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Position et vitesse d’une particule quantique
L’équation de Schrödinger générale
Chapitre 2
Joseph Fourier 1768-1830
William R. Hamilton 1805-1865
La particule libre en mécanique quantique
En mécanique quantique, l’état d’une particule ponctuelle est décrit par une fonction d’onde (on se limitera ici au cas à une dimension)
Description probabiliste : Une mesure de position donnera le résultat à près avec la probabilité
Si la particule est libre, c’est-à-dire n’est soumise à aucune force, ni aucune mesure, l’évolution de est donnée par
Evolution dans le temps :
ψ(x, t)
x
ψ(x, t)
i�∂ψ
∂t= − �2
2m
∂2ψ
∂x2
dP = |ψ(x, t)|2 dx
dx
P(x, t) = |ψ(x, t)|2densité de probabilité :
Evolution selon l’équation de Schrödinger
!" #############$%#&'%()'%#*$##+" #############$%#&'%()'%#*$######################$,################-" #############*$#./%012$#32'4/40506,$##
##########$%#&'%()'%#*$##
En intégrant l’équation de Schrödinger on obtient :
ψ(x, t)
i�∂ψ
∂t= − �2
2m
∂2ψ
∂x2
ψ(x, t = 0)
ψ(x, t) ψ(x, t = 0)∂ψ(x, t)
∂t|t=0
|ψ(x, t = 0)|2ψ(x, t)
QCM !
Questions centrales du cours d’aujourd’hui
Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse ou l’impulsion d'une particule quantique ?
Il s’agit d’un résultat probabiliste comme pour la position
La densité de probabilité pour l’impulsion est donnée par
où est la transformée de Fourier de
Peut-on connaître à la fois la position et l’impulsion d’une particule ?
Notion d’opérateurs "position", "impulsion", et "énergie"
Les "relations d'incertitude" ou inégalités de Heisenberg.
Quelle est l'équation de Schrödinger en présence d’un potentiel ? V (x)
1.
La transformation de Fourier
1768-1830
Des séries de Fourier à la transformation de Fourier
Fonction périodique de classe C2
Convergence uniforme,
g(x)g(x)
g(x) =+∞�
n=−∞fn einξ0x ξ0 =
2π
L
L
x
Peut-on exprimer une fonction non périodique comme une somme « continue » d’exponentielles oscillantes ?
?
Si oui, comment trouver connaissant ?
g(x)
g(x)
x
eiξx
g(x) =
� +∞
−∞f(ξ) eiξxdξ
g(x)f(ξ)
fn =1
L
� L
0g(x) e−inξ0xdx
La transformation de Fourier, du cours de maths au cours de physique
Maths en tronc commun : la TF est définie dans L1 (fonctions sommables)
f −→ f f(ξ) :=�
RN
e−iξ·x f(x) dx
Physique : la TF est définie dans L2 (fonctions de carré sommable)
1D :
On utilise aussi l’espace S de Schwartz : fonctions décroissant plus vite que toute puissance de x à l’infini
ϕ(p) :=1√2π�
� +∞
−∞e−ixp/� ψ(x) dx
C∞
ψ −→ ϕ
xp/� : sans dimension, x = longueur, = Joule.seconde p = impulsion �
Connaissant , on calcule en utilisant
Inversement, peut-on reconstruire si on connaît sa TF ?
=> se souvenir de la valeur du signe dans
On dit par convention que est la TF directe de
TF
et que est la TF inverse de
position (TF inverse)
impulsion (TF directe)
OUI !
"Formule d'inversion" de la TF
Trois propriétés cruciales de la TF pour la physique (I)
Trois propriétés cruciales de la TF pour la physique (II)
La TF est une isométrie pour l’espace L2 TF TF
Notation compacte: �ψ1|ψ2� = �ϕ1|ϕ2�
ψ1(x) ψ2(x) ϕ2(p)ϕ1(p)
�ψ∗
1(x) ψ2(x) dx =�
ϕ∗1(p) ϕ2(p) dp
Si est normée, alors l’est également :
1 = �ψ|ψ� = �ϕ|ϕ�Notation compacte:
1 =�
|ψ(x)|2 dx =�
|ϕ(p)|2 dp
ψ(x) ϕ(p)
dψ(x)dx
=1√2π�
�eixp/� ip
� ϕ(p) dp
On en déduit la TF de la dérivée de par rapport à x :
Dérivation et transformée de Fourier
On part de
et on suppose qu’on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l’espace S)
TF
[ ]
ψ(x) ϕ(p)
ψ(x) =1√2π�
�eixp/� ϕ(p) dp
TF dψ(x)dx
ip� ϕ(p)
[]
TF
Trois propriétés cruciales de la TF pour la physique (III)
Dérivation par rapport à dans l’espace des positions = multiplication par dans l’espace des impulsions ip/�
x
Dérivation dans l’espace des impulsions
!" ###########+" ##-" ###############7" ##
La dérivation par rapport à dans l’espace des impulsions correspond à une multiplication dans l’espace des positions, par le facteur :
p
ix/�i�/x−ix/�−i�/x
Pourquoi Fourier ?
Mathématicien, physicien, égyptologue, diplomate...
Professeur à l'Ecole Polytechnique, succède à Laplace (1797) Préfet de l'Isère en 1802, Académie des Sciences en 1817
Travaux sur la propagation de la chaleur, sur l'effet de serre... Longtemps critiqué pour son manque de rigueur mathématique, complètement "réhabilité" au 20e siècle.
Joseph Fourier 1768-1830
Equation de la chaleur
∂u(x, t)∂t
= D∂2u(x, t)
∂x2
=> Equation de Schrödinger en temps imaginaire => La TF permet de transformer des équations différentielles en équations algébriques
i�∂ψ
∂t= − �2
2m
∂2ψ
∂x2
et on cherche la solution de l’équation de Schrödinger :
Résolution de l’équation de Schrödinger (particule libre)
La TF de l’équation de Schrödinger est donc :
On se donne comme condition initiale la fonction d’onde à l’instant t=0 :
On utilise la transformation de Fourier
Cette équation s’intègre facilement :
Remarque :
Résolution de l’éq. de Schrödinger (particule libre) - suite
Une fois connue la transformée de Fourier à tout instant t
on peut en déduire à tout t par transformation de Fourier inverse :
c’est-à-dire :
Méthode générale de résolution de l’équation de Schrödinger libre !
ϕ(p, 0) =1√2π�
� +∞
−∞ψ(x, 0) e−ixp/� dx"Condition initiale" :
ψ(x, t) =1√2π�
� +∞
−∞ϕ(p, 0) e−ip2t/(2m�) eixp/� dp
2.
La distribution en impulsion d’une particule quantique
Transformation de Fourier et distribution en impulsion
Proposition : si une particule est dans l’état , alors la distribution de probabilité pour son impulsion est :
TF
Est-ce raisonnable ?
1) On a vu que est normée si est normée, donc
3) Est-ce conforme à l’intuition qu’on a d’une vitesse ou d’une impulsion ?
2) On a vu que . La quantité est donc indépendante du temps, comme attendu pour une particule libre.
Classiquement, une fois connue la trajectoire de la particule, on définit l’impulsion de la particule par :
p = mdx
dt
x(t)Retrouve-t-on ce résultat au niveau quantique pour les valeurs moyennes ?
�p�t = md�x�t
dt ?
Impulsion moyenne d'une particule libre quantique
Au niveau quantique, on sait calculer l’évolution de la position moyenne de la particule en fonction du temps :
x x
Trouve-t-on si on définit
par ?
�p�t
|ψ(x, 0)|2 |ψ(x, t)|2
�x�0 �x�t
�x�t =�
x |ψ(x, t)|2 dx�x�0 =�
x |ψ(x, 0)|2 dx
�p�t =�
p |ϕ(p, t)|2 dp
�p�t = md�x�t
dt
Un résultat utile pour la suite du cours
Comment s’exprime en fonction de ? ψ(x)
ψ(x)ϕ(p) TF
�p� =�
p |ϕ(p)|2 dp
On réécrit cette valeur moyenne sous la forme :
isométrie :
�p� =�
ϕ∗(p) p ϕ(p) dp
�ϕ∗
1(p) ϕ2(p) dp =�
ψ∗1(x) ψ2(x) dx
dérivation :
d'où le résultat:
ϕ2(p) = p ϕ(p) TF ψ2(x) =�i
dψ(x)dx
�p� =�
ψ∗(x)�i
dψ(x)dx
dx
TF ϕ1( p ) = ϕ( p ) ψ1(x) = ψ(x)
Retour à la question : ?
L’évolution de la position moyenne de la particule est donnée par
�p�t = md�x�t
dt
d�x�t
dt=
ddt
�x ψ∗(x, t) ψ(x, t) dx =
�x ψ∗ ∂ψ
∂tdx +
�x
∂ψ∗
∂tψ dx
ψIntégration par parties en supposant que tend vers 0 quand
On injecte alors l’évolution donnée par l’équation de Schrödinger
i�∂ψ
∂t= − �2
2m
∂2ψ
∂x2−i�∂ψ∗
∂t= − �2
2m
∂2ψ∗
∂x2
|x|→∞
à vérifier en exercice (ne pas oublier que est normée) ψ
d�x�tdt
=
�ψ∗ �
im
∂ψ
∂xdx
La relation attendue est vérifiée !
cf. diapo précédente md�x�tdt
=
�ψ∗ �
i
∂ψ
∂xdx = �p�t
Démonstration pour les densités de probabilités ?
A l’instant , la particule a pour fonction d’onde t = 0 ψ(x, 0)
x
|ψ(x, 0)|2
�x�0
∆x0
Méthode de temps de vol : la particule évolue pendant un temps t suffisamment long de sorte que (on peut montrer que quand ) ∆xt � ∆x0
x∆xt
L
�x�0 x = �x�0 + L
∆xt ∝ t t→∞
Si , la distribution de position reproduit la distribution de vitesse (ou d'impulsion) initiale, et on trouve qu'elle s'identifie bien à L’analyse rigoureuse de ce problème est faite au chapitre 2, §6 (hors programme)
∆xt >> ∆x0|ϕ(p, 0)|2
|ψ(x = x0 + L, t)|2
∝ |ϕ(p = mL/t, 0)|2
3.
Opérateurs position, impulsion, énergie
Equation de Schrödinger générale
Position et impulsion en mécanique quantique
Valeur moyenne de la position :
Valeur moyenne de l’impulsion :
multiplication par x
Structure commune en terme d’opérateur :
ψ(x) x−→ x ψ(x)
fois la dérivation par rapport à x
Nous généraliserons plus tard cette structure à toute quantité physique
=�
ψ∗(x) x ψ(x) dx�x� =�
x |ψ(x)|2 dx
�p� =�
p |ϕ(p)|2 dp
�p� =�
ψ∗(x) [p ψ(x)] dx
�x� =�
ψ∗(x) [x ψ(x)] dx
=�
ψ∗(x)�i
dψ
dxdx
ψ(x) p−→ �i
dψ(x)dx
Retour sur l’équation de Schrödinger pour une particule libre
Nous avons vu que l’évolution de la fonction d’onde d’une particule libre était régie à une dimension par l’équation :
i�∂ψ
∂t= − �2
2m
∂2ψ
∂x2
ψ(x, t)
ou encore i�∂ψ
∂t= Hψ avec H =
p2
2m
est l’opérateur « énergie cinétique », qui coïncide ici avec l'énergie totale car aucun potentiel n’est pris en compte H
Equation de Schrödinger = lien temps - énergie
Cette équation peut se réécrire en utilisant l’opérateur impulsion
i�∂ψ
∂t=
p2
2mψ avec ψ(x) p−→ �
i
∂ψ(x)∂x
L’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel
V(x)
x
Nous allons garder la structure i�∂ψ
∂t= Hψ
en incluant dans toutes les contributions à l'énergie de la particule : cinétique et potentielle
H
avec
Equivalent quantique du principe fondamental de la dynamique (Newton)
L’équation de Schrödinger qui régit l’évolution de la fonction d’onde d’une particule de masse m en mouvement dans le potentiel V(x) s’écrit :
Principe 2 (cas général) ψ(x, t)
i�∂ψ
∂t= Hψ H =
p2
2m+ V (x)
Hψ(x, t) = − �2
2m
∂2ψ(x, t)∂x2
+ V (x)ψ(x, t)Ecriture explicite :
: opérateur énergie totale ou « Hamiltonien » H
Pourquoi Hamilton ?
Mathématicien, physicien, astronome irlandais
Parlait 10 langues à 12 ans
Inventeur des quaternions, contributions majeures à l'analyse vectorielle et à l’algèbre linéaire (th. de Cayley-Hamilton)
La mécanique newtonienne correspond à la même limite que l'optique géométrique par rapport à l'optique ondulatoire
Après Lagrange, il reformule la mécanique de Newton
Effectue la synthèse entre l'optique ondulatoire et l'optique géométrique
1805-1865
optique géométrique
optique ondulatoire
mécanique newtonienne ?
4.
Paquets d’ondes
Inégalités de Heisenberg
Interprétation « physique » de la TF
est une superposition d’ondes de de Broglie
Premier amphi : on a vu l’onde de de Broglie associée à une particule d’impulsion , mais cette onde n’est pas normalisée
Aujourd’hui : toute fonction d’onde normalisée peut s’écrire
représente l’amplitude de l’onde dans ce développement
+ + =
paquet d’ondes
p0
ψ(x) =1√2π�
�eixp/� ϕ(p) dp
ψ(x)
ϕ(p) eixp/�
ψ(x) = eixp0/�
eixp/�
Les paquets d’ondes
Considérons une particule au point avec l’impulsion La phrase classique
doit être remplacée par :
avec une densité de probabilité en position centrée autour de
Considérons une particule dans l’état de TF ,
avec une densité de probabilité en impulsion centrée autour de
∼ σ ≥ �/σ
Les calculs de TF peuvent être menés analytiquement avec des gaussiennes.
Pour le paquet d’ondes , on a : ∆x ∆p =�2
ϕ(p) ∝ e−(p−p0)2/(4q2)
L’exemple d’un paquet d’ondes « gaussien »
Les calculs de TF peuvent être menés analytiquement avec les gaussiennes
�p� = p0
∆p = q
moyenne :
écart-type :
Quelle est la fonction d’onde correspondante ? ψ(x)
p
p0
P(p)
2∆p
moyenne :
écart-type :
�x� = 0
∆x =�2q
Pour ce paquet d’ondes gaussien, on a toujours : ∆x ∆p =�2
Re(ψ)
x
2∆x
h/p0
ψ(x) ∝ eip0x/� e−q2x2/�2 P(x) ∝ e−2q2x2/�2
ϕ(p) ∝ e−(p−p0)2/(4q2) P(p) ∝ e−(p−p0)
2/(2q2)
Deux cas limites intéressants du paquet gaussien Le paquet quasi-monocinétique : ∆p� p0
Il y a alors beaucoup d’oscillations de avec une amplitude similaire car
λ =h
p0� ∆x =
�2 ∆p
ψ(x)
Re(ψ)
x
∆x
λOn retrouve une onde plane dans la limite ∆p→ 0
Le paquet bien localisé : ∆x ≈ λ
L’impulsion est alors mal définie : ∆p ≈ p0
: un paquet ne peut pas être à la fois bien localisé et quasi-monocinétique ∆x ∆p =�2
Re(ψ)
x
On voit sur le cas du paquet d’ondes gaussien qu’une bonne localisation en x se « paye » par une mauvaise localisation en p et réciproquement.
Est-ce général ? OUI !
P(p) = |ϕ(p)|2
P(x) = |ψ(x)|2
∆x =��x2� − �x�2
�1/2
Distribution de probabilité pour la position de la particule :
Distribution de probabilité pour l’impulsion de la particule :
∆p =��p2� − �p�2
�1/2
On a toujours : ∆x ∆p ≥ �2
cf. PC
Les inégalités de Heisenberg
∆x ∆px ≥ �2, ∆y ∆py ≥ �
2, ∆z ∆pz ≥ �
2Trois dim, vrai pour chaque axe:
L’inégalité de Heisenberg signifie que :
A. le produit de la résolution des mesures de x et de p doit être plus grand que#
B. il est impossible de préparer une particule dans un état où sa position et son impulsion sont simultanément arbitrairement bien définies
C. le paquet d’onde s’étale
Signification physique des inégalités de Heisenberg
∆x ∆p ≥ �2
�/2
A. le produit de la résolution des mesures de x et de p doit être plus grand que
B. il est impossible de préparer une particule dans un état où sa position et son impulsion sont simultanément arbitrairement bien définies
C. le paquet d’onde s’étale
L’inégalité de Heisenberg signifie que :
Signification physique des inégalités de Heisenberg
∆x ∆p ≥ �2
�/2
On considère 2N particules toutes préparées dans le même état
Mesure de la position sur N particules Mesure de l’impulsion sur N particules
ψ(x) TF←→ ϕ(p)
x p
n(p)n(x)
�x�∆x ∆p
�p�
Ces histogrammes ne peuvent pas être simultanément arbitrairement étroits
5.
La stabilité de la matière assurée par les inégalités de Heisenberg
L’instabilité de la matière « classique » (1) La « catastrophe » du rayonnement classique pour un atome :
une charge accélérée rayonne.
un électron tournant autour d’un noyau est accéléré,
Dans le modèle planétaire classique, l’électron en rotation autour du noyau finit par « tomber » sur ce noyau.
énergie totale : Etot → −∞r → 0
Etot = Ecin + V (r) = − e2
2r
énergie cinétique : Ecin =1
2mv2 =
1
2m
e2
mr=
e2
2rEcin =
e2
2r
Un électron en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de pulsation
équilibre des forces :
énergie potentielle : V (r) = −e2/r e2 =q2
4πε0
ω
mω2r = e2/r2 v = ωr = e/√mr
L’instabilité de la matière « classique » (2)
Puissance rayonnée par une charge accélérée (cf. cours d’électromagnétisme antérieur) :
P ∼ e2a2
c3
a = ω2r : accélération c : vitesse de la lumière
Valeur typiques : r = 1 A ω ≈ 2 1016 s−1
La perte relative d’énergie par tour est faible ( ), mais l’électron fait tours par seconde…
En un temps de l’ordre de , l'électron devrait tomber sur le noyau !
e2/r
mc2≈ 3 10−5
ω/(2π) ≈ 3 1015
m2c3r3/e4 ≈ 0.4 ns
≈ 10−6
→ δE = 2πPω
= 2πe2r2ω3
c3
ωr = e/√mr
δE
|Etot|∼ 4π
�ωrc
�3= 4π
�e2/r
mc2
�3/2
|Etot| = e2/2rPerte relative d’énergie sur un tour :
La stabilité de la matière « quantique »
Les atomes sauvés par les inégalités de Heisenberg…
Confiner une particule dans une région d’étendue L « coûte » de l’énergie cinétique :
∆x ≤ L
L
classique quantique
Quand la taille L de « l’orbite » tend vers 0, ce coût en énergie cinétique l’emporte sur le gain en énergie potentielle ∝ 1/L2 ∝ −1/L
∆px ≥ �2L
��r � = � �p � = 0
∆x∆px ≥ �/2∆y∆py ≥ �/2∆z∆pz ≥ �/2
On a donc Ecin =| �p |2
2m=
∆p2
2m≥ 3�2
8mL2
| �p |2 = p2x + p2y + p2z
= ∆p2x +∆p2y +∆p2z
= ∆p2
La taille de « l’orbite » de l’électron qui minimise son énergie totale
Minimum de atteint pour
Raisonnement non rigoureux, mais qui donne bien (à un facteur numérique ¾ près) le rayon de Bohr, c’est-à-dire la taille de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène
Etot = Ecin + Epot
Epot ∼ V (L) = −e2
L
Etot
LLmin
Dans cet état fondamental, l’atome ne peut pas rayonner d’énergie
Ecin ∼ 3�28mL2
3�28mL2
− e2
LLmin =
3�24me2
En résumé
Distribution de probabilité pour la position et pour l’impulsion |ψ(x)|2 |ϕ(p)|2
TF ∆x∆p ≥ �2
Equation de Schrödinger générale :
H =p2
2m+ V (x)Opérateur énergie ou « Hamiltonien »
i�∂ψ
∂t= Hψ
Structure opératorielle :
ψ(x) x−→ x ψ(x)Opérateur position :
Opérateur impulsion : �p� =�
ψ∗(x) [p ψ(x)] dx
�x� =�
ψ∗(x) [x ψ(x)] dx
ψ(x) p−→ �i
∂ψ(x)∂x
Calcul de l'exercice : ?
L’évolution de la position moyenne de la particule est donnée par
�p�t = md�x�t
dt
d�x�t
dt=
ddt
�x ψ∗(x, t) ψ(x, t) dx =
�x ψ∗ ∂ψ
∂tdx +
�x
∂ψ∗
∂tψ dx
ψEn utilisant l’équation de Schrödinger et en intégrant par parties, en supposant que tend rapidement vers 0 quand : |x|→∞
d�x�tdt
=�
2im
�−�
x ψ∗ ∂2ψ
∂x2dx+
�x∂2ψ∗
∂x2ψ dx
�
=�
2im
��(ψ∗ + x
∂ψ∗
∂x)∂ψ
∂xdx−
�(ψ + x
∂ψ
∂x)∂ψ∗
∂xdx
�
=�
2im
��ψ∗ ∂ψ
∂xdx−
�ψ
∂ψ∗
∂xdx
�
=�im
�ψ∗ ∂ψ
∂xdx car
�|ψ|2 dx = 1.
