LE RUISSELLEMENT

OSHU3 04 RUISSELLEMENT - 09/11/2006 J.-L. Bertrand-Krajewski, URGC, INSA de

Lyon

URGC – Hydrologie Urbaine

Cours d’Hydrologie Urbaine

Partie 4

LE RUISSELLEMENT

Jean-Luc BERTRAND-KRAJEWSKI

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OSHU3 04 RUISSELLEMENT - 09/11/2006 J.-L. Bertrand-Krajewski, URGC Hydrologie Urbaine, INSA de

Lyon

TABLE DES MATIERES

1. PHENOMENE DE RUISSELLEMENT ..........................................................................................................................3 1.1 Ecoulements surfaciques................................................................................................................................3 1.2 Ecoulements dans les caniveaux ....................................................................................................................3

2. APPROCHE MECANISTE..........................................................................................................................................3 3. APPROCHE CONCEPTUELLE ...................................................................................................................................6

3.1 Calcul d'une valeur de débit maximum..........................................................................................................6 3.1.1 Méthode rationnelle ................................................................................................................................6 3.1.2 Méthode de Caquot .................................................................................................................................7

3.2 Calcul d'un hydrogramme de ruissellement par les méthodes dérivées de la méthode rationnelle ................8 3.2.1 Méthode rationnelle adaptée au calcul d'un hydrogramme.....................................................................8 3.2.2 Méthode des courbes isochrones ............................................................................................................8 3.2.3 Méthode de l'hydrogramme unitaire .....................................................................................................10 3.2.4 Modèle de Izzard...................................................................................................................................11

3.3 Les modèles de type réservoir......................................................................................................................12 3.3.1 Introduction...........................................................................................................................................12 3.3.2 Formulation mathématique et résolution numérique.............................................................................13 3.3.3 Calage des paramètres...........................................................................................................................15 3.3.4 Cas de plusieurs réservoirs en série ......................................................................................................17

4. BIBLIOGRAPHIE...................................................................................................................................................19

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NOTATIONS a coefficient numérique A superficie du bassin versant (ha ou km2) Cr coefficient de ruissellement (-) Cj coefficient des modèles type Muskingum (-) dp durée de la pluie (s, min, h) dpi durée de la période de pluie intense (s, min, h) Hi hauteur de pluie intense (mm) Hn hauteur de pluie nette (mm) i intensité de la pluie (mm/h) im intensité moyenne de la pluie (mm/h) imm intensité moyenne maximale (mm/h) in intensité de la pluie nette (mm/h) I pente (m/m, %) Ic pente du collecteur principal (%) IMP coefficient d’imperméabilisation ( %) j indice k indice K lag time dans les modèles type Muskingum (s, min, h) Kms coefficient de Manning-Strickler (m1/3/s) L longueur du bassin versant (m) Lc longueur du collecteur principal (m) Q débit (m3/s) Qe débit entrant (m3/s) Qs débit sortant (m3/s) t temps (s, min, h) ta temps d’arrivée de l’eau à l’exutoire (s, min, h) tc temps de concentration (s, min, h) tr temps de ruissellement dans le réseau amont (s, min, h) ts temps de ruissellement en surface (s, min, h) T période de retour (an) Te instant correspondant au centre de gravité du hyétogramme d’entrée(s, min, h) Ts instant correspondant au centre de gravité de l’hydrogramme de sortie (s, min, h) Tv instant correspondant au centre de gravité du volume stocké (s, min, h) Vs volume stocké (m3) α paramètre des modèles type Muskingum (-) β coefficient numérique δ coefficient numérique Δt pas de temps (s, min, h) γ coefficient numérique

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1. PHENOMENE DE RUISSELLEMENT

En milieu urbain, le ruissellement de surface est formé par les écoulements sur le sol provenant de la pluie nette, jusqu'à leur entrée dans le réseau. On distingue communément deux écoulements : les écoulements surfaciques proprement dits et les écoulements dans les caniveaux.

1.1 ECOULEMENTS SURFACIQUES

Les écoulements surfaciques se font en direction des caniveaux ou des avaloirs, avec des hauteurs d'eau très faibles. On admet que ce ruissellement ne commence, sur un élément de surface donné, qu'après que les pertes initiales ont été satisfaites.

Les gouttes qui arrivent à la surface du sol comblent les pertes par infiltration et stockage, puis forment une couche d'eau. Dès que l'épaisseur de cette lame d'eau est suffisante pour que les forces de gravité compensent les tensions de surface (Yen, 1986), le ruissellement commence. Il dépend de la viscosité de l’eau, de l'épaisseur de la lame d'eau, des tensions de surface, de la rugosité du sol. Selon les cas, un tel écoulement est soit à la fois turbulent et laminaire, soit entièrement turbulent. Le passage d'un régime à l'autre peut se faire sur de très courtes distances (Mitci, 1978). Toutefois, un écoulement laminaire ne peut s'installer que sur une surface lisse (asphalte, béton, terre battue, ). Sur les surfaces rugueuses, l'écoulement est toujours turbulent.

Les gouttes de pluie qui continuent de tomber sur le sol perturbent le ruissellement en augmentant sa turbulence et sa résistance à l'écoulement (Shen et Li, 1973), ceci de façon d'autant plus marquée que la lame d'eau qui ruisselle est mince (Yen, 1986). A l'inverse, lorsque la pluie cesse, la turbulence diminue et l'écoulement, sous certaines conditions, peut devenir laminaire, ce qui se traduit par une pointe de débit (Yu et McNown, 1964 ; Bell et al., 1989). Le ruissellement de surface est également non permanent et non uniforme.

1.2 ECOULEMENTS DANS LES CANIVEAUX

Les écoulements dans les caniveaux sont alimentés tout le long de leur parcours par les ruissellements surfaciques adjacents. Il en résulte un écoulement non permanent, graduellement varié et turbulent, qui se fait sur une épaisseur d'eau beaucoup plus importante et qui aboutit au niveau des avaloirs.

2. APPROCHE MECANISTE

Dans les modèles mécanistes, on s'attache à reproduire aussi fidèlement que possible la réalité physique. On distinguera donc les écoulements surfaciques et ceux dans les caniveaux.

La modélisation des premiers se fait en supposant le régime turbulent et en utilisant les équations classiques de l’hydrodynamique (système de Barré de Saint-Venant) appliquées à un écoulement en lame mince sur une surface plane. Pour cela, on divise la surface du bassin versant en éléments de formes géométriques simples, aux caractéristiques de pente et de rugosité homogènes et où on fait l’hypothèse que l’écoulement (vitesses, sens,…) est identique en tout point. L’écoulement d'ensemble se fait d’un élément de surface vers un autre.

Mitci (1978) a exposé sous forme synthétique l'ensemble des équations employées (Figure 2.1).

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Figure 2.1 : Formules relatives à l'écoulement sur une surface plane (extrait de Mitci, 1978)

Shen et Li (1973), Yen (1986), Chocat et al. (1982), Daluz-Vieira (1983), ATV (1987) présentent quelques méthodes de résolution de façon plus détaillée, ainsi que les hypothèses simplificatrices qui sont faites. Yu et McNown (1964) proposent une modélisation à partir des équations de Barré de Saint-Venant où les termes d'inertie sont négligés, avec un écoulement supposé quasi permanent et localement uniforme, tandis que Rovey et Woolhiser (1977), Bell et al. (1989) et Wheater et al. (1989) utilisent l'équation de l'onde cinématique (voir la partie du cours Ecoulements en réseau pour le détail de ces équations et des méthodes de résolution).

La modélisation des écoulements dans les caniveaux est réalisée en employant les équations générales de l'hydrodynamique, mais la plupart des auteurs se ramènent à des équations simplifiées en faisant l'hypothèse

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d'une succession d'écoulements uniformes (Chocat et al., 1982). Un exemple d’application donné par Mitci (1978) est reproduit sur la Figure 2.2.

Figure 2.2 : Formules relatives à l'écoulement dans les caniveaux (extrait de Mitci, 1978)

Les modèles mécanistes établis à partir de ces formules fournissent des résultats corrects. Ils présentent cependant deux points faibles importants :

– leurs temps de calculs sont relativement longs (équations lourdes à résoudre par différences finies ou discrétisation sur de nombreux pas de temps) ;

– ils nécessitent, et c’est leur principal handicap, des quantités très importantes de données de base telles que pentes, géométrie, rugosités, ... pour toutes les surfaces élémentaires et tous les caniveaux. A l'échelle d'une ville, la masse d'information requise est gigantesque et quasiment impossible à acquérir.

Par ailleurs, il y a un décalage manifeste entre la précision des calculs et des équations et l'approximation inévitable des données de base. L’emploi de ces modèles mécanistes pour simuler le ruissellement reste donc très limité, soit au cas de petits bassins versants expérimentaux, soit pour quelques villes américaines où une structure urbaine est reproduite plusieurs fois par juxtaposition et où il est possible de connaître les données de base de la structure (Rovey et Woolhiser, 1977).

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3. APPROCHE CONCEPTUELLE

En réponse aux lourdeurs de la modélisation déterministe, la transformation pluie-ruissellement peut être décrite de manière globale. On considère le bassin versant comme un système opérant la transformation de la pluie en un débit à l’exutoire. Le bassin peut éventuellement comprendre des tronçons de collecteurs, généralement les parties les plus amont du réseau d’assainissement. L’intérêt porte alors sur la transformation pluie-débit proprement dite et non plus sur le phénomène physique lui-même.

Selon les objectifs visés, plusieurs approches du problème sont possibles :

- si on souhaite obtenir une valeur de débit maximum, on utilisera des méthodes du type méthode rationnelle ou méthode de Caquot ;

- si on souhaite obtenir un hydrogramme Q(t), deux voies principales s’offrent au modélisateur : soit une extension des méthodes précédentes, soit une approche de type modèle à réservoir.

3.1 CALCUL D'UNE VALEUR DE DEBIT MAXIMUM

Les méthodes permettant de calculer une valeur de débit maximum ne permettent que de dimensionner un réseau d'assainissement et non de simuler son fonctionnement. A partir d'une pluie de période de retour T et de durée dp , on calcule le débit généré, pris comme débit maximum qui sera transféré par le réseau avec une défaillance de période de retour T.

Les méthodes existantes font pratiquement toutes appel à un découpage du bassin versant en sous-bassins, élémentaires. Chaque sous-bassin est construit de telle manière qu'il présente des valeurs homogènes de pente, d’urbanisation, de coefficient d'imperméabilisation, etc. Les résultats des sous-bassins sont ensuite composés entre eux, en série ou en parallèle, pour calculer la valeur du débit de l’ensemble du bassin versant.

Ces méthodes font généralement les hypothèses suivantes :

- linéarité de la transformation pluie-débit ; - identité des périodes de retour de la pluie et du débit ; - proportionnalité entre la pluie et le débit.

3.1.1 Méthode rationnelle

Elle est fondée sur la proportionnalité et la linéarité de la transformation pluie-débit, exprimées par la relation suivante :

AICQ mr= Eq. 1

avec Q débit de pointe à l’exutoire Cr coefficient de ruissellement sur le bassin versant im intensité moyenne de la pluie A superficie du bassin versant.

Les deux points délicats sont la détermination des valeurs de im et de Cr .

Pour im , la difficulté consiste à trouver une valeur suffisamment significative. Le débit maximum n'est atteint que si dp ≥ tc avec tc le temps de concentration. Une solution consiste alors à choisir, sur une courbe IDF, la valeur de im(dp , T) telle que dp = tc avec T la période de retour choisie.

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On décompose souvent tc en deux parties :

rsc ttt += Eq. 2

avec ts le temps de ruissellement en surface et tr temps d'écoulement dans le réseau amont.

Parmi les nombreuses relations empiriques donnant ts, une des plus courantes est celle de Terstriep (cité par Fouquet et al., 1978) :

45.064.032.092.1 −−= IiLt ms Eq. 3

avec ts temps de ruissellement en surface (min) L longueur du bassin versant (m) im intensité moyenne (mm/h) I pente moyenne du bassin versant (%).

La valeur de tr est définie séparément, en fonction des caractéristiques du réseau et de la valeur du débit à calculer, par itérations successives.

Quant au coefficient Cr , il a fait l'objet de nombreuses recherches. On en trouve soit des valeurs empiriques en fonction du type d'urbanisation, soit des formulations faisant intervenir divers paramètres du bassin versant.

Parmi les relations d'origine statistique proposées (citées par Chocat et al., 1982), on peut mentionner :

- relation de Schaake, Geyer et Knapp (1967) :

IIMPCr 05.065.014.0 ++= Eq. 4

avec IMP la fraction de surface imperméabilisée et I la pente en %. Cette relation a été établie pour IMP > 0.08, I compris entre 0.5 et 6 % et Lc comprise entre 50 et 2000 m.

- relation Sogreah (Normand, 1976) :

IIMPCr 015.065.010.0 ++= Eq. 5

avec le même domaine de validité que l’Eq. 4.

La notion de coefficient de ruissellement reste néanmoins assez délicate d'emploi car Cr est loin d'être constant et varie, pour un même site, avec la nature, le volume et l'intensité de la pluie, ainsi qu'avec les divers types de surfaces (Pratt et al., 1984). Les formules précédentes sont donc très approximatives et peuvent conduire à des écarts importants par rapport aux valeurs observées. La détermination précise de la valeur de Cr et de ses variations reste donc difficile (Copertino et Molino, 1990) et passe par des mesures sur site. Les valeurs empiriques sont donc réservées au dimensionnement des ouvrages, et non à la simulation de leur fonctionnement. On trouvera plus de détails sur la méthode rationnelle dans Chocat et al. (1982) et surtout dans Fouquet et al. (1978).

3.1.2 Méthode de Caquot

Elle se rapproche de la méthode rationnelle car elle fournit également une valeur de débit maximum, mais elle est fondée sur des hypothèses différentes. Sous la forme la plus générale, elle s'écrit :

δγβ= AIMPaIQ Eq. 6

avec I pente du plus long parcours de l'eau IMP coefficient d’imperméabilisation a β, γ, δ coefficients numériques empiriques.

La formule est établie pour I compris entre 0.2 et 5 %, A < 200 ha et IMP compris entre 0.2 et 1.

Les 4 coefficients sont des fonctions dépendant de la période de retour choisie et des pluviométries régionales. Les valeurs en sont données dans la Circulaire Interministérielle n° 77-284/INT (Int, 1977).

Dans la formule de Caquot, la transformation pluie-débit n'est plus véritablement linéaire, dans la mesure où le temps de concentration tc dépend du débit calculé : la transformation est linéaire au cours d'une pluie donnée, mais varie d'une pluie à l'autre.

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L’ensemble de la méthode de Caquot est détaillée dans la Circulaire Interministérielle (Int, 1977) et dans Fouquet et al. (1978) qui présentent des exemples d'utilisation.

Desbordes (1974, 1976) et Normand (1974) ont analysé la formule de Caquot, ses hypothèses et ont travaillé à l’ajustement expérimental des valeurs de ses paramètres. Le logiciel CERA, élaboré par le CETE Bordeaux, fut un des premiers outils informatiques de dimensionnement des réseaux d’assainissement en France, permettant de calculer les diamètres des conduites et les lignes de charge correspondant au débit de pointe dans un réseau (Lacouture, 1978).

3.2 CALCUL D'UN HYDROGRAMME DE RUISSELLEMENT PAR LES METHODES DERIVEES DE LA METHODE RATIONNELLE

En introduisant la variable temps, il est possible de modifier la formule rationnelle et de l'employer pour calculer un hydrogramme de ruissellement à partir, par exemple, d'un hyétogramme par paliers.

3.2.1 Méthode rationnelle adaptée au calcul d'un hydrogramme

On divise le bassin versant étudié en sous-bassins consécutifs de caractéristiques Crj , Aj., tcj . Les indices j sont croissants de l'exutoire vers l’amont. On suppose que les valeurs de tcj sont indépendantes de la pluie et du débit et que le temps de transit de l'eau du sous-bassin j + 1 au sous-bassin j est égal à tcj .

Soit ijk.la pluie tombant sur le sous-bassin j durant le temps tk . On suppose la pluie homogène sur tout le bassin versant.

Au bout du temps t1 , le débit à l’exutoire est 11111 IACQ r=

Au bout du temps t2 , 212212112 iACiACQ rr +=

Au bout du temps t3 , 3133222213113 iACiACiACQ rrr ++=

Au bout du temps tk , ∑ −+= jkjjrjk iACQ 1, .

On obtient donc un hydrogramme par paliers donnant Qk pour chaque intervalle de temps tk (Figure 3.1).

La méthode, exposée dans Chocat et al. (1982), permet également de tenir compte de la variabilité spatiale de la pluie en différenciant, pour le temps tk , les intensités tombant sur les sous-bassins 1 à k.

Figure 3.1 : Méthode rationnelle adaptée au calcul d’un hydrogramme

3.2.2 Méthode des courbes isochrones

C'est une modification de la méthode précédente, où le bassin est découpé en tranches successives d'indice j croissant en remontant vers l'amont (Figure 3.2). Chaque tranche est définie par un temps ta d'arrivée de l'eau à son exutoire. Toutes les tranches ont une valeur de ta identique, d'où le terme de lignes isochrones.

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On applique la méthode rationnelle à ce système, avec un hyétogramme par paliers de durée ta . On obtient alors un hydrogramme par paliers de durée ta .

S'il y a n tranches, le débit maximum est atteint pour t = nta (Figure 3.3). Mitci (1974) a présenté l'application et les résultats de cette méthode dans les deux cas suivants :

- averse uniforme sur tout le bassin et coefficients Cr constants ; - averse non uniforme et coefficients Cr variant au cours du temps.

On trouvera une présentation détaillée et une analyse de cette méthode dans Réméniéras (1972). La principale difficulté de la méthode réside dans la détermination des courbes isochrones, opération délicate et assez approximative.

Figure 3.2 : Courbes isochrones (extrait de Réméniéras, 1972)

Figure 3.3 : Hydrogramme calculé par la méthode des courbes isochrones (extrait de Réméniéras, 1972)

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3.2.3 Méthode de l'hydrogramme unitaire

Il s'agit d'une méthode proposée initialement par Sherman en 1932. Elle est fondée sur l'hypothèse de la linéarité de la transformation pluie-débit. On applique au bassin versant étudié des averses unitaires, c'est-à-dire des pluies d'une durée dp inférieure au temps de concentration tc du bassin. On prend généralement dp comprise entre 1/5 et 1/3 de tc .

L’averse unitaire est choisie de telle sorte qu'elle engendre un volume ruisselé considéré comme volume unitaire, par exemple 1 mm d'eau sur toute la surface du bassin (Figure 3.4).

En appliquant l'hypothèse de linéarité, il est facile de calculer les débits engendrés par différentes averses :

- une averse plus longue que l’averse unitaire est considérée comme une succession d'averses unitaires, dont les débits, décalés dans le temps, s'ajoutent ;

- une averse d'intensité différente de celle de l'averse unitaire engendre un hydrogramme dont le rapport à l’hydrogramme unitaire est identique à celui des intensités des pluies (Figure 3.5).

L’hydrogramme unitaire est établi à partir d'observations. On sélectionne les hydrogrammes réels générés par des pluies représentant le mieux l'averse unitaire théorique. On peut alors établir l'hydrogramme unitaire du bassin versant étudié. A défaut de données d'observation, il existe des techniques de constructions d'hydrogrammes unitaires synthétiques, mais dont les résultats restent assez approximatifs.

Cette méthode ne permet pas d'étudier des bassins incluant des tronçons de réseau : elle ne peut prendre en compte que le ruissellement de surface. On trouvera dans Réméniéras (1972) une présentation détaillée de la méthode et de sa mise en œuvre. Parmi les modèles ayant été établis sur le principe de l'hydrogramme unitaire et appliqués à des réseaux d’assainissement séparatifs, on peut citer les modèles HYSTEM (Harms et Verworn, 1984) et de Debevoise (1988).

Figure 3.4 : Averse unitaire et hydrogramme unitaire associé (extrait de Réméniéras, 1972)

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Figure 3.5 : Hydrogrammes liés à des averses non unitaires (extrait de Réméniéras, 1972)

3.2.4 Modèle de Izzard

Le modèle de Izzard (1946), repris par Tholin et Keifer (1959) pour simuler la transformation pluie-ruissellement sur le ville de Chicago (USA) (cités par Normand 1971), est dérivé d’une étude en laboratoire de l’écoulement en nappe q(t) sur une chaussée de longueur L, de pente p soumise à une pluie d’intensité i(t). Il s’écrit sous la forme :

dtdDtqti =− )()( Eq. 7

avec i intensité de la pluie (mm/h) q ruissellement (L/s) D rétention superficielle (L) qui s’écrit :

31

KLqD = Eq. 8

avec L longueur de la chaussée (m) K coefficient qui s’écrit :

( ) 31

0276.00675.0−

+= pCiK Eq. 9

avec C = 7 sur un revêtement très lisse C = 17 sur du gravier enrobé de goudron.

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Ce modèle, comme ceux du type mécaniste présentés au chapitre 2, s’est avéré trop complexe à mettre en oeuvre à l’échelle d’un bassin versant urbain car il nécessite un découpage extrêmement fin des surfaces élémentaires sur lesquelles appliquer les calculs. Néanmoins, il reste parfois encore utilisé pour le calcul du ruissellement dans des cas simples tels que les autoroutes ou les aéroports.

Après le calcul de q(t), le modèle de Tholin et Keifer (1959) simule l’accumulation et la propagation de l’eau dans les caniveaux pour obtenir le débit Q(t) à l’entrée des avaloirs selon les équations suivantes :

dtdVtQtq =− )()( Eq. 10

lSV e32

= Eq. 11

avec V volume accumulé en surface (L) Se section mouillée à l’aval (m2) l longueur du caniveau (m).

3.3 LES MODELES DE TYPE RESERVOIR

3.3.1 Introduction

Ces modèles sont issus de la dynamique des systèmes. Le bassin versant, incluant éventuellement des tronçons dans la partie amont du réseau, est considéré de manière globale comme un système réalisant la transformation pluie-débit (Marr, 1976; Jovanovic, l986).

Contrairement aux méthodes précédentes, cette approche permet de tenir compte de l'effet de stockage du bassin. On la représente schématiquement sous forme d'un réservoir dont la loi de vidange est une fonction du stock (Figure 3.6).

De nombreuses variantes de la Figure 3.6 ont été proposées avec des lois de vidange différentes : orifice non poreux, deux sorties, avec surverse, etc. (Roche, 1971). Chaque variante permet de représenter au mieux telle ou telle partie des processus hydrologiques. Après un bref rappel historique, Roche (1971) a présenté différents modèles hydrologiques (Stanford, Girard, Ayers, Cormary, ..) construits à partir de plusieurs réservoirs en série et en parallèle, chaque réservoir ayant sa propre loi de vidange.

Figure 3.6 : Exemple de modèle réservoir

Ces modèles à réservoir présentent un double intérêt :

- une image graphique qui favorise la représentation et la conceptualisation des phénomènes ; - une formulation mathématique simple.

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3.3.2 Formulation mathématique et résolution numérique

Un modèle à réservoir peut être caractérisé par le système d'équations suivant :

- une équation de continuité :

)()()(

tQtQdt

tdVse

s −= Eq. 12

- une équation de stockage :

( ))(),()( tQtQftV ses = Eq. 13

avec Vs(t) volume stocké à l'instant t (m3) Qe(t) = A.IMP.i(t) flux entrant (m3/s), avec A surface du bassin versant (ha), IMP le coefficient d’imperméabilisation (-) et i(t) l’intensité de la pluie (mm/h) Qs(t) flux sortant (débit à l'exutoire) (m3/s).

Ces lois générales s'écrivent différemment selon la fonction f qui relie Vs(t) aux flux entrant et sortant. Les 3 modèles les plus connus sont :

- le modèle général de Muskingum :

( ))()1()()( tQtQKtV ses αα −+= Eq. 14

avec α ∈ [0, 1]

- le modèle du réservoir linéaire, avec α = 0 :

)()( tKQtV ss = Eq. 15

- le modèle avec α = 1 :

)()( tKQtV es = Eq. 16

Les deux derniers modèles sont simplement des cas particuliers du premier.

Le système composé des deux équations de stockage et de conservation se résout soit par intégration directe, soit par discrétisation. Cette deuxième technique est la plus rapide à mettre en œuvre. On dérive la loi de stockage par rapport au temps t, et on égalise avec les termes de droite de l’équation de conservation :

)()()(

)1()()(

tQtQdt

tdQK

dttdQ

Kdt

tdVse

ses −=−+= αα

On discrétise directement cette équation différentielle. Pour cela, il existe plusieurs possibilités selon les opérateurs algébriques retenus. Dans tous les cas, on obtient une relation du type :

( ) ( ) ( ) ( )tQCttQCtQCttQ sees 321 +Δ++=Δ+ Eq. 17

avec 1321 =++ CCC .

Les principaux schémas courants de discrétisation et les coefficients C1, C2 et C3 correspondants sont données dans le Tableau 3.1.

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Intégration numérique

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ

−−

=)1(

exp1

1αα

αK

tC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ

−−

−=)1(

exp1

112αα K

tC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ

−=)1(

exp3αK

tC

discrétisation n° 1 :

( )ttftfttf Δ++=Δ+ ()(21)( et

ttfttf

dtdf

Δ−Δ+

=)()(

tKtKCΔ+−

Δ+=

)1(221

αα

tKtKCΔ+−

Δ+−=

)1(222

αα

t)(Kt)(KC

Δ+α−Δ−α−

=12123

discrétisation n° 2 :

)()( tfttf =Δ+ et t

tfttfdtdf

Δ−Δ+

=)()(

tKKC

Δ+−=

)1(1

αα

tKtKCΔ+−

Δ+−=

)1(2

αα

tKKC

Δ+−−

=)1(

)1(3αα

Modèle de Koussis (1976)

3)31(1 CCt

KC −−Δ

= )31(12 Ct

KC −Δ

−= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ

−=)1(

exp3αK

tC

Modèle de Cunge – Cayla (1980)

αα

23121

−+

=C αα

23212

−−

=C αα

23213

−−

=C

Tableau 3.1 : Schémas de discrétisation et coefficients Cj du modèle réservoir linéaire

La résolution par discrétisation présente l'avantage d'une formulation mathématique plus simple. Par contre, elle peut présenter des problèmes de convergence des calculs pour certaines valeurs du triplet (K, α, Δt) qui rendent négatif un des coefficients Cj : il faut donc choisir une valeur de Δt adéquate (Thibault, 1979). Le Tableau 3.2 donne les conditions de positivité des coefficients Cj .

C1 C2 C3

intégration numérique - ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α−α−≥Δ

111 Log)(Kt

-

discrétisation 1 - α≥Δ Kt 2 )(Kt α−≤Δ 12

(si α =1 C3 < 0)

discrétisation 2 - α≥Δ Kt -

Tableau 3.2 : Conditions de stabilité des modèles issus du modèle Muskingum

Les calculs ne sont stables que pour α < 0.5. Ces problèmes de convergence disparaissent en utilisant la solution analytique, laquelle permet en outre de déterminer la signification physique des paramètres K et α au moyen d'une transformée de Laplace. On trouve alors que (Figure 3.7) :

es TTK −= Eq. 18

es TTK −= Eq. 19

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avec Te instant correspondant au centre de gravité du hyétogramme d’entrée i(t) Ts instant correspondant au centre de gravité de l'hydrogramme de sortie Q(t) Tv instant correspondant au centre de gravité du volume stocké Vs(t).

Figure 3.7 : Signification des paramètres α et K

Si l'on considère le modèle le plus simple (réservoir linéaire avec α = 0), l'intégration conduit à :

∫−

−−

−+=

t

t

Kut

eKtt

s dueuQK

eQtQ0

0

)(1)( 0 Eq. 20

Si on suppose que pour t = 0 on a Q0 = 0 (débit nul au temps zéro), on se ramène à

∫−

−=

tK

ut

es dueuQK

tQ0

)(1)( Eq. 21

En posant la fonction de Dirac

Kt

eK

t−

=1)(δ

Eq. 22

on peut écrire le produit de convolution suivant :

)()()()()(0

ttQduutuQtQ e

t

es δδ ∗=−= ∫ Eq. 23

3.3.3 Calage des paramètres

De nombreux auteurs ont modélisé la transformation pluie-ruissellement sur un bassin versant à l'aide du modèle à réservoir linéaire. L'ajustement du modèle se fait alors au moyen du calage du paramètre K qui correspond au temps de décalage entre les centres de gravité du hyétogramme net in(t) et de l'hydrogramme à l’exutoire Qs(t). Jusqu’à présent, nous avons considéré K comme constant pour simplifier les calculs. Des études expérimentales (Normand, 1971; Sarma et al., 1973; Desbordes, 1974) montrent qu'en réalité :

- K n'est pas invariant pour un bassin donné. Il varie d'un événement pluie-débit à l'autre ; - la relation Vs(t) = f(Qs(t)) n'est pas linéaire : il s'agit d'une boucle aplatie, en raison des phénomènes

dynamiques et notamment de l’effet de stockage. En choisissant Vs(t) = KQs(t), on fait l'hypothèse que l’aplatissement est suffisant pour être approximé par une droite qui correspond à un régime permanent.

Des relations entre K et diverses caractéristiques du bassin versant et de la pluie ont été proposées par plusieurs auteurs :

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- Sarma et al. (1969) cités par Normand (1971) :

294.024.0683.1490.0 )1(21.1 pn dHIMPAK −−+= Eq. 24

avec K (h) A surface du bassin versant (km2) Hn hauteur précipitée nette (mm) dp durée de la précipitation nette (h) IMP coefficient d'imperméabilisation.

- Wu (1963) cité par Desbordes (1984) : 473.1474.1937.0732.0 −−= ILAK Eq. 25

avec K (h) A surface du bassin versant (km2) et A comprise entre 20 et 2500 km2 L longueur du parcours de l’eau (km) I pente moyenne du parcours de l’eau (%)

- Schaake, Geyer et Knapp (1967) cités par Normand (1971) :

26.016.024.040.1 −−= IMPILK c Eq. 26

avec K (min) L longueur du collecteur principal (m) Ic pente du collecteur principal (%) IMP coefficient d'imperméabilisation.

- Kidd et al. (1978) cités par Desbordes (1984) : 38.040.022.043.1 −−= mmiILK Eq. 27

avec K (min) L longueur du bassin versant (m) I pente du bassin versant (m/m) imm intensité maximale moyenne sur 10 minutes (mm/min)

- Neumann (1976), qui a repris une première version de Kidd (1975) : 605.038.0388.0593.063.0 KmsIiLK −= Eq. 28

avec K (min) L longueur du bassin versant (m) i intensité de la pluie (mm/h) I pente moyenne du bassin versant (%) Kms coefficient de Manning-Strickler : Kms = 70 pour les surfaces imperméables ; Kms = 4 pour les surfaces perméables.

- Rao et al. (1972) : 294.024.0683.118.0 )1(209.1 pn dHIMPAK −−+= Eq. 29

avec K (h) A surface du bassin versant (km2) IMP coefficient d'imperméabilisation Hn hauteur de pluie nette (mm) dp durée de la pluie (h)

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- Desbordes (1974) : 07.015.021.09.136.018.0 )1(07.5 −−− += icpi HLdIMPIAK Eq. 30

avec K (min) A surface du bassin versant (ha) I pente moyenne du bassin versant (%) IMP coefficient d'imperméabilisation dpi durée de la période de pluie intense (min) Lc longueur du collecteur principal (m) Hi hauteur de pluie intense (mm).

Cette formule est proposée dans le domaine de validité suivant : A de 0.4 à 5000 ha IMP de 2 à 100 % Lc de 110 à 17800 m I de 0.4 à 4.7 %

La définition physique du paramètre K ne conduit généralement pas à une bonne reproduction des hydrogrammes observés. pour un meilleur ajustement aux débits maximum, Desbordes et Ramperez (1977) proposent un coefficient corrigé K’ par la relation

09070 .KA.'K = Eq. 31

avec la surface A en hectares.

Les deux dernières relations ne permettent pas une utilisation en temps réel du modèle car elles font intervenir les valeurs de i et H que l'on ne peut pas connaître d'avance. Elles impliquent également une perte de linéarité du modèle puisque K varie d'un événement pluvieux à un autre.

Desbordes (1974) a également établi une relation ne prenant en compte que les paramètres décrivant le bassin versant, utilisable par exemple pour un prédimensionnement, et établie à partir de données expérimentales sur des bassins versants français :

608040105120007604940 .c

... LIIMPA.K −−−= Eq. 32

Au moyen d'une modélisation par réservoir linéaire, Desbordes a simulé des transformations pluie-débit où il parvient à reproduire 80 % des hydrogrammes avec une erreur maximum sur le débit de pointe inférieure à 20 % (Desbordes, 1975). Ce qui lui permet de conclure à une représentativité satisfaisante du modèle proposé.

Le modèle du réservoir linéaire fait l'hypothèse que le volume stocké ne dépend que du débit de sortie, ce qui n'est admissible que pour des bassins de petite taille (Rao et al., 1972; Desbordes, 1974). Pour des bassins de grande superficie, Qs ne suffit plus pour déterminer correctement Vs . On est donc amené à prendre α non nul et à faire intervenir Qe .

Le modèle du réservoir linéaire est le plus simple et le plus employé des modèles de type réservoir pour simuler la transformation pluie-débit. D'autres modèles avec K = K(t) peuvent être développés mais la simplicité de la linéarité disparaît et les résultats obtenus ne sont pas toujours significativement meilleurs compte tenu de la plus grande complexité introduite dans les modèles (Calomino et Veltri, 1984).

On trouvera aussi dans Cao et Saba (1990) une comparaison entre différents modèles globaux appliqués à des événements pluvieux sur plusieurs bassins versants.

3.3.4 Cas de plusieurs réservoirs en série

Dans le cas des grands bassins versants, lorsqu’un seul réservoir linéaire ne permet pas de reproduire les observations, on peut utiliser plusieurs réservoirs linéaires en série (ou en parallèle) (Rao et al., 1972; Sarma et al,. 1973; Bielawski, 1984; Johnston et al., 1984; Desbordes, 1984; ATV, 1987).

Considérons le cas de n réservoirs en série ayant tous le même lag-time Kn. La généralisation de l’Eq. 22 conduit à l’expression :

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1

)(1)(

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Γ

=δn

n

nKt

n Kt

ne

Kt Eq. 33

avec ∫∞

−−=Γ

0

1)( dxxen nx et )()1( nnn Γ=+Γ .

On peut calculer directement les valeurs de Kn et n à partir des moments d’ordre 1 et 2 et des données expérimentales Qe(t) et Qs(t) au moyen des relations :

DeQsQn TMMnK =−= ,1,1 Eq. 34

eQneQsQn MnKMMKnn ,1,2,22 2)1( −−=+ Eq. 35

avec ∫∞

=

0, )( dttFtM mFm et TD le lag-time de la cascade de réservoirs (h).

Γ(n) étant une fonction continue, la valeur de n optimale pour le calage n’est pas nécessairement entière. On perd alors une partie du sens physique attribuable au modèle au profit du calage numérique.

Sarma et al. (1969) ont établi les relations empiriques suivantes pour Kn :

222.0106.0622.0389.0 )1(570.0 pnn dHIMPAK −−+= Eq. 36

et pour n :

nD

KT

n = avec 371.0267.066.1458.0 )1(275.1 pnD dHIMPAT −−+= Eq. 37

avec Kn (h) TD lag-time de la cascade de réservoirs (h) A surface du bassin versant (km2) Hn hauteur précipitée nette (mm) dp durée de la précipitation nette (h) IMP coefficient d'imperméabilisation.

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LE RUISSELLEMENT