CAPES

Les leons demathmatiques

loral du CAPES

Clment BOULONNEhttp://cbmaths.fr

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LES LEONS DEMATHMATIQUES LORAL DU CAPES

Recueil compil par Clment BOULONNE

Session CAPES 2013Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France:

paternit pas dutilisation commerciale partage des conditions initiales lidentique

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Table des matires

Correspondance avec les leons de la session 2017 (option maths) 17

I Probabilits et statistiques 1

1 Rsolution de problmes laide de graphes 31.1 Problme des ponts de Kningsberg 31.2 Coloration de graphes 51.3 Recherche du plus court chemin 91.4 Graphe probabiliste 12

2 Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle 152.1 Exprience alatoire, vnements 152.2 Probabilits 162.3 Probabilits conditionnelles 19

3 Variables alatoires discrtes 233.1 Loi de probabilits. Fonction de rpartition 233.2 Esprance mathmatique 253.3 Variance et cart-type 263.4 Exemples de variables alatoires discrtes 29

4 Loi binomiale 334.1 Loi de Bernoulli 334.2 Loi binomiale 344.3 Proprits sur les coefficients binomiaux 354.4 Stabilit additive de la loi binomiale 404.5 Convergence 404.6 chantillonnage 414.7 Loi multinomiale 43

5 Loi de Poisson, loi normale 455.1 Loi de Poisson 455.2 Loi normale 475.3 Convergence 50

6 Variables alatoires relles densit 536.1 Introduction 536.2 Densit et loi de probabilit 536.3 Variables alatoires continues. Loi uniforme, loi exponentielle 546.4 Esprance dune variable alatoire continue 56

6 TABLE DES MATIRES

6.5 Exemples de variables alatoires densit 566.6 Applications 62

7 Lois uniformes, lois exponentielles 657.1 Lois uniformes 657.2 Lois exponentielles 69

8 Lois normales 758.1 Premires dfinitions 758.2 Loi normale centre 758.3 De la loi normale la loi normale centre rduite, utilisation de tables 768.4 Convergence 798.5 Thorme de De Moivre-Laplace et applications 80

9 Marches alatoires 839.1 Chanes de Markov 839.2 Chanes de Markov au lyce 859.3 Un cas particulier de chane de Markov : marches alatoires sur Z 869.4 Marches alatoires sur Zd 929.5 Marches alatoires sur un groupe 949.6 Marches alatoires grandeur nature 95

10 Sries statistiques une variable 9710.1 Premires dfinitions et exemples 9710.2 Effectif et frquence 9810.3 Etendue et mode dune srie statistique 9910.4 Paramtre de position 9910.5 Paramtre de dispersion 100

11 Sries statistiques deux variables numriques 10311.1 Nuage de points 10311.2 Point moyen 10311.3 Caractristiques numriques 10411.4 Ajustement affine 10511.5 Autres types de rgression 110

12 Intervalles de fluctuation 11112.1 Le thorme de De Moivre-Laplace 11112.2 Activits dintroduction en Seconde 11212.3 Intervalle de fluctuation, la thorie en Terminale S 11312.4 Dautres exemples 11712.5 Avec Xcas 119

13 Estimation 12113.1 Estimation 12113.2 Tests dhypothses 123

TABLE DES MATIRES 7

II Arithmtique & Algbre 129

14 Multiples, diviseurs, division euclidienne 13114.1 Multiples et diviseurs dans Z 13114.2 Division euclidienne 13514.3 Vers les congruences 136

15 PGCD, galit de Bzout 14115.1 PGCD : Plus grand commun diviseur 14115.2 Nombres premiers entre eux 14315.3 galit de Bzout 14515.4 Applications 14615.5 Questions du jury 150

16 Nombres premiers 15116.1 Introduction 15116.2 Nombres premiers : dfinition 15116.3 Quelques proprits sur les nombres premiers 15116.4 Recherche des nombres premiers 15316.5 Dcomposition en facteurs premiers 15616.6 Complments 157

17 Congruences dans Z 16117.1 Premires dfinitions 16117.2 Complments : lanneau Z/nZ 16317.3 Applications 166

18 quations du second degr coefficients rels ou complexes 17318.1 Premires dfinitions et mise sous forme canonique 17318.2 Rsolution dans C des quations du second degr coefficients rels 17418.3 Applications 17718.4 Rsolution dquations du second degr coefficients complexes 180

19 Module et argument dun nombre complexe 18319.1 Petit rappel sur les nombres complexes 18319.2 Module dun nombre complexe 18419.3 Argument dun nombre complexe 18519.4 Diffrentes formes dcritures des nombres complexes 18819.5 Applications 19119.6 Propositions de questions poses par le Jury 193

20 Exemples dutilisation des nombres complexes 19520.1 Les nombres complexes en gomtrie 19520.2 Les nombres complexes pour la rsolution dquations algbriques 20320.3 Les nombres complexes et llectronique 205

8 TABLE DES MATIRES

20.4 Complments : calcul de (2) 207

21 Calcul vectoriel 20921.1 Oprations sur les vecteurs 20921.2 quations dune droite ou dun plan 21021.3 Barycentres dun ensemble de points de lespace 21221.4 Produit scalaire 21521.5 Produit vectoriel, produit mixte 222

22 Exemples dutilisation dun repre 22922.1 Dfinition dun repre 22922.2 Utilisation de repres 23222.3 Fonctions et changement de repre 24122.4 Systme de coordonnes 24122.5 Coordonnes gographiques 24222.6 Et sans repre orthonorm. . . 24322.7 Autres pistes proposes par Armelle sur LCM2013 245

23 Rsolution de problmes laide de matrices 24723.1 Matrices et oprations sur les matrices 24723.2 Rsolution de systmes dquations 25123.3 Matrice de Leontief 25323.4 Courbes polynomiales 25423.5 Trigonalisation de matrices 25523.6 DM TICE - Chiffrement de Hill 257

24 Proportionnalit et linarit 26124.1 Situation de proportionnalit 26124.2 Reprsentation graphique 26524.3 Proportionnalit et fonctions linaires 26524.4 Proportionnalit et fonctions affines 26624.5 Applications 268

25 Pourcentages 27125.1 Introduction du pourcentage au collge 27125.2 Des pourcentages en 1reES 27325.3 Les piges des pourcentages 27725.4 Applications conomiques : les intrts 278

26 Systmes dquations et systmes dinquations 28126.1 Remarques avant de commencer 28126.2 Cas particulier : systmes dquations 2 2 28126.3 Cas gnral dun systme dquations, mthode du pivot de Gauss 28326.4 Systme dinquations 28526.5 Introduction la programmation linaire 287

TABLE DES MATIRES 9

III Gomtrie 291

27 Droites du plan 29327.1 Gnralits sur les droites 29327.2 Droites parallles un axe 29327.3 Equation dune droite 29327.4 Caractrisation de droites parallles et perpendiculaires 29827.5 Autres formes dquations de la droite 30027.6 Forme implicite, paralllisme et perpendiculaires 30127.7 Intersection de trois droites 302

28 Droites et plans de lespace 30328.1 Droites et plans 30328.2 Positions relatives 30528.3 Applications 308

29 Droites remarquables du triangle 31329.1 Introduction 31329.2 Mdiatrices 31329.3 Hauteurs 31529.4 Mdianes 31729.5 Bissectrices 31929.6 Droites particulires dun triangle isocle ou quilatral 32229.7 Complments 324

30 Le cercle 32730.1 Dfinitions 32730.2 Quelques proprits du cercle 32830.3 Equation cartsienne du cercle 33030.4 Puissance dun point par rapport un cercle 33230.5 Le cercle vue comme une conique 332

31 Solides de lespace 33331.1 Dfintions 33331.2 Rgles de la perspective cavalire 33431.3 Solides usuelles 33431.4 Solides de rvolution 34031.5 Solides de Platon 343

32 Produit scalaire 34732.1 Dfinition dans le plan 34732.2 Proprits 34732.3 Autres expressions du produit scalaire 34832.4 Produit scalaire dans lEspace 35032.5 Applications 35132.6 Intersection de deux plans 356

10 TABLE DES MATIRES

33 Thorme de Thals 35933.1 Rappels de quatrime 35933.2 Thorme de Thals et sa rciproque 36033.3 Exercices et applications 36133.4 Dmonstration du thorme de Thals 36233.5 Dautres thormes de gomtrie en rapport avec le thorme de Thals 36433.6 Un exercice dapplication 373

34 Trigonomtrie 37534.1 De la trigonomtrie vue en classe de troisime 37534.2 De la trigonomtrie vue en classe de Premire S 377

35 Relations mtriques et trigonomtriques dans un triangle 38935.1 Relations mtriques dans un triangle 38935.2 Relations trigonomtriques dans un triangle 39035.3 Applications 395

36 Problmes de constructions gomtriques 39936.1 Programme de construction 39936.2 Un uf 39936.3 Triangle dor et pentagone 40036.4 Dodcagone 40236.5 Carr dont les cts passent par quatre points 40436.6 Quelques quadratures du carr 40536.7 Autres problmes de construction 408

37 Problmes de lieux gomtriques 41337.1 Dfinition dintroduction 41337.2 Mdiatrice 41337.3 Le cercle 41337.4 Utilisation des barycentres 41437.5 Utilisation du produit scalaire 41537.6 Utilisation des homothties et des translations 41637.7 Thorme de larc capable 41937.8 Un exemple de recherche de lieux en utilisant un repre 422

38 Orthogonalit 42538.1 Droites orthogonales ou perpendiculaires 42538.2 Orthogonalit dans lespace 42538.3 Produit scalaire (en lien avec lorthogonalit) 42838.4 Applications 429

TABLE DES MATIRES 11

IV Suites numriques 435

39 Suites monotones 43739.1 Dfinition et exemples de suites numriques 43739.2 Suites monotones 43739.3 Suites minors, majors 44039.4 Suites adjacentes 44239.5 Applications 444

40 Limites de suites relles 44940.1 Notion de limite infinie dune suite 44940.2 Limites finies - Suites convergentes 44940.3 Limites et oprations algbriques 45140.4 Limites et comparaison de suites 45240.5 Limites des suites arithmtiques et gomtriques 45440.6 Dterminer la limite dune suite 45540.7 Suites monotones et limites 45740.8 Complments : suites homographiques et limites 460

41 Suites arithmtiques, suites gomtriques 46341.1 Suites arithmtiques 46341.2 Suites gomtriques 46541.3 Montrer quune suite est arithmtique ou gomtrique 46741.4 Suites arithmtico-gomtriques 46841.5 Quelques exercices [?] 469

42 Suites de terme gnral an, np et lnn (a R+, p N, n N) 47742.1 Etude de la suite an (a R+, n N) 47742.2 tude de la suite np (n N et p N) 47942.3 tude de la suite ln(n) (avec n N) 48042.4 Croissance compare 482

43 Suites de nombres rels dfinies par une relation de rcurrence 48543.1 Suites dfinies par une relation de rcurrence, gnralits 48543.2 Suites dfinies par rcurrence du type un+1 = f(un) 48543.3 Suites rcurrentes de type un+2 = aun+1 + bun 49743.4 Utilisation de Geogebra pour tracer une suite de rcurrence 50043.5 Etude dune population 50043.6 Thorme du point fixe 501

44 Problmes conduisant ltude de suites 50344.1 Suites de carrs 50344.2 Intrts composs 50644.3 Un problme de tribu Lation 50944.4 0,9999. . .= 1 510

12 TABLE DES MATIRES

44.5 Mise en abme 51044.6 Le problme des anniversaires 51044.7 Nombres de Fibonacci 512

V Fonctions 515

45 Limte dune fonction relle dune variable relle 51745.1 Introduction 51745.2 Dfinitions 51745.3 Oprations sur les limites 52345.4 Asymptotes 52445.5 Thorme de comparaison 524

46 Thorme des valeurs intermdiares 52946.1 Le thorme des valeurs intermdiaires 52946.2 Applications 531

47 Drivation 53747.1 Drivabilit en un point 53747.2 Diffrentes interprtations du nombre driv 53947.3 Fonction drive 54147.4 Applications de la drivation ltude de fonctions 54347.5 Drivation dune fonction compose et applications 54547.6 Tableaux des drives usuelles et oprations sur les drives 54747.7 Quelques ingalits 549

48 Fonctions polynmes du second degr 55148.1 Fonction trinmes du second degr 55148.2 Equations du second degr 55448.3 Signe du trinme du second degr 55648.4 Sur les paraboles 557

49 Fonctions exponentielles 56149.1 La fonction exponentielle 56149.2 La notation ex 56249.3 tude de la fonction x 7 ex 56449.4 Applications 568

50 Fonctions logarithmes 57350.1 Introduction de la fonction logarithme 57350.2 Thorme fondamental 57550.3 Etude de la fonction ln 57750.4 Limites de rfrences 57850.5 Drives et primitives 58150.6 Exponentielles de base a 581

TABLE DES MATIRES 13

50.7 Applications 583

51 Croissance compare des fonctions relles x 7 ex, x 7 xn et x 7 ln x 587

51.1 Introduction 58751.2 Croissance compare des fonctions puissances et logarithmes 58751.3 Croissance compare des fonctions puissances et exponentielles 59051.4 Dautres exemples 59151.5 Applications 592

52 Courbes planes dfinies par des quations paramtriques 59552.1 Fonctions valeurs dans C ou dans R2 59552.2 Courbes paramtres : paramtrisation cartsienne 59752.3 Courbe paramtre : paramtrisation polaire 59952.4 Etude de courbes paramtres 600

53 Intgrales, primitives 60553.1 Primitives dune fonction 60553.2 Intgrale et aire 60753.3 Intgrale et primitive 61253.4 Proprits algbriques de lintgrale 61453.5 Intgrale et ingalits 617

54 Techniques de calcul dintgrales 61954.1 Sommes de Riemann 61954.2 Intgration par primitives 62154.3 Intgration par parties 62354.4 Intgration par changement de variables 62454.5 Intgration de fractions rationnelles 62754.6 Calcul approch de lintgrale 62854.7 Autres calculs de primitives 629

55 quations diffrentielles 63155.1 Prliminaires 63155.2 Equations diffrentielles linaires du premier ordre 63255.3 Equations diffrentielles linaires du second dordre coefs constants 636

56 Problmes conduisant la rsolution dquations diffrentielles 64156.1 Du double au triple 64156.2 Loi de refroidissement de Newton 64156.3 Dissolution dune substance 64256.4 Alcoolmie 64356.5 Dcharge dun condensateur 64556.6 Vitesse dun parachutiste 646

14 TABLE DES MATIRES

57 Problmes conduisant ltude de fonctions 64957.1 Plan dtude dune fonction 64957.2 Problmes conduisant ltude de fonctions 654

VI Analyse BTS 671

58 Dveloppements limits 67358.1 Introduction 67358.2 Formules de Taylor 67458.3 Oprations sur les dveloppements limits 67658.4 Dveloppements limits usuels 67758.5 Applications 67858.6 Pour finir : un exercice de BTS 679

59 Sries numriques 68359.1 Gnralits 68359.2 Sries gomtriques 68359.3 Sries de Riemann 68459.4 Sries alternes 68659.5 Critres pour les sries termes positifs 687

60 Sries de Fourier 68960.1 Introduction 68960.2 Coefficients de Fourier 69060.3 Thorme de convergence 69460.4 Sommes de Fourier de signaux usuels 696

61 Transformation de Laplace 69961.1 Introduction la leon 69961.2 Transforme de Laplace de fonctions usuelles 69961.3 Proprits de la transforme de Laplace 70361.4 Intgration et drivation de transforme de Laplace 70561.5 Applications 706

62 Courbes de Bzier 71362.1 Barycentres 71362.2 Polynme de Bernstein 71462.3 Courbes de Bzier 71562.4 Construction dune courbe de Bzier sur GeoGebra 71962.5 Des exercices type BTS 719

63 Exemples dtudes de courbes 72563.1 Etude dune fonction 72563.2 Etude de courbes paramtres 73263.3 Etude de courbes de Bzier 734

TABLE DES MATIRES 15

63.4 Etude de la cyclode 737

VII Miscellaneous 739

64 Aires 74164.1 Comparer les aires 74164.2 Mesurer une aire 74564.3 Calculer une aire 74564.4 Intgrale et aire 74864.5 Complments 753

65 Exemples dalgorithmes 75765.1 Dfinition dun algorithme 75765.2 Algorithmes en arithmtique 75765.3 Algorithmes en analyse et probabilits 75965.4 Algorithme de tri 76565.5 Cryptographie : Le code Csar 766

66 Exemples dutilisation dun tableur 76966.1 Le tableur pour les collgiens 76966.2 Le tableur pour les lycens 77266.3 Le tableur pour les techniciens suprieurs 775

67 Exemples dutilisation dun logiciel de calcul formel 77767.1 Arithmtique et algbre linaire 77767.2 Analyse et probabilit 78067.3 Algorithmes 785

68 Diffrents types de raisonnement en mathmatiques 79168.1 Introduction 79168.2 Raisonnement direct 79168.3 Raisonnement par disjonction des cas (ou cas par cas) 79268.4 Raisonnement par contraposition 79368.5 Raisonnement par labsurde 79468.6 Raisonnement par utilisation dun contre-exemple 79568.7 Raisonnement par rcurrence 79568.8 Raisonnement par analyse-synthse 79768.9 Propositions de questions poses par le Jury 799

69 Applications des mathmatiques dautres disciplines 80169.1 Dmographie : fonction logistique 80169.2 Mdecine - SVT 80269.3 Cryptographie : systme RSA 80569.4 Physique et quations diffrentielles 80669.5 conomie dentreprise 807

16 TABLE DES MATIRES

Correspondance avec les leons dela session 2017 (option maths)

Chres lectrices, chers lecteurs,

Je ne pense pas avoir le temps de mettre jour mon polycopi pour la session 2017. Voici le cadredfini par le jury pour la premire preuve dadmission (option maths) du CAPES Mathmatiquespour la session 2017 :

Le candidat choisit un sujet, parmi deux quil tire au sort. La liste des sujets dpend de loptionchoisie par le candidat, mathmatiques ou informatique.

Lpreuve commence par lexpos du plan (vingt minutes), suivi du dveloppement par le candidatdune partie de ce plan choisie par le jury puis dun entretien (change sur les points prcdents).

Lensemble de lpreuve sinscrit dans le cadre des programmes de mathmatiques du collge etdes diffrentes sries du lyce gnral et technologique. La capacit du candidat illustrer le sujet pardes exemples sera valorise

Comme les notions requises pour les leons de la session 2017 sont, en grande majorit, dans lepolycopi, je vous dresse une liste de correspondance des leons de la session 2017 avec celles djprsentes sur le polycopi (en italiques).

Jespre que a conviendra toutes et tous.

Bonnes rvisions.

Clment BOULONNE

Leons session 2017 option maths / Leons session 2013 du polycopi1. Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle.

2. Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle

2. Variables alatoires discrtes.3. Variables alatoires discrtes4. Loi binomiale5. Loi de Poisson, loi normale

3. Loi binomiale.4. Loi binomiale

4. Variables alatoires relles densit.6. Variables alatoires relles densit7. Lois uniformes, lois exponentielles8. Lois normales

5. Reprsentation et interprtation de donnes. Outils statistiques.10. Sries statistiques une variable11. Sries statistiques deux variables numriques

18 Leon n0 Correspondance avec les leons de la session 2017 (option maths)

6. Intervalles de fluctuation, intervalles de confiance. Applications.12. Intervalles de fluctuation13. Estimation (13.1.4 Estimation par intervalle de confiance)

7. Arithmtique des nombres entiers.14. Multiples, diviseurs, division euclidienne15. PGCD, galit de Bzout16. Nombres premiers17. Congruences dans Z

8. Forme trigonomtrique dun nombre complexe. Applications.19. Module et argument dun nombre complexe (19.4 Diffrentes formes dcritures desnombres complexes / 19.5 Applications)20. Exemples dutilisation des nombres complexes

9. Trigonomtrie. Applications.34. Trigonomtrie35. Relations mtriques et trigonomtriques dans un triangles (35.2 Relations trigonom-triques dans un triangle)

10. Gomtrie vectorielle dans le plan et dans lespace.21. Calcul vectoriel

11. Reprage dans le plan, dans lespace, sur une sphre.22. Exemples dutilisation dun repre

12. Droites dans le plan. Droites et plans dans lespace.27. Droites du plan28. Droites et plans de lespace

13. Transformations du plan. Frises et pavages.

14. Relations mtriques et angulaires dans le triangle.35. Relations mtriques et trigonomtriques dans un triangle

15. Solides de lespace et volumes.31. Solides de lespace

16. Primtres, aires, volumes.64. Aires

17. Produit scalaire.32. Produit scalaire

18. Proportionnalit et gomtrie.33. Thorme de Thals

19. Problmes de constructions gomtriques.36. Problmes de constructions gomtriques

20. Problmes dalignement, de paralllisme ou dintersection.37. Problmes de lieux gomtriques

21. Proportionnalit et linarit. Applications.24. Proportionnalit et linarit

22. Systmes dquations et systmes dinquations. Exemples de rsolution.26. Systmes dquations et systmes dinquations

19

23. Problmes conduisant une modlisation par des quations ou des inquations.

24. Rsolution de problmes laide de graphes orients ou non orients.1. Rsolution de problmes laide de graphes

25. Problmes conduisant une modlisation par des matrices.23. Rsolution de problmes laide de matrices

26. Exemples dalgorithmes.65. Exemples dalgorithmes66. Exemples dutilisation dun tableur67. Exemples dutilisation dun logiciel de calcul formel

27. Diffrents types de raisonnement en mathmatiques.68. Diffrents types de raisonnement en mathmatiques

28. Applications des mathmatiques dautres disciplines.69. Applications des mathmatiques dautres disciplines

29. Fonctions polynmes du second degr. quations et inquations du second degr. Applica-tions.

48. Fonctions polynmes du second degr18. Equations du second degr coefficients rels ou complexes

30. Suites numriques. Limites.39. Suites monotones40. Limites de suites relles41. Suites arithmtiques, suites gomtriques42. Suites de terme gnral an, np et lnn (a R+, p N et n N)43. Suites de nombres rels dfinie par une relation de rcurrence

31. Problmes conduisant une modlisation par des suites.44. Problmes conduisant ltude de suites

32. Limite dune fonction relle de variable relle.45. Limite dune fonction relle dune variable relle

33. Thorme des valeurs intermdiaires. Applications.46. Thormes des valeurs intermdiaires

34. Nombre driv. Fonction drive. Applications.47. Drivation

35. Fonctions exponentielle et logarithme. Applications.49. Fonctions exponentielles50. Fonctions logarithmes

36. Intgrales, primitives.53. Intgrales, primitives

37. Exemples de calculs dintgrales (mthodes exactes ou approches).54. Techniques de calcul dintgrales

38. Problmes conduisant une modlisation par des fonctions.57. Problmes conduisant ltude des fonctions

20 Leon n0 Correspondance avec les leons de la session 2017 (option maths)

IProbabilits et statistiques

3Rsolution de problmes laide de

graphes

1Le

o

nn

Niveau Terminale ES Spcialit MathsPrrequis dfinitions de base dun graphe

Rfrences [1], [2], [3], [4], [5], [6]

1.1 Problme des ponts de Kningsberg

1.1.1 Enonc du problme

La ville de Knigsberg (aujourdhui Kaliningrad) est construite autour de deux les situes surle Pregel et relies entre elles par un pont. Six autres ponts relient les rives de la rivire lune oulautre des deux les. Le problme consiste dterminer sil existe ou non une promenade dans lesrues de Knigsberg permettant, partir dun point de dpart au choix, de passer une et une seule foispar chaque pont, et de revenir son point de dpart, tant entendu quon ne peut traverser le Pregelquen passant sur les ponts.

FIGURE 1.1 Ponts de Kningsberg

On peut reprsenter le problme grce un graphe :

4 Leon n1 Rsolution de problmes laide de graphes

A B C

D

1.1.2 Outils pour la rsolutionDfinition 1.1 Graphe connexe. On appelle graphe connexe, un graphe pour lequel chaque pairede sommets est relie par au moins une arte.

Dfinition 1.2 Chane eulrienne. On appelle chane eulrienne, une chane compose de toutesles artes prises une seule fois.

Dfinition 1.3 Cycle eulrien. On appelle cycle eulrien, une chane eulrienne dont les extrmitsconcident.

Thorme 1.4 Thorme dEuler. 1. Un graphe connexe admet un cycle eulrien si et seule-ment si tous ses sommes sont de degr pair.

2. Un graphe connexe admet une chane eulrienne si et seulement si le nombre de sommets dedegr impair est 0 ou 2.

Dv Dmonstration

Dmonstration Condition ncessaire : Dans les deux cas, comme on passe par toutesles artes du graphe, on passe galement par tous les sommets. Si G admet une chane eulrienne, chaque fois que lon arrive un sommet, on doit

aussi en repartir (et par des artes diffrentes de celles dj utilises) ; chaque passage parun sommet utilise dont deux artes issues de ce sommet sauf au sommet de dpart et ausommet darrive (les extrmits de la chane).Si le sommet nest ni le dbut, ni la fin de la chane, il est donc ncessairement de degrpair. Pour le sommet de dpart, on en part une fois de plus quon y arrive, donc il est dedegr impair.Pour le sommet darrive, on y arrive une fois de plus quon en part, donc il est de degrimpair.

Si G admet un cycle eulrien, le raisonnement prcdent reste valable, hormis le fait queles sommets de dpart et darrive sont confondus. Ce sommet, la fois dpart et arrivede la chane eulrienne ferme, est donc de degr pair.

Condition suffisante : Soit G un graphe connexe dont tous les sommets sont de degr pair. Les longueurs des

chanes sans rptition dartes de G tant majores par le nombre dartes de G, on peutchoisir une chane C de G sans rptition dartes de longueur maximum.

1.2 Coloration de graphes 5

1. Cette chane C est ncessairement ferme : cest un cycle. En effet, si la chanechoisie C ntant pas ferme, ses extrmits, si lon ne considre que la chane Cextraite du graphe, seraient de degr impair mais, si lon considre la chane C dansle graphe G, ses extrmits seraient de degr pair par hypothse sur G. Cela signifieque lon pourrait ajouter des artes de la chane C en ses extrmits, en contradictionavec le fait que C est de longueur maximum.

2. (a) Si la chane C parcourt toutes les artes du graphe : le cycle est eulrien.(b) Si la chane C ne parcourt pas toutes les artes du graphe : il existe une arte

de G, notons celle-ci A B, dont lune des extrmits nest pas un sommet deC, disons A par exemple.Considrons un sommet S de la chante C.Comme le graphe G est connexe, il existe une chane S1 reliant le sommet S et lesommet A. En pacourant cette chane S1, il existe ncessairement une arte qui apour extrmit un sommet de C (notons la W ) et une extrmit qui nest pas unsommet de C (notons la X).En faisant alors le parcours : arte X W puis toute la chane ferme C pourrevenir W , on a construit une chane de G sans rptition dartes de longueursuprieure celle deC, ce qui contredit le faot queC tait de longueur maximum.

Soit G un graphe connexe dont le nombre de sommets de degr impair est 2. On peutajouter un sommet Z G que lon relie aux deux sommets de degr impair A et B.Le graphe reste connexe mais a tous ses sommets de degr pair, il admet donc un cycleeulrien.En parcourant ce cyle de la faon suivante : B Z A . . . B et en supprimantfinalement le sommet Z, on obtient une chane eulrienne dextrmits A et B.

1.1.3 Rsolution du problme

Dv Rsolution du problme des ponts de Kningsberg

Ici, deg(A) = 5 et deg(B) = deg(C) = deg(D) = 3 impair. Donc, ce problme na pas desolution.

Dv Autre problme possible

Dans un jeu de dominos, peut-on mettre bout bout en ligne toutes les pices du jeu ?

1.2 Coloration de graphes

1.2.1 Enonc du problme

Un aquariophile vient de recevoir huit poissons. Les poissons ne peuvent cohabiter tous ensembledans un mme aquarium.

Dans le tableau suivant, une croix signifie que deux poissons ne peuvent cohabiter.

6 Leon n1 Rsolution de problmes laide de graphes

A B C D E F G HA B C D E F G H

Combien daquariums au minimum seront ncessaires ?Ce problme est quivalent colorier avec un minimum de couleurs les sommets du graphe sui-

vant :

A B C D

E F G H

1.2.2 Outils pour la rsolutionDfinition 1.5 Coloration dun graphe. On dit quon colorie un graphe si on affecte une couleur chacun de ses sommets de faon ce que deux sommets adjacents ne portent pas la mme couleur.

Dfinition 1.6 Nombre chromatique. On appelle nombre chromatique dun graphe G, le plus petitnombre de couleurs permettant de le colorer. On note (G) le nombre chromatique de G.

Proprit 1.7 Soit G un graphe. Sil existe un sous-graphe de G complet dordre p alors le nombrechromatique (G) de G vrifie la relation (G) p.

Algorithme 1.8 Algorithme de Welsh-Powell. Soit G un graphe. Lalgorithme de Welsh-Powella pour but de donner une approximation du nombre chromatique du graphe G. Il se fait en deuxtapes :

tape 1 On ordonne les sommets en fonction de leur degr.tape 2 On attribue une couleur C1 au premier sommet de la liste.tape 3 En suivant la liste, on attribue cette couleur C1 tous les sommets qui ne lui sont pas

adjacents et qui ne sont pas adjacents entre eux.Ensuite. . . On attribue une couleur C2 au premier sommet non colori et on recommence

comme ltape 2 et ainsi de suite. . . jusqu ce que tous les sommets du graphe G soientcoloris.

Cest un algorithme glouton, cest--dire qutape par tape, on essaie de faire un choix optimallocal pour esprer obtenir un rsultat optimum global.

1.2 Coloration de graphes 7

Thorme 1.9 Vizing, admis. Soit G un graphe et soit le plus grand des degrs. Alors le nombrechromatique (G) est infrieur ou gal + 1 ; soit (G) + 1.

Dv Dmonstration du thorme de Vizing

Dfinition 1.10 Chane de Kempe. Une chane de Kempe de couleurs a et b (deux couleurs)est lensemble des rgions connectes qui possdent lune de ces couleurs.

Il est possible de se rendre dune rgion quelconque de la chane une autre en restant surces deux couleurs.

En termes de graphes, une chane de Kempe de couleur a et b est le sous-graphe connect(cest--dire que lon peut aller dun sommet un autre en passant par des artes existantes)maximum dont les sommets sont dune de ces deux couleurs.

Dmonstration On montre cette proprit par rcurrence sur le nombre dartes dugraphe G, not m. Il faut donc montrer quon peut colorer tout graphe de n sommets dtermi-ns lavance avec au plus + 1 couleurs, o est le degr maximal du graphe considr.Initialisation : Un graphe 0 arte peut se colorer avec une couleur.Hrdit : Supposons la proprit vraie pour un entier m quelconque et montrons quelle

reste vraie pour lentier m + 1. Soit G un graphe m + 1 artes. Enlevons une arte de ce graphe : on obtient un graphe G m artes dont on peut colorer les artes, daprslhypothse de rcurrence. Essayons present de remettre dans G pour obtenir nouveau le graphe G.On appelera A et B1 les sommets initialemnet relis par larte .Ncessairement, puisque A est de degr infrieur ou gal , il existe une couleur parmiles + 1 disponibles qui nest pas utilise pour colorer les artes incidentes au sommetA. De mme, il existe une couleur parmi les +1 qui nest pas utilise pour la colorationdes artes de B1.

1. Si on peut trouver une couleur non utilise la fois pour la coloration des artesadjacentes A et pour la coloration des artes adjacentes B1, alors il suffit de choisircette couleur pour et de replacer cette arte une fois colore son emplacementinitial dans G.

2. Si les couleurs manquant A sont prsentes au sommetB1 et rciproquement, notonsa une des couleurs manquant A et b1 une couleur manquant B1. Examinons lachane de Kempe associe aux couleurs a et b1 et partant de B1 : H(a; b1). Si cettechane ne relie pas A B1, on change les deux couleurs dans cette chane (les artesdu graphe G restent ainsi correctement colores) puis on choisit la couleur a pour et on replace cette arte son emplacement initial.

3. Si en plus de ne pouvoir trouver une couleur manquant A et B1, la chane deKempe H(a; b1) relie ces deux sommets, on effectue les oprations suivantes : on identifie larte de couleur b1 incidente A (quon note ) et on appelle B2

le sommet lautre extrmit de larte en question ; on extrait cette mme arte dentre A et B2 pour la placer entre A et B1. est

prsent larte que lon doit replacer pour obtenir nouveau le graphe G.

Il faut alors procder comme prcdemment pour trouver la couleur adquate avec la-quelle colorer . Il se peut que lon revienne chaque fois au cas 3.Au bout dun certain temps ( fois au maximum), il arrive donc que la couleur manquantau sommet Bi ait dj t la couleur manquant un sommet Bk (k < i). Notons que lon

8 Leon n1 Rsolution de problmes laide de graphes

a mme k < i 1 tant donn que lon vient juste de retirer la couleur bi1 au sommetBi.Ainsi on a une chane de Kempe H(a; bk) qui part de A, qui rejoint Bk+1 et dont lessommets ont tous la couleur bk (sauf Bk+1 puisquon a justement retir larte de cou-leur bk adjacente ce sommet pour la mettre entre Bk et A. On a vu que Bi navait pasdarte adjacente de couleur bk, partant de quoi on affirme que Bi nest pas sur la chanede Kempe H(a; bk) que lon vient de mentionner.Dautre part, on sait que le sommet Bi a une arte adjacente de couleur a et que de cefait il appartient une autre chane de Kempe H (a; bk) disjointe de la chane H(a; bk)(H (a; bk) peut tre rduite une simple arte de couleur a). Il suffit alors dintervertirles couleurs des artes de H (a; bek) et de relier Bi et A avec une arte de couleur a pourainsi reconstruire le graphe G color (lors de cette dernire opration, on aura reli leschanes H(a; bk) et H (a; bk)).

Dv Droulement de lalgorithme de Welsh-Powell pour notre problme

1. On liste les sommets par ordre de degr dcroissant.

Sommets A C B D E G F HDegr 5 5 4 4 4 4 3 3

2. On choisit la couleur rouge pour A (sommet de plus haut degr) et on colore tous lessommets non adjacents A (ou entre eux) en rouge (sommet E).

A B C D

E F G H

3. On soccupe maintenant du sommet C qui est dordre 5. On lui choisit la couleur bleue eton colore tous les sommets non adjacents A (ou entre eux) en bleu (sommet B).

A B C D

E F G H

4. On soccupe maintenant du sommet D qui est dordre 4. On lui choisit une couleur : lacouleur verte et on colorie les sommets qui lui sont non adjacents (les sommets G et F ).

1.3 Recherche du plus court chemin 9

A B C D

E F G H

5. Enfin il reste un sommet colorier, cest le sommet H !

A B C D

E F G H

Majoration et minoration de (G) : Le maximum des degrs du graphe est 5 donc (G) 5. Le sous graphe AH D C est complet dordre 4 donc 4 (G).

Or, on a russi (grce lalgorithme de Welsh-Powell colorier le graphe en 4 couleurs, do(G) = 4.

Il faudra donc au minimum 4 aquariums.

1.3 Recherche du plus court chemin1.3.1 Pondration dun graphe

Dfinition 1.11 Pondrer un graphe. Soit G = (S,A) un graphe tel que S = (s1, . . . , sn). Pon-drer un graphe est quivalent se donner une fonction f : S S R tel que f(si, sj) est lalongueur de larte qui relie le sommet si et sj .

1.3.2 Algorithme de DijkstraAlgorithme 1.12 Algorithme de Dijkstra. 1. On trace un tableau avec autant de colonnes quil

y a de sommets dans le graphe G. La premire colonne est rserve au sommet de dpart.

2. Dans la ligne suivante, on met 0 dans la premire colonne et dans les colonnes suivantespour indiquer que lon commence lalgorithme (on part du sommet de dpart et on navancepas vers dautres sommets (sommets inaccessibles)).

3. On met les valeurs des chemins qui partent du sommet quon a gard prcdemment versles autres artes (sans se proccuper des sommets traits).

4. On entoure larte qui a la longueur minimale et on garde le sommet qui constitue le but delarte.

5. On recommence ltape 3 jusqu tant quil ny a plus dartes traiter.Ainsi, on se constitue une suite de sommets qui sera notre chemin de longueur minimale.

10 Leon n1 Rsolution de problmes laide de graphes

R 1.13 Lalgorithme de Dijkstra peut se mettre en uvre quand le graphe est connexe et que la valeur aux artesest positive ou nulle.

1.3.3 Exemple de problmes et rsolutionOn a report sur le graphe ci-dessous ceraintes villes dAllemagne et les distances qui les sparent

(en kilomtres) :

K

H

D

S

N

B

M

F

120

490 650 780 600

210

490

630 580

600 230

Les lettres B, D, F , H , K, M , N et S re-prsentent les villes Berlin, Dortmund, Francfort,Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberget Stuttgart.

Dterminer le plus court chemin possible pouraller de Kaiserslautern Berlin.

Dv Rsolution du problme

On commence par le sommet K :

K F H S M N D B

0

On tudie chacune des arretes partant du sommet choisi. Dans les colonnes, on met la distance K et le sommet do lon vient.

K F H S M N D B

0 120K

On se place de nouveau au sommet du plus petit poids, ici F .

K F H S M N D B

0 120K 610F

Et ainsi de suite. . .

1.3 Recherche du plus court chemin 11

K F H S M N D B

0 120K 610F 1260H 1390H 1210H

K F H S M N D B

0 120K 610F 1260H 1390H 1210H 1260H ou 1420N 1390H

K F H S M N D B

0 120K 610F 1260H 1390H 1210H 1260H 1390H 1390H ou 1490S 1890S

K F H S M N D B

0 120K 610F 1260H 1390H 1210H 1260H 1390H 1390H 1890S 1990M 1890S ou 1970M

Et enfin. . .

K F H S M N D B

0 120K 610F 1260H 1390H 1210H 1260H 1390H 1390H 1890S 1990M 1890S

On a trouv le chemin de poids minimal qui va du sommet K jusquau sommet B : cest lechemin K F H S B.

12 Leon n1 Rsolution de problmes laide de graphes

1.4 Graphe probabiliste1.4.1 Dfinition

Dfinition 1.14 Graphe probabiliste. On dit quun graphe est probabiliste si le graphe est orient,pondr et que les poids figurant sur chaque arte est un nombre rel dans lintervalle [0 , 1] et quela somme des poids des artes sortant de chaque sommet est gale 1.

Mathmatiquement, on dit quun graphe G = (S,A) est probabiliste sil existe une fonctionf : S S [0 , 1] tel que :

1ijnf(si, sj) = 1.

1.4.2 Exemple de problmesOn a divis une population en deux catgories : fumeurs et non-fumeurs . 60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs. 10% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.

la gnration 1, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs. On se propose de suivre lvolutiongnration par gnration du taux de fumeurs et des non-fumeurs par rapport la population totale.Ce problme peut se modliser grce un graphe probabiliste.

1.4.3 Outils pour la rsolutionDfinition 1.15 Matrice de transition. On appelle matrice de transition (note M ) du graphe pro-babiliste, la matrice dont le terme de la ie colonne et de la je colonne est gal au poids de larteallant du sommet si au sommet sj si elle existe et 0 sinon.

Exemple 1.16 La matrice de transition ltape 0 de lexemple prcdent est :

M =(

0, 6 0, 40, 1 0, 9

)

Thorme 1.17 Soit P0 la matrice reprsentant ltat probabiliste initial et Pn la matrice reprsentantltat probabiliste ltape n. Alors : Pn = P0Mn.

Dfinition 1.18 On dit que P est un tat stable si P = PM .

Thorme 1.19 Pour toute matrice de transition M , il existe un tat stable (cest--dire il existe P telque P = PM ).

Dv

Dmonstration Soit P = (, ) et M =(a 1ab 1b

). On dit que est valeur propre de M

si PM = P .Donc PM = P si et seulement si 1 est valeur propre de M . On regarde le polynme caract-

1.4 Graphe probabiliste 13

ristique de M :

M (X) = X2 tr(MT ) + detM= X2 (a+ 1 b)X + a(1 b) b(1 a)= X2 (a+ 1 b)X + a b

1 est racine de M (X) car :

1 (a+ 1 b) a b = 0.

1.4.4 RsolutionDv Recherche dun tat stable

On cherche ltat stable dans le problme pos plus haut. Pour cela, on pose P = (a, b) (avec a, bpositifs et a+ b = 1) et on rsout lquation matricielle PM = P .

(a, b)(

0, 6 0, 40, 1 0, 9

)= (a, b)

do a+ b = 10, 6a+ 0, 1b = a0, 4a+ 0, 9b = b

et ainsi, on trouve a = 0, 2 et b = 0, 8.

14 Leon n1 Rsolution de problmes laide de graphes

15

Exprience alatoire, probabilit,probabilit conditionnelle

2Le

o

nn

Niveau LycePrrequis thorie des ensembles

Rfrences [7], [8]

2.1 Exprience alatoire, vnements2.1.1 Exprience alatoire

Dfinition 2.1 Exprience alatoire. On dit quon fait une exprience de type alatoire si on nepeut pas prvoir le rsultat final de cette exprience.

Exemples 2.2 1. On lance une pice et on observe le ct expos (pile ou face). Il y a deuxissues possibles sur cette exprience.

2. On dispose dune urne avec 100 boules, on tire une dentre elles et on note le numro. Cetteexprience alatoire a 100 issues possibles.

Dfinition 2.3 Univers. Lensemble de toutes les issues dune exprience alatoire est appel uni-vers. On note gnralement cet ensemble .

R 2.4 Dans cette leon, on se limitera au cas o est un ensemble fini.

Exemple 2.5 On reprend les expriences de lexemple prcdent.

1. Si on lance une pice de monnaie, on obtient = {P, F}.2. Si on tire une boule numrote dans une urne o il en contient 100 alors = {1, 2, . . . , 100}.

2.1.2 Evnement associ une exprience alatoireDans ce qui suit, nous allons dcrire ce quest un vnement :

Dfinition 2.6 Vocabulaire des vnements. Un vnement lmentaire (quon note ) estce qui constitue lune des issues de la situation tudie (un lment de ).

Un vnement est un ensemble de plusieurs issues. Lvnement A et B (quon note AB) est lvnement constitu des issues communes

aux deux vnements. Lvnement A ou B (quon note A B) est lvnement constitu des toutes les issues

des deux vnements. Deux vnements incompatibles A et B (quon note A B = ) sont deux vnements qui

nont pas dlments en commun. Lvnement est dit contraire de A (quon note A) si A et A sont incompatibles et A A

forme la totalit des issues.

Exemples 2.7 1. Obtenir un 7 est un vnement lmentaire : = {7}.

16 Leon n2 Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle

2. Obtenir un nombre pair est un vnement :

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} .

3. Obtenir un multiple de trois est un vnement :

B = {3, 6, 9, 12} .

4. A B = {6, 12}.5. A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.6. Si

C = {10, 11, 12}

etD = {2, 3, 4, 5, 6}

alors C D = donc C et D sont incompatibles.7. Ici, A reprsente lvnement obtenir une somme impaire . On a alors :

A A = , A A = .

2.2 Probabilits2.2.1 Loi de probabilits sur un univers

Dfinition 2.8 Soit lunivers dune exprience alatoire. Dfinir une loi de probabilit P sur ,cest associer, chaque vnement lmentaire i, des nombres pi [0 , 1] tels que :

i

pi = 1.

On appelle les nombres pi, les probabilits (quon peut noter pi = P (i)).

Proposition 2.9 Principe fondamental. La probabilit P (E) dun vnement E est la somme desprobabilits des vnements lmentaires qui le composent.

Corollaire 2.10 P () = 1

R 2.11 Dans le corollaire 2.10, on sous-entend quil y a n (n N) vnements lmentaires dans et on faitlhypothse dquiprobabilit.

Dv

Dmonstration du corollaire 2.10

P () = P (i

i) =i

P (i) =i

1n

= 1.

2.2 Probabilits 17

Exemple 2.12 On se donne les probabilits dapparition des faces dun d truqu :

Issue 1 2 3 4 5 6Probabilits P () 0,05 0,05 0,1 0,1 0,2 inconnue

Dv

1. On veut calculer la probabilit de lvnement

A = obtenir un rsultat infrieur ou gal 4 .

Daprs le principe,

P (A) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4) = 0,05 + 0,05 + 0,1 + 0,1.

2. On veut calculer la probabilit dobtenir 6. Le corollaire 2.10 nous donne :

P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1

donc P (6) = 0,5.

Dfinition 2.13 Autre dfinition. Soit un univers et P() = A lensemble des parties de (cest--dire lensemble de tous les vnements associ cette exprience alatoire). On appelleprobabilit P toute application de P() dans R+ qui vrifie :

1. P () = 12. Soit (Ai)iN, I N une famille dvnements de P() deux deux disjoints (si i 6= j alorsAi Aj = ) alors :

P

(iI

Ai

)=iI

P (Ai).

2.2.2 Proprits de calcul de probabilitsProprits 2.14 Soient A,B . Alors :

1. P () = 02. P (A) = 1 P (A)3. P (A \B) = P (A) P (A B)4. A B P (A) P (B)5. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

Dv

Dmonstration

18 Leon n2 Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle

1. On applique la proprit 2 de la dfinition 2.13 A et (ils sont disjoints car A = )do

P (A ) = P (A) + P () P (A) = P (A) + P ()

et donc on en dduit que P () = 0.2. Comme A A = et A A = , on a :

P (A A) = P (A) + P (A) P () = P (A) + P (A).

Or P () = P (A A) = 1 do P (A) = 1 P (A).3. On a : A = (A \ B) (A B), de plus (A \ B) et A B sont disjoints donc on peut

appliquer la dfinition :

P (A) = P (A \B) + P (A B).

4. A B implique que B = (B A) A donc

P (B) = P (B \A) + P (A) P (A).

5. On a :A B = (A \B) (A B) (B \A)

2 2 disjoints donc :

P (A B) = P (A \B) + P (A B) + P (B \A)= P (A) P (A B) + P (A B) + P (B) P (A B)= P (A) + P (B) P (A B).

2.2.3 quiprobabilitDfinition 2.15 quiprobabilit. Si tous les lments de (lunivers dune exprience alatoire)ont la mme proprit dapparition alors est dit quiprobable. Si = {a1, . . . , an} alors :

P ({ai}) =1n, ai .

Proprit 2.16 Si est quiprobable, la probabilit dun vnement A contenant nA lmentsest :

P (A) = 1n

+ 1n

+ + 1n

nA fois

= nAn

= card(A)card() .

Exemples 2.17 On lance un d (non truqu) ; = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On est dans le cas dune qui-probabilit.

Dv

1. La probabilit davoir un 5 est P (5) = 1/6 (5 est un vnement lmentaire)

2.3 Probabilits conditionnelles 19

2. La probabilit dobtenir un nombre pair est :

P ( obtention dun nombre pair ) = 36 =12 .

2.3 Probabilits conditionnelles2.3.1 Un exemple pour dbuter

Exemple 2.18 On considre une population de 500 individus parmi lesquels il y a 180 femmes et 90des 500 individus ont lallle du daltonisme. On choisit un individu au hasard dans cette population(cest une exprience alatoire). On note :

F = lindividu choisi est une femme D = lindividu choisi possde lallle du daltonisme .

Dv

Lunivers est lensemble des individus, il est quiprobable. Chaque individu a la mme proba-bilit dtre choisi 1500 . Donc,

P (D) = card(D)card() =90500 = 0,18.

Maintenant, on se restreint la sous-population des femmes. On sait que 9 femmes possdentlallle du daltonisme. Lunivers est lensemble des femmes F . Il est quiprobable. Chaquefemme a 1180 chance dtre choisie.

On cherche la probabilit quune femme choisie au hasard possde lallle du daltonisme :

card(D F )card() =

9180 = 0,05.

On note cette probabilit :

PF (D) =card(D F )

card(F ) =P (D F )P (F ) .

2.3.2 Probabilit conditionnelleDfinition 2.19 Soit F un vnement de probabilit strictement positive (cest--dire F etP (F ) > 0). On appelle probabilit conditionnelle F , lapplication PF () de lensemble des v-nements (P()) dans [0 , 1] telle que :

PF : P() [0 , 1]A 7 PF (A) = P (AF )P (F )

.

20 Leon n2 Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle

Proposition 2.20 Lapplication PF () est une probabilit.

Dv

Dmonstration de la proposition 2.20 On vrifie que PF () prend ses valeurs dans[0 , 1]. Si A F F alors P (A F ) P (F ) et ainsi :

P (A F )P (F ) = PF (A) 1

et PF (A) 0 comme quotient de deux probabilits. On vrifie la proprit 1 de la dfinition2.13 :

PF () =P ( F )P (F ) =

P (F )P (F ) = 1.

On vrifie ensuite la proprit 2 de la dfinition 2.13. Soit (Ai)iI une famille dvnementsdans deux deux disjoints.

PF

(iI

Ai

)=P ((iI Ai) F )P (F ) =

P (iI(Ai F ))P (F ) .

Mais Ai F Ai donc tous les (Ai F ) sont disjoints 2 2 et :

PF

(iI

Ai

)=iI P (Ai F )P (F ) =

iI

P (Ai F )P (F ) =

iI

PF (Ai).

Proprit 2.21 Probabilits composes. Soit un univers,F etA deux vnements tel queP (F ) >0. Alors,

P (A F ) = PF (A) P (F ) = PA(F ) P (A)

2.3.3 Formule des probabilits totales et de BayesProprit 2.22 Formule des proprits totales. Soit {E1, E2, . . . , En} une partition de dvne-ments non vides. Soit A . Alors :

P (A) =ni=1

PEi(A) P (Ei).

Exemple 2.23 On considre deux urnes U1 et U2. Lurne U1 contient 6 boules rouges et 4 boulesvertes et lurne U2 contient 7 boules vertes et 3 boules rouges. On lance un d. Sil indique le chiffre1, on choisit lurne U1 sinon on choisit lurne U2. On effectue ensuite deux tirages avec remise. Oncherche la probabilit davoir tir deux rouges en tout. On note :

R = {rouge au 1er tirage} , R = {rouge au 2e tirage}

H1 = {choix de lurne U1} , H2 = H1 = {choix de lurne H2} .On a ainsi :

PH1(R) =610 =

35 , PH1(R R

) =(3

5

)2.

2.3 Probabilits conditionnelles 21

PH2(R) =310 , PH2(R R

) =( 3

10

)2.

La formule de conditionnement donne :

P (R) = PH1(R)P (H1) + PH2(R)P (H2)

= 1635 +

56

310 =

110 +

14 =

4 + 1040 =

720 .

et

P (R R) = PH1(R R)P (H1) + PH2(R R)P (H2)

= 16

(35

)2+ 56

( 310

)2= 27200 .

Proprit 2.24 Formule de Bayes. Soit {E1, E2, . . . , En} une partition de dvnements nonvides. Soit A . Alors :

PA(Ei) =PEi(A) P (Ei)ni=1 PEi(A) P (Ei)

.

Exemple 2.25 Un test sanguin a une probabilit de 0,95 de dtecter un certain virus lorsque celui-ci est effectivement prsent. Il donne nanmoins un faux rsultat positif pour 1% des personnes noninfectes. On cherche la probabilit ait le virus sachant quelle est positif (et on sait que 0,5% de lapopulation est porteuse du virus). On note :

V = {la personne teste a le virus} ,T = {la personne teste a un test positif} .

On cherche PT (V ). Or, on sait que :

P (V ) = 0,005, PV (T ) = 0,95, PV (T ) = 0,01.

On en dduit par la formule de Bayes,

PT (V ) =P (T V )P (T ) =

PV (T )P (V )PV (T )P (V ) + PV (T )P (V )

= 0,95 0,0050,95 0,005 + 0,01 0,995 ' 0,323.

2.3.4 IndpendanceDfinition 2.26 Indpendance de deux vnements. Deux vnements E et F sont indpendantssi :

P (E F ) = P (E) P (F ).

R 2.27 Daprs la proprit des probabilits composes, P (E) = PF (E) (si P (F ) > 0). Ce rsultat correspond lide intuitive que si E et F sont indpendants alors la ralisation de F napporte pas dinformation surE.

22 Leon n2 Exprience alatoire, probabilit, probabilit conditionnelle

Exemple 2.28 On jette deux fois le mme d. Les vnements

A = {obtention dun chiffre pair au premier lancer} ,B = {obtention du 1 au deuxime lancer} ,

sont indpendants. En effet, en prenant = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 et si on fait lhypothse de lquiproba-bilit dans (P quiprobable), on vrifie que :

P (A) = 3 636 =12 , P (B) =

6 136 =

16 .

P (A B) = 3 136 =112 , P (A)P (B) =

12

16 =

112 .

2.3.5 Schma de BernoulliDfinition 2.29 Toute exprience alatoire conduisant deux issues possibles S (Succs) et S (Echec)est appele preuve de Bernoulli.

Exemple 2.30 Si on appelle Succs lors dun lanc dun d, lvnement not :

S = Le six sort .

Le lancer du d peut alors tre considr comme une preuve de Bernoulli avec S = {6} et p = P (S) = 1/6. S = {1, 2, 3, 4, 5} avec q = 1 p = 5/6.

Dfinition 2.31 Schma de Bernoulli. Si on rpte n fois et de faon indpendante une preuve deBernoulli, on obtient un schma de Bernoulli.

Proprit 2.32 Soit 0 k n,

P ( obtenir k succs ) =(n

p

)pkqnk.

Exemple 2.33 On lance 3 fois une pice et on dit quon fait succs si la pice tombe sur pile. Oncherche la probabilit de faire 2 succs.

P ( obtenir 2 succs ) =(

32

)14

12 =

38 .

23Variables alatoires discrtes3

Le

on

n

Niveau Terminale SPrrequis probabilits

Rfrences [9], [10]

3.1 Loi de probabilits. Fonction de rpartition Exemple 3.1 On tire au hasard une boule dans une urne. Cette urne contient une boule rouge R, uneverte V , une bleue B. On remet la boule dans lurne et on effectue un deuxime tirage. On supposequil y a quiprobabilit dans les deux tirages. Soit

= {(R,R), (R, V ), (R,B), (V,R), (V, V ), (V,B), (B,B), (B,R), (B, V )} .

Il y a neuf vnements lmentaires. Il y a quiprobabilit, donc la probabilit de chaque vnementlmentaire est p = 19 . La probabilit de tirer au moins une boule verte est :

q = 59 .

On fixe la rgle suivante : Si on tire une boule rouge, on gagne 6 euros, verte, on gagne 1 euro, bleue, on perd 4 euros.

On dfinit ainsi une application de dans R, cette application est appele variable alatoire. Voiciles gains et perte du jeu :

Tirage 1 Tirage 2 Gain (en euros)R R (R,R) 12R V (R, V ) 7R B (R,B) 2V R (V,R) 7V V (V, V ) 2V B (V,B) -3B R (B,R) 2B V (B, V ) -3B B (B,B) -8

Dfinition 3.2 Lorsque qu chaque vnement lmentaire dun univers , on associe un nombrerel, on dit que lon dfinit une variable alatoire (relle). Une variable est donc une applicationX : R. Elle est dite discrte si N.

Exemple 3.3 On lance trois fois une pice non truqu et on compte le nombre de fois o on obtient Face . On dfinit ainsi une variable alatoire X : R avec :

= {PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF}

24 Leon n3 Variables alatoires discrtes

et

X(PPP ) = 0, X(PPF ) = 1, X(PFP ) = 1, X(FPP ) = 1

X(FFP ) = 2, X(FPF ) = 2, X(PFF ) = 2, X(FFF ) = 3.

Dfinition 3.4 Loi de probabilit. Soit P une probabilit sur un univers . Soit X une variablealatoire dfinie sur telle queX() soit fini de cardinal n. Lorsqu chaque valeur xi (1 i n)de X on associe les probabilits pi de lvnement X = xi , on dit que lon dfinit une loi deprobabilit PX de la variable alatoire X .

Exemple 3.5 Dans lexemple prcdent, on a quiprobabilit de (la probabilit dobtenir un desvnements lmentaires tant de 18 ). La probabilit dobtenir 2 fois le ct face de la pice est de :

PX(2) = P (X = 2) =38 .

Dfinition 3.6 Fonction de rpartition. La fonction de rpartition de la variable alatoire X est lafonction F telle que :

F : R [0 , 1]x 7 F (x) = P (X x) .

Proprit 3.7 La fonction de rpartition est toujours une fonction croissante et borne par 0 et 1.

Exemple 3.8 Avec lexemple prcdent, on a : Pour x ] , 0[, on a :

F (x) = 0

Pour x ]0 , 1], on a :

F (x) = 18

Pour x ]1 , 2], on a :

F (x) = 18 +38 =

12

Pour x ]2 , 3], on a :

F (x) = 18 +38 +

38 =

78

Pour x ]3 , 4], on a :

F (x) = 18 +38 +

38 +

18 = 1.

Voici la reprsentation graphique :

3.2 Esprance mathmatique 25

0, 5

0, 75

y

3 2 1 1 2 3

x[

[

[

[

3.2 Esprance mathmatiqueDfinition 3.9 Esprance mathmatique. Soient lunivers correspondant une exprience ala-toire, P une probabilit sur et X une variable alatoire sur telle que X() soit fini a. Onnote {x1, . . . , xn} lensemble X() (cest--dire lensemble des valeurs prises par X . Lesprancemathmatique de la variable alatoire X est le nombr, not E(X), dfini par :

E(X) =ni=1

pixi = p1x1 + p2x2 + + pnxn

o pi = P (X = xi).

a. Si X() est infini dnombrable, lesprance existe encore sous rserve de la convergence (absolue) de la srie determe gnral xnpn.

R 3.10 Lesprance est la moyenne des valeurs xi pondres par les probabilits pi.

Exemple 3.11 On reprend lexemple de la pice de monnaie. On a :

E(X) = 18 0 +38 1 +

38 2 +

18 3 =

32 .

R 3.12 On pourrait aussi calculer lesprance E(X) en revenant aux vnements lmentaires de lunivers aulieu dutiliser les valeurs xi de la variable alatoire X :

E(X) =

P ()X().

Exemple 3.13 Suite la remarque 3.2. Sur lexemple prcdent, comme P () = 18 , cela donne-

26 Leon n3 Variables alatoires discrtes

rait :

E(X) = 18

X()

= 18[X(PPP ) +X(PPF ) +X(PFP ) +X(FPP )

+X(PFF ) +X(FPF ) +X(FFP ) +X(FFF )]

= 18(0 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3) =32 .

Thorme 3.14 Linarit de lesprance. Soient X et Y deux variables alatoires dfinies sur lemme univers de cardinal fini. Soit P une probabilit sur . On a :

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

En particulier, si b est un rel :E(X + b) = E(X) + b

et pour tout rel k,E(kX) = kE(X).

Dv

Dmonstration du thorme 3.14 On a :

E(X + Y ) =

(X + Y )()P ()

=

X()P () +

Y ()P () = E(X) + E(Y ).

En prenant Y constante gale b, on obtient :

E(X + b) = E(X) + E(b) = E(X) + b.

De plus,

E(kX) =ni=1

kpixi = kni=1

pixi = kE(X).

3.3 Variance et cart-typeDfinition 3.15 Variance et cart-type. Soient lunivers correspondant une exprience ala-toire, P une probabilit sur et X une variable alatoire sur telle que X() soit fini. On note{x1, . . . , xn} lensemble X() (cest--dire lensemble des valeurs prises par X).

3.3 Variance et cart-type 27

La variance de la variable alatoire X est le nombre, note Var(X), dfini par :

Var(X) = E((X E(X))2) =ni=1

pi(xi E(X))2

= p1(x1 E(X))2 + + pn(xn E(X))2.

Lcart-type de la variable alatoire X est le nombre, not (X) dfini par :

(X) =

Var(X).

R 3.161. La variance est la moyenne des carrs des carts la moyenne.

2. La variance est une quantit positive, donc lcart-type est bien dfini.

Exemple 3.17 Sur le problme du comptage du ct face, on calcule la variance de X :

Var(X) = 18

(0 38

)2+ 38

(1 32

)2+ 38

(2 32

)2+ 18

(3 32

)2= 34 .

Do :

(X) =

Var(X) =

34 =

3

2 .

Exemple 3.18 Montrer que lesprance E(X) minimise la fonction f dfinie par R par :

f(x) =ni=1

pi(xi x)2

mais pas la fonction g dfinie par :

g(x) =ni=1

pi |xi x| .

Dv

Rponse lexercice 3.18 La fonction f est drivable comme somme de fonctionsdrivables et on a, pour tout x R :

f (x) = 2ni=1

pi(xi x) = 2ni=1

pixi 2xni=1

pi = 2(E(X) x).

On en dduit :f (x) 0 x E(X).

Donc f admet un minimum en E(X) (et ce minimum est f(E(X)) = Var(X). Lespranceest donc la quantit qui minimise la moyenne des carrs des carts. Par contre, elle ne mini-mise ps la moyenne des carts. En effet, on considre la variable alatoire X dfinie par la loi

28 Leon n3 Variables alatoires discrtes

suivante :xi 0 1000pi 0,9 0,1

On a :E(X) = p1x1 + p2x2 = 1000

g(E(X)) = p1 |x1 1000|+ p2 |x2 1000| = 90 + 90 = 180.

Or :g(0) = E(X) = 100.

Donc : g(0) < g(E(X)). Conclusion : E(X) ne minimise pas la fonction g et on peut montrerque la mdiane est ce minimum.

Thorme 3.19 Formule de Koenig. La variance dune variable alatoire X peut se calculer avecla relation suivante :

Var(X) = E(X2) [E(X)]2.

La variance est lcart entre la moyenne des carrs et le carr de la moyenne.

Dv

Dmonstration de la formule de Koeing On rappelle que lesprance dune variablealatoire constante X = b est gale la constante b. Daprs la linarit de lesprance :

Var(X) = E((X E(X))2) = E(X2 2XE(X) + E(X)2)= E(X2) 2E(X)E(X) + E(X)2E(1)

Do Var(X) = E(X2) [E(X)]2.

Exemple 3.20 On reprend lexemple de la pice de monnaie lance trois fois de suite. On rappelleque X est le nombre de face obtenu. On a dj calcul E(X), on calcule E(X2) :

E(X2) = 18 02 + 38 1

2 + 38 22 + 18 3

2 = 3.

Do :Var(X) = E(X2) [E(X)]2 = 3 94 =

34 .

Corollaire 3.21 Effet dun changement affine sur la variance et lcart-type. Soit X une variablealatoire. Soient a et b deux rels. On :

Var(aX + b) = a2 Var(X) et (aX + b) = |a|(X).

En particulier :Var(aX) = a2 Var(X) et (aX) = |a|(X)

etVar(X + b) = Var(X) et (X + b) = (X).

3.4 Exemples de variables alatoires discrtes 29

Dv

Dmonstration du corollaire 3.21 Daprs la formule de Koeing, on a :

Var(aX + b) = E(a2X2 + 2abX + b2) [E(aX + b)]2

et daprs la linarit de lesprance,

Var(aX + b) = a2E(X2) + 2abE(X) + b2 [aE(X) + b]2

= a2E(X2) + 2abE(X) + b2 a2[E(X)]2 2abE(X) b2 = a2 Var(X).

Do, par passage la racine carre :

(aX + b) = |a|(X).

Pour montrer la particularisation, il faut remplacer dans chaque formule b = 0 et a = 1 (selonle cas que lon veut dmonter).

3.4 Exemples de variables alatoires discrtes3.4.1 Loi de Bernoulli

Dfinition 3.22 Une exprience de Bernoulli est une exprience qui na que deux issues possibles,lune appele succs qui a pour probabilit p, lautre appele chec qui a pour probabilitq = 1 p.

Dfinir une loi de Bernoulli de paramtre p, cest associer une loi de probabilit discrte cetteexprience alatoire en faisant correspondre la valeur 1 lapparition dun succs et 0 celle dunchec.

xi 1 0P (X = xi) p 1 p

Exemple 3.23 Si on lance un d et quon nomme succs lapparition de la face 6, on dfinit laloi de Bernoulli suivante :

xi 1 0P (X = xi) 16

56

Proprit 3.24 Soit X une variable alatoire suivant une loi de Bernoulli B(p), alors : Lesprance de X vaut E(X) = p. La variance de X vaut Var(X) = pq.

Exemple 3.25 Dans lexemple prcdent, on obtient E(X) = 16 et Var(X) =536 .

3.4.2 Loi binomialeDfinition 3.26 Loi binomiale. La loi binomiale de paramtres n et p, note Bin(n, p) est la loi deprobabilit du nombre de succs dans la rpartition de n expriences de Bernoulli de paramtres p

30 Leon n3 Variables alatoires discrtes

identiques et indpendantes. Elle est dfinie par :

P (X = k) =(n

k

)pkqnk, 0 k n.

Exemple 3.27 On lance 2 fois un d bien quilibr. On sintresse lapparition de la face 6.Chaque lancer est une exprience de Bernoulli de paramtres 16 . On obtient donc une loi binomialeBin(2, 1/6).

nombre de succs 0 1 2probabilit 2536

1036

136

Proprit 3.28 Soit X une variable alatoire suivant une loi binomiale Bin(n, p) alors : Lesprance de X vaut E(X) = np. La variance de X vaut Var(X) = npq.

Exemple 3.29 Dans lexemple prcdent, on obtient E(X) = 13 et Var(X) =518 .

3.4.3 Loi de PoissonLa loi de Poisson modlise des situations o lon sintresse au nombre doccurrences dun v-

nement dans un laps de temps dtermin ou dans une rgion donne. Par exemple : nombre dappels tlphoniques qui arrivent un standard en x minutes, nombre de clients qui attendent la caisse dun magasin, nombre de dfauts de peinture par m2 sur la carrosserie dun vhicule. . .

Dfinition 3.30 La variable alatoire X suit une loi de Poisson de paramtre , note Pois() avec > 0 lorsque sa loi de probabilit vrifie :

P (X = k) = ek

k! , k N.

Exemple 3.31 On considre la variable alatoire X mesurant le nombre de clients se prsentant auguichet 1 dun bureau de poste par intervalle de temps de dure 10 minutes entre 14h30 et 16h30. Onsuppose que X suit la loi de Poisson de paramtre = 5.

Dv Pour = 5, la table de la loi de Poisson nous donne :k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

P (X = k) 0, 007 0, 034 0, 084 0, 140 0, 176 0, 176 0, 146 0, 104 0, 065 0, 036 0, 018 0, 008 0, 003 0, 001 0, 000 On peut aussi reprsenter graphiquement la loi Pois(5) :

3.4 Exemples de variables alatoires discrtes 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

0.1

0.2

0

La probabilit quentre 14h30 et 14h40, 10 personnes exactement se prsentent ce gui-chet vaut :

P (X = 10) = 0, 018.

La probabilit quentre 15h20 et 15h30, au maximum 3 personnes se prsentent ce gui-chet vaut :

P (X 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 265.

La probabilit quentre 16h00 et 16h10, 8 personnes au moins se prsentent ce guichetvaut :

P (X 8) = 1 P (X < 8)= 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + + P (X = 7)] = 1 0, 867 = 0, 133

.

Proprit 3.32 Soit X une variable alatoire suivant une loi de Poisson de paramtre , alors lesp-rance et la variance sont gales et valent E(X) = Var(X) = .

Exemple 3.33 Dans lexemple prcdent, on obtient E(X) = Var(X) = 5.

32 Leon n3 Variables alatoires discrtes

33Loi binomiale4

Le

on

n

Niveau Premire S + SUP (Convergence)Prrequis Variable alatoire, esprance, variance, thorme limite central, loi de Poisson

Rfrences [11], [12], [13], [14]

4.1 Loi de BernoulliDfinition 4.1 Loi de Bernoulli. Soit E une preuve comportant deux issues (succs et chec). Onnote p la probabilit de succs. Soit X la variable alatoire qui est gal 1 en cas de succs et 0sinon. Alors, on dit que X suit un loi de Bernoulli de paramtres p. On note alors X Bern(p).

R 4.2 Si X Bern(p), on notera :P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 p = q.

Exemple 4.3 On lance un d non pip. On note X la variable alatoire qui prend comme valeur 1 sila face 6 apparat lors du lancer et 0 sinon.

La variable alatoire X est une variable alatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramtres 1/6.Donc X Bern(1/6).

Lemme 4.4 Si X Bern(p) alors X2 Bern(p).

Dv

Dmonstration On a X2() = {0, 1} et :

P (X2 = 1) = P (X = 1) = p

donc X2 Bern(p).

Proposition 4.5 Si X Bern(p) alors :1. E(X) = p2. Var(X) = pq.

Dv

Dmonstration On a :

E(X) = P (X = 0) 0 + P (X = 1) 1 = q 0 + p 1 = p,

et :Var(X) = E(X2)E(X)2 = E(X2) p2

34 Leon n4 Loi binomiale

or X2 Bern(p), donc on a : E(X2) = E(X) = p.Ainsi, Var(X) = p p2 = pq.

4.2 Loi binomialeDfinition 4.6 Loi binomiale. Soit lunivers associ une exprience alatoire. Soit X une va-riable alatoire dfinie sur . On dit queX suit une loi binomiale de paramtres n N et p [0 , 1]lorsque :

1. X() = {0, 1, . . . , n} ;2. pour tout k {0, 1, . . . , n}, P (X = k) =

(nk

)pk(1 p)nk =

(nk

)pkqnk.

Si X suit une loi binomiale de paramtres n et p alors on note X Bin(n, p).

R 4.7 Soit X Bin(n, p). On a bien dfini une variable alatoire car :nk=0

P (X = k) =nk=0

(nk

p

)kqnk = [p+ (1 p)]n = 1.

Thorme 4.8 Soit E une preuve comportant deux issues (succs et chec). On note p la probabi-lit de succs. On note n fois, de faons indpendantes, lpreuve E . Soit X la variable alatoirecorrespondant au nombre de succs. Alors : X suit une loi binomiale de paramtres n et p.

Dv

Dmonstration La probabilit davoir k succs suivis de n k succs suivis de n kchecs est : pk(1 p)nk. Mais les succs et les checs napparaissent pas ncessairementdans cet ordre.On considre lensemble des mots de n lettres qui ne contiennent que des S (Succs) et desE (checs). On sait quil y en a exactement

(np

)qui contiennent exactement k fois la lettre S

(et donc n k fois la lettre E).On en dduit m

P (X = k) =(n

p

)pk(1 p)nk

et ceci pour tout k {0, 1, . . . , n}.

R 4.91. La probabilit davoir n succs : P (X = n) = pn et davoir aucun succs P (X = 0) = qn. Par

consquent, la probabilit davoir au moins un succs est :

P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 qn.2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale o lpreuve E nest ralise quune seule

fois.3. Toute variable alatoire X suivant une loi binomiale de paramtres n N et p [0 , 1] peut scrire

comme somme X = X1 + + Xn o, pour tout k {0, 1, . . . , n}, Xk est une variable alatoiresuivant une loi de Bernoulli de paramtre p (Xk vaut 1 en cas de succs la ke ralisation de E et 0sinon).

Exemples 4.10 La probabilit quun tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose quil fait deuxtirs et on note X la variable alatoire associant cette preuve le nombre de succs obtenus (X = 0,1 ou 2).

4.3 Proprits sur les coefficients binomiaux 35

1. Calculer la probabilit des vnements {X = 0}, {X = 1} et {X = 2}.2. Calculer

2k=0 P (X = k).

3. On suppose quil fait sept tirs et on note Y la variable alaoire associant cette preuve lenombre de succs obtenus. Calculer P (X = 1) et P (X = 2).

Thorme 4.11 Esprance et variance dune loi binomiale. Si X Bin(n, p) avec n N etp [0 , 1] alors :

E(X) = np et Var(X) = npq.

Dv

Dmonstration PuisqueX Bin(n, p), il existe des variables alatoires (relles)X1, X2, . . . , Xndfinies sur indpendantes, de loi de Bernoulli de mme paramtre p telles que X =ni=1Xi.

Par linarit de lesprance :

E(X) = E(

ni=1

Xi

)=

ni=1

E(Xi)

et daprs ce qui prcde :

E(X) =ni=1

p = np.

De mme pour la variance :

Var(X) = Var(

ni=1

Xi

)=

ni=1

Var(Xi) =ni=1

pq = npq.

Exemple 4.12 La probabilit quun tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose quil tire n =7 fois. On note X la variable alatoire associant cette exprience alatoire le nombre de succsobtenus. Calculer son esprance et sa variance.

4.3 Proprits sur les coefficients binomiaux

4.3.1 Dfinitions et propritsDfinition 4.13 Combinaisons. Soient n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant nlments. Un sous-ensemble de E contenant p lments est appel une combinaison de p lmentsde E.

Le nombre de p-combinaisons dun ensemble contenant n lments est not(np

)ou(np

).

Exemple 4.14 Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numros parmi 5. On veut savoir combien il y ade grilles possibles. Considrons une grille quelconque (cest--dire une 3-combinaison de lensembledes 5 numros) : par exemple {1, 3, 4}. Il y a 3! faons possibles dordonner ces nombres. Or, il y a

36 Leon n4 Loi binomiale

(53) 3! suites de 3 nombres ordonnes. Mais, on compte 5 4 3 de ces dernires suites. Donc :(

53

)= 5 4 33! .

On peut maintenant gnraliser la formule :

Proposition 4.15 Le nombre de p-combinaisons dun ensemble contenant n lments est not(n

p

)= n(n 1)(n 2) (n (p 1))

p! (4.1)

= n!p!(n p)! (4.2)

Dv

Dmonstration de la proposition 4.15 On part de la formule (4.1) pour arriver laformule (4.2) :(

n

p

)= n(n 1)(n 2) (n p+ 1)

p!

= n(n 1)(n 2) (n p+ 1)p!

(n p)(n p 1) 2 1(n p)(n p 1) 2 1

= n!p!(n p)!

Une autre faon de voir la formule (4.2). Il y a Apn manires de tirer p objets parmi n en lesordonnant soit

Apn =n!

(n p)! .

Une fois les p objets tirs, il y a p! manires de les ordonner. Il y a donc Apn

p! manires de tirerp objets parmi sans les ordonner. Do(

n

p

)= A

pn

p! =1p!

n!(n p)! .

Dfinition 4.16 Coefficients binomiaux. Soit p un entier naturel non nul. Les nombres(np

)sont

appels les coefficients binomiaux.

Proposition 4.17 Formule de Pascal. Soit n, p N tel que p < n. On a :(n

p

)=(n 1p

)+(n 1p 1

).

4.3 Proprits sur les coefficients binomiaux 37

Dv

Dmonstration de la formule de Pascal Soit un ensemble E n lments. On supposeque lon a extrait une partie p lments. Si lon retire un lment {a} E, cest soitun lment de la combinaison, soit non. Dans le premier cas, les p 1 restants forment unepartie de lensemble E \ {a} de cardinal n 1, et dans le second, ce sont les p lmentsqui forment une partie de E \ {a}. Cette union tant disjointe, les cardinaux sajoutent pouraboutir lgalit demande.

n\p 0 1 2 3 0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 1...

......

......

. . .

FIGURE 4.1 Triangle de Pascal

Proposition 4.18 Formule itre de Pascal. Soit p n deux entiers naturels. Alors

nk=p

(k

p

)=(n+ 1p+ 1

).

Dv

Dmonstration de la formule itre de Pascal On effectue une rcurrence sur lentiern.

Initialisation Lorsque n = p, les deux membres valent 1.Hrdit On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre quelle est encore vraie

au rang n+ 1 :n+1k=p

(k

p

)=

nk=p

(k

p

)+(n+ 1p

)et daprs lhypothse de rcurrence,

n+1k=p

(k

p

)=(p+ 1n+ 1

)+(n+ 1p

)=(n+ 2p+ 1

).

La dernire galit est justifie par lemploi de la formule de Pascal.

On note A = C (ou R ou Q ou Z).

38 Leon n4 Loi binomiale

Thorme 4.19 Formule du binme. Soient deux lments a, b de A qui commutent. Alors :

n N, (a+ b)n =nk=0

(n

k

)akbnk.

Dv

Dmonstration de la formule du binme de Newton Pour n = 1, nous avons :

1k=0

(1k

)akb1k =

(10

)b+

(a

=

)a+ b.

La formule du binme est vraie pour n = 1.Supposons que la formule du binme soit vraie au rang n 1. Alors,

(a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n = (a+ b)nk=0

(n

k

)akbnk.

En distribuant le produit, nous obtenons

(a+ b)n+1 =nk=0

(n

k

)ak+1bnk +

nk=0

(n

k

)akbn+1k.

Nous effectuons alors la translation dindices l = k + 1 dans la premire somme :

(a+ b)n+1 =n+1l=1

(n

l 1

)albn+1l +

nk=0

(n

k

)akbn+1k.

Lindice de sommation tant muet, nous pouvons regrouper les deux sommes :

(a+ b)n+1 =(n

n

)an+1 +

nk=1

[(n

k 1

)+(n

k

)]akbn+1k +

(n

0

)bn+1.

On utilise ensuite la formule du triangle de Pascal :

(a+ b)n+1 =(n

n

)an+1 +

nk=1

(n+ 1k

)akbn+1k +

(n

0

)bn+1.

On remarque que :(n0)

= 1 =(n+1

0)

et que(nn

)= 1 =

(n+1n+1)

pour faire entrer les deuxtermes isols dans la somme.

(a+ b)n+1 =n+1k=0

(n+ 1k

)akbn+1k.

Corollaire 4.20 On a les galits suivantes :

1.nk=0

(nk

)= 2n,

4.3 Proprits sur les coefficients binomiaux 39

2.nk=0(1)k

(nk

)= 0.

Dv

Dmonstration du corollaire 4.20

1. On utilise le binme de Newton avec a = 1 et b = 1.2. On utilise le binme de Newton avec a = 1 et b = 1.

R 4.21 On remarque que lgalit 1 du corollaire 4.20 traduit le fait que le nombre de parties dun ensemble nlments est 2n. En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement 0, 1, . . .lments (le cardinal dune union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien la sommeindique.

Proposition 4.22 Formule de Van der Monde. Pour tous entiers m,n et p tels que p m+ n, on algalit : (

m+ np

)=

pk=0

(m

k

)(n

p k

).

Dv

Dmonstration de la formule de Van der Monde Soit x un rel. Alors :

(1 + x)m(1 + x)n = (1 + x)m+n =m+np=0

(m+ np

)xp.

Or

(1 + x)m(1 + x)n =(

mi=0

(m

i

)xi

) nj=0

(n

j

)xj

= mi=0

nj=0

(m

i

)(n

j

)xi+j

=((

m

0

)(n

0

))+(

((m

0

)(n

1

)+(m

1

)(n

0

))x)

+(

((m

0

)(n

2

)+(m

1

)(n

1

)+(m

2

)(n

0

))x2)

+

=m+np=0

(( i,j>0i+j=p

(m

i

)(n

j

))xp).

Par identification des coefficients de ce polynme de degr p, on obtient finalement que, pourtout entier 0 p m+ n,(

m+ np

)=i,j>0i+j=p

(m

i

)(n

j

)=

pi=0

(m

i

)(n

p i

).

40 Leon n4 Loi binomiale

4.4 Stabilit additive de la loi binomialeThorme 4.23 Stabilit additive de la loi binomiale. Si X Bin(m, p) et Y Bin(n, p) avec Xet Y indpendantes, alors X + Y = Bin(m+ n, p).

Soit (Ai)1in une suite dvnements. On note :ni=0Ai si les vnements sont disjoints.

Dv

Dmonstration On pose S = X + Y . On a clairement S() = {0, . . . ,m+ n}.Calculons P (S1(k)) pour tout 1 k m+ n :

S1(k) =ki=0

X1(i) Y 1(k i).

Do :

P (S1(k)) =ki=0

P (X1(i) Y 1(k i)).

Et comme X et Y sont indpendantes :

P (S1(k)) =ki=0

P (X1(i))P (Y 1(k i)).

Comme X Bin(m, p) et Y Bin(n, p) :

P (S1(k)) =ki=0

(m

i

)pi(1 p)mi

(n

k i

)pki(1 p)n(ki)

=(

ki=0

(m

i

)(n

k i

))pk(1 p)m+nk.

Et commeki=0(mi

)(nki)

=(m+nk

).

P (S1(k)) =(m+ nk

)pk(1 p)m+nk.

Donc S Bin(m+ n, p).

4.5 Convergence4.5.1 Vers la loi de Poisson

Thorme 4.24 Lorsque n tend vers linfini et que simultanment pn 0 de sorte que limn npn =a > 0, la loi binomiale de paramtres n et pn converge vers la loi de Poisson de paramtre a. Enpratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson ds que n > 30 et np < 5 ou ds quen > 50 et p < 0.1.

4.6 chantillonnage 41

Dv

Dmonstration On dcompose P (X = k) :(n

k

)pkn(1 pn)nk =

n(n 1) (n k + 1)k! p

kn(1 pn)nk

= (npn)k

k!

(1 1

n

)(1 2

n

) (

1 k 1n

)(1 pn)nk.

On se place dans la situation o pn est quivalent an en linfini. Lorsque n tend vers linfini, les facteurs

(1 1n

),(1 2n

), . . .,

(1 k1n

)tendent vers

1. Le produit de ces termes tend galement vers 1 puisquils sont en nombre fini fix k. On a :

(1 pn)nk = (1 pn)n(1 pn)k,

or, limp0(1 p)k = 1 et de plus, (1 pn)n ' (1 an )n et ce dernier terme tend vers

ea quand n tend vers linfini.On trouve donc :

limn+

(n

k

)pkn(1 pn)nk =

ak

k! ea,

qui est la probabilit de k pour la loi de Poisson de paramtre a.

4.5.2 Vers la loi normaleThorme 4.25 Soit (Xn)n une suite de variable alatoires indpendnates de mme loi de BernoulliBern(p) et Sn = X1 + +Xn suit la loi binomiale Bin(n, p).

Daprs le thorme central limite, la loi de Sn peut re approxime par la loi normale N(E(Sn),Var(Sn)),cest--dire par la loi N(np, npq).

R 4.26 En pratique, lorsque n 30, np 15 et npq > 5, la loi binomiale Bin(n, p) peut tre approxime par laloi normale N(np, npq).

4.6 chantillonnage4.6.1 Premier problme : proportion de boules dans une urne

Dans une urne contenant une dizaine de boules, il y a 2 boules noires et 8 boules blanches. Laproportion de boules noires est donc de 1/5.

On pioche dans lurne avec ordre et remise une vingtaine de boules et on sintresse la proportionde boules noires obtenues.

Cette exprience a t recommence 100 fois laide dun tableur et voici les proportions obte-nues.

Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 TotalNb dchantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100

1. Quel est le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 ?2. Quel est le nomb re dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 ?

42 Leon n4 Loi binomiale

3. Quel est le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires entre 0, 1 et 0, 4 ?4. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce dernier nombre. On considre la variable

alatoire X qui lors de lexprience compte le nombre boules noires obtenues.

(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.

(b) Calculer P (2 X 8).(c) En dduire la probabilit que la proportion de boules noires soit comprise entre 0 et 0, 4.

Solution

Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 TotalNb dchantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100

1. Le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 est 9.2. Le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 est 0. En effet, tous

les chantillons sont dj dans le tableau.

3. Le nombre dchantillons qui ont une proportion de boules noires comprise entre 0, 1 et 0, 4est 13 + 20 + 27 + 16 + 9 + 5 = 90. Soit 90%.

4. (a) On recommence 20 fois de manire indpendante une exprience ayant deux issues pos-sibles, succs ou chec. La variable alatoire qui compte le nombre de succs suit une loibinomiale de paramtres 20 et 1/5.

(b) P (2 X 8) = 0, 92.(c) On cherche la probabilit que la proportion de boules noires dans un chantillon soit

comprise entre 0, 1 et 0, 4 ; cest--dire la probabilit quil y ait entre 10% et 40% deboules noires. Or chaque chantillonnage contient 20 boules. Ainsi 10% de boules noirespari ces 20 boules reprsente exactement 2 boules noires. De mme 40% reprsente 8boules noires. Finalement, chercher la probabilit que la proportion de boules noires dansles chantillonnages soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 revient chercher la probabilit depiocher entre 2 et 8 boules noires parmi les 20 boules. Cest exactement la probabilitque lon a calcul la question 4b, soit 0, 92. Ce qui correspond peu prs au 90% trouvgrce au tableau.

4.6.2 Second problme : proportion de camions sur une autorouteSur une autoroute, la proportion des camions par rapport lensemble des vhicules est 0, 07.1. Soit X le nombre de camions parmi 100 vhicules choisis au hasard. Calculer P (X 5).2. Soit Y le nombre de camions parmi 1000 vhicules choisis au hasard. Calculer P (65 Y

75).3. On choisit n vhicules au hasard. Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que la proportion

de camions est entre 0, 06 et 0, 08 avec un risque derreur infrieur 5% ?

Solution

1. Soit X une variable alatoire de loi binomiale Bin(100, 0.07). 100 30, 100 0, 07 = 7 4 donc lapproximation utiliser est celle par la loi normale N(70, 65.1) et si Fdsigne la fonction de rpartition de la loi N(70, 65.1),

P (65 Y 75) F (75.5) F (64.5) = (

5.565.1

)

( 5.5

65.1

)= 2

(5.565.1

) 1 2(0.68) 0.5

3. On choisit n vhicules au hasard. Le nombre Sn des camions parmi ces n vhicules suit la loibinomiale Bin(n, 0.07) et la proportion des camions est Snn .On cherche n tel que

P(Sn

n 0.07 0.01) = 0.05.

Si n 30, 0.07n 15 et 0.070.93n > 5, cest--dire n 215, on peut approximer la loide Snn par la loi normale N(0.07,

0.0651n ) et la loi de

Snn 0.07 par la loi normale N(0,

0.065n ).

On a alors :

P

(Snn 0.07 0.01) = P ( n0.0651

(Snn 0.07

) n0.0651 1100)

2(

1 (

n651

)) 0.05

On a donc (

n651

) 0.975 (1.96) et n 1.962 651 2501. 2501 90, ce qui

lgitime lapproximation.

4.7 Loi multinomialeDfinition 4.27 Loi multinomiale. Le vecteur alatoire N suit la loi multinomiale de paramtresn et (p1, . . . , pd) o n N et les pi sont strictement positifs et de somme 1 si pour tout d-uple(j1, j2, . . . , jd) dentiers tels que j1 + j2 + + jd = n,

P [N = (j1, j2, . . . , jd)] =n!

j1!j2! jd!pj11 p

j22 p

jdd .

Exemple 4.28 On considre 20 tirages dune boule avec remise dans une urne contenant 1 boulebleue, 3 jaunes, 4 rouges et 2 vertes. Notons N = (N1, N2, N3, N4) o Ni est le nombre de boules dela couleur i en numrotant les couleurs par ordre alphabtique (b,j,r,v). On a (p1, p2, p3, p4) =( 110 ,

310 ,

410 ,

210). La probabilit dobtenir en 20 tirages 3 bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est :

P (N = (3, 5, 10, 2)) = 20!3!5!10!2!

( 110

)3 ( 310

)5 ( 410

)10 ( 210

)2' 0, 004745.

44 Leon n4 Loi binomiale

45Loi de Poisson, loi normale5

Le

on

n

Niveau BTS

PrrequisVariable alatoire, esprance, variance, thorme limite central, loi binomiale,fonctions exponentielles

Rfrences [14],[16]

5.1 Loi de Poisson5.1.1 Dfinition

La loi de Poisson est la loi des processus assimilables au temps dattente.

Dfinition 5.1 Soit un rel strictement positif. On appelle loi de Poisson de paramtre , la loidune variable alatoire X discrte qui prend les valeurs k N avec les probabilits :

P (X = k) = k

k! e

une telle loi est note Pois().

Dv

A-t-on bien dfini une variable alatoire ?

Thorme 5.2 Pour tout rel x, on a :

ex =+k=0

xk

k!

Dmonstration La formule de Taylor, pour une fonction indfiniment drivable f nousdonne :

f(u) =+n=0

dnfdun (0)

un

n!

et lgalit, valable pour tout entier naturel n :

dn(eu)dun = e

u

donnent le rsultat.

Ainsi :

+k=0

P (X = k) =+k=0

k

k! e = e

+k=0

k

k! = ee = e+ = e0 = 1.

5.1.2 Valeurs caractristiques

46 Leon n5 Loi de Poisson, loi normale

Thorme 5.3 Soit X une variable alatoire qui suit la loi de Poisson de paramtre . Alors :

E(X) = et Var(X) = .

Dv

Dmonstration On a :

E(X) =+k=0

kek

k! = e

+k=1

k1

(k 1)! = .

E(X(X 1)) =+k=0

k(k 1)ek

k! = 2e

+k=2

k2

(k 2)! = 2.

Or, par linarit de lesprance :

E(X(X 1) = E(X2)E(X)

donc :

E(X2) = 2 + et Var(X) = E(X2)E(X)2 = 2 + 2 = .

5.1.3 Somme des deux lois de PoissonThorme 5.4 Si X1 suit une loi Pois(1) et X2 suit une loi Pois(2) et que X1 et X2 sont indpen-dantes alors X = X1 +X2 suit une loi Pois(1 + 2).

5.1.4 Table de la loi de PoissonContrairement la loi binomiale qui a 2 paramtres n et p, la loi de Poisson na quun seul

paramtre . Ci-dessous (figure 5.1), la table donnant les valeurs numriques de P (X = k) pourdiffrentes valeurs de et k.

Exemple 5.5 Soit X une variable alatoire qui suit la loi de Poisson Pois(), = 4. On a P (X =2) = 0, 147.

5.1.5 Exemples de situations Exemple 5.6 Signature de ptitions. Un militant entreprend de faire signer une ptition lentredun supermarch. Le nombre de personnes X quil peut ainsi contacter est une variable alatoire dePoisson de paramtre . Soit p la probabilit quune personne ainsi sollicite signe la ptition. Onnote Y le nombre total de signatures et Z le nombre total de refus de signature (X = Y + Z).

1. Soient j et k deux entiers. En distinguant les cas j > k et j k, calculer P (Y = j |X = k).2. En dduire P (X = k, Y = j).3. Dterminer la loi de Y . Les variables alatoires X et Y sont-elles indpendantes ?

4. En utilisant le rsultat de la question 2, dterminer la loi du couple (Y, Z).5. Ces deux variables alatoires sont-elles indpendantes ? Commenter.

5.2 Loi normale 47

FIGURE 5.1 Table de la loi de Poisson

Exemple 5.7 Poisson pair et impair. Soit X une variable alatoire de Poisson de moyenne > 0.Quelle est la probabilit que X soit pair ? impair ?

5.2 Loi normale5.2.1 Definition

Dfinition 5.8 Soient m un rel et un rel positif et non nul. On dit quune variable alatoire Xsuit la loi normal de paramtres m et si elle admet pour densit de probabilit :

f(x) = 1

2e(xm)2/(22).

On dit que X suit une loi N(m,).

La densit de probabilit de f est :

P (X x) = F (x) = 1

2

x

e(tm)2/22 dt.

On admet que :1

2

+

e(tm)2/22 dt = 1.

Pour m = 2 et = 3, on obtient la courbe suivante dite en forme de cloche de Gauss :

48 Leon n5 Loi de Poisson, loi normale

4 2 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0

Proprit 5.9 Pour tout x > 0, on a f(m+ x)