Le problème d’IsisDe l’ Égypte antique au 21e siècle !

Dirk De BockHogeschool-Universiteit Brussel et K.U.Leuven

Le problème d’Isis

Quels rectangles, avec des nombres entiers comme côtés (mesurés avec une unité donnée), possèdent la propriété que leur aire et leur périmètre (considérés comme nombres) sont égaux ?

Le problème d’Isis

7

5

Périmètre : 24

Aire : 35

Le problème d’Isis

1. Déterminer tous les rectangles de côtés entiers dont

aire = périmètre

2. Démontrer que les solutions trouvées sont les seules possibles

3. Essayer de trouver plus qu’une démonstration

AU TRAVAIL !!!

Solutions

4

4

Périmètre : 16

Aire : 16

3

6

Périmètre : 18

Aire : 18

The Egyptians relate that the death of Osiris occurred on the seventeenth (of the month), when the full moon is most obviously waning. Therefore the Pythagoreans call this day the "barricading" and they entirely abominate this number. For the number seventeen, intervening between the square number sixteen and the rectangular number eighteen, two numbers which alone of plane numbers have their perimeters equal to the areas enclosed by them, bars, discretes, and separates

them one from another... (Plutarch, quoted by Davis and Hersh, 1981)

Après un peu de calcul …28 / 17 = 1.647059 Différence

√ e = 1.648721 0.1009%

77 / 17 = 4.529412  

28 phi / 10 = 4.530495 0.02391%

Osiris est mort le 17ème jour du 3ème mois, après 28 ans de règne

77 : 2 × 30 + 17 = 77ème jour de l’année

28 : nombre de la lune

e : nombre de croissance √ e : “root of new growth”

Phi : nombre d’or

Pourquoi certains trouvent ce problème particulièrement intéressant ?

Qu’est-ce qui rend ce problème intéressant POUR NOUS ?

• Les solutions sont faciles. Mais une démonstration aussi peut être très facile. démonstrations diverses / types de raisonnements possibles Balance entre l’expertise routinière et la créativité

• Accessible aux élèves d’âges divers et de connaissances ‘techniques’ diverses en mathématiques

• Lien avec la ‘dimensionnalité’

• Extensions intéressantes

Notre étude

- Stratégies de groupes divers (avec des compétences différentes en mathématiques)

- Tension entre ‘routine’ et créativité

- Jugements d’appréciation de différentes types de démonstration / arguments

Structure de l’atelier

- Introduction- Au travail 1 : trouvez des démonstrations- Intermède- Au travail 2 : évaluez des démonstrations- Discussion des solutions- Extensions du problème- Dimensionnalité- Résultats de l’étude

Structure de l’atelier

- Introduction- Au travail 1 : trouvez des démonstrations- Intermède- Au travail 2 : évaluez des démonstrations- Discussion des solutions- Extensions du problème- Dimensionnalité- Résultats de l’étude

Évaluez des démonstrations

Recueil de 5 démonstrations

- Étudier

- Les classer à base de la ‘qualité’, de la meilleure (= 1) à la pire (= 5)

Structure de l’atelier

- Introduction- Au travail 1 : trouvez des démonstrations- Intermède- Au travail 2 : évaluez des démonstrations- Discussion des solutions- Extensions du problème- Dimensionnalité- Résultats de l’étude

Exploration empirique

Avec du papier quadrillé

Jeunes enfants peuvent explorer le problème en cherchant des exemples.

Même de très jeunes enfants pourraient expérimenter avec des carrés en carton et des bâtons de même longueur que les côtés, cherchant des rectangles dont le nombre de carrés est égale au nombre de bâtons.

Une élaboration plus systématique de l’approche empirique et un marchepied vers une démonstration par un tableau « aire – périmètre »

longueur

largeur

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-9 -4 1 6 11 16 21

-6 -4 -2 0 2 4 6-7 -4 -1 2 5 8 11

-8 -4 0 4 8 12 16

yy

1xx

Aire augmente de yPérimètre augmente de 2Aire - Périmètre augmente de y - 2

longueur

largeur

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-9 -4 1 6 11 16 21

-6 -4 -2 0 2 4 6-7 -4 -1 2 5 8 11

-8 -4 0 4 8 12 16

Le tableau

• Montre les 3 solutions

• Est riche en patrons (« patterns »)

• Peut être la base d’une démonstration rigoureuse que les solutions trouvées sont les seules bonnes

• Suggère que xy accroît plus vite que 2x + 2y, ce qui est un principe fondamental concernant la dimensionnalité

Donc, de jeunes enfants peuvent explorer le problème, et

• peu à peu plus systématiquement découvrir des patrons

• comprendre qu’une aire accroît plus vite qu’un périmètre

• construire une notion de ce qui est une démonstration

Solutions algébriques

Qui possède quelques notions d’algèbre décrira sans doute spontanément l’équation :

xy = 2x + 2y

Mais alors ? L’expression doit être réécrite afin de trouver des solutions entières.

De façon routinière, on peut :

Possibilité 1.

Exprimer une variable en fonction de l’autre : y = 2x / (x-2) ou encore y = 2 + 4/(x-2)

Quelqu'un peut reconnaître l’équation d’une hyperbole. Alors, on peut trouver rapidement les solutions, et aussi la démonstration…

Possibilité 2.

“Mettre tout au membre gauche” :

xy - 2x - 2y = 0

Mais alors ? Ici, par analogie avec « compléter le carré », on pourrait penser à « compléter le rectangle » :

xy - 2x - 2y + 4 = 4

Après ‘factorisation’, ça donne:

(x - 2)(y - 2) = 4

Maintenant on voit que x - 2 doit être un diviseur de 4 (ce qui réduit le nombre de cas à contrôler)

Démonstration par épuisement ou « exhaustion ».

xy = 2x + 2y

y = 2 + 4/(x - 2)

(x - 2)(y - 2) = 4

xy - 2x - 2y = 0

Il existe une infinité de façons de réécrire

xy = 2x + 2y

Le truc, c’est de trouver la forme (équivalente) qui soit utile dans la situation donnée.

Par exemple : Quelle est l’utilité de réécrire ainsi :

yx + xy = 4x + 4y

Si on pense flexiblement que y en yx et x en xy soient des coefficients et non pas des variables, à partir de l’équation

yx + xy = 4x + 4y

il devient clair que x et y ne peuvent pas être en même temps plus grands que 4 … et comme ça on peut commencer à démontrer

Ou alors ….

La moyenne harmonique de x et y égale 4x et y chacune 4L’une d’elle > 4 et l’autre < 4 un nombre restreint de possibilités à contrôler

xy = 2x + 2y

= 41/x + 1/y

2

Ou ….

xy = 2x + 2y

1/x + 1/y = 1/2

Cette forme en ‘fractions unitaires’ montre que

Ou bien 1/x et 1/y chacune = ¼

Ou bien l’une d’elle > ¼ et l’autre < ¼ .

Il reste donc quelques cas à étudier !

Si x = y, on démontre facilement – à partir de xy = 2x + 2y – que x = y = 4 est l’unique solution.

Si x ≠ y on suppose – sans perte de généralité – que y < x.

Puisque xy = 2x + 2y et y < x, il s’ensuit que xy < 2x + 2x et donc que y < 4. Il reste donc trois cas à controler ; c’est donc encore une démonstration par épuisement.

1/x + 1/y = 1/2

xy = 2x + 2y

y = 2 + 4/(x - 2)

(x - 2)(y - 2) = 4

xy - 2x - 2y = 0

= 41/x + 1/y

2

yx + xy = 4x + 4y

Démonstrations géométriques

Idée : partager une figure en triangles et carrés contribuant autant à l’aire qu’au périmètre de la figure.

2

2

2

2

22

2

2

x

y

Et maintenant notre favori personnel !

“périmètre épais”

Aire = G + BPeri. = G + 4Si aire = peri.B = 4

x

y (x - 2)(y - 2)

Structure de l’atelier

- Introduction- Au travail 1 : trouvez des démonstrations- Intermède- Au travail 2 : évaluez des démonstrations- Rétroaction- Extensions du problème- Dimensionnalité- Résultats de l’étude

Extensions

• En montant d’une dimension (parallélépipèdes rectangles, …), dont aire = volume• Vers d’autres figures planes : triangles, cercles, polygones, …

• 2yz + 2zx + 2xy = xyz

• Réécrire à l’aide de ‘fractions unitaires’1/x + 1/y + 1/z = 1/2

• Alors, ou bien x = y = z = 6, ou bien, sans perte de généralité, x < 6

Aire =

volume

Aire = Peri.

= 24

10

8

6

Démonstration possible – mais bien plus laborieuse – à base de la formule de Héron

zyxyxzxzyzyx 4

1

Aire =

Extensions vers d’autres figures planes est possible, p.e. chaque polygone régulier dont le rayon du cercle inscrit = 2 a la propriété (mais, dans la mesure où nous l’avons contrôlé, aucun a des côtés entiers). Le cercle est le cas limite !

Structure de l’atelier

- Introduction- Au travail 1 : trouvez des démonstrations- Intermède- Au travail 2 : évaluez des démonstrations- Discussion des solutions- Extensions du problème- Dimensionnalité- Résultats de l’étude

Dimensionnalité

xy ‘croît’ plus vite que 2x + 2y

En particulier, si x et y doublent tous les deux, alors xy est multiplié par quatre, tandis que 2x + 2y ne fait que doubler.

DimensionsCompréhension que dans le cas des agrandissements linéairs, les aires augmentent de façon quadratique et les volumes de façon cubique

Dans les socles de compétences flamands

Apparemment très difficile pour les élèves (application à tort d’un raisonnement linéair)

Nombreuses applications/exemples en physique, biologie, sciences de l’ingénieur, …

Dimensionnalité en biologie/physique

-Haldane (1928) : “On being the right size”

Chaque animal a sa taille ‘optimale’

Agrandir ou rappetisser la forme aussi doit changer !

Grands oiseaux ont des ailes relativement grandes, grands arbres ont des troncs relativement gros, petits oiseaux mangent tout le temps, …

Structure de l’atelier

- Introduction- Au travail 1 : trouvez des démonstrations- Intermède- Au travail 2 : évaluez des démonstrations- Discussion des solutions- Extensions du problème- Dimensionnalité- Résultats de l’étude

Étude avec des futurs profs de mathématiques

Louvain (N = 8) Dirk Janssens

Anvers (N = 8) Johan Deprez

Hasselt (N = 17) Michel Roelens

Bruxelles (N = 6) Roger Van Nieuwenhuyze

Partie 1

Résoudre le problème d’Isis et essayer de trouver plus qu’une démonstration

Partie 2

Etudier cinq démonstrations, classer ces démonstrations allant de la meilleure (= 1) à la pire (= 5) à base de leur ‘qualité’ (non spécifiée par nous) et ajouter vos commentaires

Factorisation

Dalles

Graphique

Divisibilité(x - 2) divise 2x

Exhaustion2x/(x - 2)

Autres ...

Complète Partielle

1

3

5

5

1

3

6

5

Un étudiant “excellent” !

Xander Verbeke (Louvain) a même produit cinq démonstrations différentes, toutes clairement et complètement argumentées. En plus de la démonstration par factorisation, la démonstration avec les dalles et une démonstration basée sur les propriétes de divisibilité, il en a trouvé encore deux “nouvelles”.

La quatrième démonstration de Xander

Il part de l’équation du deuxième degré

z2 - cz + 2c = 0 avec racines x en y satisfaisant à la propriété xy = 2x + 2y (car x + y = c et xy = 2c).

Pour que x et y soient des nombres naturels, le discriminant c2 - 8c doit être un carré parfait. Pour quelles valeurs de c le discriminant

c2- 8c est-il un carré parfait ?

La cinquième démonstration de Xander

Il écrit les côtés sous la forme a en a + x et de nouveau, il construit une équation du deuxième degré dont le discriminant doit être un carré parfait

(Des variantes multiplicatives de cette cinquième démonstration sont possibles, p.e. en écrivant les côtés sous la forme a en ax, ou 2m.a en 2n.b avec a et b des nombres impairs…)

Évaluation des démonstrations

Les étudiants ont classé les démonstrations (factorisation, dalles, fractions unitaires, graphique, tableau) allant de la meilleure (= 1) à la pire (= 5).

Nous avions laissé ouvert le sens des mots “meilleure” et “pire”.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Factorisation Dalles Fractionsunitaires

Graphique Tableau

Louvain Anvers Hasselt Bruxelles

Commentaires ‘typiques’

• Préférence de la plupart des étudiants pour les démonstrations algébriques (factorisation et fractions unitaires)

« Les démonstrations avec les fractions unitaires et avec la factorisation sont les meilleures. Elles ne demandent pas de dessin. »

« Les dalles sont moins claires. C’est habile pour représenter le problème, mais une vraie démonstration ne se fait que par factorisation ou avec des fractions unitaires. »

• Peu d’estime pour les méthodes ‘expérimentales’

(a) L’appréciation moyenne pour la démonstration par le tableau était basse (et dans certains cas elle a même été écartée comme démonstration) (b) Confusion entre une ‘démonstration par exhaustion’ et ‘essais et erreurs’.

« Ici, on réussit à démontrer avec un tableau parce qu’il n’y qu’un nombre restreint de cas à étudier. En général, une démonstration par énumération n’est pas une bonne technique. Ce n’est pas une ‘belle’ démonstration. »

• Réactions ambivalentes par rapport à la démonstration avec des dalles

« La démonstration avec des dalles : c’est une meilleure démonstration parce qu’elle est claire et parce que l’on raisonne bien mathématiquement du début à la fin. Mais les équations me manquent. » (Xander)

« C’est une très belle démonstration: rapide et il ne faut pas connaitre de ‘vraies’ mathématiques. D’autre part, elle est très concentrée sur le problème concret. C’est un raisonnement ad hoc, pas généralisable à d’autres problèmes. »

• Émotions et réactions esthétiques

« Contrôler par ‘essais et erreurs’ quels nombres marchent et quels nombres ne marchent pas, je ne trouve pas cela bien agréable. C’est une démonstration, mais je ne l’aime pas. »

« La démonstration par factorisation est très simple, claire et belle. »

« La démonstration avec les dalles me semble un peu ludique. »

« La démonstration avec les fractions unitaires est plutôt sophistiquée. »

• Une réaction rare indique le contraste entre une démonstration logiquement correcte et une démonstration qui éclaire :

« La démonstration avec les dalles est la plus visuelle : on n’est pas seulement convaincu que c’est vrai, on a aussi l’impression de ‘voir’ pourquoi c’est ainsi. »