ÉLECTROMAGNÉTISME ONDESgerald.philippe.free.fr/files/2013/ELECTROMAGNETISME... · 2012-12-30 · sinusoïdales : voir cours maths en L2 concernant la décomposition en série de

G.P. Électromagnétisme Ondes 2013

ÉLECTROMAGNÉTISME ONDES

SommaireChap 4.0: Introduction aux ondes.........................................................................................................5

I.Définition.......................................................................................................................................5A.Onde : phénomène de propagation d'une vibration, suite à une perturbation.........................5B.Exemples.................................................................................................................................5

II.Équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT............................................................................6A.L'équation à une dimension.....................................................................................................6B.Propriétés.................................................................................................................................6

1.Renversement du temps, t-réversibilité.................................................................................62.Célérité de l'onde...................................................................................................................8

C.Résolution pour des ondes monochromatiques.......................................................................81.Intérêt des ondes monochromatiques....................................................................................82.Deux écritures possibles pour la solution..............................................................................9

a.Notation complexe..........................................................................................................9b.Équation différentielle....................................................................................................9c.Résolution de l'équation différentielle..........................................................................10

D.Ondes progressives................................................................................................................111.Représentation en fonction du temps au point origine O et en un point M d'abscisse x.....112.Représentation en fonction de x à deux instants différents.................................................123.Période, longueur d'onde, vitesse de phase.........................................................................12

a.Surfaces d'onde.............................................................................................................12b.Période..........................................................................................................................12c.Longueur d'onde...........................................................................................................13d.Vitesse de phase............................................................................................................13e.Relation longueur d'onde période.................................................................................13

4.Phase à l'origine, retard de phase dû à la propagation.........................................................13a.Conventions de signe....................................................................................................13b.Phase à l'origine............................................................................................................14c.Déphasage.....................................................................................................................14d.Retard de propagation...................................................................................................14

5.Onde incidente et onde réfléchie.........................................................................................15E.Ondes stationnaires................................................................................................................16

1.Représentation en fonction de x à des instants différents....................................................162.Nœuds et ventres.................................................................................................................17

a.Nœuds...........................................................................................................................17b.Ventres..........................................................................................................................17c.Fuseaux.........................................................................................................................17d.Phase ............................................................................................................................17

F.Forme de la solution à adopter...............................................................................................171.Passage d'une forme à l'autre...............................................................................................17

a.Une onde stationnaire se décompose en une somme de deux ondes progressives.......17b.Une onde progressive se décompose en une somme de deux ondes stationnaires.......18

2.Choix de la solution.............................................................................................................18

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III.OPPM généralisation.................................................................................................................18A.Introduction de la notation....................................................................................................18B.Notation complexe................................................................................................................19C.Généralisation........................................................................................................................20

Chap 4.1: Ondes dans le vide.............................................................................................................21I.Équations de MAXWELL............................................................................................................21

A.Les équations locales.............................................................................................................211.équation de MAXWELL-GAUSS.......................................................................................212.équation de MAXWELL-FARADAY.................................................................................213.équation de MAXWELL-flux.............................................................................................214.équation de MAXWELL-AMPÈRE....................................................................................21

B.Le couplage et l'existence prévisible d'ondes électromagnétiques........................................22C.Les quatre équations intégrales correspondantes..................................................................22

1.Les théorèmes utiles............................................................................................................222.Les quatre équations intégrales...........................................................................................23

II.Équations de MAXWELL dans le vide......................................................................................24A.Les équations locales dans le vide.........................................................................................24

1.équation de MAXWELL-GAUSS.......................................................................................242.équation de MAXWELL-FARADAY.................................................................................243.équation de MAXWELL-flux.............................................................................................244.équation de MAXWELL-AMPÈRE....................................................................................24

B.Les quatre équations intégrales correspondantes..................................................................24III.Équations de propagation pour E et B.......................................................................................25

A.Champ électrique...................................................................................................................25B.Champ magnétique................................................................................................................25C.Remarques.............................................................................................................................26

IV.Solutions en onde plane OP et onde plane progressive OPP.....................................................27A.Définitions.............................................................................................................................27B.Résultats OPP........................................................................................................................27C.Résultats OP..........................................................................................................................28

V.Le cas particulier de l'onde plane progressive monochromatique OPPM...................................28A.Intérêt....................................................................................................................................29B.Définition...............................................................................................................................29C.Démonstration des résultats...................................................................................................30

1.Expression des opérateurs...................................................................................................302.Écriture des équations de MAXWELL pour l'OPPM.........................................................303.Équation de dispersion........................................................................................................32

a.À partir de l'équation de propagation............................................................................32b.À partir de MF et MA...................................................................................................32c.Vitesse de phase............................................................................................................33

4.Résultats..............................................................................................................................33VI.Paquet d'ondes...........................................................................................................................33

A.Définitions.............................................................................................................................33B.Vitesse de groupe...................................................................................................................34

VII.Compléments...........................................................................................................................35A.Forces....................................................................................................................................35B.Énergie pour une OPPM........................................................................................................36

1.Densité volumique d'énergie en J.m-3.................................................................................36

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2.Vecteur densité volumique de courant d'énergie électromagnétique ou vecteur de POYNTING en Wm-2 ...........................................................................................................363.Vitesse de propagation de l'énergie.....................................................................................374.Grandeurs énergétiques moyennes dans le temps...............................................................37

C.Aspect corpusculaire.............................................................................................................38Chap 4.2: Polarisation........................................................................................................................39

I.Définition.....................................................................................................................................39II.Les 3 cas de polarisation.............................................................................................................39

A.Polarisation rectiligne............................................................................................................39B.Polarisation circulaire............................................................................................................39C.Polarisation elliptique............................................................................................................40

III.Intensité.....................................................................................................................................40A.Intensité pour une OPPM......................................................................................................40B.La loi de MALUS..................................................................................................................40C.Polarisation rectiligne d'une lumière naturelle (non polarisée).............................................40

Chap 4.3: Dispersion dans un plasma dilué........................................................................................42I.Définition.....................................................................................................................................42II.Équation de dispersion................................................................................................................42

A.Notations...............................................................................................................................42B.Équation de propagation dans un plasma..............................................................................42C.Équation de dispersion..........................................................................................................43D.Les deux cas..........................................................................................................................44

1.Propagation..........................................................................................................................442.Onde évanescente................................................................................................................45

a.Vecteur k.......................................................................................................................45b.Expression de E ...........................................................................................................45c.Expression de B............................................................................................................45d.Expression de π ............................................................................................................45

Chap 4.4: Réflexion sur un plan conducteur parfait...........................................................................47I.Ondes incidente et réfléchie.........................................................................................................47

A.Onde incidente dans le vide..................................................................................................47B.Onde réfléchie.......................................................................................................................47

II.Onde totale..................................................................................................................................47A.Champs..................................................................................................................................47B.Densités de charge et de courant apparues sur le plan..........................................................48C.Nœuds et ventres...................................................................................................................48D.Aspect énergétique................................................................................................................49

Chap 4.5: Guide d'onde......................................................................................................................50I.Forme de la solution.....................................................................................................................50II.Équation de dispersion................................................................................................................51III.Solution......................................................................................................................................52IV.Vitesse de propagation de l'énergie............................................................................................52

A.Utilisation des grandeurs complexes.....................................................................................521.Expression de la valeur moyenne dans le temps <E B >.....................................................522.Expression de la valeur moyenne dans le temps <E2>.......................................................533.Résultats..............................................................................................................................53

B.Principe de calcul..................................................................................................................53C.Calcul et résultat....................................................................................................................54

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Chap 4.6: Rayonnement du dipôle.....................................................................................................56I.Expression du potentiel vecteur...................................................................................................56II.Champ dans la zone de rayonnement.........................................................................................57

A.L'approximation....................................................................................................................57B.Les expressions de B et de E.................................................................................................58C.Application: champ créé par une antenne.............................................................................58

Mis à jour 01/2013

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Chap 4.0: Introduction aux ondes

I. Définition

A. Onde : phénomène de propagation d'une vibration, suite à une perturbation.

Une onde est une modification d'une propriété de l'espace variable à la fois dans l'espace et le temps. On désigne la grandeur qui oscille, ou onde, par x ,t dans le cas d'une onde à une dimension d'espace x .

Le phénomène de propagation se traduit par le fait que la fonction x ,t dépend d'une fonction couplant l'espace et le temps. Cette fonction x , t est appelée la phase de l'onde progressive. Une surface de phase, encore appelée surface d'onde, est l'ensemble des points atteints au même instant par l'onde (c'est donc l'ensemble des points vérifiant x , t =constante à tdonné).

B. Exemples

• Par exemple, pour une corde qui oscille, l'onde x ,t correspond à la déformation verticale à l'instant t du point de la corde situé à l'abscisse x . Il ne faut pas confondre le déplacement de l'onde progressive (vers la droite sur l'exemple) et le déplacement du point de la corde (vers le haut sur l'exemple).

• Par exemple, pour une onde sonore (tranches d'air qui vibrent) causée par une membrane de haut-parleur suffisamment grande pour que le phénomène dans la zone considérée puisse être considéré invariant selon y et z , le déplacement d'une tranche d'air est noté:x ,t . Les ondes sont des ondes planes. Il ne faut pas confondre le déplacement de

l'onde progressive qui parcourt des distances importantes et le déplacement d'une tranche d'air qui oscille très peu localement.

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xOnde Ψ(x,t)

Direction de propagation pour onde progressive

L'onde sur une corde est transversale


II. Équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT

A. L'équation à une dimension

En négligeant notamment toute dissipation d'énergie (pas de frottement), ces ondes vérifient l'équation de base des ondes ou équation de LE ROND D'ALEMBERT. C'est une équation différentielle aux dérivées partielles:

∂2x , t ∂ x2 − 1

c2∂2x , t ∂ t 2 =0

(si on ne s'était pas limité à une seule dimension d'espace: = x , y , z ,t en cartésiennes, on aurait écrit l'équation sous sa forme générale

x , y , z , t − 1c2∂2x , y , z , t

∂ t 2 =0

où le delta ne signifie pas une différence finie entre deux valeurs mais désigne l'opérateur Laplacien. En coordonnées cartésiennes

x , y , z , t =∂2x , y , z , t

∂ x2 ∂2x , y , z , t

∂ y2 ∂2 x , y , z ,t

∂ z2 )

B. Propriétés

1. Renversement du temps, t-réversibilitéSi x ,t est solution, alors x ,−t est aussi solution. En quelque sorte, on filme le

phénomène et on passe le film à l'envers. Et rien ne choque, l'onde va en sens inverse en remontant

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x

Direction de propagation pour onde progressive

L'onde acoustique est longitudinale

Onde Ψ(x,t)


le temps. Le phénomène de propagation d'onde décrit par l'équation de D'ALEMBERT est réversible (cf: pas de dissipation). Ceci est dû à la non présence de dérivées d'ordre impair par rapport à t .

Justification :

Dire que ici, il y a dt 2 de sorte que le changement de signe surdt ne change rien, cela semble un peu court. On fait mieux.

Posons:

x ,t = f x ,t

renv x , t = f x ,−t (obtenu par renversement du temps ent=0 )

Donc:

∂∂ t

x , t =∂ f x , t ∂ t

= f ' t x , t

∂∂ x

x , t =∂ f x , t ∂ x

= f ' x x , t

∂renv

∂ t x , t =∂ f x ,−t

∂t

=∂ f x ,−t ∂−t

×−1

=− f ' t x ,−t

(chaque ordre de dérivation par rapport à t apporte un signe moins)

∂renv

∂ x x , t = f ' x x ,−t

Si l'équation différentielle du phénomène était de la forme comme en thermique (diffusion):

∂2∂ x2 −

1a∂∂ t=0

soit:

f ' ' x−1a

f ' t=0

cela donnerait (considérer pour x ,−t )

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∂2renv

∂ x2 1a∂renv

∂ t=0

donc, renv ne vérifierait pas l'équation et la diffusion est irréversible.

Ici, l'équation de propagation des ondes est réversible (la dérivée par rapport au temps est d'ordre deux).

2. Célérité de l'ondeLe terme c qui apparait dans l'équation de D'ALEMBERT est homogène à une vitesse. On

démontrera par la suite que c est la célérité de l'onde (encore une fois, à ne pas confondre, par exemple, pour une onde sur une corde, à la vitesse du point de la corde, à ne pas confondre pour une onde de courant, à la vitesse des charges...etc)

Analyse dimensionnelle:

∂2∂ x2 =

1c2∂2∂ t2 donne:

[][L]2

= 1[c]2

[][T ]2

[c]2=L2T−2

[c]=L T−1

C. Résolution pour des ondes monochromatiques

Une onde monochromatique, c'est une onde sinusoïdale dans le temps (on utilise aussi le mot: harmonique), c'est à dire possédant une fréquence. On utilise souvent le terme monochromatique par allusion à la lumière visible où chaque fréquence correspond à une couleur.

1. Intérêt des ondes monochromatiquesEn fait toute onde se décompose en composantes sinusoïdales. Donc, on va se contenter ici

d'étudier une composante.

(Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme discrètes de fonctions sinusoïdales : voir cours maths en L2 concernant la décomposition en série de FOURIER.

Cette décomposition s'étend au cas des fonctions non périodiques. Toute fonction sommable peut être décomposée en une somme (continue) de fonctions sinusoïdales : voir cours maths en L3 concernant la transformée de FOURIER).

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2. Deux écritures possibles pour la solutiona. Notation complexeOn cherche donc des solutions de la forme:

x ,t =...×cos t...

avec pulsation (dimension: T−1 , unité: rad s−1 )Le plus facile est de travailler avec les complexes associés:

x ,t = fonction de x×exp j t

On cherche donc des solutions de la forme

x ,t =x exp j t (attention aux notations) donc

∂x , t ∂ t

= j x , t

et

∂2x , t ∂ t2 = j2 x , t

∂2x , t ∂ t2 =−2 x , t

b. Équation différentielleL'équation des ondes devient successivement:∂2 x ,t ∂ x2 − 1

c2∂2 x , t ∂ t 2 =0

∂2x , t ∂ x2 − 1

c2∂2x , t ∂ t 2 =0

∂2x , t ∂ x2

2

c2 x , t =0

d 2x d x2

2

c2 x =0

et en posant 2=k 2 c2

avec k : grandeur du vecteur d'onde - souvent la norme - (dimension: L−1 , unité: rad m−1 )

d 2x d x2 k 2 x=0

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L'équation différentielle à résoudre est maintenant une équation différentielle ordinaire.

c. Résolution de l'équation différentielleRappel:

Résolution de l'équation différentielle

y ' ' x k2 y x =0

On essaye une solution en y x =cste exp r x

On reporte et on obtient l'équation caractéristique

r 2k2=0

D'où deux solutions pour r

r=± j k

et une première écriture pour la solution:

y x =a exp− jk xb exp jk x

(ici a et b sont tels que y x soit réel)

puis en remarquant que

exp jk x =cos kx jsin kx

exp − jk x=coskx − j sin kx

une deuxième écriture pour la solution que l'on adopte généralement puisque tous les coefficients sont déjà réels

y x =A cos k x B sin k x

Ici x est complexe. Les deux écritures possibles pour la solution ( rappelons que ces deux écritures traduisent la même réalité physique) sont donc:

soit x =a exp − jk xb exp jk x

donc:

x ,t =a exp j t−k x b exp j tk x

en utilisant la notation exponentielle des complexes sous la forme

a=a exp − ja et

b=b exp − jb

x ,t =a exp j t−k x−ab exp j tk x−b

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soit x =A cos k x B sin k x

donc:

x ,t =A cos k x exp j t B sin k xexp j t

en utilisant la notation exponentielle des complexes sous la forme

A=A exp− jA et

B=B exp − jB

x ,t =A cos k x exp j t−AB sink x exp j t−B

D. Ondes progressives

La solution peut s'écrire sous la forme

x ,t =a exp j t−k x−ab exp j tk x−b

x ,t =a cos t−k x−ab cos tk x−b

c'est à dire sous la forme d'une somme de deux OPPM (onde plane progressive monochromatique).

On étudie ici le cas particulier d'une onde M ,t =MAX cos t−k x−O dont la phase vaut:

M , t = t−k x−O= t−M (au point O , en x=0 , la phase est O , t = t−O )

On suppose k0

1. Représentation en fonction du temps au point origine O et en un point M d'abscisse x

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Sur les schémas, on a supposé que l'onde démarrait en O en t=0 . Du fait de la propagation

(retard de phase), l'onde en M reproduit l'onde à l'origine O avec un retard = xc . Pour

t l'onde sinusoïdale est périodique dans le temps de période T ( unité s ).

2. Représentation en fonction de x à deux instants différents

Sur les schémas, on a supposé à nouveau que l'onde démarrait en O en t=0 . On voit le front d'onde avancer avec le temps. Le front d'onde se trouve donc en x f=c t . Pour x x f l'onde sinusoïdale est périodique dans l'espace de période (longueur d'onde en m ).

3. Période, longueur d'onde, vitesse de phase

C'est la phase M , t = t−k x−O = t−M qui donne les informations sur la propagation.

a. Surfaces d'ondeÀ un instant t donné, tous les points d'un plan x=constante ont la même phase. Les surfaces

d'ondes ou surfaces équiphases sont donc des plans x=constante .

b. PériodeLa période T dans le temps est donnée par

∣x , tT −x , t ∣=2

T=2

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T=2

c. Longueur d'ondeLa période dans l'espace est donnée par

∣x ,t −x , t ∣=2

k =2

=2k

d. Vitesse de phaseSi x , t =xdx , tdt c'est que l'onde s'est propagée de dx pendant dt . Pour trouver

la vitesse de propagation (vitesse de phase), on doit donc chercher v=dxdt avec dx et dt tels

que d = xdx ,tdt −x ,t =0 .

v=dxdt =constante

Soit:

x , t = t−k x−O

d x , t = dt−k dx=0

dxdt=

k

v=c

e. Relation longueur d'onde périodeLa périodicité dans l'espace est liée à la périodicité dans le temps. On peut s'attendre à trouver que

la longueur d'onde correspond à la distance parcourue par l'onde pendant une période.

=k c

donc :

2T=2

c

=cT

4. Phase à l'origine, retard de phase dû à la propagationa. Conventions de signeElles ne sont pas toujours très claires.

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• La grandeur qui intervient c'est cos de sorte qu'il est possible d'appeler M , t :

soit: t−k x−O = t−M (on travaille en t ),

soit l'inverse k xO− t=M − t (on travaille en − t ) .

• De plus, on peut travailler (admettons ici que soit en t ):

soit en t , le même signe devant t et ( 0 pour un retard)

soit en t− , signes différents devant t et ( 0 pour un retard).

• Enfin la notation n'est pas toujours très précise. Elle est souvent synonyme de On devrait toujours préciser phase de...par rapport à...

Si on travaille en ± t− , 0 correspond à un retard (voir plus loin). C'est le choix que je fais dans mon cours, puisque dans une propagation, on a affaire à des retards.

b. Phase à l'origineOn appelle phase à l'origine (improprement souvent: phase, tout court) la valeur de la phase

en t=0 .

En fait, j'appelle ici phase à l'origine le terme noté .

Par exemple en O , la phase (à l'origine) c'est O .

Et en M , la phase à l'origine c'est. M =O k x

c. DéphasageLe déphasage (retard...puisque je compte 0 pour un retard) au cours de la propagation deO à M vaut donc =retard en M /O=M −O =k x . La notation simple =k x

manque beaucoup de précision.

Dans la suite, on utilisera le vecteur d'onde k=k u ( u , vecteur unitaire indique que la direction de la propagation se fait selon u ). On écrira :

d =k dl

ou pour k uniforme:

retard enM /O=k OM=k r OM

d. Retard de propagationLe temps mis par l'onde pour aller de O à M vaut:

OM=r OM

c

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ici = xc . L'onde en M est la même que l'onde en O mais avec ce retard .

On peut donc écrire:

M , t =O ,t−

M , t =O ,t−

=t−−O

=t− xc−O

= t−k x−O

Et l'on retrouve l'expression du départ.

On remarquera que pour obtenir le déphasage retard dû à la propagation entre O et M on dispose de trois approches possibles:

temps temps de retard: temps de retard en périodes:T

déphasage: 2 T

longueur longueur supplémentaire:r

longueur supplémentaire en

longueurs d'onde: r

déphasage: 2 r

formule déphasage: k r

5. Onde incidente et onde réfléchie

Supposons qu'il y ait naissance d'une onde en S en xS .

Si le milieu est infini, pour x xS , on aura une onde se propageant vers les x croissants avec k=k ux et v=c u x .

Si le milieu est infini, pour x xS , on aura une onde se propageant vers les x décroissants avec k=−k u x et v=−c ux ( k0 et c0 ).

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S x


Par contre, si le milieu est limité, il y aura naissance d'une onde réfléchie à l'extrémité du milieu. On aura donc à considérer la somme de deux OPPM (une onde incidente et une onde réfléchie), l'une correspondant à k=k ux et v=c u x et l'autre correspondant à k=−k u x et v=−c ux .

La solution générale de l'équation de D'ALEMBERT s'écrit donc bien sous forme d'une somme:x ,t =a cos t−k x−ab cos tk x−b . La première onde a une vitesse

k=c et

la deuxième une vitesse −k=−c . Quand le milieu est illimité, on ne devra garder qu'une seule

solution.

E. Ondes stationnaires

La solution peut s'écrire sous la forme

x ,t =A cosk x exp j t−AB sink x exp j t−B

x ,t =A cos k x cos t−AB sin k x cos t−B

c'est à dire sous la forme d'une somme de deux ondes stationnaires.

On étudie ici le cas particulier d'une onde: x ,t =0 sink x cos t− ( 0 grandeur supposée positive)

que l'on peut encore écrire: x ,t =MAX x cos t−

dont l'amplitude ∣MAX x ∣ dépend de x avec:

MAX x =0sin kx

Il n'y a plus ici de couplage entre l'espace et le temps donc il n'y a plus de propagation. L'onde se présente sous la forme d'un produit d'une fonction (sinusoïdale) de x par une fonction (sinusoïdale) de t .

1. Représentation en fonction de x à des instants différents

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2. Nœuds et ventresa. NœudsAux nœuds, l'onde est toujours nulle puisque l'amplitude est nulle.

M AXx =0sinkx=0

k xnoeud=m ( m est un entier relatif)

xnoeud=m 2

b. VentresAux ventres, l'amplitude est maximale.

∣MAX x ∣=0∣sin kx ∣=0

k xventre=2m ( m est un entier relatif)

xventre=4m

2

c. Fuseaux

La distance entre deux nœuds consécutifs vaut donc2 .

d. Phase Tous les points d'un fuseau sont en phase entre eux.

Si MAX x est positif, la phase vaut t−

Si MAX x est négatif, la phase vaut t−

Les points d'un fuseau sont en opposition de phase avec les points d'un fuseau adjacent.

F. Forme de la solution à adopter

1. Passage d'une forme à l'autrea. Une onde stationnaire se décompose en une somme de deux ondes progressives

Exemple: x ,t =0 sink x cos t−

Il faut transformer le produit sin×cos en une somme de deux fonctions sinusoïdales.

On peut aussi passer par la notation complexe:

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x ,t =0 sink x exp j t−

x ,t =0exp jkx −exp− jkx

2 jexp j t−

x ,t =0

2 j exp j tk x−−exp j t−k x−

Une onde stationnaire se décompose en la somme de deux ondes progressives de même amplitude progressant en sens inverses.

b. Une onde progressive se décompose en une somme de deux ondes stationnaires

Exemple: M ,t =MAX cos t−k x−O

Il faut développer le cosinus

M ,t =MAX cos t−O coskx sin t−O sin kx

On peut aussi passer par la notation complexe.

On peut donc passer d'une forme à l'autre.

2. Choix de la solutionLa solution onde progressive est adaptée à l'onde dans l'espace libre.

La solution onde stationnaire est adaptée à l'onde piégée dans un domaine de l'espace: par exemple si l'onde doit s'annuler aux deux extrémités d'une cavité, on aura différents modes possibles correspondant à un ou plusieurs fuseaux (remarquer que dans ce type de problème, on connaitra d'abord les valeurs possibles de donc de k et on déduira ensuite la valeur des différents ).

En fait puisque l'on peut passer facilement d'une forme d'écriture à l'autre, le choix d'une base de description: onde progressive ou onde stationnaire n'est pas dramatique. Le programme développe plutôt les ondes progressives.

III. OPPM généralisation

A. Introduction de la notation

Précédemment, on a envisagé une onde plane progressive monochromatique qui se déplaçait dans la direction de l'axe des x (dans le sens du vecteur unitaire ux ). La phase s'écrivait:

M , t = t−M

avec:

M =O k x

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On envisage ici une onde de direction quelconque se propageant selon u .

Donc:

M =O k OH

M =Ok OM u

On introduit le vecteur d'onde k=k u

M =O k OM

(cf. d =k dl voir plus haut)

Les surfaces équiphases sont des plans perpendiculaires à k .

M ,t =MAX cos t−kOM−O

ou encore:

M ,t =MAX cos t−k r OM−O

B. Notation complexe

On travaillera souvent en complexe:

M ,t =MAX exp j t−k r OM−O

(rappel conventions adoptées:

O positif traduit un retard

on travaille en exp j t )

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Propagation

MO

Hu


C. Généralisation

Cette notation complexe permet une généralisation que n'autorise pas la notation réelle. On verra en effet que dans certains problèmes, le vecteur k sera complexe. De sorte que, parfois l'onde obtenue ne sera même pas progressive, alors que mathématiquement le traitement des équations de Maxwell se fera exactement comme pour une onde plane progressive monochromatique.

Finalement:

on appelle OPPM une onde qui s'écrit:

M ,t =MAX exp j t−k r OM−O

si k est réel : l'onde est dite homogène

si k est complexe : l'onde est inhomogène

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Chap 4.1: Ondes dans le vide

I. Équations de MAXWELL

A. Les équations locales

On écrit les quatre équations locales de MAXWELL pour le champ électromagnétiqueE M , t , B M , t . Quatre équations locales issues du travail de JAMES CLERK MAXWELL

qui fait la synthèse des connaissances de son époque sur l'électricité, le magnétisme et l'induction en 1873 sous une forme mathématique et introduit même un terme supplémentaire théorique - voir terme en caractère gras - pour assurer la cohérence de l'ensemble. C'est l'ajout de ce terme qui permet de prévoir puis de mettre en évidence par des expériences des ondes électromagnétiques. Et de se rendre compte que la lumière est une onde électromagnétique...

1. équation de MAXWELL-GAUSS

div E M ,t =M , t 0

2. équation de MAXWELL-FARADAY

rot E M , t =−∂B M ,t ∂ t

3. équation de MAXWELL-flux

div BM , t =0

( B est à flux conservatif)

4. équation de MAXWELL-AMPÈRE

rot B M ,t =0j M , t 00

∂ E M ,t ∂ t

(avec 00=1c2 )

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B. Le couplage et l'existence prévisible d'ondes électromagnétiques

Deux équations mettent en évidence la couplage E M , t , B M , t montrant que E et Bsont liés l'un à l'autre. Ce sont:

l'équation de MAXWELL-FARADAY: lien entre ∂ E∂ t et B

l'équation de MAXWELL-AMPÈRE: lien entre ∂B∂ t et E

On peut alors prévoir l'existence d'ondes électromagnétiques (propagation possible d'un signal électromagnétique loin de la source). De façon très très qualitative et très très imparfaite:

-Supposons qu'on établisse le courant j dans un volume source, l'équation de MAXWELL-AMPÈRE montre qu'il y a création d'un champ magnétique B (ce champ magnétique ne varie pas instantanément, en tout point de l'univers, de zéro à une valeur finie...il est d'abord produit au voisinage de la source)

-En un point de ce voisinage, ∂ B∂ t est non nul, l'équation de MAXWELL-FARADAY montre

qu'il y a création d'un champ électrique E immédiatement dans le voisinage (du voisinage) qui

passe donc de zéro à une valeur finie. De même, en ce nouveau point ∂ E∂ t est alors non nul et

l'équation de MAXWELL-AMPÈRE montre qu'il y a, à nouveau, création d'un champ magnétiqueB d'abord au voisinage...

-Il y a finalement création de B (et de E ) un peu plus loin et le champ électromagnétiqueE , B se propage indépendamment de la source.

C. Les quatre équations intégrales correspondantes

1. Les théorèmes utiles

Théorème de STOKES:

∮courbe fermée C

A dl= ∬surface S s' appuyant sur C

rot A⋅ dS

Théorème d'OSTROGRADSKY:

∯surface fermée

A dS= ∭volume V limité par

div A d

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2. Les quatre équations intégrales

(2) et (4)

Pour les établir, on multiplie les équations locales par dS et on intègre sur la surface S s'appuyant sur un contour fermé C .

-On remarque que ∬S

j dS donne le courant (grandeur algébrique) qui traverseS donc courant enlacé par C .

-On remarque que dans ∬S

∂ B∂ t

dS , on peut permuter ∬ et ∂∂ t car C

(donc S ) est fixe. Alors ∬S

∂ B∂ t

dS= dd t∬S

B dS puisque, B=∬S

B dS ne

dépendant que du temps, la dérivée est une dérivée totale.

Idem pour E .

2) Loi de FARADAY:

∮ E dl=−dB

dt

4) Théorème d'AMPÈRE (généralisé aux régimes variables):

∮ B dl=0 I enlacé00

d E

dt

(1) et (3)

Pour les établir, on multiplie les équations locales par d et on intègre sur le volume V

limité par la surface fermée .On remarque que ∭V

d donne la charge contenue à

l'intérieur de .

1) Théorème de GAUSS:

∯ E dS=Qintérieur

0

3) Conservation du flux de B :

∯ B dS=0

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II. Équations de MAXWELL dans le vide

Dans le vide, il n'y a ni charges, ni courants M , t =0 et j M , t =0

A. Les équations locales dans le vide

1. équation de MAXWELL-GAUSS

div E M ,t =0

( E est à flux conservatif)

2. équation de MAXWELL-FARADAY

rot E M , t =−∂B M ,t ∂ t

3. équation de MAXWELL-flux

div BM , t =0

( B est à flux conservatif)

4. équation de MAXWELL-AMPÈRE

rot B M , t =00∂ E M ,t

∂ t

B. Les quatre équations intégrales correspondantes

1) Théorème de GAUSS:

∯ E dS=0

2) Loi de FARADAY:

∮ E dl=−dB

dt

3) Conservation du flux de B :

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∯ B dS=0

4) Théorème d'AMPÈRE (généralisé aux régimes variables):

∮ B dl=00

d E

dt

III. Équations de propagation pour E et B

A. Champ électrique

On cherche l'équation différentielle vérifiée par E

On part de l'équation de MAXWELL-FARADAY ∇∧E=−∂B∂ t dont on prend le rotationnel:

∇∧ ∇∧E =− ∇∧∂B∂ t

en permutant les dérivées:

∇∧ ∇∧E =− ∂∂ t ∇∧B

On y reporte l'équation de MAXWELL-AMPÈRE ∇∧B= 1c2∂ E∂ t donc:

∇∧ ∇∧E =− ∂∂ t 1c2∂ E∂ t

et en utilisant

∇2 E= ∇ ∇ E − ∇∧ ∇∧E

E=grad div E −rot rot E

et l'équation de MAXWELL-GAUSS dans le vide ∇ E=0

on trouve l'équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT:

E− 1c2∂2 E∂ t 2 =0

B. Champ magnétique

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On cherche l'équation différentielle vérifiée par B

On part de l'équation de MAXWELL-AMPÈRE ∇∧B= 1c2∂ E∂ t

∇∧ ∇∧B = 1c2∇∧∂

E∂ t

∇∧ ∇∧B = 1c2∂∂ t ∇∧E

On reporte l'équation de MAXWELL-FARADAY ∇∧E=−∂B∂ t :

∇∧ ∇∧B =− 1c2∂2 B∂ t 2

et en utilisant B=grad div B−rot rot B et l'équation de MAXWELL-flux ∇ B=0

on trouve l'équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT:

B− 1c2∂2 B∂ t2 =0

C. Remarques

1) Ces équations indiquent que l'onde E , B dans le vide se propage à la vitesse c telle que 00 c2=1 . On démontrera en effet que la vitesse de phase, la vitesse de groupe, la vitesse de l'énergie sont toutes égales à c . L'onde lumineuse étant une onde électromagnétique, c désigne donc la vitesse de la lumière dans le vide qui a été fixée par définition du mètre en 1983 à c=299792 458 m ⋅ s−1 . La théorie de MAXWELL a unifié l'électromagnétisme et l'optique.

2) Les équations de MAXWELL sont valables dans tout référentiel galiléen. La vitesse c est donc la même dans tout référentiel galiléen, alors que ces référentiels se translatent rectilignement à vitesse constante les uns par rapport aux autres. Cette valeur universelle est en contradiction avec les idées classiques concernant la composition des vitesses dans des référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre. La théorie de MAXWELL est relativiste.

3) Il ne faut pas résumer les équations de MAXWELL (on verra que dans certains cas, il n'y a que deux équations de MAXWELL indépendantes: M-F et M-A) par les deux équations de propagation. On perdrait alors la relation entre E et B .

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IV. Solutions en onde plane OP et onde plane progressive OPP

A. Définitions

Par exemple, supposons E=E z , t et B=B z , t . Alors l'onde à un instant t donné est la même en tout point d'un plan (ici z=constante ), l'onde est plane.

Par exemple, supposons E=E t− zv et B=Bt− z

v où v=vu désigne la vitesse de

propagation ou de phase ( u le vecteur unitaire perpendiculaire aux plans d'onde, ici c'est uz ). L'onde est plane mais de plus, elle est progressive. A un instant donné t , en z , l'onde

reproduit ce qui se passait en z=0 avec un retard = zv . Si v0 , en z0 ce retard est

positif, en z0 ce retard est négatif (normal puisque l'onde est en avance). Il faut inverser les inégalités pour v0 .

En fait, on s'intéressera essentiellement aux ondes monochromatiques dans la suite. On définira la phase (argument du complexe associé à l'onde) et l'amplitude (module du complexe associé à l'onde). Alors, indépendamment de l'amplitude, on choisira cette définition plus intéressante:

Une onde est plane si les surfaces équiphases sont planes.

On pourra aussi définir des surfaces équi-amplitudes.

B. Résultats OPP

On porte E=E t− zv et B=Bt− z

v dans les équations de MAXWELL. On remarque que si

on pose =t− zv alors ∂

∂ t= ∂∂ et ∇= ∂

∂ z u z=−

∂∂

1v

u z .

On obtient, en ne tenant pas compte des solutions indépendantes du temps, puisque ces champs correspondent à des champs statiques. Ici, en effet, on veut seulement étudier la propagation par ondes.

1) MG : E u indépendant du temps

Mflux : Bu indépendant du temps

Les champs E et B sont transversaux (perpendiculaires à u )

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2) MF : B=u∧E

v

MA : E= c2

vB∧u

En reportant MF dans MA , on obtient v2=c2 .

Je choisis v=c de sorte que u donne le sens de propagation

Finalement B=u∧E

c

E et B sont orthogonaux. Le trièdre E , B ,u est direct.

E et B sont proportionnels. À tout instant ∥B∥=∥E∥c

.

C. Résultats OP

On peut montrer que l'onde plane dans la direction u : E=E z , t et B=B z , t est la somme de deux ondes planes progressives OPP

-une OPP+ se propageant dans le sens u selon les z croissants à la vitesse v=cu

-une OPP- se propageant dans le sens −u selon les z décroissants à la vitesse v=−cu

E=E z , t = E t−zc E− t

zc

B=B z , t = B t−zc B− t

zc

V. Le cas particulier de l'onde plane progressive monochromatique OPPM

(autre vocabulaire de sens identique: au lieu de

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E

B avec B=E/c

v = c u


OPPM -monochromatique-,

OPPH -harmonique-

OPPS -sinusoïdale- )

A. Intérêt

L'onde électromagnétique la plus générale dans le vide peut se décrire comme une somme d'ondes planes progressives se dirigeant dans toutes les directions et sens donnés par u . On écrit ici sous forme d'une somme discrète mais il faudrait souvent envisager une somme continue. Je n'écris que le champ E pour simplifier.

E r , t =∑u

Eut−urc .

De plus, grâce à la décomposition en fréquences de Fourier (série de Fourier ou intégrale de Fourier), on sait que chacun des termes de cette somme peut lui-même être exprimé comme une somme de fonctions périodiques.

E ut−urc=∑

Eu ,0 exp jt−urc

c'est à dire de termes de la forme:

E0 exp j t−k r

C'est cette OPPM que l'on étudie ici, en établissant à nouveau tous les résultats déjà rencontrés pour l'OPP.

B. Définition

Une OPPM par définition est une onde qui s'écrit:

E M ,t =E0 exp j t−k r

Le vecteur d'onde k étant réel dans ce chapitre, on sait ou on démontrera que:

• cette onde est plane (les surfaces équiphases sont perpendiculaires à k )

• cette onde est progressive dans la direction et le sens de k avec une vitesse de phase

∥v∥=∥k∥

=c

• cette onde est sinusoïdale de fréquence f = 2 .

Par la suite, dans des milieux autre que le vide, on rencontrera la même écriture mathématique

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avec un k imaginaire ou complexe. L'onde correspondante pourra alors n'être même pas progressive!

On distingue dans des cours plus avancés:

E M ,t =E0 exp j t−k r et k réel : OPPM homogène

E M ,t =E0 exp j t−k r et k complexe : OPPM non homogène

avec, en cartésiennes:

E0=E 0x u xE0y u yE0z uz

=E0x exp− j x uxE0y exp − j y u yE0z exp − jz uz

et:

k=k x uxk y uyk z u z

r=x u x y u yz u z

k r=k x xk y yk z z

l'écriture de l'onde OPPM correspond à

E M ,t =E0x exp j t−k x xk y yk z z−x u x

E0y exp j t−k x xk y yk z z−y u y

E0z exp j t−k x xk y yk z z− z uz

C. Démonstration des résultats

1. Expression des opérateurs

∇=− j k

∂∂ t= j

2. Écriture des équations de MAXWELL pour l'OPPM

1) MG : ∇ E=0

− j k E=0

k E=0

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L'onde est TE (transversale électrique)

Mflux : ∇ B=0

− j k B=0

k B=0

L'onde est TM (transversale magnétique)

Finalement, l'onde est TEM (transversale électromagnétique)

2) MF : ∇∧E=−∂B∂ t

− j k∧E=− jB

B=k∧E

(Utile pour trouver B connaissant E et k )B est orthogonal à E

On retrouve que B est transversal. En régime sinusoïdal l'équation de MAXWELL-flux est déjà contenue dans l'équation de MAXWELL-FARADAY.

rot E =−∂B∂ t

rot E =− j B

et puisque divrot =0

on obtient div B=0

Enfin, puisque l'on a repris la démonstration, imaginons que soit connu, k est encore inconnu. On connaitra k après obtention de la relation de dispersion k=k . A ce stade de démonstration, la grandeur de B reste inconnue.

MA : ∇∧B= 1c2∂ E∂ t

− j k∧B= j c2E

E= c2

B∧k

(Utile pour trouver E connaissant B et k )Rien de nouveau

On retrouve que E est transversal. En régime sinusoïdal l'équation de MAXWELL-GAUSS dans

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le vide est déjà contenue dans l'équation de MAXWELL-AMPÈRE.

rot B= 1c2∂ E∂ t

rot B= j c2E

et puisque divrot =0

on obtient div E=0

3. Équation de dispersion

a. À partir de l'équation de propagation

∇2 E− 1c2∂2 E∂ t 2 =0

− j k 2 E− 1c2 j2 E=0

2=k2 c2

b. À partir de MF et MAOn reporte MA dans MF par exemple

B=k∧E

=k∧

B∧k c2

= c2

2k∧B∧k

en utilisant la formule du double produit vectoriel a∧b∧c=b c a −c ba

on a k∧B∧k =Bk 2−k Bk et puisque l'onde est transversale k B=0

on obtient finalement:

B= c2

2 k 2B

soit:

2=k 2 c2

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c. Vitesse de phase• La relation de dispersion obtenue permet de déterminer k connaissant (ou

connaissant k ). On rappelle que la direction et le module k de k étant connus, il y a encore deux sens opposés possibles pour la propagation de l'onde.

• La vitesse de phase est alors connue. Par exemple pour une onde de pulsation se propageant dans le sens des z positifs:

z , t = t−k z−

On écrit pour retrouver la même phase en zdz et en tdt :

d =dt−k dz=0

v=dzdt =k

L'équation de dispersion a donné =k c d'où finalement:

v=c

La vitesse de phase est la même quelle que soit la fréquence de l'onde. Pour un paquet d'ondes (plusieurs fréquences), il n'y aura donc pas de dispersion dans le vide.

4. Résultats

B=u∧E

cE=c B∧u

VI. Paquet d'ondes

A. Définitions

Une OPPM n'a pas de réalité physique puisque une onde réelle a une extension temporelle limitée et une extension spatiale limitée. En revanche, les ondes réelles peuvent être représentées comme une superposition d'OPPM.

On appelle paquet d'ondes la superposition d'un nombre fini ou infini d'OPPM de pulsations proches d'une pulsation moyenne 0 .

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E

B avec B=E/c

v = c u


Pour l'onde z , t on écrira: z , t = 12 ∫=0

=∞

exp j t−k z d .

amplitude∣ ∣en fonction deL'amplitude ne prend des valeurs significatives que pour des pulsations proches de 0 .

onde ℜ z ,t à t en fonction de zOn voit la position du maximum du paquet d'onde

B. Vitesse de groupe

C'est la vitesse de déplacement du maximum du paquet d'ondes. Elle vaut:

v g=d dk =0

Démonstration : La phase en z , t pour une composante de pulsation est donnée par:

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= t−k z−

Pour la pulsation centrale0=0 t−k0 z−0

Pour une pulsation voisine =0d c'est à dire qu'on travaille au premier ordre (calcul différentiel)

0d =0dt−k 0 dkd 0

d z−0 dd 0

d

Au maximum situé en z max à l'instant t , ces ondes de pulsations voisines doivent être en phase.

d =d t− dkd 0

d z− dd 0

d=0

t− dkd 0

z max−d d 0

=0

en différenciant:

d t− dkd 0

dzmax=0

v g=dz max

dt =d dk 0

L'équation de dispersion a donné =k c d'où finalement ici:

v g=c

VII. Compléments

A. Forces

∥ F E∥=q∥E∥

∥ F B∥q∥v∥∥B∥

donc

∥ F B∥

∥ F E∥∥v∥∥

B∥∥E∥

Pour une OPPM dans le vide∥B∥∥E∥

=1c

∥ F B∥

∥ F E∥∥v∥

c

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Aux vitesses non relativistes où l'on se placera, on pourra donc négliger la force magnétique exercée par l'onde sur une charge devant la force électrique exercée par l'onde. L'OPPM, sur des particules chargées non relativistes, agit de façon prépondérante par l'intermédiaire de son champ électrique.

B. Énergie pour une OPPM

1. Densité volumique d'énergie en J.m-3

Électrique uE M ,t =120 E 2M , t

Magnétique uM M ,t =12

B2M , t 0

Électromagnétique uEM=120 E21

2B2

0

Il y a équipartition de l'énergie entre la forme électrique et la forme magnétique puisque:

uM=12

B2

0=1

2E2

0 c2=120 E2=u E

Finalement pour une OPPM :

uEM=0 E2= B2

0

2. Vecteur densité volumique de courant d'énergie électromagnétique ou vecteur de POYNTING en Wm-2

Notation: R (comme Rayon lumineux) ou

La puissance électromagnétique traversant une surface est dP EM= dS

Dans le vide, le vecteur de POYNTING va vérifier ∇ =−∂ uEM

∂ t

Vecteur de Poynting : =E∧B0

donc

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=E∧ 1

c u∧E

0=

10 c E2u

=uEM v

avec v=c u

3. Vitesse de propagation de l'énergie

La formule =uEM v (en fait on travaille avec des valeurs moyennes dans le temps et même dans l'espace...mais ici ce n'est pas nécessaire) montre rapidement que l'énergie progresse à la célérité c .

vénergie=cu

4. Grandeurs énergétiques moyennes dans le temps

Les fréquences mises en jeu sont très grandes. On travaille donc en général avec les grandeurs moyennes dans le temps notées .

1) uEM

On travaille en réels

uEM=140 E0

214

B02

0

uEM=120 E0

2=12

B02

0

(puisque cos2=12 )

On peut obtenir cette valeur moyenne directement en travaillant complexes par les formules:

uE=120

E E *2

uM=1

20

B B *2

2)

On travaille en réels

=uEM cu

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On peut obtenir cette valeur moyenne directement en travaillant complexes par la formule:

=12ℜ

E∧B *0

3) Intensité sur l'écran en optique (éclairement)

L'éclairement est défini comme la puissance (il s'agit de puissance moyennée dans le temps) reçue par unité de surface sur un écran orthogonal à la direction de propagation.

dP EM= dS

dP=dPEM= dS

dP=∥∥dS (orthogonalité écran-direction de propagation )

« Intensité » (éclairement)

I=dPdS=∥∥=

120 c E0

2

Dans le cours d'optique, on laissera souvent tomber le facteur de proportionnalité120 c et l'on

écrira éventuellement I=E02=E E * ou plutôt I=s s* (approximation scalaire de l'optique)

C. Aspect corpusculaire

La théorie quantique associe à l'OPPM de fréquence des particules ou photons,

• de vitesse c ,

• de masse nulle,

• d'énergie E =h=h ( h : constante de PLANCK, h= h2 : constante de PLANCK

réduite) avec h=6,626 .10−34 J.s et h=1,055 .10−34 J.s

• de quantité de mouvement p=Ec donc p=h

c=hk

On peut donc prévoir qu'à l'OPPM est associée non seulement une densité volumique d'énergie mais aussi une densité volumique de quantité de mouvement. Celle-ci est à l'origine de la pression de radiation.

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Chap 4.2: Polarisation

(Éléments rapides)

I. Définition

E=E0x cos t−k z uxE0y cos t−k z− u y

L'onde est polarisée si est indépendant du temps

II. Les 3 cas de polarisation

A. Polarisation rectiligne

=0 ou =

B. Polarisation circulaire

=±2 et E0x=E 0y

On peut reconnaître si la polarisation est gauche ou droite

en déterminant le vecteur champ en deux instants différant d'un quart de période.

Exemple:

E final=E0 cos t−k z− uxE0 sin t−k z− u y

L'onde est polarisée circulairement puisque:

E x2E y

2=E0

2

4=constante

On représente E en deux instants différents séparés deT4 pour déterminer le sens:

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x

y

E pour (ωt-kz-ϕ) = 0

E pour (ωt-kz-ϕ) = π/2


Il s'agit donc d'une onde circulaire gauche.

C. Polarisation elliptique

Autres cas de polarisation

III. Intensité

A. Intensité pour une OPPM

I==0 c2

E02

Exemple:

Lumière naturelle

On suppose que le champ de la lumière naturelle s'écrit:

E lumière naturelle=E0 cos t−k z u t

La direction donnée par u t varie de manière aléatoire.

L'intensité vaut:

I 0= (valeur moyenne dans le temps) avec =E∧B0

I 0=10E0 cos t−k z ×

E0

ccos t−k z

I 0=0 c2

E02

B. La loi de MALUS

I=I 0cos2

C. Polarisation rectiligne d'une lumière naturelle (non polarisée)

I=I 0

2Démonstration:

E lumière naturelle=E0 cos t−k z u t

En appelant u ' la direction de polarisation imposée par le polariseur, on a à la sortie du polariseur pour l'onde polarisée rectilignement:

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E polarisée rectilignement=E0 cos u t ,u ' cos t−k z u '

E polarisée rectilignement=E0 cost cos t−k z u '

En moyennant sur la durée caractéristique du détecteur ( par exemple temps de réponse de l'œil ), on obtient pour l'intensité de sortie du polariseur:

I '=0 c2

E02cos2t

I '=0 c4

E02

I '=I 0

2

En tenant compte de ce résultat et en considérant ici aussi une sorte d'amplitude moyenne sur la

durée caractéristique du détecteur, on écrira I '=0 c2

E ' 02 d'où:

E polarisée rectilignement=E0

2cos t−k z u '

Remarque 1: réalisation de polariseur rectiligne avec des films de polymères.Remarque 2: notion rapide de lame quart d'onde et réalisation de polariseur circulaire.

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Chap 4.3: Dispersion dans un plasma dilué


I. Définition

Un plasma est un gaz ionisé constitué d'ions positifs (atomes dont un ou plusieurs électrons sont manquants) et d'électrons arrachés aux atomes. L'ensemble est globalement neutre.

Exemple:

Dans l'ionosphère, entre 60 km et 300 km d'altitude, le rayonnement du soleil provoque l'ionisation des molécules.

Autre exemple:

Dans les lampes à fluorescence, la décharge électrique crée un plasma.

Dans ce chapitre,on étudie un plasma dilué (gaz sous faible pression) de sorte que l'on pourra négliger les interactions entre les particules chargées.

II. Équation de dispersion

A. Notations

ions de masse M et de charge e

électrons de masse m ( m≪M ) et de charge −e

densité volumique des ions N en ions par m3

B. Équation de propagation dans un plasma

Équations de Maxwell dans un plasma

équation de Maxwell-Faraday rot E=−∂B∂ t

équation de Maxwell-Ampère rot B=0j00∂ E∂ t

On prend le rotationnel de la première et on reporte la seconde

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rot rot E =−∂rot B∂ t

grad div E − ∇ 2 E=−0∂j∂ t−00

∂2 E∂ t 2

or puisque est nul, on a div E=0

∇2 E−0∂ j∂ t− 1

c2∂2 E∂ t2 =0

Dérivée du courant volumique

Il reste à exprimer ∂j∂ t

en fonction de E

La plasma étant dilué, on néglige les interactions entre charges. De plus les forces magnétiques sont négligeables devant les forces électriques. Enfin le courant dû aux ions plus lourds est négligé par rapport au courant dû aux électrons.

Le principe fondamental appliqué à un électron s'écrit alors:

−e E=m ∂v∂ t

avec

j=N −e v

si N est la densité volumique d'électrons dans le plasma.

On obtient alors:

∂j∂ t= N e2

mE

Équation de propagation

∇2 E−0 N e2

mE− 1

c2∂2 E∂ t 2 =0

C. Équation de dispersion

On cherche une solution de la forme

E= E0 exp i t−k r

On peut remarquer que ∂∂ t=i et ∇=−i k

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d'où

−i k 2 E−0 N e2

mE− 1

c2 i2 E=0

−k 2−0 N e2

m

2

c2 =0

et en posant

0 N e2 c2

m=P

2

on obtient

2−P2=k2 c2

D. Les deux cas

1. Propagation

Si P

E={A exp j t−2−P

2

cz B exp j t j

2−P2

cz } u x

En ne considérant que l'onde vers les z croissants

E=E0 exp j t−2−P

2

cz u x

L'onde se propage sans amortissement. Le plasma est transparent

( En lien avec le fait que j est en quadrature avec E

donc puisquedPd

=j E on aura dPd

=0 )

La vitesse de phase vaut:

v=c

1−P

2

2

c

On peut définir l'indice du plasma

n=1−P

2

21

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2. Onde évanescente

Si P

a. Vecteur k

2−P2=k2 c2

k=± j P2−2

c

b. Expression de E E={A exp j t−k z B exp j t−k− z } u x

E={A exp j t− j P2−2

cz B exp j t j P

2−2

cz } ux

E={A exp P2−2

cz exp j t B exp −P

2−2

cz exp j t } ux

Le plasma s'étendant vers ∞ , le premier terme peut tendre vers ∞ , ce qui n'a pas de sens physique. Il faut donc l'éliminer. Finalement:

E=E0 exp −P2−2

cz exp j t u x

c. Expression de BPour déterminer B , on utilise l'équation de Maxwell-Faraday, ce qui donne:

B=k∧E

B=− jE 0

cP

2−2

exp −P

2−2

cz exp j t u y

d. Expression de π Pour déterminer l'expression du vecteur de Poynting en fonction du temps, il faut passer

obligatoirement aux réels. En posant E0=E0 exp− j , on a donc:

E=E0 exp −P2−2

cz cos t− ux

B=E0

cP

2−2

exp −P

2−2

cz sin t− u y

45/59


=E∧B0

donc

=0c E02 P

2−2

exp−2 P

2−2

cz sin t−cos t− uz

Valeur moyenne de π

On détermine la valeur moyenne du vecteur de Poynting par rapport au temps.

=0 c E02 P

2−2

exp−2 P

2−2

cz sin t−cos t− u z

or

sin t−cos t−=12sin 2 t−=0

donc

=0

Le vecteur densité volumique de courant d'énergie est nul, en valeur moyenne dans le temps, dans le plasma pour cette onde évanescente. L'énergie ne pénètre donc pas (ou ne se propage pas) dans le plasma dans le cas d'une onde évanescente: il y a réflexion totale.

46/59


Chap 4.4: Réflexion sur un plan conducteur parfait


I. Ondes incidente et réfléchie

A. Onde incidente dans le vide

Une OPPM dans le vide

E i=E0exp j t−k z ux k0

arrive sur un plan infiniment conducteur en z=0

L'onde incidente est donc

E i=E0exp j t−k z ux

Bi=E0

cexp j t−k z u y

B. Onde réfléchie

Au niveau du plan z=0 , on a donc E i=E0exp j t u x et l'onde réfléchie est telle que la champ E (tangentiel) dans le vide est nul donc E r=−E0exp j t ux . L'onde réfléchie se propageant dans l'autre sens, on a donc:

E r=−E0exp j tk z ux

B r=E0

cexp j tk z u y

II. Onde totale

A. Champs

Finalement l'onde totale dans le vide est

E=E0 exp j t−k z −E0 exp j tk z ux

E=−2 j E0sin kz exp j t ux

47/59


E=2 E0sin kz sin t u x

et

B=E0

cexp j t−k z

E0

cexp j tk z uy

B=2E0

ccos kz exp j t u y

B=2E0

ccos kz cos t uy

B. Densités de charge et de courant apparues sur le plan

Expressions de et j S sur le plan

=0nextE voisinage

avec next=−uz et E voisinage=E z=0−

donc:

=0

j S=10next∧Bvoisinage

avec next=−uz et Bvoisinage=B z=0−

donc:

j S=10−uz∧2

E0

ccos t uy

j S=20 c E0 cos t ux

C. Nœuds et ventres

Position des ventres de B et celle des ventres de E .

Les ventres de E sont donnés par:

sin kz =±1 soit:

48/59


kz=/2m

z ventres de E=/4m/2

( avec z0 donc ici m=−1,−2,−3... )

Les ventres de B sont donnés par:

cos kz =±1 soit:

kz=m

z ventres de B=m/2

( avec z0 donc ici m=0,−1,−2,−3...

D. Aspect énergétique

Expressions du vecteur de Poynting et de la densité volumique d'énergie électromagnétiqueu .

Le vecteur de Poynting =E∧B0

vaut donc :

=0c E02sin 2kz sin2 t uz

nul aux ventres et aux nœuds

=0

l'onde est stationnaire.

Pas de propagation d'énergie.

La densité volumique d'énergie u=120 E2 1

20B2

vaut donc :

u=20 E02sin 2kz sin 2 t cos 2kz cos 2 t

u=0 E02

49/59


Chap 4.5: Guide d'onde


I. Forme de la solution

On considère un guide d'onde de section rectangulaire limité par les plans infiniment conducteurs x=0,x=a , y=0, y=b . On cherche une solution pour l'onde de pulsation dans ce vide

limité de la forme :

E M ,t =E y u y=E x exp j t−k z− uy

progressant dans le sens positif de l'axe z .

Cette solution peut-elle convenir?

1) La solution proposée doit vérifier div E=0 puisque dans le vide =0 . C'est vérifié puisque

ici div E=∂ E y

∂ yor E y=E y x , z .

2) La solution doit vérifier les conditions de continuité: le champ tangentiel doit donc être nul au niveau des plans infiniment conducteurs. Au niveau des surfaces y=0 et y=b le champ est normal (il y aura apparition de ) par contre au niveau des surfaces x=0 et x=a le champ est tangentiel, il doit s'annuler. Il faut que E x vérifie:

E x=0=0

et

E x=a=0

3) Enfin la solution doit vérifier l'équation de propagation dans le vide:

E y−1c2

∂2 E y

∂ t 2 =0

50/59

x

y

b

E

a


II. Équation de dispersion

On écrit l'équation de propagation en complexes:

E y−1c2

∂2 E y

∂ t 2 =0

∂2 E y

∂ x2 ∂2 E y

∂ z2 −1c2

∂2 E y

∂ t 2 =0

d 2 E x d x2 exp j t−k z−− j k 2 E y−

1c2 j2 E y=0

finalement:

d 2 E x d x2 −k 2E x − 1

c2 −2E x =0

d 2 E x d x2

2

c2 −k 2 E x =0

E x devant s'annuler en deux points,

on peut prévoir2

c2 −k 2=k t20

pour que la solution soit sinusoïdale.

d 2 E x d x2 k t

2 E x=0

dont la solution s'écrit:

E x =Acos k t x B sin k t x

avec les C.L.:

E x=0=A=0

E x=a=Bsin k t a=0 donc pour le mode m :

k t , m=ma

Finalement pour le mode m , l'équation de dispersion donnant k m est:

2

c2 −k m2=k m,t

2

51/59


2

c2 −k m2=m2

2

a2

III. Solution

Le mode m correspond à une onde qui progresse dans le sens positif de l'axe z donc k m doit

être réel positif soit: k m=2

c2 −m2 2

a2 1 /2

ce qui impose:

m ca

et finalement:

E M ,t =Bm sin m xa exp j t−

2

c2 −m22

a2 1 /2

z−m u y

IV. Vitesse de propagation de l'énergie

A. Utilisation des grandeurs complexes

On se propose de justifier les expressions permettant de calculer les valeurs moyennes dans le temps du vecteur de Poynting et des densités volumiques d'énergie électromagnétique si l'on travaille à partir des grandeurs complexes.

Formules en partant des complexes:

On considère deux grandeurs sinusoïdales: E=E0 cos t et B=B0 cos t− et les grandeurs complexes associées: E=E0 exp j t et B=B0 exp j t− .

1. Expression de la valeur moyenne dans le temps <E B >

E B=E0 B0 cos tcos t−

=E0 B0 cos t cos t−

=E 0 B0cos2 t cos cos t sin t sin

=12

E0 B0 cos

=12ℜE B*

(vérification

52/59


=12ℜE0 exp j t B0exp− j t−

=12ℜE0 B0 exp j )

2. Expression de la valeur moyenne dans le temps <E2>

On peut voir ce calcul comme un cas particulier du cas précédent

E2=E02cos2 t

=12

E02

=12

E E* (la partie réelle est ici inutile)

3. Résultats

Donc en utilisant ces techniques:

=1

20ℜ E∧B*

uE=0

4E E*

uB=1

40

B B*

B. Principe de calcul

Justifier la méthode de calcul permettant de déterminer la vitesse de propagation de l'énergie dans le guide d'onde.

La puissance qui traverse la section S=ab peut s'écrire de deux manières différentes:

1) soit on considère le flux de à travers cette surface donc:

P=∫y=0

y=b

∫x=0

x=a

z dx dy

P=b ∫x=0

x=a

z dx

car z ne dépend pas de y

53/59


P=z S

en introduisant la valeur moyenne selon x (et moyenne selon t ) de z

2)soit on considère l'énergie électromagnétique P dt qui passe pendant dt à la vitesse v E

selon z . Cette énergie était contenue dans une longueur v E dt du guide.

Ici aussi, on introduit les valeurs moyennes selon x (et moyenne selon t ) des densités volumiques d'énergie.

P dt=∫y=0

y=b

∫x=0

x=a

u dx dy vE dt

P=u S vE

En comparant ces deux approches, on obtient:

z=u v E

d'où v E

C. Calcul et résultat

E M ,t =E0 sin xa exp j t−k z u y

et

B M , t =− k

E M , t u xj

a

E0 cos xa exp j t−k z u z

sachant que

k=2

c2 −2

a2 1/ 2

Le calcul:

=1

20ℜ E∧B*= k

20E0

2sin2 xa uz

La période selon x du sin2 est égale à a . Donc la valeur moyenne selon x sur une période spatiale vaut:

z=k

40E0

2=0

4k c2

E0

2

puis

54/59


uE=0

4E E*=

0

4E0

2sin2 xa

uE=0

8E0

2

et

uB=1

40

B B*=1

40 k 2

2 E02 sin2

xa

2

2 a2 E02 cos2

xa

uB=1

80 k2

2 E02

2

2 a2 E02

uB=1

802 E0

2k22

a2 uB=

180

2 E02

2

c2

uB=0

8E0

2

Résultat:

v E= zu

v E=

0

4k c2

E0

2

0

4E0

2

v E=k c2

v E=c1− ca

2

1/2

55/59


Chap 4.6: Rayonnement du dipôle


I. Expression du potentiel vecteur

On trouve:

AM , t =0

4 rp t− r

c

Démonstration:

On considère la solution des potentiels retardés.

AM , t =0

4∭sources

j P , t−r PM

cd

r PM

En passant en discret

AM , t =0

4∑i

qi vi t−r Pi M

c

r Pi M

(avec ∑i

qi=0 )

1) dans le cadre de l'approximation dipolaire , l'extension du dipôle soit a est telle quea≪r=OM donc r P i M≈r avec r P i M≈r−uOM

OPi et l'on peut remplacer le r P i M du dénominateur par r

2) dans le cadre de l'approximation non relativiste a≪ ( en divisant par la période et en

remarquant que la grandeur de v i est au maximum de l'ordre de aT soit v i≈

aT cette

approximation correspond à v i≪c ) on peut aussi approximer le retard dû à la propagation (en

lien avec le déphasage)r Pi M

c≈ r

ccar

∣r P i M−r∣c

≈OPi

c≈a

c≪c=T

56/59

O

M

Pi


on obtient alors:

AM , t =0

4 r∑iqi vit−

rc

et puisque p t =∑i

qiOAit

AM , t =0

4 rpt− r

c

II. Champ dans la zone de rayonnement

Détermination de E M ,t dans la zone de rayonnement

On part de AM , t =0

4 rp t− r

c

On suppose un dipôle harmonique:

p= p0 exp j t u z

A. L'approximation

On a ici AM , t =0

4 rj p0 exp j t−k r u z

en posant k=c et k=k ur

Dans la zone de rayonnement r≫ soit r≫ 2k

ou

k r≫1

Le terme en r au dénominateur est traité comme une constante dans les dérivées alors que le

terme en r dans l'exponentielle est lui très sensible aux variations infimes ( une variation de 2

correspond à une opposition de phase).

On vérifie en dérivant f r =1r

exp − j k r par rapport à r

f ' r =− 1r2 exp − j k r − j k

rexp − j k r

57/59


f ' r =− 1r2 1 j k r exp − j k r

On peut négliger le 1 , ce qui correspond à l'approximation annoncée.

B. Les expressions de B et de E

On retrouve alors le même type de calcul que pour les ondes électromagnétiques. En complexes:

B=rot A soit

B= ∇∧A

B=− j k∧A

On travaille en sphériques avec uz=cos ur−sin u

Connaissant B , on trouve E avec:

rot B= 1c2∂ E∂ t soit

∇∧B= 1c2 j E

E=− c2

k∧B

Finalement:

E= 140 c2

−2 sin r

p0 exp j t−k r u

C. Application: champ créé par une antenne

On donne pour un dipôle élémentaire dans la zone de rayonnement

d E M ,t = 140 c2

d pt− rc

r sin u .

Donner l'expression sous forme d'une intégrale du champ rayonné à grande distance par une antenne de centre O , de longueur 2L ( z entre −L et L ), parcourue par

I=I 0 f z exp j t

58/59


On sait que d p est en A×m et correspond à I dz uz

d p= ∑volume d

qi v i=j d

et puisque la description est ici linéique, cet élément de courant s'écrit donc comme indiqué ci-dessus.

Pour le dipôle élémentaire en P, en complexes

d p t = I 0 f z exp j t dz uz

d p t = ddtd pt = j I 0 f z exp j t dz uz

d p t−r PM

c= j I 0 f z exp j t−

r PM

cdz u z

sa contribution au champ en M est en complexes

d E M ,t = 140 c2

j I 0 f z exp j t−r PM

cdz

r PMsin u

avec puisque le point M est éloigné:

est le même pour tous les points P ainsi que u

et

r P M≈r−uOMOP

r P M≈r−z cos

finalement, le r PM du dénominateur peut être approximé à r car r≫L

E M ,t =j I 0sin 40 c2r

exp jt− rc u∫

−L

L

f z exp j z cos

cdz

59/59

M

O

Pθ

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