LES AIDES A LA SCHEMATISATION EN …€¦ · Je pense que la schématisation peut être une aide méthodologique importante pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés

IUFM DE BOURGOGNECentre Départemental de DIJON

Concours de recrutement : Professeur des écoles

LES AIDES A LA SCHEMATISATIONEN RESOLUTION DE PROBLEMES

COUCHOUX Christelle

Directeur de mémoire : M. RENAUT

Année 2005 N° de dossier : 0360556J

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SOMMAIRE

Introduction p.2

I. Théorie p.31. Définitions et IO p.32. Les différents problèmes p.53. Les difficultés des problèmes classiques p.74. Solutions envisagées en général p.85. La schématisation p.9

II. Pratique p.131. Séances 1 et 2 : évaluation diagnostique p.132. Séance 3 : lecture de schéma p.143. Séance 4 : choisir le bon schéma p.154. Séance 5 : résoudre un problème en utilisant un schéma p.155. Séance 6 et 7 : 2valuations sommatives p.166. Conclusion p.16

Conclusion générale p.17

Bibliographie p.18

Annexes p.19


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Introduction

« La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise desconnaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyend’en assurer une appropriation qui en garantit le sens. »

« Les élèves peuvent être confrontés à de véritables problèmes de recherche. […] Cessituations peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leurimagination et leur désir de chercher, leurs capacités de résolution et la confiance qu’ilspeuvent avoir dans leurs propres moyens. »

Ces extraits des documents d’application annexés aux Instructions Officiellesmontrent la place centrale de la résolution de problèmes dans les apprentissagesmathématiques.

En effet, la résolution de problèmes est à la fois un but - les notions enseignées sontconstruites comme des outils pour résoudre des problèmes-, un moyen - celui de s’approprierles connaissances afin d’en garantir le sens- et un objet - quand elle est travaillée pour elle-même pour développer un comportement de recherche et des compétences méthodologiques-.

Pourtant, lors de mes premières expériences dans l’enseignement j’ai pu observer quela résolution de problèmes pose de nombreuses difficultés aux élèves : compréhension del’énoncé, choix des opérations, calcul, représentation de la situation, a priori sur lesproblèmes …

Je pense que la schématisation peut être une aide méthodologique importante pouraider les élèves à surmonter leurs difficultés en résolution de problèmes. Or la schématisationn’est pas une activité évidente et naturelle pour eux. S’est alors posée la question suivante :quelles aides à la schématisation proposer aux élèves pour la résolution de problèmes ?

Dans ce mémoire, j’explicite ce qu’est un problème et les objectifs des InstructionsOfficielles, puis je m’intéresse aux différentes difficultés rencontrées par les élèves ainsiqu’aux aides envisagées. Lors de ma pratique, j’ai mis en place des activités méthodologiquesd’aide à la schématisation. J’en présente ici les différentes séances et en propose une analyseafin de déterminer leur pertinence et leurs limites.


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I. Théorie

1. Définitions et IO

a. Définitions

Dans le dictionnaire Larousse, le mot « problème » est défini comme étant « unequestion à résoudre par des procédés scientifiques et discursifs ».

Dans le Petit Robert, le « problème » est « une question à résoudre, portant soit sur unrésultat inconnu à trouver à partir de certaines données, soit sur la détermination de laméthode à suivre pour obtenir un résultat supposé connu. »

Pour L. D’Hainaut la résolution de problèmes est une activité cognitive qui consiste àfournir un produit à partir d’un objet ou d’une situation lorsqu’une des conditions suivantesest réalisée :

— la situation n’a pas été rencontrée antérieurement ;— la solution exige l’application d’une combinaison non apprise de règles ou de

principes appris ou non appris ;— le produit et la classe à laquelle il appartient n’ont pas été rencontrés

antérieurementCe qui caractérise la résolution de problème est la nouveauté, pour le sujet, de la situation, duprocessus ou du produit à obtenir.

Pour le psychologue cognitiviste Jean Brun « dans une perspective psychologique, unproblème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre,demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Iln’y a problème que dans un rapport sujet / situation, où la solution n’est pas disponibled’emblée, mais possible à construire. C’est dire aussi que le problème pour un sujet donnépeut ne pas être un problème pour un autre sujet en fonction de leur niveau de développementintellectuel ». Cette définition de « l’action de résolution de problèmes » insiste plus sur lanécessité d’élaborer des procédures que sur la simple déduction d’information à partir desdonnées.

De la même manière que la définition du problème varie selon les points de vue(lexical, psychologique, pédagogique …), son statut, ses objectifs et sa place dans lesapprentissages ont évolué au cours du temps.

b. Le problème dans les IO : historique

Dans les programmes de 1945 et 1956, il s’agit de problèmes d’application nécessairesà la vie courante, ils apparaissent en fin d’apprentissage.

En 1970, on tient compte des intérêts de l’enfant qui commence à être considérécomme acteur de son apprentissage. On trouve deux types de problèmes : ceux qui permettentd’introduire de nouvelles notions et ceux qui permettent l’application de notions déjà étudiées.

Les programmes de 1977-1980 prennent en compte les travaux de recherche enpsychologie, pédagogie et didactique. La résolution de problèmes y a une place centrale et


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vise à développer chez l’élève des attitudes de recherche, des capacités d’analyse, deraisonnement et de créativité.Les problèmes sont classés de la façon suivante :

— Les « situations -problèmes » pour construire de nouveaux outils— Les problèmes d’application pour évaluer les connaissances— Les problèmes de recherche pour développer des attitudes de recherche

Les programmes de 1985 sont en continuité avec ceux de 1980. Il est demandé auxmaîtres d’analyser et de comprendre les erreurs des enfants. L’erreur est considérée commeune étape dans l’apprentissage.

Avec la mise en place des cycles en 1991, apparaît la notion de compétence. Au cycle3, cycle des approfondissements, l’élève doit être capable de : « reconnaître, trier, organiser ettraiter les données utiles à la résolution de problèmes, formuler et communiquer sa démarcheet ses résultats, argumenter à propos de la validité d’une solution, élaborer une démarcheoriginale dans un véritable problème de recherche, c’est-à-dire un problème pour lequel on nedispose d’aucune solution déjà éprouvée, élaborer un questionnement à partir d’un ensemblede données. »

En 1995, les programmes sont dans le prolongement de ceux de 1985 et lescompétences à acquérir sont les mêmes que celles développées lors de la mise en place descycles en 1991. On insiste également sur le développement de compétences d’ordreméthodologique utiles pour résoudre les problèmes.

c. Les programmes de 2002

Les programmes de 2002 reprennent également en grande partie ceux de 1995 etdonnent une place au problème dans tous les secteurs. Les documents d’application desprogrammes en mathématiques au cycle 3 précisent que « la résolution de problèmes occupeune place centrale dans la construction et l’appropriation par les élèves des notionsmathématiques répertoriées dans les différentes rubriques du programme ».

« Les activités relatives à la résolution de problèmes portent sur :— des problèmes de recherche, c’est-à-dire des problèmes pour lesquels l’élève ne

dispose pas de démarche préalablement explorée : certains de ces problèmes sontutilisés pour permettre la construction de connaissances nouvelles, d’autres sontdavantage destinés à placer l’élève en situation de chercher, d’élaborer unesolution originale ;

— des problèmes destinés à permettre l’utilisation des acquis antérieurs dans dessituations d’application et de réinvestissement ;

— des problèmes destinés à permettre l’utilisation conjointe de plusieursconnaissances dans des situations plus complexes.

[…] Un même problème, suivant le moment où on le propose, les connaissances desélèves à qui on le destine et la gestion qui en est faite, peut relever de l’une ou de l’autre descatégories.

A travers ces activités, le développement des capacités à chercher, abstraire, raisonner,prouver […] se poursuit. Pour cela, il est nécessaire de porter une attention particulière aux


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démarches mises en œuvre par les élèves, à leurs erreurs, à leurs méthodes de travail et de lesexploiter dans des moments de débat.

[…] Des compétences spécifiques, d’ordre méthodologique, sont à l’œuvre dans lesactivités de résolution de problèmes. […] Ces compétences n’ont pas à être travaillées pourelles-mêmes, l’objectif essentiel étant toujours de résoudre le problème proposé.

Au cycle 3, les compétences suivantes seront particulièrement travaillées :— utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes ;— chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche ;— mettre en œuvre un raisonnement, articuler les différentes étapes d’une solution ;— formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit et les exposer

oralement ;— contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution ;— identifier des erreurs dans une solution en distinguant celles qui sont relatives au

choix d’une procédure de celles qui interviennent dans sa mise en œuvre ;— argumenter à propos de la validité d’une solution produite par soi-même ou par un

camarade (ceci suppose que les élèves ne pense pas que la démarche est unique, etdonc que l’enseignant accepte des démarches différentes). »

Du point de vue didactique, les problèmes peuvent être classés en fonction des différentesactivités à travers lesquelles ils sont travaillés et des compétences qu’ils permettent dedévelopper. Du point de vue mathématique, on peut les classer en fonction de leur structure etdes différentes conceptualisations.

2. Les différents problèmes

On peut distinguer les problèmes à structure multiplicative et ceux à structure additive.Je m’intéresse à ces derniers.

Le didacticien Gérard Vergnaud propose la classification suivante :

— Les situations évolutives (avec intervention du temps)

T• Ei Ef

On passe de l’état initial (Ei) à l’état final (Ef) par une transformation positive ou négative (T).On recherche EfEx : « J’avais 18 billes, j’en ai perdu 7.Combien en ai-je maintenant ? »Ou TEx : « J’avais 18 billes, j’en ai perdu. Il m’en reste 7.Combien en ai-je perdu ? »Ou EiEx : « J’ai perdu 7 billes. Maintenant j’en ai 11.Combien en avais-je au début ? »


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T1 T2•

T3La transformation T3 est la composition des transformations T1 et T2.On recherche T3Ex : « Ce matin j’ai perdu 7 billes, cet après-midi j’en ai gagné 11.Quel est le bilan de majournée ? »Ou T1 ou T2Ex : « Ce matin j’ai perdu 7 billes, cet après-midi j’en ai gagné. Si je fais le bilan de majournée j’ai gagné 4 billes. Combien ai-je gagné de billes cet après-midi ? »

— les situations non évolutives

•

Les 3 états E1, E2, E3 sont liés par des relations de partie et de tout et de complément.On recherche l’un ou l’autre des 3 états.On recherche E1 ou E2Ex : « J’ai 18 billes, des rouges et 7 bleues. Combien ai-je de billes rouges ? »Ou E3Ex : « J’ai des billes, 11 rouges et 7 bleues. Combien ai-je de billes en tout ? »

C• E1 E2

Les 2 états E1 et E2 sont liés par une relation de comparaison.On recherche la comparaisonEx : « J’ai 18 billes, tu en as 7. Combien en ai-je de plus que toi ? »Ou un des étatsEx : « Tu as 18 billes, j’en ai 11 de moins que toi. Combien en ai-je ? »

On peut également classer les problèmes en fonction de leur forme.Dans Le problème et l’enseignement des mathématiques (CRDP Dijon 1990) O. Renautdistingue cinq formes de problèmes :

— les problèmes de recherche d’éléments répondant à une définition— les problèmes de recherche d’invariants ou de propriétés— les problèmes de construction et de représentation— les problèmes classiques avec énoncé et question— les situations-problèmes pour introduire des notions

Je me suis intéressée aux problèmes « dits classiques » qui sont ceux que l’onrencontre le plus fréquemment à l’école élémentaire et qui sont considérés comme les plusdifficiles à résoudre pour les élèves.

E1

E2E3


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Le « problème classique » présente les caractères suivants :— il a un caractère rituel : énoncé + question(s). L’énoncé comporte le plus souvent

des nombres écrits en chiffres et fait appel à un vocabulaire censé appartenir à lavie quotidienne, les situations sont souvent artificielles

— le fait qu’il est fermé : c’est-à-dire qu’il ne propose qu’une procédure de résolutionexperte et qu’une solution

— le fait qu’il est posé par écrit : ce qui implique que l’élève soit capable de lirel’énoncé et les questions

C’est, entre autre, de ces caractéristiques que viennent les difficultés des enfants à résoudreles problèmes classiques.

3. Les difficultés des problèmes classiques

a. les étapes de résolution

On peut distinguer quatre grandes étapes dans le processus de résolution de problème :— la représentation— la résolution après avoir reconnu le modèle mathématique en jeu— la communication du résultat— la vérification de la solution et de la procédure de résolution

La représentation est la phase la plus importante. Il s’agit de recueillir les informationsutiles, les organiser, les mettre en relation afin d’en tirer un schéma opérationnel. C’est enrencontrant de nombreux problèmes, présentés sous des formes diverses que les enfants vontmémoriser de nouveaux modèles et ainsi enrichir leurs représentations. Le but étant d’élaborerun modèle qui serait assez abstrait pour être appliqué à tous les problèmes. Pour être capabled’élaborer un modèle de résolution, il faut avoir compris l’énoncé.

b. les difficultés

D’un point de vue cognitif, la résolution de problèmes n’est pas un processus linéaire,elle se situe parmi les activités intellectuelles les plus complexes. Pour les psychologues,lorsque nous cherchons à résoudre un problème, nous nous en construisons progressivementune certaine représentation. Notre processus de compréhension est lié à la construction d’unereprésentation. Selon J. Julo « se représenter le problème c’est non seulement se représenterun objet particulier mais aussi se représenter la tâche particulière qui est associée à cet objet ».

Michel Fayol partage cet avis, dans L’enfant et le nombre. Du comptage à larésolution de problèmes, il fait remarquer qu’on a longtemps cru que le niveau de difficultéd’un problème était lié aux opérations à mettre en œuvre, aux techniques opératoires ou à lataille des nombres. Mais il a été démontré que, à opération constante (addition ousoustraction), les problèmes faisant référence à des situations « statiques » posaient plus dedifficultés aux élèves que ceux décrivant des situations « dynamiques » (Nesher 1982). Lecalcul n’est donc pas la principale source de difficultés pour les enfants en résolution deproblèmes. Fayol dégage deux grandes catégories de facteurs qui engendre des difficultés : lapremière à trait aux aspects « sémantiques » et la seconde concerne l’impact des modes dereprésentation.


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— les facteurs sémantiques

Un des critères de définition d’un problème classique est qu’il est posé par écrit ; unedes principales sources de difficulté en est, par conséquent, la lecture. Les élèves rencontrentdes difficultés au niveau du langage, de la syntaxe, du vocabulaire (avec, notamment, les motsinducteurs) et de l’organisation (tableau, schéma, graphique…). Ces difficultés decompréhension constituent une surcharge de travail pour les enfants.

— les représentations

La représentation que se font les élèves de la situation décrite dans le texte est la causeprincipale des erreurs en résolution de problèmes. Si la représentation n’est pas fonctionnelle,elle peut conduire à l’utilisation d’un modèle mathématique non adapté.

Des difficultés naissent aussi de la représentation que se font les élèves des attentes del’enseignant lorsqu’il leur donne un problème à résoudre. Ce contrat implicite entre l’élève etle maître est appelé contrat didactique. Dans une expérience réalisée à l’IREM de Grenobleavec des élèves de l’école élémentaire et devenue célèbre sous le nom de « l’âge ducapitaine », les élèves sont confrontés à des problèmes « absurdes » du type : « dans uneclasse, il y a 14 garçons et 15 filles. Quel est l’âge de la maîtresse ? ». Les élèves fournissenttrès généralement la réponse : « La maîtresse a 29 ans » ! Les enfants justifient leur réponseen expliquant qu’ils ont cherché les nombres dans l’énoncé et qu’ils ont fait une additionparce qu’en ce moment on fait les additions ou alors parce qu’avec les autres opérations lerésultat ne pouvait pas être l’âge de la maîtresse. Un enfant donne ce type de réponse car pourlui les termes du contrat didactique sont :

• un problème a toujours une solution et seulement une• il faut utiliser tous les nombres de l’énoncé• avec ces nombres il faut trouver la bonne opération à faire• c’est au maître de juger de la validité de la réponse

4. Solutions envisagées en général

a. Compréhension

Pour remédier aux difficultés de compréhension de l’énoncé, on peut proposer de :

— Faire reformuler par les enfants la situation, ce qu’on connaît, ce qu’on cherche— Donner des énoncés qui aient un sens pour les enfants— Analyser les mots inducteurs— Repérer la question dans l’énoncé— Modifier la place de la question : la poser en premier ; les enfants découvrent

l’énoncé en sachant déjà ce qu’ils doivent chercher— Trouver les questions qu’on pourrait poser à partir d’un énoncé— Rechercher les données utiles de l’énoncé— Reconstituer un énoncé— Modifier des données dans un énoncé et voir ce que ça change pour la solution— Ecrire un énoncé à partir d’une situation réellement vécue par les enfants


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b. Représentation

Pour remédier aux difficultés liées à la représentation, on peut proposer de :

— Permettre aux élèves de rencontrer de nombreux problèmes afin de mémoriserdifférents modèles de résolution

— Chercher les questions intermédiaires nécessaires à la résolution— Apprendre à trier, organiser les données, les mettre en relation— Schématiser la situation

c. Contrat didactique

Pour remédier aux difficultés liées au contrat didactique, on peut tenter de le modifier. Pour ça,on peut proposer de :

— Inciter les élèves à prendre des initiatives, essayer différentes méthodes… Lemaître doit encourager les procédures personnelles et les accepter au même titreque les procédures expertes

— Indiquer aux élèves que pour trouver la solution, il faut faire des essais,recommencer, que l’erreur fait partie de la démarche, que c’est une étape pourtrouver une solution

— Indiquer qu’on peut faire des ratures, comme au brouillon, que c’est intéressant devoir comment on a procédé (pour l’enfant lui-même et pour le maître)

— Ne pas toujours donner des problèmes portant sur la dernière notion mathématiqueétudiée

— Ne pas donner que des problèmes « de contrôle »— Proposer des problèmes ouverts admettant plusieurs solutions ou aucune solution— Demander aux enfants de vérifier par eux-mêmes la validité de leur réponse, porter

un regard critique et argumenté sur sa production ou celle d’un camarade

Pour apprendre à construire des représentations de problèmes, on peut dégager deuxgrands types d’activités : celles portant sur l’énoncé et celles portant sur les représentationsschématiques. Je me suis particulièrement intéressée à la schématisation.

5. La schématisation

a. Qu’est-ce qu’un schéma ?

Dans le dictionnaire Larousse le « schéma » est défini comme étant « un tracé necomportant que les traits essentiels de la figure, du phénomène ou du processus représenté,afin d’indiquer non sa forme, mais ses relations et son fonctionnement. »

Le schéma se différencie déjà du dessin par son degré de simplification, d’abstraction ;le dessin restant fidèle à la réalité.

Il s’en différencie surtout par le fait qu’il doit essentiellement refléter la structure,structure qui lui confère une fonctionnalité. C’est le fait qu’il soit fonctionnel qui rend leschéma utile à la résolution de problèmes, il n’est pas une fin en soi mais un moyen deparvenir à la solution.


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Pour réaliser un schéma il faut :— Sélectionner les informations utiles de l’énoncé— Les organiser— Les mettre en relation— Choisir des symboles pour les représenter— Traduire l’énoncé par ces symboles

b. Fonctions de la schématisation

Un schéma sert à :— Visualiser les données, prendre du recul en les sortant du contexte, produire une

modélisation pour trouver l’opération— Entrer dans la phase de résolution, à condition que le schéma soit juste et

fonctionnel— Vérifier les résultats, dans ce cas il est indépendant de la résolution et intervient

après— Communiquer les résultats

Je me suis intéressée aux schémas ayant pour fonctions de visualiser les données et d’entrerdans la résolution.Il n’ y a pas d’objectif spécifique concernant la schématisation en mathématiques dans lestextes officiels, mais la schématisation peut être considérée comme une compétencetransversale, le schéma étant aussi utilisé en sciences (biologie et physique) et en géographie.

Les schémas peuvent être classés selon leur fonction mais aussi selon leur structure et l’aspectdu nombre.

c. Les différents schémas

On peut différencier différents types de schémas en fonction de deux critères :— La structure : additive ou multiplicative (je ne m’intéresse ici qu’à la structure

additive)— L’aspect du nombre : cardinal ou ordinal. L’aspect cardinal est lié à la quantité,

l’aspect ordinal au rang, à la position dans une file ordonnée.

Les schémas dans les problèmes à structure additive

Schéma ensemblisteLié à l’aspect cardinal du nombre :C’est une représentation liée à l’aspect « collection d’objets »


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Pour une addition

m, le cardinal de A, est le nombre d’éléments de l’ensemble An, le cardinal de B, est le nombre d’éléments de l’ensemble Bp, le cardinal de C, est le nombre d’éléments de l’ensemble C, p=m+n

Pour une soustraction

On connaît card. A et card. B. On cherche C AB , le complémentaire de A dans B.

Schéma linéaireLié à l’aspect ordinal du nombreReprésentation liée à l’aspect « distance »

BAC

m

p

n

+4

-3

A

B


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Ou

On connaît a et c, on cherche b

On peut également utiliser un schéma linéaire pour un cardinalReprésentation liée à l’aspect « mesure » du nombre

On connaît d et b et on cherche a et c.

J’ai effectué la mise en pratique lors de mon deuxième stage en responsabilité, nebénéficiant que d’un nombre limité de séances, je me suis concentrée sur les aides à laschématisation (qui, bien sur, ne représentent qu’une seule piste de travail parmi toutes cellesqui peuvent être abordées pour aider à la résolution de problème).

a

a b

c

d

b

c

aa


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II. Pratique

Lors de mon second stage en responsabilité, à l’école des Carrois à Fontaine lès Dijonen CM2, j’ai mis en place des activités d’aide à la schématisation dont je présente ici l’analyse.

Les fiches de préparations, les énoncés et les analyses des résultats figurent dans lesannexes.

1. Séances 1 et 2 : évaluation diagnostique

Mon objectif, lors de cette première séance, était de voir si les élèves utilisaientnaturellement le schéma et s’ils savaient schématiser.

Je leur ai, tout d’abord, proposé les problèmes suivants :

« Résous les problèmes suivants :

A la piscine, il y a 44 nageurs. 15 filles et 12 garçons sont dans le petit bain,les autres nageurs sont dans le grand bain.

Combien de nageurs y a-t-il dans le grand bain ?

Marie et Pierre se mesurent. Pierre mesure 7 cm de plus que Marie. La sommede leurs mesures est 2 m 71 cm (= 271 cm).Combien mesure Marie ?Combien mesure Pierre ?

Dans son jardin, Elodie a planté 3 rangées de 4 salades et 2 rangées de 4choux. Combien de légumes a-t-elle plantés? »

Cette première évaluation (résolution de problèmes), montre que le schéma n’est pasdu tout naturel pour les élèves puisque sur 27 aucun n’y a recourt.Les pourcentages de réussite sont néanmoins très bons : 2 erreurs pour le problème n°1 et 1pour le n°3. En revanche, le problème n°2 plus complexe a posé des difficultés aux enfants :seulement 10 l’ont résolu (37%). Les erreurs sont principalement dues à la démarcheemployée.

Les élèves ont déjà travaillé sur l’énoncé, la place de la question, les donnéesinutiles…, ils ont l’habitude de faire une phrase pour expliquer ce qu’ils vont calculer et defournir la réponse sous forme de phrase. En revanche, une élève seulement fait unevérification le problème terminé, ce qui explique le grand nombre d’erreurs obtenu sans queles enfants s’en soient rendus compte.

D’une manière générale ils ont du mal à écrire des choses autres que les calculs et lerésultat ; certains élèves posaient même les opérations au brouillon ou sur l’ardoise. C’estpourquoi je leur ai demandé de ne pas effacer s’ils s’étaient trompés mais de barrerproprement.

Puis, je leur ai proposé cet énoncé:


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« Représente le texte par un schéma

Un jardinier a planté 4 rangées de 7 arbres et 3 rangées de 4 rosiers.

On a découpé une corde en 3 morceaux. Un morceau mesure 27 cm.Ensemble les 2 autres morceaux mesurent 12 cm de plus.

Dans un sac, il y a 21 billes : 13 rouges et 8 bleues »

Cette deuxième évaluation, portant sur la schématisation d’un texte, montre que lesenfants ne font pas de différence entre schéma et dessin. En effet, pour le premier texte plusde la moitié des élèves dessinent les arbres et les rosiers et pour le troisième, seulement 6élèves proposent un schéma (soit 22%). Pour le deuxième seul 1 élève a fait un dessin et 3 ontfait une représentation entre le schéma et le dessin.

Ces différences viennent certainement des objets à schématiser : la corde par sa formese prêtant plus à la schématisation (sous forme de schéma linéaire) qu’un arbre (que lesenfants sont tentés de dessiner).

A la suite de ces évaluations, a eu lieu une mise en commun à l’oral et au tableau.Certains élèves (3-4) à chaque fois sont venus au tableau pour refaire leurs productions. Lesélèves ont alors pu comparer leurs « schémas », argumenter sur leur validité…De cette confrontation est alors ressorti qu’il y a plusieurs types de schémas et qu’un schéman’est pas un dessin. Nous avons donc défini ensemble le schéma : c’est une représentationdans laquelle il n’y a pas tous les détails du dessin, ce n’est pas obligé de ressembler à cequ’on schématise, ça doit être fait rapidement mais avoir toutes les indications et on doit lecomprendre.Cette « définition » établie nous avons schématisé les problèmes à résoudre de la premièreévaluation et ainsi retrouvé les différents types de schémas. Les enfants se sont rendus compteque le schéma permet de trouver plus vite la solution (n°1) et de mieux comprendre leproblème (n°3). D’après l’attitude des enfants et leurs commentaires, je pense que laschématisation du problème n°3 a permis à ceux (nombreux) qui avaient eu des difficultés, decomprendre le raisonnement et la démarche à utiliser.

2. Séance 3 : lecture de schéma

Les deux premières séances ont permis aux enfants de se rendre compte qu’un schémaest complexe, qu’il comporte de nombreuses données. Pour se familiariser avec ce type dereprésentation et afin d’apprendre à en produire, je leur ai proposé une activité de productiond’énoncé à partir d’un schéma.

Les enfants m’ont immédiatement fait remarquer que c’était l’inverse de ce qu’ilsdoivent faire dans un problème.

Le schéma ensembliste choisi est en lien avec une séance de géographie portant sur lesdifférents types de tourisme en France afin qu’ils se concentrent sur les données et leursrelations plutôt que le contexte. Parmi les 11 élèves qui proposent un énoncé correct 10parlent de destinations de vacances.


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Les relations entre les données ont été bien comprises (69%de réussite) et les erreursportent sur l’emploi abusif de pourcentages et des contextes parfois dénués de sens. Un enfantécrit : « Sur Terre, il y a 36 mers, 9 montagnes, en tout il y a 52 éléments sur Terre. Combieny a-t-il de campagnes ? »

Le schéma linéaire a posé plus de difficultés (seulement 50% de réussite). 1/3 desélèves a oublié des données ou a utilisé des données incorrectes dans son énoncé. Laprincipale difficulté est l’aller-retour Dijon-Lyon qui n’a pas toujours été comprise.Seulement 2 énoncés expliquent cet aller-retour par l’oubli de quelque chose d’important, laplupart se contentant de dire que l’automobiliste va de Dijon à Lyon puis de Lyon à Dijonpuis de Dijon à Marseille.

3. Séance 4 : choisir le bon schéma

Avant de leur faire produire des schémas, je leur ai proposé une activité de choix deschémas, il s’agit de trouver le schéma correspondant à un énoncé.

Le premier problème a été fait en collectif au tableau après une courte rechercheindividuelle au brouillon. Les enfants ont associé les énoncés aux schémas et lors desdésaccords ils ont argumenté pour démontrer la validité du schéma. Cette confrontation apermis d’expliquer les méthodes pour choisir le schéma : les trois schémas proposés ne sontpas identiques, il faut regarder la distance entre deux petits traits : elle correspond auxkilomètres faits en un jour…

Les élèves ont ensuite eu un problème du même genre à résoudre (3 schémas, 3énoncés). Les problèmes ont été bien résolus (environ 70% de réussite) même si seulement39% utilisent les schémas proposés. En effet 35% produisent d’autres schémas (le plussouvent les schémas proposés modifiés, arrangés). L’objectif qui est de reconnaître le schémaqui correspond à l’énoncé n’est alors pas atteint.Cet exercice remet en cause mon hypothèse de départ qui est que le schéma aide à larésolution de problèmes puisque les élèves ne se sont que peu servis des schémas proposéspour résoudre ces problèmes.

4. Séance 5 : résoudre un problème en utilisant un schéma

Les enfants qui avaient visiblement envie de produire leur propres schémas vont enavoir l’occasion avec une activité de résolution de problèmes.

Je n’ai pas obligé les élèves à faire un schéma pour que ce ne soit pas une contrainte etpar conséquent j’obtiens assez peu de schémas : 41% pour le premier problème, 27% pour ledeuxième. Les schémas produits sont quasiment tous exacts. Cependant les pourcentages deréussite sont bons : 82% et 77%. Les pourcentages de réussite avec ou sans schémas sontéquivalents. Le schéma ne montre pas son intérêt ici.Les problèmes n’étaient peut-être pas assez compliqués pour les enfants.

Lors de la mise en commun, ils remarquent tout de même qu’avec un schéma oncomprend mieux ce qui est décrit dans l’énoncé (problème n°1) et on trouve plus vite lescalculs qu’il faut faire.


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5. Séances 6 et 7 : évaluations sommatives

L’évaluation consiste en la résolution de 4 problèmes. Comme précédemment, je n’aipas imposé de faire un schéma et cette fois le pourcentage de schémas obtenus est encore plusfaible : moins de 10% (10 pour 105). De plus, parmi ces 10 schémas seuls 7 conduisent àadopter la bonne méthode (même s’il y a quelques erreurs de calcul).

Si le problème n°4 est très bien réussi (81%) ce n’est pas le cas des trois autres (66%,48%, 68%). Les erreurs viennent presque toujours de la méthode et sont donc évitablesnotamment en passant par un schéma.Les enfants n’ayant pas ressenti le besoin de recourir au schéma les problèmes étaient peut-être trop simples.

Face à ce pourcentage trop faible de schémas ne permettant pas d’évaluer les capacitésdes enfants à schématiser un énoncé, j’ai procédé à une deuxième évaluation portant cette foissur la traduction en schéma d’un énoncé de problème.Le schéma produit est alors correct dans 64% des cas et incomplet dans 15% des cas : lesenfants ont manifestement compris comment schématiser un énoncé.

6. Conclusion

D’après ces évaluations, les enfants savent traduire un énoncé en schéma mais ne lefont pas en résolution de problème. Les enfants ne s’approprient pas les aides proposéesspontanément et donc une période de trois semaines ne permet pas de voir des progrèsréellement significatifs.

J’ai néanmoins pu observer qu’en général les enfants manquent de méthodologie (ilsne vérifient pas leurs réponses par exemple) et rechignent à laisser des traces de leurraisonnement sur leur feuille ce qui, je pense, peut est une des raisons pour lesquelles ilsutilisent peu les schémas pour s’aider.Si les enfants comprennent assez facilement un schéma existant, il est plus compliqué d’enproduire un correct et fonctionnel.La schématisation n’étant pas aisée, les enfants qui ont besoin d’aides pour la résolution de

problèmes ont des difficultés à la mettre en œuvre alors que les autres n’éprouvent pas lebesoin d’y recourir.La schématisation, ainsi que tous les outils méthodologiques qu’on peut apporter aux élèvesdoivent bénéficier d’un travail sur la durée pour être intégrés et utilisés spontanément par lesélèves.


17

Conclusion générale

Mon hypothèse de travail était que la schématisation pouvait être une aideméthodologique importante pour les enfants en difficultés en résolution de problèmes, c’estpourquoi je me suis intéressée aux aides à la schématisation.

A l’issue de mes trois semaines de pratique, je me rends compte que cette hypothèsen’est pas vraiment vérifiée.En effet, même si les enfants ont progressé dans la production de schémas, ils considèrentcette activité comme un exercice à part entière, au même titre que la résolution d’un problème.Le plus souvent, le schéma est produit après compréhension de l’énoncé de problème ; il n’estpas considéré comme un outil servant à accéder à la résolution du problème.

De plus, la schématisation n’est pas une tâche aisée. Les élèves ayant des difficultés enrésolution de problèmes en présentent également en schématisation et ceux qui saventschématiser sont ceux qui en ont le moins besoin et donc ne s’en servent pas en résolution deproblèmes. La schématisation ne bénéficie pas à ceux qui en ont le plus besoin, elle neprésente alors pas les avantages attendus pour remédier aux difficultés des élèves enrésolution de problèmes, du moins en trois semaines.

Malgré les résultats que j’ai obtenus, je continue de penser que la schématisation peutêtre une aide réelle pour les enfants. Mais pour cela, je pense qu’elle doit être travaillée pourelle-même, en tant qu’objet d’apprentissages avant d’être utilisée comme un outil.Comme tous les autres outils qu’on peut apporter aux élèves, la schématisation doit êtretravaillée sur le long terme. Les enfants ont besoin de beaucoup de temps, de répétitions, desituations différentes avant de parvenir à maîtriser une nouvelle méthode et encore plus avantde l’utiliser spontanément comme outil de travail. Une étude sur beaucoup plus de troissemaines mériterait d’être faite afin de déterminer les apports réels de la schématisation enrésolution de problèmes.


18

BIBLIOGRAPHIE

— Les maths sans problèmes de Michelle Bacquet Calman-Lévy 1996

— Dictionnaire encyclopédique de l’éducation et de la formation Nathan Université1994

— L’enfant et le nombre. Du comptage à la résolution de problèmes de Michel FayolDelachaux et Niestlé 1990

— Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2 Hatier Ermel INRP1999

— Le problème et l’enseignement des mathématiques d’Olivier Renaut CRDP Dijon1990

— Documents d’application des programmes Mathématiques cycle 3 CNDP 2002

— Les mathématiques à l’école élémentaire. Tome 2 Contenus mathématiques deXavier Roegiers De Boeck IUFM de Bourgogne

— Résolution de problèmes cycle 3 de Sylvie Gamo Bordas pédagogie 2001

— Représentation des problèmes et réussite en mathématiques de Jean Julo Pressesuniversitaires de Rennes, collection « Psychologie » 1995


19

Annexes


20

Date : 28/02-05/03/05 Discipline : Mathématiques. Résolution de problèmes Niveau : CM2Titre : séances 1 et 2. Evaluation diagnostique + Corrections, intérêt du schéma Durée : 2 x 45-50’Objectifs :

Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes Chercher et produire une solution Mettre en œuvre un raisonnement Formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution Identifier des erreurs dans une solution

Matériel : Fiche-élève « résous les problèmes » 1 par élève Fiche-élève « représente le texte par un schéma » 1 par élève

Organisation

Collectiveoral

Individuelleécrit

Collectiveoral

Individuelleécrit

Collective àl’oral autableau

Durée

3’

15’

2’

15’

3x10’

3x10’

Déroulement

Mise en trainPrésentation de l’activité.Distribution de la fiche-élève « résous les problèmes »lecture collective« Vous devez résoudre les problèmes en expliquant vos calculs. Si vous voustrompez, ce n’est pas grave, n’effacez pas mais barrez ce qui est faux et réécrivezà côté. »

RechercheLes élèves cherchent, la maîtresse passe dans la classe pour voir le travail etapporter des précisions si c’est nécessaire

Distribution de la fiche-élève « représente le texte par un schéma ».lecture collective

« vous devez représenter le texte par un schéma, on doit retrouver toutes lesdonnées du texte dans votre schéma »

RechercheLes élèves cherchent, la maîtresse passe dans la classe pour voir le travail etapporter des précisions si c’est nécessaire et repérer les travaux intéressants pourla mise en commun

Mise en communQuelques élèves vont au tableau reproduire ce qu’ils ont fait, confrontation,comparaison… pour chaque texte.Les différences entre leurs productions permettent de définir un schéma (parrapport au dessin notamment), l’intérêt du schémaCorrection des problèmes, quel schéma pourrions-nous faire pour nous aider ? …


21

Evaluation diagnostique problèmes

Résous les problèmes suivants :

A la piscine, il y a 44 nageurs. 15 filles et 12 garçons sont dans le petit bain, lesautres nageurs sont dans le grand bain.

Combien de nageurs y a-t-il dans le grand bain ?

Marie et Pierre se mesurent. Pierre mesure 7 cm de plus que Marie. La sommede leurs mesures est 2 m 71 cm (= 271 cm).Combien mesure Marie ?Combien mesure Pierre ?

Dans son jardin, Elodie a planté 3 rangées de 4 salades et 2 rangées de 4 choux.Combien de légumes a-t-elle plantés?

Evaluation diagnostique problèmes : analyse

1/ Piscine

27 2 erreurs 1 erreur de recopie : 15+12=27, 44-24=201 erreur de calcul : 15+12=17, 44-17=27

25 réponses exactes 22 : 15+12=27, 44-27=171 : 44-15=29, 29-12=171 : 44-27=17 directement

2/ Taille

27 1 : pas de réponse

10 réponses exactes 2 : 132+139=271 par tâtonnement8 : 271-7=264, 264 : 2=132, 132+7=139

16 erreurs 1 erreur de calcul 1 : 271-7=266,266 : 2=133, 133+7=140

15 erreurs de méthodes 1 : 271-7=264Pierre mesure 64 cm 1 : 2m71-7=1m64Marie, 1m67+7=1m71 Pierre 1 : 271-7=264Pierre, 264-7=257 Marie 4 : 271 : 2=135,5 ;135,5+7=142,5 1 : 135,5 ; 142,5sans explications 1 : + erreur decalcul 271 : 2=136, 136+7=143 2 : 271 : 2=135,5 ;135,5+7=142,5 ; 135,5-7=128,5 2 : + erreur decalcul 271 : 2=145,5 ; 145,5+7=152,5 ; 145,5-7=138,5 2 : 271 : 2=135,5 ;135,5-7=128,5 ; 128,5+7=135,5


22

3/ Jardin

27 1 erreur de méthode : 4+4=8 l’élève n’a pas tenu compte du nombre derangées

26 réponses exactes 21 : 3x4=12, 2x4=8, 12+8=201 : 3x4=12, 2x4=8, 201 : 12, 8, 12+8=202 : (3x4) + (2x4)=12+8=201 : (3x4) + (2x4)= 20

Evaluation diagnostique schémas

Représente le texte par un schéma

Un jardinier a planté 4 rangées de 7 arbres et 3 rangées de 4 rosiers.

On a découpé une corde en 3 morceaux. Un morceau mesure 27 cm.Ensemble les 2 autres morceaux mesurent 12 cm de plus.

Dans un sac, il y a 21 billes : 13 rouges et 8 bleues.

Evaluation diagnostique schémas : analyse

1/ Jardin

27 1 organisation en lettres 7 arbres 4 rosiers7 arbres 4 rosiers7 arbres 4 rosiers7 arbres

1 quadrillage


23

1 schéma linéaire

8 schémas 1 dans un quadrillage

arbres

rosiers

1 tableau avec seulement les colonnes

5 schémas avec des colonnes seules

O O O O O O OO O O O O O OO O O O O O OO O O O O O O

X X X XX X X XX X X X

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

XXX

XXX

XXX

XXX

OOOOOOO

OOOOOOO

OOOOOOO

XXXX

XXXX

XXXX

OOOOOOO


24

1 schéma sans colonnes ni lignes

O O O O O O O X X X XO O O O O O O X X X XO O O O O O O X X X XO O O O O O O

arbres rosiers

2 tableaux

14 dessins, les arbres et les rosiers sont organisés en rangées (matérialiséesou non)

2/ Corde

27 10 schémas exacts 5 schémas linéaires

27+12cm

4 schémas en bande

27cm 27+12cm

1 schéma proche du dessin

27cm 27+12cm

16 schémas incorrects 6 où la corde mesure 27+12cm : 4schémas linéaires et 2 en bande

8 où la corde mesure 27 + 27+12 +27+12 cm : 2 linéaires, 4 en bande et 2 proches du dessin

rangées plantationsarbres 4 7rosiers 3 4

27 cm


25

1 proche du dessin où la corde mesure27 + 12 + 24 cm

1 schéma linéaire sans donnéesnumériques

1 élève n’a pas donné de réponse

3/ Billes

27 3 représentations fausses 1 dessin avec 20 billes toutes de lamême couleur

2 disques sans données numériques

4 schémas 2 linéaires13 rouges 8 bleues

21 billes

2 ensemblistes

21 dessins 3 avec des nombres

13

8

rouge

bleu


26

11 avec des couleurs

4 avec des symboles

3 avec des lettres

o o o xxo o x xoo oo o x xooo xx

billesrouges

billesbleues


27

Date : 07/03/05 Discipline : Mathématiques. Résolution de problèmes Niveau : CM2Titre : séance3. Lecture de schémas Durée : 40-45’Objectifs :

Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes Chercher et produire une solution Mettre en œuvre un raisonnement Formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit ou à l’oral Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution Identifier des erreurs dans une solution Traduire un schéma en énoncé

Matériel : Schémas au tableau

Organisation

collectiveoral

individuelleécrit

collectiveoral

Durée

5’

15’

20-25’

Déroulement

Mise en train« Avant de faire un schéma on va apprendre à lire un schéma. Vous devez trouverun énoncé qui corresponde au schéma, toutes les données du schéma doivent êtreprésentes dans l’énoncé. »


Mise en communCorrectionConfrontation, comparaison des énoncés produits : on peut produire des énoncésdifférents à partir du même schéma, il y a les mêmes données, les mêmes calculs àfaire…


28

Lecture de schéma

Schéma ensembliste

Schéma linéaire

D : DijonL : LyonM : Marseille

Lire un schéma : analyse

Schéma ensemblisteSur 16 élèves :

1 élève ne donne pas de réponse 2 proposent un énoncé avec des pourcentages 2 élèves proposent un énoncé qui n’a pas de sens 11 élèves proposent un énoncé plausible avec les données exactes

réussite : 69%

Schéma linéaireSur 16 élèves :

5 proposent un énoncé aux données fausses ou incomplètes 3 ne donnent pas de réponse 8 proposent un énoncé aux données correctes mais seulement 2 élèves expliquent

pourquoi on fait un aller-retourréussite : 50%

D488KM

896km

? ?D ML

MerCampagne

Montagne

36 ?

9

52


29

Date : 10/03/05 Discipline : Mathématiques. Résolution de problèmes Niveau : CM2Titre : séance 4. Choisir le bon schéma Durée : 50’Objectifs :

Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes Chercher et produire une solution Mettre en œuvre un raisonnement Formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution Utiliser le bon schéma pour résoudre un problème

Matériel : Enoncés des problèmes + schémas au tableau

Organisation

ind écritpuis

oral coll

ind écrit

oral coll

Durée

15’

20’

15’

Déroulement

Retrouver le schéma qui correspond à chaque problèmeAu tableau 2 énoncés et 3 schémasElèves cherchent au brouillon puis mise en commun orale en justifiant les choixPuis corrections des calculsLes schémas permettent de savoir quels calculs faire

Utiliser le bon schéma pour résoudre chaque problèmeAu tableau 3 énoncés et 3 schémas« Vous devez trouver quel schéma correspond à quel énoncé puis résoudre lesproblèmes grâce aux schémas »


Mise en communCorrection, justifications…


30

Choisir le bon schéma

Retrouve le schéma qui correspond à chaque problème. Puis répond aux questions.

Madame F. habite à Brest. Elle doit aller à Perpignan en voiture. Elle décide de faireles 1080 Km en 3 jours.Le deuxième jour, elle veut faire 2 fois plus de kilomètres que le premier jour et le troisièmeautant que le deuxième. Quelle distance veut-elle parcourir chaque jour ?

Monsieur F. habite Brest aussi et doit faire le même trajet en 3 jours aussi.Il veut faire la moitié du chemin le premier jour et autant de kilomètres le deuxième jour quele troisième. Quelle distance veut-il parcourir chaque jour ?

Utilise le bon schéma pour résoudre chaque problème.

a) une table de ping-pong vaut aussi cher que deux vélos. Le marchand vend deuxvélos et une table de ping-pong pour 480 €.Quel est le prix du vélo et celui de la table ?

b) un tonneau contient deux jarres, une citerne contient 3 jarres. Pour remplirentièrement une citerne, un tonneau et une jarre, 1200 litres.Quelle est la contenance d’une jarre ? Celle d’un tonneau ? Celle d’une citerne ?

c) Le chat Ronron pèse 450g de plus que Pilou le lapin. Ensemble Ronron et Piloupèsent 6,750 kg.Quel est le poids de chacun ?

1/

2ème j 3ème j1er j

1080 Km

2/ 3/


31

Choisir le bon schéma : analyse

Table de ping-pong, tonneau, chat-lapin

Sur 23 élèves : 2 ne donnent pas de réponse 9 utilisent les bons schémas et résolvent correctement les problèmes 8 utilisent un autre schéma mais résolvent correctement les problèmes 1 élève n’utilise pas la bonne méthode pour le premier problème 2 élèves n’utilisent pas la bonne méthode pour le deuxième problème 1 élève n’utilise pas la bonne méthode pour le troisième problème

réussite : 39% + 35%


32

Date : 11/03/05 Discipline : Mathématiques. Résolution de problèmes Niveau : CM2Titre : séance 5. Produire un schéma Durée : 45’Objectifs :

Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes Chercher et produire une solution Mettre en œuvre un raisonnement Formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit ou à l’oral Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution Identifier des erreurs dans une solution Produire un schéma pour résoudre un problème

Matériel : Enoncés de problème au tableau

Organisation

collectiveoral

individuelleécrit

collectiveoral

Durée

5’

20’

20’

Déroulement

Mise en train« Vous devez résoudre les problèmes, vous pouvez faire un schéma pour vousaider mais vous n’êtes pas obligés. »


Mise en communCorrectionConfrontation, comparaison des schémas produits, des méthodes de résolution…


33

Résoudre un problème en utilisant un schéma

Résous les problèmes. Tu peux t’aider d’un schéma.

Monsieur Têtenlair part de Mâcon à vélo pour aller à Villefranche sur Saône. Après18 Km de route, il s’aperçoit qu’il a oublié de laisser les clés de la maison à sa femme quitravaille dans un magasin qu’il a dépassé depuis 7 Km. Il y retourne puis reprend sa routepour Villefranche sur Saône. A l’arrivée, il constate qu’il a fait 51 Km depuis son départ.Quelle est la distance de Mâcon à Villefranche sur Saône ?

Chloé et son frère Valentin ont économisé ensemble 217€ mais Valentin a économisé34€ de plus que sa sœur.Combien Chloé a-t-elle économisé ? Et Valentin ?

Résoudre un problème en utilisant un schéma : analyse

Monsieur Têtenlair

Sur 22 élèves : 9 font un schéma juste et seul 1 élève n’utilise pas la bonne méthode de résolution 1 élève ne donne pas de réponse 12 élèves ne font pas de schéma dont 10 donnent le bon résultat, 2 élèves

n’utilisant pas la bonne méthodeschéma : 41% réussite : 82%

Economies Chloé-Valentin

Sur 22 élèves : 6 font un schéma : 1 fait une erreur de calcul, 1 n’utilise pas la bonne méthode 1 ne répond pas 15 ne font pas de schéma : 2 n’utilisent pas la bonne méthode

schéma : 27% réussite : 77%


34

Date : 14/03/05 Discipline : Mathématiques. Résolution de problèmes Niveau : CM2Titre : séance 6. Evaluation : Résoudre des problèmes Durée : 50’Objectifs :

Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes Chercher et produire une solution Mettre en œuvre un raisonnement Formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit ou à l’oral Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution Identifier des erreurs dans une solution Produire un schéma pour résoudre un problème

Matériel : Enoncés de problème

Organisation

collectiveoral

individuelleécrit

collectiveoral

Durée

5’

25’

20’

Déroulement





35

Evaluation sommative problèmes

Résous les problèmes. Tu peux faire un schéma pour t’aider.

1/ Nicolas fait des achats. Il achète une paire de rollers et une planche à roulettes qui vaut 13€de plus que les rollers. Il fait un chèque de 105€.Combien coûtent les rollers ?Combien coûte la planche ?

2/ Des athlètes français participant aux Jeux Olympiques de Sidney sont partis de Paris et ontfait un voyage aller de 15100 Km en avion. Au retour, ils se sont arrêtés à Tokyo après unvoyage de 10800Km, puis ils sont rentrés à Paris. Au total, ils ont parcouru 34100Km.Quelle est la longueur du vol entre Paris et Tokyo ?

3/ Au basket, l’équipe de Dijon a gagné le match en marquant 8 points de plus que Nancy. Autotal, 12 paniers à 3 points, 43 paniers à 2 points et 18 lancers francs à 1 point ont été réussis.Quel a été le score du match ?

4/ Une course cycliste de 128Km se déroule de la façon suivante : 98Km sur route puis 6 tours d’un circuit en ville

Quelle est la longueur d’un tour de circuit ?

Evaluation sommative problèmes : analyse

Nicolas fait des achats

3 élèves font un schéma juste§ 1 utilise une mauvaise méthode et fait une erreur de calcul§ 2 utilisent la bonne méthode mais font une erreur de calcul

24 élèves ne font pas de schéma§ 2 ne répondent pas à la question§ 3 utilisent une mauvaise méthode§ 1 utilise la bonne méthode mais fait une erreur de calcul§ 18 utilisent la bonne méthode et résolvent correctement le problème

réussite : 2/3

JO

2 élèves font un schéma mais la démarche n’est pas bonne 25 élèves ne font pas de schéma

§ 10 élèves n’utilisent pas la bonne méthode dont 2 font également uneerreur de calcul

§ 1 élève utilise la bonne méthode mais fait une erreur de calcul§ 1 élève ne donne pas de réponse§ 13 élèves utilisent la bonne méthode et résolvent correctement le

problèmeréussite : 48%


36

Basket

4 élèves font un schéma et résolvent correctement le problème 23 élèves ne font pas de schémas

§ 6 n’utilisent pas la bonne méthode dont 4 font en plus une erreur decalcul

§ 1 utilise la bonne méthode mais fait une erreur de calcul§ 1 élève ne donne pas de réponse§ 15 élèves utilisent la bonne méthode et résolvent le problème

correctementréussite : 68%

Course cycliste

1 élève fait un schéma et résout correctement le problème 26 élèves ne font pas de schéma

§ 4 n’utilisent pas la bonne méthode dont 1 fait en plus une erreur decalcul

§ 21 utilisent la bonne méthode et résolvent correctement le problème§ 1 élève ne donne pas de réponse

réussite : 81%


37

Date : 14/03/05 Discipline : Mathématiques. Résolution de problèmes Niveau : CM2Titre : séance 7. Evaluation : Représenter l’énoncé par un schéma Durée : 50’Objectifs :

Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes Chercher et produire une solution Mettre en œuvre un raisonnement Formuler et communiquer sa démarche et ses résultats par écrit ou à l’oral Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution Identifier des erreurs dans une solution Traduire un énoncé en schéma

Matériel : Enoncés de problème

Organisation

collectiveoral

individuelleécrit

collectiveoral

Durée

5’

25’

20’

Déroulement





38

Evaluation sommative schémas

Représente l’énoncé par un schéma

1/ Un représentant part de Mâcon pour aller à Marseille. Arrivé à Lyon, il décide de se rendreà Grenoble distante de 98Km. De Grenoble, il revient à Lyon puis continue jusqu’à Marseille.A l’arrivée, il a fait en tout 627Km.Quelle est la distance de Mâcon à Marseille si on ne fait pas le détour par Grenoble ?

2/ Un automobiliste doit faire un voyage de 535Km. Au bout de 256Km, il effectue unpremier arrêt. Il parcourt 2 fois moins de kilomètres que la première fois et fait une deuxièmepause.Quelle distance lui reste-t-il à parcourir ?

3/ Marie, Thomas et Charles collectionnent les timbres. A eux trois ils en ont 742. Marie en adeux fois plus que Thomas et Charles deux fois plus que Marie.Combien de timbres a Thomas ? Marie ? Charles ?

4/ Pierre et Lucas ont compté leurs CD. Ensemble ils en ont 103 mais Pierre en a 9 de plusque Lucas.Combien de CD a Lucas ? Pierre ?

Evaluation sommative schémas : analyse

Schéma correct Schéma incomplet Schéma faux Pas de réponse TotalProblème 1 11 6 9 0 26Problème 2 16 6 4 0 26Problème 3 21 0 3 2 26Problème 4 19 4 2 1 26Total 67 16 18 3 104Pourcentage 64,4% 15,4% 17,3% 2,9% 100%


39

LES AIDES A LA SCHEMATISATION EN RESOLUTIONDE PROBLEMES

Résumé : Dans les nouveaux programmes de 2002, la résolution de problèmes est aucentre des apprentissages mathématiques. Pourtant, elle pose problèmes à de nombreux élèves.Je me suis donc intéressée aux différentes aides méthodologiques à apporter aux élèves et plusprécisément à la schématisation.

Mots clés : mathématiques, résolution, problème, schématisation, aides
