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Le calcul mental
à
l’école élémentaire
animation janvier 2011
Jean-Paul Laurent - maître formateurcirconscription Argenteuil Nord
Les Instructions Officielles 2008
« La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.»
� Mais qu’est-ce qui peut développer le goût de la pratiquedes mathématiques ?
« La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d’études au collège.»
� Quand agit-on les mathématiques dans la vie courante ?� Quand agit-on les mathématiques dans la vie courante ?
� Quels apprentissages leviers pour réussir au collège ?
« L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.»
� Quel sens donner aux apprentissages ?
Au cycle 2
« La connaissance des nombres et le calcul constituent lesobjectifs prioritaires du CP et du CE1. »
« Une pratique régulière du calcul mental est indispensable.Des premiers automatismes s’installent. L’entraînement aucalcul mental permet une connaissance plus approfondiedes nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. »
� Qu’entend-on par une pratique régulière ?
� Quelles interactions entre numération et calcul ?
Au cycle 3Au cycle 3
« L’élève renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. »
� Quels automatismes, quelles connaissances etquelle progressivité pour les apprentissages ?
PROGRESSIONS CP & CE1
CP CE1
- Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables d’addition)
- Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20.
- Connaître la table de multiplication par 2.
- Calculer mentalement des sommes et des différences.
- Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous.
- Connaître les doubles et les moitiés de nombres d’usage courant.
- Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4, 5.
- Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences, des produits.
- Calculer en ligne des suites d’opérations.
- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1000).
- Connaître une technique opératoire de la
Les programmes et le socle commun
des opérations à trous.
- Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100).
- Connaître une technique opératoire de la multiplication et l’utiliser pour effectuer des multiplications par des nombres à un chiffre.
- Diviser par 2 et par 5 des nombres inférieurs à 100.
- Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.
PALIER 1
- Calculer des additions, des soustractions et des multiplications.
- Diviser par 2 et par 5 dans le cas où le quotient exact est entier.
- Restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5.
- Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples.
- Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.
ÉVALUATION NATIONALE CE1
mai 2009 mai 2010
Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits.
27 + 8
15 + 14
16 - 6
42 – 10
25 x 2
11 x 5
7 + 7
9 + 6
6 + 5
8 x 2
6 x 5
4 x 3
9 x 3
12 + 3
23 + 9
13 + 5 + 4
140 + 30
24 – 10
45 – 15
34 – 9
321 – 100
Diviser par 2 ou par 5 dans le cas où le quotient exact est entier.Diviser par 2 ou par 5 dans le cas où le quotient exact est entier.
40 : 5
100 : 2
40 : 5
100 : 2
Connaître les techniques opératoires de l’addition, et de la soustraction (calcul posé).
127 + 323
364 + 78
362 – 126
548 + 265
786 – 145
362 – 126
Connaître une technique opératoire de la multiplication pour multiplierun entier par un nombre à 1 chiffre.
63 x 3
120 x 5
63 x 3
120 x 5
PROGRESSIONS PROGRAMMES CE2-CM1-CM2
CE2
- Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart d’un nombre entier.
- Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant : en 5, 10, 25, 50, 100, 30 et 60.
- Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication.
- Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits.
- Effectuer un calcul posé (addition, soustraction et multiplication).
CM1
- Reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50.
- Consolider les connaissances et les capacités en calcul mental sur les nombres entiers.
- Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000.- Estimer mentalement l’ordre de grandeur d’un résultat.
- Effectuer une addition ou une soustraction posée de deux nombres décimaux.
- Multiplier un nombre décimal par un nombre entier.
- Effectuer la division
CM2
- Consolider les connaissances en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux.
- Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1000.
- Effectuer l’opération posée de deux nombres entiers ou décimaux (addition, soustraction et multiplication).
- Diviser un nombre décimal par un nombre entier.
- Utiliser la calculatrice à bon escient.
- Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre.
- Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé où à l’aide de la calculatrice.
- Effectuer la division euclidienne de deux entiers.
- Effectuer la division décimale de deux entiers.
- Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs.
PALIER 2
- Restituer les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9.
- Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pourla division, le diviseur est un nombre entier).
- Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.
- Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations.
- Estimer l’ordre de grandeur d’un résultat.
- Utiliser une calculatrice.
ÉVALUATION NATIONALE CM2
Janvier 2009 Janvier 2010 Janvier 2011
Calculer mentalement le résultat d’une opération, ou d’une suite d’opérations, ou le terme manquant d’une opération.
0,8 = 8 x --
0,50 = 2 x --
1,5 x 4 = ---
256 + 24 + --- = 400
8,3 x 5 = ---
246 + 34 + --- = 500
Connaître les résultats des tables de multiplication et les utiliserpour retrouver les facteurs d’un produit.
-- x -- = 48
-- x -- = 81
-- x -- = 35
-- x -- = 63
-- x -- = 56
En 18 combien de fois 6 ?
En 56 combien de fois 8 ?
En 36 combien de fois 4 ?
En 35 combien de fois 7 ?
En 49 combien de fois 7 ?
En 20 combien de fois 5 ?
En 56 combien de fois 8 ?
En 63 combien de fois 7 ?
En 15 combien de fois 5 ?
En 28 combien de fois 4 ?
2 x 9
3 x 4
5 x 5
3 x 8
7 x 5
8 x 9
7 x 9
7 x 8
9 x 9
6 x 7
Poser et effectuer une addition, une soustraction ou une multiplication sur des nombres entiers ou décimaux.
120 + 12,78
45,69 – 7,08
15 x 34
39,4 x 6
154,8 + 36,57
138,85 – 49,2
39 x 57
24,3 x 6
208 + 13,75
56,73 – 7,02
14 x 35
46,3 x 9
Poser et effectuer une division d’un nombre entier ou décimal par un nombre entier.
846 : 6
34,6 : 5
544 : 17
276 : 8
738 : 6
238 : 4
Estimer mentalement l’ordre de grandeur d’un résultat.
15,2 x 21
Nombre le plus proche ?
30 300 3000
Programme calcul 6ème
Connaissances Capacités Commentaires
*Valeur
approchée décimale
*Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut) d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près.
Quatre
opérations
- Connaître les tables d’addition et de multiplication et les résultats qui en dérivent.
- Multiplier un nombre par 10, 100, 1000.
- *Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul mental sur des entiers et des décimaux simples.
La division décimale est limitée à la division d’un décimal par un entier. En calcul posé, le dividende comporte au maximum deux chiffres après la virgule.
Multiples
diviseurs
- Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 5, 10.
- Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 3, 4, 9.
La notion de multiple, introduite à l’école primaire, est rappelée sur des exemples numériques, en même temps qu’est introduite celle de diviseur. Les différentes significations de ce dernier terme doivent être explicitées.
Sens - Choisir les opérations qui Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l’aide d’une suite de Sens
des opérations
- Choisir les opérations qui conviennent au traitement de la situation étudiée.
peut être donnée à l’aide d’une suite de calculs, *ou à l’aide de calculs entre parenthèses.
Techniques
élémentaires
de calcul
- Savoir effectuer les opérations sous les diverses formes de calcul : mental, à la main ou instrumenté.
- Connaître la signification du vocabulaire associé : somme, différence, produit, terme, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières. La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes.
Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée.
Ordre
de
grandeur
- Établir un ordre de grandeur d’une somme, d’un produit, *d’une différence.
L’objectif est de sensibiliser les élèves à utiliser les ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat.
Les points du programme (connaissances, capacités et exemples) qui ne sont pas exigibles pour le socle sont écrits en italiques. Si la phrase en italiques est précédée d’un astérisque l’item sera exigible pour le socle dans une année ultérieure. Dire que l’exigibilité pour le socle est différée ne veut pas dire que la capacité ne doit pas être travaillée.
un objet d’enseignement à partager,
des savoirs à enseigner pour le maître,
des compétences à s’approprier pour l’élève
UNE SITUATION PROBLÈME TRIPARTITE
À CALCULER POUR AGIR
□ Une dimension sociale et des fonctions pédagogiques□ Un système de numération et un langage symbolique□ Des formes multiples de traitement□ Des relations arithmétiques et des équivalences□ Des opérateurs et des algorithmes écrits□ Des propriétés (commutativité, associativité, distributivité)□ Des coûts cognitifs, mnésiques et énergétiques
CALCUL
SAVOIRS
automatisé réfléchi posé instrumenté approché
calcul
Enseigner
� Comment contextualiser et motiver les apprentissages ?� Comment prendre en compte l’hétérogénéité et différencier ?� Quelles modalités d’évolution des procédures premières ?� Quelles aides à la mémorisation et à l’automatisation ?� Quelles situations d’apprentissage et quelle progressivité ?� Comment opérationnaliser les connaissances acquises ?
□ Un profil cognitif et affectif propre □ Un rapport à l’école et au savoir□ Un sens de l’effort et un degré de fatigabilité□ Des connaissances et des capacités personnelles□ Des mémoires : travail (MDT) et long terme (ML)
MAÎTRE ÉLÈVE
□ Un profil d’enseignant mais aussi d’apprenant□ Des connaissances didactiques de la discipline□ Une conception et une pratique de la pédagogie□ Une polyvalence à assurer□ Une gestion de l’hétérogénéité à assumer
LES DIFFÉRENTS TYPES
DE CALCUL
5 7
x 3 9
5 1 3
1 7 1 0
calcul posé
calcul approché
Si r est le résultat attendu
r ≈ 60 x 40 = 2400
ou encore
calcul automatisé(peu probable ici !)57 x 39
1 7 1 0
2 2 2 3
ou encore
50 x 40 < r < 60 x 40
ou plus précisément
r ≈ 55 x 40 = 2200
calcul réfléchi
(57 x 40) – 60 + 3
calcul instrumenté
LE CALCUL POSÉ
Le calcul posé est un type de calcul agi. Il relève surtout de la technique et présente peu de difficulté d’apprentissage d’où une certaine prédilection pour son utilisation*.
Cette forme de calcul s’appuie sur :
� la connaissance du système décimal ;
� la manipulation des chiffres ;
� la maîtrise des algorithmes écrits ;
� le calcul automatisé (ou les pratiques de comptage) ;� le calcul automatisé (ou les pratiques de comptage) ;
� la gestion des retenues ;
� l’organisation spatiale du traitement.
* À noter que le calcul posé ne peut pas être systématiquementprivilégié voire imposé dans les situations de résolution deproblèmes si on veut donner tout son sens à l’apprentissage ducalcul réfléchi et garantir dans le même temps le transfert descompétences acquises.
LE CALCUL INSTRUMENTÉ
Instruments électroniques
� Alléger la charge de travail en résolution de problème.
� Effectuer un calcul non maîtrisé.
� Vérifier l’exactitude d’un résultat.
� Mesurer la proximité d’un calcul approché.
Des doigts à la calculette en passant par le boulier et lecompteur numérique, le calcul instrumenté prend desformes variées. Un même outil de calcul peut exercerdifférentes fonctions.
� Mesurer la proximité d’un calcul approché.
� Construire des théories mathématiques.
� Résoudre des problèmes liés à l’affichage des nombres.
Instruments mécaniques
� Transformer des écritures numériques.
� Automatiser des procédures de traitement.
� Pratiquer le calcul réfléchi.
� Mémoriser et exercer les répertoires.
LE CALCUL RÉFLÉCHI
Le calcul réfléchi exact ou approché est un calcul raisonné.Il vise la diminution des coûts de traitement et laréduction des marges d’erreurs en transformant descalculs complexes en calculs simples. Il n’exclut pas untraitement papier/crayon.
Ce type de calcul s’appuie sur :
� la connaissance du système décimal ;
� les relations arithmétiques entre les nombres ;
� les propriétés des opérations ;� les propriétés des opérations ;
� le calcul automatisé ;
� la gestion de traces écrites ;
� la créativité et le raisonnement ;
� les capacités mnésiques (MDT et MLT) ;
� l’initiative et la prise de risque.
LE CALCUL AUTOMATISÉ
Le calcul automatisé est un calcul à prédominance mnésique.Ce type de calcul s’appuie essentiellement sur le stockage enmémoire de résultats et sur leur restitution immédiate ouquasi instantanée après rapide reconstruction. Il permet laréduction maximale des coûts de traitement.
Contrairement à la restitution, la mise en mémoire n’est pas denature automatique. Celle-ci est en effet largement tributairedes aspects suivants :
� l’appropriation du sens opératoire des opérations ;
� la compréhension de l’intérêt du stockage ;� la compréhension de l’intérêt du stockage ;
� la perception des enjeux et des perspectives d’utilisation ;
� la prise de conscience qu’un résultat en génère d’autres ;
� la capacité à réinvestir ses connaissances ;
� la périodicité de l’entraînement au calcul ;
� la qualité des outils et des techniques d’aide à la fixation.
Utilisation
des différents types de calcul
La fée Clochette est satisfaite de sa vente à la foire dupays imaginaire. Elle a en effet réussi à liquider les 18enfants perdus que Peter Pan lui a cédés et qu’elle avendus à un prix de 128 euros pièce.
Clochette aura-t-elle assez d’argent pour s’offrir la robede bal de Cendrillon que Blanche Neige lui propose à2652 euros et évincer enfin cette satanée Wendy quin’est même pas une fille du pays ?
Quelle forme de calcul activer
Petit problème à résoudre
18 c’est presque 20 et 128 c’est presque 130.
130 x 20 = 2600
ET NON WENDY NE POURRA PAS ENCORE
ÊTRE EXPULSÉE CETTE FOIS CI !!!
La stratégie la plus économique pour traiter cettesituation est d’effectuer un calcul approché.
Quelle forme de calcul activer pour répondre à la question posée ?
Du coup, la fée Clochette décide de vendre denouveaux enfants perdus pour pouvoir se payer larobe tant convoitée et parvenir à ses fins.Malheureusement, suite à la chute du cours desenfants perdus, ces derniers ne se vendent plusqu’à 75 euros l’unité. Alors, Clochette se contentede n’en brader que 28 dans l’immédiat.Combien cette vente va-t-elle lui rapporter ?
calcul posé ?
Quelle forme de calcul activer ?
calcul instrumenté ?
2 8
x 7 5
1 4 0
1 9 6 0
2 1 0 0
calcul réfléchi ?
28 fois = 30 fois – 2 fois
75 x 30 – 75 x 2
2250 – 150
2100
TOUT DÉPEND DES COMPÉTENCES DE CHACUN
ET DES OBJECTIFS FIXÉS !
DES COMPÉTENCES LEVIERS
POUR CALCULER
Répertoire additif
� représentation mentale des unités� ajout et retrait de 1, 2 et 5� tables d’addition (sommes et termes)� ajout d’unités à n compris entre 10 et 20� retrait d’unités à n compris entre 10 et 18� ajout et retrait d’unités à un n quelconque� compléments à 5 et à un multiple� ajout et retrait de multiples de 5 entre eux� ajout et retrait de multiples de 5 à n� compléments à 10 et à ses multiples� ajout et retrait de puissances de 10 entre elles� ajout et retrait de multiples de 10 entre eux� ajout et retrait de 10 et de ses multiples à n� ajout et retrait de 10 et de ses multiples à n� ajout et retrait à une puissance et à un multiple de 10� complément d’un décimal à l’entier supérieur� compléments à 10n
Répertoire multiplicatif
� tables de multiplication (produits et facteurs)� carrés des nombres unités� doubles et moitiés des puissances et multiples de 10� doubles et moitiés des multiples de 5� multiplication de multiples de 5 par un nombre unité� doubles et moitiés des entiers jusqu’à 100� moitiés des nombres impairs jusqu’à 9� produits et quotients avec les puissances de 10� opérateurs multiples et puissances de 10 entre eux
MOTIVER LE CALCUL
Pour certains, le goût de la recherche et le plaisir de la gymnastique cérébrale suffisent à leur mobilisation dans les activités de calcul.
Pour d’autres, la perception d’un enjeu et de perspectives d’action est nécessaire à leur engagement.
Les pratiques ci-dessous contribuent fortement à donner du sens aux apprentissages pour mobiliser chacun.
Les pratiques sociales de référence
� activités marchandes
� activités de fabrication, construction, etc.� activités de fabrication, construction, etc.
� jeux de société
� sorties et voyages
Les pratiques scolaires
� vie et projets de la classe, de l’école
� pratique sportive (athlétisme)
� activités scientifiques et technologiques
� jeux de simulation, jeux de rôles
� défis et rallyes de calcul
� jeux de société et utilisation des TUIC
� Instrumentation et dimension sensorielle de lamanipulation
Des procédures variéespour un même calcul réfléchi
La mise en commun des procédures personnelles lorsdes activités de calcul réfléchi permet à chacun deréaliser qu’il existe différents chemins pour arriver àun même résultat. Cette prise de conscience, parcequ’elle est sécurisante, encourage la prise de risque etstimule la recherche.
Les échanges visent l’explicitation des modes deraisonnement, le développement des connaissancesnumériques et des opérations arithmétiques.numériques et des opérations arithmétiques.
La confrontation des procédures appuyées sur desécrits alimente la réflexion collective quant auxdifférents coûts de traitement engagés par lesprotagonistes de ces procédures (nombre d’étapes detraitement, quantité d’écrit et degré de complexité dela démarche).
Chaque apprenant, en fonction de ce qu’il est, peutalors chercher à s’approprier la procédure d’un pairqui lui semble la plus directement accessible dansl’instant.
75 x 28
(70 x 20) + (5 x 20) + (70 x 8) + (5 x 8)
(75 x 20) + (75 x 8)
(28 x 70) + (28 x 5)
(75 x 30) – (75 x 2)
28 x 3/4 x 100*
7 x 4 x 75
CALCUL MULTIPLICATIF RÉFLÉCHI
7 x 4 x 75
L’activation d’une procédure réfléchie dépend :
� des connaissances sur les nombres ;
� du contexte numérique du calcul* ;
� de la maîtrise des répertoires de base ;
� des compétences méthodologiques ;
� de la confiance en soi.
* Par exemple, transformer 75 en 3/4 x 100, comme il est proposé ici,ne serait pas le plus judicieux pour calculer 27 x 75.
Fréquence des activitésde calcul mental
Le calcul automatisé
Pour prétendre à quelque efficacité, le calcul automatisédoit faire l’objet d’une séance quotidienne rythmée surune durée d’environ 10 minutes.La mise en place d’épreuves régulières (matchs) a un effetdynamisant. Le relevé des résultats permet à chacun demesurer ses progrès et de réfléchir aussi, le cas échéant, àses difficultés.
Le calcul réfléchi
Une séance hebdomadaire de 20 à 30 minutes sembleune bonne fréquence pour permettre de s’approprier etd’exercer les procédures mutualisées ou d’en découvrir denouvelles.
ÉVOLUTION DES
PROCEDURES PREMIÈRES
Les procédures premières sont particulièrement résistantes.Par nature, il est en effet sécurisant de se raccrocher à cequ’on sait faire. Aussi est-il difficile et déstabilisant dedevoir faire le deuil de ce qui jusque là a fonctionné poursoi.
À l’école, le climat de la classe et le statut donné à l’erreursont déterminants dans l’acceptation de la prise de risquequ’entraîne toute dynamique de progression.
La prise de conscience des limites d’une procédurepremière et l’émergence du besoin de la faire évoluer voired’en changer peuvent se réaliser en jouant sur différentesvariables didactiques, notamment :
� le paramètre temps* ;
� le domaine numérique manipulé ;
� l’enjeu donné à l’activité et la perspective d’action.
* Le simple recours à un chronomètre ou à un sablier peut donnerune toute autre dynamique à une séance de calcul automatisé.
DES REPRÉSENTATIONS POSSIBLES
POUR
ILLUSTRER & FIXER
LES
PROCÉDURES DE BASE
Visualisation directe du 10Visualisation directe du 10
10 5
15
9 + 6
Recherche du complément à 10Recherche du complément à 10
9 + 1 + 5
10 + 5
15
9 + 6
Décomposition des termesDécomposition des termes
5 + n5 + n
5 + 5 + 4 + 1
10 + 5
15
9 + 6
5 + 4 + 5 + 1
9 + 6
Passage par 10 avec retraitPassage par 10 avec retrait
9 + 6
10 - 1 + 6
10 + 6 - 1
16 - 1
15
ARBRE DE CALCULARBRE DE CALCUL
RETOUR AU 5RETOUR AU 5
5 + 1
+7
5 + 2
6
13
10
2 + 15 + 5
3
ANIMATION
CALCUL MENTAL
ÀÀ
L’ÉCOLE ÉLÉMENTAIRE
Jean-Paul Laurent, Argenteuil janvier 2011
DES OUTILS POUR LE MAÎTRE
Documents d’accompagnement des programmes 2002Mathématiques 2002 ©CNDP 2005
Documents d’application des programmes 2002Mathématiques Cycle 2 ©CNDP 2002
Documents d’application des programmes 2002Mathématiques Cycle 3 ©CNDP 2002
Le nombre au cycle 2, Programmes 2008, ©CNDP 2010
