Les paramètres -Série 1- CORRIGÉenseignement.reginaassumpta.qc.ca/laurencellej/01-ex_suppl_foncti… · h: translation horizontale (s’additionne aux abscisses) k: translation

Collège Regina Assumpta CORRIGÉ Chapitre 2 – Fonctions réelles

Mathématique SN5 Exercices supplémentaires

Corrigé des exercices supplémentaires du chapitre 2

Fonctions réelles EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

Page 1 Les paramètres, Série 1

Dans chacune des fonctions de base suivantes, introduire les paramètres a, b, h et k permettant

d’obtenir une fonction transformée.

1. mx x cx a bx – h k

. rx x dx a bx – h k

px x ex a( )bx – h k

fx [ ]x lx a[ ]bx – h k

tx sin x ox a sin( )bx – h k

ux arctan x qx a arctan( )bx – h k

zx cool x sxa cool( )bx – h k

wx log x vx a log( )bx – h k

ix cx avec c et c x a c bx – h k

jx sec x x a sec( )bx – h k

kx x x a( )bx – h k

lx toto x x a toto( )bx – h k

nx

x x

a

bx – h k

Dans la fonction (x) = pitou (x), introduire les paramètres suivants pour obtenir une

fonction pitou transformée (x).

a = 2 b = 3 h = -1 k = 7

(x) = 2 pitou ( )x + 7 ou (x) = 2 pitou ( )x 3 + 7




Page 2 Les paramètres, Série 2

Dans chacune des fonctions transformées suivantes, donner la valeur des paramètres a, b, h et k.

1. mx x a = 1 ; b = 1 ; h = -2 ; k = 0

2. ax x a = 2 ; b = 2 ; h =

; k = 7

3. tx [ ] x a = 3 ; b = 5 ; h =

; k = 1

4 gx ( )–x a = 8 ; b = 2 ; h = 3 ; k = 9

. rx log

x a = 3 ; b =

; h = 12 ; k = 3

6. qx ex/ a = 2 ; b =

; h = 18 ; k = 4

. ex x a = 2 ; b = 1 ; h = 0 ; k = 0

. dx x

a =

; b = 1 ; h = 3 ; k = 2

. lx x

a = 2 ; b =

; h = 14 ; k = 5

. vx ( ) – x a = 6 ; b = 3 ; h =

; k = 18

. zx x

a =

; b = 1 ; h = 5 ; k =

12. jx

x – a = 1 ; b = 2 ; h = 3 ; k = 9

. cx tan

x

a = 1 ; b =

; h = 8 ; k = 0

14. wx arcsin x

a = 1 ; b = 2 ; h =

; k = 1




Pages 3-4 Les paramètres, Série 3

On sait maintenant comment les paramètres a, b, h et k affectent une règle de base d’une fonction

f et comment leur effet se traduit sur l’abscisse et l’ordonnée dans un couple ( )x, y f.

a : changement d’échelle verticale (multiplie les ordonnées)

si a < 0, symétrie par rapport à l’axe des abscisses

b : changement d’échelle d’un facteur

b (divise les abscisses)

si b < 0, symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

h : translation horizontale (s’additionne aux abscisses)

k : translation verticale (s’additionne aux ordonnées)

Soit un point A ( )x, y appartenant à une fonction de base f. Que devient le couple correspondant

à la fonction transformée?

Appliquons le paramètre « a » :

Les nouvelles coordonnées du point A’ sont ( )x, ay .

Appliquons le paramètre « b » :

Les nouvelles coordonnées du point A’ sont

x

b, ay .

Appliquons le paramètre « h » :


x

b h, ay .

Appliquons le paramètre « k » :


x

b h, ay k .

Les coordonnées finales du point A’ sont données par :

x

b h, ay k

1. Le point A (2, 3) appartient à la fonction fx cra x.

Quelles sont les coordonnées du point A après que cette fonction ait été modifiée et se

présente sous la forme gx cra

x

’ ( ),




2. Le point B (n, m) appartient à la fonction de base px sin x.

Quelles sont les coordonnées du point B correspondant à la fonction transformée

rx t sin ( )x z

?

B’

n

z, tm

3. Soit le couple (t, 3) appartenant à la fonction de base cx pic x.

Quelle serait l’image de « t transformée » par la fonction zx pic

x – ?

( )t

4. Le couple (3, 17) appartient à la fonction transformée gx love ( )x .

Quel est le couple correspondant de la fonction de base?

( ),

5. Le couple (2, 4) appartient à la fonction de base fx x. Quelles sont les valeurs des

paramètres « a » et « b » dans la fonction transformée gx a ( )bx – pour que

(5, 8) g ?

a et b

6.




Pages 5-7 Les paramètres, Série 4

On vous présente une portion du graphique d’une fonction de base. Tracer les graphiques des

fonctions transformées demandées.

1. Fonction de base

fx roc x

Fonction transformée 1

gx roc

x

Fonction de base : A (-3, 0) ; B (0, 2) ; C (2, 0)


px roc ( )–x


tx roc ( )x –

Fonction transformée 1 : A’ (-6, 0) ; B’ (0, -6) ; C’ (4, 0)

Fonction transformée 2 : A’ (3, -1) ; B’ (0, 3) ; C’ (-2, -1)

Fonction transformée 3 : A’

, ; B’ (3, -7) ; C’ (4, 1)




2. Fonction de base

fx pic x

Fonction de base : A(-5, 2) ; B(-2, 0) ; C(0, 2) ; D(2, 0) ; E(4, 2)


gx pic

x –


rx pic ( )–x

Fonction transformée 1 : A’ (-9, -8) ; B’ (-3, -2) ; C’ (1, 8) ; D’ (5, -2) ; E’ (9, -8)

Fonction transformée 2 : A’

, ; B’ (-5, 4) ; C’ (-6, 6) ; D’ (-7, 4) ; E’ (-8, 6)




3. Fonction de base

fx sin x


gx sin x

-2 -3/2 -- -/2 - /2 3/2 2 x

-2

-1

0

1

f(x)

-2 -3/2 - -/2 - /2 3/2 2 x

-2

-1

0

1

g(x)


sx sin x


px sin x

-2 -3/2 - -/2 - /2 3/2 2 x

-2

-1

0

1

s(x)

-2 -3/2 - -/2 - /2 3/2 2 x

-2

-1

0

1

p(x)


vx sin x


nx sin x

-2 -3/2 - -/2 - /2 3/2 2 x

-2

-1

0

1

v(x)

-2 -3/2 - -/2 /2 3/2 2 x

-2

-1

0

1

n(x)

a) Observer les fonctions 1, 2, 3 et 4. Commenter. Ces 4 fonctions ont toutes la même courbe. Elles ont les mêmes zéros, extremums, intervalles

de croissance, décroissance, les mêmes signes des images…

b) Observer les fonctions 1 et 5. Commenter. Ces 2 fonctions sont soit symétrique par rapport à l’axe des abscisses, soit translatées de unités.




Pages 8-10 Les réciproques, Série 1

Dessiner la réciproque de chacune des fonctions et dire si cette réciproque est une fonction.

1. fx x

Fonction

2. sx x –

Fonction

3. fx

Relation

4.

Relation

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y




5. jx x

Relation

6. gx

– x

Relation

7. fx x

Fonction

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y




8. mx

x

Relation

9. nx

x

Fonction

10.

rx tan x

Relation

x

y

x

y

x

y

x

y




Page 11 Les réciproques, Série 2

1. Soit la relation linéaire S décrite à l’aide d’un graphique sagittal.

a) Écrire S en extension.

S = { }, , , , , , ,

b) Écrire S en compréhension.

S = Erreur !

c) Écrire S-1 en extension.

S-1 = { }, , , , , , ,

d) Écrire S-1 en compréhension.

S-1 = Erreur !

2. Soit la relation linéaire R décrite comme suit :

R = Erreur !

avec A = { }, , , , et B = { }, , , , , ,

a) Écrire R en extension.

R = { }, , , , , , ,

b) Écrire R-1 en extension.

R-1 = { }, , , , , , ,

c) Écrire R-1 en compréhension.

R-1 = Erreur !

d) Représenter R-1 par un graphique sagittal.

2

4

5

6

7

8

9

B

0

1

2

3

4

A

R-1

0

1

2

3

4

A

1

3

5

7

8

B S




Page 12 Les réciproques, Série 3

Soit les fonctions réelles suivantes. Déterminer la règle de la réciproque de chacune d’elles et

dire si la réciproque obtenue est une fonction.

1. fx x . gx x

fx x –

gx x où x ≥ 0)

. px x

. rx

x

px x

rx

x

. nx x . sx x

x

y ± x

la réciproque de n n’est pas une fonction

sx x

x

. tx – x . hx

y ± – xoù x ≥ 0)

la réciproque de t n’est pas une fonction

x

la réciproque de h n’est pas une fonction




Pages 13-18 Paramètres et réciproques – Exercices récapitulatifs

1. a a = 2 ; b = 2 ; h = -2 ; k = -3 b a = -3 ; b = 2 ; h = -

2 ; k =

2

c a = 2 ; b = 2 ; h = 3 ; k = -3 d a = -2 ; b = 2 ; h =

-5

2 ; k = -4

2. { }…, (-6, 13), …, (-5, 17), …, (-4, 21), …, (-3, 25), … fonction transformée

3. { }…, (3, -5), …, (0, -4), …, (-2, -3), …, (-4, -2), … fonction transformée

4. { }(2, 3), (6, 11), (10, 11), (14, 3) fonction g transformée

5. gx 2x + 4 [ ]Autres réponses possibles

6. hx 2x + 4 ouhx 2x + 4 [ ]Autres réponses possibles

7. Dans le IIIe quadrant.

8. On donne diverses relations. Détermine la relation réciproque de chacune et indique si cette

réciproque est une fonction.

a) R-1 = { }(3, 1), (4, 2), (5, 3), (8, 4) . C’est une fonction.

b) Réciproque de S = { }(0, 0), (3, -2), (3, 2), (4, -1), (4, 3) . Ce n’est pas une fonction.

9. y = x + 4

2 10. Oui. Illustrer par un graphique ou une démarche algébrique.

11. a) Elles ne sont pas réciproques. b) Elles sont réciproques.

12. a) 0,0,0,0 khba b) 0,0,0,0 khba

a) 0,0,0,0 khba d) 0,0,0,0 khba

13. ,71mdom 14. a) Faux b) Vrai c) Faux d) Faux 15. f 4,2

16. 162

1)(

xxg 17. Symétrie selon l’axe des abscisses suivie d’un étirement vertical de

facteur 10. Translations de 16 unités vers la gauche et de 20 unités

vers le haut.

18. a)

,

3

7hdom

b) 3

7

50

1

3

12

1

x

xh ou 3

71

50

1

3

12

1

xxh et

,

3

71 hdomhcodom

19.

2

2

1 1x

txj




Page 19 Les équations du 2e degré

a) Par M.E.S. t = 0 et t = 3

b) Par produit/somme x = -3 et x = -2

c) Par différence de carrés 2

5a

d) Par M.E.S. x = 0 et 2

1x

e) Par trinôme carré parfait n = -5

f) Par loi du produit nul 3

2b et b = 7

g) Par produit/somme x = -3 et x = 5

h) Par trinôme carré parfait 5

3x

i) Par produit/somme x = -7 et x = -3

j) Par M.E.S. r = 0 et r = 5

k) Par produit/somme 3

1x et

2

3x

l) Par trinôme carré parfait x = -2

m) Par différence de carrés 4

1x

n) Par M.E.S. c = 0 et 12

5c

o) Par produit/somme 5

2x et 5x

p) Par opérations inverses 2a




Pages 20-22 Exercices de révision sur les généralités des fonctions

1. A’(6 ; 3,5) B’(4 ; -0,5) C’(3 ; 3,5) D’(-1 ; -4,5)

2.




3. a) (voir graphique)

b) non, la réciproque n’est pas une fonction

c) analyse :

Dom f : ,2

Codom f : ,6

Ordonnée à l’origine : -2

Zéros : 1 et 5

Extremum : minimum -6

Variation :

Croissante ,31,2x

Décroissante 3,1x

Signe : f (x) ≤ 0 5,2x et f (x) ≥ 0 ,5x 1

4. a) (voir graphique)

b) non, la réciproque n’est pas une fonction

c) analyse :

Dom g :

Codom g :

4

1,

Ordonnée à l’origine : -7

Zéro : x

xxg 0)(

xxg 0)(

Extremums : la fonction g possède un (max/min) maximum en x = 9/2

Variation :

Croissante

2

9,x

Décroissante

,

2

9x

d) h(x) > g(x) ,92,x




Pages 23-26 Fonction valeur absolue

1. a) i) 126 xxf b) i) 126 xxg

ii) ,1fCodom ii) ,1gCodom

iii) Aucun zéro 0ka iii) 6

13;

6

1121 xx

c) i) 322 xxh d) i) 22 xxj

ii) 3,hCodom ii) 2,jCodom

iii) 2

1;

2

721

xx iii) 4;0 21 xx

2. a) 312 xxf b) 122

1 xxg c) 41 xxh

3. 401515

16

xxf où 0 ≤ x ≤ 30

4. a)

5

14

6

2

1

x

x

b)

3

1

2

1

x

x

5. a) Vrai b) Faux c) Faux d) Vrai e) Vrai f) Faux

6. 11

15,x [ ] ,

11

51

7. 6

1,x ]




Pages 27-29 Fonction racine carrée

1. b, c, d et f

2. a) Croissant b) Décroissant c) Croissant d) Décroissant

3. a) Oui b) Non c) Non d) Oui e) Oui

4. 4,4x (La restriction n’est pas contredite)

5. 1223 xxf

6. a) 25

17x

b) 24,0x (on rejette 64,2x )

7. a) 16 minutes b) 2 minutes c) 84oC d) 81,35oC e) 9,5 minutes ou 9 minutes 30 sec.

8. 652 xxg b) x = -4 c) 6564

1 21 xxxg

Pages 30-31 Fonction rationnelle

1. a) )0(1520020015

nnn

nC b)

c) Au moins 21 élèves

d) 40 élèves

e) Non

f) )2(152

230

2

20015

n

nn

nC

2. a) x = -10 et y = 200 b)

c) 200,40

,0

PCodom

PDom

d) Au moins 3 pages web.




Pages 32-33 La composition de fonctions

1. a) 1 xxtf b) 1

1

xxts c)

xxsr

1

d) xxrf e) 11

xxsrt f)

1

1

xxtsr

g) xxfr h) 12

12

xx

xvtsr i) x

xfs1

j) 1

2

1

12

xxxtsvr k) 121 xxxtgvr

l) 2

1

xxtts

2. xxgf 86,2

3. 329

51 xxgf

4. La fonction g est la réciproque de f, soit )()( 1 xfxg .

5. 231 xxgxffg

6. x = 2 (on rejette x = -10)




Pages 34-37 Opérations sur les fonctions

1. a) 6 xxfg b) 3

1

xx

h

g , x \

2

7,3 c) 234 2 xxxjh

2. a) 58 xxfg b) 8262 xxfh c) 44 2 xxfk

3. a) b) 10,0,1,311 hgf

4. a) xxf 26,0 b) xxg 23,0 c) xxgfxh 49,0

5. a) b)

6. a) Couples (-2 ; -6,5) (3 ; -1,5) (0 ; 1,5) (1 ; 0,5) (2 ; -4,5)

b)

g

fDom \ 2,2 et

f

gDom

7. a) c), e) et g)

b) dom f : 9,3,0,6 codom f : 5,1,1,5 d) Oui, la réciproque est une fonction

f) f -1 (x) = )1(2

3)(

2

3

2

3 1

xxfoux (réponses équivalentes)

1

4

7

9

2

5

8

10

3

6

0

g f -1

f -1 ○ g

f

-6

0

3

9

-5

-3

-1

0

1

5

A B




2

7

9

3

2

1

x

x

x

Pages 38-40 Exercices DEATH METAL

1. a) b)

2. a) 2342)( xxfg

b) c) 4,fgDom d) 10 fg

3. Les solutions de ce système sont :

,

et

,

.

4. ► )(xg

f

= 2x – 4 où x -2 ► )(

1

xg

f

= 2

2

x où x -8

► )()(:4,4

1

xg

fxhx

5. Solutions

DÉFI : x = 0 et 6

615 x




Page 41 Exercice synthèse #1

1°) Trouver la règle de la fonction rationnelle g sous forme canonique :

5

2

5

825

66

5

2

4025

66

4025

5010)(

xxx

xxg

2°) Le sommet de la fonction racine carrée f est donc

5

2,

5

8

3°) Trouver la règle de la fonction racine carrée f sachant qu’elle passe par

1,

25

36 :

2

3

5

2

25

41

5

2

5

8

25

361)(

aaakhxaxf

La règle est donc 5

2

5

8

2

3)(

xxf et son codomaine est

5

2, .

4°) Trouver la règle de la réciproque de f :

5

8

5

2

3

2

5

8

2

3

5

2

5

2

5

8

2

3xyxyxy

5

8

5

2

3

2

5

2

3

2

5

8

5

2

3

2

5

8222

yxyxyx

La règle est donc 5

8

5

2

3

2)(

2

1

xxf ou

5

8

5

2

9

4)(

2

1

xxf .

Il faut cependant spécifier pour quelles valeurs de x cette dernière règle est valable.

Puisque le domaine de f -1 correspond au codomaine de f, on obtient que

5

2,x .

5°) Réponse finale : 5

8

5

2

9

4)(

2

1

xxf où

5

2,x .





Un « party mix » de fonctions

À partir des indices fournis ci-dessous, trouver la règle de la

fonction rationnelle transformée f décrite.

L’asymptote verticale de la fonction f passe par le sommet

de la réciproque de la fonction g dont la règle est 4262

3)( xxg ;

La règle de g(x) sous forme canonique est :

4334322

34)3(2

2

3)( xxxxg

Le sommet de g(x) est donc (3, 4) et, par conséquent, le sommet de g -1(x) est (4, 3).

L’équation de l’asymptote verticale de f est x = 4.

L’asymptote horizontale de la fonction f passe par le sommet de la fonction h décrite par la

règle 5823)( xxh ;

La règle de h(x) sous forme canonique est :

5)4(235)4(23)( xxxh

Le sommet de h(x) est donc (4, -5).

L’équation de l’asymptote horizontale de f est y = -5.

La fonction f passe par le point d’intersection des fonctions g et h.

On veut résoudre l’équation g(x) = h(x).

(suite à la page suivante…)




Page 43 Exercice synthèse #2 (suite et fin)

58234262

3 xx

1er cas : si 6 – 2x ≥ 0 2e cas : si 6 – 2x < 0

58234)26(2

3 xx

5823439 xx

582353 xx

8233 xx

82 xx

Restrictions : x ≥ 0 et -2x + 8 ≥ 0

822 xx

0822 xx

Avec la formule quadratique

ou par factorisation : 0)2)(4( xx

24 xoux

On vérifie avec nos trois restrictions :

1) x ≤ 3 2) x ≥ 0 3) x ≤ 4

Seule la solution x = 2 est valable.

58234)26(2

3 xx

5823439 xx

5823133 xx

823183 xx

826 xx

Restrictions : -x + 6 ≥ 0 et -2x + 8 ≥ 0

8236122 xxx

028102 xx

Cette équation quadratique n’admet aucun

zéro, car Δ < 0. En effet :

acb 42

2814)10( 2

12

Donc le 2e cas n’admet aucune solution.

On sait maintenant que x = 2 et on cherche la coordonnée y du point d’intersection :

142262

3y ou encore 158223 y

On connaît maintenant le point d’intersection des asymptotes de f qui est (4, -5) et un autre point

de la fonction f qui est (2, 1).

On détermine enfin la règle canonique de la fonction rationnelle :

khx

ay

devient 5

421

a ou 5

21

a donc 12a .

La règle de la fonction rationnelle f est 54

12)(

xxf .





On trouve, dans l’ordre :

4)( xf

4

7

4)(

xxg

449

4)(

2 xxh

5

6

2

5

5

4)(

xxi

Les coordonnées du point

64

87,

16

25E

64

87

16

25

16

13)(

xxj ou 36,1)56,1(81,0)( xxj

Les coordonnées du point

5

6,

2

5F

410086745

50410985)(

xxk ou 4

69,6

80,21)(

xxk

Question bonus : Les coordonnées du point

25

64,

5

11P

Documents

Les paramètres -Série 1- CORRIGÉenseignement.reginaassumpta.qc.ca/laurencellej/01-ex_suppl_foncti… · h: translation horizontale (s’additionne aux abscisses) k: translation