Le théorème de PtoléméeLe théorème de Ptolémée

par Genbauffe Catherinepar Genbauffe Catherine

La figure

• Posons:

|AB| = a

|BC| = b

|CD| = c

|DA| = d

|AC| = p

|BD| = q

Enoncé n°1

• Le produit des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés :

• pq = ac + bd

Démonstration

• On a donc p = |AC| et

q = |BD|

q = |BE| + |ED|

• On remarque que les triangles ABC et AED sont semblables

• On a donc :

|AB|/|AE| = |AC|/|AD| = |BC|/|ED|

• En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient : a/|AE| = p/q = b/|ED|

• On remarque également que les triangles ABE et ACD sont semblables.

• On a donc: |AB|/|AC| = |AE|/|AD| = |BE|/|CD|

• En remplaçant les segments par le nom des côtés, on obtient :

a/p = |AE|/d = |BE|/c

• Pour les premiers triangles semblables, prenons l’égalité: p/d = b/|ED|

• Pour les seconds, choisissons l’égalité : a/p = |BE|/c

• Si on applique la propriété disant que le produit des extrêmes égale celui des moyens, on a : ac = p.|BE| et bd = p.|ED|

• Et donc si on additionne ces deux égalités, on obtient: ac + bd = p (|BE| + |ED|) = pq

Enoncé n°2

• Le rapport des longueurs des diagonales d’un quadrilatère convexe inscrit est égal au rapport des sommes des produits des longueurs des côtés issus des extrémités de ces diagonales:

• p/q = (ad+bc)/(ab+cd)

Démonstration: 1ère partie

• Avant tout, prouvons que le produit des longueurs de deux côtés d’un triangle est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit par la hauteur correspondant au 3ème côtés: |AB|.|AC| = |AE|.|AD|

|AB|/|AE| = |AD|/|AC| |AB|/|AD| = |AE|/|AC|• Transformons l’égalité donnée dans

l’énoncé. • Donc |AB|.|AC| = |AE|.|AD| devient alors

bc = 2Rh (R étant le rayon)• Si on multiplie les deux membres par a, on

a : abc = 2R.a.h = 2R.2S• Et donc, abc = 4.R.S • Grâce à cette égalité nous allons

maintenant pouvoir prouver que: p/q = (ad+bc)/(ab+cd)

Démonstration: 2ème partie

• L’égalité précédente nous permet de déterminer l’aire de triangle: S= abc/4R

• Déterminons l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale p:

• Le triangle ABC et le triangle ADC

• Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R

• On peut dire que l’aire du triangle ABC = abp/4R

• Et que l’aire du triangle ADC = dcp/4R

• L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R

• Déterminons, à présent, l’aire du quadrilatère ABCD en le décomposant en deux triangles par rapport à la diagonale q:

• Le triangle ABD et le triangle BCD

• Donc grâce à l’égalité : S = abc/4R

• On peut dire que l’aire du triangle ABD = adq/4R

• Et que l’aire du triangle BCD = bcq/4R

• L’aire du quadrilatère ABCD vaut donc: abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R

• On sait donc que:

- L’aire du quadrilatère ABCD vaut:

abp/4R + dcp/4R = p.(ab+dc)/4R

- L’aire du quadrilatère ABCD vaut:

abq/4R + dcq/4R = q.(ad+bc)/4R

• On peut donc égaler les deux résultats précédents

p.(ab+dc)/4R = q.(ad+bc)/4R

• Et donc en simplifiant et en divisant, on obtient:

p/q = (ad + bc)/(ab + cd)