r e s t e t r è s p r o b l é m a t i q u e

d a n s l e c a s d e s p a y o d i s c o n t i n u s .

L ' e s t i m a t i o n p e u t ê t r e e n c o r e m e i l l e u r e s i , p o u r c h a q u e j e u d e s i m u l a t i o n , o n u t i l i s e l a m é t h o d e

d e s v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s d é c r i t e e n a n n e x e . C e l a r e v i e n t à r é d u i r e ( i n d é p e n d a m m e n t ) l a v a r i a n c e

d e s e s t i m a t e u r s d e P (x)e t P (x + ε)

. L e s c o m m o n r a n d o m n u m b e r s , q u i r e l è v e n t e n f a i t a u s s i d ' u n e

d é m a r c h e d e v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s , v i e n n e n t e n s u i t e r é d u i r e l a v a r i a n c e d e l e u r d i é r e n c e .

2 . 2 . 2 L a m é t h o d e d u p o i d s d e M a l l i a v i n e t i n t r o d u c t i o n d ' u n e f o n c t i o n

d e c o n t r ô l e

L e p o i d s d e M a l l i a v i n n e d é p e n d p a s d e l a n a t u r e d u p a y o , q u ' i l s o i t c o n t i n u o u d i s c o n t i n u .

L a m é t h o d e d e M a l l i a v i n d e v r a i t d o n c s e r é v é l e r a v a n t a g e u s e p o u r l e s o p t i o n s à p a y o d i s c o n t i n u s .

S i l a m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n p a r d i é r e n c e n i e s e s t t r è s s e n s i b l e a u x d i s c o n t i n u i t é s ( p r o b l è m e d e l a

c o n v e r g e n c e e n ε) , l a m é t h o d e d e M a l l i a v i n e s t t o t a l e m e n t n e u t r e à c e t é g a r d .

R a p p e l o n s q u e l e d e l t a s ' é c r i t ∆ = E[ p a y o ×

p o i d s ]. A i n s i , l e p o i d s e s t s o u r c e d e v a r i a n c e ; i l

n e f a u d r a i t p a s q u e c e t t e s o u r c e d e v a r i a n c e l ' e m p o r t e s u r l e g a i n ( t o u j o u r s e n t e r m e d e p r é c i s i o n )

q u ' a p p o r t e c e t t e m é t h o d e e n c o n t o u r n a n t l ' a p p r o x i m a t i o n d e s d i é r e n c e s n i e s . E n e e t , l e s p o i d s

d e M a l l i a v i n s ' e x p r i m e n t t y p i q u e m e n t e n f o n c t i o n d e W T a u n u m é r a t e u r , e t d e T a u d é n o m i n a t e u r .

D è s l o r s , e n n o t a n t X T l e p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t , i n t u i t i v e m e n t ( c ' e s t c l a i r d a n s l e c a s d ' u n c a l l

e u r o p é e n

8

) , a u x g r a n d e s v a l e u r s d e X T o u d u p a y o c o r r e s p o n d u n e g r a n d e v a l e u r d e W T . C o m m e

l ' e s t i m a t i o n m u l t i p l i e c e s d e u x t e r m e s , o n v o i t q u e l ' i n t r o d u c t i o n d u p o i d s d e M a l l i a v i n a c c r o î t l a

v a r i a n c e d e l ' e s t i m a t e u r . E n d ' a u t r e s t e r m e s , p a r l e b i a i s d e l a c o r r é l a t i o n p o s i t i v e e n t r e X T e t W T ,

l e p o i d s d e M a l l i a v i n e t l e p a y o s o n t p o s i t i v e m e n t c o r r é l é s . P a r a i l l e u r s , l e p o i d s d e M a l l i a v i n e s t

d ' a u t a n t p l u s g r a n d q u e T e s t p e t i t .

A c e s t a d e , p l u s i e u r s r e m a r q u e s p e u v e n t ê t r e f o r m u l é e s :

L a m é t h o d e d e M a l l i a v i n s e r a d ' a u t a n t p l u s e c a c e q u e l e s o p t i o n s a u r o n t u n e m a t u r i t é

é l e v é e ( T g r a n d ) .

R e l a t i v e m e n t à l a m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s p o u r l a q u e l l e l a p r é s e n c e d e d i s c o n t i n u i t é s

d a n s l e p a y o e s t t r è s n u i s i b l e à l a p r é c i s i o n d e l ' e s t i m a t i o n

9

, l e m é t h o d e d e M a l l i a v i n d e v r a i t

ê t r e p l u s e c a c e s u r d e s p a y o d i s c o n t i n u s .

I l p o u r r a i t ê t r e p r é f é r a b l e d e t r a v a i l l e r s u r l e s p u t s e t d e r e v e n i r a u x c a l l s p a r d e s r e l a t i o n s

d e t y p e " p a r i t é c a l l - p u t " . E n e e t , p o u r l e s p u t s , l e p a y o e s t p e t i t q u a n d l e p o i d s d e M a l l i a v i n

e s t g r a n d , c e q u i e n t r a î n e u n e d i m i n u t i o n d e v a r i a n c e .

I l p o u r r a i t ê t r e i n t é r e s s a n t d e m é l a n g e r l e s d e u x m é t h o d e s , d i é r e n c e s n i e s e t M a l l i a v i n , e n

u t i l i s a n t l ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s d e M a l l i a v i n u n i q u e m e n t a u t o u r d e s p o i n t s d ' i r r é g u l a r i t é

d u p a y o . N o u s d é t a i l l o n s c e p r o c é d é d e l o c a l i s a t i o n d a n s l e p a r a g r a p h e c i - d e s s o u s .

L o c a l i s a t i o n

L ' i d é e c o n s i s t e d o n c à l o c a l i s e r l a m é t h o d e d e M a l l i a v i n a u t o u r d e s s i n g u l a r i t é s d e l a f o n c t i o n

d e p a y o p o u r q u e l e p o i d s d e M a l l i a v i n n e p è s e p a s t r o p d a n s l ' e s t i m a t i o n . P o u r i l l u s t r e r c e t t e

m é t h o d e , r a i s o n n o n s s u r l e d e l t a d ' u n c a l l e u r o p é e n . O n p e u t é c r i r e c e d e l t a c o m m e l a s o m m e d e

d e u x t e r m e s :

∆ =∂

∂x

E[eR

T 0

rs.ds(X T

−K )+1

XT <K+α

] +

∂

∂x

E[eR

T 0

rs.ds(X T

−K )+1

K+α

≤XT

]

8 ∆ = E [eR

T 0 rs.ds(XT − K )+.

W T xσT ]

9

L e s c h é m a d e d i s c r é t i s a t i o n u t i l i s é p o u r e s t i m e r l a d é r i v é e e s t e n e e t t r è s s e n s i b l e a u x d i s c o n t i n u i t é s .



2 . 3 . A P P L I C A T I O N S 2 1

O n u t i l i s e m a i n t e n a n t l ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s d e M a l l i a v i n p o u r l e p r e m i e r t e r m e d e l a s o m m e e t

o n p e r m u t e l e s o p é r a t e u r s d é r i v a t i o n e t e s p é r a n c e p o u r l e d e u x i è m e t e r m e :

∆ = E[e

R

T

0

rs.ds

(X T − K )+

1XT <K+α.

W T xσT ] + E[e

R

T

0

rs.ds

1K+α≤XT .Y T ]

D a n s l e p r e m i e r t e r m e d e c e t t e d e r n i è r e s o m m e , l e n o u v e a u " p a y o " (X T − K )+1XT <α e s t n u l

q u a n d l e p o i d s d e M a l l i a v i n

W T xσT e s t g r a n d , c e q u i e n t r a î n e u n e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e . L a v a r i a n c e

d e l ' e s t i m a t e u r a v e c l o c a l i s a t i o n d e l a m é t h o d e d e M a l l i a v i n p e u t ê t r e d i x f o i s p l u s f a i b l e q u e c e l l e

o b t e n u e a v e c l a m é t h o d e d i r e c t e d e M a l l i a v i n ( B e n h a m o u [ B E N 0 0 b ] ) . L e c h o i x d e l a v a l e u r d e αe s t c r u c i a l e t l e c h o i x d ' u n e v a l e u r o p t i m a l e p o u r c e p a r a m è t r e c e f a i t a u c a s p a r c a s .

2 . 3 A p p l i c a t i o n s

L e b u t d e c e t t e p a r t i e e s t d o u b l e . E n e e t , l e c a l c u l d e M a l l i a v i n s e r é v è l e ê t r e p e u a d a p t é p o u r

l e s o p t i o n s e u r o p é e n n e s d o n t l e s p a y o s o n t r é g u l i e r s . I l e s t e n r e v a n c h e a d a p t é p o u r l e s p a y o

d i s c o n t i n u s d e t y p e o p t i o n d i g i t a l e e t p e u t a i d e r à l a d é t e r m i n a t i o n d ' u n b o n p a s d e d i s c r é t i s a t i o n

d a n s l ' u t i l i s a t i o n d e s m é t h o d e s d e d i é r e n c e s n i e s . L a n o u v e a u t é d a n s c e t r a v a i l r é s i d e d a n s l e f a i t

d ' e s t i m e r l e s d e n s i t é s d e s e s t i m a t e u r s d e s e n s i b i l i t é .

2 . 3 . 1 L e c a s d e l ' o p t i o n e u r o p é e n n e

I l s ' a g i t d ' u n c a l l v a n i l l e s u r u n s o u s - j a c e n t S t e t d e s t r i k e K . O n r a p p e l l e à t i t r e i n d i c a t i f q u e

l e p a y o d ' u n e t e l l e o p t i o n e s t l e s u i v a n t : S T − K

+

( 2 . 8 )

P o u r n o s s i m u l a t i o n s l ' o p t i o n p o s s è d e l e s c a r a c t é r i s t i q u e s s u i v a n t e s : S 0 = 100, K = 100, b1 0

= 0.05, e t σ = 0.20 . L a m a t u r i t é d e l ' o p t i o n e s t T = 1 a n e t l e t a u x s a n s r i s q u e e s t r = 0.05 . N o u s

u t i l i s o n s 1 0 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s .

D a n s c e p r e m i e r e x e m p l e n o u s é t u d i o n s , o u t r e l a c o m p a r a i s o n M a l l i a v i n - D i é r e n c e s F i n i e s ,

l ' i n u e n c e d u p a s d e d i s c r é t i s a t i o n d a n s l a m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s . L ' e n s e m b l e d e c e s r é s u l t a t s

s e t r o u v e n t s u r l a g u r e 2 . 1 .

C o m m e n o u s l ' i n d i q u i o n s a u d é b u t d e c e t t e p a r t i e , l e c a l c u l d e M a l l i a v i n s e m b l e p e u a d a p t é p o u r

c e t y p e d e p a y o r é g u l i e r s . O n c o n s t a t e e n e e t q u e l ' e s t i m a t e u r d e M a l l i a v i n o s c i l l e p l u s a u t o u r d e

l a v a l e u r t h é o r i q u e q u e l e s e s t i m a t e u r s d e s d i é r e n c e s n i e s . L e f a i t q u e M a l l i a v i n s o i t p e u a d a p t é

p o u r c e t y p e d ' o p t i o n e s t e n c o r e p l u s a g r a n t s u r l a g u r e 2 . 2 . C e g r a p h i q u e r e p r é s e n t e l a d e n s i t é

d e s e s t i m a t e u r s c a l c u l é e , p a r l a m é t h o d e d e s n o y a u x , à p a r t i r d e 5 0 0 0 p o i n t s ( c h a q u e p o i n t é t a n t

o b t e n u à p a r t i r d e 1 0 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s ) . L ' u t i l i s a t i o n d e j e u x d e s i m u l a t i o n s c o m m u n s p l u t ô t q u e

d e s j e u x d e s i m u l a t i o n d i é r e n t s d a n s l a m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s r é d u i t c o n s i d é r a b l e m e n t l a

v a r i a n c e d e l ' e s t i m a t e u r . L ' e s t i m a t e u r d e s d i é r e n c e s n i e s ( a v e c d e s j e u x d e s i m u l a t i o n s c o m m u n s )

e s t l é g è r e m e n t b i a i s é m a i s s a v a r i a n c e e s t t r è s n e t t e m e n t p l u s f a i b l e q u e c e l l e d e l ' e s t i m a t e u r d e

M a l l i a v i n q u i l u i n e p a r a î t p a s b i a i s é . P a r a i l l e u r s , l ' i n u e n c e d u p a s d e d i s c r é t i s a t i o n d a n s l a

m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s n ' e s t p a s é v i d e n t e a u r e g a r d d e c e s r é s u l t a t s .

D a n s u n s e c o n d t e m p s , n o u s a v o n s i m a g i n é u t i l i s e r u n e d e s t e c h n i q u e s d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e ,

à s a v o i r l e s v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s . L ' i n u e n c e d e l a m é t h o d e d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e a v e c d e s

v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s e s t v i s i b l e s u r l a g u r e 2 . 3 .

P o u r c h a q u e m é t h o d e ( D i é r e n c e s F i n i e s e t M a l l i a v i n ) l ' u t i l i s a t i o n d e v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s

a m é l i o r e d e f a ç o n n e t t e l a p r é c i s i o n d e l ' e s t i m a t e u r p a r r a p p o r t a u f a i t d e n e r i e n u t i l i s e r . L à e n c o r e ,

l e c a l c u l d e M a l l i a v i n e s t p e u a d a p t é p u i s q u e l e s r é s u l t a t s o b t e n u s a v e c l e s d i é r e n c e s n i e s s o n t

b e a u c o u p p l u s p r é c i s , e t q u a s i m e n t t o u t a u s s i r a p i d e s . O n c o n s t a t e m a l g r é t o u t , d a n s l e c a s d e s

d i é r e n c e s n i e s , u n b i a i s , c e q u i p o s e l a q u e s t i o n d u p a s d e d i s c r é t i s a t i o n o p t i m a l .

1 0

b e s t l e c o e c i e n t d e d é r i v e s o u s l a p r o b a b i l i t é r i s q u e - n e u t r e d u p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t ; i l i n t è g r e l e s d i v i d e n d e s

e t l e s é v e n t u e l s c o û t s d e p o r t a g e .




F i g . 2 . 1 E s t i m a t i o n d u ∆ d ' u n e o p t i o n e u r o p é e n n e M é t h o d e s d e s D i é r e n c e s F i n i e s e t d e

M a l l i a v i n ( 1 0 0 0 0 0 p r e m i e r s n o m b r e s a l é a t o i r e s ) I n u e n c e d u p a s .

F i g . 2 . 2 D e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆ d ' u n e o p t i o n e u r o p é e n n e M é t h o d e d e s D i é r e n c e s F i n i e s

( a v e c e t s a n s n o m b r e s a l é a t o i r e s c o m m u n s ) e t m é t h o d e d e M a l l i a v i n



2 . 3 . A P P L I C A T I O N S 2 3

F i g . 2 . 3 D e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆ d ' u n e o p t i o n e u r o p é e n n e M é t h o d e d e s D i é r e n c e s F i n i e s

e t m é t h o d e d e M a l l i a v i n I n u e n c e d e l a m é t h o d e d e r é d u c t i o n d e l a v a r i a n c e a v e c d e s v a r i a b l e s

a n t i t h é t i q u e s

2 . 3 . 2 L e c a s d e l ' o p t i o n b i n a i r e

N o u s v e n o n s d e v o i r l a f a i b l e e c a c i t é d u c a l c u l d e M a l l i a v i n d a n s l ' é v a l u a t i o n d e s c o e c i e n t s

d e s e n s i b i l i t é d ' u n e o p t i o n d o n t l e p a y o e s t r é g u l i e r . N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t e x a m i n e r c e q u i s e

p a s s e l o r s q u e c e p a y o d e v i e n t i r r é g u l i e r e t p r é s e n t e u n e d i s c o n t i n u i t é . I l s ' a g i t d ' u n c a l l d i g i t a l e

s u r u n s o u s - j a c e n t S t e t d e s t r i k e K . O n r a p p e l l e à t i t r e i n d i c a t i f q u e l e p a y o d ' u n e t e l l e o p t i o n

e s t l e s u i v a n t :

1(ST −K)+ ( 2 . 9 )

P o u r n o s s i m u l a t i o n s l ' o p t i o n p o s s è d e l e s c a r a c t é r i s t i q u e s s u i v a n t e s : S 0 = 100, K = 100, b =0.05, σ = 0.20 . L a m a t u r i t é d e l ' o p t i o n e s t T = 1 a n e t l e t a u x s a n s r i s q u e e s t r = 0.05 . N o u s a v o n s

u t i l i s é j u s q u ' à 1 0 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s .

C e t t e f o i s - c i o n c o n s t a t e , à l ' a i d e d u g r a p h i q u e r e p r é s e n t a n t l a d e n s i t é d e s d i é r e n t s e s t i m a -

t e u r s ( g u r e 2 . 4 ) , q u e l ' a p p r o c h e p a r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n e s t s u p é r i e u r e à l ' a p p r o c h e p a r l e s

d i é r e n c e s n i e s à l a f o i s e n t e r m e d e b i a i s e t e n t e r m e d e v a r i a n c e . L e s d i s c o n t i n u i t é s d a n s l e

p a y o s e m b l e n t l o u r d e m e n t p é n a l i s e r l a m é t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s s a n s p a r a i l l e u r s a e c t e r l a

m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n p a r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n .




F i g . 2 . 4 D e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆ d ' u n e o p t i o n b i n a i r e M é t h o d e d e s D i é r e n c e s F i n i e s e t

m é t h o d e d e M a l l i a v i n



2 . 3 . A P P L I C A T I O N S 2 5

-






C h a p i t r e 3

E x t e n s i o n a u c a s d e s o p t i o n s m u l t i

s o u s - j a c e n t s

N o u s a v o n s v u d a n s l e c h a p i t r e p r é c é d e n t c o m m e n t a p p l i q u e r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n a u x o p t i o n s

à u n s e u l s o u s - j a c e n t . D a n s c e c h a p i t r e n o u s a l l o n s a p p l i q u e r l e s r é s u l t a t s s u r d e s o p t i o n s b e a u c o u p

p l u s i n t é r e s s a n t e s q u e c e l l e s q u i o n t é t é é t u d i é e s : l e s o p t i o n s m u l t i s o u s - j a c e n t s . E n e e t , p o u r l a

p l u s g r a n d e p a r t i e d e c e s o p t i o n s i l n ' e x i s t e p a s d e f o r m u l e s f e r m é e s p o u r c a l c u l e r l e s c o e c i e n t s

d e s e n s i b i l i t é . E n o u t r e , l e s i m p l é m e n t a t i o n s n u m é r i q u e s n é c e s s i t e n t d e l o u r d s t e m p s d e c a l c u l s .

D a n s l a p r a t i q u e , l e s o p t i o n s s u r m u l t i s o u s - j a c e n t s d é p e n d a n t d e q u e l q u e s d a t e s d e x i n g s o n t t r è s

c o u r a n t e s .

L ' e x t e n s i o n d e s r é s u l t a t s à u n e d i m e n s i o n à d e s m o d è l e s m u l t i - d i m e n s i o n n e l s e s t n a t u r e l l e q u a n d

l e b r o w n i e n e s t c a n o n i q u e , c ' e s t à d i r e q u a n d s e s c o o r d o n n é e s s o n t i n d é p e n d a n t e s . E l l e e s t e n

r e v a n c h e p l u s d é l i c a t e d a n s l e c a s o ù l e s c o o r d o n n é e s d u b r o w n i e n s o n t c o r r é l é e s . C ' e s t p o u r c e t t e

r a i s o n q u e n o u s d é v e l o p p o n s i c i u n n o u v e a u f o r m a l i s m e , p l u s g é n é r a l .

3 . 1 C a l c u l s t h é o r i q u e s d e s c o e c i e n t s d e s e n s i b i l i t é s

N o u s p r é s e n t o n s d a n s c e t t e p a r t i e d e s f o r m u l e s d e c a l c u l d e s g r e c q u e s p o u r l e s o p t i o n s m u l t i

s o u s - j a c e n t s d a n s l e m o d è l e d e B l a c k - S c h o l e s . G r â c e a u c a l c u l M a l l i a v i n , e t c o m m e n o u s a v o n s p u

l e m o n t r e r , l e s g r e c q u e s s e c a l c u l e n t c o m m e l ' e s p é r a n c e d ' u n p a y o m u l t i p l i é p a r u n p o i d s b i e n

c h o i s i . C e c i p e r m e t u n c a l c u l p a r l a m é t h o d e M o n t e - C a r l o à l a f o i s p l u s r a p i d e e t p l u s p r é c i s q u ' e n

u t i l i s a n t d e s d i é r e n c e s n i e s .

D a n s c e t t e p a r t i e n o u s n o u s i n t é r e s s o n s a u c a l c u l d ' u n e e s p é r a n c e d e l a f o r m e

E[φ(X t1 , . . . , X tm)]

a i n s i q u ' a u x d é r i v é e s d e c e t t e g r a n d e u r p a r r a p p o r t a u x d i é r e n t s p a r a m è t r e s ( c o n d i t i o n s i n i t i a l e s ,

v o l a t i l i t é , . . .) . I l e s t i m p o r t a n t d e n o t e r q u e n o u s n o u s l i m i t o n s à d e s f o n c t i o n s φ q u i n e d é p e n d e n t

q u e d ' u n n o m b r e n i d e v a l e u r s d u p r o c e s s u s X t .

3 . 1 . 1 R é s u l t a t s g é n é r a u x

D a n s c e t t e p a r t i e n o u s n o u s c o n t e n t e r o n s d e r e p r e n d r e l e s f o r m u l e s d é v e l o p p é e s F o u r n i é e t a l .

[ F L L L 0 1 b ] p o u r l e c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s p a r r a p p o r t a u x d i é r e n t s p a r a m è t r e s d e l a d i u s i o n . O n

s e d o n n e d o n c u n e f o n c t i o n d é p e n d a n t d ' u n n o m b r e n i d e p o i n t s d u p r o c e s s u s φ(X λt1 , . . . , X λtm),

o ù λ e s t u n p a r a m è t r e d e l a d i u s i o n d e s s o u s - j a c e n t s . O n c o n s i d è r e e n n l a g r a n d e u r P (λ) =E[φ(X λt1 , . . . , X λtm)].

O n s e p l a c e d a n s u n e s p a c e d e p r o b a b i l i t é l t r é (Ω, B, (F t),P) s u r l e q u e l v i t u n m o u v e m e n t

b r o w n i e n ( m u l t i - d i m e n s i o n n e l ) (Z t). O n s u p p o s e q u e p o u r c h a q u e λ l e p r o c e s s u s s t o c h a s t i q u e (X λt

)o b é i t à l ' E D S s u i v a n t e :

dX λt = b(λ, X λt )dt + σ(λ, X λt )dZ t, X λ0 = x(λ),

2 7



2 8 C H A P I T R E 3 . E X T E N S I O N A U C A S D E S O P T I O N S M U L T I S O U S - J A C E N T S

L e s f o n c t i o n s x : R → Rn, b : R ∗ Rn → Rn, et σ : R ∗ Rn → M n(R) s o n t d e s f o n c t i o n s C 1

e t l i p s c h i t z i e n n e s . O n s u p p o s e e n n q u e l a f o n c t i o n σ s a t i s f a i t l ' h y p o t h è s e d ' u n i f o r m e e l l i p t i c i t é .

L e p a r a m è t r e λ e s t u n r é e l q u i p e r m e t d ' i n u e r a u s s i b i e n s u r l a c o n d i t i o n i n i t i a l e q u e s u r l e s

c o e c i e n t s d e d é r i v e e t d e d i u s i o n d e l ' E D S . O n p e u t m o n t r e r

1

q u e l e p r o c e s s u s d e s v a r i a t i o n s

Lλt = ∂ λX λt v é r i e l ' E D S s u i v a n t e , o b t e n u e e n d é r i v a n t p a r r a p p o r t à λ l ' E D S d u p r o c e s s u s X λt

t e r m e à t e r m e :

dLλt = (∂ λb(λ, X λt )Lλ

t )dt +n

j=0

(∂ λσ(λ, X λt )Lλt + ∂ xσj(λ, X λt )Lλ

t )dZ jt , Lλt = x(λ),

o ù σj d é s i g n e l a je c o l o n n e d e l a m a t r i c e σ . E n p r e n a n t c o m m e p a r a m è t r e l a c o n d i t i o n i n i t i a l e x,

o n a a l o r s l e p r o c e s s u s Y t = ∂ xX xt q u i v é r i e :

dY t = b(X t)Y tdt +n

j=0

σ(X t)Y tdZ t, Y 0 = I n

C e p r o c e s s u s p a r t i c u l i e r i n t e r v i e n t d a n s t o u t e l a s u i t e , c a r i l e s t l i é à DX t , l a d é r i v é e d e M a l l i a v i n

( m u l t i - d i m e n s i o n n e l l e ) d e X t , p a r l a r e l a t i o n t r è s i m p o r t a n t e :

dDsX t = Y tY −1s σ(X s)1s≤t

C o m m e n o u s l ' a v o n s d é j à v u d a n s l a p r e m i è r e p a r t i e d e c e r a p p o r t i l s ' a g i t d u p r o c e s s u s d e s

v a r i a t i o n s p r e m i è r e s d u p r o c e s s u s X t .

L e r é s u l t a t f o n d a m e n t a l p o u r l a d é r i v é e d e P e n λ e s t l e s u i v a n t :

P r o p o s i t i o n 1 0 O n s e d o n n e u n e f o n c t i o n a ∈ L2([0, T ]) t e l l e q u e l ' o n a i t

titi−1

a(t)dt = 1, ∀i =

1, . . . , m. O n i n t r o d u i t a l o r s l e p r o c e s s u s vλ : R+ → Rnd é n i p a r :

vλ(t) = a(t)σ(λ, X λt )−1Y t

mi=1

(Y −1ti Lλti − Y −1ti−1Lλti−1)1t∈[ti−1,ti], ∀t ∈ [0, T ].

A l o r s l a d é r i v é e p a r r a p p o r t à λ d e l ' o p t i o n m u l t i s o u s - j a c e n t s P e s t d o n n é e p a r l a f o r m u l e :

∂P

∂λ= E[φ(X λt1 , . . . , X λtm)δ(vλ)]

o ù δ(vλ) d é s i g n e l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d d u p r o c e s s u s v , c ' e s t - à - d i r e δ(vλ) = T 0

vλ(t)dZ t

3 . 1 . 2 A p p l i c a t i o n a u c a l c u l d e s g r e c q u e s

O n c o n s i d è r e n s o u s - j a c e n t s d e v e c t e u r d e p r i x i n i t i a l x e t d e v e c t e u r d e v o l a t i l i t é σ . ρ e s t l a

m a t r i c e d e c o r r é l a t i o n d u b r o w n i e n , p l u s e x a c t e m e n t :

< W

i

, W

j

>t= ρijt. E n n o t a n t

rl e t a u x

d ' i n t é r ê t ( c o n s t a n t ) , l a d y n a m i q u e d e c e s s o u s - j a c e n t s e s t r é g i e p a r l ' é q u a t i o n s u i v a n t e :

dS t = rS tdt + σ · S t · dW t, S 0 = x

R e m a r q u e 6 D a n s t o u t e l a s u i t e , n o u s a d o p t o n s l e s n o t a t i o n s s u i v a n t e s : x·y e t

xy , p o u r x, y ∈ Rn

d é s i g n e n t r e s p e c t i v e m e n t l e p r o d u i t e t l a d i v i s i o n c o m p o s a n t e p a r c o m p o s a n t e . E n n , d a n s l a s u i t e ,

d è s q u e x o u y e s t u n e m a t r i c e , x y d é s i g n e l e p r o d u i t d ' H a d a m a r d d e x e t y .

C a l c u l d u D e l t a

P r o p o s i t i o n 1 1 L e D e l t a d e l ' o p t i o n e s t d o n n é p a r :

∆ = E ρ−1W t1

t1σ · x φ(S t1 , . . . , S tm)1

à l ' a i d e d e l a t h é o r i e d e s o t s s t o c h a s t i q u e s d e K u n i t a .



3 . 1 . C A L C U L S T H É O R I Q U E S D E S C O E F F I C I E N T S D E S E N S I B I L I T É S 2 9

P r e u v e . O n n o t e X t = log(S t). X t v é r i e a l o r s l ' E D S s u i v a n t e :

dX t = (r − 1

2σ2)dt + (σ U )dZ t, x0 = log(x)

o ù U e s t l e f a c t e u r d e C h o l e s k y d e l a m a t r i c e d e c o r r é l a t i o n ρ e t Z t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n

s t a n d a r d d a n s Rnt e l q u e W t = U Z t . L ' h y p o t h è s e d ' e l l i p t i c i t é e s t i c i c l a i r e m e n t s a t i s f a i t e . C o m m e

l e s c o e c i e n t s d e l ' E D S s o n t c o n s t a n t s , o n a i d e n t i q u e m e n t Y t = I n . D ' a p r è s l a p r o p o s i t i o n 1 0 , o n

e n d é d u i t q u e l e p o i d s v a u t :

δ(v) =1

t1

0

t1((σ U )−1)dZ t =ρ−1W t1

t1σ,

e n u t i l i s a n t W t = U Z t e t ρ = U U .

O n c o n s i d è r e a l o r s l a f o n c t i o n

φ(X t1 , . . . , X tm) := φ(S t1 , . . . , S tm) = φ(exp(X t1), . . . , exp(X tm)) ,

à l a q u e l l e o n a p p l i q u e l a p r o p o s i t i o n 1 0 :

∂

∂x0E

[φ(X t1 , . . . , X tm)] =E (

ρ−1W t1

t1σ )φ(X t1 , . . . , X tm)L a c o n c l u s i o n d é c o u l e a l o r s s i m p l e m e n t p a r d é r i v a t i o n c o m p o s é e p u i s t r a n s p o s i t i o n .

L e p r i n c i p e e s t n a l e m e n t l e m ê m e q u e c e l u i i n t r o d u i t d a n s l e c a s d e s m o d è l e s à v o l a t i l i t é

s t o c h a s t i q u e ( o n s e r e p o r t e r a à l ' a n n e x e C d e c e r a p p o r t p o u r d e p l u s a m p l e s d é t a i l s ) . I l s ' a g i t

d e c h a n g e r d e b r o w n i e n p o u r t r a v a i l l e r s u r d e s m o u v e m e n t s b r o w n i e n s s t a n d a r d s d e Rn. I l s u t

e n s u i t e d e r é p e r c u t e r c e c h a n g e m e n t d a n s l e s f o r m u l e s o b t e n u e s d a n s l e c a s s t a n d a r d ( a p r è s l e s

a v o i r é t e n d u e s a u c a s m u l t i - d i m e n s i o n n e l ) . O n r e c o n n a î t e n e e t i c i , à l a m a t r i c e ρ p r è s , l e p o i d s

d e M a l l i a v i n s t a n d a r d o b t e n u p o u r u n m o d è l e d e B l a c k - S c h o l e s à u n s o u s - j a c e n t (

W T xσT ) .

N o u s d o n n o n s c i - d e s s o u s l e s p o i d s

2

d e M a l l i a v i n p o u r d i é r e n t e s s e n s i b i l i t é s o b t e n u s s e l o n c e t t e

m ê m e m é t h o d e .

C a l c u l d u G a m m a

P r o p o s i t i o n 1 2 L e G a m m a d e l ' o p t i o n e s t d o n n é p a r :

Γ = E

ρ−1W t1t1σ · x

ρ−1W t1t1σ · x

− ρ−1W t1

t1σ · x2 In − t1ρ−1 (

1

t1σ · x

1

t1σ · x

)

φ(S t1 , . . . , S tm)

C a l c u l d u V e g a

P r o p o s i t i o n 1 3 L e V e g a d e l ' o p t i o n e s t d o n n é p a r :

V = E

mi=1

(W ti − W ti−1) · ρ−1(W ti − W ti−1)

(ti − ti−1)σ− ρ−1(W ti − W ti−1) − 1

σ

φ(S t1 , . . . , S tm)

C a l c u l d u R h o

P r o p o s i t i o n 1 4 L e R h o d e l ' o p t i o n e s t l a s e n s i b i l i t é d u p r i x d e c e t t e o p t i o n p a r r a p p o r t a u t a u x

d ' i n t é r ê t s a n s r i s q u e ( c o n s t a n t i c i ) e t e s t d o n n é p a r :

= ∂ rP = E

(

1

σ)ρ−1W tm

φ(S t1 , . . . , S tm)

C a l c u l d u T h e t a

P r o p o s i t i o n 1 5 L e T h e t a d e l ' o p t i o n e s t l a s e n s i b i l i t é d u p r i x d e c e t t e o p t i o n p a r r a p p o r t à l a

v a r i a b l e t e m p s e t e s t d o n n é p a r :

Θ = ∂ tP = rP − x∆ − 12

(σ · x)(Γ ρ)(σ · x)

2

O n r a p p e l l e q u e c e s p o i d s n e s o n t p a s u n i q u e s e t q u ' i l s ' a g i t i c i u n i q u e m e n t d ' e x h i b e r d e s p o i d s a d m i s s i b l e s .




3 . 2 A p p l i c a t i o n s

N o u s a v o n s é c r i t d a n s l e p r é a m b u l e d e c e c h a p i t r e q u e l ' i m p l é m e n t a t i o n n u m é r i q u e d e s r é s u l t a t s

i m p l i q u a i e n t u n l o n g t e m p s d e c a l c u l , e t p o u r c a u s e : p o u r u n p a n i e r c o n s t i t u é d e N t i t r e s , i l y

a N d e l t a s à e s t i m e r ( u n p a r s o u s - j a c e n t ) e t i l f a u t é g a l e m e n t c o n t r ô l e r l e s c o r r é l a t i o n s e n t r e

s o u s - j a c e n t s (

N (N −1)2 p a r a m è t r e s à e s t i m e r ) . N o u s a t t e i g n o n s s a n s d o u t e l e s l i m i t e s d u M o n t e -

C a r l o c l a s s i q u e t a n d i s q u e l e c a l c u l d e M a l l i a v i n p e r m e t u n e d é m a r c h e m o i n s l o u r d e . D a n s c e q u i

s u i t n o u s i l l u s t r o n s l a t h é o r i e p r é c é d e n t e e n l ' a p p l i q u a n t a u c a l c u l d e s e n s i b i l i t é s p o u r d e u x t y p e s

d ' o p t i o n s m u l t i - s o u s - j a c e n t s : l ' o p t i o n S p r e a d e t l ' o p t i o n W o r s t O f .

3 . 2 . 1 U n e x e m p l e a v e c l ' o p t i o n s u r S p r e a d

N o u s c o n s i d é r o n s d o n c u n e o p t i o n S p r e a d s u r d e u x s o u s - j a c e n t s , S 1 e t S 2 , c a r a c t é r i s é e p a r l e

p a y o s u i v a n t :

(S 1T −

S 2T )

−K

+

o ù K d é s i g n e l e s t r i k e d e l ' o p t i o n . N o u s a v o n s r e p r é s e n t é s u r l a g u r e 3 . 1 , l a s i m u l a t i o n d u D e l t a

p o u r d i é r e n t e s m é t h o d e s d e s i m u l a t i o n s e t d i é r e n t s g é n é r a t e u r s d e n o m b r e s a l é a t o i r e s ( R N D

3

e t S O B O L

4

) . D e p l u s , n o u s y a v o n s a j o u t é u n e m é t h o d e d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e ( A V : v a r i a b l e s

a n t i t h é t i q u e s ) . L e s c a r a c t é r i s t i q u e s d e c e t t e o p t i o n s o n t l e s s u i v a n t e s : S 10 = S 20 = 100, b1 = 0.05,b2 = 0.03,5 σ1 = 0.20, σ2 = 0.15, r = 0.05, K = 0 e t T = 1 a n .

F i g . 3 . 1 E s t i m a t i o n d u ∆1 d ' u n e o p t i o n s u r s p r e a d M é t h o d e s d e s D i é r e n c e s n i e s e t d e

M a l l i a v i n ( 1 0 0 0 0 0 p r e m i e r s n o m b r e s a l é a t o i r e s ) G é n é r a t e u r s d e n o m b r e s a l é a t o i r e s R N D e t

S O B O L

C e g r a p h i q u e m e t e n é v i d e n c e p l u s i e u r s r é s u l t a t s e m p i r i q u e s : l e M o n t e - C a r l o c l a s s i q u e n ' e s t

p a s t r è s p e r f o r m a n t . M ê m e s i o n c o n s t a t e q u e L ' i n t r o d u c t i o n d e v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s a c c é l è r e l a

3

g é n é r a t e u r à c o n g r u e n c e s l i n é a i r e s c l a s s i q u e .

4

g é n é r a t e u r d e n o m b r e s p s e u d o a l é t o i r e s .

5 b1 e t b2 s o n t l e s c o e c i e n t s d e d é r i v e d e s p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t s s o u s Q .



3 . 2 . A P P L I C A T I O N S 3 1

c o n v e r g e n c e d e l ' e s t i m a t i o n , c ' e s t t r è s c l a i r e m e n t l e g é n é r a t e u r S O B O L q u i p r é s e n t e l e s m e i l l e u r s

r é s u l t a t s . O n c o n s t a t e é g a l e m e n t q u e s i l a m é t h o d e d e M a l l i a v i n a v e c R N D e s t d é ç e v a n t e , e l l e e s t

e n r e v a n c h e t r è s e c a c e a v e c S O B O L . L a c o n v e r g e n c e d e s r é s u l t a t s e n u t i l i s a n t S O B O L e s t e n f a i t

t o u t l e t e m p s m e i l l e u r e q u ' e n u t i l i s a n t u n g é n é r a t e u r c l a s s i q u e d e n o m b r e s a l é a t o i r e s . P o u r v é r i e r

r é e l l e m e n t l a p r é c i s i o n d e s s i m u l a t i o n s s u i v a n t c h a q u e m é t h o d e , n o u s a v o n s d é c i d é d ' a p p r o c h e r ,

c o m m e d a n s l e c h a p i t r e 2 , l a d e n s i t é d e s d i é r e n t s e s t i m a t e u r s à p a r t i r d e 5 0 0 0 p o i n t s ( c h a q u e

p o i n t é t a n t o b t e n u a v e c 1 0 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s ) . N o u s a v o n s a u s s i j u g é u t i l e d e c o n s t a t e r c e q u ' i l c e

p a s s a i t l o r s q u e l a c o r r é l a t i o n e n t r e l e s d e u x s o u s - j a c e n t s e s t p l u s i m p o r t a n t e ( ρ p a s s e d e 0.5 à 0.9 ) .

C e s r é s u l t a t s s o n t r e p o r t é s s u r l e s g u r e s 3 . 2 e t 3 . 3 .

F i g . 3 . 2 D e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆1 d ' u n e o p t i o n s u r s p r e a d M é t h o d e d e s D i é r e n c e s n i e s

( = 0.01) e t m é t h o d e d e M a l l i a v i n V a l e u r d e l a c o r r é l a t i o n ρ = 50%

O n c o n s t a t e u n b i a i s c o n s é q u e n t e n u t i l i s a n t l a m é t h o d e d e s D i é r e n c e s F i n i e s ; c e b i a i s e s t

p a r a i l l e u r s d ' a u t a n t p l u s i m p o r t a n t q u e l e s s o u s - j a c e n t s s o n t p l u s f o r t e m e n t c o r r é l é s . C e b i a i s

p o s e e n c o r e l a q u e s t i o n d u p a s d e d i s c r é t i s a t i o n a d o p t é p o u r a p p r o c h e r l a d é r i v é e ; l e f a i t q u e l e s

s o u s - j a c e n t s s o n t f o r t e m e n t c o r r é l é s a g g r a v e r a i t l a s e n s i b i l i t é d u b i a i s à c e p a s d e d i s c r é t i s a t i o n .

F i n a l e m e n t , a v e c l e s D i é r e n c e s F i n i e s o n o b t i e n t u n e s t i m a t e u r à f a i b l e v a r i a n c e m a i s b i a i s é t a n d i s

q u ' a v e c l e c a l c u l d e M a l l i a v i n o n o b t i e n t u n e s t i m a t e u r s a n s b i a i s m a i s d o n t l a v a r i a n c e e s t p l u s

i m p o r t a n t e .

3 . 2 . 2 U n e x e m p l e a v e c l ' o p t i o n W o r s t O f

L ' o p t i o n W o r s t O f e s t u n e d e s o p t i o n s s u r m u l t i s o u s - j a c e n t s l e s p l u s s i m p l e s . E l l e e s t c a r a c t é r i s é e

p a r l e p a y o s u i v a n t : n

i=1S it1S it0

− K

+

, ( 3 . 1 )

o ù K d é s i g n e l e s t r i k e , t0 l a d a t e d e d é p a r t d e l ' o p t i o n e t t1 l a d a t e d e n .

P o u r n o s s i m u l a t i o n s , n o u s a v o n s o p t é p o u r 4 s o u s - j a c e n t s a y a n t l e s c a r a c t é r i s t i q u e s s u i v a n t e s :




F i g . 3 . 3 D e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆1 d ' u n e o p t i o n s u r s p r e a d M é t h o d e d e s D i é r e n c e s n i e s

( = 0.01 ) e t m é t h o d e d e M a l l i a v i n V a l e u r d e l a c o r r é l a t i o n ρ = 90%

C o u r s i n i t i a l C o e c i e n t d e d é r i v e C o e c i e n t d e d i u s i o n

S 1 1 0 0 0 . 0 5 0 . 2 0

S 2 1 0 0 0 . 0 3 0 . 1 5

S 3 1 0 0 0 . 0 6 0 . 2 0

S 4 1 0 0 0 . 0 4 0 . 1 5

T a b . 3 . 1 C a r a c t é r i s t i q u e s d e s s o u s - j a c e n t s d e l ' o p t i o n W o r s t O f



3 . 2 . A P P L I C A T I O N S 3 3

F i g . 3 . 4 D e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆1 d ' u n e o p t i o n W o r s t O f ( 4 s o u s - j a c e n t s ) M é t h o d e d e s

D i é r e n c e s n i e s ( = 0.01) e t m é t h o d e d e M a l l i a v i n V a l e u r d e l a c o r r é l a t i o n ρ = 90%

D e p l u s l a m a t u r i t é d e l ' o p t i o n a é t é x é e à 1 a n , l e s t r i k e à 1 0 0 e t l e t a u x s a n s r i s q u e à 0 . 0 5 .

E n o u t r e n o u s a v o n s c h o i s i u n e c o r r é l a t i o n d e s s o u s - j a c e n t s à 90%

.

N o u s a v o n s r e p r é s e n t é s u r l a g u r e 3 . 4 l a d e n s i t é d e s e s t i m a t e u r s ∆1 d e c e t t e o p t i o n s u i v a n t

l a m é t h o d e d e s D i é r e n c e s F i n i e s ( = 0.01) e t l a m é t h o d e b a s é e s u r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n . C e t t e

g u r e a t t e s t e d u b i a i s q u i e x i s t e l o r s q u e l ' o n u t i l i s e l a m é t h o d e d e s D i é r e n c e s F i n i e s p o u r e s t i m e r l e

D e l t a ( o u a u t r e s e n s i b i l i t é ) d ' u n e o p t i o n m u l t i - s o u s - j a c e n t . D e p l u s , n o u s c o n s t a t o n s q u e l a m é t h o d e

b a s é e s u r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n e s t i m e c o r r e c t e m e n t l a v a l e u r t h é o r i q u e d u D e l t a d e c e t t e o p t i o n .

C e p e n d a n t , c e t t e m é t h o d e a b e s o i n d ' ê t r e a m é l i o r é e a n d e r é d u i r e l a v a r i a n c e d e l ' e s t i m a t i o n .






C h a p i t r e 4

V a l o r i s a t i o n e t s e n s i b i l i t é s d ' u n e

o p t i o n a m é r i c a i n e

U n e o p t i o n a m é r i c a i n e d ' é c h é a n c e T s u r u n a c t i f X t e s t u n e o p t i o n q u e l e d é t e n t e u r a l e d r o i t

d ' e x e r c e r à t o u t i n s t a n t e n t r e l e m o m e n t d e s o n a c h a t e t s o n é c h é a n c e T . C e d r o i t e n g l o b e l a

p o s s i b i l i t é d ' u n e x e r c i c e à l ' é c h é a n c e . D a n s c e t t e p a r t i e , n o u s n o u s p r o p o s o n s d ' e x p l o i t e r

d ' a u t r e s r é s u l t a t s d u c a l c u l d e M a l l i a v i n , p o u r l a v a l o r i s a t i o n e t l a c o u v e r t u r e d ' o p t i o n s

a m é r i c a i n e s s u r p a n i e r . S ' i l e x i s t e d e s f o r m u l a t i o n s d e c e p r o b l è m e e n t e r m e d ' i n é q u a t i o n s v a r i a -

t i o n n e l l e s ( à p a r t i r d ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p a r E . D . P . ) , l e u r s a p p l i c a t i o n s n u m é r i q u e s s o n t p o s s i b l e s

s e u l e m e n t p o u r d e s d i m e n s i o n s i n f é r i e u r e s à t r o i s . U n e a p p r o c h e p r o b a b i l i s t e c o m m e M o n t e C a r l o

p r é s e n t e l ' a v a n t a g e , d u p o i n t d e v u e n u m é r i q u e , d e s ' a r a n c h i r d e c e s c o n t r a i n t e s d i m e n s i o n n e l l e s .

C e p e n d a n t , à c e j o u r , d a n s l e c a d r e d e s o p t i o n s a m é r i c a i n e s , l e s t e c h n i q u e s d e M o n t e C a r l o e x i s -

t a n t e s s e r é v è l e n t p e u p e r f o r m a n t e s . O n m o n t r e p a r l e p r i n c i p e d e p r o g r a m m a t i o n d y n a m i q u e

( s e c t i o n s u i v a n t e ) , q u e v a l o r i s e r u n e o p t i o n d e c e t y p e r e v i e n t à a p p r o c h e r n u m é r i q u e m e n t u n e f a -

m i l l e d ' e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s . O r , l e s e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s , s o u s l e u r s f o r m e s h a b i t u e l l e s ,

s o n t t r è s d u r e s à é v a l u e r p a r l e s t e c h n i q u e s d e M o n t e C a r l o . E n e e t , p r e s q u e t o u t e s l e s t r a j e c t o i r e s

s i m u l é e s v o n t p a s s e r à c ô t é d e l ' é v é n e m e n t p a r r a p p o r t a u q u e l o n c o n d i t i o n n e .

D a n s u n e s e c o n d e p a r t i e , g r â c e a u c a l c u l d e M a l l i a v i n , o n o b t i e n t u n e n o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n d e

l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e i n t r o d u i t e , l a p r e m i è r e f o i s p a r F o u r n i é e t a l . [ F L L L 0 1 b ] . L ' e x p r e s s i o n

o b t e n u e p r e n d e n c o m p t e l e c o n d i t i o n n e m e n t e t n e p r é s e n t e p l u s l e s m ê m e s d i c u l t é s d ' e s t i m a t i o n .

C e t t e t e c h n i q u e e s t t r è s p r o m e t t e u s e e t s e s a p p l i c a t i o n s s ' é t e n d e n t à d e n o m b r e u x d o m a i n e s

1

. E n

e e t , e l l e m o d i e c o n s i d é r a b l e m e n t l a p e r f o r m a n c e d e s t e c h n i q u e s d e M o n t e C a r l o q u i s ' a v è r e

s a t i s f a i s a n t e q u a n d e l l e e s t c o u p l é e à u n e t e c h n i q u e d e l o c a l i s a t i o n . D a n s l e c a d r e d e s o p t i o n s

a m é r i c a i n e s , n o u s e n d é d u i s o n s u n a l g o r i t h m e d e v a l o r i s a t i o n a m é l i o r é , l a p r e m i è r e f o i s m i s e n p l a c e

d a n s u n a r t i c l e t r è s r é c e n t p a r L i o n s e t R e g n i e r

[ L R 0 1 ] . O n t r o u v e r a e n a n n e x e l e s n o u v e a u x

p o i d s p o u r c a l c u l e r l e s s e n s i b i l i t é s .

4 . 1 L ' é c h e c d e M o n t e C a r l o p o u r l e s o p t i o n s a m é r i c a i n e s

N o u s n o u s p l a ç o n s d a n s l ' e s p a c e d e p r o b a b i l i t é h a b i t u e l e t n o u s s u p p o s o n s j u s t e q u e l e s o u s - j a c e n t

s u i t u n e d i u s i o n c l a s s i q u e

2

s o u s l a p r o b a b i l i t é r i s q u e - n e u t r e :

dX t = σ(t, X t)dW t + r(t, X t)dt et X 0 = x

R a p p e l o n s é g a l e m e n t q u e n o u s f a i s o n s l ' h y p o t h è s e d e c o m p l é t u d e d u m a r c h é .

1

P a r e x e m p l e l e p r o b l è m e d e M e r t o n , l ' é v a l u a t i o n d ' u n m a x i m u m d e v r a i s e m b l a n c e . . .

2

n o u s t r a i t o n s l e c a s B l a c k - S c h o l e s p o u r l e s a p p l i c a t i o n s n u m é r i q u e s

3 5



3 6 C H A P I T R E 4 . V A L O R I S A T I O N E T S E N S I B I L I T É S D ' U N E O P T I O N A M É R I C A I N E

4 . 1 . 1 F o r m u l a t i o n d u p r o b l è m e e n t e r m e d ' e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s

L e l i e n e x i s t a n t e n t r e e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s e t o p t i o n s a m é r i c a i n e s r é s u l t e d u p r i n c i p e d e

p r o g r a m m a t i o n d y n a m i q u e d ' H a m i l t o n J a c o b i B e l l m a n . N o u s d o n n o n s u n e i d é e s u c c i n t e d e l a

m é t h o d o l o g i e e m p l o y é e d a n s l e s q u e l q u e s l i g n e s s u i v a n t e s . L a v a l o r i s a t i o n d ' o p t i o n a m é r i c a i n e e s t

t r a i t é e d e f a ç o n a c a d é m i q u e c o m m e u n p r o b l è m e d ' a r r ê t o p t i m a l .

P r o p o s i t i o n 1 6 ( F o r m u l a t i o n e n t e r m e d ' a r r ê t o p t i m a l ) L e p r i x d ' u n e o p t i o n a m é r i c a i n e

p e u t s ' i n t e r p r é t e r d e m a n i è r e p r o b a b i l i s t e à l ' i n s t a n t 0 p a r ( L a m b e r t o n e t L a p e y r e [ L L 0 0 ] ) :

P (x) = ess supτ ∈I 0,T E(exp(−rτ )f (X τ ))

o ù I 0,T d é s i g n e l ' e n s e m b l e d e s t e m p s d ' a r r ê t s p r e n a n t l e u r s v a l e u r s d a n s l ' i n t e r v a l l e [0, T ].

U n p r o b l è m e d ' a r r ê t o p t i m a l e s t é q u i v a l e n t à u n p r o b l è m e d e c o n t r ô l e o p t i m a l s t o c h a s t i q u e . P o u r

o b t e n i r u n e v e r s i o n d i s c r è t e e t u t i l i s a b l e n u m é r i q u e m e n t d u r é s u l t a t p r é c é d e n t , o n p r o c è d e c o m m e

s u i t ( m é t h o d o l o g i e u t i l i s é e d a n s [ L R 0 1 ] ) . A c h a q u e i n s t a n t , l e d é t e n t e u r d e l ' o p t i o n e x e r c e s o n

c o n t r ô l e , c ' e s t - à - d i r e l a p o s s i b l i t é d ' e x e r c e r o u n o n s o n o p t i o n . A i n s i , o n i n t r o d u i t u n p r o c e s s u s u ,

F t - a d a p t é , q u i e x p r i m e n o t a m m e n t l e f a i t q u e l ' e x e r c i c e n e p e u t a v o i r l i e u q u ' u n e f o i s p o u r t o u t e :

∀t ∈ [0, T ], u(t, X t) ∈ e x e r c e r , n e p a s e x e r c e r

e t s i p o u r t o u t t ≤ T,u(t, X t) = e x e r c e r

e s t r é a l i s é a l o r s

∀s ∈]t, T ], u(t, X t) = n e p a s e x e r c e r

e s t r é a l i s é

A p a r t i r d e c e r é s u l t a t , i l e s t a i s é d ' é l a b o r e r u n e s t r a t é g i e q u i c o n s i s t e à r e g a r d e r e t c e à c h a q u e

i n s t a n t , s i o n e x e r c e l ' o p t i o n o u n o n . P o u r c e f a i r e , o n d i s c r é t i s e l ' i n t e r v a l l e [0, T ] e n L s u b d i v i s i o n s

é g a l e s d e t a i l l e δt = T L . A u n e d e s d a t e s d e d i s c r é t i s a t i o n kδt , o n v é r i e s i l e d é t e n t e u r a i n t é r ê t o u

n o n à e x e r c e r s o n o p t i o n . P o u r c e l a , o n c o m p a r e d e u x g a i n s :

L ' e x e r c i c e i m m é d i a t a s s u r e u n g a i n

f (X kδt).

C o n s e r v e r s o n o p t i o n n é c e s s i t e l e c a l c u l d e l a v a l e u r a c t u a l i s é e d e l ' o p t i o n p o u r c o n n a î t r e l a

v a l e u r d e s o n p o r t e f e u i l l e .

L a v a l e u r d e l ' o p t i o n e s t a l o r s d o n n é e p a r l ' e s p é r a n c e a c t u a l i s é e d u p r i x d e l ' o p t i o n c o n d i t i o n n é e

p a r l a l t r a t i o n p a r r a p p o r t à c e t t e d a t e . D e s r e m a r q u e s c i - d e s s u s , o n d é d u i t u n e é q u a t i o n d e

r é c u r r e n c e ( p r i n c i p e d e p r o g r a m m a t i o n d y n a m i q u e d e B e l l m a n ) . C e l a e s t d ' a u t a n t p l u s s i m p l e q u e

l e p r o c e s s u s (X t) e s t m a r k o v i e n . E n e e t l e c o n d i t i o n n e m e n t p a r r a p p o r t à l a l t r a t i o n r e v i e n t à

c o n d i t i o n n e r p a r l a d e r n i è r e v a l e u r p r i s e p a r l e s o u s - j a c e n t .

P r o p o s i t i o n 1 7 ( L i e n e n t r e e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s e t o p t i o n s a m é r i c a i n e s ) L a f o r m u l e

d e r é c u r r e n c e s u i v a n t e c a r a c t é r i s e l e p r i x d ' u n e o p t i o n a m é r i c a i n e e n f o n c t i o n d ' e s p é r a n c e s c o n d i -

t i o n n e l l e s . P o u r t o u t 0 < deltat < 1 e t t o u t k ∈ 0,...,L,

P kδt(X kδt) = maxf (X kδt); e−rδtE[P (k+1)δt(X (k+1)δt)|(X kδt)]4 . 1 . 2 U n a l g o r i t h m e i n e c a c e n u m é r i q u e m e n t

P o u r v a l o r i s e r u n e o p t i o n a m é r i c a i n e , o n p r o c è d e d e l a f a ç o n s u i v a n t e . O n s i m u l e d ' a b o r d N

t r a j e c t o i r e s d e l a d i u s i o n l o g - n o r m a l e . O n c o m m e n c e a l o r s u n e i n d u c t i o n b a c k w a r d p o u r d é t e r m i -

n e r l e p r i x . A u n i v e a u (L − 1)δt d e n o s N s i m u l a t i o n s , i l n o u s f a u t é v a l u e r l e p a y o d ' u n e x e r c i c e

d i r e c t ( c e l a n e p o s e a u c u n p r o b l è m e e t e s t i m m é d i a t ) , e t u n e e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e . S i l a n a t u r e

m a r k o v i e n n e d e l a d i u s i o n s i m p l i e l e t r a i t e m e n t d u c o n d i t i o n n e m e n t

3

, i l e s t n é a n m o i n s n é c e s -

s a i r e d e r e l a n c e r u n j e u d e s i m u l a t i o n e n c h a q u e p o i n t d e d i s c r é t i s a t i o n d e s N s i m u l a t i o n s p o u r

é v a l u e r l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e e t a i n s i d e s u i t e . . . P i r e , l e n o m b r e d e s i m u l a t i o n s d e v i e n t t r è s

v i t e f a r a m i n e u x c a r a u x p o i n t s

(L − 2)δtd e s t r a j e c t o i r e s , i l f a u t a l o r s d e n o u v e a u ( i l y a l o r s j u s t e

3

I l n ' e s t p a s n é c e s s a i r e d e p r e n d r e d e s t r a j e c t o i r e s q u i p a r t e n t d e x

e t à l ' a v a n t d e r n i è r e d a t e s u r n p a s s e p r è s d e

l a v a l e u r d e Xkδt .



4 . 2 . N O U V E L L E R E P R É S E N T A T I O N D ' E S P É R A N C E C O N D I T I O N N E L L E 3 7

d e u x p o i n t s d e d i s c r é t i s a t i o n ) r é i t é r e r l a p r o c é d u r e p o u r o b t e n i r l e t e r m e d ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e

c o m m e s i c ' é t a i t u n p r i x d e l ' o p t i o n à l u i t o u t s e u l .

C e s r e m a r q u e s r e n d e n t d o n c i m p o s s i b l e l a v a l o r i s a t i o n p a r d e s m é t h o d e s d e M o n t e C a r l o

u s u e l l e s . I l e s t n é c e s s a i r e d e t r a i t e r d i é r e m m e n t l e c o n d i t i o n n e m e n t p o u r p o u v o i r

s ' a r a n c h i r d e l a n a t u r e r é c u r s i v e d e l ' a l g o r i t h m e . L a s o l u t i o n p r o p o s é e p a r l e c a l c u l d e

M a l l i a v i n d a n s l a s e c t i o n s u i v a n t e n e d é p e n d p a s d u c a r a c t è r e m a r k o v i e n o u n o n d u p r o c e s s u s X :

R e m a r q u e 7 ( L ' é c h e c d e s m é t h o d e s d e M o n t e C a r l o u s u e l l e s p o u r l ' e s t i m a t i o n d ' e s p é -

r a n c e c o n d i t i o n n e l l e a v e c u n p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t n o n m a r k o v i e n ) E n e e t , s u p p o s o n s

p a r e x e m p l e q u ' o n v e u i l l e s i m u l e r

E(X 2|X 1 = x1, X 0 = x0) =E[X 21X1=x1,X0=x0 ]

P(X 1 = x1)

o ù X n ' e s t p a s m a r k o v i e n . I l f a u t q u e l e s t r a j e c t o i r e s d e X p a r t a n t d e x0 p a s s e e n x1 p o u r ê t r e

i n t é r e s s a n t e s . O r p o u r l e s d i u s i o n s

4

o n a p a r e x e m p l e P(X 1 = x1) = 0 , d o n c i l n ' e s t p a s p o s s i b l e

d ' e e c t u e r u n e a p p r o c h e d i r e c t e d a n s l e b u t d e c a l c u l e r n u m é r i q u e m e n t c e t t e e s p é r a n c e c o n d i t i o n -

n e l l e . L e s m é t h o d e s u s u e l l e s d e M o n t e C a r l o c o n t o u r n e n t c e t t e d i c u l t é e n d i s c r é t i s a n t l ' e s p a c e d e s

t r a j e c t o i r e s : l ' u t i l i s a t e u r s u p p o s e u n e p a r t i t i o n n i e o u d é n o m b r a b l e d e l ' e s p a c e (Ω, (Oi)). E l l e s n e

c h e r c h e n t a l o r s p a s à a p p r o c h e r n u m é r i q u e m e n t c e t t e e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e , m a i s l a q u a n t i t é

s u i v a n t e :

E(X 2|X 1 ∈ O(x1), X 0 = x0)

o ù O(x1) d é s i g n e l ' é l é m e n t d e l a p a r t i t i o n d e l ' e s p a c e d e s t r a j e c t o i r e s c o n t e n a n t x1 . P l u s l e s o u v e r t s

d e l a p a r t i t i o n s o n t " p e t i t s " , p l u s l ' e s t i m a t e u r e s t p r o c h e d e l a r é a l i t é , e n r e v a n c h e l e n o m b r e d e

t r a j e c t o i r e s i n t é r e s s a n t e s t m o i n d r e e t l a v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e s ' e n r e s s e n t .

4 . 2 N o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n d ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e

P r é c i s o n s l e c a d r e t h é o r i q u e d e n o t r e é t u d e . S o i t Υ l ' e n s e m b l e d e s f o n c t i o n s m e s u r a b l e s à v a l e u r s

r é e l l e s e t à c r o i s s a n c e a u p l u s p o l y n ô m i a l :

Υ(R) = f mesurable, ∃C > 0 et m ∈ N, f (y) ≤ C (1 + |y|m)

I n t r o d u i s o n s é g a l e m e n t l e s f o n c t i o n s H e a v i s i d e d e l a f o r m e ( n o u s n o t e r o n s H 0 s i m p l e m e n t H ) :

H α(y) = 1y>α + c

G r â c e a u t h é o r è m e c l é s u i v a n t , o n e x p r i m e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e g r â c e à u n p o i d s

q u i s ' a p p l i q u e à t o u t p a y o . C e p o i d s i n t è g r e c o m p l è t e m e n t l e c o n d i t i o n n e m e n t .

T h é o r è m e 5 ( R e p r é s e n t a t i o n d ' e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s a v e c p o i d s F o u r n i é e t a l . [ F L L L 0 1 b ] )

S o i t ut u n p r o c e s s u s p o s s é d a n t c e r t a i n e s p r o p r i é t é s d e r é g u l a r i t é a u s e n s d e M a l l i a v i n e t v é r i a n t

l e s y s t è m e d e c o n d i t i o n s u i v a n t :

(S)

E[ T 0

DtGutdt|σ(F,G)] = 1 (S1)

E[ T 0

DtFutdt|σ(F,G)] = 0 (S2)

o ù σ(F,G) d é s i g n e l a l t r a t i o n a u g m e n t é e . A l o r s , o n a p o u r u n e f o n c t i o n f ∈ Υ(R), l a r e p r é s e n -

t a t i o n s u i v a n t e d e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e :

E[f (F)

|G = 0] =

E[f (F)H (G)δ(u)]

E[H (G

)δ(u)]4

O n p a r l e d e m e s u r e s d i u s e s : i l n ' y a p a s d ' a t o m e s , c ' e s t à d i r e d e s i n g l e t o n a e c t é d ' u n e p r o b a b i l i t é n o n n u l l e

d e r é a l i s a t i o n




P r e u v e . P r o u v o n s d ' a b o r d c e r é s u l t a t p o u r l e s f o n c t i o n s C1 . O n l ' é t e n d a u x f o n c t i o n s s i m p l e -

m e n t b o r é l i e n n e s ( o u m e s u r a b l e s ) p a r u n a r g u m e n t d e d e n s i t é c o m m e d a n s l a s e c t i o n 2 . L a f o r m u l e

d é c o u l e d ' u n e i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s a p r è s a v o i r é c r i t l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e s o u s l a f o r m e d e

B a y e s :

E[f (F)|G = 0] =E[f (F)δ0(G)]

E[δ0(G)]= lim

→0+

E[f (F)1[−,+](G)]

E[1[−,+](G)]

P o u r l e d é n o m i n a t e u r , i l s u t d ' a p p l i q u e r d i r e c t e m e n t l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s . E n

é c r i v a n t l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d e f (F)H(G) g r â c e à l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e ,

o n o b t i e n t :

Dt(f (F)H(G)) = f

(F)Dt(F)H(G) + f (F)1[−,+]Dt(G)

L a c o n d i t i o n q u e v é r i e u i n t e r v i e n t à c e s t a d e , l ' e x p r e s s i o n , e n m u l t i p l i a n t p a r u e t e n i n t é g r a n t :

E

H(G)

T 0

Dt(f (F))utdt

= E

f

(F)H(G)

T 0

Dt(F)utdt)

+E

f (F)1[−,+](G)

T 0

Dt(G)utdt

N o u s a v o n s p u s o r t i r l e s v a r i a b l e s a l é a t o i r e s d e s i n t é g r a l e s d e R i e m a n n . T r è s s i m p l e m e n t , o n t r a i t e

l ' é g a l i t é p r é c é d e n t e d e l a m a n i è r e s u i v a n t e p o u r a r r i v e r à n o s n s :

o n a p p l i q u e l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s a u p r e m i e r t e r m e p o u r q u e n o t r e p o i d s n e

d é p e n d e p a s d e f c o m m e d a n s l e c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s ,

l e d e u x i è m e t e r m e e s t s i m p l i é g r â c e à l a c o n d i t i o n (S2) . L a d é r i v é e d i s p a r a î t e t p e r m e t

l ' e x t e n s i o n a u x f o n c t i o n s b o r é l i e n n e s c o m m e d a n s l a p a r t i e p r é c é d e n t e ,

a v e c l e d e r n i e r t e r m e , l a p r o p r i é t é s u r l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e (S1) v é r i é e p a r u p e r m e t

d e r e t r o u v e r l e n u m é r a t e u r q u e n o u s c a l c u l o n s .

O n r e t r o u v e a l o r s n o t r e t h é o r è m e e n p a s s a n t à l a l i m i t e e t e n e x p r i m a n t l e d e r n i e r t e r m e c o m m e

l a d i é r e n c e d e s d e u x p r e m i e r s .

R e m a r q u e 8 I l e x i s t e u n e v e r s i o n d e c e t h é o r è m e p o u r l e s f o n c t i o n s C1

s a n s l a c o n d i t i o n (S2) :

E[f (F)

|G = 0] =

E[f (F)H (G)δ(u) − f

(F)H (G)

1

0DtFutdt]

E[H (G)δ(u)]M a i s l ' h y p o t h è s e d e d é r i v a b i l i t é d e l a f o n c t i o n f e s t p é n a l i s a n t ( d a n s u n c a d r e n a n c i e r l a p l u -

p a r t d e s p a y o n e l e s o n t p a s ) . O n s ' a r a n c h i t d e c e t t e c o n d i t i o n d e r é g u l a r i t é c o n t r a i g n a n t e , e n

i m p o s a n t l a c o n d i t i o n s u p p l é m e n t a i r e (S2)

. D e p l u s o n d é p l a c e l a d i c u l t é d e c a l c u l i n d u i t e p a r

l ' e s t i m a t i o n d e l a d é r i v é e d a n s l a d é t e r m i n a t i o n d u p r o c e s s u s u c e q u i s e r é v è l e b e a u c o u p p l u s s i m p l e

à l ' u s a g e e t s i m p l i e g r a n d e m e n t l e s e x p r e s s i o n s d u p o i n t d e v u e n u m é r i q u e .

L a r e p r é s e n t a t i o n p r é c é d e n t e p e r m e t u n e i m p l é m e n t a t i o n p l u s e c a c e . D ' u n e p a r t ,

l e c o n d i t i o n n e m e n t p a r r a p p o r t à l a v a r i a b l e a l é a t o i r e n ' a p p a r a î t p l u s q u e d a n s l e p o i d s : c ' e s t à

d i r e l a f o n c t i o n H e a v i s i d e e t l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d . B e a u c o u p p l u s d e t r a j e c t o i r e s d e v i e n n e n t

i n t é r e s s a n t e s : i l n ' i m p o r t e p l u s q u ' e l l e s s o i e n t i s s u e s d u p o i n t o ù o n c o n d i t i o n n e o u d e p a s s e r d a n s

u n v o i s i n a g e . D ' a u t r e p a r t , p o u r c a l c u l e r u n e f a m i l l e d ' e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s ( d a n s l e c a s d ' u n e

o p t i o n a m é r i c a i n e p a r e x e m p l e ) , i l n ' e s t p l u s n é c e s s a i r e d ' e n v i s a g e r a u t a n t d e j e u x d e t r a j e c t o i r e s

q u e d ' e s p é r a n c e s à c a l c u l e r : u n s e u l é c h a n t i l l o n d e t r a j e c t o i r e s d e l a v a r i a b l e X , s u t c a r c ' e s t

u n e e s p é r a n c e u s u e l l e .

F i n i s s o n s c e c h a p i t r e p a r u n e r e m a r q u e s u r l ' e x t e n s i o n m u l t i d i m e n s i o n n e l l e d e c e r é s u l t a t .

R e m a r q u e 9 ( E x t e n s i o n à u n c o n d i t i o n n e m e n t m u l t i d i m e n s i o n n e l ) L ' a p p r o c h e p r é c é d e n t e

p e u t - ê t r e é t e n d u e à d e s s i t u a t i o n s o ù o n c o n d i t i o n n e l ' e s p é r a n c e p a r r a p p o r t à u n v e c t e u r d e v a -

r i a b l e s a l é a t o i r e s Gd e n d i m e n s i o n d p a r e x e m p l e . L e p r o c e s s u s u e s t a l o r s v e c t o r i e l e t e n i t é r a n t

l ' a r g u m e n t p r é c é d e n t , s e s c o m p o s a n t e s uit s o n t t e l l e s q u e

E

T 0

DT Gjuitdt|σ(F, G)

= δij pour 1 ≤ i, j ≤ d

C e l a i m p l i q u e é v i d e m m e n t q u e l e v e c t e u r

G = (G1, . . . , Gd)n ' e s t p a s " c o r r é l é a u s e n s d e M a l l i a v i n " ,

c ' e s t à d i r e q u e l a m a t r i c e d e c o v a r i a n c e a u s e n s d e M a l l i a v i n e s t i n v e r s i b l e

5

.

5

c f A n n e x e A p o u r d e s d é t a i l s s u r c e t t e n o t i o n



4 . 2 . N O U V E L L E R E P R É S E N T A T I O N D ' E S P É R A N C E C O N D I T I O N N E L L E 3 9

4 . 2 . 1 U n e x e m p l e d e p r o c e s s u s u

E x i s t e n c e d u p r o c e s s u s u N o u s n ' a v o n s p a s t r a i t é p o u r l ' i n s t a n t l a q u e s t i o n d e l ' e x i s t e n c e d ' u n

p r o c e s s u s u . U n c a n d i d a t n a t u r e l p o u r u , é t a n t d o n n é l a c o n d i t i o n (S1) e s t t o u t s i m p l e m e n t

ut =C te

Dt(G)

P o u r q u ' i l p u i s s e v é r i e r l e s y s t è m e d e c o n d i t i o n (S) , i l f a u t q u e l e s p r o c e s s u s (Dt(G), Dt(F )) f o r m e

u n e f a m i l l e l i b r e . N o u s d o n n o n s u n e x e m p l e d a n s l e c a d r e d ' u n e d i u s i o n g é n é r a l e e t l e s f o r m u l e s

e x p l i c i t e s p o u r l e c a s l o g - n o r m a l . R a p p e l o n s q u e l e p r o c e s s u s (X t) v é r i e :

dX t = σ(X t)dW t + b(X t)dt, X 0 = x

O n a d é j à c a l c u l é l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d e l a v a r i a b l e a l é a t o i r e X t e n f o n c t i o n d u p r o c e s s u s

d e v a r i a t i o n s p r e m i è r e s Y . P o u r q u e l a c o n d i t i o n (S1) s o i t r e m p l i e , o n s e c o n t e n t e d e p r e n d r e s o n

i n v e r s e à u n e c o n s t a n t e p r è s p o u r s ' a s s u r e r q u e l ' i n t é g r a l e v a u t b i e n 1 s u r [t, T ]

us =Y s

tσ(X s)Y t(1)[0,t](s)

.

P o u r q u e l a c o n d i t i o n (S1) s o i t r e m p l i e , i l e s t c r u c i a l d e n o t e r q u e d a n s l e c a s d e d i u s i o n

DsF = DsX T c o ï n c i d e a v e c Ds(G) = DsX t s u r [0, t]. E n s u i t e , s u r [t, T ] l a d e u x i è m e d é r i v é e a u

s e n s d e M a l l i a v i n e s t n u l l e

6

. M a t h é m a t i q u e m e n t , c o m m e :

DsX t = DsX T Y tY T 1s≤t

a l o r s , i l e x i s t e u n e s o l u t i o n a u x s y s t è m e d ' é q u a t i o n s , e n p r e n a n t

ut =Y s

σ(X s)Y t

1

t(1)[0,t](s) − 1

T − t(1)[t,T ](s)

L e c a l c u l d e l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d s e f a i t u n e n o u v e l l e f o i s g r â c e à l a f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n

c h a î n e , a i n s i q u ' a v e c l a p r o p o s i t i o n 5 . E n n o t a n t (ζ s) l e p r o c e s s u s d e s v a r i a t i o n s p r e m i è r e s a s s o c i é

a u p r o c e s s u s Y t :

δ(u) =1

Y t(

1

t

t0

Y sσ(X s)

dW s − 1

T − t

T t

Y sσ(X s)

dW s) +ζ t

Y 2t+

1

tY t

t0

σ(X s)

σ(X s)Y sds − 1

tY t

0

tζ sY s

ds

D a n s l e c a s l o g - n o r m a l , l e s e x p r e s s i o n s s e s i m p l i e n t p a r t i c u l i è r e m e n t . E n e e t , σ(X s) = σX s e t

ζ t = 0. C e l a n o u s d o n n e a l o r s u n e e x p r e s s i o n s i m p l e :

δ(u) =1

Y t (1

t t0 1

σdW s −1

T −t T t

1

σ(Xs)dW s) +1tY t

t0

σσXs

Y sds . C o m m e Y t = X t/x, l ' e x p r e s s i o n d e v i e n t e n c o r e p l u s s i m p l e . N o u s p r é c i s o n s d a n s

l e l e m m e s u i v a n t c e r é s u l t a t a i n s i q u e l e s n o t a t i o n s q u i n o u s s e r v i r o n t r é g u l i è r e m e n t d a n s l e c a s

d e s o p t i o n s a m é r i c a i n e s :

L e m m e 2 ( R e p r é s e n t a t i o n d e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e d a n s l e c a d r e l o g - n o r m a l ) N o u s

n o t o n s d é s o r m a i s : p o u r s ≤ t , ∆W s,t = tW s − sW t + σs(t − s) . A l o r s o n a p o u r t o u t α r é e l p o s i t i f ,

t ∈ [0, T ] e t f ∈ Υ :

T s,t[f ](α) =1

σs(t − s)E

(f (X t)

H (X s − α)

X s∆W s,t

a l o r s :

EQ[f (X t)|X s = α] = T s,t[f ](α) × T s,t[1R](α)−16 Xt n e d é p e n d p a s d e s a c c r o i s s e m e n t s d u b r o w n i e n p o u r d e s d a t e s s u p é r i e u r e s à

t




4 . 2 . 2 L e c o n c e p t d e f o n c t i o n l o c a l i s a n t e

E n u t i l i s a n t l a f o r m u l e d e B a y e s a p p l i q u é e s a u x e s p é r a n c e s c o n d i t i o n n e l l e s , o n a u n e r e p r é -

s e n t a t i n f a i s a n t i n t e r v e n i r u n e m a s s e d e D i r a c , " f o n c t i o n " f o r t e m e n t i r r é g u l i è r e . L e f a i t d ' u t i l i s e r

u n e i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e p e r m e t d e r é g u l a r i s e r c e t t e d e r n i è r e a u d é t r i m e n t d ' u n a c c r o i s s e m e n t

d e l a v a r i a n c e . A n d e r e m é d i e r à c e l a n o u s p o u v o n s u t i l i s e r u n e m é t h o d e d e l o c a l i s a t i o n p o u r

u n e e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e . C e t t e t e c h n i q u e e s t a c t u e l l e m e n t l ' o b j e t d ' u n g r a n d n o m b r e

d e r e c h e r c h e s u r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n a p p l i q u é à l a n a n c e : l e s p r e m i e r s à s o u l i g n e r

s o n i n t é r ê t s o n t F o u r n i é

e t a l . [ F L L L 0 1 b ] , B o u c h a r d e t T o u z i

( [ B T 0 2 a ] ) d o n n e n t u n c a d r e

t h é o r i q u e à c e t t e t e c h n i q u e d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e e t e x h i b e n t u n e f o n c t i o n r é d u i s a n t a u m i e u x

l a v a r i a n c e d e l a n o u v e l l e e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e d a n s l e c a s s é p a r a b l e . N o u s n o u s c o n t e n t e r o n s

d u c a s s i m p l e d é j à e x p o s é d a n s l a p a r t i e s u r l e s s e n s i b i l i t é s .

f o n c t i o n d e l o c a l i s a t i o n S o i t K c o m p a c t d e (R) , u n e f o n c t i o n g r é g u l i è r e e s t u n e f o n c t i o n d e

l o c a l i s a t i o n i n t é r e s s a n t s i e l l e v é r i e l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :

L e s u p p o r t d e g e s t i n c l u s d a n s K

Kg(y)dy = 1

O n d é n i t a l o r s

Gl a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n d e

g, c ' e s t à d i r e

G = x−∞ g(y)dyE n r e p r e n a n t l e

r a i s o n n e m e n t q u i a p e r m i s d ' é t a b l i r l a p r o p o s i t i o n s u r l a n o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n d e s e s p é r a n c e s

c o n d i t i o n n e l l e s , o n c o n s t a t e q u e l e r a i s o n n e m e n t f a i t p o u r l e c o u p l e (δ, H ) e s t é g a l e m e n t v a l a b l e

p o u r n ' i m p o r t e q u e l c o u p l e (g, G) :

E(f (X t)g(X s − α)) =1

σs(t − s)E

(f (X t)G(X s − α)

∆W s,tX s

C e q u i n o u s p e r m e t l a r é é c r i t u r e d u l e m m e p r é c é d e n t a v e c l a f o n c t i o n d e l o c a l i s a t i o n :

L e m m e 3 ( R e p r é s e n t a t i o n d e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e a v e c l o c a l i s a t i o n ) O n a p o u r t o u t

α r é e l p o s i t i f , t ∈ [0, T ] e t f ∈ Υ :

T locs,t [f ](α) =1

σs(t − s)E

(f (X t)H (X s − alpha) − G(X s − alpha)

X s∆W s,t

a l o r s :

EQ[f (X t)|X s = α] = T locs,t [f ](α) × T locs,t [1R](α)−1

D ' a p r è s l e s a u t e u r s , c e t t e f o n c t i o n d e l o c a l i s a t i o n e s t c r u c i a l e p o u r a v o i r d e s r é s u l t a t s n u m é r i q u e s

d a n s d e s t e m p s c o n v e n a b l e s .

4 . 3 A p p l i c a t i o n s a u x o p t i o n s a m é r i c a i n e s

D a n s l a s e c t i o n q u i s u i t , n o u s p r é s e n t o n s l a m é t h o d e p e r m e t t a n t d ' a p p r o c h e r n u m é r i q u e m e n t

l e p r i x . L e s s e n s i b i l i t é s s e t r a i t e n t d e m a n i è r e a n a l o g u e e t o n a c o n s i g n é e n a n n e x e l e s r é s u l t a t s

c o r r e s p o n d a n t s . C e t t e m é t h o d e a é t é i n t r o d u i t e p o u r l a p r e m i è r e f o i s p a r L i o n s e t R e g n i e r

[ L R 0 1 ] .

4 . 3 . 1 L ' a l g o r i t h m e d e v a l o r i s a t i o n

V o i c i l e s d i é r e n t e s é t a p e s m i s e s e n p l a c e d a n s l a c a d r e d u n o u v e l a l g o r i t h m e . L a n a t u r e d é -

c i e n t e d e l ' a n c i e n a l g o r i t h m e e s t i n d u i t e p a r s o n c a r a c t è r e r é c u r s i f . I l e s t c r u c i a l d e n o t e r q u e c e t t e

l a c u n e e s t l e v é e .

O n s t o c k e d a n s u n e m a t r i c e r e c t a n g u l a i r e l e s t r a j e c t o i r e s d i s c r é t i s é e s d e s b r o w n i e n s : N d é s i g n e l e n o m b r e d e s i m u l a t i o n s e t L l e n o m b r e d e d i s c r é t i s a t i o n s .

D e l a d e r n i è r e c o l o n n e d e c e t t e m a t r i c e , o n d é d u i t u n v e c t e u r p r i x P (X Lδt) ( n o u s p r e n o n s l e

c a s d u p u t a m é r i c a i n ) .

O n x e l a s i m u l a t i o n p a r e x e m p l e , l a n u m é r o 1 , e t o n s e p l a c e a u p o i n t j u s t e a v a n t l ' é c h é a n c e

(L − 1)δt .



4 . 3 . A P P L I C A T I O N S A U X O P T I O N S A M É R I C A I N E S 4 1

C a l c u l d e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e . E n c e p o i n t à l ' a i d e d e s a u t r e s s i m u l a t i o n s ( 2 j u s q u ' à N ) , o n c a l c u l e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e e n u t i l i s a n t l a f o r m u l e d e l o c a l i s a t i o n .

O n d é t e r m i n e a l o r s l a v a l e u r d u p r i x a u p o i n t (L − 1)δt d e l a t r a j e c t o i r e 1 , e n p r e n a n t l e

m a x i m u m d e l ' e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e e t d ' u n e x e r c i c e i m m é d i a t . O n a o b t e n u d e n o u v e a u

u n v e c t e u r p r i x .

O n i t è r e l a m ê m e p r o c é d u r e p o u r c h a c u n e d e s t r a j e c t o i r e s n ° 2 j u s q u ' à l a n u m é r o N ( c e q u i

r e n d c e t a l g o r i t h m e t r è s l e n t ) . O n o b t i e n t d e n o u v e a u u n v e c t e u r p r i x .

O n i t è r e l a p r o c é d u r e d e f a ç o n b a c k w a r d .

4 . 3 . 2 R é s u l t a t s n u m é r i q u e s

L ' a l g o r i t h m e e s t c o r r e c t ( n o u s a v o n s d e m a n d é c o n r m a t i o n à B r u n o B o u c h a r d ) , n é a n m o i n s n o u s

n e d i s p o s o n s p a s d e r é s u l t a t s n u m é r i q u e s p e r s o n n e l s c a r l ' i m p l é m e n t a t i o n s ' e s t r é v é l é e d é f e c t u e u s e .

N o u s p e n s o n s n o t a m m e n t q u e l e c h o i x d e l a f o n c t i o n d e l o c a l i s a t i o n e s t c r u c i a l e , o r

n o u s n e d i s p o s o n s p a s d ' i n f o r m a t i o n s u r l a b o n n e f o n c t i o n à c h o i s i r p o u r o b t e n i r u n e

c o n v e r g e n c e s t a b l e . D e p l u s , l ' a l g o r i t h m e e s t l e n t e t r e q u i e r t d e s t e c h n i q u e s d e r é d u c t i o n d e

v a r i a n c e s a s t u c i e u s e s ( p a r t i t i o n . . . ) q u i n e s o n t p a s e x p l i q u é e s d a n s l ' a r t i c l e .






C o n c l u s i o n

C e m é m o i r e a é t é p o u r n o u s l ' o c c a s i o n d e n o u s c o n f r o n t e r à u n e t h é o r i e n o u v e l l e e t e n c o r e e n

d é v e l o p p e m e n t . L e f a i t d e t r a v a i l l e r s u r d e s a r t i c l e s t r è s r é c e n t s , d e v o i r d e n o u v e a u x r é s u l t a t s

p u b l i é s a u c o u r s d e n o t r e t r a v a i l e t d ' a v o i r a s s i s t é à u n s é m i n a i r e r e g r o u p a n t l e s p l u s g r a n d s

s p é c i a l i s t e s d e l a q u e s t i o n ( M a l l i a v i n , N u a l a r t , L i o n s , e t c ) a é t é p a r t i c u l i è r e m e n t e n t h o u s i a s m a n t .

C e t r a v a i l n o u s a é g a l e m e n t p e r m i s d ' a p p r o f o n d i r n o s c o n n a i s s a n c e s e n n a n c e e t e n m a t h é m a t i q u e s

a p p l i q u é e s ; l e c a r a c t è r e n o v a t e u r e t e n c o r e i n c o n n u p o u r n o u s d e l a t h é o r i e d u c a l c u l d e M a l l i a v i n

s ' e s t r é v é l é ê t r e u n d é i n t e l l e c t u e l p a r t i c u l i è r e m e n t s t i m u l a n t .

N o u s n o u s s o m m e s p r i n c i p a l e m e n t c o n c e n t r é s s u r l e s t e c h n i q u e s d e M o n t e C a r l o . C e s t e c h n i q u e s

s o n t l e n t e s m a i s o n t l ' a v a n t a g e d ' ê t r e a p p l i c a b l e s q u e l q u e s o i t l a d i m e n s i o n : l e u r s a p p l i c a t i o n s s o n t

i n t é r e s s a n t e s n u m é r i q u e m e n t q u a n d o n t r a v a i l l e s u r d e s p a n i e r s ( c o n t r a i r e m e n t a u x a u t r e s m é t h o d e s

n u m é r i q u e s : E D P , a r b r e s , e t c ) .

N o u s a v o n s c o n s a c r é l a p l u s g r a n d e p a r t i e d e n o s r e c h e r c h e s à l ' e s t i m a t i o n d e s g r e c q u e s p o u r

d i é r e n t s t y p e s d ' o p t i o n s . L e c a l c u l d e M a l l i a v i n p e r m e t e n e e t u n e n o u v e l l e f a ç o n p a r t i c u l i è r e -

m e n t é l é g a n t e d ' e s t i m e r l e s g r e c q u e s . C e t t e n o u v e l l e m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n c o n c u r r e n c e d i r e c t e m e n t

l a m é t h o d e t r a d i t i o n n e l l e d ' e s t i m a t i o n p a r D i é r e n c e s F i n i e s . N o u s c o n s t a t o n s e m p i r i q u e m e n t q u e

s i l e s e s t i m a t e u r s c a l c u l é s p a r D i é r e n c e s F i n i e s p r é s e n t e n t u n b i a i s i m p o r t a n t d è s q u e l e s p a y o

p r é s e n t e n t u n e d i s c o n t i n u i t é , l e s e s t i m a t e u r s c a l c u l é s à p a r t i r d u c a l c u l d e M a l l i a v i n s o n t i n s e n s i b l e s

a u x i r r é g u l a r i t é s d u p a y o e n t e r m e d e b i a i s m a i s p r é s e n t e n t d e s v a r i a n c e s p l u s i m p o r t a n t e s . P a r

a i l l e u r s , l a t e c h n i q u e d e M a l l i a v i n s ' a v è r e p a r t i c u l i è r e m e n t e c a c e p o u r e s t i m e r l e s g r e c q u e s d ' o p -

t i o n s s u r m u l t i s o u s - j a c e n t s , s u r t o u t q u a n d c e s d e r n i e r s s o n t f o r t e m e n t c o r r é l é s . D a n s c e d e r n i e r

c a s , l a m é t h o d e e s t d ' a u t a n t p l u s i n t é r e s s a n t e q u ' e l l e e s t b i e n p l u s r a p i d e q u e l a m é t h o d e t r a d i -

t i o n n e l l e . E l l e e s t d o n c t r è s u t i l e d a n s l a m e s u r e o ù b e a u c o u p d e f o r m u l e s f e r m é e s e x i s t e n t d é j à

p o u r t o u t u n é v e n t a i l d ' o p t i o n s s u r m o n o s o u s - j a c e n t e t q u ' e n f a i t i l s ' a g i t p l u t ô t a u j o u r d ' h u i d e

p r o p o s e r d e s m é t h o d e s d ' e s t i m a t i o n p r a t i q u e p o u r d e s o p t i o n s s u r m u l t i s o u s - j a c e n t s ( n o t a m m e n t

d e t y p e a m é r i c a i n ) . L a m é t h o d e d ' e s t i m a t i o n d e s g r e c q u e s p a r l e c a l c u l d e M a l l i a v i n p o u r r a i t ê t r e

p l u s c o n v a i n c a n t e s i e l l e s ' a c c o m p a g n a i t d e t e c h n i q u e s d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e a d a p t é e s ( l o c a l i -

s a t i o n p a r e x e m p l e ) ; c ' e s t d a n s c e t t e d i r e c t i o n q u ' i l f a u d r a i t s a n s d o u t e c h e r c h e r à a m é l i o r e r c e t t e

n o u v e l l e a p p r o c h e .

D a n s l e s o u c i d ' a m é l i o r e r l e s t e c h n i q u e s d e p r i c i n g e t d e h e d g i n g d ' o p t i o n s a m é r i c a i n e s , n o u s

e x p o s o n s à l ' a i d e d u c a l c u l d e M a l l i a v i n u n e n o u v e l l e r e p r é s e n t a t i o n d e s e s p é r a n c e s c o n d i t i o n -

n e l l e s . N o u s p r o p o s o n s u n a l g o r i t h m e p r o m e t t e u r p o u r l a v a l o r i s a t i o n d ' o p t i o n a m é r i c a i n e e t l e

c a l c u l d e s g r e c q u e s e n h a u t e d i m e n s i o n . M a l h e u r e u s e m e n t , i l n ' a p a s é t é p o s s i b l e d e l ' i m p l é m e n t e r

c o r r e c t e m e n t d a n s l e s t e m p s i m p a r t i s .

4 3






A n n e x e A

C o m p l é m e n t s s u r l e C a l c u l d e

M a l l i a v i n

D a n s c e t t e a n n e x e n o u s p r é s e n t o n s q u e l q u e s d é m o n s t r a t i o n s e t r é s u l t a t s s u p p l é m e n t a i r e s q u i

p o u r r o n t é c l a i r e r l e l e c t e u r c u r i e u x .

A . 1 L i e n e n t r e M a l l i a v i n e t c a l c u l d e s e n s i b i l i t é

A . 1 . 1 L ' o p é r a t e u r d ' O r n s t e i n - U h l e n b e c k

D é n i t i o n 1 0 ( L ' o p é r a t e u r d ' O r n s t e i n - U h l e n b e c k ) S o i t l ' o p é r a t e u r L : Dom(L) ⊆ L2(Ω) →L2(Ω)

t e l q u e L = δD

. A l o r s F

f o n c t i o n n e l l e s i m p l e :

LF = δ(D1F , . . . , DdF ) ( A . 1 )

=d

i=1

δi(DiF ) ( A . 2 )

=d

i=1

k<2n

∂f

∂xik

(∆n)∆n,ik −

k<2n

∂ 2f

∂ (xik)2

(∆n)2−n

( A . 3 )

C e t o p é r a t e u r p e r m e t d ' é c r i r e l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s :

E[F.LG] = E[F.δD(G)] = E[< DF,DG >] = E[G.LF ] ( A . 4 )

P r o p o s i t i o n 1 8 ( F o r m u l e s d e c a l c u l e n d i m e n s i o n n ) .

1 .

∀F = (F 1, . . . , F n), ∀ϕ ∈ C 1(Rn) Disϕ(F ) =

nk=1

∂ϕ

∂xk(F )Di

sF k

2 .

∀F, G ∈ Dom(L), L(F G) = F.L(G) + G.L(F ) − 2 < DF,DG >

A . 1 . 2 F o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s

G r â c e a u x o u t i l s p r é c é d e m m e n t d é n i s o n p e u t e n n é n o n c e r l e t h é o r è m e c e n t r a l , à l ' o r i g i n e d u

m é t h o d e d e s c a l c u l s d e s e n s i b i l i t é s .

T h é o r è m e 6 S o i t F = (F 1, . . . , F n) u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e e n d i m e n s i o n n t e l l e q u e

1 . ( h y p o t h è s e d e r é g u l a r i t é ) F i ∈ D1,2Dom L

2 . ( h y p o t h è s e d e n o n d é g é n é r e s c e n c e ) σF e s t i n v e r s i b l e e t o n n o t e

γ F = σ−1F

i



i i A N N E X E A . C O M P L É M E N T S S U R L E C A L C U L D E M A L L I A V I N

A l o r s ∀ϕ ∈ C1(Rn)

e t ∀G ∈ D1,2

E(∂ϕ

∂xi(F )G) = E(ϕ(F )H iF (G))

a v e c

H iF (G) =< DF,DG > γ F + < DF, Dγ F > G − 2G.γ F .LF

P r e u v e . P o u r p l u s d e c l a r t é o n s e p l a c e e n d i m e n s i o n 1 . O n e x p r i m e d ' a b o r d l a d é r i v é e u s u e l l e

d e ϕ(F ) à l ' a i d e d e d é r i v é e s a u s e n s d e M a l l i a v i n . C ' e s t l à q u ' i n t e r v i e n t p l e i n e m e n t l e l i e n e n t r e

d é r i v é e c l a s s i q u e e t d é r i v é e d e M a l l i a v i n : o n y u t i l i s e l ' h y p o t h è s e d e n o n d é g é n é r e s c e n c e . P a r l a

f o r m u l e d e d é r i v a t i o n e n c h a î n e Ds(ϕ(F )) = ϕ(F )DsF , o n a :

< Dϕ(F ),DF >= ϕ(F ) < DF,DF >= ϕ(F )σF

c ' e s t - à - d i r e e n i n v e r s a n t :

ϕ(F ) = γ F < Dϕ(F ), D F > .

D ' a u t r e p a r t

< Dϕ(F ),DF >= −1

2[L(ϕ(F )F ) − ϕ(F )LF − F Lϕ(F )] ,

d ' o ù

E[ϕ(F )G] = −1

2E [γ F G[L(ϕ(F )F ) − ϕ(F )LF − F Lϕ(F )]]

= −1

2E

ϕ(F )

F L(γ F G) − γ F GLF − L(γ F GF )

D è s l o r s , e n u t i l i s a n t l e 2 d e l a p r o p o s i t i o n 1 8 , i l n e s ' a g i t p l u s q u e d ' u n e s i m p l e g y m n a s t i q u e

m a t h é m a t i q u e .

A . 2 P a s s a g e d e s p a y o d a n s C∞

K a u x p a y o d a n s L2

: d é m o n s -

t r a t i o n

O n i m p o s e u n e c o n d i t i o n d e " n o n - e x p l o s i o n " a u p o i d s π :

E[π2] < ∞S o i t f u n e f o n c t i o n d e L2

. C∞K [0, T ] e s t d e n s e d a n s L2e t i l e x i s t e d o n c u n e s u i t e d e f o n c t i o n s

(f n)n∈N a p p a r t e n a n t à C∞K q u i c o n v e r g e v e r s f d a n s L2

. O n n o t e u(x) = Ex[F ] e t un = Ex[F n] ;

r a p p e l o n s é g a l e m e n t q u e x e s t l e p o i n t d e d é p a r t d u p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t . L a c o n v e r g e n c e d a n s

L2i m p l i q u e l a c o n v e r g e n c e d a n s L1

e t d o n c l a s u i t e d e f o n c t i o n s (un) c o n v e r g e s i m p l e m e n t v e r s l a

f o n c t i o n u :

∀x

∈R un(x)

−→u(x) q u a n d n

→ ∞. L a p r o p r i é t é q u e l ' o n c h e r c h e à é t e n d r e a u x

p a y o d e L2e s t s u p p o s é e v r a i e p o u r l e s f o n c t i o n s d e C∞K e t d o n c :

∂

∂xun(x) = Ex[F n × π]

N o t o n s m a i n t e n a n t g(x) = Ex[F × π]. D ' a p r è s l ' i n é g a l i t é d e C a u c h y - S c h w a r t z o n a : g(x) − ∂

∂xun(x)

=

Ex[(F − F n) × π]

≤ h(x)n(x)

o ù

h(x) = Ex[π2]1/2 n = Ex[(F − F n)2]1/2

L a c o n v e r g e n c e d e un e n t r a î n e l a c o n v e r g e n c e s i m p l e d e n(x) v e r s 0 q u a n d n

→ ∞. A i n s i l a s u i t e

d e f o n c t i o n s ( ∂ ∂x un(x))n∈N c o n v e r g e s i m p l e m e n t v e r s l a f o n c t i o n g . A v e c l a p r o p r i é t é d e L e b e s g u e ,

l e f a i t q u e l e s f o n c t i o n s F e t F n s o n t c o n t i n u e s e t l e f a i t q u e l a f o n c t i o n h(x) e s t b o r n é e ( d ' a p r è s

l a c o n d i t i o n d e " n o n - e x p l o s i o n " ) , l ' i n é g a l i t é p r é c é d e n t e m o n t r e q u e c e t t e c o n v e r g e n c e e s t u n i f o r m e



A . 2 . P A S S A G E D E S P A Y O F F D A N S C∞K A U X P A Y O F F D A N S L2

: D É M O N S T R A T I O N i i i

s u r t o u t c o m p a c t K d e R . F i n a l e m e n t , l a s u i t e d e f o n c t i o n s (un)n∈N c o n v e r g e s i m p l e m e n t v e r s u n e

f o n c t i o n u, l a s u i t e d e s f o n c t i o n s d é r i v é e s ( ∂ ∂x un(x))n∈N c o n v e r g e u n i f o r m é m e n t v e r s u n e f o n c t i o n

g s u r t o u t c o m p a c t d e R

. L a f o n c t i o n l i m i t e u e s t d o n c d i é r e n t i a b l e e t s a d é r i v é e e s t é g a l e à g :

∂ ∂xEx[F ] = Ex[F × π]



i v A N N E X E A . C O M P L É M E N T S S U R L E C A L C U L D E M A L L I A V I N



A n n e x e B

U n e a p p l i c a t i o n d e l a f o r m u l e d e

C l a r k - O c o n e

D a n s c e t t e p a r t i e n o u s a l l o n s i l l u s t r e r c o m m e n t l a f o r m u l e d e C l a r k - O c o n e p e u t s ' a p p l i q u e r à

l ' a n a l y s e d ' u n p o r t e f e u i l l e , c ' e s t - à - d i r e à d u p l i q u e r u n u x f u t u r V (T ) ( F T - m e s u r a b l e ) .

T h é o r è m e 7 ( T h é o r è m e d e r e p r é s e n t a t i o n d ' I t ô ) P o u r F ∈ L2(Ω, F 1,P) , o n a

∃ϕ ∈ P , F = EF +

10

ϕsdW s

P r o p o s i t i o n 1 9 ( F o r m u l e d e C l a r k - O c o n e ) P o u r F ∈ D1,2 , o n a

F = EF + 1

0

E(DsF

|F s)

O n s u p p o s e q u ' i l y a d e u x a c t i f s s u r l e m a r c h é : dA(t) = ρ(t)A(t)dt l ' a c t i f s a n s r i s q u e ,

dS (t) = µ(t)S (t)dt + σ(t)S (t)dW (t) l ' a c t i f r i s q u é .

O n s u p p o s e s i m p l e m e n t q u e l e s p r o c e s s u s ρ(t) e t σ(t) s o n t F t - a d a p t é s . O n c h e r c h e u n e s t r a t é g i e

a u t o - n a n ç a n t e (ξ(t), η(t)) a m e n a n t à u n e v a l e u r d e p o r t e f e u i l l e d o n n é e V (T ). ξ(t) e t η(t) d é s i g n e n t

r e s p e c t i v e m e n t l e s q u a n t i t é s i n v e s t i e s d a n s l ' a c t i f s a n s r i s q u e e t r i s q u é à l a d a t e t . L a v a l e u r d u

p o r t e f e u i l l e a i n s i c o n s t i t u é e s t :

V (t) = ξ(t)A(t) + η(t)S (t)

D ' a u t r e p a r t l e p o r t e f e u i l l e é t a n t a u t o - n a n ç a n t , o n a :

dV (t) = ξ(t)dA(t) + η(t)dS (t)

E n r é é c r i v a n t c e s é q u a t i o n s n o u s o b t e n o n s :

ξ(t) =V (t) − η(t)S (t)

A(t)( B . 1 )

dV (t) = ρ(t)(V (t) − η(t)S (t))dt + η(t)dS (t) ( B . 2 )

P r e n o n s p a r e x e m p l e c o m m e v a l e u r n a l e d u p o r t e f e u i l l e l e p a y - o d ' u n e o p t i o n v a n i l l e d e s t r i k e

K s u r l ' a c t i f r i s q u é : V (T ) = (S (T ) − K )+ . V (0) e s t a l o r s l e p r i x d e l ' o p t i o n à l a d a t e i n i t i a l e .

D ' a p r è s l e s é q u a t i o n s (1) e t (2) , n o u s s o m m e s r a m e n é s à c h e r c h e r V (t) e t η(t) ∀t ∈ [0, T ]. S o u s d e s

c o n d i t i o n s r a i s o n n a b l e s s u r n o s p a r a m è t r e s , l a t h é o r i e d e s é q u a t i o n s d i é r e n t i e l l e s s t o c h a s t i q u e s

n o u s p e r m e t d ' a r m e r q u ' i l e x i s t e u n e u n i q u e s o l u t i o n a u p r o b l è m e :

dV (t) = ρ(t)(V (t) − η(t)S (t))dt + η(t)dS (t), à V ( T ) x é e .

v



v i A N N E X E B . U N E A P P L I C A T I O N D E L A F O R M U L E D E C L A R K - O C O N E

P o u r m e t t r e e x p l i c i t e r c e t t e s o l u t i o n n o u s a l l o n s u t i l i s e r l e t h é o r è m e d e C l a r k - O c o n e . P o u r c e l a ,

n o u s c o m m e n ç o n s p a r f a i r e u n c h a n g e m e n t d e p r o b a b i l i t é :

θ(t) = µ(t)−ρ(t)

σ(t)

,W (t) = t0

θ(s)ds + W (t).

L e t h é o r è m e d e G i r s a n o v n o u s p e r m e t d ' a r m e r q u e

W (t) e s t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n s o u s l a

p r o b a b i l i t é Q

d é n i e p a r :

dQ

dP|F T = exp(−

t0

θ(s)dW (s) − 0.5

t0

θ(s)2ds)

S o u s l a p r o b a b i l i t é Q, l a d y n a m i q u e d u p o r t e f e u i l l e s ' é c r i t a l o r s :

dV (t) = ρ(t)V (t)dt + σ(t)η(t)S (t)d

W (t)

E n p o s a n t U (t) = V (t) exp(− t0 ρ(s)ds), c e t t e é q u a t i o n s e r é é c r i t :

dU (t) = exp(− t0

ρ(s)ds)σ(t)η(t)S (t)dW (t)

s o i t e n c o r e :

V (T )exp(− T 0

ρ(s)ds) = V (0) + T 0

exp(− t0

ρ(s)ds)σ(t)η(t)S (t)dW (t)

O n a p p l i q u e d è s l o r s l a f o r m u l e d e C l a r k - O c o n e à G(ω) = exp(− T 0

ρ(s, ω)ds)V (T, ω) :

G(ω) = EQ[G] +

T 0

EQ[(DtG − G

T 0

Dtθ(s, ω)dW (s))|F t]dW

P a r u n i c i t é , n o u s a v o n s

V (0) = EQ[G]

e t l a q u a n t i t é à i n v e s t i r d a n s l ' a c t i f r i s q u é :

η(t) =exp(

t0

ρds)EQ[(DtG − G T 0

Dtθ(s)dW (s))|F t]

σ(t)S (t)

N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t v o i r c e q u i s e p a s s e d a n s l e c a s d ' u n e d i u s i o n à l a B l a c k - S c h o l e s . O n

s u p p o s e q u e ρ(t, ω) = ρ, µ(t, ω) = µ e tσ(t, ω) = σ = 0 . A l o r s

θ =µ − ρ

σ

e s t a u s s i u n e c o n s t a n t e e t p a r c o n s é q u e n t Dtθ = 0 . A i n s i , l a q u a n t i t é à i n v e s t i r d a n s l ' a c t i f r i s q u é

e s t :

η(t) =eρ(t−T )EQ[Dt(S T − K )+|F t]

σS t

=eρ(t−T )EQ[σS T 1[K,∞](S T )|F t]

σS t

=eρ(t−T )EQ[S T 1[K,∞](S T )|F t]

S t

=eρ(t−T )E

yQ[S T −t1[K,∞](S T −t)|F t]y=St

S t

L a d e r n i è r e e x p r e s s i o n é t a n t o b t e n u e e n u t i l i s a n t l a p r o p r i é t é d e M a r k o v d u p r o c e s s u s S t . E n

p o u r s u i v a n t l e c a l c u l à l ' a i d e d e s o u t i l s h a b i t u e l s ( e s p é r a n c e d ' u n e l o i n o r m a l e . . .) , o n r e t r o u v e

l ' e x p r e s s i o n c l a s s i q u e d o n n a n t l a q u a n t i t é d ' a c t i f s r i s q u é s à d é t e n i r d a n s l e p o r t e f e u i l l e , à s a v o i r l e

d e l t a d e l ' o p t i o n . I l f a u t e n n r e m a r q u e r q u e l a f o r m u l e d e C l a r k - O c o n e a l ' i m m e n s e a v a n t a g e d e

m a r c h e r m ê m e l o r s q u e l e p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t n e p o s s è d e p a s l a p r o p r i é t é d e M a r k o v .



A n n e x e C

E x t e n s i o n à l a v o l a t i l i t é s t o c h a s t i q u e

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e l a v o l a t i l i t é d u p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t e s t s t o c h a s t i q u e . D ' u n e m a n i è r e

t r è s g é n é r a l e o n p e u t d é c r i r e l e p r o c e s s u s d e l a m a n i è r e s u i v a n t e : dX (t) = µX(t, X (t)).dt + ΣX(t, X (t), σ(t)).dW 1(t)

dσ(t) = µσ(t, σ(t)).dt + Σσ(t, X (t), σ(t)).dW 2(t)

W (t) =

W 1(t)W 2(t)

e s t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n b i d i m e n s i o n n e l v é r i a n t :

E[W 1(t).W 2(t)] = ρt

A i n s i ,

dX (t)

dσ(t) = µX(t, X (t))

µσ(t, σ(t)) ·dt + ΣX(t,X(t),σ(t)) 0

0 Σσ(t,X(t),σ(t)) · W 1(t)

W 2(t) o u e n c o r e

dX (t)dσ(t)

= µ.dt +Σ.

W 1(t)W 2(t)

I l e s t f a c i l e d ' é t e n d r e l e s r é s u l t a t s o b t e n u s à u n e d i m e n s i o n a u c a s m u l t i d i m e n s i o n n e l ( c h a p i t r e

3 ) . C e s r é s u l t a t s s o n t g é n é r a l e m e n t v a l a b l e s p o u r d e s m o d è l e s f a i s a n t i n t e r v e n i r u n v e c t e u r b r o w n i e n

c a n o n i q u e ( c o o r d o n n é e s i n d é p e n d a n t e s ) . L ' i n t r o d u c t i o n d ' u n e v o l a t i l i t é s t o c h a s t i q u e n o u s r a m è n e

à u n m o d è l e à d e u x d i m e n s i o n s d a n s l e q u e l l e s c o o r d o n n é e s d u b r o w n i e n s o n t a p r i o r i c o r r é l é e s . I l

s ' a g i t d o n c , p o u r r e t r o u v e r l e s p o i d s d e M a l l i a v i n d e l a t h é o r i e m u l t i d i m e n s i o n n e l l e , d e d é c o r r é l e r

c e s c o o r d o n n é e s . S i o n n o t e Γ l a m a t r i c e d e v a r i a n c e - c o v a r i a n c e d u v e c t e u r

1√t

(W 1(t), W 2(t)) , a l o r s ,

e n i n t r o d u i s a n t l a m a t r i c e Γ−1/2 ( q u i p e u t ê t r e d é t e r m i n é e p a r u n e d é c o m p o s i t i o n d e C h o l e s k y )

1

:

B(t) = B1(t)

B2(t)

= Γ

−1/2. W 1(t)

W 2(t)

e s t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n d o n t l e s c o o r d o n n é e s s o n t i n d é p e n d a n t e s .

D è s l o r s , l e m o d è l e d e v i e n t : dX (t)dσ(t)

= µ.dt +Σ.Γ1/2

B1(t)B2(t)

= µ.dt + Σ

B1(t)B2(t)

D a n s l e c a s d e s m o d è l e s à v o l a t i l i t é s t o c h a s t i q u e , i l s u t d o n c d e r e p r e n d r e l e s r é s u l t a t s m u l t i -

d i m e n s i o n n e l s c l a s s i q u e s e n m o d i a n t l a m a t r i c e d e v o l a t i l i t é p o u r s ' a s s u r e r q u e l e s b r o w n i e n s s o n t

b i e n i n d é p e n d a n t s .

1

Γ1/2.(Γ1/2)

= Γ

I c i , Γ−1/2 =

0

@

1 0

−ρ√1−ρ2

1√1−ρ2

1

A

v i i



v i i i A N N E X E C . E X T E N S I O N À L A V O L A T I L I T É S T O C H A S T I Q U E

P o u r l e c a l c u l d u d e l t a p a r e x e m p l e , o n p e u t a p p l i q u e r c e t t e m é t h o d e à l ' a i d e d e l a f o r m u l e

c l a s s i q u e : poidsdelta = δ(Y (t)Σ−1(t)a(t)) . C e t t e d e r n i è r e f o r m u l e e s t v a l a b l e d a n s l e c a s m u l t i d i -

m e n s i o n n e l ( Y (t) e s t a l o r s u n e m a t r i c e e t l e p o i d s o b t e n u e s t u n v e c t e u r ) e t p o u r ρ = 0 . C ' e s t l a

r a i s o n p o u r l a q u e l l e o n c h a n g e d e b r o w n i e n p o u r t r a v a i l l e r s u r u n m o d è l e à b r o w n i e n c a n o n i q u e

( ρ = 0 ) , c e q u i i m p l i q u e d e m o d i e r l a m a t r i c e d e v o l a t i l i t é ( Σ d e v i e n t

Σ) . L a p r i n c i p a l e d i c u l t é ,

d a n s u n c a d r e a u s s i g é n é r a l , r é s i d e d a n s l e c a l c u l d e l a m a t r i c e d e s v a r i a t i o n s p r e m i è r e s Y t , p u i s

d a n s l e c a l c u l d e l ' i n t é g r a l e d e S k o r o k h o d .

N o u s d é v e l o p p o n s i c i l e c a s d ' u n m o d è l e à v o l a t i l i t é s t o c h a s t i q u e p a r t i c u l i e r , c e l u i d ' H e s t o n .

D a n s c e m o d è l e :

µ =

µX (t)

κ(θ − σ(t))

e t

Σ =

√σ(t)X(t) 0

0 σvol√

σ(t)

P a r m u l t i p l i c a t i o n m a t r i c i e l l e , o n a :

Σ−1 = X (t)σvolσ(t)

1 − ρ2

√σ(t)X(t)

√1−ρ2 0

−√

σ(t)X(t)√1−ρ2ρ σvol

√σ(t)

D ' a u t r e p a r t

Y t =

∂Xt∂x

∂Xt∂σ0

∂σ(t)∂x

∂σ(t)∂σ0

P o u r o b t e n i r l e d e l t a d e l ' o p t i o n o n s ' i n t é r e s s e d o n c à l a q u a n t i t é :

δ

σvolσ(t)3/2(X (t)

1 − ρ2)2

∂X t∂x

− ρ∂X t∂σ0

.

O n c o m p r e n d a l o r s c o m b i e n i l p e u t ê t r e d i c i l e d ' é v a l u e r u n e t e l l e f o r m u l e p a r s i m u l a t i o n s .



A n n e x e D

L e s t e c h n i q u e s d e M o n t e - C a r l o

D a n s c e t t e a n n e x e n o u s p r é s e n t o n s l e s r é s u l t a t s g é n é r a u x s u r l e s m é t h o d e s d e M o n t e - C a r l o .

A p r è s u n d e s c r i p t i f d e s t e c h n i q u e s d e b a s e , n o u s i n t r o d u i s o n s l e s d i é r e n t e s r é d u c t i o n d e v a r i a n c e

u s u e l l e s a i n s i q u e l e s a m é l i o r a t i o n s c l a s s i q u e s d a n s l e c a d r e d e s o p t i o n s e x o t i q u e s t r a i t é e s d a n s l e

c o r p s d u r a p p o r t .

D . 1 R a p p e l M o n t e - C a r l o

D a n s c e t t e p a r t i e n o u s r é c a p i t u l o n s b r i è v e m e n t l e s r é s u l t a t s f o n d a m e n t a u x r e l a t i f s a u x m é t h o d e s

d e M o n t e - C a r l o . C e s t e c h n i q u e s d e s i m u l a t i o n s e b a s e n t p r i n c i p a l e m e n t s u r d e u x g r a n d s r é s u l t a t s

d e p r o b a b i l i t é : l a l o i f o r t e d e s g r a n d s n o m b r e s f o u r n i t l e r é s u l t a t d e c o n v e r g e n c e ; l e t h é o r è m e

c e n t r a l e l i m i t e , p l u s p r é c i s , p e r m e t d ' é v a l u e r l a v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e .

T h é o r è m e 8 ( L o i f o r t e d e s g r a n d s n o m b r e s ) S o i t u n e s u i t e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s i n d é p e n -

d a n t e s Z i ; i ≥ 1 s u i v a n t t o u t e l a m ê m e l o i q u e Z . A l o r s s i E(|Z |) < ∞

o n a p o u r p r e s q u e t o u t

ω:

limn→∞

1

n(Z 1(ω) + Z 2(ω) + · · · + Z n(ω))E(Z )

I l s u t a l o r s d e c o n s i d é r e r d e s t r a j e c t o i r e s i n d é p e n d a n t e s d i s t r i b u é e s s u i v a n t l a m ê m e l o i q u e n o t r e

p r o c e s s u s d ' I t ô X : (X i)1≥i≥n p a r t a n t d o n c d e x. L e p r i n c i p e d e b a s e d e s m é t h o d e s d e M o n t e - C a r l o

c o n s i s t e a l o r s à c o n s i d é r e r l ' e s t i m a t e u r c o n v e r g e a n t J n,f d e l ' e s p é r a n c e d u p r i x s o u s l a p r o b a b i l i t é

r i s q u e n e u t r e :

J n,f =1

n

n

i=1(e−R

T 0 r(s,Xi)dsf (X i,t1 , X i,t2 , . . . , X i,tm))

−−→ p.sP (x)

d é s o r m a i s o n n o t e r a d a n s c e p a r a g r a p h e , h(X ) = e−R

T 0 r(s,Xs)dsf (X t1 , X t2 , . . . , X tm) p o u r a l l é g e r

l e s n o t a t i o n s

T h é o r è m e 9 ( T h é o r è m e c e n t r a l e l i m i t e ) S o i t u n e s u i t e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s i n d é p e n d a n t e s

Z i ; i ≥ 1 s u i v a n t t o u t e l a m ê m e l o i q u e Z . A l o r s s i E(Z 2) < ∞, e t e n n o t a n t var s a v a r i a n c e o n

a :

Erreur = n =1

n(Z 1 + Z 2 + · · · + Z n) − E(Z )

n

var n −−→loi G

o ù G e s t u n e v a r i a b l e a l é a t o i r e s u i v a n t u n e l o i g a u s s i e n n e c e n t r é e r é d u i t e .

i x



x A N N E X E D . L E S T E C H N I Q U E S D E M O N T E - C A R L O

I n t e r v a l l e d e c o n a n c e A p a r t i r d e c e r é s u l t a t , o n i n t r o d u i t l a m é t h o d e c l a s s i q u e d ' é v a l u a t i o n

d e s e r r e u r s b a s é e s s u r d e s i n t e r v a l l e s d e c o n a n c e . L ' i n t e r v a l l e IC (λ) q u e l ' o n s o u h a i t e e x p l i c i t e r

e s t c e n t r é a u t o u r d e n o t r e e s t i m a t e u r J n,f e t t e l q u e l e p r i x P (x) a p p a r t i e n n e à IC (λ) a v e c l a

p r o b a b i l i t é

1 − λ:

Q(P (x) ∈ IC (λ)) = 1 − λ

D ' a p r è s l e t h é o r è m e c e n t r a l e l i m i t e , o n a , l o r s q u e l e m o m e n t d ' o r d r e 2 d e h(X ) e s t n i : (n)(J n,f − P (x)) −−→

loi N (0,var(h(X )))

P o u r n s u s a m m e n t g r a n d , o n a s s i m i l e l a d i s t r i b u t i o n d e l ' e s t i m a t e u r J n,f à c e l l e d ' u n e l o i

N (P (x),var(h(X )/n)) . C e t t e a p p r o x i m a t i o n p e r m e t d ' é c r i r e IC (λ) s o u s l a f o r m e :

IC (λ) =

J n,f −

var(h(X ))

nΦ−1(1 − λ

2) , J n,f +

var(h(X ))

nΦ−1(1 − λ

2)

o ù Φ d é s i g n e l a f o n c t i o n d e r é p a r t i t i o n d e l a l o i n o r m a l e s t a n d a r d . L ' a p p r o x i m a t i o n r é a l i s é e i c i

i n d u i t u n e p r e m i è r e e r r e u r : s i l e s q u e u e s d e l a v é r i t a b l e d i s t r i b u t i o n d e n o t r e e s t i m a t e u r s o n t p l u s

é p a i s s e s q u e c e l l e s d ' u n e l o i n o r m a l e , o n s u r e s t i m e l ' e c a c i t é d e n o t r e m é t h o d e e t v i c e e t v e r s a

d a n s l e c a s d e q u e u e s d e d i s t r i b u t i o n p l u s n e s . D e p l u s , à c e s t a d e , l a v a r i a n c e h(x) e s t à p r i o r i

i n c o n n u e , m a i s o n p e u t l ' e s t i m e r a p a r t i r d e l ' é c h a n t i l l o n d é j à s i m u l é à l ' a i d e d e l ' e s t i m a t e u r s u i v a n t

V n,f d e l a v a r i a n c e :

V n,f =1

n

i=1

nh(xi)2 − (

1

n

i=1

nh(xi))2

O n o b t i e n t n a l e m e n t l ' e x p r e s s i o n s u i v a n t e d e l ' i n t e r v a l l e d e c o n a n c e :

IC (λ) = J n,f − V n,f n

Φ−1(1 − λ2

) , J n,f + V n,f

nΦ−1(1 − λ

2)

E n p l u s d e l ' a p p r o x i m a t i o n f a i t e d e l a v a r i a n c e , i l f a u t n o t e r q u e g é n é r a l e m e n t l e s e s t i m a t e u r s

J n,f e t V n,f s o n t g é n é r a l e m e n t c o r r é l é s c e q u i p e u t e n c o r e e n t r a î n e r d e s e r r e u r s d ' e s t i m a t i o n s d e

l ' i n t e r v a l l e d e c o n a n c e .

S i l e s i n t e r v a l l e s d e c o n a n c e r e s t e n t d e s o u t i l s d e c o n t r ô l e i m p a r f a i t s , i l s o n t l e m é r i t e d e

d o n n e r u n e i d é e d e l a p r é c i s i o n d e l a m é t h o d e , c e q u i n ' e s t p a s l e c a s a v e c d e s m é t h o d e s d ' a r b r e s

o u l a r é s o l u t i o n d ' E D P . N o t o n s é g a l e m e n t q u e l a v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e d e l a m é t h o d e d é p e n d

à l a f o i s d u n o m b r e d e s i m u l a t i o n m a i s é g a l e m e n t d e l a v a r i a n c e d e l ' e s t i m a t e u r . E n d i m i n u a n t

l a v a r i a n c e d e l ' e s t i m a t e u r , o n a c c é l è r e l a c o n v e r g e n c e . C e t t e i d é e e s t à l ' o r i g i n e d e m é t h o d e s d e

r é d u c t i o n d e v a r i a n c e u t i l i s é e s d a n s l e c a d r e d e s i m u l a t i o n s d e M o n t e - C a r l o . L e s q u a t r e p r i n c i p a l e s

m é t h o d e s s o n t c e l l e s d e s v a r i a b l e s d e c o n t r ô l e , d e s v a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s , d e l a s t r a t i c a t i o n e t d e

l ' é c h a n t i l l o n n a g e p o n d é r é .

D . 2 M é t h o d e s c l a s s i q u e s d e r é d u c t i o n d e v a r i a n c e .

N o u s v e n o n s d e v o i r q u e l a v i t e s s e d e c o n v e r g e n c e d e l a m é t h o d e M o n t e - C a r l o e s t d e l ' o r d r e

d e σ/√

n . P o u r a m é l i o r e r c e t t e m é t h o d e i l e x i s t e d e n o m b r e u s e s t e c h n i q u e s , d i t e s d e r é d u c t i o n

d e v a r i a n c e , q u i c h e r c h e n t à d i m i n u e r l a v a l e u r d e σ2. L ' i d é e g é n é r a l e e s t d e d o n n é e u n e a u t r e

r e p r é s e n t a t i o n s o u s f o r m e d ' e s p é r a n c e d e l a q u a n t i t é à c a l c u l e r :

E[X ] = E[Y ] ,

e n c h e r c h a n t à d i m i n u e r l a v a r i a n c e . N o u s a l l o n s p a s s e r e n r e v u e q u e l q u e s u n e s d e c e s m é t h o d e s

q u i s o n t a p p l i c a b l e s d a n s p r a t i q u e m e n t t o u s l e s c a s d e s i m u l a t i o n s .



D . 2 . M É T H O D E S C L A S S I Q U E S D E R É D U C T I O N D E V A R I A N C E . x i

É c h a n t i l l o n n a g e p r é f é r e n t i e l o u f o n c t i o n d ' i m p o r t a n c e S u p p o s o n s q u e l ' o n c h e r c h e à c a l -

c u l e r :

E[g(X )]

e t q u e l a l o i d e X s o i t f (x)dx. L a q u a n t i t é q u e l ' o n c h e r c h e à é v a l u e r v a u t d o n c :

E[g(X )] =

R

g(x)f (x)dx .

S o i t m a i n t e n a n t ,

f l a d e n s i t é d ' u n e a u t r e l o i t e l l e q u e

f > 0 e t

Rf (x)dx = 1 , i l e s t c l a i r q u e

E[g(X )] p e u t a u s s i s ' é c r i r e :

E[g(X )] =

R

g(x)f (x)f (x)f (x)dx .

C e l a s i g n i e q u e E[g(X )] = E[ g(Y )f (Y )e f (Y )

], s i Y s u i t l a l o i

f (x)dx s o u s P. O n a d o n c u n e a u t r e m é t h o d e

d e c a l c u l d e E[g(X )] e n u t i l i s a n t n t i r a g e s d e Y , Y 1, . . . , Y n e t e n a p p r o x i m a n t E[g(X )] p a r :

1n

( g(Y 1)f (Y 1)f (Y 1)+ . . . + g(Y n)f (Y n)f (Y n)

).

S i l ' o n p o s e Z = g(Y )f (Y )/ f (Y ) , o n a u r a a m é l i o r é l ' a l g o r i t h m e s i Var(Z ) < Var(g(X )) . O r i l e s t

f a c i l e d e c a l c u l e r l a v a r i a n c e d e Z :

Var(Z ) = E[Z 2] − E[Z ]2 =

R

g2(x)f 2(x)f (x)dx − E[g(X )]2 .

S i g(x) > 0 , o n p e u t v é r i e r q u e , e n p r e n a n t

f (x) = (g(x)f (x))/(E[g(X )]) o n a n n u l e Var(Z ) ! I l n e

f a u t p a s t r o p d o n n é d ' i m p o r t a n c e à c e r é s u l t a t c a r i l r e p o s e s u r l e f a i t q u e l ' o n c o n n a î t E[g(X )], e t

c ' e s t j u s t e m e n t c e q u e l ' o n c h e r c h e à c a l c u l e r .

C e l a p e r m e t c e p e n d a n t d e j u s t i e r l ' h e u r i s t i q u e s u i v a n t e : p r e n d r e f (x) a u s s i p r o c h e q u e p o s s i b l e

d e |g(x)f (x)| p u i s l a n o r m a l i s e r d e f a ç o n à o b t e n i r u n e d e n s i t é d o n t l a l o i e s t f a c i l e m e n t s i m u l a b l e .

É v i d e m m e n t l e s c o n t r a i n t e s q u e l ' o n s ' i m p o s e s o n t l a r g e m e n t c o n t r a d i c t o i r e s e t r e n d e n t c e t e x e r c i c e

s o u v e n t d é l i c a t .

V a r i a b l e s d e c o n t r ô l e D a n s s a v e r s i o n l a p l u s s i m p l e , i l s ' a g i t d ' é c r i r e E[f (X )] s o u s l a f o r m e :

E[f (X )] = E[f (X ) − h(X )] + E[h(X )] ,

a v e c E[h(X )] q u i p e u t s e c a l c u l e r f a c i l e m e n t e t

Var(f (X ) − h(X )) s e n s i b l e m e n t p l u s p e t i t q u e

Var(f (X )) . O n u t i l i s e a l o r s u n e m é t h o d e d e M o n t e - C a r l o p o u r é v a l u e r E[f (X ) − h(X )] e t l a c a l c u l

d i r e c t p o u r E[h(X )].

V a r i a b l e s a n t i t h é t i q u e s S u p p o s o n s q u e l ' o n c h e r c h e à c a l c u l e r l e p r i x d ' u n e o p t i o n s u r u n

s o u s - j a c e n t v é r i a n t u n e d i u s i o n à l a B l a c k - S c h o l e s :

dS tS t

= rdt + σdW t

O n d é n i t a l o r s u n e v a r i a b l e a n t i c o r r é l é e S t :

dS tS t

= rdt − σdW t

W t é t a n t u n m o u v e m e n t b r o w n i e n s o u s P, −W t e n e s t a u s s i u n e t d o n c S t e t S t s o n t d e u x e s t i m a t e u r s

d u c o u r s d e n o t r e s o u s - j a c e n t , t o u t c o m m e

12

(S t + S t . S i o n n o t e P e t P l e s p r i x d e l ' o p t i o n

c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i v e m e n t à S t e t

S t , a l o r s c o m m e P

e t P

o n t m ê m e v a r i a n c e , l a v a r i a n c e d e

n o t r e e s t i m a t e u r d u p r i x d e l ' o p t i o n e s t :

Var(1

2(P t + P t) = Var(

1

2(P t)) + Cov(P, P )



x i i A N N E X E D . L E S T E C H N I Q U E S D E M O N T E - C A R L O

O r p a r c o n s t r u c t i o n , P e t P s o n t a n t i c o r r é l é s , d o n c Cov(P, P ) ≤ 0 e t n o u s a v o n s d i v i s é p a r p l u s

d e d e u x l a v a r i a n c e . C e n o u v e l e s t i m a t e u r e s t d o n c p l u s p r é c i s m a i s i l n é c e s s i t e p l u s d e t e m p s

d e s i m u l a t i o n s e t a u g m e n t e d o n c s o n c o û t e n c a l c u l s . I l s ' a g i t i c i d e r é a l i s e r u n a r b i t r a g e e n t r e

p r é c i s i o n e t t e m p s d e c a l c u l .



A n n e x e E

Q u e l q u e s o p t i o n s e x o t i q u e s

D a n s c e t t e p a r t i e , n o u s r e p r e n o n s l a m é t h o d o l o g i e d é t a i l l é e d a n s l a p a r t i e p r é c é d e n t e p o u r

l ' a d a p t e r a u x c a s d ' o p t i o n s d o n t l e p a y o n e s ' e x p r i m e p a s c o m m e u n e f o n c t i o n d u s o u s - j a c e n t à

d e s d a t e s d i s c r è t e s . D a n s c e c a d r e d e s m o d i c a t i o n s s o n t n é c e s s a i r e s p o u r a m é n a g e r c e t t e m é t h o d e

d e s c a l c u l s d e s e n s i b i l i t é s . N o u s a v o n s c h o i s i d e s o p t i o n s t r è s r é p a n d u e s : l e s o p t i o n s a s i a t i q u e s e t

l e s o p t i o n s b a r r i è r e s .

L e s p r e m i è r e s p r é s e n t e n t u n i n t é r ê t p a r t i c u l i e r c a r i l n ' e x i s t e p a s d e f o r m u l e s f e r m é e s p o u r l e s

é v a l u e r . N o u s p r o p o s o n s u n e é t u d e c o m p a r a t i v e d e s m é t h o d e s n u m é r i q u e s l e s p l u s c o u r a m m e n t

u t i l i s é e s p o u r v a l o r i s e r l e s o p t i o n s : é q u a t i o n s a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s , m é t h o d e s d ' a r b r e s e t e n n

M o n t e - C a r l o . L e b u t e s t d e v o i r à q u e l p o i n t l a m é t h o d e p r o p o s é e p e r m e t d e s a p p l i c a t i o n s n u -

m é r i q u e s u t i l i s a b l e s e n s a l l e d e m a r c h é . D a n s u n s e c o n d t e m p s , o n s ' i n t é r e s s e a u x c a s d e s o p t i o n s

b a r r i è r e s t r è s c o u r a m m e n t u t i l i s é e s . L e s p r e m i e r s a r g u m e n t s d e c o m p a r a i s o n d o n n é s d a n s l a s e c -

t i o n p r é c é d e n t e p e r m e t t e n t d ' e s p é r e r d e s r é s u l t a t s i n t é r e s s a n t s : d a n s l e c a d r e d e p a y o d i s c o n t i n u ,

M a l l i a v i n o b t i e n t d e s r é s u l t a t s p l u s p r o b a n t s . L e s b a r r i è r e s r e n t r e n t p l e i n e m e n t d a n s c e c a d r e .

E . 1 L e s o p t i o n s a s i a t i q u e s

N o u s a l l o n s d ' a b o r d p r é s e n t e r l e s a m é n a g e m e n t s n é c e s s a i r e s p o u r p r o l o n g e r n o t r e m é t h o d e

a u x c a s d e s a s i a t i q u e s . E n s u i t e , o n e x p o s e l e s d i é r e n t e s m é t h o d e s d ' é v a l u a t i o n d e c e s o p t i o n s ( o n

p o u r r a c o n s u l t e r ) e t f o u r n i s s o n s u n e é t u d e c o m p a r a t i v e d e l e u r p e r f o r m a n c e a v e c d ' a u t r e s m é t h o d e s

n u m é r i q u e s c l a s s i q u e s .

U n e o p t i o n a s i a t i q u e e s t l e n o m g é n é r i q u e d ' u n e c l a s s e d ' o p t i o n s d o n t l e p a y - o d é p e n d d e

l a m o y e n n e s u r u n e p é r i o d e d o n n é e d e l ' a c t i f r i s q u é . L e s o u s - j a c e n t p e u t - ê t r e d e n o u v e a u m u l t i

d i m e n s i o n n e l e t v é r i e e n c o r e s o u s l a p r o b a b i l i t é r i s q u e - n e u t r e :

dX t = σ(t, X s)dW s + b(t, X s)dt et X 0 = x

L e p r i x a u j o u r d ' h u i d ' u n e o p t i o n a s i a t i q u e d e m a t u r i t é T ( o n n e c o n s i d è r e q u e l e c a s e u r o p é e n

c ' e s t à d i r e l o r s q u e l ' e x e r c i c e n e p e u t s e f a i r e q u ' à l a m a t u r i t é d e l ' o p t i o n ) e s t d o n n é s o u s l a

p r o b a b i l i t é r i s q u e - n e u t r e p a r :

P (x) = e−rT E Qx [f (X T , AT )]

o ù

AT =1

T

T 0

X u du.

L a f o n c t i o n p a y o p e u t v a l o i r p a r e x e m p l e :

p o u r u n c a l l à s t r i k e x e : f (s, a) = g(a) = (a

−K )+

p o u r u n p u t à s t r i k e x e : f (s, a) = g(a) = (K − a)+ p o u r u n c a l l à s t r i k e o t t a n t :

f (s, a) = (a − s)+ p o u r u n p u t à s t r i k e o t t a n t : f (s, a) = (s − a)+

x i i i



x i v A N N E X E E . Q U E L Q U E S O P T I O N S E X O T I Q U E S

E . 1 . 1 C a r a c t é r i s a t i o n d e s p o i d s

D a n s u n p r e m i e r t e m p s , n o u s a l l o n s n o u s l i m i t e r a u c a s d e s p a y o n e d é p e n d a n t q u e d e l a

m o y e n n e f (s, a) = g(a) . E n e e t c o m m e d a n s l e c a s d ' u n t a u x d ' i n t é r ê t s t o c h a s t i q u e d e l a s e c t i o n

2, l e f a i t d ' i n c l u r e u n p a y o d é p e n d a n t e x p l i c i t e m e n t d e X r a j o u t e u n e c o n d i t i o n s u p p l é m e n t a i r e

d o n t l a d i c u l t é e s t p u r e m e n t c a l c u l a t o i r e . É n o n ç o n s , l e t h é o r è m e c a r a c t é r i s a n t l e p o i d s p o u r d e s

o p t i o n s a s i a t i q u e s .

T h é o r è m e 1 0 ( F o r m u l e d e M a l l i a v i n p o u r l e d e l t a d ' o p t i o n s a s i a t i q u e s ) D a n s l e c a s d e s

o p t i o n s a s i a t i q u e s , e n p l u s d e l a c o n d i t i o n d e n o n e x p l o s i o n , l a f o n c t i o n e n g e n d r a n t l e p o i d s p o u r

l e d e l t a d o i t é g a l e m e n t v é r i e r :

p o u r u n p a y o d e l a f o r m e n e f a i s a n t q u ' i n t e r v e n i r l a m o y e n n e

1 A(T ) :

E Qx

T 0

Y t(

t0

σ(s, X s)

Y swsds)dt|AT , X t

= E Qx

T 0

Y tdt|AT , X t

p o u r u n p a y o d é p e n d a n t e t d e

A(T )e t d e

X (T ), l a c o n d i t i o n s u p p l é m e n t a i r e s u i v a n t e e s t n é c e s -

s a i r e :

E Qx

T 0

Y t

T 0

σ(s, X s)

Y swsds|AT , X t

= E Qx

Y T |AT , X t

P r e u v e . L a p r e u v e e s t c o m p l è t e m e n t a n a l o g u e à c e l l e e x p o s é e d a n s l e c a d r e d e s o p t i o n s d o n t l e

p a y o d é p e n d d e l a v a l e u r d u s o u s - j a c e n t à d e s d a t e s x é e s . A i n s i , o n p e u t s e l i m i t e r à u n e p r e u v e

p o u r d e s p a y o s C∞

e t à s u p p o r t c o m p a c t . C e t t e r e s t r i c t i o n d o n n e u n s e n s à l a p e r m u t a t i o n d e s

o p é r a t e u r s e s p é r a n c e s e t d é r i v a t i o n . A c e s t a d e , l a f o n c t i o n g é n é r a n t l e p o i d s w d o i t s a t i s f a i r e p o u r

l e s f o n c t i o n f C∞ à s u p p o r t c o m p a c t

∆ = E

∂f (AT )

∂x

= E

f (AT )δ(w)

D e n o u v e a u n o u s a l l o n s i d e n t i e r a p r è s d é v e l o p p e m e n t l e s d e u x m e m b r e s d e c e t t e é g a l i t é N o t o n s

q u e l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d e l a v a r i a b l e a l é a t o i r e A(t) s ' e x p r i m e a i s é m e n t e n f o n c t i o n d e

c e l l e d e X (t) c a r o n p e u t p e r m u t e r l ' o p é r a t e u r d é r i v a t i o n e t i n t é g r a t i o n :

DsA(t) =

T 0

DsX tdt =

T 0

Y tY −1s σ(s, X s)1s≤tdt

E n a p p l i q u a n t a u t e r m e d e d r o i t e l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s :

E

f (AT )δ(w)

= E

T 0

DsAtwsds × f

(AT )δ(w)

A l o r s q u e p o u r l e t e r m e d e d r o i t e o n o b t i e n t s i m p l e m e n t :

E ∂f (AT )

∂x = E f

(AT ) T 0

Y tdtA l o r s e n i d e n t i a n t c e s d e u x e x p r e s s i o n s , o n e n d é d u i t l a c o n d i t i o n n é c e s s a i r e s u r l e s e s p é r a n c e s

c o n d i t i o n n e l l e s d u t h é o r è m e .

E . 1 . 2 V a l o r i s a t i o n d ' o p t i o n s a s i a t i q u e s p a r l e s t e c h n i q u e s d e M o n t e -

C a r l o

O n s e p l a c e d a n s l e c a d r e d u m o d è l e d e B l a c k e t S c h o l e s u s u e l . P o u r u n e s y n t h è s e q u a s i e x h a u s -

t i v e d e s m é t h o d e s d e v a l o r i s a t i o n p a r d e s t e c h n i q u e s d e M o n t e - C a r l o d ' o p t i o n s a s i a t i q u e s , n o u s

s u g g é r o n s l a l e c t u r e d e l ' a r t i c l e [ ? ] .

O n d é c o u p e l ' i n t e r v a l l e [0, T ]

e n N

m o r c e a u x e t o n d é n i t l e s i n s t a n t s tk = kh

a v e c h = T

N .

O n d o i t s i m u l e r l e t e r m e

AT = T 0 X u, dua p p r o x i m a n t l ' i n t é g r a l e . P o u r c e l a , t r o i s s c h é m a s s o n t

p r o p o s é s p a r l e s a u t e u r s .

1

d e t y p e s t r i k e x e



E . 1 . L E S O P T I O N S A S I A T I Q U E S x v

L e s c h é m a s t a n d a r d A l ' a i d e d e s o m m e s d e R i e m a n n o n a p p r o c h e AT p a r

Ar,N T = h

N −1

k=0 X tk .

D e u x s c h é m a s p l u s c o m p l e x e s L e d e u x i è m e s c h é m a r é s u l t e d ' u n d é v e l o p p e m e n t l i m i t é à

l ' o r d r e 1 e n h à p a r t i r d ' u n e s o r t e d e m é t h o d e d e s t r a p è z e s . I l d o n n e :

Ae,N T = h

N −1k=0

X tk

1 +

rh

2+ σ

W tk+1 − W tk2

.

L e d e r n i e r s c h é m a e s t s i m i l a i r e m a i s f a i t i n t e r v e n i r u n e i n t é g r a l e s t o c h a s t i q u e :

A p,N T = h

N −1

k=0X tk

1 +

rh

2+

σ

h tk+1

tk

(W u − W tk) du

.

P o u r l ' a p p r o x i m a t i o n d e l ' i n t é g r a l e s t o c h a s t i q u e , n o u s a v o n s d é c o u p é l ' i n t e r v a l l e [tk, tk+1] e n m

m o r c e a u x d e m ê m e l o n g u e u r s u i v a n t tk+1tk

W u du =

m−1g=0

tk+

g+1m

tk+

gm

W u du.

P u i s n o u s a v o n s u t i l i s e r l a l o i c o n d i t i o n n e l l e d e W u p o u r s i m u l e r l e s t r a j e c t o i r e s .

P o u r c h a c u n d e s 3 s c h é m a s , o n a p p r o x i m e r a l e p r i x d ' u n e o p t i o n ( p a r e x e m p l e u n p u t à s t r i k e

x e ) p a r

e−rT

M

M

j=1K

−

AN T

T +

o ù M e s t l e n o m b r e d e t r a j e c t o i r e s s i m u l é e s .

R e m a r q u o n s q u ' i l e s t p o s s i b l e d e c a l c u l e r u n p r i x d e p u t a s i a t i q u e p u i s d e r é c u p é r e r l e p r i x d u

c a l l c o r r e s p o n d a n t à l ' a i d e d e l a f o r m u l e d e p a r i t é

2

:

Call(K , T , r) − P ut(K , T , r) =1 − erT

rT − KerT .

R é d u c t i o n d e v a r i a n c e

O n a p p r o c h e

1T

T 0

S u du p a r exp( 1T

T 0

logS u du). O n d é n i t a l o r s l a v a r i a b l e d e c o n t r ô l e s u i -

v a n t e :

Z = e−rT x exp(r −σ2

2 )T

2 +σ

T T 0W u du− K

+

.

E n a d a p t a n t c h a q u e v a r i a b l e d e c o n t r ô l e a u x s c h é m a s p r é c é d e n t s , o n o b t i e n t :

Z r,N T = e−rT

x exp

(r − σ2

2)

T

2+

σ

T

N −1k=0

hW tk

− K

+

Z r,N T = e−rT

x exp

(r − σ2

2)

T

2+

σ

T

N −1k=0

h

2(W tk + W tk+1)

− K

+

Z

r,N

T = e−rT x exp(r −

σ2

2 )

T

2 +

σ

T

N −1

k=0

tk+1

tk W u du − K +

2

e x e m p l e p o u r u n s t r i k e x e



x v i A N N E X E E . Q U E L Q U E S O P T I O N S E X O T I Q U E S

E . 2 E D P e t a r b r e s a p p l i q u é s a u x o p t i o n s a s i a t i q u e s

E . 2 . 1 U n e m é t h o d e a u x d i é r e n c e s n i e s

O n u t i l i s e l a m é t h o d e p r o p o s é e p a r R o g e r s e t S h i . I l s ' a g i t d e r é s o u d r e n u m é r i q u e m e n t l ' é q u a t i o n

a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s :

f 1 + Lf = 0

a v e c Lf (t, x) = 12

σ2x2f 22(t, x) − ( 1T + rx)f 2(t, x) p o u r t ∈ [0, T ].

D a n s l e c a s d ' u n s t r i k e x e , l a v a r i a b l e x , q u i r é s u l t e d ' u n a s t u c i e u x c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e s ,

s ' e x p r i m e p a r :

xt =K − 1

T

t0

S u du

S t,

l a c o n d i t i o n l i m i t e s ' é c r i t f (T, x) = x− e t l e p r i x v a u t S 0f (0, KS −10 ).

P o u r u n s t r i k e o t t a n t , l a v a r i a b l e x s ' e x p r i m e p a r :

xt = S T − 1T t0 S u duS t

l a c o n d i t i o n l i m i t e s ' é c r i t f (T, x) = (1 + x)− e t l e p r i x v a u t S 0f (0, 0).

P a r a i l l e u r s , n o u s a v o n s c h o i s i d e t r a v a i l l e r a v e c d e s c o n d i t i o n s d u t y p e D i r i c h l e t . C e q u i f a i t

q u e f (t, −l) = f (t, l) = 0 l o r s q u e q u e x ∈ [−l, l]. E n n , n o u s a v o n s c h o i s i d e t r a v a i l l e r a v e c u n

s c h é m a d e C r a n k e t N i c h o l s o n .

P o u r r é s o u d r e n u m é r i q u e m e n t c e t t e é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s , n o u s a v o n s u t i l i s é l a m é -

t h o d e d e s d i é r e n c e s n i e s a v e c d e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s d u t y p e D i r i c h l e t . U n e f o i s l e θ - s c h é m a

o b t e n u , n o u s n o u s s o m m e s r e n d u c o m p t e q u e s e u l u n s c h é m a t o t a l e m e n t i m p l i c i t e a p p o r t a i t u n e

r é e l l e s t a b i l i t é d a n s l a c o n v e r g e n c e . P a r a i l l e u r s , i l f u t a i s é d e p a s s e r d u c a s x e a u c a s o t t a n t c a r

l ' E D P à r é s o u d r e e s t l a m ê m e ; s e u l e s l e s c o n d i t i o n s à l a m a t u r i t é e t l ' e x p r e s s i o n d u p r i x c h a n g e n t .

E n c e q u i c o n c e r n e l e s p a s , n o u s s o m m e s " m o n t é s " j u s q u ' à 1 0 0 0 0 p a s t e m p o r e l s e t s p a t i a u x , a u

p r i x d ' u n t e m p s d e c a l c u l a s s e z é l e v é s u r d e s m a c h i n e s p a s t r è s p u i s s a n t e s .

E . 2 . 2 L a m é t h o d e d ' i n t e r p o l a t i o n d e H u l l e t W h i t e

D a n s l ' a r t i c l e E c i e n t p r o c e d u r e s f o r v a l u i n g e u r o p e a n a n d a m e r i c a n p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s ,

J o h n H u l l e t A l a n W h i t e g é n é r a l i s e n t l a m é t h o d e p a r a r b r e d e C o x - R o s s - R u b i n s t e i n p o u r l e c a l c u l

d ' o p t i o n s d o n t l e u x t e r m i n a l e d é p e n d d e t o u t e l a t r a j e c t o i r e d u s o u s - j a c e n t c o m m e c ' e s t l a c a s

p o u r l e s o p t i o n s a s i a t i q u e s ( i . e o p t i o n s s u r m o y e n n e ) . L a p r i n c i p a l e d i c u l t é d e l ' u t i l i s a t i o n d ' u n e

m é t h o d e p a r a r b r e e s t , q u ' à u n n ÷ u d d o n n é , l e n o m b r e d e v a l e u r s r é a l i s a b l e s p a r l a v a r i a b l e a l é a -

t o i r e , m o y e n n e d u s o u s - j a c e n t d e p u i s l ' i n s t a n t i n i t i a l , e s t e x p o n e n t i e l . P o u r r é s o u d r e c e p r o b l è m e ,

H u l l e t W h i t e p r o p o s e n t d e n e c a l c u l e r l a v a l e u r d e l ' o p t i o n à u n n ÷ u d d o n n é d e l ' a r b r e q u e p o u r

c e r t a i n e s v a l e u r s p r é d é t e r m i n é e s d e l a m o y e n n e e t d ' e s t i m e r l e r e s t e p a r i n t e r p o l a t i o n .

N o t a t i o n s e t p r i n c i p e s d e b a s e s d e l a d é m a r c h e p a r a r b r e

P o s o n s

S t : l a v a l e u r d u s o u s - j a c e n t à l ' i n s t a n t t.

F t(S ) : l a m o y e n n e d u s o u s - j a c e n t S s u r l ' i n t e r v a l l e [0, t].

V t(S, F ) : l a v a l e u r d e l ' o p t i o n a s i a t i q u e d e s o u s - j a c e n t S à l ' i n s t a n t .

r : l e t a u x s a n s r i s q u e .

N o u s f a i s o n s l e s h y p o t h è s e s h a b i t u e l l e s d ' a b s e n c e d ' o p p o r t u n i t é d ' a r b i t r a g e e t d e c o m p l é t u d e d u

m a r c h é , c e q u i n o u s a s s u r e l ' e x i s t e n c e e t l ' u n i c i t é d ' u n e p r o b a b i l i t é s o u s l a q u e l l e l e s p r i x a c t u a l i s é s

d e s a c t i f s s o n t d e s m a r t i n g a l e s .

C o x , R o s s e t R u b i n s t e i n r e p r é s e n t e n t l a d y n a m i q u e d u b r o w n i e n g é o m é t r i q u e S p a r u n a r b r e

b i n o m i a l e n d i v i s a n t u n i f o r m é m e n t l ' i n t e r v a l l e d e t e m p s [0, T ] ( l e p a s d e l a s u b d i v i s i o n e s t d o n c d e

T n ) . E n t r e l e s i n s t a n t s ti = iT n e t ti+1 = ti+ T

n , l a v a l e u r d u s o u s - j a c e n t a u g m e n t e d e u = exp(σ T

n )

a v e c u n e p r o b a b i l i t é p e t d i m i n u e d e d = 1u a v e c u n e p r o b a b i l i t é 1 − p.



E . 3 . L E S O P T I O N S B A R R I È R E S E T L O O K B A C K x v i i

P o u r q u e l a v a l e u r a c t u a l i s é d u s o u s - j a c e n t a i t u n c o m p o r t e m e n t m a r t i n g a l e , i l f a u t n é c e s s a i r e -

m e n t p r e n d r e

p =a − d

u−

da v e c

a = exp(µT

n)

O n n o t e r a (i, j) l e n ÷ u d d e l ' a r b r e b i n o m i a l q u i c o r r e s p o n d à l ' é v é n e m e n t : à l ' i n s t a n t ti l a v a l e u r d e

S a a u g m e n t é j f o i s e t d o n c d i m i n u é i− j f o i s d e p u i s l ' i n s t a n t i n i t i a l . A i n s i l a v a l e u r d u s o u s - j a c e n t

a u n o e u d (i, j) e s t S 0ujdi−j.

I l s ' a g i t m a i n t e n a n t d ' e x p l i q u e r c o m m e n t n o u s a l l o n s é v a l u e r l a v a l e u r d e l ' o p t i o n a s i a t i q u e à

c h a c u n d e s n ÷ u d s (i, j). S o i t F i,j,k l a k i è m e r é a l i s a t i o n d e l a m o y e n n e a r i t h m é t i q u e d e s v a l e u r s

p a s s é e s d u s o u s - j a c e n t , e t s o i t V i,j,k l a v a l e u r d e l ' o p t i o n a s i a t i q u e c o r r e s p o n d a n t e à c e t t e k i è m e

r é a l i s a t i o n . L a c o n g u r a t i o n (i,j,k) c o n d u i t à u n e c o n g u r a t i o n (i + 1, j + 1, ku) l o r s q u e l e c o u r s

d e l ' a c t i f m o n t e e t à u n e c o n g u r a t i o n (i + 1, j , kd)

l o r s q u e l e c o u r s d e l ' a c t i f d e s c e n d . L a v a l e u r

a c t u a l i s é e d u p o r t e f e u i l l e r é p l i q u a n t l ' o p t i o n a s i a t i q u e é t a n t u n e m a r t i n g a l e s o u s l a p r o b a b i l i t é

r i s q u e - n e u t r e , o n a

V i,j,k = exp(−rT

n)( pV i+1,j+1,ku + (1 − p)V i+1,j,kd)

C e t t e f o r m u l e r é c u r s i v e d e t y p e b a c k w a r d p e r m e t d ' é v a l u e r l e p r i x d e l ' o p t i o n .

É v a l u a t i o n d e l ' o p t i o n a s i a t i q u e p a r i n t e r p o l a t i o n

S i n o u s d e v i o n s p r e n d r e e n c o m p t e t o u t e s l e s v a l e u r s r é a l i s a b l e s p a r l a m o y e n n e a r i t h m é t i q u e

d e s v a l e u r s p a s s é e s d e S , l a c o m p l e x i t é t e m p o r e l l e d e l ' a l g o r i t h m e s e r a i t e x p o n e n t i e l l e : c a r e n

g é n é r a l p o u r u n n ÷ u d d e l ' a r b r e s i t u é à u n e p r o f o n d e u r i

i l y a 2i

m o y e n n e s d e p r i x à c o n s i d é r e r !

P o u r r é s o u d r e c e p r o b l è m e , H u l l e t W h i t e p r o p o s e n t d e n e c a l c u l e r l e s v a l e u r s d e l ' o p t i o n a s i a t i q u e

a u n ÷ u d ( i , j ) q u e p o u r l e s v a l e u r s d e l a m o y e n n e a r i t h m é t i q u e d e l a f o r m e

F i,j,k = S 0 exp(mkh)

o ù mk e s t u n e n t i e r p o s i t i f o u n é g a t i f e t o ù h e s t u n p a r a m è t r e q u e l ' o n c h o i s i t .

I l e s t é v i d e n t q u e l e s e n t i e r s mk d o i v e n t b a l a y e r u n i n t e r v a l l e [mmin, mmax] t e l q u e l e s r é a l i s a -

t i o n s p o t e n t i e l l e s d e l a m o y e n n e a r i t h m é t i q u e a u n o e u d (i, j) s o i e n t t o u t e s i n c l u s e s d a n s l ' i n t e r v a l l e

[S 0 exp(mminh), S 0 exp(mmaxh)] .

L e s b o r n e s c h o i s i e s s o n t d o n n é e s p a r l e s f o r m u l e s d e r é c u r r e n c e :

mmax(i) = E (ln(i exp(mmax(i)) + ui

(i + 1)h)) + 1

mmin(i) = E (ln(i exp(mmin(i)) + di

(i + 1)h

))

U n e f o i s c e s b o r n e s d é t e r m i n é e s , i l n o u s f a u t a l o r s c a l c u l e r l e s p r i x d e l ' o p t i o n a u n ÷ u d (i, j)a s s o c i é s a u x r é a l i s a t i o n s d e s S 0 exp(mkh) . I l s u t d ' u t i l i s e r l a r e l a t i o n d ' A O A p r é c é d e n t e r e l i a n t

V i,j,k , V i+1,j+1,ku e t V i+1,j,kd . O n d é t e r m i n e V i+1,j+1,ku p a r i n t e r p o l a t i o n l i n é a i r e e n t r e V i+1,j+1,k1e t V i+1,j+1,k2 o ù k1 e t k2 s o n t c h o i s i s t e l s q u e F i+1,j+1,k1 e t F i+1,j+1,k2 s o i e n t l e s v a l e u r s e n c a d r a n t e s

l e s p l u s p r o c h e s d e F i+1,j+1,k2 d e l a f o r m e S 0 exp(mh). O n f a i t p a r e i l p o u r l e c a l c u l d e V i+1,j+1,ku .

E . 3 L e s o p t i o n s b a r r i è r e s e t l o o k b a c k

N o u s a v o n s c h o i s i c e t y p e d ' o p t i o n p o u r d e u x r a i s o n s . D ' u n e p a r t , l e p a y o d ' u n e o p t i o n b a r r i è r e

e s t p l u s c o m p l e x e q u e c e u x e n v i s a g é s d a n s l a p a r t i e p r é c é d e n t e . I l n e s ' e x p r i m e n t p a s e n f o n c t i o n d e

l a v a l e u r d u s o u s - j a c e n t à c e r t a i n e s d a t e s p r é - x é e s m a i s d e s o n m a x i m u m e t o u d e s o n m i n i m u m

s u r l a d u r é e d e v i e d e l ' o p t i o n . U n t r a v a i l d ' a m é n a g e m e n t i n t é r e s s a n t e s t n é c e s s a i r e p o u r é t e n d r e

l e s r é s u l t a t s s u r l e s g r e c q u e s . P o u r c e f a i r e , o n r e p r e n d l a m é t h o d o l o g i e d e l ' a r t i c l e d e E . G o b e t

e t A . K o h a t s u - H i g a [ G K H 0 1 ] . D ' a u t r e p a r t , l e s p r e m i e r s a r g u m e n t s d e c o m p a r a i s o n d o n n é s d a n s



x v i i i A N N E X E E . Q U E L Q U E S O P T I O N S E X O T I Q U E S

l a s e c t i o n p r é c é d e n t e p e r m e t t e n t d ' e s p é r e r d e s r é s u l t a t s i n t é r e s s a n t s : d a n s l e c a d r e d e p a y o

d i s c o n t i n u , M a l l i a v i n o b t i e n t d e s r é s u l t a t s p l u s p r o b a n t s . D a n s u n p r e m i e r t e m p s , n o u s e x p o s o n s l e s

d i c u l t é s t e c h n i q u e s e t l e u r s s o l u t i o n s p o u r d é t e r m i n e r d e n o u v e a u p o i d s . E n s u i t e n o u s c o m p a r o n s

e n s u i t e d e n o u v e a u c e t t e m é t h o d e e t l e s d i é r e n c e s n i e s e t f o u r n i s s o n s q u e l q u e s c r i t i q u e s d e s

r é s u l t a t s o b t e n u s .

E . 3 . 1 P r é l i m i n a i r e s s u r l e s o p t i o n s b a r r i è r e s

D a n s c e c a d r e o n s e l i m i t e r a a u x c a s u n i d i m e n s i o n n e l B l a c k - S c h o l e s . L a d y n a m i q u e d e n o t r e

s o u s - j a c e n t v é r i e d o n c s o u s l a p r o b a b i l i t é r i s q u e n e u t r e :

dS tS t

= rdt + σdW t et S (0) = s

N o u s n o u s c o n c e n t r o n s d o n c s u r d e s p a y o s f a i s a n t i n t e r v e n i r l e m a x i m u m o u l e m i n i m u m d e l a

d i u s i o n e n n o t a n t M t = maxs≤tS s e t mt = mins≤tS s

f (M T , mT , S T )

.

U n e o p t i o n b a r r i è r e k n o c k - o u t e s t u n e o p t i o n e u r o p é e n n e q u i s ' a n n u l e l o r s q u e l ' a c t i f s o u s - j a c e n t

d é p a s s e u n e o u d e u x b a r r i è r e s , d é t e r m i n i s t e s , é v e n t u e l l e m e n t d é p e n d a n t e s d u t e m p s . S u p p o s o n s

q u e l ' a c t i f S s u i v e u n m o d è l e d e B l a c k - S c h o l e s :

dS t = µS tdt + σS tdBt

S 0 = x

L e s b a r r i è r e s s o n t d e u x f o n c t i o n s r é e l l e s L ( i n f é r i e u r e ) e t U ( s u p é r i e u r e ) : [0, +∞[→ [0, +∞[,

v é r i a n t L(t) < U (t) p o u r t o u t t.

O n a p p e l l e

Σl e t e m p s d e p a s s a g e d u p r i x

S p a r l ' u n e d e s b a r r i è r e s :

Σ = inf

t > 0 | S t ≤ L(t) o u S t ≥ U (t)

L e p r i x d ' u n e o p t i o n k n o c k - o u t e s t a l o r s :

E

e−rT (S T − K )+ IΣ>T

o ù

Ed é s i g n e l a p r o b a b i l i t é r i s q u e n e u t r e .

P o u r c a l c u l e r c e p r i x , i l f a u t d o n c c o n n a î t r e l a l o i d e l a d i u s i o n S t u é e a u t e m p s Σ . D a n s l e

c a d r e d u m o d è l e d e B l a c k - S c h o l e s , o n u t i l i s e r a i t t y p i q u e m e n t l a d i u s i o n log S t , l a q u e l l e n ' e s t , s o u s

l a p r o b a b i l i t é r i s q u e n e u t r e , q u ' u n B r o w n i e n a v e c d r i f t :

log S t = log x + (r −σ2

2 )t + σBt

o ù r e s t l e t a u x d ' i n t é r ê t i n s t a n t a n é s u p p o s é c o n s t a n t .

E n x a n t u n p a s d e s i m u l a t i o n ε , o n p e u t s i m u l e r s u c c e s s i v e m e n t l e s p o s i t i o n s log S ti a u x t e m p s

ti = iε. L a p r o c é d u r e n a ï v e c o n s i s t e à d é c l a r e r l a d i u s i o n t u é e s ' i l e x i s t e u n e v a l e u r ti p o u r l a q u e l l e

l a v a l e u r log S ti s e t r o u v e e n - d e s s o u s d e L(ti) = log L(ti) o u a u - d e s s u s d e U (ti) = log U (ti).

O n s e r e n d c o m p t e i m m é d i a t e m e n t q u e c e t t e p r o c é d u r e n e c o n t r ô l e p a s l a t r a j e c t o i r e e n t r e d e u x

i n s t a n t s s u c c e s s i f s d e l a g r i l l e t1 , t2 , . . . : l a t r a j e c t o i r e a u r a i t p u t r a v e r s e r l ' u n e d e s b a r r i è r e s e t r e v e n i r ,

s a n s q u e c e f a i t p u i s s e ê t r e d é t e c t é . C e t t e e r r e u r p r o d u i t s y s t é m a t i q u e m e n t u n e s u r e s t i m a t i o n

d u p r i x , p a r l e b i a i s d ' u n e s u r e s t i m a t i o n d e l a v a l e u r d u t e m p s Σ e t d o n c d e l a p r o b a b i l i t é d e

l ' é v é n e m e n t Σ > T . L ' e s t i m a t e u r f o u r n i p a r l a s i m u l a t i o n e s t b i a i s é . D a n s l a p r a t i q u e , o n c o n s t a t e

q u e m ê m e e n r é d u i s a n t l e p a s ε, l ' e r r e u r p e r s i s t e .

À n o t e r p a r a i l l e u r s l a n o t i o n d ' o p t i o n k n o c k - i n , d u a l e d e l ' o p t i o n k n o c k - o u t p r é s e n t é e c i - d e s s u s ,

d o n t l e p a y o e s t d o n n é p a r :

E

e−rT (S T − K )+.IΣ<T



E . 3 . L E S O P T I O N S B A R R I È R E S E T L O O K B A C K x i x

U n e o p t i o n b a r r i è r e k n o c k - i n

e s t d o n c a c t i v é e s i l e s o u s - j a c e n t a t t e i n t u n e d e s b a r r i è r e s . S i l e

s o u s - j a c e n t r e s t e c o n n é e n t r e l e s b a r r i è r e s , l ' o p t i o n e s t t o u j o u r s n u l l e .

L a s o m m e d u p r i x d ' u n e o p t i o n k n o c k - i n e t d e c e l u i d ' u n e o p t i o n k n o c k - o u t e s t b i e n e n t e n d u

é g a l à c e l u i d ' u n c a l l c l a s s i q u e .

L a p r o c é d u r e P o u r a n e r l e s r é s u l t a t s d e s s i m u l a t i o n s , o n p r o p o s e u n e p r o c é d u r e a m é l i o r é e . S i

o n a t r o u v é a u c o u r s d e l a s i m u l a t i o n c o m m e v a l e u r s s u c c e s s i v e s p o u r log S ti :

log S ti = x log S ti+1 = y

o n c a l c u l e l a p r o b a b i l i t é p ( d é p e n d a n t e d e x, y e t d e s b a r r i è r e s L, U ) q u e l e b r o w n i e n a v e c d r i f t

( log S ) d é p a s s e l ' u n e d e s b a r r i è r e s .

L a d i u s i o n e s t s u p p o s é e a v o i r f r a n c h i l e s b a r r i è r e s a v e c l a p r o b a b i l i t é p, a l o r s q u ' o n c o n t i n u e

l a s i m u l a t i o n a v e c l a p r o b a b i l i t é 1 − p. I l e s t c l a i r q u e s i l ' o n d i s p o s e d e l a v a l e u r e x a c t e d e c e t t e

p r o b a b i l i t é , l a v a l e u r o b t e n u e f o u r n i t u n e s t i m a t e u r n o n b i a i s é d u p r i x d e l ' o p t i o n . D a n s c e r t a i n s

c a s p a r t i c u l i e r s , i l e s t p o s s i b l e d ' a c c é d e r à p. L e c a s s i m p l e d e l a d i u s i o n B l a c k - S c h o l e s , d a n s l e c a s

d ' u n e s e u l e b a r r i è r e h a u t e c o n s t a n t e , a v e c l e c o n d i t i o n n e m e n t d e p o n t b r o w n i e n e n

(x, y)c o n d u i t

à l ' e x p r e s s i o n e x p l i c i t e d e p :

p = exp2

σ2ε(b − x)(b − y)

D a n s l e c a s g é n é r a l , d a n s l a m e s u r e o ù i l e s t p o s s i b l e d ' a c c é d e r à l a v a l e u r d e c e t t e p r o b a b i l i t é

pi , n o u s d i s t i n g u e r o n s p a r l a s u i t e d e u x a p p r o c h e s d a n s l e c a l c u l d e l ' o p t i o n b a r r i è r e : l a m é t h o d e

d e B a l d i e t c e l l e d e G o b e t .

M é t h o d e d e B a l d i O n p r o c è d e c o m m e s u i t :

à l ' é t a p e i + 1 , o n v é r i e q u e l e s o u s - j a c e n t n ' e s t p a s h o r s - b a r r i è r e s e n ti+1 ( d a n s l e c a s

c o n t r a i r e l ' o p t i o n e s t t u é e ) ;

o n c o m p a r e p c a l c u l é e à l ' é t a p e i + 1 à u n t i r a g e a l é a t o i r e d ' u n e l o i u n i f o r m e . C e c i d é c i d e s i

l e s o u s - j a c e n t e s t p a s s é h o r s - b a r r i è r e d a n s l ' i n t e r v a l l e [ti, ti+1] o u p a s .

M é t h o d e d e G o b e t D a n s c e t t e a p p r o c h e , o n p r o c è d e c o m m e s u i t :

o n v é r i e q u e l e s o u s - j a c e n t n ' e s t p a s h o r s - b a r r i è r e s e n c h a q u e p o i n t ti ( s i n o n l ' o p t i o n e s t

t u é e ) ;

d a n s l ' h y p o t h è s e o ù l e s p o t e s t r e s t é à l ' i n t é r i e u r d e s b a r r i è r e s e n t r e 0 e t T , l e p r i x d e l ' o p t i o n

a u n a l e s t d o n n é p a r :

P Call.

N i=1

(1 − pεi )

O n c o n s t a t e q u e l a m é t h o d e d e B a l d i p r é s e n t e p l u s d ' o c c u r r e n c e s p o u r l e s q u e l l e s l ' o p t i o n e s t

t u é e q u e p o u r c e l l e d e G o b e t . N é a n m o i n s , l e p r i x d e l ' o p t i o n p o u r l a m é t h o d e d e G o b e t e s t p l u s

f a i b l e p u i s q u e p o n d é r é p a r l e p r o d u i t d e t e r m e s d e t y p e (1 − pi). L e l i e n e s t c e p e n d a n t c l a i r , s i o n

c o n s t a t e q u e l a p r o b a b i l i t é d ' u n e l o i u n i f o r m e [0, 1] d ' ê t r e a u - d e l à d e p e s t (1 − p).

L e p r o b l è m e f o n d a m e n t a l p o u r l e c a l c u l d u p r i x d e l ' o p t i o n b a r r i è r e c o n s i s t e r a d o n c , c o m p t e

t e n u d e c e s d e u x m é t h o d e s , e n l a d é t e r m i n a t i o n d e c e t t e p r o b a b i l i t é p. L a p a r t i e s u i v a n t e v a

s ' a t t a c h e r , p a r l a m é t h o d e d e s g r a n d e s d é v i a t i o n s , à d o n n e r e x p l i c i t e m e n t u n e a p p r o x i m a t i o n d e

l a p r o b a b i l i t é p e n q u e s t i o n .

A p p r o x i m a t i o n O n s u p p o s e r a q u e ti = 0 . L e p r o c e s s u s X t = log S t e s t d e f a i t u n p o n t b r o w n i e n ,

c o n d i t i o n n é s e l o n :

X 0 = x e t X ε = yE n t e r m e d e l o i , i l e s t i d e n t i q u e a u p r o c e s s u s s u i v a n t :

Y 0s = x +s

ε(y − x) + σ

Bs − s

εBε

0 ≤ s ≤ ε



x x A N N E X E E . Q U E L Q U E S O P T I O N S E X O T I Q U E S

P a r c h a n g e m e n t h o m o t h é t i q u e d e t e m p s , i l v i e n t :

Y 0εt = x + t (y − x) +√

εσ (Bt − tB1) 0 ≤ t ≤ 1

U n e t e l l e é c r i t u r e p e r m e t d e v o i r Y ε c o m m e u n p r o c e s s u s d e d i u s i o n - à n o t e r c e p e n d a n t q u e

l e c o e c i e n t d e d i u s i o n e s t p o n d é r é p a r u n p e t i t p a r a m è t r e ε ; é g a l e m e n t e t p a r a i l l e u r s , Y ε e s t

s o l u t i o n d e l ' é q u a t i o n d i é r e n t i e l l e s t o c h a s t i q u e s u i v a n t e :

dY ε(t) = −Y ε − y

1 − tdt +

√εσdBt

Y ε(0) = x

e t c e , p o u r t < 1 .

L a p r o b a b i l i t é pε q u e log(S t) d é p a s s e l ' u n e d e s b a r r i è r e s Lt o u U t , c o n d i t i o n n e l l e m e n t à log(S ti) =x e t log(S ti+1) = y p e n d a n t l ' i n t e r v a l l e d e t e m p s [0, ε] e s t é g a l e à l a p r o b a b i l i t é q u e Y ε d é p a s s e

l e s b a r r i è r e s p o n d é r é e s Lεt o u U εt . C e c a d r e d ' é t u d e e s t c e l u i d e s g r a n d e s d é v i a t i o n s ; c e t t e t h é o r i e

d o n n e l ' e x p r e s s i o n d e c e t t e p r o b a b i l i t é s e l o n :

log pε −I

ε

o ù I d é s i g n e l ' i n m u m d e l a f o n c t i o n n e l l e s u i v a n t e :

J : Cx,y → R

γ → 10

|γ s|2ds − 1

2|γ 1 − γ 0|2

o ù Cx,y e s t d o n n é p a r :

Cx,y = γ s | γ 0 = x e t γ 1 = y ∩ γ s | ∀s, L(ti) ≤ γ s ≤ U (ti)L a r e c h e r c h e d e l ' i n m u m d e c e t t e f o n c t i o n n e l l e J r e l è v e d ' u n c a l c u l v a r i a t i o n n e l c l a s s i q u e e t

f o u r n i t , i n n e :

I =

0 s i y > U (ti) o u y < L(ti)K [U (ti)] s i x + y < L(ti) + U (ti)K [L(ti)] s i x + y > L(ti) + U (ti)

a v e c :

K (z) =2

σ2(x − z)(y − z)

E n r e v e n a n t à l a p r o b a b i l i t é q u i n o u s i n t é r e s s e , l o r s q u e ε → 0 , i l v i e n t :

pε = f (ε) . e−I/ε

L ' é t u d e d e l a f o n c t i o n f a i n s i d é n i e r e l è v e , q u a n t à e l l e , d e l a t h é o r i e d e s g r a n d e s v a r i a t i o n s

p r é c i s e s ; c e c a l c u l , a s s e z t e c h n i q u e a é t é e e c t u é r é c e m m e n t , n o t a m m e n t p a r B a l d i ( 1 9 9 5 ) . F i n a l e -

m e n t :

f (ε) → e−ω

a v e c :

ω =

2/σ2. (U (ti) − x) U (ti) s i x + y > L(ti) + U (ti)2/σ2. (x − L(ti)) L(ti) s i x + y < L(ti) + U (ti)

E n c o n c l u s i o n , l a p r o c é d u r e i t é r a t i v e s ' e e c t u e r a , u n e f o i s l e s v a l e u r s e x t r ê m e s x = log S ti e t

y = log S ti+1 c o n n u e s , s e l o n :

pε = 1s i

y > U (ti)o u

y < L(ti)e−I/εe−ωs i L(ti) < y < U (ti)

L a p r o b a b i l i t é q u e l a d i u s i o n a i t t o u c h é l e s b a r r i è r e s e s t a l o r s pε .



E . 3 . L E S O P T I O N S B A R R I È R E S E T L O O K B A C K x x i

E . 3 . 2 L e s a m é n a g e m e n t s n é c e s s a i r e s p o u r l a m é t h o d e

L a m é t h o d o l o g i e a p p l i q u é e d a n s l e c a s p r é c é d e n t a b i e n f o n c t i o n n é c a r o n a p u e x p r i m e r l a

d é r i v é e d u p a y o e n f o n c t i o n d e l a d é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d u p r o c e s s u s s o u s - j a c e n t ( C e q u i

n é c e s s i t a i t l ' i n v e r s i o n d e c e t t e d é r i v é e ) . E n s u i t e e n u t i l i s a n t l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e , o n

o b t e n a i t b i e n u n p o i d s i n d é p e n d a n t d u p a y o . I c i l e p r o b l è m e e s t d o u b l e :

d ' u n e p a r t l e s e x p r e s s i o n s d e s d é r i v é e s a u s e n s d e M a l l i a v i n d e s p r o c e s s u s m a x i m u m e t m i -

n i m u m d ' u n e d i u s i o n g é n é r a l e n e s o n t p a s e x p l i c i t e s e t o n d o i t d o n c s e r a m e n e r à d e s

b r o w n i e n s c l a s s i q u e s , é v e n t u e l l e m e n t a v e c d r i f t , p o u r o b t e n i r d e s d é r i v é e s a u s e n s d e M a l l a i -

v i n u t i l i s a b l e s .

d ' a u t r e p a r t , C e s d é r i v é e s a u s e n s d e M a l l i a v i n n e s o n t p a s i n v e r s i b l e s d i r e c t e m e n t , i l f a u t

d o n c u t i l i s e r u n e p r o c é d u r e d e l o c a l i s a t i o n f a i s a n t i n t e r v e n i r u n p r o c e s s u s d i t d o m i n a n t p o u r

p o u v o i r c o n c l u r e .

N o u s t r a i t o n s r e s p e c t i v e m e n t c e s d i c u l t é s d a n s l e s d e u x p a r t i e s s u i v a n t e s .

E . 3 . 3 P a s s a g e d e l a d i u s i o n à u n b r o w n i e n a v e c d r i f t

P o u r s e r a m e n e r à u n b r o w n i e n a v e c d r i f t à p a r t i r d e n o t r e d i u s i o n , o n e e c t u e l e c h a n g e m e n t

d e v a r i a b l e c l a s s i q u e :

X =log(X t)

σ=

1

σ

log(x) + (r − σ2

2)t

+ W t

P o u r u n p r o c e s s u s U q u e l c o n q u e t e l q u e p o u r t o u t t U t ∈ D1,2, l e s v a r i a b l e s a l é a t o i r e s maxs≤t(U s)

e t mins≤t(U s) a p p a r t i e n n e n t é g a l e m e n t à D1,2

. L a p r o p o s i t i o n s u i v a n t e e x p l i c i t e c e r é s u l t a t q u a n d

U e s t u n b r o w n i e n c l a s s i q u e a v e c o u s a n s d r i f t .

P r o p o s i t i o n 2 0 ( D é r i v é e a u s e n s d e M a l l i a v i n d ' u n e x t r e m u m ) S o i t V u n m o u v e m e n t b r o w -

n i e n s t a n d a r d e t c o n s i d é r o n s

V f t = V t + t0 f (s)ds

, o ù

f e s t u n e f o n c t i o n d é t e r m i n i s t e . A l o r s , l e s

v a r i a b l e s a l é a t o i r e s d é n i e s p a r maxs≤t(V f s ) e t mins≤t(V f s ) a p p a r t i e n t à D1,∞e t l e u r s d é r i v é e s d e

M a l l i a v i n a u p r e m i e r o r d r e s o n t d o n n é e s p a r : p o u r t ∈ [0, T ]

Dt(maxs≤t(V f s )) =1 t≤τ M

Dt(mins≤t(V f s )) =1 t≤τ m

o ù tauM e t taum

s o n t l e s t e m p s a l é a t o i r e s p . s d é n i s u n i q u e m e n t s u r [ 0 , T ] p a r V f τ M

= maxs≤t(V s)

e t V f τ m = mins≤t(V s)

C o m m e l e s p r o c e s s u s a l é a t o i r e s 1 t≤τ M e t 1 t≤τ m p a r a i s s e n t d i c i l e m e n t i n v e r s i b l e s , u n e i n t é -

g r a t i o n p a r p a r t i e c l a s s i q u e n ' e s t p a s t o u t d e s u i t e a p p l i c a b l e p o u r e x p r i m e r l a d é r i v é e d u p a y o

n e f o n c t i o n d e c e l l e - c i . N é a n m o i n s g r â c e à u n e p r o c é d u r e d e l o c a l i s a t i o n u t i l i s a n t d e s p r o c e s s u s

d o m i n a n t s n o u s a r r i v e r o n s à n o u s s e r v i r d e l a f o r m u l e d ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e .

T h é o r è m e 1 1 S u p p o s o n s l e s h y p o t h è s e s ( S ) e t ( H ) v é r i é e s a l o r s :

i ) S i l e p r o c e s s u s K v é r i e R ( 1 ) , a l o r s

∆ = e−rtEP (f (M T , mT , X T )H 1

o ù H 1 = δ

ψY.

R

T 0

ψ(Y t)dt

i i ) S i K v é r i e l a c o n d i t i o n R ( 2 ) , a l o r s

Γ = e−rtEP (f (M T , mT , X T )H 2

o ù H 2 = δ

H 1ψY.R

T 0 ψ(Y t)dt



x x i i A N N E X E E . Q U E L Q U E S O P T I O N S E X O T I Q U E S

E . 3 . 4 D e u x e x e m p l e s d e p r o c e s s u s d o m i n a n t s

O n s e c o n t e n t e d ' e x h i b e r d e u x p r o c e s s u s d o m i n a n t s , e t n o u s s o u l i g n o n s d a n s q u e l m e s u r e i l s

v é r i e n t l e s h y p o t h è s e s d u t h é o r è m e p r é c é d e n t . P o u r u n e p r e u v e d e s v é r i c a t i o n s , l e l e c t e u r p o u r r a

s e r é f é r e r à l ' a r t i c e d e E . G o b e t e t A . K o h a t s u - H i g a [ G K H 0 1 ] .

L e p l u s s i m p l e e s t p r o b a b l e m e n t l e p r o c e s s u s d e s e x t r e m a s u i v a n t :

K t = max[s ≤ t](X s − x) − min(X s)

D e f a ç o n i m m é d i a t e , c e p r o c e s s u s e s t c r o i s s a n t a d a p t é e t c o n t i n u . I l s v é r i e n t é g a l e m e n t l e s h y p o -

t h è s e s ( H ) e t ( R ( 1 ) ) . O n p e u t d o n c c a l c u l e r l e d e l t a à l ' a i d e d e c e p r o c e s s u s . S a d é r i v é e a u s e n s

d e M a l l i a v i n r é s u l t e i m m é d i a t e m e n t d e l a p r o p o s i t i o n s u r l e s e x t r e m a e t v a u t d o n c :

DsK t = ( 1)

C e p e n d a n t , i l n e s a t i s f a i t p a s l a c o n d i t i o n ( R ( 2 ) ) p a r m a n q u e d e r é g u l a r i t é . I l f a u t d o n c u n

c a n d i d a t p l u s r é g u l i e r p o u r p o u v o i r c a l c u l e r l e g a m m a .

O n p e u t é g a l e m e n t c o n s i d é r e r l e p r o c e s s u s s u i v a n t . P o u r u n e n t i e r p a i r n o t é γ , o n d é n i t :

K t = 8

4

t0

t0

|X s − X u|γ|s − u|m+2

dsdu

1/γm + 2

mtm/γ

O ù 0 < m < γ2−2 , p o u r a s s u r e r l a c o n d i t i o n d ' e x i s t e n c e d u p r o c e s s u s , E =

t0

t0|Xs−Xu|γ|s−u|m+2 dsdu

<

∞ C e p r o c e s s u s e s t c l a i r e m e n t c r o i s s a n t , a d a p t é e t c o n t i n u . D e p l u s c o m m e i l v é r i e l a c o n d i t i o n

( R ( 2 ) ) , i l p e r m e t l e c a l c u l d u g a m m a .



A n n e x e F

R é s u l t a t s n u m é r i q u e s d a n s l e c a s

m u l t i d i m e n s i o n n e l

O n r e p r e n d i c i l e c a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s p r é s e n t é e s d a n s l e c h a p i t r e 3 d a n s l e c a s d ' u n e o p t i o n

W o r s t O f s u r t r o i s s o u s - j a c e n t s . N o u s c o m m e n ç o n s p a r d é c r i r e u n e n o u v e l l e g r e c q u e a p p e l é e K a p p a .

F . 1 C a l c u l d u K a p p a

P r o p o s i t i o n 2 1 L a d é r i v é e d e l ' o p t i o n p a r r a p p o r t a u f a c t e u r d e C h o l e s k y U e s t d o n n é e p a r

vec(Υ) a v e c :

Υ = E

m

i=1

ρ−1(W ti − W ti−1)(W ti − W ti−1)

ti − ti−1− I n

(U −1)φ(S t1 , . . . , S tm)

P r e u v e . L e K a p p a e s t u n e c r é a t i o n o r i g i n a l e d u G R O

1

p o u r d é s i g n e r l a d é r i v é e p a r r a p p o r t

à l a c o r r é l a t i o n ρ. E n f a i t , o n n e c a l c u l e p a s d ' e m b l é e c e t t e g r e c q u e m a i s d ' a b o r d l a d é r i v é e p a r

r a p p o r t a u f a c t e u r d e C h o l e s k y ( l e K a p p a s ' e n d é d u i r a p a r c o m p o s i t i o n ) .

P o u r c e l a , o n r e m p l a c e d a n s l ' E D S 3 . 1 l e f a c t e u r d e C h o l e s k y U p a r UλQ e t o n d é r i v e e n λ = 0.

O n a d o n c i c i Lt := (σ Q)Z t . O n i n t r o d u i t l e p r o c e s s u s

v(t) := U −1Qmi=1

Z ti − Z ti−1ti − ti−1

1t∈]ti−1,ti].

L e c a l c u l d e δ(v) e s t i d e n t i q u e à c e l u i m e n é p o u r l e V e g a . O n o b t i e n s a l o r s , g r â c e à l a p r o p o s i t i o n

1 0 , p o u r l a d é r i v é e a u p o i n t Q

Υ(Q) = E mi=1

(W ti − W ti−1)(QU −1)ρ−1(W ti − W ti−1)

ti − ti−1T r(U −1Q)

φ(S t1 , . . . , S tm)

.

E n s u i t e o n f a i t s u c c e s s i v e m e n t Q := ei,j d e s o r t e q u ' o n a p o u r l a d i é r e n t i e l l e

Υ = E

mi=1

ρ−1(W ti − W ti−1)(W ti − W ti−1)

ti − ti−1− I n

(U −1)φ(S t1 , . . . , S tm)

.

1

G r o u p e d e R e c h e r c h e O p é r a t i o n n e l l e d u C r é d i t L y o n n a i s .

x x i i i



x x i v A N N E X E F . R É S U L T A T S N U M É R I Q U E S D A N S L E C A S M U L T I D I M E N S I O N N E L

F . 2 R é s u l t a t s n u m é r i q u e s

N o u s a v o n s p r i s u n s t r i k e n u l p o u r n o s s i m u l a t i o n s a i n s i q u ' u n e m a t u r i t é d e 6 m o i s . L e s s o u s -

j a c e n t s o n t u n n o m i n a l d e 1 0 0 e t p o s s è d e n t l e s m ê m e s c a r a c t é r i s t i q u e s . L e t a u x d ' i n t é r ê t s a n s r i s q u e

a é t é x é à 5%. N o u s a v o n s e n s u i t e v o u l u f a i r e v a r i e r l e n o m b r e d e s i m u l a t i o n p o u r s a v o i r d a n s

q u e l l e s m e s u r e s p o u v o n s - n o u s o b t e n i r d e s e s t i m a t i o n s a c c e p t a b l e s .

p r i x 8 8 . 7 4 5 7 8 7

r h o - 4 1 . 5 1 2 6 6 9

t h e t a 1 1 . 6 7 9 7 7 4

d e l t a 0 . 7 0 5 3 9 5 4 3

0 . 6 8 0 1 5 1 8 3

1 . 2 1 9 1 7 5 6

v e g a - 1 5 . 5 4 9 4 2 5

- 1 1 . 8 8 1 3 7 8

- 1 9 . 7 6 0 9 5 8

g a m m a - 0 . 0 6 2 4 5 8 1 2 9 0 . 0 3 5 0 3 8 6 5 5 0 . 0 6 5 6 9 2 3 1 9

0 . 0 3 5 0 3 8 6 5 5 - 0 . 1 9 7 0 4 0 9 2 0 . 0 5 6 0 6 4 2 2 0

0 . 0 6 5 6 9 2 3 1 9 0 . 0 5 6 0 6 4 2 2 0 - 0 . 1 4 1 5 7 4 6 8

k a p p a - 4 6 . 8 4 6 9 3 0 4 . 7 0 0 1 0 9 6 5 . 8 0 3 5 6 5 7

4 . 7 0 0 1 0 9 6 - 4 6 . 5 6 5 7 8 2 4 . 8 1 0 7 1 8 0

5 . 8 0 3 5 6 5 7 4 . 8 1 0 7 1 8 0 - 4 7 . 2 3 7 7 0 5

T a b . F . 1 C a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s d ' u n e o p t i o n W o r s t O f . N = 5 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s

p r i x 8 8 . 6 8 7 6 1 4

r h o - 4 1 . 6 4 0 6 5 2

t h e t a 1 2 . 4 2 1 3 8 3

d e l t a 0 . 6 3 5 1 6 5 7 2

0 . 6 9 4 4 1 4 4 3

1 . 1 6 0 9 0 6 9

v e g a - 1 6 . 3 5 1 5 1 4

- 1 2 . 5 1 4 1 8 7

- 2 0 . 4 4 8 2 3 2

g a m m a - 0 . 0 6 5 5 7 0 0 0 7 0 . 0 4 8 7 3 7 6 0 0 0 . 0 5 9 8 1 8 8 3 5

0 . 0 4 8 7 3 7 6 0 0 - 0 . 2 1 1 3 8 2 5 2 0 . 0 6 8 2 7 0 6 3 0

0 . 0 5 9 8 1 8 8 3 5 0 . 0 6 8 2 7 0 6 3 0 - 0 . 1 4 6 0 6 9 9 0

k a p p a - 4 6 . 9 7 7 3 1 0 4 . 9 2 8 6 7 6 4 5 . 6 4 9 3 2 7 5

4 . 9 2 8 6 7 6 4 - 4 6 . 6 4 8 5 6 7 4 . 9 6 0 8 9 1 0

5 . 6 4 9 3 2 7 5 4 . 9 6 0 8 9 1 0 - 4 7 . 3 2 5 9 8 7

T a b . F . 2 C a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s d ' u n e o p t i o n W o r s t O f . N = 1 0 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s



F . 2 . R É S U L T A T S N U M É R I Q U E S x x v

p r i x 8 8 . 7 3 3 4 9 4

r h o - 4 1 . 6 2 2 2 1 1

t h e t a 1 2 . 6 3 1 2 3 8

d e l t a 0 . 6 5 6 1 9 9 9 7

0 . 6 5 1 3 8 1 0 6

1 . 1 9 8 5 4 3 0

v e g a - 1 8 . 7 7 7 7 2 4

- 1 2 . 3 1 7 7 9 1

- 1 9 . 2 7 5 0 7 4

g a m m a - 0 . 0 7 4 7 3 0 6 8 8 0 . 0 4 2 7 1 9 0 2 7 0 . 0 6 9 7 0 0 8 4 7

0 . 0 4 2 7 1 9 0 2 7 - 0 . 2 0 8 7 9 5 9 3 0 . 0 7 9 0 6 2 8 3 0

0 . 0 6 9 7 0 0 8 4 7 0 . 0 7 9 0 6 2 8 3 0 - 0 . 1 4 0 4 4 6 6 7

k a p p a - 4 7 . 3 0 3 7 8 2 4 . 8 2 9 1 9 7 4 5 . 9 0 6 4 2 2 9

4 . 8 2 9 1 9 7 4 - 4 6 . 6 6 6 1 3 5 5 . 0 9 8 1 7 0 5

5 . 9 0 6 4 2 2 9 5 . 0 9 8 1 7 0 5 - 4 7 . 2 2 1 1 3 7

T a b . F . 3 C a l c u l d e s s e n s i b i l i t é s d ' u n e o p t i o n W o r s t O f . N = 5 0 0 0 0 0 s i m u l a t i o n s

R e m a r q u e 1 0 C o m m e o n l e v o i t s u r c e t e x e m p l e t r è s s i m p l e , l a c o n v e r g e n c e d u c a l c u l d e s g r e c q u e s

d e m e u r e n t a s s e z l e n t e ; i l e s t d o n c c o n s e i l l é d ' u t i l i s e r a u m o i n s 5 0 0 0 0 0 t r a j e c t o i r e s p o u r a v o i r d e s

e s t i m a t i o n s a c c e p t a b l e s ( n o t a m m e n t p o u r l e G a m m a ) .



x x v i A N N E X E F . R É S U L T A T S N U M É R I Q U E S D A N S L E C A S M U L T I D I M E N S I O N N E L



A n n e x e G

S e n s i b i l i t é s d ' o p t i o n s a m é r i c a i n e s

G . 1 L e s s e n s i b i l i t é s

N o u s e x p o s o n s r a p i d e m e n t l e s r é s u l t a t s r e l a t i f s a u x c a l c u l d e l a g r e c q u e l a p l u s s i m p l e : l e d e l t a .

L e c a s d u g a m m a e s t t r a i t é e n a n n e x e a i n s i q u e l ' e x t e n s i o n d e c e s r é s u l t a t s a u x m u l t i d i m e n s i o n n e l s .

L a f o r m e s o u s l a q u e l l e e s t o b t e n u e l e d e l t a p e r m e t d e c a l c u l e r l e d e l t a s u r l e s m ê m e s t r a j e c t o i r e s

q u e l e p r i x . D a n s l a p r é s e n t a t i o n d e s r é s u l t a t s , n o u s u t i l i s e r o n s f r é q u e m m e n t l e s d e u x n o t a t i o n s

s u i v a n t e s :

H (T , S , f )(.) :=(S [f ](.)T [1R](.) − T [f ](.)S [1R](.)

T 2[1R](.), ( G . 1 )

o ù S e t T d é s i g n e r o n t d e u x o p é r a t e u r s a g i s s a n t s u r l e s f o n c t i o n s d e E b(R) e t f u n e f o n c t i o n d e

E b(R).

wk∆t := P k∆t(α) < Ψ(α) ( G . 2 )

o ù P k∆t(α) a é t é d é n i e p r é c é d e m m e n t .

L e C a l c u l d u D e l t a

L e D e l t a d ' u n e o p t i o n i n d i q u e l a v a r i a t i o n d e l a v a l e u r d e l a p o s i t i o n p a r r a p p o r t à d e f a i b l e s

u c t u a t i o n s d u c o u r s d u s o u s - j a c e n t . E n d ' a u t r e s t e r m e s , l e D e l t a d e l ' o p t i o n ( n o t é ∆(0, x0)) s e r a

d é n i c o m m e :

∆(0, x0) =∂

∂x0P a(0, x0). ( G . 3 )

O n n o t e r a

∆(0, x0)l ' a p p r o x i m a t i o n d e

∆(0, x0)

L e m m e 4 P o u r t o u t 0 < ∆t < 1 e t t o u t α ∈ R,

∆(α) = Ψ(α)1w∆t + exp(−r∆t)∂

∂αE

P 2∆t(X 2∆t)|X ∆t = α

1wc

∆t( G . 4 )

∆(0, x0) = Ex0

∆(α)

( G . 5 )

C e p e n d a n t c e t t e f o r m u l e p o u r l e D e l t a n ' e s t p a s e x p l o i t a b l e n u m é r i q u e m e n t c a r e l l e n é c e s s i t e

l e c a l c u l d ' u n e e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e . L ' é c r i t u r e s o u s u n e f o r m e e x p l o i t a b l e n u m é r i q u e m e n t s e

f a i t p a r l ' i n t e r m é d i a i r e d u c a l c u l d e M a l l i a v i n .

L e m m e 5 P o u r t o u t

(s, t) ∈ [0, T ]

2a v e c

s ≤ t,t o u t

α ∈R∗+

e t t o u t e f o n c t i o n

f ∈ E b(R

),

∂

∂αE

f (X t)|X s = α

= H (Rs,t, T s,t, f )(α), ( G . 6 )

x x v i i



x x v i i i A N N E X E G . S E N S I B I L I T É S D ' O P T I O N S A M É R I C A I N E S

a v e c T s,t d é n i c o m m e p r é c é d e m m e n t e t

Rs,t[f ](α) := − 1

σs(t

−s)E

f (X t)

H (X s − α)

X 2s(∆W s,t)

2

− E

f (X t)

H (X s − α)

X 2s(∆W s,t)

+

+t

σE

f (X t)H (X s − α)

X 2s

( G . 7 )

∆W s,t := tW s − sW t + σs(t − s). ( G . 8 )

L e m m e 6 P o u r t o u t (s, t) ∈ [0, T ]2 a v e c s ≤ t, t o u t α ∈ R∗+ e t t o u t e f o n c t i o n f ∈ E b(R) ,

∂

∂αE

f (X t)|X s = α

= H

Rlocs,t , T locs,t , f

(α) ( G . 9 )

a v e c T locs,t d é n i c o m m e p r é c é d e m m e n t e t

Rlocs,t :=

1

σs(t − s)

Ef (X tF (X s − α) − H (X s − α)

X 2

s (∆W s,t)2 + σs(t

−s)

−st(t

−s) +

+ E

f (X t

f (X s − α)

X s∆W s,t

. ( G . 1 0 )

E n c o u p l a n t l e s l e m m e s 4 e t 5 , o n é t a b l i t l e l e m m e s u i v a n t :

L e m m e 7 ( C a l c u l d u D e l t a ) P o u r t o u t 0 < ∆t < 1 e t t o u t α ∈ R,

∆(α) = Ψ(α)1w∆t + exp(−r∆t)H

R∆t,2∆t, T ∆t,2∆t, P 2∆t

(α)1wc

∆t,

∆(0, x0) = Ex0

∆(X ∆t)

. ( G . 1 1 )

C o m m e l e D e l t a e s t l u i - m ê m e u n e f o n c t i o n d u c o u r s d u s u p p o r t , l e s t e n e u r s d e m a r c h é u t i l i s e n t

d o n c u n a u t r e i n d i c a t e u r q u i l e s r e n s e i g n e s u r l a v a r i a t i o n d u D e l t a p a r r a p p o r t a u p r i x d u s o u s -

j a c e n t . C e t i n d i c a t e u r s ' a p p e l l e l e G a m m a .

L e C a l c u l d u G a m m a

L e G a m m a m e s u r e l a c o n v e x i t é d e l a c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e d e l a v a l e u r d e l a p o s i t i o n g l o b a l e

p a r r a p p o r t a u p r i x d e l ' a c t i o n . I l r e n s e i g n e l e t e n e u r d e m a r c h é s u r l ' é v o l u t i o n d u D e l t a d e s a

p o s i t i o n e n f o n c t i o n d e l a v a r i a t i o n d u p r i x d e l ' a c t i o n . I l s e t r o u v e d é n i c o m m e :

Γ(0, x0) =∂ 2

∂x20

P a(0, x0)

O n n o t e r a a l o r s Γ(0, x0) l ' a p p r o x i m a t i o n d e Γ(0, x0). A n d ' a p p r o c h e r n u m é r i q u e m e n t l e G a m m a ,

n o u s r é i t é r o n s l e r a i s o n n e m e n t e e c t u é p r é c é d e m m e n t p e r m e t t a n t l e c a l c u l d u D e l t a . O n m o n t r e

a l o r s l e l e m m e s u i v a n t :

L e m m e 8 ( C a l c u l d u G a m m a ) P o u r t o u t 0 < ∆t < 1

e t t o u t α ∈ R,

Γ(α) = Ψ(α)1w∆t + exp(−r∆t)K ∆t,2∆t[P 2∆t](α)1w∆t, ( G . 1 2 )

Γ(0, x0) = Ex0

Γ(X ∆t)

, ( G . 1 3 )

o ù K

d é n i c o m m e : p o u r t o u t (s, t) ∈ [0, T ]2

a v e c s ≤ t

, t o u t α ∈ R∗+ e t p o u r t o u t e f o n c t i o n

f ∈ E b(R),

K s,t[f ](α) := U s,t[f ]T 2

s,t

[1R−

U s,t[f ]T s,t[f ]T s,t[1R]

+ 2R2s,t[1RT s,t[f ]]

(α) ∗ T s,t[1R](α)−3,



G . 2 . P R I C I N G E T H E D G I N G D ' U N E O P T I O N A M É R I C A I N E : C A S M U L T I - D I M E N S I O N N E L x x i x

e t o ù l e s o p é r a t e u r s T

e t R

o n t é t é p r é c é d e m m e n t d é n i s e t U

e s t d é n i c o m m e :

U s,t[f ](α) :=1

σs(t−

s)E

f (X t

H (X s − α)

X 3s (∆W s,t)3

σs(t−

s)+ 3(∆W s,t)

2

+ (2σs(t − s) − 3t

σ)∆W s,t − 3st(t − s)

. ( G . 1 4 )

G . 2 P r i c i n g e t H e d g i n g d ' u n e o p t i o n a m é r i c a i n e : c a s m u l t i -

d i m e n s i o n n e l

G . 2 . 1 I n t r o d u c t i o n e t n o t a t i o n s

N o u s a l l o n s c o n s i d é r e r d s o u s - j a c e n t s r é g i s p a r l a d y n a m i q u e s u i v a n t e :

dX (i)t

X (i)t

= (r

−qi)dt +

d

j=1 σi,jdW (j)t ,

o ù W = (W (1), . . . , W (d)) d é s i g n e u n m o u v e m e n t b r o n i e n s u r n o t r e e s p a c e , r l e t a u x d ' a c t u a l i s a -

t i o n , qi l e d i v i d e n d e d e l ' a c t i f X (i) e t (σi,j)1≤i,j≤d d é s i g n e l a m a t r i c e d e d i u s i o n .

C o m m e p o u r l a p a r t i e p r é c é d e n t e , l e p r i x d e l ' o p t i o n a m é r i c a i n e e s t d é n i c o m m e :

P a(0, x0) = ess supτ ∈I 0,T

E(exp(−rτ )Ψ(X τ ))

G . 2 . 2 L e c a l c u l d u D e l t a

C e t t e s e c t i o n n ' e s t c o n s a c r é e q u ' à l ' é n u m é r a t i o n d e s f o r m u l e s d e s d u D e l t a d ' u n e e s p é r a n c e

c o n d i t i o n n e l l e . A n d e c a l c u l e r l e s s e n s i b i l i t é s d e s o p t i o n s a m é r i c a i n e s , i l s u r a d e r é i t é r e r l e

r a i s o n n e m e n t e e c t u é d a n s l e c a s s c a l a i r e . A n d e s i m p l i e r l a p r é s e n t a t i o n d e s l e m m e s d o n n é s

c i - d e s s o u s , n o u s a l l o n s p o s e r :

A(i)s,t :=

1X (i)s

∆W (

i)s,t

σiis(t − s)+ 1

et B(i)

s,t :=H ( X (

i)s,t − αi)X (i)s,t

∆W (i)

s,t

C (i),θs :=H ( X

(i)s,t − αi)

σii[ X (i)s,t ]θ

et D(i)s,t :=

1

σiis(t − s)[ X (i)s,t ]2

[∆W

(i)s,t ]2

σiis(t − s)+ 3∆W (

i)s,t + (2σiis(t − s) − 3t

σii)

H (T , S , f )(.) :=

S [f ](.)T [1Rd ](.) − T [f ](.)S [1Rd ](.)

T 2[1Rd ](.),

o ù S e t T d é s i g n e r o n t d e u x o p é r a t e u r s a g i s s a n t s u r l e s f o n c t i o n s d e E b(Rd) e t f u n e f o n c t i o n d e

E b(Rd

).

L e m m e 9 ( D e l t a d ' u n e e s p é r a n c e c o n d i t i o n n e l l e ) P o u r t o u t (s, t) ∈ [0, T ]2 a v e c s ≤ t , p o u r

t o u t e f o n c t i o n f ∈ E B(Rd), t o u t α ∈ Rde t t o u t i ∈ 1, . . . , d

,

∂ αiE[f (X t)|X s = α] = H (Rs,t, I s,t, f )(α), ( G . 1 5 )

a v e c

I s,t[f ](α) =

dj=1

1

σjjs(t − s)E

f (X t

dj=1

H (X (j)s − αj)

X (j)s

∆W (j)s,t

( G . 1 6 )

Rs,t[f ](α) = −Ef (X t)A(i)s,t

dj=1

B(j)s,t + tEf (X t)C (i),2s,t

dj=1,j=i

B(j)s,t . ( G . 1 7 )



x x x



B i b l i o g r a p h i e

[ B A L 0 1 ] B a l l y , I n t r o d u c t i o n a u c a l c u l d e M a l l i a v i n p r o j e t " M A T H F I " , C e r m i c s 2 0 0 1 .

[ B E N 0 0 a ] B e n h a m o u , A G e n e r a l i s a t i o n o f M a l l i a v i n W e i g h t e d S c h e m e f o r F a s t C o m p u t a t i o n o f

t h e G r e e k s L o n d o n S c h o o l o f E c o n o m i c s , W o r k i n g P a p e r M a r s 2 0 0 0 .

[ B E N 0 0 b ] B e n h a m o u , F a s t e r G r e e k s f o r D i s c o n t i n u o u s P a y o O p t i o n s L o n d o n S c h o o l o f E c o n o -

m i c s , W o r k i n g P a p e r M a r s 2 0 0 0 .

[ B T 0 2 a ] B o u c h a r d e t T o u z i , O n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n s

, P r e p r i n t 2 0 0 2 .

[ F L L L T 9 9 a ] F o u r n i e , L a s r y , L e b u c h o u x , L i o n s e t T o u z i , A p p l i c a t i o n s o f M a l l i a v i n C a l c u l u s t o

M o n t e - C a r l o m e t h o d s i n F i n a n c e F i n a n c e a n d S t o c h a s t i c s , 3 p p 3 9 1 - 4 1 2 1 9 9 9 .

[ F L L L 0 1 b ] F o u r n i e , L a s r y , L e b u c h o u x , e t L i o n s , A p p l i c a t i o n s o f M a l l i a v i n C a l c u l u s t o M o n t e - C a r l o

m e t h o d s i n F i n a n c e I I F i n a n c e a n d S t o c h a s t i c s , 5 p p 2 0 1 - 2 3 6 2 0 0 1 .

[ F R I 0 1 ] F r i z , A n I n t r o d u c t i o n t o M a l l i a v i n C a l c u l u s C o u r a n t I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s ,

N Y U 2 0 0 1 .

[ G K H 0 1 ] G o b e t e t K o h a t s u - H i g a , C o m p u t a t i o n o f G r e e k s f o r B a r r i e r a n d L o o k b a c k O p t i o n s u s i n g

M a l l i a v i n C a l c u l u s R . I . no4 6 4 j u i n 2 0 0 1 .

[ G O B 0 0 ] G o b e t , c o u r s d e m é t h o d e s n u m é r i q u e s D E A P a r i s V I e t P a r i s V I I 2 0 0 0 .

[ G K R 9 5 ] G e m a n , E l K a r o u i e t R o c h e t , C h a n g e s o f n u m e r a i r e , c h a n g e s o f p r o b a b i l i t y m e a s u r e a n d

o p t i o n p r i c i n g , j o u r n a l o f p r o b a b i l i t i e s 1 9 9 5 .

[ J O U 0 1 ] J o u i n i , E v a l u a t i o n d ' a c t i f s n a n c i e r s e t a r b i t r a g e , E N S A E 2 0 0 1 .

[ K A R 0 0 ] E l K a r o u i , c o u r s d e l ' X d e m a t h é m a t i q u e s n a n c i è r e s

2 0 0 0 .

[ K A R 0 0 ] E l K a r o u i , C o u r s d e m a t h é m a t i q u e s n a n c i è r e s D . E . A P a r i s V I 2 0 0 0 .

[ L L 0 0 ] L a m b e r t o n e t L a p e y r e , I n t r o d u c t i o n a u c a l c u l s t o c h a s t i q u e a p p l i q u é à l a n a n c e , E c o n o m i c a ,

2 0 0 0 .

[ L R 0 1 ] L i o n s e t R e g n i e r , C a l c u l d u p r i x e t d e s s e n s i b i l i t é s d ' u n e o p t i o n a m é r i c a i n e p a r u n e m é t h o d e

d e M o n t e C a r l o p r e p r i n t 2 0 0 1 .

[ O K S 9 7 ] Ø k s e n d a l , A n I n t r o d u c t i o n t o M a l l i a v i n C a l c u l u s w i t h A p p l i c a t i o n s t o E c o n o m i c s , O s l o

U n i v e r s i t y , 1 9 9 7 .

[ N U A 9 5 ] N u a l a r t , T h e M a l l i a v i n C a l c u l u s a n d r e l a t e d T o p i c s

S p r i n g e r V e r l a g 1 9 9 5 .

[ R E G 0 0 ] R e g n i e r , I n t e r p r é t a t i o n s p r o b a b i l i s t e s d e s E . D . P . l i n é a i r e s p a r a b o l i q u e s e t a p p l i c a t i o n s à

l a n a n c e , D E A d e p r o b a b i l i t é s e t n a n c e P a r i s V I 2 0 0 0 - 2 0 0 1 .

[ R Y 9 4 ] R e v u z e t Y o r , S t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n , 1 9 9 4 .

[ T L 9 8 ] T e m a m e t L a p e y r e , O n t h e v a l u a t i o n o f A s i a t i c o p t i o n s u s i n g M o n t e C a r l o m e t h o d s , 1 9 9 8 .

x x x i

Documents

Le Calcul de Malliavin Applique a La Finance 04062002