1ère Année d’Etudes

ÉLECTROMAGNÉTISME

Responsable :

François Marquier

Équipe pédagogique :

Elise Bailly,Viviane Cotte,

Riccardo Messina,Christophe Sauvan,

Hussein Taleb,Benjamin Vest

Travaux dirigés 2020

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Table des matières

TD n1 Propagation et Diffraction. 3

TD n2 Rayonnement d’une antenne filaire 5

TD n3 Retour sur le bleu du ciel. 6

TD n4 Relation entre rayonnement, diffraction, réflexion et diffusion 9

TD n5 Modèle de Drude 11

TD n6 Propagation dans la matière 13

TD n7 Réflexion et transmission par un système plan 15

TD n8 Transmission par un film mince 16

TD n9 Absorption et diffusion par une particule sphérique 18

2

TD n1Propagation et Diffraction.

1 Rappels sur les ondes planes

1) Écrire les équations de Maxwell dans le vide. En déduire l’équation de propagation du champélectrique E(r, t) dans le vide.

2) On rappelle que le champ électrique peut s’écrire sous la forme :

E(r, t) =

∫E(r, ω) exp(−iωt)dω

2π

Déduire de la question (1) l’équation vérifiée par E(r, ω) (équation de Helmholtz).

3) On s’intéresse dans cette question à une forme particulière E(r, ω) = E(ω) exp(ikx). Quellerelation doit vérifier k ? Comment s’appelle une telle onde ? Montrer que E(r, t) se met sous laforme d’un "paquet d’ondes".

4) Retrouver les règles de calcul du rotationnel et de la divergence pour une onde plane devecteur d’onde k. En déduire que pour une onde plane, les champs dans le vide sont transverses.Retrouver le lien entre E, B et le vecteur d’onde k.

2 Vecteur de Poynting

On donne un champ électrique décrit par une onde plane monochromatique :E(r, t) = E0ey cos(kx−ωt). En déduire l’expression du champ magnétiqueB(r, t). Calculer le vecteur de Poynting, donnépar :

S =1

µ0E×B

Quelle est sa moyenne temporelle et pourquoi ne calcule-t-on jamais que sa moyenne temporelle ?En utilisant les champs dans leur formulation complexe, montrer qu’elle peut se mettre sous laforme suivante :

〈S〉 =1

2µ0Re (E×B∗)

3 Transformation de Fourier et diffraction... Un rappel du coursd’optique physique !

On considère un écran opaque situé dans le plan z = 0 dans lequel une ouverture de largeur La été percée. Cet écran est éclairé en incidence normale par une onde plane monochromatiqued’amplitude uniforme E0. Afin de simplifier le problème, on travaille dans l’approximation scalaireet on raisonne sur un système à deux dimensions ne dépendant que de x et de z.

3

1) Écrire le champ E(x, z) en fonction de sa transformée de Fourier E(α, z) sur la variabled’espace x. Retrouver ensuite l’expression de E(x, z) sous la forme d’un développement en ondesplanes pour z > 0. Quels sont les vecteurs d’onde et les amplitudes de ces ondes planes ?

2) On note θ l’angle formé par le vecteur d’onde k et l’axe Oz. Donner l’ouverture angulaireθmax du faisceau diffracté.

3) Dans le cas le plus général, montrer par un argument qualitatif que les largeurs ∆x et kmaxx

des fonctions E(x, z = 0) et E(kx, z = 0) sont reliées par la relation ∆xkmaxx ≥ 2π. Retrouver lerésultat de la question 2).

4

TD n2Rayonnement d’une antenne filaire

On étudie le rayonnement d’une antenne constituée de quatre antennes filaires parallèles, delongueur L, et disposées aux sommets d’un carré de côté λ/2 (voir figure). Les antennes sontalimentées par des courants monochromatiques et émettent des champs de longueur d’onde λ.Les antennes A et B sont alimentées par le même courant I(t), tandis que les antennes C et Dsont alimentées par un courant −I(t).

A

y

xB

C D/2

1) Indiquer les directions pour lesquelles il y a des maxima et des minima d’émission. On donnerala réponse sans faire aucun calcul.

2) Le courant I(t) est de la forme I(z, t) = I0 cos(kz − ωt) = Re[I0 exp(ikz − iωt)], avec k =ω/c = 2π/λ. Ecrire, dans l’approximation de champ lointain, l’expression du potentiel vecteur Aau point r = (x, y, z) dû à une seule antenne dont le centre est situé à l’origine des coordonnées.Préciser les conditions de validité de cette expression.

3) Ecrire l’expression du potentiel vecteur de l’ensemble des quatre antennes, l’origine étant priseau centre du carré ABCD. Retrouve-t-on le résultat du 1) ?

4) D’une manière générale, comment peut-on augmenter la directivité d’un système d’antennes ?

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TD n3Retour sur le bleu du ciel.

Ce TD est tiré de l’examen 2011.

Dans cet exercice, nous considérons que les molécules de l’atmosphère sont caractérisées par leurpolarisabilité α(ω). Lorsque une molécule est éclairée par un champ électrique monochromatiqueincident Einc(r, t) = E0 exp[i(kincr − ωt)] = Einc(r) exp(−iωt), le moment dipolaire induit p0

d’une molécule située en r0 est :p0 = ε0α(ω)Einc(r0)

On utilisera si cela est nécessaire la définition suivante des angles θ et ϕ pour caractériser unedirection u :

1 Diffusion par une particule

On considère une molécule située en O.

1) Quelle est l’expression du potentiel vecteur A(r) rayonné par la molécule en champ lointain ?En déduire l’expression du champ électrique rayonné (diffusé !).

2) On considère que l’onde plane incidente est polarisée suivant Ox et se propage le long deOz. Écrire tout d’abord la forme du champ incident. Que vaut l’amplitude complexe du champdiffusé en champ lointain dans la direction d’observation Ox ? dans la direction Oy ?

3) On éclaire la molécule avec la lumière solaire se propageant le long de la direction Oz. Lalumière diffusée dans la direction d’observation Ox est-elle polarisée ?

4) Dans les mêmes conditions d’éclairement, calculer la puissance diffusée dans un angle solidedΩ centré sur une direction caractérisée par u. Comment varie-t-elle en fonction de la pulsationω lorsque α(ω) est assimilable à un terme constant α0 ?

5) Quelle est la couleur la plus diffusée ?

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2 Exercice de diffusion : les montagnes au loin sont bleues...

On considère une chaîne de montagne, observée à l’horizon. On distingue les hauteurs enneigées(blanches) des parties rocheuses (noires).

On définit la luminance comme la puissance émise par unité de surface et d’angle solide. C’estune grandeur qui dépend de la longueur d’onde et de la direction d’observation. On appelle LB(respectivement LN ) la luminance de la partie blanche (respectivement noire) de l’objet dans ladirection de l’observateur (Oy).

On définit le contraste Cobj = (LB − LN )/(LB + LN ). Pour l’objet noir et blanc défini, LN = 0et donc Cobj = 1. Nous allons montrer que la présence de l’atmosphère entre la montagne etl’observateur modifie ce contraste. On considère le cas de figure représenté sur le schéma ci-dessous. La scène est éclairée depuis une direction Oz. La chaîne de montagne est située eny = D, et l’observateur est en y = 0.

1) Déterminer la section efficace de diffusion σ d’une molécule d’atmosphère. On utilisera larelation suivante : ∫ π

0

∫ 2π

0

(1− sin2 θ cos2 φ

)sin θdθdφ =

8π

3

2) Quel est le libre parcours moyen pour une pulsation ω donnée ?

3) L’observateur est à une distance D de l’objet. Que se passe-t-il pour le flux lumineux émis parla partie blanche lors de la traversée de cette tranche d’atmosphère ? En déduire la luminanceL′B après atténuation. À quoi est due cette atténuation ?

4) En considérant un volume δV d’atmosphère comme le produit d’une surface S perpendiculaireà Oy et d’une épaisseur dy, exprimer la puissance diffusée par unité d’angle solide dPd/dΩ dansla direction Oy.

5) On appelle δLd la luminance d’un élément de volume δV de l’atmosphère. Déduire de laquestion précédente l’expression de δLd.

6) Calculer la luminance totale Ld due à l’atmosphère entre l’observateur et la chaîne de mon-

7

tagne. On supposera que la lumière diffusée par un élément de volume ne subit pas d’autreévénement de diffusion (diffusion simple).

7) La luminance apparente est la somme de la luminance totale de l’atmosphère et de L′B.Calculer la luminance apparente Lapp

B de la partie blanche de la montagne ainsi que la luminanceapparente Lapp

N de la partie noire.

8) En déduire le contraste apparent de la chaîne de montagne. Application numérique avec D =50 km, 〈n〉 = 3.1025 molécules/m3, pour une longueur d’onde moyenne : σ= 10−30 m2 et le faitque LB = ε0cE

20/(4π). Conclusion ? De quelle couleur semblent être les montagnes ?

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TD n4Relation entre rayonnement, diffraction,réflexion et diffusion

On étudie le rayonnement d’une antenne plane parcourue par une nappe de courant surfaciquemonochromatique j = j0 ey exp[i(αix)]. L’antenne rectangulaire a des côtés de longueur a et b.

xy

z

b

a

1 Calcul du champ rayonné

a) Calculer le champ électrique rayonné en champ lointain. Calculer la puissance rayonnée dansun angle solide dΩ.

b) Montrer que le champ rayonné est caractérisé angulairement par des lobes. On se limitera auplan (x, z) pour la discussion. Donner l’ouverture angulaire du lobe central (position angulairedu premier zéro) dans le cas αi = 0.

c) Expliquer physiquement pourquoi le champ est maximum dans la direction normale, dans lecas αi = 0.

d) Interpréter la présence d’un zéro en termes d’interférences. Retrouver par un raisonnementsimple la position du premier zéro.

2 Où l’on retrouve réflexion, diffraction et diffusion

La nappe de courant décrite précédemment est celle qui est induite par une onde plane incidentede champ électrique E = E0 ey exp[i(αix−γiz)], éclairant une surface plane métallique parfaite-ment conductrice. Le courant surfacique induit a alors une amplitude j0 = 2E0/µ0c. Ce résultatest exact pour une plaque infiniment étendue, mais nous négligerons ici les effets de bord et lesupposerons valable pour la plaque de taille finie étudiée. Pour simplifier, on se limitera au casd’un vecteur d’onde contenu dans le plan (x, z).

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a) Lorsque a λ et b λ, quel nom donne-t-on généralement à une telle plaque ? Retrouve-t-onles lois de Descartes de la réflexion ? Expliquer qualitativement à l’aide de la notion d’interférencespourquoi le rayonnement de la plaque est très directif.

b) Le faisceau réfléchi est-il diffracté ? Retrouve-t-on le résultat classique pour l’ouverture an-gulaire ? Quelle origine physique donneriez-vous à l’existence de cet élargissement du faisceauréfléchi ? (en particulier, s’agit-il d’une “interaction” de l’onde incidente avec les bords de laplaque ?).

c) On considère maintenant une plaque dont la taille est très inférieure à la longueur d’onde(quelques nanomètres dans le domaine visible, quelques millimètres dans le domaine radar).Discuter de l’ouverture angulaire du rayonnement. Montrer que la plaque est équivalente à undipôle oscillant dont on donnera le moment dipolaire. Comment appelle-t-on ce phénomène ?

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TD n5Modèle de Drude

En 1900, Paul Drude proposa un modèle permettant d’expliquer les propriétés de conductionélectrique et thermique des métaux. Dans ce modèle, on considère que les électrons de conductionforment un gaz de particules classiques de masse m et de charge −e, auquel on applique lesméthodes issues de la théorie cinétique des gaz. Les électrons effectuent des collisions, considéréescomme instantanées. Ils sont supposés indépendants (pas d’interaction électron-électron entreles collisions) et libres (pas d’interaction avec les ions entre les collisions). Drude attribua lescollisions aux chocs entre les électrons et les ions, plutôt qu’aux chocs entre les électrons entreeux comme pour un gaz ordinaire. À l’issue d’une collision, la vitesse de l’électron a une directionaléatoire (pas de direction privilégiée), et une valeur liée à la température à l’endroit où a lieula collision.

On trouvera en complément du chapitre 5 du polycopié une justification de l’approximationfaite lorsque l’on traite l’électron comme un objet classique et non comme un objet quantique(théorème d’Ehrenfest).

1 Temps de relaxation et "force de frottement"

Le paramètre fondamental du modèle de Drude est le temps de collision τ ou temps de relaxation.Il représente la durée moyenne entre deux collisions. En d’autres termes, pour un électron donné,la probabilité de subir une collision pendant un intervalle de temps infinitésimal dt est dt/τ . Onnotera N(t) la population d’électrons n’ayant pas subi de collision avant l’instant t

1) Montrer que pour un électron donné observé à partir du temps t = 0, la probabilité P (t) dene pas subir de collision avant l’instant t est exp(−t/τ).

2) Quelle est la probabilité p(t) pour un électron de subir sa première collision entre t et t+dt àpartir de t = 0 ?

3) On soumet le métal à un champ de force extérieur, et on note F(t) la force subie par chaqueélectron.

Établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse moyenne v d’un électron. On pourra rai-sonner sur la quantité de mouvement moyenne par électron q = mv, définie par q = Q/N0 oùQ est la quantité de mouvement totale du système d’électrons et N0 le nombre d’électrons.

2 Conductivité électrique

On applique au métal un champ électrique monochromatique uniforme E0 (pulsation ω).

1) En appliquant le résultat du 1.3), calculer la densité de courant j en fonction de m, τ , e et dunombre d’électrons par unité de volume n. En déduire l’expression de la conductivité σ(ω) dumétal.

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2) En admettant que chaque atome du métal libère un électron de conduction, calculer un ordrede grandeur 1 de n.

3) La résistivité statique (inverse de la conductivité statique) mesurée du cuivre à T = 273 Kest ρ = 1, 56.10−8Ω.m. Calculer le temps de relaxation τ

3 Constante diélectrique

On applique au métal un champ électrique monochromatique uniforme E0 (pulsation ω). Onappelle r0, l’amplitude du mouvement d’un électron soumis à ce champ électromagnétique.

1) En appliquant le résultat du 1.3), calculer la densité de polarisation P en fonction de m,τ , e et du nombre d’électrons par unité de volume n. En déduire l’expression de la constantediélectrique ε(ω) du métal.

2) Quel est le lien entre la densite de polarisation et la densité de courant ? entre ε(ω) et σ(ω) ?

1. Pour ceux à qui les ordres de grandeur font peur, vous pouvez faire le calcul pour du cuivre de massevolumique du métal ρm = 8, 96g.cm−3 et de masse atomique A = 63, 5g.mol−1

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TD n6Propagation dans la matière

L’objectif de ce TD est d’apprendre à se servir de la constante diélectrique d’un matériau et desavoir interpréter différentes situations pour une onde électromagnétique dans la matière.

1 Propagation dans un métal

1) Rappeler l’expression de la constante diélectrique d’un métal dans le cadre du modèle deDrude. On appellera n le nombre l’électrons libres par unité de volume, m la masse d’un électronet ωp la pulsation plasma. Les pertes sont modélisées par une force de frottement visqueuxdu type −mγv, où v est la vitesse de l’électron. Quelles sont les caractéristiques d’une ondeélectromagnétique se propageant le long d’un axe z dans ce métal ?

2) On suppose maintenant que γ = 0. Discuter la possibilité de propagation d’une onde mono-chromatique en fonction de sa fréquence ω. Calculer la profondeur de pénétration l de l’ondequand ω < ωp. Calculer la puissance dissipée par effet Joule. A quoi est due l’atténuation del’onde dans le métal ?

2 Propagation dans un cristal ionique

Un cristal ionique (type NaCl) est un assemblage périodique d’ions positifs et négatifs. Lorsqu’untel cristal est éclairé par un champ électrique extérieur, les ions chargés sont soumis à une forceélectrique supplémentaire aux forces de liaisons exercées par les autres ions du cristal. Le problèmede la modélisation de la constante diélectrique de ce cristal peut se traiter comme dans le casdes électrons libres dans un métal, en écrivant le dipôle associé à une maille du réseau puis ladensité de polarisation de la matière (moment dipolaire par unité de volume). Ceci est traitédans le polycopié où l’on montre que la constante diélectrique s’écrit de la manière suivante :

ε(ω) = ε∞ω2L − ω2

ω2T − ω2

où ω2T = ω2

p

ε∞ + 2

εs + 2et ω2

L = ω2T

εsε∞

.

ωp est une fréquence caractéristique du matériau. Elle correspond à une fréquence propre devibration des ions du réseau cristallin. Cette fréquence propre est associée à une onde mécaniqueque l’on appelle un phonon.

3) Comment peut-on mesurer ε∞ = ε(ω →∞) et εs = ε(ω → 0) ?

4) On a εs > ε∞, et donc ωL > ωT . Tracer l’allure de la constante diélectrique en fonction de ω.En déduire qu’il existe une bande de fréquence que l’on précisera pour lesquelles l’onde ne peutse propager. Préciser si l’onde est réfléchie ou absorbée.

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5) Tracer la courbe ω = f(k). Identifier les différents modes de propagation.

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TD n7Réflexion et transmission par un système plan

1 Résolution de l’équation de Helmholtz.Traitement antireflet

On dépose sur un substrat d’indice n une couchemince homogène d’un matériau d’indice n′ et d’épais-seur d (d est de l’ordre de la longueur d’onde). Lesdeux milieux sont linéaires, isotropes et non magné-tiques. Une onde plane monochromatique de pulsa-tion ω et polarisée rectilignement éclaire le systèmesous incidence normale. Son champ électrique est dela forme E = E0 ey exp[−i(kz)], avec k = ω/c.

Z

Xn2=n’

n3=n

Eo

n1=1

d

a) Dans cette partie on calcule l’amplitude des champs électromagnétiques dans chaque milieu, enrésolvant l’équation de propagation. Préciser la démarche à adopter pour établir l’expression desfacteurs de réflexion ρ et de transmission τ du système. Le calcul est détaillé dans la correction :on ne cherchera pas à le faire en TD

b) Montrer que le facteur de réflexion peut s’annuler pour des valeurs que l’on précisera del’indice n′ et de l’épaisseur d de la couche.

c) Il est possible de retrouver le résultat du a) à partir de la notion de rayon lumineux (voirchapitre 3 du cours). Tant qu’il n’y a pas de diffraction, ce type d’approche est correct et plussimple à utiliser. Montrer que le facteur de réflexion ρ ou de transmission τ obtenus au a) semettent sous la forme d’une série dont les termes correspondent à un rayon réfléchi ou transmisdirectement, puis ayant subi 2 réflexions internes, puis 4, etc...

2 Réflexion totale frustrée

On considère une lame d’air d’épaisseur d emprisonnée entre deux demi-espaces de verre d’indicen réel. On a donc une succession de trois milieux d’indices n, 1, n. Une onde plane polarisée TEéclaire le système depuis le milieu supérieur (verre), en faisant un angle de 45o avec la normaleaux interfaces.

a) Montrer qu’en l’absence de milieu inférieur, il y a réflexion totale. Quelle est l’expression duchamp transmis dans l’air ?

b) Dans le cas où les trois milieux sont présents, que faut-il modifier au calcul de l’exerciceprécédent pour traiter ce cas. En déduire directement le facteur de transmission du système.

c) Montrer que l’onde transmise dans le milieu inférieur a une amplitude qui décroit exponentiel-lement avec d, pour d suffisamment grand. Quel est le phénomène quantique analogue à celui-ci ?

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TD n8Transmission par un film mince

On considère une lame comprise entre z = 0 et z = d, formée d’un matériau dilué contenant Nmolécules par unité de volume (gaz par exemple). On assimilera le milieu extérieur à du vide.Le matériau étant dilué, son indice est proche de celui du vide, c’est-à-dire de 1. L’étude qui vaêtre faite s’applique en fait à tout milieu pour lequel l’indice est proche de 1 (dilué ou non).

Le système est éclairé en incidence normale par une onde plane monochromatique polariséerectilignement. Ce champ incident induit une polarisation volumique dans le milieu. Chaqueélément de volume devient alors un dipôle oscillant qui rayonne à son tour. La superposition duchamp incident et de ces champs rayonnés constitue le champ transmis.

Dans la première partie, on effectue directement le calcul du champ transmis par une approchede type optique physique. Dans les deux dernière parties, on retrouve ce résultat par un calculde rayonnement. Cette étude permet en particulier de montrer l’origine physique de l’indice deréfraction.

1 Calcul du champ transmis en optique physique

On suppose que le milieu est décrit par un indice n, supposé proche de 1. Dans ce cas, le moduledu facteur de transmission est proche de 1. Donner l’expression du champ transmis par le film.

2 Calcul du champ rayonné (diffusé) par le film

Afin de calculer le champ rayonné par un élément de volume d3r, il faut connaître son momentdipolaire p = Pd3r, P étant la densité de polarisation. Par définition de la susceptibilité χ, onécrit :

P(ω) = ε0 χ(ω) E(ω).

Pour un gaz, χ est reliée à la polarisabilité moléculaire α par χ = Nα, où N est le nombre demolécules par unité de volume.

a) Ecrire l’expression du potentiel vecteurAd du champ diffusé par le gaz. En déduire l’expressiondu champ électrique Ed diffusé par le gaz. On obtiendra une expression intégrale faisant intervenirle champ total E = Einc + Ed et la susceptibilité χ notamment.

b) Dans le cas général, l’expression précédente est une équation intégrale en E qui ne fournit pasdirectement la solution du problème. Dans le cas où le milieu est suffisamment dilué, on peutfaire l’approximation E ' Einc dans le milieu. En effet, la densité de matière étant faible, lechamp diffusé (le champ rayonné par la matière) est très inférieur en module au champ incident.L’intégrale peut alors être évaluée directement. Donner l’expression du champ diffusé Ed.

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On donne : ∫exp(ikR)

Rdx′dy′ =

2iπc

ωexp(ik|z − z′|) ,

avec k = ω/c et R = [(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]1/2.

3 Origine physique de l’indice optique

a) Calculer le champ transmis par le film. Comparer avec le résultat de la première partie. Onpourra développer à l’ordre 1 le terme de phase apparaissant dans ce dernier.Montrer que l’indice est relié à la susceptibilité.

b) Quelle est l’origine physique de l’indice ? (pourquoi la lumière transmise semble s’être propagéeplus lentement dans le milieu ?)

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TD n9Absorption et diffusion par une particulesphérique

On considère une particule sphérique de constante diélectrique généralisée ε et de rayon a trèspetit devant la longueur d’onde. Cette particule, située en O, est éclairée par une onde planemonochromatique (pulsation ω) dont le champ électrique Einc est polarisé rectilignement suivant(Ox). On considèrera par souci de simplicité que la particule est entourée d’air que l’on assimileraà du vide.

a

O

Eincei(kz-ωt)

≪λ

1) Quelle est l’expression de la puissance dissipée par unité de volume en valeur moyenne tem-porelle en fonction de la densité de polarisation P ?

2) Calculer la puissance absorbée par la particule. On admettra le résultat suivant : lorsque uneparticule sphérique de taille petite devant la longueur d’onde est éclairée par un champ électriqueuniforme Einc, le champ électrique à l’intérieur est uniforme et vaut E = 3

ε+2Einc. Exprimer lerésultat en fonction de ε.

3) Calculer la puissance par unité de surface véhiculée par l’onde plane incidente à travers unesurface perpendiculaire au vecteur d’onde.

4) Calculer la section efficace d’absorption σabs.

Le champ électrique incident induit un moment dipolaire p = ε0αEinc au niveau de la particuleoù α est la polarisabilité de la particule, définie par :

α = 4πa3 ε− 1

ε+ 2

5) Quel est le potentiel vecteur rayonné en champ lointain par la particule ?

6) Calculer la puissance rayonnée par la particule par unité d’angle solide. On exprimera lerésultat en fonction de l’angle θ formé par le vecteur unitaire ex et la direction d’observationcaractérisée par ur = r/r.

7) En utilisant le fait que∫ π

0 sin3 θdθ = 4/3, montrer que la puissance totale rayonnée est :

Pdiff =µ0ω

4|p|2

12πc

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8) Quelle est la section efficace de diffusion σdiff en fonction de la constante diélectrique ε et durayon a de la particule ?

9) A quelle condition sur la constante diélectrique peut-on avoir une résonance de la puissancediffusée ou de la puissance absorbée ?

10) En prenant un modèle de Drude pour la particule (métallique dans ce cas de figure), calculerla pulsation pour laquelle on obtient cette résonance. D’un point de vue microscopique, à quoi estdue cette résonance ? Qualitativement, en fonction de la taille de la particule, quand aura-t-onplutôt de la diffusion ? plutôt de l’absorption ?

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