Semestre 1 - IOGS

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Libres savoirsSite pédagogique de SupOptique

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503Centresd’entrepreunariat &d’innovation

IngénIOGS

Présentations de projets étudiants

LEnsELaboratoire d’EnseignementExpérimental

CFASupOptiqueFilière par l’apprentissage

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Travaux Pratiques d’OptiqueSemestre 1

Annexe Les incertitudes de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1TP 1 & 2 Mesures optiques visuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15TP 3 & 4 Contrôles interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TP 5 & 6 Interféromètre de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Cycle Ingénieur - 1ère année - PalaiseauAnnée 2016-2017

Version du 15 juillet 2016

ii

Règles de fonctionnementdu LEnsE

Absences

La présence des étudiant·e·s à toutes les séances de travaux pratiquesprévues à l’emploi du temps est obligatoire et impérative. En cas de diffi-culté majeure, si un membre d’un binôme est toutefois absent, l’autredoit venir à la séance et faire le TP. Et, en Optique, chacun des membresdu binôme rendra un compte-rendu individuel.

Absence excusée. Justificatif Le justificatif d’absence doit être dé-posé au secrétariat, les élèves concerné·e·s doivent aussi prévenirdirectement les responsables du LEnsE du motif de l’absence (àl’avance, si l’absence est prévisible).

Absence excusée. Rattrapage L’élève doit impérativement prendrecontact avec les enseignant·e·s de TP pour étudier la possibilité derattrapage (suivant la disponibilité des enseignant·e·s, du matérielet des salles). L’élève rattrape alors le TP et :

En optique, l’élève rédige un CR qui sera noté. S’il n’est pas pos-sible de trouver une date de rattrapage suite à une impossibilitédu service des TP, le TP ne sera ni rattrapé ni noté (la moyennesera faite sur les notes restantes). Ce TP restera néanmoins auprogramme de l’examen et l’étudiant·e pourra être interrogé·esur ce TP lors de l’examen de TP.

En ETI et ProTIS, la synthèse du thème concerné, rédigée par lebinôme, devra contenir des résultats des deux séances indivi-duelles (la séance normale et celle de rattrapage).

Si l’élève refuse la date de rattrapage proposée, il ou elle sera consi-déré·e comme absent·e non excusé·e.

iii

iv

Absence non excusée Toute absence non justifiée entraîne :En optique, un zéro pour la séance et l’impossibilité de travailler

sur ce TP avant la période de révision. En cas d’absences ré-pétées, le responsable d’année interdira à l’étudiant·e de passerl’examen en fin d’année.

En ETI et ProTIS, un zéro pour la note de synthèse concernée.

Retards

Aucun retard n’est acceptable et en cas de retard important (ou de re-tards fréquents) d’un·e étudiant·e, celui-ci ou celle-ci se verra refuser l’ac-cès au laboratoire. Les conséquences en seront identiques à celles d’uneabsence non excusée (voir plus haut).

Plagiats

Le plagiat est le fait de s’approprier un texte ou partie de texte, image,photo, données... réalisé par quelqu’un d’autre sans préciser qu’il ne s’agitpas de son travail personnel. On plagie quand on ne cite pas l’auteur dessources que l’on utilise. Exemples de plagiat :

— Copier textuellement un passage d’un livre ou d’une page Web sansle mettre entre guillemets et/ou sans en mentionner la source.

— Insérer dans un travail des images, des graphiques provenant desources externes (hors énoncé du TP) sans en indiquer la prove-nance.

— Utiliser le travail d’un·e autre élève et le présenter comme le sien(et ce, même si cette personne a donné son accord !).

— Résumer l’idée originale d’un auteur en l’exprimant dans ses propresmots, mais en omettant d’en indiquer la source.

— Traduire partiellement ou totalement un texte sans en mentionnerla provenance.

Tout binôme convaincu de plagiat dans un compte-rendu ou une syn-thèse de TP se verra attribuer la note de 0/20 à ce TP ou cette synthèse etencourt les sanctions disciplinaires prévues au règlement intérieur.

Respect du matériel et des locaux

Le LEnsE met à votre disposition une très grande quantité de matérielscientifique.

Ces matériels sont très fragiles, sensibles à la poussière, aux traces dedoigts, aux rayures, etc. Merci d’en prendre le plus grand soin.

v

Il est donc formellement interdit d’apporter de la nourriture oudes boissons dans l’ensemble du service (couloirs compris). Mercide veiller aussi à laisser les locaux particulièrement propres (si vos chaus-sures sont sales, retirez-les et laissez-les à l’entrée !)

Pour toute demande d’accès en dehors des séances de TP, vous devezimpérativement (et à l’avance) vous adresser au responsable technique duLEnsE, Thierry AVIGNON ou à Cédric LEJEUNE (bureau S1.18).

vi

Évaluation

TP & compte-rendusBarème indicatif sur 20 points :

Si la présentation oralen’a pu avoir lieu :

Habilité en manipulation 5 5Compte-rendu 10 15Présentation orale 5

Comptes-rendus :Sauf indication contraire, les comptes-rendus doivent être déposés sur

le site Libres Savoirs une semaine après la séance. Merci de respecter lesconsignes suivantes :

— Certifiez l’originalité de votre travail en faisant figurer la mention :Nous attestons que ce travail est original, que nous citons en réfé-rence toutes les sources utilisées et qu’il ne comporte pas de plagiat.

— Vérifiez que vos noms et le numéro de votre binôme figurentsur la première page de votre compte-rendu avant de la trans-former en .pdf.

— Renommez le fichier .pdf selon le format :G4B05DupondEtDupontTP.pdf avant de le déposer sur le site.

Attention : un point de moins par jour de retard !

Chaque vendredi, la liste des éventuels compte-rendus manquants estaffichée sur le panneau du LEnsE, pensez à la vérifier !

Présentation orale :La présentation orale a plusieurs objectifs :

vii

viii

— elle nous permet de vérifier si vous avez compris les points essentielsdu TP, si vous êtes capable de prendre du recul par rapport auxmanipulations effectuées.

— elle nous permet de corriger les points que vous auriez mal compris.— elle vous entraîne à présenter oralement un travail expérimental

de manière synthétique. C’est une situation que vous rencontrerezsouvent dans votre vie professionnelle.

La présentation orale aura lieu durant le TP, sa durée est de 5 minutespour un binôme, 7 minutes pour un trinôme, pendant lesquelles chaquemembre du binôme ou trinôme doit intervenir.

Elle s’adresse à un "opticien de passage" (par exemple un ancien élèvede SupOptique sorti il y a plus de 5 ans) qui a priori ne connaît rien à lamanipulation. Vous pouvez choisir le plan qui vous semble le mieux adapté,utiliser le matériel du TP et montrer les résultats obtenus.

Seront évaluées :— les qualités pédagogiques (clarté, précision, enthousiasme,. . . )— les capacités de synthèse,— la qualité scientifique de la présentation,— la gestion du temps.Défauts à éviter absolument :— faire un résumé « historique et linéaire » du déroulement de la séance,— nous présenter des points de détails (que nous vous avons justement

expliqués pendant la séance parce qu’ils étaient délicats),— utiliser des termes trop spécialisés sans les expliquer.

Examen

L’examen de fin d’année en 1A et 2A se déroule de la façon suivante(tous les documents sont autorisés) :

— L’élève tire un sujet au hasard. Celui-ci tient en quelques phrases :caractériser les aberrations d’un objectif (2A), mesurer le bruit d’unsystème de détection (2A),...Le sujet est très proche d’un TP de l’an-née (premier ou deuxième semestre).

— L’élève a ensuite 2 heures pour :— réfléchir à la meilleure façon de réaliser la mesure qui lui est

demandée,— effectuer le montage et le réglage de la manipulation,— effectuer les mesures,— évaluer les incertitudes sur ses mesures,— analyser les résultats,— et préparer la présentation orale.

ix

— Au bout des deux heures, lors d’un exposé oral d’environ 10 minutes,l’élève explique :— comment il a effectué la mesure qui lui était demandée,— quelles sont les précautions particulières à prendre,— dans quel ordre faire les réglages,— et il commente les mesures effectuées.

— Les enseignants du jury posent ensuite des questions permettant depréciser ou d’approfondir le travail réalisé par l’élève.

En préparation de cet examen final, en plus du soin apporté aux comptes-rendus pendant l’année et à votre participation active pendant les séances,nous ne pouvons que vous conseiller fortement de réviser bien à l’avanceles travaux pratiques des deux semestres.

x

Les incertitudes demesure en travauxpratiques.

On mesure l’intelligence d’un individuà la quantité d’incertitudes qu’il est capable de supporter.

Emmanuel Kant

L’humour : l’ivresse de la relativité des choses humaines ;le plaisir étrange issu de la certitude qu’il n’y a pas de certitude.

Milan Kundera

Sommaire1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Présenter un résultat de mesures . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Évaluation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1 Vocabulaire et définitions . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Méthode A : à l’aide de mesures multiples . . . . . 53.3 Méthode B : analyse "théorique" . . . . . . . . . . . 8

4 Propagation des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 IntroductionMesurer des grandeurs identifiées est une activité fondamentale dans

les laboratoires de recherche scientifique et dans l’industrie. C’est aussifondamental dans de nombreuses activités quotidiennes comme le pesagedans les commerces, les analyses biologiques, la mesure de vitesse avec unradar, . . .

1

2

Il est nécessaire d’établir la confiance dans les résultats fournis lors deces mesures.

Mesurer une grandeur (intensité d’un courant, tension, longueur,. . .),n’est donc pas simplement rechercher la valeur de cette grandeur maisaussi lui associer une incertitude afin de pouvoir qualifier la qualité de lamesure.

Déterminer une incertitude de mesure est une opération difficile etcomplexe, mais néanmoins indispensable (et pas seulement en TP, biensûr).

Lorsque vous êtes verbalisé à 95 km/h pour une vitesse maximale autorisée de90 km/h, vous êtes en droit de supposer que le radar a mesuré la vitesse de votre vé-hicule à 95±3 km/h. Donc, si l’incertitude est donnée pour un intervalle de confiancede 99, 7% (+/- 3 écart-types), votre véhicule roulait entre 92 et 98 km/h (avec une pro-babilité de 99, 7 % ). Pas de chance !

Quoi qu’il en soit, en Travaux Pratiques, vous ne devrez jamais donnerun résultat de mesure sans l’accompagner de son incertitude,. . .sous peined’être "verbalisés".

2 Présenter un résultat de mesures

2.1 Des exemplesVous mesurez l’angle d’un prisme. Le résultat doit être donné sous la

forme :A = 5958′45′′ ± 15′′

Vous mesurez la focale d’un système optique :

f = 51, 0 mm±1, 5 mm

Ou encore une résistance :

R = 101 Ω±5 Ω

2.2 Chiffres significatifsDonnez toujours les résultats avec un nombre raisonnable de chiffres

significatifs et en accord avec l’incertitude. Surtout PAS de :

R = 101, 6598 Ω±5 Ω

3. ÉVALUATION DES INCERTITUDES 3

Attention, en particulier, avec les tableaux Excel dans lesquels vous de-vez choisir le nombre de chiffres affichés, sous peine là encore de donnerl’impression d’avoir obtenu des précisions hors échelle !

Si vous mesurez la distance focale d’un système par la méthode simpley′/ tan(θ) et que vous donnez le tableau suivant :

θ θ () y′ (mm) f ′ = y′/ tan(θ) (mm)

250′45′′ 2, 845833333 9, 8 197, 143412

TABLE 1 – Exemple A NE PAS suivre !

Vous prétendez alors mesurer la focale avec une précision nanomé-trique !

Préférez ce tableau :

θ θ () y′ (mm) f ′ = y′/ tan(θ) (mm)

250′45′′ 2, 85 9, 8 197

TABLE 2 – Exemple à préférer !

Et dans tous les cas, le résultat final de la mesure effectuée donneral’incertitude, par exemple :

f ′ = 197± 5 mm

L’incertitude a au plus 2 chiffres significatifs et est toujours arrondiepar valeur supérieure. Et pour la valeur mesurée, le dernier chiffre signi-ficatif a le même rang que celui de l’incertitude.

3 Évaluation des incertitudes

3.1 Vocabulaire et définitionsMesurage (ou mesure). On appelle mesurage (ou mesure) l’ensembledes opérations permettant de déterminer expérimentalement une ou plu-sieurs valeurs que l’on peut raisonnablement attribuer à une grandeur.

La valeur vraie. Lorsque l’on fait une mesure, c’est, bien sûr, que l’onne connaît pas la valeur vraie. La valeur vraie est inconnaissable.

4

Dans un compte rendu, vous ne pouvez donc pas écrire que vous avezeffectué une « bonne » mesure, car le résultat de mesure est « proche dela vraie valeur » ! Il est préférable de donner l’écart à la valeur tabulée(ou trouvée dans le Hand Book, ou donnée dans le polycopié,. . . , et quielle aussi est, en principe, donnée avec son incertitude) est de tant, ou detant de % en valeur relative. On peut ensuite comparer cet écart à votreévaluation de l’incertitude sur votre mesure.

Répétabilité : les résultats de mesures successives d’une même gran-deur sont obtenus par la même méthode, par le même opérateur, avec lesmêmes instruments de mesure, dans le même laboratoire, et à des inter-valles de temps assez courts.

Reproductibilité : les résultats de mesures successives d’une mêmegrandeur sont obtenus par méthodes différentes ou au moyen de différentsinstruments de mesure, par différents opérateurs dans différents labora-toires.

Erreur systématique : Par définition, l’erreur systématique est l’ecartmoyen à la valeur vraie : M − ValeurVraie. En toute rigueur, M est lamoyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages de la même gran-deur, effectués dans les conditions de répétabilité et de reproductibilité. Lavraie valeur étant inconnaissable, il en est de même pour l’erreur systé-matique. En revanche, si elle est détectée, une erreur systématique, doitévidemment être corrigée.

Ces définitions sont illustrées sur le graphique de la figure 1.


Grandeur inconnueà mesurer

Valeurvraie

Résultat desmesures successives

m1,m2, . . .mN

-M

Erreursystématique

Écart type :répétabilité oureproductibilité

-

-

-

-

m1

m2

m3

m4

Processus de mesure

Processus analogueà la " planche de Galton“

(voir figure 2)

Résultat affiché

M = 1N

√∑Ni=1mi

FIGURE 1 – Illustration du processus de mesure.

3.2 Méthode A : à l’aide de mesures multiples

Lorsqu’on répète plusieurs fois la mesure d’une grandeur physique, onobtient généralement différentes valeurs plus ou moins dispersées :

m1,m2, . . . ,mn

Dans la plupart des cas, ces résultats de mesure suivent une distributionnormale (ou Gaussienne). Ceci provient du fait que plusieurs sources in-dépendantes contribuent généralement à cette erreur (Théorème CentralLimite , cf. cours 1A Maths et signal et illustration de la figure 2).

6

FIGURE 2 – Illustration de l’importance du modèle Gaussien des phéno-mènes aléatoires par l’expérience de la planche de Galton. La planche estinclinée. Les billes tombent et heurtent au hasard les clous (grand nombrede processus aléatoires) et se répartissent selon. . . . une loi Gaussienne.Crédit Wikipédia

A partir de ces résultats de mesures, on va pouvoir donner, la meilleureestimation du résultat de la mesure par la moyenne arithmétique :

M =1

N

N∑n=1

mn pour N mesures

Et l’écart type expérimental :

σ =

√√√√ 1

N − 1

N∑n=1

(mn −M)2

L’écart type expérimental pour une infinité de mesures de distributiongaussienne permet de calculer l’incertitude correspondant un intervalle deconfiance. On affichera une incertitude de :

— ∆m = 2σ pour un intervalle de confiance à 95%— ∆m = 3σ pour un intervalle de confiance à 99,7 %.

Ces "confiances à XX%" sont des probabilités, illustrées par les courbes dela figure 3 :


x

p(x) = 1√2πσ

e−x2

2σ2

σ

68, 3%

x

p(x)

2σ

95%

FIGURE 3 – Distribution Gaussienne et intervalles de confiance

Un nombre limité de mesures ne permet que d’estimer cet écart-typeexpérimental σ mais la loi de Student (tableau ci-dessous) permet le calculde l’incertitude.

Niveau deconfiance

5 mesures 10 mesures 20 mesures > 100 me-sures

50 % 0, 73 · σ 0, 70 · σ 0, 69 · σ 0, 67 · σ

68 % σ

70 % 1, 16 · σ 1, 09 · σ 1, 06 · σ 1, 04 · σ

87 % 1, 5 · σ

90 % 2, 02 · σ 1, 81 · σ 1, 73 · σ 1, 65 · σ

95 % 2, 57 · σ 2, 23 · σ 2, 09 · σ 1, 96 · σ

99 % 4, 03 · σ 3, 17 · σ 2, 85 · σ 2, 56 · σ

99,7 % 3 · σ

99,9 % 6, 87 · σ 4, 59 · σ 3, 85 · σ 3, 28 · σ

99,999 9998 %

6 · σ

TABLE 3 – Loi de Student : écart type et niveau de confiance

En travaux pratiques, on prendra simplement :

∆m = 2σ ou 3σ

Ce qui, à partir de 10 mesures, correspond à un intervalle de confiancesupérieur à 90%.

8

3.3 Méthode B : analyse "théorique"Si vous ne faites qu’une seule mesure (ou seulement quelques mesures),

l’approche statistique n’a pas de sens. Seule une analyse rigoureuse dessources d’incertitude est possible. C’est ce qui est désigné par une évalua-tion de type B de l’incertitude.

On doit essayer dans ce cas d’identifier toutes les sources d’incertitudedans le processus de mesure et d’évaluer leur importance. C’est en généralla partie de loin la plus délicate du problème.

Exemple des pointés longitudinaux

Par exemple lorsqu’on effectue le pointé longitudinal du foyer imaged’un système optique sur un banc à l’aide d’un viseur à frontale fixe, onidentifie au moins trois sources d’incertitude : L’incertitude des pointéslongitudinaux est due en principe à 3 facteurs :

— la diffraction,— la profondeur d’accomodation,— et l’incertitude de lecture.

La diffraction Le diamètre de la tache de diffraction est Φ = 2.44λn sin(α′) , où

λ désigne la longueur d’onde, ce qui entraîne une incertitude sur le pointéde :

∆zdiff ≈Φ

2 tan(α′)≈ λ

(α′)2

(voir schéma de la figure 4).

2∆zDiff

Φ

FIGURE 4 – Évaluation de l’incertitude de pointé due à la diffraction

Profondeur d’accomodation Cette incertitude correspond à l’erreurfaite si l’œil accomode à la distance minimale (c’est à dire 250 mm pourun·e jeune étudiant·e) par rapport au fonctionnement normal de l’oculairec’est à dire sans accomodation, image à l’infini.


A′ Foc|

Objectif viseur Oculaire viseur

A

FIGURE 5 – Évaluation de l’incertitude de pointé due à l’accomodation. Aulieu de viser l’infini, l’œil vise A′. L’image de la mire est placée en A au lieud’être placée au foyer objet de l’oculaire.

Le viseur est donc mal placé, le décalage est ∆zacc = AFoc(gy)2 car le gran-

dissement longitudinal de l’objectif du viseur est (gy)2. Or par la formulede Newton :

F ′ocA′ · FocA = −f2

oc

Or F ′ocA′ = 250 mm ( si l’ œil est placé au niveau du plan focal image), onpeut donc écrire :

∆zacc =f2oc

(gy)2 · 250

(Et la focale de l’oculaire est foc = 25 mm si le grossissement commercialest de 10.)

L’incertitude de lecture :

∆zlect = 0.02 mm

sur les règles numériques en TP.

La variance d’une somme d’incertitudes se calcule aisément quand celles-ci sont décorrélées (fig.5). Dans la pratique, heureusement, les sourcesd’incertitudes sont le plus souvent indépendantes, donc décorrélées. Aprèsavoir identifié les sources d’incertitude et leur valeur, il faut vérifier si cessources sont corrélées ou non corrélées. Dans l’exemple précédent (commedans la plupart des cas), elles sont indépendantes, on obtient alors l’incer-titude globale en effectuant la somme quadratique des termes évalués (cf.Cours Maths et Signal 1A).

∆zpointé longitudinal =√

∆z2diff + ∆z2

acc + ∆z2lect

10

Il est très important de noter que si une source d’incertitude est plusfaible que les autres (par exemple 3 fois plus faible), son influence seranégligeable (9 fois plus faible que les autres sources dans ce cas) sur l’in-certitude globale.

Dans l’exemple précédent des pointés longitudinaux, dans le cas où :

∆zdiff = 0.05 mm

∆zacc = 0.06 mm

∆zlect = 0.02 mm

L’incertitude totale est alors :√

∆z2diff + ∆z2

acc + ∆z2lect ≈

√∆z2

diff + ∆z2acc

∆zpointé longitudinal = 0.08 mm

L’incertitude de lecture est négligeable et il est inutile de la prendre encompte.

Il est donc toujours très important d’essayer d’identifier les sources d’in-certitudes les plus grandes. On néglige ensuite le plus souvent les sourcesdont l’influence est négligeable.

Sur les incertitudes de lecture

Appareil à affichage numérique : L’incertitude d’une mesure réaliséeà l’aide d’un appareil à affichage numérique N’EST PAS donnée par le der-nier chiffre affiché. Il est nécessaire de connaître les caractéristiques del’appareil de mesure pour pouvoir l’évaluer. La documentation de l’appa-reil stipule généralement deux grandeurs sous la rubrique « précision ».La première valeur est une incertitude en pourcentage de la valeur lue,la deuxième est un nombre de digits qui correspond à l’incertitude sur ledernier chiffre affiché (attention : cette dernière correspond donc à uneincertitude en pourcentage de la pleine échelle !).

Exemple : quelle est l’incertitude sur la valeur de 400.00 mA affichéepar un ampère-mètre ? La documentation de l’ampère-mètre indique uneprécision de :

±0, 05%± 4d

Alors le résultat de la mesure du courant est : 400.00 ± 0.24 mA , que l’onpeut réécrire avec une légère surestimation de l’incertitude : 400.0±0.3 mA.

Mais, si la valeur affichée est 001.12 mA, le résultat de la mesure ducourant sera : 001.12 ± 0.04 mA soit une incertitude relative très médiocrede 3,6 % (il faut bien évidemment changer de le calibre si c’est possible ! ).

4. PROPAGATION DES INCERTITUDES 11

Lecture de graduations Sur un vernier ou un réticule, comme sur lafigure 6, l’incertitude est donnée par l’écart entre 2 graduations, ∆Grad.

Réticule

Mire à mesurer

FIGURE 6 – Vernier de vis micrométrique et réticule d’oculaire

Le vernier des vis micrométriques est gradué au 2/100 de mm. Il estprudent de faire confiance au constructeur et prendre une incertitude delecture de ±0, 02 mm.

Autre exemple, un réticule d’oculaire vous permet de mesurer la dimen-sion de l’image d’une mire graduée. L’espacement entre deux graduationsest de 0.1 mm. On lit :

y′ (9 graduations de la mire) = 2, 3 mm±0.1 mm

soit une précision relative de 4,3%. Utiliser un maximum de graduationsdu réticule permet de diminuer cette incertitude de lecture. Si on utilise les100 graduations disponibles du réticule de 10 mm, l’incertitude de lecturerelative sera à sa valeur minimale de l’ordre de 1%.

4 Propagation des incertitudesCette partie est parfois curieusement dénommée calcul d’incertitude.

C’est de loin la partie la plus simple de toute cette annexe. Par exemple,vous cherchez à évaluer l’incertitude sur une grandeur y qui dépend d’uneautre grandeur x, (y = f(x)) et vous avez évalué l’incertitude sur x. L’outilmathématique différentiel (ou dérivée) vous donne immédiatement le ré-sultat. Ce que vous cherchez est l’influence d’une faible variation de x surla grandeur y (voir figure 7). Et si vous avez peur de vous tromper dans lecalcul formel de la dérivée, un calcul numérique à l’aide d’un tableau Excel(ou n’importe quel autre outil de calcul numérique, calculette, Matlab,. . . )vous permet tellement simplement de vous passer du calcul formel de cettedérivée. L’incertitude sur y est :

∆y =

∣∣∣∣ dfdx (xmesuré)

∣∣∣∣ ·∆x

12

x

y = f(x)

•

Xm

Ym

σx

σydfdx

σy =∣∣∣ dfdx (Xm)

∣∣∣ · σx

FIGURE 7 – Influence de l’écart-type d’une variable x sur la variable y =f(x).

Si y dépend de plusieurs autres grandeurs selon :

y = f(x1, x2, x3, . . . )

et que vous connaissez l’incertitude de chacune de ces grandeurs, c’est l’ou-til différentiel qui permet d’obtenir l’incertitude résultante sur la grandeury. Les étapes du raisonnement :

Le calcul de la différentielle totale exacte permet tout d’abord dequantifier l’influence d’une faible variation de chacun des paramètresx1, x2, x3, . . . sur la valeur de la grandeur y :

dy =∂f

∂x1(x1m)dx1 +

∂f

∂x2(x2m)dx2 +

∂f

∂x3(x3m)dx3 + . . . (1)

Dans le cas d’une fonction f s’exprime sous forme de produits et dequotients, il est plus utile de déterminer la dérivée logarithmique.Par exemple dans le cas y =

x21x2

x3on obtient directement :

dy

y= 2

dx1

x1+dx2

x2− dx3

x3

La prise en compte de la somme des effets des incertitudes de cha-cune des variables est réalisé facilement si les grandeurs x1, x2, x3, . . .

4. PROPAGATION DES INCERTITUDES 13

sont toutes décorrélées les unes des autres. Dans ce cas, c’est unesomme quadratique qui permet d’obtenir l’incertitude résultante :

∆y =

√(∂f(x1m)

∂x1∆x1

)2

+

(∂f(x2m)

∂x2∆x2

)2

+

(∂f(x3m)

∂x3∆x3

)2

+ . . .

(2)Dans le cas d’une fonction f sous forme de produits ou de quotients,on exprime des incertitudes relatives plutôt qu’absolues directementà partir de la dérivée logarithmique, pour l’exemple précédent :

∆y

y=

√4

(∆x1

x1

)2

+

(∆x2

x2

)2

+

(∆x3

x3

)2

Pourquoi une somme quadratique ? L’équation (1) décrit une varia-tion dy comme une somme pondérée des variations dx1, dx2, . . . . Chacunede ces variations est modélisée par une variable aléatoire. La variable aléa-toire dy s’écrit donc comme la somme de plusieurs variables aléatoires.L’incertitude est proportionnelle à l’écart-type de cette variablealéatoire, c’est à dire à l"amplitude moyennée" des variations. Dans le casde variables aléatoires dx1, dx2, . . . décorrélées, on sait que "la variance dela somme est égale à la somme des variances", d’où la somme quadratiquedes écart-types et donc des incertitudes de l’équation (2). La figure 8 donnel’allure de la densité de probabilité d’une somme de variables aléatoiresgaussiennes decorrélées.

x

pA1(x), pA2(x)

σ1 σ2

|

MA1

|

MA2

x

pA1+A2(x)

σ

|

MA1+MA2

σ =√σ2

1 + σ22

FIGURE 8 – Somme de deux variables aléatoires décorrélées A1 et A2.Écart-type résultant

14

Si la dérivée est laborieuse à calculer, un calcul numérique avec Ex-cel ou tout autre outil peut être utilisé. Par exemple, la mesure de l’indicen par le minimum de déviation d’un prisme est obtenue par la formule :

n =sin(A+Dm

2

)sin(A2

)Dm est l’angle minimum de déviation et A ... L’incertitude sur l’indice ndépend des incertitudes sur A et Dm (∆A et ∆Dm). Avec un outil informa-tique de calcul, il est facile de calculer les deux grandeurs suivantes :

n+ ∆nDm =sin(A+Dm+∆Dm

2

)sin(A2

) et n+ ∆nA =sin(A+∆A+Dm

2

)sin(A+∆A

2

)L’incertitude sur l’indice n sera donnée par par la somme quadratique des2 termes, en supposant les incertitudes sur A et Dm non corrélées (elles lesont si elles sont statiquement indépendantes) :

∆n =√

∆n2Dm

+ ∆n2A

Mesures optiquesvisuelles.Pointés longitudinaux et transversaux.Focales et frontales de systèmes optiques.Rayons de courbure.

Le TP se déroule sur deux séances. Le compte rendu global est à rendreà la fin de la deuxième séance.

Les questions P1 et P2 doivent être préparées avant la séance.

SommaireIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Conseils pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Rappels d’optique paraxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Mesures rapides de focale . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1 Dispositif de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Première étude : Doublet . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille di-

vergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Mesure de focale par la méthode de Cornu . . . . . . 21

6.1 Principe de la méthode de Cornu . . . . . . . . . . . 216.2 Alignement du banc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Analyse de la précision des pointés longitudinaux. 256.4 Mesures et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Mesures de rayons de courbure . . . . . . . . . . . . . 277.1 Principe de la mesure par autocollimation . . . . . 277.2 Précision de pointé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3 Mesures et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 28

15

16

IntroductionCes deux séances de Travaux Pratiques sont une première occasion de

mettre en œuvre des principes de l’optique instrumentale et de mesuresoptiques étudiés en cours en première année, d’apprendre à faire des me-sures précises et rigoureuses et d’évaluer soigneusement la précision deces mesures. Ces mesures permettront de déterminer la distance focale etles frontales avant et arrière de systèmes optiques, ainsi que des rayons decourbure de miroirs ou de dioptres. Le TP se déroule sur deux séances. Aucours des deux séances vous allez mesurer :

— la focale et la position des éléments cardinaux d’un objectif vidéo,— la focale d’un doublet convergent et d’une lentille divergente,— le rayon de courbure d’un miroir non aluminé,— les rayons de courbures des deux dioptres d’un condenseur.A l’issue de ces deux séances vous serez capables de :— concevoir le protocole de mesure des grandeurs géométriques d’un

système optique,— choisir les instruments et mettre en œuvre de telles mesures,— évaluer les incertitudes.

Conseils pratiquesMesures Utiliser correctement les réticules afin d’obtenir les mesuresles plus précises possibles, c’est à dire le plus grand nombre de gradua-tions. Toujours noter les conditions de mesures (objectif de viseur utilisé,nombre de graduations,. . .) On donnera systématiquement toutes les me-sures brutes (nombre de graduations,. . .), puis l’analyse de ces mesures,de façon à permettre de revenir rapidement sur des incohérences et iden-tifier s’il s’agit d’erreurs de calcul ou de mesure.

Incertitudes Il vous est demandé d’évaluer les incertitudes de mesuresavec soin, l’annexe Les incertitudes de mesure en Travaux Pratiques donnedes éléments pour vous y aider.

Rappels d’optique paraxialeDans le cadre de l’approximation paraxiale, tout système optique (à

l’exception des systèmes afocaux) peut être modélisé par ses plans prin-cipaux (objet et image) et ses foyers (objet et image). La distance focaleimage est f ′ = H ′F ′. Si les milieux de part et d’autre du système ont lemême indice, la distance focale objet HF est f = −f ′ ( fn = − f

′

n′ sinon ).La focale f ′ détermine la dimension de l’image d’un objet situé à l’infini,

c’est à dire y′ = −f tan(θ) = f ′ tan(θ′), où θ est la dimension angulaire d’un

5. MESURES RAPIDES DE FOCALE 17

objet situé à l’infini et y′ la dimension de son image par le système optiqueétudié comme représenté sur la figure 9.

H H ′

F ′F ||

θθ′

y′

FIGURE 9 – Schéma de la configuration∞ - Foyer d’un système optique. Lataille y′ de l’image d’un objet de dimension angulaire θ est y′ = f ′ tan(θ′)

P1 Dans quel cas a-t-on θ = θ′ ?

5 Mesures rapides de focale par la mesure dela taille de l’image (pointés transversaux).

Les méthodes de mesures de la focale que nous allons étudier sont trèsimportantes pour un ingénieur-opticien. Il apparaît souvent que la focaleréelle d’un système optique acheté dans le commerce diffère de 2 à 5% de lavaleur donnée en catalogue ou gravée sur la monture mécanique. Cette dif-férence peut compromettre le bon fonctionnement d’un instrument conçusans avoir vérifié les valeurs données en catalogue.

La méthode la plus directe pour mesurer une distance focale est doncde mesurer la dimension de l’image d’un objet situé à l’infini et dont onconnaît la dimension angulaire. Cette approche est parfois appelée : "mé-thode y′/ tan(θ)".

5.1 Dispositif de mesureEn pratique, une mire graduée, Mc, placée au foyer du collimateur joue

le rôle d’objet à l’infini dont la dimension angulaire est connue. La mesurede la dimension angulaire de la mire Mc a été effectuée soigneusement àl’aide d’un goniomètre. Elle est inscrite sur le collimateur en degrés, mi-nutes (1/60) et secondes d’arc (1/3600).

La mesure de la dimension transversale, y′, de l’image de la mire gra-duée Mc, par le système optique à étudier permet donc d’obtenir simple-

18

ment la focale d’un système optique. Cette mesure sera réalisée avec pré-cision à l’aide d’un viseur à frontale fixe (c’est-à-dire un microscope).

Objectif étudié

H H ′

F ′

F ||

Foye

rim

age

del’o

bjec

tifé

tudi

é

Foc

|

Foye

rob

jet

del’o

cula

ire

Rét

icul

e

Objectif viseur Oculaire viseurCollimateurMc y′ y′′

FIGURE 10 – Schéma complet du montage

Deux protocoles sont possibles pour mesurer cette dimension y′ :

1. la mesure de la dimension y′′, image de y′ par l’objectif de viseur surle réticule de l’oculaire,

2. la mesure directe de la dimension y′ par déplacement transversaldu viseur.

P2 Faire un schéma clair du montage sur le document fourni en annexe(et disponible sur LibresSavoirs). Tracer le cheminement d’un faisceau derayons (au moins 2 rayons donc !) pour un point objet de la mire graduéedu collimateur hors d’axe.

5.2 Première étude : Doublet

Alignement du banc et réglage du viseur

La hauteur de l’axe optique est ici fixée par la hauteur du mandrin autocentreur (puisque celui-ci n’et pas réglable). De même, la même positionlatérale de l’axe est imposée par le collimateur si celui ci n’est pas réglable.

5. MESURES RAPIDES DE FOCALE 19

Placer tous les éléments nécessaires sur le banc en vérifiant attenti-vement que tous les éléments sont bien centrés, à la hauteur du mandrinet bien alignés.

Prendre soin de placer le doublet convergent dans le bon sens d’utili-sation.

Régler l’oculaire à votre vue. Pour cela, dévisser le verre d’œil puis lerevisser progressivement jusqu’à voir le réticule net, tout en gardant ledeuxième œil ouvert afin d’éviter d’accommoder.

Monter l’objectif de grandissement x2.5 sur le viseur.

Protocole 1. Mesure de y′′

On souhaite donc mesurer l’image agrandie de la mire, y′′, par l’objectifdu viseur à l’aide du réticule de l’oculaire (pointé transversal). Le réticuledes oculaires de longueur 10 mm est gradué en 1/10ème de millimètre (100graduations). Dans ce cas, il est nécessaire de déterminer avec précision legrandissement de l’objectif du viseur à l’aide d’une mire objet, graduée elleaussi au 1/10ème de millimètre. 1

Étalonnage de l’objectif du viseur

Placer la mire objet, éclairée par la lampe de bureau et observer avecle viseur l’image de cette mire.

Mesurer à l’aide du réticule de l’oculaire la taille de cette image. Pourcela il peut être nécessaire de déplacer le viseur transversalement afind’aligner une graduation de l’image de la mire étalon avec une graduationdu réticule de l’oculaire. Prendre le plus grand nombre de graduations pourdiminuer les incertitudes de mesures.

Q1 Déduire de cette mesure le grandissement du viseur.

Q2 Quelle est l’incertitude de cette mesure si on suppose que la prin-cipale source d’incertitude est l’erreur de lecture d’une graduation sur leréticule de l’oculaire ?

1. On ne peut se fier aux valeurs de grandissement données par le constructeur car leslongueurs de tubes utilisés pour nos viseurs ne correspondent pas assez précisément auxvaleurs standards des tubes de microscopes commerciaux (cf. cours et TP sur le microscope)

20

Mesure de focale et incertitudes

Mesurer la focale du doublet (Clairaut). Répéter plusieurs fois la me-sure (une dizaine de mesures). Indiquer l’incertitude de mesure expéri-mentale. Se référer à l’annexe sur "les incertitudes de mesures en TP".

Q3 Quelle est l’incertitude attendue ? Est-elle cohérente avec celle mesu-rée par répétabilité ?

Protocole 2 : utilisation de la vis de déplacement transversal

Une autre méthode consiste à mesurer y′ directement, par déplacementtransversal du viseur (pointé transversal). Une graduation du réticule del’oculaire sert de repère pour cette mesure. Le déplacement est lu à l’aidedu vernier de la vis micrométrique fixé sur le support viseur. Ce vernierest gradué en 2/100 de millimètre (25 graduations pour 1 tour = 0.5 mm).

Mesurer la focale du doublet (Clairaut) par cette deuxième méthode.

Q4 Évaluer les incertitudes sur cette mesure. Comparer les résultats ob-tenus par les deux méthodes.

Mesure de frontale

Mesurer la frontale arrière du Clairaut (S′F ′ : distance dioptre de sor-tie du système- foyer image). Pour cela :

— déposer délicatement quelques poussières de talc sur le sommet dela lentille à l’aide de la pointe d’un crayon,

— placer le viseur dans la position où il image le foyer image du dou-blet, mettre à zéro le vernier numérique longitudinal,

— déplacer le viseur jusqu’à ce que l’image du talc soit nette,— la valeur de la frontale se lit ainsi directement sur le vernier.

Q5 Comparer à sa focale.

Focale et frontale avant

Utiliser l’objectif à étudier dans l’autre sens et mesurer à nouveau lafocale (par les 2 méthodes) et la frontale du système optique.

Q6 Commenter et faire un schéma du système.

6. MESURE DE FOCALE PAR LA MÉTHODE DE CORNU 21

Remplacer l’objectif du viseur par l’objectif de grandissement x6.3.

Mesurer à nouveau la focale du doublet par le premier protocole.

Q7 Commenter. Comment choisir l’objectif du viseur ?

5.3 Application à un objectif vidéo et à une lentille di-vergente

Placer maintenant l’objectif vidéo, dans le sens habituel d’utilisation,dans le mandrin autocentreur.

Q8 Expliquer votre choix pour l’objectif du viseur.

Effectuer une mesure précise de la focale de l’objectif vidéo par lesdeux protocoles.

Mesurer sa frontale arrière.

Q9 Comparer à la focale. Où se trouve le plan principal image ?

Utiliser l’objectif dans l’autre sens et mesurer à nouveau la focale (1erprotocole) et la frontale du système optique.

Q10 Tracer avec soin, à l’échelle, le schéma paraxial de l’objectif étudié(plans principaux, foyers et faces d’entrée et de sortie de l’objectif).

Mesurer enfin par la méthode de votre choix la focale d’une lentilledivergente.

Q11 Expliquer le choix de l’objectif du viseur, et donner l’incertitude devotre mesure.

6 Mesures de focale de systèmes optique parla méthode de Cornu (pointés longitudinaux)

6.1 Principe de la méthode de CornuCette méthode permet de déterminer la focale du système par appli-

cation de la formule de Newton, en prenant pour objets les sommets des

22

dioptres d’entrée et de sortie du système. De plus, elle permet de mesurerles frontales avant et arrière et de placer les plans principaux et les foyersdu système (modélisés en optique paraxiale).

Objectif étudié

F ′

BA A′ |

Foc

|

Objectif viseur Oculaire viseurCollimateur

FIGURE 11 – Méthode de Cornu. Deux premières mesures : F ′B et F ′A′

Le viseur est déplacé longitudinalement le long du banc de manièreà pointer (netteté simultanée et sans parallaxe du réticule et de l’imageobservée) :

— les graduations de l’image de la mire graduée du collimateur situéedans le plan focal image F ′ du système,

— le sommet du dioptre de sortie B,— l’image A’ du sommet du dioptre d’entrée A à travers le système

étudié,On retourne le système optique et on effectue des pointés analogues quifournissent les lectures F , A, B′ :

Objectif étudié

F

B AB′ |

Foc

|

Objectif viseur Oculaire viseurCollimateur

FIGURE 12 – Méthode de Cornu. Mesures 3 et 4 : FA et FB′


On en déduit la focale du système par les formules de Newton :

f · f ′ = FA · F ′A′ = F ′B · FB′

Les deux valeurs ainsi obtenues permettent un contrôle des valeurs mesu-rées. Connaissant la focale et la position des foyers par rapport aux sur-faces terminales du système, il suffit de mesurer l’épaisseur de ce dernierau palmer pour pouvoir placer tous les éléments paraxiaux (H, H ′, F , F ′).

6.2 Alignement du banc

La mesure de la focale par la méthode de Cornu utilise différents poin-tés longitudinaux le long du banc. Pour obtenir des mesures précises, lecollimateur, le système optique étudié et le viseur doivent avoir leur axeoptique parallèle à l’axe de coulissage du banc de mesure. Régler précisé-ment un banc d’optique, c’est amener les axes optiques des divers systèmesà être confondus entre eux (ce qui définit l’axe optique du montage) et pa-rallèles à l’axe de coulissage du banc. Vous allez réaliser ce réglage par unalignement laser. Le faisceau d’une petite diode laser rouge va permettrede matérialiser l’axe de coulissage du banc et d’effectuer les positionne-ments des éléments par autocollimation.

Les étapes de ce réglage rapide sont décrites dans les paragraphes sui-vants.

Alignement du laser sur l’axe du banc

On dispose d’une diode laser suivi d’un dispositif à deux miroirs planstrès astucieux, dit "tabouret optique". Ce dispositif utilise la propriété se-lon laquelle 2 miroirs sont nécessaires et suffisants pour aligner un fais-ceau laser sur une droite quelconque. Ce système permet un réglage in-dépendant de la translation et de la rotation du faisceau dans les deuxdirections, horizontale et verticale, comme indiqué sur les figures 13 et14. Les translations du faisceau sont utilisées pour les réglages du trou àfaible distance, les rotations pour les réglages à grande distance.

24

Diode Laser

Rotation du miroir M2

⇒ réglage de rotation du faisceau

Rotation du support

⇒ réglage de la translation du faisceau

FIGURE 13 – Schéma de principe du "tabouret optique"

FIGURE 14 – Tabouret optique

Aligner le faisceau laser avec l’axe du banc. Pour cela :— Fixer un trou dans le mandrin auto-centreur (vérifiez que le man-

drin est centré sur le banc pour que le trou le soit aussi !) et le dé-placer au bout du banc,

— Règler la rotation du faisceau à l’aide du "tabouret optique" afin quele faisceau laser traverse ce trou,

— Repérer la position de ce trou à l’aide d’un écran percé d’un trou,— Déplacer ce carton perforé à l’autre extrémité du banc (très proche

du "tabouret optique"),


— Translater le faisceau laser à l’aide du "tabouret optique" afin quele faisceau laser traverse ce trou,

— Enfin, corriger la rotation du faisceau afin qu’il traverse les deuxtrous, aux deux extrémités du banc.

Le faisceau laser est alors parfaitement parallèle à l’axe de coulissage dubanc et matérialise l’axe optique du montage. Le trou métallique peut êtreôté du mandrin.

Réglage des autres éléments

L’écran percé d’un trou permet de visualiser les taches qui résultent desréflexions sur les différents dioptres.

Centrer rapidement le collimateur sur l’axe optique, pour cela s’assu-rer que l’on a une seule tache. Puis le basculer pour que le dioptre soitperpendiculaire à l’axe optique (obtention d’une tache centrée).

Orienter très précisément l’objectif à étudier dans le mandrin autocen-treur. Attention à ne pas toucher au déplacement transversal du mandrinqui a servi à définir l’axe optique !

Régler rapidement l’orientation du tube du viseur.

6.3 Analyse de la précision des pointés longitudinaux.La précision des mesures dans cette méthode dépend de la précision

des pointés longitudinaux.— L’axe de l’objectif doit être placé le plus précisément parallèle à l’axe

de coulissage (alignement laser).— La qualité du pointé longitudinal est améliorée en utilisant le phé-

nomène de la parallaxe entre le réticule de l’oculaire et l’image ob-servée.

— Et enfin, la précision des pointés longitudinaux augmente avec l’ou-verture effective du montage.

Ce dernier point est dépendant de l’objectif du viseur.

Choix de l’objectif du viseur

L’ouverture numérique objet du viseur utilisé, ONv = n · sin(αv), doitdonc être choisie supérieure à l’ouverture numérique image du systèmeoptique étudié. Autrement dit, la pupille du montage doit être, si cela estpossible, la pupille du système étudié.

26

ΦPE

Objectif étudié

H H ′

α′αv

F ′

|

Foc

|

Objectif viseur Oculaire viseur

FIGURE 15 – L’ouverture numérique sin(αv) de l’objectif du viseur doit êtresupérieure à celle du système à mesurer.

Pour les objectifs de microscope, l’ouverture numérique objet, ON =n · sin(α), est gravée sur la monture.

Pour les autres objectifs, photo, vidéo , de projection ou d’agrandis-seur, c’est à dire pour tous les systèmes qui sont habituellement utilisés enconjugaison infini-foyer, c’est le nombre d’ouverture, défini par N = f ′

ΦPE,

du système optique qui est indiqué sur la monture. En vertu de la relationd’Abbe (ou Relation Fondamentale des Systèmes Optiques d’Imagerie) :

sin(α′) =ΦPE2f ′

=1

2N

Q12 Quel objectif de viseur choisissez-vous pour la mesure de la focaledu doublet ? Le critère sur l’ouverture numérique est-il le seul à prendreen compte ici ?

Analyse en répétabilité

Avec l’objectif de viseur choisi, chaque manipulateur fera un test de pré-cision de pointé sur le foyer F ′. Ce test est destiné à comparer la précisionestimée et la précision réelle de pointé (qui est propre à chaque expérimen-tateur).

Effectuer 10 pointés successifs chacun du plan focale image, F ′, endéfocalisant largement entre chaque pointé. Présenter les résultats avecl’écart type.

Effectuer la même expérience avec un objectif de viseur beaucoup plusfermé et comparer les précisions de pointé.

7. MESURES DE RAYONS DE COURBURE 27

Analyse théorique

L’incertitude des pointés longitudinaux est due en principe à 3 facteurs :— la diffraction,— la profondeur d’accomodation,— et l’incertitude de lecture.

Q13 Calculer la valeur de ces incertitudes et comparer à votre analyseen répétabilité.

6.4 Mesures et incertitudes Mesurer avec la meilleure précision possible les grandeurs FA, F ′A′,F ′B, FB′. Effectuer 10 mesures successives, en défocalisant largemententre chaque pointé.

Q14 En déduire la focale et les frontales du système optique.

Q15 Déterminer la précision de mesure de ces valeurs.

Q16 Comparer bien sûr ces résultats avec ceux obtenus dans la partie 5.

7 Mesures de rayons de courbure

7.1 Principe de la mesure par autocollimationCette méthode s’applique à la mesure des rayons de courbure de sur-

faces optiquement polies. Il existe pour un miroir sphèrique, deux posi-tions pour lesquelles l’image obtenue par réflexion et l’objet sont confon-dus : lorsque l’objet est au centre de courbure et lorsque l’objet coïncideavec la surface. La distance entre ces deux positions est égale au rayonde courbure. Pour pointer le sommet et le centre du miroir, on utilise unmicroscope autocollimateur (ou viseur autocollimateur). Le schéma de ceviseur à réticule éclairé est donné sur la figure 16, page 29.

Méthode de réglage :— On règle rapidement le miroir à étudier sur l’axe du banc en utili-

sant le faisceau de la diode laser d’alignement,— puis pointer un sommet, ce qui est facile puisque l’on connaît ap-

proximativement le plan de visée du viseur autocollimateur (on connaîtla distance frontale de l’objectif),

28

— retirer l’oculaire et translater le viseur en direction du centre en ob-servant attentivement la tache lumineuse que forme, dans la pupillede l’objectif, le faisceau réfléchi.

— En général, plus on s’éloigne du sommet plus la tache s’éloigne ducentre de la pupille. On agit alors sur l’orientation du miroir pourmaintenir cette tache au centre de la pupille.

— Quand on se trouve au voisinage du centre de courbure, la pupilledoit à nouveau être complètement éclairée. On replace l’oculaire eten oscillant autour de cette position, on doit trouver le centre decourbure. On lit l’abscisse du centre.

— Translater le viseur pour viser le sommet correspondant à la direc-tion de l’axe. On lit l’abscisse du sommet.

Remarque Pour vérifier que l’on a bien pointé le sommet et le centre decourbure de la "bonne" face, on peut par exemple souffler de la buée surl’autre face ; l’image ne doit pas disparaître.

7.2 Précision de pointéIl s’agit là encore de pointés longitudinaux. La précision des pointés

longitudinaux augmente avec l’ouverture effective du montage. L’ouver-ture numérique objet du viseur utilisé doit donc être choisie supérieure àl’ouverture numérique du miroir étudié. Autrement dit, dans la mesure dupossible, la pupille du montage doit être le miroir.

Q17 Expliquer comment choisir l’objectif de microscope du viseur auto-collimateur pour obtenir la meilleure précision de pointé longitudinal.

7.3 Mesures et incertitudes Mesurer le rayon de courbure du miroir concave placé dans une mon-ture beige et évaluer la précision de cette mesure. Faire une étude de ré-pétabilité.

Q18 Comparer à l’erreur de pointé estimée.

On étudie ensuite un condenseur. Il s’agit d’une lentille épaisse plan-convexe. On place la face convexe vers le viseur autocollimateur.

Q19 Expliquer pourquoi on doit obtenir une image à l’aide du viseur au-tocollimateur pour 4 positions.

7. MESURES DE RAYONS DE COURBURE 29

Mesurer les positions des images obtenues et déduire le rayon de cour-bure du dioptre, la focale du condenseur, l’indice du verre et l’épaisseur ducondenseur.

Q20 Calculer l’incertitude sur la focale, l’indice du verre et l’épaisseur àpartir des incertitudes sur les pointés.

Mesurer l’épaisseur avec le palmer.

Q21 Cette mesure est-elle compatible avec la mesure obtenue à partirdes pointés ?

FIGURE 16 – Schéma de principe du viseur autocollimateur

30

Annexe. Schéma.

TP Fizeau -‐ Zygo Page 31

CONTRÔLES INTERFÉROMÉTRIQUES Version 2016-‐2017

Analyses de franges d'égale épaisseur

TP 1 : Interféromètre de Fizeau Analyse visuelle

Analyse par démodulation d’une porteuse spatiale

TP 2 : Interféromètre de ZYGO

Analyse par décalage de phase (phase-‐shift) Préparation du TP : -‐ Lire l’introduction qui présente des rappels d’interférométrie optique et les 3 méthodes de mesures de contrôles interférométriques utilisées au cours de ces deux séances. -‐ Il est impératif répondre aux questions de préparation avant la séance. Les réponses seront vérifiées par l’enseignant·∙e responsable de la séance. Le compte rendu est à rendre une semaine après la 2ème séance.

Il devra présenter en plus des réponses aux questions posées, une synthèse des mesures précises des défauts des échantillons obtenues pendant les 2 séances (illustrées par quelques interférogrammes bien choisis). On analysera précisément dans tous les cas l’incertitude de mesures sur les défauts et la cohérence des de ces mesures. Le CR ne devra pas excéder 8 pages.

Attention : Sur les images d’interférogrammes que vous obtiendrez et présenterez dans le rapport, l’écart entre deux franges peut correspondre à une variation d’épaisseur ou de hauteur de l/2, l/2n, l/2(n-‐1),…Expliquez et Justifiez


à chaque fois très clairement la valeur de cet écart (le choix du « wedge factor »

Introduction Ces deux séances de travaux pratiques ont pour but de présenter quelques

méthodes d’interférométriques couramment utilisées pour caractériser la qualité de composants optiques usuels (lames à faces parallèles, miroirs plans, miroirs de télescope, systèmes optiques …). Ces techniques permettent de quantifier la qualité des composants optiques finis ou en cours de la fabrication.

1. La qualité d'un miroir plan, sphérique ou asphérique est caractérisée

par l'écart entre sa surface réelle et la surface souhaitée

2. La qualité d'une lame à faces parallèles est déterminée d’une part par l'écart à la planéité “parfaite” de ses deux faces et d’autre part par son défaut d’épaisseur de (l’épaisseur étant donnée localement par e0+de).

3. La qualité d’un système optique (objectif, lunette afocale,…) est caractérisée par l'écart entre sa surface d’onde réelle dans la pupille de sortie du système et la surface d’onde souhaitée.

a) Ces écarts sont souvent exprimés en longueur d’onde (en général, la longueur d’onde de référence est celle de He-‐Ne, c’est-‐à-‐dire 632.8 nm). Ils peuvent aussi être exprimés en microns ou nanomètres.

b) Les valeurs de ces écarts sont données, soit par leur valeur crête à crête (Peak-‐to-‐Valley, PV), soit par leur écart type (Root Mean Square ou RMS ou écart type).

c) Remarque très importante : si la distribution des défauts est proche d’une distribution « normale » (ou distribution Gaussienne), alors la valeur PV est environ 5 à 6 fois supérieure à l’écart type. Il est donc très important de bien préciser si la valeur mesurée est une valeur PV ou RMS. Une optique dont le PV est de 1 l est de bonne qualité alors qu’une optique de 1 l RMS est très mauvaise.

Site à consulter pour ces méthodes interférométriques :


[1] Cours de Pascal Picard dans le site Optique pour l’Ingénieur, abondamment utilisé pour ce texte de TP http://www.optique-‐ingenieur.org/fr/cours/OPI_fr_M02_C06/co/Contenu_10.html Article de référence pour les méthodes de Phase-‐Shift : [2] Chapitre « Phase Shifting interferometry » de J.E. Greivenkam and J.H. Bruning (page 501) du livre Optical Shop Testing, édité par Daniel Malacara (1992 John Wiley & Sons, Inc.)

1. Rappels généraux sur l’interférométrie optique

Un grand nombre de techniques de mesures optiques reposent sur le phénomène d'interférences à deux ondes.

Par exemple, une onde plane réfléchie par les deux faces d’une lame à

faces quasi-‐parallèles (fig. 1.a) donne deux fronts d’onde quasi-‐parallèles. Le déphasage, j (x,y), entre ces deux ondes varie localement en fonction de la variation défaut d’épaisseur de la lame. On observe une figure de franges d’interférence (appelée couramment interférogramme) qui permet de mesurer le défaut d’épaisseur de lame.

En effet, si localement les deux ondes ont en phase, c’est-‐à-‐dire j (x, y) = 0 (mod 2p ), on obtiendra une frange brillante. Au contraire, si elles sont en opposition de phase, c’est-‐à-‐dire j (x, y) = p (mod 2p), on obtiendra une frange sombre.

Fig.1 : Principe de mesure des défauts d’épaisseur (a) et de surface à l’aide d’un plan étalon (b).


Ces franges sont appelées « franges d’égale épaisseur » (comme les franges du coin d’air étudiées pendant le TP Michelson). Ces franges permettent de mesurer des variations d’épaisseur de l'échantillon car les verres actuels, sauf exceptions, sont très homogènes et les défauts observés sont dus à des variations d'épaisseurs et non à des variations d’indice.

De manière générale, pour un éclairage parfaitement cohérent (ce qui

sera toujours le cas lors ces deux séances de TP), l’éclairement dans le plan des franges est donné par :

𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝐸! 𝑥, 𝑦 + 𝐸! 𝑥, 𝑦 + 2 𝐸!(𝑥, 𝑦) 𝐸!(𝑥, 𝑦) cos(𝜑(𝑥, 𝑦))

qui peut s’écrire :

E(x, y) = (E1(x, y)+ E2 (x, y))(1+2 E1(x, y) E2 (x, y)E1(x, y)+ E2 (x, y)

cos(ϕ(x, y))

E(x, y) = E0 (x, y)(1+C(x, y)cos(ϕ(x, y))

où C est le taux de modulation des franges : max min

max min

E ECE E

−=

+

C se déduit facilement des amplitudes relatives des 2 ondes qui interfèrent et la phase, j (x,y), est directement reliée à la différence de marche entre les 2 ondes :

2 ( , )( , ) x yx y

πϕ

λΔ

=

P1 : Donnez l’expression de la différence de marche, D, entre les rayons réfléchis par chacune des faces en fonction de, n, l’indice du verre, de, e, l’épaisseur, le, de, le défaut d’épaisseur et de r, l’angle de réfraction par le dioptre air-‐verre. Donnez le sens de variation de D en fonction de l’angle d’incidence, i. En incidence normale, à quelle variation d’épaisseur, de, correspond l’écart entre deux franges brillantes ou sombre consécutives? P2 : On rappelle facteur de réflexion, R = Frefl / Finc, pour un dioptre air-‐verre (ou verre-‐air) en incidence normale vaut 4 %. Calculez le taux de modulation pour des franges d’interférence entre les deux ondes réfléchies par une lame de verre.


2. Méthodes de contrôle interférométrique.

1. Analyse visuelle des interférogrammes.

Les franges que l’on observe sont toujours des franges d’égale épaisseur. Ces franges sont donc analogues à des lignes de niveaux sur une carte topographique (carte IGN).

Fig 2 : Interférogramme et lignes de niveau (crédits [1] et IGN) La variation de différence de marche entre une frange et la suivante est

toujours égale à l. L'analyse visuelle permet facilement d’obtenir la valeur PV du défaut du front d’onde (il suffit de compter les lignes de niveau !). Par contre, elle ne donne pas le signe de ce défaut. Par exemple, sur la figure 2, on voit un défaut de front très localisé de PV environ 3 l. Mais on ne peut pas savoir s’il s’agit d’une bosse ou d’un creux.

L’analyse visuelle est une première démarche expérimentale indispensable qui permet de donner la valeur approchée et la forme du défaut, mais elle devra, si c’est possible, être complétée par une méthode de démodulation de phase spatiale ou temporelle.

1. Démodulation de phase spatiale ou temporelle.

On cherche à mesurer 2 ( , )( , ) x yx y

πϕ

λΔ

= dans l’expression de

l’éclairement :

𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝐸! 𝑥, 𝑦 + 𝐸! 𝑥, 𝑦 + 2 𝐸!(𝑥, 𝑦) 𝐸!(𝑥, 𝑦) cos(𝜑(𝑥, 𝑦))


Le principe général est d’ajouter une porteuse (un signal modulé) à cette phase ( , )x yϕ que l’on souhaite mesurer. Cette porteuse peut être, soit temporelle dans le cas des méthodes de décalage de phase, soit spatiale. Pour ajouter une porteuse spatiale, il suffit d’introduire un angle (on dit souvent un « tilt ») entre la surface mesurée et la surface de référence. On obtient alors des franges à peu près parallèles.

2. Analyse d’interférogrammes par démodulation d’une porteuse spatiale :

En effet, si l’on introduit un tilt entre la surface mesurée et la surface de référence, il apparait des franges parallèles (comme pour les franges du coin d’air dans le TP Michelson).

L’éclairement dans l’interferogramme est dans ce cas :

𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝐸! 𝑥, 𝑦 + 𝐸! 𝑥, 𝑦+ 2 𝐸!(𝑥, 𝑦) 𝐸!(𝑥, 𝑦) cos(𝜑 𝑥, 𝑦 + 2𝜋𝑢!𝑥 + 2𝜋𝑣!𝑦)

𝐸 𝑥, 𝑦 = 𝑎 𝑥, 𝑦 + 𝑏 𝑥, 𝑦 cos(𝜑 𝑥, 𝑦 + 2𝜋𝑢!𝑥 + 2𝜋𝑣!𝑦) Où u0 et v0 sont les fréquences de la modulation (ou porteuse) spatiale

selon les directions x et y.

Ou, en introduisant la notation complexe et en posant : ( , )( , ) ( , ) i x yc x y b x y e ϕ= :

0 0 0 02 ( ) 2 ( )( , ) ( , )1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2i u x v y i u x v yi x y i x yE x y a x y b x y e e b x y e eπ πϕ ϕ+ − +−= + +

0 0 0 02 ( ) 2 ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )i u x v y i u x v yE x y a x y c x y e c x y eπ π+ − += + +

Si maintenant on calcule la Transformée de Fourier à deux dimensions de l’éclairement, on obtient :

!E(u,v) = !A(u,v)+ !C(u−u0 ,v − v0 )+ !C(u−u0 ,v − v0 )

Il apparait donc dans le plan de Fourier deux lobes latéraux bien séparés (fig.3) aux fréquences spatiales 0 0( , )u v et 0 0( , )u v− − qui contiennent l’information de phase recherchée.


Fig 3 : Interférogramme avec porteuse spatiale et sa TF

L’un des lobes peut être filtré dans l’espace des fréquences puis ramené à la fréquence zéro.

On effectue, successivement, la suppression de l’ordre zéro et la recherche de la position d’un des deux lobes latéraux. Puis, ce pic est filtré et ramené à la fréquence zéro (fig. 4).

Fig 4 : Filtrage d’un des lobes latéraux

On ne conserve ainsi que la composante spectrale : !C(u,v) , dont on prend la transformée de Fourier inverse.

( , )1( , ) ( , )2i x y

fc x y b x y e ϕ=

Soit : ϕ(x, y) = arctan(ℜ(c(x, y)ℑ(c(x, y)

) modulo 2p

Il reste enfin à supprimer les sauts de phase et le tilt (c’est-‐à-‐dire l’angle entre les deux surfaces d’onde qui interfèrent).


Fig 5 : Déroulement de la phase et suppression du tilt

Cette méthode de démodulation de la phase sera utilisée sur les interféromètres de Fizeau décrits dans la suite du TP.

2. Analyse d’interférogrammes par décalage de phase :

Les interféromètres à décalage de phase, comme le Zygo que vous utiliserez pendant ce TP, sont équipés d’un dispositif qui permet de translater le plan de référence de quelques fractions de longueur d’onde de manière contrôlée et très précise. Dans le cas, d’un interféromètre à 2 ondes, au cours de cette translation, l’éclairement, en tout point de l’interférogramme, varie sinusoïdalement (fig. 3).

Plan de référence Surface étudiée

z

y

l

h(x,y)onde planeincidente

O

ondes réfléchies δ déplacement du plan de réf.


Fig. 3 Décalage de phase : interférogrammes et suivis de l’éclairement

en un point La phase de la sinusoïde en tout point l’interférogramme est liée

directement à la différence de marche entre le plan étalon et la surface étudiée. Des quantités d’algorithmes différents permettent, à partir de 3 images ou plus, de retrouver cette phase.

On donne ici l’exemple d’un algorithme de décalage de phase à 4 images (interférogrammes de la figure 2 et 4). On a décalé la phase du front d’onde de référence de 0, p/2, p, 3p/2.


Fig 4 : les 4 Interférogrammes obtenus par décalage de phase (crédits [1])

Pour le même pixel de coordonnées (x,y) de l’interférogramme,

l’éclairement numérisé par la carte d’acquisition pour les 4 images sont :

1 0

2 0

3 0

4 0

( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ))( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) / 2)( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) )( , ) ( , )(1 ( , ) cos( ( , ) 3 / 2)

E x y E x y C x y x yE x y E x y C x y x yE x y E x y C x y x yE x y E x y C x y x y

ϕ

ϕ π

ϕ π

ϕ π

= +

= + +

= + +

= + +

Il est facile de montrer que la phase j (x, y) peut être obtenue (modulo

2p) par l’expression suivante :

4 2 4 2

3 1 3 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )tan( ( , )) et ( , ) atan( ) 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )

E x y E x y E x y E x yx y x y kE x y E x y E x y E x y

ϕ ϕ π− −

= = +− −

L’algorithme à 5 images (Hariharan):

C’est l’algorithme utilisé dans les programmes Matlab, Zygo_GUI, dédiés au Zygo 1992 et au Zygotto (phase shift technology rénové et développé au LEnsE lors de stages et projets étudiants). Cet algorithme à 5 images permet aussi de mesurer la phase entre chaque image. Le défaut de la surface est donné pour un « phase-‐shift » entre chaque image de p/2 par :

)2

)(2tan(),( 153

42

IIIIIayx−−

−=ϕ

L’angle de phase-‐shift peut être calculé par :


1 5 1

4 2

1 cos ( )2I II I

α − −=

−

Cette formule permet de vérifier ou de calibrer le déplacement du plan de référence.

3. Déroulement de la phase Tous les algorithmes de traitement des interférogrammes déterminent

la phase entre -‐ π et + π. Ensuite, une opération de déroulement de la phase (unwrapping) est nécessaire pour supprimer les sauts de phase de 2π. Tous les algorithmes de déroulement de la phase cherchent à rendre la phase continue. Ils ne peuvent fonctionner si la surface mesurée ne présente pas de discontinuité. Les figures 5 et 6 présentent le déroulement d’une phase obtenue expérimentalement.

Fig 5 : Déroulement de la phase à une dimension

Fig 6 : Déroulement de la phase à 2 dimensions (crédits [1])


TP 1 : Interféromètre de Fizeau Analyse visuelle

Analyse par démodulation d’une porteuse spatiale

Description du montage

Fig 7 : Schéma de l’interféromètre de Fizeau

Les rayons (en ligne continue) représentent le faisceau d’éclairage. Les rayons (en ligne discontinue) montre la voie d’imagerie, c’est-‐à-‐dire la conjugaison entre le plan de l’échantillon (qui est aussi approximativement le plan de localisation des franges) et le capteur CMOS de la caméra (ou la rétine de l’observateur lors d’une observation visuelle).

A l’intérieur du bâti mécanique, le faisceau de la diode laser (diode Laser rouge : l = 670 nm) est collimaté par la lentille L1 et réfléchi par une lame semi-‐

plan etalon

échantillon

vis A vis B

collimateur L 2

F‘2 '

L 1

lame semi- réflechissante

caméra munie d’un zoom et d’un polariseur

Diode Laser

Les 3 vis A à 120° agissent uniquement sur le plan étalon. Les vis B à 120° agissent sur l'ensemble échantillon plan étalon.

F1

lame semi- réflechissante

F‘2

F2


réfléchissante à 45°. Cette onde plane éclaire l’échantillon à mesurer en incidence quasi-‐normale. L’échantillon est orienté à peu près horizontalement à l’aide des 3 vis B. Les faisceaux réfléchis par l’échantillon et/ou le plan étalon traversent la lame semi-‐réfléchissante et sont focalisés par la lentille L2 en F’2.

Une deuxième lame semi-‐réfléchissante à 45° permet d’obtenir simultanément une image visuelle et sur la caméra noire et blanc CMOS (la pupille de l’œil ou la pupille de l’objectif de caméra sont placées sur F’2). Un ordinateur permet d’acquérir l’image et de traiter les interférogrammes (images des franges) obtenus.

Travail demandé : Une boîte d’échantillons numérotée est confiée à chaque binôme ou

trinôme. Elle comprend un miroir plan, une lame à faces parallèles et une lame présentant un angle plus important entre les deux faces. Le numéro des échantillons sera reporté clairement dans compte rendu. Les défauts de chaque échantillon (planéité pour le miroir, défaut d’épaisseur et planéité des faces pour les lames) seront mesurés le plus précisément possible pendant les 2 séances de TP sur les deux interféromètres à l’aide de toutes les méthodes de mesures possibles.

On prendra bien soin de noter l’orientation des échantillons mesurés. Les mesures seront comparées entre elles et commentées. Il est

indispensable d’orienter les lames de la même manière lors des mesures sur les deux interféromètres (Fizeau ou Zygo) afin de comparer clairement les résultats. On se référera toujours à l’observation visuelle de l’interférogramme. On donnera toujours les résultats avec leur incertitude.

1. Etude des défauts d’épaisseur d’une lame avec un Fizeau : F Réglage de l’interféromètre: Le réglage de l’interféromètre est très simple et se fait par autocollimation.

F Placer la lame échantillon au centre du plateau et noter bien l’orientation de la lame (Ne pas utiliser le plan étalon pour cette manipulation). F L’écran dépoli (avec une croix) en sortie de l’interféromètre permet de centrer l’image de la diode laser sur la croix en jouant sur les vis de basculement. F Observer visuellement les franges. Vérifier bien l’orientation de la lame sur l’image obtenue.


F Initialisez ensuite la caméra IDS en utilisant le logiciel uEye Cockpit (un mode d’emploi est disponible à côté du PC). F Réglez dans les paramètres de la caméra le temps d’intégration. Utilisez les profils sur l’image.

Q1 : Vérifier que le taux de modulation des franges est voisin de 1. Pourquoi ? (Il s’agit de la question de préparation P2).

Q2 : A quelle variation d’épaisseur, de, correspond l’écart entre deux franges consécutives (on prendra l’indice du verre, n=1,5) ? Expliquer (Il s’agit de la question de préparation P1).

F Analyse visuelle : Q3 : Quel est le défaut d’épaisseur « peak to Valley » de votre échantillon ? Donner le résultat en l , puis en microns et l’incertitude de mesure. On rappelle que la longueur d’onde de la diode Laser rouge est 670 nm.

F Détermination du sens du défaut d’épaisseur: On cherche désormais à déterminer le sens du défaut d’épaisseur (la

lame est-‐elle plus épaisse au centre ou au bord ?). Il est possible d'obtenir des informations sur l'ordre relatif d'interférence en modifiant l'angle d'incidence du faisceau d'éclairage à l’aide d’une vis de basculement de l’échantillon et en suivant le déplacement des franges d’égale épaisseur.

Q4 : Montrer qu’en un point de l’échantillon, si on augmente légèrement l’angle d’incidence, la différence de marche diminue entre les deux fronts d’onde qui interfèrent.

Si on augmente l’angle d’incidence, les franges se déplacent-‐elles vers les zones de plus petite ou de plus grande épaisseur de l’échantillon?

Déduire dans quelle zone l’échantillon est le plus épais (au centre ou sur le bord ?).

En déduire aussi un moyen de régler précisément l’échantillon à l’incidence normale.

Q5 : Résumer les conclusions de votre étude : défaut d’épaisseur de la lame (PV), forme du défaut, signe du défaut (on fera des schémas clairs en indiquant bien l’orientation de la lame).


On donnera aussi le profil du défaut en épaisseur selon un plan de coupe horizontal et vertical.

2. Etude des défauts de planéité des faces de la lame de verre:

Pour mesurer les défauts de planéité de chaque face de la lame de verre, il faut ajouter un plan étalon (ou plan de référence) permettant d’obtenir une référence d’onde plane. Les ondes qui interférent sont dues à la réflexion sur la surface supérieure de la lame et la réflexion sur surface d’un plan étalon en regard avec la lame (voir fig.1 (b)).

F Pour se débarrasser de la réflexion sur la deuxième face de la lame qui peut provoquer un système de franges parasites, on peut vaporiser de la laque sur l’autre face de la lame ou la couvrir de d’encre de feutre. La laque ou l’encre rend la surface suffisamment rugueuse pour diminuer fortement la réflexion spéculaire sur cette face. F Notez bien la face étudiée et placez la lame échantillon au centre du support avec la même orientation que pour l’étude précédente. F Ajoutez, avec précaution, un plan étalon au-‐dessus la lame étudiée. Le plan étalon doit être orienté dans le bon sens (la surface de référence dirigée vers la surface étudiée de lame, donc vers le bas). F Réglez par autocollimation le plan étalon parallèle avec la surface étudiée (superposez les deux taches de réflexion, puis centrez ces taches sur la croix.) . F Observez et analysez les franges obtenues. Q6 : Expliquez l’allure du système de franges observées ? Quelle est la variation de distance entre la surface étudiée et la surface de référence lorsque l’on passe d’une frange sombre ou brillante à la suivante. ? Proposez une méthode simple pour vérifier si cette face est concave ou convexe (non ! Il n’y pas besoin de basculer l’échantillon cette fois !!!). Q7 : Mesurez, en analysant l’interférogramme, le défaut de planéité PV de la surface (donnez la valeur en λ et en microns) et l’incertitude sur la mesure. Tracez le profil du défaut selon un plan de coupe que vous choisirez.


3. Etude des défauts de planéité par démodulation d’une porteuse spatiale :

Mode d’emploi du système d’acquisition et d’analyse d’images sur les interféromètres Fizeau :

Ø Lancer Matlab R2016a. La fenêtre ci-‐dessous devrait alors s’ouvrir automatiquement. Si ce n’est pas le cas, entrer la commande « TF_demodulator». Sur la fenêtre qui s’affiche, cliquer sur « Initialisation » pour initialiser la caméra.

La caméra passe alors en mode « live » et un menu apparaît en haut à droite de la fenêtre.


Pour enregistrer une image, cliquez sur « Sauver l’image ». Les images sont automatiquement sauvegardées sur le Bureau dans le dossier Images TP Fizeau.

Le bouton « Paramètres caméra » permet de régler le temps d’intégration de la caméra.

Le bouton « Calcul TF » permet d’afficher en temps réel la transformée de Fourier (FFT 2D) de l’interférogramme. Ce mode permet d’ajuster l’angle entre le plan étalon et la surface étudiée (le tilt). Les deux lobes symétriques, correspondant à la porteuse sinusoïdale, devront être situés au voisinage des deux croix rouges pour la suite du traitement.

Ø Après avoir réalisé ce réglage, cliquer sur « Utiliser l’image » pour passer à la suite.

La fenêtre « Choix du masque » s’ouvre et vous pouvez alors régler le masque délimitant l’interférogramme à analyser de manière automatique (seuillage pour détecter la zone d’interférence) et/ou manuelle :

Masque automatique : Le curseur en dessous de l’image de gauche permet d’ajuster le seuil pour le masque automatique. Il est en outre possible de limiter la région du masque automatique en ajoutant un masque manuel.


Masque manuel : Les trois boutons « Cercle », « Polygone » et « Rectangle » permettent en fonction de l’échantillon observé, de choisir le masque. Le bouton « Annuler » permet d’enlever le masque manuel.

Réglage du zoom : Ce menu permet de zoomer sur l’interférogramme.

Ø Après avoir bien réglé le masque, cliquer sur « Je choisis ce masque » pour passer à la suite.

Ø Une figure s’ouvre alors et permet de choisir le lobe de modulation à filtrer dans l’espace de Fourier.

Ø Enfin, la fenêtre des résultats qui décrit les différentes étapes du traitement s’affiche.

Le menu « Réglage filtrage lobe » permet de redéfinir le lobe à filtrer et d’ajuster le seuil du filtre audessus duquel les fréquences spatiales du lobe dans l’espace de Fourier sont considérées. (NB : la valeur du seuil affichée est en unité de l’écart-‐type du bruit dans les hautes fréquences spatiales)


La méthode de démodulation par TF ne permettant pas de déterminer le sens du défaut (creux ou bosse), le bouton « Inverser la figure » permet de changer le sens du défaut calculé pour qu’il soit cohérent avec le sens de défaut attendu. Les boutons « Afficher la figure 3D » et « Afficher les étapes du traitement » permettent d’afficher dans une nouvelle fenêtre les différents résultats de manière plus détaillée.

Q8 : En vous aidant de l’introduction ou d’autres sources, résumez les étapes du traitement de l’interférogramme par démodulation de porteuse spatiale.

Q9 : Mesurez par cette méthode le défaut de planéité PV de la surface (donnez la valeur en λ et en microns). En faisant plusieurs mesures différentes évaluez l’incertitude sur la mesure du PV et du RMS de la surface étudiée.

Q10 : Comparez avec soin cette mesure avec l’analyse visuelle de l’interférogramme.

Q11 : Pourquoi cette méthode, par démodulation de porteuse spatiale, n’est-‐elle pas utilisable en général pour la mesure du défaut d’épaisseur ?

Q12 : Reprenez ces études pour la deuxième face (analyse visuelle et démodulation).

Q13 : Comparer les défauts des deux surfaces et le défaut d’épaisseur de la lame. Ces mesures concordent-‐elles. Quelle que soit la réponse, expliquez pourquoi ? Là encore vous ferez des schémas clairs pour expliquer vos raisonnements.

Q14 : Faites une synthèse des résultats obtenus sur cet échantillon.

Q15 : Reprenez la même étude avec la deuxième lame à face parallèle.

4. Etude des défauts d’un miroir plan : F Pour cette application, on utilise sur le Fizeau un plan étalon traité semi-‐réfléchissant.


Dans ce cas, on observe un système d’interférence a ondes multiples (interféromètre de Fizeau). Q16 : Expliquez pourquoi il est préférable d’utiliser un plan étalon traité plutôt qu’un plan étalon non traité. Expliquez pourquoi les franges ne sont plus sinusoïdales. ? (Il s’agit de la question de préparation P2).

Q17 : Par une analyse visuelle de l’interférogramme, mesurez le défaut de surface du miroir (amplitude et sens).

Q18 : Par la méthode de démodulation, mesurez le défaut de surface du miroir (amplitude et sens). Expliquez l’apparition de lobes supplémentaires. Sont-‐ils gênants pour la mesure ?

Q19 : Faites une synthèse claire des résultats de mesures et des incertitudes sur la mesure du miroir étudié par les deux méthodes.


TP 2 : Interféromètre de ZYGO

Analyse par décalage de phase (phase-‐shift)

Description du ZYGO :

Fig 8 : Schéma de l’interféromètre « Zygo » Ou « Zygoto »

Les interféromètres de ZYGO ou Zygoto utilise un Laser He-‐Ne de

longueur d’onde, 632,8 nm, monomode, de très grande longueur de cohérence (« infiniment ! » cohérent). Un système d’épuration laser (un filtre spatial, objectif de microscope + petit trou, qui sera vu en TP1A 2S « Diffraction et filtrage ») suivi d’un système de lentille permet d’obtenir un faisceau uniforme et parfaitement collimaté de 100 mm de diamètre à la sortie de l’instrument.


Plan étalon :

Le plan étalon est placé sur un support réglable en orientation. Ce support peut être translaté grâce à un actionneur piézoélectrique piloté par l’ordinateur. Ce dispositif permet d’effectuer un glissement de phase ou une modulation temporelle de la phase. Le plan étalon est prismatique pour éviter les franges parasites d’égale épaisseur entre les deux faces. La face interne est traitée antireflet.

La face externe est non traitée et sert de surface de référence. Sa

surface est plane à qques l/100 en Peak to Valley. Attention : C’est la pièce la plus fragile de l’interféromètre ! Très

précieuse et très onéreuse (10k€) !!! Soyez toujours très prudent ! N’approchez jamais rien de sa surface ! Ne le touchez jamais ! Et remettez toujours le cache en plastique après utilisation.

Voie de réglage : La pièce optique (par exemple un miroir plan non traité) à étudier est placée simplement devant le faisceau laser et maintenu par un support réglable. Les réglages se font par autocollimation (99% des réglages en optique sont des réglages par autocollimation) grâce à la voie d’alignement (bouton sur Align : miroir escamotable enlevé). La mire d’alignement est visualisée sur le moniteur vidéo. On oriente le plan étalon et l’échantillon étudié de manière à ce que les taches de retour soient toutes les deux exactement au centre de la croix noire. Ce réglage très rapide permet tout de suite d’obtenir des franges bien visibles sur la voie de visualisation.

Voie de visualisation : On replace le miroir escamotable (bouton sur View) et les franges doivent apparaître sur le moniteur. Ces franges sont projetées sur un dépoli tournant pour éviter le phénomène de speckle (« tavelures ») (cours optique physique de 2ème année). Une lentille permet de conjuguer l’échantillon et ce dépoli tournant (bouton CAM ou FOCUS). Un objectif à focale variable (zoom) permet d’agrandir au mieux l’interférogramme étudié (bouton Zoom). On règle toujours l’orientation de l’échantillon étudié pour être le plus près possible de la teinte plate (c'est-‐à-‐dire obtenir un interférogramme avec le minimum de franges).


1. Etude des défauts d’épaisseur d’une lame avec le Zygo : Vous allez dans cette partie faire une mesure précise des défauts d’épaisseur de la lame en plaçant celle-‐ci entre le plan étalon du Zygo et un plan de référence (2ème plan étalon) que vous allez étudier dans un premier temps à l’aide du Zygo. F L’enseignant·∙e vous montrera comment utiliser cet interféromètre et le logiciel de mesure de fronts d’onde.

Fig.2 : Principe de mesure des défauts d’épaisseur d’une lame avec le Zygo

MTrès important :

Le plan étalon du ZYGO est d’excellente qualité (quelques l/100 Peak-‐to-‐ Valley ! !). Mais il est évidemment extrêmement fragile et onéreux. C'est la pièce extrêmement fragile du ZYGO. Prenez-‐en le plus grand soin ! Placez toujours les autres supports suffisamment loin de l’instrument pour ne prendre aucun risque! Ne le touchez jamais ! Replacez TOUJOURS le cache après utilisation.


1. Mesure de planéité du plan de référence : On commencera par l’étude d’un miroir plan non aluminé (2ème plan étalon sur la figure 2) qui se trouve dans la boîte en bois contenant des miroirs étalons. F Apprenez à régler le Zygo dans ce cas de figure très simple. F Réglez les deux plans étalons parfaitement parallèles. F Analysez l’interférogramme obtenu. Q1 : Expliquez pourquoi les franges sont bien contrastées.

Q2 : Expliquez clairement pourquoi les franges observées sont des lignes de niveaux du miroir étudié.

Q3 : Proposez une méthode simple pour vérifier si ce plan étalon est en creux ou bosse (concave ou convexe).

Q4 : Expliquez pourquoi la différence de hauteur de la surface de l’échantillon associée à un interfrange est λ/2.

Ce coefficient qui vaut ici 1/2, est appelé en anglais, le « Wedge Factor » (facteur d’échelle). On vérifiera toujours que ce facteur est correctement renseigné dans le logiciel du Zygo pour chaque application du TP.

F Effectuez la mesure de planéité du plan de référence à l’aide du logiciel de Zygo ou Zygoto.

Q5 : En vous aidant de l’introduction ou d’autres sources d’information, résumez les étapes du traitement de l’interférogramme par décalage de phase utilisé par le Zygo.

Q6 : Donnez la valeur du défaut en PV et RMS. Comparez ces deux valeurs et commenter.

Résumez les conclusions de votre étude sur la qualité optique du plan de référence.


2. Mesure des défauts d’épaisseur de la lame avec le Zygo : On place maintenant entre les deux plans étalons parfaitement parallèles (plan étalon du Zygo et miroir plan non aluminé) la lame de verre dont on veut étudier les défauts d’épaisseur (voir figure 2). On étudie ainsi les variations de la différence de marche entre les deux miroirs de référence (distants de L) ce qui permet de mesurer les variations d’épaisseur, δe, de la lame (les miroirs étant supposés parfaitement plans et réglés parfaitement parallèles). Q7 : Exprimez cette différence de marche en fonction de e, δe, n et L. En déduire la variation d’épaisseur de la lame (en l) entre deux franges brillantes successives de l’interferogramme? Quel est « le wedge factor » à introduire pour cette mesure ? Comparez le nombre de franges observées pour cet échantillon sur le Fizeau et sur le Zygo. Expliquer.

Q8 : Dans quel sens se déplace les franges lorsqu’on pousse très légèrement sur le support du 2ème plan étalon vers la lame ? En déduire si la lame est plus épaisse au centre ou au bord. Expliquez le raisonnement à l’aide d’un schéma clair. Comparez, comme toujours, avec le résultat obtenu sur le Fizeau.

F Effectuez la mesure de défaut d’épaisseur de la lame avec le Zygo.

• Donnez l’amplitude maximale du défaut d’épaisseur de la lame (on donnera la valeur en unité de l et en microns). On rappelle que la longueur d’onde du Laser He-‐Ne est 632.8 nm.

• Comparez les conclusions de mesures au Zygo et au Fizeau : amplitude maximale du défaut d’épaisseur de la lame, forme du défaut, signe du défaut (on fera des schémas clairs).

2. Etude des défauts de planéité des deux faces de la lame de verre :

F Remplacez le support du miroir plan par un autocentreur pour tenir la lame à mesurer. F Placez la surface de la lame échantillon à étudier face au plan étalon du Zygo et réglez cette surface parallèle au plan étalon par autocollimation.


F En observant l’interférogramme, cherchez à obtenir le meilleur parallélisme possible entre les deux surfaces. F Trouvez un moyen simple pour déterminer le sens du défaut. F Effectuez la mesure au Zygo après avoir vérifié le Wedge Factor utilisé.

Remarque : Importance de la soustraction du tilt : Lorsque l’on soustrait le « tilt », le logiciel calcule l’équation du plan le plus proche, au sens des moindres carrés, de la surface mesurée et le soustrait à la surface mesurée : on a bien ainsi accès à l’écart de la surface par rapport à un plan parfait. Vous pouvez réaliser différentes mesures en inclinant légèrement la lame pour faire apparaître quelques franges et vérifiez qu’en soustrayant le « tilt » on mesure bien le défaut de surface par rapport à un plan parfait. Cette méthode permet aussi de faire une étude de répétabilité pour évaluer l’incertitude sur le RMS et le PV mesuré. Q9 : Vérifiez que le défaut de planéité mesuré par le Zygo est en accord avec la mesure à le Fizeau (sens, forme et amplitude du défaut).

• Résumez les conclusions de votre étude sur la planéité de cette surface. • Effectuez la même étude sur l’autre face de la lame. • Comparez les mesures de planéité de chaque face avec la mesure de

défaut en épaisseur de la lame.

Q10 : Les défauts de surface de chaque face mesurés sont-‐ils compatibles avec les défauts d’épaisseur de la lame caractérisés précédemment (faire des dessins clairs). Quelle information manque-‐t-‐il si l’on veut déterminer les défauts d’épaisseur à partir des défauts de surface mesurés avec cette méthode ?

Q11 : Reprenez la même étude avec la deuxième lame à face parallèle.

3. Etude des défauts d’un miroir plan aluminé : F Sur le Zygo, pour étudier un miroir aluminé, on ajoute juste devant l’échantillon « un drap à maille serrée » qui joue le rôle de réseau 2D et on diminue ainsi fortement l’amplitude de l’onde provenant du miroir aluminé dans l’ordre 0 de la figure.


Q12 : Expliquez pourquoi on améliore ainsi le contraste des franges à l’aide du réseau. Pourquoi ne pas utiliser tout simplement une densité (lame absorbante) placé devant le miroir ?

Q13 : Par une analyse visuelle de l’interférogramme, mesurez le défaut de surface du miroir (amplitude et sens).

Q14 : Effectuez une mesure précise de planéité de l’échantillon « miroir plan aluminé » avec le Zygo. Evaluez l’incertitude de mesure.

Q15 : Faites une synthèse claire des résultats de mesures et des incertitudes sur la mesure du miroir étudié par les deux méthodes (visuelle, décalage de phase).


TP 1A premier semestre Interféromètre de Michelson (2016)

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L'interféromètre de Michelson

Table des matières

I. INTRODUCTION ..................................................................................................................................... 60

II. DESCRIPTION THÉORIQUE (RAPPELS...) ...................................................................................... 61 1. Schéma simplifié .............................................................................................................................................. 61 2. Interférences pour une source ponctuelle et monochromatique ................................................... 62 a. Expression générale ........................................................................................................................................................ 62 b. Contraste des interférences ......................................................................................................................................... 62

3. Cohérence temporelle et spatiale .............................................................................................................. 62 a. Considérations générales .............................................................................................................................................. 62 b. Cohérence temporelle .................................................................................................................................................... 63 c. Cohérence spatiale ........................................................................................................................................................... 63

4. Étude des franges ............................................................................................................................................ 63 a. Anneaux d’égale inclinaison ........................................................................................................................................ 63 b. Franges d’égale épaisseur ............................................................................................................................................ 64

III. RÉGLAGES ............................................................................................................................................. 65 1. Schéma descriptif ............................................................................................................................................ 65 2. Réglages du Michelson .................................................................................................................................. 66 a. Réglages géométriques très grossiers ..................................................................................................................... 66 b. Réglages grossiers ........................................................................................................................................................... 66 c. Réglages fins ....................................................................................................................................................................... 66

3. Obtention de la teinte plate (lame d’air) ................................................................................................. 67 IV. ÉTUDES À RÉALISER .......................................................................................................................... 68 1. Étude des anneaux d’égale inclinaison .................................................................................................... 68 2. Cohérence temporelle de la source ........................................................................................................... 68 3. Franges du coin d’air et cohérence spatiale de la source .................................................................. 69 4. Mesure d’un intervalle spectral ................................................................................................................. 69 5. Franges en lumière blanche ........................................................................................................................ 70 6. Cohérence spatiale et temporelle : cas de bras dissymétriques ..................................................... 71 a. Cohérence temporelle .................................................................................................................................................... 71 b. Cohérence spatiale .......................................................................................................................................................... 71 c. Travail expérimental demandé .................................................................................................................................. 72


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L'interféromètre de Michelson

I. INTRODUCTION

L'interféromètre de Michelson est un interféromètre à deux ondes, dont les deux faisceaux sont séparés (division d’amplitude), et qui permet de nombreuses configurations intéressantes. Albert Michelson fit en 1887 avec Edouard Morley une expérience restée célèbre en faisant tourner un interféromètre de ce type monté sur une dalle de grès flottant dans un bain de mercure. L’objectif était de démontrer la présence d’un « éther », une sorte de matière présumée qui devait servir de support à la propagation des ondes lumineuses, de la même manière que l’air est nécessaire à la propagation des ondes sonores. L’interféromètre créé devait permettre de détecter un infime changement de la vitesse de la lumière, dû à la composition de la vitesse de la lumière et de la vitesse de la Terre, sur laquelle avait lieu la mesure. La stabilité de la position de la frange centrale en lumière blanche vérifiée expérimentalement à quelques centièmes de frange près sur des trajets optiques de 10 m de longueur plongea les auteurs et toute la communauté des physiciens dans la perplexité. L’éther n’existait pas. Un doute fut ainsi introduit dans l’édifice de la physique classique pourtant auréolé de tant de succès au XIXe siècle. Cette expérience négative est à l'origine de la théorie de la relativité établie quelques années plus tard par Albert Einstein.

En 1892, A. Michelson vient construire à Sèvres un interféromètre spécifique pour comparer

la longueur d'onde de la radiation rouge d'une lampe à cadmium au Prototype International du mètre en platine iridié (Pt0.9Ir0.1). Cette mesure reprise par Charles Fabry (plus tard premier directeur de l’Institut d’Optique !) au Conservatoire des Arts et Métiers conduira d'abord à la définition de l'Ångström, puis en 1960 à la première définition atomique du mètre fondée sur la longueur d'onde dans le vide de la radiation orangée du krypton 86, et enfin à la définition actuelle du mètre, fondée sur la vitesse de la lumière dans le vide et l’étalon de temps, qui date d'octobre 1983. Albert Michelson a reçu le prix Nobel de physique en 19071.

On étudiera dans cette manipulation deux types de franges : les franges d'égale inclinaison

formées à l'infini lorsque les miroirs sont parallèles et les franges d'égale épaisseur formées au voisinage des miroirs par un coin d'air de petit angle entre les miroirs. Dans le cadre de votre travail expérimental, la source de lumière est rejetée à l’infini par un collimateur. La plupart des manipulations se font avec la raie verte d’une lampe à vapeur de mercure, soit autour de λ = 546,1 nm.

Deux aspects de la cohérence de la lumière seront également étudiés : la cohérence temporelle ou finesse spectrale de la source, et la cohérence spatiale liée à son étendue géométrique.

Le TP se déroule sur deux séances. La partie théorique est à étudier avant la première

séance et sera relevée par l’enseignant au début de la deuxième séance (1 copie double manuscrite maximum). NB : cette partie reprend des résultats vus en cours et en TD d’optique physique. On ne vous demande donc pas de longues démonstrations mais un juste un rappel succinct des propriétés essentielles ! 1 "for his optical precision instruments and the spectroscopic and metrological investigations carried out with their aid", http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1907/


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II. DESCRIPTION THÉORIQUE (RAPPELS...)

1. Schéma simplifié

Figure 1 : Principe de l’interféromètre de Michelson

La figure 1 représente schématiquement le Michelson, où une lame (la séparatrice) sépare en deux le faisceau incident puis le recombine après les réflexions sur les deux miroirs M1 et M2. Le faisceau issu de la source lumineuse est collimaté et arrive avec une incidence moyenne quasi-normale sur les miroirs et une ouverture angulaire θs donnée par le diamètre du trou source (pour simplifier l’interféromètre est représenté avec une incidence normale sur des miroirs parfaitement perpendiculaires).

Figure 2 : lame d’air équivalente dans le cas où le

faisceau à une incidence 𝑖 ≠ 0, i reste très petit devant 1.

Comme indiqué sur la figure 2, cet interféromètre est en fait équivalent à une lame d’air d’épaisseur moyenne e, avec un angle α, dans le cas général, entre les deux miroirs. L’incidence i variant entre 0 et θs.


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2. Interférences pour une source ponctuelle et monochromatique

a. Expression générale

Examinons le cas où la source peut être considérée comme ponctuelle et monochromatique. Dans ce cas les deux faisceaux recombinés E1 et E2 ont une relation de phase parfaitement définie et s’écrivent :

€

E1 = I1 exp( jϕ1) et E2 = I2 exp( jϕ2)

Où ϕ1 et ϕ2 correspondent aux déphasages accumulés sur les 2 trajets. Si δ correspond à la différence de marche, on rappelle que : Δϕ =ϕ1 −ϕ2 = 2π δ λ .

A la sortie du Michelson, l’intensité totale (

€

I = E 2= E1 + E2

2 ) vaut ainsi, en introduisant

l’ordre d’interférence p=δ/λ :

€

I = I1 + I2 +2 I1I2 cos(Δϕ) = I1 + I2 +2 I1I2 cos(2πp)

b. Contraste des interférences

L’intensité totale est une fonction sinusoïdale de l’ordre d’interférence p. Un paramètre essentiel pour caractériser un système de franges d'interférence à deux ondes est le facteur de visibilité, ou contraste :

max min

max min

–I ICI I

=+

Q1 : Rappeler l’expression de C dans le cas général en fonction du rapport, I1/I2 . Montrer que l’on peut mettre l’intensité totale sous la forme

€

I = I0 1+Ccos(2πp)[ ]. Que vaut C=Ccoh pour le Michelson dans le cas d’une source parfaitement ponctuelle et monochromatique (quelles que soient les valeurs du facteur de réflexion R et du facteur de transmission T de la lame séparatrice) ?

Remarque : Un autre système de franges est observable dans la direction de la source avec une lame semi-réfléchissante. S'il n'y a pas d'absorption sur la séparatrice (conservation de l'énergie, R + T = 1), ce deuxième système est complémentaire du premier et son facteur de visibilité n'est égal à l'unité que si R = T.

3. Cohérence temporelle et spatiale

a. Considérations générales

Si les interférences sont parfaitement contrastées dans le cas idéal d’une source parfaitement monochromatique et ponctuelle (si vous n’avez pas trouvé Ccoh=1 à la question précédente, reprenez votre calcul !!!), les choses se compliquent pour une source réelle. En effet les sources lumineuses ont une certaine largeur naturelle en fréquence (cohérence temporelle) et une certaine extension spatiale (cohérence spatiale). En un point M donné de la figure d’interférence, chaque fréquence et chaque point source créent leur propre système de franges qu’il faut sommer. Si l’ordre


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d’interférence p au point M a une variation de l’ordre de l’unité, maxima et minima se mélangent pour faire disparaître les franges et le contraste s'annule très rapidement.

On écrit alors habituellement le contraste sous la forme C = Ccoh× V, où la visibilité V des

franges rend compte de la cohérence de la source. Une partie importante de ce TP est consacré à l’étude de ces notions de cohérence. Q2 : Rappeler l’expression de V dans le cas où l’intensité est uniforme sur un intervalle de largeur

Δp autour de l’ordre d’interférence moyen p0.

€

p∈ p0 −Δp2, p0 +

Δp2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ et nulle en dehors de cet

intervalle. Vérifiez que la première annulation du contraste correspond à Δp=1. Rappeler le critère qualitatif pour obtenir des interférences bien contrastées (V > 0.8).

b. Cohérence temporelle

La cohérence temporelle est liée au brouillage des franges dû à la largeur naturelle en fréquence Δν de la source. On s’intéresse donc à la variation de l’ordre d’interférence p, en fonction de la fréquence n de la source lumineuse.

Q3 : Relier Δp à Δν. En supposant un profil de raie rectangulaire 0 0,2 2ν ν

ν ν ν⎛ Δ Δ ⎞⎡ ⎤∈ − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

,

retrouver l’expression de la longueur de cohérence qui correspond à la première annulation du contraste en fonction de Δν puis de Δλ et λ.

c. Cohérence spatiale Pour une source ponctuelle, les franges sont observables dans tout l'espace où se superposent

les faisceaux (à condition bien sûr que la différence de marche soit inférieure à la longueur de cohérence temporelle). On dit que les franges ne sont pas localisées.

En revanche, lorsque la source est étendue, les couples de rayons provenant de différents

points de la source ne présentent pas, en général, le même ordre d'interférence au point d’observation. La variation de cet ordre d’interférence avec la position du point source est liée à la notion de cohérence spatiale. En général, la variation de cet ordre d'interférence devient rapidement de l’ordre de l'unité (Δp ≈ 1) lorsque l’on élargit la source, si bien que les franges disparaissent tout aussi rapidement.

Néanmoins, il existe des régions de l’espace où l'ordre d'interférence ne dépend pas, ou très

peu, de la position de la source. En ces points les franges restent observables avec une source relativement étendue; on parle de franges localisées. Q4 : Rappeler le théorème de localisation des franges.

4. Étude des franges

a. Anneaux d’égale inclinaison On s’intéresse ici au cas où les miroirs sont parfaitement parallèles (lame d’air, α = 0).


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Q5 : Où sont localisées les franges ? Rappeler l’expression de l’ordre d’interférence p en fonction de l’épaisseur e et de l’incidence i (voir Fig1.(b)). Retrouvez l’expression des incidences correspondant aux anneaux observés (on supposera pour simplifier que l’incidence normale i=0 correspond à un ordre d’interférence p0 entier). Expliquez pourquoi ces anneaux restent contrastés quelle que soit l’ouverture angulaire de la source.

b. Franges d’égale épaisseur On s’intéresse maintenant au cas où les miroirs sont légèrement inclinés (coin d’air α ≠ 0).

Q6 : Où sont localisées les franges ? On rappelle que la différence de marche s’écrit là aussi

€

δ = 2ecosi . Donner l’interfrange en épaisseur Δe pour une incidence normale (i=0). Comment caractériser l’angle du coin d’air ?

Ces franges d’égale épaisseur sont dites localisées dans le sens où elles « résistent » le mieux possible à l’effet de brouillage des franges dû à l’étendue angulaire de la source. Toutefois, contrairement aux anneaux d’égale inclinaison, cette résistance n’est pas infinie ! C’est l’objet de la question suivante... Q7 : On considère l’ouverture angulaire θs de la source autour de la normale (voir Fig.1(a)). Rappeler l’expression de Δp en fonction de θs et e. Si on considère une répartition uniforme de l’énergie lumineuse en fonction de l’angle d’incidence, donner l’expression du contraste en fonction de θs (on utilisera le résultat de Q2 !). Finalement donner l’expression de θs correspondant à la première annulation du contraste.


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III. RÉGLAGES

1. Schéma descriptif

Figure 3 : Schéma détaillé de l’interféromètre de Michelson. La lame séparatrice divise l'onde incidente en deux faisceaux qu'elle envoie dans les deux bras

de l'interféromètre. L'angle d'incidence est souvent 45° pour que les bras soient perpendiculaires, mais on peut envisager une incidence plus faible pour réduire la largeur de la lame séparatrice ou plus forte pour annuler, avec une polarisation convenable, les réflexions sur la face non traitée (incidence de Brewster).

Un des bras de l'interféromètre inclut l'épaisseur de verre de la lame séparatrice. Une lame

compensatrice est placée dans l'autre bras pour rétablir l'équilibre des chemins optiques. La lame compensatrice doit être bien parallèle à la lame séparatrice, de même épaisseur, de même indice.

Les deux miroirs M1 et M2 sont équipés chacun de deux réglages en rotation autour de deux

axes perpendiculaires. L'un des miroirs au moins (M2) est mû en translation sur ses glissières par une vis micrométrique, et possède deux réglages fins de rotation supplémentaires. La différence de marche δ est égale au double de la translation de M2 depuis le contact optique ou différence de marche zéro.

En réglant l'interféromètre, on peut observer des franges d'égale inclinaison (anneaux localisés à l'infini) avec l'image M'2 de M2 donnée par la lame séparatrice parallèle à M1, ou des franges d'égale épaisseur (localisées sur les miroirs) en formant un dièdre de petit angle (quelques millièmes de radian).

Matériel : • interféromètre avec collimateur. • lampe à mercure basse pression. • lame semi-réfléchissante. • spectroscope de poche. • lentilles, pieds, tiges, noix et verre dépoli pour observation en projection.


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• un échantillon de verre épais à étudier

Les pièces optiques sont de qualité interférentielle. La mécanique est de précision. Le coût de ce matériel est élevé. Il est à manipuler avec précautions.

2. Réglages du Michelson

a. Réglages géométriques très grossiers

Vérifier que :

ð les miroirs sont correctement éclairés (lampe dans l’axe et pas trop loin du collimateur) ð les miroirs sont disposés à égale distance de la séparatrice (cf. cohérence temporelle de la

source...). ð les mouvements fins du miroir M2 sont à mi-course.

b. Réglages grossiers

Tous les Michelson en TP sont équipés de trous sources au foyer d’un collimateur. L’axe du

collimateur est fixe et sert de référence aux réglages qui suivent (trou source centré sur cet axe, miroirs M1 et M2 perpendiculaires à cet axe). Ces réglages se font par autocollimation : superposition du trou source et de son image par le collimateur et un miroir plan :

ð Servez-vous de la lame semi-réfléchissante comme d’un miroir entre la lampe et le collimateur de façon à pouvoir observer confortablement par le dessus ou sur le côté le trou source (de diamètre 10 mm environ) et son image (par M1 et/ou M2).

ð Plaquer un grand miroir sur l’objectif du collimateur pour régler la position du trou source sur l’axe du collimateur.

ð Masquer le miroir M2 et superposer le trou source et son image par M1 en réglant son orientation.

Le miroir M1 est maintenant orthogonal à l’axe optique du collimateur. L’image du trou source renvoyée par M1 va maintenant servir de référence pour les autres réglages.

c. Réglages fins

ð Choisir le plus petit trou source. Placez-vous en face du Michelson et observer les images

données par les miroirs M1 et M2, ainsi que les images parasites dues à la compensatrice. Superposer soigneusement toutes ces images en jouant sur M2 et sur la compensatrice.

ð Placer un grand trou source pour observer les anneaux. Si les anneaux sont trop serrés et peu contrastés déplacer longitudinalement le miroir M1 jusqu'à obtenir 3 ou 4 anneaux. Centrer ensuite ces anneaux en jouant sur l’orientation de M2.

Q8 : Pourquoi les anneaux peuvent-ils être observés directement « à l’œil nu » ?


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3. Obtention de la teinte plate (lame d’air) Pour obtenir la teinte plate (parallélisme des miroirs M1 et M2’), deux méthodes sont

possibles. La première se fait par l’observation des franges d’égale épaisseur. La seconde, directement par l’observation des anneaux.

a. Première méthode : Méthode du coin d’air

Cette méthode s’applique lorsque l’on est encore loin des réglages. A l’œil nu on ne voit que

des franges rectilignes assez serrées. La méthode consiste à régler le parallélisme des miroirs en observant confortablement des franges d’égale épaisseur. Le but est alors d’obtenir une teinte uniforme pour régler l’orientation du miroir M2.

ð Pour observer ces franges d’égale épaisseur, diminuer le diamètre du trou source et placer la loupe (focale d’environ 300 mm pour la plupart des montages...) sur le Michelson. En utilisant les mouvements fins du miroir M2, augmenter l’interfrange jusqu'à obtenir une figure uniforme : c’est la teinte plate.

Q9 : À partir de la question Q6, expliquer pourquoi l’on peut visualiser ces franges à l’œil nu à travers la lentille. Pourquoi choisir un petit trou source ? Où doit-on placer son œil pour collecter tous les faisceaux issus de la source ? Q10 : Estimer la précision du réglage sur l’angle α en supposant que l’on peut être précis à une demi-frange près.

b. Deuxième méthode : Méthode de la « respiration des anneaux »

Cette méthode est beaucoup plus précise que la précédente. Mais pour pouvoir la réaliser, il

faut déjà observer une figure d’anneaux. Si c’est le cas, il est inutile de commencer par la première méthode. On observe ici, à l’œil nu, les anneaux d’égale inclinaison à l’infini.

ð Déplacer votre œil dans le champ d’observation des interférences et regarder si le centre des

anneaux reste dans le même état interférentiel. Si ce n’est pas le cas, utiliser les mouvements fins du miroir M2.

Q11 : En étudiant le trajet des rayons lumineux collectés par votre oeil, interprétez les observations précédentes. Q12 : Estimez la précision sur l’angle α.

c. Remarques

Si les réglages d’auto collimation ont été correctement effectués, les anneaux sont bien centrés sur le trou source. Dans tous les cas le centre des anneaux matérialise l’incidence normale sur les miroirs. Si les anneaux ne sont pas bien centrés dans l’image du trou source, c’est que le trou source est mal réglé. Vous pouvez alors reprendre le réglage de la position du trou source pour centrer l’image du trou sur la figure d’anneaux

Il est essentiel de comprendre et d’assimiler cette succession précise de réglages de l’interféromètre. L’ensemble ne doit pas prendre plus d’une dizaine de minutes.


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IV. ÉTUDES À RÉALISER

Les expérimentations et les mesures demandées peuvent se faire dans un ordre quelconque. L’ensemble est réparti sur 2 séances de 4 h 30.

Un seul compte rendu rassemblera l’ensemble de vos résultats et de vos remarques. Il est

indispensable d’effectuer les quelques calculs demandés en cours de TP. Vous prendrez soin de noter et d’interpréter le plus clairement possible vos observations. Par contre le rappel de la procédure de réglage n’est pas indispensable (répondez toutefois aux questions posées !). Tous les résultats doivent bien-sûr être donnés avec leur incertitude. Une correction de la première partie (étude des anneaux) est disponible sur « Libres Savoirs » et doit servir de guide pour le format de votre compte rendu.

1. Étude des anneaux d’égale inclinaison

Les anneaux sont obtenus pour les deux miroirs parallèles (parallélisme vérifié avec l’une des méthodes décrites dans la partie « Réglages ») et un trou source de diamètre 10 à 15 mm. On placera devant le trou source un filtre vert et un dépoli afin de l’éclairer uniformément.

On pourra observer à l’œil nu ou, plus confortablement, en utilisant une caméra vidéo, munie d’un zoom. Vérifier que vous voyez bien le contour du trou source avec la caméra. Q13 : Interpréter le mouvement des anneaux lorsqu’on diminue l’épaisseur de la lame d’air, c’est-à-dire lorsque l’on se rapproche du contact optique (cf Q5).

Q14 : Repérer la position du miroir M2 pour laquelle vous estimez être au contact optique. En réalisant des mesures de répétabilité, estimez la précision de ce réglage. Q15 : Relever les positions du miroir M2 pour lesquelles le nombre des anneaux est 1, 2,..., 10,... et montrer que le nombre d’anneaux est bien proportionnel à e, déplacement du miroir M2. Q16 : Le nombre d’anneaux observés dépend bien sûr du diamètre du trou source choisi. Mesurer rapidement (à la règle) ce diamètre ainsi que la focale du collimateur. Vérifier que vos mesures sont cohérentes avec le résultat théorique attendu.

Le contraste des anneaux d’égale inclinaison est a priori insensible à l’étendue géométrique

de la source. Toutefois ceci n’est vrai que pour des miroirs strictement parallèles. En effet, si l’épaisseur de la lame d’air varie légèrement, l’état interférentiel des anneaux (qui reste bien défini si on isole les faisceaux provenant d’une zone localisée du miroir) varie en fonction de la position d’incidence sur le miroir.

2. Cohérence temporelle de la source

Le filtre vert permet d’isoler la raie verte de la lampe à mercure basse pression.

ð Augmenter la différence de marche en observant les anneaux à l’œil nu.


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Q17 : Est-il possible d’observer une annulation franche du contraste ? Pourquoi ? A l’aide du critère V > 0.8, donner une estimation de la longueur de cohérence de la raie verte (λ = 546,1 nm). En déduire sa largeur spectrale et sa finesse (cf Q3). Avec quelle incertitude donnez-vous ce résultat ? Q18 : Expliquer comment, en utilisant un interféromètre de Michelson, on peut en principe déterminer le profil spectral de la raie.

3. Franges du coin d’air et cohérence spatiale de la source

On va étudier dans cette partie la visibilité des franges de coin d’air en fonction de la taille de la source. On constatera que pour un coin d’air d’épaisseur e non nulle, les franges ne sont bien visibles que si la source est suffisamment petite (« suffisamment cohérente spatialement »). On placera le filtre vert devant la lampe à mercure.

ð Ramener les miroirs parallèles entre eux. Revenir au contact optique et repérer sa position. ð Placer la lentille de manière à pouvoir observer les franges d’égale épaisseur à l’œil nu.

Q19 : Estimer la qualité des optiques du Michelson en étudiant la qualité de la teinte plate (cf Q6).

* Dérégler le miroir M2 pour faire apparaître une dizaine de franges.

Q20 : Estimer l’angle entre les deux miroirs (on pourra mesurer le diamètre des miroirs…). Quelle est votre précision ? Q21 : Constater qu’au voisinage du contact optique, les franges sont observables même avec une source étendue. Pourquoi ?

À l’aide d’une deuxième lentille, projeter les franges sur un écran dépoli (utiliser un pied en fonte, des noix, etc.). Vous devez placer l’écran de manière à voir les franges les plus nettes possible. Choisissez un trou source de diamètre moyen : 5 à 15 mm et faites attention à ce que le trou soit éclairé de manière uniforme. Les observations suivantes se font plus facilement avec typiquement 4 à 6 franges.

* Observer attentivement la visibilité des franges lorsque vous translatez le miroir M2 de part

et d’autre du contact optique. Q22 : Constater l’influence du diamètre du trou source sur la position des annulations de contraste. Repérer les positions de ces annulations de contraste de chaque côté du contact optique. Q23 : Placer le miroir M2 à la première annulation de contraste, enlever les lentilles et le dépoli et observer les anneaux à l’infini après avoir réglé convenablement l’orientation de M2. Combien d’anneaux observez-vous ? En vous aidant des questions Q5 et Q7, interpréter et commenter ce résultat.

4. Mesure d’un intervalle spectral

Revenir en configuration lame d'air (observation des anneaux d'égale inclinaison). Un filtre orangé permet d’isoler le doublet jaune du mercure (on a environ λ1 ~ 577 nm , λ1 ~ 579 nm).


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L’objectif de l’expérience ici est de mesurer avec une grande précision (à déterminer !) l’écart spectral entre les deux longueurs d’onde.

Q24 : Observer et expliquer la présence de coïncidences et d’anticoïncidences. Montrer que la distance d entre 2 anticoïncidences est donnée par 2dΔσ =1 (avec σ = 1/λ).

* En partant d'une position où les coïncidences et anticoïncidences sont bien visibles, relever les positions successives des 10 premières anticoïncidences.

Q25 : Mesurer la distance d entre deux anticoïncidences successives et évaluer l’incertitude de la mesure. Comment avoir une mesure plus précise ? Donner une nouvelle mesure de d ainsi que la nouvelle incertitude en utilisant vos relevés.

Q26 : Quelle précision relative obtiendrait-on si l’on comptait 100 anticoïncidences ? Proposer une méthode pour compter facilement un grand nombre de coïncidences. Q27 : Déterminer le plus précisément possible l’écart spectral entre les 2 composantes du doublet du mercure. Avec quelle incertitude pouvez-vous donner ce résultat ?

5. Franges en lumière blanche

* Revenir aussi près que possible de la différence de marche nulle. * Remplacer la lampe à mercure par la lampe de bureau. On n'observe en général rien, parce

que la cohérence temporelle de cette source est très faible. Elle ne dépasse pas quelques micromètres.

* Régler le spectroscope de poche sur la lampe à mercure (ou une lampe « économique » du couloir) avec une fente fine, puis observer la lumière blanche issue de l'interféromètre.

* Analyser avec le spectroscope la lumière provenant du Michelson. Avec un peu de chance et si vous êtes suffisamment près de la différence de marche nulle, vous devez voir des cannelures plus ou moins serrées. Changer le pas des cannelures en agissant délicatement sur la translation de M2. Si la différence de marche est trop grande, les cannelures sont trop serrées pour que l'on puisse les résoudre dans le spectroscope.

Q28 : Expliquer la présence de ces cannelures dans le spectre. Pourquoi les cannelures s’élargissent-elles lorsque l’on diminue la différence de marche ?

* Agir sur la position de M2 pour obtenir les cannelures les plus larges. Observer alors

directement dans l'interféromètre les couleurs d'interférence. * Former un coin d'air de petit angle pour observer quatre ou cinq franges sur les miroirs.

Q29 : Combien de franges pouvez-vous observer ? Quel est l'état interférentiel de la frange centrale ?

Q30 : Observer les couleurs des franges et comparer à l’échelle de teintes de Newton (en annexe du TP). Vous retrouverez ces teintes de Newton au cours des TP Polarisations. À partir de votre comparaison avec l’échelle des teintes de Newton, estimer la longueur de cohérence de la lampe.


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Il est intéressant de remarquer que l’on peut changer l’état de la frange centrale. Pour cela on pourra modifier le réglage du parallélisme de la séparatrice et de la compensatrice, tout en rattrapant la position de M2 pour garder les franges les plus contrastées au centre de la figure. NB : Deux échelles de teintes sont données : d’une part, l’échelle à centre blanc : on a la première échelle des teintes de Newton autour d’une frange blanche et d’autre part l’échelle à centre noir : on a la deuxième échelle des teintes de Newton autour d’une frange noire.

6. Cohérence spatiale et temporelle : cas de bras dissymétriques Ne faites cette partie que s’il vous reste suffisamment de temps.

Nous allons dans cette partie insérer une lame de verre épaisse sur l’un des bras du Michelson. La lame à tester est à disposer sur l'un des bras de l'interféromètre après le réglage en teinte plate. Elle introduit donc sur le bras correspondant du Michelson une différence de marche moyenne égale à 2 ( 1)e nδ = − , n et e étant respectivement l'indice et l'épaisseur de la lame.

En analysant les franges d’égale épaisseur observées, il serait possible d’obtenir des

informations sur la qualité optique de cette lame. Toutefois ces franges ne sont bien contrastées que si l’on utilise une source suffisamment cohérente spatialement et temporellement. Le but de cette partie est d’étudier précisément les contraintes liées à ces deux sources de décohérence et de montrer pourquoi elles sont pas forcément conciliables.

a. Cohérence temporelle

Q : Retrouver l’expression de δ0. Pour une source de longueur de cohérence Lc, quelle est l’épaisseur tolérable maximale pour obtenir des franges suffisamment contrastées au centre (incidence nulle) (on prendra le critère usuel Δp <1/4) ? Dans quel sens et de combien doit-on déplacer le miroir pour résoudre le problème de la cohérence temporelle ?

b. Cohérence spatiale

Vous avez étudié précédemment l’évolution du contraste des franges d’égale épaisseur en

fonction de l’étendue de la source et de l’épaisseur de la lame d’air effective. Dans le cas présent, ces considérations restent valables sauf que l’introduction de l’échantillon modifie l’épaisseur de cette lame d’air équivalente.


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Q : Retrouver que l'image du miroir par la lame est avancée de la quantité e(1-1/n) (voir figure ci-dessus). Où doit-on placer le miroir M’1 pour minimiser la perte de contraste ? Pourquoi ? En particulier dans quel sens doit-on déplacer le miroir ? Est-ce conciliable avec la contrainte sur la cohérence temporelle ?

c. Travail expérimental demandé

* Régler le Michelson en teinte plate et au contact optique sans l'échantillon (e=0, α=0). On

utilisera ici un grand trou source. * Placer maintenant l'échantillon et observer les franges d’égale épaisseur sur la lame.

Q : Que se passe-t-il sur le contraste ? Comment peut-on améliorer celui-ci ?

* Enlever la lentille et regarder les franges d’égale inclinaison.

Q : Déplacer le miroir de manière à diminuer au maximum le nombre d’anneau. Vérifier que le déplacement est compatible avec la valeur e(1-1/n) trouvée ci-dessus. Q : En replaçant la lentille que constatez-vous sur le contraste des franges ? Que se passe-t-il pour le contraste lorsque vous changez la taille du trou ? Expliquez.


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Échelle des teintes de Newton

δ en nanomètres échelle à centre blanc échelle à centre noir

0 blanc noir 40 blanc gris de fer 97 blanc jaunâtre gris lavande

158 blanc jaunâtre bleu gris 218 brun jaune gris plus clair 234 brun blanc verdâtre 259 rouge clair blanc 267 rouge carmin blanc jaunâtre 275 brun rouge sombre jaune paille pâle 281 violet sombre jaune paille 306 indigo jaune clair 332 bleu jaune vif 430 bleu gris jaune brun 505 vert bleuâtre orangé rougeâtre 536 vert pâle rouge chaud 551 vert jaunâtre rouge plus foncé 565 vert plus clair pourpre 575 jaune verdâtre violet 589 jaune d'or indigo 664 orangé bleu de ciel 728 orangé brunâtre bleu verdâtre 747 rouge carmin clair vert 826 pourpre vert plus clair 843 pourpre violacé vert jaunâtre 866 violet jaune verdâtre 910 indigo jaune pur 948 bleu sombre orangé 998 bleu verdâtre orangé rougeâtre vif

1101 vert rouge violacé foncé 1128 vert jaunâtre violet bleuâtre clair 1151 jaune sale indigo 1258 couleur chair bleu (teinte verdâtre) 1334 rouge brun vert de mer 1376 violet vert brillant 1426 bleu violacé grisâtre jaune verdâtre 1495 bleu verdâtre rose (nuance clair) 1534 bleu vert rouge carmin 1621 vert terne carmin pourpre 1658 vert jaunâtre gris violacé 1682 jaune verdâtre bleu gris 1711 jaune gris vert de mer 1744 mauve gris rouge vert bleuâtre 1811 carmin beau vert 1927 gris rouge gris vert 2007 bleu gris gris presque blanc 2048 vert rouge clair 2338 rose pâle vert bleu pâle 2668 vert bleu pâle rose pâle

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Semestre 1 - IOGS