Chapitre 3 -L’équation de transport de Boltzmann

5/10/2018 Chapitre 3 -L quation de transport de Boltzmann - slidepdf.com

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1

Chapitre 3 - L’équation de transport deBoltzmann

3.1 Introduction

3.2 L’espace des phases

3.3 L’équation de transport des neutrons3.4 Cas particuliers

3.5 L’approximation de diffusion

3.6 L’équation de diffusion à une vitesse3.7 Les conditions aux limites

3.8 L’équation de diffusion multi-énergétique



2

3.1 Introduction

• Le but poursuivi est de décrire le processus de ‘transport’ des neutrons dansle cœur d’un réacteur nucléaire et d’obtenir les conditions de maintien d’uneréaction en chaîne.

• Dans bien des cas, le mouvement est traité comme un processus de diffusion,comme si un gaz de particules (les neutrons) diffusait dans un autre (lesnoyaux) de manière à réduire les gradients de concentration.

Cette approche n’a qu’une validité limitée: elle suppose que les particules

diffusantes subissent un grand nombre de collision et admettent donc destrajectoires très irrégulières.

• Dans un réacteur, le libre parcours moyen des neutrons l (=St-1) est de

quelques centimètres, c-à-d. de l’ordre de grandeur de la taille d’un élémentcombustible. On n’est donc pas strictement dans les conditions requises pour appliquer une théorie de diffusion, du moins pas directement. D’où larecherche d’un autre modèle.



3

‘Théorie cinétique des gaz’

‘Equation de Boltzmann pour les gaz dilués’

L. Boltzmann (1844-1906) : un des fondateurs avec Gibbs et Maxwell de lamécanique statistique classique.

« Vorlesungen über die Gastheorie » (2ème edition 1912)

L. Boltzmann

(1844-1906)

J.W. Gibbs

(1839-1903)

J.C. Maxwell

(1831-1879)



4

3.2 L’espace des phases

Les variables indépendantes du problème sont au nombre de 7:

avec

Dans le cas présent, l’espace des phases est l’espace à 6 dimensions (par exemple ) dans lequel un point représente à tout instant, un point de

l’espace et une énergie cinétique et une direction de propagation .

Le système contient particules ( º 1017

à1). Il est donc exclu dedécrire l’état complet du système. Tout au plus, peut-on spécifier combien de

particules occupent en moyenne une cellule de l’espace des phases, de volumeautour du point de coordonnées , à l’instant t :

•

•

•

(+)

(+)

(+)



5

expression dans laquelle est la densité angulaire de neutrons(en particules/cm3/eV/stéradian), c’est-à-dire le nombre moyen de neutrons

qui, en , ont une énergie et se dirigent selon la direction , par unitéde volume, d’énergie et d’angle solide.

(+)

(+)

(+)

Figure 3.1

• Rappelons que := section efficace macroscopique selon le mode ‘x’,

= probabilité d’interaction par unité de longueur.

Intervalle de temps :



6

La distance totale parcourue par les particules de la cellule d’extensionau point de l’espace des phases est donc :

•

(+)

• Le nombre d’interactions de type ‘x’ subies par ces particules est :

(+)

• On introduit le flux angulaire de neutrons :

(1)(+)

et

(+)



7

• On montre que est le nombre de particules d’énergie

se déplaçant dans autour de qui traversent l’unité de surface

perpendiculairement à , par unité de temps.

Figure 3.2

• Nombre de particules traversant dA en dt (voir Figure 3.2)

(+)

• Pour un élément de surface fixe, orienté à l’aide du vecteur unité , lenombre de particules de la cellule traversant dA en dt est :

(+)

Figure 3.3



8

• Par définition, le vecteur :

(2)(+)

est appelé densité de courant angulaire au point à l’instant t.

En tout point le vecteur résultant,

(+) (3)

est appelé densité de courant. Il est tel que, pour une surface orientée à l’aide

du vecteur :

(+)

(4)(+)



9

(+)

(+) (5)

avec

(+)

La quantité définie par (5) n’est autre que le courant netde particules traversant l’unité de surface perpendiculaire au vecteur , les

particules se dirigeant dans le sens de étant comptabilisées positivement,les autres étant comptabilisées négativement (voir Figure 3.3).

On remarquera que pour toutes les directions telles que ,

on a .Par intégration sur les directions de propagation et sur l’énergie, on définit

encore les quantités suivantes:

•

•

(+)



10

et

(+)

avec les interprétations physiques évidentes, déduites de l’interprétation

physique de . Ainsi :

(+)

est le nombre de particules contenues dans , quelle que soit l’énergie

de ces particules ou quelle que soit leur direction de propagation .

De même :

(+)

est le nombre de collisions selon le mode ‘x’, par unité de temps dans le

volume autour de , quelle que soit l’énergie à laquelle la collision

a lieu.



11

3.3 L’équation de transport des neutrons

3.3.1 L’équation de bilan

• Recherche d’une équation pour , densité de particules au point

de l’espace des phases.

• On considère un volume V arbitraire de l’espace physique et on s’intéresse aux

particules d’énergie se propageant dans un angle solide autour de la

direction . Le nombre de particules contenues dans la portion de l’espace

des phases d’extension est :

• On écrit une équation de bilan pour les particules dans la région :

(+)



12

• Processus physiques liés aux ‘gains’ de neutrons

1. Les sources indépendantes de neutrons dans V :

(+)

2. Les courants ‘entrants’ dans V par la portion S 1

de la surfaceextérieure S :

(+)

Le signe négatif compense le fait que sur la surface extérieureS 1 on a :

Figure 3.4



13

3. Les neutrons dans un état dynamique qui, après diffusion

se retrouvent dans l’état dynamique :

(+)

• Processus physiques liés aux ‘pertes’ de neutrons

1. Les courants ‘sortants’ dans V par la portion S 2 de la surfaceextérieure S :

(+)

Sur la surface extérieure S2 on a . Comme on a à faireà une perte de neutrons, ce terme sera aussi affecté d’un signe (-)

dans l’équation du bilan.

2. Les absorptions de neutrons :

(+)



14

3. Les neutrons dans l’état dynamique qui, après diffusion

se retrouvent dans un état dynamique :

(+)

en vertu du fait que :

(+)

En rassemblant tous ces termes (et en simplifiant les deux membres par ), il vient :



15

(6)

(+)

Pour les courants entrants et sortants sur la surface extérieure du volume V,

on tient compte de ce que et on applique le théorème de la

divergence:

•

(+)



16

• Par ailleurs, on remarque que :

(+)

L’équation de bilan (6) devient donc :

(+)

Comme le volume V est arbitraire, l’équation de bilan doit être vérifiée à la

limite où . On convient d’utiliser le flux angulaire comme

inconnue. L’équation qui en résulte est l’équation de transport de Boltzmann

pour les milieux non-multiplicateurs

•



17

(7)

Equation de transport pour les milieux ‘non-multiplicateurs’

Dans le cas où le milieu contient des noyaux fissiles, il faut ajouter la

contribution de fission aux ‘gains’ en neutrons. En supposant la fission prompte

avec un spectre normalisé , le terme à ajouter à l’équation précédente

est :

•

(+)

et l’équation de transport pour les milieux multiplicateurs s’écrit cette fois:



18

Equation de transport pour les milieux ‘multiplicateurs’

On remarquera que l’équation de Boltzmann est une équation intégro-

différentielle aux dérivées partielles du premier ordre (en espace et en temps).

pour déterminer la solution d’un problème, il convient encore de spécifier des

conditions aux limites et une condition initiale.

•

3.3.2 Conditions aux limites de vide

Pour un milieu limité par une surface convexe (voir Figure 3.5), la conditionaux limites de vide s’écrit :

(+)

Figure 3.5



19

3.3.3 Condition initiale

A l’instant t=0, le flux angulaire est une fonction donnée dans tout l’espace

des phases :

(+)

Ecriture compacte de l’équation de transport :•

(9)(+)

Expression dans laquelle les opérateurs J (‘création’) et K (‘destruction’) sont

respectivement :

(+)

(+)



20

Dans le cas particulier où il n’y a pas de source extérieure, une solution

indépendante du temps (avec conditions aux limites de vide) satisfait

l’équation :

•

(10)

Cette équation homogène n’admet que la solution , sauf si l’opérateur (J-K) est singulier.

Un milieu multiplicateur est donc rendu ‘critique’ lorsque l’opérateur (J-K)

admet une valeur propre nulle. Dans ce cas, il existe une solution non-triviale pour laquelle on a :

(11)(+)

Introduisons le produit scalaire <y,j> de deux fonctions arbitraires

et :

(+)



21

En multipliant les deux membres de (11) par une fonction y arbitraire et en

intégrant, on conclut que :

(+)

relation qui exprime qu’à la criticité du système (existence d’une solution j

de (11), non identiquement nulle), le rapport des taux de production (<y, J j>)et de perte (<y, K j>) de neutrons est égal à l’unité.

La recherche de criticité s’effectue de la manière suivante: on introduit le

facteur de multiplication k dans (11) de telle sorte que l’équation devient :•

Le problème (12) est un problème aux valeurs propres (c-à-d. 1/k ) dont la

fonction propre associée au mode fondamental j fournit la distribution du flux

angulaire dans le milieu. On ajuste un paramètre dans K ou J de telle sorte que

k=1. On vérifie à l’aide d’une fonction test quelconque que :

(12)(+)

(+)

conforme à l’interprétation physique de k.



22

3.4 Cas particuliers

3.4.1 Equation de transport à une dimension

Nous commençons par le cas particulier d’un milieu uni-dimensionnel:•

(+)

(+)

Figure 3.6 (+)

Il y a symétrie cylindrique autour de l’axe des x et j ne dépend donc pas de

l’angle f (longitude) autour de x. Dans le cas non-multiplicateur, l’équationde transport s’écrit :

(+)

(13)



23

car

(+)

et on a posé

(+)

• Dans le cas du milieu multiplicateur, il faut ajouter

(+)

dans le membre de droite de (13).

3.4.2 L’approximation à une vitesse

Tous les neutrons ont la même énergie. On a donc :•

(+)



24

expression dans laquelle d est la fonction ‘delta’ de Dirac :

(+)

L’équation de transport en milieu non-multiplicateur devient :

(14)(+)

3.4.3 Source et diffusion isotropesSi, en plus, les réactions de diffusion et les sources extérieures sontisotropes, alors :

•

(+)

L’équation de transport se simplifie un peu plus :

(15)(+)



25

Les équations (14) et (15) ne peuvent être résolues que par voie numérique.

3.4.4 Cas du milieu purement capturant

Considérons à présent le cas (purement théorique) d’un milieu dans lequel

toute collision est absorbante. On a donc :

•

(+)

Comme , l’équation de transport en milieu non-multiplicateur

se réduit à :

Pour le cas indépendant du temps, (16) devient :

(+) (16)

(+)

La solution de cette équation peut être écrite sous une forme compacte (c’est-

à-dire moyennant l’évaluation d’une quadrature) quelle que soit la source.



26

A/ Premier cas : (transport dans le vide)

(+)

On introduit une coordonnée paramétrique R dans la direction .L’équation précédente devient :

(+)

(+)

(+)

Pour une source unité mono-énergétique ponctuelle et isotrope située en:

•

(+)



27

(+)

Comme,

(+)

on en conclut que :

B/ Deuxième cas : (milieu purement capturant)

Introduisons le facteur intégrant

(+)

En développant cette expression, on obtient (17) :



28

(+)

dont la solution s’écrit, compte tenu de (18) :

(+)

Lorsque , alors il convient de remplacer par

avec

(+)

Pour une source unité mono-énergétique, ponctuelle et isotrope en ,

on obtient par le même procédé que précédemment :

•



29

Si cette source est déplacée au point , la solution devient :

(19)(+)

Enfin, comme l’équation dez transport est linéaire, pour une source

mono-énergétique q distribuée dans un volume V 0 , on a par superpositionde solutions élémentaires (19):

•

(+)

La fonction où est l’expression (19) est connue

sous le nom de fonction de Green du problème de transport en milieu infini

purement capturant. Elle fournit la solution générale (c-à-d. quelle que soit lasource q) de tout problème moyennant une quadrature. On rencontrera ce

Concept à d’autres reprises dans la suite du cours.



30

3.5 L’approximation de diffusion

Equation de transport dans un milieu multiplicateur, dépendant du temps,

avec source extérieure de neutrons :

On veut éliminer la dépendance angulaire pour abaisser le nombre de

variables indépendantes du problème. On égale à zéro les moments d’ordre 0 et 1

en de l’équation de transport :

expressions dans lesquelles la quantité […] représente le membre de gauche de

(20).

•

(20)

(21)

(22)

(+)

(+)

(+)

•



31

3.5.1 Equation de continuité

Comme, par définition, on a :•

(23)(+)

(24)(+)

les termes de l’équation de continuité (21) sont faciles à construire, à l’exceptiondu terme de transfert :

(+)

(+)

Figure 3.7



32

Pour une direction donnée, en intégrant sur tous les angles solides autour

de la direction , on a :

•

(+)

D’où il résulte que :

(+)

• Le moment d’ordre 0 de l’équation de transport (l’équation de continuité)

s’écrit donc :

(+)

(25)

i d l ll l l i d d d l



33

expression dans laquelle est le moment angulaire d’ordre 0 de la

source extérieure :

(+)

On remarquera que l’équation de continuité (25) contient deux inconnues

et , entre lesquelles existe le lien que constituent les relations (23) et (24).•

3.5.2 Equation de courant

Introduisons l’inconnue auxiliaire suivante :•

(26)(+)

qui a la forme d’un tenseur du second ordre (une matrice). Le terme de transport

devient :

(+)



34

Comme dans le cas de l’équation de continuité, c’est le terme de transfert qui est

le plus délicat à traiter. L’analyse qui suit n’est pas rigoureuse, mais elle fournit

le résultat exact.

Rappelons d’abord que :

(+)

Comme

il en résulte que :

(+)

(+)

(27)

avec :



35

(28)(+)

Le point délicat consiste à remplacer à la première égalité de (27), le groupement

(un vecteur) par le groupement , ce qui est incorrect.

Toutefois, du fait des quadratures sur les angles solides, ceci conduit malgré tout

au bon résultat.

Compte tenu de (27), le moment d’ordre 1 de l’équation de transport (l’équation

de courant) s’écrit :•

(+)

(29)

expression dans laquelle est le moment angulaire d’ordre 1 de lasource extérieure :

(+)



36

On remarquera que (29) ne contient aucune contribution de fission. Cela résulte

du fait que la distribution des neutrons de fission est isotrope et que :•

(+)

comme on le vérifie très aisément par intégration directe (voir Eq. (33)).

On se trouve une fois de plus face à une équation faisant apparaître 2 inconnues,

et liées par les relations (24) et (26).

Rien n’empêche de poursuivre cette démarche et de ‘projeter’ l’équation de

transport sur des espaces polynomiaux de degrés de plus en plus élevés. On

s’arrête cependant au degré 1 et on procède à la recherche d’une approximation.

Cette approximation est connue sous le nom d’approximation P 1 (ou aussi sous

le nom d’approximation de diffusion). Les équations (25) et (29) en sont le point

de départ.

•

3 6 L’é ti d diff i à it



37

3.6 L’équation de diffusion à une vitesse

• Pour des neutrons mono-énergétiques et en l’absence de fission, les équationsde continuité et de courant deviennent :

(30)(+)

(31)(+)

où les quantités , et dont des fonctions de . En effet :

(+)

(+)

Comme par ailleurs on a, compte tenu de la relation (28)

(+)



38

la section dans (31) peut être remplacée par .

Nous avons vu au chap.1 que les sections efficaces différentielles de diffusion

dans les référentiels du laboratoire (L) et du centre de masse (M) sont reliées par

la relation :

•

(+)

(32)

Pour une diffusion isotrope dans CM, et la relation (32)

devient :

•

(+)

Il en résulte que dans ce cas précis :

(+)

Mais en vertu d’un résultat de la cinématique des collisions à 2 corps, on a :

( )



39

(+)

d’où on obtient que :

(+)

Une collision isotrope dans CM est approximativement isotrope dans L, pour autant que A à1 :

Ecrivons le flux angulaire j sous la forme d’un développement en série de

MacLaurin de limité au premier degré:

(+)

•

Comme on peut aisément vérifier par calcul direct des quadratures que :

(33)

(34)

(35)

(+)

(+)

(+)

i l é l i



40

on a successivement les résultats suivants :

1/(+)

2/ (+)

avec, par exemple :

(+)

Compte tenu des résultats (33)-(35), il vient :

(+)

d’où il résulte finalement que :



41

3/ (+)

En limitant le développement de j à l’ordre 0, on a :

(+)

c’est-à-dire, compte tenu des quadratures (34)-(35) :

(+)

d’où le résultat :

En remplaçant le terme de l’équation (31) par son approximation•



42

En remplaçant le terme de l équation (31) par son approximation

(38), on obtient une nouvelle équation que l’on écrit :

(39)(+)

•

et où on introduit la section macroscopique de transport Str définie par :

(+)

Dans la mesure où les deux hypothèses suiuvantes sont satisfaites :

(40)(+)

l’Eq. (39) se simplifie en :

(41)(+)

connue sous le nom de loi de Fick . Le coefficient est le ‘coefficient

de diffusion’ du milieu.

En introduisant la loi de Fick dans l’équation de continuité (30) on obtient•



43

En introduisant la loi de Fick dans l équation de continuité (30), on obtient

l’équation de diffusion mono-énergétique connue également sous le nom de

‘modèle P 1’ :

•

Dans le cas où le problème ne dépend pas du temps, l’équation de diffusion

devient :•

(42)

(43)

Les équations (42) et (43) sont des équations aux dérivées partielles du second

ordre respectivement de type parabolique et elliptique avec des coefficients Det Sa dépendant de la variable spatiale et, en règle générale, continus par

morceaux.

Si le milieu ne contient pas de sources extérieures de neutrons mais de la•



44

Si le milieu ne contient pas de sources extérieures de neutrons, mais de la

matière fissile, les équations (42) et (43) deviennent respectivement :

et

Comme précédemment, l’équation homogène (45) n’admet pas d’autre solution

(en toute généralité) que F=0. Pour obtenir une solution non-triviale, il convientDe résoudre le problème aux valeurs propres :

•

(44)

(45)(+)

(46)

et d’agir sur un degré de liberté du problème (absorption, fission, géométrie, etc…)

pour faire en sorte que k=1 .

3.7 Les conditions aux limites



45

3.7 Les conditions aux limites

• Pour procéder à la recherche d’une solution il convient de définir les conditionsaux limites du problème ainsi que la condition initiale pour un problème dépendant

du temps.

• Comme le milieux matériels auxquels on s’intéressse résultent de la juxtaposition de milieux ayant des propriétés physiques différentes, on aura

deux types de conditions aux limites :

1/ les CL internes aux intefaces,

2/ les CL externes, à la frontière du milieu matériel

3.7.1 Condition aux limites d’interface

• En un inteface entre deux milieux matériels différents (A et B) et en l’absencede sources superficielles (ou d’absorbants) à l’interface, en transport il doit y avoir

continuité du flux angulaire en tout point de l’interface S AB :



46

(+)

Figure 3.8

En théorie de diffusion, il convient de remplacer cette relation par les deuxconditions suivantes :

(+)

(+)

ce qui donne :

(47)(+)

(48)(+)

Flux et courants doivent être continus aux interfaces dans le milieu matériel.Compote tenu de la loi de Fick, la relation (48) devient :

(+)



47

(+)

Si D A∫ D B on en conclut que la dérivée normale du flux à l’interface S estdiscontinue.

3.7.2 Condition aux limites externe

Pour un milieu matériel convexe plongé dans le vide, la condition aux limites

à la surface extérieure S du milieu s’écrit :•

(49)(+)

En théorie de diffusion, la condition (49) est dépourvue de sens. On la remplace

par une condition de courant entrant nulle. En tout point où le vecteur

Unité sur la normale extérieure est :

(50)(+)

L’hémisphère 2p - est définie par la condition (4) On introduit le développement



48

L hémisphère 2p est définie par la condition (4). On introduit le développement

(36) dans (50) et on effectue le calcul des quadratures, ce qui donne :

(51)(+)

Cette CL, combinaison linéaire de la fonction et de sa dérivée normale (inconnues)

Est la condition de Robin. En géométrie plane, elle s’écrit :

(+)

En prolongeant la fonction F linéairement en

dehors du domaine (voir Fig. 3.9) par le droite

de pente dF/dx, il vient :

(+)

Figure 3.9



49

La quantité xe est appelée distance d’extrapolation du milieu. En pratique,

compte tenu du fait que 2 D á H (H, taille du milieu), on remplace la conditionde Robin (51) par la condition de Dirichlet homogène F=0, sur la frontière

extraplolée du milieu c’est-à-dire sur les dimensions physiques ‘augmentées’

de 2 D.

•

3.8 L’équation de diffusion multi-énergétique



50

q g q

• Revenons aux équations de continuité (25) et du courant (29) dans le casmulti-énergétique pour un milieu sans matière fissile. Avec les mêmes

Hypothèses que dans le cas mono-énergétique (voir (40)), à savoir :

(+)

et en remplaçant par son approximation (38), l’équation du courant

(29) devient :

(53)(+)

La présence dans (52) du terme intégral empêche l’élimination de au profit

de . Toutefois, si la diffusion est isotrope dans L, alors S s1= 0 et onretrouve la loi de Fick, avec :

(+)

Il convient d’insister sur le fait que cette condition n’est pas réaliste.

Si la section de transfert est concentrée autour de E, alors en première•



51

approximation et on retrouve la loi de Fick

avec un coefficient de diffusion :

(+)

En éliminant le courant dans l’équation de continuité (25), on obtient l’équationde l’approximation P 1 dans le cas multi-énergétique :

(53)

Dans le cas indépendant du temps, l’équation précédente devient :

(54)

Enfin, pour le cas du milieu multiplicateur sans source extérieure de neutrons,•



52

le problème de recherche de criticité s’écrit :

(55)

Les équations ci-dessus sont le point de départ du modèle multigroupe-diffusion

qui est le modèle standard pour les calculs d’exploitation des réacteurs de

puissance (PWR, BWR, HTR, …).

Les équations (53) et (54) peuvent également se mettre sous une forme compactecomme celle utilisée plus haut pour l’équation de transport. Si le milieu comportedes noyaux fissiles et une source extérieure, on a respectivement :

•

(56)

(57)

les opérateurs de création ( J ) et de destruction ( K ) s’écrivant cette fois:



53

(+)

(+)

Lorsque le milieu multiplicateur ne comporte pas de source extérieure de

neutrons, le problème aux valeurs propres s’écrit :•

(58)

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Chapitre 3 -L’équation de transport de Boltzmann