L’équation de Bernouilli

L’équation de Bernouilli

1 - formalise le fait que, pour un fluide idéal, la somme des énergies potentielle de pesanteur, cinétique et de pression est constante.

2 - peut s’écrire en termes de pression et la somme devient celle des pressions latérale, terminale et d’aval.

3 - reste vérifiée dans le cas d’un fluide réel en écoulement laminaire

4 - permet de retomber sur la loi de Pascal dP = -gdz dans les conditions statiques

5 - explique l’augmentation de la pression latérale quand la section de la canalisation diminue en écoulement horizontal.

A : 1,2,5 B : 1,4 C : 2,3,5 D : 1 E : 1,2,3,4,5

1 - oui par définition E1 + E2 + E3 = m g h + 1/2 m v2 + P V = constante2 - non3 - non. N'est vérifiée que pour un fluide idéal4 - oui: v=0 gh + P = cte P = -gh + cte dP = -gdz5 - non: explique la DIMINUTION de pression latérale quand S

Exactement faite en cours- Concours 2002 – 50% bonnes réponses

La loi de Poiseuille

1 – Exprime la variation de débit en fonction des résistances à l’écoulement.

2 – S’applique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est newtonien.

3 – Fait intervenir le rayon du vaisseau à la puissance 4ième.

4 – N’est utilisable que pour une nombre de Reynolds inférieur à 2000.

5 – Permet d’expliquer l’évolution des pressions physiologiques moyennes le long de l’arbre vasculaire.

A : 1,2,3,4,5 B : 1,2,4 C : 2,3,5 D : 3,4,5 E : 4,5

1 – Non variation de pression2 – Non: écoulement laminaire3 - Oui4 - Oui5 - Oui

Mesure indirecte auscultatoire de la tension artérielle (TA).

1 Lorsque le brassard est gonflé à une pression supérieure à celle de la TA maximale, on entend un bruit dû à l’obstacle artériel.

2 Lorsque la pression dans le brassard devient inférieure à la TA maximale, on perçoit un bruit intermittent.

3 Ce bruit intermittent correspond au passage du sang seulement lors de la systole et en écoulement turbulent.

4 Lorsque la pression dans le brassard baisse en restant entre la TA maximale et la TA minimale, l’écoulement est laminaire et silencieux.

5 Lorsque la pression dans le brassard devient inférieure à la TA minimale, on perçoit un deuxième bruit dû à la fermeture des valves d’éjection.

A 1,2,3,4,5 B 2,3,4,5 C 1,4,5 D 2,3 E 3,4

Fait en cours Concours 2001 - 39% bonnes réponsesConcours 2002 - 50% bonnes réponses

Les pressions sanguinesI- Bases physiquesII- Bases biophysiques de la mesure de la pression artérielleIII- Applications cliniques à l’auscultation et à la mesure de la tension artérielleIV- Applications à l’imagerieV- Autres applications

Hémodynamique

Biophysique cardiaque

Biophysique de la circulation

L’électrocardiogramme

I- Physique 1- Notion de pression statique dans un fluide

1.1- Mise en évidence expérimentale

Même principe pour la mesure des pressions sanguines par cathétérisme

Soit une chambre avec une paroi déformable dans laquelle on fait le vide :

P se manifeste par une déformation de la paroi

I- Physique 1- Notion de pression statique dans un liquide

1.2- Définition

La pression statique en un point est égale au poids de la colonne de fluide qui s’applique sur lui.

P = g h

= masse volumique (uniforme)g = accélération de la pesanteur (9,8 m.s-2)h = hauteur de liquide

Pression absolue = pression atmosphérique + pression liée à la colonne de liquide.

Pression relative dans le liquide = pression liée à la colonne de liquide.Exemple: surpression par rapport à la surface:


1.3- Dimensions et unitésP = g h

Équation aux dimensions : [P] = M L-3 L T-2 L = M L-1 T-2

[P] = M L2 T-2 L-3 =[ENERGIE]/[VOLUME][P] = M L T-2 L-2 = [FORCE]/[SURFACE]

1 - Le pascal (Pa), unité SI : 1 Pa = 1 newton . m-2

2 - Le bar, ancienne unité CGS : 1 bar = 105 Pa1 milli bar = 1 hPa

3 - Les autres unités sont liées à l’utilisation de manomètres à colonne de liquide

Remarque: pression de 1 Pa exercée par un solide de surface S=1 m2:

P = 1 Pa = F / S = mg / Sm = 1 / 9,8 = 0,102 kg

1 Pa = pression exercée par 102 g sur 1 m2

D’où l’utilisation de multiples: exemple l’hecto Pa (hPa)= 100 Pa Patm = 1013 hPa


1.4- Pression atmosphérique

Baromètre de TORRICELLI.

En utilisant un manomètre au mercure ( = 13,6.103 kg.m-3): h = 76 cmPatm = 0,76 x 13,6.103 x 9,8

= 1 013.102 Pa = 1 013 hPa

1010 hPa

505 hPa

0 5000 m

Évolution en fonction de l’altitude

L’air est un fluide: pression atmosphérique = poids de la colonne d’air

I- Physique 2- Écoulement d’un liquide idéal: éq. de Bernoulli

Un liquide en écoulement est dit « parfait » ou « idéal » si on suppose qu’il s’écoule sans frottements moléculaires donc sans perte d’énergie (soit une viscosité = 0).

Équation de Bernoulli : Si viscosité = 0 (fluide idéal) Et = cte

Et = E1 + E2 + E3 = m g h + 1/2 m v2 + P V = constante

L'énergie totale (la charge) d'un fluide idéal est constante tout au long de la conduite (redistribution éventuelle entre E1, E2 et E3).

2.1- Équation de Bernoulli

Énergie totale d'un fluide (Et) responsable de l’écoulement

Aussi appelée la « charge » est la somme de trois types d'énergie :

E1 de pesanteur ou potentielle (liée à m et à la hauteur)

Et E2 cinétique (liée à la vitesse v)

E3 de pression statique ([P]=[E]/[Vol]; Ep = P V)

I- Physique 2- Écoulement d’un liquide idéal: éq. de Bernoulli

Remarque : [P] = [E]/[Vol]

Réécriture de l’équation de Bernoulli en termes de pressions

Pt = Et/V = m g h / V + 1/2 m v2 / V + P V / V = cte/V = constante

g h + 1/2 v2 + P = constante

g h = pression de pesanteur1/2 v2 = pression cinétiqueP = pression (tout court) ou latérale ou transmurale ou statique ou élastique (c’est la pression responsable de la tension artérielle)

I- Physique 3- Le débit

3.1- Définition du débit

C'est le volume de fluide qui traverse une section S par unité de tempsQ = V / dt dimension L3 T-1 unité m3 s-1

3.2- Relation débit - vitesse d'écoulement (attention : V=volume ; v=vitesse)

Soit v la vitesse d’un fluide

Les particules qui vont traverser S pendant le temps dt sont toutes celles situées en amont de S à une distance au plus égale à L=v.dt

Le volume correspondant est V = S.LD'où : Q = V / dt = (S.L) / dt

Q = (S.v.dt)/dt

Q = S.v = Section x vitesse

I- Physique 3- Le débit

3.3 - Équation de conservation de la masse dans une canalisationPRINCIPE DE CONTINUITE DU DEBIT

Conservation de la masse + incompressibilité :Q1 = Q2 = Q le débit est constant

S1 v1 = S2 v2 = constante = Q

S1 S2

v1

v2

Hypothèses :- incompressibilité ρ constante - régime stationnaire la vitesse en un point = constante

Lorsqu'un fluide incompressible circule en régime stationnaire dans un conduit, le produit section x vitesse (c.a.d. le débit) est constant tout au long du conduit.

I- Physique 4- Situations particulières

4.1- Cas particulier des conditions statiques: v=0L’équation de Bernoulli devient :

g h + P = constante P = constante - g h dP = - g h

Les lois de Pascal:

dP entre 2 points d'un fluide en équilibre = au poids de la colonne de liquide qui les sépare (ayant pour base l’unité de surface):

Pz2 – Pz1 = dP = g h

dP = - g dz*

* Attention au signe:Plus on monte (dz>0) plus dP diminue

La pression en un point est indépendante de l’orientation du capteur et

s’exerce perpendiculairement aux parois;

La pression est la même en tous les points situés au même niveau;

La pression augmente avec la profondeur.


4.2- Cas particulier d’un fluide en écoulement horizontal: (h=0)

P + 1/2v2= cte

Les valeurs mesurées dépendent de l’orientation du capteur.

Mesure des pressions et orientations des capteurs:

- Pression latérale = P (1)

1

- Pression « terminale » (2)= P + 1/2v2

2- Pression « d’aval » (3)= P – 1/2 v2

3


4.3- Cas particulier écoulement horizontal: effet de la section.

h = cte g h = cte P + 1/2v2= cteLa section S modifie v, quel effet sur P?

C’est l’effet Venturi: à charge constante, une sténose est associée à une augmentation de la vitesse d’écoulement et à une diminution de la pression.

Section constante v constanteP (latérale) = constante

Section variable : S v ½ v2

donc P (latérale)

I- Physique 5- Écoulement d’un fluide réel

g h + 1/2 v2 + P + chaleur = cte

Pour un fluide réel (visqueux), Bernoulli n’est plus vérifié (la charge n’est plus constante) :

g h + 1/2 v2 + P cte

Dans le cas d’un liquide réel il y a une perte de l’énergie utilisable lors de l’écoulement (« perte de charge ») liée à la dissipation d’E en chaleur du fait de la viscosité du liquide.


Deux lames de fluide circulent parallèlement a des vitesses différentes.La force de frottement que chacune exerce sur l’autre :

F = S v/x (Newton)

5.1 - Définition de la viscosité

Avec : S = surface commune aux 2 lamesv/ x = gradient de vitesse (« taux de cisaillement ») = viscosité (constante caractéristique du liquide)

v+dv

v

dx

Eq. aux dimensions : [] = [F] / [S] T-1 = [P]/T-1 = [P] TM L T-2 / L2 T-1 = M L-1 T-1

Unité : = kg.m-1.s-1 = Pa.s = Poiseuille


5.1 - Définition de la viscosité Normalement c’est une constante caractéristique du liquide.

Mais varie avec la température : T°

Plus grave : peut varier avec v/x !

Cependant, on peut utiliser une viscosité apparente : viscosité qu’aurait un fluide newtonien induisant le même Q pour une même différence de pression.Ex : Sang app = 3 ou 4.10-3 Pa.s ou kg.m-1.s-1 à 20° C

Liquides newtoniens : est constante à une température donnéeex : Eau = 10-3 Pa.s ou kg.m-1.s-1 à 20° C

Liquides non newtoniens : dépend aussi de v/x ex : sang où ce sont essentiellement les globules rouges qui conditionnent les propriétés mécaniques.Quand v/x , formation de rouleaux de GR et La viscosité n’a théoriquement plus de sens.


5.2 – Les deux régimes d’écoulement d’un liquide visqueux

Du fait de la viscosité.- Une couche infiniment mince au contact de la paroi ne se déplace pas.- v est maximale au centre.- Les lignes de courant en se croisent pas.Profil parabolique des vitesses lié à la viscosité : facteur de cohérence.

A vitesse moyenne faible l’écoulement est laminaire

- Dans ces conditions la viscosité n’est plus un facteur de cohérence.- Les molécules tourbillonnent sans distribution systématisée des vitesses. - Les lignes de courant se croisent.

A vitesse moyenne élevée l’écoulement devient turbulent


5.3 – Frontière entre les deux régimes d’écoulement d’un liquide visqueux Frontière entre ces deux écoulements ?Dépend de ρ, d (diamètre), v et

simultanémentTendance à la turbulence si ρ d et v ou si

R nombre de Reynolds :

R = ρ d v /

Ordres de grandeur mesurés sur tubes rectilignes !

R < 2000 : écoulement toujours laminaire

R > 10 000 : écoulement toujours turbulent

Limites empiriques (SI) :

Si seule la vitesse varie :à partir d’une certaine valeur, la cohérence de l’écoulement laminaire est détruite : c’est la vitesse critique vc

vc = R c / ρ d


5.4 – Variation de pression en écoulement laminaire: LOI de POISEUILLE

L

Canalisation horizontale, cylindrique où l’écoulement est laminaire : g h + 1/2 v2 + P + chaleur = cte

Q = S v = cte ½ ρ v2 = cte

Horizontal ρ g h = cte

Il n’y a que P qui peut varier

Donc produit une perte d'énergie qui se manifeste par P (perte de charge)

P = k.L (section constante) = k’.L/r4 (sinon)

Loi de Poiseuille 4r

L8

P = Q

PressionkPa Ventricule gauche

Aorte

13

11

ArtèresArtérioles

VeinesCap. VD Poumons

3,6



4r

l8

P =Q On pose R (résistances à l’écoulement) R = 4r

l8

Poiseuille devient P = R.Q

U = R.I et P = R.Q

Dans un système de conduits en série :Rt = R1 + R2 + R3

Dans un système de conduits en parallèle :1/ Rt = 1/ R1 + 1/ R2 + 1/ R3

R1 R2 R3

R1

R2

R3

Combinaison des résistances à l’écoulement: analogie avec l’électricité:

On utilise la viscosité apparente pour les fluides non-newtoniens.

Effet des résistances à l’écoulement



Exercice : Soit une artériole avec un débit de 6 mL.min-1. Elle se divise en 100 capillaires de rayon r= 0,4 mm et de longueur L = 2 cm. Quelle est la chute de pression entre l'entrée et la sortie de ce réseau capillaire ( = 4.10-3 Pa.s)?

en SI : Q = 6 mL.min-1 = 6.10-6 m3.min-1 = 1.10-7 m3.s-1

r = 4.10-4 m et L = 2.10-2 m.

P = R Q ?

4r

L8

Ri= 44

23

10.4

10.2x10.4x8

= =796.107 kg.m-4.s-1

i

100

1i i R100

R1

R1

R = Ri/100 = 796.105

P = R Q = 796.105 x 10-7 = 7,96 Pa

L’architecture vasculaire conditionne l’évolution des pressions dans l’arbre vasculaire (cf. Chp suivant sur l’hémodynamique)


5.5- Écoulement en régime turbulent:

P = R.Q

Flux laminaire

Nombre de Reynolds critique

Flux turbulent

P R.Q4r

l8

Écoulement laminaire :Toute l’énergie consommée est utilisée pour lutter contre la viscosité.g h + 1/2 v2 + P + chaleur = cte

Relation linéaire entre P et le débit :

P = R.Q avec R=

Écoulement turbulent :Les tourbillons consomment une partie de l’énergie:chaleur + vibrations bruits et/ou souffle.Il n’y a plus proportionnalité entre P et Q.C’est un régime peu efficace.



II- Bases biophysiques de la mesure de la pression artérielle

1- Mode de mesure: manomètres à colonne de liquide

Les systèmes A et B diffèrent simplement par une commodité de lecture :

A: mesure la différence de hauteur des 2 ménisques

B: Le réservoir voit son niveau varier très peu (surface >> section du tube) et peut

être considéré comme le zéro du système.

Pression = hauteur de colonne de liquide h

En physiologie, selon le niveau des pressions à mesurer, on choisit des liquides différents : eau = 1.103 kg.m-3 ou mercure = 13,6.103 kg.m-3

UNITESLe millimètre de mercure: 1 mmHg = 1.10-3 x 9,8 x 13,6.103 = 133 PaLe centimètre d’eau : 1 cmH20 = 1.10-2 x 9,8 x 1.103 = 98 Pa 100 Pa

1- Mode de mesure: manomètres à colonne de liquide

Exercice : Pression artérielle (PA) et hauteur de liquide selon le manomètre à colonne de liquide choisi.

kg m-3 Eau(H2O)

mercure (Hg)

103 13,6 103

Calcul des hauteurs h:PA(x) = gh h = PA / g

cmH2O mmHgSi PA =13 kPa h=13.103/ 9,8 =1,32 103/ 132 97

Pascal

Selon manomètreH2OHg

D’où le choix du millimètre de mercure comme unité de mesure de la pression artérielle.


2- Résultats de la mesure directe:Capteur de pression introduit dans les vaisseaux artériels.

Mesure la pression latérale (P) (en s’affranchissant de la pression cinétique par positionnement du capteur et de la pression de pesanteur par la position allongée)


PA « Moyenne » = (PAsys + 2 PAdias)/ 3 = 96 mmHg = 13 kPa

Remarque: Une PA de « 14/8 » signifie une PA maximale de 140 mmHg et une minimale de 80 mmHg

PA « moyenne » = pression équivalente en régime non-pulsatile

110

90

70

Variation dans le temps: PA systolique PA diastolique

Maximale (systolique) = 135 mmHg = 18 kPaMinimale (diastolique) = 80 mm Hg = 11 kPa

3- Résultats en fonction de la position:

13 kPa96 mmHg

La valeur référence de mesure de la PA est celle au niveau du cœur.


3- Résultats en fonction de la position:

Calcul des pressions en position debout (condition statique):Sachant que PA (1,3) = 13 kPa = 96 mmHgEt que dP = - gdzEt que sang = eau = 103 kg/m3

13 kPa96 mmHg

PA(1,8) =PA(1,3) + dP(dz=0,5)= 13 103 - g 0,5= 13 103 - 103 x 9,8x 0,5= 13 103 – 4,9 103= 8,1 kPa= 8,1 103 / 133 = 61 mmHg

8,1 kPa61 mmHg

PA(0) = PA(1,3) + dP(dz=-1,3)= 13 103 + g 1,3= 13 103 + 12,74 103= 25,74 kPa= 25,74 103 /133 = 194 mmHg

25,74 kPa194 mmHg




III- Applications cliniques 1- Auscultation des souffles vasculaires.

4d2

4vd2

dQ4

Remarque ré-écriture de R en fonction de Q:- à débit constant, v et d sont liés : Q = S v

- section circulaire : S = Q = d v =

dv

- expression de R =

dQ4

=

Causes fonctionnelles

Causes lésionnelles

Un écoulement laminaire est silencieux; un régime turbulent est bruyant.Souffle à l’auscultation = écoulement turbulent en regard du stéthoscope.

Conditions d’apparition d’un souffle (R > 10 000)

Réduction du diamètre du conduit d :sténose vasculaire : souffle vasculairefuite ou sténose valvulaire : souffle cardiaque

Augmentation du débit Q : souffles d'effort

Diminution de : souffles liés à l'anémieremarque anémie : et Q

ExerciceRésultats de l’auscultation au niveau d'une valve aortique dans les 2 situations suivantes ?Situation 1 : d= 20 mm et vitesse d'éjection v= 0,4 m.s-1

Situation 2 : d= 15 mm et vitesse d'éjection v= 4 m.s-1 ?On donne : = 4.10-3 kg.m-1.s-1 = 103 kg m-3

Régime d’écoulement ? nombre de Reynolds R = d v / ?

Rappel R 2000 : écoulement toujours laminaire

R > 10 000 : écoulement toujours turbulent

1- R = (103 x 20.10-3 x 0,4) / 4.10-3 = 2.103 = 2000 laminaire

2- R = (103 x 15.10-3 x 4) / 4.10-3 = 15.103 = 15000 turbulent souffle

III- Applications cliniques 1- Auscultation des souffles vasculaires.

III- Applications cliniques 2- Mesure non-invasive de la pression artérielle.

Brassard

ManomètreHg

Stéthoscope

La pression artérielle correspond à la pression du sang dans les artères. On parle aussi de tension artérielle, car cette pression est aussi la force exercée par le sang sur la paroi des artères.

Mesure indirecte de la tension/pression artérielle.Basée sur la création artificielle d’une sténose par compression de l’artère humérale.

2.1- Méthode de mesure.

P>TA systolique

PTA systolique BRUIT

A chaque bref instant où l’artère est ouverte: TA max

P<TA systolique P>TA diastolique

BRUIT

Augmente en durée

P<TA diastolique

Disparitionde tout bruit:TA min


TA max

TA min

P= pression dans le brassard

TAdia < P < TAsys

P > TA systolique

Systole Diastole P

P < TAdia

Turbulence syst= bruit sec

Turbulence diast = bruit qui s’allonge


2.2- Interprétation des bruits de Korotkov

Physiquement = limites entre écoulements laminaire et turbulent.Mesure indirecte de la tension artérielle / mesure directe

Bruit

P

Pression sytolique mesurée directement

Pression diastolique

mesurée directement

On admet que- la TA max donnée par la méthodeindirecte = pression artérielle systolique- la TA min donnée par la méthodeindirecte = pression artérielle diastolique

Comparaison avec la mesure directe :- bon accord pour la P systolique- P diastolique sous-estimée

TA maxTA min

P brassard


2.3 - Bruits de Korotkov et TA par mesure invasive directe

IV- Applications à l’imagerie 1- IRM cardiaque.

Séquence « sang blanc »: le sang est en hypersignal si l’écoulement est laminaire.Flux turbulent = perte de signal.

Séquence « sang blanc »: le sang est en hypersignal si l’écoulement est laminaire.Flux turbulent = perte de signal.

IV- Applications à l’imagerie 1- IRM cardiaque.

L’équation de Bernouilli

1 - formalise le fait que, pour un fluide idéal, la somme des énergies potentielle de pesanteur, cinétique et de pression est constante.

2 - peut s’écrire en termes de pression et la somme devient celle des pressions latérale, terminale et d’aval.

3 - reste vérifiée dans le cas d’un fluide réel en écoulement laminaire

4 - permet de retomber sur la loi de Pascal dP = -gdz dans les conditions statiques

5 - explique l’augmentation de la pression latérale quand la section de la canalisation diminue en écoulement horizontal.

A : 1,2,5 B : 1,4 C : 2,3,5 D : 1 E : 1,2,3,4,5

1 - oui par définition E1 + E2 + E3 = m g h + 1/2 m v2 + P V = constante2 - non3 - non. N'est vérifiée que pour un fluide idéal4 - oui: v=0 gh + P = cte P = -gh + cte dP = -gdz5 - non: explique la DIMINUTION de pression latérale quand S

Exactement faite en cours- Concours 2002 – 50% bonnes réponses

La loi de Poiseuille

1 – Exprime la variation de débit en fonction des résistances à l’écoulement.

2 – S’applique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est newtonien.

3 – Fait intervenir le rayon du vaisseau à la puissance 4ième.

4 – N’est utilisable que pour une nombre de Reynolds inférieur à 2000.

5 – Permet d’expliquer l’évolution des pressions physiologiques moyennes le long de l’arbre vasculaire.

A : 1,2,3,4,5 B : 1,2,4 C : 2,3,5 D : 3,4,5 E : 4,5

1 – Non variation de pression2 – Non: écoulement laminaire3 - Oui4 - Oui5 - Oui

Mesure indirecte auscultatoire de la tension artérielle (TA).

1 Lorsque le brassard est gonflé à une pression supérieure à celle de la TA maximale, on entend un bruit dû à l’obstacle artériel.

2 Lorsque la pression dans le brassard devient inférieure à la TA maximale, on perçoit un bruit intermittent.

3 Ce bruit intermittent correspond au passage du sang seulement lors de la systole et en écoulement turbulent.

4 Lorsque la pression dans le brassard baisse en restant entre la TA maximale et la TA minimale, l’écoulement est laminaire et silencieux.

5 Lorsque la pression dans le brassard devient inférieure à la TA minimale, on perçoit un deuxième bruit dû à la fermeture des valves d’éjection.

A 1,2,3,4,5 B 2,3,4,5 C 1,4,5 D 2,3 E 3,4

Fait en cours Concours 2001 - 39% bonnes réponsesConcours 2002 - 50% bonnes réponses

Documents

L’équation de Bernouilli