CAPES Maths[chapter] [chapter]

2011-2012

Recueil compil par Clment B OULONNE

Prparation lcrit

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C

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prparation lcritrecueil compil par clmentBOULONNE

SOMMAIRE

1 Algbre 1.1 Algbre linaire lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exercices dalgbre linaire lmentaire . . . . . . . . . 1.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Exercices sur les espaces euclidiens . . . . . . . . . . . 1.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercices sur linversion et les coniques . . . . . . . . . 1.7 CAPES de Mathmatiques 1999 (2nde composition) . . 1.8 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Rappel sur les points singuliers dune courbe paramtre 1.10 Courbes dans le plan - Enveloppes . . . . . . . . . . . . 1.11 Nb. complexes, inversion, homographies . . . . . . . . . 2 Analyse 2.1 Fiche 1 2.2 Fiche 2 2.3 Fiche 3 2.4 Fiche 4 2.5 Fiche 5 2.6 Fiche 6 2.7 Fiche 7 2.8 Fiche 8 2.9 Fiche 9 2.10 Fiche 10

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7 8 11 13 18 20 25 27 31 32 34 35 37 38 40 42 44 46 49 51 53 55 59 63

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3 preuves dentrainement 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 preuve 1 preuve no 2 preuve no 3 preuve no 4 preuve no 5 preuve no 6 preuve no 7 preuve no 8 preuve no 9 no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 64 . 70 . 74 . 80 . 85 . 89 . 95 . 97 . 103

4 CAPES de Mathmatiques - Session 2012 111 4.1 Premire composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2 Seconde composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5 CAPES de Mathmatiques - Session 2013 121 5.1 Premire composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2 Seconde composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5

6

PA R T I E

Algbre

1

1

Algbre linaire lmentaireFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2009-2010. http://algmod. free.fr/capes/fiches.html 1 1 Espaces vectoriels, matrices Dans la suite, le corps de rfrence K est gal au corps, R, des nombres rels ou au corps, C, des nombres complexes. Revoir les dnitions et proprits suivantes. Espaces vectoriels. Sous-espaces vectoriels. Somme de sous-espaces vectoriels. Somme directe # # de sous-espaces vectoriels. Sous-espaces vectoriels. Espace vectoriel quotient E {F dun espace # # vectoriel E par un sous-espace vectoriel F . # Famille libre. Systme de gnrateurs. Base. Si E est de dimension n, toute famille libre de r # vecteurs peut tre complte en une base de E, les lments ajouts pouvant tre choisis dans # # # # # une base arbitraire de E. Lespace quotient vrie dim E {F dim E dim F . Applications linaires. Noyau et image dune application linaire. Le rang dune application # # linaire f est la dimension de lespace vectoriel image de f . Une application linaire est injec# tive si, et seulement si, son noyau est rduit t0u. lespace vectoriel image de f sidentie # # # # lespace vectoriel quotient par le noyau de f : Im f E { Ker f . # # # Si f : E F est une application linaire entre espaces vectoriels de mme dimension, nie, # # # alors f est injective si, et seulement si, f est surjective si, est seulment si f est bijective. # # # Espace vectoriel dual E dun espace vectoriel E. Base dual E dune base E de E. Transpos #T # # # # # f : F E dun homomorphisme f : E F . # # Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan si, et seulement si, il existe une forme linaire # # non nulle de E dont H est le noyau. #o # # # # # # Orthogonal V E dun sous-espace V de E. En dimension nie, dim V dim V o dim E. # # # Si f : E F est une application linaire entre espaces vectoriels de dimension nie, alors #T # #T # Ker f pIm f qo et Im f pKer f qo . # # # Matrice Mpf qE,E I dun homomorphisme f : E F relativement deux bases donnes E et # # # E I de E et de F respectivement. La matrice de la transpose de f relativement aux bases duales est la transpose Mpf qE,E I . # # # # # Si E pe1 , . . . , en q et E I peI , . . . , eI q sont deux bases de E, la matrice de passage de la base n 1 E la base E I est la matrice P paij q dnie par :n # # eI aij ei , j i 1

# Soit # E. La matrice colonne, X, des coordonnes de # dans la base E est la matrice colonne, v v I , des coordonnes de # dans la base E I sont relies par : X P X I , o P est la matrice de X v passage de E E I . # # # # Soit f : E E un endomorphisme de E, P la matrice de passage de E E I , A la matrice # # de f dans la base E et AI la matrice de f dans la base E I . Ces matrices satisfont lgalit AI P 1 AP . 1 2 Dterminants # # Une forme n-linaire sur un K-espace vectoriel E est une application f : E n K linaire # # # # par rapport chaque variable. Elle est symtrique si f pv p1q , . . . , v pnq q f pv1 , . . . , vq pour tout n # # # pv1, . . . , vq E n et toute transposition Sn, o Sn est le groupe des permutations dun ensemble n # # # # n lments. Dans ce cas, on a f pvp1q , . . . , vpnq q f pv1 , . . . , vq pour tout Sn . n # # # # # # La forme n-linaire f est antisymtrique si f p p1q, . . . , pnqq f pv1 , . . . , vq pour tout pv1 , . . . , vq n n #n E et toute transposition Sn . Cette dernire proprit quivaut tre alterne, cest--dire tre telle # # # # que f pv1 , . . . , vq 0 ds que deux composantes vi et vj , avec i $ j, sont gales. Une forme antisyn # , . . . , v q p qf pv , . . . , vq pour tout S de signature p q. # # # mtrique, f , vrie f pvp1q 1 n n pnq # Lespace vectoriel des formes n-linaires alternes sur un K-espace vectoriel E de dimension n # # # # # # # # est de dimension 1. Soit pv , . . . , vq E n . Si E pe , . . . , e q est une base de E et v n a e ,1 n 1 n j i 1

pour tout j

1, . . . , n.

ij i

8

PARTIE 1. ALGBRE

lexpression

# # detpv1 , . . . , vq nE

Sn

# dnit une forme n-linaire alterne sur E, appele dterminant dans la base E. Les dterminants dont deux bases E et E I vrient # # # # detpv1 , . . . , vq pdet E I q detpv1 , . . . , vq. n n IE E E

p qap1q,1q apnq,n

# # # Une famille de vecteurs pv1 , . . . , vq dun espace vectoriel E, de dimension n, forme une base si, et n # # seulement si, detE pv1 , . . . , vq $ 0. Le dterminant dune matrice carre est dni comme le dtern minant des vecteurs colonnes dans la base canonique de K n ; il vrie det A det AT . Soit A une matrice carre n n de vecteurs colonne Ai et X un vecteur colonne dni par X T px1 , . . . , xn q. Pour tout k 1, . . . , n, les matrices A, X et B AX vrient les formules de Cramer :

pdet Aqxk detpA1, . . . , Ak1, B, Ak1, . . . , Anq.Dans la pratique, un dterminant se calcule en dveloppant suivant une ligne ou une colonne. Si A paij q est une matrice n n, nous notons Aij la matrice obtenue partir de A en supprimant la ie ligne et la j e colonne et ij le dterminant de Aij . Le dterminant de la matrice A est reli ceux des matrices Aij par det A n j 1

La matrice des cofacteurs est la matrice A ayant pour lment en position pi, j q le terme p1qij ij . Elle vrie AAT AT A pdet AqIn , o In est la matrice identit dordre n. # # # # : E E est un endomorphisme de E, il existe une constante C # K unique vriant Si u u # # detp #pv1 q, . . . , #pvqq C # detpv1 , . . . , vq, u # u #n n uE E

p1qij aij ij p1qij aij ij .i 1

n

# # # # pour toute base E de E et toute famille pv1 , . . . , vq de E. Cette constante sappelle le dterminant de n lendomorphisme # et se note det #. Si A est une matrice de # relativement une base quelconque u u u E, alors det # det A. Ce dterminant vrie : u detp # #q pdet #qpdet #q, u v u v # pour tout couple p #, #q dendomorphismes de E. Il en dcoule det AB u v couple pA, B q de matrices n n.

pdet Aqpdet B q, pour tout

1 3 Valeur propre, vecteur propre # # # # Soit f : E E un endomorphisme dun K-espace vectoriel E de dimension nie n. Le scalaire # # est une valeur propre de f sil existe un vecteur # E, non nul, tel que f p #q #. Dans ce cas, v v v # le vecteur # est appel vecteur propre de f , associ la valeur propre . v # # # # Le polynme caractristique de f est le polynme P f pX q detp f X id E q. Il est de degr n et scrit # # # P f pX q p1qn X n p1qn1 ptrp f qqX n1 detp f q. # # Les valeurs propres de f sont les racines du polynme caractristique de f . Il y en a donc au plus n. # # # # # # Si est une valeur propre de f , le sous-espace V p f q Kerp f id E q, aussi not V sil ny a pas dambigut, est appel sous-espace propre associ la valeur propre . Si les valeurs propres # # 1 , . . . , m sont distinctes deux deux, le sous-espace V 1 V m est somme directe des sous# # espaces V 1 , . . . , V m . La multiplicit dune valeur propre est lentier mpq dni par# P f pX q pX

qmpqQpX q

avec Qpq $ 0. Il vrie 1 dim V pf q mpq. En rapportant K n sa base canonique, ces notions stendent aux matrices n n en considrant lendomorphisme de K n dni par les vecteurs colonne.1.1. ALGBRE LINAIRE LMENTAIRE 9

1 4 Diagonalisation, rduction la forme triangulaire # # # Un endomorphisme f est diagonalisable sil existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. Les proprits suivantes sont quivalentes : # f est diagonalisable ; # # il existe une base de E constitue de vecteurs propres de f ; # # # le polynme caractristique P f a toutes les racines dans K et dim V p f q mpq pour toute # racine de P f . # En particulier, un endomorphisme f , ayant n valeurs propres distinctes, est diagonalisable. # # Si le polynme caractristique de f a toutes ses racines dans K, il existe une base de E pour # laquelle la matrice associe f est triangulaire. Les lments diagonaux sont les valeurs propres. 1 5 Polynme annulateur # # # # Soit f : E E un endomorphisme dun K-espace vectoriel E de dimension nie n. tout # # # polynme QpX q l 0 ck X k K rX s, est associ lendomorphisme Qp f q l 0 ck f k de E, k k # # # # # # # # o f k : E E est dni par rcurrence avec f k f f k1 et f 0 id E . Cette opration vrie : # # # pa1 Q1 a2 Q2 qp f q a1 Q1 p f q a2 Q2 p f q, # # # pQ1 Q2 qp f q Q1 p f q Q2 p f q, pour tout Q1 , Q2 de K rX s et tout a1 , a2 de K.Cayley-Hamilton Thorme 1.1

# # # # Si P f est le polynme caractristique de f , alors P f p f q 0.

Si Q1 , . . . , Qp sont des polynmes premiers deux deux dans K rX s, de produit P # # la somme Ker Q1 p f q Ker Qp p f q est directe et vrie :p # # Ker Qi p f q. Ker P p f q i 1

Q1 Qp,

(La preuve de cette dernire proprit est lobjet de lexercice 11). 1 6 Dcomposition de Dunford # # Dans ce paragraphe, f est un endomorphisme de E, de valeurs propres 1 , . . . , p ayant pour multiplicits respectives m1 , . . . , mp . Nous supposons galement que le polynme caractristique de # f a toutes ses racines dans K, cest--dire# P f pX q p i 1

# Par dnition, le sous-espace caractristique de lendomorphisme f , relatif la valeur propre # # # # # i , est le noyau de p f i id E qmi , not Ni p f q. Les sous-espaces Ni p f q sont stables par f , de dimension mi , et vrient : p # # E Ni p f q . # Un endomorphisme # de E est nilpotent sil existe un entier k g nilpotence est le plus petit entier p tel que #p 0. gDcomposition de Dunfordi 1

pX iqm ,i

avec i

K.

0 tel que #k 0. Le degr de g

Thorme 1.2

# # # Lendomorphisme f scrit f h #, o : g # h est un endomorphisme diagonalisable de valeurs propres 1 , . . . , p ayant pour multiplicits respectives m1 , . . . , mp . # est nilpotent de degr de nilpotence infrieur ou gal au maximum des nombres mi , pour g i 1, . . . , p. # # # h h #. g g # # # Lendomorphisme diagonalisable h est dni par h p #q i #, pour tout # Ni p f q, et lenv v v # # domorphisme nilpotent # par # f h . g g

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PARTIE 1. ALGBRE

Exercices dalgbre linaire lmentaireFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2009-2010. http://algmod.free.fr/ capes/fiches.htmlEspaces vectoriels, matrices

6 Dterminer linverse de la matrice 1 1 A 1 1

1 Dterminer, suivant les valeurs de a, b et c, le rang du systme suivant de vecteurs de R3 : # # # v1 p0, c, bq, v2 pc, 0, aq, v3 pb, a, 0q. # 2 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n. # # Montrer lgalit suivante, pour tout couple pE1 , E2 q de # sous-espaces vectoriel de E, # # # # # # dimpE1 E2 q dimpE1 E2 q dimpE1 q dimpE2 q. 3 Soit C le R-espace vectoriel ramen la base p1, iq, de dual C HomR pC, Rq. 1. Dterminer la base duale de p1, iq. 2. Soit u u1 iu2 un nombre complexe non nul x. a. Soit f : C C lapplication dnie par f pz q uz. Montrer que f est un endomorphisme de C. Dterminer sa matrice et son dterminant. b. Soit A tz C, Repuz q 0u. Dterminer la dimension de A. En donner une base.

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 . 1 1

Valeurs propres et vecteurs propres

7 Diagonaliser 4 3 A 3

6 5 6

0 0 . 5

8 Dterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes et dire si elles sont diagonalisables.

A 0 1

1

d. Lespace vectoriel rel C est rapport la base duale de p1, iq. Dterminer la matrice de la transpose f T : C C de lapplication linaire f : C C.Dterminants

c. Soit Ao lorthogonal A, cest--dire le sous-espace de C constitu des formes linaires qui sannulent sur A. Dterminer une base de Ao .

B

1

1 45 1

1 1 0 1 1 1 0 1 1

0 1 1 1 1 1

C

0

2

0 . 3

A C 4 Soit M une matrice n n, constitue 0 B dune matrice p p note A, dune matrice pn pqpn pq note B et dune matrice p pn pq note C. Montrer que det M pdet Aqpdet B q. 5 Soit pt1 , . . . , tn q K n . Notons V pt1 , . . . , tn q le dterminant de la matrice : 1 t1 t2 1 1 t2 t2 2 Apt1 , . . . , tn q . . . . . . . . . 1 tn t2 n Montrer que V pt1 , . . . , tn q

# 9 Considrons lapplication linaire f : K n K n d# nie par f px1 , . . . , xn q px2 , . . . , xn , x1 q. # 1. Dterminer la matrice A de f relativement la base canonique de K n . Calculer le dterminant de A.

2. Dans cette question, nous posons K C. Dtermi# ner les valeurs propres de f et leur multiplicit. Quelle # conclusion peut-on en tirer sur f ?

3. Dans cette question, nous posons K # f est-elle triangulable ?

R. Lapplication

.. .

tn1 1 tn1 2 . . . tn1 n

# 10 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n et # # soit f et # deux endomorphismes de E, admettant chacun g # n valeurs propres distinctes deux deux. Montrer que f # # et # commutent si, et seulment si, f et g ont les mmes g valeurs propres. # 11 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n # # et soit f un endomorphisme de E. Soit Q1 , . . . , Qp des11

1 i j n

ptj tiq.

1.2. EXERCICES DALGBRE LINAIRE LMENTAIRE

polynmes premiers deux deux dans K rX s, de produit P Q1 Qp . Montrer quep # # Ker P p f q Ker Qi p f q. i 1

# 12 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n. # # # # 1. Soit f un endomorphisme de E tel que f 2 3 f # # 2 id E 0. Montrer que f est diagonalisable. # # # 2. Soit f tel que f 2 id E . Quelles sont les valeurs # # propres possibles de f ? Montrer que f est diagonalisable. # 13 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n. # Rappelons quun projecteur de E est une application li# # naire # : E E telle que #2 #. p p p # # un projecteur de E. Posons # id # #. 1. Soit p q p a. Montrer que Ker # Im #. q pE

# # # # 3. Soit # : E E E E dni par #pu, uq g g #1 #2 # # pu, uq. Dterminer le polynme minimal de #. Quel g 2 1 est son polynme caractristique ? # 4. Dmontrer que le polynme minimal de f divise son polynme caractristique. # 5. Montrer que toute valeur propre de f est racine de son polynme minimal. # 6. Montrer que f est diagonalisable si, et seulement si, son polynme minimal est scind et na que des racines simples. 7. Soit A une matrice inversible coefcients complexes et soit p un entier strictement positif. Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, Ap est diagonalisable. Donner deux exemples justiant que le rsultat est faux, pour les matrices relles dune part, et pour les matrices complexes non inversibles dautre part. 16 Considrons la matrice relle

b. En dduire la dcomposition en somme directe : # E Im # Ker #. p p # # # # 2. Supposons E de dimension nie et soit f : E E un # endomorphisme de E. Montrer que les conditions suivantes sont quivalentes : # # # a. E Im f Ker f , # # b. Im f Im f 2 . # # # 3. Construire une application linaire f : E E telle que # # # E Im f Ker f et qui ne soit pas un projecteur. # 14 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n et # soit # un endomorphisme nilpotent de E, cest--dire quil g existe k tel que #k 0. g 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de # ? g

3 4 0 4 5 2 A 0

0

0 0

3 2

2 4 2. 1

1. Dterminer le polynme caractristique de A ainsi que ses racines et leur multiplicit. 2. Dterminer les sous-espaces prores associs chaque valeur propre. 3. Calculer A2 . 4. a. Dterminer les sous-espaces caractristiques associs chaque valeur propre. b. En dduire la dcomposition de Dunford de A. # 17 Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Mon# # trer quun endomorphisme f de E est diagonalisable si, et # seulement si, tout sous-espace vectoriel de E possde un # supplmentaire stable par f .

2. Soit p le degr de nilpotence de #, cest--dire #p 0 g g et #p1 $ 0. g # a. Montrer quil existe # E tel que E # v v p #p1p #q, #p2p #q, . . . , #p #q, #q soit une fag v g v g v v

mille libre. # b. On note W # le sous-espace vectoriel engendr par v # # E # . crire la matrice de la restriction de # W # g v v dans la base E # . v # (Rappelons lexistence dune base de E dans laquelle la matrice de # a ses coefcients nuls sauf, ventuellement, les g termes ai,i1 situs au-dessus de la diagonale et qui sont gaux 0 ou 1, [1, Pages 212-216] pour une preuve). # # 15 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f # un endomorphisme de E.

1. Soit I lensemble des polynmes P K rX s tels que # P p f q 0. Montrer que I est un idal de K rX s. 2. En dduire lexistence dun unique polynme unitaire, # # # M f pX q, de degr minimum tel que M f p f q 0. Ce # polynme est appel polynme minimal de f .12 PARTIE 1. ALGBRE

3

Espaces euclidiensFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2009-2010. http://algmod. free.fr/capes/fiches.html Le corps de rfrence est le corps des nombres rels, R. 3 1 Formes bilinaires # Dans cette section, E est un sous-espace vectoriel de dimension nie n, de dual # E HomR pC, Rq. 1. Formes bilinaires # # Lensemble L2 pE q des formes bilinaires sur E est un espace vectoriel de dimension n2 . La matrice A dune forme bilinaire B relativement une base E # # pe1, . . . , enq est la matrice

Dnition 1.3

# # A pB pei , ej qq. # # Si X et Y sont les matrices colonne des composantes de # E et # E respectivement, alors x y B p #, #q X T AX. Si P est la matrice de passage de la base E la base E I , alors la matrice AI de la x y forme bilinaire B dans la base E I est donne par AI P T AP . # Lorsque lespace vectoriel E est rapport une base, les matrices servent reprsenter des tres # # diffrents comme les fromes bilinaires sur E et les endomorphismes de E. Il ne faut jamais perdre de vue ce que reprsente la matrice et bien remarquer que le comportement un changement de base de la matrice associe une forme bilinaire est diffrent de celui de la matrice associe un endomorphisme.Dnitions quivalentes du rang dune forme bilinaire

Dnition 1.4

# # # a. rang de lapplication linaire I : E E , # B p #, q, x x # # # # b. rang de lapplication linaire J : E E , x B p, #q, x # c. rang de la matrice associe B dans nimporte quelle base E de E.

2. Formes bilinaires symtriques # # Lensemble S2 pE q des formes bilinaires symtriques sur E est un espace vectoriel de dimen# # sion npn2 1q . Soit B S2 pE q. Deux lments # et # de E sont orthogonaux relativement B si x y # # B p #, #q 0. Lorthogonal de X E au sens de la forme bilinaire symtrique B, est x y Xu

3

A # # E, B p #, w q 0 pour tout w X . # # v v #

# # # # Par dnition, le noyau de B est lorthogonal de E. Il est not N pB q E u et vrie dim N pB q # # # # dim E rg B. Le forme B est dite non dgnre si lapplication linaire associe I : E E est un isomorphisme. Les conditions suivantes sont quivalentes : (i) la forme B est non dgnre ; 2 #@ (ii) le noyau de B est rduit 0 ; # (iii) le rang de B est gal la dimension de E ; # (iv) la matrice de B dans une base quelconque de E est inversible. # # # Soit B une forme bilinaire symtrique non dgnre sur E. Pour tout X E, on a : # # # (i) I pX u q X 0 , # # # # # (ii) dim X dim X u dim E, si X est un sous-espace vectoriel de E.13

Thorme 1.5

Thorme 1.6

1.3. ESPACES EUCLIDIENS

# # # # # En gnral, si X est un sous-espace vectoriel de E, on na pas X X u E mme pour une forme bilinaire symtrique non dgnre. Par exemple, la forme bilinaire B dnie sur R2 par B ppx1 , x2 q, py1 , y2 qq x1 y1 x2 y2

a les proprits suivantes : elle est non dgnre ; # # # # # le sous-espace X tpx1 , x2 q, x1 x2 u vrie X X u donc lintersection X X u nest 2 #@ pas rduit 0 . 2 #@ # # # Un sous-espace vectoirel X est dit non isotrope si X X u 0 . Si B est non dgnre et si # # # # # X est un sous-espace vectoriel non isotrope de E alors X X u E. # Un vecteur # E est dit isotrope si B p #, #q 0. Lensemble des vecteurs isotropes pour B est x x x 2 #@ # # un cne, not pB q. La forme bilinaire symtrique B est dite dnie si pB q 0 . # # On a toujours N pB q pB q. Ainsi, une forme bilinaire dnie est non dgnre. La rciproque est fause en gnral comme le montre lexemple ci-dessus. # La forme bilinaire symtrique B est dite positive si B p #, #q 0, pour tout # E. x x xIngalit de Schwarz

Toute forme bilinaire symtrique positive, B, vrieThorme 1.7

B p #, #q2 x y # # pour tout # E, et tout # E. x y

B p #, #qB p #, #q, x x y y

Thorme 1.8

# # Si la forme bilinaire symtrique B est positive, on a pB q N pB q. Pour une forme bilinaire symtrique, il y a donc quivalence entre non dgnre positive et dnie positive. 3 2 Formes quadratiques 1. Gnralits # Dans cette section, E est un espace vectoriel de dimension nie n, de dual # # E HomR pE, Rq. # Une application Q : E R est une forme quadratique sil existe une forme bilinaire symtrique # # B sur E telle que Qp #q B p #, #q, pour tout # E. La forme bilinaire B est appele forme x x x x polaire associe Q. Elle est dtermine par : 1 B p #, #q pQp # #q Qp #q Qp #qq. x y x y x y 2 Le carr dune forme linaire est une forme quadratique. # # # # Une fonction f : E R est dite polynomiale sil existe une base E pe1 , . . . , en q de E et un polynme de n variables, coefcients rels, pour lesquels on ait f p #q P px1 , . . . , xn q, pour P x # # # n x e E. Le degr du polynme P , ainsi que le fait quil soit homogne, sont des tout x i1 i i proprits indpendantes du choix de la base E. # Les formes quadratiques sur lespace vectoriel E sont les fonctions polynomiales homognes # de degr 2 sur E. Considrons une base, E # n y e . Alors, si # y i1 i i # # # # # pe1, . . . , enq, de E ainsi que deux lments de E, # n1 xi ei et x in i 1

Thorme 1.9

B p #, #q x y on a :

aii xi yi n i 1

1 i j n

aij pxi yj

xj yiq,

Qp #q x

aii x2 2 i

1 i j n

aij xi xj .

Les dnitions de rang, noyau, orthogonal, matrice. . . dune forme quadratique sont celles de la forme polaire associe.14 PARTIE 1. ALGBRE

2. Rduction de Gauss

# Dans ce paragraphe, Q est une forme quadratique sur E, de forme polaire associe B. # # # # # Une base E pe1 , . . . , en q de E est dite orthogonale si on a B pei , ej q 0, pour tout couple pi, j q # # avec i $ j. Une base orthonormale est une base orthogonale telle que B pei , ei q 1, pour tout i. # # #, . . . , e q est une base orthonormale de E, on a # n xx , e y e , pour tout # E. # # # # Si E pe1 x x n i i i i1 # Pour toute forme quadratique Q sur E, il existe n formes linaires indpendants l1 , . . . , ln et n constantes relles 1 , . . . , n telles que

Thorme 1.10

Qp #q 1 pli p #qq2 n pln p #qq2 , x x x # pour tout # E. x # Pour toute forme quadratique Q sur E, il existe une base E la forme quadratique Q scrit : # # # pe1, . . . , enq de E dans laquelle

Thorme 1.11

Qp #q 1 x2 n x2 , x 1 n # # # pour tout # x1 e1 xn en E. La base E est donc une base orthogonale pour Q. xLoi dinertie de Sylvester

# Pour toute forme quadratique Q, de rang r sur E, il existe un entier p ne dpendant que de Q # # # et une base E pe1 , . . . , en q de E dans laquelle la forme quadratique Q scrit : Qp #q x2 x2 x21 x2 , x 1 p p r # # # pour tout # x1 e1 xn en E. x

Thorme 1.12

Dnition 1.13

Le couple pp, r pq est appele signature de la forme quadratique Q. La forme quadratique Q est dnie positive si, et seulement si, elle a pour signature pn, 0q. 3 3 Espaces euclidiens # Un produit scalaire sur E est une forme bilinaire symtrique dnie positve. Un espace (vectoriel) euclidien est un R-espace vectoriel de dimension nie muni dun produit scalaire not x, y . # Dans cette section, pE, x, y q est un espace euclidien de dimension nie n et de norme euclidienne # associe dnie par # x #, #y, si # E. x x x x 1. Gnralits # # # Si X est un sous-espace vectoriel de pE, x, y q, il vrie pX u quIngalit de Cauchy-Schwarz

Crollaire 1.14

# # # # X et X X u E.

# # Pour tout # E et tout # E, on a x y |x #, #y| # x y x # . y

Thorme 1.15

Lgalit a lieu si, et seulement si, # et # sont colinaires. x y

Thorme de Pythagore Thorme 1.16

# Les vecteurs # et # de pE, x, y q sont orthogonaux si, et seulement si, x y # # x y2

# x

2

# y

2

.15

1.3. ESPACES EUCLIDIENS

Distance dun point un hyperplan Dnition 1.17

# # # Soit H un hyperplan et soit # H u , # $ 0. Pour tout # E, on a : a a y |x #, #y| a y # dp #, H q y # . a

Tout espace vectoriel euclidien de dimension n est isomtrique Rn . # # # Si pe1 , . . . , en q est une base quelconque de pE, x, y q, il existe une unique base orthonormale # # # pv1, . . . , vq de E vriant : n # # # # (i) pour tout i 1, . . . , n, les sous-espaces engendrs par pe1 , . . . , ei q et pv1 , . . . , vi q concident ; # # (ii) pour tout i 1, . . . , n, on a xei , vi y 0. 2. Endomorphismes symtriques # Si B est une forme bilinaire symtrique sur lespace euclidien pE, x, y q, il existe un unique # # endomorphisme uB de E tel queThorme 1.19 Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Thorme 1.18

# x y B p #, #q xuB p #q, #y , x y # # pour tout # E et tout # E. x y # Un endomorphisme # de pE, x, y q est symtrique si on a x #p #q, #y u u x y # # #, #q E E. px y

x #, #p #qy pour tout x u y

Thorme 1.20

Lendomorphisme # est symtrique si, et seulement si, il existe une forme bilinaire symu # trique B telle que # uB . u # Un endomorphisme de pE, x, y q est symtrique si, et seulement si, sa matrice dans une base orthonormale est symtrique. Les sous-espaces propres dun endomorphisme symtrique sont orthogonaux deux deux.Thorme spectrale

Thorme 1.21

Tout endomorphisme symtrique dun espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres. En consquence, toute matrice relle symtrique est diagonalisable avec une matrice de passage P vriant P T P I.

Thorme 1.22

# Si B est une forme bilinaire symtrique sur pE, x, y q, il existe une base orthogonale pour B. # # # Si X et Y sont deux sous-espaces vectoriels supplmentaires dun espace vectoriel F , on dnit # # # lafnit de base X, de direction Y et de rapport par #p # #q # #. Lorsque F est euclidien v x y x y # #u # et Y X , on parle dafnit orthogonale de base X et de rapport .

Thorme 1.23

# Tout endomorphisme symtrique de pE, x, y q est le produit dau plus n afts orthogonales.PARTIE 1. ALGBRE

16

3 4 Produit vectoriel # # # Lespace vectoriel R3 , rapport sa base canonique B pe1 , e2 , e3 q, est muni du produit scalaire xpx1, y1, z1q, px2, y2, z2qy x1x2 y1y2 z1z2. Rappelons que le dterminant, det : R3 R3 R3 # # # R est lunique 3-forme linaire alterne de lespace vectoriel R3 telle que detpe1 , e2 , e3 q 1.Dnition 1.24

# # # Le produit vectoriel de deux vecteurs v1 et v2 de R3 est lunique vecteur v1 #, v , w q xv v , w y, pour tout vecteur w de R3 . # # # # # # vriant detpv1 2 1 2

# v2 de R3

# # # # Si v1 px1 , y1 , z1 q et v2 px2 , y2 , z2 q sont les composantes de v1 et v2 dans la base B, le produit # v a pour composantes dans cette mme base : # vectoriel v1 2 # # v1 v2 py1 z2 y2 z1 , x2 z1 x1 z2 , x1 y2 x2 y1 q. # # # Pour tout triplet, pv1 , v2 , v3 q, de vecteurs de R3 et tout nombre , on a les proprits suivantes : # # # # # # # a. v1 pv2 v3 q v1 v2 v1 v3 . # v q v v v v . # # # # # b. pv1 2 1 2 1 2 # # # # c. v1 v2 v2 v1 . # # # # d. Si les vecteurs v1 et v2 sont linairement indpendants, le vecteur v1 v2 est orthogonal # # au plan contenant v1 et v2 . # # # # # e. Les vecteurs v1 et v2 sont lis si, et seulement si, v1 v2 0 . # # # # # # f. Si les vecteurs v1 et v2 sont linairement indpendants, alors pv1 , v2 , v1 v2 q est une base directe de R3 . # # # Pour tout triplet, pv1 , v2 , v3 q, de vecteurs de R3 , le produit vectoriel les galits suivantes. # pv v q xv , v y v xv , v y v , appele identit de Lagrange ou formule du # # # # # # # # a. v1 2 3 1 3 2 1 2 3 double produit vectoriel. # # # # # # # # # # b. v1 pv2 v3 q v2 pv3 v1 q v3 pv1 v2 q 0 , appele identit de Jacobi. # # # # # # c. v1 v2 2 v1 2 v2 2 xv1 , v2 y2 . # # # # Pour tout couple, pv1 , v2 q, de vecteurs linairement indpendants, on a v1 v2 # v sin , o r0 , s est dni par xv , v y v # # # # v cos . La norme v v # # # v1 1 2 1 2 1 2 2 # # est gale laire du paralllogramme construit sur les vecteurs v1 et v2 . 3 5 Complments Pour terminer, signalons que lespace vectoriel R4 peut tre muni dune loi de composition interne de la faon suivante : chaque lment de R4 pouvant scrire comme un couple px, #q dun nombre u rel x et dun vecteur # de R3 , on pose u

Proposition 1.25

Thorme 1.26

Proposition 1.27

px, #qpy, #q pxy x #, #y , x # y # # #q. u v u v v u u vLespace R4 , muni de cette loi interne, est un corps non commutatif. La formule du double produit vectoriel (cf. thorme 1.26) permet dtablir lassociativit de cette loi. Lexistence de cette structure de corps et le lien avec les groupes orthogonaux SOp3q et SOp4q sont lobjet de la deuxime composition de Mathmatiques du C.A.P.E.S. de 1984.

1.3. ESPACES EUCLIDIENS

17

Exercices sur les espaces euclidiensFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2009-2010. http://algmod.free.fr/ capes/fiches.html 1 Pour px, y, z q R3 , on pose : 1. Existence dune dcomposition

f1 px, y, z q x y, f3 px, y, z q y z.

f2 px, y, z q x 2z, Montrer que pf1 , f2 , f3 q est une base dual pR3 q de R3 . # # # trouver la base pv1 , v2 , 3 q de R3 dont pf1 , f2 , f3 q est la duale. 2 Illustrer le thorme 1.10, 1.11 et 1.12 avec les formes # quadratiques suivantes dnies sur E R3 , rapport sa base canonique. v 1. Qp #q x1 x2 x1 x3 x2 , 2 #q x x x x x x . 2. Qp v 1 2 1 3 2 3 3. Qp #q x2 x2 2x1 x2 2x2 x3 . Dterminer son noyau v # # 1 3 N . Soit F le sous-espace vectoriel de R engendr par le vecteur # p1, 1, 1q. Dterminer les sous-espaces e # # # # orthogonaux F u et pF u qu . Comparer F et pF u qu . # Dans le cas gnral dune forme dgnre Q de noyau N , on peut montrer (cf. [2, Page 132]) le rsultat suivant : soit # # # F un sous-espace vectoriel de E et F I un supplmentaire # # # #u u # #I de F N dans N , alors pF q F F . 3 Appliquer le procd dorthonormalisation de GramSchmidt aux bases suivantes de R3 : # # # 1. e1 p2, 0, 0q, e2 p2, 2, 0q et e3 p2, 2, 2q, # # # 2. f1 p2, 2, 0q, f2 p2, 0, 0q et f3 p2, 2, 2q. 4 C.A.P.E.S. 1995 Cet exercice est extrait de la deuxime composition de Mathmatiques de C.A.P.E.S. de 1995. Lespace Rrn sera muni de sa structure canonique despace euclidien, sa base # # # canonique sera note B pe1 , e2 , . . . , en q et la norme eucli# sera note # . Relativement une dienne dun lment x x # (resp. #, etc.) de R sera reprsent base xe, un lment x y par la matrice colonne X (resp. Y , etc.) de ses coordonnes xi (resp. yi , etc.). toute matrice symtrique relle A, de terme gnral aij , on associera la forme bilinaire symtrique A dnie sur lespace euclidien Rn , rapport sa base canonique B, par : dp #, #q RnRn, p #, #q X T AX x y x y a xy.A 1 i n 1 j n

a. Dmontrer quune matrice A appartient Sn pRq si, et seulement si, il existe une matrice inversible M telle que A M T M (On pourra diagonaliser A pour tablir la condition ncessaire).# # # b. Soit V pv1 , v2 , . . . , vq la famille des vecteursn colonnes dune matrice inversible M . Justier que # # # V est une base de Rn . Soit W pw, w, . . . , wq 2 n 1 la base orthonormale obtenue par application la base V du procd dorthonormalisation de Schmidt. Dmontrer que la matrice de passage T de la base W la base V est triangulaire suprieure. c. Dduire de ce qui prcde que toute matrice A ap partenant Sn pRq peut scrire sous la forme T T T avec T une matrice triangulaire suprieure inversible. 2. Algorithme de dcomposition Lespace Rn est rapport sa sa base canonique. Soit A un lment de Sn pRq de terme gnral aij . a. Dmontrer quil est quivalent de trouver une matrice triangulaire suprieure inversible T telle que A T T T et de trouver une criture de la forme quadratique QA de la forme :

d # Rn, xavec tii b.

QA p #q x

1 i n

2

1 j n

tij xj

et on note x la projection sur Rn1 dun lment # x n . Dmontrer que, si a de R 11 0 et si on pose tij a1j ca , pour j

0 pour tout i t1, 2, . . . , nu. Pour n 2 on identie Rn avec le produit R Rn1 # t1, 2, . . . , nu,

11

ij i i

il existe une unique matrice A lment de Sn1 pRq telle que

On notera QA la forme quadratique associe A . Dans lalgbre des matrices carrs relles n lignes et n colonnes, on notera Sn pRq le sous-espace vectoriel des matrices sy mtriques et Sn pRq le sous-ensemble des matrices symtriques A telles que la forme quadratique QA soit dnie positive.18

d # Rn, x

QA p #q x

2

1 j n

tij xj

QAp #q. x

Dmontrer que, si A appartient Sn pRq, alors A pRq. existe et appartient Sn1PARTIE 1. ALGBRE

c. On considre lalogirthme suivant : Entres : Matrice A ; initialisation A1 : A ; dbut for k 1, . . . , n 1 do si le terme de la premire ligne, premire colonne, de Ak est strictement positif, alors Ak1 : Ak n Algorithme 1 : Algorithme de dcomposition

# 1. Dans cette questions, nous choissisons E R3 . Soit # x v x v x v , nous notons X la matrice # # # v 1 1 2 2 3 3 colonne constitue des xi . a. Dmontrer les galits matricelles : # # x v1 , v y # v # # # i. Gram pv1 , v2 , v3 qX xv2 , #y # v xv , #y ii. X T Gram # # # pv1, v2, v3qX

3

# 2 . v

0 si, et

# # # b. En dduire que Gram pv1 , v2 , v3 qX

0

Dmontrer que A appartient Sn pRq si, et seulement si, lalgorithme sarrte pour k n (dans le sens o il neffectue plus la condition) avec lunique terme de An strictement positif. Dmontrer quon a alors dtermin une dcomposition A T T T avec T triangulaire suprieure.5 Distances une droite et un plan dans lespace (afne) R3 1. Soit pq la droite passant par le point A et de vecteur directeur #. Montrer que la distance dun point M la u droite pq est donne par : dpM, q # AM # u . # u

0 # #. seulement si v 0 # # # c. Montrer que Gram pv1 , v2 , v3 q est inversible si, et # # # seulement si, la famille pv , v , v q est libre.1

d. Soit B la base canonique de les galits : # # # # # # i. |detB pv1 , v2 , v3 q| Grampv1 , v2 , v3 q. # # # # ii. v v Grampv , v q.1 2 1 2

2 3 R3 . tablir

Si la droite a pour quation ax by c 0 et le point M a pour coordonnes pxM , yM q dans un plan muni dun repre orthonorm, retrouver la formule : dpM, q |axM

c2 byM2 c| . a b

2. Soit P le plan passant par le point A de vecteurs direc# # teurs v1 , v2 . Montrer que la distance dun point M au plan P est donne par : dpM, P q # # # detpAM , v1 , v2 q . # # v v1 2

2. Le but de cette question est de gnraliser un espace # euclidien E, de dimension nie n,n les principaux rsultats tablis dans la premire question. # # a. Montrer que Grampv1 , . . . , vq 0 si, et seulement n # # si, les vecteurs vi E sont lis. # # b. Soit # E et F le sous-espace vectov # # riel engendr par les vecteurs pv1 , . . . , vm q de # # suivant la somme diE. On dcompose v # # #I #P recte F F u en # v v v # #u #, v , . . . , v q # # F F . Montrer que Grampv1 2 m #P 2 Grampv , . . . , v q. # # v 1 m # #, . . . , vq des vecteurs de E. On rapporte # c. Soit pv1 n # # # E une base orthonormale pe1 , . . . , en q et on # # # note f : E E lapplication linaire dnie par # # # f pe q v . Montrer quei i

# # # Grampv1 , . . . , vq detp f q . n

Si le plan P a pour quation ax by cz d 0 et le point M pour coordonnes pxM , yM , zM q, retrouver la formule : dpM, P q |axM

c byM czM d| . a2 b2 c2

6 Dterminants de Gram La premire question est extraite de la deuxime composition de Mathmatiques de C.A.P.E.S. de 1993. La matrice # # de Gram dune famille pv1 , . . . , vq de vecteurs dun espace n # euclidien E de dimension nie est la matrice de terme gn# # # # ral pvi , vj q. Elle est not Gram pv1 , . . . , vq. Le dterminant n de Gramm est le dterminant de cette matrice ; il est not # # Grampv1 , . . . , vq. n1.4. EXERCICES SUR LES ESPACES EUCLIDIENS 19

5

ConiquesFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2009-2010. http://algmod. free.fr/capes/fiches.html 5 1 Dnition gomtrique Considrons une droite pDq et un point F pDq. Lensemble pP q des centres M des cercles tangents la droite pDq et passant par pF q est une parabole. En notant H la projection orthogonale du point M sur la droite pDq, nous avons donc M H M F si et seulement M pP q. Une parabole est ainsi lensemble des points M gale distance du point F et de la droite pDq. La droite pDq est appele la directrice et le point F le foyer de la parabole. Considons maintenant un cercle pC I q, de centre F I et de rayon 2a, ainsi quun point F pC I q. Lensemble pq des centres M des cercles pCM q passant par le point F et tangents au cercle pC I q est appel conique centre. Si le point F est extrieur (resp. intrieur) au cercle pC I q, la conique est appele hyperbole (resp. ellipse). Notons 2c la longueur du segment rF F I s ; la quantit e c{a est lexcentricit de la conique. Elle est strictement suprieure 1 dans le cas dune hyperbole et strictement infrieure 1 dans le cas dune ellipse. Le cercle pC I q est appel cercle directeur de la conique pq ; les points F et F I sont les foyers et la droite pF F I q laxe focal. Laxe non focal est la droite perpendiculaire pF F I q passant par le milieu O du segment rF F I s. Soit pq une conique centre, de centre directeur pC I q, de foyer F et dexcentricit e, nous notons pDq laxe radical du cercle pC I q et du cercle-point F . Alors la conique pq est lensemble des points M tels que MF e, MH o H est la projection orthogonale de M sur la droite pDq. La conique pq est donc caractrise par la droite pDq, le point F et le nombre rel positif e. La droite pDq est appele directrice de pq et, par dnition, le cas e 1 correspond la parabole. Notons la distance du foyer F la directrice pDq et p e. Soit || la distance de F un point M de la conique pq, lgalit M F eM H quivaut p 1 e cos

Thorme 1.28

qui est lquation polaire pq, avec les conventions usuelles de notation. Si pq est une conique de foyer F et de directrice pDq, la tangente pq en un point M pq, non situ sur laxe focal, coupe la directrice pDq en un point M I tel que les droites pM F q et pM I F q soient orthogonales. 5 2 Ellipse Dans cette section, nous considrons une ellipse pq dnie par le cercle pC I q, de centre F I et de rayon 2a, et par le point F pC I q, intrieur au cercle directeur pC I q. Notons 2c la longueur F F I , e c{a 1 lexcentricit, pDq la directrice de pq et O le milieu du segment rF F I s.Thorme 1.29

Lellipse associe au cercle directeur pC I q et au foyer F est lensemble des points M tels que M F M F I 2a. Notons H1 et H2 les deux points du cercle pC I q situs sur laxe focal ainsi que A (resp. AI ) le milieu du segment rF H1 s (esp. rF H2 s). Lellipse pq coupe laxe focal aux deux points A et AI , symtriques par rapport au milieu O du segment rF F I s et extrieurs ce segment. Le cercle de diamtre rAAI s est appel cercle principal de pq. Il est limage du cercle directeur pC I q par lhomothtie de centre F et de rapport 1{2. nnnnni

Thorme 1.30

Lellipse associe au cercle directeur pC I q et au foyer F est limage du cercle prinicipal par lafnit orthogonale daxe la droite pF F I q et de rapport b{a.PARTIE 1. ALGBRE

20

Lellipse pq coupe laxe non focal en deux points B et B I , symtriques par rapport au milieu O de rF F I s. Notons b la longueur du segment OB ; nous avons a2 b2 c2 . Soit pq une droite quelconque du plan. Notons F1 le symtrique de F par rapport la droite pq. Alors : si F1 est lintrieur du cercle pC I q, la droite pq coupe lellipse pq en deux points, si F1 pC I q, la droite pq coupe lellipse pq en un seul point, si F1 est lextrieur du cercle pC I q, lintersection de la droite pq et de lellipse pq est vide. # # Choisissons un repre orthonorm du plan, o O est le milieu du segment rF F I s, e1 (resp. e2 ) un vecteur directeur unitaire de laxe focal (resp. de laxe non focal). # # Dnas le repre pO, e1 , e2 q, lellipse pq est lensemble des points M du plan, de coordonnes px, yq vriant : x2 y 2 b2 1. a2 Soit M un point de lellipse pq, notons H le point de contact du cercle de centre M et de rayon M F avec le cercle directeur pC I q. La tagente en M pq est la mdiatrice du segment rF H s. Cest # # aussi la perpendiculaire en M la bissectrice de langle pM F , M F I q. 5 3 Hyperbole Dans cette section, nous considrons une hyperbole pq dnie par le cercle pC I q, de centre F I et de rayon 2a, et par le point F pC I q, extrieur au cercle directeur pC I q. Notons 2c la longueur F F I , e c{a 1 lexcentricit, pDq la directrice de pq et O le milieu du segment rF F I s.Thorme 1.33

Proposition 1.31

Thorme 1.32

Lhyperbole associe au cercle directeur pC I q et au foyer F est lensemble des points M tels que |M F M F I | 2a. Notons H1 et H2 les deux points du cercle pC I q situs sur laxe focal ainsi que A (resp. AI ) le milieu du segment rF H1 s (resp. rF H2 s). Lhyperbole pq coupe laxe focal aux deux points A et AI , symtriques par rapport au milieu O du segment rF F I s et appartenant ce segment. Le cercle de diamtre rAAI s est appel cercle principal de pq. Il est limage du cercle directeur pC I q par lhomothtie de centre F et de rapport 1{2. Lintersection de lhyperbole et de laxe focal est vide. Par analogie avec le cas de lellipse, nous introduisons le nombre rel positif b dni par a2 b2 c2 . Le point F tant situ lextrieur du cercle directeur pC I q, on peut tracer les deux tangentes pC I q issues de F ; notons K1 et K2 leur point de contact avec pC I q. Il est facile de constater quil nexiste pas de cercle passant par F et tangent pC I q en K1 ou en K2 . Les droites pF K1 q et pF K2 q sont tangentes I I I I au cercle principal ; notons K1 et K2 les points de contact respectifs. Les droites pOK1 q et pOK2 q sont les asymptotes de lhyperbole pq. # # # Choisissons un repre orthonorm pO, e1 , e2 q du plan, o O est le milieu du segment rF F I s, e1 #) un vecteur directeur unitaire de laxe focal (resp. de laxe non focal). (resp. e2 # # Dans le repre pO, e1 , e2 q, lhyperbole pq est lensemble des points M du plan, de coordonnes px, y q vriant : x2 y 2 b2 1. a2 Choisissons comme repre pO, #, #q, o # et # sont des vecteurs directeurs unitaires des asympu v u v totes.

Thorme 1.34

Thorme 1.35

Dans le repre pO, #, #q, lhyperbole pq est lensemble des points M du plan, de coordonu v nes pX, Y q vriant 4XY c2 .21

1.5. CONIQUES

Soit M un point de lhyperbole pq, notons H le point de contact du cercle de centre M et de rayon M F avec le cercle directeur pC I q. La tangente en M pq est la mdiatrice du segment rF H s # # et la bissectrice de langle pM F , M F I q. 5 4 Parabole Dans cette section, nous considrons une parabole pP q dnie par la droite pDq et par le point pDq. Notons HF la projection orthogonale de F sur pDq et p la longueur du segment rHF F s. # # # Choisissons comme repre orthonorm pO, e1 , e2 q, o O est le milieu du segment rHF F s, e1 (resp. #) est un vecteur directeur unitaire de la droite pH F q (resp. la droite perpendiculaire pH F q). e2 F F FThorme 1.36

# # Dans le repre pO, e1 , e2 q, la parabole pP q est lensemble des points M du plan, de coordonnes px, y q vriant y 2 2px. Soit M un point dune parabole pP q, notons H la projection orthogonale de M sur la directrice. # # La tangente en M pP q est la bissectrice de langle pM F , M H q et la mdiatrice du segment rF H s. 5 5 Sections dun cne Considrons un cne de rvolution pC q, de sommet S, daxe pSz q et dangle au sommet 2 r0 , r. Coupons le cne pC q par un plan pq faisant avec laxe pOzq un angle (aigu) . Supposons S pq et notons pq lintersection de pC q et de pq. La courbe pq est une conique. Plus prcisment, lintersection du cne pC q et du plan pq est une ellipse si , une parabole si , une hyperbole si . Si S pq, il est facile de voir que lintersection du cne pC q et du plan pq est constitue de deux gnratrices du cne si , une gnratrice du cne si , rduite au point S si . 5 6 Courbes algbriques de degr 2 1. Classication afne relle Soit le plan afne rel muni dun repre afne. On appelle conique lensemble pq des points M , de coordonnes px, y q telles que px, y q 0 o est un polynme rel, non nul, du second degr, cest--dire : px, y q ax2 2bxy cy 2 2dx 2ey f. Considrons la matrice associe la conique : a b d b c e . M pq d e f Cette matrice M pq, tant symtrique relle, admet 3 valeurs propres relles. Si k (resp. l) dsigne le nombre de valeurs propres strictement positives (resp. ngatives), la somme r k l est le rang de la matrice M pq. La loi dinertie de Sylvester nous dit que le couple pk, lq ne dpend pas du repre choisi. Lensemble pq tant galement obtenu partir du polynme , seule la paire tk, lu est une constante de pq indpendante du repre choisi ; on lappelle signature de la conique pq. Lintroduction prcdente peut aussi tre mene sans rfrence un repre afne. Soit O un point du plan pq. Un polynme de degr 2 est donn par # # pM q q pOM q lpOM q c,

Thorme 1.37

Dnition 1.38

22

PARTIE 1. ALGBRE

o q est une forme quadratique non nulle, l une forme linaire et c une constante. Un calcul montre que la forme quadratique q nest pas modie si on change de point de rfrence O. La conique pq est alors dnie comme lensemble des points M tels que pM q 0. La seule tude de la forme quadratique q px, y q ax2 2bxy cy 2 est insufsante pour rendre compte de la nature de la conique. En effet, nous constatons que : lquation xy 0 correspond deux droites avec une forme quadratique q non dgnre, lquation x2 0 correspond une droie avec une forme quadratique q dgnre, lquation x2 y 2 1 0 correspond un cercle avec une forme quadratique q non dgnre, lquation x2 y 0 correspond une parabole avec une forme quadratique q dgnre. # # Pour tudier la conique pq, nous homognisons donc le polynme pM q q pOM q lpOM q c en # # QpM, tq q pOM q lpOM qt ct2 . Par dnition, la conique associe est propre si la quadrique QpM, tq est non dgnre dans R. Cette dnition ne dpend pas du choix du point O ; elle prend tout son sens dans lespace projectif associ au plan afne, cf. [3, Page 200]. Dans la pratique, nous procdons ainsi. Soit pq le dterminant de la matrice M pq et 0 pq la quantit, 0 pq ac b2 . 1. Si r

2.

3, le dterminant pq est non nul et la conique pq est propre ou non dgnre. (a) Si 0 pq 0, la conique pq est une ellipse. Elle a des points rels si sa signature est t2, 1u et nadmet pas de points rels si sa signature est t3, 0u. (b) Si 0 pq 0, la conique pq est une parabole. (c) Si 0 pq 0, la conique pq est une hyperbole. Si r 2, nous avons pq 0 et la conique est dgnre. (a) Si 0 pq 0, la conique pq est dcompose en deux droites imaginaires concourantes etconjugues. Elle na quun seul point rel, le point dintersection des deux droites. (b) Si 0 pq 0, la conique pq est constitue de deux droites distinctes et parallles. Les droites sont relles si la signature est t1, 1u et imaginaires si la signature est t2, 0u. (c) Si 0 pq 0, la conique pq est constitue de deux droites relles concourantes.

3. Si r

1, nous avons pq 0pq 0. La conique pq est une droite relle.

2. Dtermination des centres et des axes

# # Soit le plan afne euclidien muni dun repre orthonorm pO, e1 , e2 q. Nous supposons maintenant que la conique pq associe au polynme est non dgnre.

Dtermination dun centre ventuel Supposons que la conique pq admette un centre de symtrie # # de coordonnes px0 , y0 q dans le repre pO, e1 , e2 q. Remarquons que lquation de pq dans le #, e q na pas de termes de degr impair, donc pas de terme du premier degr. Ainsi, # repre p, e1 2 sil existe, le centre a pour coordonnes les solutions du systme5

ax0 by0 d 0 bx0 cy0 e 0

.

En rsum, si 0 pq ac b2 $ 0, la conique pq admet un centre. Si 0 pq 0, la conique est une parabole comme nous lavons dj crit. Dtermination des directions asymptotiques ventuelles Les pentes des directions asymptotiques sont les racines de lquation cm2 2bm a 0. 1. Si 0 pq ac b2 0, la courbe pq admet deux directions asymptotiques. Rappelons que, dans ce cas, pq est une hyperbole. 2. Si 0 pq ac b2 0, la courbe pq a une seule direction asymptotique. Rappelons que, dans ce cas, pq est une parabole.

3. Si 0 pq ac b2 0, la courbe pq na pas de direction asymptotique. Rappelons que, dans ce cas, pq est une ellipse.1.5. CONIQUES 23

Dtermination de lquation rduite de la conique partir de la forme quadratique q px, y q b ax2 2bxy cy 2 associe Notons M pq q a c la matrice associe. Sagissant dune b matrice symtrique relle, elle est diagonalisable dans une base orthonormale p #, #q de vecteurs u v propres. Dans cette nouvelle base, la forme quadratique q scrit q pX, Y q 1 X 2 2 Y 2 . 1. Si 0 pq 0, la conique est une parabole. Les valeurs propres de la matrice sont pa cq et 0. Dans le repre pO, #, #q, lquation de la conique pq devient u v

2.

pa cqX 2 2dIX 2eIY f I 0. Il existe un repre pOI , #, #q, obtenu par translation du prcdent, dans lequel lquation u v I2 2pX I . de la conique pq est Y Si 0 pq $ 0, la conique est une ellipse (cas o 0 pq 0) ou une hyperbole (cas o 0 pq 0). Dans le repre pO, #, #q, lquation de la conique pq deivnet : u v 1 X 2 2 Y 2 2dI X 2eI Y f I 0. En faisant une translation du repre au centre de la conique, lquation de pq devient 1 X I2 2 Y I2 f P .ax2 2bxy cy 2 2dx 2ey f

quation de la tangente en un point A dune conique Si

0

# # est lquation de la conique pq dans un repre pO, e1 , e2 q quelconque, lquation de la tangente en un point A px0 , y0 q pq est

pax0 by0 dqpx x0q pcy0 bx0 eqpy y0q 0.Ce bref resum des dnitions et proprits des coniques peut tre complt par [3], [4], [5] et [6].

24

PARTIE 1. ALGBRE

Exercices sur linversion et les coniquesFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2009-2010. http://algmod.free.fr/ capes/fiches.htmlInversion

Soit P un plan afne euclidien rapport un plan or# # thonorm pO, e1 , e2 q et soit k un nombre rel non nul. On appelle inversion de ple O et de puissance k, lapplication : IO,k : P z tOu M

3. Si k 0, montrer que pour tout cercle passant par deux points inverses lun et lautre est orthogonal au cercle dinversion. 4. On se donne deux ensembles de points :2 @ F I AI , AI , . . . , AI1 2 l

e#

P z tOu MIi

F

tA1, A2, . . . , Al u

# tel que O, M et M I sont aligns et OM I , OM k. On ajoute au plan P un point linni, V, et on note p p P P tVu. Par dnition, une droite de P est une droite du plan P laquelle on a ajout le point linni. Linp p version IO,k stend en une application IO,k : P P par IO,k pOq V, IO,k pVq O. Une similitude h de P est p p galement prolonge en une application de P dans P par hpVq V. 1 Montrer que la compose de deux inversions de mme pole O est une homothtie de centre O. En dduire que lon peut toujours dcomposer une inversion IO,k en un produit hO, IO,kI o hO, est une homothtie de centre O et de rapport et IO,kI est une inversion de ple O dont on peut xer arbitrairement la puissance k I . 1. Supposons k 0 et soit pq une droite situe la disc tance k de O. Dterminer limage de pq par cette inversion. 2. En dduire limage dune droite quelconque par une inversion. (On distinguera le cas o la droite passe par le ple de linversion.) 3 Soit IO,k une inversion. 2 Soit IO,k une inversion.

tels que, pour tout couple pi, j q, les points Ai , Aj , AI i et AI sont cocyliques. Montrer quil existe une inverj sion ou rexion, I, telle que I pAi q AI , pour tout i i 1, . . . , l. 5 On considre le plan afne euclidien P identi C. 1. Donner des conditions ncessaires et sufsantes sur les nombres complexes a, bet le nombre rel c pour que b. zz az bz c 0 soit lquation dun cercle. a. az bz c 0 soit lquation dune droite,

2. Montrer que la transformation N : z 1{z, dnie sur P z t0u, conserve lensemble des cercles et des droites. 3. a. Soit IO,1 linversion de centre O et de puissance 1. Si z est lafxe de M , dterminer lafxe de z I de M I IO,1 pM q. b. Soit IA,k linversion de centre A et de puissance de k. Si z est lafxe de M , dterminer lafxe z I de M I IA,k pM q. c. Retrouver le fait quune inverse conserve lensemble des cercles et des droites.Reconnatre une conique partir dune quation

2. Soit pC q un cercle tel que la puissance du point O par rapport pC q soit gale k. Dterminer limage de pC q par IO,k .

1. Supposons k 0, dterminer un cercle invariant point par point par IO,k . On lappelle cercle dinversion.

# # pO, e1, e2q.

Le plan afne P est rapport un repre orthonorm

6 Montrer que la courbe dnie par x2 y 2 2xy 2x y 1 0 est une parabole. On en donnera une quation rduite dans un repre appropri et on exprimera son foyer, sa directrice, # # son axe et son sommet dans le repre pO, e1 , e2 q de rfrence. 7 Dterminer la nature des courbes suivantes et en donner une quation rduite dans un repre appropri : 2. x2 4xy 3y 2 2x 2y 5 0, 1. 2x2 4xy 5y 2 4x 8y p4{3q 0,

3. En dduire limage dun cercle quelconque par une inversion (On distinguera le cas o le cercle passe par le ple dinversion.) 4 On se donne deux points M et N et leurs images respectives M I et N I par linversion IO,k .

1. Dterminer la longueur M I N I en fonction de O, M et N.

2. Si M , N , M I , N I ne sont pas aligns, montrer quils sont situs sur un mme cercle.

3. 4x2 5xy y 2 3x 3y

0.

1.6. EXERCICES SUR LINVERSION ET LES CONIQUES

25

8 Soit p, q un couple de nombres rels non simultanment nuls, on considre le faisceau p, q de coniques dni par px2 y 2 4xq px 1q2

# # 1. Soit M I le point tel que OM I QM . Dcrire le lieu du point M I . 2. En dduire le lieu du point M . 13 Dterminer le lieu des foyers des coniques centre dont on donne le cercle principal et un point.

0.

1. Montrer que les coniques p, q passent par deux points xes A et B dont on dterminera les coordonnes. 2. Dterminer les couples p, q pour lesquels b. la conique p, q est une parabole, d. la conique p, q est une ellipse, e. la conique p, q est un cercle. a. la conique p, q est dgnre,

c. la conique p, q est une hyperbole,

3. Donner lquation des tangentes en A et en B la conique p, q.Dterminer une conique partir de donnes gomtriques

9 Dterminer le foyer et la directrice dune parabole connaissant 1. le foyer et deux points, 2. la directrice et deux points, 3. le foyer et deux tangentes, 4. la directrice et deux tangentes, 5. le foyer, une tangente et son point de contact, 6. la directrice, une tangente et son point de contact. 10 Dterminer le cercle directeur relatif lautre foyer dune conique centre connaissant un foyer F , deux tangentes pq et pI q, concourantes en un point I, et le point de contact M de la tangente pq. (On montrera que le second foyer F I est situ sur une droite passant par le point I et on tudiera la nature de la conique lorsque le point M varie sur la droite pq, le point F et les droites pq et pI q restant xes.)Recherche de lieu de points

11 Soit pDm q la droite dquation y x m avec m un paramtre rel. Lorsquils existent, on note M1 et M2 les intersections de la droite pDm q et de lellipse dquation 4x2 9y 2 1 0. Dterminer le milieu I du segment rM1M2s. 12 Considrons deux droites perpendiculaires pq et pI q et deux nombres rels strictement positifs a et b. Deux points P et Q dcrivent respectivement les droites pq et pIq de sorte que la longueur du segment rP Qs reste xe et gale a b. Sur le segment rP Qs, on repre le point M dni par P M a et M Q b.26 PARTIE 1. ALGBRE

CAPES de Mathmatiques 1999 (2nde composition)Source du sujet : http://megamaths.perso.neuf.fr/annce.html

NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLME Dans tout le problmes, la lettre n dsigne un entier suprieur ou gal 2. On note : N lensemble des nombres entiers naturels ; Z lensemble des nombres entiers relatifs ; R lensemble des nombres rels. Les lettres p et q dsignent des nombres entiers relatifs, on note vp , q w lensemble des nombres entiers relatifs compris (au sens large) entre les nombres p et q, autrement dit :

vp , qw tm, m Z ; p m et m qu .Par ailleurs, on note Sn lensemble des permutations de lensemble v1 , nw ; Mn pRq lalgbre des matrices carres dordre n coefcients rels ; In la matrice unit de Mn pRq ; et si pk, lq appartient v1 , nw2 : Ekl la matrice appartenant Mn pRq dont le coefcient situ sur la k e ligne et la le colonne vaut 1 et dont tous les autres coefcients sont nuls. On rappelle que la famille pEkl qpk,lqv1,nw2 est une base de Mn pRq. On note enn M pmij q ou M pmi,j q en cas dambigut, la matrice : M

pi,j qv1,nw2

mij Eij .

La lettre K dsignant un rel, on dnit les ensembles : A 3 LK M, M pmij q Mn pRq, di v1 , nw, n1 mij K ; j L K R LK ; CK tM, M pmij q Mn pRq, dj v1 , nw, n 1 mij K u i C K R CK . Une matrice M pmij q appartenant Mn pRq est dite matrice magique dordre n lorsquelle vrie les deux proprits suivantes :3

mij , pi, j q v1 , nw2

A

v1 , n2wetn k 1

(P1 )

hK R, M LK CK

Lobjet du problme est ltude de quelques proprits des matrices appartenant L C et des matrices magiques dordre n, avec, notamment, une construction de certaines dentre elles dans le cas o n est impair. Les cinq parties du problme peuvent tre traites indpendamment les unes des autres. QUESTION PRLIMINAIRE Montrer que, si M est une matrice magique dordre n, le rel K dont la proprit (P2 ) afrme lexistence vaut nces2 sairement npn21q . Dans toute la suite du problme, on note Kn

mkk

n k 1

mk,n1k

K

(P2 )

npn21q .2

PARTIE I : TUDE DES MATRICES MAGIQUES DORDRES 2 ET 3 1. Montrer quil nexiste pas de matrice magique dordre 2. a11 a12 a13 2. Soit M a21 a22 a23 une matrice magique dordre 3. a31 a32 a33

a. tablir linclusion de lensemble t1, 9u dans lensemble ta12 , a21 , a23 , a32 u.27

1.7. CAPES DE MATHMATIQUES 1999 (2NDE COMPOSITION)

b. En dduire lensemble des matrices magiques dordre 3. PARTIE II : TUDE DE LESPACE VECTORIEL L C

1. a. Montrer que L0 est un sous-espace vectoriel de Mn pRq et quil est engendr par la famille

pEij Einqpi,jqv1,nwv1,n1w .b. Soit K un rel. Montrer que, quelle que soit la matrice M appartenant Mn pRq, M appartient LK si et seulement si M KIn appartient L0 . c. En dduire que L est un sous-espace vectoriel de Mn pRq et prciser sa dimension. 2. a. Montrer que, quelle que soit la matrice M Prciser la dimension de L0 .

n n i 1j 1

mij pEij

Einqni 1 mij

appartenant L0 , M appartient C0 si et seulement si, pour tout j appartenant v1 , n 1w, b. En dduire une base et la dimension de L0 vectoriel).

C0 (aprs avoir succinctement justi que L0 C0 est un espace

0.

3. a. Montrer que, quelle que soit la matrice M appartenant Mn pRq, M appartenant L C si et seulement sil existe un rel K tel que M appartienne LK CK . b. En dduire la dimension de lespace L C.

1. a. Soit f un lment de I. Montrer quil existe un couple p1 , 2 q appartenant t1, 1u2 tel que, pour tout point N de E de coordonnes px, y q dans le repre R, les coordonnes pxI , y I q du point f pN q dans le repre R vriant :5

PARTIE III : EXEMPLE DE GROUPE OPRANT SUR LENSEMBLE DES MATRICES MAGIQUES DORDRE N Soit E un plan afne euclidien rapport au repre orthonorm R p0, #, #q. On considre le carr ABCD de centre u v # # # # O tel que les vecteurs AB et u dune part, BC et v dautre part, soient colinaires. On note I lensemble des isomtries de E qui laissent le carr ABCD globalement invariant. On note le point de E vriant n 1 # # # O pu v q 2 et RI le repre p, #, #q. u v

xI 1 x y I 2 y

5

ou

xI 1 y y I 2 x

.

2. Soit f un lment de I. On considre lapplication de R2 vers R2 qui, un couple ps, tq de rels, associe le couple de coordonnes dans le repre RI de limage par f 1 du point de coordonnes ps, tq dans ce mme repre. b. Soit f lapplication de Mn pRq dans lui-mme qui, une matrice M pmij q, associe la matrice f pM q pmI q ij vriant, pour tout pi, j q appartenant v1 , nw2 , mI mkl , le couple pk, lq tant gal pi, j q. ij Montrer que lapplication f est un endomorphisme de Mn pRq. a. Montrer que, quel que soit le couple pi, j q appartenant v1 , nw2 , le couple pi, j q appartient v1 , nw2 .

b. Soit N le point de E de coordonnes pX, Y q dans le repre RI . Pour chaque lment f de I, exprimer les coordonnes pX I, Y Iq du point f pN q dans le repre RI en fonction de X et de Y .

Reconnatre toutes les isomtries du plan E ainsi dnies.

3. Soit F lensemble tf , f I u. Montrer que pF, q est un groupe isomorphe au groupe pI, q. (Le symbole dsigne la composition des applications.) 4. a. Vrier que limage dune matrice magique dordre n quelconque par un lment de F quelconque est une matrice magique dordre n. b. Soient f et g des lments de I. Montrer que, sil existe une matrice magique M dordre n telle que f pM q g pM q alors f g.

28

PARTIE 1. ALGBRE

c. Montrer que lensemble des matrices magiques dordre n est ni et que son cardinal est un multiple de 8. PARTIE IV : TUDE DUN GROUPE ASSOCI CERTAINES PERMUTATIONS DE v1 , N w tant donne une permutation quelconque de v1 , nw, on note A la matrice paij q appartenant Mn pRq et vriant, pour tout pi, j q appartenant v1 , nw2 , aij piq,j , ce dernier symbole (dit de Kronecker ) tant dni par la relation : ij On note S lensemble tA , 1.

5

1 0

si i j sinon.

Snu. Soient un lment de Sn et M pmij q un lment de Mn pRq. Expliciter le terme gnral de la matrice A M , puis leterme gnral de la matrice M A .

2. Montrer que pS, q est un groupe isomorphe au groupe pSn , q (Le symbole dsigne la multiplication matricielle.) b. On note Jn lensemble des permutations de v1 , nw telles que :

3. a. Soit K un rel. Montrer que, pour toute matrice M appartenant LK CK et toutes permutations et I de v1 , nw, A M AI appartient LK CK .

dk v1 , nw,4. On note J lensemble tA ,

pn 1 k q n 1 pk q.

Soit un lment de Jn . Montrer que, si M est une matrice magique de taille n, alors A M A1 en est aussi une.

a. Montrer que pJ , q est un sous-groupe de pS, q.

J n u.

b. Dterminer le nombre dlments de J . PARTIE V : CONSTRUCTION DE MATRICES MAGIQUES DORDRE N IMPAIR 1. Cas o n nest pas multiple de 3 On suppose que dans cette section V.1. que n est un entier impair non multiple de 3. On dit que deux entiers p et q sont congus module n, et lon note p q pmod nq, lorsque n divise p q. a. Montrer quil existe un entier m premier avec n tel que, pour tout quadruplet pi, j, k, lq appartenant Z4 ,5

k 2i j l i 2j

pmod nq pmod nq5

5

si et seulement si

i mp2k lq j mp2l k q

pmod nq pmod nq

.

Ainsi, pour tout couple pk, lq appartenant v1 , nw2 , il existe un et un seul couple pi, j q appartenant v1 , nw2 tel que : k 2i j l i 2j

pmod nq pmod nq

.

b. On note Z{nZ lanneau quotient Z par lidal nZ et, si x est lment de Z, x la classe dquivalence de x dans Z{nZ. ii. En dduire que, pour tout l appartenant v1 , nw, la somme fonction de n). i. Soient u et v deux entiers relatifs, u non nul. Montrer que, si u et v sont premiers entre eux, lapplication x ux v est une bijection de Z{nZ sur lui-mme.nk 1

On note alors i pk, lq et j

pk, lq.

pk, lq est constante (prciser sa valeur en

c. Soit W

pwi,j q la matrice appartenant MnpRq et vriant, pour tout pi, j q appartenant v1 , nw2 : wij npi 1q j. Soit G pgk,l q la matrice appartenant Mn pRq et vriant, pour tout pk, lq appartenant v1 , nw2 : gk,l wpk,lq, pk,lq . Construire G dans le cas o n 5.29

d. Dans la suite, lentier n nest plus suppos gal 5.1.7. CAPES DE MATHMATIQUES 1999 (2NDE COMPOSITION)

i. Montrer que lensemble des coefcients de G est v1 , n2 w. e. Dans cette question, on tablit une proprit supplmentaire de la matrice G. Si i appartient v1 , nw, on note ii. Montrer que G est une matrice magique dordre n.

i.

tpk, lq, pk, lq v1 , nw, k l i pmod nqu . Montrer que, pour tout i appartenant v1 , nw, pk,lqE gkl Kn .Eii

ii. Dterminer n autres ensembles F1 , F2 , . . ., Fn analogues aux ensembles E1 , E2 , . . ., En tels que, pour out i appartenant v1 , nw, pk,lqFi gkl Kn . 2. Composition de deux matrices magiques. Cas o n est multiple de 3. Soient p et q deux entiers suprieurs ou gaux 3. partir dune matrice magique A pakl q dordre p et dune matrice magique B pbij q dordre q, on considre la matrice carre D pduv q dordre pq vriant, pour tout pk, lq appartenant v1 , pw2 et tout pi, j q appartenant v1 , q w2 , dpi1qpk,pj 1qpl

akl pbij 1qp2.

4 3 8 9 5 1 . a. Construire D dans le cas particulier o les matrices A et B sont gales 2 7 6 b. Montrer que, pour toutes matrices magiques A et B dordre respectifs p et q. D est une matrice magique dordre pq. c. En dduire que, si n est un multiple de 3, lensemble des matrices magiques dordre n nest pas vide.

30

PARTIE 1. ALGBRE

PolynmesFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2006-2007. 1 Trouver le pgcd de P pX q 3X 3 X 1 et QpX q 3X 2 2X 1. 2 Dmontrer que, quels que soient les entiers p, q, r, le polynme X 3p X 3q1 X 3r2 est divisible par X 2 X 1. 3 Soit Pn pX q pcos X sin qn , avec R et n N, n 0. Quel est le reste de la division euclidienne de Pn pX q par X 2 1 ? 4 Soit Un le groupe des racines ne de lunit dans C. On dit que Un est une racine primitive si k $ 1 pour 1 k n 1. On note 1 , . . . , m les racines primitives de Un et on appelle polynme cyclotomique dindice n le polynme dni par n pX q pX 1. Dmontrer que m dEuler. 6 Un polynme P pX q a0 a1 X est dit unitaire si am tif.

am X m

1. Soit n un entier strictement posi-

1. a. Soit 1 , . . . , n des nombres complexes. On considre les polynmes P et Q de CrX s dnis par : P pX q QpX q n i 1 n i 1

pX 1q pX i2q

1q pX mq. pnq o dsigne lindicatrice

b. Soit pPk qk0 la suite de polynmes de CrX s dnie par Pk pX q n i 1

Montrer que lon a QpX 2 q p1qn P pX qP pX q.

pX i2 q.k

2. Dmontrer que si p est un nombre premier, on a p pX q 1 X X p1 . 3. Dmontrer que X n 1 4. 5.

pX q. En dduire que les coefcients de n pX q sont entiers. Calculer 12 pX q.d n d

Montrer que si P0 est coefcients entiers, il en est de mme pour Pk , pour tout entier k 0. 2. a. Soit Pn lensemble des polynmes unitaires de degr n, coefcients entiers et dont les racines sont de module infrieur ou gal 1. Soit P Pn , on pose : i. X q Pp

|

5 Le but de cet exercice est de dmontrer le critre dEisenstein : Soit p un nombre premier et soit A an X n a0 un polynme coefcients entiers tels que a) ai est divisible par p pour 0 i n 1, b) an nest pas divisible par p, alors A est irrductible dans QrX s. On raisonne par labsurde en supposant que A nest pas irrductible dans QrX s. 1. Montrer, laide du lemme de Gauss, quil existe deux polynmes non constants B et C dans ZrX s tels que A BC. 2. On note B bd X d b0 . En rduisant modulo p, montrer que p divise b0 , . . . , bd1 . c) a0 nest pas divisible par p2

X n an1X n1 a0 n i1 pX i q, ii. sk 1i i i n i i i , pour 1 k n. Calculer les coefcients de P pX q en fonction des nombres sk . En dduire que lon a |ank | Ck n pour 1 k n et que Pn ne contient quun nombre1 2 k 1 2 k

ni dlments. b. Soit 1 , . . . , n des nombres complexes, de module infrieur ou gal 1, tels que le polynme P pX q n 1 pX i q soit coefcients entiers. i i. Montrer en utilisant les questions prcdentes : quil existe deux entiers strictement positifs j et k et une permutation de t1, 2, . . . , nu 2k 2j , pour tout i tels que i piq t1, 2, . . . , nu, 2kr quil existe un entier r 0 tel que i jr 2 i pour tout i t1, 2, . . . , nu. ii. Montrer que toute racine non nulle de P est racine de lunit.

3. En dduire que p2 divise a0 , do une contradiction. 4. Montrer que le polynme : Xp 1 X 1

X

p 1

1

est irrductible dans QrX s (Faire le changement de variables X Y 1).1.8. POLYNMES 31

9

Rappel sur les points singuliers dune courbe paramtreDaprs [7, p. 49] On suppose ue t M ptq est inniment drivable dans un ouvert contenant t0 . Soit p le plus petit entier strictement suprieur 0 tel que M ppq pt0 q $ 0. Soit q le plus petit entier strictement # suprieur p tel que M ppq pt0 q soit non parallle M pqq pt0 q. On pose # e M ppq pt0 q et f M pqq pt0 q. On a alors M prq pt0 qr #, pour tout p r q et : e

M pt0 hq M pt0 q Proposition 1.39

q 1

hk k!

k # e

k p

hq # f hq Op1q q!

avec p

1 et Op1q #pxptq, yptqq. Si : e

q 1

hk

q! p1 Op1qq

h p hq

h O p1 q k! q!

q

on a alors :

# M pt0 hq M pt0 q # f . e

Points singuliers de la courbe Proposition 1.40

Le tableau 1.1 donne tous les types de points singuliers quon peut retrouver dans des courbes paramtres.

q

/ppair impair

pair rebroussement de seconde espce rebroussement de premire espce

impair ordinaire inexion

TABLE 1.1 Points singuliers de courbes paramtresDmonstration. On peut retrouver les rsultats en calculant et en trouvant le signe de pt t0 qp . l

32

PARTIE 1. ALGBRE

F IGURE 1.1 Points singuliers des courbes paramtres

1.9. RAPPEL SUR LES POINTS SINGULIERS DUNE COURBE PARAMTRE

33

Courbes dans le plan - EnveloppesFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2010-2011. # # Dans la suite, le plan euclidien P est rapport un repre orthonorm pO, e1 , e2 q. 1 Tracer la courbe dquation

x pt q

t2 t 1 t2 1 , y ptq t1 2t

.

On prcisera les positions relatives de la courbe et de ses asymptotes. 2 Soit a 0 et b 0. 1. Tracer la courbe dquation

pxptq a sin 2t, yptq b sin 3tq,en prcisant les points doubles. 2. Montrer que la courbe dquation,

pxptq a sin 2t, yptq b sin tq,est ferme si, et seulement si, est un nombre rationnel. 3 tudier lallure locale des courbes suivantes, 1. xptq t2 2 , y ptq pt 1q2 au voisinage de t t 1. 2. xptq 2 cos t 1 tan2 t, y ptq 2 sin t 1 tan t 8 4 voisinage de t p2 q{3. 4 Tracer les courbes

au

1. pq 1 tan ,

2. pq 1 tanp{2q. (On prcisera les asymptotes et leur position par rapport la courbe. Ltude des points dinexion nest pas demande.) 5 Donner lquation en polaires, dune droite, dun cercle, dune conique dont le foyer est au ple. 6 Soit pq la courbe en coordonnes polaires dnie par pq 1 sin3.3

Si M est un point de cette courbe, on note H la projection orthogonale du ple sur la tangente en M pq, et P lensemble des points H ainsi obtenus lorsque M parcourt la courbe pq. Donner une quation polaire de P. Interprter gomtriquement cet ensemble.

34

PARTIE 1. ALGBRE

Nb. complexes, inversion, homographiesFiche cre par D. TANR pour la Formation CAPES Lille 1, anne 2006-2007. 1 On considre le plan euclidien P identi C. 1. Donner des conditions ncessaires et sufsantes sur les nombres complexes a, b et le nombre rel c pour que b. zz az bz c 0 soit lquation dun cercle. a. az bz c 0 soit lquation dune droite, c. En dduire quune homographie est dtermine de faon unique par trois points distincts z1 , z2 , z3 et I I I leurs images distinctes z1 , z2 , z3 . 4. On dnit le birapport de quatre points A1 , A2 , A3 , A4 , dafxes respectives z1 , z2 , z3 , z4 par : z z rz1, z2, z3, z4s z1 z3 { z1 z4 2 3 z2 z4 pz1 z3qpz2 z4q . pz z qpz z q 1 4 2 3 a. Exprimer ce birapport en fonction de la transforma tion f introduite dans la question prcdente. b. En dduire que toute homographie conserve le birapport. Rciproquement, montrer que toute bijection de C tVu qui conserve le birapport est une homographie. c. Montrer que le birapport de quatre points distincts pz1 , z2 , z3 , z4 q est rel si, et seulement si, les quatre points sont aligns ou cocycliques. (On pourra considrer lhomographie envoyant z1 , z2 , z3 I I I sur trois points distincts, z1 , z2 , z3 , de la droite relle.) d. Une inversion conserve-t-elle le birapport ? 5. On note G le groupe engendr par les homographies et la symtrie z z. a. Montrer que G est engendr par les rexons et les inversions. b. En dduire que tout lment de G conserve les angles non orients, lensemble des cercles et des droites. 6. On sintresse la rciproque du dernier rsultat. a. Soit g : C tVu C tVu une application bijective, prservant lensemble des droites et des cercles et telle que g pVq V. Montrer que g est une similitude. (On utilisera le thorme fondamental de la gomtrie afne et la caractrisation des similitudes).

2. Montrer que la transformation N : z 1{z, dnie sur P t0u, conserve lensemble des cercles et des droites.

3. a. Soit I pO, 1q linversion de cercle O et de puissance 1. Si z est lafxe de M , dterminer lafxe z I de M I I pO, 1qpM q. b. Soit I pA, k q linversion de centre A et de puissance k. Si z est lafxe de M , dterminer lafxe z I de M I I pA, k qpM q.

c. Retrouver le fait quune inversion conserve lensemble des cercles et des droites. 2 On complte le plan P identi C par un point not V et on pose : c si c C, c V V, V 0, c si c C et c $ 0, c V V, 0 V. V , 0 V et 0 ne sont pas Les expressions V V, V 0 dnies. Le but de lexercice est ltude des transformations de C tVu dans C tVu dnies par : z

b f pzq az d cz

avec pa, b, c, dq C4

et ad bc $ 0,

appeles homographies.

b 1. a. Si 0, calculer azd . Dsormais, comme identicz qu ci-dessus, on suppose toujours $ 0.

b. Montrer que lapplication z f pz q est bien dnie et est bijective. Dterminer son inverse. c. Montrer que le produit de deux homographies est une homographie.

2. a. Exprimer gomtriquement f si c 0.

b. Soit c $ 0. Montrer que f se dcompose en f t1 sN t2 o t1 et t2 sont des translations, s est une similitude et N est dni dans lexercice 1. c. En dduire que f conserve les angles orients, lensemble des cercles et des droites.

b. En dduire que toute application bijective de C tVu dans C tVu conservant lensemble des cercles et des droites est un lment de G.

3. a. Montrer que si f a trois points xes, cest lidentit. b. On se donne trois points distincts dafxes respec tives z1 , z2 , z3 . Construire une homographie f telle que : f pz1 q V, f pz2 q 0, f pz3 q 1.1.11. NB. COMPLEXES, INVERSION, HOMOGRAPHIES 35

36

PARTIE 1. ALGBRE

PA R T I E

Analyse

2

Fiche 11 Pour tout entier naturel n, on pose In {20

tann x dx.

1. a. Soit n un entier naturel, montrer que lintgrale In existe. 2. a. Calculer In2 In en fonction de n. b. Montrer que :

b. Montrer que la suite pIn qnN est une suite dcroissante de nombres rels positifs.

dn N,d. On pose f pnq In4 In , montrer que : c. Que peut-on en dduire pour la suite pIn qnN ?

1 In n 1 . 2 pn 1 q 1

f pn q 3. a. Calculer I0 et I2 . b. Calculer de deux faons diffrentes c. En dduirek

1 n 1. n3 1

k

p 1f

p4p 2q. 4k 1 4k 11 5 1 7 1 9 1 1

V

lim

1

1 3

.

4. a. Calculer I1 . b. Calculer de deux faons diffrentes qn1 c. En dduire n1 p1n .

4

p 1f

p4p 3q.

5. a. Montrer le thorme de convergence radiale suivant : Soit pan qnN une suite de nombres complexes, on dnit sur R la suite de fonctions pun qnN par : dx R, unpxq anxn.Thorme 2.1

On suppose que la srie entire n0 an xn a un rayon de convergence gal 1. Lorsque la srie n0 un pxq converge, on pose f pxq n0 un pxq. (ii.) Si la suite pan qnN est une suite de rels positifs, dcroissante qui converge vers 0, alors la srie n0 un converge uniformment sur r1 , 0s et la fonction f est continue sur r1 , 1r. (i.) Si la srie numrique n0 an est absolument convergente alors la srie normalement r1 , 1s et la fonction f est continue sur r1 , 1s. n 0 un

converge

b. Dterminer la somme de la srie numrique 2 On dnit sur R la fonction f par : et la suite pun qnN par :

n 1

p1qn1 par une autre mthode. n

f pxq x2 2x 1,5

u0 R dn N,

un1

1. a. Dterminer les points xes de f notes l1 et l2 avec l138

l2.

f punq.PARTIE 2. ANALYSE

b. Montrer que, pour tout rel x, on a : et

x l1

f pxq l1 f , prciser les points xes de f f .

1 x 2 1 f pxq 2.

c. Montrer que les points xes de f sont points xes de f

2. Tracer la courbe reprsentative de f dans un repre orthonormal dunit graphique 2 cm, puis la droite D dont une quation est y x. Reprsenter les quatre premiers termes de la suite pun qnN lorsque u0 0,7 puis u0 1,25. 3. On suppose que u0 4.

l1, montrer que la suite punqnN est dcroissante, est-elle convergente ? On suppose que u0 est lment de s1 , l1 r. a. Montrer que u1 est lment de sl2 , 2r. b. Dans la suite, on dnit les suites pvn qnN et pwn qnN par : dn N, vn u2n et wn u2n1.Montrer que :

c.

dn N, 1 vn l2 et l2 wn 2. tudier la monotonie des suites pvn qnN et pwn qnN . Montrer que les suites pvn qnN et pwn qnN convergent et prciserla limite de chacune delles.

5. Dterminer les valeurs du premier terme u0 de la suite pun qnN pour lesquelles la suite pun qnN converge. 3 quation de la chaleur Soit f une application de R dans R, 2-priodique et de classe C 3 . On appelle solution du problme de la chaleur not pC q toute application F lment de C 1pR R, Rq telle que : (i.) (ii.) (iii.)

dx R, F px, 0q f pxq. dpx, tq R R, F px 2, tq F px, tq. f F est dnie, continue sur R R et fx2 2

1. Les questions suivantes permettent de montrer lunicit dune solution du problme de la chaleur pC q :

fF f2F . f t f x2

a. On suppose que le problme pC q admet une solution F . Pour tout rel t rel positif x, on dnit lapplication Ft sur R par Ft pxq F px, tq. Montrer quil existe une suite de fonctions pn qnZ tel que :

dx R,c. Montrer que si F existe alors :

Ft pxq

V n

V

n ptqeinx .

b. Montrer que, pour tout entier relatif n, lapplication n est solution de lquation diffrentielle y I

n2y sur R.

dpx, tq R R,

F px, tq

V n

V

cn pf qen t einx .2

2. On rappelle lgalit de Parseval. Si est lment de C 0 pR, Rq et 2-priodique (valable si est seulement continue V par morceaux), alors la srie nV |cn pq| converge. La srie de Fourier de , V cn pqen (o en pxq einx ), nV converge normalement vers sur R. Soit n un entier relatif, on dnit sur R R la fonction n par : n px, tq cn pf qen t einx .2

b. On pose F la somme de cette srie. Montrer que F est solution du problme de la chaleur pC q.

a. Montrer que la srie

Vn

V n converge normalement sur R R . On pose F la somme de cette srie.

2.1. FICHE 1

39

Fiche 21 Suite de Fibonacci et nombre dor On appelle nombre dor et on note , lunique solution positive de lquation : x2 x 1 0. La suite de Fibonacci est la suite dnie par :6 9u0 8

1 u 0 9 1 7 dn N,2. On dnit les suites pvn qnN et ptn qnN par :

un2

un1 un

1. Montrer que, pour tout entier naturel suprieur ou gal 2, le nombre un est un entier strictement positif.

dn N,

vn

un1 un, tn un1 p1 qun.

Montrer que ces suites sont gomtriques, en dduire une expression de vn et de tn en fonction de n et de . 3. Montrer la formule de Binet suivante : un En dduire que : un 1 5 2n 1

1 c 5

c

n1

1 5 2

c

n1

.

p1qn1n1 . c5

4. Dterminer la formule de Binet par une autre mthode. 2 Ingalit de Wirtinger Si f est une application continuement drivable, 2-priodique de R dans C telle que son intgrale sur un segment de longueur 2 soit nulle, alors :

tudier le cas dgalit. Indication : utiliser la formule de Parseval.

|f ptq|2 dt

f I ptq dt.2

3 Lemme de Cantor Dans cet exercice, on se propose de dmontrer le lemme suivant :Lemme de Cantor Lemme 2.2

Soient pan qn1 et pbn qn1 deux suites de nombres rels. Pour tout rel x et tout entier naturel, on pose fn pxq an cos nx bn sin nx et on suppose que, pour tout rel x, la suite pfn pxqqn1 converge vers 0, alors les suites pan qn1 et pbn qn1 convergent vers 0.

Question prliminaire : Montrer que la suite pan qnN converge vers 0. Premire mthode : Raisonnement par labsurde On suppose que la suite pbn qn1 ne converge pas vers 0. n140

1. Montrer quil existe un rel strictement positif et une sous-titre pbnk qk1 de la suite pbn qn1 tels que :

0, dk N,

|bnk | , nk1

3nk .

PARTIE 2. ANALYSE

2. On pose :

dk N, k 1

(C1 ) dk N , Jk1 Jk et limkV pk k q 0 ; (C2 )

Construire une suite ppk qk1 de nombres entiers telle que la suite des segments Jk

nk

6

pk

et

k

1 nk

5 6

pk

, pk

Z.

rk , k s vrie les conditions :

dx Jk , |sin nk x| 1 . 2

k 1 Jk .

3. Dterminer

Conclure.

Deuxime mthode : Intervention du calcul intgral 1. Calculer 20

pbn sin nxq2 dx.

2. On admet le lemme suivant : Soit a et b deux rels tels que a b, pfn qnN une suite de C 0 pra , bs, Rq telle que : la suite pfn qnN converge simplement vers 0. hM R , dn N, 0 fn M . Alors b n

Lemme 2.3

V

lim

a

fn ptq dt 0.

b. Cas gnral. On pose bI

a. On suppose que la suite pbn qn1 est borne. Conclure.

inf p1, |bn|q. Montrer que : dx R, nV bIn sin nx 0. lim

Conclure. 4 Rsolution dun problme de Dirichlet Soit f une fonction continue de r0 , s dans C. On se propose de dterminer les solutions si elles existent du problme de Dirichlet suivant : 5 yP y f y p0q y p q 0

1. Montrer que les fonctions x r0 , s sinhpxq et x r0 , s sinhp xq sont indpendantes. En dduire lensemble des solutions de lquation diffrentielle y P y 0. 2. Dterminer une solution particulire de lquation diffrentielle constantes. 4. Rsoudre le problme de Dirichlet.

y P y f.

f par la mthode de la variation des

3. Dterminer lensemble des solutions de lquation diffrentielle y P y

2.2. FICHE 2

41

Fiche 3On se propose dans ce devoir de construire la fonction exponentielle : on sinterdit donc tout emploi de proprits de la fonction exponentielle, de la fonction logarithme et des fonctiosn puissances dans le cas dun exposant non rationnel. Par contre les proprits des fonctions puissances exposant rationnel sont supposs connues. 1 Lingalit de Bernouilli Montrer, de trois manires diffrentes, par des mthodes lmentaires, lingalit suivante :

da s1 , Vr, dn N, p1 aqn 1 na,avec galit si et seulement si a 0. 2 Ingalit de Cauchy Il sagit de lingalit suivante :

d n N ,avec galit si et seulement si x1 et de la moyenne gomtrique.

dpx1, . . . , xnq s0 , Vr

n

,

1 xp n p 1n

n

1{n

p 1

xp

,

x2 xn. Cette ingalit est encore appele ingalit de la moyenne arithmtique

1. Montrer cette ingalit pour n 2, tudier le cas dgalit. On propose deux mthodes pour dmontrer cette ingalit. Premire mthode : mthode de Cauchy 1. Soit A une partie de N possdant les trois proprits suivantes : i.) 1 A ;

dn N, n A 2n A ; iii.) dn N , n 1 A n A. Montrer que A N .ii.) 2. En dduire lingalit de Cauchy et son cas dgalit. Deuxime mthode Soient n un entier strictement positif et px1 , x2 , . . . , xn q un n-uplet de rels strictement postifs supposs non tous gaux. On dnit une application de r0 , 1s vers R par :

dt r0 , 1s,

ptq

n k 1

xk

t pxp xk q . n p1n

1. Montrer que, pour tout rel t lment de r0 , 1s, le rel ptq est strictement posi