Les Mathématiques Financières - Pandore 2015 · Cours Math Fi EM1 Y. BEJAR Page 2 1- les opérations à plusieurs flux 2- les principes d’actualisation et la valeur présente

Les Mathématiques Financières

Yosra BEJARMaître de Conférences

Mél : [email protected]

Cours Math Fi EM1 Y. BEJAR

Page 2

1- les opérations à plusieurs flux 2- les principes d’actualisation et la valeur présente

3- Le taux de rentabilité interne4- Quel taux d’actualisation ?

Les principes d’actualisation et de

capitalisation

Cours Math Fi EM1 Y. BEJARPage 3

Les Opérations à plusieurs flux 1

Principes de base

Dans l'analyse des opérations à plusieurs flux :

• Le temps est décomposé en périodes de même durée (mois, trimestre, année, …).

• Chacune des périodes donne lieu à une rentrée ou une sortie d’argent nette unique (égale à la somme algébrique des rentrées et sorties de cette période).


Les définitions de base 1

Opérations à plusieurs flux

Cas de l’emprunt, du prêt ou encore du financement

t0

n

C

FnF1 F2 …

…21


Les définitions de base 1

Opérations à plusieurs flux

Cas du placement ou encore de l’investissement

t0 n

C

FnF1 F2 …

…21


Les principes d’actualisation et la valeur présente

2

Comparer les opérations à plusieurs flux

Comparons deux investissements différents caractérisés par des flux distincts aux différentes périodes.

Instants 0 1 2 3 4

A – 500 100 150 200 250

B – 350 250 100 75 125

Lequel des deux est préférable à l’autre ?



2

Principe d’actualisation

• Remplacer les différents flux des différentes périodes par des flux se produisant tous aujourd’hui (ils seront tous "en euros d'aujourd'hui" )

• Calculer la somme algébrique de ces flux se produisant tous à la date initiale et caractériser chaque investissement par le résultat ainsi obtenu (qui pourra être positif ou négatif).

Une méthode de choix consiste à "actualiser" les deu x séries de flux A et B :

Pour simplifier les calculs, supposons que l’investisseur puisse prêter et emprunter àsa guise à un taux unique r (nous l’appellerons taux d’actualisation).

La méthode consiste à



2

Principe d’actualisation

Disposer de at à l'instant t équivaut à disposer de à l’instant 0. ( ) tt

r+1a

n

( ) tt

r+1a

( ) tt

tt a=)r+1(*r+1

aDémonstration



2

Valeur présente

( ) tt

r+1a est appelée la "valeur actuelle" (ou "valeur présente"

ou encore "valeur actualisée à l'instant 0" ) du flux at

Où r est le taux d’actualisation .

Selon le même principe, on peut démontrer que payer at

à l'instant t équivaut à payer l’instant 0 ( ) tt

r+1a



2

Exemple

Nous sommes le premier juillet 2005. Un particulier a souscrit un emprunt qui lui impose de rembourser 2000€ le 1er juillet 2007. Il souhaite se débarrasser dès aujourd'hui de cette dette en remboursant de façon anticipée son emprunt. Sachant que le taux annuel d'emprunt et de prêt en vigueur est de 3%, à combien devrait s’élever le montant du remboursement anticipé?

Réponse :On actualise le montant emprunté; le particulier devra rembourser :

2%)3+1(2000

€, soit 1885,19€ au premier juillet 2005.



2

La Valeur Présente d’une séquence

Considérons maintenant un investissement générant une séquence de flux {F0 , F1 , …, Fn}* ;

La VP (valeur présente) de cette séquence de flux est donnée par la formule :

)r+1(

F+...+

)r+1(

F+

r+1F

+F=VP n2n21

0

(F0 étant le flux de la période 0, n’a pas à être actualisé).

*rappelons que les Ft sont positifs ou négatifs selon qu’ils représentent des encaissements ou des décaissements (dans le cas d’un investissement F0 est négatif, et représente la mise de fonds initiale).



2

Dans certains cas, le calcul peut être simplifié en utilisant les propriétés des suites géométriquesConsidérons en effet le cas particulier d’une séquence de flux qui ont tous la même valeur. Supposons que cette valeur soit de 1 €. La valeur présente de la séquence de flux de 1€ reçus de la période 1 à la période n est alors égale àla somme des :

)r+1(

1+...+

)r+1(

1+

r+1 1

=S n2n

t)r+1/(1

correspondant chacun à une période, soit:

Simplification par la suite géométrique

( )r

r+11=

n--



2

La Valeur capitalisée ou acquise

La valeur acquise (ou valeur capitalisée ou valeur actualisée àl'instant final) d’une séquence de flux est égale à la somme des valeurs capitalisées jusqu'à l'instant final de chacun des flux composant la séquence.

n1-n1-n

1n

0 F+)r+1(*F+...+)r+1(*F+)r+1(*F=Vaq



2

VNP ou VAN

Dans le cas d’un investissement, on emploie le terme de :

• VNP (valeur nette présente) ou • VAN (valeur actuelle nette)

Le premier flux est négatif Le taux d’actualisation est souvent approximé par le coût du capital



2

VNP ou VAN

Exemple :Calculer la VNP de l’investissement suivant, en utilisant un taux d’actualisation de 10%:

200100– 200Flux de trésorerie

210Périodes

Réponse :En actualisant les flux nous obtenons :

)1,0+1(

200+

1,0+1 100

+ 200-=VNP 2 = – 200 + 91 + 165,2 = 56,2


2


2


2

Exemple

ExempleConsidérons un investissement caractérisé par la série de flux de trésorerie {F0, F1, …, F10} suivante :

+228,8+89,4– 380Flux de trésorerie

101 à 90Instants


Calculez la VAN avec un taux d’actualisation de 10%


2

Exemple


Réponse :Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K€ reçus pendant les périodes 1 à 9 (VP(F1, …, F9) ) et celle du flux de 228,8 reçu à la période 10 (VP(F10)).

VP(F1, …, F9) peut être obtenu à partir de la table financière 1 :

( )1,0

1,0+1-14 x ,89=)F,..,.F(VP

-9

91


2


2

Exemple




VP (F10) peut être obtenu à partir de la table financière 2 :

( )8,514=759,5×4,89=

1,01,0+11 -

4x,89=)F,..,.F(VP-9

91

( )1,0+1

18 x,228=)F(VP 1010



2

Exemple




VP(F10) peut être obtenu à partir de la table financière 2 :

( ).8,514=759,5×4,89=

1,01,0+11 -

4x,89=)F,..,.F(VP-9

91

( ).2,88=3855,0×8,228=

1,0+1

18 x,228=)F(VP 1010


2

Exemple


( ).8,514759,54,89

1,0

1,0114,89),..,.(

9-

91 =×=

+−=FFVP

( ).2,88=3855,0×8,228=

1,0+1

18,228=)F(VP 1010

380 -=F0

VNP= - 380 + 514,8 + 88,2 = 223 K€



2

VAN et critères de choix

Un investissement ne sera retenu que s’il produit une VNP positive et entre deux investissements on préfèrera celui dont la VNP est la plus élevée. Cela permet d’énoncer les deux règles suivantes qui constituent le critère de la valeur nette présente:

1. Règle 1 : un investissement ne doit être retenu que si sa valeur nette présente est positive.

2. Règle 2 : Entre plusieurs investissements mutuellement exclusifs on doit retenir celui dont la valeur nette présente est la plus grande.


Le Taux de rentabilité interne 3

Introduction

Nous avons déjà défini le taux de rentabilité actuariel, dans le cas d’un prêt-investissement de durée T générant deux flux {– C , F } : c’est le taux d’intérêt qui, pour un capital placé égal à C, donne un flux terminal F en T. C’est donc r* tel que F = C (1+r*)T ou encore :

– C + = 0 T*)r+1(

F

Le taux de rentabilitéactuariel r* est donc le

taux d’actualisation particulier qui annule la

valeur présente de l’échéancier à deux flux.

�� Généralisation à plusieurs flux


3

Introduction

Exemple : Commençons par considérer l’investissement suivant :

28080– 200Flux de trésorerie

210Instant

Le Taux de rentabilité interne

Si r est le taux d’actualisation, nous pouvons écrire l’expression de sa valeur présente, quelle que soit la valeur de r :

La VNP est une fonction du taux d’actualisation r

)r+1(

280+

r+180

+-200=)r(VNP 2



Introduction

La courbe représentative de VNP(r) coupe l’axe des r en un point et un seul : une valeur de r unique annule donc la VNP ; nous appellerons cette valeur particulière de r, le taux de rentabilité interne (TRI) de l’investissement.

Par exemple si :• r =10% : VNP= 104.2 ;• r = 0 : VNP = 160 ;• r = 40% : VNP = 0

160

TRI

104,2

10% 40%00%



Définition

Définition:

Nous définirons le TRI (taux de rentabilité interne) d’un investissement générant la séquence de flux annuels (F0, F1, …, Fn) par la relation :

( ) ( )n22

0 TRI+1

F+...+

TRI+1

F+

TRI+1

F+ F=0 n1

Le TRI d’un investissement est donc le taux d’actualisation particulier qui annule sa VNP.



Approximation du TRI par interpolation linéaire

Quand on ne dispose pas d’une calculatrice ni d’un tableur, le calcul du TRI se fait par approximations successives : on encadre le TRI par deux valeurs proches, l’une trop grande (VNP < 0) et l’autre trop petite (VNP > 0), puis l’on effectue une interpolation linéaire.

TRI

r1

r2

VAN (TRI) = 0

VAN (r1) > 0

VAN (r2) < 0

)r(VNP)r(VNP)r(VNP×r)r(VNP×r

=TRI ou*r21

2112

-

-


3

TRI

r1

r2

VAN (TRI) = 0

VAN (r1) > 0

VAN (r2) < 0

Approximation du TRI par interpolation linéaire

Le Taux de rentabilité interne

)r(VNP)r(VNP)TRI(VNP)r(VNP

=rr

TRIr

21

1

21

1

-

-

-

-)r(VNP)r(VNP

)r(VNP×r)r(VNP×r=TRI ou*r

21

2112

-

-



TRI de séquences Type / opération à deux flux

‘’’

Le TRI d’un investissement de séquence {– S , S + iS } où iSreprésente les intérêts est égal au taux d’intérêt i

– S + S = 0 ; soit TRI= iTRI+1i+1

Plus généralement (deux flux) : (– x , y)

Le TRI de cette séquence est x

x-y



TRI de séquences Type / rente perpétuelle

Dans le cas d’une rente perpétuelle (– x, y, y, …, y, … à l’infini).

Le TRI de cette séquence est xy

xy

On peut vérifier que le TRI de cette séquence coïncide bien avec ce taux en résolvant l’équation

0 = – x + , d’où TRI =

Démonstration

( ) TRIy

+-x=TRI+1

y

1=ii∑

∞



TRI de séquences Type / remboursement in fine

Dans le cas d’un remboursement in fine (– x, y, y, …, y+x).

Le TRI de cette séquence est xy

xy

On peut vérifier que le TRI de cette séquence coïncide bien avec ce taux en résolvant l’équation

0 = – x +

d’où TRI =

Démonstration

( ) ( )

TRIy

+x-=

TRI)TRI+1(-1

y+))TRI+1(-1(x-=TRI+1

x+

TRI+1

y -nn-

n

1=ini∑



Exemples

Exemple :-200, 10, 10, 10, 210 donne un TRI de

soit 5% ; un prêt in fine sur quatre ans, d’un montant de 200 , au taux de 5 %, engendre bien la séquence considérée.

20010

Exemple :-100, 6 à l’infini donne un TRI de 6% ; un prêt de 100 au taux de 6 % dont le capital n’est jamais remboursé engendre bien la séquence considérée.


TRITRI

VAN > 0 VAN > 0

Creation de Creation de valeurvaleur

VAN < 0 VAN < 0

Destruction de valeurDestruction de valeur

II00

VANVANFF(k)(k)

kk00kk22

kk11


VAN versus TRI



VAN versus TRI / conflits



VAN versus TRI /conflits



La solution au conflit : la VAN globale

)i+1(k-n

k

n

1

F∑n

n-k

k

n

10 +r)1(

F+VANG=- F

+i)1(∑

)i+1(F2-n

2

)i+1(F1)-(n-n

1-n

)i+1(F1-n

1

…

-F0 F1 F2 … F(n-1) Fn


� TIR et VAN globaux sont plus économiquement réalistes puisqu’ils distinguent le taux de rendement du projet du coût du capital.

� VAN globale et TIR global permettent toujours de déterminer le meilleur investissement de projets mutuellement exclusifs.


La solution au conflit : la VAN globale


� Dans les précédents exemples, le taux d’actualisation est toujours une donnée

� Dans la pratique, les managers doivent estimer ce taux. D’une manière générale ce taux doit être égale au coût du capital.

Quel taux d’actualisation ? 4

Cout du capital



Cout du capital

Il s'agit de déterminer le TRI mini à exiger de l'in vestissementce TRI mini servira de taux d'actualisation

� Coût du financement

� Rentabilité des investissements alternatifs …?

En absence D’aléas

� Coût moyen pondéré

� Référence au marché …?coût = rf + β(rm-rf)

En présence D’aléas

Le TRI minimum à exiger

Croît avec le risque de l'investissementTraduit l’exigence des bailleurs de fonds (actionnaires et prêteurs)

t)-(1V

D k

V

E k de +== WACCCMPC


� Cout moyen pondéré du capital (CMPC) /Weighted average cost of capital (WACC):

est le taux de rentabilité annuel moyen attendu, par les actionnaires et les créanciers, en retour de leur investissement. Le CMPC mesure ce que l'entreprise doit à tous ceux qui lui ont apporté des capitaux.

Ke: cout des fonds propresKd: cout de la dette avant impôtt: taux d’impositionE: Fonds propresD: DettesV: Capitaux engagés (D+E)


Cout du capital

t)-(1V

D k

V

E k de +=WACC


� Modèle de marché (MEDAF / CAPM)

• Ke= krf + ßi (km - krf)

- Ke: rendement attendu pour l’entreprise

- Krf: Cout sans risque sur le marché (estimé par le rendement d’une obligation)

- ßi: coefficient de risque

- Km: rendement du marché

- MEDAF : Modèle d’évaluation des actifs financiers

- CAPM : Capital asset princing model

* Capital Asset Pricing Model


Cout du capital


ßi = Cov( Ri,Rm)σ2(Rm)

La valeur de ß dépend donc de la façon dont bouge le rendement du titre i par rapport au rendement du marché.


Cout du capital



Exemples de cout du capital

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