Le-Tracage.pdf

7/23/2019 Le-Tracage.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/le-tracagepdf 1/251

F .

L E L O N G

F .

C O S S I A U X

,,'

: '

.lr:.:,

.i.:rr.

ff:ïi

,t,,

:

.' r

Collection

A

Gniet-



Les

olios

ncadrés

envoient

ux

pages

ynoptiques

-

Notions

e

géométrie

escriptive

-

Le

point

3 - L a d r o i t e

. . . . 1 2

3 . 1

D é f i n i t i o n

. 1 2

3 . 2 - D r o i t e s r e m a r q u a b l e s

.

. . . . 1 3

3.3 Droites

oncourantes

t droi tes

paral lè les

4 - L e p l a n . i o

4 . 1

D é f i n i t i o n

. . . . 1 6

4 .2

Traces

'un

lan

.

17

4 .3

Hor izon ta les

t ron ta les

'un

lan

19

Appl icat ion

point

ppartenant

à un

p lan

4 . 4 -

P l a n s

e m a r q u a b l e s

. . . . . . . 2 1

4.5

Appl icat ion

surface

lane

'

el

surface

auche

. . .

.23

5

-

lntersect ionroi te/plan .. . . . . .25

5 .1 In te rsec t ion

ro i te

p lan

. .25

5 . 2 - n t e r s e c t i o n

e2

p l a n s1 )

. . . . . . 2 G

5.3 ln te rsec t ion

e2

p lans2)

. . .

. . .28

5

-

Changement

e

plan

6 .1

Déf in i t ion

6.2

Changement

e

plan

rontal

(vraie

randeur

e

a

droite)

.

6.3

Changement

e

plan

orizontal

6 .4 Doub le

hangement

e

p lan

.

Appl icat ion

7

-

Rotation

1

1

-

Rotat io

7 2

-

Rotat io

Appl icat ion

3 l

7

3

-

Rota t ion

'un

lan 1 )

7

4

-

Rotat ion

'un

plan 2)

7.5

Rotat ion

'un

plan 5)

8 - Rabattement 42

8 . 1

R a b a t t e m e n t d ' u n p o i n t

. . . . 4 2

8.2

Rabattement

'une

roi te

43

.B

l 1

8.3 Rabattement

'un

plan

e

bout

sur

un

plan

rontal

8.4

Rabattement

'un

plan

e bout

sur

un

plan

orizontal

.

8 .5 App l ica t ions

piun

/,

tr,

46

41

84

B5

.68

.68

. 7 0

. 7 2

1 5

9

-

Vraie

randeur

e a

droite

(par

changement

e

plan,par

rotation,

p a r r a b a t t e m e n t )

. . . . . . . 5 2

Application

t r / ,

J T

10

-

Droite

t

planperpendiculaires

. . . .55

10.1 Dro i te erpend icu la i reunp lan .55

10.2

Plan

erpend icu la i re

une ro i te 56

10.5

Perpend icu la i re

ommune

à 2 d r o i t e s

. . . 5 7

l1

-

D ro i t e s e tp l a n s p a ra l l è l e s

.

. . . 6 0

1

1.1 Dro i te

ara l lè le

un

p lan

. . . .

. .60

1 1 . 2

P l a n s

a r a l l è l e s .

. . . . 6 1

l2

-

Déterminat ion

es

distances

. . .

. . .62

12.1 Dis tance'un o in t une ro i te .62

12.2

Distance

'un

point

un

plan

. . .64

1 2 .3

D i s ta n c e e n l r e

d ro i t e s

. . . 6 7

2 0

30

3 0

|

3

-

Détermination

es

angles

1 3 .1

Ang lede

d ro i t e s

.

. . .

13 .2

Ang le

'une

ro i te t

d 'un

, - l ^ t ^ ^ , , - ^ ^ i À

( le

ra

pyramloe

) )

-

l - ) 6 r r o l n n n o m c

- -

, - v v - , , , J n I

. 3 1

. 3 2

. 3 3

.34

13.3

Ang le

e2

p lans

A p p l i c a t i o n

. . . . 1 4

l - L e p r i s m e

. . . 7 9

' I

.1

-

Ident i té,

ect ions

lanes

u

prisme

79

,l .2

-

Coude 2

éléments

rontaux

. .

. .80

1

3

Coude

ue lconque

. . .81

1 . 4 -

I n t e r s e c t i o n s

. . . 8 2

1 . 5 - D é v e l o p p e m e n t

. . . . . 8 3

2 - L e s p y r a m i d e s

. . . . 8 4

2 .1 lden t i té ,ec t ionslanes

n d 'une

ro i t e

1 )

n

d'une

roite

2)

. 3 5

.35

. 3 6

.38

. 3 9

.40

4

t -



3

-

Leshottesà

paroisplanes

. . . . .86

D é v e l o p p e m e n t

. . . . . 8 7

4

-

Le cylindre e

révolution

4.1

-

ldentité, eveloppement,

ens

d u t r a c ê

. . 1 .

4.2 - Lesystèmeégulier egénératrices1

4.3

-

Les

projectionsarticulières

d e s g ê n é r a t r i c e s

. . . . . 9 2

4 .4

-Les

coudeset

es tés

.

. . . . .94

4.5

Coude yl indrique

à d e u x é l é m e n t s ( 1 )

. . . . . . . 9 5

4.6

Coude

yl indrique

à d e u x é l é m e n t s ( 2 )

. . . . . . . 9 6

4.1

Coudes

yl indriquesn

plusieurs

é l é m e n t s

. . . . . . 9 7 '

4.8 Le<dêcalé, esgénératr ices

sur

e

dêveloppement

4 .9

Les

ec t ions

emarquab les. . . . . . 9 9

' .

5

-

Le cylindre bliqqe basecirculaire

l 00

5.1

ldenti té,

ect ions

lanes

du cyl indrebl ique

5 . 2 - D e v e l o p p e m e n t

. . . . . . . . . 1 0 1

6

-

Le cônede

rêvolution . . .102

6.1--

denti té,

êveloppement

.

.102

6.2

Les

ect ions

emarquables

1)

. . .105

6.3

Les

ect ions

emarquables

2)

. . .104

6:4

-

Les

ections

emarquables

3)

. . .105

7

-

Le

côneoblique

basecirculaire

7 1

-

Identi té,ect ions

lanes

1 0 6

du cône bl ique

. . . .1 6

7 2

-

Développementu roncde cône

obl ique

sommet ccessible. .

.107

1

3

-

Dêveloppementu roncde cône

obl ique sommetnacessible

:

:8

-

Coude onique

1 1 2

@

| |

-

Les

ntersectionsylindre/cylindre

.121

11 1

-

Intersection'une

roite t

d 'un y l indre

e

êvolut ion.

. . .121

11 2

-

Le

développement

u

pênétré

.122

1 1 . 3 - T é à 6 0

. . . . . 1 2 3

11 4

-

Piquage0o

axes oncourants

.124

l l . 5 - P i q u a g e0 " a x e s d é c a t ê s. . . . 1 2 5

1

1.6 Næud yl indrique

off

hore)

.

.1,26

1 1 . 1

L e s é p a i s s e u r s

. . . . 1 2 8

| 2

-

Le

cône

de

révolution

@

12.1 lntersection

'une roite

e t d ' u n c ô n e .

. . . . . 1 4 4

12.2 lmplantat ion

ur

ledéveloppement

.

.146

12.3

lntersect ion

ône/cyl indre

. . . . .141

1 2 . 4 L e s p a i s s e u r s

. . . . 1 5 6

1 3

-

I n te r s e c t i o nône /cône

. . . . . . 1 6 6

1 3 .1

Axesque lconques

. .

.166

13.2 Tronc e cône

sommet

inaccessible

'l4

-

Intersectionsphère/cône

[99]

1 4 . 1

A x e v e r t i c a l

. .

. . . 1 6 9

1 4 .2

Les

pa isseu rs

. . . . 1 7 0

I

5

-

Intersectioirs

phère/cylindre

. .

. . .11

1 5 . 1 A x e v e r t i c a l. . . . . 1 1 4

1 5 . 2 *A x e

o r i z o n t a l

. . . . 1 1 6

15.5

Les

paisseurs

. . . l

78

16

-

Intersectionstore/cylindre

. .

@

16.1 Sec t ions

emarquab les

.

. . . . . .185

16.2 Axes

ara l lè les . .

. . .186

16.3

Axe

paral lè le

l 'équateur

. . .

. . lBB

16.4

Axes

oncourants

. .190

1 6 . 5 L e s é p a i s s e u r s

. . . . 1 9 2

17

-

Les accordements

. . .201

11 1

-

Raccordement

e deux ect ions

contenues

ans es

plans

paral lè les

. . .201

17 2

-

Raccordemente

deux ect ions

contenues

ans es

plans

concourants.

.

t8

-

Les ulottes

. . . .216

1 8 . 1

T h é o r è m e s

. . 2 1 6

1 8 . 2 - A p p l i c a t i o n1 ) . . . . . . . 2 1 7

l B . 3

A p p l i c a t i o n

2 )

. . . . 2 1 8

1 8 . 4 -A p p l i c a t i o n

3 )

. . . . 2 2 0

8.1

Methode

essphères

écantes

P,2

-

Méthodesessphèresangentes

. 1 1 2

. 1 1 4

d'a

sphère

. .l

16

.:l

ldentite, ections

lanes

'

,

d 'une phère

. . l

16

";

Développementpproché

*., ' , e asphère . .117

5

I

d e M o n g e

. . . . . 1 1 9



3

-

Tracés

e bissectrices

. .244

|

-

Vraie

randeur

e a

droite

. . .224

2

-

Intersection

ylindre

e rëvolution/

P l a n d e b o u t

. . . . 2 2 6

3

-

fntersection

ylindre/cylindre

. .228

4

-

Développement

u tronc

de cône

d e r é v o l u t i o n

. . . . 2 3 0

5

-

Angle

e

deuxdroites

. .232

5

-

Angle

e deux

plans

. .

.234

7

-

Calcul

es ongueurs

t

desangles

d e s t u y a u t e r i e s ( 1 )

. . . . 2 3 6

I

-

Calcul

es ongueurs

t

desangles

des uyauteries

2)

239

1

-

Tracés

e

perpendiculaires

.242

2

-Tracés

de

parallèles

. .

. . . .

. .243

4

-

Tracés

e tangentes

u cercle

5

-

Raccordements

roite/cercle

.245

.246

6

-

Tracés e

polygones

éguliers

. . . . .248

7

-

Divisions

e droites

n

parties

gales 50

8 - T r a c é s d a n g l e s

. . . 2 5 1

9

-

Tracés

ovales

méthode

e

I anse

de

panier)

. .252

l0

-Tracés

de

e l l ipse .

.

. . . . . . .254

I l

-

Tracés

e tangentes I ellipse

. . . .255

12

-

Tracés

arcsde cercles e centre

i n a c c e s s i b l e

. . . . 2 5 6

Surfaces,olumes

Centre

e

gravité

.259

, h l I

. . . . z v v



PR€MI€R€RRTI€

-

o

l

1

ù

I

o

Caspard onge 1746 lBlB) mathématicienrançais,nventeure a

GÉOMÉINIE

C CRIPTIVC

Né à Beaune,

aspard

Mongea

joué

un

rôle

mportant ous

a Révolution

rançaise

ant

comme

avant

au

service

e

a défense

e son

paAs

que

comme

rofesseur,

n

particulier

I Ecole

olgtechnique,réée

à son

initiative.

mitrès

proche

e

Bonaparte,

ui,

devenu

apoléon

*,

le ftt comte

de

Péluse.

l accumula

eshon-

neurs

usqu à

a chute

de

I Emptre.

Resté

idèleà

I Empereur,

l fut obligé

de s exiler

t

mourutdans

e

plus

qrand

énuement.

C est

à l École

militaire

e

Mézières,

ù

t fut étudiant,

ssistant

uis

professeur,

ue

Monge

elabora

a

géo-

métrie

escriptive

ès

1770 classée

ecret

mtlitaire,

elle-ci

e

ut

pas

ensetgnée

ubliquement

vant

I

795

L æuvre

mathématique

e Monge

se caractérise

ar

unesgnthèse

rofonde

ntre

analqse,

algèbre

t

la

géométrie.

n

ui doit en

particulier

es

nterprétations

éométriques

es

équations

ux

dérivées

arttelles

en ermes e amttles esurfaces.D après ncyclopédieNCARTA@,icrosoftCorporation)



I

-

NoloNS

D€

GéoMéTRK

€scRlPTlv€

Engéomêtrieescriptive,

ais ussi

n raçage

raphique

u en

dessin

echnique,

n

uti l ise

es

projections

ortÀogonales,

est-à-dire

ue espoints e différentsbjets ontprojetés erpendiculairementdesplans

de

projection.

n

plan

de

projection

st

unesurface

maginaire

lane

ll imitée.

@

nepresentation

ans

espace

l l

y

a

3

principaux

lans

e

projection

ui

sont

-

le

plan

horizontal

OY

ue

ondésigne

ar

lHl

-

le

plan

rontalYOZ

ue

ondêsigne

ar

F]

-

le

plan

e

profi l

OZ

ue

ondésigne

ar

Pf].

Ces

lans

ont

erpendiculaires

ntre

ux,

ls or-

ment

un

référentiel

XYZ.

Les raceurs.

esdessinateurs

e

réfèrent

e

plus

souvent

ux

deux

premiers

lans

ui

partagent

l espace

n

quatre

ièdres.

Un

dièdre

st

angle

ormé

ar

deux

plans.

On t rava i l le

énéra lement

ans

e

premier

dièdre.

Comme

esépures

ontconstruites

ur

unesur-

face

plane,

n suppose

ue

e

plan

rontal

st

rabattu

ur

le

plan

horizontal.

ela

donne

a

reprêsentation

uivante.

[Pr] o

GêomêErie

escriPtive



I

Projection

d un

point

Un

point

A dans espace

e

projette

erpendiculairement

ar

apport

ux

plans

e

projection.

o

L

impact

ur e

plan

F]

e

nomme

rojection

rontale,l

estdésigné

ar

n

a n.

.

L

(

impact

sur e

plan

H]

e nomme

rojection

orizontale,

l

estdésigné

ar

u

a

o.

La

droite

ui

oint

a

projection

rontale

a )) la

projection

orizontale

a

D

est

nommée igne

e rappel>.

Elle

st

perpendiculaire

l axe

Y.

I

Conventions

Y

o C u

o E o :

o S r :

cotedu

point

êloignement

u

point

situationu point

ilra

cote

>

d un

ooint.distance

ui

séparee

point

du

li t dans e

plan

rontal

F]

orizoîtal

H],

e

rection

esZ).

éloignement

d un

point,

distance

ui

séparee

dans e

plan

horizontal

u

plan

rontal

F],

e

it

{direction

esX) .

situation

,

distance

ui

séparee

point

u

plan

e

[Pfl,

st

ue

danse

sens esY.

0

I

-

Notions de

gêomêtria

descriptive



il

Notation

adoptée dans

I'ouvrage

o

Le

point :

Un

point

dans

'espaceera ésigné

ar

une ettremajuscule,

uivi u

nonde ses oordonnées

,y,z ntre

parenthèses.

Exemples:

A

------------->

oint

A

(non

défini

par

sescoordonnées).

8(0,2,5)- - - - - - - - - - - - ->pointdecoordonnées:

B

:

0;yB

:2;zB

:3

)

On

peut

aussi ppeler

e

point

A de cette

açon A

(a',

)

o

La droite

Une roite ans

'espaceera ésignée

ar

une

oudeux

ettres ajuscules

ndicéesu

non

entre

arenlhèses

siel le

estdésignée

ar

deux

points.

Exemples:

(D)

droite

ppelée

d)

non

définie

ar

deux

points

droite

assantar

deux

points

et

B

AB

Nota:

pour

'épure,,onmploie

es ettresminusculesntre

arenthèses

ssorties

'un

o'n

our

a

projection

frontale.

La

projection

rontale e

(D)

era ésignée

ar

d')

sa

projection

orizontale

ar

d).

Ona donc eséquivalencese

désignationsuivantes

(Dl

:

(d), d')

------------>

roite

D)

définie

ar

ses

projections

(AB) (abJ,a'b')------------>

roite

AB)

éfinie

ar

es

projections

es

points

A et

B

o

Le

plan

Un

plan

era ésigné

ar

une

ettre

majuscule

indicée

u non)

ntre

rochets

u

par

ses léments

e defini-

tionentre rochets.

Exemples:

tP l

tA,B,C,l

t(D),u)l

t(AB),

cD)l

t(D),

1

.-----------------------

___________>

--___--->

----------------

___________>

plan

ppelé

l nondéf in i ,

plan

éfini

ar

rois

points

,B,C,

plan

êfini

ar

esdeux roites

D)

t

(U),

plan

éfini

ar

es

deux

droites

AB)

t

(CD),

plan

éfini

ar

adroite

AB)

t

e

point

A.

Gêomêtriedescriptive



Représentation

u

point

sur epure

2 L€

PoINT

Un

point

M est

dêfini

ar

ses

oordonnées.

osit ionner

e

point

ur épure.

M

( 1 0 ,

2 ,

l

En

O,

le

traceur

osit ionne

ur e référentiel

une igne

de rappel

erpendiculaire

l axe

(OY)

distante

e 12

unités

u

point

O.

En

@,

t

porte

urcette igne

e

rappel

nêloi-

gnementX)

e t0

unités

ui

situe a

projec-

tionhorizontale

.

En@,t

porte

urcettemêmeigne e rappel

une

cote

z)

de 3 unités

ui

situe a

projection

frontale

m .

9

-

Le

point



.

_

LR

DROIT€

3.

I DÉrlrunoru

Une roite

st

définie

ar

deux

points.

o

Traces 'une

droite

Onappelle

races

'une

roite,

es

oints

' intersection

vec

es

plans

e

projection

Fl

et

[H].

(D)

n

tFl

4

trace

rontale

q,

q' )

(D)

n

tHl---->

trace

horizontale

p,p' )

Pour

echercher

a trace

rontale

'une

roite,

e

traceur

echerche

ur

adroite

D)

n

point

O

(q,q')

qui

a un

éloignement

ul.

Pour

echercher

a race

orizontale

'une

roite,

le traceur

echerche

ur

a droite

D)

un

point

P

(p,p ' l u i

a

une ote

u l le .

/ \

Un.droite

D)

eut

voir ne

race

rontale

e

cote

Zn')

égative

u

une race

orizontale

'éloignement

{Xu)

égatif.

z

Gêomêtrie

descriptive



3.2

Dno[ES

REMARouABLEs

I

Droite frontale

Elle

st

parallèle

u

plan

rontal

e

projection

OYZ].

Ël le stvueenvraie randeurans e plan rontal e

projection.

Une roite rontale e

possède as

de race rontale

.I

Droite

horizontale

Elle

est

paral lèle

u

plan

horizontal

e

projection

estvueen

vraie

randeur

ans e

plan

horizontal

droite orizontalee possèdeasde tracehori-

e .

fronto-horizontale

estparallèle

la fois

au

plan

rontal

OYZ]

t

au

.horizontal

OXY]

e

projection.

vueenvraie

randeur

ans esdeux

plans

e

fe

fronto-horizontale

e

oossède

i

de trace

,

ni

de racehorizontale.

3

-

Lo

droite



I

Droite

verticale

Elle st

perpendiculaire

u

plan

horizontal

e

projec-

tion

O/rY].

Elleest

vueen

vraie

grandeur

ans

e

plan

rontal e

projection.

Une

droite erticale

e

possède

as

de

trace

rontale.

I Droite de

bout

Elleest

perpendiculaire

u

plan

rontal

de

projection

l)YZl.

El le stvue

en

vraie

randeur

ans

e

plan

horizontal

de

projection.

Une

droite

de bout

ne

possède

as

de trace

horizon-

tale.

I Droite

de

profil

El le st

paral lèle

un

plan

e

profi l .

El le

n'est

pas

vue en

vraie

grandeur

ans

es deux

plans

e

projection

Fl

et

tHl.

Les races

'une

roite

de

profil

ne

peuvent

tre

obte-

nues

ue

par

unchangement

e

plan

voir

ages

0

à

32).

Unedroite

e

profi l

e

possède

u'une

eule

igne

e

rappel.

I

I

I

I

I

i

I

I

I

{

I

I

I

j

{

I

I

l

l

I

Gê,omëtvi

descr

ptive



3.3

Dno[Es

coNcouRANTES

T

DRotrES

nnRt_t_Èus

f Droites

concourantes

Deux

roites

ont oncourantes

ans

intersections

e

situent

ur

a

même

dans eux

plans

e

projection.

l 'espace

i

eurs

l igne

e rappel

.l

Droites

parallèles

-/'^''

-/

/<* )

- / Y

droites, on

de

profi l ,

ont

paral lèles

ans

'espace

i eurs

rojections

ont

paral lèlesou

confondues

une

eule

rojection).

Lorsque es

droites

sont de

profi l

n changement

e

plan

est necessaire

our

vérifier i

les

droites

ont

paral lèles.

Dans

e

cas

résent,

l les

e e

sont

oas.

3

-

Lo droite



4

-

L€PLRN

V

4.1 DÉrrrurroru

Un

plan

estdéfini

ar

2 droites concourantes

Unplanpeutaussi tredéfini arses races.

droite

et

I

point

2

droites

parallèles

Traces un lan

Les races iun

plan

sont

esdroites

in-

tersection

e

ce

plan

avec

es

plans

e

pro-

jection

Fl

et

tHl.

La race

rontale

stappe-

lee

O 1,

a race

orizontale

P).

Ces

deux races

e

rejoignent

ur

axe0Y

en

un

point

lpha

o ,

)

GëloméEria

descriptive



4.2

TnacES

uN PLAN

Rechercher

es

races un

plan

P]

défini

ar

es

droites

D1)

t

(D2)

oncourantes

n U

Méthode

pour

echercheres

races

un

plan,

l faut

et

i l

suff i t e

rechercher

es racesron-

taleet horizontale

e

deuxdroites u

olan

Le

raceur

rolonge

a droite

D1)

n

projection

orizontale

usqu au

oment

ù el lea unéloi-

gnement

ul

(Xm

0) et

projette

m

en

projection

rontale

ur

(dl )

pour

obtenirm (trace

frontale).l fai tde même our adroite D2) ourobtenir .La race O ) uplan P]passe ar

m n .

X

( d 1 )

4

-

Le

plon



Z

n

Q ,

( d l )

u

m

\

\

(uz ) \ , ,

( d 1 )

(az)

/

t

/ p

0

a Y

ct

Le raceur

rolonge

a

race rontale

O )

du

plan

P]

usqu au

moment

ù

elle

encontre axe

(OYJ

our

obtenir lpha

cr,g ).

uis

l recherchea

race

horizontale

de a droite

D2).

En

oi -

gnant

lpha

cr,c )

la

projection

, le raceur

btient

a

racehorizontale

P)

du

plan

Lorsquee

point

alpha

cr,oc )

ombe en

dehors es

imites

e I epure, n ne

peut pas

employerout à fait a mêmemêthode.l

suffit lors e

racer nedroitedu

plan

P]

qui

reste

dans es imites e épure nchoisissantnpoint urchacuneesdroitesDl)et (D2).

Le

traceuraprès avoir recherchéa

trace

horizontale

de

a

droite

D2),

e

donnedeux

points

A

et

B respective-

ment ur

D2)

t

(Dl)

en vérif iant

ue

la

race

horizontale

de

a

droite

AB)

<

ombe dans épure.

Aprèsavoir echerchéette raceG, l

j o in t

g , ,à n tD

pour

b ten i r

a

race

horizontale

P)

u

plan.

o

r.

vl)

q)

o

+,

tr

GêomêErie escriptiv@



4.3

HontzowTALEs,ET

RoNTALES

uN

ptÂN

I

Horizontales

un

plan

cesontdesdroites,

un

plan,

arallèles

u

plan

horizontal

XOYJ.

Le

plan

estdéfini

ar

rois

points

A,B,Ml.

Touteses

horizontales

un

plan

ont

paral lèles

ntre

l les t sont

paral lèles

la

racehori-

zontale

u olan,

Frontales

un

plan

ce sontdesdroites

u

planparallèles

u

plan

rontal

plan stdéfini ardeuxdroites oncourantes(Dl , (D2)1.

Toutes

es rontales

un

plan

ont

paral lèles

ntre l les

t sont

paral lèles

la race rontale

duolan.

I

Le

4

-

Le

plon



Appfication

point

appartenant

à un

pfan

Connaissant

ne

es

proiections

'un

point

U

appartenant

un

plan

p],

echercher

,autre

ro_

jection.

l ' c a s :

e

p l a n

P

est

defini

ar

rois

points

2

cas le

plan

est

défini

par

ses races

a

tFI

Dans

es

deux

as,

e

raceur

ésout

e

problème

n aisant

asser

ne

droite emarquable

u

plan,

horizontale

u rontale, ar

e

point

à rechercher.

a

droite

emarquable

tant

construi-

te

dans

'autre

rojection,

l

ne

reste

lus

qu'à

projeter

e

point

sur

cette

droite

emarquable.

Gêomêtrie

descriptive



4.4

PUaNS

REIvIARoUABLES

I

Plan vertical

l l

est

perpendiculaire

u

Sa race rontale

O )

est

plan

horizontal

e

projection

parallèle

l axe7.

de bout

iculaire

u

plan

rontal

e

projection.

horizontale

P)

st

parallèle

l axeX.

au

plan

rontal

e

projection.

outes

es

n frontal

ont

ues nvraie

randeur

.frontal

de

projection.

ne

possède

as

de race rontale.

vertical

articulier

plon



I

Plan

horizontal

l l est

paral lèle

u

plan

orizontal

e

projection.

outes

les igures

un

plan

rontal

ontvues

en vraie

ran-

deur

dans e

plan

horizontal

e

projection.

Le

plan

horizontale possèdeasde tracehorizon-

tale.

C est

n

plan

e

bout

particul ier.

I

Plan

de

profil

l l

est

perpendiculaire

l axe .

I

Plan

quetconque

Comme

onnom indique,

e

n est

as

un

plan

emar-

quable.

es

races

P)

t

(O )

ont ncl inées

ar

apport

à l axe esY.Les

races e ejoignent

ur

axe

enun

point

lpha

cr,

).

Les igures

ontenuesansun

planquelconque

e

sont

pas

ues nvraie

randeur,

i dans e

plan

ron-

tal,ni dans e

plan

horizontal.

GêomêErie escriptive



4,5

AppLrcATroN:

uRFAcEIÂNE

ET SURFACE

AUCHE

Un

plan

st

defini

-

3

points,

-

I droiteet unpoint,-

2

droites oncourantes,

-

2

droites

aral lèles,

cesdeuxcas evenant 3 ooints.

Lorsqu'uneigure

omporte

lus

de 3

points,

l faut

vêrifier i cettesurface st

plane.

Unesurface

stdéfinie

ar

es

points

,B,C t D.

On demande e contrôler i

cettesurface st

plane.

l* cAs

2 CAS

Le raceur: Le raceur :

-

joint

es

quatre

oints

ans es

deux

tions,

joint

es

quatre oints

ans es

deux

projec-

tions,

RAPPEL;orsque

euxdroites

non

de

profil)

-

s'aperçoit

ue

deuxdroites

AB)

t

(CD)

on t

paral lèles

ans a

projection

orizontale,ais

pas

en

projection

rontale,

-

en déduil

ue

esdeux

droites

e

sont

pas

paral lèles

ans'espace

t

que

a

surface

'est

pas lane.

Dans

e cas, a

surface st dite

(

gauche

,,

l

faut

s' imposern

pli

suivant

'une

u

l 'autre

diagonale

la

surfacestdécomposéendeuxtriangles,onc eux

urfaces

lanes).

-

voit

que

deux

droites

AB)

et

(CD)

sont

fàial.rcles

ans es

deux

projections,

-

endéduit

ue

a

surfacest

plane.

sont

paral lèles

ansdeux

projections,

l les

sont

aral lèles

ans 'espace.

4

-

Le

plon



On demande e contrôler

ue

es

surfaces,

éfinies i-après

arquatrepoints,

ont

planes.

5 CAS

4 CAS

b '

/

-/

-.

-/

-/

d

d

a

c

b

Le

traceurcontrôle

ue

deux droites,

npn

adjacentes,e a surfaceontconcourantes.

lci, l

prolonge

es

droites

AD)

t

(BC)

ans es

deux

projections

t vérifie i

eur

ntersection

se

situe urune

mêmeigne

e rappel.

Cen'est

pas

e

cas, a surface st

gauche

.

Les

droites

omposanta surface e coupant

horsdes imites e l'épure,e traceur érifie

que

esdiagonalese

a

surfaceont oncou-

rantes.

Dans e cas

présent,

es intersectionses

droites

AC)

et

(BD)

sont situees

ur une

mêmeigne e rappel. e

point

estbien

'in-

tersectionesdeux

diagonales.

Lasurface st

plane.

RAPPEL: euxdroites oncourantes

êfinis-

sent n olan.

GêomêErie

descriptive



5,t frurrRsrcloN

DRotrE

pLAN

5

-

INT€RS€CTIoN

RoIT€

PLRN

Rechercher' intersectiond'uneroite D) t d'unplan P]défini ardeuxdroites oncouranres

t(AM),

MB)l

u

par

rois

points

A,

M, Bl.

b

tpl

n

{P t

Le

raceur

ait

passer

n

plan

uxil iaireemarquable

PRl

de

bout

ouvertical)

ar

a

droite

D).

Le

point

echerché

(i, ')

appartient

la

ois

à

I' intersection

es

deux

plans

t

à

la

droite

D).

5

-

Int@rsection

roito

-

plon



5,2

lrurcRsEcroN

EDEUX

tnrus

l

)

L'intersection

e deux

plans

est unedroite.

Pour echercher

' intersectione

deux

lans,

l

autet l suff i t

e echercher

' intersection

edeux

roites

'un

plan

vec

'autre

lan.

Rechercher

' intersection

e deux

plans

P1let IP2]

ous

esdeuxdêfinis

ardeuxdroites

concourantes.

tP

1

défini

par

les

concourantes

n

.

tP2l

défini

par

les

concourantes

n

O.

droi tes

D1)

et

(D2)

droi tes

Ul )

e t

(U2)

Une

première

éthodeonsiste

amener

n

desdeux

plans

n

bout.

Pour e lae raceur :

-

construit

nedroite

emarquable;

-

implante n

nouveau

éférentiel

erpendiculaire

la droiteen

vraie

grandeur

t

projette

dans enouveaulandeprojection,esplansP1] t IP2];

-

dans

ette ernière

rojection,

l

détermine

'intersection

esdeux

plans

u'i l

amène ans

les

plans

e

projection

H]

et

[F].

1.

phase

construction

'une

droite

emarquable,

iseen

place

d'un

nouveau

êfêrentiel

01X1Y1Z

t

projection

ans

e éférentiel

u

plan

P1].

Le

raceur:

o'

-

construit

ne

horizontale

h,h'),

-

place

un

nouveau

éférentiel

1XlY1Z

per-

pendiculaire(h),

-

projette

ans

e

éfêrentiel

e

plan

P1]

éfini

par

es

points

M,N, l | ,

-

obt ient

e

plan

P1]

sn

bout

.

(d1')

Gêomêtrie

descriptive



2

phase

projeter

e

plan

points

d'intersection

et

lP2l

dans

e nouveau

c.

référentiel

t dëterminer

es

Z

t '1

(u2'1)

(u1'1)

3

phase

ramener

es

points

'intersection

et

C dans es

projections

F]

et

[H]

et tracer a

droite

d'intersection.

Le raceur amèneespoints 'inter-

section

ur

eurs

roites espectives

dans es

projections

H]

puis

Fl

(dl ' )

T

appartient

tU2)

C appartient

(U

)

En

joignant

es

points

T et

C

il

obt ient I ' in tersect ion

es

deux

prans.

t '1

(u2'1)

(u l '1 )

( d l ' 1 )

(d2'1)

(,'2')

(dz)./

.(uP)

ea

(d2')

::

(dz),/

-

(uz)

.y

5

-

Intersection

roite

-

plon



5.3

[rurERsEcloN

E

DEUX

nrus

2)

L intersection

e

deux

plans

est une

droite.

Pour

echercher

intersection,

l fautet

l suffi t

e dêterminer

eux

points

ommuns

uxdeux

plans.

Rechercher

intersection

e

deux

plans

P1]et

tP2l

ous

esdeux

définis

ar

deux

droites

concourantes.

lPl

défini

ar

esdroites

Dl)

et

(D2)

oncourantes

en

.

lP2ldéfini ar esdroitesUl) et (U2) oncourantes

enO.

Une econde

éthode

onsiste

couper

esdeux

plans

ar

deux

plans

emarquables:

-

le raceur

ait

passer

n

plan

emarquable

ui

coupe

esdeux

plans

(D1,D2]

t

t(U1,U2)l

-

le

plan

emarquable

étermine

ans

hacun

es

plans

(D1,D2l

t

[(Ul,U2)]

ne

droite,

-

I intersecbion

e cesdeux

droites

êtermine

n

point

commun

uxdeux

plans,

-

en répêtant esopérations,

e

raceur

étermine

n

second

oint

commun

ux

deux

plans

-

ces

eux

points

ommuns,

el iês,onne intersectionesdeuxplans.

I

l.

phase:

esdeux

plans

(Dl),(D2)]

t

t(Ul),

U2)l

ont

coupés

ar

un

plan

horizontal

lPHr l

o

Le traceur

ait

passer

n

p lan

hor izonta l

PH

qui

détermine

ans

e

Plan

P1]

une

droite

MN)

et dans

e

plan

P2]

unedroite

AB).

o

L intersection

es.droites

[MN)

et

(AB)

onne

n

Point

C commun

ux

deux

Plans

tPr, lP2 l .

l

GéÉ/mêvle

descriptive



2

phase

les

deux

ptans

(Dl

,

(D2)J

t

Iru

1),

U2)]

ontcoupês

ar

un

plan

horizontal

pH2]

Le

raceur

epète

'opération

rêcédente

-i l

fai t

passer

n

plan

horizontal

PH2l

ui

détermine

ans e

plan

Pt]

une

droi te

KL)

t

dans

le

plan

P2)

ne

droite

VWJ,

-

I ' intersection

es

droites

KL)

t

(VW)

onne

n

point

Ecommun

ux

deux

plans

p1],tp2l,

-

en

oignant

es

points

et c, le

raceur

bt ient

' intersection

echerchée.

(d l ' )

(u l ' )

IeHz]

(d? ' )

[pHr]

5

-

Intesection

droite

-

plon



(

-

CHRNG€M€NT

€

PLRN

6.1 DÉrtrurloru

*

Changement

e

Plan

rontal

ffi

Changement

e

Plan

horizontal

Lorsque

on

effectue

n

changement

e

plan

rontal,

on change

e

référentiel.

es

pointsM et

N sont

pro-

je tés

erpendicu la i rement

u

nouvel

xe

0lYl )

Cependant,

i

es

pointsM et

N

peuvent

voir

n

êloi-

gnement

ifférent

X1m,

1n),

lsconservent

eur

ote

( Z m e t Z n ) .

Lorsque

on

effectue

n changement

e

plan

horizon-

tal,

on

change

e

référentiel.

es

points

U

et

B sont

projetés

erpendiculairement

u

nouvel

xe

01Y1

Cependant,

i

es

points

et

B

peuvent

voir

ne

ote

différente

71u

Z1b J,

lsconservent

eur

êloignement

(Xu

t

Xb).



(t.2

cUaNcEMENT

E

pr^N

FRoNTAL

vnrur

cRANDEUR

E

m

onore)

U,ne

roite

est

vue

en vraie

grandeur

ans

un

plan

de

projection,

orsqu elle

st

parallèle

ce

pran.

Par

un

changement

e

plan

rontal,

endre

ne

droite

uelconque

frontale

.

Vraie

randeur

m 1

Pour

ffectuer

n

changement

e

plan,

e

raceur

f

.

implante

nnouveau

êférent iel

iK1y1Z,

,2.

end

a

droite

MN)

rontale

n

plaçant

e

nouvel

xe

OlYl

paral lèle

la

project ion

orizon-

tale

mn),

3.

projette

es

points

M

et

N

perpendiculairement

cenouvel

xe

ol

yl,

g/r. eporte ans enouveaulan rontal 1y1z es otes espointsM et N.

cette

ouvel le

roject ion,

a

droite

MN)

st

<frontale

et

vueen

ovraie

randeur

.

6

-

(hongement

de

plon



6.3

CHnNGEMENT

E

pLAr\

HoRrzoNrnl

{vnnir

cRRrvoEUR

E -n onoref

Unedroite

stvueenvraie

randeur

ans n

plan

de

projection,

orsqu'el lest

paral lèle

ce

olan.

Parun

changement

e

plan

horizontal,endre nedroite

uelconque

horizontale

21

ffi

ffi

Pour

ffectuernchangement

e

plan,

e raceur:

f

.

implante

n

nouveauéférentiell XYI

1,

2. rend a

droite

UB)

orizontalen

plaçant

e nouvel

xe0lY1

paral lèle

la

projection

ron-

tale

u'b'),

3. projetteespoints et B perpendiculairementàenouvel xe01Y1,

4. reporte ans

e

nouveau

lan

rontal

1XYl

eséloignementses

points

U et

B.

Dans ette

nouvelle

rojection,

a

droite

UB)

st

n

horizontale

et vue

en

(vraie

grandeur

.

r

uL

È/ / \

v ra iesrand

O1

)ur

b 1

3 :

0

,

u

^t

b '

Y

-

x

-o

X

u

X

Gêomêtrie descriptive



6.4

DoUBLE

CHANGEMENT

E PLAN

Le

problème

st dentique

u changement

e

plan

rontal

u horizontal,l

suffi t e

conserver

l épureesdeux ernierséférentiels.

l l

en sera

de même

i l on

doit effectuer

autres

hangements

e

plan

après

e

référentiel

02Y2Z1X1

6

-

Chongement

e

plon



Application

ffi

ffi

l

)

Une roite

st

ueen

vraie

randeur

ans

n

plan

e

project ion,

orsqu elle

st

paral lèle

ce

p lan.

2) Unedroite stvueenboutdans nplande projection,orsqu el lestperpendiculairece

p lan.

Amener

axe

MN)

un

cyl indre

u en

bout

par

changement

e

plan.

rue

en

b

1

Le raceur

ffectue

out

d abord

n

pre-

mierchangement

e

plan

pour

endre

a

droite

vue en

<

vraie

grandeur

(voir

méthode

i-avant

age

1J.

2.

ll effectue

nsuite

n

second

hange-

mentde planpour rendre a droiteMN

perpendiculaireun

nouveau

lan

e

pro-

ject ion.

our ela

e raceur:

2 .1 .

implante

n

nouveau

éférent ie l

02x1Y222:

2.2.

rend

a droite

MN vue

en

bout

D

en

plaçant

e

nouvel

xe

02Y2

perpendiculai-

re à

la

droite

n

vraie

randeur;

2.3.

projette

es

points

M et

N

perpendi-

culairement

ce

nouvel

xe

02Y2:

2.4.

eporte

ans

ce

nouveau

lan

hor i-

zontal 2X1Y2

es

nouveaux

loignements

(Xl

m et

Xl

n)

des

Points

M et N.

3. dans

ette

ernière

roject ion

axe

u

cvlindre

st

vu

<

enbout

>.



7

-

ROTRTIoN

7,l

Rormoru

D uNE

norre

l

)

Méthode

énérale

On effectue

oujours a

rotation

objets

utourd un

axevu

en bout.

L axe

e

rotation

tant i tué

ur a droite,

rendre

nsegment

e

droite

uelconque

ans espace

Frontal

1 Le

raceurait

passer,

ar

un

point

i tué

ur

la

droite

exemple

e

point B))

u

segment,

n

axe

de rotation

vertical

.

Horizontal

1 Le

raceurait

passer,

ar

un

point

i tué ur

la

dror te

exemple

e

point B))

usegment,

n

axe

de

rotation

de bout

o.

2. Le

traceur

ffectue

ne rotation

u seg-

ment

usqu au

oment

ù

le

point

A)

a un

élo ignement

gal

celu i e

B) .

Pendant

a rotation,

e

point

A)

et tous es

points

itués

ur e segment

e

droite onser-

vent eur

ote.

2, Le

traceur

ffectue

ne rotatioh

u seg-

ment

usqu au

oment

ù e

point

A)

a une

cote gale

celu i

e

B) .

Pendant

a rotat ion,

e

point A)

et tous es

points

itués

ur

e

segmente

droite onser-

vent eur

lo isnement .

axe de

rotation

7

-

Rototion



7.2

RorRroN

D uNr

onorr

(2)

Méthode

générale:

On

effectue

oujours

a rotationdlobjets

autour

d un

axe

vu en bout.

L axe e

rotation

tantsitué

ors de

la droite,

rendre nsegment

e droite

uelconque

ans

espace

Frontal

1 Le raceur

ait

passer,

n

dehors

e

a

droi-

te. un axede

rotation

vertical

.

Horizontal

1 Le raceur

ait

passer,

ndehors

e

a

droi-

te, un

axede

rotation

de bout

u.

2. Le traceur

oint

I axede

rotationau seg-

ment

par

une

liaison

erpendiculaire

uis

effectue

ne

rotation

usqu au

moment ù

la

l iaison st

perpendiculaire

I axe Y.

Pendant

a rotation,es

points

A

et

B)conser-

vent

eur ote.

2. Le traceur

oint

l axede

rotation

au seg-

ment

par

une

liaison

perpendiculaire

uis

effectue

ne

rotation

usqu au

moment

ù

la

l iaison st

perpendiculaire

I axe Y.

Pendant

a rotation,

es

points

A

et

B)conser-

vent

euréloignement.

axe\

/-

i x /

Gêomêtrie

descriptive



Application

Soità traitere

problème

uivant:

intersection

un

cylindre e rêvolution

d axe

MN)

et d une

phère e centre

.

L axe

u

cylindre st

quelconque.

le raceur

ait

passer,

ar

e centre

e a

sphère,

n axede rotation

de

bout

>,

i l joint

ensuite axe

e

rotat ion

l axe

u cyl indre

MN),

i lef fectue

ne otat ion

our

endre

axe

u cylindre

hor izontalu.

77

I

-W

7

-

Bototion



7.3 RoraroN

D uN

mru

l

)

Rendre n

plan

uelconque

Pl

dêfini

ar

ses races

(P],(O )1,

de

boul>.

La méthode

e

résume

rendre

une

droite

horizontale

u

plan

quelconque,de bout

>.

Pour ela

e raceur

f . imolante

naxe

de

rotation

vertical

.

2. recherche

intersection

de

cet axe

<

ver-

tical>

vec

e

planquelconque,n

aisant

ar

exemple

asser

n

plan

rontal

F]

par

axe

3. oint axe e rotation la race orizontale

du

plan

P]

par

une

iaison

erpendiculaire.

4. effectue

ne

rotation

de

la trace

usqu au

moment

ù

a

iaison st

paral lèle

I axe

0Y).

5.

détermine

insi

e

nouveau

oint

alpha

ol,

( t 1 ) .

6.

joint

o1

à

M,

qui

n a

pas

bougé

endant

a

rotation,

e

qui

détermine

a

nouvelle

race

frontale

O 1) .

GêomêErie

oscriptive



7,4 RoraroN

D uNenru

2)

Rendre n

planquelconque

Pl

défini

ar

rois

points

A,B.C],

vertical

.

La

méthode e

résume

rendre

une

droite

frontale u

planquelconque

verticale

.

Pour ela

e

raceur

f .

imolante n axe

de

rotation de

bout

>

2.

recherche

intersection

de cet axe

<

de

bout

>

avec

e

plan

quelconque,

n

aisant

ar

exemple

asser

n

plan

de bout

[PDB]

ar

l axe

de

rotation

3. joint axede rotation la droite rontaleF)

du

plan

P]

par

une

iaison

erpendiculaire;

4. effectue nerotation e la droite usqu au

moment ù

a iaison st

parallèle

I axe

OYJ.

5.

Les

points

C et

N

conservent

eurêloigne-

ment

pendant

a rotation.

e raceur btient

e

cette

açon es

projections

orizontales

l et

n1 La

race

P}

t

le

point

alpha u

plan

endu

vertical ont

définis n

oignant

es

points

l,

nl au

point

. La race

O )

st

perpendiculaire

à l axe

0Y).

39

7

-

Rototion I



7.5

Rormoru

D'uN

ernrrr

3)

Rechercher

:intersection

'un cylindre,de

évolution

oupê

par

un

plan

Pl

défini

par.trois

points

,

U et V.

La

méthode

e résume

rendre

e

plan

T,

U,

Vi

o

de bout

>.

pour

cela

e

raceur

f . implante

n

axede rotation

vertical

,

passant

ar

;axe

ù èylindre

2.

oint

es

3

points

,

U,

V

et recherche

'intersection

du

plan

quelconque

T,U,Vl

vec 'axe

de rotation

n aisant

asser

n

plan

vertical

IpV].

Gêomâùie

descriptive



S.trace nehorizontale

H)

du

plan

T,U,Vl

t

la

oint

à l axe

de

rotation

ar

une

iaison

er-

oendiculaire.

4.

effectueune

rotation

de

la

droi te

H) jusqu au

oment

ù

a

l iaison

st

paral lèle

l axe

0Y).

5.

es

points

K et L conservent

leurcote

pendant

a rotation. e

traceurobtientde cette

façon

les

projections

rontales 1

et

l1

.

La

race

P)

t

le

point

lpha

(cr,

r ) u

plan

endu

u

de bout

u

sontdéfinis n

oignant

es

pro-

jec t ionsl e t i à laproject ion

i . La raceP est

perpendiculaire

à I axe

0Y).

41

7

-

Rototion

I



8

-

RRBRTT€M€NT

8, I lRngnrrEIvlENTuN PoINT

Méthode

générale

on

effectue

oujours

e

rabattement

e

figur.es,

utour

d un

axe

soit

rontal,

soit

hori-

zontal.

Pour

abattre

e

Point

U

sur

un

Plan

horizontal,

n

doit

nstal ler

ne

char-

nière

orizontale

H).

orsque

e

plan

est

abattu.

n

retrouve

ans

elui-ci

ladistance

X

n

du

point

lacharniè-

re

envraie

grandeur.

Règle

du

triangle

rectangle:

Sur

l épure,

e

rabat tement

un

point

est

situé

1. sur

a

perpendiculaire

enée

e

a

projectionu

point

u

sur

a

projection

horizontalee a charnièreh)

2. à

une

distance

e

la

charnière

Y

egate

à

l hypoténuse

un

triangle

rectangle

yant

pour

cÔtes

e

I angle

droit

-

la distance

e

la

projection o-ri-

zontale

u

point

u

à celle

e

la char-

nière.

-

la différence

es

cotes

u

point

u

à

Iacharnière

h ).

Gëomê|cie

descriPtive



8.2

lRnenrrEMENT

'uNE

DRotrE

Méthode

énérale

on effectue

oujours

e

rabattement

e igures,

utour

d'un

axe

soit rontal,

oithori-

zontal.

Rechercher

a

vraie

randeur

u

segment

de

droite

U,T) ar

abattement.

charnière

Le

raceur :

l .

implante

ne

harnière

or izontale

h' )

2.

prolonge

a

projection

rontale

u',t ')

u

seg-

ment

de

droi te

U,T)

usqu'au

oment

ù el le

rencontre

n M la

charnière

h')

3.

projette

' intersection

en

projection

ori-

zontale

ur e

segment

e

droite

u,t)

4 .

or iente,

par t i r

u

point

m, a

charnière

h] .

I

-

Robottomont



chi

u

m

rrnière

(h )

L

+ O

t

*o.,

m

)../

u l

Y

5.

appl ique

a règledu. t r i -

angle

ectangle

voir

Page

2)

pour

obtenir

e

rabattement

u l

du

point

U.

6.

projette

e

point

T

perpen-

diculairement

la charnière

(h)

ur

e segment

m,u1).

l l

appl ique

insi ne

methode

ditedesalignements,

Lorsque es

points

sont ali-

gnés

dans

deux

projections,

ils

sont

êgalement

lignês

ur

la

vraie

randeur.

charnière

Gêomêtrla

descriptive



-|?nenrreMENT

uN

p[AN

DE

Bour

suR

uN

ptAN

FRoNïAL

Un

prisme

roit

à base

entagonale

st

coupé

ar

un

plan

P]

<

de

bout

u

déf inipar

ses

races

o

P)

et

(a O ).

On

demande

e rechercher

a

vraie

grandeur

e intersection

u

or isme t

du

p lan

P].

VG

de la

section

[_e

abattement

un

plan

de

bout

>

s effectue

utour

une

harnière

rontale

part icul ière

(o ).

Pendant

e

rabattement

ous es

points

onseryent

eur

éloignement.

Le

raceur,

o_ur

btenir

a

vraie

grandeur

e la

section,

rojette

es

points,

erpendicutaire-

ment

I axe

o ),

dans e

plan

abattu,

ù ls

conservent

eur

éloignement.

8

-

Bobottemont



8.4

lTnenTTetMEwT

|Uw

PIAN

DE

BOUTSUR

UN

PLAN

HoRIzoNTAL

Un

prisme

roit

à base

entagonale

st

coupé

ar

un

plan

Pl

n

de bout

u

dêfini

par

ses

races

cr

P)et

(c[, O ).

On

demande

e

rechercher

a vraie

grandeur

e

intersection

u

prisme

t

du

plan

P].

Le abattement

un

plan

u

de

bout

u

s effectue

utour

une

harnière

de bout

u

(h ,

h) .

Pendant

e rabattement

ous

es

points

onservent

euréloignement.

Le raceur,

our

obtenir

a vraie

r,andeur

e

a section

-

imptante

ne harnière

h,

h }

o

de bout,

-

fait

pivoter,

utour

e

(h ),

es

diffêrents

oints

e

cettesection

usqu au

moment ù

lsont

unecoteégale celle e (h )

-

projette

lors

es

points, erpendiculairementI axe

0Y),

ans

a

projection

orizontale,

ù

i ls

conservent

eurêloignement.

@êomézria

escriplive



S,AppucmoNs

Une

pyramide

reuse,

'épaisseur

égligeable,pour

base

n

pentagone

égulier

i tuê

ans

un

plan

P]

défini

ar

ses

races

a

p)

et

(cr'O').

Le ayon

u

cercle

irconscrit

u

pentagone

st

de 50 mm.

Le

centre

o,o')

u cercle

irconscrit

pour

éloignement

0 mm

et

pour

ote70

mm.

Un

côtédu

pentagone

sthorizontal

celui

ont a

cote

estminimale.

Le

sommet

de a

pyramide

stsur

une igne

e rappel

i tuée

85 mm

à droite

e a igne

de rappel

e O.

Le

sommet

e a

pyramide

pour

ote45

mm

et

pour

éloignement0 mm.

Travail

demandé

I .

construire

es

projections

e a

base

entagonale,

e

centre

O

;

2.tracer

es

projections

rontale

t horizontale

e a

pyramide.

o

Pour

construire

es

projections

du

centre

O.

le

raceur:

-fait

passer n plan F]d'éloigne-

ment

0 mm

qui

coupee

plan

Pl

et

détermine

ne

rontale

ui

contient

le

centre

';

-fait

passer

n

plan

[H]

de cote

70

mrn

qui

coupe e

plan

[P]

et

détermine

une hor izonta le

ui

contiente

centre

.

L'intersection

e a

droitehorizonta-

le

(h)

t

du

plan

rontal

F]

étermine

la

position

e a

projection

.

Le

raceur

rojette

nsuite

ette

pro-

jection

orizontale

ur

e

plan

H'].

1,

I

(h)=[P]

tHl

I

-

Robottement



o

pour

construire

es

projections

rontale

et

horizontale

e

a

pyramide,

e raceur

effectue

-

le

rabattement

u

plan

P]

pour

racer

a base

entagonale

n

vraie

grandeur,

-

le

relèvement

u

plan

P]

pour

obtenir

a

projection

orizontale

e

a base

e

a

pyramide,

-

la

projection

rontale

e

a

pyramide,

-

la construction

u sommet

de

a

pyramide,

-

lesprojectionsrontale t horizontale

e

a

pyramide,

-

ponctue

esdeux

Projections.

Rabattement

du

plan

[Pl

pour

tracer

la

vraie

grandeur

de

la

base

Le raceur

-

effectue

e

rabattement

u

point

O autour

d une

horizontale

u

plan

P]

particulière,

a

trace

P),),

n appliquant

a

méthode

u

triangle

ectangle

voir

age

42),

-

trace

n

cercle

e

rayon

e

50

mmet

de

centre

1,

-

inscrit

e

pentagone

ans

e

cercle,

n

respectant

a condition

u un

ôté

soit

parallèle

(P)

et

e

plus

rès

e

celle-ci,

-

ponctue

épure.

Géoméçie

doscriptive



Relèvement

u

plan

[Pl

pour

obtenir

a

projection

horizontale

e la base

Le

raceurppl iqueaméthode

des a l i gnemen lsvo i r page

44) :

Y

-

i l

j o in t

o1à d1 e t

p ro longe

I

jusque

ur a

race

P),

-

i l jo inte

poin l

de

a

race u

point

o en

project ion

or izon-

t e l o o t n r ^ i ô t t ô r ' l 1 n a r n a n r i i r r r -

v r

v v l

la irement

la

race

pour

obte-

ni r la

project ion

or izontale

n

d o ,

*

i l

obt ient

r r

pât

ymétrie.

I e f r e r - o t r r n rn r ^à r l o r { o mô mo n n r r r

v ,

v r u v v | , u

v v u '

les

autres

points

et

en

joignant

ceux-ci,l

obt ienta

project ion

ori-

zontale

e a base

e

a

ovramide.

8

-

Robottement



Construction

de la

proiection

frontale

de

la

base

de la

pyramide

Le raceur

-

détermine ne

droite hori-

zontale

h)

u

plan

P]

paral lèle

à la race

P)passant

ar

a,

- déterminea projectionh )

de cette orizontale,

-

projette

e

point

sur

h ).

Le

traceur

ppliquea même

méthode

pour

déf in i r les

autres

points

en

projection

frontale.

(n )/a-e

( tr ) /c-d

(h) /b-e

(h) /c -d

5.o

Géométriedescriptive



Construction

u

sommetT

de la

pyramide

Le raceur:

- construitne igne

e

rappel

à 85 mm

à droite

e

a igne

e

rappel

u

point

O

(o,

o ),

-

porte

sur

cette igne

de rap-

pel

une

cotede 45 mm

pour

y

positionner

a

projection

,

-

-

porte

sur cette

même igne

de

rappel

un éloignement

e

20

mm

pour posi t ionner

a

projection

.

Le

raceur:

-

joint

a

projection

auxdif-

férentes

projgctions

rontales

des

points

e a

base,

-

joint

a

projection

auxdiffê-

rentes

rojections

orizontales

des

points

e

a

base.

-

ponctue

es

deux

projections

de a

pyramide.

5t

8- Robottement

I



]ù

-

VRRI€

RRIIID€U.R

€ LR

DRoIT€

v

Les

as, es

plus

ourants,

e

a

recherche

e a

vraie

randeur

'un

segmente

droite ont

PAR

CHANGEMENT

DE PI.AN

PAR

ROTATION

axe de rotation

de bout

Horizontal

Axe

vertical

xe

de

bout

tr=

P iE

al

I

a

X

Dans

es

uatre

as, n

se

end

ompte

ue

'on

peut

onstruiren riangleectangleont 'hypotênuseor-

respond

la

vraie

randeur

u segment

edroite.



PAR

RABATTEMENT

Danse

riangle

ectangle

a,u,m]

- ( a , u D

:

( c u

:

d i f f é r e n C ee S

pointU et la charnière,

cotesentre

e

projection

orizontale,

<

m,u

D

orrespond avraie

randeur

de droite.

charnière

(h

- ( u , m D :

- ( a , m D :

du segment

Y

Dans

e dernier as, omme ans es

quatre ré-

cédenls,a vraie

grandeur

u segment e droite

est hypoténuseun riangleectangle.

en

iredoncune ègle

ie

grandeur

unsegment

edroite st hypoténuse

un riangleectangle

ont

côté

estégalà la

projection

rontale

u segment e droite,

trecôtéest

égalà

la

différence

eséloignements

esdeuxextrémités

u segment e droite

côtéestégal

à

la

projection

orizontale

u segment

e droite,

tre côté

estégalà la diffêrence

escotes es

deuxextrémités

u segment e

règle,urtout

ans adeuxième

ti l isation,

st rès

prisée ar

es

raceurs

our

a recherche

es raies

des

segmentse droites

es

(surtout

bl iques),

composées,

dites onoïdales.

le calcul

e

a

vraie

randeur

unedroite

voir

page

24).

9

-

Vroie

grondeur

de lo

droite



Application

Rechercher

a vraie

randeur

e a

génératrice

'un roncde côneoblique.

s'

t .

3'

p_q4t&_

a

du

a

)

a

0)

h

I E

vraie randeur

t c 3

horizontale de C3

Le raceur:

-

implante

euxaxes

perpendiculaires

énéra-

lement u niveau e a

projection

rontale,

-

porte

sur 'axe erticala différenceescotes

entreC et 3,

-

porte

sur

I'axehorizontala

projection

ori-

zontale

u segment 3,

-

obtient, vec

'hypotênuse,a

vraie

grandeur

du segment 5 recherche.

vraie

grandeur

/

du segment NB

tion horizontale

de C3

Le

raceur

eut

egalement

btenir

a

vraie

gran-

deurd'une

artie

u

segment e droite.

e

point

N

étant itué ur

C3, l uisuffit e

projeter aral-

lèlement I'axe

0Y

a

projection

' sur

a

vraie

grandeur

5

pour

obtenir

a vraie

randeur

e

N3 oude NC.

Géomêviè descriptlva



T

O

-

DROIT€TPLRN €RP€NDICULIîIR€S

V

I O.

Dnorr

pERpENDTcULATRE

uw

prÂN

,:

Théorème:

nedroite st

perpendiculaire

un

plan

P]

quelconque

deux onditions:

-

sa

projection

rontale

st

perpendiculaire

une

rontale u

plan

Pl,

-

sa

projecl ion

orizontale

st

perpendiculaire

une

horizontaleu

plan

P].

Mener,

ar

un

point

M

donné,a

perpendiculaire

un

plan

P]

efini

ar

rois

oints

t

recher-

cher

e

pied

de a

perpendiculaireintersection

e

a

perpendiculaire

t du

plan).

1

Construire

ne

horizontale

h,

h )

passant

2.

Construire ne frontale

f,

f ) du

plan.

par

C.Tracer

partir

e m a

perpendiculaire

racer

partir

de

m la

perpendiculaire

à cette orizontale.

cette rontale.

La droite

(D)

est la

perpendiculaire

Poure

pied

de a

perpendiculaire,

oir

page

5.

recherchée.

55

10

-

Droite

et

plon porpendiculoires

I



lO.2

Pmru

pERpENDtcULAtRE

urueDRotrE

Par

un

point

E

donnê

ppartenantla

droite

Â),

mener

n

plan

P]

perpendiculaire

cel le

ci .

1 Tracer ne rontalef, ) passant arE.La

projection

rontale

st

perpendiculaire

ô .

2.Tracer nehorizontaleh ,h) passant ar

E. La

projection

orizontale

st

perpendicu-

laire

ô.

Le

problème

est

résolu,

e

plan

[Pl

est défini

par

deux droites

concourantes

F)

et

(H)

passant par

E.

GêoméVia descriphive



3 PrnperuDrcutatRE

oMMUNe

ogux

DRotrES

Elever

a

perpendiculaire

AB)

ommune

deux

droites

D

)

et

(D2)

(d2 )

(dl )

Y

La

construction

e la

perpendiculaire

ommune

deux

droites

D1)

et

(D2)

e résume

n

quatre

hases:

1.

prendre

n

point

quelconque

ur

D2)

t menera

dro i te

U)

ara l lè le

(D1) vo i r

uss i

page

15)

D2)

t

(U)

oncourantes

éfinissente

ptan

p]

2.

par

,

mener

a

droite

V)

erpendiculaire

u

plan

P]

voir

age

5)

D2)

t

(V)

oncourantes

définissent

e

plan

O)

3. dêterminer

intersection

de a

droite

D1)et

u

plan

O]

voir

age

5)

4. mener

ar

B, a

droite

C)

aral lèle

la

droite

VJ.

ette

roite

C)

oupe

D2)

u

pointA.

La

droite

AB)

st a

perpendiculaire

ommune

ux

deuxdroites

D

)et

(D2).

I0

-

Droite

et

plon perpendiculoires



@

erenare

un

point

I

sur (D2)

et mener

par

I la

parallèle

(u)

à la

droite

(Dl).

@

ear l,

mener

a droite

(V)

perpendicutaire

u

ptan

[pl.

(dl)

Y

(d1)

(f)

d2 )

a)Tracer

ne rontale

f,

)

du

plan

P].

Cette

frontale

oupe

D2)

n M

(m,

m )

et

(U)

en N

(n,n ) .

b)Tracer,

n

projection

rontale,

a

perpendi-

culaire

(f ),

nobtient

v ) .

(d l )

Y

(dl)

a)Tracer

nehorizontale

h,

h )

du

plan

Pl.

Cette orizontale

oupe

D2)

n C

(c,

c )et

(U)

en E

(e,

e ).

b)

Tracer,

n

projection

orizontale,

a

per-

pendiculaire

(h),

n

obtient

v).

s8

Génnêfrie

descriptive



(v )

(d2 )

(d l )

Y

( d l )

Ieon]

I

@

Oeterminer

intersection

de ta

droite

(Dt)

et du

ptan

Ot .

(d1 )

Y

(d1)

@

tvtener

par

B,

la droite

(G)parallèle

à

la

droite

M.

Cette droite

(G)

coupe

(D2)

au

)

point

A.

AB

est la

perpendiculaire

ommune

echerchée.

l0

-

Droite

et

plon perpendiculoires



I I DROIT€STPLRNSRRRLLÈL€S

| | .l

DnorE

pnRnuÈlg

uw PLAN

Construirenedroite

aral lèle

un

plan

P]

défini

ar

deuxdroites oncourantes.

Théorème: oute roite aral lèleunedroi le unplanestparal lèleceplan.

Y

Le raceur onstruit nedroite

D)parallèle

la droite

MB)

Nota: e raceur urait

u

construirenedroite

aral lèle

autre roite u olan.

es

olutionsont

nfinies.

du

plan.

la

droite

Z

(d )

b

X

(d )

b

m

Gêomêtrie descriplive

(AM)

u

plan

ou à toute



| |

.2

Pnrus

pnRRlr-Èus

Parun

point

donné

u ,

lP2 l

para l lè le

un

plan

droites oncourantes.

u)construiren

plan

[P1]

éf in i

ar

deux

Construiren

plan

P2l

paral lèle

un

plan

lPl l

défini

ar

ses races.

Théorème

Deux

plans

sont

paral lè les

lorsque

un

d eux contient

deux droites

concourantes

aral lèles

I autre.

Le raceur

-

dessine

ne ro i te

D1)para l lè le

ladro i -

te

(AM)

u

plan

P1],

-

prend

n

point

U sur

D1)et

onstru i tne

droite

D2)

aral lèle

la

droite

MB)

assant

oarU.

Théorème

Deux

plans

sont

paral lè les

lorsqueeurs

races e

même om

ont

aral-

lèles

t

récioroouement.

Le

traceurconstruit es traces

R)

et

(S )

paral lèles

éciproquement

ux traces

P)

et

(O )

u

p lan

P1 ] .

6l

l l

-

Droites t

plonsporollèlos

I

(d2)

Nota:

Pour

es eux as es

olutionsont nfinies





2.

Le

raceur abat

e

plan

P]

défini

ar

es

droites

D)

et

(H)

autour

e

la

projectionh)

et

obt lent

a

vraie

randeur

u

plan

P].

I

2

phase

mener

a

perpendiculaire

la

droite

D)

à

partir

du

point

M

63

l9

-

Déterminotion

des distonces

I



12.2

DlsrqNrcE

uN

potNTÀ

uw

ptÂN

Rechercher

a

distance

un

point

M

à un

plan

éfini

ar

3

points

A,B,Cl

Elle

edécompose

n rois

phases

-

recherche

e a

perpendiculaire

D)

u

plan

Pl

passant

ar

M,

*

recherche

e intersection

du

plan

P]

et de a

perpendiculaire

D),

-

recherche

e a

vraie

randeur

u segment

e droite

lM).

. l

l*

phase:

echerche

e

a

perpendiculaire

D)

au

plan

p]

passant

ar

M.

I

. Construire

ne

horizontale

h,

h )

du

plan

lA,B,Cl

assant

ar

C.Tracer

partir

de m la

perpendiculaire

d)

à

cettehorizontale.

2.

Construire

ne frontale

(f,

f )

du

lA,B,C].

racer

partir

de m la

perpendicu:

laire

d )

à cette rontale.

6*

G êomêtri

e. dasci

ptive

La

droite

(D)

est la

perpendiculaire

echerchée.



I

2

phase:

recherche

e 'intersection

du

plan

p]

et

de a

droite

D).

Ieon]

(h ' )

I

(a')

l '

(h)

Le

raceurait

passer

n

plan

uxi l iaire

de bout

,

PDB]

ar

a

droite

D).

e

point

echerché

|

(i , i ' )

ppartient

la ois

à

I' intersection

es

deux

plans

t

à

la

droi te.

(d)

i

X

65

l9-

Dé[erminotion

esdistqncos

I



çæ---

I 3s:phase

recherche

e la vrale:grandeur

u

segment

e

droite

(lM).

Méthode

par

changement

e

plan

Méthode

par

rotation

vrate

du

. : . , ? ' ' . 1 . ' .

- .



|

2.3 Drsrnrucr

ENTRE

EUX

DRotrES

Les

roites

D1)et

D2)

eprésentent

es

axes

e

deux

uyauteries

yl indr iques.

e

diamètre

ducy l indre

axe

D1)

st

de 1 200

mm

extér ieur ,

e lu i

u

cy l indre

axe

D2J

st

deB0O

mm

extérieur.

Ondemandeevérif ier i epassageesdeux uyauterieseut e aire ans ol l is ion.

Après

voir

ppl iquê

a

méthode

e recherche

e a

perpendiculaire

ommune

deux

droites

(voir

ages

7

à

59), e

raceur

echerche

a

vraie

randeur

u segment

e

droite

AB)

ci,

l

appl ique

améthode

uchangement

e

p lan

rontal

voir

méthode

age

1) .

Dans ecas,epassageesdeux uyauter iese aitsans ol l is ion,uisqueadimensionntre

les

xes

st

de 1

391mm,

est-à-di re

upér ieure

la

somme

es

deux avons

6OO

40Ol.

67

l9

-

Détorminotion

es

distonces

I



I3

DéT€RMINRTION

eSRNGL€S

l3.l AwclE

DE

DEUX

RorrES

Rechercherangleormé

ar

esdeux roites

D1)et D2)

oncourantesn

.

Le

problème

evient rendre

e

plan

granoeur.

[Pl

contenant

esdeuxdroites

D

)

et

(D2)

u en vraie

( d1 )

(h )

(d2 )

Y

(d1)

(d2)

On

ne

peut

voirun

planquelconque

n vraie

randeur

ans

e

voirau

prêalable

en bout

Pour ela,l fautet l suffi t evoirunedroite uplan en boutD.

Le raceurmplante nedroite

emarquable

ans

e

plan,

ans e cas, nedroite

hori

tale,,

H)

et

par

un changemente

plan

rontal,a rendvue

(en

bout>.

axe

01Yl)

placé erpendiculairement

la

projection

orizontale

h)

ueen

VC.

68

Gêomêlrla doscripElve



Le

raceur

eut

obtenir nsuitea

vraie

randeur

u

plan

oit:

l' solution

par

rabattement du

plan

IPI

Le

raceurabate

plan

utourdeadroi te

H) m1,

l ) . l fa i t

p ivoter

e

p lan

usqu'au

oment

où

l

est

paral lè le

l 'axe

01Yl) .

Pendant

e rabattemen t,e

point

conseryeonéloignement

l , les

points

M et N ne chan-

gent as

de

posit ion.

'angle

ntre esdeux roites

Dl)et (D2)

stceluiformé

ar

es

projec-

t i o n s

i l ,

m l ) e t

i 1 ,

l ) .

2'solution: par changement u plan

Le raceur ffectue n

autrechangemente

plan horizontal)

t

projette

es

points

M, N et I

perpendiculairement

u

nouvel

xe

02Y2)02Y2

st

placé aral lèlement

m'1,n'1). l repor-

te

es

êloignements

Xl)

dans e nouveauéférent iel .

l l

obt ient insi

es

droites nvraie

randeur

t I 'anglentre esdeuxdroites

Dl)et (D2).

- ::

('9

l3

-

Déterminotion as ongles

I



|

3.2

Arucu

D,UNE

DROITE

ET

D,UN

PIAN

Rechercher

'angle

orme

par

a

droite

U)

et le

plan

p]

défini

ar

es

droites

concourantes

n .

et

(D2)

Laméthode

e ésume

rechercher

'angle

ormé

ar

a

droite

U)

t

unedroite

erpendicu-

laire

u

plan

ssue

'un

point

r is

ur a

droite

U).

l le

edécompose

n

rois

phases

-

prendre

n

point

M

sur a

droite

U),

-

abaisser

ne

droite

V)

erpendicutaire

u

plan

(Dt),

D2)1,

partir

u

point

M,

-

rechercher

'angle

ormé

ar

es

droites

U)

t

M.

I | * phase prendre n pointM sur a droite U).

12 phase

A):

tracer

ne

rontale

u

plan

(Dl),

D2)l

t abaisser

ne

perpendiculaire

cette rontale.

(d l ' )

( ' )

Le

raceur :

-

prend

un

point

M

quelconque

sur

a

droi te

UJ,

-

construit

nedroite rontale

quicoupe

n

projection

orizonta-

le

(Dl )

enA

et

(D2)

nB,

-

projette

es

points

A

et

B

projectionrontalepour

obte

(f ') ,

-

abaisse,

partir

de m',

a

per

pendiculaire

(f ') ,

-

obtient

e

cette açon

v').

( f ' )

(d2')

Y

(d1)

70

GêomêEriedescriptive

(d2)



il

2

phase

B):

tracerunehorizontale

u

plan

(Dl),

(D2)1

t abaisser ne

perpendiculai-

re

à cettehorizontale.

Z

(d2 ' )

I

3

phase:

rechercher

'angle

ormé

par

es

droites

U)

et

M.

Nota

Par souci

de

lecture. es

construct ions

ntér ieuresnt

été

effaceest lesdroitesDl),

D2)

ac-

courcies.

Le

traceur echerche

'angledes

Y

droites

U)

t

M

par

abattement

u

plan

[P

contenant

el les-ci. our

cela l

-

construit

nedroite orizontale

H)

et rabateplan P1] ur eplan H] n

appl iquant

a méthode

u tr iangle

rectangle

voir age

42).

-

obtient

insi

'angle

echerchê

ui

est

formé

par

les

droites

m

1

g)

et

( m 1 r )

l3

-

Déterminotion

@s

ngles



72

t

3,3

Arucrc

DEDEUX

rANS

L angle

e deux

plans

st

appelé dièdre

.

Le

n

ecti l igne

u dièdre

ou

(

angle

e

pliage

pour

es

structures

étal l iques

st

obtenu

ar

un

plan

perpendiculaire

I arête

droite

in-

tersection

esdeux

plans).

Une roite erpendiculaireunplan eprojectionstvue enboutndans eplan.

l l n est

as

possible

e

placer

n

plan

e

projection

erpendiculaire

unedroite, icette

roi-

le

n est

as

ueenvraie

randeur.

Rechercher

angle

ièdre ormé

ayant

nedroite

ommune

AB).

Le

plan

P1]

stdéfini

ar

A,

B,

Le

plan

P2]

stdéfini

ar

A,

B,

par

es

plans

P1]et

P2]

éf in isousdeux

par

3

points

t

Ml .

N l .

La méthode onsiste

un

plan

e

projection

e

re

à

I arête.

Cette

rêten etant

as

vue

envra

grandeur,

n

premier

hange

de

plan

est nécessaire

our

a

ner

envraie

randeur.

ndeuxiè

changement

e

plan

re

à

l arête

ermettra

e

voir

<

enbout

.

Le

traceur,

pour

appliquer

méthode,

ositionne

I .

un

nouveau

eférentiel

l

/ l / lZ

dont

axe 1Y1

st

para l lè le

I

des

projections

e a

droite

ici,

projection

rontale)

t

projette

quatre oints

efinissant

es2

pl

dans le

nouveau référentiel.

obtient

e cette açon

arête

ue

Gêomêtria

descriptive

vraie

randeur

voir

ussi

age



vu en bout

arete vue

en

bout

vu en borrt

2.

un

nouveau

éférentiel 2X2Y2Z1, ont I axe

02Y2 est

perpendiculaire

la

projection

(a1,

l) et

projette

es

quatre oints

éfinissantesdeux

plans

ans enouveauéférentiel.l

obtient

insi

arête

t

les

deux

plans

usen bout.Ce

qui

ui

donnee

<

ecti l igne

u dièdre

ou

<

avraie

randeur

e

angle

e

pliage .

a

s

l

n

73

I

3

-

Déterminotion es onglas



Application

Une

<

rémie accorde'les

ections

ectangulaires

BCD

t

MNOR

ontenuesans

es

plans

non

parallèles.

l le

stconstituée

e

quatre

aces

2,3,4

oudées

uivantesarêtes

M,BN,

COet DR.

On demande

1 vérifier

i es

quatre

aces

ont

planes

2. déterminer

'angle

ièdre

eséventuelles

(

surfaces

auches

.

On

peut

dire

que

es aces

et 3

sont

contiennent

M,R)

t

(A,D)

our

a ace

bout>,

onc

elles ont

paral lèles.

eux

(voir

age

16).

Ouant

aux aces

et

4

ne

possédant

as

de droites

arallèles,

e

raceur êrifie

ue

es

dêux

droites

u'elles

ontiennent

ont

concourantes.

our

ela, l

trace es

diagonales

e

la

face2

dans esdeuxprojectionstvérifie ue es ntersectionsesituent urunemême igne

e rap-

pel.

ci,

ce n'est

pas

e

casdonc a

ace2

estune

surface

auche,

voir

page24).

Les aces

et 4

étant

symétriques,

a ace

4 est

également

gauche

.

des

surfaces

lanes.

n

effet,

deuxdroites,

u'elles

et

(N,O)

t

(B,C)

our

a ace

, sontdes

droites de

droites

aral lèles

ans 'espace

éfinissent

n

plan

Gêomêtr e

d,escriptive



Pli rentrant

ou

Pour

éaliseres

surfaces

auches

2

et

4,le

traceurmpose

n

pli

suivant nediagonalet

décomposea ace

ndeux

riangles

3

points

un

plan).

l

a

le

choix, ependantun

pli

sui-

vantunediagonale

onnera nangle entrant,

andis

ue,

uivant autre iagonale,l

obtien-

draunangle

ortant.

ommentaire e

choix e a

diagonale

our

obtenir

angle

ouhaité

Contrat

la

trémiedoit

avoirdesangles ortants.

Le

raceur impose

nediagonale,ans e

cas-ci

A,N) voir

i-dessous).

l

coupe

a ace

par

un

plan

ertical

PV]

t recherchea

vraie

randeur

e a section

ar

un

changement

e

plan

frontal.

Le

changemente

plan

ui ndique

ue

angle

st

rentrant

ce

qui

ne

correspond

as

au

contrat].

Le

raceur a nversera diagonale

our

éalisera rémie

uivant

arête

BM).

,/ l\

/

:

\

Lavraie

randeur

e asection e

donne

as

a

vraie

randeur

e angle

ièdre,

en est

qu une

ndication

uant

u

sens e

pliage.

75

I

3

-

Déterminotion es ongles



angle

dièdre

--

164.5

.d

arête

en

Recherche

e

l'angle

dièdre

Le raceur,

our

echercher

'angle

ièdre

-

choisit

uatre

oints

lesdeux

points

éfinissant

'arête

M

et

B)et

un

point

dans

plan

ormant

'angle

ièdre

oit

es

points

et

N

;

-

en

A, recherche

avraie

randeur

e

'arête

ar

changement

e

plan

horizontal,

n

tant

un

nouveau

éférentiel

lXYlZl

dont

'axe

1Yl

est

paral lèle

la

projection

rontale

ladroi te

BM);

-

en

B,

recherche

a vue

<

en

bout

>

de

I'arête

ar

un

nouveau

hangement

e

plan

rontal,

implantant

n

référentiel

2X2Y2Z1

ont

'axe02Y2

est

perpendiculaire

la

projection

zontale

bl

m1) .

A

,n

plan

étant

défini

ar

rois

points,esquatre oints oivent treprojetés bl

ment ans

esdeux

nouvelles

rojections

û

d'

^

Gê,omêvia

escriptive



TRn RGC

RfIPHIOUC



I L€

PRISM€

. t loerultÉ,

sEcloNS

ptÂNES

U

pRtsME

Le

prisme

stun

solide

onsti tué

e

plans

rganisés

utour

une

ase

olygonale.

Prisme

droit

Prisme

oblique

L axe

u

prisme

asse ar

e

centre e

gravitê

e a base

olygonale.

Les

lans

ont

paral lèles

l axe.

Une

rête u

prisme

st intersection

e deux

plans,

xemple

arête

A-B)

P1

/ . , | , \

\ ^ 7

l P l l

es t

perpend icu la i re

l axe uprisme.

l lcontient

ne ection

gale

la

sectionormale.

lP2l

est

paral lèle

I axe

du

pnsme.

ll

contient

eux

droites

ui

sont

ses

intersections

vec

les

parois

u

prisme.

lPSl

est

quelconque

ar

rap-

portà l axe u prisme.

ll

contient

ne

section

oly-

gonale ui

se

déterminel ai-

de

des

projections

u

prisme.

Le

raceur

ti l ise ouramment

es ubes

laminês

ui

sontdes

prismes

roits

à

section

arrée,ectangulaire

u hexago-

na le .

Le ayon

ntérieur

R)

une

valeur

om-

prise

ntre

et 5 fois

épaisseur

E).

Si

e

raceureut

raiter

es ayons

ans

sonepure,l doit considérere prisme

comme

nesurface

omposée

e

par-

ties

planes

t

de

portions

e

cyl indres

de évolution.

naissance

ou fin de rayon

1

-

Le

prisme



1.2 Couog

À DEUX

ÉlÉrvrgrurs

RoNTAUX

Le

coude st éalisé

partir

2 0 0 x 2 0 0 x 5 .

Les ayonsecarre ont e

de

profi ls

reux e

20 mm EXT.

o o

Le

chanfreinstd'angle

onstant.

a

pre-

mière

passe

e soudage

eut

s'effectuer

dans es mêmes

onditions

'accès ur

toute

a

périphérie.

Le

prisme

roitest

imité

par

e

plan

de bout

P].

l l

est

mpossible

e

especter

nangle

constant e 30

entre e

plan

P]

et

les

parois

erticales

A)

et

(B),

esnais-

sances e chanfreins'étant

as

au

même iveau.

Le

raceur

stobl igé

e considereres

ayons

e carre

omme tant

es

quarts

e cyl i

de révolution.

Lesnaissancese rayons, nprojection,orrespondentuxgénêtratricesonfonduesvec

axes e ces

portions

yl indriques

L'amenée

n

V-C

de ces

énératrices

ui

permet

e définira

progression

u chanfrein.

80

Troçoge rophique



| .3

CoUDE uELCoNouE

.

Le

raceur

raite es

prismes

uxarêtes

ives.

o L intersectionesde.ux ol idesppartientuplan

bissecteuresaxes

n

V-C,

n

(02-Y2-22)

o

l l ne ait ntervenir

es ayons

e

carre

ue

orsqu i l

isposeesV-C.

Y - - -

.-Oo

l l

a l

- - - {

I

d 1

8r

I

o o

o

Contra i rementux sur faces

cylindriques,

our

esquellese

traceur

peut

implanter

es

génératrices

n

n importe

uel

l ieu

de

l enveloppe,e

prisme

impose

es rêtes.

Le raceur

oit

es epérer

oi-

gneusementpartir une ec-

tion normale

our

es

projeter

dans

es

différentesues.

I

-

Le

prisme



t .4

ITTERSECTIoNS

o o

La

vue suivant

F),

en (02-Y2-X2),e

l ' 6 l 6 m o n f n Â n 6 f 1 6

' L

V U U L '

u

de

(A)

est

unevue

très

propicepour

déterminerxacte-

ment

es

poin ts1)

et

(3).

L' intersection

e deux

plans

a

pour

or ig ine

l ' in tersect ion

e

leur

trace e même om.

L'intersection

des races

es

parois

es

prismes

est une métho-

de rès ntéres-

sante.

o o

o

Vérification

L 'extrémi té des

axes e rouveou-

jours

au centre

e

gravité

du

polygo-

ne de baseou

de

conlact

Troçoge

rophique

Paroi BZ

Trace H de 82



5 DÉveloPPEMENT

(A)

st

un

prisme

éunissant

eux ectionsarrées

contenues

ans es

plans

orizontaux.

o

La éal isation

e

era

endeuxéléments

l iés.

o

Les

soudures erontorévues ur carreaux

arêtes

1)

et

(3) .

La

sectionnormale

u

pr isme

appar t ientau

plan

P1,

perpendiculai-

re

à l axe nV-C.

Elle

permet

de

mesurer

en

(O

1

X

1

Y

la

distan-

ce exacte

ui

sépare

es

arêtes.

N

Les

valeurs imensionnellesbte-

nues

ur

e

développementI aide

des mesures

ffectuéesur

a

sec-

tion normale

oivent orrespondre

à cel les

u

polygone

e base.

I

I

I

I

_ t _

I

I

I

I

o o

L axe

u

pris-

me

est

fron-

tal, outes

es

arêtes sont

en

V-C

en

p r o j e c t i o n

frontale.

S

TracéNT

Â R o

/

2

q

S

\ \

ionnormale

ce l les

u

po

À

\

Tracé

NT

I

-

Le

prismo



2

L€S

PVRRMID€S

2.

2.1

foerurrÉs,

sECTtoNS

LANES

E LA

pyRAMtDE

o

La

pyramide

stun

solide

parois

lanes

t à base

olygonale.

o

Les

lans

ui

consti tuent

es

parois

e

a

pyramide

ntun

point

ommun

e

sommet

S)

e

la

pyramide.

o

Une

arête

e a

pyramide

st intersection

e deux

plans,

xemple

arête

S-A).

o

La

pyramide

st égulière

i e

polygone

e base

st

égulier.

Ouelconque

ro i te

Ouelconque

bl ique

Les

plans

P1]

et

[P2]

sont

pa a lèes à la base , l s

cont iennent

es

ect ions

S1)

et

(S2)

homothét iques

u

polygone

e base.

Un

plan

P3],

assant

ar

e

sommet

S),

est défini

par

deuxdro i tes ara l lè lesD1)

et

(D2)

l l

cont ient

deux

droites

(S-A)

et

(S-B)

des

deux

parois

aterales.

Leplan P4] stquelconque

l l

cont ient

ne

sect ion

gonale

éfinie

ar

es

projec

tions

e

a

pyramide.

84

Troçoge rophiquo



DÉvEloppEMENT

(A)

stune

pyramide

égulière

roite

base arrée

ronquée

ar

un

plan

e bout.

o

La éal isation

e era

endeux

éléments

l iés.

o

Les

oudures

eront

révues

urcarre

uxarêtes

S-Al

t

(S

C).

c ,

6 I

o o

o

La

pyramide

régulière

roite

à base

carrée

est rès

avanta-

geuse

-

l o c r r n l t r ê

Y q s L ,

v

arêtes

sont

égales,

-

les

quatre

dièdres

A), B),

(C)et (D)sont

égaux.

Vérification

o

Le

abat tement

n

V-C,

n

(Ol -Xl -Y]) ,

de la

section

éfinie

ar

e

plan

de bout

permet

e contrôler

es ésultats

btenus

sur e

développement.

o

Les

ôtés

1

2),

A,B)

t

(5-4),C-D)

onr

respectivement

aral

èles

2

Tracé

NT

TracéNT

I

-

Les

pyromides



3

-

L€S

HoTT€S

PRRoIS

LRN€S

Lahotte

à

parois lanes

stun

solide

assezoisin e apyramide.

Attention,

l le ne

possède

as

de

sommet,es

ect ions

u 'e l le

éuni t

e

sont

pas

homothétiques.

Les

sections

réunir

euvent

tre

contenues

dans

es

plans aral lèles

u

concourants.

t,

Les

urfaces

ont

ouiours

lanes.

o ' o 3 '

s 1 '

t '

1 '

S

crée

une

portion

de

cyl indre

e

révolu

t iond 'axe

0-01) .

LessectionsS3) t (S4)présententes raccordsircu-

laires

e différents

ayons.

o

Le

centre

04)

u

raccord

e a section

S3)

econfond

en P-H

vec 'angle

S2)

e a

section

S4).

ette

ituation

crée

ne

portion

e

cône e révolution

'axe

52-04).

o

L'angle

S)

e

a

section

S5)

stégalement

e

sommet

d 'une

or t ion

onique

bl ique

'axe

S-0) .

o

L'angle

Sl)

de a

section

S4)

st

égalemente

sommet

d 'une

utre

or t ion

onique

bl ique

'axe

Sl -01) .

o

Les accords

e centre

02)

pour S3)

t de centre

03)

pour S4),

e

ayons

gaux,

réent

ne

portion

ecyl indre

obl ique

'axe

02-03) .

I

pc

ron t rpc

(ô

1 o t

(ô l

sont confondus

n

P-H.

Cette

situation

86

l,/

\

\

tÀ'

/ l s 3

Troçogo

rophique



LOPPEMENT

Lasection

S1) rêsente

n

accord

irculaire

ont

a naissance

t

a

inde

rayon

ont

ituées

en

[B)

et

(C).

Cette ituationrée neportion ecÔne blique esommet2).

T , 2 ,

4

m n

3

o

Toutes

es

droites

nt

l a

même

di f f

rence

de

cote,

l

est

com-

mode

de

rechercher

les

V-C.

m4

bn

an

m3

Le tracé

du développement

onslste

associer

aV-C

es

Parois.

Le t raceur

ut i l i se

des

diagonales

ul

décomposent

essurfaces

n

triangles

faci les

tracer.

Sadémarche

st

a suivante.

l l

trace

a

liaison

M-N),

Puis,

^ .

r r

L r u L v

v

I aide un

compas,

es

V-C

M-4),

(N-41

ll obtient

e

Point

4J.

Dece

point,

oujours

ucompas,

l race

es

V-Cde (4-E),M-E),l obtientepoint E) t

ainsi

e suite.

b

b

d2

Tracé

NT

3

-

Los

hottos

à

Porois

Plonos



4

-

L€CYuNDR€

€RéVoLUTIoN

w

Piquage

90o ouverture

Piquage

décalé

Lidentité,

le

développement,

le

sens du tracé

Le

système régulier

de

génératrices

Les coudes

et les tés

Le coude

cylindrique

à

deux et

à

plusieurs

éféments

#ffi

OFF SHORE

décalé ur le

Cylindre

tronqué

'

Coude

2 éléments

Intersection

d'une

droite et d'un

cyfindre

Piquage

90"

05 0

l i l I

tdtT;l

rril-l

" 5 t t à l

I

H l

Piquage

6O"

Piquage 9O"

angente

à la courbe

d'intersection

Vue

en bout de la

tangente

GElË,,

Té 90 'p iquage

&

-

Le cglindre

e révolution



4.1

loerulrÉ,

pÉvrloppEMENl

ENS

u

rnncÉ

rHw

O @

Le

cylindre

e révolution

st

une

surface

générée

ar

une

droite

paral lèle

un

axe, 'appuyanturunedirectriceircu-

laire

centrée

t

perpendiculaire

cet

axe,

écrivant

ne

rajectoire

e

60..

l l

est

déf in i

-

par

la

hauteur

H)

de la

droite

la

longueur

e a

génératrice

u

cyl indre,

et

-

soit e

diamètre

D)

e a

directrice,

-

soit e

rayon

R)

e a

sphère

angen-

te

dont

e

centre

0J

ppartient

I 'axe

du

cyl indre.

ml

@t

- l

o

Le développement'un cy l indre e

revolution

imité

par

deux

plans

per-

pendiculaires

son

axe

est

un rec-

tangle

-

de largeur

Hl

:

la

longueur

e

la

génératrice,

-

de longueur

L)

chemin

arcouru

par

a

génératr ice ;

o i t

c .D.

Les

ords

Bl)

et

(82)

de a

ôle

se éuniront

u roulage

our

or-

mer

une

seule

énératrice

la

génératrice

e iaison.

B ]

B2

I

La

rose

d'orientation

positionneespiquages

(T1) ,

T2) ,

T5)

ar

ap-

port

à la référence0')

qui

correspond

ci

à ra

genêratrice

e iaison.

Le

raceur

st ace

la

ré férence

0

) ,

les

preds

ur

le

p lan

qui

cont ient

a

sect ion

e

référenceSR).

o Lorsqu ' i ls tà l ' lNT,

les

génératr ices

vo-

luent

e

gauche

dro i -

te de

(0 ' ) ,

vers

T1) ,

(90

),

etc.

o

Lorsqu'i l

st

à I 'EXT,

tou jours

e

gauche

droite

es

génératrices

évoluent

e

(0 ),

vers

(270 ) ,

T5J

tc .

DT l : nD

45

DT2

360

DT3

nD.225

360

:

n D

1 2 0

360

T 1

,

DTt

t u? ,

Dr3

t '9

Dr2

Troçoge

rophique

R P

\w



LE

sysrÈve

RÉcuueR

E

cÉruÉnnrRtcEs

us

courte

Génératrice

a

plus

-

Le

cyl indre

A)

est l imité

par

deux

ptans

ptl ,

tp2l

perpendiculaires

son

axe.

Ses

génératrices

nt

toutes a

même

ongueur.

on

développement

stun

recrangte.

Le

cyl indre

B)

est imité

sa

partie

upérieure

ar

e

plan

P3]

t

par

a

surface

yl indrique

sa

partie

nfé-

rieure.

Ses énératricesntdes ongueursifférentes.

Le

raceur

ivise

a

section

ormale*

n i

2 divi,

sions

gales.

l l

considère

ne

génératrice

chacun

es

points

définis.

La ongueur

e

chaque

énêratrice

e mesure

n

projdction

rontale

valeurs

ZJ .

*

La

section

normale

est

la

section

du

cylindre

dêfinie

ar

un

plan

perpendiculaire

sonaxe.

ll

est

commode

implanter

es

génératrices

ur e

développement,

a

ongueur

D

st

divisée

n 12

parties

gales.

es

ênératrices

o),

3),

6),

9)

correspondent

ux efé-

rencese a rose orientation.

(R)

st e

rayon

es

ercles

sculateurs,R

-I-.

l ls

couvrent

ne

grande

artie

e

la

courbe

inusoïdale.

slncr

4

-

Le cglindro

e révolution



4.3

Les

pnolECTfoNS

ARTtcuuÈRes

rs

cÉwÉnnrRtcEs

Deux

droites

sont

orthogo-

nalesans es-

n : rp c . i

p l l pc

çe

proJettent,

ur

un

p lan ,

su i -

vant

un

angle

de90o ,

t

que

I une

d entre

^ l l ^ ^ ^ ^ +

c i l ç )

u ) L u t l

V-C.

Unedroite st

perpendiculaire

à un

plan

i el leestorthogona-

leà deux roites onparal lèles

de

ce

plan.

(A-B)

st

une

rontale.

(C-D)

st

une

horizontare.

Certaines

puresmposent

u traceur

e

repré-

sentere

systèmeégulier

e

génératrices

urdes

projectionsù axe u cyl indre est asenV-C.

RAPPEL

e

Le

système régulier

de

génératrices

s ob-

tient

en divisant

la section

normale

du

cylindre

en

parties

égales.

.

La

sectionnormale

d un cylindre

est la

sec-

tion définie

par

un

plan perpendiculaire

son

axe.

-ï

.

Les

ointsa )

t

(b )

ont ur es

génératrices

u

contour

pparent

n

projection

rontale.

(A-BJ

stune rontale.

Les

points c)

et

(d)

sont ur es

génératrices

u

contour pparent

n

projection

orizontale.

(C-D)

st

une

horizontale.

[A-B)

n

projection

rontale

st en V-C

et

ner-

pendicu la i re

I axe

u

cyl indre.

(C-D)

n

projection

orizontale

st

en V-Cet

perpendicu la i re

l axe

u

cyl indre.

(A-B)

t

(C-D)

ont

concourantes

n

(O)

et défi

n issent

n

p lan

perpendicu la i re

I axe

du

cyl indre.

92

Troçoge rophique



-

L épure

mènee traceur

ut i l iser

n chan-

gement

e

plan

rontal

n

(O1

Y1-21).

-

l l nslal le

n

systèmeêgulier

e

génératrices

en

project ion

or izontale,

ù

el les ont onfon-

dues

euxà deux,

t appl iquee

décalé ur a

project ion

rontale

-

L épure

mène

e

traceur

ut i l iser

n

changement

e

p lan

hor izontal

n

(O1-X1-

Y 1 ) .

-

l l instal len systèmeéguliere généra-

tr ices n

project ion

rontale,

ù

elles ont

confondues

eux

à deux,

et appl ique

e

décalé ur a

proiect ion

or izontale.

4

-

Le cglindre

o révolution



w

4.4

Les

ouDES

r

us

rÉs

Deux

ylindrese

révolution

ont angents unesphère

nscrite

orsquees

diamètres

ontêgaux t

leurs xes oncourants.

L'intersectione

deuxsolidesangents une

même phère stune

asede

Monge.

Elle

e

projette

elon ne

droite

orsqueesaxes esdeux olides onten

V-C.

Troçoge

rophique



5

Couoc

cyLtNDRtouE

DEUX

r_Érvlerrrrs

l

)

(A)

et

(g)

sont

deux

éléments

ubulaires

e même

iamètre

t d axes

concourants.

ls

sont

onc

angents

une phère

ecentre

OJ.

La

base

e

MONCE

e

projette

elon

ne

droite,

assant

ar

es nter-

sections

es

énératrices

ucontour

pparent,

orsque

es

xes es

eux

solides

ont

nV-C.

Lorsque

eux

olides

ont

angents

une

même

phère

-

ce

sont

des ol ides

e révolution,

-

leur

ntersection

st

unebase

e

MONCE.

L axe

du cyl indre

A)

est amenéen V-Csur e plan

rontal

O-y-Z)

par

otation.

La

base

de

MONGE

est

racée

que

lorsque

es

génératrices

u

contour

apparent

des

deux

cyl indres

ont

nV-C.

10

t

Les

ourbes

inusoïdales

ui

tent es

deux

cyl indres

ont

faitement

omplémentaires.

l im i -

par-

L épure

stsimple

t

precise.

l l

est

parfaitement

nuti le

e racer

es

pro-

jections

rontale

t horizontale

nitiales

u

cyl indre

A),

eul

on

axe

estnécessaire.

4

/

@

/

@

T

ace irlt

l l

t t

l_.---a--.-.

\

\

\

\

T

acé

\T

1 1

1 0

4

-

Lo cylindre

e révolution



4.6

CouoEcylrNDRrour

DEUX lÉverurs

2)

4

(A)

et

(B)

ontdeuxélementsubulaires

e même iamètre

t d axes

concourants.

ls

sont onc angentsune phère

ecentre

O) .

Labase e MONCE e

projette

elon nedroite,

assant

ar

es nter-

sectionses

énératrices

ucontourpparent,

orsquees xes es eux

solidesont n

V-C.

Lorsqueeux ol idesont angents

unemême phère

-

cesontdessolidese

révolul ion,

-

leur n tersect ionstunebase e

MONCE.

Lesaxeset les

généralr ices

escyl indres(A)

t

[B)

onten

V-C

ur

e

changement

e

p lan

ronta l

O1

Y121

)

e.

1 1

1 0 9

Les

ourbesinusoTdales

ui

tent

es

deuxcyl indresont

faitement

omplémentaires.

l i m i -

par-

96

\Z

/ o . \ , ,

- - / \

I

I

TracéNT

TracéNT



V

Couots

cyLtNDRtouES

N PLUStEuns

IÉwTENTS

Le

coude

cylindrique

st

un ensemble

composé

ecylindres

e évolution.

ll

est éalisé

our

éunir

eux ectionscirculairesemême iamètre.

ll

est réquemment

tilise

nven-

tilation

t

encalorifugeage

es

courbes

souder

n

uyau-

terie.

Le

coude eprésenté

st dit

coude

à

trois

éléments,

ien

qu i l

en

comoorte

quatre.

Ceci ient

e

ce

que

es

éléments

ex-

trémitéA) orrespondentlamoitiê es

élémpntc

(Rl

o t fC)

wv

( l / /

v L

t v j .

Le

coude

st

caractérisé

ar:

-

le

rayon

R)

ui

situe es

deux

ections

irculaires,

-

le

diamètre

d)

de

ces ections,

-

la

valeur

o)

du

dièdre,

-

Ienombre

éléments

yl indriques

ui

e

consti tuent.

lus

e nombre

st

mportant

t

plus

le

coude

e approche

es

caractéristiques

es

ourbes

souoer.

-->

t/

,/\

t / \

Li, l_,

\_-/

(NJ

étant

e nombre

d élé-

ments

u

coude, e

traceur

divisee

dièdre

nN x

2

divi-

sionségales. espremières

demi-dro i tes

oupent

es

axes

es yl indres

extrémi-

té en

(A)

et

(B).

Un

arc

de

cercle

e centre

(O),

passant

ar (A)

et

(B),

définit

e

point C).

es

axes

desélémentsntermédiaires

passent

ar (A-C)

t

(C-B).

Le

racédes

génératrices

u

contour

apparent

rocède

exactement

e la

même

démarche.

97

. . D r

/

4

-

Le cglindre

e révolution



4.8

Lr

<

oÉcnr-É

DES

ÉrrlÉnnrRtcEs

uRLE

oÉveloppEMENT

Les

léments

ubulaires

ont

éfinis

ar

es

coordonnées

es

entres

es phères

ux-

quelles

ls

sont

tangents

points

d épure

des axes).

La démarche

e

l épure

estexactement

a

meme

lorsque

es

éléments

tubulaires

ont el iés

ar

des

ourbes

souder.

\

\

La

otation

e axN

de

AJ

pour

ens

(0)

ers

9),(6),(3).

o

L axe

du

cylindre

B)

est

en

V-G

en

O1-Y1-21) .

.

La

vueen

bout

de

axe

e

(B)

n

(O2-X2-Y2)

ermet

a

rotation

l axe

e

(C)

our

amener

aral

au

p lan O1-Yl -21) ,

ù l se

pro je t -

te,dès ors,

n

V C.

o

Lavue

en

boutde axe

e

(B)

(O3-X3-Y3)

ermet

a rotation

l axe

e

(A)

pour

amener

aral

au

p lan

O1-Yl -Zl ) ,

ù l

se

pro je t -

te,

dès ors,

n

V-C.

La otation

e I axe

e

(

a

pour

ens

(Ol

vor< f<l

(Â)

fq )

\ v / ,

( v J

,

v r .

Manchon

mmobi le

.

Sa transformee

(æD)

divisée

n

12

parties

ga

pour

consti tuere

régulier

de

de référence,

our

e

et la

valeur

des

ments

ésultant

es ro

tions.

d î _

nD.43

5 0 u

æD.50

J O U

Courbe

e intersection

-B

Courbe

e intersection

-C

Troçoge rophiquo





5

L€

yLtNDR€

Bueu€

t BRS€

tRCULRtR€

5.1

loElltÉ,

sECTtoNS

LANES

U

cyLtNDRE

BLtouE

Le

cyl indre

blique

st

une

urfaceéunissant

deux

sections

circulaires

parallèles

non

perpendiculaires

I axe.

I l

estdéf in i

ar

-

le

diamètre

D)

essections

irculaires,

-

la hauteur

H)

ui

séparees

ections,

-

I angle

crJ

u la

situation

Sl

dessections

c i rcu la i res.

La

section ormale

du

cylindre

blique

es t

une

ell ipse

ue

suivant

F)

n

(O

1

X Y1

).

Le

cyl indre

blique

st une

surface

très

complexe

réaliser.

l ne

peut

être

mis

en forme

qu en

deux

élé-

ments

ar

ol is

uccessifs.

Le

p lan

tP

I

est

para l lè le ux p lans

qui

cont iennent

es

sect ions

i rcu la i res

( S 1 ) e t

S 2 ) .

l l

contient

ne

sec-

t i on

c i rcu la i re

e

même

iamètre.

Le

p

a

tP2l

est

para l lè le l axedu

cyl indre

b l ique.

l l

cont ient

deux

gênératrices

aral-

lè les

I axe.

o

La

sphère

e

centre

O)

ontienta

section

ircu-

la i re

S1 )

n

un

p lan

P3 ] .

o Elledétermine ne section irculaireSi) de

même

iamèt re

ue

S1 )e t

S2) .

o

(S

)

et

(S3)

sont

deux

sections

antiparallèles.

00

Troçoge rophique



I

----f----

.2

DÊvILoPPEMENT

Les

poin ts 10)

et

( l

1 ) d iv isente

quar t

d el l ipse

n

quatre

arties

gales.

Le

systèmeégulier

e

génératrices

tabli

depuisasectionirculaireebase edivi-

se

pas

la

section

normale

en

parties

égales.

l l

est très

compliqué e

détermineres

valeurs, ur I el l ipse,

êparant

es

points

(0 ) , 1 ) , 2 ) . . .

Touteses

génératrices

ont

paral lèles

l axe

et en

V-C

en

projection

rontale.

El lese eportentur edéveloppementpar-

tir de a

section

ormale.

La ongueur

u

développementorrespond

la

transforméee la

section

ormale

l l ip-

t ioue.

Dans

e cas e

cette pure

a l b : 1 , 4 1 4 f : 3 , 8 3 3 5

L=

542,05

(0

a

étéobtenu

ar

différenceabulaire

ntre

les apports 4 el 1 5.

Le traceur

rouvera eaucoup

avantagesn

décomposant

a courbe

ll iptique n une suc-

cession

e droites.

ll

transforme I ellipse

en

polygone.

l l rapproche

on racédu

procédé

e

mise

en

formepar pl is successifsn implantant es

génératrices

upplémentaires.es

deux demi-

développements

ont

dentiques.

o o

o

Le cumul

de toutes

ces

dro i tes

r isque

d entraîner

beau-

coup

imprécisions.

Le

traceurajustera

son développement

pour respecter a

longueur

e a

rans-

formée.

5

-

La cglindre

blique



('

L€

CÔN€

DE

RéVOLUTION

6.1

foerultÉ,

oÉvrloppEMENT

Le

cône

de révolution

st une

surface

énêrêe ar.

unedroite

conservant

un

point

fixe

sur

un axe,le

sommet

S),

'appuyant

urune

directrice

re

centrée

et

perpendiculaire

cet

axe,

une rajectoire

e

360'.

La

surface

onique

stdonc

onsti tuée

'une

supérieure

t d'une appe

nférieure.

Les

génératrices

e la

nappe

conique

ont

outes

gales,eur

Iongueurst C).

Le

développement

e cette

nappe,

e

flan

capable,

' inscri t

dans

un

disque

circulaire

e

rayon

C) .

La

ongueur

e 'a rc ,

e 180 '

à

180 ' ,

sur le

déve loppement

estegale la circonférencerD)

de la

section

irculaire

SR)

e

la

nappe

onique.

2ES

_

360

a

1tu d,

360nD

ZIL \J

Le

raceur

st

ace

a

référence

1

B0

),

les

pieds

sur e

plan

ui

contient

a

section

e référence

SR).

.

Lorsqu'il

st

à

I'extérieur,

es

génératrices

voluented r o i t e à g a u c h e d e ( 1 8 0 o ) , v e r s ( 2 7 0 . ) , ( 0 " ) , ( 9 0 . ) '

o

Lorsqu'i l

st

à l ' intérieur,

es

génératrices

voluent

oujours

e

droite

gauche

e

vers

90 ' ) ,

0" ) ,

270 ' ) .

T,roçogerophique



LEs ecroNs REMARoUABLES

l

)

lPl

et

[P2]

ontdes

plans erpen-

diculaires

l axe

en

V-C

de

la

nappe

onique.

l ls

contiennent

es

sections ircu-

la i res

S1)

t

(S2) .

tPS l

es t un

p lan que l -

conque

ar

apport I axe

de

anappe onique.

l l

cont ientune sect ion

el l ip t ique.

Le

grand

xe

de el l ipse

ses extrémités ux

inter-

sections es

génératrices

du contour pparent

e

a

nappe

oniquet du

plan

tPsl

Le

petit

axe

appartient

unplanhorizontalPH] ui

passe ar

le mi l ieu

du

gran0

xe.

La ongueur

u

demi-petit

axeest

mesurée

-

soit sur

e rabattement

de

la

section

SH)

en

projection

rontale,

-

soi l en nroiect ion

hor i-

zontale.

Les

lans

Pll, P2l

t

[P5]

ontdêfinis

espectivement

ar

es

droites

aral lèles

D1-D2),D3-

D4)et (D5-D6).

Tous rois

passentpar

le

sommet

(S)

de

la nappe conique.

(D1),D3)

t

(D5)

ppartiennentux

plans

orizontaux

ui

contiennent

es

ections

irculaires

desnappes oniquesce sont es

races

horizontales

es

plans.

o (D1)

st angente la

section irculairen

(T)

[P1]

ontient

ne

génératrice

econtact

S-T).

o (D3)

stsécante,

l le oupe

a

sectionirculairen

A)

t

(B)

[P2]

ontient

es

génératrices

(S-A)

t

(S-Bl.

o

(D5J

stsécantet

passe ar

e

centre

e a

section

irculaire

u el le

a coupe n

(C)

t

(D)

[P3]

ontientes

génératricesS-C)

t

(S-D)

u contour pparent n

projection

rontale.

6

-

Le cône de révolution



(r.3

Lrs

secloNs

REMARouAeT_es

2)

Le

raceur

ti l ise

es

plans

orizontaux

erpendiculaires

uxaxes

nV-c.

Chaque

lan

ontient

ne

section

irculaire

uipermet

e déterminer

a

différence

eloigne-

ment,

ar

apport

I axe,

es

points

A),

B)

u

(c)

de

construction

es

courbes.

Le

plan

P]

est

paral lèle

une

généra-

trice

u

contour

pparent

e a

surface

conioue.

La

vue

suivant

F)

V-C

de la

section

nappe

nférieure.

du

plan

P]

ournit

a

parabolique

de la

Lep lan P1 ]sec t i onne

les

deuxnappes

e la

surface

onique.

l ne

passe

as

par

le

som-

mer

s).

La

vuesuivant

Fl)

du

plan

Pl

fournit

a

V-C

de a

section

yperbo-

l ique

de la

surface

conique.

04

Troçoge

rophique



4 Lrs

sEcloNS

REIVtARouAaus

3)

(C)

est

une surface

ylindrique

e

révolution

e

rayon

R),

on

axe

est confondu

vec

elui

de

la

nappe

onique.

Lecylindre

étermine

ne

section

irculaire

Sl)

de

rayon

R), erpendiculaire

ux

axes.

Les

deux

surfaces,

Ylindre

e

révolution

t

nappe

onique,

ont

tangentes

à

la sPhère

de centre

(O)

e

rayon

RlJ.

s

Le centre

O)

se

situe

à

I intersection

es

axes.

.>-

Ouelle

ue

oit

avaleur

e

angle

o,

le cyl indre

étermine

oujours

une

section

Plane

de

la

naPPe

conique.

Si

es axes

des deuxsurfaces e

sont

pas

confondus,

ette

section

estune

ell ipse.

Elle

e

projette

elon

n

cercle

e

rayon

Rl)

dans

a vue

suivant

F)

qui

correspond

la vue

en

bout

de

axe

u cyl indre.

\ o 1-

-\--

6

-

Le

cône

de révolution



7

L€

ôN€

Blteue

n

gRs€

tRcuLRtR€

7.

t foeruïTÉ,

EcrfoNs

tANES

u

côrur

oBLtouE

Le

cône

blique

st

engendré

ar

une

droite

onser-

vant

un

point

ixe,

e

sommet

SJ,

ffectuant

n

par-

cours

e

360

autour

une

ection

irculaire.

L axe

u

cône

blique

asse

ar

e

centre

O)

de Ia

section

SB)

t e

sommet

S).

L axe

du cône

oblique

n est

pas

perpendiculaire

au

plan

qui

contient

a

section

circulaire.

Les

géneratrices

S-1)

t

(S-2)

u

contour

pparent

enprojectionorizontale,ont es angenteslasec-

tion

SB)

ssues

u sommet

S).

I

---r--

Le

cône

oblique

st

une

surface

rès

com-

plexe

à rêaliser.

l ne

peut

êtremis

en forme

qu en

eux

éléments

ar

pl is

uccessifs.

,

Le

plan

Pl

est

paral lèle

au

plan

qui

contient

a

section

SB).

l l contientne ection

circulaire

omothé-

tique

(SB).

Le plan tP2I

defini

ar

es

pa

d l

lèles

D

1

et

(D2),

passe

par

le

mer

s).

l l

déf ini t

es

géné

trices

(S3)

et

(

du cône

bl ique.

o

La

sphère

e

centre

en

un

plan

P3].

contient

a

section

S

o

Elle

étermine

ne

section

irculaire

SA)

t06

Troçoge

rophique

o (SB)

et

(SA)

sont

deux

sections



2 DÊvptoppEMENT

U TRoNc

oE

côrueoBLtouEÀ sowrwET ccESstBLE

, i

i

i

o o

o

Le

roncde cône bl ique

présente

n

plan

rontal

de symétrie

ui

contient

les

génêratricesS6)

et

(s0)

Le

traceur

progresse

de

proche

n

proche

e

part

et

,

d autre e

l axe

de svmê-

o trie. l si tue esooinis e

La

génératriceS0)

st

la

genêratrice

e

iaison.

La

génêratriceS6)

eprê-

sente

axe

de symétrie

u

dêveloppement,

o in t

de

départ

u racé.

r b : æ D 1 1 2

1i

la

baseaux intersections

des

rayons

(RB)

et

(Rn)

10

mesurés

ur ediagrammees

V-C,

-

I

l l

peut

ensuiteracer es

genéra-

6

trices u développement

t si tuer

i

les

points

de

la

section upérieure

avec es ayons

rn),

galement esu-

rés

ur e diagramme

es

V-C.

Les

euxéléments

eront éparésn

(56).

o o

Cette

methode,a

seule

uti l isable,

st

mprécise.

Le traceur reporte es

valeurs

RB)

n ant

que

cordes

esarcs ucces-

sifs

qui

consti tuenta

courbe.

l l est ndispensable

u i l

réajustea longueur e

la

courbe

inale

n onc-

tionde avaleuræD.

7

-

la

<ôneoblique



7.3 DÊvELoppEMENT

U TRoNc

DEcôNE oBLrouE

sovrvrr TNAccESSTBLE

On demande

e développere troncde cône

oblique

base irculaireoupé

ar

un

plan

de

bout.

Lesommet stsituéhorsdes imites e êpure.

Le raceur

ffectuee

développement

n deux

phases

istinctes

1. l

dêveloppe

e

ronc e cône

efini

ar

esdeux

bases

aral lèles,

2. il

enlève

a

partie

uperflue

u troncde cône.

I

l

phase

développement

u tronc de

cône défini

par

deux bases

parallèles

Pour mplanter

n système e

generatrices,

e

raceur

artage

un

même

ombre

e divisions,eunit

es

points

euxà deux

lesdeux

sectionsirculairèS

et les epère.

8

Troçoge

rophiqua



VG

des

diagonales

VG

des

génératrices

t 2 3 4 5 6 7

l / l \ l / l \ t / t \ l

t / t \ t / t \ / t \ l

A B C D E F G

Le

raceur

éveloppe

e

ronc

de cône

bliqueimité

ar

es

deux

sections

irculaires

n

ra-

vail lant

ar

riangulation.

l recherche

es

raies

randeurs

es

génératrices

t des

diagonales,

puis,

l .

i l reporte,

ur

une

roite,

ne ongueur

gale a

vraie

randeur

e a

génératrice

l

. A

par-

tir deA, l race narcdecercle e rayonR1égal laVCde adiagonale2;

à

partir

e

l,

i l

trace

un

arc

de cercle

e rayon

l

égalà la

corde

1

2

prise

en

projection

orizontale.

L intersection

es

deux

rcs

e

cercle

onnee

point

2.

2. l trace, partir

e 2,

un

arc

decercle

e rayon

R2

égal

laVC

de a

géneratrice

B;

à

par-

tirde

A, l

trace

n

arcde

cercle

e rayon

2

êgal la

corde

-B

prise

n

projection

orizon-

tale. intersection

es

deux

arcs

e cercle

onne

e

point

B.

En

3, l

trace,

partir

e 2,

unarc

de

cercle

e rayon

R5

égal la

VC

de a

diagonale

C:

à

partir

e B, l

trace

n

arcde

cercle

e r3

égal

la

cordeB-C

rise

n

projection

orizontale.

L intersection

es

deux

rcs

e

cercle

onnee

point

C.

l l

applique

a

même

méthode

usqu à

obtention

u

développement

omplet.

uis

i l

vérif ie,

ur

le

développement,

es

ongueurs

éveloppées

esdeux

ections

irculaires.

7

-

le <ône

oblique



I

2

phase:

enlever

a

partie

superflue

Demi-développement

u

tronc de

cône oblique

Le

raceur

ontrôle

t

recti f ie,

i besoin

st,

es

ongueurs

développées

es

bases.l ne aisse

ubsister

ur e

déve-

loppement

ue

es

genératrices

t

i l indique

e

sens e

mise

n

orme.

VG

des

génératrices

r

3 b

Le

raceur eporte

u

compas,

ur

les

génératrices

u développement,

les ongueurs

es

génératrices

u

lronc e

cône

blioue.

Z

baee

circulaire

IPDBI

e

c

t 0

Troçoge

rophique



8

-

couD€

oNteu€

e

8. t MÉruooE

DES

pHÈRrs

Écnrurrs

On demande

e raccorder

es

uyauteries

et

B

par

uncoude

onique

omportant

élêments.

La

méthode

employée

era

ce l le

des

sphères

sécantes.

Théorème:

Un

cÔne

t une

sphère

ui

ont

un cercle

ommun

C1) exemple

ase u

cône),

se

coupent

uivant

n

second

ercle

C2J.

Le

héorème

eut

aussi

e

ire

de

cette

façon

lorsque

eux

sections

ircu-

laires

e

diamètres

ifférents

ont ns-

criptiblesansunesphère,a surface

obtenue

stune

surface

onioue.

Le

raceur

oit nscrirees

5

éléments

dans

essphères.

our

ela, l

divise

I angle

en 6

parties

égales

les

points

1,

3, 5

sont es

centres

es

sphères

-

I

se rouve

ur a médiatrice

levée

à Ia base

ab)

e centre

O,

-

5 se

situe e même

ur amédiatri-

ceélevée

la

base

gh),

-

le

centre

de a

sphère e

situe ur

un ayon

ga l l1J .

2

Troçoge

rophique



l l trace

nsuite

ne phère

e rayon

R1

1a

ou

1b

et

decentre

uneautre

phère

e

ravon

R3

:

59

ou 5h

et de centre

.

Les

éléments

ont des

portions

e

cônes

bliques.

Le

raceur

erminea

construction

u coude

n

traçant

ne

sphère e

centre

dont

e

rayonR2

estmoyen

roportionnel

ntreRl

et R3.

R2

Rl

+ R3)

2.

Les ntersections

es sphèresui

donnent

es

bases

communes

ux

di f férents accords

conioues.

I

-

Coudeconigue



8.2 MÊTHoDE

DES

SPHÈRES

ANGENTES

Ondemandee raccorder

es

uyauteries

et B

par

un

coudeonique

omportant

éléments.

La mêthode

mployée era

celledes

sphêresan.

gentes.

Lecône uitangenteunesphère stdit<de révolution.

Le

solide

ui

angente

deux

sphères

e diamètres

ifférents

stun

cônede révolution.

I

l*

phase

Le raceur :

-

divise angle

en 4

parties

gales,

-

trace,

n 0, un

cercle e rayon

R0

égalau rayon

u cylind

-

trace,

n4,

uncercle

e

rayon

R1

égal u ayon

u

cyl ind

@

Lt4

Chaque

lément

oit

être angent

deux

sphères.

sontnécessaires

our

obtenir

uatre

léments.

Troçoge rophique



I

2

phase

Le

raceur:

-

détermine

es ayons

es

sphèresntermédiaires

l 'aide

'un

graphique

application

u

théorème

eThalès)

oir igure

i-dessus,

droite,

-

dessinees

phères

n espectant

a

progressivité,

-

tangente

uxsphères

eux

deux,

our

obtenir

e

contour

pparent

e

chaque

lément.

Détail

A

I

5

phase

Le

raceur

oint

es ntersections

es

de

contour

pparent

our

obtenir

es

munes

ell iptiques).

génératrices

oases

om-

/fr

tu,

bases

ommunes

e

passent

as

par

les

centres

es

sphères.

o o

o

Pour

btenir

ne

meil leure

réci-

sion orsque

es

génératrices

e

contour

pparent

ont

presque

dans

e même

lignement,

l

est

intéressant

'uti l isera

méthode

ci-dessus.

8

-

Coude

conique

i l5



ID LR

SPHÈne

g.l

foerultÉ,

sECTtoNS

LANES

uNE

spHÈng

La

sphère

stunesurface

e

révolution

ngen-

drée

par

unesection

emi-circulaire,

ournant

autour

unaxe.

Tous

es

points

itués

ur a surface

phérique

sont

à

la

même

distance,

e rayon

(R)

de

sphère,

d un

point

ntérieur:

on

centre

O) ,

La

sphère

st définie

par

son c

(O)

et

son ayon

R).

Leplanhorizontalêfinit ne

circulaire

e centre

O

1

)

qui

se

pro

te

en

V-C

ur

e

olan

horizontal.

Le

plan

rontal

éfinit

ne

culaire

e centre

O2)

qui

enV-C

ur e

plan

rontal.

section

se

pro

Un

plan

ebout

définit

ne ection

culaire

e

centre

O1 )

ui

se

proj

enV-C

ur e

changement

e

plan

x 1 - Y l

t 6

De

par

ses

caractêristiques

éomê-

triques,asphèreonsti tueenveloppe

la

plus

performante

is-à-vis

des

contraintes

rovoquées

ar

les

pres-

sionsntérieures

u

extérieures.

El le

est couramment

mployée

n

chaudronnerie-tuyauterie,

otamment

en

qualité

e fonds

es éservoirs.

Tioçogegrophique



.2

DÊvrLoppEMENT

ppRocHÉ

r

n

spruÈRe

Ondemande

edéveloppera

demi-sphère

onsti tuée

'une alotte

t d'une one

phériques.

Lorsque

a

demi-sphèrest

de dimen-

sionsmoyennest de faible paisseur,

el le stdécomposée

ndeux

éléments

-

unecalotte

phérique,

-

une

one

phérique.

calotte

Le

raceur

éfinit

n

sphère

ui

imite

la

sage t la rétreinte.

troncde

cône

fois,

ors

de

a

moyen

enveloppant>

a

conformation.'emboutis-

t ronc

de cone

moyen

Développement

e a calotte

Ondemande

edévelopper

ademi-sphère

onsti tuée

'une alotte

phérique

t de 7

girons.

Lorsque

a

demi-sphère

st de

grandes

imensions

t de for te

épaisseur,l leest dêcomposêenplusieurs

léments

-

unecalotte

phérique

-

des

gironsgénéralement

).

Développement

u tronc

de cône

calotte

9

-

Lo sphère

i l 7



Sur

épure,

e

raceur:

-

partage

e

segment

,5

en

parties

gales

4

sur ,exemple),

-

fai t

passer

ar

es

points

-3-4

des

rans

arailères

ra

base,

-

trace

n

project ion

or izontale

es

ections

irculaires

btenues

ans a

sphère,

-

reporte

n

project ion

rontale

es

points

,

B,

c, D,

E,

F,

c, H,

,

et J

(intersections

es

sec_

tions

irculaires

t

de a

sept ième

ivis ion

u

cercleJ,

-

joint

et

prolonge

a

corde

assant

ar

es

points

et

3

pour

obtenir

e

sommet

j

d un

cône.

-

joint

et

prolonge

a

cône,

-

joint

et

prolonge

a

cône.

corde

assant

ar

es

points

et 4

pour

obtenir

e

sommet

2 d un

corde

assant

ar

es

points

et

5

pour

obtenir

e

sommet

1

d,un

Sur

e

développement,

e

raceur:

-

porte

ur

une

droite

D)

es

raies

randeurs

ntre

es

points

l a

c,

-

dessine

2-3 ,3-4 ,4 -5r ises

ur

à

part ir

e

2,

un

arc

de

cercle

e rayon

R3

pour

obtenir

e

sommet

3,

à

part ir

e 3,

un

arc

de

cercle

e rayon

R2

pour

obtenir

e

sommet

2,

à

part ir

e

4,

un

arc

de

cercle

e rayon

R1

pour

obtenir

e

sommet

-

trace,

partir

de

:

o

Sl

des

arcs

e

cercles

e rayons

O

S

_5

et Rj

:

.

52

un

arc

de

cercle

e rayon

R2,

. S3unarcdecercle e rayonR5

-

por te

ur

es

i f férents

rcs

e

cerc les,

e

par t

t

d autre

es

oints

,2,3,4,

et

5, es

on_

gueurs

es

arcs

e

cercles

sJ,

c4H,

E3F,c2D rises

n

project ion

or izontale,

-

porte,

ur

a

droite

assant

ar

1, a

ongueur

e arc

e

ceic le

1B

prise

n

project ion

.

YG

des

ùcs

entre

les

points

de

I à

5

Troçoge

rophique



I

O

-

BRS€S €MONG€

quadriques

,

circonscritesune

même

roisième,

ecoupentuivant

eux ourbes

lanes

C I,

tC2l

ui

nt

par

es ntersections

es2 courbese contact e chaque

urface

li l , t l2l

avec

a surface

nscri le.

c 1

- l c 2

,/ \

L.s

solides

angents

une

sphère

ont oujours

es

solides

de révolution.

c l

l - l c2

Lescourbes

C1], C2l,

t l l l , t l2 l

sont

ussi ppe-

lées

ases e

Monge.

Lesdeuxsolides

angen-

tentà unell ipsoTde.

c l

l - l c 2

quadrique,

oute urfaceu ype

,

paraboloïde,

yperboloïde.

I 0

-

Bosesde

Monge



I

I L€SNT€RS€CIoNS

YLINDR€/cYLINDR€

v

| | .l lrure srcroN D uNE

DRotrEETD uN

cyLtNDREr RÉvoLUTtoN

D 1

P 1

a .

a

( \

h

\ l

b.

o

L axe

u cyl indre

sthorizonto-frontal.

o

Ladroite

énétrante

D1)

stverticale.

Le

plan

P1],

aral lèle

l axe u cyl indre,

contient

a droiteet définit

eux

généra-

tr ices u

cyl indre.

La droite

pénètre

e cylindre

n

(A),

elle

en sort

en

(B).

1

1

o L axe u cylindre sthorizonto-frontal,

o

La

droite

pénétrante

D2)

st

rontale.

Le

plan

P2],

aral lèle

I axe u cyl indre,

contient

a droiteet

définitdeux

généra-

tr ices u cyl indre.

Ladroite

énètre

ecyl indren

C),

l le n

sorten

(D).

Ladroiteestdéfinie

ar

deuxde

ses

points

A)

et

(B).

Ladroiteet

le

cylindre

ont

quelconques

ans

e repère

OX-OY-OZ)

Le

cylindre

st

projeté

n

V-C n

O1-Y l -21 ) ,u is

n

raccourciotal en

(O2-X2-

Y2)

Seule

a

vue

en bout de

I axedu cyl indre

n

(O2-

X2-Y2)

ermet

de tracer

e

p lan P1]para l lè lel axe ,

d une

art

et contenant

a

droite

A-B)

autre

art.

l 2 l

I

o o

o

Conclusion

Ouel

que

soit

e

casde

igure,

le traceur ura

oujours van-

tage à examiner

e cyl indre

pénétréen raccourci otal

pourgérer

essituations

in

tersections.

I I

-

Les nÈersections

ylindre/cylindre



|

| .2

Lr oÉveroPPEMENr

u

pÉruÉrnÉ

T -

t -

(A)

estuncylindre

e révolution

'axe

vertical.

La soudureongitudinalee situeà

I

8 0 ' .

(D)

est une droite

quelconque

ans

I'espace.

Son

prolongement

énètre

e cylindre

(A)

n

(P)

t ensorten

(Pl).

Le raceur tilise

n

plan

vertical

PV]

qui

contient

a

droite

D).

Ce

plan

définit deux

génératrices

dans

e

cyl indre,

l les ontiennent

es

poin tsP) t (Pl ) .

Les

points

P)

et

(Pl)

sont mplantês

sur

le

développement

partir

de

deux

éférences

1 la section e référence

lesvaleurs

(H)

t

(H

)sontmesuréesur

'épure,

enV-Cen

projection

rontale,

2. la

génératrice

e

liaison la

gênê-

ratrice

ui

contient

e

point

(P)

est â

47 ' de 180 ( la oudure) ,ers 0o,

cel le

ui

contiente

point Pl)

està

' /7

.5

de

1B0 vers

70 '

r r

n D . 1 7 , 5

.)ou

n D

4 7

360

.ô.

/i

r8,o

T

H

P

TracéEXT

t

T

Ë l

T1

P1

190' 90'

00

1

70

Troçoge

rophique



(A)

et

(B)

sont

deux

cylindres

e

révolution

mètres

gaux.

Les

xes

ppartlennent

un

plan

rontal.

de dia-

I f . 3 T É À 6 0

nDl2

I

I

I

I

I

I

I

I

6

divisions

gales

o o

o

L'épure

est très

simple :

-

I ' in tersect ion

st

te l le

que

e

pénétrant

A)

est

un

cyl indre

e

évolution

l imité

ar

deux

plans

e

bout,

-

les

d iv is ions

gales

u i

définissent

e

système

régulier

e

génératrices

du pénétrant A) , le

créent

galement

ur e

penétréB),

-

la

vuede

prof i l

n

(O1-

Y1-71)

st

ainsi

endue

inut i le .

o o

o

Les

<

pointes

du

dévelop-

pement

e

(A)

aux

généra-

trices 9)et (3)contrarient

le roulage

ui

ne

s'opère

pas

ur

une

arge

one.

'l l

-

Les nt@rsections

ylindre/calindre



|

| .4

Plounce

90

nxES

oNcouRANTS

(A)

et

(B)

ont

des

cylindres

e révolution.

Les

xes

ppartiennent

u

même

lan

rontal

t sont

orthogonaux.

ratrices

u

por t

à

(ex

cr 0) ,

déterminer

T 1 0

uti l ise

es

plans

e x :

I P F 1 0 l )

u i

. les génératrices

nt

et

déterminent

)nétré.

x situent

es

géné-

pênétré

par

rap-

ses références,

et

permettent

e

les

valeurs

T)

æ D . a l 0

-=60-

{A)

st e

cylindre

énétrant,

B)

st e

cylindre

ênétre

Ce

cas

particul ier

' intersection

résente

eux

plans

e

symétrie,

Pl l

tP2l,

ui

passent

ar

es

axes

es

cyl indres

t faci l i tent

e

raçage.

z

ô

z

l t

7

3

4

5

6

I

1 0

\

t

I

\

-Jgo

f'.-

/

o

X

-ç

H 1 0

-

7--

,,L (

PFl

O

tf

=

180.

X I

\

^ l

:ontaux

(ex

ontiennente

Lu

penétrant

el les

u

pénét

esangles

sit

f

,T

I

8

-- tu

Section

de référence

o o

o

Les

aleurs

es

angles

t

peuvent

tre

mesurées

sur 'épure,

ais

e

tra-

ceur

avisé

es

détermi-

nera

par

les

relations

trigonométriques,

r r a a Z À o

s i n c l Q :

t u v r u w

R

méthode

rès

avanta-

geuse

pour

les

cas

industrielsui amènent

à

traiter

des

épures

e

grandes

imensions.

Troçoge

rophique



AXES

ÉcnlÉs

(A)

estun

cylindre

e révolution

'axe

rontal.

(B)

est

un demi-cyl indre

e révolution

'axe

hori-

zonto-fronta.

est e

cyl indre

ênétrant,

est e

cyl indre

énétré.

tA)

(B)

Prounce

60

Le

raceur

ti l ise

es

plans

rontaux

ui

contiennent

les

gênératrices

u

pénétrant

t déterminent

el les

du

pénétré,

xemple

PFB.

Les

ngles

situentes

gênératrices

u

pénetré

ar

rapportà ses éférences,ex a I et crS),et per-

mettent

e

déterminer

es

aleurs

T).

T R

æ D . c r 5

' r

3 6 0

o o

o

Les

aleurs

es

angles

peuvent

tremesurées

sur 'épure,

ais

e raceur

visées

détermine-

ra

par

es

elations

rigonométriques,

s inoB

_

( r . cos39 ' )+10

s ins5

_

( r . cos60 ' ) -10

R

-

- ' -

R

Le

penétrant

résente

eux

énératrices

articul ières

-

el les

ont

n

contact

vece

pénétré

ur

sa

génératrice

(0 )

du contour

pparent

n

projection

rontale,

-

el les

'appartiennentas

au

système

egulier

t sont

situêes

râce

ux

angles

om).

Le

raceur

oit es mplanter

ur a

projection

rontale,

ù

loutes

es

génératrices

ont

enV-C,

t sur e

développe-

T a

æ D . c r B

360

I 1

-

Los

nt@rs@ctions

glindre/<glindre



|

| .(t Ncuo

cyuNDRtour

orr

suone)

(A), B)

t

(C)

ont rois uyauteries

114,3

p 4,5.

La

base

de Monge

e

projette

elonunedroite

passant

ar

es

intersections

es

génératrices

u contour

pparent,orsquees

axes

esdeux ol ides

ontenV-C.

Ces yl indres

ont angents

unesphère

e centre

O).

Lorsque

eux ol ides

ont angents

unemême

phère

-

cesont

dessolides

e

révolution.

-

leur ntersection

stune

base e MONCE.

\

(ç)

??

.t.

Le

raceur

oitexamineres

cylindres

al

couples

yant

eurs

xes

nV-C

pour

voir traiter

eurs ntersections

elon

bases e Monge.

-

le

couple

A-B)

les cyl indresont en V-C

frontale

n

(O-Y-Z).

-

le

couple

B-C)

les

cyl indres

ont en V-C

en

projec

frontale

O2-Y2-22),

btenueaprès

changement

e

plan

à

partir

e a

pr

tion

de

profi l

O1-X1-21)

ù

e

cylindre

est

en

raccourci

otal.

-

le

couple

A-C)

les

cyl indres

ont en V-C

en

pro

frontale O3-Y3-23),btenueaprès

changement

e

plan

à

partir

e a

tion horizontale

O-X-Y)

ù le

cylindre

est

en

raccourci

otal.

Troçoge rophique



Le

traceura

représenté

a courbe

drinteqec iop

(B-C)

n couleur,

uis

cellede l'intersection

A-C)

en

noir,

sur

le

développement

u

masque

e

reproduction

e

(CJ.

l l estévident

ue

a

gênératrice2)qui

estd'abord

arrêtee

ar

e

cylindre

C)

n

2C),

e

peut

être

pro-

longée

usqu'en

28).

Le

découpageu masque

assera

onc

par

les

premiers

oints

encontrés

ar

es

génêratrices.

l l

est

indispensable

ue

les

projections

uti l isêes

our

es

développementsepré-

sententes

génératrices

ans a

position

réelle

qu'el les

ccupent ur la

surface

cyl indrique.

b (

Le traceur tabl i t e systèmeégulier

e

génératrices

u cylindre

C)

entre es

pro-

jections

O-X-Y]

T

O.3-Y

3-2.3).

l l

dispose e

la

valeur

22)

du

pied

de

la

génératrice

2).

La

projection

u

pied

des

génératrices

dans es

diffêrentesues

permet

de

les

instal ler

ans

eur

position

éelle

ur

la

surfaceyl indrique.

Contrôle;

Les

différentesaleurs

Yn),

n

(O.2-X.2-Y.2)

oivent l igner

es

pieds

es

génératrices

urunesection ormale.

I I

-

Les ntersections

ylindre/cAlindre

TracéNT

0 I 2

3

4

5 6 7 I 9 l 0 t l

0

o o

o

La reprêsentation

'une section

normale

dans les

diffêrentes

rojections

st une

manièrentéressante

e

réalisere

décalé

des

génératrices.





11.7,2

Cyfindre

e

révolution

Plan

de

bout

uation

uncylindre

e

révolution

imité

ar

un

plan

blique

sonaxe, ranche

erpendiculaire

la

peau

la surface

le

lancapable

stoxycoupé).

droite

D)

ituees

génératrices

e ransitionis-à-vis

esquelles

es ibres

n

contact vec

e

plan

ont en

les

ibresnterieures,

n

aval.

es ibres

xtérieures

droite

D)

doitavoir

our

origine intersection

e axe u cyl indre

t du

plan

écant t

etre

perpendicu-

à lagênératricee ransition.

Demi-développement

fibre eutre

tracé

par

ransforméee

Cénératrices

e ransition

o

La

droite

D),

erpendiculaire

à

la

géneratrice

e ransition,

est

egalement

erpendiculai-

re à I axe

u cvl indre.

Courbe

inusoidale,imite

des

ibres

eutres rrêtées

ar

e

plan

Courbesimitesdes ibres NT

et

EXT

arrêtées

par

le

plan

de bout

[P]

6

l a

l

|

-

Los

nt@rs@ctionsglindre/cglindre



|

| .7.3

Coude

cyfindrique

o o

o

Le

chanfrein

est

d'angleonstant.

La

première

asse

de

soudage

peut

s'effectuer

ans les

mêmes

condi t ions

d'accès

ur

toute a

péripherie.

it

I

o o

o

La

section

e rem-

pl issagedu jo int

var ie ;

par

exemple,

pour

cette

configura-

tion

51: 44

mm2

52 : 116

mm'

Tracé

EXT

Demi-développement

racê

ar

ransformée

e a

fibre

neutre

Les

roites

D)

ppartiennent

u

plan

écant.

Elles

nt

pour

origine

'intersection

e

'axe

t

du

plan

et

passent

ar

'extrémité

esF-INT

Elles

ont

amenees

n

V-c

sur a

projection

rontale

ar

otation.

0

La

igne

1,naissance

u chan-

frein,

'est

as

une

droite.

Chaque

énératrice

oit

être

consultée

our

déterminer

a

longueur

e

sa ibre

EXT.

Troçoge rophique



| .7.4

Tangente

à fa courbe

L'intersection

e deux

plans

passe ar

l ' inter-

sectiondes

tracesde

même

om.

Projection frontale

de

I'intersection

Règlela

angente

nun

point

e

a

courbe ' intersection

e

deux urfaces

st

a

droite ' in-

tersectionesplansangentsuxdeux urfacesncepoint ui eurestcommun

trace fron

PB=

plan

tansent à lB

surfacê B,

pasjant par

2.

A=

plan

surface

A,

tangent

à la

passant

par

?.

trace

horizontale de

PB

\t_

|

,%i,o'coks

4 ^ v N -

, , -- a\ re l iO! ! -

?'

{21çÇ''-çeui- P4'

'..iiû!v:éâ1!-

ô

!

Oa9--1

o-

t t

o o

o

l l

esl nuti le

e

rechercher

es

intersections

rontale

t

hori-

zontale

es races.

ne eule

suffit.

I a r hn i v nô r r l - Â f rÂ

fa i t

gn

} / v u L

v L , u

fonction

es

dispositions

e

l 'épure.

'l

I

-

Las nÈ@rs@ctions

glindre/cAlindre

t 3 l



|

| .7.5

Vue

en

bout

de fa

tangente

à la

courbe

La.v-c,

n(o:2-Y2-22),

e a

angente

a

courbe

n

2),

uis

a

vueen

bout,

n

os-y3-x3),

amènent

une

projection

es

surfaces

ylindriques

A)

et

(B)

rès ntéressantes

u

point

e

vue

u

raitement

e eur

oaisseur.

c.3

o o

L épure

r isque

d être

très

dense

lorsque

es

axes

ne

sont

pas

concou-

rantset que le traceurest amenéà

examiner

n

grand

ombre

e

généra-

trices.

.

Troçoge

rophiqua



Unedroite

est

perpendiculai-

re

à un

plan

i el leestortho-

gonale

à deux droitesnon

parallèles

e ce

plan.

X

Deux

droites

ont

orthogonales

ans

Le corol laire

un

plan

est

perpendiculaire

une

l espace

i el les e

projettent,

urun

droite i deux roites on

parallèles

e ce

plan

ont

plan,

uivant nangle

e 90 ,

et

que

orthogonales

cette roite.

I une

entre

l les stenV-C.

+

Y

t33

-

m-2

:

RA

n . 1 - 2 . 1

I

o o

o

Lesdroites

M-2)

t

(N-2)

ontorthogonales

la angente.

Elles

éfinissent

n

plan

M-2-N]

erpendiculaire

cette

tangente.

ll suffit

de tracer la

projection

en V-G de ce

plan pour

obtenir la vue

en bout de la

tangente.

I I

-

Les ntersections glindre/cylindre



|

| .7.6

Piquage

90

axes

concourants

Le

cylindre

A)

est

un

élément

e

supportage.

Le

cylindre

B)

ne

comporte

as

d'ouverture

de

pénétration.

L'épure

eprésente

es

projections

u

cylindre

en fibres

NT,

ce

sont es

premières

n

contact,

t du

cylindre

en ibres

XT.

Le

chanfrein

st

d'angle

onstant.

La

première

asse

de soudage

eut

s'effectuer

ans es

mêmes

onditions

d'accès

ur

oute a

périphérie.

o o

o

La

rose

de situation

permet

de

déterminer mmédiatementes

valeurs

r

en

y

apportant

es

V-C

des

droites

MN).

0 1 2 3 4 6 6

Demi-développement

racé

ar

ransformée

de a ibre

eutre.

Troçoga rophique



11.7.7 Piquage

90 ,

supportage

Lecylindre

A)

stunélément esupportage.

Le

demi-cyl indre

B)

ne

comporte

as

d'ou-

verture e oénétration.

o o

o

Lechanfreinstd'angle onstant.

La

première

asse

e soudage

eut

s'effectuerans

esmêmes ondit ions

d'accèsur oute

a

pêr iphér ie.

L'épure eprésente

es

projections

u cyl indre en

f ibres

contact, t du

cylindre en ibres XT.

ce sont

es

oremières

n

Tracé

EXT

I |

-

Les nt@rs@ctions

glindre/cAlindre



| |

.7.8

Piquage

90

axes

décafés

Le

cylindre

A)

est

un élément

e

supporrage.

Le cylindre

B)

ne

comporte

pas

d'ouverture

e

pênétration.

o o

o

Le

chanfre in

st d 'angle

constant.

La

première

asse

e souda-

ge

peut

s'effectuer

ans es

mêmes

condi t ions

'accès

sur oute

a

pêr iphér ie.

L'épure

eprésente

es

projections

u

cylindre

en f ibres

NT,

ce

sont es

premières

n

contact,

t

du cylindre

en ibres

EXT.

des V- G

M-N

t ?

i i \

--__l_-Ï--

Nri

AD

L{

e 1 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 ? 8 9

LaF-EXT

e a

génératrice

3)

est

plus

ongue

ue

a F-tNT.

CetteFituation

onne

aissance

deux

géneratrices

e

ransition,a

F-lNT

t

la

F-EXI

ont

de

même

ongueur,

i tuêes

I' intersection

es

courbes

ur e

développement.

L'usinage

u

chanfrein

assera

rogressivement

'une

ituation

ositive

n

(S)

ers

une

situa-

t ion

perpendiculaire

la

peau

e a

ôle

aux

génératr ices

e

ransit ion,

uis

n negative

ers

les

gêneratrices

9).

e

n5

/ - ,

r--;l-

J'-+

9 1 0 1 1 0

Troçoge rophique





38

1.7.f

O

Ouverture

de

pénétration

Le

plan

PSl

ontient

'axe

t la

génératrice

5)

du

cyl indre

A)

t la

angente

tg5)

ia

nappe

intérieure

u cylindre

B).

tg})

n'est

pas

a

tangente

ta

courbe

'inteisectioiae

ûq

et

@)

La

droite

N-5),

ayon

R)

e

(B),

st

une

orthogonale

u

plan

angent

ptgSl.

La

droite

M-5),

ayon

r)

de

(A),

st

une

orthogonale

ta

génératrice

5) .

La

V-C

du

plan

M-S-Nl

ournit

a V-C

de 'angle

ormê

ntre

a

génératrice

5)

et le

plan

an-

gent (B) assantar epoint ' intersection5).

La

situation

st a

même

our

e

point

2).

*u

Troçoge rophique

Les

sections

e

(B)

reprêsentent

des

el l ipses

ù l 'épa is-

seur

n'apparaît

as

enV-C,

mais

'uti l isa-

tion

des

tangentes

(TCn)

impli f ie

onsi-

dérablement

a

rêso-

lution

nn'entraînant

qu'une

nfime

rreur.

Cette

émarche

eut

être

employée

uelle

que

soit a

configura-

tion

de l 'assemblage

et la

géométrie

es

chanfreins.



I

I

J

I

-.J_

(A)

est un

piquage

yl indr ique

pénêtrant,

ans

sinage

art icu-

l ier

is-à-vis

e ' intersection.

Le

chanfrein

ratique

ur e

pénétré B)

est d'angle

constant.

La

première

asse

e soudage

eut

s'effectuer

ans

les

mêmes

ondit ions

'accèsur

oute a

pér iphér ie.

\N

'aw

i__\,1N

K

Diasramme

des V-G

d-es

droites M-N

I I

-

Les nt@rs@ctions

Alindre/calindre

o o

o

Dans

a

plupart

es as ndustriels,

e rapport

d/D

est

beaucoup

lus

pet i t ,

ce

qui

a

pour

effet

de diminuer

elat ivement

e

volume

e

métal

enlever

our

usinere

chanfrein.

Dans

ous es

cas, e

raceur

ura

avantage

réaliser

nmasque

e reproduct ion

nmaté-

r iau

souple,

e manière

reproduire

'ouver-

turede pénêtrat iont la l igne e naissance

du

chanfrein

ur e

pénétréB)

près

amise

en orme.



| |

.7,l I

Piquage

90 ,

génératrices

ntermédiaires

tA)

et

(B)

sontdescylindres

e

A

EKf 100

ep

15,

leurs

xes

ont oncourants.

Leur ntersection

stenvisagée

omme uit

.

pour A)

contact esF-EXTour esgénératrices0)et (6),

contact

esF-lNT

our

es

génératrices3)

et

(9),

changement

rogressifour

es

gênératrices

nter-

médiaires.

o

pour B)

contact

ur a nappe NT

partout.

[Pl

est un

plan

de bout

passant ar

I ' inter-

section e a F-EXT

e

(A) en (0))

t de

a F-

INT

de

(B)

et l' intersection

es

axes,

SA)

t

(SB)

ont les

sections

e

(A)

et

(B)

qu' i l

cont ient.

Lesgenératricesntermé-

diaires

de

(A)

se situent

sur

une el l ipse

ont le

grand

axe

a

pour

valeur

son

@

EXT

et le

petit

axe

celle e son

Z

lNT.

les

sont mplantées

ur

cetteel l ipse l 'aide

des

plans

axiaux

assant

ar

un système

égulier

de

génératrices

e

(A).

Le

systèmeêgulier

e

génératrices

e

(A)

êvo-

lue

ur

uneell ipse

t

passe

e 'EXT

n

0)

et

(6)

à l ' lNT

n

(3)

et

(9).

40

Troçoge rophique



|

| ,7

l2

Té

piquage

90 ,

chanfrein

(A)

est e

cylindre

énétrant,

(B)

st e

cylindre

énétre.

Le chanfe in est d 'anple

constant.

La

première

asse

e soudage

peut

'effectuer

anses

mêmes

condit ions

'accès

ur oute a

pér iphér ie.

+

L'usinage

our

e

chanfre in

du

penétrant

(A)

evolue e

0

fpas

d'enlèvement

de

matière) aux

génératrices

0)

et

(6) jusqu'à

0'

pour 4)

et

(12) .

Le

raceur

xami-

n ê f

p c

o â n 6 re -

t r ices

l) ,

(2) , 3) ,

(4)

par

un

chan-

gement

de

plan

pour

cnacune

d'e l les .

-

0 ' en

0) ,

-

7 , 5 ' e n

1 ) ,

- 1 5 e n 2 ) ,

-

22 ,5 '

en

3) ,

-

30 '

en

4) .

l l

appl ique

ne

progression

r i thmétique

ur

les

génératrices

e

(0)

à

(4),

qui

se

répetera

pour haque uadranl,t quia pour éféren-

ce a

perpendiculaire

onduite

part ir

e

a

tangente

I 'el l ipse,

rojection

e la

nappe

INT

de

(B)

I I

-

Los nters@ctions

Alindre/calindre

t 4 l



|

| ,7.t

3

Té

piquage

90

T^ æD

'u

-

- - j -

+

r a

n D . 6 8 , 2

2 1 ^

J O U

T l

æ D

3 9 . 5

t l

560

Le

raceur pplique

ne

progression

ar i thmé-

t i q u e , o , 1 0 o , 2 0 '

e t

30 entre es

pênêra-

trices

O)

t

(3).

LaV-C

des

plans

Mn-n'

N n l ,

x :

[ M l - l - N 1 ] ,

u i

permet

d'examineres

sections

e l 'assembla-

ge

contenues

ans es

plans

axiaux

passant

par

es

énératrices

'un

systèmeegulier.

Deux

mprécisions

.

les

génératrices

0)

et

(6)

de

(A)

ne

sont

pas

concernées

ar

le

chanfrein

t ne

prêsentent

as

de

point

d'arrêt

de la

courbe,

e

es

aleurs

T), O)

ontmesurées

ur

des

droites

lors

u'en

éali té

l les evraient

l 'être

ur es

ell ipses

es

sections

e

(B).

142

Mais

es

masques

e reproduction

ainsi

racés

our

es

uyauteries

er-

mettentune approcherès appré-

ciable

our

situer es

naissances

e

chanfrein.

Troçoge rophique



I2

L€cÔN€

D€RéVoLUTIoN

,_1+s

Axes

/.

|

ffi

concouranrs

, |

----\r-l

t t \ l

/ 1 r

ww

L identité,e

développement,e sens

du tracé

Lessections emarquables

lntersection une droite et d un cône

lmplantation

ur le

développement

ïangente

à

la

courbed intersection

Vue

en bout de la ta

Ouverture

Lesaxes sont orthogonaux Les axes sont concourants

Axes non

concourants

l

I

i

te

-

Lecône e révoluiion

Ll

I

I



| 2.1

frurrRsecrfoN

uNE

DRotrE

ET

D uN

côtvE

ll La

droite

pénétrante

A)

est horizonto-frontale.

Le

traceur

ti l ise

n

plan orizontatP] ui

cont ient

la

dro i te

pénétrante

(^)

et

détermine

ne

sec-

t ion

c i rcu la i re

de

rayon

(rl

dans

la

nappe

onique.

Le

point

l)

appartient

àJa,.section

irculaire

et

à la

droite

(ô)

:

c est

e

point

d inter-

section e la droite

pénetrante

t

de la

nappe

onique.

S

P /

\

,

/

I

\

v_

(

ô

S

\

. ,

I

ô

\

\

\

S

a

L ,

x

I La droite pénétrante ^) est verticale.

Le

traceur

ti l ise

n

plan

ertical

Pl

,

qui

contient

a

droite

Â) .

Ce

plan

détermine

t

contient

a

génératri-

ce

S-

.

Lepoint l)appartient

à la

génératrice

S-l)

et

à la

droite

(ô)

c est

e

point

d inter-

section

e a

droite

t

de

a nappe

onique.

Vérification:

La

projection

ori-

zontale

e

la

génératrice

S-

),

et

sa

projection

rontale

S -1 )

passent

ar

e

point

l).

Vérification:

La

section

S)

nie

par

e

cyl indre

e rayon

doit

contenir

e

point

l).

Troçoge

rophique



Le raceur

onstruitn

plan

P]

à

I'aide

'une

droite

(D) parallèle

à la droite

pénétrante )

et

pas-

sant

par

e

sommet

e

la nappe

conioue.

il

ta

droite

pénétrante ^)

est frontale dans 'espace.

Le

traceur

constru i t un

plan

Pl

à

I'aide

d'une

roite

D)

c o n c o u r a n t e

en

(A)

à

la

droi-

le

pénélrante

(^)

et

passant

par

le

sommet

de

a

nappe

conique.

, ' , :

S

\

\->

Vérification

:

Les

project ions

or i -

zontale

l)

et

frontale

(l ')

oivent esituer ur

la

même

igne

e

rap-

pel .

Danses

deux pures,e

plan

Pl

passant

ar

le sommet

e

a

nappe

onique éfinit eux

génératricesS-1et (S-2).

Le

point

l)

appartientIa

génératriceS-1)

t à

la

droite

ô)

c'est

e

point

' intersection

e

a

droite

t de

a nappe

onique.

'l

2

-

Le côno de révolution

r45



|

2.2 frvrplnNrqroN

uR

rc

oÉveloppEMENT

La

droite

^)

est

une

horizonto-frontale

ui

pénètre

a

nappe

onique

n

(l).

Le

point

' intersectionl)

appartient

la

génératrice

S_

j.

Le

raceur

mesure

a

V-G

de (S-l)en projetant, er-

La

valeur

d)

peut

être

mesurêe

ur

a

projection

orizontale

t transcrite

ur

le

développement

l 'aide

'un

églet

souote.

Mais

e

traceur

visé

alculera

'angle

a 2

avec

es

êquations

uivantes

g l : 9 0 - a r c s i n

e

î

E:æl Elqt

u

| |

a

q 2

|

O P \

S

Troçoge

rophtque



12. 3

lrurERsecrloN

ÔruE/cYLINDRE

12.3.t

Axes

orthogonaux

l

)

Le

plan

P]

est

perpendiculaire

l axe

u cône

t

paral lèle

celui

u cYlindre.

l l contient

ne

section

irculaire

u

cÔne

t deux

génératrices

u

cYlindre.

et est

paral lèle

l axe

u

cyl indre.

l l est

tangent

u

cyl indre

t

dêfinit

a

génératriceimite

t son

ntersection

vêc

lecône.

I

Le sommet u cÔne st indis-

pensable

our

situer

a

génêra-

tr ice

imite.

l9

-

Le

cônade

révolution

147

I

L épure

st

précise

l

rapide.

La

méthode

aPPlique

arfaite-

ment

un

ronc

e

cône

som-

met

naccessible.

Chaque lan horizontalraite

deux

génératrices

u

sYstème

régulier

u cyl indre.



|

2.3.2

Axes

orthogon

ux

(2)

Le

plan

P]

passe

ar

e

sommet

u cône

et

est

paral lèle

I axe

u cyl indre.

Lorsqu i l

st

angent

u cyl indre,

l

dêfi-

nit

la

génératrice

imite

lorsqu i l

st

sécant,l contient

eux

génératrices

u

cylindre

t

deux

énératrices

ucône,

t

définiteur

ntersection.

Les

génératrices

u

cylindre

ont

courci

otal

dans

a

vue

de

orofi l

(o1 -x1 -z l

.

Le

traceur

utilise

es

plans

passant

Af .

r t 7

sommet

u

cône

et contenant

es

gé

trices

u

cylindre.

es

lans

ont

donc

0 6

lement

us

en

bout

dans a

vue

de

profi l .

Les

races

orizontales

es

plans

ont

a

lèles

aux

génératrices

u

cylindre

t

tracées

n

projection

orizontale

n

tion

des

différences

éloignements

ui

situent

ar

apport

l axe

u

cône.

Les ntersections

es

races

t

de

a

base

cône

ont

à I origine

e

ses

génératrices

projection

orizontale.

en r€

suiva

48

L épurest rès hargée;ans ecasoù es

axes

u cône

t

du cvl ind

ne

sont

pas

oncourants,

l

aut

racer

n

plan

écant

our

haque

ratrice

u cvlindre.

Troçogo

rophique





| 2.3.4

Axes

concourants

)

La

courbe

'intersection

'un

sol ide

e

révoru-

t ion

et

d'une

phère,

ès ors

que

'axe

u

sol i-

de

passe

ar

e

centre

O

de a

sphère,

st

ou_

jours

ne

section

irculaire.

La

même

phère

éf init

eux

sections

ircu-

laires

S2)

t

(S5)

ans a

nappe

onique.

Les

sections

S2)

et

(S3)

appart iennent

ta

nappe

onique

t à la

sphère.

Troçoge

rophique

Le

centre

O

de la

sphère

esitue

I ' in-

tersection

es

axes

du

cône

e t

du

cyl indre.

El le

déf ini t

ne

sec-

t ion

circulaire

ans

le

cône

t une

autre

dans

e

cylindre.

Une phère e centreO),Oe ayon R) éf i-

n i t

une

sect ion

ircula i re

S

I

dans le

cylindre.

La

section

S

)

appart ient

u

cylindre

t à la

sphère.

(l l

et

(12)

ont es

points

' intersection

es

sections

irculaires

u

cône

t du

cyl indre.

l ls

appart iennent

ces

deux

solides.

e sont

des

points

e a

courbe

'intersection.

'e; i.,.- ^



Le

raceur ti l ise

es phères

auxil iaires ont

les rayons

sont compris ntre

R mini,

pour

equela

sphère st an-

gente

au côneet définit n

cercle

e contact

CCJ,

t

R

maxi

passant ar

a

généra-

t r ice la p lus éloignee u

cylindre.

@

tt etantit e systèmeêgulier

e

généra-

trices, l les boutissent

urdes

parties

ncer-

taines e a courbe

intersectiont

le

déve-

loppement

u cyl indre st rès imple.

Chaque

phère éfinit eux

sections

circulairesans

e cône, auf

a sphè-

re

mini

angente

u cône, t une

sec-

tioncirculaire

ans

e

cvlindre.

o o

l l

est

impossiblee tracer

es

sphèresde

manière à ce

qu el les

ntéressentn système

régul ierde

génératr ices

u

cylindre.

Deuxsolutions offrent

u tra-

ceur

@

ll instal le es

génératrices

ssues e cha-

cundes

points

e

constructione

la

courbe

d intersection,e

qui

uiassure

a

plus

haute

précision,

ais

complique

ensiblement

e

développementu cyl indre.

o o

o

Ce

problème

e

se

posepas

pour

le

dêveloppementu

cône.

Le

traceur

era

passer

es

génêratricesar

es

points

e

constructione acourbe ans

l o r n m n l i n r r o r

l9

-

Le

cônede

révolution



I

Z.l.ô

Axes

non

concourants

{Zl

L'intersection

e

deux

olides

angents

une

meme

phère

st

une

base

e

Monge.

lle

se

projette

selon

une

droite

lorsquè

es

axes

des

deux

solides

sont

en

vraie grandeur.

Le

plan

P]

passe

ar

e

sommet

u

cône

et

coupe

a

base

e

Monge

ux

points

et B.

Ces

points

éfinissent

es

génératrices

S1),

{S2).

e

plan

P]

définit

gatement

eux

énê_

ratrices

u

cylindre

énêtrant.

Laxedu cyclindreictifquicrée a

celui

u

cône

ont

oncourants.

La

base

de Monge

est

Uéêe

par

le

c-Alindre

ictif

dont I'ue

est

parattète

g,

d

celui du

cAlindre

pênétmnt.

\

c.\

.+'

, i

Lorsque

es

conditions

sont

réunies,

cet te

méthodeesbases e

Monge

st,

de

loin,

a

plus

apide

t

efficace.

Troçoge

rophique

base e Monge t



|

2.3.(,

Axes

parallèf

s

Méthode

des

plans

horizontaux

Méthode

des

plans

verticaux

o o

o

L épure.

st

précise

t rap ide.

La

méthode

applique

arfaitement

un

tronc

e cône

sommet

naccessible.

Les

plans

horizontaux

ont

creês

ar

dessurfacesylindriquesui contien,

nent

es

génératrices

u cyl indre

éné-

trant.

o o

o

Cetteméthode

st

à appliquer

ans

l épure

i-contre

our

situer es

gêné-

ratrices

imites

CL)

ontenues

ans es

plans

angents

ucylindre.

Lesgénératricesaxiet miniappar-

tiennent

u

plan

P]

qui

contientes

axes

esdeux

olides.

| 2

-

Le

<ône

de révolution



| 2.3.7

Axes

quelconques

Deux

droites ont

paral lèles

ans

'es-

pace

i

el les e

pro-

jet tent

selon

deux

paral lèles

ans

eux

plans e project ion.

Un

plan peut

être

def in i

par

deux

droites

aral lèles.

Le plan IP] passant

par

le

sommet

contient eux

géné-

ratr ices

u cône.

Le

plan

P]

estdéf ini

ar

unedroite

T)

assant

par

e

sommet

u cône t

paral lèle

l 'axe

u

cvl indre.

Le

plan

P]

parallèle

à

l'axe

ontient

eux

génératrices

u cy-

l indre.

L'épure

st

précise

t

dêfinit

arfaitement

'arrachement,

cas chéant.

Lavuesuivantfl en (O1-Xl-Yl),ui

correspondla

vue

boutdu cylindre,

stexcellente

our

déterminer

es

tricesimites.

o o

o

L'étendue

e 'épure,

toujours

rès impor-

tante, st onction e

l 'angle

cr, cylindre/

cône.

ffi

4

Troçoge

rophique



12.3.8

Axes

quefconques

vec

arrachement

Le

plan

angent u

cônecontientes

deux

génératrices

u cyl indre

ui

imi-

tent

'arrachement.

I

Le

plan

angent

aucône st an-

gent

à la base

À ^ À / ^ 6 ^ ^

utr rvrur Ë,8.

o o

Cette onception'est

que

rarement encontrée

ans

des cas d'habil lage

u de

^ ^ l ^ - ; f ,

Ldrur i luË,udË, t r .

\

- 7 - - -

-

'

I

, - -

t l

\

/ \ \

o o

La mise

en forme du

cyl indre st rèsdélicate,

Si

e

solide

énétré

'est

as

de

rêvolution

a base de

Monge

ne

peut

être

employée.

l l aut

raiter

e

problème

n

ut i l i sant es plansd iver-

gents.

L'épure

evient rès

étendue t dél icate.

'|

2

-

Le <ônede révolution



|

2.4

Les

ÉpnrssEURS

12.4.t

Tronc

de

cône de révolution/plan

e bout

Situation

un

ronc e cône

e révolution,

imité

ar

un

plan

blique

sonaxe, ranche

erpendiculaire

la

peau

de la surface

le

lan

capable

st oxgcoupé).

Ladroite D)situe esgénératricese ransitionis-à-visesquelleses ibres n contact vec eplansonten

amont,es ibres

ntêrieures,

naval,es ibres

xterieures.

La

droite

D)

doitavoir

our

origine intersection

e axe

u ronc e

cône t du

plan

écant t etre

perpen-

diculaire

la

génératrice

e ransition.

Le

plan

horizontal

La

droite

D)

es t

en V-C

sur le

plan

rontal.

l le

situe es

extré-

mités

desF-EXT

et F- lNT

des

géneratrices

e

trans i t ion par

leur

pro ject ion

sur le

p lan

de

bout

Pl.

La gênératricee transition itue

parfaitement

es

ibresEXT

t INT

à

rechercher

nV-C.

Demi-developpement

r

o

tracé

par

ransformée

e Ia ibre

neutre

56

Troçoge rophique



|

2.4.2

Coude

conique

)

Lorsque

épure

eprésente

e

coude

onique

n ibre

eutre,

es

éléments

ont l imi tés

par

des

droites

passant ar

les

ntersec-

tions

des

génératrices

u contour

apparent. e sontdes bases e

Monge.

o o

Cesbases

e Monge

ont

inuti l isables

orsqu i l

agit

de

tra i ter épaisseur

es

solides.

Chaque

génératrice

est

limitée

par

une

droite

issue

du

centre

de la

sphère angente.

LaV-C,

n

O

1

Y1-21),

de a

angente

à la

courbe

intersection

n

A),

uis

savue

enbout,

en

(O2-Y2-X2),

onfir-

me le

contact

es ibres

NT

et EXT

sur

une droite

issue

du

centre

(O)

de

la

sphère.

o o

Les

génératr ices

S.2-

4.2)

et

(S1.2-A.2)

nt

quali té

e

gênératrices

de contourapparent.

Elles e

sont

pas

n

V-C.

L épaisseur

st

en

V-C.

f

9

-

Le côna

de révolution



12.4.3

Coude

conique 2)

o o

La

section

de remplissage

u

joint

varie

par

exemple,

our

cette

onfi-

guration

51

175

mm'

52: 420 mm,

o o

o

Lechanfrein

std'angle

onstant.

La

première

asse

de soudage

eut

s'effectuer

ans esmêmes

onditions

d'accès

ur

oute a

périphêrie.

Le

raceur

mène

haque

énéra-

trice

n

V-C

par

otation.

Les

droites

D)

ont ssues

u cen-

tre de la

sphère

angente

t

s'ap-

puient

ur esF-lNT.

o o

Chaque

énératrice

oit

ê tre consul téepour

déterminer

a longueur

de

sa ibre

EXT.

58

.Demi-developpementracé

transformée

e a ibre

neutre.

Troçoge.grophique



12.4.4

Tangente

à la

courbe

L intersect ion

de

deux

plans

passe

par

I in tersect ion

des

races

e même

nom.

Projection

frontale

de I intersection

I A

=

plan

tangent

à la

Interseetion

de PA

et du

horizontal Plan

frontal

de référence

trace

frontale de PB

Plan horizontal

I de référence

Trace

horizontale

de PA

PB

=

plan

tansent

à la surface

B,

passànt par

4

trace

frontale de PA

o o

Le

plan

tangent

au cône

est

quelconque.

l l est nécessairee rechercher

les

ntersections

es races ron-

taleet horizontale.

12

-

La cône

de, évolution



12.4.5

Vue en

bout de la tanqente

à la courbe

La V-C,

en

(O1-Y1-21),

e

la

tangente

la

courbeen

4,

puis

sa vueen bout,en

(O2-

Y2-X2), mènent une

projec-

lion rès ntéressante

es

sur-

facesA

et

B

du

point

de vue

du raitement

e

'épaisseur.

L'épaisseuru

cylindre

A)

es t

matérialisée

ar

a

droite

ô) .

(ô)

est une orthogonale la

tangente.

Elleapparalt

n

V-C

en

(O2-

X2-Y2)orsquea

angente st

vueen bout.

60

â

Yg

Troçoga

rophique



i

I

l

l

i

o o

o

Le traceur

constru i t un

plan

orthogo-

nal à la tan-

gente

à

la

couroe pas-

sant

par

le

point 4).

ll

utilisedeux

droites oncou-

rantes

n

(4)

(RA),

ayon

du

cyl indre

(A),

orthogonalà

la

tangente

V-

G en

(Ol-Xl -

zt ).

(^B),

droite

issue u

point

(4)

passant

par

I 'axe

du

cône.

Pourêtreorthogonalela angente t par e point 4J,a droite AB) oit seprojeter n

V-C,

uivant nangle

e 90o avec

Cette ituation 'obtient

ar

rotati

jection

e cette angente.

du cône,

S'-B')

evenant

énéralrice

u contour ppa-

rent

en

(S'-8 ),

4')

devenant

4 )

(^B)

n

V-C

esten

pointi l lés

ur a

projection

rontale

n

(4 -N4').

El leest racée

erpendiculairement

la

nouvelle

rojection

rontale e la tangente

ui

se

confond vec

S''B J,

our

déterminere

point

N4').

o o

o

Le

plan

N4

4' M4]

estorthogonalla

tangente

n

[4).

ll

suffit de tracer

la

projection

en V-G

de ce

plan pour

obtenir la vue en

bout de la

tangente.

L'épureeprésente

es

projections

u cylindre

A enF.INT.

l9

-

Le c6nede révolution



12,4.(t

Axes

concourants

et

orthogonaux

Le

cylindre

A)

est

un

élêment

e suppor-

rage.

Le

tronc

de cône

(B)

ne

comporte

as

d ouverture

e

pênétrat ion.

o

Le

chanfrein

st

d angle

onstant.

La

première

asse

e soudage

eu t

s effectuer

ans es

mêmes

ondi-

t ions

d accès

ur

oute

a

pér iphê-

rie.

L épureeprésenteesprojectionsu cylindre

en fibres

NT,

ce

sont es

premières

n

contact,

t du

tronc

de

cône

B

en ibres

EXT.

n10 n2

6

D

4

m7

m5

Demi-développement

racé

par

ransformée

de a ibre eutre.

n8 n4

u9 n3

n10 n2

n l1 n l .

V-G

des

droit€s

5

4

3

1 9

1 1

o 1 2 A 4 5 6



| 2,4,7 Axes

quelconques

Le

cylindre

A)

stunélément

e supportage.

Le tronc

de cône

B)

ne comporte

as

d ouverturee

pénétration.

o o

Lechanfrein

std angleonstant.

La

première

asse

esoudage

eut

effectuer

ans

lesmêmes

onditions accèsur oute a

oériphé-

rie.

L épure

eprésentees

projections

u cyl indre en fibres NT

ce sont es

premières

n

contact et du

ronc e côneB

en

ibres XT.

I

J Y

2 \ 0

8

t 7

o

5

I,

V-G

des droites M-N

9 1 0 1 1

Ledécalé esaxesobligee traceur construireesplans erpendiculairesux an-

gentes

our

outeses

génératrices.

N.B.

Cette pure en eprésente

u une artie.

I

I

I

I

- l

n C l

n4

l

Développement

racé

par

transformée

e

la fibre

neutre

l9

-

Le cônede révolution



12.4.8

L'ouverture

de

pénétration

L'épure

ère

es

ibres

NT

du

penétré

B)

et les

ibres

EXT

u

pénétrant

A) .

Ce

ne

sont

plus

es

angentes

la

courbe

'intersection

ui

sont

uti l isées

ais

es

angentes

(TC2)

t

(TGs),

tc.

aux

ellipses

réées

ar

es

projections

e

(B).

Elles

ont

concourantes

I'axe

e

(A)

et

peuvent

tre

orientées

ers

e

centre

e 'ouverture

e

pénétration

ur e

dêve-

loppement

e

B).

El les

ppartiennent

ux

plans

angents

(B)

assant

ar

es

points

espec-

tifs.

o o

o

\=/

,

Les

sections

e

(B)

eprésentent

es

;

ell ipses

ù 'epaisseur

'apparaît

as

,

^^ \ t r .

g t

I v

- \ J .

L'uti l isation

es

angentes

TCn)

im-

:

pl i f ie

onsidérablement

a résolution

enn'entraînantu'une

nfime

rreur.

o o

o

cette

démarcheeut

être

employée

uelle

ue

soit a

configura-

tion

de 'assemblage

t a

géométrie

es

chanfreins.

*il*il*il*il

tM

Troçoge rophique



(A)

est un

piquage

yl indr ique

énétranl,

sans

sinage

art icul ier

is-à-vis

e

inter-

section.

iir

- , \

i- \

o o

o

Le

chanfrein

ratiqué

ur

e

pénétrê

(B) std angle onstant.apremière

passe

de soudage

eut

s effectuer

dans

es

mêmes ondit ions

accès

sur

oute

a

pér iphér ie.

ml1

o

5

4

a

o 2

111

n1l n1

0

I

I

I

Projection

horizontale

simplifiée

Développement

art iel

e

(B)

racé

ar

transforméee

a ibre

neutre.

0 6

1 5

2 4

.l

n10 n2

n11 nl

V-G des droitesl

(N -

n10 nZ

o o

o

Dansous

escas,

e raceur

uraavanta-

ge

à

réal isern

masque e

reproduction

en

matér iau ouple

e

manière

repro-

duire ouvertureepenétrationt a igne

de naissance

u chanfrein

ur

e

pénêtré

(B)

près

amise n

orme.

19

-

Le c6nade

révolution



I3

INT€RS€CIoN

ÔN€/cÔN€

66

|

3.1

Axrs

ouELcoNOUES

O

fu

traceur

ti l ise

es

plans

passant

ar

tes

sommets

S)

et

(S1)

es

deuxnappes

oniques

(A)

et

(B).

Ces

ptans

pourront

contenir

des

génératrices

es

deux

nappes.

ô J

st eur

race

frontale,

a)

est a

racehorizon-

tale

de

(ô).

@ ttconstru i teptan p2] I a i ,

de de

(D-2) ,

nehor izonta le

u

n,

plan,

assant

ar

e

point

2)

de

la

génératrice

S-2)

e

(A).

(S 2)

appartient

onc

au

plan

tP2l.

a

@

Lu

race

horizontale

u

plan

lP2l

passe

ar o)

et est

paral lèle

à I horizontale

D,2)

en V-C

en

projection

orizontale.

@ Cetterace oupeabase u

cône

B)

n

M).

(S

M)

est

une

génératrice

e

(B),

l le

coupe

S-2)

e

(A)

en

(t)

a

qui

est

un

point

de la

courbe

d intersection.

d = a

Cette

méthode

st a

plus

(

sobre en surface, l le

est aussi

rès

précise,

horizontales

es

plans

Pn]

sont

ommodes

tracer.

Troçoge rophique



|

?.2

Tnoruc

WF

or côrueÀ

sorvrver

NAccESSIBLE

Deux

roites ont

c o n c o u r a n t e s

dans

espace

i

leur in tersect ion

se s i tue sur la

m â m a l i c n a r l a

l l r u r l r u r r É r r u

u u

rappel

ansdeux

plans

de

projec-

t ion.

Le

plan

P]

passant ar

e

sommet u

cône

estdéfini

ar

es

deuxdroites oncourantes

(D)

t

(Dl

.

Un

planpeut

êtredêfi-

n i

par

deux

dro i tes

concourantes.

o

Le

plan

P]

s ap-

pu ie

su r une

génératr ice

du

troncde côneet

passe ar

esom-

met.

Ladro i te

Dl )est

issue u sommet

et trouve a race

horizontale

C)

ur

ce l le du

p lan

auquel lleappar-

tient.

o o

o

Seuleméthode

raphique

applicablecette onfigu-

ration. épure

st

réduite

au

maximum.

Le

traceur t i l ise n

plan

horizontal

de

référence

passant

ar

le

sommet

(s

).

De

cettemanière,outes

les

génératrices

e

(B)

on t

leur race horizontalen

( s 1 )

Lesnombreux

racés ont

concentrésn

projection

horizontale.

L épureéclame

eaucoup

de soinset un repérage

systématique.

La

situation e

la

généra-

t r ice imi te , ins i ue ar-

rachement,

ecas

chéant,

restent

lous.

l3

-

Les nters@(tions

ônalcône

167



I4

INT€RS€cTIoNS

PHÈR€/CÔN€

T

5

INT€RS€CTIoNs

pHÈR€/cYLINDR€

les sections d une sphère lJépaisseurdes solides :

le

vocabulaire

Le

plan

tangent

à la

sphère

68

Troçoge rophique



I4

INT€RS€cTIoNS

PHÈR€/CÔN€

v

| 4.1

Axe venlcAl

o

a

, 8 0

(A)

stuncône

e

révolution

axe

ertica..

(B)

slun

ond

hêmisphérique.

[PP]

slun

plan

e

profil.

l

se

projette

uivant

O1-21 Y1

et contientes

génératrices0)

et

(6).

[PVl

stun

plan

ertical.l se

projette

uivant

O2-22-Y2)

t contient axe

u côneet le

centre e a

sphère.l définites

génératricesS1),

a

plus

ongue,

t

(S2),

a

plus

ourte.

o

[PF1l

stun

plan

rontal.l

définites

génératrices

5)

et

(9).

Pour

compléter épure,e

traceurut i l i se

des

plans

horizontaux

PHl.

l lssesituent, n OZ), ntre

les

poin ts

d in tersect ion

des

génératricesS

et

(s2)

l ls définissent

essections

c i rcu la i res

SS)

dans la

sphère t

dans

e

cône

SC).

Les

intersections

e

ces

sections irculaires

ppar-

tiennent

la

courbe in-

tersection

es

solides

o o

Les

génératrices

u

tronc

de cône

abou-

tissent

ur

des

par-

ties ncertainese la

courbe

d in tersec-

t ion.

l4

-

Intersections

phère/cône



| 4.2

LEs

ÉprussEURS

14.2,t

Plan

angent

la

sphère

NB: l l

est

plus

imple 'appréhendera méthode

la

page

1'lB

au chapitreur

es ntersec-

tions phère/cyl indre.

La

angente la


'une urfaceonique t

d'une phère

'est

'aucune

uti l i té.

ll faut

traiter chaque

génératrice

de la

surface

pénétrante

et le

plan

tangent à la sphè-

re

en

leur

point

de

contact.

.

(O-2)

stun rayon

e

a

sphère

e centre

O).

.

(D-F)

stune rontale

rthogonale

(O-2).

o

(D-H)

st

une

horizontale

rthogonale

(O-2).

.

(D-F)

t

(D-H)

ont oncourantes

n

2,

el les éfinissent

n

plan

orthogonal

u

rayon

O-

le

plan

tangent

à la sphère

en son

point (2).

(1.1')

st

e

point

' intersection

u

plan

P2]

t de

'axe

e a surface

onique.

Lavue

en boutde ce

plan,

a représentation

e

a

génératrice2)

de a

surfaceoniq

cette ue,

mènent une

proiection

rès

ntéressante

essurfacesu

point

devue

du

mentde 'éoaisseur.

r70

^ \

,?

\

") '

q'?'

-rroçog@

gropnrque



(O-S)

et

(O-2)

sont

deux

rayons

e la

sphère.ls

or-

ment

un

trianglesocèle

O-

s-2).

La lèche

F2)

st a

différen-

cedecotes

ntre e

point

2)

et le sommet

S)

e a sphè-

re.

Elleorme

n

riangleec-

tangle

vec e rayon

R2)

t

permet

de déf in i r

'angle

formé

par

e

plan

angent

la

sphère

et la

génératrice

concernée

e la

surface

conique.

Ce

problème

st

posé

par

es

onds rêquemment

ut i l ises

nchaudronner ie

-

fonds

CRC,e

rayon

de la

calotte phérique,

i,

estégal udiamètrextérieur e,

-

fonds

RC,

i

est oujours

upêrieur

u

égal De.

Exemple:

e

3100,

Ri 4400.

o o

l-a

génératrice

(A-2)

n'est

pas

en V-G

en

(A. l ' -2 . t .

l l aut 'amener

aral lè-

lement

à

(Oi

-Y1-21),

en

4.1 ),

par

otation

du cône,

our

'obtenir

en V-C

ainsi

ue

celle

de la

dro i te

1.1

-2.1

l

qui

appartient

u

plan

tangent

la

sphère.

Le rayon

(RCn)

e la

section

irculaire

e

la

surface

onique

arie

chaque énératrice.

o o

L'ut i l isat ion

de la

flèche

F)

permet

au

traceur

e s'affranchir

du centre

O)

de la

sphère

parfo is

bien

éloigne

n

distance

u

piquage

traiter.

l4

-

IntersecLions

phère/cône

t 7 l



1l4.2-2

Axe

vertical

Le

ronc

de

cône

A)

est

un

élément

de

supportage.

Le

ond

GRC

e

comporte

as

ou-

verture

e

pênétration.

o o

Cette

configuration

st

vrai.

ment

imite.

L usinage

uchanfrein,

uis

a

soudure

ux

approches

e a

gênératr ice

ntér ieure

onr

trèsdêlicats.

L épure

epresente

es

projections

u

tronc

de

côneA

en ibres

NT,

ce sont es

oremièresn

contact,

t du fond

CRC

n ibres

EXT.

Le

tronc

de

cône

est

projeté

fibres

NT.

Le

traceur

oit

amener

es

o o

o

Le

chanfrein

est

d angle

onstant.

La premièrepasse

de

soudage

peut

s effectuer

ans es

mêmes

condi t ions

d accès

ur oute

a

périphérie.

Développementracepar ransformeee a

fibre

neutre

d intersectionur agénéra

du

contour

pparent,

ar

du

cône,

t es

projeter

Troçoge rophique

lairement

ur a ibre

neutre.



14.2.t

Ouverture

de

pénétration

(A)

est un

piquage

ronconique

ênétrant,

ans

usinage

articul ier

is-à-vis

e

intersection.

(B)

estun ond

CRC.

Le

chanfrein

ratiqué

ur e

penétré

B)

est

d angle

onstant.

La

première

asse

e

soudage

eut

s effec-

tuer

dans es

mêmes

onditions

accès

ur

toute a

périphérie.

L épure

ère

es

ibres

XT

u

pénétrant

AJ

t

es

ibres

NT

du ond

RC.

Le

point 14)

se s i tue

à

I i n t e r s e c -

tionde I axe

de

(A)

et du

plan

P4].

La

droite

(14-4) , en

V-C,

appar-

tient

au

plan

tP4l

Les

droites

ln-N)

sont racées

ur

a

par-

tie sphêrique

u fond

à

partir

du centre

l)

de l ouver-

ture de pénétrationt passent

par

un systèmeégulier

e

géné-

ratrices

12

divisions

urune ec-

tion

du ronc

e cône).

, r 1

o o

La

sphère est

as

une

urface

developpable.

Le

raceur

evra ntervenir

ur

le ond, n raÇagen air,

vec

une

mprêcision

elative

u ap-

port

dimensions

u

cône/De.

14

-

Inlersections

phère/cône



I5

INT€RS€cTIoNS

PHÈR€/cVLINDR€

l5.l

Axr

vEnïcAL

(AJ

est un

cyl indre

de révolution

d'axe

ertical.

(B)

stun ond

hémisphérique.

Ladroite AB) stuneverticale.

(B)

st e

point

d' intersection

e

la

droite

t

de

a

sphère.

1 Le

raceur

matérial ise

n

plan

frontal

PF]

contenant

a

droite

(A-BJ

ue

en bout.

2. La

section

S)

de la

sphère

dêfinie

ar

ce

plan

st eprêsen-

tée

en

projection

rontale,

l le

contient

e

point

b').

La

section

circulaire

S),

contenue

ans

un

plan

frontal

(PF),

rouve

son

diamètredans le p lan

horizontal

ui

contient

e

centre

O)

de

a

sphère.

Troçoge rophique



Le

raceur

ti l ise

es

plans

rontaux

assant

ar

unsystème

Chaque

lan,

auf

(0)

et

(6),

ontient

eux

éneratrices.

Ces

lans

éterminent

es

sectionsirculaires,

n

projection

mité

des

génératrices.

régulier

e

genêratrices.

frontale,

ui

contiennent

'extre-

F o

ô r F o

no.+îo

@ x æo

Les

génératrices

Sl)

et

(S2)

sontdes

génératrices

upplé-

menta i res

éf in ies

ar

un

plan

ertical

ui

contient'axe

du cylindre

t

le

centre

O)

de

la.demi-sphère.

(S1)est

a

génératr ice

a

plus

longue.

(S2)

st a

génératrice

a

plus

courte.

n l P F 4 , 8

l -

La

sphère 'est

as

une

surfaceéveloppable.

L'ouverture

e

pénétra-

tion

dans

e fond

hémi-

sphériquee fera par

contournage

u cyl in-

0re.

Developpement

u

cyl indre,raceEXT

'|

5

-

Intersections

phère/cylindre





Le

raceur

ti l ise

es.planl

orizontaux

assant

ar

un

système

egulier

e

génératrices.

Chaque lan,

auf

(9)

et

(j),

contient

eux

êneratrices.

l ls

determinent

es

sections

irculaires,

n

projection

orizontale,

ui

contiennent

,extrêmité

des

génératrices.

z e

Les

génératrices

{S

et

(S2)

ont

es

géné-

ratr ices

upplémen-

taires

éfinies ar

un

plan

P0]

ui

contient

I axe

u

cylindre

t e

centre

O)

e

a

demi-

sphère.

l l

uti l ise

ne

projec-

t ion

de

prof i l

des

sol ides,

elon

(O -

Z1-X1),

t

des

ptans

f ron taux

[pF1 ]

e t

tPF2l .

(S

est

a

génératrice

Ia

plus

ongue.

(S2)

st a

géneratrice

la

plus

ourte.

1 1

0

1

2

3

4 s 2

s l

7

1 1

6 0

R I

5 1

4

X1

circulaire

-0

o o

Le

traceuravisé

utilisera

ette

ro-

ject ion

pour

ré-

soudre

épure.

l l

fera

économie

de

la

projection

horizontale.

Développement

u

cgtindre,

racé

EXT

La

sphère

estpas

une

surface

éve_

loppable.

L ouverture

e

pénétration

ans

e

fond

hémisphér ique

e

fera

oar

contournage

u

cylindre.

1

5

-

lntorsections

phère/cAlindre



t

5.3

Lrs ÉpnlssEURS

|

5.3.1

Plan

angent à fa

sphère

La

angente la


'une

urfaceyl indrique

t d'une phère 'est

'aucu-

neuti l i té.

ll faut

traiter chaque

génératrice

de

la

surface

pénétrante

et le

plan

tangent à la sphè-

re en leur

point

de

contact.

o

(O-2)

stun

rayon

e a

sphère

e centre

O).

o

(D-F)

stune

rontale

rthogonale

(O-2).

o

(D-H)

stunehorizontale

rthogonale

(O-2).

o

(D-F)

t

(D:H)

ont oncourantes

n

2, el les éfinissent

n

plan

orthogonal

u

rayon

O-

le

plan

[P2l

tangent

à

la

sphère

en son

point (2).

(1.1')

st e

point

' intersection

u

plan

P2]

t de 'axe

e

a

surface

yl indriquen

Ol

Yl

Lavue

en boutde ce

plan,

a représentation

e a

géneratriceA-2)

e

a

surface ylind

en cette ue,

amènent une

projection

rès

ntéressante

essurfaces

u

point

de vuedu

tement e 'êpaisseur.

ï,78

{-9

=

%'t'..

j

\ l

-Qk

Troçogo

rophique



(O-S)

t

(O-2)

sont deux rayons

de

la

sphère.

l ls orment

n rianglesocèle

O-S-2).

La lèche

F2)

st

a

différence

e cotes

entre e

point 2)

et

le

sommet

S)

e a

sphère.

Elle ormeun triangle ectanglevec e

rayon

R2)

et

permet

de dêfinir 'angle

formé

ar

e

plan

angent la

sphère t

la

génératrice

oncernée

e

la

surface

cyl indrique.

La

génératriceA-2)

e race

parallèle-

ment la

droite

S'F2).

es eux roites

sontenV-C.

(1 .1 ' - 2 .1 )

s t a V -C

de

la

d ro i te

1 .1 ' -

2.1

)

qui

appartient

u

plan

angent la

sphère.

p2) est a V-Cde l 'angleormépar a

génératrice

A-2)

t

le

plan

P2].

a

rc

p

n

ln

\

4È

rn

n

fe

dn

n

o o

o

L'uti l isation

e

a lèche

F) ermet

u raceur

e

s'affranchir

u centre

Ol

de

a

sphère

arfois

ien

éloigné

ndistanceu

piquage

traiter.

Ce

problème

st

posé ar

es onds

réquemment

uti l isés

nchaudronnerie

-

fonds

CRC,e rayon

e a calotte

phérique,i ,

estégal

udiamètre xtérieur e,

- fondsPRC, iest oujours upérieuru égalà

De.

Exemple De

:

3100, Ri

:

4400.

I 5

-

Intersections

phèra/cçlindre



|

5.3,2

Axe

verticaf

Le

cylindre

A)

stun

élément

e supportage.

Le

ond

CRC e

comporte

as

d ouverture

e

pénétration.

o o

Le

chanfrein

std angle

onstant.

La

première

asse

e

soudage

eut

s effectuer

ans

les

mêmes

onditions

accès

ur oute a

périphérie.

Dans a

plupart

es

cas, e rapport

/Deest

si

faible

que

e

raceur

eut

ssimilera

courbe

intersection

unedroite

racée

elona

corde e I arc

imité

ar

es

génératrices

u contour

pparent

u

pênétrant.

L épure

eprésente

es

projections

u cyl indre

en fibres NT,

ce

contact, t du fondCRC n ibresEXT.

les

premières

n

Développement

racé

ar

ransformée

e

la ibre eutre

sont

r5

Troçoge rophique



|

5.3.3

Ouverture

de

pénétration

(A)

est un

piquage

ylindrique

énétrant,

ans slnage

particul ier

is-à-vis

e

intersection.

Lechanfreinratiquéur epénétréB) std angle

constant.

La

première

asse

de soudage

eut

s effectuer

dans

es mêmes onditions

accès

ur

toute

a

périphérie.

L épure

ère

es ibres

EXT u

pénétrant

A)

et

les

ibres NT

du

fondCRC.

r6

^ ^ a i Ê , , n À

5 U 5 t L U g d

l i n t e r s e c -

t ion

de

I axe

de

(A)

et du

plan

tP4l.

La

droite

(t4-4),

en

V-C, ppar-

t ient

au

plan

P41.

Lesdroites

ln-N)

ont

tracées

ur

la

partie

phérique

u

fond

à

partir

du

centre

l)

de ouverture

e

pénétration

et

passentarun systèmeéguliere

génératrices

12

divisions

e

a

section

(d))

-T

o l

I

t8r

I

La

sphère

est

pas

une surface

évelop-

pable.

Le raceur evrantervenirur e fond,en

traçage

n

air,

vec

ne

mprécision

elati-

ve au

rapport /De.

|

5

-

Intorsections

phère/cylindre



15.3.4

Axe

horizontal

L'épure

eprésente

e

centre

O)

e a

demi-sphèreour

acil i ter

a

compréhension.

Le

point

M)

permet

e racer

e

rayon

O-8)

e a

sphère

ans

ti l iser

on

centre.

Le

raceur

résolu

e

problème

e ' intersection

nuti l isant

es

plans

orizontaux.

(O-B)

st a

projection

orizontale

u rayon

e a

sphère

(O'-8")

st a

V-C

de ce rayon

(m")

est

projeté

n

(m)

pour

obtenir

es

projections

rontale t de profildu rayon g'-M') t(8 . r ' -M .1 ' )

FB

=

R-CF8

R8

=

R-S8

Tgcr = F8/R8

lPSl

st

e

plan

angent

la

sphère

n

son

point

B).

(l)

est e

point

' intersection

e ce

plan

t

de 'axe

u

cvlindre

ffi

ffi

r82

Troçoge

rophique

tube'Q

7l4.3x9

o o

o

Les

imensions

e

permettent

as

de

tracer a sphère

qui

définit

a

calot-

te

du ond

CRC.



L êpureeprésente

es

projections

u tube

et du

fondGRC n

F-EXT.

F2

=

R.cf2

R2

=

R-s2

Tga,2

=

F2lR2

, A i

f,\fk

NZI

j ; l

A

o o

o

Cette

méthode, imple t rapide,

ermet

u traceur

examinerhaque

ênératrice

t

son

ntersectionvec e

plan

angent

la calotte phérique

u

fondCRC.

Il

peut,

en iaison vec

esDescriptifs es

ModesOpératoires

e Soudage

e I entrepri-

se,

ecas chéant,éfinir nchanfrein

I intêrieuru

ond

dans

a

zone

omprise

ntre

les

points 4)

et

(8)

par

exemple

I 5

-

Intersoctions phère/calindre



l ( t

I

NT€RS€CTIONS

OR€/CVLI

DR€

Sections remarquables du tore

L épaisseur

des

sofides

:

fe

vocabufaire

Tangente

à

la

courbe

d intersection

4

rophique



|

6.1

Seclols

REtvtARouABLES

Le

ore

est

unesurface

e

révolut ion

ngendrée

ar

une

section

irculaire

e

diamètre

D),

tournant

dansun

plan

perpendicu-

laireà

un axe, équateur,

en conservant

nedistan-

ce

constante

une

aleur

(R)

ar

rapport

cetaxe.

Un

plan

méridien

d un

tore

cont ient

on

axeet a

section

irculaire

ui

I en-

gendre.

r - T - /

\ 1 - , 2

--r

\ t - /

o o

Le

tore

est

couramment

mployé

n

chaudronnerie-

tuyauter ie

ous

a orme

e courbes

souder,

ort ions

de orede45

o,

90

o

ou I 80 .

La

norme

FA

49-186

onnees

imensions

usqu à

D : 4 1 9 ,

: 6 1 0 .

Attent ion:

e

raceur

oit ntégrer

es nterval les

e

olé-

rance

u i

ont

e ordre

t4

et Rt I

0

pour

es

randes

dimensions.

/ î---

L équateur

ont ient

ne

section

u

tore

dont les

dimensions

orresoondent

ux

valeurs

Rl

et

(D)

Unplan aral lèlel équateuront ientne

sect ion

emblab le

ont

les

dimensions

sont econnues

n

project ion

rontale.

o o

Le

cylindre

e révolution

st un

al l ié

inattendu

our

déterminer

es

sections

propices

ans

n ore.

Les

dif férents

diamètres

(Dl

des

cylindres

éterminent

es ections

ircu-

laires

oncentriques

ans e

ore.

L axedu cylindre oit être confondu

avec

elui

u

ore.

Une

phère,

ont e

centre

O)

est

s ituésur I axe

d un

tore.

détermine

eux

ections

ircu-

laires

ans e

ore.

t 85

l6

-

Intersections

orelcylindre

-







88

16.3

Axr

pnnnuÈu

À

(ÉounrEun

(A)

est un

piquage

cylindrique

d axe ronto-horizontal.

(B)

est unecourbe souder

ssi-

milée

à une

portion

de tore de

90 dont l équateurst contenudans nplanhorizontal.

L axe

u cyl indre

st

paral lèle

l équateur.

Ladroite

AB)

stunehorizontale

arallèle

l équateur

u tore.

(B)

st

e

point

intersection

e a droite

t du ore.

1.

Le raceurmaterial ise

n

plan

horizontal

PHl]

contenanta

droite

a -b ).

2. La

section

u ore

définie

ar

ce

plan

st eprêsentée

n

projection

orizontale,

l le ontient

le

point b)

qui

estensuite

rojeté

n

(b ).

I

I

\ l

--r--_

I

___/2

o

o

l l

est nuti le

e

tracere

cercle

intérieur

e

la

section

éfinie

dans e

ore.

C est nce ieu

que

sortirait

a

droite

A-B).

Troçoge rophique



2

1 5

0 6

s1 s2

t L 7

10

O s l

1 1 1 0 I I 7

s 2 6

Déveoppe

ment du

cA

n

dre,

tracé EXT

6

s2

5 7

, [ 8

2 7 0

1 1 1

31

0

*

I

+

+ -

/

a UCUn

PfODleffiê. .=.Ë:ff

(S

et

(S2)

ontdeux

génératrices upplê-

mentaires

apparte-

nant à I équateur u

tore.

o o

La

courbe d intersec-

tion,et corol lairement

ce l le du developpe-

ment,

presentent

n

point

maximum ntre

les

génératrices4)

et

(s)

La

angente

la cour-

hp cn rp no in t êSt

perpendiculaireI axe

du cyl indre.

La dêtermination e

cette tangente est

longue t compliquée,

la

rès

aible méliora-

tion du trace des

courbes

e la

justi f ie

pas.

o o

L ouverture e

péné-

tration dans

le

tore

sera tracée par

contournage du

cyl indre.

l6

-

lntersections ore/cylindre



|

6.4

Axes

coNCouRANTS

IAJ

stun

piquage

ylindrique.

(B)

stune

courbe

souder

ssimi-

lée

à

une

portion

e ore

de

90'.

Les

xes

ont oncourants

n

(l).

- t l t

t ^

I

( B )

-'z-l-..-:-

.

' t \

t )

L'axe

u

cylindre

stcontenu

ans

n

plan

meridien.

Le

raceur

hoisit

ne

projection

es

solides

ù

ce

plan

méridien

st frontal,

onc

l'axe

du

cylindre

en V-G.

ll peututi l iseres phèresuxil iairesecentreO) n l).

Une

sphère

e centre

O)

et de

rayon

R)

êfinit

ne

section

ir-

cu la i re

SC1)

anse

cyl indre.

La même

sphère

éfinit

deux

sect ions

i rcu la i res

ST

et

(ST2)

ans

e

ore.

Les

intersections

es

sections

(SC

,

(ST

et

(ST2l

siruenr

deux oints e acourbe

'inter-

section

es

deux

olides.

o

Le

plan

méridien

ontient

I'axe

t deux

gênératrices

du contourapparent u

cyl indre,

t

une

section

circulaire

u

ore.

L'intersectioneut

être

résolue

n une

seule

ue

de

ce

plan.

Troçoge

rophique



Le

raceur

ti l ise es

sphères uxi l iaires

ont es

ayons

ontcompris

ntre

R

maxi,

pour

lequel

a

sphère

st angente

u oreet

définit ncercle

e contact

CT),

t Rmini

passant

ar

les

ntersections

es

génératrices

u

contour pparent

u cyl indre

t de a section

irculaire

du ore.

I

Sphères

S)

Sections

ore

(ST)

Chaque

phère

S)

définit

deux sect ions i rcu la i res

(STJ

ans

e

ore,et une

sec-

tion circulaire

SC)

ans

e

cvl indre.

Sections

ylindre

SC)

\ l

\ l

\ |

\

_l

-l

o

\ |

\ l\ l

\ |

\

o l

o o

I l est impossib le

e t racer

les

sphères e manière ce qu el les

intéressent

n

système

égulier

e

génératrices

u cyl indre.

Deux

olutions offrent

u raceur

1.

l

établ i t e

système êgulier

e

génératrices,

l lesaboutissent

ur

des

parties

ncertaines

e a courbe

d intersection,

t

le

développement

du cyl indre

stalors rèssimple.

2. l instal le

es

géneratrices

ssues

de

chacun es

points

e construc-

tion de la

courbe intersection,

e

qui uiassureaplus aute récision,

mais

compl ique

ensib lemente

développement

u cyl indre.

l6

-

IntersecÈions

ore/calindro



|

6 , 5 .1

Axes

paraffèfes

Tangente

à

la

courbe

L intersection

edeux

plans

,

passe

ar

intersection

es

traces

e même

om.

Projection

frontale

de I intersection

Règle

La

angente

n

un

point

e a

courbe

intersection

e

deux

urfaces

st a

droite

in-

tersection

es

plans

angents

uxdeux

urfaces

n

ce

point ui

eur

estcommun.

te à la

courbe

intersection

e A et B

passant ar

2

Planhorizontal

e référence

t à la

surface ,

passant

Trace

orizontale

e PB

Trace

orizontale

e PA

Intersection

es

races

PA

=

plan

angent

à la

surface

,

passant

ar

2

l l

est inuti le

de rechercher

Ies

ntersections

es traces

frontale

t horizontale.

Une eule uffi t.

Le

choix

peut

etre onction

des

dispos i t ions

e épure.

Troçoge rophique



16.5.2

Axes

parallèles

Vue

en

bout de

la tangente

Deux droites

sont

orthogo-

nales dans

l 'espace

si

el lesse

pro-

jettent, urun

plan,

su ivant

un anglede

9 0 , e t

q u e

I 'une

d'entre

el les est en

Une roite

st

perpendiculai-

re

à un

plan

i el le

estortho-

gonale

deux

droites

non

parallèles

e ce

plan.

[A-B)

stune

rontale.

(C-D)stunehorizontale.

La V-G, en O2-Y2-22,

de

la

tan-

gente

à la courbe

en 2,

puis

sa

vue en bout, en O3-Y3-X5,

amè'

nent à une

projection

très

inté-

ressante

des surfaces

A et

B du

point

de

vue du traitement

de

l'épaisseur.

Y

o o

L'épureest

t rès dense

et

réclame

e nombreux

han-

gements

e

plans

rontaux.

r6 Inrersecrions

ore/carindre



o o

o

Les

rayons

RA)

et

RB)

sont

orthogonaux

la

tangente.

l ls

dêf inissent

n

plan M-2-N] er-

pend icu la i r e

cette

angente.

ll

suffit

de

tra-

cer la

projection

en

V-G

de

ce

plan

pour

obte-

nir

la

vue

en

bout

de

la

tan-

gente.

i

I

La

ose

e

situat ion

ermet

e

déterminer

immédiatement

es

aleurs

.

4

Troçoge

rophique



I

I

I

i

l6.5.tAxes

parallèfes

Épure

(B)

est unecourbe

souder ssimilée une

portion

e orede 90'.

(A)

stun

piquage

ylindrique

'axe

aral lèle

l 'axe

u ore.

o o

o

Lechanfreinstd'angle onstant 'une

va leur e60 ' .

La

première asse

e soudage

eut

s'ef-

fectuer ans esmêmes onditions'ac-

cès ur

oute a

périphérie.

L'épure eprésentees

projections

u cyl indre en fibres NT,ce sont es

premières

n

contact. t du tore B en ibresEXT.

Diagramme es V-C

LI

0 1 1

s 1 1 0

I I 7

6

Demi-développementracé

ar

rans-

formée e a fibreneutre

Lagénératrice

6)

n'estpasun axede symétrie.

S1et 52 sont es

énératrices

upplémentairesppartenantu

plan

méridienu ore

passant

par

'axe

u cyl indre.

Cesont

es

génératrices

es

plus

ongues.

r95

-

n7 '

*7

^t-,

ô9

w

l6

-

Intersections

ore/cglindra



|

6.5.4

Axe

équatoriaf

(A)

stun

piquage

ylindrique

'axe

quatorial.

(B)

st

une

ourbe

souder

ssimilée

une

portion

e

tore

de

90 .

l l n'y

a

pas

d'ouverture

e

pénétration

ans e

ore.

,'7

ta

t'

r l

I I

l ,

o o

o

Le

chanfrein

st

d'angle

onstant

'une

aleur

e

45 .

La

première

asse

e soudage

eut

s'effectuer

dans es

mêmes

onditions

'accès

ur oute a

périphérie.

Trace

rontale

e PB

A,

passant

ar

2

=

plan

angent

à la

I

I

o o

o

L'axe

de

(A)

appartient

l 'êquateur,adroite M-N)

est

une

rontale

nV-C

en

(m-n').

Plan rontal

de réfêrence

La

démarche

st

strictement

la

même

lorsque

l 'axe

du

cylindre

(A)

est

parallèle

l 'équateur.

Mais

es

droites

(M-N)

ne

sont

plus en V-C en

projection

ron-

ta le .

---i-l

-

6

Troçoga

rophique



I

I

I

I

I

(P

l

I

L épure

eprésente

es

projectionsu

contact

et du

tore

B en

ibres

EXT.

1 1

1

t o 2

cvlindre

en

fibres

NT

ce

sont

es

premières

n

m 5 . 1

m 2 . l

n2. l

j,

l

i

9 3

8 4

1 5

6

6 7 8 9 1 0 1 1 0

Demi-déveloPPement

racê

Par

transformée

e

a

ibre

neutre

Pour

es

gênératrices

e

(3)

à

(9),

a

ongueur

e

a fibre

EXT

st

pratiquement

gale

cel le

de

la

f ibre

NT.

La dif férence

st

si

faible

que

e raceur

peut

considérer

ne

ranche

erpendiculaire

lô

-

Int@rs@ctions

ore/calindre



|

6,5.5

Axes

concourants

Tangente

à fa

courbe

-l

I

I

\ |

-{

I

t o Z

(B)

st

une

courbe

souder

ssimilee

une

oor-

t ion

de

ore

de

90 .

(A)

est

un

piquage

ylindrique

ont

l axe

est

concourant

celui

u

ore

en

(l).

t

1 1

Plan

horizontal

e référence

Intersection

es

Trace

orizontale

e PB

Trace

rontale

de PA

PA

:

plan

à Ia

surface

,

passant

ar

4

4 .2

ra

en

V-C

PIan

rontal

de référence

Trace

orizontale

e PA

I

rb

en V-G

Le

chanfrein

st

d angle

onstant.

La

première

asse

e

soudage

eut

s ef-

fectuer

ans

es

mêmes

onditions

accès

sur

oute a

periphérie.

@

îioçoge grophique

passant

ar

4

à la

surface



L epure

eprésente

es

projections

u

cylindre en fibres NT

ce sont es

premières

n

contact

el du

tore

B

en ibresEXT.

3 2 1 0 1 1 1 0 9

Demi-développement

racê

par

ransformée

de a ibreneutre

l

6

-

Intersectionsore/calindre



|

6.5.6

Piquage

angent

Genre

cufotte

(A)

est

un

piquage

yl indr ique

'axe

ert ical,

iamètre

t éoais-

seur

ont

égaux

ceux

e

a

courbe

souder.

(BJ

st

une

courbe

souder

ssimilée

une

port ion

e

tore

de

9 0

.

La

configurat ion

ropose

n

assemblagear

soudure

nté-

r ieure

ur

un

chanfrein

'angle

onstant

e

60..

L'accès

st

dif f ic i le

t subordonné

ux

dimensions

es

élé_

ments.

L'épure résente

'évolut ion

es ibres

NT

avec

une

ranche

erpendiculaire

la

peau.

Au

point

0),

t

n'y

a

qu'un

eul

tan

pFOl

an-

gent

aux

deux

ol ides.

ll n'est

pas

possible,

ans

ette

configuration,

d'examiner

' intersection

es

génératrices

n

ut i l isant

a

angente

la

courbe

t la rose

de

situation

référence

ux

épures

récédentes).

Le

raceur eut

approcher

a

solu-

t ion

en

examinant

es

sect ions

contenues

ans

es

plans

méridiens

IPM

et

[PM2],

rc.

L'essentiel

e la

courbe

' in-

tersection

e

concentre

ur

une

aible

art ie

u

cyl indre,

genératrices

0,

1,

2,

3).

La

eproduction

es

ignes

e

naissance

e

chanfrein

I ' in-

térieur es sol ides 'estpas

évidente

et

reste,

de

toute

façon,

rès

mprécise.

Troçoge

rophique





I 2

phase

appliquer

des

plans

angents

aux

deux

sections

Le

plan

angent

P

]

est déf in i

par

les

deux

droites

paral-

lè les

Dl)

et

(D21.

Le raceur:

-

applique

n

plan

(D1),

D2)1

ur e

côtê

NP)

e a

base

olygonale

t

e

ait

pivoter

usqu'au

moment

ù e

plan

angente

la

section

irculaire,

-

détermine

e

point

de

tangence

n abaissant

u centre

O une

perpendiculaire

la

droite

(D2).

Le

point

e angence

est

oint

aux

extrémités

p

du segment

e droite.

eci éfinit

ne

ur-

face

lane

une

roite

t un

pointJ.

Le

raceurépète

es

opérations

utant

e fois

qu'i l

a de

segments

e

droites

ur a

base

polygonale.

Troçoge rophique



I

5'phase

: analyser

es

surfaces

estantes

p

Les

quatre

urfaces

lanes

tant

définies,

il lui

reste

quatre

points

à

raccorder

quatre

rcs

de

cercle

-

N

avec 'arc

AD,

-

P

avec 'arc

DC,

- R

avec 'arc

CJ,

-

S avec 'arc

A.

Ces

quatre

urfaces

ont

des

portions

e

r

cônes

bliques,

oir

définition

age

106.

Développer

e

raccord

-

implanteessouduresil estpréférable,our a conformation,e réalisera pièce n plu-

sieurs

arties),

-

divise

haque

rcde

cercle

n

parties

gales

t

trace

des

gênératrices,

-

recherche

es

vraies

randeurs

es

gênératrices

méthode

u triangle

ectangle).

l7

-

Les occordemenE

æ s



Développement

N p

Le

raceur

-

reporte

ur

unedroite

a

vraie

randeur

e

NP,

-

à

partir

du

point

N,

dessine

n arc

de

cercle

e rayon

ND,

-

à

partir

e P,

dessine

n arc

de

cercle

e

rayon

PD.

l l obtientasurfacelaneNPD.

Puis

-

à

partir

e N, l

trace

un

arcde

cercle

e

rayon

C

R1) ,

-

à

partir

e D, l

trace

un

arcde

cercle e

rayon 1

égal la

corde

d de a

projection

horizontale.

L intersection

es

deux

arcsde

cerclesui

donneeooin tC.

-

à

partir

e N,

l

trace

un arc

de

cercle

e

rayon

NC

R2),

-

à

partir

e

C, l

trace

un

arcde

cercle

e

rayon

2

égal la

corde

b

de a

projection

horizontale.

L intersection

es

deux

arcs

de

cercles

ui

donne

e

ooin t

B.

-

appliquea

même

méthode

our

détermi-

ner e

po in t

,

-

dessinea

courbe

assant

ar

es

points

DCBA

t contrôle

a ongueur

éveloppee

L D

=

æ . D 1 4

Ensuite

l

race

-

du

point

A

un

arcde

cercle

e ayon

M

et

du

point

N

un

arcde

cercle

e ravon

NM.

Le

raceur

ravail le

e a

même

manière

our

développer

a

partie

pposêe.

l l véri f ie

enouveau

a ongueur

éveloppée

LD

=

6 P12

et indique

e

sens e

mise

en forme

TRÈS

TMPORTANT).

Tl

veutdire

conformer

vec

e racé

à I inté-

rieur

e a

pièce.

Troçoge

rophique

-



|

7 l .2.Ellipse

Cercf

Ondemande

e

-

raccorder

es

deux

sections

ontenues

ans

des

plans

parallèles,

'une

est

el l iptique,

l 'autre

irculaire

e

centre ,

-

développer

e raccord.

a

o

a

a

o

La méthodese décompose

n cinq

phases

diviser

'el l ipse

n

parties

gales,

appliquer

es

plans

angents

chacun

es

points

e 'el l ipse

our

obtenir

es

génératrices,

tracer

ne riangulation

n

chevrons,

rechercher

a

vraie

randeur

es

genératrices

t

desdiagonales,

développer

e

raccord.

I

l

*-

et

]"

Phages

diviser

I'ellipse

en

parties

égales,

appliquer

un

plan

tangent

au

point

6 de l'ellipse

-

calcule

a ongueur

éveloppée

e lel l ipse,

a

divise

n

12

parties

gales

t reporre,

ar

qua,rt,a position espoints ur 'ellipse,

-

trace

une

angente

u

point

6

de I'ellipse

voir

méthode

age254),

baisse

cette

an-

gente

ne

perpendiculaire

ssue

u

point

O. La

perpendiculaire

oupee

cercle

u

point

F.

F6

estune

génératrice

u raccord.

i

I

I

s

7

-

Las oceordements



I

3 et 4

phases

tracer

une triangulation

en chevrons, echercher

es waies

gran-

deurs

des

génératrices

et

des diagonales

D E

/ l ' . .

I

/ l \ l

|

\

1 , , '

4 5

Diagramme

Le

raceur

implante

ne riangulation

nchevrons

elone

diagramme

i-dessus,

recherche

es

vraies

randeurs

es

génératrices

t diagonales

methode

u triangleec-

tangle).

I

5'phase

: développer

e raccord

Le

raceurmplante

es

soudures

il

est

préférable,

our

a

conformation,

e réalisera

pièce

en

plusieurs

arties).

ci,

e

raceur

placé

eux

oudures,'une

nAl, l 'autre

n

C7.On ne

traitera

ue

d'une

eule

artie

u developpement.

G

I

\ I

\ l

\ r

7

F

6

B C

/

l I

/ l \ l

'

|

\ 1 ,

2 3

- o

l I

p

l r l îènr ên

.

v -

-

reporte

urune

droite a

vraie

randeur

e

a

génératrice

A,

-

trace

.

à

partir

e 1,

unarc

de cercle e rayon

Rl

égal laV-C

e a

diagonaleB,

.

à

partir

eA,

unarc

de cercle

e

rayon

1

êgal la

corde b

de

a

projection

orizontale.

L' intersection

esarcs e

cercleui

donnee

oointB.

O

',

dessine:

. à partirde B,un arcde cercle e rayonR2égalà la V-c de agénératrice2,

.

à

partir

e 1,

unarc

de cercle

e

rayon

2

égal la

corde1-2

de

a

projection

orizontale.

L' intersection

es

arcs

e cerclesui

donnee

point

2.

Troçoge rophique



développer

e

raccord

5

phase

(suite)

(g t.

traceur

essine

-

à

partir

de

B,

un

arc

de

cercle

e rayon

R3

égal

à

la V-C

de a

diagonale

2,

-

à partirde 2, unarcde cercle e rayon 3 égal la corde

2-3

de

a

projection

orizontale.

L' intersection

es

arcs

e

cercles

ui

donne

e

point

.

Développement

éfinitif

A

É.nere,

Le

raceur

ontinue

es

mêmes

pérations

usqu'à

'obtention

u

demi-développement.

l l

joint

es

points

btenus ar

des

courbes

t

vérif ie

ue

es

ongueurs

eveloppees

orres-

pondent

cel les

alculées

-

pour

e

cercle

n . Dl2,

-

pour

'el l ipse

oir

page

39.

ll

indique

e

sens

e

mise

en orme

TRÈS

MPORTANT.I.

CTI

Cintrer

racé

ntérieur

2

o

Ii

CTI

l7

-

Les

occordements



| 7

.2 l?ncconorMENT

E

DEUX

EcnoNs

oMENUEs

ANs

DES

r-ANS

oNCouRANrs

17.2.1

Polygone

Cercfe

Ondemande

e

raccorder

es

eux

ections

ontenues

ans

es

plans

oncourants,

'une

st

polygonale,

'autre

circulaire

e centre

.

développer

e

raccord.

0

Deux

droites

ont

concou-

rantes

ans 'espace

i

eur

interseclion

e situe

sur la

même

igne

e rappel

ans

deux

plans

e

projection.

Un

plan

peut

êtredéfini

ar

deux

roites

oncourantes.

Raccorder

es

deux

ections

ontenues

ans es

plans

oncouranrs.

La

méthode

se

décompose

n 3

phases

o

dissocier

es

éléments

e a

base

olygonale

segments

e

droites),

.

appliquer

es

plans

angents

ux

deux ections

our

dêfinir

es

surfaces

lanes,

o

analyser

es

surfaces

estantes.

l

phase

dissocier

es

éléments

de

la base

polygonale

Z

Le

traceur

décompose

a

base

polygonale

n

quatre

egments

e

droites

-

segment

e droite

B,

-

segment

e droiteBC,

-

segment

e droite

CD,

-

segment

e

droiteDA.

ïroçoge grophique



I

2 phase

: appliquer-des lans

angents

aux

deux

sections

Le

plan

angent

Pl

est

defini

par

es

deux

droites

oncou-

rantes

Dl)et D2).

intersection

X

Le

raceur

-

appl ique

n

moment

ù

plan

(Dl),(D2)lsur le

ôté

AB)de

a

base

olygonale

t e ait

pivoter

usqu au

Ie

plan

angente

la

section

irculaire

ell ipse

n

projection

orizontale).

Pour

éterminer

e

point

e

angence

, e

raceur:

rechercheintersection

des

droites

Dl)et

(D2)

n

projection

rontale

m ),

projette

e

point

M

en

projection

orizontale

m)

ur

D1),

trace

ne

angente

D2)

l el l ipse

partir

u

point

m.

Le

point

de

angence

est

oint

aux

extrémités

b

du

segment

e droite.

Ceci

éfinit

nesur-

face

lane

une

roite

t

un

point).

Le

raceur

épète

es

opêrations

utânt

de fois

qu il

y

a de

segments

e droites

ur a

base

polygonale,

auf

pour

es

côtés

BC)

t

(DA)

ui

sont

parallèles

la

droite

d intersection

es

deux

plans.

our

es

roites,

e

raceur

baisse

es

perpendiculaires

partir

u

centre

aux

côtés

onsidérés.

Par

cetteméthode

l

y

a obligation

e

tracer

es

angentes

une

ell ipse

ar

un

point

extérieur

celle-ci.

l

7

-

Les

roccordemenbs



l

2

phase

appliquer

des

plans

angents

aux deux

sections

suite)

Le

raceur

-

app l iqueunp lan t (D1) , (D2) l

u r lecô té(AB)de labasepo lygona lee t le fa i tp ivo te r jusqu 'a

moment

ù

e

plan

angente

la

section

irculaire.

Pour

éterminer

e

point

e

angence

, e

raceur

-

rabat

a

section

irculaire

ur

e

plan

horizontal,

-

recherche

'intersection

des

droites

D1)et

D2)

n

projection

rontale

m'),

-

projette

e

point

M

en

projection

orizontale

m)

ur

d1),

-

trace,

partir

u

point

m,

une

angente

d2)

la

section

irculaire

abattue,

-

le

point

st amené

nsuite

ans es

projections

rontale

t

horizontale.

Le

point

e angence

est

oint

auxextrémités

b

du segment

e droite.

eci

éfinit

ne

ur-

face

lane une

roite

t

un

point).

Le raceurépète esopêrationsutant e foisqu'i ly a de segmentse droites ur a base

polygonale,

auf

our

es

côtés

BC)

t

(DA)

ui

sont

paral lèles

la

droite

' intersection

es

deux

plans.

our

es

roites,

e

raceur

baisse

es

perpendiculaires

partir

u centre

aux

côtés onsidérés.

Troçoge

rophiquo



I

5 .phase

anailyser

es,sunfaces rèstantes

0

Les

quatre

surfaces

planes

tantdêfinies,

l

lui reste

quatre

points

à

raccorder

quatre

arcsde cercle

-

A avec

arc -T1,

- B avec arc l -7,

-

C avec arc

1-12,

-

D avec

arc 2-1.

ces

quatre

surfaces

sont des

portions

de

cônes obl iques

voi r

dêfinition

age

106).

tl

a

/d b \

c

tt

o1

t2

x

Développer

e raccord

traceur

implanteessoudures

il

est

préférable,our

a conformation,e

rêalisera

pidce

n

plu-

sieurs

arties),

divise haque

rcde cercle n

parties

gales ur

a

section

abattue,

ramènees

points

ans es

projections

rontale

t

horizontale,

tracedes

génératrices

rechercheesvraies

randeurs

es

génératricesmêthode

u

triangle

ectangle).

A

Les

différencesde cotes changent

pour

chaque

génératrice.

Pour e

développement,

e raceur

rocède

e

a

même

açon

uepage

04.

17

-

Les occordements



J

2

phase

(autre

méthode)

appliquer

des

plans

angents

aux

deux

sections

Le

plan

angent

Pl

est

defini

par

es

deux

droites

concourantesD

)

et

(D2)

Le

raceur

aussi

a

possibi l i té

e

construire

on

épure

n nversant

es

deux

bases.

a

base

circulaire

eposant

ur

e

plan

horizontal

XOy].

(d2')

Le

raceur

-

app l iqueunp lan t (D l ) , (D2) lsur lecô té(CB)

e labasepo lygona lee t le fa i tp ivo te r jusqu 'au

moment

ù e

plan

angente

la

section

irculaire.

Pour

éterminer

e

point

e

angence

, e

raceur

-

recherche

'intersection

des

droites

D

)et

(D2)

n

projection

rontale

m,),

-

projette

e

point

M

en

projection

orizontalem) ur dl),-

trace

partir

u

point

m

une

angente

d2)

la

section

irculaire.

Le

point

e angence

est

oint

aux

extrémités

b

du

segment

e

droite.

eci

éfinit

ne

ur-

face

lane

une

roite

t

un

point).

Le

raceur

épète

es

opérations

utant

de fois

qu'il

y

a

de

segments

e

droites

ur a

base

polygonale,

auf

pour

es

côtés

BF)

t

(CE)

ui

sont

paral lèles

la

droite

' intersection

es

deux

plans.

our

es

roites,

e

raceur

baisse

es

perpendiculaires

partir

u

centre

aux

côtés

onsidérés.

2

Par etteméthode,n racea angente uncercle t nonà uneell iose.

La

section

irculaire

st

vue

en

vraie

randeur

uti le

our

e

développement).

l l

n'y

a

que

deux

ifférences

e

cotes

our

'ensemble

es

raies

randeurs.

Troçoge

rophique



Ondemande

e :

raccorder

es

deux

sections

irculairesonte-

nues

dans

des

plans

concourants,

espective-

ment

de

centres l

et 02,

développere raccord.

17.2.2

Cercle

Cercle

Deux

droites ont

concou-

rantes dans l'espacesi

leur

intersection

e situe

sur a

même igne

e rap-

pel

dans

deux

plans

de

projection.

Un

plan peut

être defini

par

deux

droites

oncou-

rantes.

Raccorder

es

deuxsections

ontenues

ans

des

plans

oncourants.

La

méthode

se décompose

n

3

phases

o

diviser

nedes

deuxsections

irculaires

n

parties

gales

gênéralement

a

plusgrande),

o

appliquer

es

plans

angents

uxdeux

ections

our

définir

es

génératrices,

o

développer

e raccord

ar

riangulation.

I

l'

phase

diviser

a

plus

grande

des

deux sections

circulaires

en

parties

égales

l l

- l

I

l7

-

Les

occordemenE

g,Ë



S

2

phase

appliquer

des

plans

angents

aux deux

sections

Le

plan

angent

Pl

est défini

par

les

deux

dro i tes

oncourantes

Dl)et

D2).

La

jonction

es

points

de tangence

et 6

donne negénératriceune roiteest définie

par

deux

points).

ette

énératrice

ppartient

à

tP l .

Le plan tangent PI est

dêfini

ar

es

deuxdroites

concourantes

Dl

et

(D2)

(d2 ' )

6'

'o2'

^,, / l \ \ 1,,

o2

l

6

gr

\ t / ,

(d2)

X

j

m

Y

Le

raceur

-

applique

n

plan

(D1),(D2)l

u

point

F de a

section irculaire

nférieure

t

le

fait

pivoter

jusqu'au

oment

ù e

plan

angente

la

sectionirculaire

upérieure.

Pour

éterminer

e

point

e angence

, e

raceur

-

rabat

a section

irculaire

upérieure,

-

recherche

'intersection

desdroites

Dl)et

(D2)

n

projection

rontale

m'),

-

projette

e

point

M

en

projection

orizontale

m)

ur

Dl),

-

trace ne angente

D2)

la

sectionirculaireabattue

partir

u

point

m.

Le

point

e

angence

est

oint

au

point

F.

Ceci éfinit

ne

génératrice.

Le

raceurépète

es pérations

utant

e ois

qu'i l

a

de divisionsur a

base irculaire.

1t \

/

;

\

Les

plans

angents

sur

la

petite

base ne

donnent

pas

des divisions

égales.

Troçoge rophique



I

5

phase

:

développer

le raccord

par

triangulation

Eaie

grandeur

des

diagonales

raie

grandeu

dês

génératrices

?lz

u

t

a t o

I

6 g

G F E

D C

Les

différences

e

cotes

hangent

pour

haque

énératrice.

pour

e dêveloppement

e traceur

pplique

a méthode

e

a

triangulation

n

chevrons

voir

p a g e s

0 8 ,1 0 9 ) .

g

Le

raceur

ontrôle

es

ongueurs

êveloppées

esdeux

bases

t

indique

e sens

e

mise n

forme.

215

l7

-

Les occordaments

-f



T8

-

t€S

CULoTT€S

t

8, t

TnÉonÈnaes

On

appelle

uadrique,

oute

urface

u ype

cyl indre,

cône,

sphère,

ellipsorde,

araboloïde,

yperboloide.

Onappelle

onique,

oute urface

lane

u

ype

cercle,

el l ipse,

parabole,

yperbole.

I 1 .

héorème:

Lorsque

eux

uadrlques

1

ont

une ourbe

plane

ommune

C1],

l les

e coupent

u i-

vant

unedeuxième

ourbe

lane

C21.

Ci

et

[C2]

ont

deux

oniques

2).

[C2]

est vue

en raccourci

otal lorsque

es

deux ol ides

nt eur

axevu

enV-C.

L'intersection

es

deux

solides

et B

est

Y

obtenue

n

oignant

' intersection

es

géné,

ratrices

e contour

pparent.

J 2 théorème

Lorsque

eux

uadriques

ntune

base om-

mune,

l les ont

angentes

ndeux

oints

M

et N

qui

sont

es intersections

es

deux

lignes

'intersection.

Ces ignes

'intersection

ont es

coniques

[C1]

t

[C2]

ues

n raccourci

otal.

droites

parallèles

( l )

(2)

+

ïroçoge grophique





t

8,3

Appucmoru

2)

On

demande:

-

de

raccorderes

cylindres et D au cyl indre

par

une

<

culotte

composeeesélêments et

B ,

-

de développeres

deuxéléments.

RemarqueLes

xes esdeux ol idesontenV-C.

\ / ' \

\ / '@

I

-

v _

I

I

I

l'

phase

Le raceur

-

joint

es

ontourspparents

es

ylindres

et E

pour

obtenir'élément,

-

joint

es ontourspparentsescylindres et E

pour

obtenir'elément .

Le

point

e

concourses

génératrices

xtêrieurestombant en

dehors e

'épure

ait

un

plan

horizontal

H]

par

e

point

2'.Ce

plan

H]

détermineans e solide une

section

culaire e centre 1

18

Troçoge

rophique





|

8.4 Appucmoru3)

On demande

cylindres et

une

(

culotte

D

ments

et

B.

de

raccorder

D au cyl indre

composée

es

les

par

elê-

t - \ /

,

I

l'

phase

Le

raceur

-

joint

es

ontours

pparents

es

cylindres

et

E

pour

obtenir

'élément

,

-

joint

es

ontours

pparents

escylindres

et E

pour

obtenir'élêment

.

Lepoint econcourses énératricesxtêrieurestombantendehors e 'épure,e r

-

fait

passer

n

plan

horizontal

H]

par

e

point

02'

Ce

plan

H]

détermineans e

solide

une.section

irculaire

e centre

1

-

applique

plans

angents

ux

solides

our

détermineres

points

M

et N.

Troçoge

rophiquo







I

-

VRRI€

RRND€UR

€

LR

DRoIT€

I

Approche

du

problème

o

Dans

e

triangle

ectangle

:

nous

ouvons

crire

(mnJ ' -

i n ) ,

( im ) ,

r

Dans

e

triangle

ectangle

:

nous

ouvons

crire

(m' l

n '1) '

(vn '1

'

+

(vm' l

'

comme

vn'l)

:

(mn),

emplaçons

ans a

2"

équat ion

vn '1)

ar mn),

ous

btenons

(m'1

' l) '

:

(mn)'

(vm'l

'

ou

( m ' 1 n ' 1 ) ' :

i n ) ' +

i m ) ' +

v m ' l ) ,

(formule

1)

I Vraie

grandeur

de la

droite

Dans

es

riangles

tudiés

(im)

éloignement

e

M

-

éloignement

e

ou

(im)

XM

-

Xl

(in)

situation

e N

-

situation

e I

ou

{tN)

yN

- yl

(vm'l)

cote

de M

-

cote

de V

ou

[VM)

ZM

-

ZV

Remplaçonsim), in),vm'l)par eurs aleursans a ormule :

(m'1n'1)'

(différence

essituations)' (différence

es

éloignements)2

(différence

escotesl,

ou

(m'1

' ;'

:

IYN

Yl)'

+

(XM

Xl),+

(zM

zv),

comme

m'1

'1)

vraie

randeur

e a

droite,

a ormule

rdonnée

our

alculer

a

vraie

randeur

'une

roi-

te

(MN)

'écrit

VG

de

(MN)

=

(XN-XM)'

+

(YN-YM;,

+

(ZN

-2M1,

Troçoge

or

colcul



I

Application numérique

æ

Une

hotte est définie

par

la figure ci-

contre.

On

demandee calculer

a

vraie

randeur

de

I'arête

UC).

0

Z

' 1 6 0 0

",f--,1

u n

rO

. ' / d ' b ' \ c '

a

o

, ! 0

D

l "

r--;

d

X

1000

I

2400

c

Donnêes

X U : I B O O

x c : 2 2 0 0

Y U : 3 0 0 0

Y C : 3 4 0 0

z u : 1 5 0 0

Z C : O

I Application de la formule :

VG de

(MN)

=

(XN

-

XM)'

+

(YN

-YM)'

+

(ZN

-ZM1z

Remplaçons,ans

a ormule,

par

U et

N

par

C; el ledevient

VG

de

(UC)

=

(XC-XU)'

+

(YC-YU1'

+

(ZC-ZUI'

VG

de

(UC)

=

VG

de

(UC)

=

VG de

(UC)

=

VGde

(UC)

=

1693

VGde

(UC)

=\Æ

570

ooo

I

-

Vroie

grondeur

de

lo drolte



2

INT€RS€cTIoN

CVLINDR€€R€VOLUTION/PLRN

€ BOUT

V

Données

R :

H _

c t :

B

:

360 / nbre

de

génératricesen

degrés)

P

:

2

æ nbrede

génératricesen

adians)

1,

position

e a soudure

t

X l

:

R

*

n

*

F /

1 8 0 { a n g l e e n d e g r é s )

X l

Yl

:

Z1

de

épure H

-

R

*

cos(p+

y)

*

tano

Troçoge

or

colcul

: R * p ( a n g l e e n r a d i a n s )





,

INT€RS€cTIoN

YLINDR€/cYuNDR€

Données

P -

r -

h :

a :

L :

v :

ô -

,d\

Æ

/

5\

(

e

D

peut

avoir

ne aleur

égative.

I

Formules our

es

calculs

o

Cylindre

énétrant

Variables

cr fonction

u nombre

e

gênératrices

p : A c o s ( ( r + c o s a + e ) / R )

228

Xgd

2

*

n* r

*

a l

360

ou

*

n*

c r l

BO

ang le

n

degrés)

Xgd

r

*

o

(angle

n radians)

Ygd (h R * sinB + r * sin * cosy)siny(anglesndegrés

u

en radians)

o

Cylindre

énétré

trou

de

pénétrationJ

X:t

2

*

n

*

R

-

B/360

ou R

*

n*

g

I 1BO

angle

n

degrês)

Xt

:

R

*

p

(angle

n radians)

Yt

:

a + R

*

sin

B

*

tan

90.

-g

-

( r

*

s in

a/s iny)

(anglesen

egrés)

Yt

:

a +

R

*

sin

p

*

tan

(pr

2) y)

-

( r

*

s in

/s in

y)

angres

n adians)

Troçoge or

colcul





4

DéV€LoPP€M€NT

U

TRoNC

€

CÔN€

€

RéVoLUTIoN

il Formules

de

développement

Données:

D

:

Calcul

e angte

: tangente

:

Uo

Z

d -

-d

t

2)

h)

ou

((R

r)

h)

n -

t a n i : ( R - r )h :

C :

R / s i n y

g :

r / s i n y

- ^ ^

A

c [ : 5 b U . S l n T :

â n : â r n

360x

n : nombre élements

â,: -l

C l

2 t C . s i n â n t 2 l : 2 1

C2

2le.

ln

n 2l

:

21

F : C ( 1

- c o s â l n l 2 J :

f : e ( t

- c o s â n / 2 )

W : C - ( g . c o s à n t 2 ) :

_ ^

t : c o s u n l 2 { C - d :

Troçoge

or

colcul

t

t

1

1

)

)

)

)

d où

c:

l- l

o :



I Application umérique

Formules

de développement

Données

D : 3 2 0 0

Calcu le 'ang le

:

tangente

:

d :

2

9 5 0

-

d t2) / hJ u

(R

r l h l

0 , 1 6 2 5

h : 8 0 0

( ( D t 2

C : R / s i n y 1 6 0 0 / 0 , 1 5 4 3 7 6 8 8 . .

r a n :

g :

r / s i n y

â : s o o . s i n i :

â n :â r n

(3200t2) (2950t2)

800

1 475 0,15431

688. ,

n : nombre 'éléments

360x

0 ,1 4 676BB

n - ?

C l

:

2 t C . i n â n 2 l

:

2 1 1 0 3 6 4 .

i n 3 , 8 9 31 9 ' l

C 2

2 1 e .

s i n n t 2 1

2

t 9

5 5 4 .s i n

3 , 8 9 3

1 9 ' l

F

:

C

(1

cos n 2 ) 10

364

1

cos

15 ,893

19 ' )

f

:

e

(1

.o r

ân l 2 )

:g

554

9

554 . cos13 ,893

19 ' )

W

:

C

-

( g .

c o s n 2 )

:

l O

3 6 4

-

( 9

5 5 4 .c o s

3 , 8 9 3

1 9 ' )

E

:

c o s n 2 ( C - d

:

c o s

5 , 8 9 3

1 9 '

( 1 0 3 6 4 -

5 5 4 )

@

l-4

5BB

I

3 o 3 l

F-l

fToB,

_l

t

? B r l

d'ou: EBBosr - .l

L _

É -

o ( :

crfi :

1 0

3 6 4

9 554

55 ,575 11 . .

2 t 787 38 . . '

4

-

Dêveloppement

u

tronc

de

cône

de

révolution



5

-

RNGL€

€

D€UX

RoIT€S

il

Produit

scalaire

de deux

vecteurs

Leproduit calairee deux ecteursstunnombre

lgébr ique

alculé

ar

a relation

+ + + - > / \ - + - >

V l

. V2

:

lM

l l . i l

V2

/ .

cos (V l ,V2

t tV j

l

,

l l V2 l l : no rmesdesvec teu rs .

Le

produit

calaire

ermet,

ar

exemple,

e

déterminer

'angle

ntre

eux

droites.

I

Formule

ou

On

ire

e

1)

+

En

emplaçant

l

.->

AB

X B - X A

Y B - Y A

ZB

-ZA

r r îe

r :

I

Rappel

Le

produit

calaire

e

deux

vecteurs

st

obtenu

ar

es

ormules

uivantes

vi

. vl

:

trt

r r

fi//

cos

l

(r)

+ - >

V1

. v2

:

(x ]

. x2)

+

(y1

y2)

+

(21

22)

(2)

_A

cos

V1

V2)

- > +

i l v l i l . i l v 2 i l

+

. V2

par

sa

valeur

r ise

ans

2)

on

obtient

,4.

(,

_ > _ ; .

, x l

. x 2 )

+ ( y t . y 2 ) + ( 2 1

2 2 )

c o s ( V 1 , V 2 )

-

i l v l i l . i l v 2 i l

+ +

v ]

. v 2

Troçoge or

<olcul



I

il Application

numérique

- + +

Vl

AB

+ +

V2

AC

i l v 1 l : i l A B l :

i l v 1 l : i l A B 1 1

@

50

30

30

50

30

50

1 2

55

62

63

9 1

5

+

V 1

+

v2

- 5 b

25

32

1 3

o l

- z J

ilv2

il

:

il

+

ilv2

il

:

il

A C i l :

v ( X C - X A ) ' +

Y C - Y A ) '

( Z C - Z \ Y

:

5 5 , 6 1 4

:

6 7 ,1 9 3

: 0 , 0 6 1

1 6

+

AC

l

:

v (13 ) '

+

(6 i ) '

+

( -25) '

*\

cos

Vl

,V2)

:

*/\

cos

Vl

,V2)

:

*\

cos

Vl

,V2)

:

(x l

. x2) +

(y l

.y2) +

(21

22)

+ +

i l v 1 l . i l v 2 i l

( - 3 B x

3 )

+

( 2 5 x 6 1 )

( 3 2 x - 2 5 )

5 5 ,6 1 4

6 7 ,1 9 3

{-494)

(1525)

(-800)

5 5 ,6 1 4

6 7 ,1 9 3

-A

( v ] , v2 )

B6 ,4ss

.

I

1

;

233

|

-

-

Angle

de devr

droites





t Application

a 'b '

c 'd '

e'h '

I

. s o o l ^

Ë

|--.------lË

(,

h n

a d

@

N

N

o

h

+

EF

+

+

ilw2il

:

Nous echerchons

-A

Soità déterminer'angle

ormé

ar

qlplaq 1

et

2.

Le

plan

1 sera

éfilgcar es

ecteurs Fet EA, e

plan

2

par

les

ecteurs A

et EH.

Coordonnées

es

points

Y0

E I

f

è

Nousal lons oncconstruire euxvecteursWl

- 3 2 5

7 5 0

500

+ + - - >

W l

:

E A A E F

- 5 5 0

0

0

è

W1

( 7 5 0 x 0 )( 0 x 5 0 0 )

( 5 0 0 x - 5 5 0 )

( 0 x - 3 2 5 )

( - 3 2 5 x 0 )

( 7 5 0 x - 5 5 0 )

( 7 5 0 x 0 )

( -

1 1 0 0 x 5 0 0 )

( 5 0 0 x 0 )

{ 0 x - 3 2 5 )

( - 3 2 5

- 1 1 0 0 )

( 7 5 0 x 0 )

et r2 respectivementerpendiculai

+ + +

W2

:

EAAEH

+

HE

0

- 2 7 5

0 0

412

00

550

000

0

357500

-+

EA

+

EA

res uxplans et 2.

750

s00

0

1 1 0 0

0

0

2 750

4 125

ou

..>

w2

5 500

0

5 575

4

957,633

(5

500)' +

(O)'

(3

575)'

:

A

q R q

7 7 <

+ +

ensuite'angle

ormé

ar

es

ecteursW.l

et W2

( 0 x 5 5 0 0 )

( - 2 7 5 0 x 0 )

( 4 1 2 5 x 3 5 7 5 1

cos

wl,

w2)

4

957

633

x 6 659,773

-è

cos

Wl ,

W2)

:

-0 ,453

457

7. .

+ +

t w l , w 2 )

1 1 6 , 9 6 5 '

235

6

-

Êngles

de deux

plons

I

Angle

des deux

plans

:





*À

cos

BA,

BC)

/\

cos

BA,

BC)

*A

cos

cB,

D)

(x1

x2)

+

(y l

.

y2)

+

(21

22)

i l B A i l . i l B C

( - B x 2 )

( - 7 x B )

( 0 x 6 )

1

, 6 3

1

, 1

8

( 5 x - 2 )

( 1 0 x - B )

( 4 x - 6 )

(dimensions

n

dm)

(dimensions

n

dm)

-

*

(BA,

C)

131,62

3\

(cB,

D)

160,30 '

1 0 , 1 9 8 x 1 1 . 8 7 4

3' Le

préparateur

éduit

es

ongueurs

ntre

oints

'épure,

es

ongueurs

es

points

'épure

ux

points

e

tangence.

Longueur

E

:

AB

-

EB

Longueur

M

:

BC

(BF

+

MC)

Longueur

D

:

CD

CN

{

H Calcul

e

EB

tan

â

â

:

, t B O .

r

3 1 , 6 2 )

2

:

E B :

1 1 4 . 5 x t a n 2 4 , 1 g

A ,., axes es uyauteriesntété

rabattus

ans

nmême

lan.

â

=

(r

so.

-

angre

rlr

,

t

El

=

raVon

de

courbure

\

: E B / E I

E B : E t . r a n c ,

2 4 , 1 9

E t

1

1 4 , 5

m m

E B

=

5 1 , 4

m m

BF

=

pg

=

51 ,4

mm

A E

=

1 0 6 3 - S l , 4 = | O l 1 , 6 m m

ongueur

AE

=

A B .

E B

7

-

(olculctos

ongueurs

t

ctos

ngles

es

ugourerios

l)

?3h







Quotrième ortie

coîtTRucfl

nt ÉomÉrruou

t







æ w

,

-.

TflncÉs

c

Btss€crntc€s

Ondemande

e

racera

bissectrice.de

angle

éfini

ar

es

demi-droites

D1)

t

(D2),

e

som-

met

O.

1 Tracer

n

arc de

cercle

e

centre

O

de

rayon

uelconque,

ais

uffisamment

rand,

qui

coupees

demi-droites

nA

et B.

2.Tracer,

partir

e A

et de B,

des

cercles

e rayon

R

qui

secoupent

n

arcs e

T.

o

h

d

.W

o

o

3. La

droite

(OT)

est la

bissectrice

echer-

chée.

Pour

racera

bissectrice

deux

roites

D1),

(D2)

dont l intersection

ombe hors

oe

l épure,l suffi t e tracer euxparal lèles,

égales

istances,

ces

roites

our

obtenire

sommet

O. Ensuite

e

problème

evient

u

cas

précédent.

Constructions

éométriques



4

-

TRRcés

e

TRNG€NT€S

U

Un

angle nscr i t

a

mêmevaleurque la

moil iê

de I angle

u

centre

unmême

rc

sous-tendu.

a : p l 2

Donc,

ans ndemi-cercle,

n nscrit

toujours nangle roit .

RAPPEL;a tangente un cercle st perpendiculaireu rayonOA.

Tangentes

à un cercle

1 Passant

ar

un

point

A situé

ur

e

cercle

|

2. Passant

ar

un

point

B

extérieurucercle

Tangentes

à deux

cercles

1.Tangentesxtérieures 2. Tangentesntêrieures

245

4

-

Trocés

e tongentes

ou cercle

I



5

--

RRcCoRD€M€NTS

RoIT€/c€RcL€

on demande

e raccorder

esdroites

Dl)et

(D2)

ar

unarcde

cercle e ravon

R.

(D2)

l.et

D1 )

Le

raceur onstruit

es

paral lèles

ux

droites

Dl)

et

(D2)

à

une distance

égale R.

L intersection

e

ces

parallèles

ui

donnee

centre

O de arc

e cercle.

Les

points

e

angence1

et T2 sont

obtenus

n

abaissant,

partir

de

O,

des

perpendiculaires

uxdroites

D1)

er

(D2).

Raccorder

a

droite

D)

avec e cercle

C)

e centre

et de ravon

Rl

par

un arc

de cercle e

ravon

R.

(D)

Le

raceur

onstruit

ne

parallèle

a

droite

D)

à unedistance

gale R.

l l dessine

n

arcde cercle

e centre

A et

de

rayon

R2.

R 2 : R ] + R

L intersection

e

la

paral lèle

t de

I arc

e cercleui

donne e

centre

O

de

arc

e raccordement.

Le

point

de tangencei

est

obtenu

en abaissant,partirde O, la per-

pendiculaire

(D).

2

estobtenu

n

joignant

es

entres

et O.

Constru(tions

éométriques



On

demande

e

raccordq-ç

es

cercles,(Çl ).et

C2).respectivement

e rayons

Rl, R2

et

de

centresA

t B,

par

un arc

de

cerclentéÈieUr

e ravon

RS.

Le

raceur

essine,

partir

eA,

un

arc

de

cercle

de

rayon

égal

à

Rl + R3,

et

à

partir

e B,

unarcde

cercle

e rayon

égalà R2 + R3.

L intersectiones deux arcs de

cercles

ui

donne

O

centre e arc

de raccordement.

Les

points

de tangence

l

et T2

sontobtenus

n

oignant

es

cêntres

O à A e t O à B .

Raccorder

es

ercles

Cl)

et

(C2)

espectivement

e ayons

l,

R2

et de

centres

l, 02

par

un

arcde

cercle

xtérieur

e rayon

R3.

Le

raceur

essine,

partir

e Ol,

un arc

de cercle

de rayon

égal

à

R3 Rl

et

à

partir

e02,

unarc

de

cercle

e rayon

égal

à R3 R2.

L intersection

es deux

arcs

de

cercles

ui

donne

O5 centre

e arc

de

raccordement.

Les

points

de tangence

l

et T2

sontobtenus n oignantescentres

0 1 à 0 3 e t 0 2 à 0 5 .

5

-

Boccordemenls

roiÈe/cercle





HEXAGONE

lR

,// i \ l

HEPTAGONE

lffi^

OCTOGONE

249

6

-

Trocés

e

polggones

éguliers

-

u

F



I

DMSToNS

€

Drlorr€s

N

pRRTr€s

GnL€s

on

demande

e diviser

nsegment

e

droite

MN)

n

cinq

parties

gales.

N

À

partir

de M, le

traceur

oblique

D)

sur aquelle

l

quélconques

ucompas.

dessine

ne

droite

porte

inqdivisions

Pour

diviser

n

segment

e

droite

uelconque

n

parties

gales,

l

est

méthode

es

mediatrices.

orsque

ela

est

as

possible

division

n 1

,ties),l suffi t ese approcherunmultiplee 2.

Contrat:

Ondemande

e

diviser

n

segment

D

en

quinze

arties

gales.

A

Le

raceur

alcule

a

quinzième

artie

u

segment,

joute

a

valeur

te et

partage

a ongueur

otale

n

seize

arties

gales

n

raçant

Le

raceur

oint

a

cinquième

ivision

u

point

N. l

trace

es

paral lèles

N5

passant

ar

es

p o i n t s

2 , 3 ,

4 .

p lus

isé ut i l i ser

a

1 3 ,

1 5 ,

1 7 ,

t c .

a r ,

D

trouvée

usegment

e

droi-

des

médiatrices.

Le raceur

alcule

a

quinzième

artie

u

seg-

ment,ajouteavaleurrouvée usegmente

droite.

l

trace

ensuite

a

mêdiatrice

u seg-

ment

AE.

l

obtient

e

point

B

mil ieu

u seg-

ment

AE.

Le

traceur

ecommence

opération

our

es

segmentsB et BEet ainsi e suite usqu à

l obtention

es

eize

ivisions.

e

segment

D

estalors

ivisé

n

quinze

arties

gales.

e50

Constructions

éométriquas



8

-

TRRCéS

D,RNGL€S

ffi Tracern ngree 7,5'

Uti l isation

u rapport

r igonométrique

tangente

'un

angle.

Dans

n

riangle

ectangle,

a

angente

'un

angle

igu

est e

quotient

u

côté

opposé

cet

angle

ur e

côté

adjacent.

Exemple

t a n Â :

B c / A B

Le

raceur

' impose

ne

aleur

B,

multiple

e

100,

pour

aci l i ter

es

alculs.

l

détermrne

insi

le

côtéBC.

B C : A B . t a n Â

Résolution

u

problème

Let raceurs ' imposeB 200 (1 )

Ensuite

e

traceur

alcule

C

et le

porte

AC,

l

obtient

'angle

echerché

3).

Â : a n g l e à t r a c e r

B C

2 0 0

t a n 2 1 , 5 o

t a n2 1 , 5

0 , 5 2 0

. . . .

B C :

I'extrémité

(2).

n

oignant

2 0 0

x

0 , 5 2 0

. . . .

1 0 4 , 1

A : 2 1 , 5

perpendiculairement

I

-

Trocés

'onsres

llj'n



lD TRRcés

'ovRL€s

méEho

e

de |onse

cfe

ponier)

v

ses

deux'axes

AB

et CD),

ar

a

méthode

ite

de

I'o

nse

e

racer

n ovale

onnaissant

panier .

1.

Joindre

es

extrêmités

AXCS.

et C

des deux

3. Tracer

a

médiatrice

u

segment

E.

Cette

médiatrice

oupees

deux

xes n

02 et

OS.

02 et O3 sont es entresesarcs e

cercres

de 'ovale.

I

c

.4

- i

\z____Trc

i

o3

5. Les

deux

autres

entres

t les

oointsoe

tangence

ont

btenus

ar

symêtrie.

;

2. Enlever

AC,

à

partir

de C, a

différence

desdeux

demi-axes.

4.

Le

point

e

angence1

est

obtenu

n

gnant

es

entres

3-O2.

Constructions

éométriques

Problème

ésolu







Méthode

des

foYers

Le

point

st

situé

ur

el l iPse.

La angente

xtérieure

l ellipse

st

a

bissectrice

xtérieure

e

I angle

orme

par

esdeux

aYons

ocaux.

t l

Méthode

des

cercles

concentriques

Le

point

stsitué

ur

el l iPse.

Tc

:

tangente

u

cercle

Te

:

tangente

I el l iPse

CA

:

grand

xe

Parallèleunedroite xtérieurel el l ipse.

255

Parunpoint xtérieur I el l ipse.

l l

-

Trocés

e

tongentes

à I ellipso







CENTRE DE

GRAUTÉ

Formuloire

Des

f gnes

Desvolumes

l,e

triangle

Le

paralléloglamme

h B + 2 b

O G

= - x

-

3 B + b

Le

demi-cercle

6

=

point

d'inter-

section

des bissec-

trices

des

angles

(ABC), BAC)et

(BCA)

OG

=

0,636 r

Des

surfaces

La

pyramide

La

demi-sphère

M G

=

s ' - m ' l 4

m

:

centrede

gravité

du

polggone

e base

O G

=

h / 4

G :

point

d'inter"

section des diago-

nales

G :

point

d'inter-

section

des

médianes

OG

=

O,424

2r

. sina

O G =

3a

u en radians

?

-t-

T*

/-T-\-l

'Él-\l

'tr\j7l

l\l/

l R l

2r

sin3

r

O G =

x

3

c-sincr

. cos<r

a en radians

Le

secteur

circulaire

La

demi-circonférence

Le trapèze

Le tronc

de cône

h

O G = -

x

4

R ' + 2 R r + 3 r 2

R 2 + R r + 1 2

l--r-!

(2R

-

h)'

3 R - h

3

O G

= -

x4

Le

se!;ment

sphérique



CENTRE DE GRAVITE

D'UNE SURFACE OUELCONOUE

Le raceur écompose

e

poly-

gone

quelconque

A-B-C-D-E)

en

3 triangles

A-B-C),

A-C-D)

et

(A-D-E)

ont

l détermine

les

centres

e

gravitê

n

(1),

(2)et t5).

l l trace

e uniculairen

f i

à

Documents

Le-Tracage.pdf