Les leçons de mathématiques à l'oral du CAPES...2015/12/21 · LES LEÇONS DE MATHÉMATIQUES À L’ORAL DU CAPES Recueil compilé par Clément BOULONNE Session CAPES 2013 Ce document

Les leccedilons dematheacutematiques agrave

lrsquooral du CAPES

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LES LECcedilONS DEMATHEacuteMATIQUES AgraveLrsquoORAL DU CAPES

Recueil compileacute par Cleacutement BOULONNE

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Table des matiegraveres

I Arithmeacutetique amp Algegravebre 7

16 Nombres premiers bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 9161 Introduction 9162 Nombres premiers deacutefinition 9163 Quelques proprieacuteteacutes sur les nombres premiers 9164 Recherche des nombres premiers 11165 Deacutecomposition en facteurs premiers 14166 Compleacutements 15

6 TABLE DES MATIEgraveRES

IArithmeacutetique amp Algegravebre

Nombres premiers deacutecompositiondrsquoun entier en produit de facteurs

premiers

ccedilo

Niveau Terminale S Speacute

Preacuterequisnotions drsquoarithmeacutetique diviseurs nombres entiers construction de N et Zcongruences le corps ZpZ quand p est premier

Reacutefeacuterences [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56]

161 IntroductionDans les classes de primaire ou de collegravege on peut demander aux eacutelegraveves lrsquoexercice suivant

laquo Compleacuteter les pointilleacutes 1 9 = times 2 15 = times 3 24 = times 4 7 = times

raquo On remarque que pour les trois premiegraveres questions il y a plusieurs possibiliteacutes pour compleacuteter lespointilleacutes alors que pour le dernier (le nombre 7) nous nrsquoavons qursquoune seule possibiliteacute 7 = 1 times 7Cette uniciteacute de compleacutetion permet de caracteacuteriser les nombres entiers selon leur nombre de diviseurs

162 Nombres premiers deacutefinitionDeacutefinition 161 Soit p ge 2 un nombre entier naturel On dit que p est un nombre premier si p admetexactement deux diviseurs distincts 1 et lui-mecircme

Exemples 162 1 7 est un nombre premier car il admet comme diviseurs 1 et 72 13 est un nombre premier car il admet comme diviseurs 1 et 133 9 nrsquoest pas un nombre premier car il admet trois diviseurs 1 3 et 9

1 La deacutefinition exclut 1 comme potentiel nombre premier il nrsquoa qursquoun seul diviseur distinct lui-mecircme2 Attention ne pas confondre nombre premier avec nombres premiers entre eux On dit que deux

nombres a et b sont premiers entre eux si PGCD(a b) = 1 ou ils nrsquoont comme plus grand diviseurcommun 1

163 Quelques proprieacuteteacutes sur les nombres premiersProprieacuteteacute 164 Lrsquoensemble des nombres premiers est un ensemble infini

bull Deacutemonstration mdash Soient p1 pn des nombres premiers et N = p1 times middot middot middot times pn On a

10 Leccedilon ndeg16 bull Nombres premiers

alors N + 1 = (p1timesmiddot middot middottimes pn) + 1 et quand on fait la division euclidienne de N + 1 avec pi(1 le i le n) on trouve comme reste 1 On peut donc affirmer que N + 1 est donc un nombrepremierOn peut donc agrave partir de n nombres premiers fabriquer un nouveau nombre premier Lrsquoen-semble des nombres premiers est donc un ensemble infini bull

Proprieacuteteacute 165 Soit n un entier supeacuterieur ou eacutegal agrave 2 n est premier si et seulement si n nrsquoa pas dediviseur premier infeacuterieur ou eacutegal agrave

radicn

bull Deacutemonstration mdash Soit n un entier supeacuterieur ou eacutegal agrave 2mdash On suppose que n est premier n admet alors exactement deux diviseurs 1 et n 1 est donc

le seul diviseur de n infeacuterieur ou eacutegal agraveradicn

mdash Reacuteciproquement on suppose que n nrsquoa pas de diviseur premier infeacuterieur ou eacutegal agraveradicn et

on montre (par un raisonnement par lrsquoabsurde) que n est premierSupposons que n nrsquoest pas premier Lrsquoensemble des diviseurs de n (dans N) autres que1 et n eacutetant non vide il admet un plus petit eacuteleacutement m On peut montrer que m est unnombre premier par un raisonnement par lrsquoabsurdeSupposons que m ne soit pas premier alors il aurait comme diviseur k avec 1 le k le mOr commem | n et que k | m on aurait k | n Ce qui est absurde car le plus petit diviseurde n est m m nrsquoa donc comme diviseurs 1 et m m est donc premierm divise n et m premier donc il existe un k tel que 1 lt m le k lt n et n = mk Commen = mk et 1 lt m le k lt n on en deacuteduit donc

1 lt mtimesm le mk hArr 1 lt m2 le n

Comme m gt 0 et n gt 0 on peut appliquer la racine carreacutee dans les deux membres delrsquoineacutegaliteacute m le

radicn Ce qui est absurde car n nrsquoa pas de diviseur premier infeacuterieur ou

eacutegal agraveradicn

Donc n est premierbull

Theacuteoregraveme 166 mdash Lemme drsquoEuclide Si un nombre premier p divise le produit de deux nombresentiers b et c alors p divise b ou c

bull Deacutemonstration mdash Si p ne divise pas a alors p et a sont premiers entre eux En utilisant lelemme de Gauss (voir remarque) on en deacuteduit que p | b bull

R 167 Le lemme de Gauss (ou theacuteoregraveme de Gauss en Terminale S) est une geacuteneacuteralisation du lemme drsquoEuclide laquo Soient a b et c des entiers relatifs non nuls Si p divise le produit bc et si a et b sont premiers entre euxalors a divise c raquo

164 Recherche des nombres premiers 11

bull Deacutemonstration du lemme de Gauss mdash Comme a divise bc il existe un entier k tel quebc = ka Comme a et b sont premeirs entre eux drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Beacutezout il existe desentiers relatifs u et v tels que au+ bv = 1En multipliant par c cette derniegravere eacutegaliteacute on obtient

c = acu+ bcv = acu+ kav = a(cu+ kv)

Comme (cu+ kv) est un entier cette eacutegaliteacute prouve que a divise c bull

164 Recherche des nombres premiers1641 Algorithme de primaliteacute

On donne un algorithme qui permet de deacuteterminer si un nombre est premier ou non Il est baseacute surle lemme suivant

Lemme 168 Un nombre n isin N 0 1 est premier si et seulement si il nrsquoadmet pas diviseurdiffeacuterent de plusmn et tel que d2 le n

bull Deacutemonstration mdash Si n admet un diviseur d tel que d2 le n ce diviseur nrsquoest pas trivial doncn nrsquoest pas premier Reacuteciproquement si n nrsquoest pas premier il srsquoeacutecrit d = np avec 1 le d le pdonc d le dp = n bull

Ce lemme permet de deacuteterminer un critegravere drsquoarrecirct dans un programme qui recherche si un entiernaturel n donneacute agrave lrsquoavance est premier ou pas

On donne un programme codeacute pour les calculatrices TI-82 et qui permet de deacuteterminer si unnombre est premier ou non

Nbprem(N)Prompt N2-gtI1-gtRIf N=0 or N=1ThenDisp NON PREMIERELseWhile I^2 lt= N and Rltgt0IpartDeacutec(NI)-gtRI+1-gtIEndIf Rltgt0ThenDisp PREMIERElseDisp NON PREMIEREndEnd

1642 Crible drsquoEratosthegraveneLe crible drsquoEratosthegravene permet drsquoobtenir par eacutelimination tous les nombres premiers infeacuterieurs agrave

un certain entier naturelOn va maintenant donner tous les nombres premiers de 2 jusqursquoagrave 100

1 On eacutecrit tous les nombres de 2 agrave 100

2 On entoure le premier nombre non barreacute (ici 2)

3 On barre tous les multiples du nombre entoureacute (jusqursquoagrave 100)

4 On entoure le nombre suivant qui nrsquoest pas barreacute

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Les nombres premiers entre 2 et 100 sont donc

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

On donne un algorithme qursquoon peut impleacutementer sur Xcas

renvoie la liste des nombres premierslt=n selon eratosthenecrible(n)=local tabprempjon ecrit dans trab la liste des entiers de 0 a ntab=makelist(x-gtx0n)1 nrsquoest pas premier donc on met 0 ds tab[1]tab[1]=0p=2

on barre les multiples de p qui sont compris entre pp et nen mettant 0 dans la case correspondantetantque (pplt=n) fairepour j de pp jusque n pas p fairetab[j]=0fpourp=p+1on cherche le premier element non barre dans tabtantque ((pplt=n) et (tab[p]==0)) fairep=p+1ftantqueftantqueon remplit la liste prem avec les elements non nuls de tabprem=[]pour j de 2 jusque n fairesi (tab[j]=0) alorsprem=append(premj)fsifpourretourne(prem)

1643 Des polynocircmes donnant des nombres premiers

Il y a des polynocircmes (plus ou moins simples) qui donnent en certaines valeurs de x des nombrespremiers

mdash Le polynocircme drsquoEuler P (x) = x2 + x+ 41 donne 40 nombres premiers conseacutecutifs

(on pourra veacuterifier que tous les nombres preacutesents dans la deuxiegraveme ligne du tableau sont desnombres premiers)

mdash P (x) = 47x2 +9xminus5209 (polynocircme de Fung 1988) fournit 43 nombres premiers conseacutecutifsde x = minus22 agrave x = 18

mdash P (x) = 36x2 + 18xminus 1801 (polynocircme de Ruby 1989) fournit 45 nombres premiers conseacute-cutifs de x = minus33 agrave x = 11

mdash P (x) = 16x4 + 28x3 minus 1685x2 minus 23807x + 110647 (polynocircme de Landau et Dress 2000)fournit 46 nombres premiers conseacutecutifs de x = minus23 agrave x = 22

R 169 Lrsquoexpression 40 (ou 43) nombres premiers conseacutecutifs ne signifie pas qursquoils soient conseacutecutifs dans lasuite des nombres premiers mais que 40 (ou 43) valeurs du polynocircme obtenues pour 40 (ou 43) valeursconseacutecutives de la variable sont des nombres premiers

165 Deacutecomposition en facteurs premiers1651 Theacuteoregraveme fondamental de lrsquoarithmeacutetique

Dans cette section on eacutenonce et on deacutemontre le theacuteoregraveme fondamental de lrsquoarithmeacutetique Cetheacuteoregraveme montre en particulier que chacun des eacuteleacutements de Z se deacutecompose en produit laquo drsquoeacuteleacutementsirreacuteductibles raquo (nombre premier et cette deacutecomposition est unique agrave permutations pregraves

Theacuteoregraveme 1610 mdash Theacuteoregraveme fondamental de lrsquoarithmeacutetique Pour tout n isin N 0 11 Il existe k nombres premiers naturels p1 p2 pk distincts deux agrave deux et des nombres

entiers non nuls α1 ak tels que

n = pα11 middot middot middot p

2 Il y a uniciteacute de cette deacutecomposition agrave lrsquoordre des facteurs pregraves Autrement dit

αkk = qβ1

1 middot middot middot qβkk

entraicircne k = m et lrsquoexistence drsquoune permutation σ de Nk = 1 k telle que qi = pσ(i)et βi = ασ(i) pour tout i

bull Deacutemonstration mdash

1 Existence la deacutemonstration de lrsquoexistence se fait par reacutecurrence sur n

Initialisation Si n = 1 alors n = 21

Heacutereacutediteacute Si n ge 2 alors n possegravede au moins un diviseur premier p on peut donc eacutecriren = pm avec m lt n Si m = 1 crsquoest fini Sinon on applique lrsquohypothegravese dereacutecurrence agrave m pour obtenir une deacutecomposition de n

2 Uniciteacute la deacutemonstration de lrsquouniciteacute se fait par reacutecurrence sur n

Initialisation Lrsquouniciteacute est eacutevidente si n = 2 puisque 2 = qβ11 middot middot middot qβm

m montre que qi | 2pour tout 1 le i le m ce qui impose drsquoavoir m = 1 q1 = 2 et β1 = 1

Heacutereacutediteacute Si lrsquouniciteacute est deacutemontreacutee jusqursquoau rang n on suppose que

n+ 1 = pα11 middot middot middot p

k = qβ11 middot middot middot qβm

avec α1 αk β1 βk isin Nlowast ougrave les p1 pk et q1 qm sont des nombrespremiers pk | qβ1

1 middot middot middot qβmm donc pk divise lrsquoun des qi et drsquoapregraves le lemme de Gauss

par exemple pk | qm Comme pk est premier cela entraicircne que pk = qm et

n+ 1pk

= pα11 middot middot middot p

αkminus1k = qβ1

1 middot middot middot qβnminus1n

On applique lrsquohypothegravese de reacutecurrence agrave cette deacutecomposition en distinguant deuxcas

(a) Si αk = 1 alors βm = 1 autrement qm diviserait lrsquoun des pi avec i 6= m ce quiest absurde

166 Compleacutements 15

(b) Si αk gt 1 alors βm gt 1 autrement pk diviserait lrsquoun des qi avec i 6= m Ce quiest encore absurde

1652 Nombre de diviseurs drsquoun nombre entierTheacuteoregraveme 1611 mdash Nombre de diviseurs drsquoun nombre entier Soit n un nombre naturel ge 2 se deacute-composant de la maniegravere suivante

n = Aa timesBb times Cc times middot middot middot

Le nombre τ(n) de diviseurs du nombre n se calcule de la faccedilon suivante

τ(n) = (a+ 1)times (b+ 1)times (c+ 1) middot middot middot

bull Deacutemonstration mdash On considegravere un entier n ge 2 et sa deacutecomposition en facteurs premiers

n = pα11 times middot middot middot times pαm

ougrave p1 pm sont des nombres premiers tels que p1 lt middot middot middot lt pm et α1 αm sont desentiers naturels non nulsSi d est un diviseur de n alors il existe k tel que dk = n On a alors (drsquoapregraves lrsquouniciteacute drsquoeacutecritureen facteurs premiers du nombre n)

d = pβ11 times middot middot middot times pβm

m et k = pγ11 times middot middot middot times pγm

avec 0 le βi le αi 0 le γi le αi et αi = βi + γi pour tout 1 le i le mIl y a donc (α1 + 1) choix pour β1 (α2 + 1) choix pour β2 (αm + 1) choix pour βmDrsquoougrave au total il y a (α1 + 1)times (α2 + 1)times middot middot middot times (αm + 1) diviseurs de n bull

Exemple 1612 Comme 1200 = 24 times 3times 52 le nombre de diviseurs de 1200 est eacutegale agrave

τ(1200) = 5times 2times 3 = 10times 3 = 30

La liste des diviseurs de 1200 est la suivante

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

166 Compleacutements1661 Theacuteoregraveme de Wilson

Dans cette section on admettra que pour p premier lrsquoensemble des eacuteleacutements inversibles de ZpZest (ZpZ)times =

1 2 pminus 1

et que ZpZ est un corps

Theacuteoregraveme 1613 mdash Theacuteoregraveme de Wilson Soit p un nombre premier Alors

(pminus 1) equiv minus1 (mod p)

bull Deacutemonstration mdash On a vu que (ZpZ)times =

1 2 pminus 1

On montre alors que (p minus1) equiv minus1 (mod p) Ceci revient agrave montrer que

1times 2times middot middot middot times (pminus 1) equiv minus1 (mod p)

ou aussi 1otimes 2otimes middot middot middot otimes pminus 1 = minus1

Dans le produit en regroupant chaque x avec sa classe inverse pour la multiplication (crsquoest-agrave-dire la classe xprime tel que xotimes xprime = 1) on obtient le produit des classes qui sont eacutegales agrave leurclasse inverse Le problegraveme revient donc agrave chercher les classes de x isin (ZpZ)times qui veacuterifiexotimes x = 1 on a

x2 = 1hArr x2 equiv 1 (mod p)hArr x2 minus 1 equiv 0 (mod p)hArr (xminus 1)(x+ 1) equiv 0 (mod p)hArr p | (xminus 1)(x+ 1)

Comme p est premier on a p | x + 1 ou p | x minus 1 crsquoest-agrave-dire x equiv 1 (mod p) ou x equiv minus1(mod p) Drsquoougrave x = 1 ou x = minus1 et

1otimes 2otimes middot middot middot otimes pminus 1 = 1otimesminus1 = 1timesminus1 = minus1

1662 Cryptage RSA

Deacutefinition 1614 mdash Indicatrice drsquoEuler Lrsquoindicatrice drsquoEuler est la fonction ϕ de lrsquoensemble Nlowast danslui-mecircme deacutefinie par

ϕ Nlowast rarr Nlowast

n 7rarr card(m isin Nlowast m le n et m premier avec n)

La meacutethode de codage que lrsquoon va deacutecrire dans cette section a eacuteteacute deacutecouverte en 1976 par troiscryptologues Ronald Rivest Adi Shamir et Leonard Adleman Elle est baseacutee sur le problegraveme suivant laquo Eacutetant donneacute un entier n il existe des algorithmes qui permettent de dire si m est premier raquo Parcontre il nrsquoexiste pas drsquoalgorithmes qui permet de donner la factorisation drsquoun entier en nombrepremier 1 On note X lrsquoemetteur du message et Y le destinataire Supposons que X veut envoyer lemessage

M laquo Deacuteclancher lrsquoopeacuteration rouge raquo

1 Crsquoest un problegraveme ouvert

X transforme M en chiffres selon les conventions suivantes

Ararr 01B rarr 02C rarr 03Z rarr 26ltespacegtrarr 27

ougrave ltespacegt repreacutesente lrsquoespace entre deux caractegraveres Y choisit deux nombres premiers p et q assezlong il calcule n = pq et

ϕ(n) = ϕ(p)ϕ(q) = (pminus 1)(q minus 1)

Y choisit un entier a compris entre 1 et ϕ(n) et a premier avec ϕ(n) Il calcule ensuite 1 lt x lt ϕ(n)tel que ax equiv 1 (mod ϕ(n)) Les valeurs de n et a sont publiques tandis que les valeurs de p q et xsont priveacutees On code ainsi M par

M = 040503 05

X laquo casse raquo le messageM en paquet M1M2 Mk tels que pour tout 1 le i le n PGCD(Mi n) =1 et 1 le Mi le n Il calcule ensuite (Mi)a (a eacutetant publique) et il considegravere le reste de la division

euclidienne de (Mi)a par n qursquoon note (Mi)a crsquoest-agrave-dire

(Mi)a equiv (Mi)a (mod n) 1 leMai le n

X envoie donc le message M = (M1)a(M2)a middot middot middot (Mk)a

Pour deacutecoder le message Y calcule pour chaque 1 le i le k ((Mi)a)x et tombe sur Mi Onmontre que

((Mi)a)x equivMaxi (mod n)

Or ax equiv 1 (mod ϕ(n)) crsquoest-agrave-dire il existe k isin N ax = 1 + kϕ(n) Donc

Maxi = M

1+kϕ(n)i = Mi times (Mk

i )ϕ(n)

Comme PGCD(Mi n) = 1 Mϕ(n)i equiv 1 (mod n) Donc

1663 Crible de MatiyasevitchMatiyasevitch (ou plus preacuteciseacutement Youri Matiyasevitch matheacutematicien russe contemporain neacute

en 1947) a deacutecouvert un crible qui donne les nombres premiers ge 4 gracircce agrave lrsquointersection de corde dela parabole y2 = x

Voici comment on construit le crible de Matiyasevitch On commence par tracer (dans un repegravereorthonormeacute) la parabole drsquoeacutequation y2 = x On place ensuite les points

mdash Ai(i2 i) pour tout i ge 2 entier mdash Bj(j2 minus j) pour tout j ge 2 entier

puis on trace les segments [AiBj ] pour tout 2 le i et 2 le j On obtient la figure suivante

On remarque que certains points de lrsquoaxe des ordonneacutees sont traverseacutes par les segments [Ai Bj ]Les abscisses qui ne sont pas coupeacutees par aucun segment sont des nombres premiers On peut donceacutenoncer la proposition suivante

Proposition 1615 Un nombre situeacute sur lrsquoaxe des abscisses nrsquoest pas premier si et seulement si undes segments [AiBj ] traverse lrsquoaxe des abscisses en ce point

Une deacutemonstration de cette proposition est donneacutee dans [56]

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I Arithmeacutetique amp Algegravebre

Nombres premiers

Introduction

Nombres premiers deacutefinition

Quelques proprieacuteteacutes sur les nombres premiers

Recherche des nombres premiers

Deacutecomposition en facteurs premiers

Compleacutements

premiers

ccedilo

radicn

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

i )ϕ(n)

Bibliographie

20 BIBLIOGRAPHIE

BIBLIOGRAPHIE 21

22 BIBLIOGRAPHIE

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24 BIBLIOGRAPHIE

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26 BIBLIOGRAPHIE

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Nombres premiers

Introduction





Compleacutements

premiers

ccedilo

radicn

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

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αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

i )ϕ(n)

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Nombres premiers

Introduction





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premiers

ccedilo

radicn

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

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81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

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αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

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Nombres premiers

Introduction





Compleacutements

premiers

ccedilo

radicn

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

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61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

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2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

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αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

i )ϕ(n)

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ccedilo

radicn

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

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81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

i )ϕ(n)

Bibliographie

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Nombres premiers

Introduction





Compleacutements

premiers

ccedilo

radicn

5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

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2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

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1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

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1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

i )ϕ(n)

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ccedilo

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5 Et ainsi de suite

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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αkk = qβ1

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1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

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5 Et ainsi de suite

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11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

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αkk = qβ1

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1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

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1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

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11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

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αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

1 2 pminus 1

1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

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31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

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αkk = qβ1

n+ 1pk

αkminus1k = qβ1

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 25 30 40 48 50 60 75

80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

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1662 Cryptage RSA

M = 040503 05

Maxi = M

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n+ 1pk

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80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

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M = 040503 05

Maxi = M

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αkk = qβ1

n+ 1pk

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80 100 120 150 200 240 300 400 600 1200

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M = 040503 05

Maxi = M

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M = 040503 05

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Maxi = M

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