INTRODUCTION AUX PROCESSUS DE MARKOV

A PARAMETRE DANS Z v

ear Frank L. SPITZER

Je suis très reconnaissant à Messieurs AMARA,

VILLARD, MoNTAooR, oEMoNGEoT, LEoRAPPIER, HENIoN qui ont

rédigé les conférences et qui y ont apporté beaucoup

d'améliorations.

CHAPITRE l

CHAMPS ALEATOIRES ET LIMITES THERMODYNAMIQUES

7l Soit n = {D, 1} v , 00 7l v désigne le produit certésien de v ensembles

d'entiers 71. • On va étudier une classe 1'1b v de rresures de probabilités sur

W, ~), oCi :f est la a-algèbre produit sur n • On peut voir n comrre l'ensem-

ble des configurations de particules sur ~v ' considéré comme ensemble de

sites : pour x € ~v ' w (x) • 1 si le site x est occupé, et w (x) = 0 sinon.

Pour v = 1,11bv = rnb 1 .. ~ sera la classe de mesures ~ qui correspondent

aux chatnes de Markov stationnaires, à matrice de transition strictement posi-

tive :

Définition 1

Une mesure de probabilité li sur W, :r ) appartient à I}')t", s'il existe

une matrice stochastique M = [M (i, j)] , 1, j .. D, 1: M (i, j) > 0,

avec TI = TI M son (unique) mesure invariante, de sorte que

pour tout k € 7L et toute sui te xo' x1 '

.. TI

x n

(x ) M(x ,x1) ••• M(x 1'x), o 0 n- n

à valeurs dans {O, 1} •

Le but principal de ce cours est de généraliser cette définition d'une

façon naturelle de une dimension à plusieurs. Donc on va étudier la notion de

chatnes stationnaires de Markov quand le paramètre t (le temps) appartient à

l'espace 7l.v de dimension v ~ 1. Pour introduire les idées on va caractériser

la classe d'une nouvelle manière, qui se prête mieux à la généra-

lisation. J'appelle cela méthode A, ou méthode de Gibbs. Une autre méthode,

116

plus récente. sera traitée dans le chapitre III. dans les définitions 1 et 4.

Elle s'appuie sur les probabilités conditionnelles.

Méthode A

Soit Q = [Q Ci, j) • i. j € {a. 1} une matrice positive. Q Ci. j) > a.

Soit nn {a. 1} [-n.n] pour tout entier n ~ 1. et soit \fi une application de

la frontière {-n-1. n+1} de l'intervalle [-no nJ dans {a. 1}. Disons que

<p [-n-1) = a. <f [n+1) = b. Soit ~~ la densité de probabilité définie sur n n n

par

[2)

Ici Zn [<P) est une constante de normalisation. telle que

L w€n

n

En effet on voit que

~'f [w) = 1. n

[3) Zn [tp) = Q2n+2 [a. b).

w En. n

On peut considérer comme mesure de probabi li té sur [n • .r) d'une façon

arbitraire compatible avec la condition de frontière. par exemple en supposant

que wk = a pour k ~ - n - 2 et k ~ n+2.

Question: quelles sont toutes les limites vagues ~. qu'on peut obtenir par le

passage à la limite [limite thermodynamigue)

[4) lim n--

en utilisant des suites arbitraires de fonctions fn qui spécifient les valeurs

à la frontière? Appelons cette classe de mesures ~.

117

Théorème 1

~ = 1ttS. De plus, chaque suite 9'n

~n a une limite vague ~ , qui est

indépendante de la suite <fn ' et qui dépend de Q de la façon suivante :

~ est la mesure de la chaine de Markov stationnaire avec

(5) M (i, j) = Q (i,j) r (j) À r (i)

i, j = 1, 2,

où À est 'la pZus grande va'leur propre de M, et Mr = Âr.

Démonstration

C'est une application du théorème de Frobenius sur les matrices positives.

On sait que

(6 ) lim n--

~ (j) r (i).

si ~ Q = Â~, Qr = Âr. et L ~ (i) r (i) = 1. Supposons donc que ~ ~ ~ , et i

que ~ est une limite vague dans le sens de (4), en utilisant la matrice Q et

les fonctions C?n telles que <f>n (n+1) = bn , tf n (-n-1)

l'idée générale on regarde l'évènement que w o

[w o 8J

Utilisant (6) et (5)

[w o

a , w1 = s] = i ~ (CL) Q (a, 8) r (S)

a • Pour illustrer n

8 Alors. selon (3)

~(a) r (a) M (a,8 )

Mais TI (a) = ~ (a) r (a) satisfait à l'équation TI M = TI , donc on a démontré que

~ c 'I1'b , avec la matrice M donnée par (5). Pour démontrer que ~ (' ~ =9 ~ € ~,

on vérifie aisément qu'on peut prendre Q = M.

Remarque: il est clair que tout ~ € ~b peut s'obtenir à l'aide d'une grande

famille de matrices Q différentes. La nature de cette ambiguité sera expliquée

dans le chapitre II.

118

Le théorème 1 suggère qu'on doit définir ~v • pour v ~ 1. de la même façon

que la classe ~. c'est-à-dire en utilisant comme blocs de construction les

éléments d'une matrice positive Q. D'abord quelques notations. Soit

A n

a A n

A Q = {D. 1} n • Q

n

{x x~71 '\.A v n Iy - xl

a A + {O. 1}. n

Q (1. j) > 0 li. j ~ {O. 1}.

1 pour un y € A }. A n n

Les fonctions tp sont les valeurs à la frontière de A • n

Posons III (x) {Ill (x) pour x € A

If (x) pour x € anAn

On définit les densités de probabilités

(7) Il~ A

n (Ill) n

{x.y}:x.y

Ix-yl=1

Illf A n

€A n

sur Qn par

Q (Ill • ;;;- ). x y

Evidemment (7) est l'analogue de (2). Donc on espère définir la classe ~ v

comme la totalité des limites vagues des mesures données par (7). Ce n'est pas

tout à fait satisfaisant. comme nous le verrons dans le chapitre III. théorème

2 (i). On doit en effet considérer aussi les limites vagues de combinaisons

convexes de densités • selon <p

Définition 2

~Q est l'ensemble de toutes les mesures de probabilités Il sur

(Q. 1") qui sont limites faibles de la forme

(6) Il l1m l c (<P ) Il~ n A

n-- <p: a A +{O.ll n n

où c ( If) ~ o. l cn (<f) 1. Finalement 'ln. =~ ~Q • n cp: a A +{O.ll v n

119

Remarque: dans le chapitre III, cette définition sera remplacée par les défi-

nitions 1 et 4 (équivalentes)

En dimension un, nous avons démontré (théorème 1) que chaque classe C% Q

Cfn consiste en une seule mesure ).l, parce que la limite vague de ).l1\ existe et

n est indépendante de {cp n} • L'intérêt principal de la théorie en dimension

v ~ 2, et de ses applications à la mécanique statistique, est du au fait que

la Hmi te peut maintenant dépendre de la suite cp n des conditions à la frontière.

Nous commençons par étudier ce phénomène dans un cas un peu artificiel, mais

en revanche très simple. Nous démontrons ensuite le théorème remarquable, que 112

pour ri = {D,il <â- Q contient plusieurs éléments, si

Q ( ~ : J 2"

L'arbre infini Construction

L'arbre infini est 1\ 00 u

n

Q C:a

).l9 On définit sur ri {D, 1\ n n

Proposition

Pour <f - 1, lim ).lq> 1\ n+oo n

J

) 2 e , et J suffisamment grand.

J 2

e

on part d'une origine 0 ; on obtient 1\1 en

construisant 3 branches partant de O. On ob-

tient 1\n' par récurrence, en construisant, à

partir de chaque bout de 1\n-1' 2 branches. On

suppose que toutes les branches ainsi obtenues

ne se coupent qu'à leurs extrêmités.

1\n • Soit <p : a 1\ n + {D, il ' et soit

1-a ) 1 2"~ a < 1.

a 1\

1} n suivant (7).

{: 1 a > 2 2" si

[w = 1] 4 1 3 0

2" si a ~ '4

120

Remarque 3 <tQ

contient au moins deux éléments. : pour a >- nous voyons que 4

En effet. en partant de <fn - O. et de Cfn -

pa l1m \lo et 1 l1m 1 ]l \ln

n ..... nk n m k m

sont différents (on a choisi des sous-suites pour assurer la convergence).

car par symétrie

po [00 = OJ 1 [00 ]l

0 0

Donc

p 1 [00 o

Démonstration

1J. ]l0 [w 0

1J 1

\l

1 - 1 roo ]l l.!o

[00 0

OJ

2

An est formé de 3 grandes branches identiques de longueur n

l'une d'elles.

Soit : R (i. 1) n

tels que

p n [00

00 o

0

Posons

i et

1]

X n

00

Z-1 n

R n

II x.y e: B

n

Q (w , w ) la sommation sur les x y

\x-y\=1

00 =' 1 ,sur a B n

R3 R3

(1,1 ) n

R3 n n

(O. 1) . Y n

R

i = O.

(1. 1 )

(0.1 ) + R3 n

(1.1)

X (1, 1) • T n

n n = -Y--n

soit B n

B ooE{D. 1} n

On peut obtenir Bn+1 en collant en p. 2 branches Bn ayant même valeur en P.

d'où

Q (O. 1) y2 + Q (D, 0) i n n

2 Yn+1 = Q (1. 1) Yn +

Q(O,1) + Q (0,0) T2 n

Q(1.1) + Q(1.0) T2 n

Q (1. 0) X2 n

f(T ) où f(x) - a -~ n - h (1-a)2 a 2 --:r:a + x

121

Suivant les valeurs de a, f(x) a pour graphe

a ~ 3/4 a > 3/4

y

d'où pour a ~ 3/4 l1m T n_oo n

pour a > 3/4 l1m T y < 1 n

n-+-+oo

ainsi pour a > 3/4

1 [Ill 1J ... 1/2 ~n = > 0

T3 3 1 + + y

n

Le Modèle d'Ising

C'est un modèle simple pour étudier la transition de phase dans un gaz

ou pour le magnétisme. Il y a un grand nombre d'articles récents donnant un

aperçu des progrès dans ce domaine [1, 2, 3J . Ce qui importe pour nous c'est

que le modèle d'Ising en dimension v ~ 1 (cas symétrique ou à champ magné-

tique extérieur zéro) équivaut à l'étude de la classe ~Q de la définition

2, avec la matrice

Si v

J "2

e

1, le théorème 1 entraine que

) , J ~ o.

~ contient un seul élément. O"Q

Pour v 2 (et aussi pour v ~ 2 par des méthodes analogues) on a le résultat

suivant.

122

Théorème 2 (Dob'PUshin et Griffiths [4J, [5J)

Si v = 2, et si J est suffisamment grand, ~Q aontient plusieurs

éléments différents.

Remarque: les travaux récents [2J ont montré que, pour J ~ 0, v = Z

~o contient un seul élément. si et seulement si 0 ~ J ~ J c • où

J c log (12 + 1) (racine de sh J = 1). Pour v ~ 3 la valeur critique J c

n'est pas connue.

Démonstration

Pour mettre mieux en évidence la symétrie de 0 on va construire les Zl

mesures de ego sur l'espace L = {+1. -1} Z • Alors le produit de l'équation

(7) devient

(9) (0 ) TI Q (a • cr ) {x.y}:x,yE:A x y

Jx-y J =1

(<p) exp [f L _ô(x) cr (y)l, {x.y}:x,y €oA 'J

Jx-yJ=1

Evidemment les densités ~A sont invariantes par rapport à la transformation

+ ~ - et - ~ +. Donc la démonstration sera achevée si on prend comme condition

de frontière cp =: 1 sur a A , pour tout

on montre que, pour tout E > 0

(10) Hm sup ~~ [0 [x)

AJ7Zz

si J est suffisamment grand.

A (on notera

, pour tout x € 7lz •

Pour tout a €{+1, _1}A (dite configuration dans Al on définit le contour

de a comme la ligne brisée fermée qu'on obtient en séparant par des segments

123

médians les points voisins x. y de A pour lesquels 0 F 0 • x y + + + + + +

+~-- - + + - - + - +

+ + - - + +

+ - + - + +

++++++

La formule (9) peut s'écrire

(10)

... +

La longueur du contour sera 101 • Dans

l'exemple ci-contre 101 24.

où ZA est une constante de normalisation. Donc les configurations 0 les plus

probables ont les contours les plus courts. Pour expliciter cette idée on re-

garde les boucles d'un contour. c'est-à-dire les différentes courbes simples

fermées qui sont présentes dans un contour. Dans l'exemple ci-dessus on a 3

boucles. de longueur 4. 4 et 16. Si S est une boucle. et 0 une configuration.

soit

{ 1 si la boucle S

IS (0) =

est présente dans le contour de 0

D sinon

La longueur d'une boucle S sera dénotée Isi • Soit E~ [.] l'espérance par

+ rapport à )lA •

Lemme de Peierls

Soit S une boucle. et Isl = b. Alors

+ -Jb EA (IS) ~ e • indépendamment de A •

Pour la démonstration on fixe S • Pour chaque configuration cr dont le

contour contient ~ • soit cr~ la configuration modifiée telle que

124

{ :: si x est à l'extérieur de 13 :1(

= cr x si x est à l'intérieur de 13

Il est clair que [o:l([ = [a [ - b. Maintenant soit

Ls = {a : le contour de a contient sl . On trouve

I e -J[o[ I e -J[o:l([

+ a e: l:S -Jb

a €. l:S -Jb E1\ [ISJ -J[o[

= e -J[o[ ~ e

I e I e cr € l: a Ë l:

La dernière inégalité est due au fait que chaque terme du numérateur est présent

dans le dénominateur.

Maintenant on trouve. pour A suffisamment grand pour que x e: 1\. que ).1 ~ [0 (x) =-1]

).1 ~ [ .3 une boucle 13 dans le contour de a avec x à l'intérieuIj

L + [ 3 une boucle 13. avec [S[ l'intérieur J ~ ).11\ b. avec x à b=4

~ L -bJ Nb e .

b=4

où Nb est le nombre de boucles de longueur [S[ = b. ayant x à l'intérieur. Une

telle boucle se trouve dans un carré de côté b. d'où Nb ~ b2 3b. Donc

[0 (x) - 1 J < I b2 (3 e-J)b b=4

f (J).

et comme f (J) + 0 quand J + 00 • la démonstration de (10) est achevée.

Remarque : un calcul profond et remarquable de L. onsager [6J (dont les détails

n'ont été complètement j usti fiés que récemment [31]) donne le résultat

-t-' 1[ [: -"h' J)4 J'/8 ).1~ [0 (x)

si sh J ~

+ 1J si sh J ~ 1.

C'est la célèbre formule pour la magnétisation spontanée.

CHAPITRE II

ETATS DE MARKOV ET DE GIBBS FINIS

A est un graphe fini sans direction et sans boucles et n 2A•

On note x 'V y si x = y ou x et y voisins

ax iY € A Y 'V x et y F x}

l {S c fi S F 0 et 'ri (x, y) ~ S x S X 'V y}

Les éléments de l s'appellent les simplexes du graphe fi

Défini tion 1

Une densité de probabilité ~ sur n est un état de Markov si et

seulement si

(i) VA E: n , ~ (A) > 0

(11) '<:fA f.n, 'ï/x e: fi \ A ~I A U {x} 1 .. ~[(A () a x) U {x}J ~ (A) ~ (A () a xl

Remarque ~ (A U {x}) ne dépend que de ~(A 0 {x}) + ~ (Al ~(A)

1 + -~--:(':;;;A.;;rOM{-x}"")'-

A () a x d'après (11) pour x ( fi \ A 1 (11) exprime donc que la probabilité

que le point x soit occupé,sachant l'état d'occupation de fi \ {x},ne dépend

que de l'occupation des voisins de x.

On appelle potentiel de Grimmettune application V de l dans rn.

126

Définition 2

Une densité de probabilité V sur n est un état de Gibbs si et seule-

ment s'il existe un potentiel de Grimmett V tel que

)l (A) exp L V (B) )l (el)) •

BeA

B e: l D n a alors le

Théorème [7J

La densité )l est un état de Markov si et seulement si c'est un état

de Gibbs et le potentiel de Grimmett Vest déterminé de manière unique :

v (A) = L (_lJ IA\BI Log V (BJ A e: L BeA

Démonstration

Elle est basée sur une formule combinatoire de Moebius : si A est un en-

A semble fini quelconque et f et g deux applications de 2 dans ~

g (A) L f(B) .'rIA E: /' ~ f(Al = L [_1)IA\.BI g[B).'v'Af' 2A • BeA B CA

1°) Soit V un état de Markov sur n définissons.pour tout A € n. V [A) par

V [Al L (-1)[A\B1 Log )l[B) BCA

Si A F el n'est pas un simplexe.V [A) = DIen effet il existe dans A

deux points x et y distincts et non voisins et.en remarquant que tout BC A est

de l'une des formes C. C U {x}. C U {y} ou C U {x. y} avec CC A\. {x.y}.il

vient

V [A) )l (C) )l [C U{x.y})

L [-11 (A\C) Log ---------- o CCA \.{x.y} )l[C U {x}) V [C U {y})

127

puisque d'après (ii) l'argument du logarithme vaut 1 pour tout CC A \ {x,y}.

Alors par l'inversion de Moebius :

Log II (A) l V (6) V (~) + l V (B) Be A Be A

B € l':

si bien que II (A) II (111) exp l V (B],\;( A€ n ; II est un état de Gibbs BeA

B € l':

admettant comme potentiel la restriction de V à l . L'unicité du potentiel de Grimmettd'un état de Gibbs découle de la formule de

Moebius (on peut définir V et V' sur n tout entier en posant V' (B) = V (B)

si B ~ l

2°) Inversement soit ~ un état de Gibbs de potentiel V,montrons que c'est un

état de Markov. La condition (i) est trivialement vérifiée.

II (A U{x}) (Sl] D'autre part "P [ 1 V (5) - l V

~ (A) 5 € l': 5 €: l':

5 C A U{x} 5CA

J.l (A U {x}) donc exp l V (5) ne dépend que de A n 3 x car

J.l (A) 5 € 1:

x ~ 5

5 C A U{x}

un simplexe contenant x ne peut contenir aucun point hors de 3x.

CHAPITRE III

LES ETATS DE MARKOV ET DE GIBBS SUR ~ ;;==-=========-=-============v

Dans ce chapitre nous allons montrer l'équivalence entre les états de

Markov (la généralisation multidimensionnelle des processus stationnaires de

Markov) et les états de Gibbs locaux (l'analogue des états de Gibbs définis

au chapitre précédent). Dans un premier temps nous donnerons les définitions

nécessaires et nous prouverons un lemme technique. tout en énonçant les trois

théorèmes principaux. Ensuite nous ferons la démonstration de ces théorèmes.

Notation

Soi t W. ~) l'espace défini par n {O. 1}~V et ~la tribu engendrée

par les cylindres finis.

Définition 1. [8J

Une mesure de probabilité ~ sur (n. ~ 1 est un état de Markov

a) l.l (Cl> 0 pour tout C cylindre fini.

b 1 l.l [w (x 1 w (yl = f (yl. y E: ~

l.l [w (x 1 = 1 1 w [y) f (yl. y € A () a >5J.

pour tout ensemble fini A contenu dans ~v tel que

a x C A et x1 A. et pour toute fonction f : A + {D. 1}.

c) Pour tout a E: ~ v

l.l [w (x + al w (y + a) = f [yl. y E: x]

l.l [w (x) 11 weyl =f(yl.YE: a>5J.

129

Théorème :]

Lorsque v = 1 les états de Markov sont exactement les processus sta­

tionnaires de Markov; c'est-à-dire que m = 116 1 (voiT' chapitre I,

définition 1 pOUT' la définition de 11t).

Remarque: Ce résultat justifie notre description des états de Markov comme une

généralisation multidimensionnelle des processus stationnaires de Markov.

Définition 2

Une application U llv x llv .... IR est dite un potentiel local si

al U (x, yl " D

bl U (x, xl = U (y, yl

cl U (x, yl U (y, xl

dl U (x + a, y + al = U (x, yl

si 1 x - yi> 1

pour tout x, y € llv

pour tout x, y €. 1Zv

pour tout x, y, a €7Z v

Nous noterons par Uo la valeur commune des U (x, x).

Notation

Si B et A sont des sous-ensembles finis de71 on écrit v

U (A, B) = L L U (x, yl x C A y E: B

et

U (A) U (A, A).

Définition 3

Soient U un potentiel local et A c 7L un ensemble fini. Si v

y c a A , l'état de Gibbs fini rrY sur A avec potentiel U et à valeurs A

de frontière Y est la mesure de probabilité discrète sur T(A) (= 2A)

dont la probabilité en un point est

où

130

JlY [A) A

Z~1 [y) exp [- tu [A U Y)J pour tout A E P [A)

ZA [y) = L BeA

exp [- t U [B U Yl]

Remarque : JI: [A) est interprétée comme la probabilité que la partie occupée

de A soit exactement A, étant donné que la partie occupée de aA est Y.

Nous démontrons maintenant un lemme technique qui fait voir la relation

entre des états de Gibbs finis ayant le même potentiel. Ce résultat nous sera

utile dans la démonstration du théorème 2.

Notation

Si \l est une mesure de probabilité sur [Q, 1) et si A c A où A est

un sous-ensemble fini de ~ v

\l fw w [x) 1,xE:A w [x) 0, x e: A '\ A}.

Lemme

Soient A et A' deux ensembles finis [dans ~v) tels que

y' c a A' nous avons la relation suivante :

A cA' . Si

(1) L Be A'\A

y' JlA, [A U B) L

Yc aA CJ. y ' [Y) JI~ [A) pour tout A c A,

y' ,Y compatibles

où

[Yl L [C U y) où Y n A'. ccA'

On dit que y' et Y sont compatibles si Y n a A' Y' (\ a A.

131

Remarque. Si A' :=> A la relation devient

C BcA'\A

Y' 'i' IIA,(AUB)= L. Y c aA

a y , (y) n~ (A)

où

L Y'

CcA'\ aA nA' (C UV).

Démonstration

Si l'on admet au départ que aA' est occupé en Y', le coefficient ay , (y)

est la probabilité que aA soit occupé en Y, et le membre de gauche de la

relation (1) est la probabilité que A soit occupé en A. Par conséquent, il

suffit de montrer que Y lIA (A) est la probabilité conditionnelle que A soit

occupé en A, étant donné que aA est occupé en Y, où Y et y' sont compatibles.

Si l'on écrit y' = Y' \ (y ny'). nous avons que

Prob {A,Y et y' soient les parties occupées de A, aA et aA' resp.}

Prob fY et Y' soient les parties occupées de aA et a A' resp.}

Y' ~ L ccA' '\ ( ïi nA')

nA' (A U Y U C)

L _ L Y' li , (B UY UC)

C cA' \ (A nA') BeA A

z~~ (Y') L exp (- 2. U (A U Y U CUY') c 2

z~; (Y') L L exp (- 2. U (B U Y U CUY')) C B 2

car Y UV' = Y UV'. Puisque U (B UY U CUY') = U (B UV) + U (y U CUY')

- U (y) pour tout B dans A (B et CUY' étant trop éloignés l'un de l'autre

pour pouvoir réagir l'un sur l'autre) ce dernier quotient devient

et la

132

[~ exp [- ~ U [y U C U Y'l + ~ U [y))]

[ & exp [- ~ U [y U Cuy' 1 + ~ U [y))]

exp [- 2. U [A U Yll nY 2 [Al

Z fi [Yl fi

démonstration est complète.

exp [-~U [AUYll

L BeA

exp [- lu [B U Yll 2

Maintenant nous abordons la méthode B [méthode des probabilités condition-

nellesl pour définir les états de Gibbs. Cette méthode est l'invention de

Dobrushin [9J et de Lenford et Ruelle [lOJ. La définition 4 va remplacer la dé-

finition 2 du chapitre 1.

Défini tion 4

Si U est un potentiel local sur ~v ' une mesure de probabilité ~ sur

[no j 1 est un état de Gibbs local à potentiel U [~ ~ ~ul si

al VA [Al> 0 pour tout A c A

et

c Z v

fi fini.

bl ~i\[A U Yl

~aA [Yl Il~ [Al pour tout A cA. Y c aA. A fini. si

A fi U aA

Théorème 2

Pour tout potentiel local U, l1u est

i) exactement l'ensemble (non vide) des limites de la forme (par rapport

à la topologie vague)

lim L C (y) IlY n An n Yca A n

où les A croissent vers ~ et où C n

L y c aA n

v n

c (y) = 1. n

(.) ,

(y) ~ 0 pour tout n et tout

133

ii) aonvexe

et

iii) aompaat (dans Za topoZogie vague).

Théorème 3

i) Si U et U' sont dEs potentieZs Zoaaux distinats sur 12:\)

~U (/ ~V' ;:: ~

ii) 1fb \);:: ~ ~ U •

Démonstration des théorèmes

Nous allons démontrer les théorèmes dans l'ordre suivant 2. 3. et 1.

Démonstration (Théorème 2)

Considérons une suite fv l de sous-ensembles finis de 1l telle que n \)

V tll n \)

l'état de

(Q. [1) ;

Pour chaque n. et chaque

Gibbs fini Il y

(.) = nY n V

n si A c A • ensemble

L Be V \A

n

= 0

où E fi. A = {w E: Q : w (x)

choix de Y Co él

( .) comme une

fini de 1l\)

IlY (A U B) n

. si

V nous pouvons regarder n

mesure de probabilité sur

sinon.

w (x) = O. x E: A \ A}

71. W. 'd) pouvant s'interpréter comme étant ([O. 1] \) • ~ ). toute suite de

mesures bornées possède une sous-suite convergeant vaguement. Par conséquent

l'ensemble des limites vagues des combinaisons convexes des états de Gibbs finis

est non vide.

134

Soit ~ une telle limite vague, c'est-à-dire:

~ (EA,A) = lim l C (y) nY (EA,A) y c a v

n n n n

où EA,A est un cylindre fini et L C (y) 1, avec C (y) ~ O. Il y c: av n n

n

faut montrer que ~ € ~U' Supposons que ~ (EA,A) > 0 pour tout A , A et

prenons A c Z fini, A cA, et B c aA • Si n est suffisamment grand \i

pour que 1l CV, nous avons, selon le lemme précédent, que n

nY (EX,A UB) l (y' )

y' (EX,A U B)' C' nA n Y' c: aïl n

nY (EaA,B) L C' (y' ) Y'

(EaA,B) • n Y 'C aïl n nA

Une autre application du lemme montre que

n~ (A)

pour tout y' c aI . Il s'ensuit que

~ (AUB)

~aA (B)

~ (Ep:,A U B)

~ (EaA,B) n~ (A), A cA, B c aA •

Il suffit donc de montrer que ~ (EA,A) = ~A(A) > 0 pour tout

ou de montrer qu'il existe un M > 0 tel que pour chaque n et pour

couple A,A,

chaque

Y c av : M < nY (EA,A) • Selon le lemme nY (EA,A) est une combinaison n n n

convexe de la forme

L Cl (B) nB (A) ~ M min nB (A) > 0, n A A

B C aA B c: aA

135

et il s'ensuit que VA (Al est positivel par conséquent ~u contient toutes

les limites vagues de mesures de la forme

I c (y) n~ (.l. YcV

D'autre part, si V e: rtu ' pour tout A C A et Y c aA

)JX (A U Yl = )JaA (Yl n~ (Al,

d'où

y )JaA (Yl nA (Al.

En utilisant le lemme démontrél précédemment, nous savons que, si V::> A et si

C (Yl = )Jav (Yl pour Y c a V ,

I y c a V

I V(l V (Yl y c av

y' J (lA LI av

L Bc: V\A

I Y'caA

Y' (y' 1 nA (Al

Il s'ensuit que toute )J ~~U est de la forme voulue.

nY (B u Al V

Y' nA (Al

~u est convexe si )J, )J' € ~u et si À ~ (0, 1l il est très facile

de voir que À)J + (1 - Àl)J' est positive et que

pour tout A CA, Y C aA •

136

Enfin ~u est compact ; si t fl l T T TE:

est un ensemble filtrant à droite

vers fl, mesure de probabi-dans ~u qui converge dans la topologie vague MA

lité, et si A, A sont donnés, fl T (EA,A) a ----M- > 0 pour tout T ET (car fl T

est la limite de mesures avec cette propriété). Par conséquent, fl est aussi

positive sur chaque cylindre fini EA,A'

D'autre part, pour chaque

fl i (EA,A UV)

fl T (E aA , y)

d'où nous avons que

fl (EA,A UV)

]J (EaA,y) rrY

A

et nous voyons que fl € ~u

T t T , Vi satisfait à

rr~ (A) pour tout A, Y, et A

(A) ,

C.Q.F.D.

137

Démonstration (Théorème 3)

i) Supposons que II E: ~ U ('\ ~U' pour deux potentiels locaux U. U'.

iil

Alors

Nous allons montrer que U = U', Prenons d'abord un ensemble

fini. et posons Y .. 21 A = 21,

-1 21 ll- (121) 121 -1

(21) (21) Il (121) (21) ZA.U IIII.U IIA•U' ..

ZA.U' llaA (121)

Maintenant si A {x} c Il

AC lL • v

-1 .1. U ZII.U (21) exp (- 2 (x.x)) llii ({x})

llaA (111)

-1 1 ZA.U' (21) exp(- 2' U'(x.xlJ

d'où ua .. U (x.x) = U' (x.x) = Uô ' Si A {x.y} où Ix-yi 1 •

choisissons Il ~ {x. y} , Alors

exp (- ua - U (x. y)) = exp (- Uô - U' (x. y))

d'où

U (x. y) .. U' (x. y)

Il s'ensuit que U = U',

Supposons que II Ë ttu pour un potentiel local U. Choisissons llii (YU.)

A clL fini et Y C ail , llll.Y ( ,) = ].laA (y)

est un état de v

Gibbs (au sens du chapitre II) sur 2A avec potentiel V

V [(x}) U (x. y)

V [(x.y}) -U(x.yJ.

est un état de Markov sur 2 A(d'après Grimmett), Prenons x. A

tels que ax c Il ensemble fini. et x fil, Utilisons la notation

EA•A = {w E: Q w (y) = 1. Y E A ; w (y) = D. Y € A \ A}, Si nous démon-

trons que. pour tout A c: A • II {w (x) = 1

nous pourrons en conclure que II {w (x) .. 1

II {w(x) = 1IEA.Anax}

].l {w (x) = 1IEax.Anax}

en vertu d'égalités sur des probabilités conditionnelles, Or en utilisant la

propriété markovienne de ].lA.Y' nous avons

138

).1 {w(x) L ).1 {w(x) = 1 Yc aA

[ ).IA,y (AU{ x}) ]

).IA,y (AU{x}) + ).IA,y (A)

[ ).IA,y ((A n ax) U {x}) l

).IA,y ((Anax) u{x}) + ).IA,y (AO ax) J ).1 {w(x) 1 1 EA,A n ax }

La probabilité conditionnelle ).1 lw(x) = 1 1 E } est invariante 1 ax,Anax

par translation, car U l'est, et par conséquent ).lA ,Y aussi. Puisque la

condition de positivité pour un état de Gibbs est la même que ceÜe d'un état

de Markov, il s'ensuit que ).1 E~v •

Maintenant supposons que ).1 E1ltJv • Pour tout ensemble fini

et Y c aA ,la mesure

est un état de Markov fini sur 2A• (Il suffit de voir que

y vA (A U {x})

y vA ((A 0 ax) U {x})

Ac71 v

y y vA (A) + vA (A U {x})

y y vA (A 0 ax) + vA ((A n ax) u {x})

en vertu de la propriété markovienne de ).1).

y En appliquant le théorème de Grimmett à vA' nous voyons que c'est un état de

A y Y Gibbs fini sur 2 et que vA (A) = vA (0) exp ( L

BEl; BeA

v: (B)), où cr est l'en-

semble des simplexes de A et où v: est le potentiel donné par

(_1)IA\BI log v y (B) Ar", L IiI d A pour ~". es seu s s mp exes e L BeA

139

A sont les singletons et les couples {x, y} où lx - yi = 1. Pour le moment

nous supposons que Y = , ' et écrivons v! = vA' v! = VA'

{x} = x, {x} u {y} = x U y.

La formule de Grimett donne

VA (x)

VA (x) = log VA (,) , x f:: A

VA (x U y) log VA (xUy) VAr,)

1 x - yi = 1, Y €: A • (x) VA (y)

, x, VA

On voit facilement que le potentiel VA est déterminé par les probabilités

conditionnelles de p, i.e.,

w=O sur

w =1 y ] VA (xUy)

w =0 sur dX\y = -....;;;;.-----­VA (xUY)+vA(x)

1 + exp

Mais PE:1\(,v et Def. 1, (c), entraine que les probabilités conditionnelles sont

invariantes par translation. Donc le potentiel VA est invariant et indépendant

de A. Cela nous permet de définir le potentiel local

u (x, x) - 2 VA (x) , x €. 71. V

u (x, y) VA (x, y), lx - yi

= 0 sl 1 x - yi> 1,

pour tout A qui contient x, y. Il s'ensuit que VA a la représentation

VA (A) A CA.

VA est un état de Gibbs fini, dans le sens de Déf.3, en effet VA (A) '" 1f A (A).

140

Si la frontière 31\ de 1\ est occupée dans Y c 31\. il faut modifier le

y potentiel VI\ près de la frontière 31\ pour obtenir VI\ • Exactement comme dans

le cas Y = ~. on voit que les probabilités conditionnelles de V déterminent

le potentiel V~. Donc ils déterminent v~ comme état de Gibbs sur 21\. Mais il

est évident que TI~ est aussi un état de Gibbs sur 21\. Si son potentiel U(x.yJ

est défini comme p~us hau~il aura les probabilités conditionnelles désirées.

Par conséquent

VA (A U YJ (y)

• A C 1\ • Y c 31\ •

Il s'ensuit que V € ~U ' et la preuve du théorème 3 est complète.

Remarques :

Le théorème 3 montre qu'on peut substituer pour la condition (b) dans

la définition 4. la condition

(b) , TI~ (A). pour A C 1\. \1\\ 1 •

(les conditions (a) et (b)' entrainent que Il est un état de Mark.ov. donc un

état de Gibbs local)

Voir [19. 34] pour les résultats analogues concernant les états de Gibbs

sur {D. 1}S • S un ensemble dénombrable quelconque.

141

Démonstration [Théorème 1).

il 'YWJ c 1tb1 : soit ].l un processus stationnaire de Markov. La positivité

et l'invariance par translation des probabilités conditionnelles de ].l

sont des conséquences directes de la positivité de M et l'invariance par

translation de ].l.

Il faut montrer que pour tout A c Z fini, et toute

f A ~ {O. 1} où x 1 A et dX cA.

f • y E: A} = ].l y w x

Supposons d'abord que A soit consécutif

fy' Y €: A n dX}. [:1:)

c'est-à-dire que

A = {y, Y + 1 • ••.• x - 1. x + 1 • ••• z - 1, z}.

Le membre de gauche de [:1:) devient

].l {w x

o ].l {w X

et ceci est exactement le membre de droite de [~). Lorsque A n'est pas

consécutif le principe de la démonstration reste le même. On fait la

somme des probabilités des différentes possibilités sur les "trous" de

A. et après l'élimination des facteurs communs,le nouveau quotient est

exactement la probabilité que Wx = 1. conditionnée par les valeurs que

prend w sur A n dX. Par conséquent ].l est un état de Markov de dimension 1.

142

ii) 'Ytl,1 C 'il'b . Si )J est dans 'r1f,1' il est un état de Gibbs local pour un

potentiel local U (théorème 3). D'après le théorème 2, il est donc la

limite vague, pour une sui te d'intervalles l qui croissent vers ~, n

mesures de la forme L C [Yl nY (.) où c [Y) i!. D, l c [y) l Y C al n n

Or nY (A) -1 [y) ( - 1

U [A U Yll l Zr exp '2 n n

= )J n

(A) [définition)

--'-1 (y) Q [V V ) ••• Q (Vb , Vb+1 ) = ZI a-1' a

où

En

et

n

l [a, bJ et où Vt = 1 si t€: A U Y, et n

effet, il s'agit d'écrire

log Q [1, 0)

log Q (D, 0)

log Q [1, 1)

1 log Q [D, 1) - 4 uD

o

1 - U (0,1) - '2 uD'

o sinon.

de

= 1 •

y Le théorème 1 du chapitre l nous assure que )Jn converge vers une mesure )J

dans ~ qui est indépendante du choix de Y. Il s'ensuit que la limite commune

des {ni n

s'identifie nécessairement à la mesure

mite de combinaisons convexes des

)J Ë '11&1 qui est la li-

(N.B. laI 1 = 2 pour tout n et par conséquent les combinaisons sont tou­n

jours de quatre termes).

Nous avons donc

Dans le chapitre qui suit on étudiera pour quels potentiels locaux on a

transition de phase, c'est-à-dire pour quels U on a UI > 1. On sait

déjà (théorème 1) que c'est impossible si la dimension v = 1, tandis que c'est

possible (théorème 2, chapitre 1) si v > 2).

CHAPITRE IV

TRANSITION DE PHASE POUR LE MODELE D'ISING D'UN GAZ

Nous supposerons dans ce chapitre que le potentiel local U est isotrope,

de la forme :

uo • si x .. y

U (x, yl = u1 ' si Ix-yi .. 1

0 , si Ix-yi > 1

Question: Dans quelle partie du plan (uo' u1l la classe ~U est-elle réduite

à un seul élément

Nous démontrerons l'unicité dans le demi-plan u1 ~ 0, lorsque Uo + 2 v u1 ~ 0,

c'est-à-dire en dehors d'une demi-droite d'origine 0 J ce sera l'objet du

théorème de Ruelle 1 puis nous donnerons des indications sur la manière de ré-

soudre le cas u1 > O.

, , ,C

\ Un calcul simple montre que le modèle d'Ising du chapitre l, correspond

au modèle présent avec la condition que Uo + 2 v u1 .. 0, et u1 = - 2 J.

Donc nous savons aussi (théorème 2, chapitre Il l'existence d'un

144

point C sur la demi-droite, tel que Ittu 1> 1 si le point [uo' u11 est en des-

sous de C. Le théorème 1 ci-dessous montre que, inversement

[uo' u1) est suffisamment proche de l'origine.

Proposition 1

Un état de Markov V appartient à ~u si et seulement si

V ct w [xl ~ + kU i

1 + e 2

, 'r/ k Ë [0, 2vJ

I~ u 1 = 1, si

, \:f x f:?L v ' où

1l c1 k désigne l'évènement tw €. {D, 1} v n l w [Yi) = 1, pour k voisins Y1

de x l w [y21 = 0 pour les 2 v - k voisins restants Y2 de xl.

Démonstration

Condition nécessaire:

J.l [f w V [{ w [x) = i}(\.}\,kl

V [.}\,k l

Soit Y l'ensemble des k voisins de x occupés l nous avons:

V

d'où V [ {w [xl

car Z [Yl [nY [xl + nY [011 x x x

= e

2" u [x U Yl e

1 + e

u o

-2- + k U i

- 2. u [xUYl 2

+ e - 2. U[Yl

2

et U [x U Yl - U [Yl = U [xl + 2 U [x, Yl

Vax [Yl

145

Condition suffisante

\fA C A fini c~v ' nous avons [d'après le théorème III 3 b)

[1) VA [A) > 0, puisque V est un état de Markov

et

(2)

2 (U[x U Y)-U(Y)) 1 + e

Vx U al< [X U y)

V [{w (x)

, '\ri y c ax

Or, comme V est un état de Markov, c'sst un état de Gibbs appartenant à une

classe ~U d'où, comme les relations ci-dessus déterminent entièrement U (cf 1

démonstration du théorème 3 du chapitre III),et comme les classes sont dis-

jointes, U1 = U,

Remarque: la proposition 1 est évidemment valable pour le modèle d'Ising

on remarque que :

1} 1 Jt, k) = V ({ w [x) = O} 1 eA.o 2V - k )

On retrouve donc la symétrie de V pour les configurations obtenues en échangeant

les + et les -, vue dans le modèle avec champ magnétique nul étudié dans le cha-

pitre I.

Théorème

~u possède un seul élément si

(i) pour Uo fixé, uj est suffisamment petit

(interaetion faible)

ou (ii) pour u1 fixé, Uo est positif, suffisamment grand

(densité basse)

146

Démons tration

Démontrons (i) et (ii) en utilisant une méthode fondée sur l'équation de

Kirkwood-Salsburg.

Définition

On appelle fonction de corrélation de la mesure ~ sur n

la fonction p définie par :

p (A) = )l ({w w (x)

Lemme 1

7L {D, 1} v

p détermine entièrement ~A ' pour toute partie finie A de ~v ' donc

détermine entièrement ~ •

Démonstration

Nous avons, par définition de p et de ~A

p (A) = l ~A(B) AcB cA

d'où le résultat, en utilisant la formule d'inversion de Môbius

l (-1) 1 C 1 p (A U C)

Cc A " A

Montrons maintenant que p satisfait à l'équation de Kirkwood-Salsburg

nous prouverons ensuite que cette équation a une solution unique sous les

conditions (i) ou (ii) J l'application du lemme 1 achèvera alors la démons-

tration.

Lemme 2

Soit p la fonction de corrélation d'un état )l de ~u J soit x un point

quelconque de ~v et A une partie finie de ?Lv possédant x J alors, si

A' = AC n a x et si on pose x

147

gx (A, Bl (U(x,xl ---+

2 L U(X,Yl) -1 y€:(A\xlUB , V BeA' x

on a

p (Al L ,,((A\ xl U Cl (_jllci Cc A'

L BeC

g (A,Bl (-1l IBI x

x

Démonstration

Nous avons, d'après la proposition 1 :

d'où

p (Al E )l (tw w (yl 1,'ï/y€AUB weyl D,'ï/y E: A' '\. BJl x BeA'

x

l gx (A,Bl )l (fw w (yl BeA' x

1, V y € (A \ xl U B w (yl

\:!y €A' \ B}l x

(en appliquant la formule de Bayes et la propriété (2) de la définition d'un

état de Marl<.ovl

l BeA' x

E BeA'

x

g (A, Bl x

g (A, Bl x

)l(A\xlUA' x

((A \ xl U Bl

l (-1l IEI ,,((A \ xl U B UEl, E C A'\ B x

d'où la relation cherchée, en posant C = BUE.

L'équation de Kirl<.wood-Salsburg s'écrit alors

p (Al E Dell v

K (A, Dl p (D l, V x E: A tel que x

lAI < + 00 ,

où le noyau Kx (A, Dl est sommable, valant 0 pour tout D sauf pour un nombre

fini.

Par la méthode habituelle des opérateurs de contraction, nous obtenons

D,

148

Lemme 3

Soit p la fonction de corrélation de l'état 11 de ~u

contraction, c'est-à-dire si

si K est une

L D€7L v

1 K (A, Dli ~ x k<1.VxCA tel que 1 AI < + "", alors ~ U

un seul élément.

Démonstration

a

Soi t Il et îJ dans ~U' de fonctions de corrélation ~ et p

x de A tel que 1 AI ., + "", nous avons, d'après le lemme 2

alors pour tout

p (Al - P(Al

d'où Ip (Al "- (Al - p

L D€7l. v

K (A, Dl (p (Dl -;' (0)) x

I~ L 1 K (A. Dl 1 Ip (Dl - p Dell. x

v

~ k sup Ip (0) ~

(0) 1), avec - P D C7L v

(Dl 1

k < 1 .

Corrrne le sup est atteint pour 0 fini, alors p (A) ~ (A), d'où, d'après le

lemme 1. Il =}:i' •

Il est aisé de voir que les conditions (i) ou (ii) nous placent dans les

hypothèses du lemme 3 pour le noyau K, d'où la conclusion de la preuve du

théorème 1.

Nous allons maintenant démontrer le théorème de Ruelle [11J pour cela,

nous utiliserons deux théorèmes auxiliaires :

Inégalité de Griffiths-Holley (corollaire du théorème 5. chapitre VI)

Soi t Il. un ensemble fini arbitraire et soit Il 1 et Il 2 deux densités de pro­

babilité sur 2 Il telles que :

Il 1 (A U B) Il 2 (A n B) ~ Il 1 (Al 11 2 (B), 'if A, B E: f J

alors, pour toute fonction f à valeurs réelles croissante sur ~ (partiellement

ordonné par l'inclusion, la croissance étant large), on a

149

E 11 1 (A) f (A) ~ AcA

E 112 (A) f (A)

A c A

(ce qui équivaut à : il existe une probabilité v sur 2A x 2A de marginales

111 et 112 telles que :

V (A, B) > 0 B c. A)

Exemple

respectivement, c'est-à-dire

sont deux états de Gibbs correspondant à U tel que u1 ~ 0, alors l'hypothèse

de ce théorème est satisfaite si Yi ~Y2'

Théorème de Lee-Yang (cf démonstration dans [1J p. 108)

Soit A un ensembte fini arbitraire et soit un noyau a (x, y) symé-

trique sur A te l que :

- 1 ~ a (x, y) = a (y, x) ~ 1, Vx, ye A

Alors les zéros de ~ (z) = E AcA

a (x, y)

se trouvent sur te cercle Izl = 1

Défini tion

Un potentiel local U est dit attractif, si U (x, y) ~ 0, lorsque

x F y.

Théorème de Ruelle-

Si U est attractif (u1 ~ 0), alors il ne peut y avoir transition de

phase que sur la droite d'équation Uo + 2 v u1 = o.

Démonstration

Elle comporte 11 étapes.

(1)

150

a) Pour toute partie finie A de lLv et Y c 3 A , nous désignerons par

y PA la fonction de corrélation de l'état correspondant à rr~

avons :

y (A) L rrY (B) PA

A-::lB ?A A

+ 3A J!l Posons PA PA et PA PA Y1

Alors, si Y1 ? Y2 ' comme les états correspondant à rrA

; nous

et Y2

rrA

satisfont à l'hypothèse du théorème de Griffiths-Holley, en prenant

pour fonction croissante sur 2A la fonction XA définie par :

si B? A

, cela pour tout A c A

nous avons

L BeA

d'où Y1 Y2

PA (A)~ PA

Y puisque PA (A) =

sinon

y rr 1 (B)

A

(A) , VA

L AcBcA

c A ,

rrY A

[B)

b) Soit A' ? A alors, pour A CA,

y Montrons la première inégalité J en utilisant la projectivité des rrA

démontrée au chapitre III (lemme), nous avons

+ L

y PA' (A) C (y) PA [A),

y c aA

où L c (Y) y C aA

(on applique la formule de Bayes).

Or y

PA (A) aA

~ PA (A) , 'V y c aA , d'après a), d'où le résultat.

151

[2) Pour toute suite {A } de parties finies de n

croissant vers 71. • la

suite {p~ [A)} n

[resp. { PA [A)} ) n

\l

+ tend donc vers une limite P [A)

[resp. P [A)). indépendante de la suite {A } • fonction de corréla­n

tion définissant une probabilité ~+ sur Q[resp. v1 1 nous avons alors

[En effet. d'après le théorème 2 du chapitre III. tout état V de Gibbs

de ~u est limite étroite de combinaisons convexes de mesures à support

l'ensemble des cylindres à base partie d'un ensemble fini An C Z\l • où

tA } est une suite croissant vers 1Z. 1 or. pour tout cylindre à base n \l

A C An • la combinaison convexe au rang n a une valeur comprise entre

PA [A) n

+ et PA [A). d'où le résultat).

n

[3) Remarquons que v+ et V sont invariantes par translation 1 c'est-à-dire que

nous avons

VAC71. \l

'V x t:: llv • P + [A) " P + [A+x).

+ car PA [A) P~ +x [A+x). et P~ [A) ~ p+ [A) et de même

P + [A + x) ~ P + [A+x). Même raisonnement pour P A+x

+ + [4) Montrons que ~ si et seulement si P [0) P [0)

Condition nécessaire évidente

Condition suffisante: par translation. p+ [x) p [x) • "Ix €71. v

On achève la démonstration par induction sur la cardinalité de A. en utili-

sant le théorème de Griffiths-Holley appliqué à la fonction monotone

f = XA + Xx - XAux [car alors P~ [AUx) ~ P~ [AUx). si P~ (A) "P~ (A))

(5) Comme p± [0) p± [x). 'Ix € 7Z v

, on a

(6) Soit lA (À)

+ et lA (À)

lim A t 71.

n \)

- .1. U(A)

l 2 e ACA

152

1

""TiCT n

- À

l x €: A n

lAI

+ PA (x) n

- .1. U 2

(A) - À lAI - U (A. aA) l e

Ac A

où A est une partie finie quelconque de 71\)

Remarquons que lA (- Log t) = tp (t) est la fonction génératrice de la

variable aléatoire lAI égale au nombre de points occupés d'une configura­

tion de A • pour la probabilité de densité n~ (au coefficient l~1 (~) près)

Soit

Alors lim A t 2

n \)

P~ (À). pour toute suite adéquate n

ties finies de 71. croissant vers 71. • \) \)

{A l de par­n

La démonstration utilise une version affaiblie du théorème de Frobenius

sur les matrices positives pour le démontrer. voir [1J p. 22. L'égalité

des Hm! tes de - + PA (À) et PA (À) revient au fait que

loA 1 n lA 1 n

+ 0 lorsque n + m •

(7) Nous avons. en posant l (x)

+ S-A

n

En effet

Ô (P± 1 - ~À A (À)) ,-- 0 a n 1\

xEA n

n

est l'espérance de la variable aléatoire ~ pour la n

probabilité de densité + n­A

n

Nous en déduisons

153

l1m A t 71. n v

(8) P (À) est une fonction convexe sur ~ l en effet les PA (À) sont des

n - r'e-À\A\J fonctions convexes sur ~. pour tout n l car lA (À) = lA (0) EA ~ n n n

d'où. en appliquant l'inégalité de Schwarz

d'où

puisque la fonction Log est croissante. ce qui établit la convexité de

PA (À). pour tout n. donc celle de P (À) par passage à la limite. n

(9) Lemme :

Soit {f } une suite de fonctions convexes sur ~ de limite f. lorsque n

n augmente indéfiniment. telle que les f n et f soient différentiables

à l'origine. alors:

l1m f' (0) f' (0)

n++ oo n

Si nous posons f n PA . alors. si la fonction P est différentiable en n

O. nous aurons

+ p (0) p (0) •

d'où la solution du théorème de Ruelle. d'après (4).

(10) Comme il est plus facile d'établir l'analyticité de p. nous supposerons

À complexe. Montrons que. s'il existe un disque \À\ ~ ê. ô > 0 tel

que lA ne s'annule pas à l'intérieur. et si ô est indépendant de n. n

alors P est analytique dans le disque: or cela résulte du fait que P

-À est limite de polynômes en e • en utilisant les résultats sur les famil-

les normales.

154

(11) Considérons une quantité intermédiaire entre ZA et n

- l U(A) - l U (A U dA ) -

l: AcA

n

4 4 n e

± Etudions les zéros de Z. A : si ui .:> 0 et si Uo + 2 v u1 ~ 0, alors il n

existe un 0 tel que ZA (À) ~ 0 pour IÀI ~ 0 , n

Comme U (A U dA) = n

U (A) + 2 U (A, dA ) + U (dA ) :

où Fx

e - .L U

4

k l:

(dA ) n

AcA n

désigne le nombre

k l: e A cA n

de

-

L ACA

n

n n

- ~ U(A) - ~ U(A,dAn) - ÀIAI e

l: (2v - =t ) x E: A

voisins de x dans A \ A n

CÀ +

uo+2vu 1 ) lAI

u1 2 2" l: l: e

x€:A y E: A \ A n

I(x,Y)

(I (x, y) 0, si x y ou x non voisin de y et I (x, y) 1, si x voi-

sin de y)

Il Il a (x, y),

x ~ A Y € An' A

où z = e

u + 2 vU i - ( À + --.,;0:;""--;::2---''-) si 1 x-y 1 ~

et a (x, y)

, si 1 x-y 1

Nous avons :

-1 {i a (x, y) = a (y, x) ~ 1 pour u1{i 0,

d'où, comme z n'est pas sur le cercle Izl 1, silÀI est suffisamment

petit et si Uo + 2 v u1 ~ 0, nous pouvons, en appliquant le théorsme

de Lee-Yang, affirmer qu'il existe un 0 tel que ZA 1 0 pour IÀI {i ô. n

La démonstration du théorsme de Ruelle est ainsi achevée.

155

Remarques

(1) Exemple : v = 2

D'après le théorème 1. chapitre I. il existe une demi-droite d'équation

{:; + 4 u1 = 0

~ k <; 0 correspondant à la transition de phase 1 un point C:)

de cette demi-droite correspond à un potentiel local attractif U. tel

que 1 ~u 1 F 1 1 soit

k

o

2

3

4

îJ € ~U' nous avons :

-2 u1 -1 (1 + e ) ~

-u 1 -1 (1 + e) e

1 -2-

u1 -1 (1 + e )

1 - ex

1 - e

~ et e sont voisins de O. si - u1 est grand (cas d'une grande attraction)

alors. il existe deux états îJ+ et îJ distincts dans ~u ' îJ+ correspond

à une occupation presque totale. îJ à une occupation presque nulle. On

peut montrer qu'ils sont ergodiques. donc points extrêmaux de ~u •

(2) Dans le modèle d'Ising étudié au chapitre I. le cas J ~ 0 (ferromagnétisme)

correspond au cas attractif et le cas J ~ 0 (antiferromagnétique) corres-

pond au cas répulsif 1 dans le cas ferromagnétique. pour J suffisamment

+ grand. il y a transition de phase et les deux états extrêmaux îJ et îJ sont

tels que :

+ - il n'existe presque que des + dans l'état îJ

- il n'existe presque que des - dans l'état îJ

156

(3) Que se passe-t-il dans le cas répulsif?

(a) Dobrushin [1:D a montré qu'il existe un voisinage de la demi -droi te

d'équation

o

pour lequel il y avait transition de phase.

(b) On peut montrer un résultat moins précis, dans le cas du modèle

d'Ising.

Théorème

Pour J négatif tel que IJI soit suffisamment grand, I~u 111.

Démonstration (v = 2)

Décomposons Zlv en PU I, où P = {(m, n) J m + n pair} J

li Soit L = {+1, -il v considérons l'application * de L vers L qui à un élé-

ment cr associé cr* par

{cr (x),

cr* (x): _ cr (x),

si x E: P

sinon

Nous avons Ix-yi - cr (x) cr (y)

L'application * est donc telle qu'elle transforme le potentiel U correspondant

à J < 0 en un potentiel V correspondant à - J > 0, d'où le résultat, comme

1 ~~ U 1 = 1 <ff vi Fi, pour 1 J 1 suffisamment grand.

(Ce résultat est connu sous l'appellation de "symmetry breakdown").

(4) Question quels sont les points extrêmaux invariants par translation

de Ciu ?

157

Dans le cas attractif

+ on pense qu'il n'y a que ~ et ~

si on s'intéresse à tous les points extrêmaux, invariants ou non, on

+ croit que ~ et ~ sont encore les seuls, si v = 2. Mais récemment Dobrushin

[13J a démontré qu'il existe une infinité dénombrable si v ~ 3.

Voici la raison intuitive de ce phénomène. Imposons sur une suite crois-

sante de cubes An la condition de frontière, que la demi-frontière supérieure

soit occupée (+) tandis que la demi-frontière inférieure soit vide (-).

Dobrushin a montré que la limite ~ de ces états finis de Gibbs existe toujours

( v ~ 2). Si v = 2 il trouve que

1 ~ = -2-

+ 1 ~ + -2- ~

donc le mélange (non-ergodique) des états à haute et à basse densité. Mais si

v ~ 3 l'influence de la frontière est plus forte, et ~ est un état non-inva­

riant par translation. Sa densité ~ [w (x) = 1J est une fonction monotone

croissante en x quand x 58 déplace vers le haut dans la direction verticale.

CHAPITRE V

CARACTERISATION VARIATIONNELLE DES ETATS DE GIBBS

1 - Caractérisation variationnelle d'un état fini de Gibbs

Soient A fini. V une probabilité sur 2A • U une fonction réelle sur 2A •

On définit les quantités suivantes:

- l'entropie spécifique 1 - ""TAI (en posant 0 log 0 = 0)

- l'énergie moyenne

- l'énergie libre

- la fonction de répartition

- la pression 1 PA (U) = ""TAI log

On note vA la mesure de Gibbs s r 2A 4 U(A) e

On a la caractérisation suivante :

Théorème 1

V (A)

V(A) log V (A)

U (A)

2

- 1. U(A) 2

i) Pour toute probabilité V , pU (v) ~ - PA (U)

ii) On a If. (ll) = - PA (U) si et seulement si V est la mesure de

Gibbs vA

Démonstration

On calcule FU A

_-,V::..,..:.(;..;.A.;..) -- + log Z A (uJ - 1. U(A)

2 e

1 = Iiir

159

fJ (A) ) vA (A)

il suffit de remarquer que pour tout t réel positif ou nul,t log t ~ t-1 avec

égalité seulement au point t = 1.

t

Alors F~ (fJ) + PA (U) ~-r*r- fJ (A) VA (A) ( (Al

Il Vt. - 1) o

ce qui montre i) ,et il n'y a égafité que si il y a égalité pour chaque terme

de la somme. Il y a donc égalité si et seulement si fl est la mesure de Gibbs,

ce qui montre ii).

2 - Le théorème de Lanford et Ruelle

On va énoncer une généralisation du théorème précédent. 7L

Soit j l'ensemble des probabilités sur n = {D, 1} v invariantes par les

opérateurs 'x de translation des coordonnées par x.

Soit U une énergie définie par un potentiel invariant (cf Ruelle p. 20) 1

U est une fonction réelle des parties finies de ~v ' invariante par les trans­

lations de 2Z v

Par exemple U (A) L L x€A y€:. A

U (x, y), si U est un potentiel local sur llv'

On peut étendre les définitions précédentes.

Si A est un ensemble fini, soit flA la mesure image de fl E: ~ par la projec-7L

tion de {D, 1} v sur {D, 1}A • Dans les propositions suivantes A tend vers

160

l'infini au sens de Van Hove (cf Ruelle [1J p. 14) 1 on peut prendre seulement

les limites de long de la suite An des cubes de côté 2n+1 centrés en O.

Proposition (Ruelle [1] p. 180)

SA (~A) converge vers une fonction s (~) affine semi-continue supérieure­

ment sur J 1 s (v) s'appelle l'entropie de ~.

Proposi tion

E~ (~) converge vers une fonction affine continue eU (~) sur J .

Pour un potentiel local, un calcul simple donne

+ fu (0,0) V Guo L Ixl=

U (O,x) ~ [w o

eU (~) - s (~) l'énergie libre de ~ par rapport à U.

Proposi tion (Ruelle [1J p. 22)

w x

PA (U) converge vers une limite P (U), pour tout potentiel local U.

Toutes ces propositions permettent d'écrire, en passant à la limite

fU (V) ~ - P (U) pour tout ~ de j

,Enfin ~U est convexe compact et invariant par les translations. ~U n J

est alors non vide car tout point d'accumulation de ~ L TxO~(.), ~Ë ~U 1"1 x E: A

est une mesure de Gibbs invariante. Inversement on a le résultat beaucoup plus

profond, que chaque mesure ~ ~ j qui minimise fU (~), est forcément un élé­

ment de ~U

Théorème 2 (Lanford-Ruelle) [10J

On a lU (~) = - p ru) si et seulement si ~ appartient à Yu n :J

161

3 - Eguivalence des ensembles

On veut pouvoir introduire la mesure de Gibbs de manière "naturelle" à par-

tir des principes de la thermodynamique.

Plus précisément si A est une région finie. U une énergie. "l'ensemble

microcanonique" est la densité de probabi li té uni forme sur ZA.

On peut alors calculer les énergies des configurations et se restreindre

à celles qui donnent

t + ô

On obtient "un ensemble grand canonique".

Les théorèmes "d'équivalence des ensemb les" [1. ~ montrent que pour des valeurs

convenables de t et À. les ensembles canoniques convergent. quand A tend vers

l'infini. vers une probabilité 1J de ~ÀU • La constante À doit être telle que

l'énergie moy·enne de 1J. par rapport à U est égale à t. Cela s'exp lique comme

suit : le conditionnement nous donne l'état d'entropie maximale parmi tous les

états qui sont compatibles [dans le sens d'énergie moyenne) avec le conditionne-

men t [3. :l4 • 15J.

On peut montrer un tel théorème dans le cas élémentaire suivant :

Soit S fini. n = S lN. tp une application de S dans 7L • Soit p une probabi li té

sur S et P la probabilité sur n produit des lois égales à p. Soit enfin

inf x€S

tp < p < sup Cf • X€S

n Soient P n. k pour n fixé et k une valeur possib le de L <P [xi) la proba-

n i=1 bilité sur {O. 1}n définie par Pn.k [A) = P [A 1 L <p [wi ) = k). On note

i=1 encore Pn.k un prolongement de Pn.k à {D, 1} IJ'J.

On a le théorème suivant

162

Théorème 3

k Quand k et n tendent vers ~ 'infini, avec n 4 p , ~a famine

P n'a qu'un point d'acaumu~ation n,k

.. " W = x J m m

dé terminée par' "

m = Il

j=l

() -a Cf (x) f (x) = -'p.........,..;:x~e::..-__ _

a Z (a)

où fa est uniquement

l: Cf(x) fa (x) = p x f:S

Démonstration

On remarque d'abord que les Pn.k ont la propriété de symétrie suivante.

dès que n est assez grand pour que la formule ait un sens

x m

m l: if (w j ) = sl

j =1

m Z~1 (If. s) Il p (X j )

pour tout m et tous x1 ", X tels que P [~ ~ (W j ) = sl est non nul, m n.k j=1 'J

(Zn (tf. s) est la normalisation),

Tout point d'accumulation a donc la même propriété et on peut appliquer le

lemme sui vant :

Lemme

Soit ~ une probabilité sur n telle que pour tout m et tous x1 '" xm m

tels que L lJl (w j ) = s. j =1 1

Alors ].l = f

W m x m

m

L j =1

-1 m Cf (w j ) = s) = Zm (Cf. s) Il p (X j )

j =1

v dF (a). combinaison convexe arbitraire des mesures v qui sont a a

les probabilités sur n produit de lois égales à fa

f a

(x) P (xl

- a e

Z (a)

Cf (x)

.xEOS. L Xf:S

f a

(x) 1 ,

163

D'après le lemme, tout point d'accumulation de la famille des Pn,k est de la

forme f v dF (a). a

De plus ~ est obtenue quand -1- + p , et donc on doit avoir n

2 p

Donc si h (a) "L Va(x) 'f (x) x

Z-1 (a) L p(x) tp (x) e -a f(x) x €5

dF doit vérifier:

p "f h (a) dF (a) 2 f 2 P " h (a) dF (a).

La mesure dF est donc concentrée sur l'ensemble des a tel que h (a) " P

Le théorème est démontré si on vérifie qu'il n'y a qu'un a tel que :

L p (x) <f(x) e-a«p(x)

h (a) x P

L p (x) -a If (x) e x

Dr h (a) est décroissante (h' (a) < 0) de sup Cf (x) à x ! 5

p est entre ces deux limites.

Démonstration du lemme n

5i on pose F (t) \l L If (wk) tl, on a n k"1

n+1 F (t) L \l ( L <f (wk) s, ep (wn+1) n s € 5 k"1

\l [<f(Wn+1 )

n+1

L s-t 1 L Cf (wk) s k=1

Dr d'après l'hypothèse sur \l :

n+1

inf ~ (x) et x ( 5

s-t)

sJ Fn+1 (s)

n+1 \l (~ (Wn +1 ) " s-t 1 kL f(wk) s) (Cf' sl (11 p(x i ))

i=1

164

h, n

s-t] où A s,t

x L tf (Xj ) t , t (xn+1) n j =1

Par suit8 on a n+1 Z

)J [t(Wn +1) sJ

(CP, t) s-t 1 L n q (s-t), q>(wk )

Zn+1 (cp, s) k=1

si q (s-t) L p (x) • x: q>(x)=s-t

Donc F (t) n

l q (s-t) s € S Zn+1 (cp, s)

En posant G (t) n

G (t) n

L8s solutions

sons conV8X8S

D'où G (t) n

d8

d8

F (t) n

G (t) vérifi8 donc n

l q (s-t) Gn +1 (s) s

l'équation

solutions

bt 8

G (t) = L q (s-t) G (s) sont n n+1

s

8xtrêma18s n bt

( L q(s) a 8 aV8c a = s

dM (b).

n

Fn (jL <r(w j ))

Zn (tp, s)

n G

n L tp (wj )) li p (xk ) j k=1

f dM (b)

H 8 b ,(xk ) p (xk )

k=1

f dM (b) v b h

d8s combinai-

bs -1 8 ) •

c.q.f.d.

165

Donc nous avons vu que le théorème 3 est lié à la frontière de Martin

d'un processus de Markov associé. Un travail récent de P. Martin Lof [3~

donne l'espoir que c'est ainsi aussi dans le cas des théorèmes généraux qui

expriment l'équivalence des ensembles.

CHAPITRE VI

EVOLUTIONS TEMPORELLES

Dans les chapitres précédents nous avons étudié des mesures décrivant la

configuration à l'équilibre d'un système de particules. Nous considérons main-

tenant des évolutions markoviennes de ces systèmes. Nous nous intéresserons

plus particulièrement à celles pour lesquelles les états de Gibbs sont des

états d'équilibre i.e. les mesures de Gibbs sont invariantes.

Nous introduisons deux types d'évolution dans les deux cas d'un espace

de phase fini (VI-2) puis dénombrable (VI-3).

1 - Rappels sur les processus de Markov à valeurs dans un ensemble fini

Soit r un ensemble fini dont les éléments sont notés A. B. C. Un semi-

groupe fortement continu de noyaux markoviens sur r est défini par une famille

(Pt)t~O de matrices telle que:

Pt (A. B) ~ 0

l'application t ~ Pt (A. B) est continue en O.

Dans la suite tous les semi-groupes considérés seront de ce type. Nous avons

la caractérisation suivante :

167

Théorème 1

Pour qu'une famiZZe (Pt)t~O de matriaes soit un semi-groupe iZ

faut et iZ suffit que pour tout t >.. 0

pt = exp t G = l n=O

où G = [G (A, B)] est une matriae satisfaisant à :

G (A, B) ~ 0 si A ~ B et L G (A, B) = 0 pour tout A ~ r B

~ est appeZ~ g~n~rateur du semi-groupe (Pt).

Remarquons que, puisque 1 Zim --t-- Pt (A. B) = G (A, B) pour A ~ B •

NO

~ (A. B) dt ~arit Z'~voZution du processus dans Z'intervaZZe de temps (O.dt).

Défini tion

Soit (Pt) un semi-groupe de générateur G, on dit que (Pt) ou G

est irréductible si

pour tout A, B E: r n il existe une sui te (A",) "'=1 ' \ E:" r telle que

Concernant l'invariance des probabilités pour le semi-groupe (Pt) de géné-

rate ur G nous avons le

168

Théorème 2

(a) Poup que La probabiLité ~ sUP r soit invariante pour (Pt) iL faut

et it suffit que 1.1 G = 0

(b) Supposons G irréduatibLe aLors

i) poUP tout t > 0 et tout A, B e: r , Pt rA, B) > 0,

ii) iL existe une et une seuLe probabiLité invariante ~ et, pour

tout A, B Ë r,

Pt (A, B) = ~ (B) > 0

Démonstration

Pour

avec

Nous prouvons seulement que pour toute probabilité v sur r

lim t-++ oo

toute probabi li té À sur r on pose

F (À) L À (A) A e:: r

la convention o Log 0

L A e:: r

L A,BE: r

Log À (A) ~ (A)

= O. Si v t

dV t (A)

dt Log

v Pt' F (Vt ) est dérivable et

vt(A)

~ (A)

Vt (B) G (B,A) Log

puisque dV t

-d-t- Vt G. Utilisant G 1 o et ~G D, il vient

l [L tz(A,B) - z(A,B) Log z (A,B) - 1} G(B,A) )Ji~~ Vt(All A ~ r B E: r ~ IJ

en posant

z (A, B) V t (B) ~ (A)

v t (A) ~ (B)

169

D'après l'inégalité x-1 ~ x log x si x ~ O. nous avons ~ O. avec

égalité si et seulement si z (A. Bl = pour tout couple (A. Bl. A ~ B pour

v t (Al o

lequel G (B. Al ~ O. Supposons vt ~ ~ • o

~ (Al prend au moins deux

valeurs distinctes 1 posons Uk ~ (Al ak} • Puisque G est irréduc-

tible 11 existe i et j. \ €: Ui et AjE:" Uj tels que G (Ai' Ajl > O. par

dF (vtl suite

dt (t 1 ~ O.

a

Nous avons prouvé que dF (vtl

dt ~ 0 avec égalité seulement aux points où

Vt ~. Pour établir la convergence des vt vers ~. il suffit de prouver que •

si À est la limite d'une suite vt n

• À = ~ • Soit c = inf F (vtl t

> - trJ, d'a-

près la décroissance et la continuité de F (vtl on peut écrire pour tout t > D.

l1m F (v t +tl = F (À Pt) = 0 par suite o et À ~.

n n

Rappelons enfin la notion de réversibilité

Défini tion

Un processus stationnaire (Xtl t ~ ~ est dit réversible si les

processus (Xt)t E ~ et (X_tl t e: ~ ont les mêmes lois.

Théorème 3

Un processus de Markov stationnaire défini par le sous-groupe

(Pt) et la mesure invariante ~ est réversible si

(R) pour tout A, B E: r, ~ (A) . G (A, B) = ~ (B) • G (B, A).

Réciproquement si la condition (R) est satisfaite ~ est invariante pour

(Pt) et Ze processus stationnaire correspondant est réversibZe.

170

2 - Cas d'un espace de phase fini

A désigne un ensemble fini et l'on pose r = 2A

Chaque point de A est occupé par au plus une particule de sorte que la situa-

tion du système est décrite par un élément de r.

Intéraction (1) - Spin flip ou processus de naissance et mort

On donne pour tout A {: r et tout x 1 A deux réels > 0, il (x, A), 6 (x,A)

Oéfinition

On appelle processus de naissance et mort un processus de Markov

sur r associé au générateur G défini par :

G (A, A U x) il (x, A) , si x f A ,

G (A U x, A) 6 (x, Al. si x rf A,

G (A, B) 0 dans tous les autres cas~ lorsque A ;i B,

G (A, A) L G [A, B) B;iA

Cette évolution répond à la description intuitive suivante

[il Si A est la configuration du système à l'instant t, il [x, A) dt est la

probabilité de naissance d'une particule au point x f A entre t et t + dt,

6 (x, A \ x) dt est la probabilité de mort entre t et t + dt de la parti-

cule qui se trouve en x € A.

[ii) on a au plus une naissance ou une mort entre t et t + dt.

171

Interaction (Ill - Processus de saut avec exclusion

On donne une matrice stochastique irréductible [p (x. yl] x.y ~ A • et pour

tout A ~ r et x ~ A. un réel strictement positif c (x. Al.

Définition

On appelle processus de saut avec exclusion un processus de Markov

sur r associé au générateur G défini par :

G (A U x. A U yl = c (x. Al p (x. y), si x. y rf: A.

G (A. Bl ~ 0 dans tous les autres cas. lorsque A F B.

G (A. Al r G (A. Bl. BFA

La description intuitive de cette évolution est la suivante:

(il si A est la configuration à l'instant t. dans l'intervalle de temps t. t+dt

la particule située en x f: A saute avec la probabilité c (x. A \ xl dt. la

distribution des sauts étant p (x. yl. y 1 A.

(iil il Y a au plus un saut dans l'intervalle t. t + dt.

Etude de la réversibilité de (Il

Nous supposons maintenant que A est un graphe fini satisfaisant aux hypo-

thèses de Grimmett dont nous reprenons les notations.

On considère des processus de naissance et mort associés à des fonctions

~ (x. Al et 6 (x. Al ayant la propriété

Il (x. Al ~ ~ (x. A () a xl (L)

6 (x, Al Ô (x. A () a xl

Théorème 4

Pour un prooessus dB naissanae et mort satisfaisant à (L). Zes

aonditions suivantes sont équivaZentes

(i) Il est un équilibre réversibZe

(U) Il est Z 'état dB Gibbs a8soaié au potentieZ Vet

Il (xIA) = e"'" 1;' V (S) Il .fx.A) -'" t..

S €: E x €ScA (Jx

172

Démonstration

Remarquons que la condition (R) du théorème 3 s'écrit ici

A c r et x 1 A , S (x, A) o (x, A)

v (A U x) V (A)

pour tout

Supposons (i) vérifié; d'après l'hypothèse (L) et la relation précédente,

Il (A U xl ].J (Al ne dépend que de A n a x, donc ].J est un état de Gibbs au sens de

Grimmett et il existe un potentiel V tel que

A € r , V (Al = V (21) exp L V (S) SE:l:,SCA

il vient alors

S (x,A) o (x, Al

].J (A U xl ].J (A)

exp { L V (S) - L V (S) SeAUx ScA

La réciproque est immédiate.

exp L S E: l:

xE: SeAU x

Nous montrons maintenant sur un exemple comment l'hypothèse de réversibilité

permet de réduire les paramètres de l'interaction (Interaction (I)). Soit N

entier et A = ~ ! N, c'est-à-dire les entiers mod N.

On suppose que

S (x, Al Sk ' 0 (x, A) = ok. lorsque lA n axl k.,

l'interaction dépend donc de 6 paramètres.

V(S)

Faisons l'hypothèse de réversibilité. Le théorème précédent implique qu'il

existe une fonction réelle V sur l telle que

si Isi V (S) = si Isi 2

dans tous les autres cas

1\ et ---o-k.--- exp (a + k.y), k. 0, 1, 2.

Le nombre de paramètres est donc réduit à 2.

173

Un théorème de Holley pour (I)

Nous revenons au cas d'une intéraction (I) sur un espace de phase A fini

quelconque.

Théorème 5 [16J

Soit G1 et G2 les générateurs de deux proaessU8 de naissanae et mort,

(~;, (P;; les semi-groupes assoaiés. On suppose satisfaites les hypothèses

aZors si A2 c A1 et si f est une fonation réeUe aroissante SUl' r = 2A

en parti au Uer pour C !: r ,

~ B,B.:::> C

Démonstration

Le point important de cette preuve est la construction sur r x r d'un

processus de Markov. associé au sous groupe (Pt) de générateur G. dont la

projection sur le premier (resp. second) facteur est un processus de Markov

associé au semi groupe (P~) (resp. (P~)) (couplage des deux processus).

Les éléments du premier facteur (resp. second) sont affectés des indices 1

(resp. 2).

174

On définit G par

min Gi (Ai' \ \ x) i=1,2

xi A1 st x ~ A2 (4) G (A1,A2 A1 U x, A2 U x) min Gi (Ai' Ai U x) i=1,2

(5) G (A1,A2 ; A1 U x,A2 ) G1 (A1 ,A1U x)-G(A1 ,A2 ;A1U x,A2 U x)

(6) G(A1 ,A2 J A1 ,A2 Ux) G2 (A2 ,A2 U x) -G (A1 ,A2 JA1 U x ,A2 U x)

x E: A1 \ A2 (7) G (A1 , A2 A1 \ x, A2 ) G1 (A1 , A1 \ x)

(8) G (A1 , A2 A1 , A2 U x) G2 (A2 , A2 U x)

x Ë A2 \ A1 (9) G (A1 , A2 A1 , A2 \ x) G2 (A2 , A2 \ x)

(10) G (A1 , A2 A1 U x, A2 ) G1 (A1 , A1 U x)

Nous établissons dsux propriétés du ssmi-groups (Pt)'

175

(a) Pour t ~ 0 L Pt (A1, A2 ; B1 , Bz) = pi t (Ai,Bi ) i,j 1,Z,ilj

Bj

Considérons le cas i 1, j Z il suffit de prouver que

L Gn (A1, AZ ; B1 , BZ) = Gn (A1 , B1) B2

1 (11 )

Lorsque n = 1, cette relation résulte immédiatement de la définition de G : par

exemple si x ~ A1 n Az et B1 = A1 \ x, (11) est la somme termes à termes de (1)

et (2). On termine par récurrence sur n.

(b) Si A1 :;) AZ et B1 :f B2

On procède comme pour (a). La

A1 ::> Az et B1 ::p B2 implique G

équivaut à

si x E: AZ C A1

si x rj: A1, A2 C A1

Pt (A1 , A2 B1 , Bz)

condition

(A1, A2 ; B1 , B2) 0 et

G (A1 , A2 A1 \ x, AZ)

G (A1, A2 A1 , Az U x)

0

o

o

la première résulte de (Z) et de (H1), la seconde de (6) et de (HZ).

Soit maintenant f une fonction réelle croissante sur . Pour A1~A2

utilisant successivement (a), (b), la croissance de f, (b) et (a) il

vient :

p1 f (A1) L p1 (A1 ' B1) f (B1) L Pt (A1,A2 B1 ,B2) f (B1 ) t B1

t B1,BZ

L P (A1,Az B1,Bz) f (Bz) >,. L Pt (A1,AZ;B1,BZ)f(B2) B1,BZ

t B1,BZ

B1 ::> BZ B1::> B2

L L pZ (AZ,BZ) 2

Pt (A1 ,A2 B1,Bz) f(Bz) f(Bz)=Pt f(AZ)' B1,B2 B2

t

Soit C cr; appliquant le résultat ci-dessus à la fonction f définie par:

f (A) = 1 si A::> C, f (A) = 0 si A if> C on obtient la dernière assertion du

théorème.

176

Corollaire (inégalité de Griffiths-Holley)

Soient ~1 et ~2 deux densités de probabilités strictement positives sur

telles que

A, B €: r , ~1 (A U B) ~2 (A n B) ~ ~1 (A) ~2 (B).

Si f est une fonction réelle croissante sur r

~ f (A) ~1 (A) ~ ~ f (A) ~2 (A). A A

Démonstration

On associe aux fonctions ~i ' i 1, 2 les générateurs Gi , i

définis par :

Si x E A, Gi (A, A \ x) ~i (A \ x) 1/2

--:::.-"...,..,.--) ~i (A)

et si x 1- A, Gi (A, A U x) = ( ~i (A U x) /12

~i (A) )

Les hypothèses H1 et H2 s'écrivent respectivement

et sont donc satisfaites. Il vient

A E:: r ~ p t1 (A, B) f (B) ~ ~ p2 (A, B) f (B)

B B t

1, 2

i Puisqu'il est clair que ~i est un équilibre (réversible) pour [Pt)' le corol-

laire est établi par passage à la limite en t dans l'inégalité précédente

(cf théorème 2).

177

3 - Cas d'un espace de phase infini

A est un ensemble infini dénombrable .

• n est compact pour la topologie produit

C [nl est l'espace des fonctions continues sur n

~ est le sous-espace des fonctions sur n ne dépendant que d'un nombre

fini de coordonnées. ~ est dense dans C [nl.

La généralisation des interactions [Il et [Ill au cas lAI considérer des opérateurs définis sur ~ .

Pour l'interaction [Il

f~J.A€:n

+ 00 amène à

l ~ [x. Al [f [A U xl - f[Al] + l <5 [x,A \ xl [flA \ xl -flAl] x ; A x €A

G f [Al

où S et <5 sont des fonctions positives.

Pour l'interaction [Ill

G f [Al l c [x. Al p [x. yl [f ((A\xl U yl - f (Al] x € A. Y ~ A

où p est une matrice stochastique sur A et c une fonction positive.

Liggett [18J et Holley [F] ont prouvé que. sous des hypothèses physiquement

naturelles. ces opérateurs déterminent de façon unique des semi-groupes de

Feller sur n.

Nous examinons maintenant lorsque A ~v les problèmes liés à l'exis-

tence d'états d'équilibres.

Interaction (1)

On suppose

~ (x. Al a (x. A n axl > O. <5 (x. A) = <5 (x. A () axl > o. (Ll

a (x. Al S [x+z. A + zJ. <5 (x. Al = <5 (x+z. A+zJ pour z e: 7Z. \i

généralisant le théorème 5 nous avons :

178

Théorème 6 (Logan) [19J

~ est un équilibre réversible pour (I) si,et seulement si,il existe

un potentie Z loaaZ U tel que 1J f: ~ U et

('JI.) pour x f: A Hx,A) o (x,A) = exp - + [U (A U x) - U w]

Si ('JI.) n'est pas vérifiée on sait très peu de choses sur les mesures

invariantes pour (1). Les meilleurs résultats sont dus à T. Harris [22J.

Supposons 'JI. vérifiée, deux questions se posent :

01 les éléments II ~~u sont-ils les seules probabilités invariantes

si ~u = {ll} a-t-on

lim v Pt = II t-++ co

pour toute probabilité v sur Q ?

Des réponses affirmatives ont été données par Dobrushin [2q] dans le cas

d'interactions faibles, par Holley [16J dans le cas où le potentiel U est

isotrope et attractif en utilisant une méthode de couplage analogue à celle

utilisée dans la preuve du théorème 5, et dans le cas où les mesures d'équi-

libre sont invariantes par translation en généralisant la méthode du théorème

2 (b.H) [21] . En revanche on ne sait pas la réponse à Q1 et 02 dans le cas

d'un potentiel répulSif même lorsque v = 1.

Pour l'interaction (II) sur ~v' les derniers résultats sont dans [23, 24

25, 33J. Ils sont assez complets dans le cas où P (x, y) = P (y, x), et la

vitesse des sauts c (x, Al = constante.

Pour une introduction à d'autres évolutions temporelles markoviennes

des systèmes finis ou infinis de particules , consultez [26J.

CHAPITRE VII

CHAMPS DE MARKOV GAUSSIENS

Soit (1; (xl J x ~ ::ZZ:) une famille de variables aléatoires réelles gaus­

siennes centrées et R (x. yl = E [t; (x) t; (yl] x. y€: lZ\) la fonction de

covariance.

Défini tion

Ct; (x) J x € ~\)) est un champ de Markov gaussien (notation C.M.G.)

si :

(a) il est isotrope et invariant par translation. i.e. R (x. y) = R (O.y-x)

et R (O. xl est invariant dans toute permutation des coordonnées de x.

(b) il a la propriété de Markov. i.e. la distribution de t; (x) condition-

nelle à la connaissance de s (.) sur un ensemble de ~\) \ {x}. conte­

nant dX. ne dépend que des valeurs de s (.) sur dX.

(cl s est non singulier

les fs (xl ; x E: 22) {I; (x) ; x E: AC}. Hoc

si H désigne l'espace de Hilbert engendré par

et HA le sous-espace engendré par les

La caractérisation ci-dessous des covariances de C.M.G. suit

Rozanov [27J avec les améliorations dues à Loren Pitt.

Théorème 1

{s (a:) ; a:

est de Za forme

~ '1 } est un C.M. G. si et seuZement si sa aovarianae \)

+00

(1) R (a:, y) = A L t n pt- (a:, y) n=O

où A > 0 est une aonstante,

180

t E'J-1, +1[ en dimension v = 1 ou 2,

t € [-1, +1 Jen dimension v ~ 3,

J!1- est Ze nième itéré du noyau

{ 1 si Ix-yi 1 -,v = P (:1;, y) =

0 sinon

Démonstration

(a) et (b) montrent que l'espérance de ; (0) conditionnelle à ; (x) pour

x F 0 doit être de la forme: --tv- L ; (y)

lyl=1 on doit alors avoir

t ; (0 ) - """"2V l: ç; (y) orthogonal à f,; (x), 'r/x F 0 et en notant

r (x)

(2)

y =1

R (0, x).

r (x) _ _ t_ 2v

r (x+y) o '1x F 0 •

Pour résoudre l'équation (2) on remarque que, d'après le théorème de Bochner,

r (.) a une représentation de la forme r (xl = fT eixS V [d8) et que l'on a :

(3)

En posant

ix8 e

t Pt [8)= 1 -~

L lyl=1

et v [dS)

o pour x F 0 •

Pt [8) V [d8)

(3) implique que la mesure v a tous ses coefficients de Fourier nuls à l'ex-

ception du coefficient d'ordre 0 et par suite que v est un multiple de la

mesure de Lebesgue : v [dS) = À d8. Deux cas se présentent

(1) Si À F 0, la relation Pt [8) V [d8)

continue, de densité ~ d8

À d8 montre que ~ est absolument

L'intégrabilité exige que t satisfasse aux hypothèses du théorème 1 et la

relation [1) découle immédiatement du fait que:

ixS e ~

n=O

181

1 - t 2\1

(II) Si À = O,nous devons montrer que la condition (c) exclut la possibilité

pour ~ d'être concentrée sur les zéros de Pt (S). D'après le théorème de

Bochner on a une isométrie entre H et L2 (d~) telle que

iSx e

Mais la condition (c) implique qu'il existe dans H un élément n ~ a avec

n ~ H~ ,et donc un ensemble fini A tel que n ~ HA' Alors il existe n' ~ a

dans H orthogonal à HA 1 son image f par l'isométrie ci-dessus vérifie

fT f (S) e- ixS ~ (dS) a

Posons f (S) ~ (dS) = \1 (dS), alors ~ (x) a 'if x €: AC, et par suite

\1 (dS) ~ V' (x)

x E: A

ixS e = p (S) dS où p (S) est un polynôme trigonométrique.

Finalement f (S) ~ (dS) p (S) dS et ~ est absolument continue ce qui fournit

une contradiction.

Ainsi tout C.M.G. satisfait à (1) et la réciproque est évidente.

Nous considérons maintenant un C.M.G. (~ (x) 1 x e ~\I) fixé et sa fonction de

covariance donnée par (1) 1 nous supposons pour simplifier A = 1. On se propose

de déterminer la distribution conditionnelle pour x ~ A connaissant ~ (.1

sur AC 1 nous montrerons, et d'une façon très intéressante, qu'elle ne dépend

que des valeurs de ~ sur ôA

Il suffit de calculer:

x ~ A

182

et

Cov~ (x, y)

Nous verrons que ces quantités sont liées à la mesure harmonique et à la fonc-

tian de Green d'un certain problème de Dirichlet.

Considérons la marche aléatoire (xn) sur 2Zv de noyau P (x, y) et soit

TaA le temps d'entrée dans aA , nous posons:

+00

t n px [T aA = n, xn = yJ HA (x, y) t n=D

+00

[T aA > gA (x, y) Z; tn px n=O

Théorème 2

Pour tout ensembZe fini

n, x n

A c Z v

(a) M~ (x) = z; HA (x, y) ~ (y) y €: aA

(b) Cov~ (x, y) = gA (x, y)

x € A • Y E: 'dA

yJ x € A , Y E: A.

x é A, Y €: A •

Démonstration

(a) l'espérance conditionnelle M~ (x) est caractérisée par

~ (x) - M~ (x) 1 ~ (z) V z E: AC ;

11 suffit de vérifier que

R (x, z) - L HA (x, y) R (y, z) = 0 y€ 'dA

mais c'est une conséquence immédiate de la propriété de Markov de la

marche aléatoire (x ), n

(b) Il est bien connu que la covariance conditionnelle ne dépend pas du condi-

tionnement ; alors :

cov~ (x, y) E {[~ (x) - M~ (X)] [~(Yl - M~ (y)]}

R (x, y) - E (M~ (x) MI; (y))

183

R (x, y) - E L L HA (x, u) HA (y, v) ~ (u) ~ (v) u v

L v caA

HA (x, u) HA (y, v) R (u, v)

R (x, y) - L R (x, v) HA (y, v) v E: aA

R (y, x) - l HA (y, v) R (v, x) v E:: <lA

= gA (y, x) = gA (x, y)

Finalement on peut expliciter la densité conjointe conditionnelle sur A,

connaissant ~ (x) Cf (xl pour x E: <lA

Définissons :A A U 3A

{ ~ (x) si x E: A et "f (x)

cp (x) si x E: aA

Théorème 3

La densité aon;iointe aonditionneZle f: 0:1 .... fR+ est donnée pcœ :

f (~) = Z-A1 (CP) exp f-.! L 1 2 :z; e:'A

Démonstration

Il faut montrer que la densité gaussienne ci-dessus a la moyenne et la co~

variance du théorème 2.

Pour la covariance on peut supposer que la condition de frontière f est

identiquement nulle. On peut écrire la fonction de Green gA (x, y) sous la

forme : +00

gA (x, y) = L t n P~ (x, y), n=D

x E: A Y E: A

où PA désigne la restriction de P à A ; ce qui montre que la forme quadratique

figurant dans la densité f est bien l'inverse de la covariance du théorème 2.

184

Pour la moyenne on doit vérifier l'égalité de

L [ô(x,Yl - t P(x,Yl] y ç; Â

"f (xl 1; (yl

et de

L [ô (x,yl - t P(x,YlJ y € A

où R (fl ne dépend que de la condition de frontière ~ ce qui se ramène à

vérifier

L L [ô(x,yl-t P(x,Yl] 1; (xl f (yl = - L x E: A Y E a A xEA

L [ô (X,Yl-tP(X,Yl] I;(x) Mf (yl y r:. A

il suffit donc de montrer que pour chaque x C A et chaque Cf: aA.... IF,

t l P (x,y) 'f (yl y € aA

L y C A

[ô (x,y) - tP (X,y)]

Le second membre est :

P(x,y) L z (. aA

La démonstration est terminée en remarquant que la propriété de Markov implique

HA (x,zl = tP (x,z) + t L P (x,yl HA (y,z) pour x € A , z E: aA. y e:: A

A l'aide des théorèmes 2 et 3 on peut expliquer le phénomène de transition de

phase dans le modèle gaussien analysé pour la première fois par Kac et Berlin [28J.

Si v ~ 3, pour t = 1, on peut ajouter une constante à un C.M.G sans

changer les distributions conditionnelles. On obtient ainsi une infinité d'états

avec des densités différentes.

Pour t = -1 on obtient une transition de phase de type anti feromagnétique.

Si __ {+1 1jI (x)

-1

est pair

est il1lJair,

tous les champs du type 1; (x) + c 1jI (xl ont les mêmes distributions condition-

nelles.

Pour conclure remarquons que les C.M.G. sur ~v étudiés ci-dessus per­

mettent d'approcher les C.M.G. généralisés sur ~v qui sont à l'heure ac­

tuelle d'un grand intérêt dans la théorie des champs quantiques [29J. [30J.

On sait que les champs sur ffiv sont liés au problème de Dirichlet classique

(pour le mouvement brownien) de la même façon que nos C.M.G. sont liés au

problème de Dirichlet discret pour la marche aléatoire sur ~v'

186

BIBLIOGRAPHIE

[D O. RUELLE. Statistical Mechanics. Benjamin. N.Y •• 1969

l'édition Russe (Mir. Moscou. 1971) contient un chapitre sur les résul­

tats plus récents par R.L. Dobrushin. R.A. Minlos. et Y.M. Sukhov.)

[2J G. GALLAVOTTI. Instabilities and Phase Transitions in the Ising Madel.

A Review. Rivista deI Nuovo Cimenta. 2. 1972.

[3J H.O. GEDRGII. Phasenübergang 1. Art bei Gittergasmodellen. 16. Springer

Lecture Notes in Physics. j972 .

[4J R.L. OOBRUSHIN. Existence of Phase Transitions in the Two and Three

dimensional Ising Models. Th. Prob. and Appl. 10. 1965.

[5J R.B. GRIFFITHS. Peierl's proof of spontaneous magnetization in a two­

dimensional Ising Ferromagnet. Phys. Rev. (2) 136. 1964.

[6J L. ONSAGER. Crystal Statistics I. A two dimensional model with an Order -

Oisorder transition. Phys. Rev. 65. 1944.

[7J G.R. GRIMMETT. A theorem about Random Fields. Bull. London Math. Soc .•

5. 1973.

[8J R.L. OOBRUSHIN. Description of a random field by means of conditional

probabilities. Th. Prob. and Appl .• 13. 1968.

[9J R.L. OOBRUSHIN. Gibbsian Random Fields for Lattice systems with pair

interactions. Funct. An. and Appl. 2. 1968

187

[10J O.E. LANFORO and D. RUELLE, Observables at infinity and states with short

range correlations in Statistical Mechanics, Comm. Math. Phys. 13, 1969.

[1D D. RUELLE, On the use of small external fields etc., Ann. of Phys., 69,

1972.

~2J R.L. DOBRUSHIN, The problem of uniqueness of a Gibbs random field. Funct.

An. and Appl., 2, 1968.

[13J R.L. DOBRUSHIN, Coexistence of phases in the three dimensional Ising Model,

Th. Prob. and Appl., 17, 1972.

D41 O.E. LANFORO, Entropy and equilibrum states in classical statistical

mechanics, in Springer Lecture Notes in Physics, 20, 1973.

[15J R. THOMPSON, Cornell U. Ph. D. Thesis, 1973, to appear in Trans. A.M.S.

[16J R. HOLLEY, Recent results on the stochastic Ising Model, Rocky Mountain

Math. J., to appear.

[171 R. HOLLEY, Markovian interaction processes with finite range interactions,

Ann. Math. Stat., 43, 1972.

[18J T.M. LIGGETT, Existence theorems for infinite particle systems, Trans.

A.M.S., 165, 1972.

[19J K. LOGAN, Cornell U. Ph. O. Thesis, 1974.

188

[20J R.L. DOBRUSHIN. Markov processes with a large number of locally indepen­

dent components. Probl. Pered. Inf .• 7. 1971.

~D R. HOLLEY. Free energy in a Markovian model of a lattice spin system.

Comm. Math. Phys •• 23. 1971.

[22J T. HARRIS. Contact interactions on a lattice. preprint. 1973.

[23J T.M. LIGGETT. A characterization of the invariant measures for an infinite

parti cIe system with interactions. Trans. A.M.S •• 179. 1973.

[2~ T.M. LIGGETT. même sujet. va paraltre aussi Trans. A.M.S .• 1974.

[25J F. SPITZER. Recurrent random walk of an infinite particle system. à pa­

raltre. Trans. A.M.S .• 1974.

[26J F. SPITZER. Interactions of Markov processes. Adv. in Math .• 5. 1970.

[27J Yu. A. ROZANOV. On Gaussian fields with given conditional distributions.

Th. Prob. and its appl. 12. 1967.

[28J T. BERLIN and M. KAC. The spherical model of a ferromagnet. Phys. Rev.

86. 1952.

[29J E. NELSON. Construction of Quantum Fields from Markoff Fields. J. Funct.

An •• 12. 1973.

[30J E. NELSON. The free Markoff Field. J. Funct. An •• 12. 1973.

189

[31J O.B. ABRAHAM and A. MARTIN-LOF, The transfer matrix for a pure phase,

Comm. Math. Phys., 32, 1973.

[32J P. MARTIN-LOF, Repetitive structures, preprint, 1973.

[33J T.M. LIGGETT, Convergence to total occupancy in an infini te particle'

system with interactions

[34] C.J. PRESTON, Gibbs States on Countable Sets, Cambridge University Press,

to appear