LES ACTIVITES UN THEME A RETRAVAILLER

Suzette ROUSSET-BERT lREM de Strasbourg

Reacutesumeacute Les laquoactiviteacutes raquo agrave la mode dans les manuels pennettent-elles vraiment des apprentissages

matheacutematiques Que pensent de jeunes enseignants sur le sujet Quel minimum didactique introduire en

fonnation pour privileacutegier le point de vue des conditions de lacquisition des connaissances par les eacutelegraveves

dans le choix ou le rejet des activiteacutes trouveacutees dans les manuels

Introduction

On constate depuis quelques anneacutees une sorte dengouement pour laquo les activiteacutesraquo dans lenseignement des matheacutematiques activiteacutes de reacuteinvestissement ou activiteacutes preacuteparatoires agrave lintroduction dun concept Nul manuel scolaire ne peut commencer un chapitre sans proposer des activiteacutes dites laquopreacuteparatoires raquo Ces activiteacutes permettentshyelles vraiment des apprentissages matheacutematiques

Agrave loccasion de stages de formation des jeunes enseignants dans lacadeacutemie de Strasbourg nous avons chercheacute agrave savoir ce que recouvraient pour eux les mots dactiviteacutes et de situations tels quils eacutetaient preacutesenteacutes dans les objectifs geacuteneacuteraux des programmes de matheacutematiques

Voici ce que lon peut lire dans les programmes de seconde niveau auquel se situe notre eacutetude Il sagit des programmes de 1990 en vigueur agrave leacutepoque Depuis la rentreacutee 1999 les programmes de seconde ont changeacute mais le document daccompagnement comporte encore une rubrique deacuteveloppant limportance de lactiviteacute matheacutematique dans la classe

Il existe pour chaque classe des dominantes de contenus et dactiviteacutes Il faut entraicircner les eacutelegraveves agrave lactiviteacute scientifique les professeurs vont avoir agrave choisir des situations creacuteant un problegraveme dont la solution fera intervenir des outils cest agrave dire des techniques ou des notions deacutejagrave acquises afin daboutir agrave la deacutecouverte ou agrave lassimilation de notions nouvelles

laquopetit xraquo nO 56 pp 61 agrave 79 2000 - 2001

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On devra privileacutegier lactiviteacute de chaque eacutelegraveve raquo La lecture des programmes successifs du secondaire montre que lideacutee de deacutevelopper lactiviteacute de leacutelegraveve de recourir au concret pour mieux aborder les concepts est assez ancienne dans les consignes (on la trouve par exemple dans les instructions de 1957) Cest dans les programmes de 1989 et les rapports de mission qui les accompagnent quapparaicirct clairement une rupture dans la conception de lenseignement des matheacutematiques La deacutemarche qui est preacuteconiseacutee doit permettre laquode bacirctir des matheacutematiques agrave partir de problegravemes rencontreacutes dans plusieurs disciplines et en retour dutiliser les savoirs matheacutematiques dans des speacutecialiteacutes diverses [ ] Ainsi il faut poser des problegravemes qui aient du sens pour leacutelegraveve et construire avec lui les outils neacutecessaires agrave leur reacutesolution

On y affirme que cest dans lactiviteacute matheacutematique que leacutelegraveve peut se former et quil est neacutecessaire de reconstruire dans lenseignement une deacutemarche qui soit semblable agrave celle du chercheur Dix ans apregraves lideacutee dentraicircner les eacutelegraveves agrave lactiviteacute scientifique est toujours preacutesente dans les preacuteambules des programmes sans que le choix des situations que devra faire le professeur soit explicitement mis en relation avec une reacuteflexion sur les conditions de lacquisition des connaissances par les eacutelegraveves

Les premiegraveres analyses des reacuteponses donneacutees par les jeunes enseignants nous montrent que le choix de proposer aux eacutelegraveves des activiteacutes est justifieacute par des arguments tels que le rejet du cours magistral la motivation des eacutelegraveves la neacutecessiteacute de faire du concret plus que par la prise en compte des conditions dapprentissage des connaissances scientifiques Nous analyserons en liaison avec les reacuteponses au questionnaire quelques exemples dactiviteacutes preacuteparatoires trouveacutees dans les manuels que les jeunes professeurs disent utiliser dans leurs classes et nous nous interrogerons sur la pertinence de ces activiteacutes par rapport au concept agrave introduire

Ceci nous amegravene agrave nous poser la question suivante quels outils donner aux jeunes stagiaires (dans des stages de courte dureacutee et avec les contraintes institutionnelles) pour que le point de vue des conditions de lacquisition des connaissances par les eacutelegraveves soit privileacutegieacute dans le choix ou le rejet des activiteacutes trouveacutees dans les manuels

1 Le contexte de leacutetude

Le travail preacutesenteacute sappuie sur deux anneacutees dexpeacuterience danimation de stages des jeunes professeurs (moins de 5 ans dancienneteacute) dans lacadeacutemie de Strasbourg de 1997 agrave 1999 Lun des thegravemes de travail parmi dautres eacutetait celui de lactiviteacute pour deux raisons

- Ceacutetait le choix des formateurs qui avaient tous une expeacuterience des visites conseil dans les classes Leur expeacuterience dobservateur au fond de la salle leur avait montreacute que le passage le plus deacutelicat eacutetait celui de larticulation entre une laquo activiteacuteraquo supposeacutee travailleacutee sur lintroduction dun concept donneacute et le laquo courSraquo qui suit

- Ceacutetait une demande exprimeacutee par les jeunes stagiaires au travers des questions suivantes quil sagissait donc pour nous de reformuler dans une probleacutematique didactique

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Les eacutelegraveves ne sont pas motiveacutes Comment choisir des activiteacutes qui les motivent donc des activiteacutes concregravetes Comment introduire des notions matheacutematiques difficiles dans les classes non scientifiques en leurs rendant ces notions familiegraveres tangibles non artificielles Que reste-t-il dans le cahier de cours de leacutelegraveve faut-il faire un cours comment conclure des activiteacutes pour quil en reste quelque chose

Beaucoup dentre eux affinnaient laquotravailler par activiteacutesraquo pour motiver les eacutelegraveves cest pourquoi nous avons repris cette formulation dans le questionnaire

2 Les analyses des reacuteponses au questionnaire

21 les conditions de passation du questionnaire

Le questionnaire a eacuteteacute proposeacute en deacutebut de stage apregraves le tour de table et lexpression des attentes des stagiaires Les preacuteambules des programmes de seconde eacutetaient agrave la disposition de ceux qui souhaitaient les consulter Les reacuteponses eacutetaient individuelles Le questionnaire a eacuteteacute soumis aux 18 professeurs du groupe lyceacutee le groupe collegravege ayant plutocirct fait un tour de table oral sur la question des activiteacutes

Leacutetude qui suit na donc aucune preacutetention statistique Il sagit plutocirct dune eacutetude clinique permettant de mettre en relation les reacuteponses proposeacutees et les exemples citeacutes spontaneacutement par les enseignants ainsi que les discussions qui ont eu lieu dans le stage agrave partir des exemples proposeacutes Nous ne saurions trop insister sur le fait que ces reacuteponses ne sont quun eacutetat de la reacuteflexion agrave un moment donneacute et quelles nenferment nullement leurs auteurs dans ce premier stade de reacuteflexion En effet agrave lissue de la premiegravere anneacutee un petit groupe de stagiaires tregraves motiveacutes a souhaiteacute poursuivre la recherche engageacutee dans un groupe recherche fonnation Le titre de la recherche est laquoActiviteacutes au banc dessai raquo Le travail consiste agrave analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et les brochures lREM agrave les modifier ou agrave en eacutecrire de nouvelles et agrave faire des comptes rendus dobservation apregraves expeacuterimentation dans les classes Ces analyses montrent pour un premier travail de recherche une reacuteflexion de qualiteacute en particulier sur lintroduction de la deacuteriveacutee Mais notre eacutetude ici ne portera pas sur ces travaux

22 les reacuteponses aux questions poseacutees

Question 1 Queacutevoquent pour vous les mots laquoactiviteacutesraquo et laquosituationsraquo dans lenseignement des matheacutematiques

Reacuteponses agrave propos du mot situation

Elle doit ecirctre plus concregravete plus pratique (balance pour introduire le barycentre) Eacutetat concret ougrave le problegraveme est moins abstrait Problegraveme issu de la vie courante Je rapproche ce mot de laquoconcret raquo un exercice baseacute sur une situation concregravete est parfois plus motivant quun exercice theacuteorique

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Situation eacutevoque un problegraveme assez court simple de preacutesentation dont la solution nest pas immeacutediate et les chemins nombreux pour y arriver

Reacuteponses agrave propos du mot activiteacute

leacutelegraveve doit ecirctre en mesure de formuler ensuite des conjectures Problegraveme concret que les eacutelegraveves peuvent reacutesoudre de maniegravere presque autonome (en eacutetant guideacute si neacutecessaire) il va reacuteveacuteler des notions nouvelles quil sagira de formaliser Leacutelegraveve doit se heurter agrave une difficulteacute de reacutesolution qui motivera lintroduction de nouveaux outils Leacutelegraveve doit ecirctre placeacute dans une situation de demande Une activiteacute permet daborder une notion nouvelle dassimiler une notion deacutejagrave vue de faire deviner quelque chose aux eacutelegraveves en les guidant pas agrave pas Activiteacute cest le contraire du cours magistral Lactiviteacute est une application relative agrave un domaine (chapitre)

On peut remarquer que lactiviteacute est tregraves lieacutee agrave lideacutee de deacutebut de chapitre agrave lintroduction dune notion nouvelle agrave partir des connaissances anciennes (12 reacuteponses sur 18) Tous les participants donnent ou tentent de donner une laquo deacutefinitionraquo de lactiviteacute alors que tregraves souvent (dans un tiers des cas) il ny a pas de reacuteponse pour situation

Question 2 Pourquoi travailler par activiteacutes en matheacutematiques Quest-ce qui justifie ce choix

Les enseignants mettent en avant trois types de justifications bull Opposition entre le cours magistral et la motivation des eacutelegraveves (10 reacuteponses sur 18)

Pour eacuteviter un cours trop magistral pour eacuteviter dintroduire du vocabulaire nouveau trop tocirct Leacutelegraveve peut ne pas se sentir motiveacute par un cours cest plus difficile pour une activiteacute Pour donner un cocircteacute attrayant au cours Activiteacutes attrayantes et motivantes qui eacutevitent de tomber dans le piegravege du cours magistral Les eacutelegraveves sont plus motiveacutes plus calmes

bull Leacutelegraveve doit ecirctre actif (9 reacuteponses sur 18)

Leacutelegraveve doit ecirctre actif pas seulement reacutecepteur dinformations Cela permet le travail de groupe et la communication Lapprentissage est actif cela permet de reacutefleacutechir de mettre en relation des connaissances Cest leacutelegraveve qui sactive dans le but de deacutecouvrir un nouvel outil Leacutelegraveve doit ecirctre actif agrave lui deacutetablir les principaux reacutesultats

Cette activiteacute de leacutelegraveve semble un but en soi et seuls deux enseignants de ce groupe mettent en relation lactiviteacute de leacutelegraveve avec la construction des connaissances matheacutematiques bull Opposition entre concret et abstrait artificiel et tangible (6 reacuteponses sur 18)

La notion est introduite de maniegravere moins artificielle que sous forme dun cours magistral

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Pour fournir des repegraveres agrave leacutelegraveve et rendre tangible une notion matheacutematique Pour eacuteviter dintroduire un vocabulaire abstrait trop tocirct

Citons enfm quelques reacuteponses isoleacutees qui ne rentrent pas dans les cateacutegories preacuteceacutedentes

Travailler par activiteacutes ne ma jamais paru eacutevident je le fais presque par obligation lattitude des eacutelegraveves me conforte dans mon opinion (renoncement devant lacte de chercher) Pour donner une raison decirctre aux matheacutematiques Pour se rappeler mecircme imparfaitement de notions deacutejagrave acquises Pour amener les eacutelegraveves agrave prendre conscience de la neacutecessiteacute dune meacutethode

Question 3 Avant dintroduire une notion nouvelle beaucoup de manuels scolaires proposent des laquo activiteacutes preacuteparatoiresraquo

a) Les utilisez-vous avant de deacutemarrer votre cours b) A partir de quels critegraveres allez-vous deacutecider quune activiteacute est inteacuteressante agrave proposer agrave vos eacutelegraveves (sappuyer sur un exemple) c) Si vous avez eacuteteacute ameneacute agrave modifier une activiteacute expliquer comment et avec quel objectif (sappuyer sur un exemple) d) Quest ce qui vous amegravene agrave rejeter une activiteacute trouveacutee dans un manuel et agrave deacutecider de ne pas la donner agrave chercher (sappuyer sur un exemple) e) Quelles sont pour vous les qualiteacutes dune laquo bonne activiteacuteraquo dintroduction agrave un concept donneacute (sappuyer sur un exemple)

Nous ne donnerons ici que quelques eacuteleacutements de reacuteponse les exemples proposeacutes eacutetant eacutetudieacutes dans le paragraphe suivant

Tous saccordent agrave dire que lactiviteacute doit ecirctre encadreacutee dans le temps

Eacutenonceacute court qui peut se reacutesoudre en une heure ou deux Encadreacutee dans le temps pour que la conclusion vienne en fin de seacuteance

Les avis sont tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre simple ou difficile

Activiteacute gardeacutee si elle comporte une difficulteacute ou alors si elle fait le lien avec un autre chapitre Elle ne doit ecirctre ni trop simple ni trop difficile Activiteacute gardeacutee si elle est simple deacutetailleacutee efficace Activiteacute rejeteacutee elle est trop simple et que leacutelegraveve est sur des rails

Les avis sont eacutegalement tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre fermeacutee ou ouverte

On rajoute des questions quand cest trop ouvert on deacutetaille plus On supprime des questions pour ne garder que lessentiel

Remarquons enfin quaucun enseignant ne parle de la faccedilon dont il gegravere lactiviteacute en classe mais le questionnaire ne ly incitait sans doute pas

23 les conclusions sur les reacutesultats de lenquecircte

Le mot situation est tregraves nettement rattacheacute agrave lideacutee du concret de situation de la vie courante ce concret eacutetant reacuteputeacute aider les eacutelegraveves agrave comprendre les matheacutematiques

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Bien que lideacutee de la construction des connaissances ne soit pas absente des deacutefinitions du mot activiteacute ce qui apparaicirct comme prioritaire est que les eacutelegraveves soient laquo actifsraquo donc motiveacutes cette activiteacute de leacutelegraveve semblant ecirctre rechercheacutee pour elle-mecircme et indeacutependamment des savoirs quil sagit de construire

3 Eacutetude des exemples citeacutes

Les exemples dactiviteacutes spontaneacutement citeacutes par les jeunes enseignants concernent majoritairement sur le plan matheacutematique les vecteurs et tout ce qui concerne lenseignement en seconde (ou premiegravere eacuteventuellement) au sujet des fonctions Cest peut-ecirctre ducirc agrave la date de lenquecircte mi-novembre

On retrouve six fois les activiteacutes sur les vecteurs (multiplication dun vecteur par un nombre activiteacutes sur la somme vectorielle activiteacute sur lintroduction de la colineacuteariteacute) et dix fois des activiteacutes sur les fonctions (activiteacutes qui mettent en place le langage relatif aux fonctions leacutetude des fonctions de reacutefeacuterence lintroduction aux fonctions agrave partir de courbes ou de la modeacutelisation dun problegraveme la mise en eacutequation pour introduire la notion de fonction la mise en eacutequation pour rechercher un maximum (boicircte de volume maximal) loptimisation en geacuteomeacutetrie leacutequation f(x) = a peut avoir plusieurs solutions le nombre de racines dun polynocircme du troisiegraveme degreacute et linterpreacutetation graphique)

Apparaissent ensuite des exemples isoleacutes tels que la notion dangle orienteacute (seul exemple ougrave la difficulteacute du concept en jeu soit expliciteacutee) les probabiliteacutes les statistiques en seconde la valeur absolue la distance

Nous avons choisi de travailler dans ce paragraphe sur les activiteacutes citeacutees explicitement (plusieurs fois) avec une reacutefeacuterence bibliographique dont nous avons pu eacutetudier le texte avec preacutecision et qui ontfait lobjet dune discussion ou dun travail dans le stage Nous sommes tout agrave fait conscients que ce sont les premiers exemples citeacutes et nous ne reacuteduisons pas la pratique de ces enseignants agrave ces seuls exemples La convergence des exemples citeacutes nous a paru significative dune certaine conception a priori quant au rocircle de lactiviteacute dans lenseignement des matheacutematiques

31 activiteacutes mettant en place un nouveau langage

Apregraves lecture et discussion des activiteacutes proposeacutees nous avons regroupeacute une premiegravere seacuterie dexemples qui sont preacutesenteacutes par les enseignants sous la rubrique laquo activiteacutes mettant en place un nouveau langageraquo Ces activiteacutes ont comme objectif plus ou moins avoueacute de faire deviner des deacutefinitions Elles concernent le langage des fonctions (anteacuteceacutedents images ensemble de deacutefinition ) les notions de fonctions paires ou impaires la valeur absolue la multiplication dun vecteur par un reacuteel En voici quelques exemples

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La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

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Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

72

bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

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des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

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analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

g ]- ~ - ~ILJl Ri -i

Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

~JJlr G bull ut~ ~~~

rr-~ ~pccedilfli~~~~~ Je plUcirc11 il bullbullbullbull _ u bullbullbull

bullbullH Lf l40l ll-middot l tHlllII~Ifs~1A~l~~ ~ ~-~ -- _~_

t~middot~rt tmiddot ~ H~ bullbull a~ ~IOI middotH middotH1 U 1 ~t If 0shyl1iUl $Jlh~r ~ o~ r4lQO~1lQiumll$11~n5 _ - bull- -

JH1O ~ bullbull ~ ~ IJ tYlmiddot4gtlmiddotAtHH _middotIImiddotl HI

U pro1tDeur legraves Wllr donnt 1[1 laquolUumlieacutet$ d 1t4~1 tliumllil~ w~~ 6ruumlCdlu tJb~u Ilptccedilisli t1liI li~fV~ffu1t1i W IlIfmiddotl1lTJlJfflQote ~ tllt a5i rooms mlijhdmiIIcirclll~ li ~Ii~~r l1i Jll)ur dire si les 501uUgraveans J1r~(5 Ir duijU[ Emllp if ~~ (W tJU5$~ 13 ljlgt6œ que cc~llensttlbk ~ 1) 1m-lJifi alInIli 1( tilnnllor ~ r~I lI ~nu des ltUgravelidles gtlJ~udime pilrlle 1111 ~ ~h) dlt5b1ill Ut k~ p~lioii ot lfl)L1~~ Le pmshy = I~Uf )Mll lllJlSII~dtS4 kqudi l~5 llff~ saillIt dGNmUt Ilpr~middot = ~fi 1 F~mlbrc ~ la dulilCh ~l5ijjoC ~fL pttAgrave eolUlamp1lS5ifmiddot~ ~lIit Pfl-middot ~ ~

~ ilut li f~lt il( 11l5(1II1I~ ~lJhr (li lU] dt b deinoinht rstilisSil ~riuml lt 00

~mlti~l d~ ilrgumnls poul dlil)ti $01 CPtJdon middotccedilu $Qn r-Ju~ l Xliiliot Ilr~lllltt ~ lfJIl ampb eniK ampgt tilttris (k lb ~~ ~laquo Ics ~~ mmtf ~li 311 ~Ilccedilw pII Et ptIfeiseur Ct d~L r1it Uilf1l)h~ dŒ)h~ ~ rwdllL Piumlilii quil tort~ d llUnltc iucirci3rm5iJlili It pnf$oClitjjll~ w ~ffhl liJiles prtei~ dt fOOCIOnnmltni lt1 l11Il=r b l~urfltsileumlt1 I1liiir da-piumlmti une leU~ ~nmiddotkht le prqJ~sgtut rajt (lMlll~r ~ 1 dlltwle~ lICœcdut lt~ ~~r~l~

T~ pilrtl~(tG mlll Ir p1W~llr middot~c~ 1 oCOOIlaœI1Dll ll~tltllmiddotlTf4i

ucircqp ~Igt iumliltiSgte fi (œal ufile ~t Il t(souIIcircQn 4111lfl1l1~f lml k pairli 5U li mi (1 I~ 4JA 0 ~posdll3 zffieM tIC ccedil~i jl~ ~~~L11j ~ dlllrl-ail iks tRmiddotccedil5 ~t~ij Jl1tUdlm-nLIt (oor tli~ti~ mmMmiddot in~ ~riœnlll rhmbe 01 des ~iiifienlJi llficircKlllh~ jlCnd~ 1i3 phltise de bull 4aJlI

J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

Z h - ~ A0 ~ middotAn 2 _ ~J S i1 ri T j 11 l

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~ -- lt an t ~ A0 5 fJ fI 4- 2(

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0( 1lM1- Ct SAJ1 +2h+l

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OcircYI I~ tfA4 - F~L = r~~ 6~~

cttrv ~1Io () _ tMbull ~_ ~ bull~1-- f --11 - -i- Mt~ ~ i1e o()tl ~I

62

On devra privileacutegier lactiviteacute de chaque eacutelegraveve raquo La lecture des programmes successifs du secondaire montre que lideacutee de deacutevelopper lactiviteacute de leacutelegraveve de recourir au concret pour mieux aborder les concepts est assez ancienne dans les consignes (on la trouve par exemple dans les instructions de 1957) Cest dans les programmes de 1989 et les rapports de mission qui les accompagnent quapparaicirct clairement une rupture dans la conception de lenseignement des matheacutematiques La deacutemarche qui est preacuteconiseacutee doit permettre laquode bacirctir des matheacutematiques agrave partir de problegravemes rencontreacutes dans plusieurs disciplines et en retour dutiliser les savoirs matheacutematiques dans des speacutecialiteacutes diverses [ ] Ainsi il faut poser des problegravemes qui aient du sens pour leacutelegraveve et construire avec lui les outils neacutecessaires agrave leur reacutesolution

On y affirme que cest dans lactiviteacute matheacutematique que leacutelegraveve peut se former et quil est neacutecessaire de reconstruire dans lenseignement une deacutemarche qui soit semblable agrave celle du chercheur Dix ans apregraves lideacutee dentraicircner les eacutelegraveves agrave lactiviteacute scientifique est toujours preacutesente dans les preacuteambules des programmes sans que le choix des situations que devra faire le professeur soit explicitement mis en relation avec une reacuteflexion sur les conditions de lacquisition des connaissances par les eacutelegraveves

Les premiegraveres analyses des reacuteponses donneacutees par les jeunes enseignants nous montrent que le choix de proposer aux eacutelegraveves des activiteacutes est justifieacute par des arguments tels que le rejet du cours magistral la motivation des eacutelegraveves la neacutecessiteacute de faire du concret plus que par la prise en compte des conditions dapprentissage des connaissances scientifiques Nous analyserons en liaison avec les reacuteponses au questionnaire quelques exemples dactiviteacutes preacuteparatoires trouveacutees dans les manuels que les jeunes professeurs disent utiliser dans leurs classes et nous nous interrogerons sur la pertinence de ces activiteacutes par rapport au concept agrave introduire

Ceci nous amegravene agrave nous poser la question suivante quels outils donner aux jeunes stagiaires (dans des stages de courte dureacutee et avec les contraintes institutionnelles) pour que le point de vue des conditions de lacquisition des connaissances par les eacutelegraveves soit privileacutegieacute dans le choix ou le rejet des activiteacutes trouveacutees dans les manuels

1 Le contexte de leacutetude

Le travail preacutesenteacute sappuie sur deux anneacutees dexpeacuterience danimation de stages des jeunes professeurs (moins de 5 ans dancienneteacute) dans lacadeacutemie de Strasbourg de 1997 agrave 1999 Lun des thegravemes de travail parmi dautres eacutetait celui de lactiviteacute pour deux raisons

- Ceacutetait le choix des formateurs qui avaient tous une expeacuterience des visites conseil dans les classes Leur expeacuterience dobservateur au fond de la salle leur avait montreacute que le passage le plus deacutelicat eacutetait celui de larticulation entre une laquo activiteacuteraquo supposeacutee travailleacutee sur lintroduction dun concept donneacute et le laquo courSraquo qui suit

- Ceacutetait une demande exprimeacutee par les jeunes stagiaires au travers des questions suivantes quil sagissait donc pour nous de reformuler dans une probleacutematique didactique

63

Les eacutelegraveves ne sont pas motiveacutes Comment choisir des activiteacutes qui les motivent donc des activiteacutes concregravetes Comment introduire des notions matheacutematiques difficiles dans les classes non scientifiques en leurs rendant ces notions familiegraveres tangibles non artificielles Que reste-t-il dans le cahier de cours de leacutelegraveve faut-il faire un cours comment conclure des activiteacutes pour quil en reste quelque chose

Beaucoup dentre eux affinnaient laquotravailler par activiteacutesraquo pour motiver les eacutelegraveves cest pourquoi nous avons repris cette formulation dans le questionnaire

2 Les analyses des reacuteponses au questionnaire

21 les conditions de passation du questionnaire

Le questionnaire a eacuteteacute proposeacute en deacutebut de stage apregraves le tour de table et lexpression des attentes des stagiaires Les preacuteambules des programmes de seconde eacutetaient agrave la disposition de ceux qui souhaitaient les consulter Les reacuteponses eacutetaient individuelles Le questionnaire a eacuteteacute soumis aux 18 professeurs du groupe lyceacutee le groupe collegravege ayant plutocirct fait un tour de table oral sur la question des activiteacutes

Leacutetude qui suit na donc aucune preacutetention statistique Il sagit plutocirct dune eacutetude clinique permettant de mettre en relation les reacuteponses proposeacutees et les exemples citeacutes spontaneacutement par les enseignants ainsi que les discussions qui ont eu lieu dans le stage agrave partir des exemples proposeacutes Nous ne saurions trop insister sur le fait que ces reacuteponses ne sont quun eacutetat de la reacuteflexion agrave un moment donneacute et quelles nenferment nullement leurs auteurs dans ce premier stade de reacuteflexion En effet agrave lissue de la premiegravere anneacutee un petit groupe de stagiaires tregraves motiveacutes a souhaiteacute poursuivre la recherche engageacutee dans un groupe recherche fonnation Le titre de la recherche est laquoActiviteacutes au banc dessai raquo Le travail consiste agrave analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et les brochures lREM agrave les modifier ou agrave en eacutecrire de nouvelles et agrave faire des comptes rendus dobservation apregraves expeacuterimentation dans les classes Ces analyses montrent pour un premier travail de recherche une reacuteflexion de qualiteacute en particulier sur lintroduction de la deacuteriveacutee Mais notre eacutetude ici ne portera pas sur ces travaux

22 les reacuteponses aux questions poseacutees

Question 1 Queacutevoquent pour vous les mots laquoactiviteacutesraquo et laquosituationsraquo dans lenseignement des matheacutematiques

Reacuteponses agrave propos du mot situation

Elle doit ecirctre plus concregravete plus pratique (balance pour introduire le barycentre) Eacutetat concret ougrave le problegraveme est moins abstrait Problegraveme issu de la vie courante Je rapproche ce mot de laquoconcret raquo un exercice baseacute sur une situation concregravete est parfois plus motivant quun exercice theacuteorique

64

Situation eacutevoque un problegraveme assez court simple de preacutesentation dont la solution nest pas immeacutediate et les chemins nombreux pour y arriver

Reacuteponses agrave propos du mot activiteacute

leacutelegraveve doit ecirctre en mesure de formuler ensuite des conjectures Problegraveme concret que les eacutelegraveves peuvent reacutesoudre de maniegravere presque autonome (en eacutetant guideacute si neacutecessaire) il va reacuteveacuteler des notions nouvelles quil sagira de formaliser Leacutelegraveve doit se heurter agrave une difficulteacute de reacutesolution qui motivera lintroduction de nouveaux outils Leacutelegraveve doit ecirctre placeacute dans une situation de demande Une activiteacute permet daborder une notion nouvelle dassimiler une notion deacutejagrave vue de faire deviner quelque chose aux eacutelegraveves en les guidant pas agrave pas Activiteacute cest le contraire du cours magistral Lactiviteacute est une application relative agrave un domaine (chapitre)

On peut remarquer que lactiviteacute est tregraves lieacutee agrave lideacutee de deacutebut de chapitre agrave lintroduction dune notion nouvelle agrave partir des connaissances anciennes (12 reacuteponses sur 18) Tous les participants donnent ou tentent de donner une laquo deacutefinitionraquo de lactiviteacute alors que tregraves souvent (dans un tiers des cas) il ny a pas de reacuteponse pour situation

Question 2 Pourquoi travailler par activiteacutes en matheacutematiques Quest-ce qui justifie ce choix

Les enseignants mettent en avant trois types de justifications bull Opposition entre le cours magistral et la motivation des eacutelegraveves (10 reacuteponses sur 18)

Pour eacuteviter un cours trop magistral pour eacuteviter dintroduire du vocabulaire nouveau trop tocirct Leacutelegraveve peut ne pas se sentir motiveacute par un cours cest plus difficile pour une activiteacute Pour donner un cocircteacute attrayant au cours Activiteacutes attrayantes et motivantes qui eacutevitent de tomber dans le piegravege du cours magistral Les eacutelegraveves sont plus motiveacutes plus calmes

bull Leacutelegraveve doit ecirctre actif (9 reacuteponses sur 18)

Leacutelegraveve doit ecirctre actif pas seulement reacutecepteur dinformations Cela permet le travail de groupe et la communication Lapprentissage est actif cela permet de reacutefleacutechir de mettre en relation des connaissances Cest leacutelegraveve qui sactive dans le but de deacutecouvrir un nouvel outil Leacutelegraveve doit ecirctre actif agrave lui deacutetablir les principaux reacutesultats

Cette activiteacute de leacutelegraveve semble un but en soi et seuls deux enseignants de ce groupe mettent en relation lactiviteacute de leacutelegraveve avec la construction des connaissances matheacutematiques bull Opposition entre concret et abstrait artificiel et tangible (6 reacuteponses sur 18)

La notion est introduite de maniegravere moins artificielle que sous forme dun cours magistral

65

Pour fournir des repegraveres agrave leacutelegraveve et rendre tangible une notion matheacutematique Pour eacuteviter dintroduire un vocabulaire abstrait trop tocirct

Citons enfm quelques reacuteponses isoleacutees qui ne rentrent pas dans les cateacutegories preacuteceacutedentes

Travailler par activiteacutes ne ma jamais paru eacutevident je le fais presque par obligation lattitude des eacutelegraveves me conforte dans mon opinion (renoncement devant lacte de chercher) Pour donner une raison decirctre aux matheacutematiques Pour se rappeler mecircme imparfaitement de notions deacutejagrave acquises Pour amener les eacutelegraveves agrave prendre conscience de la neacutecessiteacute dune meacutethode

Question 3 Avant dintroduire une notion nouvelle beaucoup de manuels scolaires proposent des laquo activiteacutes preacuteparatoiresraquo

a) Les utilisez-vous avant de deacutemarrer votre cours b) A partir de quels critegraveres allez-vous deacutecider quune activiteacute est inteacuteressante agrave proposer agrave vos eacutelegraveves (sappuyer sur un exemple) c) Si vous avez eacuteteacute ameneacute agrave modifier une activiteacute expliquer comment et avec quel objectif (sappuyer sur un exemple) d) Quest ce qui vous amegravene agrave rejeter une activiteacute trouveacutee dans un manuel et agrave deacutecider de ne pas la donner agrave chercher (sappuyer sur un exemple) e) Quelles sont pour vous les qualiteacutes dune laquo bonne activiteacuteraquo dintroduction agrave un concept donneacute (sappuyer sur un exemple)

Nous ne donnerons ici que quelques eacuteleacutements de reacuteponse les exemples proposeacutes eacutetant eacutetudieacutes dans le paragraphe suivant

Tous saccordent agrave dire que lactiviteacute doit ecirctre encadreacutee dans le temps

Eacutenonceacute court qui peut se reacutesoudre en une heure ou deux Encadreacutee dans le temps pour que la conclusion vienne en fin de seacuteance

Les avis sont tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre simple ou difficile

Activiteacute gardeacutee si elle comporte une difficulteacute ou alors si elle fait le lien avec un autre chapitre Elle ne doit ecirctre ni trop simple ni trop difficile Activiteacute gardeacutee si elle est simple deacutetailleacutee efficace Activiteacute rejeteacutee elle est trop simple et que leacutelegraveve est sur des rails

Les avis sont eacutegalement tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre fermeacutee ou ouverte

On rajoute des questions quand cest trop ouvert on deacutetaille plus On supprime des questions pour ne garder que lessentiel

Remarquons enfin quaucun enseignant ne parle de la faccedilon dont il gegravere lactiviteacute en classe mais le questionnaire ne ly incitait sans doute pas

23 les conclusions sur les reacutesultats de lenquecircte

Le mot situation est tregraves nettement rattacheacute agrave lideacutee du concret de situation de la vie courante ce concret eacutetant reacuteputeacute aider les eacutelegraveves agrave comprendre les matheacutematiques

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Bien que lideacutee de la construction des connaissances ne soit pas absente des deacutefinitions du mot activiteacute ce qui apparaicirct comme prioritaire est que les eacutelegraveves soient laquo actifsraquo donc motiveacutes cette activiteacute de leacutelegraveve semblant ecirctre rechercheacutee pour elle-mecircme et indeacutependamment des savoirs quil sagit de construire

3 Eacutetude des exemples citeacutes

Les exemples dactiviteacutes spontaneacutement citeacutes par les jeunes enseignants concernent majoritairement sur le plan matheacutematique les vecteurs et tout ce qui concerne lenseignement en seconde (ou premiegravere eacuteventuellement) au sujet des fonctions Cest peut-ecirctre ducirc agrave la date de lenquecircte mi-novembre

On retrouve six fois les activiteacutes sur les vecteurs (multiplication dun vecteur par un nombre activiteacutes sur la somme vectorielle activiteacute sur lintroduction de la colineacuteariteacute) et dix fois des activiteacutes sur les fonctions (activiteacutes qui mettent en place le langage relatif aux fonctions leacutetude des fonctions de reacutefeacuterence lintroduction aux fonctions agrave partir de courbes ou de la modeacutelisation dun problegraveme la mise en eacutequation pour introduire la notion de fonction la mise en eacutequation pour rechercher un maximum (boicircte de volume maximal) loptimisation en geacuteomeacutetrie leacutequation f(x) = a peut avoir plusieurs solutions le nombre de racines dun polynocircme du troisiegraveme degreacute et linterpreacutetation graphique)

Apparaissent ensuite des exemples isoleacutes tels que la notion dangle orienteacute (seul exemple ougrave la difficulteacute du concept en jeu soit expliciteacutee) les probabiliteacutes les statistiques en seconde la valeur absolue la distance

Nous avons choisi de travailler dans ce paragraphe sur les activiteacutes citeacutees explicitement (plusieurs fois) avec une reacutefeacuterence bibliographique dont nous avons pu eacutetudier le texte avec preacutecision et qui ontfait lobjet dune discussion ou dun travail dans le stage Nous sommes tout agrave fait conscients que ce sont les premiers exemples citeacutes et nous ne reacuteduisons pas la pratique de ces enseignants agrave ces seuls exemples La convergence des exemples citeacutes nous a paru significative dune certaine conception a priori quant au rocircle de lactiviteacute dans lenseignement des matheacutematiques

31 activiteacutes mettant en place un nouveau langage

Apregraves lecture et discussion des activiteacutes proposeacutees nous avons regroupeacute une premiegravere seacuterie dexemples qui sont preacutesenteacutes par les enseignants sous la rubrique laquo activiteacutes mettant en place un nouveau langageraquo Ces activiteacutes ont comme objectif plus ou moins avoueacute de faire deviner des deacutefinitions Elles concernent le langage des fonctions (anteacuteceacutedents images ensemble de deacutefinition ) les notions de fonctions paires ou impaires la valeur absolue la multiplication dun vecteur par un reacuteel En voici quelques exemples

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La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

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Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

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bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

IREM de ROUEN (1995) Autour de la notion dactiviteacute

ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

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grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

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Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

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79

Annexe 7

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63

Les eacutelegraveves ne sont pas motiveacutes Comment choisir des activiteacutes qui les motivent donc des activiteacutes concregravetes Comment introduire des notions matheacutematiques difficiles dans les classes non scientifiques en leurs rendant ces notions familiegraveres tangibles non artificielles Que reste-t-il dans le cahier de cours de leacutelegraveve faut-il faire un cours comment conclure des activiteacutes pour quil en reste quelque chose

Beaucoup dentre eux affinnaient laquotravailler par activiteacutesraquo pour motiver les eacutelegraveves cest pourquoi nous avons repris cette formulation dans le questionnaire

2 Les analyses des reacuteponses au questionnaire

21 les conditions de passation du questionnaire

Le questionnaire a eacuteteacute proposeacute en deacutebut de stage apregraves le tour de table et lexpression des attentes des stagiaires Les preacuteambules des programmes de seconde eacutetaient agrave la disposition de ceux qui souhaitaient les consulter Les reacuteponses eacutetaient individuelles Le questionnaire a eacuteteacute soumis aux 18 professeurs du groupe lyceacutee le groupe collegravege ayant plutocirct fait un tour de table oral sur la question des activiteacutes

Leacutetude qui suit na donc aucune preacutetention statistique Il sagit plutocirct dune eacutetude clinique permettant de mettre en relation les reacuteponses proposeacutees et les exemples citeacutes spontaneacutement par les enseignants ainsi que les discussions qui ont eu lieu dans le stage agrave partir des exemples proposeacutes Nous ne saurions trop insister sur le fait que ces reacuteponses ne sont quun eacutetat de la reacuteflexion agrave un moment donneacute et quelles nenferment nullement leurs auteurs dans ce premier stade de reacuteflexion En effet agrave lissue de la premiegravere anneacutee un petit groupe de stagiaires tregraves motiveacutes a souhaiteacute poursuivre la recherche engageacutee dans un groupe recherche fonnation Le titre de la recherche est laquoActiviteacutes au banc dessai raquo Le travail consiste agrave analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et les brochures lREM agrave les modifier ou agrave en eacutecrire de nouvelles et agrave faire des comptes rendus dobservation apregraves expeacuterimentation dans les classes Ces analyses montrent pour un premier travail de recherche une reacuteflexion de qualiteacute en particulier sur lintroduction de la deacuteriveacutee Mais notre eacutetude ici ne portera pas sur ces travaux

22 les reacuteponses aux questions poseacutees

Question 1 Queacutevoquent pour vous les mots laquoactiviteacutesraquo et laquosituationsraquo dans lenseignement des matheacutematiques

Reacuteponses agrave propos du mot situation

Elle doit ecirctre plus concregravete plus pratique (balance pour introduire le barycentre) Eacutetat concret ougrave le problegraveme est moins abstrait Problegraveme issu de la vie courante Je rapproche ce mot de laquoconcret raquo un exercice baseacute sur une situation concregravete est parfois plus motivant quun exercice theacuteorique

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Situation eacutevoque un problegraveme assez court simple de preacutesentation dont la solution nest pas immeacutediate et les chemins nombreux pour y arriver

Reacuteponses agrave propos du mot activiteacute

leacutelegraveve doit ecirctre en mesure de formuler ensuite des conjectures Problegraveme concret que les eacutelegraveves peuvent reacutesoudre de maniegravere presque autonome (en eacutetant guideacute si neacutecessaire) il va reacuteveacuteler des notions nouvelles quil sagira de formaliser Leacutelegraveve doit se heurter agrave une difficulteacute de reacutesolution qui motivera lintroduction de nouveaux outils Leacutelegraveve doit ecirctre placeacute dans une situation de demande Une activiteacute permet daborder une notion nouvelle dassimiler une notion deacutejagrave vue de faire deviner quelque chose aux eacutelegraveves en les guidant pas agrave pas Activiteacute cest le contraire du cours magistral Lactiviteacute est une application relative agrave un domaine (chapitre)

On peut remarquer que lactiviteacute est tregraves lieacutee agrave lideacutee de deacutebut de chapitre agrave lintroduction dune notion nouvelle agrave partir des connaissances anciennes (12 reacuteponses sur 18) Tous les participants donnent ou tentent de donner une laquo deacutefinitionraquo de lactiviteacute alors que tregraves souvent (dans un tiers des cas) il ny a pas de reacuteponse pour situation

Question 2 Pourquoi travailler par activiteacutes en matheacutematiques Quest-ce qui justifie ce choix

Les enseignants mettent en avant trois types de justifications bull Opposition entre le cours magistral et la motivation des eacutelegraveves (10 reacuteponses sur 18)

Pour eacuteviter un cours trop magistral pour eacuteviter dintroduire du vocabulaire nouveau trop tocirct Leacutelegraveve peut ne pas se sentir motiveacute par un cours cest plus difficile pour une activiteacute Pour donner un cocircteacute attrayant au cours Activiteacutes attrayantes et motivantes qui eacutevitent de tomber dans le piegravege du cours magistral Les eacutelegraveves sont plus motiveacutes plus calmes

bull Leacutelegraveve doit ecirctre actif (9 reacuteponses sur 18)

Leacutelegraveve doit ecirctre actif pas seulement reacutecepteur dinformations Cela permet le travail de groupe et la communication Lapprentissage est actif cela permet de reacutefleacutechir de mettre en relation des connaissances Cest leacutelegraveve qui sactive dans le but de deacutecouvrir un nouvel outil Leacutelegraveve doit ecirctre actif agrave lui deacutetablir les principaux reacutesultats

Cette activiteacute de leacutelegraveve semble un but en soi et seuls deux enseignants de ce groupe mettent en relation lactiviteacute de leacutelegraveve avec la construction des connaissances matheacutematiques bull Opposition entre concret et abstrait artificiel et tangible (6 reacuteponses sur 18)

La notion est introduite de maniegravere moins artificielle que sous forme dun cours magistral

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Pour fournir des repegraveres agrave leacutelegraveve et rendre tangible une notion matheacutematique Pour eacuteviter dintroduire un vocabulaire abstrait trop tocirct

Citons enfm quelques reacuteponses isoleacutees qui ne rentrent pas dans les cateacutegories preacuteceacutedentes

Travailler par activiteacutes ne ma jamais paru eacutevident je le fais presque par obligation lattitude des eacutelegraveves me conforte dans mon opinion (renoncement devant lacte de chercher) Pour donner une raison decirctre aux matheacutematiques Pour se rappeler mecircme imparfaitement de notions deacutejagrave acquises Pour amener les eacutelegraveves agrave prendre conscience de la neacutecessiteacute dune meacutethode

Question 3 Avant dintroduire une notion nouvelle beaucoup de manuels scolaires proposent des laquo activiteacutes preacuteparatoiresraquo

a) Les utilisez-vous avant de deacutemarrer votre cours b) A partir de quels critegraveres allez-vous deacutecider quune activiteacute est inteacuteressante agrave proposer agrave vos eacutelegraveves (sappuyer sur un exemple) c) Si vous avez eacuteteacute ameneacute agrave modifier une activiteacute expliquer comment et avec quel objectif (sappuyer sur un exemple) d) Quest ce qui vous amegravene agrave rejeter une activiteacute trouveacutee dans un manuel et agrave deacutecider de ne pas la donner agrave chercher (sappuyer sur un exemple) e) Quelles sont pour vous les qualiteacutes dune laquo bonne activiteacuteraquo dintroduction agrave un concept donneacute (sappuyer sur un exemple)

Nous ne donnerons ici que quelques eacuteleacutements de reacuteponse les exemples proposeacutes eacutetant eacutetudieacutes dans le paragraphe suivant

Tous saccordent agrave dire que lactiviteacute doit ecirctre encadreacutee dans le temps

Eacutenonceacute court qui peut se reacutesoudre en une heure ou deux Encadreacutee dans le temps pour que la conclusion vienne en fin de seacuteance

Les avis sont tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre simple ou difficile

Activiteacute gardeacutee si elle comporte une difficulteacute ou alors si elle fait le lien avec un autre chapitre Elle ne doit ecirctre ni trop simple ni trop difficile Activiteacute gardeacutee si elle est simple deacutetailleacutee efficace Activiteacute rejeteacutee elle est trop simple et que leacutelegraveve est sur des rails

Les avis sont eacutegalement tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre fermeacutee ou ouverte

On rajoute des questions quand cest trop ouvert on deacutetaille plus On supprime des questions pour ne garder que lessentiel

Remarquons enfin quaucun enseignant ne parle de la faccedilon dont il gegravere lactiviteacute en classe mais le questionnaire ne ly incitait sans doute pas

23 les conclusions sur les reacutesultats de lenquecircte

Le mot situation est tregraves nettement rattacheacute agrave lideacutee du concret de situation de la vie courante ce concret eacutetant reacuteputeacute aider les eacutelegraveves agrave comprendre les matheacutematiques

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Bien que lideacutee de la construction des connaissances ne soit pas absente des deacutefinitions du mot activiteacute ce qui apparaicirct comme prioritaire est que les eacutelegraveves soient laquo actifsraquo donc motiveacutes cette activiteacute de leacutelegraveve semblant ecirctre rechercheacutee pour elle-mecircme et indeacutependamment des savoirs quil sagit de construire

3 Eacutetude des exemples citeacutes

Les exemples dactiviteacutes spontaneacutement citeacutes par les jeunes enseignants concernent majoritairement sur le plan matheacutematique les vecteurs et tout ce qui concerne lenseignement en seconde (ou premiegravere eacuteventuellement) au sujet des fonctions Cest peut-ecirctre ducirc agrave la date de lenquecircte mi-novembre

On retrouve six fois les activiteacutes sur les vecteurs (multiplication dun vecteur par un nombre activiteacutes sur la somme vectorielle activiteacute sur lintroduction de la colineacuteariteacute) et dix fois des activiteacutes sur les fonctions (activiteacutes qui mettent en place le langage relatif aux fonctions leacutetude des fonctions de reacutefeacuterence lintroduction aux fonctions agrave partir de courbes ou de la modeacutelisation dun problegraveme la mise en eacutequation pour introduire la notion de fonction la mise en eacutequation pour rechercher un maximum (boicircte de volume maximal) loptimisation en geacuteomeacutetrie leacutequation f(x) = a peut avoir plusieurs solutions le nombre de racines dun polynocircme du troisiegraveme degreacute et linterpreacutetation graphique)

Apparaissent ensuite des exemples isoleacutes tels que la notion dangle orienteacute (seul exemple ougrave la difficulteacute du concept en jeu soit expliciteacutee) les probabiliteacutes les statistiques en seconde la valeur absolue la distance

Nous avons choisi de travailler dans ce paragraphe sur les activiteacutes citeacutees explicitement (plusieurs fois) avec une reacutefeacuterence bibliographique dont nous avons pu eacutetudier le texte avec preacutecision et qui ontfait lobjet dune discussion ou dun travail dans le stage Nous sommes tout agrave fait conscients que ce sont les premiers exemples citeacutes et nous ne reacuteduisons pas la pratique de ces enseignants agrave ces seuls exemples La convergence des exemples citeacutes nous a paru significative dune certaine conception a priori quant au rocircle de lactiviteacute dans lenseignement des matheacutematiques

31 activiteacutes mettant en place un nouveau langage

Apregraves lecture et discussion des activiteacutes proposeacutees nous avons regroupeacute une premiegravere seacuterie dexemples qui sont preacutesenteacutes par les enseignants sous la rubrique laquo activiteacutes mettant en place un nouveau langageraquo Ces activiteacutes ont comme objectif plus ou moins avoueacute de faire deviner des deacutefinitions Elles concernent le langage des fonctions (anteacuteceacutedents images ensemble de deacutefinition ) les notions de fonctions paires ou impaires la valeur absolue la multiplication dun vecteur par un reacuteel En voici quelques exemples

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La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

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Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

71

propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

72

bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

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ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

g ]- ~ - ~ILJl Ri -i

Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

~JJlr G bull ut~ ~~~

rr-~ ~pccedilfli~~~~~ Je plUcirc11 il bullbullbullbull _ u bullbullbull

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t~middot~rt tmiddot ~ H~ bullbull a~ ~IOI middotH middotH1 U 1 ~t If 0shyl1iUl $Jlh~r ~ o~ r4lQO~1lQiumll$11~n5 _ - bull- -

JH1O ~ bullbull ~ ~ IJ tYlmiddot4gtlmiddotAtHH _middotIImiddotl HI

U pro1tDeur legraves Wllr donnt 1[1 laquolUumlieacutet$ d 1t4~1 tliumllil~ w~~ 6ruumlCdlu tJb~u Ilptccedilisli t1liI li~fV~ffu1t1i W IlIfmiddotl1lTJlJfflQote ~ tllt a5i rooms mlijhdmiIIcirclll~ li ~Ii~~r l1i Jll)ur dire si les 501uUgraveans J1r~(5 Ir duijU[ Emllp if ~~ (W tJU5$~ 13 ljlgt6œ que cc~llensttlbk ~ 1) 1m-lJifi alInIli 1( tilnnllor ~ r~I lI ~nu des ltUgravelidles gtlJ~udime pilrlle 1111 ~ ~h) dlt5b1ill Ut k~ p~lioii ot lfl)L1~~ Le pmshy = I~Uf )Mll lllJlSII~dtS4 kqudi l~5 llff~ saillIt dGNmUt Ilpr~middot = ~fi 1 F~mlbrc ~ la dulilCh ~l5ijjoC ~fL pttAgrave eolUlamp1lS5ifmiddot~ ~lIit Pfl-middot ~ ~

~ ilut li f~lt il( 11l5(1II1I~ ~lJhr (li lU] dt b deinoinht rstilisSil ~riuml lt 00

~mlti~l d~ ilrgumnls poul dlil)ti $01 CPtJdon middotccedilu $Qn r-Ju~ l Xliiliot Ilr~lllltt ~ lfJIl ampb eniK ampgt tilttris (k lb ~~ ~laquo Ics ~~ mmtf ~li 311 ~Ilccedilw pII Et ptIfeiseur Ct d~L r1it Uilf1l)h~ dŒ)h~ ~ rwdllL Piumlilii quil tort~ d llUnltc iucirci3rm5iJlili It pnf$oClitjjll~ w ~ffhl liJiles prtei~ dt fOOCIOnnmltni lt1 l11Il=r b l~urfltsileumlt1 I1liiir da-piumlmti une leU~ ~nmiddotkht le prqJ~sgtut rajt (lMlll~r ~ 1 dlltwle~ lICœcdut lt~ ~~r~l~

T~ pilrtl~(tG mlll Ir p1W~llr middot~c~ 1 oCOOIlaœI1Dll ll~tltllmiddotlTf4i

ucircqp ~Igt iumliltiSgte fi (œal ufile ~t Il t(souIIcircQn 4111lfl1l1~f lml k pairli 5U li mi (1 I~ 4JA 0 ~posdll3 zffieM tIC ccedil~i jl~ ~~~L11j ~ dlllrl-ail iks tRmiddotccedil5 ~t~ij Jl1tUdlm-nLIt (oor tli~ti~ mmMmiddot in~ ~riœnlll rhmbe 01 des ~iiifienlJi llficircKlllh~ jlCnd~ 1i3 phltise de bull 4aJlI

J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

Z h - ~ A0 ~ middotAn 2 _ ~J S i1 ri T j 11 l

~ middotz ~ADIr ~ n t- 2- An ~

~ -- lt an t ~ A0 5 fJ fI 4- 2(

I

Y (Wo nLmiddott~trMm) dt ~lAdifA ~ amp~ (M ) PC)

ff ltZ A[l = A~5 lU te6

0( 1lM1- Ct SAJ1 +2h+l

ker~) ~ ~Vq)r poJLfgtl fhi1rwA r~ t~eshy

JiVtII 4 Wf4~ Ael~~ r~imiddotamp A~1j1- lrampr~ Ccr4 1(4 ~f ~b ~ claquoJm lqH l_ AjtJ) 5 fUit-l 6 0gtshy

1( fl ~ Cl es- t ~~throo~ n-fi Ml amptampkLom ~ V (J ~

OcircYI I~ tfA4 - F~L = r~~ 6~~

cttrv ~1Io () _ tMbull ~_ ~ bull~1-- f --11 - -i- Mt~ ~ i1e o()tl ~I

64

Situation eacutevoque un problegraveme assez court simple de preacutesentation dont la solution nest pas immeacutediate et les chemins nombreux pour y arriver

Reacuteponses agrave propos du mot activiteacute

leacutelegraveve doit ecirctre en mesure de formuler ensuite des conjectures Problegraveme concret que les eacutelegraveves peuvent reacutesoudre de maniegravere presque autonome (en eacutetant guideacute si neacutecessaire) il va reacuteveacuteler des notions nouvelles quil sagira de formaliser Leacutelegraveve doit se heurter agrave une difficulteacute de reacutesolution qui motivera lintroduction de nouveaux outils Leacutelegraveve doit ecirctre placeacute dans une situation de demande Une activiteacute permet daborder une notion nouvelle dassimiler une notion deacutejagrave vue de faire deviner quelque chose aux eacutelegraveves en les guidant pas agrave pas Activiteacute cest le contraire du cours magistral Lactiviteacute est une application relative agrave un domaine (chapitre)

On peut remarquer que lactiviteacute est tregraves lieacutee agrave lideacutee de deacutebut de chapitre agrave lintroduction dune notion nouvelle agrave partir des connaissances anciennes (12 reacuteponses sur 18) Tous les participants donnent ou tentent de donner une laquo deacutefinitionraquo de lactiviteacute alors que tregraves souvent (dans un tiers des cas) il ny a pas de reacuteponse pour situation

Question 2 Pourquoi travailler par activiteacutes en matheacutematiques Quest-ce qui justifie ce choix

Les enseignants mettent en avant trois types de justifications bull Opposition entre le cours magistral et la motivation des eacutelegraveves (10 reacuteponses sur 18)

Pour eacuteviter un cours trop magistral pour eacuteviter dintroduire du vocabulaire nouveau trop tocirct Leacutelegraveve peut ne pas se sentir motiveacute par un cours cest plus difficile pour une activiteacute Pour donner un cocircteacute attrayant au cours Activiteacutes attrayantes et motivantes qui eacutevitent de tomber dans le piegravege du cours magistral Les eacutelegraveves sont plus motiveacutes plus calmes

bull Leacutelegraveve doit ecirctre actif (9 reacuteponses sur 18)

Leacutelegraveve doit ecirctre actif pas seulement reacutecepteur dinformations Cela permet le travail de groupe et la communication Lapprentissage est actif cela permet de reacutefleacutechir de mettre en relation des connaissances Cest leacutelegraveve qui sactive dans le but de deacutecouvrir un nouvel outil Leacutelegraveve doit ecirctre actif agrave lui deacutetablir les principaux reacutesultats

Cette activiteacute de leacutelegraveve semble un but en soi et seuls deux enseignants de ce groupe mettent en relation lactiviteacute de leacutelegraveve avec la construction des connaissances matheacutematiques bull Opposition entre concret et abstrait artificiel et tangible (6 reacuteponses sur 18)

La notion est introduite de maniegravere moins artificielle que sous forme dun cours magistral

65

Pour fournir des repegraveres agrave leacutelegraveve et rendre tangible une notion matheacutematique Pour eacuteviter dintroduire un vocabulaire abstrait trop tocirct

Citons enfm quelques reacuteponses isoleacutees qui ne rentrent pas dans les cateacutegories preacuteceacutedentes

Travailler par activiteacutes ne ma jamais paru eacutevident je le fais presque par obligation lattitude des eacutelegraveves me conforte dans mon opinion (renoncement devant lacte de chercher) Pour donner une raison decirctre aux matheacutematiques Pour se rappeler mecircme imparfaitement de notions deacutejagrave acquises Pour amener les eacutelegraveves agrave prendre conscience de la neacutecessiteacute dune meacutethode

Question 3 Avant dintroduire une notion nouvelle beaucoup de manuels scolaires proposent des laquo activiteacutes preacuteparatoiresraquo

a) Les utilisez-vous avant de deacutemarrer votre cours b) A partir de quels critegraveres allez-vous deacutecider quune activiteacute est inteacuteressante agrave proposer agrave vos eacutelegraveves (sappuyer sur un exemple) c) Si vous avez eacuteteacute ameneacute agrave modifier une activiteacute expliquer comment et avec quel objectif (sappuyer sur un exemple) d) Quest ce qui vous amegravene agrave rejeter une activiteacute trouveacutee dans un manuel et agrave deacutecider de ne pas la donner agrave chercher (sappuyer sur un exemple) e) Quelles sont pour vous les qualiteacutes dune laquo bonne activiteacuteraquo dintroduction agrave un concept donneacute (sappuyer sur un exemple)

Nous ne donnerons ici que quelques eacuteleacutements de reacuteponse les exemples proposeacutes eacutetant eacutetudieacutes dans le paragraphe suivant

Tous saccordent agrave dire que lactiviteacute doit ecirctre encadreacutee dans le temps

Eacutenonceacute court qui peut se reacutesoudre en une heure ou deux Encadreacutee dans le temps pour que la conclusion vienne en fin de seacuteance

Les avis sont tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre simple ou difficile

Activiteacute gardeacutee si elle comporte une difficulteacute ou alors si elle fait le lien avec un autre chapitre Elle ne doit ecirctre ni trop simple ni trop difficile Activiteacute gardeacutee si elle est simple deacutetailleacutee efficace Activiteacute rejeteacutee elle est trop simple et que leacutelegraveve est sur des rails

Les avis sont eacutegalement tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre fermeacutee ou ouverte

On rajoute des questions quand cest trop ouvert on deacutetaille plus On supprime des questions pour ne garder que lessentiel

Remarquons enfin quaucun enseignant ne parle de la faccedilon dont il gegravere lactiviteacute en classe mais le questionnaire ne ly incitait sans doute pas

23 les conclusions sur les reacutesultats de lenquecircte

Le mot situation est tregraves nettement rattacheacute agrave lideacutee du concret de situation de la vie courante ce concret eacutetant reacuteputeacute aider les eacutelegraveves agrave comprendre les matheacutematiques

66

Bien que lideacutee de la construction des connaissances ne soit pas absente des deacutefinitions du mot activiteacute ce qui apparaicirct comme prioritaire est que les eacutelegraveves soient laquo actifsraquo donc motiveacutes cette activiteacute de leacutelegraveve semblant ecirctre rechercheacutee pour elle-mecircme et indeacutependamment des savoirs quil sagit de construire

3 Eacutetude des exemples citeacutes

Les exemples dactiviteacutes spontaneacutement citeacutes par les jeunes enseignants concernent majoritairement sur le plan matheacutematique les vecteurs et tout ce qui concerne lenseignement en seconde (ou premiegravere eacuteventuellement) au sujet des fonctions Cest peut-ecirctre ducirc agrave la date de lenquecircte mi-novembre

On retrouve six fois les activiteacutes sur les vecteurs (multiplication dun vecteur par un nombre activiteacutes sur la somme vectorielle activiteacute sur lintroduction de la colineacuteariteacute) et dix fois des activiteacutes sur les fonctions (activiteacutes qui mettent en place le langage relatif aux fonctions leacutetude des fonctions de reacutefeacuterence lintroduction aux fonctions agrave partir de courbes ou de la modeacutelisation dun problegraveme la mise en eacutequation pour introduire la notion de fonction la mise en eacutequation pour rechercher un maximum (boicircte de volume maximal) loptimisation en geacuteomeacutetrie leacutequation f(x) = a peut avoir plusieurs solutions le nombre de racines dun polynocircme du troisiegraveme degreacute et linterpreacutetation graphique)

Apparaissent ensuite des exemples isoleacutes tels que la notion dangle orienteacute (seul exemple ougrave la difficulteacute du concept en jeu soit expliciteacutee) les probabiliteacutes les statistiques en seconde la valeur absolue la distance

Nous avons choisi de travailler dans ce paragraphe sur les activiteacutes citeacutees explicitement (plusieurs fois) avec une reacutefeacuterence bibliographique dont nous avons pu eacutetudier le texte avec preacutecision et qui ontfait lobjet dune discussion ou dun travail dans le stage Nous sommes tout agrave fait conscients que ce sont les premiers exemples citeacutes et nous ne reacuteduisons pas la pratique de ces enseignants agrave ces seuls exemples La convergence des exemples citeacutes nous a paru significative dune certaine conception a priori quant au rocircle de lactiviteacute dans lenseignement des matheacutematiques

31 activiteacutes mettant en place un nouveau langage

Apregraves lecture et discussion des activiteacutes proposeacutees nous avons regroupeacute une premiegravere seacuterie dexemples qui sont preacutesenteacutes par les enseignants sous la rubrique laquo activiteacutes mettant en place un nouveau langageraquo Ces activiteacutes ont comme objectif plus ou moins avoueacute de faire deviner des deacutefinitions Elles concernent le langage des fonctions (anteacuteceacutedents images ensemble de deacutefinition ) les notions de fonctions paires ou impaires la valeur absolue la multiplication dun vecteur par un reacuteel En voici quelques exemples

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La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

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Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

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bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

IREM de ROUEN (1995) Autour de la notion dactiviteacute

ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

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I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

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Annexe 7

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Pour fournir des repegraveres agrave leacutelegraveve et rendre tangible une notion matheacutematique Pour eacuteviter dintroduire un vocabulaire abstrait trop tocirct

Citons enfm quelques reacuteponses isoleacutees qui ne rentrent pas dans les cateacutegories preacuteceacutedentes

Travailler par activiteacutes ne ma jamais paru eacutevident je le fais presque par obligation lattitude des eacutelegraveves me conforte dans mon opinion (renoncement devant lacte de chercher) Pour donner une raison decirctre aux matheacutematiques Pour se rappeler mecircme imparfaitement de notions deacutejagrave acquises Pour amener les eacutelegraveves agrave prendre conscience de la neacutecessiteacute dune meacutethode

Question 3 Avant dintroduire une notion nouvelle beaucoup de manuels scolaires proposent des laquo activiteacutes preacuteparatoiresraquo

a) Les utilisez-vous avant de deacutemarrer votre cours b) A partir de quels critegraveres allez-vous deacutecider quune activiteacute est inteacuteressante agrave proposer agrave vos eacutelegraveves (sappuyer sur un exemple) c) Si vous avez eacuteteacute ameneacute agrave modifier une activiteacute expliquer comment et avec quel objectif (sappuyer sur un exemple) d) Quest ce qui vous amegravene agrave rejeter une activiteacute trouveacutee dans un manuel et agrave deacutecider de ne pas la donner agrave chercher (sappuyer sur un exemple) e) Quelles sont pour vous les qualiteacutes dune laquo bonne activiteacuteraquo dintroduction agrave un concept donneacute (sappuyer sur un exemple)

Nous ne donnerons ici que quelques eacuteleacutements de reacuteponse les exemples proposeacutes eacutetant eacutetudieacutes dans le paragraphe suivant

Tous saccordent agrave dire que lactiviteacute doit ecirctre encadreacutee dans le temps

Eacutenonceacute court qui peut se reacutesoudre en une heure ou deux Encadreacutee dans le temps pour que la conclusion vienne en fin de seacuteance

Les avis sont tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre simple ou difficile

Activiteacute gardeacutee si elle comporte une difficulteacute ou alors si elle fait le lien avec un autre chapitre Elle ne doit ecirctre ni trop simple ni trop difficile Activiteacute gardeacutee si elle est simple deacutetailleacutee efficace Activiteacute rejeteacutee elle est trop simple et que leacutelegraveve est sur des rails

Les avis sont eacutegalement tregraves partageacutes sur le fait quelle doit ecirctre fermeacutee ou ouverte

On rajoute des questions quand cest trop ouvert on deacutetaille plus On supprime des questions pour ne garder que lessentiel

Remarquons enfin quaucun enseignant ne parle de la faccedilon dont il gegravere lactiviteacute en classe mais le questionnaire ne ly incitait sans doute pas

23 les conclusions sur les reacutesultats de lenquecircte

Le mot situation est tregraves nettement rattacheacute agrave lideacutee du concret de situation de la vie courante ce concret eacutetant reacuteputeacute aider les eacutelegraveves agrave comprendre les matheacutematiques

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Bien que lideacutee de la construction des connaissances ne soit pas absente des deacutefinitions du mot activiteacute ce qui apparaicirct comme prioritaire est que les eacutelegraveves soient laquo actifsraquo donc motiveacutes cette activiteacute de leacutelegraveve semblant ecirctre rechercheacutee pour elle-mecircme et indeacutependamment des savoirs quil sagit de construire

3 Eacutetude des exemples citeacutes

Les exemples dactiviteacutes spontaneacutement citeacutes par les jeunes enseignants concernent majoritairement sur le plan matheacutematique les vecteurs et tout ce qui concerne lenseignement en seconde (ou premiegravere eacuteventuellement) au sujet des fonctions Cest peut-ecirctre ducirc agrave la date de lenquecircte mi-novembre

On retrouve six fois les activiteacutes sur les vecteurs (multiplication dun vecteur par un nombre activiteacutes sur la somme vectorielle activiteacute sur lintroduction de la colineacuteariteacute) et dix fois des activiteacutes sur les fonctions (activiteacutes qui mettent en place le langage relatif aux fonctions leacutetude des fonctions de reacutefeacuterence lintroduction aux fonctions agrave partir de courbes ou de la modeacutelisation dun problegraveme la mise en eacutequation pour introduire la notion de fonction la mise en eacutequation pour rechercher un maximum (boicircte de volume maximal) loptimisation en geacuteomeacutetrie leacutequation f(x) = a peut avoir plusieurs solutions le nombre de racines dun polynocircme du troisiegraveme degreacute et linterpreacutetation graphique)

Apparaissent ensuite des exemples isoleacutes tels que la notion dangle orienteacute (seul exemple ougrave la difficulteacute du concept en jeu soit expliciteacutee) les probabiliteacutes les statistiques en seconde la valeur absolue la distance

Nous avons choisi de travailler dans ce paragraphe sur les activiteacutes citeacutees explicitement (plusieurs fois) avec une reacutefeacuterence bibliographique dont nous avons pu eacutetudier le texte avec preacutecision et qui ontfait lobjet dune discussion ou dun travail dans le stage Nous sommes tout agrave fait conscients que ce sont les premiers exemples citeacutes et nous ne reacuteduisons pas la pratique de ces enseignants agrave ces seuls exemples La convergence des exemples citeacutes nous a paru significative dune certaine conception a priori quant au rocircle de lactiviteacute dans lenseignement des matheacutematiques

31 activiteacutes mettant en place un nouveau langage

Apregraves lecture et discussion des activiteacutes proposeacutees nous avons regroupeacute une premiegravere seacuterie dexemples qui sont preacutesenteacutes par les enseignants sous la rubrique laquo activiteacutes mettant en place un nouveau langageraquo Ces activiteacutes ont comme objectif plus ou moins avoueacute de faire deviner des deacutefinitions Elles concernent le langage des fonctions (anteacuteceacutedents images ensemble de deacutefinition ) les notions de fonctions paires ou impaires la valeur absolue la multiplication dun vecteur par un reacuteel En voici quelques exemples

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La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

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Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

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bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

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lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

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analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

g ]- ~ - ~ILJl Ri -i

Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

~JJlr G bull ut~ ~~~

rr-~ ~pccedilfli~~~~~ Je plUcirc11 il bullbullbullbull _ u bullbullbull

bullbullH Lf l40l ll-middot l tHlllII~Ifs~1A~l~~ ~ ~-~ -- _~_

t~middot~rt tmiddot ~ H~ bullbull a~ ~IOI middotH middotH1 U 1 ~t If 0shyl1iUl $Jlh~r ~ o~ r4lQO~1lQiumll$11~n5 _ - bull- -

JH1O ~ bullbull ~ ~ IJ tYlmiddot4gtlmiddotAtHH _middotIImiddotl HI

U pro1tDeur legraves Wllr donnt 1[1 laquolUumlieacutet$ d 1t4~1 tliumllil~ w~~ 6ruumlCdlu tJb~u Ilptccedilisli t1liI li~fV~ffu1t1i W IlIfmiddotl1lTJlJfflQote ~ tllt a5i rooms mlijhdmiIIcirclll~ li ~Ii~~r l1i Jll)ur dire si les 501uUgraveans J1r~(5 Ir duijU[ Emllp if ~~ (W tJU5$~ 13 ljlgt6œ que cc~llensttlbk ~ 1) 1m-lJifi alInIli 1( tilnnllor ~ r~I lI ~nu des ltUgravelidles gtlJ~udime pilrlle 1111 ~ ~h) dlt5b1ill Ut k~ p~lioii ot lfl)L1~~ Le pmshy = I~Uf )Mll lllJlSII~dtS4 kqudi l~5 llff~ saillIt dGNmUt Ilpr~middot = ~fi 1 F~mlbrc ~ la dulilCh ~l5ijjoC ~fL pttAgrave eolUlamp1lS5ifmiddot~ ~lIit Pfl-middot ~ ~

~ ilut li f~lt il( 11l5(1II1I~ ~lJhr (li lU] dt b deinoinht rstilisSil ~riuml lt 00

~mlti~l d~ ilrgumnls poul dlil)ti $01 CPtJdon middotccedilu $Qn r-Ju~ l Xliiliot Ilr~lllltt ~ lfJIl ampb eniK ampgt tilttris (k lb ~~ ~laquo Ics ~~ mmtf ~li 311 ~Ilccedilw pII Et ptIfeiseur Ct d~L r1it Uilf1l)h~ dŒ)h~ ~ rwdllL Piumlilii quil tort~ d llUnltc iucirci3rm5iJlili It pnf$oClitjjll~ w ~ffhl liJiles prtei~ dt fOOCIOnnmltni lt1 l11Il=r b l~urfltsileumlt1 I1liiir da-piumlmti une leU~ ~nmiddotkht le prqJ~sgtut rajt (lMlll~r ~ 1 dlltwle~ lICœcdut lt~ ~~r~l~

T~ pilrtl~(tG mlll Ir p1W~llr middot~c~ 1 oCOOIlaœI1Dll ll~tltllmiddotlTf4i

ucircqp ~Igt iumliltiSgte fi (œal ufile ~t Il t(souIIcircQn 4111lfl1l1~f lml k pairli 5U li mi (1 I~ 4JA 0 ~posdll3 zffieM tIC ccedil~i jl~ ~~~L11j ~ dlllrl-ail iks tRmiddotccedil5 ~t~ij Jl1tUdlm-nLIt (oor tli~ti~ mmMmiddot in~ ~riœnlll rhmbe 01 des ~iiifienlJi llficircKlllh~ jlCnd~ 1i3 phltise de bull 4aJlI

J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

Z h - ~ A0 ~ middotAn 2 _ ~J S i1 ri T j 11 l

~ middotz ~ADIr ~ n t- 2- An ~

~ -- lt an t ~ A0 5 fJ fI 4- 2(

I

Y (Wo nLmiddott~trMm) dt ~lAdifA ~ amp~ (M ) PC)

ff ltZ A[l = A~5 lU te6

0( 1lM1- Ct SAJ1 +2h+l

ker~) ~ ~Vq)r poJLfgtl fhi1rwA r~ t~eshy

JiVtII 4 Wf4~ Ael~~ r~imiddotamp A~1j1- lrampr~ Ccr4 1(4 ~f ~b ~ claquoJm lqH l_ AjtJ) 5 fUit-l 6 0gtshy

1( fl ~ Cl es- t ~~throo~ n-fi Ml amptampkLom ~ V (J ~

OcircYI I~ tfA4 - F~L = r~~ 6~~

cttrv ~1Io () _ tMbull ~_ ~ bull~1-- f --11 - -i- Mt~ ~ i1e o()tl ~I

66

Bien que lideacutee de la construction des connaissances ne soit pas absente des deacutefinitions du mot activiteacute ce qui apparaicirct comme prioritaire est que les eacutelegraveves soient laquo actifsraquo donc motiveacutes cette activiteacute de leacutelegraveve semblant ecirctre rechercheacutee pour elle-mecircme et indeacutependamment des savoirs quil sagit de construire

3 Eacutetude des exemples citeacutes

Les exemples dactiviteacutes spontaneacutement citeacutes par les jeunes enseignants concernent majoritairement sur le plan matheacutematique les vecteurs et tout ce qui concerne lenseignement en seconde (ou premiegravere eacuteventuellement) au sujet des fonctions Cest peut-ecirctre ducirc agrave la date de lenquecircte mi-novembre

On retrouve six fois les activiteacutes sur les vecteurs (multiplication dun vecteur par un nombre activiteacutes sur la somme vectorielle activiteacute sur lintroduction de la colineacuteariteacute) et dix fois des activiteacutes sur les fonctions (activiteacutes qui mettent en place le langage relatif aux fonctions leacutetude des fonctions de reacutefeacuterence lintroduction aux fonctions agrave partir de courbes ou de la modeacutelisation dun problegraveme la mise en eacutequation pour introduire la notion de fonction la mise en eacutequation pour rechercher un maximum (boicircte de volume maximal) loptimisation en geacuteomeacutetrie leacutequation f(x) = a peut avoir plusieurs solutions le nombre de racines dun polynocircme du troisiegraveme degreacute et linterpreacutetation graphique)

Apparaissent ensuite des exemples isoleacutes tels que la notion dangle orienteacute (seul exemple ougrave la difficulteacute du concept en jeu soit expliciteacutee) les probabiliteacutes les statistiques en seconde la valeur absolue la distance

Nous avons choisi de travailler dans ce paragraphe sur les activiteacutes citeacutees explicitement (plusieurs fois) avec une reacutefeacuterence bibliographique dont nous avons pu eacutetudier le texte avec preacutecision et qui ontfait lobjet dune discussion ou dun travail dans le stage Nous sommes tout agrave fait conscients que ce sont les premiers exemples citeacutes et nous ne reacuteduisons pas la pratique de ces enseignants agrave ces seuls exemples La convergence des exemples citeacutes nous a paru significative dune certaine conception a priori quant au rocircle de lactiviteacute dans lenseignement des matheacutematiques

31 activiteacutes mettant en place un nouveau langage

Apregraves lecture et discussion des activiteacutes proposeacutees nous avons regroupeacute une premiegravere seacuterie dexemples qui sont preacutesenteacutes par les enseignants sous la rubrique laquo activiteacutes mettant en place un nouveau langageraquo Ces activiteacutes ont comme objectif plus ou moins avoueacute de faire deviner des deacutefinitions Elles concernent le langage des fonctions (anteacuteceacutedents images ensemble de deacutefinition ) les notions de fonctions paires ou impaires la valeur absolue la multiplication dun vecteur par un reacuteel En voici quelques exemples

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La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

69

Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

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bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

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des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

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analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

g ]- ~ - ~ILJl Ri -i

Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

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Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

~JJlr G bull ut~ ~~~

rr-~ ~pccedilfli~~~~~ Je plUcirc11 il bullbullbullbull _ u bullbullbull

bullbullH Lf l40l ll-middot l tHlllII~Ifs~1A~l~~ ~ ~-~ -- _~_

t~middot~rt tmiddot ~ H~ bullbull a~ ~IOI middotH middotH1 U 1 ~t If 0shyl1iUl $Jlh~r ~ o~ r4lQO~1lQiumll$11~n5 _ - bull- -

JH1O ~ bullbull ~ ~ IJ tYlmiddot4gtlmiddotAtHH _middotIImiddotl HI

U pro1tDeur legraves Wllr donnt 1[1 laquolUumlieacutet$ d 1t4~1 tliumllil~ w~~ 6ruumlCdlu tJb~u Ilptccedilisli t1liI li~fV~ffu1t1i W IlIfmiddotl1lTJlJfflQote ~ tllt a5i rooms mlijhdmiIIcirclll~ li ~Ii~~r l1i Jll)ur dire si les 501uUgraveans J1r~(5 Ir duijU[ Emllp if ~~ (W tJU5$~ 13 ljlgt6œ que cc~llensttlbk ~ 1) 1m-lJifi alInIli 1( tilnnllor ~ r~I lI ~nu des ltUgravelidles gtlJ~udime pilrlle 1111 ~ ~h) dlt5b1ill Ut k~ p~lioii ot lfl)L1~~ Le pmshy = I~Uf )Mll lllJlSII~dtS4 kqudi l~5 llff~ saillIt dGNmUt Ilpr~middot = ~fi 1 F~mlbrc ~ la dulilCh ~l5ijjoC ~fL pttAgrave eolUlamp1lS5ifmiddot~ ~lIit Pfl-middot ~ ~

~ ilut li f~lt il( 11l5(1II1I~ ~lJhr (li lU] dt b deinoinht rstilisSil ~riuml lt 00

~mlti~l d~ ilrgumnls poul dlil)ti $01 CPtJdon middotccedilu $Qn r-Ju~ l Xliiliot Ilr~lllltt ~ lfJIl ampb eniK ampgt tilttris (k lb ~~ ~laquo Ics ~~ mmtf ~li 311 ~Ilccedilw pII Et ptIfeiseur Ct d~L r1it Uilf1l)h~ dŒ)h~ ~ rwdllL Piumlilii quil tort~ d llUnltc iucirci3rm5iJlili It pnf$oClitjjll~ w ~ffhl liJiles prtei~ dt fOOCIOnnmltni lt1 l11Il=r b l~urfltsileumlt1 I1liiir da-piumlmti une leU~ ~nmiddotkht le prqJ~sgtut rajt (lMlll~r ~ 1 dlltwle~ lICœcdut lt~ ~~r~l~

T~ pilrtl~(tG mlll Ir p1W~llr middot~c~ 1 oCOOIlaœI1Dll ll~tltllmiddotlTf4i

ucircqp ~Igt iumliltiSgte fi (œal ufile ~t Il t(souIIcircQn 4111lfl1l1~f lml k pairli 5U li mi (1 I~ 4JA 0 ~posdll3 zffieM tIC ccedil~i jl~ ~~~L11j ~ dlllrl-ail iks tRmiddotccedil5 ~t~ij Jl1tUdlm-nLIt (oor tli~ti~ mmMmiddot in~ ~riœnlll rhmbe 01 des ~iiifienlJi llficircKlllh~ jlCnd~ 1i3 phltise de bull 4aJlI

J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

Z h - ~ A0 ~ middotAn 2 _ ~J S i1 ri T j 11 l

~ middotz ~ADIr ~ n t- 2- An ~

~ -- lt an t ~ A0 5 fJ fI 4- 2(

I

Y (Wo nLmiddott~trMm) dt ~lAdifA ~ amp~ (M ) PC)

ff ltZ A[l = A~5 lU te6

0( 1lM1- Ct SAJ1 +2h+l

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1( fl ~ Cl es- t ~~throo~ n-fi Ml amptampkLom ~ V (J ~

OcircYI I~ tfA4 - F~L = r~~ 6~~

cttrv ~1Io () _ tMbull ~_ ~ bull~1-- f --11 - -i- Mt~ ~ i1e o()tl ~I

67

La situation du bateau (annexe 1)

Cest une fiche de travail extraite du manuel Pythagore seconde (page 82) et retravailleacutee par un groupe de cinq stagiaires pour en faire une laquobonneraquo activiteacute dintroduction agrave la notion de fonction Leur objectif deacuteclareacute eacutetait lintroduction des principaux eacuteleacutements de vocabulaire tels que images anteacuteceacutedents

Dans ce cas le rocircle supposeacute de lactiviteacute est de maniegravere caricaturale le suivant On peut voir sur le dessin une courbe concregravete par exemple celle qui agrave chaque instant de la matineacutee associe la hauteur de la mer dans le port Le bateau dessineacute est sans doute destineacute agrave susciter linteacuterecirct de leacutelegraveve Leacutelegraveve est motiveacute pour reacutepondre aux questions laquopratiquesraquo (quelle est la hauteur de la mer agrave minuit 7) le vocabulaire sera ancreacute dans la reacutealiteacute et la situation concregravete donnera du sens aux notions dimage danteacuteceacutedent dintervalle de deacutefinition Or que peut-on preacutevoir 7

Laspect concret na pas eacuteclaireacute miraculeusement la notion dimage et danteacuteceacutedent notion longue agrave se mettre en place chez les eacutelegraveves qui narrivent pas agrave coordonner la lecture de deux informations sur deux axes diffeacuterents De plus ce bateau dessineacute par dessus la courbe qui donne la hauteur de la mer en fonction du temps accentue la confusion possible entre cette courbe et la trajectoire du bateau dans le port Lexpeacuterimentation a montreacute que les eacutelegraveves tregraves en difficulteacute ne savaient pas tregraves bien quels genres de bonds faisait ce bateau sur les vagues

Lutilisation de fonctions issues de la physique ou de la vie courante nest sans doute pas agrave remettre en cause mais encore faut-il que la situation proposeacutee nengendre pas des confusions et il est illusoire de penser que les difficulteacutes propres agrave la conceptualisation matheacutematique vont ecirctre adoucies par le soi disant recours au concret

La fonction paire (extrait de Pythagore classe de seconde page 86 annexe 2)

Cette activiteacute a eacuteteacute proposeacutee par deux stagiaires et fortement rejeteacutee par deux autres comme nayant pas le statut dune activiteacute

Un encadreacute baptiseacute entre nous rend le lecteur complice dun petit jeu qui consiste agrave laquo deacutecouvrir les notions de fonctions paires et impaires et en formuler les deacutefinitions interpreacuteter geacuteomeacutetriquement la pariteacute raquo Le cours de matheacutematiques ressemble alors agrave un petit jeu de devinettes pour motiver les eacutelegraveves Que propose lactiviteacute du manuel et quattend-on de leacutelegraveve 7 Quil soit capable de construire un morceau de courbe symeacutetrique par rapport agrave laxe des ordonneacutees de comparer deux valeurs de la fonction pour deux valeurs numeacuteriques opposeacutees de la variable de geacuteneacuteraliser hacirctivement la comparaison de f(x) et de fe-x) et de formuler une deacutefinition

La visibiliteacute de la notion sur la repreacutesentation graphique semble aller de soi et leacutelegraveve serait donc conduit naturellement agrave donner la deacutefinition algeacutebrique agrave partir des proprieacuteteacutes simples de la courbe Est-ce aussi simple que cela et ougrave sont les vraies difficulteacutes 7 La notion de fonction paire est difficile preacuteciseacutement parce quelle se construit dans larticulation entre de deux registres de repreacutesentation (au sens ougrave lentend Raymond Duval) le registre des repreacutesentations graphiques et celui des eacutecritures algeacutebriques Il ny a donc pas un dessin qui serait simple concret tangibleet une eacutecriture algeacutebrique un peu plus compliqueacutee quil suffirait de deacuteduire du graphique mais

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bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

69

Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

70

de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

71

propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

72

bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

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des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

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ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

g ]- ~ - ~ILJl Ri -i

Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

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U pro1tDeur legraves Wllr donnt 1[1 laquolUumlieacutet$ d 1t4~1 tliumllil~ w~~ 6ruumlCdlu tJb~u Ilptccedilisli t1liI li~fV~ffu1t1i W IlIfmiddotl1lTJlJfflQote ~ tllt a5i rooms mlijhdmiIIcirclll~ li ~Ii~~r l1i Jll)ur dire si les 501uUgraveans J1r~(5 Ir duijU[ Emllp if ~~ (W tJU5$~ 13 ljlgt6œ que cc~llensttlbk ~ 1) 1m-lJifi alInIli 1( tilnnllor ~ r~I lI ~nu des ltUgravelidles gtlJ~udime pilrlle 1111 ~ ~h) dlt5b1ill Ut k~ p~lioii ot lfl)L1~~ Le pmshy = I~Uf )Mll lllJlSII~dtS4 kqudi l~5 llff~ saillIt dGNmUt Ilpr~middot = ~fi 1 F~mlbrc ~ la dulilCh ~l5ijjoC ~fL pttAgrave eolUlamp1lS5ifmiddot~ ~lIit Pfl-middot ~ ~

~ ilut li f~lt il( 11l5(1II1I~ ~lJhr (li lU] dt b deinoinht rstilisSil ~riuml lt 00

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T~ pilrtl~(tG mlll Ir p1W~llr middot~c~ 1 oCOOIlaœI1Dll ll~tltllmiddotlTf4i

ucircqp ~Igt iumliltiSgte fi (œal ufile ~t Il t(souIIcircQn 4111lfl1l1~f lml k pairli 5U li mi (1 I~ 4JA 0 ~posdll3 zffieM tIC ccedil~i jl~ ~~~L11j ~ dlllrl-ail iks tRmiddotccedil5 ~t~ij Jl1tUdlm-nLIt (oor tli~ti~ mmMmiddot in~ ~riœnlll rhmbe 01 des ~iiifienlJi llficircKlllh~ jlCnd~ 1i3 phltise de bull 4aJlI

J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

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68

bien plutocirct un concept qui nest utile agrave leacutelegraveve que sil dispose de ses diffeacuterentes repreacutesentations dans diffeacuterents registres et sil peut les mobiliser simultaneacutement Lexamen du graphique pour les eacutelegraveves en difficulteacute ne suffira donc pas agrave faire le lien entre les eacutecritures algeacutebriques x -x f(x) fe-x) dune part et leurs traductions graphiques dautre part Un travail systeacutematique avec les eacutelegraveves sur ces articulations entre deux registres sera donc neacutecessaire Enfin ce nest pas lexamen dune seule fonction paire puis dans un autre paragraphe dune seule fonction impaire qui permettra lappreacutehension du concept mais la mise en correspondance de plusieurs courbes ayant ou non des symeacutetries avec les variations pertinentes de leurs expressions algeacutebriques Et dans ce cas preacutecis le changement de registre se heurte agrave des difficulteacutes speacutecifiques de non congruence

La multiplication dun vecteur par un nombre reacuteel

Cette activiteacute suscite un deacutebat chez les jeunes enseignants certains parlent du laquo langage des vecteursraquo dautres de laquo lintroduction dun nouveau concept raquo Le vecteur eacutetant loutil qui permet de passer de lespace affme agrave lespace vectoriel il nous semble difficile de le reacuteduire agrave un nouveau langage Mais lappauvrissement des programmes ces derniegraveres anneacutees au sujet du vecteur et limpossibiliteacute de recourir agrave la notion de classe deacutequivalence risquent bien de reacuteduire dans lesprit des eacutelegraveves et celui des enseignants la porteacutee de ce concept Nous allons examiner deux activiteacutes agrave propos des vecteurs

bull Multiplication dun vecteur par un reacuteel (proposeacutee par Transmath classe de seconde page 258 annexe 3)

Quelle est ici lactiviteacute de leacutelegraveve Elle est tregraves reacuteduite a) Leacutelegraveve doit remarquer que lon fait la somme de deux vecteurs eacutegaux comme celle de

deux nombres eacutegaux (on calcule AB+ AB = 2AB dans lensemble des vecteurs du plan comme x+ x =2x dans R) donc deviner que le formalisme de R sapplique aussi agrave lensemble des vecteurs agrave propos dune loi externe analogie qui peut preacutesenter quelques dangers si on la transporte ailleurs sans preacutecaution

b) On lui propose de reacuteunir deux informations (sur le sens et la longueur) en une seule (eacutecriture vectorielle) Pourquoi deux informations En fait leacutecriture vectorielle reacutesume trois informations lune dentre elles (concernant la direction) neacutetant pas reacutepeacuteteacutee et eacutetant contenue implicitement dans le dessin dune droite gradueacutee Lobjectif afficheacute est une eacuteconomie deacutecriture on reacutesume plusieurs informations en une mais leacuteconomie deacutecriture est rarement une preacuteoccupation deacutelegraveves

c) Leacutelegraveve nest placeacute que devant des exemples ougrave il doit multiplier des vecteurs par des entiers ou eacuteventuellement par une fraction simple (renforccedilant ainsi lideacutee que les nombres ne sont que des entiers ou des petites fractions) et jamais par un irrationnel (ce qui est pourtant facile agrave introduire degraves que lon travaille dans un triangle eacutequilateacuteral)

bull Multiplication dun vecteur par un nombre (proposeacutee par le manuel Fractale seconde page 33 annexe 4)

69

Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

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bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

IREM de ROUEN (1995) Autour de la notion dactiviteacute

ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

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Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

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Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

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J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

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69

Il sagit de faire deacutecrire une figure au teacuteleacutephone Certes loutil vectoriel permet de deacutecrire simplement la figure pour celui qui connaicirct cet outil mais agrave qui fera-t-on croire quun eacutelegraveve normalement constitueacute va ecirctre ameneacute agrave construire agrave partir de ses connaissances actuelles loutil vectoriel pour deacutecrire sa figure au teacuteleacutephone

Dans les cahiers DIDlREM n028 agrave propos de lobservation de pratiques de seacuteances dintroduction sur les vecteurs CHache et ARobert avancent lideacutee que nous reprenons ICI

Il nexiste pas de problegraveme de niveau seconde dont la reacutesolution neacutecessite loutil laquo multiplication dun vecteur par un reacuteel raquo Il ny a donc pas la possibiliteacute damener les eacutelegraveves au nouveau de maniegravere continue au moins partiellement agrave partir de problegravemes quils auraient reacutesolus avec leurs connaissances deacutejagrave preacutesentes mecircme implicites Or quest-ce que le nouveau que lon doit introduire Un concept geacuteneacuteralisateur celui de loi externe qui va peut ecirctre servir agrave simplifier ulteacuterieurement des deacutemonstrations

Dautres exemples pourraient encore ecirctre donneacutes qui relegravevent de la mecircme intention activiteacutes destineacutees agrave faire deviner la deacutefinition du sinus et du cosinus sur le cercle trigonomeacutetrique activiteacutes pour rendre concregravetes la valeur absolue

Dans tous ces exemples le sceacutenario est le suivant Lenseignant a repeacutereacute que la notion eacutetait difficile la considegravere abstraite Lintroduction de cette notion neacutecessite un nouveau langage un nouveau symbolisme (vecteurs valeur absolue ) On cherche alors agrave laquo ameacutenagerraquo les matheacutematiques pour quelles soient moins artificielles en proposant agrave leacutelegraveve des situations deacutetourneacutees et pseudo-concregravetes et en lui faisant croire que cest simple parce quil peut deviner par lui-mecircme les deacutefinitions au moyen de quelques analogies avec ce qui lui est familier

32 la mise en eacutequation pour rechercher un maximum la rencontre avec la fonction au travers de problegravemes de modeacutelisation

Cette formulation de mise en eacutequation pour rechercher un maximum revient suffisamment souvent pour que nous nous arrecirctions sur ce point Lactiviteacute type est celle proposeacutee en annexe 5 extraite de Pythagore seconde page 83 et intituleacutee laquo un maximum daire raquo Tous les enseignants disent proposer de telles activiteacutes agrave leurs eacutelegraveves agrave propos des fonctions Le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique Une longueur est inconnue (leacutenonceacute suggegravere en geacuteneacuteral de lappeler x) il faut calculer une aire en fonction de x quil sagit ensuite doptimiser Lobjectif afficheacute est dans notre exemple laquo construire une courbe point par point deacuteterminer une fonction rencontrer la notion de maximum raquo On peut noter au passage le vocabulaire la laquo rencontreraquo avec la fonction est sans doute plus conviviale

Lobjectif formuleacute par les stagiaires agrave propos de cette activiteacute est montrer que loutil fonctionnel simpose pour reacutesoudre ce problegraveme et donc par lagrave donner de linteacuterecirct au cours sur les fonctions et plus geacuteneacuteralement montrer lutiliteacute des matheacutematiques qui seules permettent de trouver une solution agrave ce type de problegraveme

Un autre objectifafficheacute est aussi la neacutecessiteacute de deacutemontrer que lon a bien trouveacute la vraie valeur du maximum mais il nest pas sucircr du tout que le problegraveme proposeacute conduise agrave cette neacutecessiteacute de deacutemonstration le maximum eacutetant obtenu pour la valeur 2

70

de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

71

propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

72

bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

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ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

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Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

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74

Annexe 2

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Ii~nli IlugraveDmIrtts

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75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

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lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

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J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

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t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

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de x donc quand M est au milieu de [OB] et P au milieu de [DA] et donc quand laire du rectangle est la moitieacute de celle du triangle

Pour mettre en eacutevidence que ces objectifs ne sont pas neacutecessairement atteints le problegraveme du paralleacutelogramme qui tourne (voir annexe 6) a eacuteteacute proposeacute par le formateur Ce problegraveme agrave la diffeacuterence des activiteacutes preacuteceacutedemment citeacutees est proposeacute avec son sceacutenario Un deacutebut danalyse a priori nous permet de voir que des choix didactiques ont eacuteteacute faits Leacutenonceacute ne suggegravere pas de poser AM = x donc leacuteventuel changement de cadre (le problegraveme est poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique et sa reacutesolution se fait dans le cadre algeacutebrique) est laisseacute agrave la charge de leacutelegraveve

Dans le cadre algeacutebrique on est conduit apregraves avoir poseacute AM = x agrave rechercher le minimum dune fonction deacutefinie par f(x) = 2x2-105x+26 minimum obtenu pour la valeur 2625 Il est possible dobtenir ce reacutesultat par des consideacuterations purement geacuteomeacutetriques mais la deacutemonstration est bien trop difficile pour les eacutelegraveves

Ce problegraveme a eacuteteacute proposeacute agrave une classe de premiegravere S au tout deacutebut de lanneacutee Les eacutelegraveves disposaient donc uniquement de leurs connaissances de seconde sur les fonctions et navaient pas encore abordeacute le chapitre sur le second degreacute et la forme canonique du trinocircme Les conditions de lexpeacuterimentation eacutetaient les mecircmes que celles proposeacutees en seconde dans le document citeacute Le professeur nest pas intervenu pendant une heure quinze environ Les reacutesultats sont les suivants (il y a quinze copies de binocircmes)

bull Six binocircmes passent dans le cadre algeacutebrique Lun dentre eux narrive pas au bout en raison derreurs de calcul algeacutebrique quatre aboutissent agrave lexpression de la fonction la programment sur la calculatrice et trouvent une valeur approcheacutee du minimum

Le dernier binocircme dont la copie figure dans lannexe 7 (Christelle et Nicolas) est particuliegraverement inteacuteressant agrave eacutetudier Ces deux eacutelegraveves calculent laire du paralleacutelogramme en fonction de AM et arrivent au reacutesultat 2AM2-105AM+26 et eacutecrivent

x aire minimum du quadrilategravere MNPQ xs 2AM2-105AM+26 os 2AM2-1 05AM+26+x

puis sarrecirctent et semblent tregraves troubleacutes Le professeur passant dans les rangs leur demande dexpliquer ce quils ont eacutecrit et

pourquoi ils sont bloqueacutes Les eacutelegraveves reacutepondent

on ne peut pas faire 2AM2-1 05AM+26 = 0 comme cest le minimum on a une ineacutegaliteacute on ne peut pas poser = quelque chose alors on pose le minimum = x mais on ne connaicirct pas x

Ces deux eacutelegraveves restent bloqueacutes dans une probleacutematique de reacutesolution deacutequation ou dineacutequation AM garde le statut dinconnue et ils narrivent pas agrave faire le changement de point de vue qui consiste agrave consideacuterer AM comme une variable et agrave passer dans le cadre fonctionnel pour traiter la question du minimum Auraient-ils fait ce passage sils avaient poseacute AM = x Nous sommes incapables de reacutepondre agrave cette question

bull Cinq binocircmes procegravedent par tacirctonnement en essayant des valeurs pour AM Quatre dentre eux essaient uniquement les valeurs entiegraveres pour AM voient que

pour 2 laire trouveacutee est la plus petite et affirment que 2 est la bonne reacuteponse Un groupe

71

propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

72

bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

IREM de ROUEN (1995) Autour de la notion dactiviteacute

ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

74

Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

g ]- ~ - ~ILJl Ri -i

Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

h) 1Ii~rotllŒA5 crlJho1lt kiltrB dl~ cl ~ pll~ Argt f 1lJ3

Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

bull T l~( qucST i PN gt

76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

L~~fliCeacute dllprobl~lUe AjlCO ~l 00 f~ll)Dtll Al3(J$ tnc4om M Clil UlJpainf du sq

tllil I)Jlj bull N $I YnPQlnl dUlglTWlt ~E1Cj ~ st un pcfut dis ~[mllnl [CD] Q ~ lUi flOUH t9 ~-smllll tPAJ Pi plfiP Qnl AM ttN CP IiQ Qi (~iJ ~laquot It ~l h~ plfIf ~ = -1(1 qmlrlJil~r~ MNro~lJit 11 Jllll~ pttiltl pagraveJibhi

A ME r s

S~r~o pnu

ftj~laquo ~j~ Uh(l~ i1JI~j5~ 10 minUits de r~itJtI tfgti~Iwocirclt Jlt~

J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

)tctf~llur peul dJccedillJ~ lfcn ~jumGniiccedilf l~ Fampclll2ocirconbull (t ~lllilllt dt tllr~ts GID ~lKU~ 1i~ml lImllilttl ~ lllJilfiQ~ Ji~t~ qut les ~G~ tm~pIii~r ccedilfJrt1iUpU(umplt

~JJlr G bull ut~ ~~~

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bullbullH Lf l40l ll-middot l tHlllII~Ifs~1A~l~~ ~ ~-~ -- _~_

t~middot~rt tmiddot ~ H~ bullbull a~ ~IOI middotH middotH1 U 1 ~t If 0shyl1iUl $Jlh~r ~ o~ r4lQO~1lQiumll$11~n5 _ - bull- -

JH1O ~ bullbull ~ ~ IJ tYlmiddot4gtlmiddotAtHH _middotIImiddotl HI

U pro1tDeur legraves Wllr donnt 1[1 laquolUumlieacutet$ d 1t4~1 tliumllil~ w~~ 6ruumlCdlu tJb~u Ilptccedilisli t1liI li~fV~ffu1t1i W IlIfmiddotl1lTJlJfflQote ~ tllt a5i rooms mlijhdmiIIcirclll~ li ~Ii~~r l1i Jll)ur dire si les 501uUgraveans J1r~(5 Ir duijU[ Emllp if ~~ (W tJU5$~ 13 ljlgt6œ que cc~llensttlbk ~ 1) 1m-lJifi alInIli 1( tilnnllor ~ r~I lI ~nu des ltUgravelidles gtlJ~udime pilrlle 1111 ~ ~h) dlt5b1ill Ut k~ p~lioii ot lfl)L1~~ Le pmshy = I~Uf )Mll lllJlSII~dtS4 kqudi l~5 llff~ saillIt dGNmUt Ilpr~middot = ~fi 1 F~mlbrc ~ la dulilCh ~l5ijjoC ~fL pttAgrave eolUlamp1lS5ifmiddot~ ~lIit Pfl-middot ~ ~

~ ilut li f~lt il( 11l5(1II1I~ ~lJhr (li lU] dt b deinoinht rstilisSil ~riuml lt 00

~mlti~l d~ ilrgumnls poul dlil)ti $01 CPtJdon middotccedilu $Qn r-Ju~ l Xliiliot Ilr~lllltt ~ lfJIl ampb eniK ampgt tilttris (k lb ~~ ~laquo Ics ~~ mmtf ~li 311 ~Ilccedilw pII Et ptIfeiseur Ct d~L r1it Uilf1l)h~ dŒ)h~ ~ rwdllL Piumlilii quil tort~ d llUnltc iucirci3rm5iJlili It pnf$oClitjjll~ w ~ffhl liJiles prtei~ dt fOOCIOnnmltni lt1 l11Il=r b l~urfltsileumlt1 I1liiir da-piumlmti une leU~ ~nmiddotkht le prqJ~sgtut rajt (lMlll~r ~ 1 dlltwle~ lICœcdut lt~ ~~r~l~

T~ pilrtl~(tG mlll Ir p1W~llr middot~c~ 1 oCOOIlaœI1Dll ll~tltllmiddotlTf4i

ucircqp ~Igt iumliltiSgte fi (œal ufile ~t Il t(souIIcircQn 4111lfl1l1~f lml k pairli 5U li mi (1 I~ 4JA 0 ~posdll3 zffieM tIC ccedil~i jl~ ~~~L11j ~ dlllrl-ail iks tRmiddotccedil5 ~t~ij Jl1tUdlm-nLIt (oor tli~ti~ mmMmiddot in~ ~riœnlll rhmbe 01 des ~iiifienlJi llficircKlllh~ jlCnd~ 1i3 phltise de bull 4aJlI

J~ P~~ Zu~ IREtfole ~

79

Annexe 7

~~JiY~4f

t~(j)c

~ lko) b5 X ccedil = eK ~ t

1Acircf1YPQ) U -~IJL~)Xl

z JIn x4 fUt (~f ~ l n l ~- Atr bull j

Z h - ~ A0 ~ middotAn 2 _ ~J S i1 ri T j 11 l

~ middotz ~ADIr ~ n t- 2- An ~

~ -- lt an t ~ A0 5 fJ fI 4- 2(

I

Y (Wo nLmiddott~trMm) dt ~lAdifA ~ amp~ (M ) PC)

ff ltZ A[l = A~5 lU te6

0( 1lM1- Ct SAJ1 +2h+l

ker~) ~ ~Vq)r poJLfgtl fhi1rwA r~ t~eshy

JiVtII 4 Wf4~ Ael~~ r~imiddotamp A~1j1- lrampr~ Ccr4 1(4 ~f ~b ~ claquoJm lqH l_ AjtJ) 5 fUit-l 6 0gtshy

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propose la valeur 15 en disant quils ont effectueacute plusieurs calculs (non visibles sur la copie)

bull Trois groupes sont convaincus a priori que le minimum est obtenu pour M au milieu de AB et sarrangent pour que leurs calculs le prouvent Lun des binocircmes est alors ameneacute agrave remettre en cause cette certitude au cours des calculs

bull Enfin un dernier groupe semble fonctionner avec la regravegle daction suivante pour que laire de MNPQ soit minimum il faut que lun des cocircteacutes soit minimum puis preacutecise que finalement il nen est pas sucircr

La phase de bilan (deux heures en classe entiegravere) apregraves analyse des copies par le professeur confirme que certains eacutelegraveves ont bien du mal agrave envisager que AM puisse ecirctre autre chose quun entier ou agrave la rigueur un deacutecimal simple que la bijection entre la droite et lensemble des reacuteels nest pas disponible que la preacutesomption du milieu persiste chez certains eacutelegraveves et que le recours agrave loutil fonctionnel pour reacutesoudre un problegraveme poseacute dans le cadre geacuteomeacutetrique est loin decirctre immeacutediat

La laquo rencontre avec la notion de fonction et avec la notion de maximum et de minimumraquo neacutecessite donc tout un travail preacutealable Il est important de reacutefleacutechir au choix des valeurs des variables didactiques (longueurs des cocircteacutes mention explicite ou non dune variable x) Lenseignant doit organiser les diffeacuterentes phases (recherche autonome des eacutelegraveves confrontation des reacutesultats bilan ) en ayant reacutefleacutechi aux difficulteacutes mises en eacutevidence dans ce type de problegraveme

4 Conclusion

Les exemples preacuteceacutedents nous montrent que les activiteacutes telles quelles sont proposeacutees dans les manuels ne sont le garant ni dapprentissages matheacutematiques ni de remeacutediations aux difficulteacutes des eacutelegraveves Beaucoup de ces activiteacutes y compris celles qui sont les plus choisies ne permettent pas de parvenir agrave lobjectif afficheacute de laquo donner du sensraquo aux notions enseigneacutees Les activiteacutes ne tiennent donc pas leurs promesses

Lorsquon interroge de jeunes professeurs leur discours justifiant le recours aux activiteacutes ne permet pas une reacutegulation suffisante du choix des activiteacutes

La premiegravere urgence est de donner aux jeunes enseignants (et sans doute aux moins jeunes aussi) des outils pour analyser des activiteacutes trouveacutees dans les manuels et reacutefleacutechir agrave leur pertinence au regard des connaissances que lon veutfaire acqueacuterir agrave leacutelegraveve

Quelques objectifs modestes pourraient ecirctre dans un premier temps bull de repeacuterer les activiteacutes preacuteparatoires qui font deviner des deacutefinitions ou des regravegles en sappuyant sur des analogies formelles douteuses bull de repeacuterer celles qui travaillent agrave cocircteacute de la connaissance viseacutee (lenseignant vise lintroduction la transformation geacuteomeacutetrique appeleacutee symeacutetrie et lactiviteacute conduit leacutelegraveve agrave rester au niveau du pliage) bull de savoir modifier les questions dune activiteacute pour lameacuteliorer et de preacutevoir lincidence de ces modifications sur les reacuteponses apporteacutees par les eacutelegraveves

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bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

IREM de ROUEN (1995) Autour de la notion dactiviteacute

ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

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- - --- -

74

Annexe 2

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A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

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I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

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Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

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lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

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76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

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Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

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J~1lliGll~ agrave m~ aht ~ mntret dflru l~ Pf(Ili~meles middot~f6~oftmiddoteacuteM~ht4l 1111 lri2Jlpl dt J (il 1 WIlU1 iJupJOO1~ (IC JC~ntk dti1ill iiltœljii ~ 1111~JlilJnd1Ii(i ilfftccedil~ )~ltr kJq~lIt1 ilt dt~tlllHJlf5Cnlff~ rmiddothultli d~ leu feltitf~ fVJr faticirclil(t 11 I~ccedill(lrc lks lfiitMs Jl3 1lucircSI~S t1tliS le

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79

Annexe 7

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72

bull de preacutevoir le sceacutenario qui accompagne une activiteacute et en particulier le rocircle de lenseignant ce qui ne signifie pas quon ne sera pas conduit agrave le changer en cours de seacuteance et agrave prendre des deacutecisions locales impreacutevues bull de ne pas rechercher agrave tout prix la motivation de leacutelegraveve dans des eacutenonceacutes contourneacutes et pseudo-concrets bull de ne pas sobliger (sous preacutetexte de rejet du cours magistral) agrave introduire toute notion par une activiteacute preacutealable censeacutee faire la liaison entre lancien et le nouveau car il nexiste pas toujours (au niveau scolaire ougrave lon se place) un problegraveme dont la reacutesolution neacutecessite loutil que le programme demande dintroduire

Tout un travail est donc agrave faire sur le choix des situations dapprentissage travail qui est le centre de nombreuses recherches des IREM Les recherches en didactique des matheacutematiques nous apportent des outils pour analyser ces activiteacutes par rapport agrave la construction du savoir Nous navons eacutevoqueacute que quelques pistes

Lanalyse a priori lanalyse des tacircches que doit faire leacutelegraveve et la reacuteflexion eacutepisteacutemologique sur le concept matheacutematique permettent de repeacuterer le deacutecalage entre le concept viseacute et le travail effectif (souvent tregraves reacuteduit) que fournit leacutelegraveve durant lactiviteacute

Dans tous les problegravemes darticulation entre la repreacutesentation graphique dun objet matheacutematique et son expression dans un autre registre (eacutecriture algeacutebrique ou eacutecriture vectorielle par exemple) lanalyse en terme de registre de repreacutesentations telle quelle est deacuteveloppeacutee par Raymond Duval permet de reacutefuter lideacutee naiumlve souvent rencontreacutee laquo le graphique est concret et la compreacutehension de leacutecriture algeacutebrique est faciliteacutee par le recours au graphique raquo Les passages dun registre de repreacutesentation agrave lautre sont complexes ils doivent faire lobjet avec les eacutelegraveves dun travail systeacutematique Le graphique nest pas spontaneacutement porteur de la connaissance matheacutematique de lobjet quil repreacutesente Aucune de ces theacuteories ne peut ecirctre approfondie dans des stages de courte dureacutee et la question du minimum didactique agrave introduire en formation reste entiegravere Ouvrir ce chantier serait engager un autre article

Bibliographie

DUVAL R (1996) Quel cognitif retenir en didactique des matheacutematiques Recherches en Didactique

des Matheacutematiques nOI6-3 La penseacutee sauvage eacuted Grenoble

MATHERON Y (1994) Les reacutepercussions des changements de programme entre 1994 et 1989 sur

lenseignement du theacuteoregraveme de Thalegraves petit x ndeg 34 lREM de Grenoble

IREM de ROUEN (1995) Autour de la notion dactiviteacute

ROBERT A et HACHE C (1998) Comment en didactique des matheacutematiques prendre en compte les pratiques effectives en classe des enseignants de matheacutematiques du lyceacutee Une approche agrave travers des

analyses de pratique de quelques enseignants des matheacutematiques dans des seacuteances dintroduction aux

vecteurs en classe de seconde Cahier de DIDIREM ndeg 28 IREM de Paris 7

73

Annexe 1

A-ememwe de decirclimtigu bull Quelle csllaullcClInfc llunerimLnwt l acirc sn l li 12h1il14h 1 ampst (jbegraveUeumlmemble Idbnctiim f C5tCJkHiaijmm te imS~fIiMedi ~(jn de laflJttCUcirc(Jn f tti

a~tI f bull j)Je)lfmlllllJuœlll ddamer agrave lb Fnr quel~ eacute$IiUt6~flaquolrJiluSfij a ~il11t On d)tqfm ltnm~ cA w pt1f H ~$(

QIlCUe esUimage de 6 par f1

Li~ ~ le ~gifi 1i1~cllfde f(S)

y An~ISit$ patf A quclIes hctms~ h~r d~ Iq~r est-eile cll 2trJ 1 Of( tfJ] qw tvs JreUlUPmf 11amp ~11(~5 Jq 2pgr f middotQuel$ lWIal JI iUltOOeacutedcots llc 3 j De quelle eacutequntiQD gtQC$ Mmllru ~~Is lC3

soIJiticirclml 1

M~q~dflll~middot [tilt po1f 15

D-Une~olt

+ R~graphiquemelJtiIumllm (012] imiddot~oo 11J) - 2~

- - --- -

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Annexe 2

--~ -~

2 l 1 1 [ lJ 03 1

Ii~nli IlugraveDmIrtts

b)iliQBleMii(ifoil pim (1gtff1limiIlr~

1n~1ls1 ilI mmri ltJmiddot~ tlliSlil)tt

lrwampQMlIltshyQ1lIciit 12 l1iUm

A DornIumlnes syrnecirctrtqucspar rapport il zeacutero

Un OOOOJiIlC Des[ symeacutetrlquumlt pRr rapport acirc zeacuterlaquos1 POUf lout )iocirce D - x iiJlPMfieJ1~ i 1)

Pnrmi Ilt CtiUll1btes ~ujifmlS lndiqwf -(til) -lltl19Otllt sgtmeacutetriquiIS pni ifilppml agraverEra

3H~ 4 4 lt) 1-2 icirc] dl-middotfj ~ 6]

il) [0 +-[ t) f3 41 uuml~-55[

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Y~iacirc ml tlWIUOii d~i) JeJlreacuteefJUtd~if

grdphrqzJr J jrtieacutelJllditm WiFi l d~finjimr-4 43shylL egraveegravempteumll~r 11 repraeacuten(oitiiOll nrlip3Ji~~ de Ishyl Compmrer Jes nombres lO) eljl- n - Ii

I(1) egravelJ(middot- Z) (35) elf(= l5-) Soit) E [- 4 41 ltCtmpllfeif(f) etf-Ii 3 eacuteOIJJpteacutehr

lMn1tion UumlIiI1 fOJlecirctiOcirclkf degravefirtIcirc~ ~lL~ IJl1 ~ll~~rgtnIIG ] 5YIIieacute-tfIcircque pilrtoiJlilJIC agrave 2tir~ esl middotpailgte si pounoULI de ft on a

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Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

A6+tUl=JAB

2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

--t middot11 () 2 gt4 middotli

li ~ ~lelirt XE ctAeuml liaf1lt de robflt Œil~1 ct de plul1 AC s J An On recirc~lliJ otlj lkux remite~cll1em$~i Ili1liuml1ttElilhi iinl~ii Xeuml j AB

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Ugraveti Kunit~diIl fWiMtnrnll1rli5 al une lleuJ~ ~e~r JID =- ~ AB

lIfJ Plus middotgeacuteneacuterafement Sik elti III reumll~l 000 mul rt An lllI rol~rrlf1l11ili ~iOOll llZ f~tteur 11 ABl -Fltlllrdireciroll ccedileit dt AB ~POYWiw eacuteltlui de Jill si ~ gt J ~t JelAcircl1s oThtrair si k lt CI - FltJUrhlaquolPi1Ilf I~ 1~ AB

1E1 Agrave VOUS agrave preacutesent Dessine )inecirc drtlilccedil gradueumle (ulhamp t= lIFlJutur rc acticircmeacutetre) 1~~cl1Sune~lXllmjbouiJlilS

bull fmiddotl td ifUl AM i 6 bull N teacutel que AN l An l t qfJleuml M - J AB

bull Q rd qlœElQ - z An bull R ffeacutel que BR ~ 1 ~t3 bull Sld lFUe AiS ll ~ AP j

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Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

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79

Annexe 7

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73

Annexe 1

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74

Annexe 2

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75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

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76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

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79

Annexe 7

~~JiY~4f

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Annexe 2

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75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

_Exemples 1 LoniiUon otdrlilIcirctMrl~ P ~rtlt AB ct k 1i~c~ur AB bull il ~ppatIit tlItI1m~eat~ KIt-ltt t-c ~twur snmlrQ~ t AU bullrJurot tt~ AU + lti

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2 A Bo Cbull [J int ifs quotte Foim ~ l~ Ijrl)])i ltTadueacutee ci destollll

0 JI B C

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Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

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79

Annexe 7

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75

Annexe 3

ACTIVITeacutes lDAPPROC~~

Adiviteacuteil_iocircicircMmmmm

MULTIPLICATION DUN VECTEUR PAR UN REacuteEL

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76

Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

I Au TEacuteLEacutePHONE A

II Allo Alexandre cest Reacutegis Je segraveche sur lexercice de maths Tu sais le faire toiraquo laquoNon je nai mecircme pas lu le texte De quoi sagit-ilraquo laquoVoilagrave tu as un triangle eacutequilateacuteral ABC apregraves tu raquo

Aidez Reacutegis il deacutecrire la ligure reproduite ci-contre

2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

3 - 3 shyleurs longueurs sont telles que DA=- CE Nous eacutecrirons DA= -- CE

2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

AD= AE AC= AD BC = iumlJl5 EA= BE

2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

IE QUADrUlAr~R~ QV rOURNJ~

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Annexe 4

i~ JI Multiplication dun vecteur par un nombre l Cette ((tIcirclit~ preacutesltlue llIle opeacuteratioll IWllIelle sur les ectellrs etlllontre comment SOit lItibatioll peut permettre tfalleacuteger Il IIodlt tf(rprlisioll par exemple dalls la descriptiolt de flgure)

Voir Module l page 82 12 Sexprimer agrave laide de veCleurs

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2 VECrEURS DE llEumlIVIE DlREcrlON

bull Dans le pavage de lAP2 les points sont tels que AB et AD ont mecircme direction mecircme sens et leurs longueurs sont tclles que AD =3AB Pour cxprimcr toutes ces proprieacuteteacutes nous noterons AD = 3iumli1i bull De mecircme CE ct DA ont mecircme direction sont de sens contraires et

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2 2

1middot Compleacutetez en utilisant les points du pavage de lAP2 les eacutegaliteacutes

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2 Comment pouvez-vous reprendre le texte teacuteleacutephoneacute par Reacutegis

77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

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B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

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3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

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Annexe 7

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77

Annexe 5

lIJ Un maximum daire

Objeclils bullConslruire une courbe point par point bull Determiner une (onclion bull Rencontrer la nOlion de maximum

A OA=3cm OB=4cm Me[OB] On posex=OM

La perpendiculaire agrave (OB) passall par M coupe (AB) el N P est la projecioll orthogonale de N sur (DA)

B

Prhequls Se souvenir de la configuration de Thalegraves

A Laire du rectangle OMNP 1 Quelles valeurs peut prendre le nombre x 2 Calculer MN en fonction de x

3 Calculer raire sd(x) du rectangle OMNP

B La repreacutesentation graphique de il 1 Eacutetablir un tableau de valeurs pour la fonction st 2 Dans un plan muni dun repegravere orthonormeacute (uniteacutes 3 cm en abscisse eten ordonneacutee) tracer agrave main leveacutee la courbe repreacutesentant la fonction st (cette courbe est reacuteguliegraver~)

3 Laire du rectangle OMNP est maximum pour une certaine valeur de x Preacuteciser cette valeur ainsi que laire correspondante

83

p ccedil

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lltlbJteljf dt (tUtlagravet(jiiI~tuflicirclJtltKhucircfemiddot rctili1 ~Ii)ft ~ ~j ilOr4flt rJgtIi~ lttmmr mllf~1j de I4gluiiqn ~~~ dun pr~~I~me qœ ~lt i~t$ ilill t 1i~t Cel omir lftllUll 1u iS1m ptlt rm-ve COOliumlllt iiumllcniln ~~ 4c~problMt

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