Le pendule pesant par Gilbert Gastebois

1. Schéma

L0 Longueur du pendule = distance entre

l'axe et le centre de gravité du pendule.m Masse du penduleJ Moment d'inertie du pendule par rapport à son axe. Pour un pendule simple J = mL0²

mg Poids du penduleR Réaction de l'axef Force de frottement fluide sur le pendule

2. Etude du mouvement du pendule pesant

2.1 Équation différentielle du mouvement.

Équation de Newton : J d²θ/dt² = Σ MF

J d²θ/dt² = Mmg + Mf + MR

J d²θ/dt² = - mg L0 sinθ - f L0 + 0

f = - k v = - k L0 ω = - k L0 dθ/dt ( frottement fluide laminaire )

J d²θ/dt² = - mg L0 sinθ - k L02 ω = - mg L0 sinθ - k L0

2 dθ/dt

d²θ/dt² = - k L02/J dθ/dt - mg L0/J sinθ

On pose mg L0/J = ω02 et k L0

2/J = γ

d²θ/dt² + γ dθ/dt + ω02 sinθ = 0

2.2 Équation différentielle pour les petits angles.

Cette équation n'a pas de solution analytique, sa solution est numérique. Cependant, on peut la traiter dans l'approximation des petits angles. θ petit => sinθ = θon a alors : d²θ/dt² + γ dθ/dt + ω0

2 θ = 0

Solution de l'équation : Cliquer ici

3. Etude du pendule sans frottement

3.1 Équation différentielle pour les petits angles.

Si γ = 0, alors d²θ/dt² + ω02 θ = 0

donc θ = θm sin ( ω0 t + φ )

dθ/dt = θmω0 cos ( ω0 t + φ )

Conditions initiales : A t = 0 θ = θ0 et dθ/dt = θ'0 θ0 = θm sinφ et θ '0 = θm ω0 cosφ

tan φ = ω0 θ0/θ'0 et θm = θ0/arctanφ

3.2 Période du mouvement pour les petits angles.

T0 = 2π/ω0 = 2π( J/mgL0 )1/2

T0 = 2π( J/mgL0 )1/2

Pour un pendule simple J = mL02 donc T0 = 2π( L0/g )1/2

3.3 Étude énergétique

Sans frottement, Em = constante ( On pose dθ/dt = θ' )

Em = Ec + Ep = 1/2 Jθ'2 + mgz = 1/2 Jθ'2 + mg( L0 - L0 cosθ ) = 1/2 Jθ'2 + mgL0 (1 - cosθ )

Em = 1/2 Jθ'2 + mgL0 (1 - cosθ )

A θ = θm , θ' = 0 donc Em = mgL0 (1 - cosθm )

mgL0 (1 - cos θm ) = 1/2 Jθ'2 + mgL0 (1 - cosθ )

mgL0 cos θm = -1/2 Jθ'2 + mgL0 cosθ

θ'2 = 2 mgL0/J( cos θ - cosθm )

θ' = (2 mgL0/J( cosθ - cosθm ))1/2 = (2 ω02 ( cosθ - cosθm ))1/2

Remarque : En dérivant , on retrouve l'équation différentielle du mouvementθ' = (2 ω0

2 ( cosθ - cosθm ))1/2

d²θ/dt² = 1/2 (2 ω02

( cosθ - cosθm ))-1/2( - 2 ω02 sinθ θ' ) =

- ω02

sin θ θ' /(2 ω02

( cosθ - cosθm ))1/2

Comme θ' = (2 ω02

( cosθ - cosθm ))1/2, l'expression se simplifie, il reste

d²θ/dt² = - ω02

sinθ

d²θ/dt² + ω02

sinθ = 0

On peut aussi utiliser le Lagrangien :L = Ec - Ep = 1/2 Jθ'2 - mgL0 (1 - cosθ ) Formule de Lagrange : d(dL/dθ')/dt - dL/dθ = 0Jd²θ/dt² + mgL0 sinθ = 0 et

d²θ/dt² + ω02

sinθ = 0

4. Etude du mouvement sans frottement pour les grands angles

4.1 Formule de Borda pour les angles moyens.

d²θ/dt² = - ω02 sinθ

On développe sinθ en décomposition de Taylor sinθ = θ - θ3/6 + θ5/120 + .... d²θ/dt² = - ω0

2 ( θ - θ3/6 + θ5/120 + .... )

On prend θ = θm sin(ω t) avec ω = ω0 ( 1- ε ) ( ε petit )

- ω2θm sin(ω t) = - ω02 ( θm sin(ω t) - 1/6 θm

3 sin3(ω t)) On se limite aux deux premiers

termes.- ω0

2 (1 - 2ε ) θm sin(ω t) = - ω02( θm sin(ω t) - 1/6 θm

3 sin3(ω t))

sin3ω t = 3/4 sin(ω t) - 1/4 sin(3 ω t) ( d'après sin(ω t) = ( eiωt - e-iωt ) /2i )

- ω02 (1 - 2ε ) θm sin(ω t) = - ω0

2( θm sin(ω t) - 1/6 θm3 (3/4 sin(ω t) - 1/4 sin(3ω t)))

On obtient : 2 ε θm sin(ω t) = 1/8 θm

3 sin(ω t) - 1/24 θm3 sin(3ω t) = f(t)

f(t) est une fonction périodique de pulsation fondamentale ω avec une harmonique de rang 3.Comme on s'intéresse seulement à la période fondamentale, on peut abandonner le terme harmonique qui modifie la forme de f(t), mais pas sa période. On remplace ainsi f(t) par son fondamental : f(t) = 1/8 θm

3 sin(ω t). On a donc :

2 ε θm sin(ω t) = 1/8 θm3 sin(ω t)

ε = θm2 /16 donc

ω = ω0 (1 - θm2 /16) θm

2 /16 << 1, ce qui fait θm << 4 rd ou θm << 240°. En

pratique, on peut prendre θm < 60°

T = 2π/ω = 2π/(ω0 (1 - θm2/16)) = 2π/ω0 (1 + θm

2/16) = T0 (1 + θm2/16)

T = T0 (1 + θm2/16)

Cette formule est valable avec une remarquable précision jusqu'à θm = 60 °.

T = T0 (1 + θm2/16) pour des angles inférieurs à 60°

4.2 Formule générale de la période.

D'après la conservation de l'énergie ( Cf 3.3 ), on a : θ' = (2 mgL0/J( cosθ - cosθm ))1/2 = (2 ω0

2 ( cosθ - cosθm ))1/2 or cosθ = 1 - 2 sin2(θ/2) donc θ' = dθ/dt donc dt = dθ/θ' = dθ/(2 ω0

2 ( cosθ - cosθm ))1/2 =

dθ/(2 ω02

(1 - 2sin²(θ/2) - 1 + 2 sin²(θm/2)1/2

dt = dθ/(4 ω02

(sin²(θm/2) - sin²(θ/2))1/2

On pose u = sin(θ/2)/sin(θm/2) et k = sin(θm/2) d'où u = sin(θ/2)/k

donc du = 1/2 cos(θ/2)/k dθ = (1 - sin²(θ/2))1/2 dθ /(2k) = (1 - k²u²)1/2 dθ /(2k) donc dθ = 2k du/(1 - k²u²)1/2 dt = 2k du/((1 - k²u²)(4 ω0

2 (k² - k²u²)))1/2 = 2k du/((1 - k²u²)(4 k² ω0² (1 - u²)))1/2 =

du /ω0 /((1 - k²u²)(1 - u²))1/2

dt = du /ω0 /((1 - k²u²)(1 - u²))1/2

Si on intègre dt de θ = 0 à θ = θm, ce qui correspond à u = 1, on obtient le quart de la

période donc

T = 4/ω0 du / ((1 - k²u²)(1 - u²))1/2 = 4/ω0 K(k) = 2 T0/π K(sin(θm/2))

K(k) est l'intégrale elliptique de Legendre:

K(k) = π/2 (1 + k2/4 + 9/64 k4 + .... + ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n +...) = π/2 Σ ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n

T = T0 (1 + 1/4 sin2(θm/2) + 9/64 sin4(θm/2) + 25/256 sin6(θm/2) + .... +

((2n)!/(2n n!)2)2 sin2n(θm/2) + .... )

T = T0 Σ((2n)!/(2n n!)2)2 sin2n(θm/2)

Si on prend les deux premiers termes pour θm assez petit pour qu'on puisse remplacer sin

θm/2 par θm/2 , on obtient :

T = T0 ( 1 + θm2/16 ) On retrouve la formule de Borda

On obtient :

θm ° 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

1+ θm2/16

(en rd)1 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,09 1,12 1,15 1,19 1,23 1,27 1,32 1,37 1,43 1,49 1,55 1,62

2/π K(sin(θm/2)) 1 1,00 1,01 1,02 1,03 1,05 1,07 1,10 1,14 1,18 1,23 1,29 1,37 1,47 1,59 1,76 2,01 2,44 infini

Si on prend les trois premiers termes :T = T0 ( 1 + sin2(θm/2)/4 + 9/64 sin4(θm/2) + 25/256 sin6(θm/2) )

sin2(θm/2) = ( θm/2 - θm3/48)2 = θm

2/4 - θm4/48 + θm

6/1440 ( on se limite à la puissance 6 )

sin4(θm/2) = θm4/16 - θm

6/96 ( on se limite encore à la puissance 6 )

sin6(θm/2) = θm6/64 ( on se limite toujours à la puissance 6 )

1 + sin2(θm/2)/4 + 9/64 sin4(θm/2) + 25/64 sin6(θm/2) = 1 + θm2/16 - θm

4/192 + 9/1024 θm4-

9/6144 θm6 + 1/5760 θm

6 + 25/16384 θm6 = 1 + θm

2/16 + 11/3072 θm4 + 173/737280 θm

6

T = T0 ( 1 + 1/16 θm2 + 11/3072 θm

4 + 173/737280 θm6 ) ( approximation assez précise

jusqu'à θm = 140 °)

4.3 Équation horaire θ = f(t).

Le mouvement général du pendule est périodique donc f(t) peut être écrit sous forme d'une série de Fourier :θ = a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + a3 cos(3ωt) + ..... + b1 sin(ωt) + b2 sin(2ωt) + b3 sin(3ωt) + .....

Le mouvement du pendule est le même pour θ > 0 et θ <0 et symétrique pour la montée et pour la descente. On prend des conditions initiales telles que à t = 0, f'(t) = 0. Dans ces conditions, les coefficients des cosinus et ceux des harmoniques paires sont tous nuls.Il reste θ = b1 sin(ωt) + b3 sin(3ωt) + b5 sin(5ωt) +.... L'oscillation étant proche d'un sinus, il

est probable que les coefficients bn sont faibles par rapport à b1 et qu'ils décroissent très vite,

on ne conserve donc que le premier harmonique. On pose donc :θ = a sin(ωt) + b sin(3ωt)

L'équation différentielle est :d²θ/dt² = - ω0

2 sinθ

On développe sinθ en décomposition de Taylor sinθ = θ - θ3/6 + θ5/120 + .... On ne garde que les deux premiers termesd²θ/dt² = - ω0

2 ( θ - θ3/6 + θ5/120 ) On remplace θ par a sin(ωt) + b sin(3ωt)

- a ω² sin(ωt) - 9bω² sin(3ωt) = a sin(ωt) + b sin(3ωt) - 1/6 ( a sin(ωt) + b sin(3ωt))3 - 1/120 ( a sin(ωt) + b sin(3ωt))5

On néglige les termes de puissance supérieure à a5

- a ω² sin(ωt) - 9bω² sin(3ωt) = a sin(ωt) + b sin(3ωt) - 1/6 ( a3 sin3(ωt) + 3a2b sin2(ωt)sin(3ωt)) - 1/120 a5 sin5(ωt)On développe et on linéarise par la formule d'Euler ( sinθ = (eiθ - e-iθ)/2i )sin3θ = 3/4 sinθ -1/4 sin(3θ) sin2θ sin(3θ) = -1/4 sinθ + 1/2 sin(3θ) -1/4 sin(5θ)sin2(3θ) sinθ = 1/2 sinθ +1/4 sin(5θ) -1/4 sin(7θ) sin5θ = 5/8 sinθ - 5/16 sin(3θ) + 1/16 sin(5θ) - a ω² sin(ωt) - 9bω² sin(3ωt) = - ω0²((a - 3a3/24 + 3a2b/24 + 5a5/8) sin(ωt) + (b - 6a2b/24 +

a3/24) sin(3ωt))Il faut (a - 3a3/24 + 3a2b/24 + a5/192)/a = (b - 6a2b/24 + a3/24)/(9b)216b - 27a2b + 27ab2 + 9a4b/192 = 24b - 6a2b + a3

192b - 21a2b + 27ab2 + 9a4b/192 = a3

On néglige ab2 et a4b, on obtient : b = a3/(192 - 21a2). Si a << 3, on obtient b = a3/192 (1 + 21/192 a2) = a3/192 donc :θ = a sin(ωt) + a3/192 sin(3ωt) Remarque :Si on préfère des conditions initiales où θ = θm, on aura ωt remplacé par ωt + π/2 et

θ = a cos(ωt) - a3/192 cos(3ωt)

Amplitude maximale : On a l'amplitude maximale pour ωt = π/2 donc θm = a - a3/192

Il n'est pas facile d'en déduire a = f(θm), les équations du troisième degré sont pénibles, mais

a est proche de θm, donc on pose : a = θm(1 + ε) et on se limite au premier ordre en ε

θm = θm(1 + ε) - θm3(1 + 3 ε )/192 = θm + ε θm - θm

3/192 - 3 ε θm3/192

ε (1 - 3 θm2/192 ) = θm

2/192

ε = θm2/192 /(1 - 3 θm

2/192 ) ≃ θm2/192 car 3 θm

2/192 << 1

a = θm + θm3/192

Période du mouvement :On a : a ω² = ω0²(a - 3a3/24 + 3a2b/24 + a5/192) avec b = a3/192 donc

ω² = ω0²(1 - a2/8 + a4/1536 + a4/192) = ω0²(1 - a2/8 + 9a4/1536 )

On a ( 1 + ε ) 1/2 = 1 + 1/2 ε - 1/8 ε2 donc (1 - a2/8 + 9a4/1536)1/2 = 1 - a2/16 + 9a4/3072 - a4/512 = 1 - a2/16 + 3a4/3072 ω = ω0(1 - a2/16 + a4/1024 ) ou en remplaçant a par θm + θm

3/192

ω = ω0(1 - θm2/16 + θm

4/3072) Formules précises jusqu'à a = 2,3 ( θm = 130 ° )

T = 2π/ω = 2π/(ω0(1 - θm2/16 + θm

4/3072)) = T0 (1 - θm2/16 + θm

4/3072)) -1

On a ( 1 + ε ) -1 = 1 - ε + ε2 donc (1 - θm2/16 + θm

4/3072)-1 = 1 + θm2/16 - θm

4/3072 +

θm4/256 = 1 + θm

2/16 + 11/3072 θm4

T =T0 (1 + θm2/16 + 11/3072 θm

4) On retrouve les trois premiers termes de la formule

de Legendre de la période.

Pour θm < 2,5 rd ( 140 ° )

θ = ( θm + θm3/192) sin( ωt) + θm

3/192 sin(3ωt)

ω = ω0(1 - 1/16 θm2 + 1/3072 θm

4 - 23/737280 θm6)

5. Cas de la rotation du pendule sans frottement.

5.1 Vitesse angulaire maximale indispensable.Si la vitesse angulaire maximale dépasse une certaine valeur, le pendule n'oscille plus, il tourne autour de son axe.Cela arrive quand la vitesse ne s'annule jamais, donc quand la vitesse θmin en haut de la

trajectoire ( z = 2 L0 ) est supérieure à zéro.

On a alors 1/2 Jθ'm2 = 1/2 Jθ'min

2 + 2 mgL0 > 2 mgL0 donc θ'm2 > 4 mgL0/J ou

θ'm > 2 ω0

Remarque : Pour un pendule simple constitué d'une boule reliée à un fil, il faut que le fil reste tendu donc il faut qu'en haut de la trajectoire, la tension du fil soit positive donc il faut que ml θmin

2 > mg donc θmin > (g/L0)1/2 ou θmin > ω0

donc Em = 1/2 mL0²θ'm2 > 2 mgL0 + 1/2 mL0²θ'min

2 donc θ'm2 > 4 mg/L0 + mL0²θ'min

2

θ'm2 > 4 mg/L0 + mg/L0 donc θ'm > ( 5 mg/L0 )1/2

5.2 Période de rotation.D'après la conservation de l'énergie ( Cf 3.3 ), on a : Em = 1/2 Jθ'2 - mgL0 ( 1 - cosθ ) = 1/2 Jθ'm

2

θ'² = θ'm2 - 2 mgL0/J( 1 - cosθ ) or 1 - cosθ = 2 sin2(θ/2) donc

θ' = ( θ'm2 - 2 ω0

2 ( 1 - cosθ ))1/2 = ( θ'm

2 - 4 ω02 sin2(θ/2) )

1/2

θ' = dθ/dt donc dt = dθ/θ' = dθ/( θ'm2 - 4 ω0

2 sin2(θ/2) )1/2

dt = dθ/( θ'm2 - 4 ω0

2 sin2(θ/2) )1/2

On pose u = sin(θ/2)

donc du = 1/2 cos(θ/2) dθ = 1/2 dθ (1 - sin2(θ/2))1/2 = 1/2 dθ (1 - u2)1/2 donc dθ = 2 du/(1 - u2)1/2 dt = 2 du/((1 - u2)( θ'm

2 - 4 ω02 sin2(θ/2) ))

1/2 = 2/θ'm du/((1 - u2)(1 - 4 ω02/θ'm

2 u2)))1/2 =

2/θ'm /((1 - u2)(1 - k2 u2))1/2 du

en posant k = 2 ω0/θ'm = θ'0/θ'm

( θ'0 = 2 ω0 est la valeur minimale de θ'm

permettant au pendule de tourner autour de son axe ) dt = 2/θ'm /((1 - u2)(1 - k2u2))1/2 du

Si on intègre dt de θ = 0 à θ = π, ce qui correspond à u = 1, on obtient la moitié de la période donc

T = 4/θ'm du / ((1 - u²)(1 - k² u²))1/2 = 4/θ'm K(k) = 4/θ'm K(θ'0/θ'm )

K(k) est l'intégrale elliptique de Legendre :

K(k) = π/2 (1 + k2/4 + 9/64 k4+ .... + ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n +... ) = π/2 Σ ((2n)!/(2n n!)2)2 k2n

T = 2π/θ'm (1 + 1/4 (θ'0/θ'm )2 + 9/64 (θ'0/θ'm

)4 + 25/256 (θ'0/θ'm )6 + .... +

((2n)!/(2n n!)2)2 (θ'0/θ'm )2n + .... )

T = 2π/θ'm Σ ((2n)!/(2n n!)2)2 (θ'0/θ'm )2n

Par exemple en prenant L0 = 1 m, θ'0 = 6,264 rd/s, on a alors :

θ'm /θ'0 1 1,001 1,005 1,02 1,05 1,118 1,3 1,45 1,6 1,75 1,9 2,1 2,135

T (s) infini 2,878 2,353 1,898 1,589 1,289 0,953 0,808 0,707 0,631 0,572 0,509 0,500

Si θ'm >> θ'0, K(k) tend vers K(0) = π/2 et T tend vers Tf = 2π/θ'm ( θ'm est quasi-

constante, le poids n'influe presque plus sur le mouvement et on a un mouvement circulaire quasi-uniforme )Si on prend les quatre premiers termes :T = 2π/θ'm (1 + 1/4 (θ'0/θ'm )2 + 9/64 (θ'0/θ'm )4 + 25/256(θ'0/θ'm

)6 )

( On obtient T avec une très bonne précision pour θ'm > 1,5 θ'0 )

Remarque : Pour le pendule simple avec un fil, il faut que θ'm /θ'0 = (5/4)1/2 ce qui donne

θ'm /θ'0 = 1,118.

La période maximale de rotation d'un pendule de 1m, permettant au fil de rester tendu est alors de 1,289 s.

Intégrale elliptique de Legendre K( x )

K(x), l'intégrale elliptique de Legendre est définie, pour 0 <= | x | <1, par :

K (x) = du / ((1 - u²)(1 - x²u²))1/2

Sa valeur est donnée par la série suivante :K(x) = π/2 (1 + 1/4 x2 + 9/64 x4 + 25/256 x6 + .... + ((2n)!/(2n n!)2)2 x2n + ... )

K(x) = π/2 Σ((2n)!/(2n n!)2)2 x2n ( La somme allant de 0 à l'infini ) n! est la factorielle de nOn obtient :

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,987 0,993 0,996 0,998 0,999 1

2/π K(x) 1 1,003 1,010 1,024 1,044 1,073 1,115 1,175 1,270 1,452 1,649 1,855 2,056 2,248 2,424 2,642 2,862 infini

Remarque : si x = 0, l'intégrale est directement calculable, elle donne arcsin(1) - arcsin(0) =π/2, ce qu'on retrouve en calculant la série.