Le nombre d’orCes pages ont été conçues à partir d’ ouvrages cités dans la bibliographie, également à partir des travaux

réalisés par les élèves de seconde du Lycée Jean Monnet d'Aurillac et par les élèves du Lycée Adam de

Craponne à Salon de Provence.Merci aussi au site Nombredart.

Ces documents ont été récoltés, agencés, complétés par Marie-Hélène Cousyn et Françoise Verwaerde.

Mais qu’est-ce donc que le nombre d’or ?!

Encore un truc de matheux?Eh bien, pas du tout! Ou plutôt… ce ne

sont pas les matheux qui l’ont le plus utilisé!

C’est un nombre un peu mystérieux que l’on rencontre depuis la plus haute antiquité, dans des domaines aussi divers que l’architecture, la peinture, la biologie, et même la poésie et la musique...

Alors, si vous voulez en savoir plus, venez visiter notre exposition, dans la salle de conférence à côté de l’amphi, du 13 au 18 Octobre!

Nous serons à votre entière disposition!

Dans la pomme de pin…

Le Corbusier et son Modulor

Salvador Dali, « demi tasse géante volante »…venez découvrir le lien entre ce tableau et le nombre d’or!

Un dodécaèdre de Léonard de Vinci

Présentation en deux pôles,avec tout d’abord :

Le nombre Phi

La lettre grecque Phi désigne une constante mathématique appelée Nombre d'Or, d'une valeur approchée de 1,618.

Ainsi, lorsque le rapport entre la hauteuret la largeur d'un rectangle correspond à Phi, on parle d'un Rectangle d'Or : C'est le cas, par exemple, d'un rectangle de 144 mm X 89 mm.

Largement utilisé en art et en architecture, le Nombre d'Or représente un idéal d'équilibre et d'élégance des proportions.

Il permet, en établissant un rapport constant,de générer des formes s'imbriquant harmonieusementl'une dans l'autre grâce à leur isomorphisme.

Et ensuite:Fibonacci

Leonardo de Pise,dit Fibonacci,

Ce mathématicien italien du Moyen-Âge(1175-1240), est reconnu comme l'inventeur d'une suite de nombres instaurant un rapport apparentéau Nombre d'Or.

Dans une suite de Fibonacci, chaque nombre représente la somme des deux nombres qui le précèdent :0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...Plus on avance dans la suite, plus le rapport entre deux nombres consécutifs se rapproche de Phi, (1,618…) :

8 ÷ 5 = 1,6 55 ÷ 34 = 1,617 144 ÷ 89 = 1,6179

Cette suite se retrouve de manière spontanée dans le corps humain, en botanique

et en zoologie dans les problèmes de croissance.

Enfin, elle a été utilisée en architecture, en poésie, ou

en musique.

Histoire dunombre d’or

Dans l'Antiquité, le nombre d'or fut la clef de diverses constructions géométriques, notamment en architecture.

On y trouve sa trace dans certains éléments de la pyramide de Chéops, de la tribune de l'Erechthéion et

surtout du Parthénon, tant pour les proportions d'ensemble que pour les détails de structure, en particulier

en ce qui concerne les chapiteaux. Le nombre d'or est aussi la clef de l'harmonie de nombre de chefs-d'oeuvre

de la sculpture et de la peinture. Un exemple de construction moderne où on utilisa les propriétés du

nombre d'or : le Modulor de l'architecte Le Corbusier.

L' Antiquité Égyptienne

La pyramide de Khéops…

La pyramide de Khéops (vers 2600 avant J-C)• Ce rapport, ϕ, était donc déjà utilisé dans les

constructions de l’Égypte antique. Nous pouvons citer comme principal exemple la célèbre pyramide de Kheops, l’une des sept merveilles du monde.Il s’agit d’une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions originales étaient, selon l’astronome Piazzi-Smith de 148, 208m de haut et de 232,805m de base

l Pour la pyramide de Khéops le rapport entre l’apothème(a) et le demi-côté(c) est égal à ϕ.Selon Hérodote la pyramide de Khéops, de base carrée, dont les surfaces latérales sont des triangles isocèles, possède la propriété suivante: «Les surfaces latérales triangulaires ont une aire égale à celle du carré construit sur la hauteur de la pyramide» …(b²=cxa?.....A vérifier!)

Le nombre d’or dans la Grèce antiqueLe Parthénon d’Athènes...

le Parthénon chez les Grecs (entre 447 et 432 avant J-C),l Le Parthénon s'inscrit dans

un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or.Sur la figure :

Sur la toiture du temple,

Le rectangle GBFH est appelé rectangle Parthénon.

DCDE

= Φ

GFGI

= Φ

l Les Grecs furent les premiers à transcrire en textes écrits les propriétés du nombre d’Or. Dans Les Éléments d’Euclide le Nombred’Or apparaît comme nombre irrationnel. Il est lié au problème classique de la division en moyenne et extrême raison. Il est aussi lié aux propriétés des décagones et pentagones réguliers, du dodécaèdre, dont les douze faces sont des pentagones réguliers convexes et de l’icosaèdre dont les 20 faces sont des triangles équilatéraux.

l Euclide ne semblait pas être fasciné par le côté mystique du nombre d’Or. Pourtant le pentagone étoilé « le Pentacle » possédait unevaleur symbolique chez les Grecs.

l La Géométrie d’Euclide a permis le perfectionnement du Compas. Le développement du procédé numérique ayant supplémenté le compas, des recettes intéressantes malheureusement transmises par tradition orale, ont été oubliées.

Le nombre d’or dans la Grèce antique

Le pentagrammeOn pense que c'était le

signe de ralliement des Pythagoriciens.

Le pentagramme était considéré par les anciens comme un symbole universel de perfection et de beauté.

On le retrouve dans des créations artistiques, sur certaines monnaies, dans les rosaces des cathédrales, sur des drapeaux et les insignes de certaines sectes.

Au Moyen-Age:la suite de Fibonacci.

Au Moyen Age, le Nombre d’Or fut marqué par le traité de l’un des plus grands mathématiciens de l’époque: Léonard de Pise dit Fibonacci.

Il nous a laissé la « suite » de nombres dite de Fibonacci, qui débouche sur le Nombre d’Or (voir introduction de l’exposition).

De l'Art Gothique à la Renaissance:

le pentagone régulierAu Moyen Age, les

peintres se servaient essentiellement du nombre d’or avec le pentagone régulier.

Cela impliquait une peinture aux règles complexes, chaque ligne chaque perspective étant étudiée dans l’optique du nombre d’or, de la proportion divine.

Le pentagone régulier a la propriété intéressante de posséder le nombre d’or en toutes ses parties.

En 1509, en pleine Renaissance, le moine franciscain Luca Pacioli donna une dimension mythique au nombre d’Or avec son ouvrage intitulé « De divinaproportione ». Cet ouvrage illustré par Léonard De Vinci est le premier qui présente le nombre d’Or dans ses propriétés mathématiques, esthétiques et même mystiques. De nos jours, après une période de purgatoire l’œuvre de Luca Pacioli est redevenu une référence.

De l'Art Gothique à la Renaissance:Un moine et une proportion divine!

Ce tableau, de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème, fait apparaître le partage " en extrême et moyenne raison " (la " divine proportion ").On y retrouve en effet, le nombre d'or : Si E est la projection orthogonale sur (D C) de l'extrémité de l'index de la main gauche du moine on a : DC / DE = ϕ . Par ailleurs, le pouce et l'index gauches de Fra Luca Pacioli partagela hauteur du livre selon la section dorée.

Fra Luca Pacioli : moine franciscain et mathématicien (1445 – 1517, Rome) .

D CE

Le nombre d’or dans la Peinture

de la renaissanceLe nombre d’or apparaît dans certains tableaux

de Bottticelli (1445-1510)(certaines fresques de la Chapelle Sixtine à Rome), de Le Titien (1488-

1576), de Dürer (1471-1528)(La Mélancolie),

Pour cette exposition, nous avons choisi de vous présenter l’intervention du nombre d’or chez:

Dürer, Botticelli, Léonard de Vinci, Raphaël, Velazquez.

La Vierge dans la prairie ou Madone du Belvédère, de Raphaël

Le groupe, ramassé en une composition bien équilibrée, s'inspire de la Sainte Anne de Léonard de Vinci.

Au mystère de l'œuvre de Léonard s'est substitué un enchaînement concentrique de gestes et de regards affectueux.

Ici, l'inscription dans un cercle et dans un triangle équilatéral est apparente (bâton, regard de la Vierge…etc)

J et Y divisent le segment [AC] selon le nombre d'or et de même pour K; Z et I; X pour respectivement [AB] et [BC].

La Vierge dans la prairie ou Madone du Belvédère,

Portrait d’Isabelle d’Este par Léonard de Vinci

1Φ

2Φ 1Φ

22Φ

2Φ

Léonard de Vinci et le corps humain

Léonard de Vinci a étudié les proportions du corps humain et aurait trouvé une analyse harmonique autour du nombre d'or. Il est évident qu'en choisissant certaines lignes on approchera le nombre d'or.

Evaluer le degré de perfection avec le nombre d'or est inquiétant ! Il est évident que, selon les êtres humains les proportions ne sont pas respectées et la théorie de la beauté basée sur ce nombre est pour le moins étonnante !(Lire la numérologie de Jean-Paul Delahaye « Pour la Science Scientific American », Août 1999)

Deux exemples de rapports ( vous pourrez vous tester! ):

-Le rapport de la hauteur totale du corps à la hauteur du nombril est égal au nombre d’or.

-Le rapport de la longueur de la première phalange à la deuxième, de la deuxième à la troisième est égal au nombre d’or

Le nombre d’or dans la peinture contemporaine

Nous avons sélectionné, pour cette période: Piet Mondrian, Salvador Dali, George Seurat et Anna-Eva

Bergman

1

Φ

1

1Φ

21

Φ

14

Salvador Dali« Demi-tasse géante volante »

31

Φ

1 Φ2Φ

Dali:« Sacrement de la dernière cène »

Il y a peu de doute concernant l’utilisation du nombre d’or par le peintre surréaliste Salvador Dali dans ce tableau. On peut dire qu’il l’a utilisé délibérément. Les rapports de distances utilisés dans « Le Sacrement de la dernière cène » correspondent au nombre d’or.

Dali y intègre également un énorme dodécaèdre qui engloutit la table. Le dodécaèdre selon Platon est le solide que Dieu a employé pour disposer les constellations dans le ciel et qui possède un rapport très étroit avec le nombre d’or ( sa superficie et son volume sont de simples fonctions du nombre d’or).

Salvador Dali a ici délibérément utilisé le nombre d’or . Ce sont les œuvres majeures de sa Période Atomique où il recherchait plus que tout l’harmonie grâce aux mathématiques.

Polyèdres de Léonard de Vinci

et nombre d’or

Léonard de Vinci a réalisé les dessins de 60 polyèdres pour le livre de Luca Pacioli, « De

Divina Proportione ».En voici quelques exemples

Certains dessins ont été réalisés par les élèves de seconde du lycée J. Monet , d’Aurillac.

Dodécaèdre

Le dodécaèdre est un solide a 20 sommets, limité par douze pentagones.

Il est dit régulier lorsque les faces sont égales.

Dodécaèdre régulier dessiné par Léonard de Vinci pour le De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli.

Suite de la construction du dodécaèdre

Si on joint les milieux des faces du dodécaèdre on obtient 3 rectangles d'or perpendiculaires deux à deux.

L'icosaèdreL'icosaèdre est un

polyèdre à 12 sommets, limité par vingt triangles.

L'icosaèdre est régulier quand ses faces sont des triangles équilatéraux égaux entre eux. Il est inscriptible dans une sphère Icosaèdre régulier dessiné par

Léonard de Vinci pour le De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli.

Suite de la construction de l’icosaèdre régulier

Si on divise les arêtes d'un octaèdre régulier(en jaune) selon le rapport d'or BM/MA=phi=1,618 de sorte que les points de découpage de chaque face forment un triangle équilatéral, les 12 points ainsi définis constituent les sommets d'un icosaèdre régulier.

Le nombre d’or et les bâtisseurs

Où l’on vous parle du quine: mesure des bâtisseurs de

l’antiquité au XIXème siècle…

Le quine: mesure des bâtisseurs

L’ usage du QUINE s’est généraliséde l'antiquité au 19ème siècle dans le bassin méditerranéen et en Europe.

Le quine est utilisé par les architectes des monuments antiques romans et gothiques, et les 'œuvriers' pratiquant l‘ « art du trait »: méthode de tracés et de calculs réalisés avec la règle et le compas.

Un quine est la suite de cinq mesures étalonnées sur les dimensions du corps humain(par ordre croissant:paume, palme, empan, pied, coudée).

Les partages du QUINE forment une suite additive, chaque dimension est la somme des deux précédentes, comme dans la suite de Fibonacci :

COUDEE = PIED + EMPANPIED = EMPAN + PALME

EMPAN = PALME + PAUME

Selon les pays, les époques, les régimes, les religions ou les monuments les mesures de bases étaient différentes mais la progression était semblable.

Le pentagramme et le quine

On retrouve les proportions du quine dans le pentagramme:

Le pentagramme, le quine et le nombre d’or

Φ2

Φ

11/Φ2

1/Φ

La suite de mesures du quine

est donc aussi géométrique,

puisque le rapport entre deux mesures consécutives est le

nombre d'or.Nous le visualisons sur le pentagone ci-

contre.

Or, le pentagramme a les proportions suivantes:

Pentagone régulier, le quine et le nombre d’or

OP = PG = Φ2 =la coudée

OG = GH = Φ = le pied

OH = HL = 1 = l’empan

OL = LN = 1/Φ = le palme

ON = NQ = 1/Φ2 = la paume

Ou: « Comment retrouver le quine à partir du pentagone régulier? »

Le quine, les grains d’orge et la suite de Fibonacci

Outre les dimensions du corps humain, le QUINE a aussi comme étalon le grain d'orge dans le sens de la longueur, appeléla LIGNE (environ 0.2247 cm): LIGNE : 1 grain d'orgePOUCE : 12 lignes PIED : 12 pouces TOISE : 6 pieds Le QUINE devient alors: PAUME : 34 lignes

PALME : 55 lignes EMPAN : 89 lignes PIED : 144 lignes COUDEE : 233 lignes

Nous retrouvons ici cinq nombres de la suite de Fibonacci!

Rosace de la Cathédrale d’Amiens

On remarque

le pentagone étoilé au centre de la rosace

Le nombre d’or dans l’architecture

contemporaine

Charles-Edouard Jeanneret (Le Corbusier)

« Le Modulor » de Le Corbusier

Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps

humain

Dans Le Modulor on a les rapports suivants:226/140=1,61=phi; 183/113=1,62=phi; 140/186=1,62=phi; 113/70=1,61=phi; 70/43=1,62=phi; 43/27=1,6=phi

Le Corbusier (1946) découvre le secret d'une construction en série en inventant le Modulor, système de proportions architecturales pour harmonie et rapidité de construction.

Les ressources du «Modulor», système de calcul de proportions mis au point par Le Corbusier de 1945 à 1955, sont exploitées pour la première fois au moment de la réalisation de la «Cité radieuse» de Marseille (1947-1952), vaste bâtiment qui comprend 350 logements répartis sur huit doubles niveaux. D'autres «unités d'habitation de grandeur conforme» sont construites à Nantes-Rezé (1952-1953), à Briey-en-Forêt (1957), à Berlin (1957).

Explication Mathématique:Dégageons l’utilisation du nombre

d’or dans le plan choisi :On constate que la balustrade, le

rebord en ciment, les fenêtres du premier et deuxième étage sont placés selon le rapport phi. De plus, la façade s'inscrit à peu prés dans un rectangle d'or.AE/GE= ϕ; AE/AC=ϕ ; CE/DE=ϕ ; BD/BC= ϕ; BC/BF= ϕ.

Objectifs de l’artiste:Ces masses architecturales

fonctionnelles, dont l'emprise au sol est réduite au minimum, présentent, compte tenu de leur gigantisme, un surprenant caractère de légèreté. Le souci d'une expression plastique variée, inséparable de ce qu'il appelle «l'acoustique paysagiste», prédomine dans les réalisations de l'architecte qui s'étendent des années 1950 à la fin de sa vie.

Le Corbusier et le Modulor

Le nombre d’or dans la nature

Le nombre d’or dans le règne animal:Le Nautile

Le nautile est un coquillage dont l' intérieur présente une spirale formée d'une douzaine de petites loges séparées les une des autres par des cloisons de nacre . Cette spirale est dite équiangulaire : Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît mais la forme du coquillage conserve la structure d'une spirale logarithmique .

La spirale de gauche a été tracée par ordinateur . Son équation en coordonnées polaires est : r = exp(1/3.14*ln(1.618)*θ ,où r est le rayon vecteur et θ l'angle polaire .

Dans cette spirale le rapport entre deux rayons vecteurs opposés est le nombre d'or ϕ = 1.618 . Le modèle mathématique se superpose exactement à la réalité

Le Nautile

Le Nautile

Encore dans le règne animal:Les Abeilles

L'abeille femelle a un père et une mère (la reine), tandis que l'abeille mâle n'a qu'une mère.

On souhaite connaître le nombre Un d'ancêtres d'une abeille mâle M présents à la nième

génération le précédant L'arbre montre le calcul de Uo , U1 , U2 , U3...

Ces nombres suivent la suite de Fibonacci!

…Et selon Fibonacci

LE NOMBRE D'OR DANS LE RÈGNE VÉGÉTAL

Lorsque nous regardons attentivement certains végétaux, on peut y découvrir le nombre d'or.

Cependant, c'est depuis peu que nous avons compris pourquoi chez de nombreux végétaux, feuilles, écailles et pétales forment des spirales qui sont reliées au nombre d'or: Ces figures ne font pas partie du patrimoine génétique de ces végétaux, mais plutôt de leur dynamique de croissance qui provoque l'apparition de ces spirales liées au nombre d'or.

En effet, lors de la croissance de ces végétaux, on remarque la constance du nombre d'or. Par exemple, dans la pomme de pin, on retrouve 5 spirales dans le sens des aiguilles d'une montre et 8 dans le sens opposé, ou 8 et 13 chez l'ananas ou même 34 et 58 pour le tournesol (rappelons-nous, par exemple, que les rapports 8/5;13/8 et 58/34 s'approchent grandement du nombre d'or...). Ces nombres appartiennent à une suite célèbre : la suite de Fibonacci.

La margueriteLes "fleurons" du coeur d'une margueritesont alignés selon la spirale de Fibonacci.

La Pomme de Pin l La pomme de pin

montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens.

l 8 et 13 sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci : 1;1;2;3;5;8;13.

Nombre d’or et Fractales

.La période des ampoules dans l’ensemble de

MandelbrotRegardant l'ensemble de

Mandelbrot, nous voyons une cardioïde principale, sur

laquelle se développent des ampoules ou des espèces de

bulles.

Récapitulation des résultats

l Récapitulons l'ensemble des résultats de ces observations expérimentales dans un tableau

34217

21136

1385

854

533

322

Ordre de la tête

Rang de la Tête

N° de la tête

L'ENSEMBLE DE MANDELBROT ET LA SUITE DE FIBONACCI

L'ENSEMBLE DE MANDELBROTET LA SUITE DE FIBONACCI

Récapitulation des résultats l On remarque que le rang et

l'ordre des têtes de l'ensemble de Mandelbrot forment deux suites où chaque terme est égal à la somme des deux termes précédents. On peut donc en déduite le rang et l'ordre des têtes n°8, n°9, n°10, etc... sans les avoir observées :

Etc…

23312233144111448910895595534834217211361385854533322

Ordre de la tête

Rang de la Tête

N° de la tête

Et le nombre d'or dans tout ça ?

l Le rapport entre l'ordre et le rang d'une tête de l'ensemble de Mandelbrot, tend vers le nombre d'or lorsque le numéro de la tête tend vers l'infini.

l

l Autrement dit, pour une tête dont le numéro est suffisamment grand, on peut écrire que :

l l'ordre = le rang x le nombre d'or

L'ENSEMBLE DE MANDELBROT ET LA SUITE DE FIBONACCI

Nombre d’or et Mathématiques

-Les premiers textes écrits parlant de ce nombre et de ces propriétés sont des textes de géomètres grecs, en particulier « Les éléments » d’Euclide (300 Avant J.C.).Dans ces textes, ce nombre

n’a pas encore d’appellation particulière.-Au XIIème siècle,un important traité « Liber Abaci » de Léonard

de Pise, dit Fibonacci (né en 1180 en Italie) traite de ce nombre et de ces propriétés en utilisant une suite de nombres, appelée suite

de Fibonacci.-En 1509, c’est le moine Luca Pacioli et le peintre Léonard de Vinci

qui le nomment proportion divine, ou section dorée.

Nous allons explorer ici quelques-unes de ses multiples propriétés mathématiques.

Le nombre d’or:la « proportion divine »l Depuis l'Antiquité, les

géomètres et les philosophes ont cru à l'existence d'une proportion privilégiée que les artistes de la Renaissance appelèrent le « Nombre d'or ». Une harmonie, que certains estiment parfaite, existe entre deux grandeurs, notamment entre deux dimensions, lorsque celles-ci sont entre elles dans la même proportion que la plus grande avec leur somme.

A C B

LlL

lL +

=

L l

L+l

illustration:…

Si on a:

L’harmonie est parfaite!...

Partage d’un segment en extrême et moyenne raison

A C B

y x

Le segment [AB] ci-contre est dit partagé en « extrême et

moyenne raison » si:

Solution de cette équation (et lien avec le nombre d’or…) sur l’affiche suivante!

Une équation du second degrél Dans un document de géométrie rédigé par des mathématiciens

de Mésopotamie, on trouve la phrase suivante:« j’ai retranché le côté de mon carré de la surface de ce carré: je trouve 1 »En langage algébrique contemporain, si on désigne par x le côté du carré, on obtient l’équation:

l Montrer que l’’équation équivaut à

l Vérifier que les réels et sont solutions.

2 21 1 0x x soit x x− = − − =

1 52

ϕ+

=1ϕ

−

2 2 21 12 2

5 5( ) 0 ( ) ( ) 04 2

x soit x− − = − − =

Φ et −1/Φ à l’intersection de deux courbes (puisque solutions de l’équation x²=x+1!)

Φ1−

Φ

2x xa1x x +a

sont les abscisses des points d’intersection.

1etΦ −Φ

Φ et 1/Φà l’intersection de deux courbes

11xx

+a x xa

Φ

1−

Φsont les abscisses des points

d’intersection1etΦ −Φ

Des fractions continues pour approcher le nombre d’or

Choisir A, A>0

Calculer B = 1+1/(1+A)

noter B

Recommencer enremplaçant A par B

A B

A 111

BA

= ++

Choisir A = 1

Le rectangle d'or:

l Si dans un rectangle ABCD, établi suivant la proportion du nombre d'or, on construit, sur le petit côté AB, un carré ABEF, on découpe un rectangle FECD semblable au premier; en poursuivant cette opération de découpage, qui peut être continuée indéfiniment, on obtient toujours un rectangle IECJ, puis GHCJ... de proportions idéales.

l Inversement, en accolant un carré BKLC au grand côté BC d'un rectangle parfait ABCD, on obtient un autre rectangle parfait AKLD, et ainsi de suite.

ADAB

= Φ

Triangles d'orl Si l'on prend ce triangle et que l'on

coupe ce triangle par une bissectrice, on obtient 2 nouveaux triangles; ce sont encore des triangles d'or. On dit que l'un est le gnomon de l'autre.Ce processus peut se répéter, les triangles deviennent de plus en plus petits et semblent s'enrouler autour d'un point limite. Ce point est à l'intersection de la médiane CM du triangle ABC et de la médiane DN du triangle BCD.

Une spirale logarithmique inscrite dans un rectangle d'or

Côtés du pentagone et du décagone réguliers.

l On note e le côté du pentagone étoilé alias le pentagramme

l c le côté du pentagone convexe

l d le côté du décagonel R le rayon du cercle

On a les relations suivantes :

1 52

e Rc d

+= = Φ =

10 2 52Re = +

10 2 52Rc = −

( 5 1)2Rd = −

Pour sa beauté:Une formule qui relie π et le nombre d'or ϕ!

Joli, ce lien entre deux nombres irrationnels, n’est-ce-pas?...

Constructions, règle et compas

Ces constructions ont été réalisées à la règle et au

compas (virtuels) avec le logiciel géoplanW.

Construction du rectangle d’or à partir du carré fondamental

l Soit un carré ABCD de côté 1. Placer M, milieu de [DC]. Tracer l’arc de cercle de centre M, de rayon MB, qui coupe la droite (DC) en P.DC / CP = DP / DC = Φ.Tracer le segment PE perpendiculaire en P à (DC), qui coupe la droite (AB) en E.

l Ainsi on obtient le rectangle d’or AEPD car le rapport des côtés du rectangle AEPD est DP / AD = Φ. Si AD = 1, alors DP = Φ.

l ΝΒ: Le rectangle BEPC est aussi un rectangle d’or et CP = 1 / Φ.

E

Tracé du rectangle d’or à partir du triangle 3-4-5

l Soit le triangle familier ABC rectangle en B tel que AB=3, BC=4, AC=5.

l Tracer l’arc de cercle de centre A de rayon AC qui coupe (AB) en O.

l Tracer l’arc de cercle de centre O, de rayon OC qui coupe (AB) en E.

l Le rectangle EBCF de diagonale EC est un rectangle d’or: BE / BC = Φ.

B

C

A O E

F

AB

C

O E

F

Φ2 Φ 1

1 1 / Φ 1 / Φ2

Tracé du rectangle d’or à partir du double carré, dit carré de Barlong.

Construction d’un pentagone régulier

MA B

P

I

K

J

J'

1

Φ

1/ Φdiagonale

A partir de la propriété suivante du pentagone

régulier:

Diagonale/côté = Φ

côté

La méthode de construction de Ptolémée

Ptolémée construit, dans l’ordre:

-Le cercle et ses deux diamètres

perpendiculaires,

-B milieu d’un rayon,

-C avec un arc de cercle de centre B et

de rayon BA.

-Le premier côté avec un arc de cercle de centre A et de rayon

AC.

Le Violon d'OrBeaucoup d'auteurs

vantent la beauté de la forme du violon. Une forme est belle lorsque les rapports entre ses diverses dimensions respectent un certain nombre de lois géométriques et perspectives. A l'époque de la création du violon, l'esthétique des proportions préoccupait nombre d'artistes.

Plusieurs chercheurs ont tenté l'analyse de la forme du violon à l'aide du nombre d'or, et l'on a même retrouvé des coïncidences qu'on peut difficilement attribuer au hasard

Bibliographiel Hors-série de tangente n°14: Mathématiques et architecture.l Hors-série de tangente n°16: Mathématiques pour littéraires.l Matila C.Ghyka, Le nombre d’or, Gallimard, 1931, renouvelé en 1959.l R.Vincent , Géométrie du nombre d’or, Chalagam,1999.l Le Corbusier, le modulor, Architecture d’Aujourd’hui, 1950l C-J.Willard, Le nombre d’or, Magnard, 1987.l Nicolas Bouleau. La création en mathématiques et en architecture, revue du Palais de la

découverte, n°217, avril 1994.l Matila C.Ghyka, Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, Editions du

Rocher,1987.l Emma Castelnuovo, La mathématique dans la réalité, Cédic,1976.l André Warusfel, Les nombres et leurs mystères, Le Seuil, 1980.l Henri Vincenot, Les étoiles de Compostelle, roman,Deoël,1982.l Françoise Viatte, Léonard de Vinci, Isabelle d’Este,Louvre,2003l M.Neveux, Radiographie d’un mythe, La divine proportion, Le seuil, 1995.l A.Vezzosi, Léonard de Vinci, Art et Science de l’univers.l Irem de Lille, Quelques activités dans le second cycle, 1981.l Abbaye de Boscodon, l’Art des bâtisseurs romans, cahier n°4, 1985l CRDP, cassette vidéo, les mots des maths.