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Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés
en classes’ 1. Introduction aux matrices : exemples en dynamique de
population
2. Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations
3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires
4. Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique
5. Normes et distances
Addition
3 5
A B 4 1
3 5
2 3 1 2
A 4 0 B 0 1 A B ?
2 1 1 4
2 1 3 2 3 5
A B 4 0 0 1 4 1
2 1 1 4 1 3
Multiplication par un scalaire
2 4
A 3 2
1 0
2 3
A 4 2 1 A ?
1 0
2 3
A 4 2
1 0
2 1 4 2A B
1 4 0 2
AB ?
BA ?
Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)
8 4AB
6 10BA
Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)
2 1 4 2A B
1 4 0 2
2
2
2 2 1 2
1 4 1 4 4 0 1 2 4 2
8 6AB
4 10
6
2 1 2 1
4BA AB
2 8
4
0
4 0
2,13,2 3,1
1 0 22
2 3 22
1 0 2
Sous réserve du respect des dimensions :
AB C A BC
A B D AB AD
B D E BE DE
Transposition (ligne colonne)
2 32 4 1
A 4 2 A3 2 0
1 0
t
A B A B
A A
A A
AC C A
t t t
t t
t t
t t t
Matrices élémentaires
2 5 1
0 3 2
1 2 4
1 0 0
0 3 0
0 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
1
4
093
92
32
0 0
0
1
2 3
4 8 2
Matrice diagonale
Matrice Identité
Matrice symétrique
Matrice triangulaire
Matrice scalaire
Matrices carrées
Propriétés des matrices carrées
• Déterminant
• Matrice adjointe
• Matrice inverse
Déterminant : notation
A chaque matrice carrée d’ordre n, on peut associer un scalaire, le déterminant de A
Déterminant d’ordre n
A ija
11 1
1 2
1
det A det , , ,n
n
n nn
a a
v v v
a a
Déterminant d’ordre 2 : calcul
a c
b d
ad bc_
Exemple
1 2
1 2?
Matrice adjointeou co-matrice
A A 1i j
ijadj com
A ija
Où ij est le déterminant d’ordre n-1 extrait du déterminant de A en enlevant la ième ligne et la jème colonne.
Co-facteur de l’élément aij :
Matrice carrée d’ordre n :
Co-matrice :
1i j
ij
Méthode de calcul des déterminants d’ordre > 2
det (A) = la somme des produits obtenus en multipliant les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) par leurs co-facteurs respectifs.
Déterminant d’ordre > 2
715 13
1 3 1 4 1 4
4 3 4 3 1 3221
1 4
1 3
1
2
2 4 3
2 13 2 715
3
Propriétés des déterminants
• Si A a une (ou plusieurs) ligne (ou colonne) de zeros : det(A) = 0
• Si A est triangulaire : det (A) = produit des éléments diagonaux
• Si on échange 2 lignes (ou colonnes), alors le déterminant change de signe
• Si on multiplie une ligne (ou colonne) par un scalaire, le déterminant est multiplié par ce scalaire
• Si un multiple d’une ligne (ou colonne) a été additionné à une autre ligne (colonne)
alors le déterminant ne change pas
1 1 4
det A 2 1 3
2 4 3
ème ème
1 1 4
2 1 3 en ajoutant la 2 ligne à la
0 6
d 3
3
et A
18 15
det
d A
A
et
3
ère ème
1 4
3 5 en retirant 2 la 1 ligne à la
1
0
3 60
d 2et A
Matrice inverse
Une matrice est inversible si et seulement si
son déterminant est NONNON nul
1 1A A
det Atadj
Exemples
1
1
A
A
det A
1A
1A
t
t
a b
d c
c dadj
b a
ac bd
c d
b aac bd
c b
d aac bd
11
22
11
22
1
0
A0
1
1 0
A0
1
pp
pp
a
a
a
a
a
a
Lien entre les vecteurs et les matrices
Les coordonnées d’un vecteur dans une base forment une matrice colonne
1 2 3
1
1, 1,1 X 1
1
x e e e
x
3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires
MathSV chapitres 2 et 3bis
Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables
(A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) :
Foin Ensilé Farine
A 1 1 1
B 1 1 0
C 0 1 1
Chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C. Quelles sont les doses de foin (x), d'ensilé (y) et de farine (z) que doit lui fournir l'éleveur ?
6
S 3 AX B
5
x y z
x y
y z
1 1 1
A 1 1 0
0 1 1
X
x
y
z
6
B 3
5
TD Problème 7
6
S 3 AX B
5
x y z
x y
y z
1 1 1
A 1 1 0
0 1 1
X
x
y
z
6
B 3
5
Définitions:
A est la matrice d’une application linéaire f
B et X sont les matrices des coordonnées des vecteurs
Notation :
AXy f x B
et y x
• On peut définir un système linéaire avec une matrice
• On peut définir un système linéaire avec une application linéaire
Une application linéaire
Une application d’une espace vectoriel, E, dans un autre, F (si E et F sont de la forme IRn c’est une fonction) est linéaire :
L’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images
Image et Noyau
FE
0E
0F
kerf
I mf
INjectivité
FE
NONNON OUIOUI
SURjectivité
FE
NONNON OUIOUI
BIjectivité
FE
Injective et surjective :Tout élément de F a un antécédent unique, tout élément de E à une image unique.
Définitions
• Isomorphisme: A. L. bijective
• Endomorphisme : A.L. de E dans E
• Automorphisme : endomorphisme bijectif
Lien entre les applications linéaires, les bases et les matrices
Quand les 2 espaces vectoriels associés à une application linéaire sont munis d’une base :
On peut écrire la matrice d’une application linéaire relativement à ces bases
Exemple
3 2
1 2 3 1 2 2 3
:
, , ,2 3
f
x x x x x x x
1 1 0A
0 2 3
1
1, 1,1 X 1
1
x
11 1 0 2
Y AX 10 2 3 1
1
2,1y f x
Quelle est la matrice associée à cette application linéaire relativement aux bases canoniques ?
Quelle est l’image du vecteur (1,-1,1) ?
Pour la première séance de TT
• QCM 1 et 3
• Exercices 1.6, 1.7, 1.10 et 3.1
Et aussi
• QCM 2 et 3bis