Les nombres parfaits - fred.elie.free.frfred.elie.free.fr/nombres_parfaits.pdf · informatique, cryptographie et codage des données), l’arithmétique modulaire (relations de congruence

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Les nombres parfaits

Frédéric Élie, septembre 2010

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clairement l’auteur et la référence de l’article.

En arithmétique (théorie des nombres) l’étude des nombres parfaits ne présente pasqu’un intérêt anecdotique. Elle offre l’occasion d’exploiter les propriétés sur lesdiviseurs d’un nombre, les systèmes de numération (si importants par exemple eninformatique, cryptographie et codage des données), l’arithmétique modulaire (relationsde congruence et classes d’équivalence), etc. Malgré l’ancienneté de la découverte desnombres parfaits (Euclide) des problèmes restent encore ouverts, notamment celui del’existence des nombres parfaits impairs (seuls sont connus aujourd’hui les nombresparfaits pairs). Le présent article propose une présentation non exhaustive des nombresparfaits ainsi que des autres objets de l’arithmétique auxquels ils sont liés (nombres deKaprekar, nombres de Mersenne, nombres à moyenne harmonique entière, etc.).

sommaire :· invitation à l’infini· définition des nombres parfaits

- Définition d’un nombre parfait- Propriété fondamentale des nombres parfaits pairs (Euclide, Euler)

· les nombres parfaits pairs en tant que nombres de kaprekar

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· les nombres parfaits pairs en tant que nombres à moyenne harmonique entière· les nombres parfaits impairs existent-ils ?· ANNEXE 1 : Notions de nombres premiers et décomposition d’un entier en facteurs

premiers· ANNEXE 2 : Somme des n premiers nombres entiers· ANNEXE 3 : Démonstration de (4) : D(qr) = D(q)D(r)· ANNEXE 4 : Somme des diviseurs de k m où k est un nombre premier· ANNEXE 5 : Nombres de Mersenne· ANNEXE 6 : Théorème de Gauss· ANNEXE 7 : Théorème de Bézout (ou de Bachet-Bézout)· BIBLIOGRAPHIE

invitation à l’infini

Considérons un nombre entier naturel, n. L’ensemble des entiers naturels est noté N = {0, 1, 2,3, …., n, … }, n pouvant être aussi grand que l’on veut, le nombre d’éléments de N, ou Card(N),est l’infini dénombrable noté non pas « ¥ » mais par la première lettre de l’alphabet hébraïqueindicé de zéro, « Aleph zéro » À0. La notation ¥ est quant à elle, réservée pour la valeur de n

aussi grande que l’on veut : n = ¥.Pour un ensemble quelconque E, de cardinal Card(E), les parties, ou sous-ensembles, que l’onpeut former avec ses éléments, forment aussi un ensemble noté P(E). Par exemple avec unensemble E = {a, b, c}, constitué de 3 éléments a, b, c, on peut former les sous-ensembles {Æ}(l’ensemble vide), {a}, {b}, {c}, {a, b], {a, c}, {b, c}, {a, b, c} (l’ensemble E lui-même). L’ensemblede ces sous-ensembles de E est P(E) : il possède 8 éléments. On a donc : Card (P(E)) = 8 = 23.Or Card(E) = 3, on a donc Card(P(E)) = 2Card(E). Ce résultat est en fait général.Les mathématiciens Cantor et Dedekind ont étendu ce résultat aux ensembles infinis (commeN), ce qui leur permit d’introduire de nouveaux êtres mathématiques, les nombres transfinis.Ainsi l’ensemble des parties de N, c’est-à-dire l’ensemble P(N) des sous-ensembles que l’on

peut former avec les nombres entiers naturels, possède un nombre d’éléments égal à 2À0. Cen’est pas un nombre ordinaire : il définit le premier infini non dénombrable, ou premier transfini,noté À1 (Aleph 1), tandis que À0 est l’infini dénombrable. Qu’est-ce à dire ? N est dénombrable

parce que l’on peut compter successivement ses éléments aussi loin que possible. Plusprécisément on peut passer d’un nombre entier à un autre d’une manière bien déterminée enun nombre fini d’opérations, comme le posent les axiomes de Zermelo. En revanche ce n’estplus le cas dans l’ensemble des nombres réels R : il n’y a pas d’algorithme fini qui permette dedéterminer le successeur d’un nombre réel, comme par exemple p. Dans R il y a « infinimentplus » d’éléments que dans N, même si N possède un nombre infini dénombrable d’éléments !Autrement dit Card(R) > Card(N). On montre, en fait, que Card(R) = À1 = Card(P(N)) et que

c’est le premier transfini immédiatement supérieur à l’infini dénombrable À0 (il n’y a pas d’autre

transfini compris entre eux). On montre aussi (Dedekind) que n’importe quel nombre réel estséparé d’un autre quelconque par un nombre transfini À1 de nombres réels. Par exemple dans

l’intervalle [0, 1] il y a « autant » d’infinité de nombres réels que sur tout R. La démarche précédente se reconduit pour l’ensemble des parties de l’ensemble R : P(R). Lenombre total des sous-ensembles de R définit le second transfini, lui-même supérieur aupremier transfini :

Card(P(R)) = 2Card(R) = 2À1 = À2 Le nombre de sous-ensembles de nombres réels que l’on peut former est infiniment plus grandque l’ensemble des nombres réels R, donc infiniment de fois infiniment plus grand quel’ensemble des nombres entiers. Et ainsi de suite...


Un des nombreux mérites de la théorie des transfinis est de montrer ce qui, entre deuxensembles de nombres, peut être ou non mis en correspondance biunivoque, ou relationbijective. Deux ensembles E et E’, finis ou non, sont en relation bijective si un élémentquelconque x’ de E’ peut être associé à un et un seul élément x de E, et chaque élément x de Eest associé à un et un seul élément x’ de E. Autrement dit un élément x de E peut êtrereprésenté par un autre élément x’ de E’. On montre alors que :

deux ensembles E et E’ en correspondance bijective ont même nombre d’éléments :Card(E) = Card(E’).

réciproquement, une condition nécessaire pour que deux ensembles soient encorrespondance bijective est qu’ils aient même nombre d’éléments.

Il en découle que les nombres entiers N ne peuvent pas être en correspondances bijectivesavec les nombres réels R : un nombre réel ne pourra jamais être représenté par un nombreentier. En revanche l’ensemble des parties de N, P(N), peut être en correspondance bijectiveavec R : un nombre réel peut être représenté par un sous-ensemble de nombres entiersnaturels, et si ce nombre réel est un nombre irrationnel (c’est-à-dire qui ne peut pas s’écrirecomme une fraction de nombres entiers) le sous-ensemble des entiers avec qui il est encorrespondance bijective est un ensemble infini (dénombrable).Pour les mêmes raisons, tout intervalle de nombres réels, comme [0, 1], peut être en relationbijective avec tout R (donc tout réel peut être représenté par un nombre compris dans cetintervalle) puisque cet intervalle et R ont même nombre d’éléments (en l’occurrence À1). Ce

n’est évidemment pas le cas pour N : aucun de ses sous-ensembles ne peut être mis encorrespondance bijective avec tout l’ensemble N. L’intérêt d’un tel résultat, tant sur le plan mathématique que sur les plans cognitifs etinformatiques, est dans la légitimité qu’il procure dans la recherche de la représentation d’unnombre réel (le résultat d’une mesure par exemple) par un ensemble de nombres entiers d’unepopulation la plus grande possible (idéalement infinie dénombrable). Et comme les nombresentiers se prêtent par nature aux processus algorithmiques dénombrables, on mesure combienl’outil informatique permet une certaine performance dans l’observation des phénomènes etles actions qui les exploitent, dès lors que, à chaque instant, on sache évaluer l’imprécision,l’écart qu’il y a entre la représentation et les quantités réelles. Sans ce résultat, lareprésentation du réel par un nombre fini de valeurs serait inopérante et aucune observationquantitative, donc aucun savoir expérimental, ne serait ni possible ni autorisé dans notresystème cognitif humain !Un exemple de représentation d’un nombre réel par un nombre fini d’entiers naturels est lesystème de numération (binaire, octal, sexagésimal, etc.), et elle doit être utilisée en étanttoujours conscients des erreurs, des écarts, qu’il génère par rapport à la valeur réelle qu’il estcensé représenter (erreurs d’arrondis, de troncature, forme de la convergence numérique, etc.).Réciproquement, on peut se demander, à la lumière de la théorie des nombres transfinis, si unsous-ensemble de nombres entiers (donc un élément de P(N)) correspond bijectivement à unnombre réel, puisque Card(P(N)) = Card(R) ?Des sous-ensembles de N il y en a plein, une infinité non dénombrable même, comme on l’a vuplus haut. Des branches entières de l’arithmétique en étudient des types différents : lesnombres premiers, les nombres de Kaprekar, nombres de Mersenne, etc., etc., et les nombresparfaits que nous allons maintenant présenter.

définition des nombres parfaits Définition d’un nombre parfait Soit un nombre entier non nul positif : n > 0.


On désigne par s(n) la somme des diviseurs stricts de n, c’est-à-dire de tous ses sous-multiplesautres que lui-même. Ces sous-multiples peuvent néanmoins être multiples l’un de l’autre,autrement dit on ne considère pas uniquement les diviseurs premiers de n. On appelle partiesaliquotes entières de n ces sous-multiples et leur somme est s(n). Exemple : n = 28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14 ensemble qui forme ses parties aliquotes. Onobserve que parmi ses diviseurs, certains sont multiples l’un de l’autre ; il s’agit de :

4 qui a pour diviseurs 2 et 1, 14 qui a pour diviseurs 2, 7 et 1

tandis que 1, 2, 7 n’ont aucun diviseur strict : ils sont des nombres premiers, et en lacirconstance ce sont les diviseurs premiers de 28. Ainsi 28 se décompose comme le produit depuissances de nombres premiers :

28 = 1 x 22 x 7et cette décomposition est unique. Ce résultat est général (voir Annexe 1). On dit qu’un nombre entier positif est un nombre parfait s’il est égal à la somme de ses partiesaliquotes, autrement dit :

Dans le cas de n = 28, on a n = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = s(28).n = 28 est donc un nombre parfait.En décomposant ses diviseurs non premiers, à savoir 4 et 14, la somme précédente s’écritencore : 28 = 1 + 2 + 22 + 7 + 2 x 7. En remarquant que 7 = 23 – 1, l’expression précédentedevient :

28 = 2 + 22 + 23 + 2 x (23 – 1) en cherchant à factoriser, on cherche un facteur A tel que cette expression s’écrive : 2 + 22 + 23

+ 2 x (23 – 1) = A x (23 – 1), et on obtient A = 22. Ainsi 28 se décompose comme il se doitsuivant :

28 = 22 x (23 – 1) = 4 x 7 Dans cette décomposition, un nombre premier de la forme (2a – 1) apparaît.Tout nombre de cette forme, avec a entier non nul, est par définition un nombre de MersenneMa = 2a – 1 (voir Annexe 5).

Dans l’exemple de n = 28, l’exposant est a = 3, donc 7 = M3 et en remarquant que 22 = (M3 +

1)/2 on voit que :

où le nombre de Mersenne M3 est un nombre premier.

En outre, on sait que la somme des N premiers nombres entiers, SN = 1 + 2 + ... + (N – 1) + N

est égale à SN = N (N + 1)/2 (voir Annexe 2). L’expression précédente montre alors que 28 est

la somme des M3 = 7 premiers nombres entiers (on l’on a ici N = M3) :

Ce qui vient d’être constaté dans cet exemple correspond en fait à un résultat général :


Un nombre parfait pair est obtenu par la multiplication d’un nombre de Mersenne premier, MP et

de 2P-1 :

Cette propriété a été conjecturée par Euclide (3ème siècle avant notre ère), plus précisémentEuclide a démontré la condition suffisante : pour qu’un nombre pair soit parfait il suffit qu’ilvérifie (3). Deux mille ans plus tard, Leonhard Euler a démontré la condition nécessaire : toutnombre parfait pair vérifie (3).Ce sont ces deux conditions, nécessaire et suffisante, que nous allons démontrer dans leparagraphe suivant. Propriété fondamentale des nombres parfaits pairs (Euclide, Euler) Condition suffisante de (3) : énoncé d’Euclide PROPOSITION 1 : Soit P un nombre entier strictement positif (P > 0), alors le nombre n =2P-1(2P – 1) est un nombre parfait. DEMONSTRATION :Désignons par D(n) la somme des diviseurs de n y compris n lui-même. Il ne doit pas êtreconfondu avec la somme de ses parties aliquotes s(n), et l’on a bien entendu :

D(n) = s(n) + n D’autre part on sait que lorsque deux nombres q et r sont premiers entre eux, la somme desdiviseurs de leur produit est le produit de leurs sommes de diviseurs :

D(qr) = D(q)D(r) (4) (voir démonstration de (4) en Annexe 3). Appliquons (4) au produit n = 2P-1(2P – 1) :

D(n) = D(2P-1)D(2P – 1) Or (2P – 1) est premier par hypothèse. Or un nombre premier k a pour seuls diviseurs 1 et lui-même, il s’ensuit : D(k) = 1 + k. Par conséquent :

D(2P – 1) = 1 + (2P – 1) = 2P

Quant à D(2P-1) on a besoin de la propriété suivante, dont la démonstration est donnée enAnnexe 4 :Pour tout nombre premier k, et pour un nombre entier m > 0 quelconque, la somme desdiviseurs de km est égale à :

Appliquons (5) à k = 2 (2 est un nombre premier) et m = P – 1, on obtient :


D(2P-1) = 2P – 1 (6) Finalement :

D(n) = 2P(2P – 1) = 2 x 2P-1(2P – 1) = 2n Puisque D(n) = s(n) + n, on déduit que : s(n) = D(n) – n = 2n – n = n, autrement dit n est unnombre parfait – CQFD Condition nécessaire de (3) : énoncé d’Euler Voir aussi [Pro] (les lettres entre crochets renvoient à la bibliographie classée par ordrealphabétique). PROPOSITION 2 : Tout nombre parfait pair est le produit n = MP(MP + 1)/2 = 2P-1(2P – 1),

où MP est un nombre de Mersenne premier.

démonstration : Soit n un nombre parfait pair, il peut toujours s’écrire comme le produit suivant :

où P est un entier quelconque P > 1, et q un entier impair. Comme 2P-1 est pair et q est impair,ils sont premiers entre eux. D’après la relation (4) démontrée en Annexe 3, il s’ensuit que lasomme des diviseurs de n (y compris lui-même) D(n) est égale au produit des sommes desdiviseurs de chacun des deux termes :

Or d’après la relation (6) : D(2P-1) = 2P – 1. Donc :

Par hypothèse, n est un nombre parfait, il est donc égal à la somme de ses diviseurs :

ce qui montre que (2P – 1) divise q : il existe un entier Q > 1 tel que q = (2P – 1)Q.Cherchons alors si (2P – 1) est un nombre premier. Parmi les diviseurs de q on trouve : q lui-même, Q, (2P – 1), 1, et d’autres termes éventuellement non nuls. Par conséquent :

D(q) = q + Q + (2P – 1) + 1 + autres termes on a donc :

D(q) > q + Q Or de la relation q = (2P – 1)Q on tire :


q + Q = (2P – 1)Q + Q = 2PQ

L’inégalité précédente devient alors :

D(q) > 2PQ On en déduit que :

(2P – 1)D(q) > (2P – 1)2PQ = 2Pq = (2P – 1)D(q) d’après la relation établie plus haut On ne peut donc pas avoir Q > 1, donc on a Q = 1, c’est-à-dire :

q = 2P – 1 et donc :

n = 2P-1 (2P – 1) Il reste à démontrer que le nombre de Mersenne MP = 2P – 1 est un nombre premier. Pour cela

on raisonne par l’absurde.Si MP = (2P – 1) n’est pas premier alors la remarque de l’Annexe 3 entraîne que D(MP) > MP +

1, soit :

D(2P – 1) > (2P – 1) + 1 = 2P Donc si MP n’est pas premier il vient :

D(n) = D(2P-1)D(2P – 1) > 2P D(2P-1)

Comme D(2P-1) = 2P – 1, il vient :

D(n) > 2P (2P – 1) = 2n D(n) > 2n signifie que n n’est pas un nombre parfait, ce qui contredit l’hypothèse. Donc M P =

(2P – 1) est un nombre de Mersenne premier. En conclusion : Si n est un nombre parfait pair, alors il s’écrit n = 2P-1 MP où MP = (2P – 1) est

un nombre de Mersenne premier. – CQFD. Le théorème d’Euclide et le théorème d’Euler pour les nombres parfaits pairs impliquent que larecherche de ces nombres se ramène à celle des nombres de Mersenne premiers (voir Annexe5). Cette recherche fait l’objet de projets à l’échelle mondial vue l’importance des nombres deMersenne premiers, et donc des nombres parfaits pairs, en technique de cryptographie (c’estune des raisons de l’engouement des recherches en Arithmétique). Mais ceci est une autrehistoire !... La liste des nombres parfaits pairs connus à ce jour est donc directement liée à celle desnombres de Mersenne premiers donnée dans le tableau A5.1 de l’Annexe 5, où il suffitd’appliquer la relation (3).


les nombres parfaits pairs en tant que nombres de kaprekar Un nombre de Kaprekar (inventé par le mathématicien indien D. R. Kaprekar, réf. [Kap]) est unnombre qui, dans une base de numération donnée, a son carré qui peut se décomposer endeux parties à droite et à gauche, non forcément de longueur égale, dont la somme donne lavaleur de ce nombre dans cette même base. Exemples :

En base 10 le nombre 703 est de Kaprekar. En effet 703² = 494 209 et l’on a bien 494 +209 = 703.

En base 2 le nombre parfait 28 s’écrit : 28 = 20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4 avec a0 =

0, a1 = 0, a2 = a3 = a4 = 1, donc 28 = 11100[2]. Son carré vaut 28² = 784 ce qui donne

dans la base de numération 2 : (20a0 + 21a1 + 22a2 + 23a3 + 24a4)² = 29 + 28 + 24 =

1100010000[2]. Les parties gauche et droite de longueurs différentes sont ici 1100 et010000 dont la somme est 1100 + 010000 = 11100[2].

En base 10 le nombre 4879 est un nombre de Kaprekar : 4879² = 23804641 dont les

parties gauche et droite de longueurs différentes 238 et 04641 donnent la somme 238 +04641 = 4879.

définition 1 (n-nombre de Kaprekar en base de numération B) : Un nombre entier m estun n-nombre de Kaprekar (n entier non nul) dans la base de numération B s’il existe uncouple de nombres entiers (x, y) tels que :

x quelconque, 0 < y < B n m² = xB n+ y m = x + y

On montre que les n-nombres de Kaprekar en base B sont des nombres de Kaprekar. Par uneméthode de recherche due à M. Charosh (réf. [Cha]) la liste des premiers n-nombres deKaprekar en base 10 est établie (tableau 1 ci-après) :

m m² partiegauche de

m² : x

partiedroite de

m² : y

x + y = m x10 n + y = m² n

1 1 0 1 0 + 1 = 1 0 x 10 + 1 = 1 1

9 81 8 1 8 + 1 = 9 8 x 10 + 1 = 1 1

45 2025 20 25 20 + 25 = 45 20 x 10² +25 = 2025 2

55 3025 30 25 30 + 25 = 55 30 x 10² + 25 = 3025 2

99 9801 98 01 98 + 01 = 99 98 x 10² + 1 = 9801 2

297 88209 88 209 88 + 209 = 297 88 x 103 + 209 =88209

3

703 494209 494 209 494 + 209 =703

494 x 103 + 209 =494209

3

999 998001 998 001 998 + 001 =999

998 x 103 + 1 = 999 3


2223 4941729 494 1729 494 + 1729 =2223

494 x 104 + 1729 =4941729

4

2728 7441984 744 1984 744 + 1984 =2728

744 x 104 + 1984 =7441984

4

4879 23804641 238 04641 238 + 04641 =4879

238 x 105 + 4641 =23804641

5

4950 24502500 2450 2500 2450 + 2500 =4950

2450 x 104 + 2500 =24502500

4

5050 25502500 2550 2500 2550 + 2500 =5050

2550 x 104 + 2500 =25502500

4

5292 28005264 28 005264 28 + 005264 =5292

28 x 106 + 5264 =28005264

6

Les n-nombres de Kaprekar en base 10 suivants sont (liste non exhaustive) :

7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149,181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830,499500, 500500, 533170, ..... à titre d’exercice on déterminera pour chacun d’eux x, y et n, comme cela est fait pourles premières valeurs ci-dessus. Bon courage !

Tableau 1 – Liste des premiers n-nombres de Kaprekar en base 10.Noter que n n’est pas une fonction croissante de m

Dans l’exemple mentionné plus haut, on a vu que le nombre parfait 28 est un nombre deKaprekar en base 2. En fait, c’est un résultat général pour tous les nombres parfaits pairs qu’adémontré Douglas Iannucci en 2000 dans son article sur les nombres de Kaprekar (réf. [Ian]) : Tous les nombres parfaits pairs sont des nombres de Kaprekar en base 2, et tous lesnombres de Kaprekar en base 2 sont les nombres parfaits pairs. D. Iannucci démontre également :

L’ensemble des n-nombres de Kaprekar de base 10 et l’ensemble des diviseurs unitairesde (10 n – 1) sont en relation bijective.

Si m est un n-nombre de Kaprekar en base 10, alors (10 n – m) est aussi un n-nombre deKaprekar en base 10.

Exemples :

n = 2 : m = 102 – 1 = 99 est un 2-nombre de Kaprekar (voir tableau 1), il a pour diviseursunitaires 9 et 11 car 99 = 9 x 11. Le plus petit multiple de 9 dont la division par 11 a pourreste 1 est 45, en effet 45 = 4 x 11 + 1 (on dit que 45 º 1 (mod 11)). De même, le pluspetit multiple de 11 dont la division par 9 a pour reste 1 est 55 (55 = 6 x 9 + 1). Or letableau 1 montre que 45 et 55 sont des n-nombres de Kaprekar en base 10, avec n = 2.On a : 45 + 55 = 100 = m +1.

n = 3 : m = 103 – 1 = 999 est un 3-nombre de Kaprekar en base 10. Ses diviseurs

unitaires sont 27 et 37 : m = 999 = 27 x 37. Le plus petit multiple de 27 dont la division


par 37 a pour reste 1 est 297 (297 º 1 mod 37, car 297 = 8 x 37 + 1) et le plus petitmultiple de 37 dont la division par 27 a pour reste 1 est 703 (703 = 26 x 27 + 1). On voitque 297 et 703 sont aussi des 3-nombres de Kaprekar en base 10 et que leur sommedonne aussi m + 1 = 1000 : 297 + 703 = 103.

les nombres parfaits pairs en tant que nombres à moyenne harmonique

entière Les nombres entiers à moyenne harmonique entière ont été découverts en 1948 par Ore (réf.[Ore]) qui en a donné la première définition : définition 2 : Soit n un nombre entier positif. Ses diviseurs sont dk y compris 1 et n lui-

même, ils sont au nombre de Dn. La moyenne harmonique de n est définie par :

Si m(n) est un nombre entier, on dit que n est à moyenne harmonique entière. Le nombre des diviseurs de n, Dn est donné par la relation (A1.2) en Annexe 1.

Exemple :n = 28 se décompose en facteurs premiers selon : 28 = 22 x 7, donc d’après (A1.2) il possèdeD28 = (2 + 1)(1 + 1) = 6 diviseurs qui sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28. Sa moyenne harmonique est

donc :

m(28) = 6 / (1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28) = 3 qui est entière. Le nombre parfait pair 28 est à moyenne harmonique entière. C’est un résultatgénéral pour tous les nombres parfaits pairs qu’a démontré Ore : PROPOSITION 3 (sur la moyenne harmonique des nombres parfaits pairs) : Tous lesnombres parfaits pairs sont à moyenne harmonique entière. Cette proposition est la conséquence directe des deux propositions suivantes : PROPOSITION 4 : Le nombre de diviseurs Dn d’un nombre parfait pair n est pair.

La démonstration de la proposition 4 est immédiate. Un nombre parfait s’écrit comme le produitd’un nombre de Mersenne premier MP et de 2P-1. Comme ces deux nombres sont premiers

entre la relation (4) donne :

Or MP étant premier le nombre de ses diviseurs est égal à 2 : DMP = 2, donc Dn est pair. –

CQFD. PROPOSITION 5 : La somme des inverses des diviseurs d’un nombre parfait pair


quelconque est toujours égale à 2. Autrement dit, si dk sont les diviseurs de n on a toujours :

Cette proposition est assez délicate à démontrer (voir [Mus]). Des deux propositions 4 et 5 il résulte que : m(n) = Dn /2 avec Dn = 2q puisqu’il est pair (q est

un entier), donc m(n) = q entier. C’est la proposition 3. Liste des premiers nombres à moyenne harmonique entière : 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, ... Exemple pour quelques nombres parfaits :

n = 6 : on a n = 2 x 3 donc D6 = (1 + 1)(1 + 1) = 4 diviseurs qui sont 1, 2, 3, 6. Moyenne

harmonique m(6) = 4/(1 + 1/2 + 1/3 + 1/6) = 2. n = 28 : exemple déjà vu plus haut, m(28) = 2. n = 496 : décomposition n = 24 x 31 donc D496 = (4 + 1)(1 + 1) = 10 diviseurs qui sont 1,

2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496. Moyenne harmonique : m(496) = 10/(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496) = 10/5 = 2

les nombres parfaits impairs existent-ils ?

Tout ce qui a été dit jusqu’à présent concerne les nombres parfaits pairs, les théorèmesd’Euclide et d’Euler permettent de les caractériser. Pour ce qui concerne les nombres parfaitsimpairs, à ce jour aucun d’eux n’a été observé. Cela ne veut pas dire qu’ils n’existent pas, maisdes travaux ont permis d’établir que s’ils existent ils ont ou ils n’ont pas certaines propriétés.Pour commencer, la propriété qu’a un nombre parfait pair d’être à moyenne harmonique entière(théorème d’Ore), jointe à l’observation jusqu’à présent que hormis 1 aucun nombre impair nesemble être à moyenne harmonique entière, suggère de poser la conjecture suivante (voir[Mil]): Conjecture d’Ore : Hormis 1 il n’existe pas de nombre entier impair qui soit à moyenneharmonique entière. Si cette conjecture est démontrée, alors la preuve que les nombresparfaits impairs n’existent pas sera établie.Voilà un excellent sujet de recherche ! Il a été établi que les nombres impairs à moyenne harmonique entière sont des objets rares,s’ils existent :

W. H. Mills (réf. [Mil]) a montré que s’ils existent, les nombres impairs, hormis 1, àmoyenne harmonique entière ont des facteurs premiers nécessairement plus grands que107. De tels nombres, s’ils existent, sont donc très grands.

La rareté des nombres impairs à moyenne harmonique est quant à elle uneconséquence du théorème établi par Y. Chishiki, T. Goto et Y. Ohno (réf. [Chi]) : pourtout entier M, il existe au plus un nombre fini de nombres impairs à moyenne harmoniqueentière dont tous les facteurs premiers (à un nombre fixé près) sont bornés par M. Enconséquence on a plus de « chance » de trouver de tels nombres parmi les grands


nombres, ce qui est cohérent avec le théorème de Mills. Il a également été établi que les nombres parfaits impairs, s’ils existent, doivent être trèsgrands : n > 10300, voire même n > 10500 (réf. [Odd]).Autres propriétés (non exhaustives) que doivent posséder les nombres parfaits impairs s’ilsexistent :

Le plus petit facteur premier d’un nombre parfait impair n doit être inférieur à (2k + 8)/3,où k est le nombre de facteurs premiers dont les exposants sont pairs dans ladécomposition de n :

où r et les pm sont premiers, et avec r º S modulo 4 (i.e. : la division de r par 4 a pour

reste son exposant S) (théorème de Grün, 1952) ; Les am qui interviennent dans la décomposition ci-dessus ne peuvent pas être congrus à

1 modulo 3, autrement dit la division de tout am par 3 ne peut pas avoir pour reste 1

(théorème de McDaniel, 1970). n doit vérifier :

où les k sont définis précédemment (théorème de Nielsen, 2003).

Le second plus grand diviseur premier de n est supérieur à 10000 et le troisième à 100(D. Iannucci, 1999, 2000).

Il y a au moins 75 diviseurs premiers de n dont au moins 9 diviseurs premiers différents.Si n n’est pas divisible par 3 alors n possède au moins 12 diviseurs premiers différents(Nielsen 2006, Kevin Hare 2005).

Si tous les am sont inférieurs ou égaux à 2 alors le plus petit diviseur premier de n est

supérieur ou égal à 739 (Cohen 1987), et S º 1 (modulo 12) ou S º 9 (modulo 12)(McDaniel 1972).

Si un nombre parfait impair existe il est de la forme :

où p est un nombre premier > 2, N un entier éventuellement nul, q un nombre impairpremier avec 4p + 1 (cf. [Lio]).

ANNEXE 1Notions de nombres premiers et décomposition d’un entier en facteurs

premiers Par définition un nombre entier plus grand que 1 est dit premier s’il a pour seuls diviseurs 1 etlui-même. PROPOSITION A1.1: Tout nombre entier n > 1 est divisible par un nombre premier p. DEMONSTRATION : On note Dn l’ensemble des diviseurs de n. Comme il contient au moins n

lui-même et 1, l’ensemble Dn – {1} n’est pas vide : il possède alors un élément minimal noté m.

Si un nombre entier q différent de 1 divise m, alors il divise aussi n puisque m est un diviseur de


n. Dans ce cas l’élément minimal est q et non m sauf si q = m. L’élément minimal de l’ensembledes diviseurs de n, différents de 1, est donc un nombre premier – CQFD. théorème d’euclide (infinité de l’ensemble des nombres premiers) : L’ensemble desnombres premiers est infini dénombrable. démonstration : Supposons que l’ensemble des nombres premiers soir fini. Il existe alors leplus grand nombre premier, noté P. Le nombre P ! + 1 comme tout nombre entier est divisiblepar un nombre premier q, d’après la proposition (A1.1) ci-dessus. Mais q ne peut pas diviser P != P(P-1)(P-2)x...x3x2x1 car alors il serait égal à l’un des termes de ce factoriel. Il s’ensuit que q> P et donc P n’est pas le plus grand nombre premier. Il en résulte que l’ensemble des nombrespremiers ne peut pas être fini. – CQFD. Une façon équivalente de démontrer le théorème d’Euclide consiste à considérer la suite des nnombres premiers p1, p2, ..., pn rangés dans l’ordre croissant. On note N leur produit : N =

p1p2...pn. Chacun des nombres premiers de la suite est évidemment un diviseur de N, mais pas

de N+1. Or d’après la proposition (A1.1), N+1 est divisible par au moins un nombre premier p,lequel n’appartient pas à la suite. Donc il peut exister une suite de nombres premiers aussigrande que l’on veut. PROPOSITION A1.2 (théorème fondamental de l’arithmétique): Tout nombre entiernaturel n ³ 2 se décompose en un produit fini de nombres premiers, et cettedécomposition est unique. démonstration : On raisonne par récurrence. Le nombre 2 est lui-même premier donc vérifie laproposition (A1.2). On suppose que celle-ci est vérifiée pour un nombre entier quelconque n.Qu’en est-il de son suivant n+1 ? D’après la proposition (A1.1), n+1 est divisible par un nombrepremier noté p : il existe donc un nombre entier q tel que

n+1 = qp on a donc q < n, par conséquent q est décomposé en facteurs premiers par hypothèse derécurrence (celle-ci étant appliquée à tout nombre entier inférieur ou égal à n). Donc n+1 estdécomposé aussi en produit de facteurs premiers.Démontrons maintenant l’unicité de la décomposition.Pour cela nous aurons besoin du théorème de Gauss (voir Annexe 6) : Si deux nombres a etb sont premiers entre eux, et si a est un diviseur de bq, où q est un entier naturel, alors a est undiviseur de q.Supposons que la décomposition d’un nombre entier n en facteurs premiers n’est pas unique,et qu’il en existe deux : l’une avec L termes, l’autre avec M termes. On aurait donc :

où les pk et qj sont des nombres premiers. Considérons un des diviseurs premiers de n de la

première décomposition, par exemple pk, et un des diviseurs premiers de n de la seconde

décomposition, par exemple qj. Ces diviseurs sont évidemment premiers entre eux, et n se

réécrit :

n = pkN = qjN’

avec :


D’après le théorème de Gauss, pk est un diviseur de N’, donc il existe P’ tel que N’ = pk.P’. On a

donc : pk N = qj pk P’, soit en éliminant pk : N = qj P’.

On réapplique à cette dernière expression la démarche précédente : on met en facteur l’un despk qui interviennent dans N, ce qui donne N = pk m = qj P’, cette fois N joue le rôle de n, P’ celui

de N’. On applique de nouveau le théorème de Gauss : pk divise P’, donc il existe m’ tel que P’

= pk m’, d’où N = pk m = qj pk m’ soit encore m = qj m’.

Et on recommence (au total cela fait L itérations), jusqu’au moment où le dernier facteur dans Nsera un facteur premier seul m = pk : en conservant les mêmes notations, on aura donc pk = qjm’. Mais comme pk est premier, m’ ne peut pas être un produit, donc obligatoirement m’ = 1,

donc qj = pk.

Cette égalité montre qu’il y a autant de facteurs p que de facteurs q, donc L = M. L’égalité desexposants rk et sj en découle immédiatement. –CQFD

Autre démonstration de la proposition (A1.2) :Il existe plusieurs façons de démontrer le théorème fondamental de l’arithmétique. En voici uneautre qui utilise la « descente infinie ».Soit m le plus petit entier qui puisse se décomposer en au moins deux produits différents denombres premiers :

m = p1 x p2 x...x pN = q1 x q2 x...x qL Il n’y a pas de facteur commun entre ces deux produits, sinon m ne serait pas le plus petitnombre entier qui vérifie ces décompositions.Il est toujours possible de choisir p1 inférieur à tout facteur q qui intervient dans la seconde

décomposition : p1 < qj (1 £ j £ L). On peut donc procéder à la division euclidienne de q1 par p1et comme ces deux nombres sont premiers entre eux par hypothèse, le reste de cette division rn’est jamais nul :

q1 = p1 Q + r

Introduisons cette expression dans la seconde décomposition de m, il vient :

p1 x...x pN = p1 x Q x q2 x...x qL + r x q2 x...x qL donc p1 est un diviseur du membre de gauche de l’égalité et du premier terme du membre de

droite. Il s’ensuit qu’il divise aussi le second terme D du membre de droite, c’est-à-dire p1 divise

D = r x q2 x...x qL.

Or r < p1 < q1 donc D < m et se décompose de manière unique en facteurs de nombres

premiers. Comme p1 divise D, il devrait aussi être un de ses facteurs premiers, alors qu’il est

supposé différent des q. Il n’est pas non plus facteur premier de r puisque r < p1. Donc

l’hypothèse de m qui admet deux décompositions différentes en facteurs premiers estcontradictoire et doit être rejetée. La décomposition en facteurs premiers d’un nombre entier estdonc unique.


NOMBRE DE DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER :Une conséquence du théorème fondamental de l’arithmétique est le calcul du nombre desdiviseurs Dn d’un nombre entier naturel n. Si celui-ci se décompose en facteurs premiers selon :

alors le nombre de ses diviseurs est :

ANNEXE 2

Somme des n premiers nombres entiers Soit Sn la somme des n premiers nombres entiers :

Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n

Pour calculer cette valeur il y a une astuce très simple qui consiste à écrire la somme dansl’ordre croissant et dans l’ordre décroissant des termes. En additionnant chacun des deuxtermes en vis-à-vis on s’aperçoit que le résultat donne toujours (n+1). Or il y a n termes, doncen faisant la somme de ces n additions on obtient n(n+1) et cette valeur est égale à deux foisSn (puisque l’on a écrit deux fois la somme dans un sens et dans l’autre).

On a donc :

2Sn = n(n + 1)

soit :

1 2 ... k ... n Sn

n n - 1 ... n – (k – 1) ... 1 Sn

n + 1 n + 1 ... n + 1 ... n + 1 2Sn

n termes (n + 1) 2Sn =

n(n+1)

ANNEXE 3

Démonstration de (4) : D(qr) = D(q)D(r) Appliquons aux nombres entiers q et r le théorème fondamental de l’arithmétique (cf. Annexe1) :

où les qk et les rj sont des nombres premiers. Supposons q et r premiers entre eux, cela signifie


que les gk sont tous différents des rj.

Pour extraire un diviseur de q on peut choisir une puissance de q1 de (Q1 + 1) manières, une

puissance de q2 de (Q2 + 1) manières, ..., une puissance de qN de (QN + 1) manières. Il y a

donc pour q un nombre de diviseurs possibles égal à :

De même pour r on a :

La somme des diviseurs de q est donc :

qui s’écrit :

De même :

Si q et r sont premiers entre eux leur produit qr contient (N + M) termes différents de nombrespremiers pi tels que :

où l’on a :pour 1 £ i £ N : pi = qi et Pi = Qi

pour N+1 £ i £ N+M : pi = rj et Pi = Rj avec 1 £ j £ M.

En appliquant (A3.1) et (A3.2) à p = qr, on obtient immédiatement :


Remarque : une conséquence de (A3.1) est que si N est un nombre premier, le nombre de sesdiviseurs se réduit à DN = 1 + 1 = 2 (N a comme diviseurs 1 et lui-même), et la somme de ses

diviseurs est D(N) = N + 1 (ses seuls diviseurs étant 1 et N). Exemple (exercice) : trouver le nombre et la somme des diviseurs de q = 144.Réponse : q = 144 = 12² = (2 x 3 x 2)² = 24 x 3² qui est sa décomposition en facteurs premiers.Donc D144 = (4 + 1)(2 + 1) = 15 diviseurs et la somme des diviseurs de 144 est :

D(144) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24) x (1 + 3 + 3²) = 31 x 13 = 403

ou encore : D(144) = (24+1 – 1)/(2 – 1) x (32+1 – 1)/(3 – 1) = 31 x 26 / 2 = 403 Si r = 35, qui est premier avec q = 144, on a r = 5 x 7 (décomposition en facteurs premiers 5 et7), d’où D35 = (1 + 1) x (1 + 1) = 4 diviseurs (1, 5, 7, et 35) et :

D(35) = (51+1 – 1)/(5 – 1) x (71+1 – 1)/(7-1) = 24/4 x 48/6 = 6 x 8 = 48 = 1 + 5 + 7 + 35

Le produit p = qr = 144 x 35 = 5040 possède Dp = D144 D35 = 15 x 4 = 60 diviseurs et la somme

de ses diviseurs est D(p) = D(144)D(35) = 403 x 48 = 19344.

ANNEXE 4Somme des diviseurs de km où k est un nombre premier

Si k est un nombre premier, le nombre q = km est aussi sa propre factorisation en facteurspremiers. D’après la relation (A3.1) de l’Annexe 3, il possède Dq = (m + 1) diviseurs :

Et d’après la relation (A3.2) la somme de ses diviseurs devient :

ANNEXE 5

Nombres de Mersenne Voir aussi [Lar], [Wik1], [Cal], [Wei], [Jan]. Un nombre de Mersenne est un nombre entier de la forme :

Mn = 2n – 1 (A5.1)

où n est un entier naturel > 0. théorème a5.1 : soient deux nombres de Mersenne Mn = 2n – 1 et Mm = 2m – 1. Si m est

un diviseur de n alors Mm est un diviseur de Mn.

démonstration : Si m divise n alors il existe un entier D tel que n = Dm. En remplaçant dans(A5.1) on a :


Considérons la suite géométrique de raison k : uN = kuN-1, dont le premier terme est choisi u0 =

1. La somme des N premiers termes de cette suite est :

Multiplions SN par (k – 1), il vient :

(k – 1)SN = kSN – SN = k + k² + ... + kN-1 + kN – 1 – k – k² - ... – kN-1 = kN – 1

d’où:

SN est un nombre entier, puisqu’il est la somme de nombres entiers, bien qu’il se présente sous

forme fractionnaire (A5.2). En remplaçant dans (A5.2) N par Dm et k par k = 2 m, on s’aperçoitque Mn devient :

où SD est la somme des D premiers termes de la suite géométrique de raison 2m (c’est donc un

nombre entier) et Mm le nombre de Mersenne (2m – 1). (A5.3) montre que Mm est bien un

diviseur de Mn. - CQFD

théorème a5.2 : Si un nombre de Mersenne Mn = 2n-1 est premier alors n est aussi un

nombre premier. démonstration : Du théorème (A5.1) on déduit que si Mn est premier, il n’a pas de diviseur Mm,

donc que n n’a pas de diviseur m, autrement dit n est premier. – CQFD La réciproque du théorème (A5.2) est fausse : on peut avoir n premier sans que Mn soit

premier. Pour s’en convaincre il suffit de trouver des contre-exemples, par exemple n = 11 quiest un nombre premier donne M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 n’est pas premier.

théorème a5.3 : Si un nombre an – 1 est premier (avec a et n entiers ³ 2) alors n estpremier et a = 2. démonstration : On raisonne par l’absurde. Si an – 1 est premier mais que n n’est pas premier,on aurait n = mD et d’après le théorème (A5.1) on aurait Mn = SDMm donc Mn ne serait pas

premier. Si en particulier a = 2 on aurait donc an – 1 non premier ce qui contredit l’hypothèse.Donc n doit être un nombre premier.D’autre part : an – 1 = (a – 1)Sn est premier si (a – 1) = 1 donc si a = 2. – CQFD


D’après (A5.2), avec k = 2, les nombres de Mersenne s’écrivent :

Mn = (k – 1) Sn = Sn = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n-1 = 2n – 1 (A5.4)

La relation (A5.4) est intéressante en codage binaire d’un nombre : un nombre de Mersenne nes’écrit qu’avec des 1 en base 2, puisque :

S1 = 1 = 1(2)

S2 = 1 + 2 = 3 = 11(2)

S3 = 1 + 2 + 22 = 7 = 1 + 10 + 100 (2) = 111(2)

...........................Sn = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n-1 = 1 + 10 + 100 + 1000 +...+ 10n-1 = 111...111(2) (n chiffres 1)

où (2) signifie “en base 2”. PROPRIETE A5.4: Tout nombre de Mersenne est la somme des coefficients binomiaux. démonstration : Les coefficients binomiaux s’écrivent :

Ils interviennent dans la formule du binôme de Newton :

c’est une série qui comporte n+1 termes. Lorsque a = b = 1, elle devient :

autrement dit :

puisque Cn

n et Cn0 sont tous deux égaux à 1. Finalement :

qui exprime la propriété (A5.4) – CQFD. On a vu par la relation (3) que la détermination des nombres parfaits pairs repose sur larecherche des nombres de Mersenne premiers. Le théorème (A5.2) énonce que pour qu’unnombre de Mersenne MP soit premier il faut que P soit premier. Ce résultat offre déjà un moyen

pour chercher les nombres de Mersenne premiers. Mais comme la réciproque du théorème(A5.2) est fausse, et puisque qu’il n’y a pas de méthode pour déterminer systématiquement lesnombres premiers, les nombres premiers de Mersenne ne sont pas non plus déterminés


facilement en appliquant le théorème (A5.2).Il existe cependant des méthodes algorithmiques qui permettent des recherches plus rapidesque la méthode précédente. Parmi elles il existe une méthode développée par Edouard Lucas(1842-1891) en 1878, et améliorée par Derrick Lehmer dans les années 1930.La méthode de Lucas-Lehmer est introduite par le théorème suivant (A5.5). théorème a5.5 (test de Lucas-Lehmer sur la primalité d’un nombre de Mersenne) : Ondéfinit la suite (un) dont les termes sont obtenus par la récurrence

u1 = 1

un+1 = un² - 2

Un nombre de Mersenne MP est premier si et seulement si MP divise uP-1.

La démonstration de ce théorème sort du cadre du présent article. Elle fait appel à la théoriedes résidus quadratiques. On en trouvera une démonstration complète dans [Lar]. A cause des difficultés évoquées ci-dessus sur le test de primalité des nombres de Mersennepremiers, la liste de ces nombres reste encore très limitée de nos jours. Les quatre premiersnombres de Mersenne premiers étaient connus dès l’Antiquité (P = 2, 3, 5, 7). Le cinquième(correspondant à P = 13) a été découvert en 1461 par un auteur inconnu. La découverte pour P= 17 et P = 19 fut faite par Cataldi en 1588. En 1750, Leonhard Euler découvrit le nombre deMersenne d’exposant P = 31. Etc. Le tableau (A5.1) ci-après donne les 47 nombres deMersenne premiers (ou plus exactement leurs exposants P) connus en 2010. Les ordinateursont permis d’accélérer la recherche des nombres de Mersenne premiers dès 1952 par DerrickLehmer et R. M. Robinson au moyen du calculateur SWAC de l’Intitute for Numerical Analysis(Université de Californie, Los Angeles), et dans les années 2000 le projet GIMPS (GreatInternet Mersenne Prime Search) a permis d’obtenir les résultats les plus récents.

exposant P dunombre deMersenne

premier MP =

2P-1

nombre dechiffres de

MP

date et auteur de ladécouverte

nombre parfait correspondantn = MP (1 + MP)/2 = 2P-1 (2P – 1)

2 1 Antiquité Inconnu 6




13 4 XIIIe siècle Ibn Fallus 33550336

17 6 1588 Cataldi 8589869056

19 6 1588 Cataldi 137438691328

31 10 1750 Euler 2 305 843 008 139 952 128

61 19 1883 Pervushin 2 658 455 991 569 831 744 654 692615 953 842 176

89 27 1911 Powers 191 561 942 608 236 107 294 793378 084 303 638 130 997 321 548

169 216


107 33 1914 Powers 13 164 036 458 569 648 337 239753 460 458 722 910 223 472 318

386 943 117 783 728 128

127 39 1876 Lucas 14 474 011 154 664 524 427 946373 126 085 988 481 573 677 491474 835 889 066 354 349 131 199

152 128

521 157 30 janvier 1952Robinson (Swac)

2520 (2521 – 1)

607 183 30 janvier 1952Robinson (Swac)

2606 (2607 – 1)

1279 386 25 juin 1952 Robinson(Swac)

21278 (21279 – 1)

2203 664 7 octobre 1952Robinson (Swac)

22202 (22203 – 1)

2281 687 9 octobre 1952Robinson (Swac)

etc...

3217 969 8 septembre 1957Riesel (Besk)

4253 1 281 3 novembre 1961Hurwitz (IBM)

4423 1 332 3 novembre 1961Hurwitz (IBM)

9689 2 917 11 mai 1963 Gillies(Illiac)

9941 2 993 16 mai 1963 Gillies(Illiac)

11213 3 376 2 juin 1963 Gillies(Illiac)

19937 6 002 4 mars 1971Tuckerman (IBM)

21701 6 533 30 octobre 1978 Noll &Glenn (CDC)

23209 6 987 9 février 1979 Noll(CDC)

44497 13 395 8 avril 1979 Nelson &Slowinski (Cray

Research)

86243 25 962 25 septembre 1982Slowinski (Cray)

110503 33 265 28 janvier 1988Colquitt & Welsh (Nec)

132049 39 751 19 septembre 1983Slowinski (Cray)

216091 65 050 1er septembre 1985


Slowinski (Cray)

756839 227 832 19 février 1992Slowinski & Gage

859433 258 716 10 janvier 1994Slowinski & Gage

1257787 378 632 3 septembre 1996Slowinski & Gage

1398269 420 921 13 novembre 1996GIMPS / JoelArmengaud

2976221 895 932 24 août 1997 GIMPS /Gordon Spence

3021377 909 526 27 janvier 1998GIMPS / Roland

Clarkson

6972593 2 098 960 1er juin 1999 GIMPS /Nayan Hajratwala

13466917 4 053 946 14 novembre 2001GIMPS / Michael

Cameron

20996011 6 320 430 17 novembre 2003GIMPS / Michael

Shafer

24036583 7 235 733 15 mai 2004 GIMPS /Josh Findley

25964951 7 816 230 18 février 2005 GIMPS /Martin Nowak

30402457 9 152 052 15 décembre 2005GIMPS / Cooper &

Boone

32582657 9 808 358 4 septembre 2006GIMPS / Cooper &

Boone

37156667 11 185 272 6 septembre 2008GIMPS / Elvenich

42643801 12 837 064 12 avril 2009 GIMPS /Odd Magnar Strindmo

43112609 12 978 189 23 août 2008 GIMPS /Smith

Tableau A5.1 – les 47 nombres de Mersenne premiers connus en 2010, classés par nombrecroissant de l’exposant P.

A noter qu’entre deux nombres de Mersenne connus peuvent exister d’autres non encoredécouverts, par exemple entre le 40ème et le 47ème.

La dernière colonne donne les nombres parfaits pairs correspondants, on constate qu’ilsdeviennent très rapidement très grands, aussi n’avons-nous écrit que les tout premiers

ANNEXE 6


Théorème de Gauss Il s’énonce ainsi : théorème a6 .1 : Si deux nombres entiers n et m sont premiers entre eux, et si n est undiviseur de mk, où k est un nombre entier, alors n est diviseur de k. démonstration : La démonstration utilise le théorème de Bézout (Annexe 7), qui s’énonce : sideux nombres entiers n et m sont premiers entre eux, alors il existe deux nombres entiersrelatifs (i.e. appartenant à Z) u et v tels que : nu + mv = 1.En multipliant la relation précédente par un nombre entier k, on obtient : nuk + mvk = k. Or parhypothèse n divise mk, donc mvk, et il divise évidemment nuk. Par conséquent il divise aussi k(car dans une égalité a = b, si un nombre divise a il divise aussi b) – CQFD.

ANNEXE 7Théorème de Bézout (ou de Bachet-Bézout)

théorème a7.1 : La condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres entiers met n soient premiers entre eux est qu’il existe deux nombres entiers relatifs u et v telsque soit vérifiée l’identité de Bézout : nu + mv = 1. La première démonstration fut donnée en 1624 par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac puisétendue aux polynômes par Etienne Bézout. Malgré cela le théorème reste plus connu sous lenom de théorème de Bézout. démonstration : En fait le théorème s’énonce à l’origine comme suit :Soient m et n deux entiers relatifs dont l’un au moins est non nul. Désignons par d leur plusgrand commun diviseur (PGCD) : c’est le nombre le plus grand qui divise à la fois m et n. Alorsil existe deux entiers relatifs, u et v, tels que :

nu + mv = d (A7.1) En particulier, si m et n sont premiers entre eux, par définition leur PGCD est égal à 1 : d = 1, etl’on a nu + mv = 1. La propriété (A7.1) n’admet pas généralement de réciproque : l’existence deu et v telle que l’on ait (A7.1) ne signifie pas que d soit obligatoirement le PGCD de m et n. Laréciproque n’est valide que pour d = 1, donc avec m et n premiers entre eux.Ceci précisé, venons-en à la démonstration de (A7.1).Soit l’ensemble Emn des nombres entiers relatifs de la forme z = nx + my, où x et y sont des

entiers relatifs (x, y Î Z), et où m et n sont fixés.Montrons que le plus petit élément positif de Emn est le PGCD de (m, n).

Pour cela on considère le sous-ensemble de Emn constitué des entiers naturels strictement

positifs : Emn Ç N*. Cet ensemble étant non vide, il contient un plus petit élément qui s’écrit :

z0 = nx0 = my0

La division euclidienne de n par z0 donne un reste r :

n = qz0 + r

On en déduit que le reste r s’écrit : r = (1 – qx0)n + (-qy0)m. Donc r est de la forme nX + mY,

c’est donc un entier naturel appartenant à Emn. Mais r < z0 donc il ne peut pas appartenir à Emn


Ç N* (dont le minimum est z0) donc r ne peut être que nul : r = 0. Il s’ensuit que n = qz0,

autrement dit z0 est un diviseur de n.

De la même façon on vérifie que z0 est un diviseur de m. Ainsi, z0 est un diviseur commun de m

et n. Est-ce le plus grand ?Supposons alors qu’il y ait un autre diviseur z1 de m et de n. Ce diviseur z1 divise alors aussi

z0 = nx0 = my0, donc il divise z0. Il est donc plus petit que z0.

Ceci prouve que z0 est le plus grand commun diviseur de n, m, et on le note d = z0.

Ce qui précède démontre le théorème direct : il existe deux entiers u et v tels que nu + mv =PGCD(m,n). Mais la réciproque n’est pas toujours vraie : le fait d’avoir nu + mv = d n’impliquepas que d soit le PGCD de n, m. La réciproque n’existe que si d = 1, dans ce cas cela impliqueque n et m soient premiers entre eux. – CQFD.

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Documents

Les nombres parfaits - fred.elie.free.frfred.elie.free.fr/nombres_parfaits.pdf · informatique, cryptographie et codage des données), l’arithmétique modulaire (relations de congruence