REPRESENTATION INTEGRALE DES POTENTIELS

Habib MAAGLI Eacult6 des Sciences de Tunis D@partement de Math@matiques 1060 - TUNIS Tunisie

INTRODUCTION.

Dans ce travail, on consid~re une r4solvante V = (Vl)l> O sous

markovienne sur un espace X localement compact A base d4nombrable,

telle que son noyau V ° soit propre et (X,E v) soit un espace de

Ealayage. On suppose que V ° est donn6 par une (densit4) fonction

de Green G qui est s.c.i., continue hors de la diagonale et v4ri-

fiant en outre d'autres hypoth6ses.

On 6tablit alors de fagon 414mentaire, la repr4sentation int4gra-

le des potentiels sur X au moyen de la fonction de Green.

Ce r4sultat fait suite aux travaux de Mokobodzki [5], P.A. Meyer

[4], H. Ben Saad [2], M. Rao [6] et d'autres auteurs, lesquels ont

4tabli la repr4sentation des fonctions surharmoniques au moyen des

surharmoniques extr4males dans un cadre diff4rent du notre.

HYPOTHESES.

Soit V = (Vl)l> o une r4solvante sous-markovienne sur X telle

que son noyau V ° soit propre et (X,E V) soit un espace de Balayage

au sens de Bliedtner-Hansen [3].

On suppose que V ° est absolument continue par rapport ~ une

mesure l positive sur X dans le sens qu'il existe une fonction

G : X x X ÷ [O,+~] s.c.i., continue hors de la diagonale et v4rifiant :

Vof = IG(.,y) f(y) l(dy) pour f positive mesurable. a)

b) G(.,y) est un potentiel non nul pour tout y 6 X .

c) R G ( . , y ) V = G ( . , y ) p o u r t o u t y 6 V o u v e r t de X

d) G(x,.) est continue si x est finement isol4.

NOTATIONS ET RAPPELS.

On note par : X ° = {x 6 X/ x finement isol4}

s = {v 6 Ev/[V--7-7~] = x}

115

P = {p0tentiels sur X}

P = {p 6 P \ p continu} C

On rappelle que : I) p est un potentiel sur X ssi p 6 S et

inf {R x \K , K compact c X} = O P

2) h est harmonique dans U ssi pour tout

ouvert V relativement compact tel que

VcVcU on a :

V x 6 V ; {h(y) e x~V (dy) = h(x) < + ) X

Je remercie le Professeur M. SIEVEKING de m'avoir propos4 le

sujet de cet article.

DEFINITION (cf.[5]) :

I) Soient % continue sur X avec O < ¢ < 1 et x 6 X . On d4finit

I

R~(x) : : I R[#>~lv (X) da, pour v excessive O

2) Le couple (x,¢) est dit admissible si % est ~ support compact

et x £ [~ = O]

PROPOSITION 1. Pour tout couple (x,~) admissible, il existe une

mesure unique positive notde ~ port~e par le support de X

et telle que pour toute fonction v excessive :

R~(x) = Iv(y)~(dy)

Preuve. Soit (x,~) un couple admissible. L'application p + R~(x) P

de P dens 5 + est une forme lin4aire croissante. Donc d'apr&s un c

th4or~me de Choquet, il existe une mesure unique ~ telle que pour X

tout p 6 Pc :

R~(X)p = Ip(y)~(dy)

c p telle Maintenant si v est excessive, il existe une suite (Pn) n C

que v = sup Pn et on a d'apr6s le th4or~me de convergence monotone : n

R~(x) = sup R~ (x) = s~P fPn(Y) £~(dY} = Iv(Y) e # ( d Y ) n v Pn x x

Le support de £x est inclus dens le support de # en effet : Soit q

un potentiel strict et soit un ouvert U tel que supp # c U . On a

alors :

116

Ii s'en suit que

supp ¢.

s x~ est port4e par U et donc E 0x est port4e par

PROPOSITION 2.

tion :

Soit (x,%) un couple admissible. Alors l'applica-

0 : X--÷Z~ +

¢ y --÷ RG(.,y )

est continue.

(x )

Preuve. Soit y 6 X et (Yn)n>o une suite de X tendant vers y.

La d4monstration se fait en deu~ 4tapes :

16re 4tape : Soit ~ 6 ]O,1[ . Montrons que

sauf peut ~tre pour a = #(y)

_[¢>a] _[¢>a] , . lira ~G(.,yl) (x) = l<G(.,y)IXl

En effet : a) Si %(y) > a , alors d'apr~s l'hypoth6se (c) on a :

R[%>a] G(.,yn) (x) = G(x,y n) pour n assez ~grand.

_[~>~] -[~>a] (x) : lim G(x,y n) = G(x,y) = mG(., ~y (x) Ce qui donne lim ~G(.,yn)

n++~ n÷+~

b) Si %(y) < e , puisque G est continue hors de la

diagonale, il existe une constante M > O telle que pour tout

z 6 [0 { ~] et tout n : G(z,y n) ~ M . Iien r4sulte d'apr~s le

th4or6me de Lebesgue que :

~[¢>~] (x) = _[¢>a] (x) lim ~G(.,yn) ~G(.,y) n÷+~

2~me 4tape : Montrons alors la continuit4 de 8 :

a) Si x ~ y , puisque G est continue hors de la diago-

nale, il existe une constante C > O telle que pour tout e 6 ]O,1[

et pour tout n :

R[~>a] G(.,yn) (x) ~ G(x,y n) ~ C

Ii vient d'apr6s le th@or6me de Lebesgue :

/I /I ~[~>~] ,v~d~ lim ~RG('Yn)(X) ¢ (x) = R [¢>~] (x) d~ = lim ~G(.,yn~, = RG(''Y) o G(.,y) o n~+~ n÷+~ "

B) Si x = y 6 [# = O] , puisque G est continue hors de

la diagonale, il existe une constante M > O telle que pour tout

n 6 ~ et tout z 6 Supp ~ :

117

G(z,y n) ~ M

D'o~ pour tout n et tout e 6 ]0,1[ :

[~>~] (x) < M ~[~>~] RG(.,y n) - ~I (x) ~ M

ce qui donne d'apr~s le th~or~me de Lebesgue :

I I 11 R[~>~] (x) d~ I -[~>~] (X) d~ = 1 _[~>~] (x) da = lim ~G(.,yn) lim ~G(.,yn) ~G(.,y)

n++ ~ o o n++~ o

c'est-~-dire : lim ~ (x) ~ (x) n++~ RG(''Yn) = RG(''Y)

ce qui ach~ve la d4monstration.

LEMME 1. L'ensemble M = {e~ ; (x,~) couple admissible} U {~x ; x £ X o}

I s~pare les fonctions excessives.

Preuve : Soient u,v deux fonctions excessives et x 6 X telles que

u(x) < v(x) :

i) Si x 6 X ° alors e x s4pare u et v

ii) Si x ~ X ° , il existe un compact K de X tel que x ~ K et

RE(x) < u(x) < RE(x) < v(x) u - v -

Soit ~ telle que ~ = I sur K et (x,~) admissible ; alors :

RK(x) < R~(x) < u(x) < RE(x) < R~(x) < v(x) U -- -- V - V --

ce qui donne R~(x) < R~lXlv

PROPOSITION 3. Soit U un ouvert de X relativement compact et

soit f une fonction mesurable positive telle que Vof < + ~

Alors il existe une suite (fn)n>o de fonctions positives mesu-

rables ~ support dans U telle que

R U = sup V ° fn Wof n

Pr~uve. Soit h = ~. I u et h n = n.1U . Ben Saad [[1], Lemme 9

p. 20] a montr4 que

Vof = Vhf ÷ ~ f o

o~

Vh(f) = inf V h f et Vof = V h f + Vo(h n V h f) n n n

Ce qui donne ~W~ f = sup Vo(hn " Vh f) = sup Vo(f n) o n n n

avec [fn > O]cU.

118

Or la r4duite ~ f) de Vof par rapport au c6ne des surm4dianes o

coincide avec ~ f ; ce qui ach~ve la d4monstration. o

PROPOSITION 4. Soit f une fonction mesurable positive telle que

Vof < + ~ et soit U un ouvert relativement compact. Alors il

existe une mesure positive ~ port~e par U telle que :

U RVo f = G~

Preuve. D'apr~s la proposition 3, il existe une suite (fn)n>o de

fonctions mesurables positives telle que :

q ~ ~ f = sup V f et supp f c U = K o n o n n

En posant ~n = fn ~ ~ ; on obtient pour tout n : supp ~n c K .

Montrons que sup ~n(1) < + ~ . En effet : soit r une mesure de

n I !a forme ~ a ~ v4rifiant rG > O et q dr < 1 . Puisque n> o n x n

rG est s.c.i., il existe alors a > 0 tel que pour tout n :

~n(1) = ~n(K) < a rG Zn < a r(q) < ~ .

Ii s'en suit qu'il existe une sous-suite (~nk) k not4e encore (~n)n

qui converge vaguement vers une mesure ~ positive avec supp ~ c K. ,

On obtient alors pour toute mesure p 6 M :

p(q) = sup p G ~n = p(G ~) n

Or M s 4 p a r e l e s f o n c t i o n s e x c e s s i v e s , i l en r 4 s u l t e que :

q = ~ f = G o

THEOREME. Soit p un potentiel sur X . Il existe une mesure

I positive unique telle que p = G ~ .

Preuve.

I) Existence. Soit p 6 P et soit (Kn) n> ° une suite exhausive de

compacts de x . D'apr~s [7], il existe une suite de potentiels

(Pn)n>o telle que :

P = ~ Pn et R n = n>o Pn Pn pour tout n 6

Donc on peut supposer qu'il existe un ouvert relativement compact U

tel que R U P = p . Le noyau V ° est propre, il existe alors une

suite (fn)n>o de fonctions positives telle que :

119

p = Sup V f et V f < + ~' n o n o n

II vient alors : p = sup ~ f n o n

Maintenant d'apr~s la proposition 4 ; pour tout n il existe une

mesure ~n positive port~e par U et v~rifiant : ~ f = G ~n o n

La suite (~n)n>o est port4e par U , il en r4sulte comme dans la

d4monstration de la proposition 4, que (~n)n converge vaguement

vers une mesure ~ port4e par U et v4rifiant p = G ~ .

V = G( ,y) pour 2) Unicit4. Remarquons que l'hypoth&se RG(.,y)

y 6 V ouvert de X , entraine que pour toute mesure B positive,

G B est harmonique hors de supp ~ ° On reprend alors la d4mons-

tration de Ben Saad [[2], lemme 6 page 44] pour ~tablir l'unicit4

de la repr4sentation.

BIBLIOGRAPHIE

[1]

[2]

[3]

C4]

[5]

[6]

[7]

BEN SAAD H.

- G4n4ralisation des noyaux V h et applications.

S4minaire de Th4orie du Potentiel, Paris n ° 7, Lecture Notes in Math. N ° 1061, Springer-Verlag 1984.

BEN SAAD H.

- Fonction de Green sur un espace de Brelot. S4minaire de Th4orie du Potentiel, Paris N ° 7, Lecture Notes in Math. N ° 1061, Springer-Verlag 1984.

BLIEDTNER J't HANSEN W.

- Potential Theory - An analytic and probabilistic approach to balayage. Springer-Verlag (1985).

MEYER P.A.

- Processus de Markov : La fronti~re de Martin. Lecture Notes in Math. 77, Springer-Verlag (1968)

MOKOBODZKI G.

- Representation int4grale des fonctions surharmoniques au moyen des r4duites. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 15, I (1965).

RAO M.

- Repr#sentations of excessives functions ; Math. Scandinavia 51 (1982) 367-381.

SIEVEKING M.

- Uber die Greensche Funktion in der Potentiatheorie. Seminar fur Angewandte Mathematik - der Universitat Z~rich (non publi4).