S@minaire de Probabilit@s XXII

SUR LES INTEGRALES MULTIPLES DE STRATONOVITCH

par Y.Z. Hu et P.A. Meyer

Ce travail est le d@veloppement d'id@es introduites dans les arti-

cles be Meyer-Yah sur les distributions de Hida ( S@m. Prob. XXI ) et

de Hu-Meyer sum l'int@grale de Feynman ( ce volume ). L'expos@ qui suit

pr@sente plut$t des conjectures que des probl~mes r@solus.

I. INTRODUCTION

i. Soit ~ l'espace canonique du mouvement browmien r@el (Bt) issu de

0 . Si fn est ume fonction d@finie sum le simplexe Pn=~Sl<...<Sn}

de ~, appartenant g L2(en) , nous consid@rons l'int@grale multiple d'

Ito ( int@grale it@r@e )

(i) / fn(Sl,...,Sn)dBs ...dBsl = Jn(fn) = ~.,In(fn) Sl<. •. <s n

Dams la derni@re expression, la fonction fn a @t@ prolong@e par sym@-

trie ~ ~n + , sans changer de notation, et In(fn) est tune int@grale @ten-

due ~ ~+ • Si la fonction fn est suffisamment r@guli@re ( nous revien-

drons sum ce point ) on peut aussi d@finir u~e int@grale multiple de

Stratonovitch ( le o est la marque de Stratonoviteh dans cet expos@ )

<2) /Sl <. . .<s nfn<sl'''" ' sn>~°Bsn'" "d°~sl : Jn(fn) : ~in(~n)

La relation entre les int@grales (i) et (2) peut ~tre d@crite de la ma-

ni@re suivante : d@finissons la trace d'une fonction sym@trique de n

variables comme la fonction sym@trique de n-2 variables

(3) Trfn(Sl,...,sn_2) : ]fn(Sl,...,Sn_2,s,s)ds

( Trf n = 0 si n=O ou I ). Si l'on travaille sur les simplexes crois-

sants, on a une forme plus compliqu@e : pour Sl<S2...<Sn_ 2 Sl S~

(J+) ~rfn(sl,...,Sn_ 2) = J fn(s,s,sl...,Sn_2)ds + / fn(Sl,S,S,S2,..)ds 0 s~

O0

+ ... + ] fn(sl ,-°.,sn_2,s,s)ds • S n

Alors on a la formule

(5) ~n(en> I

= ZX=<Zz/2 ~ Jn-2k(~rkfn )

que nous justifierons oi-dessous ( remarque a)). Sum les int@gra!es

I n , on a vane formule plus compliqu@e, mais peut $tre plus intuitive :

l'int@grale d'Ito (i) ne comporte pas de contribution des diagonales

73

n Appelons k-diagonale un ensemble de la forme Sil=Sjl. .Sik-Sjk de ~+ • • -

o[ toms les indices il~Jl,...,ik,J k sont distinets. Le

nombre des k-diagonales distinctes est n'/(n-2k):2k~ '. D'autre part,

si l'on calcule la contribution d'ume k-diagonale par la r@gle usuelle 2 k dB =ds, on obtient I o1~(Tr f ), et la formule (3) signifie que l'int@-

± ± ~ c _ x x _ o . H . o .

~rale de Stratonovitch In(fn)=n'Jn(f n) s'obtient en aOoutant ~ In(fn)

routes les contributions dia~onales. Dams le cas brownien, on a dBk=0 S

pour k>2, de sorte que les coincidences si=sj=s k d'ordre k>2 n'ont pas

ttre cempt@es. Si l'on avait ~ d@finir des int@grales de Stratonoviteh

multiples pour le proeessus de Poisson, par exemple, il me faudrait pas

les oublier.

La formule (&) peut prendre tune forme beaueoup plus agr@able si l'on

note f une suite (fn) de fonctions (fnCL2(~n) pour n>0 , f0EK ) et

que l'on pose J(f) : En J(fn ) ( J(f0):f0 )" Alors l'op@rateur Tr peut

@tre eonsid@r6 comme transformant f en tune nomvelle suite, et la for-

mule (~) s'@crit

(6) ~(f) = 2k i J(Trkf) = J(e ) -- 2kk, --

Mais alors la mani@re dont on oalcule l'int@grale d'Ito [ partir de

l'int@grale de Stratonovitch est formellement @vidente

(7) j(f) : ~(e-I/2 Trf) : Sk (-1) k ~(Trkf) - 2kk , --

REiJARQUES. a) Nous allons justifier partiellement la formule (5) ( nous

donnerens plus loin tune justification plus d@taill@e, ainsi que des com-

mentaires sur la d@finition des traces qui y figmrent ). Soit

d'abord (Mr) tune semimartingale continue, null~ en 0, de crochet (At).

II est bien oonnu que

(s) f 0<Sl<...<sn<t

tandis que

(9)

dMsn...dMsl = A~ 12 Hn(MtlJ~ t) ( pol. d'Hermite)

f dOM ...dOM ~ n 0<Sl<---<Sn<t s n Sl = -- M t

Mt=Fa( Prenons maintenant s)dB s et t=~ ( A =<a,a>, ~ est not@ a

dams les articles pr@c@dents ). L'int@grale (8) vaut Jn(a ), et Trk(a @n) = <a,a>ka @n-2k. Ainsi la formule (7) s'@crit

<a'a>n/2Hn (~/<v~a'a>) = ~k<n/2 2 k~ <a'a>k I ~k ~ k (n-2k)l a

qui est l'expression classiqme des polynSmes d'Hermite. 0n aurait un

ca!cul plus simple en utilisamt les veeteurs exponentiels, i.e. la sui-

te ~:(a@n)n> 0 , ce qui revient a travailler sum la fonction g@n@ratriee

des polynSme~ d'Hermite.

74

b) Cette remarque est tun peu ume digression, qui conduit & une justi-

fication plus pm@cise de la formule (5). Nous utilisons la notation

de Guicharde~-Maassen pour les d@veloppements en chaos de Wiener, qui

a @t@ expliqu@e ailleurs ( S@m. XXI p, 3~, e~ d'au~res expos@s de oe

vo±ume-ci ).

Consid@roms un processus adapt@ (ft). Chaque v.a. ft admet tun d@-

veloppement en chaos de Wiener, que nous @crirons

f t = /~(~, t )dBa p

L ' a d a p t a t i o n s i g n i f i e que f ( A , t ) = O p o u r A ¢ [ O , t [ . Tra~ons l e g raphe

de f(A~.), et supposons le ( suivamt les id@es de Lindsay-Maassen )

de la forme

~(A,t) = 5+(A) + /t~,(a,s)ds VA

, t>VA ( le sup de A )

. ~(A,t)

VA

Alors Limdsay et Maassen ont montr@ que, sous des conditions d'int@gra-

bilit@ que nous ne pr@ciserons pas, (ft) est tune quasimartingale dont

la pattie & variation finie et la pattie martingale sont

v t = / t f ' d s (~=~/~'(A'~)dBA) ; Mt = ~[f+J~t] ( f + = / ~ + ( A ) ~ A ) " 0 s

Pour d@finir l'int@grale de Stratonovitch / f dh°B il nous faut con- I

maitre le terme correcteur ~[f,B], qui est ( au facteur 1/2 pr@s ) le

processus intervenant dams la repr@sentation M~=E[M~]+] m dB . Ce pro- ~ 0 s s

cessus est donn@ par

m t = ] mt(A)dB A , mr(A) = f+(A+t) ( t>VA )

= o ( t<vA )

( nous avons @crit A+t au lieu de A0{t} ). Nous d@sigmons oe processus

(mr) par (f~) ; ainsi on a ft(A) = lim f(A+t,u) pour t>VA ( 0 s i n o n ) u$~t

et i' int@grale de Stratonovitch vaut / t /if+as f d ° dB + 0 s s :~ fs s 0 s

Rien n'emp@che maintenant de prendre cette formule comme d@finition, ~+

sous la seule r@serve de l'existenoe des limites ft(A) ( et des v.a.

correspondantes ), mais sans e]figer 1'existence des d@riv@es f'(A,s).

Faisons quelques calculs suivant ces r@gles.

l ) l tg(s )d°Bs : l t g ( s ) d B s 0 0

2) C a l c u l o n s l ' i n t @ g r a l e de S t r a t o n o v i t o h i t6 r@e / g ( s l , s 2 ) d ° B s d°Bso s ~<s2<t i

Dans ce cas nous prenor~s fs:~ 0 g(Sl,S)d°B s~ , et ~l'apr~s I) ci dessus

on peut remplacer d ° par d . Alors f(A,s)=g(Sl,S) si A=ISl] aveo

75

Sl<S~ et 0 sinon, de sorte que f+(A,s):limu$~s g(s,u) si i:~, et 0

simon. II reste pour l'int@grale de Stratonovitoh ( en d6signant par

g(s,s) !a limite pr@c@dente ) 1 t

/ g(sl,S2)d°B d°B : I ...dB dLB + s)ds Sl<S2<t Sl s2 ... Sl s2 Z0 ] g(s,

Le calcul a'une int@grale it@r@e triple est instruetif, et montre com-

ment apparaissent les divers @l@ments de trace. Ii appara[t clairement

que o'est la d@finition de la trace par continuit@, et non la d@finition

hilbertienne de la trace, ( of. Hu-Meyer [5] ) qui est nat~relle dams

ce probl@me.

c) Nous sommes certains que les imt@grales multiples de Stratonovitch

font pattie du folklore, mais nous manquons de r@f@rences pr@cises~

l'exception de Benarous [2_] qui @tudie syst6matiquement des i.s. de

Stratonovitch ¢ s 1 1 doX n...dOX

s i <. •. <Sn<t Sn s 1

0 i (i>O) o~ s i premd les valeurs 0,... ,n : d3{ =dr, ta]~dis que les X t

sont des mouvements browniens ind6pendants.

2. Soit ~ un param@tre positif. Nous d@signons par ~o l'espace ca-

nonique pour le mouvememt brownien B t de meme loi que ~Bt, et

routes les notations relatives [ce mouvement brownien seront affect@es

d'un ~, par exemple la(~), j (~)... Ainsi, les formules (6), (7) pren-

nent la forme suivante lorsqu'on introduit le param@tre

(io) ~°(~) : j°(e ~ £) , J(£) = J (e £) •

Dams l'article Hu-Meyer [5], nous avons introduit une sorte de "pro-

longement analytique" des Voao sur ~en v.a. sur ~g , que nous avions

not@es f~_>fa. Nous pr@f@rons ici le noter Mgf , le M rappelant que

Mof est en quelque sorte "la m$me v.ao" que f . Ce prolong ement ob@it

aux r@gles suivantes : Mol=l ; M~Bt=B ~ ( plus g6n@ralement, Mo(]asdB s)

= [asdB ~ si a(.) est tune fonction d@terministe ) ~ enfin, la corres-

pondance est multiplicative, pour le produit ordinaire des v.a. sur

et ~o" Dams l'article [~], nous avons oalcul6 M :

(ll) Mo(J(£)) : J°(e £) .

En rapprochant cette formule de (9), on obtient la formule int@ressante

(12) M ~S(£)) = Sa(£)

qui illustre bien !a simplioit@ du calcul de Stratonovitch.

76

3. Nous pouvons maintenant pr@senter le but de ce travail, qui ne sera

atteint que tr@s partiellement.

A) Soient U et U~ deux v.a. sur ~ et ~% respectivement, telles que

U = M~(U). A quelles conditions sur la fonction a peut on montrer

que aoUq = M (aoU)

B) SoienV (ft) et (ft) deux processus adapt@s d@finis sum ~ et ~a

respectivement, et tels que ft = Mq(ft) pour Your t . A quelles

conditions peut on montrer que

/fadOB~ = Ma ( /fsdOBs ) v S S

C) Consid@rons les solutions de deux @quations diff@rentielles de

Stratonovitch, admettant les mSmes coefficients t

X_=x+fta(X )d°B +/tb(X )ds a e Xt=x+/ a(Xs)dB s + ~tb(Xs)dS 0 s s 0 s ' 0 0

sur ~ et f]a respectivement. Peut on affirmer que X t = Ma(X t) ?

Ces trois propri@t6s sont in~uitivement @videntes • par exemple,

la d@finition de IVf a @t@ con@ue pour exprimer A) iorsque la fonction

a est tm polynSme, et U tun vecteur exponentiel. La propri@t@ B) a 6t@

v@rifi@e plus haut dans des cas simples. Quant d la propri@t@ C), elle

est formellement @vidente ~ partir de A) et B) si l'on r@sout l'@.d.s.

par la m@thode d'it@ration. Ce qui manque dans les trois cas, c'est une

bonne topologie permetta~t de passer ~ la limite, ~ la lois sur les

traces et sum les int@grales de Stratonovitch.

La suite de l'expos@ pr@sente l'@tat du probl@me au moment o~ le

~rolume XXII est rassembl@ ( Novembre 87 ), en esp@rant que ces sujets

int@res seront d' autres math@matic iens.

II. QUELQUES RESUL~ATS PARTIELS

I. Une norme permettant le contr61e de l'int@~rale de Stratonovitch.

II va Stre essentiel ici de se placer sum un intervalle born@ [O,a]

au lieu de ~+ entier. 0n d@signe par ~ cet intervalle, par Pn l'ensem-

ble des n-uples Sl<...<Sn~a , par ~ l'ensemble des n-uples Sl~...$sn~a.

Soit f=(fn) une suite de fonctions bor@liennes, la notation fn d@si-

gnant ~ la lois tune fonction sym@trique stir #n, et sa restriction

~n ou Pn " Nous @crivons comme en (i)

J(~) = ~n Jn(fn ) = ~n n%In(fn)

et de m@me comme en (5) pour l'int@grale de Stratonovitch. La seule dil-

l@fence est le fair que tout est nul hors de [0,a].

Nous avons d'apr@s (5)

~(~) £nJn ( ~k (2kk!)-i = ~rkfn+2k) )

YY

et par cons@quent

(I) II~(~)II~ = Z nl~n(2)I 2

~n est tune oertaine mesure positive sur la somme des 2 n ( ou des ~n :

cela revient au m@me )

~n(~) : Y Z k (2kk!)-lTrkfn+2k

n

Cette mesure est born@e : Trkl=a k, done ~n(1)=ea/2y 1 = ea/aan/n~

L'in@ga!it~ de Schwarz nous don~e en

(2) iI~(f)ii ~ ~ ea/2 ~(~2) oG ~ = 2n ~n

mesure ~ est born@e, de masse e a . Si h appartient ~ L2(~) et fn=h @n La

on a Trkfn+2k = ~h,h~kfn , ~n(f) = exp(~h,h~)(fh(t)dt)n/n! , et

~(f) = exp(Jh(t)dt + ~,h~) : la majoration pr@c@dente ne permet

d'@tablir que ~(~) est darts L 2 que si ~(~2)~, ce qui exige que l'on

remplace h par h 2, et doric que h appartienne ~ L 4 : notre majoration

est doric assez grossi@re, car ~(~) = exp(~h(s)dB s) appartient ~ L 2

pour heL 2.

Quoi qu'il en soit, consid@rons d'abord une suite f=(fn ) de fonc-

tions bor@liennes ( sur les ~--n ' ou sym@triques sur les jn ), telle

que l'on air ~n ~n(Ifn I)2~ ~ " Ceci est une condition minimale pour

l'appiication de la formule (5) ; on remarquera qu'il s'agit de fonc-

tions et non de classes, et que les valeurs de ces fonctions sur n

ne sont pas d@termin@es par leurs valeu~s sur ~ ; autrement dit, elles n

ne sont pas d@termin@es par les v.a. qui leurs correspondent sur l'es-

pace de Wiener. Notre premiere remarque sera que si l'on d@signe par k o k

fk laofonctio n tronqu@e de ~ ~ k ( ~k = (f) ), j(~ ) converge darts L2(~)

vers J(~). Mais apr@s troncation on a ~(f~2)~oo . Cela permet de limiter

les raisonnements sur l'int@grale de Stratonovitch aux fonetions v@ri-

fiant une estimation du type (2).

Consid@rons ensuite les fonctions ~ du type fn=h ®n , avec lhI%l_ :

elles sont uniform@ment born@es, et forment un ensemble stable par mul-

tiplication, qui contient la constante i ( correspondant ~ h=O ! ), qui

engendre route la tribu sym@trique sur la somme des ~n. L'ensemble des

combinaisons lin@aires de ces fonctions est doric dense darts L2(~), par

le th@or@me des classes monotones. Nais alors, on volt qu'en passant

la limite ~ partir des vecteurs exponentiels, on obtient des fonctions

d@ D2(~) don~ les valeurs sur les diagonales sont enti@rement arbitrai-

res ( ne sont d@termin@es en aucune mani@re par les vaieurs sur les ~n ).

Le probl@me de la d@finition des traces ( par passage ~ la limite, ou

par tun proc@d@ hilbertien ) est doric mal pos@ : si les fn sont peu r@-

guli~res, leu~s waleurs diagonales doivent @tre donn@es, non calcul@es.

78

2. Une expression ' des traces. Pour calouler les traces de f=(fn), il

n'est pas n@cessaire de conna~tre fn(sl,...,Sn) sur ~n ou ~n entier,

autrement dit sur les n-uples ~ coincidences multiples

.... )<(S±l ÷ . . . . . S i l + i 2 ) < . . . < ( S i l + . . + i m _ l + l . . . . s n) (Sl=S 2" Sll

La mesure best port@e par l'ensemble des n-uples admettant au plus

des coincidences simples, que nous noterons

(Sl<'''<~il "''<-si'''<sn)k

O~ les k indices soulign@s comptent double ( i.e. doivent @tre rempla-

c@s par S i l = S i l + l . . . S i k : S i k + l ). Comment c a l c u l e t on Trkfn+2k = gn pour une fonction donn@e de cette mani~re ? Voioi la r@gle qui donne

le r@sultat.

Remarquons d'abord que pour caleuler une int@grale de Stratonovitch

nous n'avons besoin de connaltre que gr(sl,...,Sn) sur ~n' autrement

dit aucun indice n'est soulign@. Nous plaqons alors i i

entre 0 et s I Pl indices tl<'''<t~_~l ( pI~0 )

entre s Iet s 2 P2 indices t~<...<tS<

entre s net +~ ( ou plut$t a si l'on travaille su_r [O,a] )

Pn+l indices ~ + l < . . . < l j ~ ÷ l Pn+l

o~ pl+...+Pn+l=k . On somme sur tousles choix possibles des Piles

int@grales

/ I f +2~.(t¼, ~i t2 ~2 s t n+l (3) O<tl<" i ii ~ --~ --rl ± --± --~2 = --Pn+l "'<tpl<Sl ~t I ~.i ~ n+l

• .. I...~ ...~ Pl Pn+l n+l n+l Sn<Vl "''~Pn+l

La somme de routes ces int@~rales est alors , non pas Trkfn+2k , mais

Trkfn+2k/k! . Ce mode de calcul ( qui s'applique aussi aux n-uples

j indices soulign@s : il y a seulement n+l-j entiers Pi au lieu de n+l )

s'@tablit par une fastidieuse r@currence sur k .

3. Application aux e.d.s. Rappelons les notations de l'article [ ].

Consid@rons l'e.d.s. ( au sens de Stratonovitch ici, mais les r@sul-

tats de [~] s'appliquent sans changement ).

(L~) X t = X + / a(Xs)d B s + / b(Xs)dS 0 0

D@veloppons h(X t) en int@grales d'Ito

(5) h(Xt) = ~n ~ Fn,t(Sl'''''Sn ; x'h)dBsl'''dBs n n

On a tout d'abord

($) Fn,t(';x,h) = ] Fn,t(.;x,y)h(y)dy

79

Emsuite, si l'on d@signe par u~v la composition Ju(.,z)v(z,.)dz de

deum fonotions u(x,y), v(x,y), on a

(7) Fn,t(Sl,...,sn;.,-) = Psl~aP;rSlD.-.~aP;_s od Pt(x,y) est la solution @l@mentaire de l'@quation parabolique asso-

ei@e ~ (~), et p$(x,y) est sa d@riv6e en x ( enfin ap$(x,y)=a(x)p$(x,y)). C

Si l'on remplace B t par B t , la solution @l@mentaire devient Pt(x,y)

et les coefficients du d@veloppement en chaos F ~ n,t " La £ormule que

nous cherchons ~ 6tablir s'@orit

(8) F a ~ (~2-1)k n,t : Ek:O ~k~ Trk Fn+2k,t

Cette s@rie comvergeant, on l'esp@re, dans L2(~ n) - au moins apr@s mul-

tiplication par h(y) et int@gration em y. En partieulier, pour n=O

(9) Pt(x,Y) = E k ~Kk! Trk F2k,t

qui est tune propri@t@ d'analyticit@ de la solution de l'@quation de

Stratonovitch par rapport au param@tre ~, et en m$me temps identifie

TrkF2k,t les traces comme les d@riv@es k-i$mes de Pt psr rapport

2 pour o:l.

Ce que nous allons montrer, en nous appuyant sur le calcul de traces

pr@c@dent, c'est que la formule g@n@rale (8) se ram@me & la formule (9),

e$ [ la formule analogue que l'on obtient en d@rivant en x ( et dent

la validit@ n'est pas une eons@quence triviale de (9) ~ ). Poum voir

cela, on remarque que

F ~ F ~ (Sl,...,Sn_l)~aP~_s n n,t(Sl,...,sn) = n_l,sn

On raisonne par r@currence sur n, et on est ramen@ [ v@rifier que pour

tout 1 j I : 2 ~Tr Fn_l+2j (sl,...,Sn_l) y!Tr~Pm+2~(Sl'''''sn) j+k=~ 'sn

aTrkF2k,t_sn

Compte tenu de l'expression do~n@e au paragraphe pr@c@dentpour Trk/k!,

on s'aper@oit que cela revient ~ d@velopper Tr~Fn+2~ t/~! suivant

la valeur du dernier entier Pn+I ' dams la formule ' (3) .

Em reprenant les majorations des coefficients Fn, k que nous avons

donn@es dans [~], nous pensons avoir d@montr@ que la s@rie au second mem-

bre de (9) est effectivement oonvergente au voisinage de a=l - mais

cela ne prouve pas que sa somme est @gale au premier membre, et pour

cette raison nous nous sommes abstenus de recopier les calculs, qui

sent lourds ( et n'ont pas @t@ compl@tement v6rifi@s ).

80

Nous allons maintenant rapprocher la formule (9) d'une formule de

th@orie de perturbations. Consid@rons deux semi-groupes (Pt) et (~)

qui s'@crivent formellement

Pt = ere Qt = et(H÷K)

Alors on a formellement

/ PslKP ..KPt_sndSl . .ds n (IO) ~ = Pt + E~=__I Sl<...<Sn~ t s2-slK" "

Pour appliquer cette formule, nous posons

= b" "~f ~f v f ( x ) ~x)7~ u f ( x ) = a ( x ) ~ - ~ ,

( il para~trait naturel de motet ces op@rateurs A et B, mais A d@signe

dans [5] l'adjoint de U ). Le g@n@rateur infinit@simal du semi-groupe

associ@ ~ l'e.d.s, de Stratonoviteh est G~U2+V

L~ = r Posant done H=2U~+V ~ K= ~ U 2, H+K=L G , la formule (I0) nous donne

un d@veloppement formel

(11) P~ = Pt + Z~>l (°2-1)~ "~2Pt-s ~%" 2 n / Ps U2"" "dSn = Sl<...<Sn<t 1

Nous allons v@rifier que ce d@veloppement est pr@cis@ment celui qu'in-

la formule (9). Pour cela, il faut Galculer TrkF2k,t/k! par la dique

formule (3) de ce paragraphe, ce qui nous am@he au calcul de la

fonction ~ coincidences multiples F2k,t(~l,...,~k).__ Celui-oi est fait

dans [~], ~ III, (ll) ( il y a une petite diff@rence : ici la premi@re

variable est elle aussi double ) :

F2k,t(~l , ' '" ,~k) = APt l~ P~ r ~ l ~ ' ' " D~P~k-tk_lDaP~-t k Si h(x,y) est une fonction de deux variables, Ah(x,y)=-Dy(h(x,y)a(y))..

Une cha~ne d'int@grations par parties permet de faire apparamtre l'op@-

rateur U Ptl~2pt2_tz 2 2 F2k,t(21,...,t_k) = ~...~U Ptk_tk_l~U Pt_t k

et on reconnalt alors la formule (II) ci-dessus.

@. Rapport avec certains calouls sur les @quations diff@rentiel!es.

II est bien connu ( nos sources ~ cet @gard sont Fliess [~], Fliess

et Norman-Cyrot [~], et Benarous [Z] ) que le cas limite de l'@quation

diff@rentielle stochastique ~ t G

X t = x + ]ta(Xs)d°BC + ] b(Xs)dS 0 s 0

pour ~0 est une @quation diff@rentielle ordinaire d@pendant d'un para-

m@tre de contrSle w(t) appartenant ~ l'espace de Cameron-Martin ( i.e.

w(t) existe au sens L 2 ) t t

~t(w) = x + I a(~s)~(s)as + I b(~s)aS 0 0

81

Dams ces conditions, Fliess ([~], prop. III.~ p.26 ) donne un d@velop-

pement explicite de la solution sous la forme d'une s@rie de Volterra

convergeant potur t petit, du moins lorsque les coefficients de l'@qua-

tion sont analytiques et les contrSles w(t) continus par morceaux.

Nous allons recopier cette formule : ~ y d6signe le semi-groupe e tV

( c'est g dire Pt pour o=0, correspondant ~ une diffusion d@~ermimiste )

(12) h(~t) = Rt(h) + ~n>l / Gn,t(Sl'''''sn;h)~(Sl)'''~(sn) = Sl<...<Sn<t ds I .... ds n

Gn,t(Sl,... Sn~h ) : ..URt_ s h ' RslURs2-slU" n

Si la conjecture que nous pr@sentons iciest vraie ( et les r@sultats

de Benarous la rendent extr@mememt vraisemblable pour les @.d.s.

coefficients analytiques ), nous avons pour route valeur de

.,s ;h)d°B~ ...d°B h(X~) = Rt(h) + Erp 1 ] .<tGn,t(Sl ,. n O n s 1 : Sl<.

e O en passan~ aux int@grales d'Ito par la formule (6) du ~I ~2k

F~,t<.,h) : z~= o ~ ~rkGm+2k,t<.,h) •

C'est une fommule curieuse. N@anmoins, dams ce travail, nous avons fair

beaucoup d'alg@bre, et donn@ bien peu de justifications analy%iques !

REFERENCES

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asymptotiques d'int@grales de Feynman. S6m. Prob. XVI bis, 1980, p.

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para[tre.

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[%] FLIESS (M.) et NORMAN-CYROT (D.). Alg@bres de Lie nilpotentes,

formule de Campbell-Hausdorff et int@grales it@r@es de Chen. S@m.

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[5] HU (Y.Z.) et MEYER (P.A.). Chaos de Wiener et int@grale de Feyn-

man. Dams ce volume.

I.R.M.A. Institut de Recherche Math@mati-

? rue du G al Zimmer que. Academia Simica

6708% Strasbourg-Cedex Wu Ham ( R.P. de Chine)