LES DI COMBUSTIONE IN REGIME SUPERSONICO PER APPLICAZIONI SCRJ

7/23/2019 LES DI COMBUSTIONE IN REGIME SUPERSONICO PER APPLICAZIONI SCRJ

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SCUOLA DI INGEGNERIA AEROSPAZIALE

CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA

ASTRONAUTICA

Elaborato di Laurea

LES DI COMBUSTIONE IN REGIME SUPERSONICO

PER APPLICAZIONI SCRJ

Relatore Laureando

Prof. Claudio Bruno Luigi Romagnosi

Correlatore

Dott.ssa Antonella IngenitoDott. Donato Cecere

Anno Accademico 2009/2010


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Indice

INDICE

Introduzione I

Capitolo 1 I principi di conservazione

1.1 Introduzione 1

1.2

Equazione di conservazione della massa 1

1.3 Equazione di bilancio della quantit di moto 2

1.4 Equazione di conservazione dellenergia 5

1.5 Equazione di stato 6

1.6 Equazione di conservazione delle specie chimiche 7

1.7

Equazione di trasporto della vorticit 8

1.8 Equazione della vorticit in forma adimensionale 11

1.9

Teorema di Kelvin 12

1.10 Teoremi di Helmholtz 13

Capitolo 2 Modellistica della turbolenza

2.1 Introduzione 15

2.2 Caratteristiche della turbolenza 16

2.3

La teoria di Kolmogorov 18

2.4

Modellizzazione numerica della turbolenza 212.4.1 Approccio RANS 22

2.4.1a Cenno ai modelli RANS 25

2.4.2 Approccio LES 26

2.4.2a Modelli LES: Smagorinsky e Lilly 28

2.4.2b Modelli LES: Dinamico (Identit di Germano) 30

2.4.2c Modelli LES: Frattale FM 31

2.5 Modello di combustione: EDC 34

2.6 Accoppiamento combustioneturbolenza 36


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Indice

Capitolo 3 Progetto HyShot, simulazione e validazione

3.1

Origini e sviluppo 38

3.2

Set-up di simulazione 403.3

Validazione della simulazione HyShot II 42

3.4 Risultati della simulazione 44

3.4.1 Descrizione del campo fluidodinamico 45

Capitolo 4 Studio della vorticit

4.1

Introduzione al codice 58

4.2 Schema numerico WENO35 59

4.3

Implementazione e validazione del WENO35 62

4.4 Analisi dei termini della equazione della vorticit 64

4.4.1 Termine baroclinico 65

4.4.2

Vortex stretching 72

4.4.3 Termine compressibile 77

4.4.4 I termini viscosi 81

4.4.5 Vorticit e mescolamento 86

4.5

Conclusioni 91

Appendice A I termini viscosi

A.1 Termine diffusivo D 96

A.2 Termine compressibile-viscoso CV 96

A.3 Termine viscosit-velocit VV 98

A.4 Termine deformazione-viscosit DV 99

Appendice B I Codici

B.1 Post_plt_evo.f 101

B.2 Mod_EqTurb_evo.f90 111

B.3

Mod_Weno5_evo.f90 127

B.4 Pde.f90 129

Bibliografia 132


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Introduzione

I

INTRODUZIONE

SCOPO DELLA TESI

I primi tentativi di raggiungere velocit di volo superiori a quelle del suono risalgono alla finedegli anni 30, ma il primo volo supersonico arriv il 14 Ottobre 1947 con Charles Yeager, pilota

dellUnited States Air Force, a bordo del velivolo sperimentale Bell X -1A, propulso da un motore

a razzo alimentato con ossigeno e alcool etilico liquidi. Parimenti allo sviluppo della tecnologia e

alle nuove conoscenze sui materiali, seguirono numerosi successi conseguiti da velivoli dotati di

motori air-breathing (RAMJET). Questi rappresentavano levoluzione dei turbogetto, che sullidea

di Ren Lorin (1913), non presentavano parti rotanti. Lassenza di compressore e turbina permise

temperature in camera di combustione maggiori e diede il via, per ovvi fini bellici, alla conquista

del record di velocit che coinvolse le maggiori potenze dellepoca. Con gli anni, il volo

supersonico fin per destare linteresse anche dellindustria aeronautica per il trasporto civile, si

pensi al velivolo russo Tupolev-144 (1968) o allanglo-francese Concorde (1969). Nel frattempo

procedevano i test sulla serie X e nel 1997 venne costruito da Boeing un aereo prototipo senza

pilota per un futuro impiego civile, lX-43A, propulso da un motore SCRAMJET e attuale

detentore del record di velocit ipersonica a Mach 9.6lanciato da un Boeing B-52 il 16 Novembre

2004.

Fig.I.1: Velivolo sperimentale Bell X-1A che vol per la prima volta nel 1947 (a sinistra); lX-43A che nel 1997 raggiunse M=9.6 (a destra)

Oggi gli statoreattori (Ramjet e SCRJ) hanno conquistato lattenzione anche dellindustria

spaziale. Lattuale sfida la realizzazione di una nuova generazione di motori per lanciatori


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Introduzione

II

spaziali in grado di sfruttare in fase di salita lossigeno presente nellatmosfera allo scopo di

abbattere i costi di messa in orbita di almeno un ordine di grandezza rispetto agli attuali ~10000

doll ari al kg. Lambizioso progetto prevede laccoppiamento di un rocket (per la fase iniziale di

lancio, utile a raggiungere velocit operative del ramjet/scramjet, e per la fase finale di volo nel

vuoto) con un motore air-breathing nel volo ipersonico in atmosfera. Il vantaggio risiede nel

minor peso al decollo del lanciatore dovuto alla minor quantit di ossigeno liquido (LOX) richiesta

a bordo. Numerosi sono gli Stati coinvolti attualmente nello sviluppo di velivoli ipersonici, gli

Stati Uniti nei progetti come Falcon, HyFly e X-51, la Russia, il Regno Unito, lAustralia con

HyShot della University of Queensland, in Europa lESA coordina lo sviluppo di LAPCAP 2,

progetto al quale collabora anche la Sapienza Universit di Romae che prevede la realizzazione di

aerei civili in grado di raggiungere M = 5con motore ramjet e M = 8con scramjet. Anche Cina,

India e recentemente la Korea hanno mostrato interesse per gli scramjet in particolar modo la

Seoul National University anche questa impegnata nel progettoHyShot.

La presente tesi si pone lobiettivo di indagare gli effetti della turbolenza sul mescolamento e

quindi sulleffettiva fattibilit di una completa combustione , allinterno di camere, in condizioni

supersoniche. Applicazioni che prevedono combustioni a velocit supersoniche vanno sotto il

nome di SCRAMJET(Supersonic Combustion Ramjet); questi, come avviene per motori Ramjet,

sfruttano la compressione dinamica dellaria con la differenza che alluscita dalla presa daria,

anteposta alla camera di combustione, il flusso caratterizzato da velocit superiori a quelle

soniche (M > 1). Il limite dei Ramjet sta nella massima velocit di volo che riescono a raggiungere

(M 5), poich un rallentamento fino a condizioni subsoniche comporterebbe temperature troppo

elevate in camera. Ma avere un flusso supersonico in camera di combustione, cosa che

contraddistingue i motori Scramjet, comporta un minor tempo di residenza, condizione che in

passato ha portato a dubitare sulleffettivapossibilit di ottenere un ancoraggio di fiamma; recenti

sviluppi hanno per scongiurato ogni dubbio.

Affinch possa esserci combustione, il tempo caratteristico delle reazioni, unito al tempo di

mescolamento e a eventuali ritardi di accensione, deve essere inferiore al tempo di residenza, che

in motori Scramjet dellordine di 10-4s. In un flusso supersonico il processo di combustione

controllato dal mescolamento, reso critico dallelevata energia cinetica che rende la corrente rigida

a variazioni di direzione rallentando i processi di interdiffusione molecolare combustibile-

ossidante. Come facile intuire, flussi che viaggiano a velocit supersoniche forzano

lallineamento del vettore vorticit con la direzione principale del moto (vorticit streamwise);leffetto una riduzione globale della turbolenza essendo nulli i contributi dati da lle altre due


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Introduzione

III

componenti del vettore vorticit al vortex stretching. Tale concetto verr chiarito nei capitoli

successivi. Allo stesso tempo per, elevati numeri di Mach impediscono alle particelle di

ridistribuirsi in presenza di ostacoli (es: idrogeno iniettato in cross flow rispetto allaria entrante),

la velocit di propagazione dei disturbi inferiore a quella convettiva con leffetto di

addensamenti locali nel flusso a cavallo di onde durto. Laumento della pressione comporta una

riduzione del libero cammino medio, e la cinetica chimica accelera per via di un numero maggiore

di collisioni efficaci tra le particelle. Lo studio dellaccoppiamento tra turbolenza e combustione

(mescolamento) viene fatto sulla base dei dati forniti dalla simulazione numerica realizzata in

collaborazione con il Dott. Donato Cecere e la Dott.ssa Antonella Ingenito per il progettoHyShot,

pressoEnea Centro Ricerche Casaccia. Il lavoro strutturato come segue:

I.

Nel primo capitolo vengono ricavate le equazioni fondamentali della fluidodinamica per

flussi comprimibili servendosi dei principi di conservazione della massa, della quantit di

moto e dellenergia. Combinando opportunamente le equazioni di Navier-Stokes si giunge

alla formulazione dellequazione di trasporto della vorticit, utile alla comprensione dei

fenomeni legati alla turbolenza. Infine si richiamano alcuni teoremi fondamentali sui

vortici;

II. Il secondo capitolo si focalizza sulla turbolenza riportando i concetti fondamentali della

teoria di Kolmogorov. Vengono poi passati in rassegna le tecniche di analisi della

turbolenza, quali DNS, RANS, LES e alcuni dei pi noti modelli numerici di chiusura;

III. Il terzo fornisce un breve panoramica del progetto HyShote dei principi di funzionamento

di un motore Scramjet. Viene trattato nello specifico il set-up del codice proprietario

S-HeaRT inerente alla simulazione di un flusso supersonico daria in una camera di

combustione con iniezione di idrogeno a 90 di inclinazione. A seguire la validazione dei

risultati mediante confronto con le prove sperimentali effettuate dalla University of

Queensland[19], e descrizione del campo fluidodinamico;

IV. Nel quarto e ultimo capitolo vi unabreve descrizione del codice sviluppato per lanalisi

della vorticit. Viene inoltre affrontata limplementazione e la validazione dello schema

numerico WENO35 su cui si basa il codice stesso. Il campo di moto vorticoso cos scisso

e separatamente studiato in ogni suo termine, di trasporto, di produzione e di dissipazione,

risaltando gli effetti della turbolenza sul mescolamento.

Infine sulla base delle nuove conoscenze, si conclude presentando due configurazioni diverse di

iniettore che potrebbero migliorare il mescolamento tra reagenti, ma ci rimane ancora daverificare.


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Capitolo 1I principi di conservazione

1

CAPITOLO

1

I PRINCIPI DI CONSERVAZIONE

1.1 INTRODUZIONE

Il set di equazioni per lo studio del moto dei fluidi va sotto il nome di Equazioni di Navier-Stokes,

esprimibili mediante i principi di conservazione della massa, della quantit di moto e dellenergia.

Queste rappresentano un sistema di equazioni alle derivate parziali che descrivono il

comportamento di un qualsiasi fluido continuo deformabile dal punto di vista macroscopico. Per la

chiusura del sistema occorre affiancare lequazione di stato dei gas perfetti e specificare le

condizioni al contorno e iniziali imposte dal problema in esame. Inoltre se si ha a che fare con

miscele di gas va verificata la conservazione delle singole specie gassose. Di seguito verranno

esposti i principi di conservazione e da questi si ricaver lequazionedi trasporto della vorticit e

verranno enunciati alcuni teoremi fondamenti per lo studio dei vortici.

1.2 EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA[1]

La conservazione della massa M contenuta allinterno un volume arbitrario V esprimibile

mediante:

= = 0 (1.1)


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2

Per il teorema del trasporto di Reynolds si ha che:

= + = 0 (1.2)con volume fisso nello spazio (formulazione euleriana). Servendosi del teorema di Gauss:

=

(1.3)

la (1.2) diventa:

+ = 0 (1.4)che per lipotesi iniziale di arbitrariet del volume si riduce a:

+ = 0 (1.5)

1.3 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTIT DI MOTO[1]

Lequazione del moto si ottiene dalla seconda legge di Newton la quale, nel caso pi generale,

esprime luguaglianza tra la risultante delle forze esterne applicate a una certa massa, nel moto

lungo la sua traiettoria, e la variazione di quantit di moto nellunit di tempo:

= () (1.6)in altri termini, la (1.6), riscritta in forma integrale per un volumetto di fluido V, suggerisce che :

= (1.7)Le forze sono classificabili in:

Forze di massa, dovute al fatto che le particelle dotate di una propria massa si trovano

immerse in un campo di forze (es: campo gravitazionale). Si indichi con fil contributo di

dette forze per unit di massa.


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3

Forze di superficie, dovute invece al contributo della pressione normale p unito alla

componente tangenziale nel caso di fluido in movimento. = + (1.8)

dove esono rispettivamente la frazione massica della specie k-esimae la forza esterna cheagisce su tale specie. Per teorema di Gauss vale:

=

(1.9)

e considerata larbitrariet del volume scelto possibile scrivere la (1.7) in forma differenziale:

+ = 1 + (1.10)

Il tensore degli sforzi esprimibile come:

= + + 2 (1.11)e consta di due parti:

= + + 2

con

il tensore di deformazione (strain rate, velocit di deformazione). Introducendo il

coefficiente di viscosit di volume, definito come:

= + 23 (1.12)

gli sforzi di taglio (parte deviatorica) assumono la forma:

= + 2 (1.13) = 23 + 2 (1.14)


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4

che, sotto lipotesi di Stokes (viscosit di volume nulla), si riduce a:

=

2

3 + 2

(1.15)

Sostituendo il tensore degli sforzi nellequazione di conservazione della quantit di moto si

ottiene:

+ = 1 23 + 2+ (1.16)

e sviluppando loperatore divergenza a secondo membro:

+ = 1 23 1 + 2 + (1.17) + = 1 23 1 23 + 2 + 2 +

(1.18)

Il tensore di deformazione esprimibile come:

= 12 + (1.19)dove il tensore gradiente di velocit (il gradiente applicato a un campo vettoriale fornisce untensore) e il suo trasposto, definiti come segue:

=

=

(1.20)

Applicando loperatore divergenza aentrambi si ottiene:

=

=

22 + 22 + 222

2+2

2+2

2

22 + 22 + 22= 2 (1.21)


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5

=

=

22 + 2 + 2

2

+

2

2

+

2

2 + 2 + 22=

(1.22)

che sostituite nella (1.18):

+ = 1 23 1 + 13 + 2 + 2 + (1.23)

1.4 EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLENERGIA[1]

Lequazione dellenergia deriva dalprimo principio della termodinamica:

= (1.24)con ETenergia totale del sistema, L lavoro fatto sul sistema e Q il calore ceduto allesterno dal

sistema. Indicando con Elenergia totale per unit dimassa, definita come somma di unenergia

interna ee dellenergia cinetica, la ET pu essere scritta come:

= = +22

(1.25)

Moltiplicando scalarmente lequazione (1.8) per si ottiene lespressione del lavoro: = + (1.26)

mentre per il flusso di calore qvale:

= + +

(1.27)

dove il primo termine a destra del segno di uguaglianza rappresenta il flusso di calore trasferito per

conduzione (legge di Fourier), il secondo termine il contributo per interdiffusione cio il flusso

di entalpia di tutte le specie chimiche presenti con velocit diffusiva e infine il terzo tiene conto


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6

delleffetto Dufour. Se un gradiente di temperatura responsabile di un flusso di massa (effetto

Soret), allo stesso modo un gradiente di concentrazione deve produrre un flusso di calore (effetto

Dufour) [Relazioni reciproche di Onsager - 1929].

Sostituendo la (1.26) e la (1.27) nellequazione (1.24), riscritta in forma integrale, si perviene alla

seguente equazione:

= + (1.28)

Servendosi nuovamente del teorema del trasporto di Reynolds e di Gauss, si ricava dalla (1.28) la

forma differenziale dellequazione di conservazione in termini di energia totale:

+ = + +

+

(1.29)

La stessa equazione pu essere scritta, passando per lenergia interna e, in termini di entalpia:

=

=

0+

0

(1.30)

intesa come somma del contributo sensibile e di formazione .La (1.29) diventa quindi: = +

+ +

+

(1.31)

ove

, funzione di dissipazione, rappresenta il lavoro compiuto dagli sforzi viscosi

.

1.5 EQUAZIONE DI STATO[1]

Lequazione di stato per flussi in equilibrio termodinamico, nella sua forma pi generale, vale:

= (1.32)ove V il volume, N il numero totale di moli della miscela gassosa e la costante universaledei gas (=

.

). Dato che:


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7

= =1 =

=1 =

=1 =

=1 =

=1 (1.33)

la (1.32) diventa:

= =1 (1.34)

Nelle applicazioni di nostro interesse, quali flussi in camere di combustione per motori

SCRAMJET, si ben lontani dalla condizioni di equilibrio per via dei forti gradienti di velocit,

pressione e temperatura locali e di altri fenomeni che entrano in gioco in flussi reagenti, quali

dissociazioni e ionizzazioni. Tuttavia pratica comune servirsi dellequazione di stato (1.34)

ritenendo comunque valida lipotesi semplificativa di equilibrio termodinamico purch sia

verificata lipotesi di continuo(lontano dalle onde durto).

1.6 EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLE SPECIE CHIMICHE[1]

Per chiudere il sistema occorre aggiungere alle precedenti equazioni, NS-1 equazioni di

conservazione della massa per NS specie chimiche. Si ricorda che lequazione di conservazione

(1.5) riferita alla massa totale. Lequazione di conservazione per la k-esima specie vale invece:

= (1.35)con velocit di produzione o scomparsa della singola specie chimica. La forma differenzialedella equazione (1.35) riportata di seguito:

+ = (1.36)avendo indicato con la velocit assoluta data dalla somma della velocit del baricentro delsistema (moto di insieme) unita alla velocit relativa al baricentro, cio la velocit di diffusione . Separando i due contributi possibile distinguere i termini rappresentanti i trasporti convettivie diffusivi delle specie:

+ = + (1.37)


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1.7 EQUAZIONE DI TRASPORTO DELLA VORTICIT[2][3]

Tale equazione porta con s tutte le informazioni necessarie alla comprensione della fisica della

turbolenza, descrivendo la dinamica di un fluido in moto rotazionale. Lequazione di trasportodella vorticit si ricava applicando loperatore rotore allequazione di bilancio della quantit di

moto esposta precedentemente e di cui si trascurano volutamente gli effetti dovuti a eventuali forze

di massa:

+ = 1 23 1 + 13 + 2 + 2 (1.38)TERMINE A:

Definendo il vettore vorticit come:

= = + + (1.39)e servendosi della relazione di Lagrange[2]per cui:

=

1

2 2

(1.40)

a primo membro si ottiene:

+ = + 12 2 (1.41)Per il teorema di Schwartz sulle derivate miste si ha che:

= 0

(

)

= 0 mentre il rotore di un prodotto vettoriale esprimibile come:

= + ()

Sfruttando le propriet (a) e (c), la (1.41) diviene:

+ = + (1.42)


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9

Riprendendo la definizione di (1.39) , per la propriet (b) il termine = , quindi:

+ = + + (1.43)

TERMINE B:

Sapendo che un cambiamento di scala delloperatore rotore si effettua mediante la seguente

formula:

= + ()Allora per = e = e tenendo conto della propriet (a), tale termine diviene: 1 = 1 + 1 = 2 (1.44)TERMINE C:

Applicando qui due volte la propriet (d) e poi la (a) si ha che:

2

3

1

=

2

3 1

+

1

=

= 231 + 1 12 =

=2

3

1 + 23 12 (1.45)TERMINE D:

Procedendo allo stesso modo per questo termine si ottiene:

1

3 =1

3 +

=1

31 2 (1.46)

TERMINE E:

2 = 2 1 + 1 == 2 1 12 (1.47)

TERMINE F:


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10

2 = 2 + 2 ==

2

+ 1

2

2

2

(1.48)

Sostituendo i vari termini, la (1.38) diviene:

+ + = 2 + 23 1 + 23 12 ++

1

3

1 13 2 + 2 + 22 + 2 + 1 2 2 2 (1.49) = 2 + + 2 + 1 2 + +

+2 12 23 + 2 + 2 + 13 (1.50)

Riprendendo la (1.23), si nota che il termine tra parentesi quadra, moltiplicato vettorialmente dal

gradiente di densit, altro non che la divergenza dello sforzo di taglio ( ) che sostituitafornisce lequazione di trasporto della vorticit:

+ =12

+ + 2 + 12

+1 2 +

+

1 + (1.51)

Una forma analoga delleqn.(1.51) stata proposta da Crocco e Vazsonyi[4], nella quale la

variazione di vorticit espressa in funzione del gradiente di entropia specifica. Per ottenerla

occorre riscrivere il termine baroclinico come segue:

12 = (1.52)La dimostrazione immediata. Passando per la definizione di entropia:

= = + = + 1 = (1.53)il prodotto vettoriale a secondo membro della (1.52) vale:


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11

= 0

(1.54)Riscrivendo adesso come:

= 2 (1.55)e svolgendo leqn.(1.54) si ottiene:

= (1.56)1.8 EQUAZIONE DELLA VORTICIT IN FORMA ADIMENSIONALE

Per meglio comprendere limportanza di ogni singolo termine nella produzione/dissipazione di

vorticit, si procede con ladimensionalizzazione dellequazione di trasporto (1.51). La scelta delle

variabili di rifermento dettata dalle condizioni fluidodinamiche del flusso in esame, lelevato

numero di Mach della simulazione preclude unelevata pressione dinamica, per cui si adopera

questultima come pressione di riferimento in sostituzione della pressione statica. Il set di valori di

riferimento usato : ,, ,,, = , . Indicando con un asterisco in apice legrandezze adimensionali, si ha:TERMINE INERZIALE: 00

= 000

TERMINE CONVETTIVO:

0

0

0 =

02

02

TERMINE BAROCLINICO:

12 102 00 0020 12 = 0

202 12 TERMINE VORTEX STRETCHING:

0 00 = 0202

TERMINE COMPRESSIBILE:


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12

0 10 0 = 0202

TERMINE DIFFUSIVO:

2 00 002 2 = 00 003 2 TERMINE COMPRESSIBILE-VISCOSO:

12 102 00 10 0 00 12 = 00 003 12 TERMINE VISCOSITA-VELOCITA:

2

+

000

00

2

2

+

=0000

3

2

+

TERMINE DEFORMAZIONE-VISCOSITA:

1 + 100 00 00 1 + = 00 003 1 + Sostituendo ogni singolo termine dentro leqn.(1.51) e dividendo tutto per

: + = + + 1

0

+ + (1.57)con Ste numeri di Strouhal e Reynolds definiti come rapporto di tempi caratteristici:

= = 000 (1.58) = = (1.59)Il numero di Strouhal correla le frequenze proprie dei vortici, attraverso un tempo caratteristico

della eventuale non stazionariet, al trasporto convettivo, quindi stabilisce limportanza degli

effetti non stazionari sulla convezione. Dalla (1.57) si evince che in flussi supersonici tutti i

termini dellequazione di trasporto della vorticit, fatta eccezione per quelli dissipativi, hanno lo

stesso peso. I termini dissipativi tornano a essere importanti a parete e nelle zone di combustione

per via dellincremento di viscosit dovuto agli innalzamenti locali di temperatura.

1.9 TEOREMA DI KELVIN[5][6]

Prima di passare allanalisi fluidodinamica dei singoli termini, occorre enunciare alcuni teoremi

fondamentali sui vortici, utili alla comprensione degli effetti del vortex stretching sulla cascata di


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13

energia turbolenta. Per definire il teorema di Kelvin occorre dapprima introdurre il concetto di

intensit di un vortice o circolazione , come la circuitazione del campo di velocit lungo unpercorso chiuso contenente per intero il vortice, che per il teorema di Stokes equivale al flusso di

vorticit attraverso la superficie racchiusa dal suddetto percorso:

=

=

(1.60)

Il teorema di Kelvin afferma che in un fluido barotropico, cio con densit funzione della sola

pressione, con forze di massa conservative e forze viscose trascurabili, la circolazione calcolata

lungo una linea materiale chiusa costante nel tempo, che equivale a scrivere:

= 0 (1.61)A dimostrazione del teorema si riscriva la (1.61) come segue:

=

=

+

(1.62)

Sostituendo alla derivata lagrangiana della velocit lequazione di bilancio della quantit di moto

per fluido non viscoso, il primo termine a destra delluguaglianza si annulla in quanto integrale su

un circuito chiuso di differenziali esatti. Per il secondo termine vale:

= 0 = 0 + = (1.63)e rappresenta anche questo un differenziale esatto, quindi:

= = 2

2= 0 (1.64)

Il teorema di Kelvin risulta dunque dimostrato.

1.10 TEOREMI DI HELMHOLTZ[5][6]

I tre teoremi di Helmholtz di seguito enunciati sono una conseguenza del teorema di Kelvin.


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14

Si definiscono le linee vorticose, in analogia con le linee di corrente, come quelle linee che in ogni

punto verificano la condizione di tangenza al vettore vorticit. Le stesse linee vorticose che

attraversano un generico circuito chiuso Cformano un superficie vorticosa e il volume di fluido al

suo interno prende il nome di tubo vorticoso. Sotto le stesse ipotesi del teorema di Kelvin valgono:

I)

La circolazione in un tubo vorticoso si mantiene costante lungo lo stesso tubo

II) Il tubo vorticoso un tubo materiale, cio costituito sempre dalle stesse particelle

III)

Lintensit del vortice si mantiene costante nel tempo

Il primo teorema trova conferma nel fatto che, essendo nulla la divergenza del vettore vorticit per

la propriet (b) di pag.8, valido quanto segue:

0 = V

dV = nS

dS = nS1

dS + nS2

dS + nS l

dS = 1 + 2 (1.65)lintegrale sulla superficie esterna Sl zero per lannullarsi del prodotto scalare( ) e datalarbitrariet del volume considerato ne segue che per qualsiasi tubo vorticoso vale = .Lannullarsi del terzo integrale della (1.65), conseguenza del fatto che per definizione le linee

vorticose sono sempre tangenti a , giustifica il secondo teorema; se per assurdo una particella,contenente vorticit, uscisse dal tubo vorticoso il flusso sulla parete laterale sarebbe non nullo, ilche impossibile. Il terzo teorema di Helmholtz giustificato da Kelvin in quanto per ogni sezione

deve valere lequazione (1.61).

Fig.1.1:Definizione di tubo vorticoso [5]


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Capitolo 2Modellistica della turbolenza per flussi reattivi

15

CAPITOLO

2

MODELLISTICA DELLA TURBOLENZAPER FLUSSI REATTIVI

2.1 INTRODUZIONE

In fluidodinamica possibile distinguere due stati comportamentali per il moto dei fluidi .

Osborne Reynolds, nel suo esperimento condotto nel 1883, dimostr lesistenzadi due regimi di

moto e ne intu la dipendenza dalle grandezze macroscopiche del campo quali densit, velocit e

viscosit. In particolare per numeri di Reynolds (si vedaeqn.1.59) inferiori a 2000 la corrente

completamente laminare, per

il moto turbolento,

rappresenta

invece uno stato di transizione in cui i due regimi coesistono.

Si parla di regime laminare quando il moto avviene con scorrimento di strati gli uni suglaltri

senza che vi sia alcuna interazione tra i vari filetti fluidi che costituiscono il campo di moto, come

tante piccole lamine sovrapposte che viaggiano parallelamente alla direzione principale del

flusso. Non vi alcun mescolamento a livello microscopico (particellare). Fluidi caratterizzati da

elevate propriet viscose permangono nel tempo in stato laminare. La viscosit tende di fatto a

smorzare ogni forma di perturbazione che potrebbe manifestarsi per esempio a seguito di

imperfezioni e irregolarit superficiali e geometriche di corpi lambiti da fluidi. Quando le forze


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viscose non sono pi sufficienti a contrastare le forze di inerzia avviene la transizione a regime

turbolento, caratterizzato da forti fluttuazioni, apparentemente a carattere randomico, di pressione

e velocit. Le particelle non seguono traiettorie ordinate come avveniva nel caso laminare ma si

muovono in maniera caotica. Spesso allaggettivo caotico si associa erroneamente il significato

di non prevedibile, qui va inteso come riportato dalla teoria del caos[7]secondo la quale un sistema

dinamico si dice caotico se presenta le seguenti propriet:

I) Sensibile alla condizioni iniziali

II) Le sue orbite devono essere periodiche e dense, cio che levoluzione del sistema, nello

spazio delle fasi, descritto da innumerevoli orbite che rimangono confinate entro un certo

spazio; si veda lattrattore di Lorenz.

proprio limpossibilitdi conoscere con certezza le condizioni iniziali o al contorno che rende

agli occhi di un osservatore la dinamica di tipo stocastica. In realt le fluttuazioni riscontrate in un

flusso turbolento non sono per niente aleatorie ma sono ampiamente predicibili dalle equazioni di

Navier-Stokes, si parla quindi di caos deterministico. Nonostante ci si trovano spesso in

letteratura approcci statistici per lo studio dei fenomeni turbolenti.

2.2 CARATTERISTICHE DELLA TURBOLENZA[8]

Non per nulla semplice descrivere la turbolenza con una definizione rigorosa nonostante

quotidianamente si presentino ai nostri occhi fenomeni a essa legati. Unottima definizione fu data

da Zahir U. Warsi: La forma prevalente del moto dei fluidi in natura di tipo irregolare e

caotico. Se il flusso, oltre a essere caotico e irregolare, ha una natura diffusiva e dissipativa,

allora il flusso detto turbolento. Qui ci limiteremo a elencare le caratteristiche pi importanti

della turbolenza:

I) Un flusso turbolento non prevedibile, come scritto precedentemente una piccola

incertezza sulle condizioni iniziali tende ad amplificarsi falsando una qualsiasi previsione

deterministica della sua evoluzione.

II) Trasporto notevolmente pi rapido rispetto a quello diffusivo. Si pensi a una sigaretta, al

moto dei fumi da questa generati e al fatto che, dopo pochi secondi, se ne avverte la

presenza allinterno della stanza, dimostrazione dellavvenuta diffusione. Tentare di

spiegare il fenomeno pensando agli effetti della sola diffusione molecolare conduce a

risultati in contrasto con lesperienza quotidiana. Detto D coefficiente di diffusione di

massa, legato alla diffusione della quantit di moto ( per aria a 20C) per


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mezzo del numero di Schmidt ( per aria), il tempo impiegato dal fumo perpercorrere una lunghezza vale:

La spiegazione della discrepanza della stima quantitativa dallesperienza pratica, laver

trascurato lapparente aumento di diffusivit dovuto allapresenza di vortici e alla cascata

turbolenta di cui si discuter nel paragrafo successivo.

III) Elevati numeri di Reynolds, le instabilit non vengono smorzate dalla viscosit in quanto

trascurabile rispetto alle forze di inerzia.

IV)

Intense fluttuazioni delle variabili di campo con frequenze mediamente dellordine dei

kHz, e presenza di sporadici picchi pi elevati che danno origine al fenomeno noto come

intermittenza.

V) Un flusso turbolento tridimensionale e non stazionario ed caratterizzato dalla

presenza di zone ad alta vorticit. Le strutture vorticose si autosostengono in quanto

alimentate continuamente del moto medio.

VI) Maggiore dissipazione, rispetto al caso laminare, dellenergia cinetica in calore dovuta

alla formazione di strutture via via sempre pi piccole (cascata di energia) nelle qualitornano a farsi sentire gli effetti viscosi.

VII) Verifica lipotesi di continuo poich la scala pi piccola delle strutture di gran lunga

superiore alla scala molecolare ( con Kn numero di Knudsen definito comerapporto tra il libero cammino medio molecolare e la dimensione della pi piccolastruttura ).

VIII) Un flusso turbolento interessa un grande spettro di lunghezze donda spaziali e temporali.

Si pu parlare quindi di turbolenza solo quando sono verificate contemporaneamente tutti gli

aspetti sopra elencati. Occorre infatti precisare che la sola individuazione di vortici in un campo

non indicativa della presenza effettiva di turbolenza. Si prenda un flusso bidimensionale a

elevato numero di Reynolds tale per cui possibile trascurare tutti i termini viscosi dellequazione

di vorticit (1.51), ricavata nel capitolo precedente, che nel caso incomprimibile si riduce a:


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Il prodotto vettoriale del termine baroclinico nullo poich , nullo anche il vortexstretching visto che, per lipotesi di bidimensionalit del campo, lunica componente di vorticit

diversa da zero quella perpendicolare al piano del moto quindi ortogonale a tutti i gradienti di

velocit. Ne segue che la vorticit, se presente, rimane costante nel tempo e i vortici vengono

trasportati a valle dal moto medio senza essere dissipati. In definitiva, col termine turbolenza si

soliti individuare quel meccanismo autonomo (la turbolenza si autosostenta) di cascata di energia

che a partire da vortici di grande scala, le cui dimensioni dipendono dalla geometria e dalle

condizioni al contorno, genera vortici sempre pi piccoli fino alla scala di Kolmogorov. Fu

Richardson nel 1922 a intuire il trasferimento di energia a cascata dalle scale integrali a quelle

dissipative, ma solo nel 1941 con Kolmogorov vennero gettate le basi di una teoria rigorosa

applicabile alla turbolenza di tipo omogenea, isotropa e statisticamente stazionaria.

2.3 LA TEORIA DI KOLMOGOROV[9][10][11]

Come preannunciato nel paragrafo precedente lipotesi base della teoria di Kolmogorov che la

turbolenza sia omogenea e isotropa, ci implica che le sue caratteristiche statistiche devono essere

rispettivamente indipendenti dalla posizione spaziale e risultano uguali in tutte le direzione. Si

osserva in pratica che tutti i sistemi reali soddisfano la condizione di omogeneit e isotropia solo

localmente, cio su un dominio spaziale e temporale molto piccolo. Per numeri di Reynolds

elevati, in cui gli effetti inerziali sono pi importanti di quelli viscosi, il processo di cascata di

energia si spinge verso strutture turbolente di dimensioni pi piccole. Per questultime infatti, al

contrario dei vortici di grande scale le cui dinamiche e dimensioni sono fortemente influenzate

dalle condizioni al contorno, nel processo di trasferimento di energia dalla scala integrale a quella

dissipativa, plausibile immaginare una perdita di memoriadelle caratteristiche delle strutture

che le hanno generate. In definitiva le strutture fini di qualunque flusso turbolento si comportano

tutte allo stesso modo. La seconda ipotesi di flusso statisticamente stazionario ha permesso a

Kolmogorov di affermare che, essendo la cascata non viscosa, lenergia cinetica turbolenta per

unit di massa, prodotta alle grandi scale (scala energetica o integrale) nellunit di tempo, viene

completamente dissipata alle piccole scale. La viscosit, difatti, opera un taglio al trasferimento di

energia cinetica dissipandola in calore ed entra in gioco solo alla scala di Kolmogorov la quale

stabilisce la dimensione della pi piccola struttura che si autosostiene. Al di sotto della scala di

Kolmogorov le forze inerziali non sono sufficienti a mantenere compatto il vortice che, per attrito,

vede disgregare particelle al contorno. Sotto tali ipotesi si pu affermare che le piccole scale hanno


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un comportamento universale e sono governate unicamente dalla viscosit e dallenergia

dissipata .Da considerazioni puramente dimensionali valgono:

che rappresentano rispettivamente lunghezza, velocit e tempo caratteristici delle scale dissipative.

Essendo la potenza dissipata la stessa di quella introdotta dal moto medio alla scala integrale,

non pu dipendere dimensionalmente dalla viscosit, allora indicando con U, L e Trispettivamente

velocit, lunghezza e tempo dei grandi vortici e ricordando la definizione del numero di Reynolds,

si ha:

Queste relazioni correlano le caratteristiche delle due scale in funzione del numero di Reynolds, si

noti che a parit di tutte le altre condizioni al diminuire della viscosit si riduce la dimensioni dei

vortici pi piccoli che possibile trovare nel flusso. Queste stime sono utili in fase di progetto di

una griglia di calcolo poich, qualora si fosse interessati a cogliere tutte le dinamiche del campo,

dettano i limiti sulla dimensione massima della cella. Per quanto riguarda le scale intermedie

(range inerziale), nelle quali lenergia non viene n creata n dissipata ma unicamente trasferita,

lipotesi di Reynolds elevati assicura, anche per vortici di dimensioni r con , la soladipendenza da e per la conservazione della potenza trasferita (stazionariet) si pu scrivere:

dalle quali si deduce che i vortici pi grandi hanno velocit maggiori che scalano con lapotenza allun terzo di rma allo stesso tempo presentano dinamiche pi lente (tempi maggiori).Analizzando i gradienti di velocit, questi risultano invece pi intensi alle scale pi piccole, infatti

possibile scrivere come:

Spesso si suole affiancare allanalisi temporale unanalisi spettrale, cio nel dominio delle

frequenze, in questo modo possibile risalire al contenuto energetico dei singoli vortici


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verificando la distribuzione di energia cinetica turbolenta alle varie frequenze (spettro di energia).

Ogni vortice possiede infatti una propria energia cinetica media per unit di massa data da dove

rappresenta la fluttuazione di velocit generata dalla rotazione del vortice. Le fluttuazioni

a bassa frequenza sono prodotte da vortici di grandi dimensioni, viceversa per i vortici pi piccoli

che ruotano in tempi pi corti. Definendo lo spettro di energia E(k) tale che:

con K energia cinetica per unit di massa del flusso e k numero donda, da considerazioni

puramente dimensionali possibile ricavare landamento dello spettro al variare del numero

donda.Per ipotesi di cui sopra, alle scale inerziali si pu esprime la dipendenza di E(k)del tipo:

Ora essendo k linverso di una lunghezza, in particolare della lunghezza donda, affinch

lintegrale abbia le dimensioni di unenergia deve essere:

da cui si ricava e . In figura 2.1 riportato lo spettro della turbolenza omogeneae isotropa.

Fig.2.1:Spettro di energia della turbolenza omogenea e isotropa in scala bi-logaritmica [5]

Si noti come, ai bassi numeri donda, cio alla basse frequenze (scala integrale), sia associata

unenergia cinetica turbolenta maggiore, la quale decresce con

nel range inerziale fino alle

scale dissipative dotate di energia inferiore.


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Occorre precisare che la teoria di Kolmogorov trova riscontro pratico unicamente nel caso di flussi

incomprimibili non reattivi, difatti qualora si considerassero anche gli effetti di comprimibilit

verrebbe meno lipotesi di energia trasferita costante alla scale inerziali. Si prenda nuovamente

lequazione di trasporto della vorticit (1.51) riscritta trascurando i termini viscosi:

per il termine baroclinico nullo ( e dallequazionedi conservazione della massasi ricava che anche la divergenza del vettore velocit vale zero, per cui il trasporto di vorticit

affidato unicamente al termine di vortex stretching, il cui effetto quello di stirare i tubi vorticosi

orientati nella direzione del gradiente di velocit. A un allungamento del tubo vorticoso (tubo

materiale), per la conservazione del volume, deve corrispondere un restringimento della sezione

generando cos un vortice pi piccolo. Il vortex stretching in questo caso il solo responsabile del

trasferimento di energia innescando quel fenomeno chiamato turbolenza. Laggiunta del termine

compressibile comporta un aumento o una riduzione locale di vorticit a seconda che ci sia una

compressione o espansione del flusso. Le onde durto contribuiscono alla dissipazione di energia

ancor prima di raggiungere le dimensioni della scala di Kolmogorov limitando il processo di

cascata di energia. Se agli effetti di comprimibilit si aggiungono quelli derivantidallinnalzamento locale di temperatura dovuto alla combustione, seguito dallaumento della

viscosit del fluido che tende a laminarizzare il flusso, si deduce che la pendenza dello spettro pu

solo essere inferiore ai di figura 2.1.2.4 MODELLIZZAZIONE NUMERICA DELLA TURBOLENZA

Per la risoluzione del campo fluidodinamico in regime turbolento esistono essenzialmente tre

metodologie di approccio. La prima, nota come DNS (Direct Numerical Simulation) prevede larisoluzione diretta del set completo di equazioni di Navier-Stokes determinando tutte le

fluttuazioni spazio-temporali delle singole grandezze. Per far ci sono necessari passi temporali e

spaziali rappresentativi dei fenomeni presenti nel flusso. Riuscire a cogliere, per esempio,

fluttuazioni di velocit nel campo generate dal passaggio dei piccoli vortici, richiederebbe griglie

di dimensioni inferiori alla scala di Kolmogorov. Se il rapporto tra scala integrale e scala

dissipativa proporzionale a , allora per ogni direzione occorrono un numero di punti pari a . Lo stesso dicasi per le altre due dimensioni spaziali per un totale di punti. A questi


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vanno aggiunti i passi temporali che, sempre dalla eqn.(2.3), devono essere un numero dellordine

dei . In definitiva per poter simulare correttamente un flusso turbolento tramite DNSoccorrono

nodi. Inoltre volendo trattare flussi reagenti, si devono considerare i tempi delle

reazioni chimiche, molti ordini di grandezza pi bassi dei precedenti. Il grosso carico

computazionale richiesto dalla DNS, per via dellintegrazione diretta delle equazioni di N-S, ne

limita luso a geometrie particolarmente semplici e comunque a flussi dotati di bassi numeri di

Reynolds, condizioni ben lontane da quelli riscontrate in camere di combustione per applicazioni

Scramjet. Lalternativa servirsi di un approccio di tipo RANS (Reynolds Averaged Navier

Stokes) risolvendo il campo medio e introducendo modelli universali per il trasporto turbolento e

per la chimica. In RANS le scale vengono modellate tutte allo stesso modo, e ci rappresenta

unassunzione troppo restrittiva e ben lontana dalla fisica della turbolenza. Inoltre la risoluzione di

equazioni mediate nel tempo non consente di catturare eventuali instabilit del flusso come

mostrato in figura 2.2:

Fig.2.2:Traiettorie delle linee di corrente prima e dopo loperazione di media

A met strada tra le due metodologie si pone la LES (Large Eddy Simulation), la quale propone

una simulazione diretta delle strutture di larga scala e una modellizzazione di quelle pi piccole,

risultando meno onerosa in termini computazionali di una DNS ma pi precisa di una RANS.

2.4.1 APPROCCIO RANS[9][12]

RANS la tecnica pi adottata in campo industriale perch consente di simulare flussi anche

molto complessi col minor carico computazionale, ovviamente a scapito della precisione dei

risultati. Con tale metodologia si riesce comunque ad avere una panoramica generale del campo

fluidodinamico. Come detto precedentemente, il modello RANS interviene a tutte le scale della

turbolenza caratterizzate per da dinamiche completamente differenti, le scale integrali dipendono

dalle condizioni al contorno e iniziali mentre le scale dissipative sono governate dalla viscosit. Unmodello che sia valido a ogni scala di difficile implementazione e questo rappresenta la maggiore


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fonte di errore. RANS un approccio di tipo statistico che conduce alla risoluzione di equazioni di

moto mediate. La media di una qualsiasi variabile aleatoria, funzione dello spazio e del tempo,

viene fatta per mezzo delloperazione di media dinsieme, cio basata su un insieme di

realizzazioni statisticamente indipendenti (N dati acquisiti). Se poi possibile considerare la

variabile di tipo statisticamente stazionaria la media dinsieme equivale auna media temporale:

Tale ipotesi semplificher la scrittura delle equazioni mediate di Reynolds, difatti decomponendo

la generica grandezza uin una parte mediata , costante nel tempo, e in una parte non stazionariadetta fluttuazione :

valgono e le seguenti propriet della media:

Fig.2.3:Decomposizione della velocit in una parte mediata (stazionaria) e in una fluttuazione (non stazionaria) [5]

La media di Reynolds introduce per, attraverso il termine convettivo (non lineare) nuoveincognite che andranno poi modellizzate per garantire la chiusura del sistema. Per limitare la

proliferazione di tali termini nel caso di flussi comprimibili si soliti effettuare una media pesata

con la densit (media di Favre):

Le due medie differiscono per

, cio:


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I vantaggi apportati dalla media di Favre sono notevoli, come intuibile dal confronto:

Decomponendo tutte le variabili delle N-S secondo Favre, a esclusione della pressione e delladensit per le quali si utilizzata la media di Reynolds, e mediando si ottiene il sistema RANS qui

espresso in forma indiciale:

avendo trascurato nellequazione di energia il termine di trasporto di energia dovuto alla diffusione

di massa (assunzione valida per numeri di Lewis ). In sono stati raggruppati iseguenti termini:

Qui si indicato con K la conducibilit termica, k lenergia cinetica turbolenta, e rispettivamente lentalpiastandard di formazione e il calore specifico delln-esimaspecie.

Si noti che la comparsa dei nuovi termini aggiunti , effetto delloperazione di media,ripropone il problema della chiusura del sistema di equazioni. Tali incognite sono i cosiddetti

sforzi di Reynoldse costituiscono il tensore simmetrico di Reynolds, presente anche nella terzaequazione delle (2.16) a indicare la sottrazione di energia dal moto medio a favore della

turbolenza. Generalmente le fluttuazioni delle variabili di campo sono molto elevate e possono


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superare perfino i valori medi; ne consegue che gli sforzi di Reynolds risultano ordini di grandezza

pi grandi rispetto a quelli derivanti dalla viscosit molecolare, e da qui si spiega laumento di

diffusivit riscontrata in flussi turbolenti.

Per quanto riguarda lequazione di conservazione delle specie chimiche:

se si assume la legge di Fickla velocit di diffusione della specie k-esimavale:

che sostituita fornisce:

Mediando la (2.19) secondo Favre si ricava:

Termini come , , prendono il nome diflussi di Reynoldse vanno anchequesti modellizzati come del resto il termine di produzione .2.4.1a Cenno ai modelli RANS

Senza addentrarsi troppo nei vari metodi di chiusura delle RANS, per i quali si rimanda a testi

specialistici, si presenta per sommi capi la filosofia base del noto modello eddy viscosity nel

ricostruire gli sforzi di Reynolds. Lidea, attribuibile a Boussinesq(1877) e sviluppata da Prandtl,

considerare, nellipotesi di turbolenza completamente sviluppata e numeri di Reynolds elevati, il

moto delle strutture turbolente del tutto simile a quello molecolare. Boussinesq si accorse

dellanalogia della struttura degli sforzi molecolari, generati dalle particelle nel loro moto caotico,

con gli sforzi di Reynolds a patto di sostituire alle fluttuazioni di velocit molecolari quelle

turbolente. Il modello eddy viscositypropone la modellizzazione degli sforzi servendosi di una

legge di trasporto di tipo gradiente correlando le fluttuazioni di velocit alle grandezze medie del


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campo, in particolare ai gradienti incrociati dei valori medi delle componenti di velocit secondo la

costante di proporzionalit (viscosit turbolenta dinamica), cio:

con kenergia cinetica turbolenta . Gli ultimi due termini della (2.21) sono statiaggiunti per far s che la somma degli sforzi normali, cio per i = j, torni a essere uguale a . Laturbolenza cos simulata come effetto di una viscosit aggiunta . Il modello qui proposto isotropo avendo ipotizzato che la viscosit turbolenta non vari con la direzione. Si perci

spostato il problema della chiusura da un tensore (sei incognite) a due grandezze scalari

e

.

Prandtl successivamente propose una modellizzazione della viscosit turbolenta che legasse

questultima auna lunghezza di mescolamento e alla fluttuazione di velocit :

riducendo il problema alla determinazione di e . Tra i pi noti modelli di chiusura siannoverano il modello a zero equazioni e il modello (due equazioni). Il primo applicabile ageometrie semplici che ipotizza una lunghezza di mescolamento dellordine delle dimensioni dei

vortici di grande scala (es: flusso in camera di combustione ), e la fluttuazione legata algradiente di velocit media per mezzo della stessa lunghezza di mescolamento; il secondo lega laallenergia cinetica turbolenta e al rateo di dissipazione viscosa, mentre la fluttuazione vienescritta come la radice quadrata di k:

e risolve le rispettive equazioni di trasporto delle grandezze e ricavate sperimentalmente.Difatti le formulazioni esatte di e , ottenute combinando opportunamente le equazioni di

Navier-Stokes risultano a loro volta non chiuse[13].

2.4.2 APPROCCIO LES[11][12][14]

Il principale limite delle RANS, oltre a quelli brevemente accennati al paragrafo 2.4, la necessit

di dover calibrare le costanti presenti nei vari modelli di chiusura per il particolare tipo di flusso in

esame. I modelli includono anche le larghe scale e il loro comportamento dipende per lappunto


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dal tipo di flusso e dalle condizioni al contorno. Con lapprocc io LES (Large Eddy Simulation)

tale limite viene superato, poich a essere modellizzati sono unicamente le strutture fini che per

loro natura hanno un comportamento isotropo e omogeneo. Le grandi scale, invece, vengono

risolte direttamente come fatto per la DNS. Il vantaggio sostanziale apportato dalla LES che per

quanto precisi e affidabili possano essere i modelli, questi introducono inevitabilmente degli errori,

ma tali imprecisioni vengono commesse alle piccole scale che sul bilancio energetico globale

pesano poco se confrontate al contenuto energetico delle scale integrali (si veda fig.2.1). Il prezzo

da pagare per per la migliore accuratezza quantificabile in maggior tempo di calcolo e memoria

richiesta nettamente superiori alle simulazioni RANS. Per separare le grandi scale dalle piccole ci

si serve di un operatore filtro, definito dallintegrale di convoluzione della generica funzione

,

con al dominio D:

con dimensione della pi piccola scala risolta a cui viene applicato il filtro. chiamatafunzione filtro e gode delle seguenti propriet:

1) 2) 3)

I filtri pi utilizzati sono[2]:

1)

filtro gaussiano

2) filtro sharp Fourier cutoff3) filtro top-hat

Il secondo un filtro in frequenza, con knumero donda, mentre gli altri due sono filtri definiti

nello spazio. Cos come fatto nelle RANS si decomponga la generica grandezza fcome segue:


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qui intesi per come parte risolta direttamente o anche filtrata e parte di piccola scala damodellizzare. Si introducano alcune propriet generali delloperatorefiltro:

Sempre al fine di evitare la proliferazione dei termini aggiuntivi di sottogriglia, per flussi

compressibili, si adotta ilfiltro di Favredefinito come:

Con queste assunzioni le equazioni di N-S filtrate, trascurando il contributo apportato dalle forze

di massa, diventano:

Col pedice SGS (SubGrid Scale) si vogliono indicare i termini di sottogriglia da modellizzare, vengono chiamati sforzi di sottogriglia mentre sono i flussi convettivi di calore. Ilmodello deve essere in grado di accoppiare le scale risolte con quelle simulate evitando che si

accumuli energia alle scale del filtro, quindi deve dissipare lenergia p roveniente dalle grandi scalee, allo stesso tempo, trasferire a questultime il calore di reazione che si sviluppa alle scale

molecolari.

2.4.2.a Modelli LES: Smagorinsky e Lilly

La LES vede la nascita alla fine degli anni sessanta con Smagorinsky e Lilly, i quali applicarono il

modello, che tuttoggi porta il loro nome, al settore della meteorologia. Tale modello, come per le

RANS, si basa sul concetto di eddy viscositycio legando gli sforzi di sottogriglia alle grandezze


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di larga scala. In LES, al contrario della RANS, luso di un mod ello anisotropo ( ) rischia solodi appesantire il calcolo senza apportare grosse migliorie alla soluzione visto che a essere simulate

sono solo le piccole scale, che per loro natura tendono ad avere un comportamento pi isotropo.

Per semplificare la trattazione si consideri lequazione di trasporto della quantit di moto per un

fluido incomprimibile:

Applicando loperazione di filtro alla (2.30), si ottiene:

Lequazione filtrata (2.31) differisce dalla (2.30) per lultimo termine a secondo membro che

chiameremo di sottogriglia. In , sforzi di sottogriglia, sono inclusi tutti i termini aggiuntivi:

di cui i primi due costituiscono il tensore di Leonardche rappresenta il contribuito alle scale SGS

fornito dallinterazione delle scale risolte, un termine misto (cross term) e tieneconto dellinterazione tra le scale risolte e le non risolte, lultimo il tensore degli sforzi diReynolds di sottogriglia. Loperazione di filtro introduce un numero maggiore di termini rispetto a

quanto visto nelle RANS proprio perch non sempre verificata luguaglianza delle (2.27).

Il modello Smagorinsky-Lilly suggerisce una modellizzazione degli sforzi di sottogriglia del tipo:

con tensore di deformazione filtrato, definito come:

e suppone che la viscosit turbolenta abbia una forma simile a quella proposta da Prandtl, cio

proporzionale a una lunghezza, settata pari alla dimensione del filtro , e a una velocitcaratteristica . vale e rappresenta un gradiente di velocit. Quindi:


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con CScostante di Smagorinsky, scelta normalmente tra 0.1e 0.2. Questa va impostata a priori e

poco si adatta a quelle zone del campo in cui il flusso torna a essere laminare come ad esempio aparete o laddove si ha transizione laminare-turbolento, con leffetto di una sovrastima dellenergia

realmente dissipata. Il problema delleccessiva dissipazione del modello di Smagorinsky-Lilly

venne superato negli anni novanta con la formulazione di un nuovo modello in grado di adattarsi

dinamicamente alle condizioni del flusso.

2.4.2.b Modelli LES: Dinamico (I denti tdi Germano)

Il modello dinamico sfrutta il concetto di identit di Germano, il quale si basa sullipotesi di

similitudine di scale allinterno del range inerziale dello spettro di energia turbolenta. Tale modello

non prevede lesistenza di costanti esterne al modello stesso, da settare a priori, come avveniva per

la CS, ma prevede una procedura per il calcolo delle costanti in tempo reale in grado di disattivare

il modello nelle zone laminari. In pratica viene effettuata una seconda operazione di filtraggio con

un filtro test di ampiezza maggiore di , ottenendo un tensore degli sforzi di sottogriglia test:

Lidentitdi Germano lega i tensori degli sforzi (2.32) e (2.36) al tensore degli sforzi delle scale

risolte:

secondo la relazione (2.38):

Entrambi i tensori vengono poi modellati secondo Smagorinsky:

che sostituiti nella (2.38) forniscono 5 equazioni linearmente indipendenti nellincognita C. I

tensori che compaiono nella (2.40) oltre a essere simmetrici hanno traccia nulla. Minimizzandolerrore ai minimi quadrati si ottiene:


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La costante di Smagorinsky C ricavata dal modello dinamico pu assumere adesso valori sia

positivi che negativi, col vantaggio di poter simulare gli effetti di cascata inversa di energia o

backscatter. Il modello di Germano introduce per un nuovo errore generato dal fatto che la

viscosit turbolenta considerata omogenea e isotropa, ipotesi che impone nellidentit (2.38)

lallineamento deltensore degli sforzi di sottogriglia al tensore delle scale risolte. Di qui la nascita

della versione anisotropa del modello di Germano o lo sviluppo di modelli misti i quali risolvono

una parte delle scale SGS sfruttando le pi piccole scale risolte, ma per questi ultimi si rimanda a

testi specialistici.

2.4.2.c Modelli LES: Frattale FM

Il modello in questione merita maggiore attenzione in quanto proprio su tale modello che stato

sviluppato il codice proprietario S-HeaRT. Alla base del FM vi la teoria dei frattali utile a

descrivere la geometria di oggetti di forma irregolare. Un frattale (termine coniato da

Mandelbrot[15] nel 1975) un oggetto geometrico caratterizzato da un certo grado di auto-

similarit, non strettamente geometrica, ma anche approssimata o statistica[16]. Un frattale ripete la

propria struttura a diverse scale (fig.2.4).

Fig.2.4:Frattale di Mandelbrot. Lo zoom a destra mostra una geometria simile a quella percepita a grande scala

Ai frattali associata una dimensione che rappresenta una misura delle irregolarit di questi

oggetti ed direttamente legata allevoluzione della loro forma. Se Dd la dimensione frattale di

un oggetto immerso in uno spazio di dimensione d, L la dimensione di un lato di un cubo,

contenente il frattale, Nil numero di volumetti di dimensione necessari a coprire interamente la

forma del frattale, allora vale[16]:


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Lapplicabilit di tale teoria ai fenomeni turbolenti sta nellanalogia tra i processi moltiplicativi,

tipici dei frattali, di strutture a tutte le scale con il concetto di cascata di vortici. Il modello di

sottogriglia (SGS), sviluppato dal Dott. Eugenio Giacomazzi, ha lo scopo di modellizzare le scale

non risolte al di sotto delle dimensione del filtro sfruttando la natura frattale della turbolenza. Il

FM sempre di tipo eddy viscositye simula una viscosit turbolenta funzione del numero divortici dissipativi che si formano dentro la generica cella di dimensione , e della viscosit

molecolare:

con

costante di calibrazione del modello. Lipotesi di fondo dello schema numerico che il

Reynolds alla scala del filtro sia sufficientemente alto da poter immaginare un range inerzialeallinterno della cella, cio una cascata di energia fino alla scala dissipativa(fig.2.5).

Fig.2.5:Spettro dellenergia turbolenta E in funzione del numero donda in scala bi-logaritmica[16]

Lisotropia delle scale pi piccole che vengono modellizzate garantisce la self similarity tipica

frattale. Il punto di separazione del FMdalla teoria di Kolmogorov sta nel numero di vortici che si

generano a partire da una data scala nel processo di cascata di energia. Una possibileinterpretazione della teoria statistica di Kolmogorov che da un vortice si genera uno e uno solo di

dimensioni pi piccole[16]. Qui invece si immagina che un vortice iniziale di dimensione metta inmoto Ncvortici pi piccoli della stessa scala, e cos via fino alle strutture dissipative (fig.2.6). Sifaccia notare che non coincide con quello previsto da Kolmogorov; lenergia associata aunvortice di scala l vieneinfatti distribuita tra i vortici figlie da ognuno si dirama un processo di

cascata indipendente. chiaro, sotto tale visione, che il trasferimento di energia risulta cos

accelerato e ci sar tanto pi marcato tanto pi ci si spinge verso strutture pi piccole. In questomodo si riesce a simulare anche il tratto curvo di fig.2.5.


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Fig.2.6:Produzione frattale di vortici a partire dal seme centrale (Nc=5)[16]

Se si indica con Rcil rapporto tra una scala e la successiva considerato per ipotesi costante, con la dimensione del vortice di partenza e con Nl il numero di step (o livelli) necessari al

raggiungimento della scala dissipativa, possibile ottenere dalla seguente relazione:

Mentre il numero totale di vortici creati compreso il primo (il seme) e il numero di vortici di scala sono dati da:

con Ncnumero di copie del seme imposto costante per semplicit. Il rapporto tra le due equazioni

fornisce la frazione numerica delle scale dissipative rispetto al numero totale di vortici, che per il

modello frattale vale:

Inoltre per il range inerziale la potenza trasferita si conserva (si veda par.2.3), quindi si pu

scrivere:

avendo sostituito al tempo dissipativo il rapporto .


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Manipolando opportunamente la (2.48) e ricordando che alle scale dissipative il Reynolds vale 1,

possibile ricavate le grandezze caratteristiche del vortice pi piccolo, quali dimensione velocit e

tempo:

Questultime se confrontate con quelle ottenute dalla teoria di Kolmogorov (eqn.2.3) mantengono

la stessa dipendenza funzionale dal Reynolds con la differenza che, nel FM, ci si riferisce alla

cella e non al flusso. Nelfractal model, in aggiunta alle equazioni (2.3), si tiene conto, attraverso i

rapporti di densit e viscosit, dellespansione delle scale dissipative per effetto della combustione.

Stesso effetto, cio dissipazione a numeri donda pi piccoli, si ha se ad aumentare il numero di

copie del seme (equ.2.46); lenergia dei vortici sempre pi piccola perch ripartita tra vortici[16].

Rimane incognita la

poich non si conoscono

,

e

. Nei problemi non reattivi, da

considerazioni geometriche e passando per la definizione di dimensione frattale D3, possibile

prescindere dalla conoscenza di queste ultime incognite e ricavare direttamente [16].Tralasciando i dettagli, si riporti di seguito lequazione risolutiva del numero di vortici di

dimensioni generati in ogni cella:

che sostituita nella (2.43) fornisce la chiusura del problema fluidodinamico. Caratteristica

importante del modello appena presentato che nelle zone laminari si disattiva automaticamente

poich la scala gi essa stessa dissipativa ( ). Il caso reattivo verr affrontato al paragrafo2.6, in particolare quando si analizzer laccoppiamento tra il modello di combustione e la

turbolenza.

2.5 MODELLO DI COMBUSTIONE: EDC[16]

EDC lacronimo di Eddy Dissipation Concept rappresenta un modello di combustione


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turbolenta sviluppato da Magnussen e Lilleheie[17]. Lipotesi di base che le reazioni chimiche

avvengono in piccole strutture (fine structures) aventi due dimensioni dellordine della scala di

Kolmogorov e la terza dellordine delle dimensioni della cella

. Immaginando i vortici a struttura

circolare possibile considerare le fine structures come tanti piccoli tubi cilindrici, chiamati

reattori, allinterno dei quali avvengono le reazioni chimiche. La pi piccola dimensione di tali

reattori () assicura un mescolamento a scale pi vicine a quelle molecolari, cio laddoveavvengono gli urti e quindi la combustione. Lipotesi aggiuntiva di Perfect Stirred Reactor(PSR)

permette di semplificare di molto la trattazione; i reagenti vengono considerati perfettamente

mescolati allinterno del reattore indipendentemente dal fatto che si voglia simulare una fiamma

premiscelata o diffusiva. Si suppone inoltre che i reattori siano adiabatici e che non ci sia

differenza di pressione tra i singoli reattori che occupano una certa frazione di volume dellacella e la restante parte di fluido che li circonda (surrounding fluid). Sotto tali ipotesi, per un

volumetto reattivo , possibile scrivere le equazioni di conservazioni di massa per ogni singolaspecie coinvolta nella reazione, e dellenergia:

ove , espressa in kg/m3s, la velocit di comparsa/scomparsa delli-esima specie; rappresentata solo una parte del volume totale occupato dalle fine structures ( ), ciounicamente la frazione di strutture dotate di temperature tali da consentire le reazioni ( ); sonoportate in massa da e verso ilsurrounding fluid; indica lentalpia sensibile; rappresenta il calore trasferito per irraggiamento dai reattori al fluido circostante, e infine [ ] il termine sorgente o pozzo di calore per effetto delle reazioni chimiche, esprimibile come:

In stazionario i termini a sinistra delle equazioni (2.51) e (2.52) sono nulli e le portate in massa

entranti e uscenti coincidono, quindi:


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avendo indicato con lapice 0 le grandezze del surrounding fluid e con * quelle legate al

reattore . Introducendo inoltre il tempo di residenza nel reattore ( ) che per ipotesi si considerauguale al tempo di vita delle strutture fini, quindi dei vortici di piccola scala (

), si ha:

Legando poi, per ogni cella, le grandezze del reattore e del surrounding a quelle filtrate come

proposto dallo stesso Magnussen:

si ottengono, con semplici passaggi, le equazioni risolutive dello stato del reattore:

avendo imposto e trascurato lirraggiamento.2.6 ACCOPPIAMENTO COMBUSTIONE - TURBOLENZA

Ci che lega il modello di combustione, appena presentato, al modello di turbolenza frattale la

frazione di volume occupata dalla scale dissipative . La determinazione di questa grandezza,trascurata in precedenza, diventa ora necessaria nel trattare flussi reattivi comparendo

esplicitamente nelle equazioni risolutive del modello EDC (eqn. 2.59 e 2.60).

Sempre dalla teoria frattale possibile valutare la frazione di volume totale ( ) occupata datutte le scale turbolente che si formano al di sotto della dimensione del filtro e da questa risalirealla moltiplicando la frazione volumetrica per la frazione numerica delle scale dissipativerispetto al numero totale di vortici. Richiamando la definizione di dallequazione (2.47):

e definendo come

[16]

:


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per la (2.49) e la (2.50), si ottiene:

con dimensione frattale dello spazio tridimensionale.Il non per ancora noto in quanto rimane incognita la grandezza , cio il numero di copiedel seme. Per semplificare il modello, gi di per se pesante dal punto di vista computazionale, si

effettua unanalisi asintotica mandando a infinito . Lesistenza dellasintoto consente di chiudere il problema.


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Capitolo 3Progetto HyShot, simulazione e validazione

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CAPITOLO

3

PROGETTO HYSHOT,

SIMULAZIONE E VALIDAZIONE

3.1 ORIGINI E SVILUPPO

HyShot un progetto di ricerca sviluppato presso il Centro di Ipersonica dal lUniversit del

Queensland (UQ) e coordinato dal Dr. Allan Paull. Il progetto nato con lintento di dimostrare la

fattibilit della combustione in regime supersonico con prove in volo e confrontare i risultati di

telemetria con quelli ottenuti sperimentalmente in galleria (T4 Shock Tunnel). Il programma

iniziato nellOttobre del 2001 con HyShot I; il primo esperimento, utile a verificare la traiettoria

del lanciatore, la strumentazione e la combustione, stato un fallimento a causa di un guasto al

sistema propulsivo. Il test prevedeva il lancio del motore scramjet allinterno del nose del razzoTerrier-Orion Mk70 il quale, seguendo una traiettoria balistica, raggiungeva dapprima circa 300

kmdi quota e successivamente, puntando verso la Terra e seguendo una traiettoria quasi verticale,

accelerava fino a Mach 7.6. La traiettoria verticale di rientro offriva minori carichi termici e

strutturali. Il profilo di volo riportato in fig.3.1 mostra le varie fasi della missione: al decollo per i

primi 6.4 s il sistema era spinto con unaccelerazione di 22 g dal razzo Terrier raggiungendo

velocit di 4000 km/he una quota di 3.7 km, in seguito alla separazione di questo primo stadio

veniva acceso per altri 27 s circa il motore Orion contenente il payload. Questultimo stadio, acombustione ultimata, non veniva per separato dal carico utile poich si occupava della


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stabilizzazione del sistema in fase di rientro. Con questo secondo stadio venivano raggiunti gli

8300 km/h. Le manovre di assetto allapogeo della traiettoria erano gestite interamente dal

computer di bordo, equipaggiato di due sensori di assetto e tre magnetometri. Come sistema

propulsivo per le modifiche di assetto si usava azoto in pressione stivato a bordo.

Fig.3.1: Profilo di volo del test HyShot[18]

Alla quota di 35 km e M=7.6veniva iniettato combustibile, nello specifico idrogeno, attraverso

quattro orifizi di diametro 2 mm ciascuno, collocati 40 mm a valle dellingresso in camera dicombustione. Lacquisizione dei dati era principalmente

affidata a trasduttori di pressione disposti lungo tutta la

camera di combustione e sulla piastra di spinta. Leffetto

combinato dello spin di stabilizzazione del lanciatore, unito

a piccole variazione dellangolo di yaw, ha consentito

lacquisizione di una vasta quantit di dati a diversi angoli

di attacco e di yaw. Nel Luglio del 2002 stato effettuato

un secondo test, questa volta eseguito con successo; si

trattava diHyShot II. Il prototipo non rappresentava ancora

lo scramjet definitivo, ma era stato progettato al solo scopo

di verificare lancoraggio di fiamma in camera. Il disegno

era stato realizzato dalla UQ (fig.3.2). Fig.3.2: PrototipoQinetiQ (sinistra);UQ (a destra)

Un ulteriore successo stato conseguito nel Marzo del 2006 (HyShot III) con a bordo lo scramjet

costruito dallazienda inglese QinetiQ; si trattava di un prototipo di forma cilindrica dotato di

quattro camere di combustione. Cinque giorni dopo a HyShot IV stato dato il compito di


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qualificare i nuovi iniettori progettati da JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency). La

successiva collaborazione tra DSTO (Defence Science and Technology Organisation) del

dipartimento di difesa australiano e US Air Force Research Laboratory(AFRL) ha dato il via a un

nuovo progetto, HIFiRE (Hypersonic International Flight Research Experimentation) per lo

sviluppo di una nuova generazione di sistemi propulsivi per trasporto civile capaci di volare a M =

8. Dei dieci voli previsti, tre sono stati coordinati direttamente dalla UQ. HIFiRE 0, noto anche

comeHyShotV, stato eseguito nel Maggio del 2009 e non prevedeva uno scramjet a bordo, ma

servito unicamente a testare il sistema di controllo della traiettoria da impiegare nelle successive

missioni. Nel test HyShot VI, avvenuto a Marzo del 2010, sono state invece effettuate misure di

spinta del nuovo motore scramjet disegnato dallUniversitdel Queensland; in quella occasione

per lo scramjetHyShot VI, separatosi anche dallultimo stadio (Orion), si sono registrate velocit

di volo cinque volte superiori a quelle del suonoseguendo una traiettoria balistica simile ai primi

voliHyShot.Lultimo della serieHyShot, la versione VII, in corso dopera, rappresenta il culmine

dei due precedenti test HIFiRE. Lobiettivo raggiungere Mach di volo pari a otto mantenendo

una traiettoria orizzontale per pi di un minuto.

3.2 SET-UP DI SIMULAZIONE

La geometria di HyShot, come raffigurato in figura 3.3, consiste in una presa daria rettangolare

lunga 305 mm e larga 100 mm, una camera di combustione di dimensioni 300 75 9.8mm

(fig.3.7)e da un condotto divergente lungo 200 mme largo 75 mm.

Laria che entra nella presa dinamica alla pressione di circa1500 Pa e temperatura intorno ai 220

K (h = 28 km) viene rallentata e compressa nellattraversare lurto formatosi sul bordo di attacco ,

subendo cos una deviazione angolare di 18. Questa pi a valle soggetta a una seconda

deviazione (compressione) che tende ad allineare il flusso prima dellingresso in camera. La

feritoia, creata sul lato superiore dello scramjet, stata studiata con lintento di favorire la

fuoriuscita dellonda durto e impedire la separazione dello strato limite immediatamente

allingresso del combustore. Allo stesso tempo, lo strato limite, che si forma sulle pareti della

presa dinamica, viene risucchiato dentro questa fessura evitando cos unulteriore riduzione della

sezione utile della camera di combustione. Laria entrando in condizioni supersoniche (M = 2.79)

reagisce con lidrogenoiniettato in cross flow (90rispetto alla direzione principale del moto) dal

lato superiore della camera. I prodotti di combustione caldi vengono poi fatti espandere attraverso

la piastra di spinta seguendo un angolo di 12.


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Fig.3.3: Geometria dello scramjet HyShot e condizioni di volo durante il test. In rosso evidenziata la porzione di motore simulata [19]

La simulazione nel presente lavoro relativa al solo combustore evidenziato in rosso in fig.3.3

assumendo una quota di volo di 28 Kme angolo di attacco 0. Le condizioni di ingresso in camera

sono state ricavate da una precedente simulazione del Prof. Jeung presso la Seoul National

University[20]. Impostare un corretto profilo di velocit per lo strato limite, gi completamente

sviluppato nel punto a, consente di evitare la formazione di unonda durto spuria (non fisica). Il

problema nasce dal fatto che non si sta simulando la zona antecedente alla camera di combustione,

per cui necessario impostare le condizioni al contorno includendo lo strato limite presente sul

tratto che va dal bordo di attacco inferiore dello scramjet e il punto a.Nella seguente tabella

sono riportate le condizioni di ingresso di combustibile e ossidante:

= 0.426 Aria IdrogenoPressure [Pa] 82110 307340

Mach 2.79 1Density [kg/m ] 0.2358 0.3020Temperature [K] 1229 250

Velocit del suono [m/s] 682.9 1204.4Velocit del flusso [m/s] 1905.291 1204.4

Tabella 1:Condizioni di ingresso in camera di combustione

La griglia 3D di tipo strutturato ed costituita da circa nodi (878 nella direzioneparallela al flusso,448e128in quella trasversale rispettivamente lungo x e y). La distribuzione

delle celle non uniforme (fig.3.4), ma prevede un maggior infittimento lungo zattorno alla zone

di iniezione tra = e = per poi diradarsi gradualmente a valle della camera. Indirezione x vi una maggiore concentrazione di nodi a parete e su tutta una zona centrale (2 cm 1) e spostandosi verso valori di entropia maggiori (dS > 0), il

flusso rallenta fino alla condizione sonica come confermato in fig.3.14. Il punto, caratterizzato da

M = 1, rappresenta un limite oltre il quale non pi possibile fornire calore dato che lentropia non

pu diminuire (choking termico). Si noti che il ramo supersonico, da sinistra a destra, attraversaisobare caratterizzate da pressioni via via maggiori.

Fig.3.9: Comportamento di un flusso Rayleigh per entrambi i regimi di moto (subsonico e supersonico) [26]

La spiegazione fisica del diverso comportamento tra il regime di moto subsonico e quello

supersonico che per M > 1 laumento dello stato di agitazione molecolare, dovuto alla


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combustione, comporta un numero maggiore di urti a livello molecolare costituendo un vero e

proprio ostacolo al moto dinsieme; le particelle non hanno il tempo di ridistribuirsi visto che la

loro velocit caotica (macroscopicamente molto vicina alla velocit del suono) inferiore a quella

del flusso e il libero cammino medio diminuisce. Di norma si infatti soliti costruire camere di

combustione che siano leggermente divergenti, in modo che il flusso torni ad accelerare ed

possibile continuare a somministrare calore.

Tornando alla fig.3.8, a met tra la sezione di ingresso e liniettore, si forma un treno di onde di

compressione ed espansione generate dallinterazione della corrente daria che viaggia a elevata

velocit (V 1900 m/s) con i getti di idrogeno provenienti dai quattro iniettori. Londa durto che

si forma a partire dalla superficie inferiore a z 2 cm dovuta alla separazione in quel punto dello

strato limite. Tale separazione causata dallimpatto della corrente supersonica daria con il getto

di combustibile trasversale alla direzione di moto. Analogamente a quanto accadrebbe nel moto di

blunt bodies in correnti supersoniche, lurto, non riuscendo a deviare il flusso, si distacca di una

quantit proporzionale alla differenza di quantit di moto aria-combustibile e allangolo di

iniezione. Tra i getti e londa durto si forma una stretta regione subsonica nella quale lo strato

limite separa con formazione di pi bolle di ricircolo attraverso le quali lidrogeno viene

trasportato a monte. Lestensione di separazione cos pronunciata da attribuirsi

allaccoppiamento di pi effetti: londa durto generata attraversa trasversalmente la camera di

combustione fino a collidere con la parete sottostante, i forti gradienti di pressione, modificano lo

strato limite stesso deformandolo. La deformazione interessa una regione pi estesa della zona di

collisione essendo a parete il regime di tipo subsonico. Lurto, penetrando nello strato limite, si

indebolisce e si incurva per effetto

della riduzione della velocit fino a

scomparire del tutto al di sotto del Mach

sonico; lincremento di pressione,

generato a valle di questo, favorisce

lispessimento (gradiente di pressione

avverso) e lo strato limite separa. La

corrente supersonica a monte vede di

conseguenza una graduale riduzione

della sezione di passaggio con

formazione di pi onde di compressione Fig.3.10: Schema semplificato di interazione dellaria con il getto di H2

che al di fuori dallo strato limite coalescono in un urto. Questo inevitabilmente interagisce con


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lurto di partenza e le rispettive riflessioni vanno a modificare nuovamente lo strato limite di

entrambe le superfici della camera. Lo schema di interazione, riportato in fig.3.10, mostra la

complessit del fenomeno, per cui da ogni urto che penetra nello strato limite se ne generano altri

due pi unonda di espansione.

Le figure 3.11(a), (b) e (c) forniscono una panoramica generale di quello che accade

dallinterazione dei getti con la corrente daria. Si noti che la scala in z stata modificata, in

particolare compressa, per consentire una visione totale dei vari fenomeni. Le pendenze delle onde

durto sono di norma inferiori, in accordo al basso rapporto di quantit di moto delle due correnti.

Il parametroj, definito come 22 su 2 , fornisce indicazioni riguardo la penetrazionedel getto di combustibile allinterno della corrente principale e per le nostre simulazioni pari a

0.51.

Fig.3.11:Isolivelli della Uz sul piano passante per il centro del 2 iniettore con sovrapposti i vettori di velocit (a); isolivelli sul medesimo piano

di densit (b) e pressione (c)

Laria al di fuori dello strato limite subisce una prima compressione a circa z = 20 mm in cui

pressione e densit salgono rapid

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