Universit6 de Strasbourg

S~minaire de Probabilit~s

UN COURS SUR LES INTEGRALES STOCHASTIQUES

( P.A. Meyer )

0HAPITRE VI . COMPLEMENTS AUX CHAPITRES I-V

1975/76

109

0e chapitre contient une s~rie de r@sultats en d~sordre, li~s aux

sujets trait~s pendant l'ann@e 1974/75.

I. L'EXISTENCE DE [M,M] ET L'INTEGRALE DE STRATONOVITCH

L'int~grale de STRATONOVITCH est une int~grale stochastique d~finie

pour certaines classes de processus ~ traJectoires continues, et qui

a l'avantage d'ob~ir ~ la formule du changement de variables ordinaire,

celle du calcul diff~rentiel, et non ~ la formule d'ITO. Pour presenter

cela, nous commen~ons par quelques remarques sur los semimartingales

cont inue s.

Soit X une semimartingale continue, nulle en 0 . D'apr~s IV.32 d), X

est une semimartingale sp~ciale ; soit X=M+A sa d~composition canonique.

I1 existe des temps d'arr~t T tels que /TIdAsl e L 1, et que X soit

0 T bernie sur ~ O,T~ . Posons xT=~, MT--~, A =• ! la martingale ~ est

uniferm~ment int~grable et l'on a pour tout temps d'arr~t S A~s=O.

Si S est totalement inaccessible, comme ~ est pr~visible, on a AXs=O,

donc AMs=O aussi.

Si S est pr~visible, on a E[A~sIFs_]=O, donc E[A~sIFs_]=O. Comme

iest pr~visible, cela entra~ne Ais=O , puis ~s=O.

Ainsi, ~ et i sent continus, et en faisant tendre T vers l'infini

on volt que Met A sent continus. Ainsi, nous avons ~tabli

Toute sem~m~rtingale continue nulle en 0 admet une d~composition en

tune martingale locale continue et tun processus VF continu.

( L'extension aux processus non nuls en 0 est bien claire ' X=Xo+M+A ).

Soient H et X deux s~mimartingales continues. D~finissons l'int~gra,

le de STRATONOVITCH ~ S HudX u par

t t : l<:,x~ t ( 2 . 1 ) ~ = + o

o~ He~x c sent, comme d'habitude, les parties martingales continues de

Het X. Alors que l'int@grale stochastique ordinaire est limite en

probabilit@ de sommes Z i Hti(Xti+1-Xti) sur des subdivisions de [O,t],

355 110

l'int~grale de STRATONOVITCH estlimite de sommes de la forme

Z i Hsi(Xti+1~Xti) , avec s i = �89 , ainsi que d'int~grales de

la forms ft Hn.x n int~grales de StieltJes relatives aux lignes poly- 0 s ~ s '

gonales obtenues par interpolation lin@aire de H et X entre les ins-

n de la n-i~me subdivision dyadique. Surtout, l'int~grale de tants t i

STRATONOVITCH poss~de tune formule de changement de variables int~res-

sante. Consid~rons une fonction f de classe ~3 sur �9 ( l'extension

au cas vectoriel est possible ). Le processus f'(X t) est une semimartin-

gale continue pour t~O, que nous noterons H t . D~composant X en Xo+M+A,

avec M=X c, nous avons d'apr~s la formule d'ITO

Ht = HO + o]tf"(Xs)dMs + [ ]tf"(Xs)dAso + �89 tf'''~s)d<MpM~s]

d'o~ la partie martingale continue H c, ~gale ~ la premiere int~grale

stochastique, et aussi

<Hc'M >t = ftf"(Xs)d~'N~s O

Par cons@quent) d'apr~s la formule d'ITO t t

~tf, Ol f"(Xs)d<M,M> s = f(Xt)-Z(X O) (2.2) s ~'(Xs)dX s = (Xs)dX s + �89 o

et l'on voit que l'int~grale de STRATONOVITCH ob~it ~ la formule du

changement de variables ordinaire, non ~ celle d'IT0. L'ennui, c'est

que nous avons dG supposer f de classe ~3 pour que f'(X s) soit une semi-

~artingale. Notre but maintenant va ~tre de donner un sens ~ l'int~grale

S HsdX s pour une classe de processus H plus large que celle des semi- o martingales, et contenant les processus obtenus par l'op~ration de

fonctions de classe C I sur les semimartingales : cela donnera un sens

la partie gauche de (2.2) pour une fonction f de classe C 2 = , et nous

@tendrons alors la valldit@ de (2.2).

Auparavant, nous allons poser le probl~me de mani~re plus g@n~rale, en

sortant du cas continu : nous n'avons d~fini le processus croissant

~X,XS que pour des semimartingales ; peut on le d~finir pour des classes

plus larges de processus ? Cela nous amine aux th~orSm,.s d'approximation

de Catherine DOLEANS-DADE, et ~ diverses questions int~ressantes.

APPROXIMATION DE KX,XS AU MOYEN DE SUBDIVISIONB

THEOREME. Soit X=M+Aune s0mimartinHale , telle que la martingale M

appartienne ~ M , que le processus A soit ~ V.I., nul en O, et tel

~~176 e L z . Les variables al~atoires que 0

356 111

(5.1) Sv(X ) X~+ Z i = (Xti+1-Xti 12

associ4es aux diff4rentes subdivisions f~les de l'intervs]]e [O,t]

t=(O=to<tl...<tn+1=t~+~ ) sont uniform4ment int4grables, et convergent

vers [X,X]t dans LI lorsque le paslde la subdivision tend vers O.

DEMONSTRATION. a)Int4grabilit4 unlforme. Nous 4crivons que St(X)

2(Sv(M)+ST(A)). I1 n'y a aucun probl~me pour ST(A) , major4e par

(/co IdAsl) 2 e L I. Regardons St(M ) . Nous allons montrer que pour tout 0-

~>0, les St(M) sont major~es par des v.a. de la forme H+K, o~ K est

contenu dans la boule de rayon r de L I H restant born4 dans L 2. L'int4-

grabilit4 uniforme des S(M) en r~sultera.

Pour cela, nous d4signons par U t la martingale E[McoIll M _ l_<~iI~t],

et posons V=M-U. Nous avons S (M) ~ 2(S~(U)+Sv(V)). Nous avo~ -

qui est ~ e si k est choisi assez grand. Ce choix 4tant fait, 4valuons

E[(S (U))2] : c[est ( en convenant que U~ =(Uti+1-Uti )2 pour i=-I )

E[ Zi(Uti+1-Uti)4 + 2Zi(Uti+1-Util2Ej>i(Utj+ -Utj)2]

Dans le premier Z i , puisque U est major4e en valeur absolue par k,

nous majorons ( )4 par (21)2()2. Darts le second Zi, nous remplagons

par (Ut-Uti+1) 2, qui a la m~me esp4rance conditionnelle par rapport Ej

~ti+1 ' puis nous maJorons cela ~ nouveau par (21) 2. Reste donc

E[(S~(U)) 2] ~ (4X2+8k2)E[Zi(Uti+1-Uti)2] = 1212E[U 2] ~ 1214

qui est bien born4 ind4pendamment de t.

Noter qu'on aurait pu remplacer les subdivisions par des t i, par

des subdivisions d4termin4es par des temps d'arr~t T i.

b) Convergence darts L I. Nous coupons Men deux : d'tme psrt N,~rm@e de

la partie continue et des n premiers termes de la somme compens4e des

sauts, et d'autre part Q, reste de la somme compens4e des sauts. Ainsi

X = M+A = N+Q+A , et nous posons Y= N+A

Nous allons montrer que [X,X]t-[Y,Y] t et Sv(X)-St(Y) sont petits dans

L I sin est grand ( uniform4ment en t ), puis que St(Y)-[Y,Y] test

petit dans L I si le pas de vest assez petit.

I. Sit =+co, le pas de la subdivision doit ~tre d4fini raisonnablement.

357 I~2

Pour le premier terme, nous 4crivons X=Y+Q, donc [X,X]=[Y,Y]+

[2Y+Q,Q], doric I E[ I [X,X]t-[Y,Y]t I ] = E[I[2Y+Q,Q]tl ] =<(E[[2Y+Q,2Y+Q]t])I/2

(E[[Q,Q]t])I/2. Le dernier terme vaut ~QII , Imetit pour n grand. Dans

l'autre , nous 4crivons 2Y+Q= 2X-Q, et nous majorons [2X-Q,2X-Q3 par

2([2X,2X]+[Q,Q]). Le premier terme reste donc borne, et E[ I[]-[]I]-r

Pour I S~(X)-ST(Y) I , le raisonnement est exactement le m~me, avec

de molns bonnes notations : apr~s tout, HT(X) n'est rien d'autre que

le crochet [,] de X consid@r4e sur l'ensemble de temps discret T '

Maintenant, regardons Y = N+A : nous avons le droit de faire passer

les n sauts compens@s du c8t4 du processus VI, autrement dit, de suppo-

set que Nest continue. Nous 4crivons alors ( toujours avec la m~me

convention relative ~ 0 ) :

ST(Y ) = ST(N ) + S (A) +2~(N+ -N+ )(A§ -Ati) vi+1 ~i ui+1

AA 2 AY 2 : il s'agit ici d'un ST(A ) converge-p.s, vers Zs_< t s = ~s=<t s

r@sultat sur les fonctions ~ variation born4e, que nous laissons au

lecteur. Le dernier terme est major@ en valeur absolue par

INti+1 -Ntj'l u~/tldAsl : il tend vers 0 p.s. ( donc en Prob.) d'apr@s sup i

la continuit4 uniforme des traJectoires de N sur [0,t]. Reste donc

montrer que ST(N) converge en probabilit@ vers [N,N] t - car, compte

tenu de l'int4grabilit@ uniforme 4tablie en a), la convergence en proba-

bilit@ @quivaut ~ la convergence L I .

Commen~ons par le cas o~ Nest born4e par une constante k . Nous

avons alors, en utilisant le fait que N2-[R,N] est une martingale t t t

E[(S (N)_[N,N]t)2 ] = E[(S (N)_Z i [N,N]t~+I)2]

= E[ ~i ((Nti+x-Nti)2-[N'N]t~ +I)2 ]

4 r" que nous d~veloppons : E[E i (N t -N t ) ] est maJo e par 2 i+I 2 i

E[ sup~ (Ne -N§ ) . >~(N+ -N§ ) ] . Le sup. tend p.s. vers 0 en -i+I ~i 2 ~ ~i+I ~i •

restant born4 par 4k , tandis que le 7 i reste born@ dans L 2, comme

on l'a vu dans la d6monstration de a). On applique alors l'in4galit4

de Schwarz. t ti+1 De m~me nous maJorons Ei([N,N]ti+1) 2 , par sup i [N,N]ti " [~'~]t "

i [N,N]t appartient & L 2 d'apr~s la formule

E[[N,N] 21 = 2E[i([N,N]co-[N,N]t)d[~,N]t ]= 2E[/(Noo-Nt)2d[N,R]t]

I .L'in4galit@ de KUNITA-WATANABE s'applique aux semimartingales '

358 113

tandis que le suPi tend vers 0 d'apr~s la continuit~ uniforme des

trajectoires de IN,N], en restant domin~ par [N,N]oo eL 2. Apr~s quoi

on applique l'in~galit~ de Schwarz.

Enfin, le terme mixte se maJore par suPi(Nti+1-Nti)2.[N,N] t , et se

traite de m~me.

Pour nous affranchir de la condition sur N, introduisons le temps

d'arr~t = • I s = INsl~X I

et chcisissons X assez grand pour que PIT<t}<r ; sur l'ensemble IT=t}

nous avons S~(N)=S (NT), [N,N]t=[NT,NT] t ,donc

PIIS~(N)-[N'N]tI>~I =< PIT<t} + ~T=tI(S'(N)-[N'N]t)2P

est <~ d~s que le pas de la subdivision est assez petit. I

THEOREME. Soit X une semimartingale. Avec les m~mes notations que ci-

dessus, on peut affirmer que ST(X) converge vers [X,X] ten probabillt4

lorsque le pas de la subdivision �9 d__ee [O,t] tend vers 0 , pour O<t<~ .

DEMONSTRATION. Nous pouvons supposer que Xo=O.

R = inz Is : l~Xsl~X 1 et choisissons X assez grand pour que PIR<tl<s. Soit Y la semimartinga-

le XsIIs<RI+XR_IIs>R I ; on a [X,X]t=[Y,Y] t, S (X)=S (Y) sur un ensemble

de probabilit4 voi~ine de I, donc il suffit de prouver le th4or~me pour

Y. 8oit Y--~I+A la d4composition canonique de la semimartingale sp4ciale

Y, et soit Vs=~SldA~l ; choisissons ~ assez grand pour que PIS__<t~<r o~

S = inf I s : Vs~ ~ I

est un temps d'arr~t pr4visible (N9, p.9). Soit (S n) une suite annon~ant

S, et soit n assez grand pour que P{Sn=<tl<r Choisissons v assez grand

pour que PIT<tI<~ , o~

T=SnAinf Is : I MsI~ v I

Le processus A T a une variation totale born4e par M. Donc ses sauts

sont aussi born4s par M, et comme les sauts de Y sont born4s par l, les

sauts de M T sont born4s par A+M . Comme M est born4e par v sur [O,T[ ,

M Test born4e par X+M+v .Donc le th4or~me 3 s'applique & z=yT=MT+A T,

et on conclut en remarquant que [X,X]t=EZ,Z] t , Sv(X)=S~(Z) saul sur

un ensemble de probabilit4 au plus 2r

Maintenant, pour quels processus X peut on ~tablir un r4sultat ana-

logue au th4or~me 3 ? au th4or~me 4 ? Le point important est ici le

fait que ces classes sont beaucoup plus riches que celle des semimar-

tingales : d'une mani%re impr6cise, elles sont stables par les

1.Un r4sultat tr~s proche vient d'etre d4mon~r4 par D.LEPINGLE.

359 114

op@rations C I = , alors que la classe des semimartingales est stable par

les op@rations ~2. Pr~cls@ment :

THEOREME. Solent X=(X~,...,X d) une semimartin~ale ~ valeurs d ans~ d,

f une fonction de classe C I sur ~d, y le processus r@el

(5.1) fo~ = f(x 1,.~.,x ~) Alors, avec les notations du th.3, pour tout t fini S (Y) converge en

~robabilit@ vers la v.a.

(5.2) [Y,Y]~ = E .i 7 0/t Dif(X )D~f(X~ 3 s)d<Xic'xJC>s + Es=~t AY2s

Si les X i satisfont aux hypoth@ses du th@or@me 3, et si les d@riv@es

d_~e f sont born@es sur ~, la convergence a lieu dans L I.

DEMONSTRATION. Nous pouvons supposer que X0=0. Ensuite, par un argument

presque identique ~ celui du th@or@me 4, nous pouvons nous ramener au

cas o~ X est une semimartingale vectorielle born@e, dont les composan- tes satisfont aux hypoth@ses du th.3. Comme X est born@e, nous pouvons

nous ramener au cas o~ feC Iest ~ support compact. Nous pouvons alors

trouver des r@gularis@es fneC 2 , dont les d@riv@es du premier ordre

convergent vers les d@riv@es correspondantes de f, uniform@ment sur ~d

en restant born@es sur tout i d. Les fn sont donc lipschitziennes de rap-

port K ind@pendant de n, tandis que les fnm=fn-fm sont lipschltziennes

de rapport ~nm tendant vers 0 lorsque n,m tendent vers +~.

Pour simplifier les notations, nous supposerons que d=1.

Nous avons d'abord (5.3) s~(fn~ ~ ~2s~ (x) D'apr@s le th.3, les v.a. Sv(fnoX) sont toutes uniform@ment int@grables,

et la convergence en probabilit~ @quivaut ~ la convergence dans L I .

Nous avons ensuite, comme fn=fm+fnm

(5.4) [S~(fnoX)-Sv(fmoX)[ ~ S~(fnmoX) + 24ST(fmoX)~S~(fnm ~

(~2+2Kenm)S~(X)

d'o~ ll r@sulte que, pour net m assez grands, l'esp@rance du premier

membre est petite ind@pendamment de �9 . De m@me, co~e fnoX et fmoX

sont des semimartingales, leurs crochets [,] existent, et sont la limite

en probabilit@ des ST(fnoX), ST(fmOX) relatives ~ des subdivisions de

[O,t]. On peut donc passer ~ la limite sur (5.4). Plus g@n@ralement,

sur un intervalle [s,t], s<t

[If oX,f ox]t-[f oX,f oX]t[ < (C2nm+2Kenm)[X,X]~ n n s m m s =

d'o~ en coupant [0,t] en petits bouts et en sommant

360 115

(5.5) ftld[fnoX,fnoX~-d[fmoX,fmoX]s i < (S2nm+2KCnm)[X,X]t 0 =

d'o~une suite de Cauchy en norme variation. Comme fn est de classe C 2 = , la formule d'IT0 nous dit que la partie martingale continue de

t, c fnoX est ~ fnoXsdX s , d'o~

et la convergence en norme variation permet d'identifier la limite

comme la v.a. (5.1). Maintenant, le reste est facile :

E[ISv(foX)-[Y,Y]tl] ~ E[ISv(foX)-Sv(fnoX)l]+E[][Y,Y]t-[fnoX,fnoX]t j ]

+E[IS~(fnoX)-[fnoX,fnoX]t I ]

On choisit d'abord n grand , pour rendre la somme des deux premiers

termes au second membre petite, indEpend~mment de T ((5.4) et (5.5)),

apr~e quoi on prend le pas de v assez petit pour rendre petit le der-

nier terme.

La derni~re phrase de l'EnoncE provient de l'intEgrabilitE uniforme

des S (foX) si f est lipschitzienne ( m~me argument que pour (5.3)).

REMARQUE. L'ensemble des processus Y du type considEr~ en 5 est un

espace vectoriel ( il n'en aurait pas ~tE de m~me si l'on s'~tait

born~ ~ la dimension ~=I ). On peut donc "polariser ~ le thEor~me 5

pour dEfinir [Y,Y'] pour tout couple de processus repr~sentables sous

la forme (5.1).

La principale consequence du th.5 est le fait que le processus

(5.2) ne d~pend que du processus Y lui-m~me, non de la representation

foX choisie.

Nous pouvons maintenant dEfinir en toute gEnEralit~ l'intEgrale de

STRATONOVITCH. Soit ~ l'espace des processus Y admettant une represen-

tation de la forme (5.1). Si H appartient ~ ~ , si X est une semimar-

tingale, posons t t

(7.1) S Hu_dXu= ~ Hu_dX u + �89 t O

Si f est une fonction de classe ~2( nous restons en dimension d=1

pour simplifier ), nous avons t

(7.2) f(xt)-f(x 0) = s f, (xs_)dX s + zs< t (f(Xs)-f(Xs_)-~(Xs_)~xs) O =

c'est ~ dire la m~me formule que lorsque X est un proces~us ~ VF. En

effet, si nous remplagons l'intEgrale de STRATONOVITCH ~ f'(Xs_~X s

361 116

par sa valeur (7.1), puis Ef'ox,xC~ t par sa valeur tir~e de (5.2),

soit Jtf"(Xs)d~Xc,Xc ~ , nous retombons simplement sur la formule d' 0

ITO. Ce n'est ~videmment qu'une petite astuce de notation, le r~sultat

d'ordre math~matique ~tant le th~or~me 5.

~Hu_dX u ne s'interpr~te plua comme limite de sommes de la

forme Z i Hsi(Xti+1-Xti), avec si= �89 I) : ce r~sultat n'est vrai

(et assez facile ) que pour des semimartingales continues ; Je le

laisserai de cSt~. En revanche, ce que l'on peut toujours d~montrer,

c'est que, bien s~r j t

E i Hti(Xti+1-Xti) converge en P. vers 0 HudXu-

et d'apr~s le th~or~me 5

- - ) converge vers EH,X~ t Zi(Hti+1 Hti)(Xti+ I Xt i

(pour simplifier, on prend Xo=O ). Alors

(7.3) Ei ( converge en P. vers jtH dX + Hti+l Xti+l-Xti) 0 u- u [H'X]t

C'est dans un cours de KUNITA ( diffusions et contrSle, Paris,

1973/74 ) que j'ai vu mentionn@e l'int~grale de STRATONOVITCH, dans

le cas des martingales ( ou semimartingales ) continues. On y trouvera

des d@tails suppl~mentaires, par exemple le r~sultat d'approximation

omis ci-dessus.

I1 me semble qu'il y a beaucoup ~ dire sur la th~orie de la

"variation quadratique' ~M,M~ pour des processus M qui ne sont pas des

semimartingales - th~orie li~e ~ celle de l'~nergle~ Le sujet a ~t~

abord~ par BROSAMLER, mais on salt peu de choses en g~n~ral.

II. FONCTIONS CONVEXES ET SEMIMARTINGALES

Lorsque X est une semimartingale ~ valeurs darts Ed, f une fonction

02 sur ~d, la formule d'ITO nous dit que foX est une semimartingale.

Y a t'il d'autres fonctions que les fonctions C 2 qui op~rent sur la

classe des semimartingales ? En voici un exemple, raisonnablement

proche de la classe C 2.

THEOREME. Soient X une semimartingale ~ valeurs dans ~d, f une fonc-

tion convexe sur ~d. Alors foX est une semimartingale.

362 117

DEMONSTRATION. gous allons traiter uniquement le cas r@el, mais le

lecteur se convaincra ais@ment que seules les notations se compliquent

en dimension d>1.

Nous commen~ons par traiter le cas o~ X=M+A, o~ M est une martinga-

le ( non n~cessairement nulle en 0 ) born@e par une constante C, et

A un processus VI nul en O, tel que J~ IdAsl < C . Alors X prend O

see valeurs darts l'intervalle [-2C,+2C], et le processus foX est bor-

n@. Soit K une constante de Lipschitz de f sur l'intervalle [-2C,+2C]

( si d>1, voir le n o 16 ). Nous prouvons :

Le processus (f~ K~tldAu I) = Yt est une sousmartingale.

Ainsi, foX est la diff@rence de deux sousmartingales, c'est une semi-

martingale.

Pour prouver cela, nous @crivons si s~t

E[Yt-YsI~s] = E[f(Mt§ s] +E[f(Mt§ S

- f(Ms+A s)

Comme Mt,At,A s appartiennent ~ l'intervalle [-C,C], nous avons

If(Mt+At)-f(Mt@As)I ~ KIAt-Asl ~ KjtldA~I S

de eorte que la premiere esp@rance conditionnelle est positive. Quant

la difference E[f(Mt~As) I~s]-f(Ms+As), elle est positive d'apr~s l'

in~galit~ de Jensen, M @tant une martingale.

Maintenant, nous @tendons le r@sultat en supposant que lee sauts

d_~e X sont born@s ~ar une constante ~ ( y compris le saut X 0 en O ).

Alors X est sp@ciale, et admet une d@composition X=N+B, o~ le proces-

sus VF Best pr@visible, nul en O. ft

S = inf I t : IdBsI~ } 0

qui est pr@visible (N9, p.9), et soit S n une suite annon@ant S ; soit

T = SnAinf It : INt I ~ v 1

Le processus BT=A a une variation totale born@e par ~ , doric son saut

en T est born~ par ~, et comme le saut de X en Test born@ par k, celui

de Nest born~ par ~+~. Comme N est born@e par v sur ~O,T~ , N T est

born@e par l+~+v, et finalement le r@sultat pr@c@dent s'applique

X T avec C=k+~+v . D'autre part, si ~,v,n sont pris assez grands, T

est arbitrairement grand, et il en r@sulte que fox est une semimar-

tingale.

Enfin, passons au cas g@n@ral : soit Rn = inflt : I AXtI>nl ; X

coincide sur ~ O,Rn~ avec une semimartingale ~ sauts born~s, donc

fox co~nclde sur [[O,Rn~ avec une semimartlngale. En ajoutant un

processus sautant seulement en R n , on a la m@me chose sur ~ O,Rn~ ,

et on conclut par le th.IV.33.

363 ] 18

La cons@quence la plus importante est ~videmment le fait que, si X

est une semimartingale, IXI en est une aussi . Par consequent

s i X e t Y sont des semimartin~ales, X^Y e t XvY en sont aussi.

D'autre part, on peut am~liorer un peu le th~or~me 5, grace ~ ce

r~sultat - mais la classe de fonctions que l'on obtient ainsi ne s'

explicite bien qu'en dimension I .

THEOREME. Soit X uns semimartingale r@elle, et soit f une fonction

sur ~, primitive d'une fonction c~dl~g ~=-D+f. Soi t Y=foX. Alors,

avec les notations du th.3, pour tout t fini ST(Y) converge e n proba-

bilit ~ vers

(10.1) /t~2oXsd~Xc,Xc> s + Zs=~t AY 2 0 s "

DEMONSTRATION. Nous allons proc~der comme dans la d@monstration du

theorems 5. Nous nous ramenons au cas o~ X est bern@e. Nous pouvons

alors supposer que f est une fonction ~ support compact. La fonction

c~dl~g ~ est donc nulle hors d'un intervalle [-C,+C], et d'int~-

grale nulls puisque c'est une d~riv~e. Nous approchons uniform@ment

par des fonctions ~tag@es continues ~ droite ~n ' ~ support dams

[-C,+C] et d'int@grale nulle. Les ~n ont alors des primitives ~ sup-

port compact fn qui convergent uniform@ment vers f, et les fn sont

lin@aires par morceaux, donc diff@rences de fonctions convexes. Les

processus fnoX sont alors des semimartingales, et le raisonnement du

th@or~me 5 nous dit exactement ceci : si le th.10 est vrai pour chaque

fn ' ll est vrai aussi pour f.

Nous allons d~montrer qu'il est vrai pour toute fonction fn'

par une m~thode qui aboutit ~ red~montrer le th~or~me 8, de mani~re

moins @l@mentaire, mais qui par ailleurs fournit des informations (I)

int~ressantes, malheureusement, en dimension d=1 seulement

Nous continuons ~ supposer, pour simplifier, que X est une sur-

martingale born~e, ~ valeurs dams [-C,+C] - nous pouvons m~me, au

d@part, supposer que X=M+A, o~ M est une martingale born@e, A un pro-

cessus VF nul en O, pr@visible, ~ variation totale born@e ( cf. la

d@monstration du th@or~me 8 ).

(I) Je sais peu de choses sur les propri@t@s de diff~rentiabilit@ des

fonctions convexes de plusieurs variables, et cela me g~ne darts les

n ~ qui suivent.

364 119

Nous allons ~tablir une formule du changement de variables pour une

fonction convexe f sur E. Malheureusement, il n'y a pas une coherence

parfaite entre les calculs ci-dessous et los notations de l'~nonc~

10 : ~ d~signait la d~riv~e ~ droite de f, tandi8 que f' est mainte-

nant la d~riv~e ~ gauche de f. Ce n'est pas grave

Soit fn(t) = n/ +~f(t+s)j(ns)ds, o~ Jest une fonction positive

C ~ ~ support compact contenu darts l'inter~alle J-co ,01, d'int~grale I

Alors fn est convexe de classe ~2 et lorsque n-~o f~ tend en crois-

sant vers f'. Ecrivons la formule du changement de variables pour f n / t n

(11.1) fn(Xt) : fn(Xc) + 0+ fnoXs-dXs + At

A~ = Z0<s< t= (fnoXs-fnOXs_-f~oX s_AX s) + �89 s

Nous remarquons que (A~) est un processus croissant, en raison de la

convexit~ de f, et nous faisons tendre nvers l'infini. En vertu des t, X hypotheses faites sur X, f (X_),f (X~), / foX d convergent dans

t n z n c 0 n s- s L 2 vers f(Xt), f(X0) , ~ f'(Xs_)dX s ,donc A~ converge dans L 2 vers une

Comme (A~)~ ~tait un processus croissant, (A s ) peut aussi se voa. A t �9 r~gulariser enun processus croissant continu ~ droite. Ainsi

(11.2) f(Xt) = f(Xc) + /tf'oXs_dX + A t 0+ s

Maintenant, comparons les sauts des deux membres. En 0, l'int~grale

stochastique s'annule , f(Xt)-f(Xc) aussi, donc A0=0. En t, le saut

de f(Xt) est f(Xt)-f(Xt_) , le saut de l'int~grale stochastique est

f'(Xt_)AX t ,donc le saut de A est f(X t) - f(Xt_)-f'(Xt_)AX t et nous

avons la formule du changement de variables pour fonctions convexes

(11.3) f(Xt)=f(Xo) +/tf'(Xs-)dXo+ s + ZO<s~1+ (f(Xs)-f(Xs-)-f'(Xs-)AXs)

f + C t

o~ C f est un processus croissant continu. Nous allons continuer A

discuter cette formule, mais auparavant, achevons la d@monstratlon

de I 0.

Tout d'abord , (11.3) red@montre l'essentiel du th.8 , A say.Jr

que fox est une semimartingale lorsque fest une fonction convexe,

ou une difference de fonctions convexes. Mais de plus, il nous donne

la partie martingale continue de foX = Y dans ce cas : c'est

/t f,(Xs_)d<XC,XC>s . Alors [Y'Y]t = /t(f'(Xs-)2d<Xc'XC>s + ~sAY~ ' 0 0

et comme <xC,xC> est continue, cela ~quivaut ~ 00.1). Le th@or~me 10

~tant vrai pour les fn' differences de fonotions convexes, il est

vrai pour f.

365 120

12 Revenons ~ la formule (11.3). Nous commen~ons par remarquer qu'elle

s'4tend - par un argument d'arr~t d4j~ employ4 ~ plusieurs reprises -

une semimartingale X quelconque. Notre but va ~tre d'4tendre ~ X la

formule de TANAKA relative au mouvement brownien :

B t = B 0 + 0

o~ L t est le temps local en 0 - il est bien connu que le temps local

ne cro~t que sur l'ensemble des z4ros de ~t ) .

A cet effet, nous 4crivons (11.3) pour les fonctions f(t)=t + ,

f(t)=t- , en notant C + et C-les processus croissants correspondants.

Par exemple, sl f(t)=t + , f' (t)=I]o,o o [

, = X+-X -(X -X )=X+-X =X- , - si Xs_>O f(Xs)-f(Xs-)-f' (Xs-)aXs s s- s s- s s s

= X + - Si Xs_ ~ , f(Xs)-f(Xs_)-f'(Xs_)AX s s

( il est difficile de prononcer mentalement la diff4rence entre X s

et Xs_ ' ). Nous pouvons done 4crire

+ + ZO<sKtlIx s >Of X X§ + (12.1) Xt=X 0 + /tIIXsO+ ->0}dXs + = _ s + ZO<s<tIIXs= -=<01 s + Ct

De m~me pour f(t)=t- , f'(t)=-I]_co ,0] -

(12.2) xt=x o - I{xs_=<oldX s + ZO<s~I{Xs_.olXs + ~O<s~Ilxs_NolX~ + C t

D'oG en prenant une diff4rence

= o

et il est naturel de poser + - I 0

(12.3) C t=C t = ~L t

o~ L 0 est le processus croissant correspondant & f(t)=It I .

Nous d4veloppons maintenant les cons4quences assez 4tonnantes de

la formule (12.1). Tout d'abord, regardons la somme -- 4-

(12.4) Zo<s< t= I iX s _>01Xs+rO<s<t I= iX s_=<Olxs

Elle est p.s. finie. Cela exprime que les sauts qui enjambent 0 enjam-

bent "de peu" 0 . Ensuite, remplas X par -X dans la formule (12.1)

Xt=X O - /tI, x <o,dX X + o+ ' s- ' s + Zo~IIxs_(ol s + ~ Ixs_~o Ix~ + g~

( ~+ est a priori distinct de C-), et prenons une diff4rence avec

(12.2). I1 vient une expression de /IiXs =oldX s :

(12.4) /t O+ I IXs_=O IdXs = ZO<s=<tI IXs_---O [~Zs + Ct-~ ~ le second membre 4tant un processus ~ variation finie ( i.e., la s4rie

est absolument convergente ). Le c~t4 droit n'a pas de pattie

366 121

martingale continue, donc il en est de m~me du c8t4 gauche, autrement

dit

(12.5) /t0 1 ~Xs =01 d<XC' Xc>s = 0

Par exemple, sl (Xt)=(Bt) , le mouvement brownien, on retrouve le fait

que l'ensemble des z4ros de (Bt) est n4gligeable pour la mesure de

Lebesgue. Mais on d4montre mieux : soit (Yt) n'importe quelle martin-

gale orthogonale au mouvement brownien, cu m~me n'importe quelle semi-

martingale dont la partie continue est orthogonale ~ (Bt). Alors l'

ensemble I t : Bt=Ytl est n4gligeable pour la mesure de Lebesgue. En

effet, appliquons (12.5) avec X--B-Y , et remarquons que <xC,xC> t =

~B,B> t + <Yc,yC> t

Maintenant, nous montrons que C + ressemble vraiment ~ un temps local,

c'est ~ dire que dC + est une mesure al4atoire port4e par l'ensemble

Is : Xs_=Xs=Oi. Consid4rons deux rationnels u et v, u<v, et soit Huv l'ensemble des

tels que [u,v] soit contenu dans I s : Xs_(~)=<O } ; d'apr~s le ca-

ract~re local de l'int4grale stochastique ( n~ 27-29 ), on a

/v llXs_>0}dX s = 0 p.s. sur Huv . Dane la formule (12.1) relative U+

l'intervalle [u,vS, on a aussi Zu<s__<vIiXs_>0~X ~ =0, X~=O,

X + X + = 0 sur Huv~ Zu<s<vIIxs_=<O~ s = v sur Huv , d'o~ finalement C+-C + = V U

Comme l'int4rieur de l'ensemble IXs___<O[ est la r4union des intervalles

[u,v] ~ extr4mit4s rationnelles qu'il contient, nous voyons que

dC~ ne charge pas l'int4rieur de IXs___<ol

En particulier, il ne charge pas l'int@rieur de IXs<O}, qui est tun

ensemble ouvert ~ gauche, et ne diff~re de son int4rieur que par un

ensemble d4nombrable ( que dC + ne charge pas non plus ). Ainsi

dC + ne charge pas [Xs~O~

De la m~me mani~re, soit Kuv l'ensemble des w tels que [u,v] soit

contenu darts I s : Xs_(~)>0}. Sur Kuv on a p.s. u+/V iiXs_>0}dXs =

Xv-X u on a X + X + IXs_>O}X X~,

C+-C + 0 p.s.. Ainsi d'o~ ~ nouveau v u =

dO + ne charge pas l'int4rieur de IXs_>O~ ( et donc ne charge

pas {Xs_>OI , qui en diff~re par un ensemble d4nombrable ) .

Pour finir, dC + est port4(e) par IXs =O} - et m~me, par cet ensemble

priv4 de son int4rleur. Comme dC + ne charge pas lee ensembles d4nombra-

bles, on peut remplacer cet ensemble par {Xs_=Xs=O} si l'on veut.

367 122

14

0 le " temps local en O" qui intervient darts Nous avons d@fini L t ,

la formuledu changement de variables relative ~ f(t)=Itl. I1 est

clair que l'on peut d~finir de m~me le 'temps local en a' , relatif

f(t)=It-a I. I1 est moins clair que l'on peut choisir des versions de

cos "temps locaux" qui d~pendent mesurablement du triplet (a,t,~) :

cola r@sultera du th~or~me de C.DOLEANS-DADE sur les int@grales sto-

chastiques d~pendant d'un param~tre, qu'on verra plus loin ( Je l'es-

p~re ). Un tel choix ~tant fait, on peut en principe oalculer tous

processus croissants. C f de la formule (11.3). Soit en les effet la

mesure positive ~ = ~f" ( d~riv~e seconde de f au sene des distribu-

tions ) . Je dis qu'on a alors (13.1) C f +co a = / L t ~(da) .

--OO Pourquoi cette int~grale a t'elle un sens ? Parce qu'en r~alit~, pour

t et ~ fixes, on a L~(~)=O pour a assez grand, le temps llocal ne com-

mengant ~ cro~tre qu'~ partir du premier instant o~ Xs(~)=a , et la

trajectoire ~tant born~e sur [O,t].

Le principe de la d~monstration est tout ~ fait simple�9 En vertu du

caract~re local de l'int~grale stochastique, on ale r~sultat suivant :

si l'on a deux semimartingales X et ~ , sur l'ensemble des ~ tels que

X.(~)--X (~) sur [O,t], tous les temps locaux L?(w) et ~a(~) sont ~gaux

sur [O,t] ( nous omettons les d@tails ). On pout alors se ramener au

cas o~ X est born@e, ~ valeurs darts un intervalle compact J. On peut

alors ~crire darts J

f(t) = ~+~t + / It-xl~(dx) = ~§ + g(t) J

et on a simultan~ment

/ L~ ~(da) : ~ L~ ~(da) puisque La:O pour a~J f J

et d'autre part C =C g , car foX et goX ne different que d'un processus

de la forme ~+~X , pour lequel aucun terme continu ~ variation born~e

n'est n@cessaire. On est donc ramen~ au cas o~ ~ est ~ support compact,

la fonction oonvexe @tant de la forme f(t)=/It-xl~(dx) - c'est alors

simplement le theoreme de Fubini.

La formule (13.1) a une cons@quence importante : lorsque f(t)=t ~, on

a C f = < xC,x c > , d'o~ la formule = ~+OO a

(14.1) < xC'xC >t L t da p.s. sur O --CO

il s'agit ici d'une identit@ entre mesures :donc si h(s,m) est une

fonction positive, mesurable du couple, on a

368 123

15

(14.2) /~h(s,~)d<XC,XC>s(~) = /+~da /~h(s,~)dL~(e) 0 -~ 0

en particulier, prenons h(s,~)= I[0,t](s)j(Xs(~)) , o~ jest mesurable

positive sur ~. I1 vient /tj(Xs(~))d<XC,xC>s(m) /+OOda jt 0 -~ 0

et comm. dLa(e), est port4, par l'ensemble { s : Xs(w)=a I, on a sim-

plement t +oo

(14.3) J J(Xs(w))d<XC,XO>s(~) = / L~(~)J(a)da 0 -~

ce qui s'4nonce ainsi : pour presque tout m, l'image de la mesure

d<XC,XC>s(m) sur [0,t] par l'application s~-~Xs(m ) est une mesure

sur �9 absolument continue par rapport ~ la mesure de Lebes~ue, dont

la densit4 .st L~(~).

0ette interpr4tation du temps local comme densit4 d'occupation

est bien connue dans le cas du mouvement brownien, o~<Xc,Xc>%=t @

Mais si l'on prend Xt=Bt-a(t), par exemple~ o6 a(t) est une fonction

variation born4e et B~ est un mouvement brownien, on a encore c c ,. .~ t .

<X ,X >+=t , d ou le meme r4sultat. Si a(t)=/ h(s)ds, ou ~s)ds<~, 0 0

alors la loi de (Xt) est absolument continue par rapport ~ celle de

(Bt) , avec une densit4 calculable explicitement ( nous verrons cela

plus tard, J'esp~re ) : il n'y a donc pas lieu de s'4tonner , puisque

les " p.s. sur O " sont les m~mes pour les deux mesures. Mais si a(t)

n'est pas de cette forme, il y a lieu de s'4tonner

Revenons aux formules (12.1) et (12.2), que nous 4crirons

+ + /t (15.1) Xt = X0 + 0+ IIXs->0}dXs + Gt

Xt = XO _ /t 0+ IIXs -<0 }dXs + Gt + +

o~ G ,st le processus croissant Z0<s=<t(Iix s >O~Xs +Iix - <0~Xs)+O t �9

Supposons que X s'4crive Xo+M+A , o~ M appartTlent & H I ~-= �9 et M0=0, ou A

est & variation int~grable, pr~visible, avec Ac=O. Alors les premiers

membres sont int4grables, les int4grales stochastiques aussi, et donc

G aussi : G t admet donc un compensateur pr4visible, que nous noterons 1 ~ o . ~t ' e~ nous introduirons de mani~re analogue le processus croissant

a pour tout ae~ . Ainsi, nous pouvons 4crire pr4visible A t /t a

(15.2) IXt-a I = IXo-al + sgn(Xs_-a)dX s + A t + martingale 0+

369 124

/ IXt-alP H

int~grons en i c - C

I c -C

puis faisone

h �9 . �9 Avec les ypotheses ci-dessus, on a EKA~] < oo I1 faut noter que

a n'est pas d~fini de mani~re absolument intrins~que : on a pris de A t

maniSre assez arbitraire que egn(0)=-1 ( continuit~ ~ gauche ) ; si

l'on avait convenu par exemple de prendre pour f' la demi-somme des

d~riv~es ~ droite et ~ gauche de f, les formules du changement de va-

riables pr~c@dentes seraient rest~es vraies ( ~ condition de modifier

simultan~ment la d@finition darts l'int~grale stochastique et darts les

sauts ~ ), on aurait eu sgn(0)=0 , et l'int~grale stochastique aurait

~t~ modifi~e d'un multiple de /t iiXs =aldXs ; le terme /t I IdMs 0+ - 0+ I

est une martingale, et n'aurait rien changE, mais A~ aurait ~t~ modifi~

d'un multiple de /tI~ idA 0 l~s_=a~ s "

a d~pendant mesurablement Admettons qu'il existe des versions de A t

de (t,a,m), et supposons que M soit une martingale de carr~ int~grable,

que A ait une ~ariation totale de carr~ int~grable, et que X0eL2.

Si He~0 , on~a

1 /tsgn(Xe__a)dX s ~IX0-al P + H jP O+ + ~- Ata p

a, d'abord de -C ~ C en nous appuyant sur les formules

It-alda = t 2 pour Itl_<C , 2CItI-C 2 pour Itl=~C

sgn(t-a)da = 2t pour Itl_~C , 2Csgn(t) pour Itl_>C

tendre C vers + co. I1 vient

j Xt2 P = / ( X2+ /t 2X s dX s + / +aOA~da )P H H O+ - -co

ou encore, avec tun peu plus d'effort ( d~calage en se~+ )

X 2 -- X 2 + 2/tx dX + / +COAada + martingale U O+ s- s _CO

que nous comparons

xt2 = x0 2 + 2/tx dX + /tdCx,X]o 0+ s- s 0+

pour d~duire que, si <X,X~ d~signe la compensatrice pr~visible de

[X,X], on a

(15.3) <X,X>t = X 2 + / +COA~da --O0

Ce qui est amusant darts cette formule, c'est que toute semimartingale

sp~ciale admet des arr~t~es satisfaisant aux hypotheses initiales du

n~ et que l'on peut donc d~finir par recollement dee proceesue pr~-

a tandis que ~X,X~ n'a de sens que pour des eemimartingales visibles A t ,

sp~ciales "localement de carr~ int~grable".

370 125

16

Lorsque X ne poss~de pas de partie martingale continue, la formule a

(14.1) montre que les temps locaux L tne servent ~ rien, et il est ten-

a On est donc amen~ ~ se demander si tant de les remplacer par les A t .

a - ~ supposer qu'il soit continu, c'est ~ dire que les sauts de X A t soient totalement inaccessibles - est port~ par l'ensemble IS:Xs=al.

S'il en est ainsi, <X,X~ sera ~galement continu, et on pourra inter- a

prater A t comme densit~ de la mesure image de d<X,X~ sur [O,t] par

la trajectoire, ~ la mani~re du n~

ll est impossible de donner une r~ponse g~n~rale ~ cette question

- apr~s tout, en th~orie des processus de Markov, il faut bien suppo-

ser que les points ne sont pas polaires, et on ne poss~de pas de cri-

t~re g~n~ral pour cela . En voici cependant l'interpr~tation probabi-

liste. Pour tout r~O, posons

T r = inf I s~r : Xs=a i

Le processus croissant G a ( formule (15.1)) ne charge pas l'intervalle

ouvert ]]r,Tr~ . Si l'on salt affirmer qu'il ne charge pas l'intervalle

r, Tr]], qui est pr~visible, on saura aussi que sa projection duale

pr~visible �89 a ne charge pas ~ r,Tr]], et en faisant parcourir ~ r

l'ensemble des rationnels, que A a ( suppos~ continu ) est port~ par

l'ensemble I s : Xs=a I. Maintenant, G a charge l'intervalle ]]r, Tr]~

si et seulement si, par exemple, Xr(~)~a et la trajectoire X.(~)

p~n~tre par un saut dans la demi-droite ouverte ]a,oo[. Pour beaucoup

de processus ~ accroissements ind~pendants, on salt qu'un tel compor-

tement est impossible. Voir par ex. dans le s~minaire V l'expos~ de

BRETAGNOLLE sur les travaux de KESTEN.

ll est tr~s vraisemblable que la formule (11.3) admet une bonne

extension aux dimensions d>1, mais je ne sais pas le prouver. Je vais

me borner ~ des r~sultats fragmentaires.

Peut ~tre est il utile de prouver ici le r~sultat, n~cessaire au

th.8 en dimension d, suivant lequel une fonction convexe sur ~d est

lipschitzienne sur tout compact. Soit B une boule ferm@e de i d , et

soit un nombre m < inf f(x) . D'apr~s le th. de Hahn-Banach, f est xeB

~gale sur B ~ l'enveloppe sup~rieure des fonctions affines h telles

que m_~h~f sur B . Ces fonctions affines forment un compact dans l'es-

pace ( localement compact ) de toutes les fonctions affines sur ~d

leurs pentes sont born~es, elles admettent donc une m~me constants de

Lipschitz K, et leur sup est aussi lipschitzien de rapport K.

371 126

17

Dans des cas concrets, il est assez facile d'4tendre en dimension d>1

la m4thode et le r4sultat du n~ Par exemple, soit ~(t) une fonction

convexe sym~trique de classe $2 sur E , telle que ~(t)=t pour ]t[~1.

En approchant la fonction f(x)=[x[ par fn(X)=~(n~D/n, on aboutit

une formule du changement de variables pour le module d'une semimartin-

gale vectorielle. Je ne peux pas en dire plus...

III. SUR CERTAINES PROPRIETES D'INTEGRABILITE UNIFORME

Voici l'origine du probl~me que l'on va traiter ici.

Consid4rons la forme la plus classique de l'in4galit4 de DOOB :

X d4signant une martingale , soit U ale nombre des mont4es ( upcros-

sings ) de X au dessus de ]a,b[ Jusqu'~ l'instant t. I1 est bien con-

nu que (b-a)E[Ua~ est une quantit4 born6e. Nous nous 4tions pos4 ii

y a six ans au moins, DELLACHERIE et moi, le probl~me de rechercher

la limite de r +s lorsque r 0 ( dans le cas o~ X est le mouvement

brownien, cette limite existe p.s., et est li~e au temps local de a ).

L'id4e naturelle consistant ~ utiliser la topologie faible de L I , nous

nous ~tions demand4 si les v.a. (b-a)U b sont uniform~ment int4~rables. a Et le r4sultat de ce paragraphe est une r4ponse affirmative ~ cette

question, sous des conditions tr~s larges. ~Lais le probl~me ne cons-

titue qu'un pr4texte pour l'4tude de l'int4grabilit4 uniforme de cer-

taines parties de l'espace _H I .

Reprenons la d4monstration classique de l'in4galit4 de DOOB. Posons

T I = inf I s : Xs=~a ~ ̂ t

T 2 = inf Is>T I : Xs~bl ^ t

T 3 = inf I s>T 2 : Xs_<al ^ t

et ainsi de suite. Consid4rons la variable al4atoire

Hba = (XT2-~I) + (XT4-XT3) +''" ( termes pairs )

Pour chaque ~, cette somme ne comporte qu'un nombre fini de termes non

nuls, dont les premiers correspondent aux mont4es de X.(~) par dessus

l'intervalle ]a~b[, tandis que le dernier vaut (Xt-XL)I A , 0~ Lest

le dernier des T2k_1 < t, et A est l'4v4nement " la trajectoire ne

remonte plus au dessus de b entre Let t ". On a donc (b-a)U b +

(Xt-XL)I A ~ Hb a , donc comme XL=~a

Uba Hba + (a-Xt)+ (b-a) ~ Hb a + (XL-Xt)I A ~ Hb + 2Xt

372 127

18

(Dans tout ce paragraphe, on emploiera la notation X t pour noter

SUPs=<t I Xsl , et X* pour X*oo )" La premiere majoration est tradition-

nelle( in~galit~ de D00B ), la seconde plus brutale ~limine compl~-

tement le rSle de a et b dans le probl~me d'int~grabilit~ uniforme,

* est int~grable, et le ram~ne ~ un probl~me sur les int~gra- d~s que X t

les stochastiques. En effet, on peut ~crire

Hb a = /otJsdXs , o~ J=I]TI,T2]+I]T3,T4]+... est pr~visible, compris entre 0 et I .

On est donc amen~ ~ se poser le problems suivant, beaucoup plus int~-

ressant que le probl~me initial ; t y est suppos~ fini :

Pour quelles semimartingales X peut on affirmer que toutes les.

int~grales stochastiques /~JsdXs , o_~ Jest pr6visible et IJl_<1, (i s.1 ) U

forment un ensemble unif_orm~ment int@grable ?

La r~ponse est tout ~ fait simple :

THEOREME. X poss~de la propri~t~ (18.1) si et seulement si la semi-

martingale arr~t~e X t s'@crit Xt=M+A, o_~ M appartient ~ H Iet A est un

processus ~ variation int~grable.

De plus, on obtien t la m~e classe d_e ~roceasus en rempla~ant dans

(18.1) " uniform~ment int~grable" oar n born~ dans L I" .

DEMONSTRATION. Quitte ~ remplacer X par X t' nous pouvons remplacer /t 0

par jco . D'autre part, en prenant J~0 pour s>0, on volt que X 0 0

doit ~tre int~grable, et on se ram~ne au cas o~ X0=0.

La propri~t~ (18.1), ou sa forme affaiblie, entralne que X est

sp~ciale. Nous utilisons le crit~re IV.32, d) . Soit le temps d'arr~t

T = infl s : IXsl__>nl A infl s : ~r=<s AX2 => n 1

Prenant J=I[0,T ] , nous avons que XTeLI , donc AXTeLI ,donc

( Zr< T AX2)I/2eLI , et X est sp~ciale.

Ecrivons alors X=M+A, o~ M est une martingale locale nulle en 0

et A un processus VF pr~visible nul en O. Soit 0)s)Une densit~ pr~visi-

ble de la mesure dA s par rapport ~ I dAsl , prenant les vsleurs +I et

-I. Soit J=IE0, s]D , oG S r~duit fortement la martingale M. Alors

dX = -s/O~ + /SldAs I" En int~grant, et en notant que le pre- 0 s s 0 0 mier terme au second m~mbre a une esp@rance nulle, tandis que le pre-

mier membre est born~ clans L I , on volt ( lorsque S~m ) que A est y~

variation int~grable. Mais alors, il est clair ~ue les v.a. JsdAs 0

373 128

sont uniform~ment int~grables, et par consequent il enest de m~me

des J~JsdMs . Prenant J=IE0,R ] , o~ Rest un temps d'arr~t, on volt 0

que la martingale locale M appartient & la classe (D), donc est une

vraie martingale uniform~ment int~grable.

Reste & voir qu'elle appartient & H I. A cet effet, d@signons par

Tune subdivision finie (tl) de [0,oo~, et d~signons par (~k(W)) une

suite de v.a. ind~pendantes , d~finies sur un espace auxiliaire~,~,~),

prenant les valeurs ~I avec probabilit~ I/2 ( fonctions de RADENACHER).

D'apr~s la propri~t~ (18.1), il existe tune constante K telle que l'on

ait, pour tout w

QJlCo(w)(Mt I (~)-Mt0(~))+" "+~n-1(w)(M~ (~)-gtn-1(~)IP(d~)--<K

Int~grons en w , ce qui revient & int~grer sur W~ par rapport

~@P , et intervertissons :

(18.2)#P(a~)J~(dw)lSo(W)()+ ~n_l(w)( )1 ~ K ~intenant, il existe un lemme classique, le lemme de EHINTCHINE, qui

dit ceci : quels que soient les nombres a i a 2 ) 1 /2

/~(dw) laoCo(")+"'+an-lCn-l(W)l ~ (ZO~<n n

en ce sens que le rapport des deux membres est born~ inf~rieurement

et sup~rieurement par deux constantes >0, ind~pendantes de n . Appll-

quant ce r~sultat & (18.2), nous voyons que ( notation S : n~ )

EE~-~)] ~ cK o~ c est une constante

et maintenant nous appliquons le n~ et le lemme de Fatou, pour en

d~duire que E L ~ ~ ~ cK , de sorte que M appartient & H I.=

La r~ciproque est sans doute plus int~ressante. Si X=M+A, oG M

appartient ~ H Iet A est & variation int~grable, les v.a. JsdAs = oo I s~ffit donc ( IJl< I ) sont toutes maJor~es par J IdAsleL . I1 nous

- 0

de montrer que toutes les v.a. JsdMs sont uniform~ment int~grables. 0

Nous allons montrer mi~ux : les v~ (J.M)* sont uniform@ment int~-

grables. Nous en donnerons une d~monstration rapide par un th~or~me

marteau-pilon, et le principe d'une d~monstration ~l~mentaire.

Rappelons le lemme de LA VALLEE POUSSIN ( Probabilit~s et Poten-

tiels, le ~d. n ~ II.22 , 2e ~d. , m~me num~ro ). Une famille de v.a~

positives Z. est uniform~ment int~grable si et seulement s'il exists z

une fonction ~ sur ~+ , convexe, croissante, telle que @(0)=0, que

limt_>~ ~'(t)=+@ , et que sup i E~@(Zi)]<~ . Quitte & remplacer

374 129

par /t~'(s)^s ds, nous pouvons supposer que @ est ~ croissance 0

mod4r4e. Appliquons ce r4sultat ~ l'ensemble constitu4 par la seule

variable int4grable ~ , et posons J.M=N. Comme nous avons

[N,N]~ [M,M], nous avons aussi E[~(j~N'~] ~ E[~(~)]. Par

consequent, d'apr~s l'in~galit4 de BLSLKHOLDER-DAVIS-GUNDY (IV.30)

E[*(N*)] ~ cE[r ind4pendamment de J

et les v~ N* sont uniform4ment int4grables.

Pour 4viter l'emploi du lemme de L-V.P., on peut proc4der ainsi.

On part de IV.29.2 ( in4galit4 de DAVIS, moiti4 facile )

P r e n a n t T = i n f { s : N ~ > X I ( = i n f I s : INsl>Xl ~ ), on a N~_~ e t

p a r c o n s 4 q u e n t , comme tT<~ } = I N ~ > X }

N* -~ > N* /2 ,donc Sur {N >2A~ on a ~ =

/ . N* P < 2c/ . = i~ >xt J~P

~'.ut~e ~art , ~ [ ~ ]~ c~[jF3], donc P t ~ > X l tend v e r s 0 l o r s q u e X -"= uniform4ment en N ( ou J ), et l'int4grabilit4 uniforme en d4coule.

19 Nous revenons maintenant au probl~me pos4 au d4but du paragraphe.

I1 r4stulte imm4diatement de la discussion du n~ que s_~iX satisfait

aux conditi0ns du th~ toutes~lesv.a. (b-a)U~ sont uniform4ment in-

2X'eL I t4grables ( maJorer le reste R~ par ).

Soit maintenant X une semimartingale quelconque, que nous 4crivons

X--Xc+M+A ( M est une martingale locale nulle en O, A est ~ VF nul en

0 ). ll existe des temps d'arr~t T n tendant vers +~ tels que

- X 0 soit int4grable sur ITn>Ol

Tn r4duise fortement M (donc M Tn appartienne ~ ~I )

- ~Tn-ldAsl soit int4grable

D4signons par L~tb ( il faut bien laisser de la place pour t ~ ) le

nombre de mont4es de X sur ]a,b[, jusqu'~ l~instant t compris : ce

sont des processus croissants continus ~ droite, nuls en O, et le

r4sultat pr~c4dent nous dit que

pour tout n, les v.a. (b-a)~T b_ sont uniform4ment int4grables n

20

21

375 130

(appliquer le th@or~me ~ la sem~m~rtingale Yt=~I|T>OJ+Mt + Atljt<T i % w - -

+ %Ilt_> l ) Oo e on U �9 Tn ~ U - + I, on a le m~me r@sultat sum n

les intervalles [O,T n] ferm~s, & condition que b-a rests borne.

Nous apportons maintenant un compl~ment au theorems 18.

THEOREME. Solt X une semimartln~ale. Supposons que pour tout proces-

sus pr~vislble J tel que JJl=<1 la v.a. ~0 %JsdXs soit int~grable. Alors

l'ensemble de toutes ces v.a. est born~ dane L I ( et alors, d'apr~s

18, X satlsfalt ~ (18.1), et l'ensemble de toutes ces v.a. est ~,n~for-

m~ment int~grable ).

OOROLLAIRE. 8oit M une martingale uniform~ment Int@grable, mals n'ap-

partenant pas ~ H I . Ii existe alors tun processus pr~visible J tel que

J JJ~1 , et que (J.M)co ~L I.

En effet, si M est uniform~ment int@grable, on peut appllquer le

r~sultat precedent ~ la (semi~artlngale X d~finie par

X s = Ms/l_ s si O=<s<1 , Xs=M0o sl s=>1

de mani~re ~ se ramener ~ un intervalle de temps fini ( bien entendu,

ll faut effectuer ce changement de temps sur les tribus aussl ). On

constrult alors un processus pr~vlslble ~ par rapport ~ la nouvelle

famille de trlbus tel que (~.X)I~LI , st on pose Jt = ~t/1+t. " Alors

on a (J.M)oo= (~.X) I , car ~.X et X sont continues au point I.

DEMONSTRATION DU TH.20. La condition de l'~nonc~ entralne que X 0

(~I{oj.X)t) est int~grable. On peut donc se ramener au cas oG Xo=O.

Puls, en arr~tant X ~ t, nous pouvons nous ramener au cas o~ toutes

les Int@grales stochastlques /co JsdX e existent et sont int~grables. 0

Oomme dane la d~monstration de 18 (~but), nous voyons que X est sp~-

clale, et consid~rons sa d~composltion canonique X=M+A ( M martingale

locale nulle en O, A pr~visible ~ VF nul en 0 ). Solt (T n) une suite crolssante de temps d'arr~t, tendant vers +oo,

tells que les v.a. /Tn jdAs I soient int~grables et que les T n r~dui- 0

sent fortement M. Soit P l'espace de Banach des processus pr~visibles,

muni de la norms de la convergence unlfo~me. Si des jkep convergent

darts P vers J, les int~grales stochastiquee /oo j dX s convers~ent en = 0 oo loo _ i t

probabilit~ vers ~ JsdXs . Pour le volt, on remarque que 0 -0

376 131

que l'ensemble ~Tn~t~ a une probabilit~ petite pour n grand, et que

sur ~Tn~t ~ les int~grales stochastiques coincident avec les int~grales

par rapport ~ X Tn , pour lesquelles on a convergence dans L I. Il en

r@sulte que la fonction r~elle positive F sur P Go

F(J) =El I foJsdXs I

est seml-continue inf~rieurement sur P ( lemme de Fatou ). Notre

h ypothese sur X signifie que cette fonction est finie sur P . D'apr~s

le th~or~me de Baire, l'un des ferm~s I J : F(J)_<n I a tun point int~-

rie~Ar, ce qui signifie que l'application lin~aire JL-~/~176 JsdX s de 0

dans L I admet un point de continuitY. Elle est alors born~e, et le

th~or~me est ~tabli.

22

IV. SUR LE THEOREME DE GIRSANOV I

Nous conservons toutes les notations pr~c~dentes, et consld~rons

une seconde loi de probabilit~ Q , ~quivalente ~ P . La famille de

tribus (F=t) satisfalt alors aux conditions habituelles par rapport

Q aussl bien qu'~ P, les ensembles ~vsmescents, les trlbus optlo~-

nelle et pr@visible sont les m~mes pour Q et pour P. Soit M la martin-

gale/P

(22.1) M t = Ep~MoolF t

o~ Moo est une densit~ de Q par rapport ~ P sur =~F . Alors, pour tout

temps d'arr~t T, M Test une denslt~ de Q par rapport ~ P sur F T . La

martingale M est positive, unlform~ment int~grable. I1 est bien con-

nu qu'une martingale positive ( ou m~me une surmartingale positive )

M garde la valeur 0 ~ partir de l'instant inf I t : Mt=O ou Mt_=O ]

( cf. probabilit~s et potentiels, VI.T15 ). Comme Q et P sont ~qulva-

lentes, M est P-p.s. strictement positive, donc pour P-presque tout

la fonction M (m) est born~e inf~rieurement sur [0,oo ] par un nombre

>0 ( elle est aussi born~e sup~rieurement par un nombre fini, mais

c'est plus banal ). Nous dirons que M est la martingale fondamentale.

Un proceseus c~dl~g X est une martingale/Q si et seulement si le

processus XM est une martingale/P. I1 en r~sulte aussitSt que X est

une martingale locale/Q si et seulement si XM est une martingale lo-

cale/P. Cela vanous permettre de d~montrer sans peine le th~or~me

suivant, cas particulier d'un r~sultat qui semble avoir ~t~ ~tabli

ind~pendAmment par divers auteurs ( sous des hypotheses variables

I. Ce paragraphe r~sulte de discussions avec C.DELLACHERIE et C,YOEURP.

377 132

23

d'"~quivslence locale" de mesures : je pense que le r~sultat le plus

complet est d~ ~ JACOD ).

THEOREME. X est une semimartingale/Q si et seulement si X est une

semimart ingale/P.

DEMONSTRATION. I1 euffit ~videmment de montrer que toute martingale

locale/Q X est une semimartingale/P. Or XM est une martingale loca-

le/P , que nous noterons Y. Autrement dit, il suffit de mcntrer que Y si Y est une martingale locale/P, ~ est une semimartingale/P. Ou

encore, que I/M est une semimartingale/P. I1 n'est pas tout ~ fait

~vident que la formule du changement de variables puisse s'appliquer

la fonction F(t)=I/t, qui n'est pas de classe =C 2 sur la droite,

mais on peut l'~tablir par l'argument de localisaticn de IV.21 ( qui

nous a permie de supprimer l'hypoth~se que lee d~riv~es de F ~taient

born~es sur ~ ). Un autre argument simple est le suivant. Soit

T n = inf I t : Mt~ I/n I

n = Mt I + MTn I Alors N n et soit N t it~Tnl _ it~Tnl . est une semimartin-

gale/P born@e inf~rieurement, et il est imm~diat que I/N nest une

semimartingale/P. Comme les T n tendent vers +Go , on peut appliquer

le th~or~me IV.33 : I/M coincide sur l'intervalle cuvert EEO,TnEE

avecla semimartingale I/N n , elle coincide donc sur l'intervalle

ferm~ EEO,TnSS avec une semimartingale, et c'est une semimartingale/P.

Soit X une martingale lccale/P . Pouvons ncus faire appara~tre

explicitement X comme une semimartingale/Q , c'est ~ dire d~terminer

un proceesus ~ VF A tel que X-A soit une martingale locale/Q , ou

M(X-A) une martingale locale/P ? Une telle d~composition fair l'objet

du th~or~me de GIRSANOV, ~tabli en toute g@n~ralit@ dane le travail

de YOEURP, auquel nous renverrcns. En voici un @nonce. Introduisons la

martingale locale/P

(24.1) Lt= jt ~s de sorte que M = Mo~(L). 0 s-

Alors, si le crochet oblique <X,I~ existe, X-~X,L> est une martingale

locale/Q, M(X-<X,I~) une martingale locale/P. Mais que peut on dire si

le crochet oblique n'existe pas ?

THEOREME. Soit X une martingale locale/P. Alors X-B est une martingale

locale/Q, o_~ (24.2) Bt = ft ~r~ ~ ] s = ft ~[X,L] s

0 s 0 X est une semimartingale sp~ciale/Q, i.e. il existe A pr@visible tel

Que X-A soit tune martingale locale/Q, si et seulement si <X,L> exlste,

et alors A_-~,I~ ~ un processus constant ~r~s.

378 133

DEMONSTRATION. I1 s'agit de trouver B tel que M(X-B) soit une mar-

tingale locale/P ~ Darts la formule d'int@gration par parties suivante,

les diff~rentielles soulign~es d'un === sont celles de martingales

locales/P

d(MCX-B))s = (X-B)s_dM s + Ms_dX s - Ms_dB s +d[M,X-BS s

Nous d~composons le dernier terme en deux : d[M,XS s - d[M,BS s , et

nous remarquons - comme Best un processus VF - que d[M,BS s se r@duit

AMsABsS s , ou encore ~ aMsdB s , qui se regroupe avec le terme en

Ms_dB s . Finalement, la propri~t~ qui caract~rise Best

(24.3) d[M,XS s - MsdB s = dY s o~ Y est une martingale locale/P

Le plus simple est de prendre Y=0, ce qui donne pour B la valeur

(24.2). Supposons maintenant que B soit pr~visible. Alors YOEURP a

montr@ ( cela revient ~ la formule d'int@gration par parties IV.38 )

que KM,BS est une martingale locale, de sorte que l'on peut souligner

d'un =~___ d~M,BS darts la formule de d@part, et qu'il reste simplement

(24.3) dEM,X] s - Ms dB s = dY s

ce qui exprime I) que [M,X~ admet une compensstrice pr~visible, donc

que <M,X> existe, 2) d'aprSs l'unicit~, que Ms_dB s = d<M,X> s saul en

0 - on n'a pas l'unicit~ compl~te, car on n'impose pas ~ YO une valeur

d~termin~e. Ces deux conditions ~quivalent a l'existence de <L,X>, st

au fait que B--<L,X> ~ la valeur en 0 pr~s.

Nous allons maintenant appliquer les r@sultats obtenus sur la

variation quadratique des semimartingales (n~176 Soit X une semimartln-

gale ( inutile de pr~ciser si la mesure est P ou Q : cela revient au

m~me ). Puisque - avec les notations de 4 - ST(X) converge en proba-

bilit~ ~ la fois pour Pet Q lorsque le pas de la subdivision �9 tend

vers 0, la limite IX,X] test la m~me pour P et Q. Mals d'autre part,

les parties martingale continue/P ( notre X c) et martingale contlnue/Q

( notre ~c) ne sont pas les m@mes, en g~n@ral, pour Pet Q, et nous

= AX 2 ~c, >t + ~s_~t s avons [X'X~t ~xC'xC>t + zs=~t s = < ~c aX 2

d'o~ une premiere cons@quence : ~xC,xC> = ~c,~c> . En particulier,

s_~i xC=0, nous avons aussi xC=o .

26

379 134

Maintenant, ~crivons ~_C+y, o~ Y est sans partie martlu~le continue/P.

Nous avons aussi X=(xc-~L,XC>)+(Y+~L,XC>). Le premier terms est une

martingale continue/Q, le second une semimartingale sans partle martin-

gale continue/Q. Autrement dit, nous avons prouv~ :

La partie martingale continue ~c de la semimartlngale X pour la loi

Q est ~gale ~ xC-~,xC> .

Nous allons maintenant ~tablir un th@or~me simple et utile, cas parti-

culler de r~sultats beaucoup plus g~n@raux de Cath. DOLEANS-DADE, que

j'esp~re que l'on verra plus loin.

THEOKEME. Soit H tun processus pr~visible localement borne, st soit X

une semimartingale ( inutile de pr~ciser si /P ou /Q ). Alors les int~-

~rales stochastlques ~X e_~t H~X prises au sens de P e_~t Q sont ~gales.

DEMONSTRATION. Ii sufflt de trait~le oas o~ X eSt une martingale loca-

le/P. Soit Y=~X . Alors Y- ~.[Y,M] est une martingale locale/Q d'

apr~s 24 : morons la ~. Comme Y=H~X , nous avons [Y,M] = H.[X,M], et

nous avons pour toute semlm~tingale/P , notre U :

Hs ~XsAMsAU s [q ,U] t= [Y - ~ ' [X ,M] ,U] t= [Y,U] t - Zs__< t Ms

: (H- [ X- ~. [X,M],U]) t = (H-[~,U]) t (car [Y,U]=H.[X,U]),

en d~signant par X la martingale locale/Q X- ~.[X,M]. Prenant pour

U une martingale locale/Q , nous obtenons la relation caract~risant

l'int~grale stochastique H~X : ainsi H~ = ~, pule comme X = X+ ~-[X,M]

= + = + : .

V. REPRESENTATIONS DES FONCTIONS BM~

Notre but dans ce paragraphe est l'extension au cas continu d'un

magnifique th~or~me de GARSIA concernant B_MO en temps di~cret : il - - r o w

s'agit de montrer que le "modUle" d'~l~ment de ~M~ donn~ au nov.2

est en fait l'~l~ment de ~M~ le plus g~n~ral ( ce n'est pas tout

fait exact, car il y a deux modules l@g~rement diff~rents : voir l'

~nonc~ precis ). Mais nous faisons de nombreuses digressions autour

de cette idle. La m~thode utilis~e est celle de GARSIA.

Nous commen~ons par un r~sultat d'analyse fonctionnelle, plut8t

amusant ( le lecteur regardera le cas particulier o~ O est r~duit

un point ~ ). Nous consid~rons tun espace mesurable (O,~) , et d~si-

gnons par ~ l'espace des processue mesurables (Xt), born~s, dont

380 t 35

toutes les traJectoires X (~) sont c~dl~g, sur [0,~] : un processus

Xe~ est donc une fonction sur [O,~[xO, mais la limite ~ gauche X _

exists ~ l'infini, et nous conviendrons toujours que Xo_=Xoo=O. Nous

posons X*(~)= suPtIXt(~) I .

THEOREME. Soit H une forme lin~aire sur ~ poss~dant la propri~t~

suivante

(27.1) Si des xne~ + convergent vers 0 en restant uniform~ment

born~s, et si X n* -~0 sur O, alors H(xn)-~O .

Alors il existe deux mesures born~es ~ e_~t 6 sur [0,~ ]~O telles

que

(27.2) H(X) = / Xs(~)~(ds,d~ ) + /Xs (~)~(ds,d~)

! 1 y a unicit@ si l'on impose ~ 6 de ne pas charger lO}xO, ~ ~ de

ne pas charger I~ }~, et ~ ~ d'@tre port@e par une r@union d@nombra-

ble de graphes de v.a. ~ositives.

DEMONSTRATION. Par un raisonnement familier, nous allons montrer d'

abord que H est difference de deux formes lin~aires positives.

Posone pour tout Xe~ + H+(X) = sup H(Y) . 0ette quantit~ est O<Y~X

finis, car simon il existerait des = = yn positifs tels que Yn_~x,

H(yn)_~n , et lee xn=yn/n contrediraient (27.1). On a ~videmment

H+(tX)= tH+(X) (t~O), et d'autre part H+(X+X')=H+(X)+H+(Y ') ( raison-

nement f~m~lier : tout ZeX + maJor~ par X+X' peut s'~crire Y+Y', o~

O~=Y__~X, Gs_Y,_~X' ) . Enfin, H + satisfait A (27.1) : sinon, il existerait

des xne~ + tels que xn*-~ 0 P-p.s., et que H+(X n) rests ~r , et l'on

pourrait treuver des yn tels que o~yn~x net H(Y n) reste ~r ce qui

contredirait (27.1). H + se prolongs alors ~ ~=~+-~+ en une forms li-

n~aire positive, on a que H+-H=H - est une forms lin~aire positive qui

satisfait ~ (27.1). On pose IHI--H++H - , et on rappelle que ( par un

raisonnement classique )

sup H(Y) si Xe~ + IHI(X) = IYi=~x

Consid6rons l'ensemble W form~ des ~l~ments de [O,oo]x~I+,-~ qui

sont, ou de la forme (t,m,+) avec _O~t<~ , ou de la forme (t,~,-) avec

O<t~ . Si C est une partie de [0,oo lEO, nous notons C+ la partie de

W form~e des (t,~,+) tels que _O<t<~, (t,~)eC , et C_ l'ensemble des

(t,m,-) tels que O~t~@ , (t,m)eC . De m~me, sic est une fonction

38! 136

sur [O,co ]~q , c+ est d4finie sur W par c+(t,~,-)=O, c+(t,~,+)=

c(t,~), et c par c~t,m,+)=O, c_(t,m,-)=c(t,~) - o'est le prolonge-

ment aux fonctions de la notion pr4c@dente pour lee ensembles. Enfin,

sl X est un processus appartenant & X , nous lui associons la fonc-

tion X sur W d4finie par

~[(t,~,+)= Zt(m ) , X(t,m,-) = X_(m)

( cela expllque pourquol nous avons des notations en + et - ' ). Nous

d4signons par ~ l'ensemble des X , XeK , et par __W la tribu engendr4e

sur W par ~ . I1 est clair que ~ est un espace vectorlel, stable pour

lee op4rations ^ et v , contenant lee constantes, et que X~-> ~ est

une biJection de ~ Bur ~ . Nous pouvons donc d4finir tune forme lin4-

airs ~ Bur ~ par la relation ~(~)=H(X). Nous d4montrons :

LEMME. I1 existe une mesure born@e ( sign4e ) v unique sur (W,=W) tel-

ls que H(X)=~(~) pour tout Xe~. La mesure associ@e & la forms lin4aire

IHI est alors @gale & I~I-

Pour prouver l'existence, nous pouvons supposer H positive ( nous

en d@duirons l'exietence pour H quelconque par diff@rence, et l'unl-

cit@ est une cons4quence f~mlli~re du th4or~me des classes monotones :

deux mesures born@es @gales sur ~ r4tlcul4 sont @gales sur la tribu

engendr4e ). Tout revient & prouver que si H est positive et satisfait

(27.1), alors ~ satisfait & la condition de DANIELL : si des ~ne~

tendent vers 0 en d@croissant, alors ~(X n) ~ O. Introduisant les X n

correspondants, et utilisant (27.1), il nous suffit de montrer que

X n* ->0 . Or soit me~ et Kn(~)= ~te[O,co ] : X~(m)>r ou X~_(~)>r ;

les Kn(~) sont des compacts qui d4croissent, et la condition lim n ~n

=0 entrains que l'intersection des Kn(~) est vide, donc Kn(m)=~ pour

n assez grand, quel que soit s, et cela signifle que xn*(w)~O .

La derni~re phrase de l'4nonc@ se lit ainsi : si ~ est une mesure

sur la tribu _W engendr4e par ~ r4ticul@, alors pour touts fe~ + on

a I~I (f) = sup _ ~(g). Ce r4sultat devrait figurer dane tous

les bone trait4s d'int4gration, mais il ne figure m~me pas darts lee

mauvais.

Notre problems consiste maintenant ~ ramener , cur [O,co ]xO. A cet

effet, nous raisons lee remarques suivantes.

a) 8oit 8 une fonctlon F=-mesurable positive, et soit [S] son graphs.

Alors Is]+ et [S]_ appartiennent & W. En effet, solt X l'indicatrice

de [8,S+s[ ; X appartient ~ K, ~ est l'indicatrice de [S,S+e[+ U

]8,S+e]_ , qul appartient donc & W , apr~s quoi on passe

2"(b

382 137

l'intersection sur s=I/n et il vient que [S]+e=W . On traits l'autre

cas en regardant [(S-c)+,S[.

b) Si O est une partie mesurable de [0,00 ]x~ , alors C+UO_ e __W .

Pour voir cela, il est plus simple de montrer que sic est mesurable,

alors c++c_ est ~-mesurable. En effet, il suffit de v4rifier cela pour

des fonctions c qui engendrent la tribu B([O,oo ])• , et nous choisis-

sons les prooessus mesurables X ~ traJectoires continues . Alors

X++X_ = T, et c'est 4vident.

LEMME. ll exists trois mesures ~+,~_,~ sur [0,co ]xO , p oss4dant les

propri4t4s suivant es

I) ~+ est port@e par [0,oo [xO, et par une r4union d4nombrable de

graphes. Pour tout graphe [S] on a ~+([S])=v([S]+).

2) ~_ est port4e par ]0,oo]>61, et par une r@upion d4nombrable de

graphes. Pour tout graphe IS] on a ~_([S])= v([S]_).

3) ~ ne charge aucun graphe.

4) Pour tout XeX, on a

(27.3) H(X) = /~(~)~dt,d~) + /Xt(m)~(dt,d~)+ ]X%_(m)~_(dt,du)

De plus, ces mesures sont uniques, et les trois mesures associ@es

la forms lin4aire IHI sont ~+i,l~_l,l~l �9

Oonstruisons par exemple ~+ . 0onsid~rons tune smite (8 n) de v.a. tel-

le que la mesure de ~+ = nU[Sn]+ pour la mesure I~I soit maximale.

Quitte ~ remplacer S n par +co suriU<nISi=Sn~, on peut supposer que les

graphes [SnS sont disjoints dans [0,00 [xO . Nous posons

~+ = IG+.v �9

Puisque ~+ est port4e par G+ c ([0,00 ~xO)+ , ce dernier ensemble est

~+-mesurable et porte ~+ . Pour tout O mesurable dane [0,~ ]xO, C+

est l'intersection de C+ O C_ avec un ensemble portant ~+ , et nous

pouvons d4finir une mesure ~+ en posant

~+(c) = ~+(c+uc_) = ~+(c+) .

On v4rifie aussit8t que ~+ est port4e par la r4union des [S n] st

satisfait ~ I), en raison du caract~re maximal de G+ . La construction

de g_ et v_ est exactement semblable. Nous posons enfin

=~-~+-~_ , ~(c) = ~(c+ uc_) .

V4rifions (27.3). Le seul point d41icat est celui des notations.

38;3 138

28

Notons u la fonction (t,~)~->Xt(~) , v la fonction (t,m)~-~Xt (m).

Alors ~=u++v_ et nous avons

HCX) = ~(Y) = (~++;+~) (u++v)

Nous d~veloppons : ~+(u++v)=~+(u+)=~+(u ). De m~me, ~_(u++v_) =

~_(v). Enfln , u et v ne different que surune r~union ddnombrable de

graphes, et ~ ne charge aucun graphe IS]_ , doric ~(v_)=~(u_) st l'on

a ~(u++v_)=$(u++u_)=~(u). Ainsl H(X)=~+(u)+~(u)+~_(v), et c'emt (27.3).

I1 ne rests plus qu'~ poser a~p++~ , ~=~_ pour avoir (27.2).

Remarque. Seule la phrase soulign~e ci-dessus a servl : il importe peu

que ~ charge des graphes [8]+. La d~composltlon au moyen de p+ n'a

donc servi ~ rien, il suffit d'isoler ~_ .

Achevons la ddmonstration du lemme, et donc du th~or~me. Nous lals-

serons de cSt~ l'unicit~. Quant ~ la derni~re phrase, ll suffit de

remarquer que la d~compositlon de Hen deux formes H + et H- correspond

celle de ~ en les mesures ~trangeres ~ et , et que les couples

+ - , (~_,~) , (~ ,~-) sont dee couples de mesures de mesures (~+ ,~+) +

positives ~trang~res, fournissant ainsi les ddcompositions canonlques

de ~+,~_,~.

REMARQUE. Oette d~monstration est en substance cello par laquelle

Catherine Doldans ~tabllt l'existence de la d~composition des surmartin-

gales. Voir le nO30.

L'application ~ B=MOrepcse sur le corcllaire suivant, dane lequel

(O,~) est ~ nouveau muni d'une loi de probabilit~ P.

THEOREME. Supposons que la forme lindaire H du n~ satisfasse ~ la

condition

(28.1) IH(X) I ~ cEEX*] s i Xe~ Elle admet alors la repr@sentation

(2~.2) H(X) = ~0 XtdAt + ~ ] Xt dBt ,m E ]0,co -

o~ A e_~t B so n~ deux ~rocessu~ ~ variation intd~abl~s non ad~ptds,

A non n~cessairement nul en O, B nul en 0 et pouvant sauter ~ l'infini,

purement disqontinu, Aet B ~tant de plus ~els que

(2~.3) { ] ldAsl+ldBsl < c P - ~ . s . 0 , 0 0 =

384 139

29

DEMONSTRATION. Commen~ons par le cas o~ H est positive. Alors (28.1)

entralne (27.1), et H admet la repr4sentation (27.2). De plus, si

U est un 414ment P-n4gligeable de F= , Xt(~)=Iu(~ ) d4finlt un proces-

sus c~dl~g, tel que X*=0 P-p.s., donc H(X)=O, et l'on voit que ~ et

ne chargent pas les ensembles @vanescents, d'o6 la repr@sentatlon

(28.2) d'apr~s le chap.I, n~ Enfin, si Xt(~)=U(~) est un proces-

sus c~dl~g, constant en t, on a X*=IU I , et la relation (28.1) s'4crit

EK(Aoo+Boo )US < eE[US si U>=O est born4e, d'o~ (28.3).

Si H n'est pas positive, nous 4crivons que pour Xe~ +

IHI (X) = sup H(Y) Y parcourant l'ensemble des 414ments de X Y maJor4s par X en valeur absolue

Alors IHI (X) =< c.supy E[Y*] = cEKX*]. I1 en r4sulte ~ nouveau que l al

et 161 ne chargent pas les ensembles P-4vanescents, d'oG les repr4sen-

tations (28.2) pour H et IHI, les processus associ4s ~ IHI @rant

/tldAsl et /tldBsl. I1 ne reste plus qu'~ appliquer le cas pr@c@dent, 0 0

la forme lin4aire positive IHI.

Voici le th4or~me de GARSIA, 4tendu au cas continu :

THEOREME. Soit M une martingale telle que IIMIIBMO <I �9 II existe alors

tun processus ~ variation int4grable adapt4 (Jt~, tel que

IdJslIFT]_ < c pour tout t.d'a. T . (29.1) E[ ~ {T,oo [

et u~ processus ~ variation int4~rable pr4visible (Kt), nul en O,

pouvant sauter & l'infini,

( 2 9 . 2 ) IdXsl I=F ] __< o , ]~,m ]

tels que l'on sit

(29.5) Moo=Joo + K

DEMONSTRATION. Ddfinissons une forme lin4aire H sur l'espace des

martingales born4ee en posant

H(X) = E[XooM ~ ] si X est une martingale born4e

Comme M a une norme BMO < I, que BM0 est le dual de H I, et que H I

peut ~tre d4fini par la norme E[X*] (V.33), on a IH(X) I< cE[X*].

Grace au th4or~me de HAHN-BANACH, nous savons que H est prolongea-

ble & K suivant une forme lin4aire satisfaisant ~ la m~me in4gallt4,

que nous noterons encore H, et qui admet une repr4sentation donn4e

par le th4or~me 28. Alors, avec lee notations de ce th4or~me, nous

avons pour toute martingale X born4e

385 140

3O

E[XcoMoo ] / XdA +/ X dB ] ~[[o,=[ s s ]o,=] s- s

N~

Soient respectivement J la projection duale optionnelle de A, K

la projection duale pr~visible de B. Comme les variations totales

de A et de B sont born~es par c , nous avons (29.1) et (29.2).

D' autre part, la formule pr6c~dente s'~crit

~ . [ x M o ] = E l / X_d~ + 1 x d~ ] = ~.[xGo~| +x~oKoo ] [0 ,oo [ ~ s ]0,oo ] s - s

d'o~ (29.3), Xco~tant une v.a. born~e arbitraire.

REMARQUE. Dans le cas discret, Xn_ est la valeur de X ~ l'instant

n-l, de sorte qu'on peut faire entrer le second terme dans le premier,

l'exception de l'int~grale portant sur Ioo I. Ainsi, on peut r~duire

B ~ son " saut & l'infini", et la condition (29.2) exprime simplement

que ce saut est borne. Ainsi, dans le cas discret, Koo peut ~tre pris

simplement ~gal ~ une v.a. born~e. On obtient alors la forme indiqu~e

par GARSIA dans [21], th.II.4.1, p.48 (I)

Nous nous engageons maintenant dans des digressions au sujet du

th~or~me 27, apr~s quoi nous reviendrons au probl~me de representation

de BMO .

APPLICATION A LA DECOMPOSITION DES SURMARTINGALES

Nous allons regarder de pros la m~thode qui nous a conduit aux

th~or~mes 27 et 28, et l'utiliser ~ d'autres fins que la representa-

tion de BMO : elle permet en effet de d~montrer rapidement des th~or~-

mes de d~composition des surmartingales.

Nous fixons d'abord nos notations. Nous d~signons par X une surmar-

tin,ale forte optionnelle, positive et appartenant ~ la classe (D).

Autrement dit, X est un processus optionnel positif, satisfaisant ! A

l'in~galit6 des surmartingales pour les temps d arret

si ~ , Xs~E[~I~s] p.s. ( avsc la convention X =0 )

et telle que toutes les v.a. XS, oG S parcourt l'ensemble des temps

d'arr~t, soient uniform~ment int~grables. Soulignons que ces hypothe-

ses n'impliquent aucune esp~ce de propri~t~ de continuit~ de X, nl

que X soit un potentiel au sens usuel de ce terme.

(I) J'en profite pour remercier R.CAIROLI, grace ~ qui J'ai maintenaut

un exemplaire de [21] ( cf. p.91 ).

3Oa

31

386 141

Une variante de cette d~finition est celle des surmartingales for-

tes pr~visibles. , processus pr~visibles positifs (Xt)te~+_ , satisfai-

sant a Xs~E[XTJFs_~ ( avec la convention Xco=0 ) si S st T sont deux

temps d'arr~t pr~visibles tels que S=~T. Ces processus sont assez peu

utilis~s, et c'est malheureusement ~ eux que s'applique directement la

m~thode du th~or~me 27. Pour traiter lee surmartingales fortes option-

nelles, il faut travailler sur lee processus c~., non c~dl~g. Cela

va nous obliger ~ de nouvelles notations.

Nous d~signons par ~o l'espace des processus c~dl~g, pr~visibles

~l~mentaires , i.e. l'espace vectoriel engendr~ par lee processus

IES,T C sur Co,~ C>~ , o~ set T sont deux temps pr~visibles tels que

=S~T - je devrais ~crire ~S,T[[, mais c'est trop compliqu~. De m~me ,

s sera l'espace vectoriel engendr~ par lee processus c~l~d, pr~visi-

bles ~l~mentaires sur [0,oo ]xO, c'est ~ dire par lee Iio~• A (AeF O) et

lee I~S,T ~ , o~ Set T sont deux temps d'arr~t tels que ~ ( rioter,

pour la m~moire, que ~ est l'initiale de ~dl~g et s celle de s ")

Un ~l~ment U de s s'~crit de mani~re unique

(30.1) U = aoI{ojx A + Z n J=1 ajl]sj,Tj]

oG n est fini, ao,...,a n sont des constantes, A appartient ~ _F_ O,

lee Si,T i sont des temps d'arr~t tels que $I_<TI~$2... ~ Sn=~ n , avec

O~S I , Si~T i sur ISi<oo I. Nous d~finissons alors une forme lin@aire

H sur s en posant

(30.2) H(U) = ao~ A XoP + Zj ajECXsj-XTj]

H est manifestement positive. Nous voulons d~montrer d'abord

LEMME. I1 existe deux mesures positives ~ et ~ sur Eo,~ ~>d~ , ne

chargeant pas lee ensembles ~vanescents, telles que pour Ue~o

(30.3) H(U) = {O,ooExO Ut+(~)~(dt'd~)+~O,co Ix OUt(m)~(dt'd~)

I1 y a pour cela deux m~thodes : l'une est celle de C.DOLEANS-DADE,

l'autre passe par lee espaces d,0RLICZ, et elles sont toutes deux

assez int~ressantes.

PREmiERE METHODE. Nous reprenons la d~monstration de 27, en munissant

CO, co I• de la tribu ]0r~visible P . Nous d~doublons l'espace comme au

n~ et munissons W de la tribu W engendr~e par lee fonctions ~, o~

387 142

Ue~o et

U(t ,~ ,+ ) = ut+(~) , ~ ( t , ~ , - ) = ~ t (~ ) . Nous v4rifions comme aux pages 136 et 137 que

a) Si S est un temps d'arr~t , IS]+ appartient ~ ~ ( U=I]s,s+s ] appar-

tient ~ s ,donc [S,S+s[+U]S,S+s] appartient ~ W, et on passe ~ l'

intersection en ~ ), et si S est un temps d'arr~t pr4visible, [S]

appartient ~ W ( sl S nest une suite annongant S, U=I]Sn,S] appartient

s et on raisonne comme ci-dessus ).

b) Si C est un ensemble pr4visible, C+UC_ appartient ~ ~ . I1 suffit

de le v4rifier pour des g4n4rateurs de la tribu pr4visible. Pour ceux

de la forme C=~01xA (Ae~0) on a C+UC_ = [S]+ , oG S est le temps d'ar-

r~t qui vaut 0 sur A, +co sur A c, et b) r4sulte de a). Pour ceux de la

forme O=]O,S] , on a O+UO_ = ]O,S]+u]o,s]_ = ( [O,S[+U]O,S]_)U[S]+\ [O]+, et on applique ~ nouveau a).

Nous construisons ensuite une mesure ~ sur W repr~sentant H : H(U)=

~(U) pour Ues , ~ la mani~re du lemme 27a, p.136 . Comme tout est

positif, il suffit de v4rifier la condition (27.1) sous la forme

si des processus unes tendent en d4croissant vers O, de tell~

sorte que un*-~ O, alors H(un)--> 0 ,

qui suffit ~ entra~ner la condition de DANIELL sur W. Pour voir cela,

nous pouvons supposer tousles U n born4s par I. Posons S n = inf ~ t :

U~> a I : le fair que les U n* tendent vers 0 signifie que pour tout s

les S n croissent vers +~, et que POur tout w Sn(W)=+~ pour n grand

Nous avons d'autre part un~e sur [O,S n] par continuit4 ~ gauche, donc

~(u n) ~ ~(I) + ~(I]Sn,~]) = ~(1)+~[Xsn]

Et maintenant E[XSn]~ 0 par l'int4grabilit4 uniforme des XSn . Le

reste de la d4monstration se poursuit comme au n~ La mesure ~_ se

d4finit sur la tribu pr4visible, mais il y a tune nuance int4ressante :

la tribu optiormelle est engendr4e par la tribu pr~visible et les

graphes [S] de temps d'arr~t. Ayant form4 v'=v-v_ , qui ne charge

aucun graphe [S]_ , o~ S est pr4visible, nous remarquons que toute

r~tmion d4nombrable de graphes [Sn] - , o~ les S n sont des t.d'a. ~uel-

conques , est int4rieurement ~'-n4gligeable. Nous pouvons alors 4ten-

dre ~' enune mes. ~ pour laquelle les graphes IS]_ sont n4gligeables.

Mais alors, C+UC_ est T'-mesurable pour C optionnel , et les mesures

~+, ~ se trouvent d4finies sur la tribu optionnelle. Ainsi :

32

388 143

il existe deux mesures positives born@es a ( sur la tribu optionnelle,

ne chargeant pas {co ~xO ) ~ ( sur la tribu pr@visible, port~e par une

r~union d@nombrable de graphes pr@vislbles, ne chargeant pas {OJxQ )

telles que pour Ues

H(U) = (O, oo[~t+(~)~(dt,d~) + ~O,a0 ])~0 Ut(~)~(dt'd~)

et il y a d'ailleurs unicit@. Ces mesures ne chargeant pas les ensem-

bles @vanescents, nous pouvons les @tendre ~ la tribu B(~O,~o])x__F en

deux mesures - encore not@es e st ~ - dont la premiere est compatible

avec la projection optionnelle, la seconde compatible avec la projec-

tion pr@visible. Notant A et B les deux processus croissants continus

droite correspondants, le premier optionnel, le second pr@visible,

nous avons pour Ues

(31.1)H(U) = E[ ~O,ooE Ut+(m)dAt(~) + ~0,oo] Ut(*)dBt(m) l

soit, en prenant U=I]T,o o ]

(31.2) EFXT] = E[(Aco+BOO )-AT_-BT]

puis, en remplagant T par T H , HeF T

(31.3) ~ = E[A +BooIF__T ] - AT_ -B T

ou i! martingale c.~.d, unif. int@grabls (31.4) X t = M t - At_ - B t processus croissant c.O.d, adapt@

processus croissant c.O.d, pr@visible purement discontinu

O'est la d@composition de MERTENS. Exactement de la m~me mani~re, mais

un peu plus ais@ment, on obtient la d@composition des surmartingales

fortes pr~visibles I M martingale c.O.d, unif. int@grable

(31.5) Xt = Mt- - At - Bt- A processus croissant c.O.d, pr~vis. B processus croissant c~ pr~vis.

purement discontinu

Personne n'a encore rencontr~ ces surmartingales l~ '

SECONDE METHODE. Elle consiste g @viter les raisonnements ,analogues"

ceux du th.27, mais plus ou moins d@licats, en se ramenant directe-

ment ~ 27 par une application du th@or~me de HAHN-BANACH. Nous utilise-

rons les r@sultats sur les espaces d'ORLICZ pr@sent@s dans NEVEU, mar-

tingales ~ temps discret, p.193-200.

389 l,$4

32a

Nous utilisons le lemme de la VALLEE-POUSSIN ( Probabilit~s et

potentiel, chap.II, nO22 : toutes les variables al~atoires X T , o~

Test un temps d'arr~t arbitraire, ~tant uniform~ment int~grables,

il existe une fonction de YOUNG @ sur ~+ ( fonction convexe, croissan-

te, telle que ~(0)=0 et limt~o @(t)/t = +oo ) telle que

(32.1) suPT E[~oXT] < I .

Rappelons que, pour toute v.a. f , Hf~ = inf{ a : El0( f~a )]<I~ < +@

est la norme dans l'espace d'ORLICZ L~ Ainsi, (32.1) s'~crit aussi

SUPTJ[~H~<1 . Nous d~signons par Y la fonction convexe conJugu~e de

@, st rappelons l'in~galit~ E[[fg[] =< 211fH~1!g~. D'autre part, nous

d~signons par a(t) une fonction de YOUNG sur ~+, telle que

(32.2) /+co dt 1 a--"("~ < + c o

par exemple, a(t)=t I+~, et nous posons F=~oa, qui est encore une fonc-

tion de YOUNG. Quitte ~ remplacer ~(t) par un multiple de @(t)+t sa-

tisfaisant encore ~ (32.1), nous pouvons supposer 0 ( et donc ~ )

strictement croissante, ce qui simplifie la d~monstration du lemme

suivant ( les notations sont celles de 31 ).

LEM~. H est born~e sur l'ensemble des Ues tels que ]IUHF < I .

DEMONSTRATION. Nous pouvons nous borner aux U positifs. Pour tout

t>0, nous d~signons par S t le temps d'arr~t

(32.3) S t = inf { s : Us>t

de sorte que ( la continuit~ ~ gauche de U ~ l'infini est utilis~e ici)

(32.4) {St<| i = { ~>t l

Regardons la forme (30.1) de U : l'ensemble {(s,~) : Us(~)>t} est

r~union de certains des ensembles IOI• ]Sj,Tj], et il en r~sulte

que son indicatrice appartient ~ s I1 est alors imm~diat de v~rifier

que

(32.5) H(U) = fco /co Jxst 0 H(I{u>t})dt ~= 0 dt P

Nous reviendrons sur cette formule dans une autre digression. Pour

l'instant, nousfcoupons~ l'int~grale en ~/IdtfXstP' que nous majorons

par E[X O] , et . Darts ce second terme , nous ~crivons I

E[Xs t ] = E[XstI {U*>t } ] < 2~Xs t [I~ II I {U*>t } J~

~90 145

33

En d~finitlve, compte tenu de (32.1), il nous Suffit de montrer que

leo II Iiu.>t~llw dt est borne. Or la d~finition de II ~ rappel~e plus I

haut montre que

(32.6) II I ~U*>t ~ I ~ =

P t~*>t I) o~ f-1 est la fonction r~ciproque de ~, strictement croissante. Par

hypoth~se, nous avons E[FoU*] < I, donc PIU*>t~_< I d'oG successi- r-~) ,

vement : I/PI ~ __> F(t) , W-I(I/P I I) => ~-X(F(t)) = a(t), et enfin

(32.7) Ip fu.>t i II --< a - ~ et l'h " ypothese (32.2) est Juste ce qu'il nous faut Le lemme 32a est

prouv~.

Maintenant, la fin de la d~monstration est tr~s simple par la secon-

de m~thode. D~signant par ~ l'espace de tousles processus c~glAd.

( non adapt~s ), nous prolongeons la forme lingaire H sur s , born~e

pour la norme U~-~ II U*IIF , en une forme lin~aire sur s de m~me norme

- encore notre H . I1 est imm~diat que cette forme satisfait ~ (27.1),

d'o~ l'existence de deux mesures eo et ~o telles que sur s

= § ]

e'est ~ dire, le lemme 30a. Pour aboutir ~ (31.1), qui est notre but,

nous prenons les projections optionnelle ~ de ~o , prgvisible ~ de

8o , et les processus croissants assoei~s.

Mals la seconde m~thode donne aussi des in~galit~s int~ressantes.

Introduisons le processus d~croissant non adapt~

(33.1) D t = (A~+B~) - A~_ -B~

- qui n'est d'ailleurs continu, ni ~ droite, ni ~ gauche - oG A~ et

B~ sont les processus croissants non adapt~s associ~s aux mesures ~o

et Po. Ce processus d~croissant admet X comme projection optionnelle.

D'autre part, en prenant pour U dans (32.8) un processus const~mment

~gal ~ une v.a. positive u, nous obtenons que

E[Dou] =< cllu~F , oG c est la norme de la forme lin~aire H

et cela entra~ne que D O est darts l'espace d'ORLICZ associ~ ~ la fonc-

tion de YOUNG conJugu~e de F, qui est "~ peine moins bonne" que i. On

34

391 146

peut avoir des r~sultats plus plaisants en raisonnant direotement

sur X, au lieu du '~nodule d'int~grabilitg" ~ .

Soit Y une v.a. intggrable, telle que le prooessus X soit maJorg

par la martingale continue ~ droite E[YI__F t] - il exlste toujours de

telles v.a., par exemple la v.a. A ~ +B~ ou A +B , construite (D ' CO

pr~c~demment. Reprenons maintenant la formule (32.5), en l'~crivant

(33.2) H(U) -~ E[ v ~C~ ]

Nous avons St= inf I s : Us>t ~ = inf I s : Us>t ~, oG ~s s'obtient

en rendant continu ~ droite le processus sup U r . Alors il est bien r<s

connu que l'on a aussi

c~ Xstdt E[/coX 0 s dU*] s oo (33.3) H(U) < E[f ] = < E[f Y dU* ] = 0 = 0 s s

= ] = ~.[YU*] 0

Maintenant, l'application U~-~E[YU*] est une norme sur % , et la forme

lin~aire H sur s a une norme au plus ~gale ~ I. Elle se prolonge donc

en une forme lin~slre sur % de norme au plus ~gsle ~ I, qui satisfait

(27.1), d'o~ deux mesures - nous les noterons encore do et ~o , pour

ne pas encore avoir de nouvelles notations - et nous introduirons les

processus croissants non adaptgs correspondants A ~ et B ~ et le proces-

sus d~croissant (Dt) de (33.1). L'in~galit~ (33.3) appliqu@e ~ un

processus U constamment ggal ~ u nous donne

(33.4) E[u(A~+B~)] < E[Yu]

et cola entralne A ~174 +B~ =< Y p.s.. Nous avons d@montr~ le thgor~me

suivant, conjecturg par GARSIA, d~montrg darts le s@minaire VIII, p.

310, par une mgthode enti~rement diff~rente1:

THEORE~ ~,. Soit X une surmartingale forte optionnelle, major~e par une

martingale continue ~ droite E[YIFt]. Alors X est projection optionnel-

le d'un processus d@croissant non adapt~ (D t) majorg par Y.

Par exemple, si X* est int@grable, on peut prendre Y=X* .

I. L'emploi d'une formule exponentielle un peu myst~rieuse (explicite). Seul le cas des surmartingales continues ~ droite est trait~ darts le s~minaire VIII. Voir dams ce volume p.503-504.

35

36

392 147

Ce th~or~me, et le th~or~me de representation de BM__0 que nous

avons vu, permettent d'envisager la dualit~ entre H1-et BM___O d'une

un peu diff@rente. Nous savons que si M appartient ~ H I, mani~re N

BM_~O, le produit MooNoo n'est pas n~cessairement int~grable, et il

s'agit de donner un sens au symbole "E[McoNco ]" . La m@thode employ@e

plus haut consistait ~ l'interpr@ter comme E[[M,N]oo ] (V.10). Ici,

on proc~de ainsi : on @crit Nco comme Aco+Bco, oG A est un processus

VI optionnel ( sans saut ~ l'infini ) et Bun processus croissant

pr@visible ( nul en O, pouvant sauter ~ l'infini ). Si M est une mar-

tingale born@e, on a

(35.1) E[Mc~176176 ] = E[Mc~ (Ac~176176 [ MsdAs + ~0,~ ] Ms-dBs]

Soit maintenant un processus ~ VI non adapt@ A ~ ( ne sautant pas

l'infini ) admettant A comme projection duale optionnelle, et soit

B e non adapt~ ( nul en 0 ) admettant B comme projection duale pr@vl-

sible. Nous avons alors aussi

[MsdA M dB ~ ] (35.2) E[Mc~176176 ] = E[~O,~ s + ~0,oo] s- s

Mais cette expression peut avoir un sens sans que le premier membre

en ait un. Par exemple, si ELM*( _ {O,oo]IdAsl+IdBsl)] < co. On peut

affirmer l'existence de deux tels processus A ~ et B ~ sl la surmartin-

gale forte

(35.3) xt = ~[ L Id%l+/ l~sl IF=~] L~,~ [ ]~,ao ]

est msjor~e par une martingale E[YI=F t] , oG E[M*Y]<co - car alors on

peut trouver A e et B ~ tels que la somme de leurs variations totales

eoit __< Y. O'est pr~cis~ment ce qui arrive lorsque M appartient ~ H I

(M'eL I) et N ~ BMO ( Y=Cte ), et un passage ~ la limite sur (35.2)

partir du cas o~ M est de carr@ int~grable - ou m~me born~e- mentre

que l'on obtient ainsi la bonne forme bilin~aire sur HIxBMO.

UNE REMARQUE SUR LES THEOREMES 18-20

Nous allons conclure ce paragraphe en indiquant comment lee th~or~-

mes 18 et 20 conduisent '~resque" ~ une seconde repr~sentatlon des

@l~ments de B M__O . Bien que lee essais dane cette direction aient @t@

infructueux, ils ne me semblent pas d~pourvus d'int@r~t.

393 ~ 8

Nous d@signons par ~ l'espace des processus pr@visibles born~s J, j*

avec la norme ~(J) = sup ess ( nous voulons ~viter la notation llllco,

car nous aurons aussi des v.a. Leo ttu peu partout ). De m~me, si Lest

une martingale bernie, ~(L) sera sup ess L* ( • IILoolIoo ~ Illustra-

tion de ce que nous voulons ~viter ). Soit MeH I ; alors nous avons

pour toute martingale N=J.M oG ~(J)~1 , [N,N]oo~ [M,M]co , donc IINII~I

, et finalement , la norme HI ~tant plus forte que la norme <= IIMIIH1 . r , 1 -

su~ II(J.M)m II 1 ~ ollMll

ou encore

(36.2) su~ IE[(J.M)| L| ]1 < olIMIIH1 ~(J ~1 = =

~(L)~I

Mais inversement, le cSt~ gauche de (36.2) ou (36.1) est une norme

~quivalente ~ la norme HI . Pour le voir, il suffit de reprendre le

raisonnement de 18, en regardant seulement les J de la forme I~0 ~ +

Z i si(w)I~ti,ti+1 ~ relatifs aux subdivisions dyadiques de la droite,

avec des e i al~atoires, et en appliquant le lemme de KHINTCHINE .

Soit maintenant K l'ensemble des martingales de la forme J.L, J

parcourant la boule unit~ IJ : ~(J)~11, et de m~me L la boule unit~

~L : ~(L)~I ]. On a pour toute martingale Me~ I

(36.3) IIMIII < c sup ~ [ ( J . M ) ~ | ] = e sup ~ [ M (J.~)| ] = ~(J~<1 " "

= ~ (L )~ I : c sup E[M mNco]

NeK

Les I I ont ~t~ enlev@es ~ dessein ~ Soit alors B une martingale

I . Pour toute martingale MeM nous avons, en telle que IIBIIBMO = =

d~signant par (,) le produit scalaire dans l'espace de Hilbert

I (B,x)I=l~[~oo

ici la constante

espaee de M qui

avec sup (N,M) NeK

M| ]I < ell~IBMolIMli~1 < a sup (M,~) = === - = NeK

c varie de place en place. Cela signifie qu'un demi-

contient K ( il est de la forme I Ue~ : (U,M)~ I I,

I contient la martingale B/c . Autrement dit

394 149

Tout 414ment de BMO de norme < I/o appartient ~ l'enveloppe convexe

ferm4e de K darts M . m

On voit donc qu'en un certain sens les int4grales stochastiques

de processus born4s par rapport ~ des martingales born4es sont bien

des modules d'414ments de B=M~ suffis~mment g4n~raux. Mais K n'est pas

un ensemble compact darts M ( semble t'il ), et on ne peut d4duire du

r4sultat pr4c4dent une repr4sentation des ~14ments de BM~ au moyen d'

une mesure Bur K.

FIN DU 00URS POUR L,ANNEE 1974-1975

Am c e u r s d ' u n voyage ~ P a r i s ( J a n v i e r 1976 ) , j ' a i a p p r i s que d e s r 6 s a l -

t a t s v o i s i n s de c e u x d e s n ~ 27-29 ( r e p r e s e n t a t i o n de BM~ ) a v a i s n t 4 t 4

e x p o s e s l ' a n d e r n i e r par C. H ~ Z dans un t o u r s de 3s c y c l e sur ~M~ , s t d ' a u -

t r e p a r t qas d e s r ~ s u l t a t s de c o n v e r g e n c e de sommes de c a r r 6 s v e r s l a v a r i a -

t i o n q u a d r a t i q u e pour l e s s e m i m a r t i n g a l e s a v a i e n t ~ t~ ob te nus par M. LENOLAR~.

395 150

ESPACES DE PRCCESSUS

MARTINGALES

M , martingales de carr~ int@grable

_M_o , martingales .. n~1 ! es en 0

__Mloc, martingales localement de cart@ int@grable

__L, martingales locales

L__0, ... nulles en 0

PROCESSUS A VARIATION FINIE

V, processus ~ variation finie

VO, processus ... nuls en 0

A, processus ~ variation int~grable

AO, processus.., nuls en 0

Aloc, processus ~ variation loc. int~grable

__W, martingales ~ variation int~grable

=Wloc, martingales locales ~ variation loc. int~grable

~8 ~51

INDEX

On n'a fait aucun effort pour elaseer les termes de cet index : ils y

figurent par ordre d'entr~e en sc~ne. Le chap.VI n'y figure pas.

Croissant brut (processus), I.I

A variation finie brut ( processus ), I.I.

Croissant , ~ variation finis ( processus ),I.I. VF, I. I ( abr~viation de " ~ variation finie ").

A variation int~grable , I.I.

II I~ , norme variation, I.I.

V , eepace des processus VF.

VI, I.I ( abr~viation de m~ variation int~grable').

Evanescent, note NI p.5.

Optionnel, note N2 p.6.

Pr~visible, note N2, p.6.

Temps pr~visible, note N2, p.6.

EES, TEl , intervalle stochastique, note NS, P.7. T ~C ]], graphe de T, note NS, p.7.

Suite annon~ant un temps pr~visible, note N2, p.6.

Projection optionnelle, note N3, p.6. (notation X~ Projection pr~visible, note N4 P.7 ( notation xP).

Temps totalement inaccessible, note N6 p.7. Temps accessible, note N6 p.7.

T B (T sur B, +co sur BC), note N7 p.8.

Th6or~mes de section, note N11, p.9.

Projection optionnelle ou pr~visible d'une mesure, 1.7.

Projections duales d'un processus VI, 1.7.

Compensateur et compens~ d'un processus VI, 1.8.

compensateur de A, 1.8. c A compens@ de A, 1.8. H.A, H.A int~grales de StieltJes stochastiques, 1.11

, espace des martingales VI, 1.13.

Potentiel droit (potentiel), 1.14.

Potentiel gauche d'un processus VI, 1.14. M martingales de carr~ int~oTable, II.1~

~0 martingales de ~ nulles en O, II.1.

Orthogonalit~, orthogonalit~ faibls, II.2. X T, processus X arr~t~ ~ T, II.3.

Sous espace stable de ~, II.5.

397 152

INDEX (suite)

M c martingales de carr~ int~grables, continues, nulles en O, II.7.

M d martingales de carr~ int~grable, purement discontinues, II.7.

M(T) martingales de carr~ int~grables, purement discontinues, continues

hors du graphe de T, II.8.

~E,N>, ~M,N>, [M,M], ~E,N> , 11.16 ~ 18.

In@galit~s de Kunita-Watanabe (KW), II.21.

L2(M), II.23.

H-M, int~grale stochastique de H pr~visible p.r.~ Me=M , II.23.

A, espace des processus pr@visibles ~tag~s born~s, II.23.

L2(M), espace de processus optionnels, II.31.

H.M pour H optionnel, MeM , II.32. quasi-continue ~ gauche, II.36.

A,A 0 , processus VI, III.I.

_S,_S 0 , semimartingales (r), III.1.

Semimartingales au sens restreint ( d~f. provisoire), III.1.

X c, partie martingale continue de X, III.2.

IX,X], variation quadratique de X semimartingale (r), III.2~

H-X, H pr~visible borne, X semimartingale (r), III.2.

Changement de variables, III.3t III.8.

Martingale locale, IV.

Martingale localement de carr~ int~grable, IV.I.

L_, espace des martingales locales, IV.3.

Mloc, espace des martingales loc. de carr~ int~grable, IV.3.

Temps d'arr~t r~duisant une mart. loc. IV.3.

Temps d'a. r@duisant fortement une mart. loc., IV.5.

M c, partie continue d'une martingale locale, IV.9.

~EC,MC>, M mart. locale, IV.9.

[M,M], [M,N] pour des mart. locales, IV.9.

Processus ~ variation localement int~grable, IV. 11.

=~oc processus ~ var. loc. int. IV.11.

compensateur de Ae=Alo c ,IV. 11. c A compens~ de Ae=~oc , IV. 11.

=Wlo c martingales locales ~ var. loc. int. IV.14.

~E,N> pour dettx martingales locales, IV.14.

Semimartingale, IV. 15.

X c, EX,X] pour X semimartingale, IV. 16.

Processus localement borne, IV. 17.

H.X pour H pr~visible loc. borne, X semimartingale, IV.18-19

Changement de variables, cas g~n~ral, IV.21.

398 153

INDEX (suite)

Integration par parties, IV.23, IV.38.

Exponentielle d'une semimartingale, IV.25.

8(X), exponentielle de X, IV.25.

Caract~re local d'l'i.s., IV.27-28. Semimartingale sp~ciale, IV.31.

D~composition canonique d'une semim, sp~ciale, Iu

Changement de temps, IV. 34.

Weak m~tingales , IV.34.

Projection pr~vislble d'une semimartingale specials, IV.35.

, projection pr~visible de la semimartingale sp~oiale Z, IV.35.

e'(X), autre exponentielle de X, IV.36.

D~composition multiplicative, IV.39. BMO V. I.

II IIBM O' v.m-

--II II = , HI , V.7.

In~galit~ de FEFFERMAN, V.9.

Th~or~me de FEFFERMAN, V.9-I0.

Int~grales stochastiques dana H I V. 16.

Int~grales stochastiques de processus optionnels, V.19.

In~galit~ de Davis, V.29 et 31.

In~galit6 de Burkholder, Davis et Gundy, V.30 et 32.

H p ,p>1 , V.34.

399 154

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Les articles sont num~rot~s darts l'ordre o~ ils sont cites pour la

premiere fois.

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