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Mcanique des structures Flambement TS

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Chapitre 10 - Le flambement

SOMMAIRE

I - Quest-ce que le flambement ?......................................................................................... 103

II - Mise en vidence du flambement ................................................................................... 103

III - Charge critique dEuler Nc........................................................................................... 103

IV - Influence des liaisons aux appuis ................................................................................. 105

V - Contrainte critique dEuler............................................................................................. 106

VI - Dimensionnement et vrification des sections.............................................................. 106

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I -QUEST-CE QUE LE FLAMBEMENT ?Le flambement est en fait une sollicitation compose de compression et de flexion, mais

dont ltude est diffrente de la flexion compose parce que les mthodes sont diffrentes et

que le flambement est un phnomne rapidement destructif. En effet, dans le cas du

flambement, les dformations ne peuvent plus tre supposes infiniment petites et ngligescomme dans les chapitres prcdents. De mme, les forces extrieures ne sont plus

proportionnelles aux dformations et, dans certains cas, de grandes dformations peuvent tre

causes par des accroissements de charge infimes. Tous ces phnomnes sont connus sous le

nom dinstabilit lastique. Le risque de flambement dun lment tant li aux dimensions de

cet lment, on dit que le flambement est un phnomne dinstabilit de forme.

II -MISE EN EVIDENCE DU FLAMBEMENT

l0

x

y

N

A

B

z

y G

Considrons une pice lance (telle que sa longueur soit trssuprieure sa plus grande dimension transversale), de ligne

moyenne rectiligne, de section droite constante, articule ses deuxextrmits, et soumettons la un effort normal de compressioncentr.

On observe successivement deux types de sollicitation :

- pour un effort N infrieur une limite Nc, la poutre est

comprime, elle reste rectiligne et se raccourcit.

- Lorsque N atteint Nc, la poutre flchit brusquement et se

rompt trs vite. On observe que la flexion se produit dans le

plan perpendiculaire la direction de plus faible momentquadratique de la section de la poutre. Pour le schma ci-

contre par exemple, la flexion se produit dans le plan (A, x,

y), perpendiculaire (G, z) (rotation de la poutre autour delaxe z).

La valeur Nc (ou Fc) de leffort de compression partir de laquelle se produit le flambementsappelle charge critique dEuler.

III -CHARGE CRITIQUE DEULER NCModlisons la poutre par sa ligne moyenne AB et supposons que

sous linfluence des efforts en A et B, cette ligne moyenne prenne

une trs lgre courbure (accentue sur le schma ci-contre)

Si x et y sont les coordonnes dun point courant G de la fibre

moyenne, y est la dforme de cette fibre.

Habituellement, en ce qui concerne lquilibre statique, on

considre que les dformations sont petites et que la fibre moyenne

na pas boug aprs dformation. Dans ce qui suit, nous allons au

contraire prendre en compte linfluence des dformations sur

lquilibre statique et considrer le moment secondaire quelles

provoquent. Ce moment de flexion dans la section vaut :

l0

x

y

N

A

B

x

y

- N

M(x) = - N y

( ) yNxMz =

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Utilisons la formule vue au chapitre sur la flexion :

( )xM''yEI zGz = ( ) 0xM''yEI zGz = 0yN''yEIGz =+

0yEI

N''y

Gz

=+ quation diffrentielle du 2me ordre.

La solution gnrale de cette quation est de la forme :

y = A cos x + B sin x avec =GzEI

N(1)

Dtermination des constantes avec les conditions aux limites :

Pour x = 0, y(0) = 0 ; donc A = 0

Pour x = l0, y(l0) = 0 ; donc B sin x = 0

A tant nul, il est vident que B 0 (sinon pas de flambement),

sin l0 = 0

l0 = n avec n = 1, 2, 3,

n = 1 1er

mode de flambement 0l

= (2)

Equation de la dforme ; ( )

=

0l

xsinBxy

)2(

)1(

Gz

2

0

22

EI

N

l=

=

La rsolution de cette quation permet de trouver N provoquant la dforme, c'est--dire la

charge critique dEuler Nc au-del de laquelle le flambement se produit :

2

0

Gz

2

cl

EIN

=

dans le cas de la poutre bi-articule tudie (lf= l0 - voir paragraphe suivant)

et le moment quadratique le plus faible (ce nest pas toujours le cas)GzI

Plusieurs cas sont possibles pour la poutre :

- N < Nc : compression simple, la poutre reste droite, elle est dite en quilibre stable.

- N = Nc : la poutre peut rester droite ou flchir (flamber) avec une flche gale B, elle

est dite en quilibre neutre. A noter que B = ymaxi est en gnral petit.

- N > Nc : il y a instabilit en position droite (quilibre instable) avec une forte tendance

au flambement. B augmentera trs rapidement avec un lger accroissement de N.

Remarques :

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- Le flambement se produit suivant un axe perpendiculaire

laxe du moment quadratique le plus faible. Pour les deux

sections reprsentes, Iy < Iz, le flambement se produit dans le

plan (x, z).

- Pour les cinq sections reprsentes, toutes de mme

aire, celle du triangle quilatral (c) est celle qui rsiste

le mieux au flambement (21% plus rsistante que la

section circulaire).

IV -INFLUENCE DES LIAISONS AUX APPUISOn peut gnraliser les rsultats tablis pour la poutre bi-articule pour des poutres dont les

conditions dappuis sont diffrentes. Lexpression gnrale de la charge critique dEuler est :

2

f

youGz

2

c

l

EIN

= avec lf : longueur de flambement

Longueur de flambement lfen fonction des liaisons aux appuis

A et B sont sur la mme verticaleDplacement de B

en tte de poteau

0f ll = 0f l22l =

2ll 0f = 0f l2l = 0f ll =

Il faut en pratique envisager lfy et lfz pour dterminer les conditions de flambement dans les

deux directions.

V -CONTRAINTE CRITIQUE DEULER

A

B

d

A

B

d

A

B

A

B

0l

A

B

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