Les probabilités et les procédures de vote 5 · total de premières, de deuxièmes et de troisièmes positions obtenues pour déterminer qui se qualifie, c’est Benoit Matte, qui

Entrée en matièreEn contexteManuel • p. 266

1. a) Patineuse Moyenne

Sylvie Buchanan 9,6375

Joanie Ciccariello 9,7

Brigitte De Courval 9,1875

Anouk Kovac 9,6625

Véronique Leroux 9,75

Nancy Mackenzie 8,8875

Josée Rainville 9,5

Jennifer Szabo 9,55

b) 1re position : Véronique Leroux2e position : Joanie Ciccariello3e position : Anouk Kovac

c) On calcule la moyenne des notes pour chacune des patineuses en excluant la note la plus élevée ainsi que la note la plus basse :

Patineuse Note fi nale

Sylvie Buchanan 9,65

Joanie Ciccariello 9,75

Brigitte De Courval 9,183

Anouk Kovac 9,63

Véronique Leroux 9,73

Nancy Mackenzie 8,883

Josée Rainville 9,5

Jennifer Szabo 9,55

1re position : Joanie Ciccariello2e position : Véronique Leroux3e position : Sylvie Buchanan

d) Les réponses sont différentes en b et en c parce qu’on a exclu des données en c, ce qui a modifié les moyennes.

e) Cela peut être fait afin de contrer l’effet de la subjectivité des juges sur les notes. En retirant la note la plus faible et la note la plus forte, on a davantage de chances d’avoir un jugement plus juste de la performance de l’athlète. Une note mal évaluée par rapport aux autres, qui se traduit par une donnée extrême, influe aussi beaucoup sur la moyenne.

Manuel • p. 267

2. Jean-François Crepel se qualifie, car c’est le planchiste qui a accumulé le plus grand nombre de points.

James Bretz se qualifie, car c’est le planchiste qui a accumulé le plus grand nombre de points après Jean-François Crepel.

Enfin, Sylvio Dezzo et Benoit Matte pourraient se qualifier pour le championnat. Ils ont en effet tous les deux obtenu 148 points et un nombre égal de premières positions. Ainsi, si l’on considère le nombre total de premières, de deuxièmes et de troisièmes positions obtenues pour déterminer qui se qualifie, c’est Benoit Matte, qui en a obtenu neuf, qui se qualifie. Cependant, si l’on considère plutôt le nombre de deuxièmes positions obtenues, c’est Sylvio Dezzo, avec ses quatre deuxièmes positions, qui est le troisième planchiste à se qualifier pour ce championnat.

3. a) Patineur Note fi nale

David Candeloro 9,74

Alan Orser 9,73

Bryan Calmat 9,13

Philippe Jenkins 9,77

Karl Dolto 9,69

George Fraser 9,29

Mathieu Rainville 9,54

Albert Noto 9,46

b) 1re position : Philippe Jenkins2e position : David Candeloro3e position : Alan Orser

73Intersection CST Guide B Corrigé du manuel

Les probabilités et les procédures de vote

Chapitre

5

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CST5_GE-B_Ch5-Corrige-manuel.indd 73 1/17/11 4:12:56 PM

3)

4)

5)

6)

7)

8)

b) 1) 5 3) 5 5) 9 7) 1 2) 6 4) 4 6) 2 8) 8

2. a)

14

169

13

111514

1012

26

8

3 5

7

A B

Manuel • p. 268

4. a) Le club de gymnastique réalisera un profit de 4 660 $.

b) E(Loterie) = 1500

(140) + 1500

(90) + 1500

(40)

+ 497500

(−10) = − 9,4

L’espérance mathématique de cette loterie est de − 9,4. Cela signifie que la personne qui achète un billet peut espérer perdre 9,40 $.

c) 5 • − 9,4 = −47

La personne qui achète 5 billets peut espérer perdre 47 $.

5. a) Il y aura cinq élèves du premier cycle et sept élèves du deuxième cycle.

b) 512

c) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Une personne pourrait être présidente ou président. Il pourrait aussi y avoir une ou un secrétaire pour prendre en note les discussions et les décisions prises. On pourrait aussi nommer une ou un trésorier pour gérer le budget prévu pour cette activité. Enfin, des comités qui auraient la responsabilité des différents aspects en lien avec l’organisation de la journée (planification du matériel et de l’espace nécessaire, recherche de commanditaires, recherche et gestion des bénévoles, etc.) pourraient être créés.

En brefManuel • p. 269

1. a) 1)

2)

74 Corrigé du manuel Intersection CST Guide B Reproduction autorisée © Chenelière Éducation inc.


b) 1) 816

= 12 3) 8

16 = 1

2 5) 10

16 = 5

8

2) 416

= 14 4) 12

16 = 3

4 6) 2

16 = 1

8

c) Ces deux événements sont compatibles.

3. a)

20 716

47

FemmesMembres du personnelqui travaillent aux caisses

b) 1) 90 – 3690

= 5490

= 35

2) 2090

= 29

3) 4790

Manuel • p. 270

4. a)

b) Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

c) 1) 416

= 14 3) 4

16 = 1

4

2) 1 – 14 = 3

4 4) 0

d) E(Jeu) = 116

(2) + 216

(3) + 316

(4) + 416

(5) + 316

(6) +

216

(7) + 116

(8) = 8016

= 5

L’espérance mathématique de ce jeu est de 5.

3

4

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

3

4

1

2

3

4

1

2

5

6

3

4

4

5

2

3

6

7

4

5

7

8

5

6

Résultatdu

premierdé

Résultatdu

deuxièmedé

Sommeobtenue

5. Remarque : À la question 5b2 de la page 270 du manuel, on devrait lire ce qui suit : « P(B), sachant qu'on a tiré une figure au premier tirage. »

a) 1) 313

2) 313

b) 1) 313

2) 212

= 16

c) Dans les deux cas, les événements A et B sont compatibles.

6. a) Le type de probabilité le plus approprié est la probabilité fréquentielle. Ce type de probabilité est une estimation faite à partir de résultats observés à la suite de plusieurs réalisations d’une expérience aléatoire. On doit avoir recours à une expérience aléatoire lorsqu’on ne dispose pas d’un modèle permettant de calculer une probabilité théorique.

b) Le type de probabilité le plus approprié est la probabilité théorique. Il est en effet possible de modéliser cette situation sans nécessairement recourir à l’expérimentation.

c) Le type de probabilité le plus approprié est la probabilité subjective. Ce type de probabilité reflète l’avis d’une personne sur la probabilité qu’un événement se réalise. Une probabilité est subjective lorsqu’elle fait appel au jugement et correspond à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions.

Manuel • p. 271

7. a) 1001 000

= 110

b) Selon l’expérience réalisée, Véronique devrait obtenir environ 300 fois le chiffre 6.

c) Les réponses données en a et en b sont basées sur les résultats d’une expérience aléatoire. Pour répondre aux questions a et b, on s’est en effet basé sur les résultats obtenus par Véronique dans son expérience.

d) E(Dé) = 1001 000

(1) + 1501 000

(2) + 1401 000

(3) + 1501 000

(4)

+ 1601 000

(5) + 3001 000

(6) = 4 0201 000

= 4,02

L’espérance mathématique d’un lancer de dé est de 4,02.

e) P(A) = 3001 000

• 3001 000

= 9100

8. 10 • 10 • 26 • 26 = 67 600

Il est possible de former 67 600 codes différents.

9. 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720

Il existe 720 façons différentes de disposer six bibelots sur une étagère.

75Intersection CST Guide B Corrigé du manuelReproduction autorisée © Chenelière Éducation inc.


10. 14 • 13 • 12 = 2 184

Il y a 2 184 façons possibles de combler ces trois postes.

11. a) 5 : 4 ou 5 contre 4

b) 1 : 1 ou 1 contre 1

c) 5 : 3 ou 5 contre 3

Manuel • p. 272

12. a) 57

b) 47

13. La probabilité d’obtenir 4 est de 58 et celle d’obtenir 9,

de 38.

On calcule l’espérance mathématique du jeu :

E(Jeu) = 58 (4) + 3

8 (9) = 47

8 = 5,875

L’espérance mathématique de ce jeu est de 5,875.

14. 2 = 14 (x + 3) + 1

4 (x – 3) + 2

4 (2x + 1)

x = 1

15. a) Le lot de 50 $ est inscrit dans quatre secteurs. Le lot de 100 $ est inscrit dans trois secteurs. Les lots de 500 $ et de 1 000 $ sont inscrits dans deux secteurs. Le lot de 5 000 $ est inscrit dans un seul secteur.

b) E(Roulette) = 13 (50) + 1

4 (100) + 1

6 (500) +

16 (1 000) + 1

12 (5 000) = 2 125

3 = 708,3

L’espérance mathématique de cette roulette est d’environ 708,33 $.

c) 708,3 • 5 ≈ 3 541,67

Un participant peut espérer gagner environ 3 541,67 $ en tournant la roulette cinq fois.

d) Il faudrait demander une mise d’environ 708,33 $ pour que le jeu soit équitable.

16. L’espérance mathématique est positive, ce qui signifie qu’en moyenne, une personne qui joue un très grand nombre de fois à ce jeu peut espérer gagner de l’argent. Cette personne n’est cependant pas assurée de gagner à tous les coups.

La probabilitéSection 1 conditionnelle

Moi, je vote !Manuel • p. 273

On calcule d’abord le nombre total de députés pour chacun des quatre partis officiels :

Parti conservateur du Canada : 143 députés Parti libéral du Canada : 77 députés Bloc québécois : 49 députés Nouveau Parti démocratique : 37 députés

On calcule ensuite la probabilité de choisir un député ou une députée provenant de l’Ontario pour chacun des quatre partis officiels.

Parti conservateur du Canada :51143

≈ 36 %

Parti libéral du Canada :3877

≈ 49 %

Bloc québécois :049

= 0 %

Nouveau Parti démocratique :1737

≈ 46 %

Le Parti libéral du Canada présente la probabilité la plus élevée de choisir une députée ou un député provenant de l’Ontario.

1ACTIvITéd’exploration Pas de fumée sans feu !

Manuel • p. 274

A 1) 1 7763 465

2) 3843 465

3) 1 5223 465

B 1) 1 522 personnes

2) 1 5223 081

C 1) 217384

2) 2171 776

CD 2



D 1) P(AB)

2) P(BA)

E Puisqu’on sait qu’il s’agit d’un garçon, on tient uniquement compte de la colonne des garçons dans le tableau à double entrée. On divise donc le nombre de fumeurs dans cette colonne par le nombre total de garçons.

Manuel • p. 275

F P(A ∩ B) = 2173 465

Cela représente la probabilité de choisir un garçon qui fait l’usage du tabac si l’on choisit au hasard une personne de cette distribution.

G P(A) = 1 7763 465

Cela représente la probabilité de choisir un garçon si l’on choisit au hasard une personne de cette distribution.

H P(A ∩ B)

P(A) =

2173 4651 7763 465

= 2171 776

Cela représente la probabilité de choisir une personne faisant l’usage du tabac, sachant qu’il s’agit d’un garçon. Il s’agit de la même probabilité que celle déterminée en C2.

I En calculant le rapport P(A ∩ B)

P(A).

Il s’agit en fait de diviser le nombre qui apparaît dans l’intersection des deux ensembles par le total de l’ensemble A.

J P(BA) = P(A ∩ B)

P(A) = 217

1 776

P(AB) = P(A ∩ B)

P(B) = 217

384

Le numérateur de la probabilité cherchée est le même, soit le nombre de personnes contenues dans l’intersection des deux ensembles. Pour ce qui est du dénominateur, on prend le nombre correspondant à l’ensemble de référence, soit l’événement qui s’est réalisé.

K Dans un tableau à double entrée, l’intersection de l’entrée ligne (correspondant au premier événement) et de l’entrée colonne (correspondant au deuxième événement) est le numérateur de la probabilité cher-chée. Dans un diagramme de Venn, on utilise plutôt l’intersection des deux ensembles comme numéra-teur. Pour ce qui est du dénominateur de la probabilité cherchée, on utilise le total de l’ensemble de réfé rence (soit l’événement qui s’est réalisé) pour le tableau à double entrée et pour le diagramme de Venn.

Ai-je bien compris ?

1. a) Les résultats au test diagnostique

Positif Négatif TotalDiabétique 145 20 165Non-diabétique 15 460 475Total 160 480 640

b) 20165

ou 433

c) 15160

ou 332

2. a) 49

b) 410

ou 25 c) 65

70 = 13

14

2ACTIvITéd’exploration Le jeu de cartes

Manuel • p. 276

A

12

2551

2651

2651

2551

12

R

R

N

N

R

N

P(R, R) = 12 • 25

51 = 25

102

P(R, N) = 12 • 26

51 = 26

102 = 13

51

P(N, R) = 12 • 26

51 = 26

102 = 13

51

P(N, N) = 12 • 25

51 = 25

102

B 1) 2551

2) 2651

C Oui, puisqu’il s’agit d’un tirage sans remise, le résultat du premier tirage influe sur la probabilité du résultat qu’on peut obtenir au deuxième tirage.

Manuel • p. 277

D 1) Les deux événements sont dépendants, car la réalisation de l’un influe sur la probabilité de réalisation de l’autre.

2) Les événements A et B sont dépendants,

donc P(B | A) ≠ P(B) 2551

≠ 2651

.



E 1) Les événements A et B sont alors indépendants. La probabilité demeure la même puisque la carte est remise dans le paquet.

2) Les événements A et B sont indépendants,

donc P(B | A) = P(B) 2652

= 2652

.


1. a) Les événements A et B sont indépendants.

b) 14

+ 14

= 24

= 12

c) 12

2. a) 1) 811

2) 711

b) 1) Les événements A et B sont dépendants.

2)

311

811

411

711

812

412

B

B

G

G

B

G

P(BA) = 411

3ACTIvITéd’exploration Le dé à huit faces

Manuel • p. 278

AObtenir un nombre pair Obtenir un multiple de 3

Obtenir un multiple de 4

2 63

5

1

7

48

B 1) 48 = 1

2 3) 1

8 5) 1

2 • 1

4 = 1

8

2) 28 = 1

4 4) 1

4 6) 1

2 • 1

4 = 1

8

C 1) Les deux résultats sont identiques.

2) Les deux résultats sont identiques.

D Les événements A et B sont indépendants, car P(A ∩ B) = P(A) • P(B).

E 1) 28 = 1

4 3) 1

2 • 1

4 = 1

8

2) 28 = 1

4 4) 2

4 = 1

2

F 1) Les deux résultats sont identiques.

2) Les deux résultats ne sont pas identiques.

G Les événements A et C ne sont pas indépendants, car P(A ∩ C) ≠ P(A) • P(C). Ces événements sont donc dépendants.

Manuel • p. 279

H P(B ∩ C) = 0 et P(B) • P(C) = 14 • 1

4 = 1

16 Les événements B et C sont dépendants,

car P(B ∩ C) ≠ P(B) • P(C).

I 1) Les événements A et B sont non mutuellement exclusifs, car ils peuvent se produire en même temps.

2) Les événements A et C sont non mutuellement exclusifs, car ils peuvent se produire en même temps.

3) Les événements B et C sont mutuellement exclusifs, car ils ne peuvent pas se produire en même temps.


1. On détermine quelques probabilités :

P(A) = 1352

= 14, P(B) = 12

52 = 3

13, P(C) = 26

52 = 1

2,

P(A ∩ B) = 352

, P(A ∩ C) = 0 et P(B ∩ C) = 652

= 326

a) 1) Les événements A et B sont non mutuellement exclusifs, car ils peuvent se produire en même temps. P(A ∩ B) ≠ 0

2) Les événements A et C sont mutuellement exclusifs, car ils ne peuvent pas se produire en même temps. P(A ∩ C) = 0

3) Les événements B et C sont non mutuellement exclusifs, car ils peuvent se produire en même temps. P(B ∩ C) ≠ 0

b) 1) Les événements A et B sont indépendants,

car P(A ∩ B) = P(A) • P(B) 352

= 14 • 3

13 .



2) Les événements A et C sont dépendants,

car P(A ∩ C) ≠ P(A) • P(C) 0 ≠ 14 • 1

2 .

3) Les événements B et C sont indépendants,

car P(B ∩ C) = P(B) • P(C) 326

= 313

• 12

.

2. a) 0,3 • 0,45 = 0,135

b) 0,6 • 0,25 = 0,15

c) 0, car l’intersection des deux ensembles est vide.

Mise en pratiqueManuel • p. 284

1. Niveau de difficulté : faible

a) Garçons Filles Total

Possèdent une voiture 5 4 9

Ne possèdent pas de voiture

7 14 21

Total 12 18 30

b) 1) 2130

= 710

2) 49


a) Les événements sont non mutuellement exclusifs.

b) Les événements sont mutuellement exclusifs.

c) Les événements sont mutuellement exclusifs.

d) Les événements sont non mutuellement exclusifs.


a) 1) P(A) = 36 = 1

2

2) P(B) = 46 = 2

3

3) P(A ∪ B) = 56

4) P(A ∩ B) = 26 = 1

3

5) P(AB) = P(A ∩ B)

P(B) =

1323

= 12

6) P(BA) = P(A ∩ B)

P(A) =

1312

= 23

b) P(A) • P(B) = 12 • 2

3 = 2

6 = 1

3

P(A ∩ B) = 13

P(A ∩ B) = P(A) • P(B)

Les deux événements sont indépendants.

c) Les deux événements sont non mutuellement exclusifs, car P(A ∩ B) ≠ 0.

Manuel • p. 285

4. Niveau de difficulté : moyen

a)

59

12

12

58

38

49

R

R

B

B

R

B

P(R, R) = 49 • 3

8 = 12

72 = 16

P(R, B) = 49 • 5

8 = 20

72 = 5

18

P(B, R) = 59 • 1

2 = 5

18

P(B, B) = 59 • 1

2 = 5

18

b) La probabilité qu’Amélie tire deux bas bleus est de 518

.

c) La probabilité qu’Amélie tire deux bas qui ne vont

pas ensemble est de 1018

ou 59 .

d) Les événements A et B sont dépendants, car la réalisation de l’un influe sur la probabilité de réalisation de l’autre.


a) 1) P(A ∩ B)

P(B) = 0,15

0,7 = 3

14

2) P(A ∩ B)

P(A) = 0,15

0,4 = 3

8

b) 1) P(A) • P(B) = 0,4 • 0,7 = 0,28

Les deux événements sont dépendants, car P(A ∩ B) ≠ P(A) • P(B).

2) Les deux événements sont non mutuellement exclusifs, car P(A ∩ B) ≠ 0.



6. Niveau de difficulté : élevé

Les événements sont indépendants, donc P(A ∩ B) = P(A) • P(B).

P(A ∩ B) = 0,2 • 0,8 = 0,16

Pour déterminer P(A ∪ B), on doit effectuer le calcul suivant :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0,2 + 0,8 – 0,16 = 0,84


a) 1) P(A ∩ B) = P(A) • P(B)

P(A ∩ B) = 0,5 • 0,35 = 0,175

2) On ne peut pas déterminer P(A ∩ B), car P(A ∩ B) ≠ P(A) • P(B) et on ne possède pas d’information sur d’autres probabilités en lien avec ces deux événements.

b) 1) P(B | A) = P(A ∩ B)

P(A) P(A ∩ B) = 0,9 • 0,4 = 0,36

2) P(A ∩ B) = 0,36

c) 1) 0

2) On ne peut pas déterminer P(A ∩ B), car on ne possède pas suffisamment d’information en lien avec ces deux événements. Par exemple, si l’on savait que les événements sont indépendants, on pourrait alors calculer P(A ∩ B).


Remarque : Dans le manuel, à la sous-question c, l’élève ne devrait pas avoir à justifier sa réponse.

a) 70 % − 25 % = 45 % La probabilité que Josée réussisse son lancer franc,

sachant qu’elle a raté son premier, est de 45 %.

b) Les événements A et B sont dépendants, car la réalisation de l’un influe sur la probabilité de réalisation de l’autre.

c) Ils sont indépendants.

Manuel • p. 286


a) Il y a 45 personnes sur 150 qui ont réussi les trois tests d’aptitudes. La probabilité de choisir une personne qui a réussi les trois tests d’aptitudes est

de 45150

ou 310

.

b) Il y a 32 personnes sur 150 qui ont réussi les tests d’aptitudes numéros 1 et 2 seulement. La probabilité de choisir une personne qui a réussi les tests d’aptitudes numéros 1 et 2 seulement est

de 32150

ou 1675

.

c) Il y a 45 personnes (13 + 27 + 5) sur 150 qui ont réussi un seul test d’aptitudes. La probabilité de choisir une personne qui a réussi un seul test

d’aptitudes est de 45150

ou 310

.

d) Il y a 100 personnes qui ont réussi le test d’aptitudes numéro 2. Il y a 77 personnes parmi ces 100 qui ont réussi le test numéro 1. La probabilité de choisir une personne qui a réussi le test numéro 1, sachant

qu’elle a réussi le test numéro 2 est de 77100

.

e) Il y a 50 personnes qui n’ont pas réussi le test d’aptitudes numéro 2. Il y a 37 personnes parmi ces 50 qui ont réussi le test numéro 3. La probabilité de choisir une personne qui a réussi le test numéro 3, sachant qu’elle n’a pas réussi le test numéro 2 est

de 3750

.


a) 1) 510

ou 12

2) 210

ou 15 3) 3

10

b) 1) 210

ou 15 2) 2

10 ou 1

5 3) 2

10 ou 1

5

c) 1) 49 2) 5

9 3) 5

9

d) 1) On calcule la probabilité de tirer deux billes

rouges : 12 • 1

2 = 1

4

On calcule la probabilité de tirer deux billes

vertes : 15 • 1

5 = 1

25

On calcule la probabilité de tirer deux billes

jaunes : 310

• 310

= 9100

14 + 1

25 + 9

100 = 38

100 = 19

50

La probabilité de tirer deux billes de la mêmecouleur si le tirage se fait avec remise est de 19

50 .

2) On calcule la probabilité de tirer deux billes rouges : 1

2 • 4

9 = 4

18 = 2

9

On calcule la probabilité de tirer deux billesvertes : 1

5 • 1

9 = 1

45

On calcule la probabilité de tirer deux billesjaunes : 3

10 • 2

9 = 6

90 = 3

45



29 + 1

45 + 3

45 = 14

45

La probabilité de tirer deux billes de la mêmecouleur si le tirage se fait sans remise est de 14

45 .

e) 1) Voici toutes les possibilités : (rouge, verte, jaune), (rouge, jaune, verte), (verte, rouge, jaune), (verte, jaune, rouge), (jaune, rouge, verte), (jaune, verte, rouge)

On calcule la probabilité d’obtenir rouge, verte,

jaune : 12 • 2

9 • 3

8 = 6

144 = 1

24

La probabilité est la même pour chaque

possibilité, donc 6 • 124

= 14 .

La probabilité d’obtenir une bille de chaquecouleur est de 1

4 .

2) On calcule la probabilité de tirer trois billes

rouges : 12 • 4

9 • 3

8 = 12

144 = 1

12

On calcule la probabilité de tirer trois billes vertes : 0

On calcule la probabilité de tirer trois billes

jaunes : 310

• 29 • 1

8 = 1

120

112

+ 0 + 1120

= 11120

La probabilité de tirer trois billes de la même

couleur si le tirage se fait sans remise est de 11120

.


a) Les événements étant indépendants, P(A ∩ B) = 0,60 • 0,45 = 0,27.

Les deux événements sont non mutuellement exclusifs, car P(A ∩ B) ≠ 0.

b) 1) On construit un tableau à double entrée.

Pour ce faire, on détermine la probabilité d'être une femme et de s'intéresser à la politique :

60 % • 45 % = 27 %

S’intéresser à la

politique

Ne pas s’intéresser

à la politique

Total

Femmes 27 % 18 % 45 %

Hommes 33 % 22 % 55 %

Total 60 % 40 % 100 %

La probabilité de choisir un répondant qui s’intéresse à la politique, sachant que c’est

une femme, est de 2745

= 35 ou 60 %.

2) La probabilité de choisir un répondant qui s’intéresse à la politique, sachant que c’est

un homme, est de 3355

= 35 ou 60 %.

3) La probabilité de choisir un répondant qui soit un homme, sachant qu’il ne s’intéresse pas à

la politique, est de 2240

= 1120

ou 55 %.

Manuel • p. 287


a) 1) La probabilité que cette personne soit un homme est de 120

230 ou 12

23 .

2) La probabilité que cette personne soit une femme est de 110

230 ou 11

23 .

3) La probabilité que cette personne préfère les voitures sport est de 130

230 ou 13

23 .

4) La probabilité que cette personne soit un homme préférant les berlines est de 35

230 ou 7

46 .

b) Si l’on choisit un homme au hasard, la probabilité

qu’il préfère les voitures sport est de 85120

ou 1724

.

c) Si l’on choisit une femme au hasard, la probabilité

qu’elle préfère les berlines est de 65110

ou 1322

.

d) La probabilité de choisir un homme, sachant que

cette personne préfère les berlines, est de 35100

ou 720

.

e) La probabilité de choisir une femme, sachant que cette personne préfère les voitures sport, est de

45130

ou 926

.

f ) P(Être un homme) = 120230

= 1223

et

P(Préférer les berlines) = 100230

= 1023

P(Être un homme) • P(Préférer les berlines) =

1223

• 1023

= 120529

P(Être un homme ∩ Préférer les berlines) = 35230

= 746

P(Être un homme ∩ Préférer les berlines) ≠ P(Être un homme) • P(Préférer les berlines)

Les événements sont dépendants.




Remarque : À la question 13 de la page 287 du manuel, la deuxième phrase devrait se lire comme suit : « Parmi les 65 % d'hommes, 25 % ont moins de 18 ans. »

Parmi les 65 % d’hommes partisans de l’équipe des Canadiens de Montréal, 25 % ont moins de 18 ans. La probabilité de choisir une personne de moins de 18 ans, sachant que c’est un homme, est donc de

25 %65 %

= 513

≈ 38,5 %.


a) La probabilité que cet élève pratique le volley-ball

est de 2634

ou 1317

.

b) La probabilité que cet élève pratique uniquement

le badminton est de 834

ou 417

.

c) La probabilité que cet élève pratique les deux

sports est de 1434

ou 717

.

d) La probabilité que cet élève pratique le volley-ball,

sachant qu’il pratique le badminton, est de 1422

ou 711

.

e) La probabilité que cet élève pratique le badminton,

sachant qu’il pratique le volley-ball, est de 1426

ou 713

.

f ) La probabilité que cet élève pratique le badminton,

sachant qu’il ne pratique pas le volley-ball, est de 88

ou 1.

Manuel • p. 288


On représente la situation à l’aide d’un tableau à double entrée :

Hommes Femmes TotalPort de l’uniforme 50 125 175

Pas d’uniforme 100 225 325

Total 150 350 500

a) La probabilité de choisir une femme qui n’est pas obligée de porter un uniforme est de 225

500 ou 9

20 .

b) La probabilité de choisir une femme, sachant que cette personne doit porter un uniforme, est de 125

175 ou 5

7 .

c) La probabilité de choisir une personne qui doit porter un uniforme, sachant que c’est un homme,

est de 50150

ou 13

.


a) Il s’agit du Québec, car il y a près de 41 % de la population qui est bilingue.

b) La population de l’Ontario est de 12 028 900 habitants. Il y a 10 335 705 personnes unilingues anglophones.10 335 70512 028 900

≈ 86 %

La probabilité de choisir une personne au hasard en Ontario qui parle uniquement l’anglais est d’environ 86 %.

c) Il y a, au Canada, 4 141 850 personnes qui parlent uniquement le français dont 4 010 880 habitent le Québec.4 010 8804 141 850

≈ 97 %

La probabilité de choisir une personne au hasard qui soit Québécoise, sachant qu’elle parle unique-ment le français, est d’environ 97 %.

d) La population de l’Alberta est de 3 256 360 habitants. Il y a 40 470 personnes qui ne parlent ni l’anglais ni le français dans cette province.

40 4703 256 360

≈ 1 %

La probabilité de choisir une personne au hasard en Alberta qui ne parle ni l’anglais ni le français est d’environ 1 %.

Les procéduresSection 2 de vote

Des élections présidentiellesManuel • p. 289

On détermine le gagnant à l’élection française selon le mode de scrutin majoritaire uninominal à deux tours :

Aucun des candidats à l’élection présidentielle de 2007 en France n’a obtenu plus de la moitié des votes au premier tour. En fait, le candidat ayant reçu le plus de votes, Nicolas Sarkozy, n’a reçu que 31,18 % des votes. Un second tour a été nécessaire pour déterminer qui serait élu présidente ou président. Ce second tour comportait deux candidats : Nicolas Sarkozy et Ségolène Royal. Nicolas Sarkozy a alors reçu le plus grand nombre de votes, soit 53,06 % des votes. C’est donc Nicolas Sarkozy, le candidat qui a recueilli le plus grand nombre de votes aux deux tours, qui a été élu président de la France en 2007.

On détermine le gagnant à l’élection ghanéenne selon le mode de scrutin majoritaire uninominal à deux tours :

CD 3



Aucun des candidats à l’élection présidentielle de 2008 au Ghana n’a obtenu plus de la moitié des votes au premier tour. Cependant, le candidat ayant reçu le plus de votes, Nana Akufo-Addo, a reçu 49,13 % des votes, ce qui était très près de la moitié des votes. Un second tour a été nécessaire pour déterminer qui serait élu président. Ce second tour comportait deux candidats : Nana Akufo-Addo et John Atta-Mills. Celui-ci a alors reçu le plus grand nombre de votes, soit 50,23 % des votes. C’est donc John Atta-Mills qui a été élu président du Ghana en 2008. Menant au premier tour, Nana Akufo-Addo est ainsi passé deuxième au second tour des élections, alors que la majo-rité des gens ayant voté pour les deux autres candidats au premier tour ont donné leur vote à John Atta-Mills.

On détermine le gagnant à l’élection française si les élections n’avaient comporté qu’un seul tour :

Si le mode de scrutin n’avait comporté qu’un seul tour, et que le candidat avec le plus de votes au premier tour avait été élu président, c’est tout de même Nicolas Sarkozy qui aurait été élu président de la France en 2007.

On détermine le gagnant à l’élection ghanéenne si les élections n’avaient comporté qu’un seul tour :

Si le mode de scrutin n’avait comporté qu’un seul tour, et que le candidat avec le plus de votes au premier tour avait été élu président, c’est Nana Akufo-Addo qui aurait été élu président du Ghana en 2008.

1ACTIvITéd’exploration Le conseil des élèves

Manuel • p. 290

A Non, si la procédure de vote utilisée est le scrutin à la majorité, aucun parti ne remporte l’élection, car il aurait fallu qu’un parti recueille au moins 362 votes, sur une possibilité de 722, pour obtenir la majorité absolue.

B Selon le scrutin à la pluralité, les sporticos démocrates remportent l’élection, car ils ont obtenu le plus de votes, soit 358 votes contre 244 pour les culturellos égalitaires et 120 votes pour les écolos progressistes.

C Le parti qui remporte l’élection selon le scrutin à la pluralité n’est pas représentatif de tous les choix des élèves de l’école. En effet, selon les votes obtenus par chacun des partis, plus de la moitié des élèves ont voté pour un autre parti que celui qui a remporté l’élection.

D Le parti qui remporte les élections n’est pas le même qu’en B. En donnant la possibilité aux élèves de voter pour plus d’un parti, les résultats sont différents. Il en ressort le fait suivant : les culturellos égalitaires intéressent le plus de gens.

Manuel • p. 291

E Parti Votes recueillis

Nombre de représentants

Les sporticos démocrates

358 6

Les culturellos égalitaires

244 4

Les écolos progressistes

120 2

Total 722 12

F Le scrutin proportionnel est la procédure de vote la plus appropriée, car elle permet de former un conseil représentatif des choix de tous les élèves.


1. a) Aucune activité ne remporte le vote selon le scrutin à la majorité, car il n’y en a aucune qui a recueilli plus de la moitié des votes. En effet, pour obtenir la majorité absolue, il aurait fallu qu’une activité obtienne au moins 38 votes.

b) La bicyclette est l’activité préférée des élèves selon le scrutin à la pluralité, car c’est celle sur les cinq activités proposées qui a recueilli le plus de votes.

c) Le vote par assentiment est plus approprié que le scrutin à la pluralité, car il permet aux élèves d’exprimer de façon plus précise leurs préférences. En effet, il se peut que certains élèves aiment tout autant deux ou trois activités, ce dont le scrutin à la pluralité ne tient pas compte. De plus, comme on souhaite déterminer les trois activités estivales préférées des élèves, il faut leur donner la possibi-lité de voter pour plus d’une activité.

2. Les membres du groupe de discussion doivent être représentatifs de l’ensemble des élèves de l’école quant à l’origine ethnique. Pour ce faire, la répartition des membres doit être proportionnelle au pourcentage d’élèves de chacun des groupes ethniques présents dans l’école.

Voici donc la répartition des 20 membres du groupe de discussion selon leur origine :

Origine Nombre de représentants

Québécoise 10

Asiatique 4

Latino-américaine 3

Européenne 2

Arabe 1



2ACTIvITéd’exploration Le trophée

Manuel • p. 292

A Il est impossible de déterminer l’athlète féminine qui remporte le trophée à l’aide des votes de premier choix. En effet, Gania et Véronique ont toutes deux obtenu deux votes de premier choix.

B Pour déterminer qui de Gania ou de Véronique rem-portera le trophée, on pourrait déterminer laquelle de ces deux athlètes obtient le plus de votes de deuxième choix. Dans le cas présent, aucune n’a obtenu de vote de deuxième choix. Il faudrait donc déterminer laquelle des deux a obtenu le plus de votes de troisième choix. Dans ce cas, comme Gania a obtenu trois votes de troisième choix contre un pour Véronique, c’est Gania qui obtiendrait le trophée.

C Athlète Nombre de points

Gania 2 + 4 + 4 + 2 + 2 = 14

Sheila 4 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10

Véronique 1 + 1 + 2 + 4 + 4 = 12

Caroline 3 + 2 + 3 + 3 + 3 = 14

Selon la méthode de Borda, Caroline et Gania sont ex æquo. Cette méthode ne permet donc pas de déterminer une gagnante.

D Sheila – Gania : Puisque quatre juges sur cinq préfè-rent Gania à Sheila, c’est Gania qui l’emporte.

Sheila – Véronique : Puisque trois juges sur cinq préfè-rent Véronique à Sheila, c’est Véronique qui l’emporte.

Sheila – Caroline : Puisque trois juges sur cinq préfè-rent Caroline à Sheila, c’est Caroline qui l’emporte.

Gania – Véronique : Puisque trois juges sur cinq préfè-rent Gania à Véronique, c’est Gania qui l’emporte.

Gania – Caroline : Puisque trois juges sur cinq préfè-rent Caroline à Gania, c’est Caroline qui l’emporte.

Véronique – Caroline : Puisque trois juges sur cinq pré-fèrent Caroline à Véronique, c’est Caroline qui l’emporte.

Gania

Sheila

Caroline

Véronique

Les arcs signifient « …l’emporte sur… ».

Caroline remporte le trophée, car elle est la seule à avoir remporté chacune de ses confrontations.

E Le critère de Condorcet est la procédure de vote la plus appropriée dans ce cas-ci, car il permet de déterminer une gagnante.

F Ces deux procédures présentent l’avantage de tenir compte de l’ensemble des choix de toutes les personnes qui votent. De plus, pour le critère de Condorcet, s’il y a une gagnante ou un gagnant, c’est qu’elle ou il a remporté toutes ses confrontations. Cependant, l’inconvénient majeur est le suivant : il peut être difficile de mettre en place ces procédures lorsqu’il y a un grand nombre de candidats, car cela fait beaucoup de données à compiler.

Manuel • p. 293

G Ce sont des procédures difficiles à mettre en place, surtout lorsqu’il y a un très grand nombre de personnes qui votent. Le processus électoral pourrait ainsi être très long et coûteux pour l’État. De plus, les électeurs pourraient être insatisfaits puisqu’il ne serait pas facile de communiquer les résultats détaillés et ainsi de permettre à la population de faire confiance au processus électoral.


1. a) On donne 3 points pour un vote de premier choix, 2 points pour un vote de deuxième choix et 1 point pour un vote de troisième choix.

Candidate Nombre de points

1 3 + 2 + 2 = 7

2 1 + 3 + 1 = 5

3 2 + 1 + 3 = 6

Selon la méthode de Borda, c’est la candidate 1 qui remporte la compétition, car elle a obtenu 7 points contre 5 points pour la candidate 2 et 6 points pour la candidate 3.

b) Candidate 1 – Candidate 2 : C’est la candidate 1 qui l’emporte.

Candidate 1 – Candidate 3 : C’est la candidate 1 qui l’emporte.

Candidate 2 – Candidate 3 : C’est la candidate 3 qui l’emporte.

Candidate 3

Candidate 2Candidate 1


Selon le critère de Condorcet, c’est la candidate 1 qui remporte la compétition, car c’est la candidate qui remporte toutes ses confrontations.



2. a) On donne 3 points pour un vote de premier choix, 2 points pour un vote de deuxième choix et 1 point pour un vote de troisième choix.

Numéro Nombre de points

Le camping 71 • 3 + 40 • 1 + 39 • 1 = 292

La banlieue 71 • 2 + 40 • 2 + 39 • 3 = 339

La ville 71 • 1 + 40 • 3 + 39 • 2 = 269

Selon la méthode de Borda, c’est le numéro La banlieue qui est le préféré des spectateurs.

b) La ville – Le camping : 79 personnes préfèrent le numéro La ville contre 71 pour Le camping. Le numéro La ville est le vainqueur de cette confrontation.

La banlieue – La ville : 110 personnes préfèrent le numéro La banlieue contre 40 pour La ville. Le numéro La banlieue est le vainqueur de cette confrontation.

La banlieue – Le camping : 79 personnes préfèrent le numéro La banlieue contre 71 pour Le camping. Le numéro La banlieue est le vainqueur de cette confrontation.

La ville

Le campingLa banlieue


Selon le critère de Condorcet, c’est le numéro La banlieue qui est le préféré des spectateurs, car c’est celui qui remporte toutes ses confrontations.

c) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Le scrutin à la pluralité pourrait permettre de déter-miner le numéro préféré des spectateurs. Dans le cas présent, si l’on optait pour le scrutin à la pluralité comme procédure de vote, c’est le numéro Le camping, avec 71 votes de premier choix, qui serait nommé numéro préféré des spectateurs.

3ACTIvITéd’exploration Le championnat régional

Manuel • p. 294

A Aucun des arénas n’a recueilli plus de la moitié des votes de premier choix, soit plus de 50 % des votes.

B Il faut éliminer l’aréna D qui n’a recueilli que 14 % des votes de premier choix.

C L’aréna C est celui qui arrive en deuxième position dans la liste de préférences de l’aréna D, qui a été éliminé.

Manuel • p. 295

D Votes de premier choix (%)

Aréna A 40

Aréna B 15

Aréna C 45

Aucun des arénas ne recueille plus de la moitié des votes de premier choix au deuxième tour.

E On élimine l’aréna B, qui n’a recueilli que 15 % des votes de premier choix, et on attribue ses votes de premier choix à l’aréna qui arrive en deuxième position dans cette liste de préférences, soit l'aréna A.

Votes de premier choix (%)

Aréna A 55

Aréna C 45

Le championnat régional se tiendra à l’aréna A, puisque c’est celui qui recueille plus de 50 % des votes de premier choix au troisième tour.

F 1) Il est impossible de déterminer dans quel aréna se tiendra le championnat selon le scrutin à la majorité, car il n’y a aucun aréna qui a obtenu plus de 50 % des votes de premier choix.

2) L’aréna A est celui qui remporte le plus de votes de premier choix. C’est donc dans cet aréna que se tiendra le championnat si l’on utilise le scrutin à la pluralité comme procédure de vote.

3) Pour calculer le nombre de points de chacun des arénas, on considère que le pourcentage de vote est un nombre de votes.

On donne 4 points pour un vote de premier choix, 3 points pour un vote de deuxième choix, 2 points pour un vote de troisième choix et 1 point pour un vote de quatrième choix.

Nombre de points

Aréna A 40 • 4 + 15 • 3 + 31 • 1 + 14 • 1 = 250

Aréna B 40 • 3 + 15 • 4 + 31 • 2 + 14 • 2 = 270

Aréna C 40 • 2 + 15 • 2 + 31 • 4 + 14 • 3 = 276

Aréna D 40 • 1 + 15 • 1 + 31 • 3 + 14 • 4 = 204

C’est à l’aréna C que se tiendra le championnat selon la méthode de Borda.



4) Aréna A – B : C’est l’aréna B qui l’emporte.

Aréna A – C : C’est l’aréna A qui l’emporte.

Aréna A – D : C’est l’aréna A qui l’emporte.

Aréna B – C : C’est l’aréna B qui l’emporte.

Aréna B – D : C’est l’aréna B qui l’emporte.

Aréna C – D : C’est l’aréna C qui l’emporte.

Aréna A

Aréna D

Aréna B

Aréna C


Selon le critère de Condorcet, c’est à l’aréna B que se tiendra le championnat puisqu’il sort vainqueur de toutes ses confrontations.

G La méthode de Borda et le critère de Condorcet sont les deux méthodes qui prennent en considération tous les choix des personnes qui ont voté et non seulement les votes de premier choix. Cependant, s’il y a un aréna qui remporte toutes ses confrontations avec le critère de Condorcet, c’est qu’il est préféré à tous les autres arénas. Ainsi, s’il y a un vainqueur selon le critère de Condorcet, il s’agit alors de la procédure de vote la plus appropriée.

H Il faudrait que l’aréna où se tiendra le championnat permette de minimiser la distance à parcourir par les athlètes, donc la distance entre chacun des arénas et l’aréna où aura lieu le championnat.


a) Comme aucun candidat ne recueille plus de la moitié des votes de premier choix au premier tour (41 votes pour la majorité absolue), il faut éliminer le candidat 3. Les votes de premier choix de ce candidat sont transférés au candidat 2 qui a ainsi 42 votes. Le candidat 2 remporte l’élection au deuxième tour selon le vote préférentiel.

b) Selon le scrutin à la pluralité, c’est le candidat 1 qui remporte l’élection. Ce n’est donc pas la même personne qui remporte l’élection selon la procédure de vote employée (le vote préférentiel ou le scrutin à la pluralité).

c) Le vote préférentiel est plus approprié pour élire une personne responsable du financement. Cette procédure de vote tient en effet mieux compte des préférences de chaque personne qui a participé au vote.

Mise en pratiqueManuel • p. 300


a) Le vote par assentiment

b) Style de musique

Nombre de plages horaires

Pop 2

Danse 3

Rock 1

Classique 0

Métal 1

Techno 2


Remarque : Dans l'encadré en marge de la question 2 à la page 300 du manuel, on devrait lire : « Les arcs signifient “ …l'emporte sur… ”. »

a) Le vainqueur est le candidat A.

b) Il n’y a pas de vainqueur.

c) Le vainqueur est le candidat C.

Manuel • p. 301


a) On donne 4 points pour un vote de premier choix, 3 points pour un vote de deuxième choix, 2 points pour un vote de troisième choix et 1 point pour un vote de quatrième choix.

Groupe Nombre de points

Ça roule 4 + 1 + 1 = 6

Puissance cinq 2 + 4 + 2 = 8

Les éclatés 3 + 3 + 3 = 9

Les rêveurs 1 + 2 + 4 = 7

b) Le groupe Les éclatés remporte la finale de Secondaire en spectacle selon la méthode de Borda, car c’est celui qui a accumulé le plus de points.

c) Ça roule – Puissance cinq : C’est le groupe Puissance cinq qui l’emporte.

Ça roule – Les éclatés : C’est le groupe Les éclatés qui l’emporte.

Ça roule – Les rêveurs : C’est le groupe Les rêveurs qui l’emporte.

Puissance cinq – Les éclatés : C’est le groupe Les éclatés qui l’emporte.

Puissance cinq – Les rêveurs : C’est le groupe Puissance cinq qui l’emporte.



Les éclatés – Les rêveurs : C’est le groupe Les éclatés qui l’emporte.

Les rêveurs

Ça roule Les éclatés

Puissance cinq


d) Le groupe Les éclatés remporte la finale de Secondaire en spectacle selon le critère de Condorcet, car c'est celui qui remporte toutes ses confrontations.

e) 1) En éliminant Les éclatés, c’est le groupe Puissance cinq qui remporte la finale de Secondaire en spectacle selon la méthode de Borda avec 7 points comparativement à 5 points pour le groupe Ça roule et 6 points pour le groupe Les rêveurs.

2) En éliminant Les éclatés, le groupe Puissance cinq remporte chacune de ses confrontations. C’est donc ce groupe qui remporte alors la finale de Secondaire en spectacle selon le critère de Condorcet.


a) Madame Gingras remporte l’élection selon le scrutin à la pluralité, car elle a obtenu le plus de votes.

b) Aucune cuisinière ne remporte le prix du Pâtissier d’or selon le scrutin à la majorité, car aucune candidate n’a obtenu la majorité absolue, soit au moins 128 votes sur 255.

Manuel • p. 302


a) Aucun couple ne recueille plus de la moitié des votes de premier choix, soit au moins 41 votes sur 80.

b) Stéphane et Sara recueillent 28 votes, Ricardo et Sandy recueillent 35 votes et Antonio et Julia recueillent 17 votes.

c) En éliminant Jean et Francine au premier tour, aucun couple ne recueille plus de la moitié des votes de premier choix au deuxième tour. On élimine donc Antonio et Julia. Leurs votes sont transférés à Stéphane et Sara qui obtiennent maintenant 45 votes contre 35 pour Ricardo et Sandy.

d) Stéphane et Sara remportent l’élection au troisième tour selon le vote préférentiel.

e) On détermine qui remporte l’élection selon la méthode de Borda :

On donne 4 points pour un vote de premier choix, 3 points pour un vote de deuxième choix, 2 points pour un vote de troisième choix et 1 point pour un vote de quatrième choix.

Couple Nombre de points

Stéphane et Sara

28 • 4 + 23 • 3 + 17 • 3 + 12 • 1 = 244

Ricardo et Sandy

28 • 2 + 23 • 4 + 17 • 2 + 12 • 3 = 218

Antonio et Julia

28 • 3 + 23 • 1 + 17 • 4 + 12 • 2 = 199

Jean et Francine

28 • 1 + 23 • 2 + 17 • 1 + 12 • 4 = 139

Selon la méthode de Borda, c’est Stéphane et Sara qui remportent l’élection.

Le couple de danseurs gagnant est le même, qu’on utilise la méthode de Borda ou le vote préférentiel.


a) Le vote par assentiment

b) Le chocolat numéro 4 est celui qui a recueilli le plus de votes.

c) Pour qu’un chocolat soit reconnu comme étant de qualité supérieure, il doit avoir obtenu au moins 101 votes (plus de 55 % de 182). Les chocolats 1, 2 et 4 sont reconnus comme étant de qualité supérieure.

Manuel • p. 303


a) Aucun candidat n’a obtenu la majorité absolue, soit plus de la moitié des votes de premier choix. Le scrutin à la majorité ne permet donc pas d’élire une présidente ou un président.

b) Comme les candidats B et C ont tous deux obtenu 4 votes de premier choix, le scrutin à la pluralité ne permet pas d’élire une présidente ou un président.

c) On donne 4 points pour un vote de premier choix, 3 points pour un vote de deuxième choix, 2 points pour un vote de troisième choix et 1 point pour un vote de quatrième choix.

Nombre de points

Candidate A 4 • 3 + 4 • 2 + 3 • 4 = 32

Candidat B 4 • 4 + 4 • 3 + 3 • 1 = 31

Candidat C 4 • 1 + 4 • 4 + 3 • 2 = 26

Candidate D 4 • 2 + 4 • 1 + 3 • 3 = 21



La candidate A est élue à la présidence selon la méthode de Borda.

d) Candidate A – Candidat B : C’est le candidat B qui l’emporte.

Candidate A – Candidat C : C’est la candidate A qui l’emporte.

Candidate A – Candidate D : C’est la candidate A qui l’emporte.

Candidat B – Candidat C : C’est le candidat C qui l’emporte.

Candidat B – Candidate D : C’est le candidat B qui l’emporte.

Candidat C – Candidate D : C’est la candidate D qui l’emporte.

B

D

CA


Le critère de Condorcet ne permet pas d’élire une présidente ou un président. En effet, aucun candidat n’a remporté toutes ses confrontations.

e) Comme aucun candidat ne remporte plus de la moitié des votes de premier choix au premier tour, on élimine la candidate A, car c’est elle qui en obtient le moins. Ses votes sont transférés au candidat C, qui arrive en troisième dans cette liste de préférences, puisque la candidate D n’a aucun vote de premier choix. Le candidat C est élu à la présidence au deuxième tour selon le vote préférentiel puisqu’il obtient alors plus de la moitié des votes de premier choix.


a) 1) Pour obtenir la majorité absolue, un candidat doit obtenir au moins 155 votes de premier choix. Comme M. Scott a obtenu 162 votes de premier choix, il est le nouveau trésorier selon le scrutin à la majorité.

2) C’est M. Scott qui a obtenu le plus de votes de premier choix avec 162 votes. C’est donc lui qui est le nouveau trésorier selon le scrutin à la pluralité.

3) Pour obtenir la majorité absolue, le candidat doit obtenir 155 votes de premier choix. Comme M. Scott a obtenu 162 votes de premier choix, on peut déterminer dès le premier tour que c’est le nouveau trésorier selon le vote préférentiel.

4) On donne 4 points pour un vote de premier choix, 3 points pour un vote de deuxième choix, 2 points pour un vote de troisième choix et 1 point pour un vote de quatrième choix.

Candidate ou candidat

Nombre de points

M. Scott75 • 4 + 87 • 4 + 64 • 2 +

39 • 1 + 43 • 2 = 901

M. Foglia75 • 1 + 87 • 1 + 64 • 4 +

39 • 4 + 43 • 1 = 617

Mme Tavi75 • 3 + 87 • 2 + 64 • 3 +

39 • 2 + 43 • 4 = 841

Mme David75 • 2 + 87 • 3 + 64 • 1 +

39 • 3 + 43 • 3 = 721

M. Scott est le nouveau trésorier selon la méthode de Borda puisqu’il accumule le plus de points.

5) M. Scott – M. Foglia : C’est M. Scott qui l’emporte.

M. Scott – Mme Tavi : C’est M. Scott qui l’emporte.

M. Scott – Mme David : C’est M. Scott qui l’emporte.

Mme Tavi – M. Foglia : C’est Mme Tavi qui l’emporte.

Mme Tavi – Mme David : C’est Mme Tavi qui l’emporte.

M. Foglia – Mme David : C’est Mme David qui l’emporte.

M. Scott

Mme David

M. FogliaMme Tavi


M. Scott est le nouveau trésorier selon le critère de Condorcet, car c’est le seul candidat qui remporte toutes ses confrontations.

b) Dans cette situation, toutes les procédures de vote employées donnent le même résultat. La procédure de vote choisie n’a donc aucune incidence sur le résultat du vote pour cette élection.



Manuel • p. 304


a) 1) On donne 3 points pour un vote de premier choix, 2 points pour un vote de deuxième choix et 1 point pour un vote de troisième choix.

L’élève techno

Élève en nomination

Nombre de points

Jean Lacaille

32 • 1 + 45 • 3 + 67 • 2 + 26 • 3 = 379

Amed Ratouk

32 • 2 + 45 v 1 + 67 • 3 + 26 • 2 = 362

Sylvie Phillips

32 • 3 + 45 • 2 + 67 • 1 + 26 • 1 = 279

Jean Lacaille est l’élève qui recueille le plus de points. Il remporte donc le titre de « l’élève techno » selon la méthode de Borda.

L’élève écolo

Élève en nomination

Nombre de points

Emanuel Ungaro

23 • 3 + 78 • 3 + 32 • 1 + 37 • 2 = 409

Julie Beauregard

23 • 1 + 78 • 2 + 32 • 3 + 37 • 1 = 312

Anouk Phaneuf

23 • 2 + 78 • 1 + 32 •2 + 37 • 3 = 299

Emanuel Ungaro est l’élève qui recueille le plus de points. Il remporte donc le titre de « l’élève écolo » selon la méthode de Borda.

2) Jean Lacaille – Amed Ratouk : C’est Amed Ratouk qui l’emporte.

Jean Lacaille – Sylvie Phillips : C’est Jean Lacaille qui l’emporte.

Amed Ratouk – Sylvie Phillips : C’est Amed Ratouk qui l’emporte.

Jean Lacaille

Sylvie PhillipsAmed Ratouk


Amed Ratouk remporte toutes ses confron-tations. Il remporte donc le titre de « l’élève techno » selon le critère de Condorcet.

Emanuel Ungaro – Julie Beauregard : C’est Emanuel Ungaro qui l’emporte.

Emanuel Ungaro – Anouk Phaneuf : C’est Emanuel Ungaro qui l’emporte.

Julie Beauregard – Anouk Phaneuf : C’est Julie Beauregard qui l’emporte.

Julie Beauregard

AnoukPhaneuf

EmanuelUngaro


Emanuel Ungaro remporte toutes ses confron-tations. Il remporte donc le titre de « l’élève écolo » selon le critère de Condorcet.

3) On modifie d’abord les tableaux afin de permettre de mieux repérer le nombre de votes de premier, de deuxième et de troisième choix obtenus par chacun des candidats, puis on détermine le gagnant selon le vote préférentiel :

(voir au haut de la page suivante)

Pour décerner le prix de « l’élève techno » selon le vote préférentiel, on élimine Sylvie Phillips, car aucun candidat ne remporte plus de la moitié des votes de premier choix et que c’est elle qui en obtient le moins. Ses 32 votes sont transférés à Amed Ratouk qui arrive deuxième dans cette liste de préférences. Amed Ratouk remporte le titre de « l’élève techno » au deuxième tour selon le vote préférentiel puisqu’il obtient alors plus de la moitié des votes de premier choix.

Selon le vote préférentiel, Emanuel Ungaro remporte le titre de « l’élève écolo » au premier tour puisqu’il obtient la majorité absolue des votes de premier choix.

b) La procédure de vote la plus appropriée est le critère de Condorcet, lorsque celui-ci permet de désigner un vainqueur, car si une ou un élève remporte toutes ses confrontations, alors cela signifie qu’elle ou il est préféré à tous les autres élèves en nomination.

Manuel • p. 305


a) 1) Il faut qu’un repas ait recueilli au moins 66 votes de premier choix pour obtenir la majorité absolue. Comme aucun des repas n’a obtenu un tel nombre de votes de premier choix, il n’est pas possible de déterminer quel repas sera servi lors du bal des finissants à l’aide du scrutin à la majorité.



2) L’aiguillette de volaille et les médaillons de bœuf recueillent tous deux 47 votes de premier choix. Il n’est donc pas possible de déterminer quel repas sera servi lors du bal des finissants à l’aide du scrutin à la pluralité.

3) Selon le vote préférentiel, comme aucun des trois repas n’a obtenu la majorité absolue des votes de premier choix, on élimine le carré de porc qui a obtenu le moins de votes de premier choix. Ses votes de premier choix sont attribués comme suit : 17 votes sont attribués à l’aiguillette de volaille et 19 votes, aux médaillons de bœuf. Les médaillons de bœuf obtiennent ainsi la majorité absolue au deuxième tour avec 66 votes de premier choix. Les médaillons de bœuf est le repas qui sera servi lors du bal des finissants selon le vote préférentiel.

4) On donne 3 points pour un vote de premier choix, 2 points pour un vote de deuxième choix et 1 point pour un vote de troisième choix.

Repas Nombre de points

Aiguillette de volaille

40 • 3 + 25 • 1 + 22 • 2 + 19 • 1 + 17 • 2 + 7 • 3 = 263

Médaillons de bœuf

40 • 2 + 25 • 3 + 22 • 3 + 19 • 2 + 17 • 1 + 7 • 1 = 283

Carré de porc 40 • 1 + 25 • 2 + 22 • 1 + 19 • 3 + 17 • 3 + 7 • 2 = 234

Les médaillons de bœuf est le repas qui sera servi lors du bal des finissants selon la méthode de Borda.

5) Aiguillette de volaille – Médaillons de bœuf : Le repas de médaillons de bœuf l’emporte.

Aiguillette de volaille – Carré de porc : Le repas d’aiguillette de volaille l’emporte.

Carré de porc – Médaillons de bœuf : Le repas de médaillons de bœuf l’emporte.

Aiguillette de volaille

Carré de porcMédaillons de bœuf


Les médaillons de bœuf est le repas qui sera servi lors du bal des finissants selon le critère de Condorcet, car c’est le repas qui remporte toutes ses confrontations.

b) La procédure de vote la plus appropriée est le critère de Condorcet, lorsque celui-ci permet de désigner un vainqueur, car si un repas remporte toutes ses confrontations, alors cela signifie qu’il est préféré à tous les autres repas.

Consolidation

Manuel • p. 306

1. Probabilité conditionnelle, diagramme de Venn, événements dépendants et indépendants, événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs

Niveau de difficulté : faible

a) 1) 19

2) 15

3) 25

b) 1) P(A ∩ B) = 19

Les événements A et B sont non mutuelle-ment exclusifs, car P(A ∩ B) ≠ 0.

Réponse à la question 9a3, page 304L’élève techno

Choix 32 votes 45 votes 67 votes 26 votes

Premier choix Sylvie Phillips Jean Lacaille Amed Ratouk Jean Lacaille

Deuxième choix Amed Ratouk Sylvie Phillips Jean Lacaille Amed Ratouk

Troisième choix Jean Lacaille Amed Ratouk Sylvie Phillips Sylvie Phillips

L’élève écolo

Choix 23 votes 78 votes 32 votes 37 votes

Premier choix Emanuel Ungaro Emanuel Ungaro Julie Beauregard Anouk Phaneuf

Deuxième choix Anouk Phaneuf Julie Beauregard Anouk Phaneuf Emanuel Ungaro

Troisième choix Julie Beauregard Anouk Phaneuf Emanuel Ungaro Julie Beauregard



2) P(A ∩ C) = 29

Les événements A et C sont non mutuelle-ment exclusifs, car P(A ∩ C) ≠ 0.

3) P(B ∩ C) = 39 ou 1

3

Les événements B et C sont non mutuelle-ment exclusifs, car P(B ∩ C) ≠ 0.

c) 1) P(A) • P(B) = 59 • 4

9 = 20

81

P(A) • P(B) ≠ P(A ∩ B)

2081

≠ 19

Les événements A et B sont dépendants.

2) P(A) • P(C) = 59 • 5

9 = 25

81

P(A) • P(C) ≠ P(A ∩ C)

2581

≠ 29

Les événements A et C sont dépendants.

3) P(B) • P(C) = 49 • 5

9 = 20

81

P(B) • P(C) ≠ P(B ∩ C)

2081

≠ 13

Les événements B et C sont dépendants.

2. Probabilité conditionnelle, diagramme de Venn, événements dépendants et indépendants, événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs


a) 1) P(A) = 8852 485

= 177497

2) P(B) = 1 0052 485

= 201497

3) P(A ∩ B) = 3652 485

= 73497

4) P(A ∪ B) = 1 5252 485

= 305497

5) P(AB) = P(A ∩ B)

P(B) =

73497201497

= 73201

6) P(BA) = P(A ∩ B)

P(A) =

73497177497

= 73177

b) 1) Il s’agit de la probabilité de choisir une personne favorable à la construction d’un centre sportif parmi les citoyens interrogés.

2) Il s’agit de la probabilité de choisir une personne favorable à la construction d’un centre culturel parmi les citoyens interrogés.

3) Il s’agit de la probabilité de choisir une personne favorable à la construction d’un centre sportif et d’un centre culturel parmi les citoyens interrogés.

4) Il s’agit de la probabilité de choisir une personne favorable à la construction d’un centre sportif ou d’un centre culturel parmi les citoyens interrogés.

5) Il s’agit de la probabilité de choisir une personne favorable à la construction d’un centre sportif, sachant qu’elle est favorable à la construction d’un centre culturel.

6) Il s’agit de la probabilité de choisir une personne favorable à la construction d’un centre culturel, sachant qu’elle est favorable à la construction d’un centre sportif.

c) 1) P(A) • P(B) = 177497

• 201497

= 35 577247 009

P(A) • P(B) ≠ P(A ∩ B)

35 577247 009

≠ 73497

Les événements A et B sont dépendants.

2) Les événements A et B sont non mutuelle-ment exclusifs, car P(A ∩ B) ≠ 0.

3. Probabilité conditionnelle, diagramme de Venn

Niveau de difficulté : moyen

On détermine P(A ∩ B) :

P(BA) = P(A ∩ B)

P(A)

P(A ∩ B) = 0,5 • 0,3

P(A ∩ B) = 0,15 = 15 %

Les deux événements sont indépendants, donc P(B) = P(BA) = 0,5 = 50 %.

50 % – 15 % = 35 %

30 % – 15 % = 15 %

On complète le diagramme de Venn :

A(30 %) B(50 %)

35 %

15 % 15 % 35 %



Manuel • p. 307

4. Étrange orange, j’en mange !Probabilité conditionnelle, tableau à double entrée


Remarque : À la question 4 de la page 307 du manuel, les deux premières phrases devraient être remplacées par la phrase suivante : « Parmi tous les admirateurs du groupe de musique Étrange orange, 85 % sont des jeunes de moins de 18 ans, et 45 % de ces jeunes de moins de 18 ans sont des filles. »


Les admirateurs du groupe Étrange orange

Moins de 18 ans

18 ans et plus

Total

Filles 45 % 10 % 55 %Garçons 40 % 5 % 45 %Total 85 % 15 % 100 %

4555

≈ 82 %

La probabilité de choisir une personne de moins de 18 ans, sachant que c’est une fille, est d’environ 82 %.

5. Élection municipaleScrutin à la majorité, scrutin à la pluralité, scrutin proportionnel


a) 1) Puisqu’aucun parti n’obtient la majorité abso-lue, soit plus de 50 % des votes, aucun parti ne remporte cette élection selon le scrutin à la majorité.

2) Selon le scrutin à la pluralité, c’est le parti A qui remporte cette élection.

b) 1) Pour gagner l’élection dans une circonscription, un parti doit obtenir un pourcentage de votes plus élevé que les autres partis. Le parti A a obtenu un pourcentage de votes plus élevé que les autres partis dans 7 des 8 circonscriptions. C’est pour cela qu’il obtient 7 sièges à cette élection municipale. Il n’y a qu’une seule circons-cription où le parti B a obtenu un pourcentage de votes plus élevé que les autres partis.

2) La répartition des sièges selon le mode de scrutin proportionnel

Parti A B C D

Sièges obtenus 4 3 1 0

6. État matrimonialProbabilité conditionnelle, tableau à double entrée


Il y a 16 643 749 femmes au Canada et parmi elles, il y en a 8 006 306 qui sont mariées.8 006 30616 643 749

≈ 48 %

La probabilité de choisir une personne mariée, sachant que cette personne est une femme, est d’environ 48 %.

Il y a 15 916 860 personnes qui sont mariées au Canada et parmi elles, il y en a 8 006 306 qui sont des femmes.8 006 30615 916 860

≈ 50 %

La probabilité de choisir une femme, sachant que cette personne est mariée, est d’environ 50 %.

La probabilité de choisir une personne mariée, sachant que cette personne est une femme (48 %), n’est donc pas plus grande que la probabilité de choisir une femme, sachant que cette personne est mariée (50 %).

Manuel • p. 308

7. Le nouveau chef des opérationsVote préférentiel, méthode de Borda, critère de Condorcet


a) 1) Comme aucun candidat ne remporte plus de la moitié des votes de premier choix au premier tour, on élimine le candidat C, car c’est lui qui en obtient le moins. Ses votes sont trans-férés à la candidate A, qui arrive en troisième dans cette liste de préférences, puisque la candidate D n’a aucun vote de premier choix. La candidate A est alors élue au poste de chef de la direction des opérations au deuxième tour selon le vote préférentiel, puisqu’elle obtient alors plus de la moitié des votes de premier choix.

2) On donne 4 points pour un vote de premier choix, 3 points pour un vote de deuxième choix, 2 points pour un vote de troisième choix et 1 point pour un vote de quatrième choix.

Nombre de points

Candidate A 7 • 4 + 5 • 1 + 4 • 2 = 41

Candidat B 7 • 2 + 5 • 4 + 4 • 1 = 38

Candidat C 7 • 3 + 5 • 3 + 4 • 4 = 52

Candidate D 7 • 1 + 5 • 2 + 4 • 3 = 29

Selon la méthode de Borda, c’est le candidat C qui remporte l’élection.



3) Candidate A – Candidat B : C’est la candidate A qui l’emporte.

Candidate A – Candidat C : C’est le candidat C qui l’emporte.

Candidate A – Candidate D : C’est la candi-date D qui l’emporte.

Candidat B – Candidat C : C’est le candidat C qui l’emporte.

Candidat B – Candidate D : C’est le candidat B qui l’emporte.

Candidat C – Candidate D : C’est le candidat C qui l’emporte.

Candidate A

Candidat C

Candidat BCandidate D


Selon le critère de Condorcet, c’est le candidat C qui remporte l’élection puisque c’est celui qui remporte toutes ses confrontations.

b) La candidate A et le candidat B participeront au deuxième tour.

8. Le voyage culturelScrutin à majorité, scrutin à la pluralité, vote préférentiel, méthode de Borda, critère de Condorcet


a) 1) Aucune des destinations ne l’emporte, car aucune n’a recueilli plus de la moitié des votes de premier choix, soit au moins 14 votes.

2) Le Mexique l’emporte, car c’est la destination qui a recueilli le plus de votes de premier choix.

3) La France est éliminée au premier tour, car elle a obtenu le moins de votes de premier choix. Ses votes de premier choix sont transférés à l’Italie. L’Italie l’emporte au deuxième tour selon le vote préférentiel.

4) On donne 3 points pour un vote de premier choix, 2 points pour un vote de deuxième choix et 1 point pour un vote de troisième choix.

Destination Nombre de points

Mexique 12 • 3 + 5 • 1 + 6 • 2 + 4 • 1 = 57

Italie 12 • 1 + 5 • 3 + 6 • 3 + 4 • 2 = 53

France 12 • 2 + 5 • 2 + 6 • 1 + 4 • 3 = 52

Selon la méthode de Borda, c’est le Mexique qui l’emporte.

5) Mexique – Italie : C’est l’Italie qui l’emporte.

Mexique – France : C’est le Mexique qui l’emporte.

France – Italie : C’est la France qui l’emporte.

France

Mexique

Italie


Aucune destination ne remporte l’élection selon le critère de Condorcet, car aucune d’entre elles ne remporte l’ensemble de ses confrontations.

b) La procédure de vote la plus appropriée est le critère de Condorcet, lorsque celui-ci permet de désigner un vainqueur, car si une destination remporte toutes ses confrontations, alors cela signifie qu’elle est préférée à toutes les autres destinations. Puisqu’il n’y a pas de gagnant selon le critère de Condorcet dans cette situation, on peut alors utiliser la méthode de Borda qui tient aussi compte de l’ensemble des choix des élèves. Cependant, ce qui importe principalement dans le choix de la procédure de vote utilisée, c’est de la choisir à l’avance puisque ce choix a une incidence sur les résultats du vote.

Manuel • p. 309

9. Relation d’aideProbabilité conditionnelle, tableau à double entrée


a) 1) La probabilité que la relation d’aide soit liée au soutien affectif est de 73

260 .

2) La probabilité que la relation d’aide ait été vécue avec une amie ou un ami est de 146

260

ou 73130

.

3) La probabilité qu’il s’agisse d’une aide reçue

d’un membre de la famille est de 38260

ou 19130

.

b) 1) Il y a 140 relations où l'aide a été donnée, dont 13 à une voisine ou un voisin. La probabilité

est donc de 13140

.



2) Il y a 140 relations où l’aide a été donnée, dont 32 étaient de type pédagogique. La

probabilité est donc de 32140

ou 835

.

c) Il y a 34 relations d’aide liées à la garde d’enfants, dont aucune n’a été reçue par les élèves. La

probabilité est donc de 034

ou 0.

d) Il y a 140 relations où l’aide a été donnée, dont 24 qui étaient liées aux travaux et à l’entretien

ménagers. La probabilité est donc de 24140

ou 635

.

Manuel • p. 310

10. L’âge des QuébécoisProbabilité conditionnelle, tableau à double entrée


a) 1) La probabilité que la personne réside à Laval est

de 3857 753

.

2) La probabilité que la personne ait entre 20 et

39 ans est de 2 0387 753

.

3) La probabilité que la personne ait entre 0 et 19 ans, sachant qu’elle réside dans la région

Gaspésie–Îles-de-la-Madeleine, est de 1996

.

4) La probabilité que la personne réside en Outaouais, sachant qu’elle a 60 ans ou plus,

est de 611 594

.

b) Non, il n’est pas possible de calculer cette pro-babilité, car on ne connaît pas le nombre exact de personnes âgées entre 20 et 30 ans.

Manuel • p. 311

11. La cibleProbabilités, espérance mathématique

Niveau de difficulté : élevé

On détermine la probabilité d’atteindre les différentes régions.

On détermine l’aire de la cible :

Acible = π • 302

Acible = 900π cm2

On détermine l’aire de la région rouge :

Arégion rouge = π • 52

Arégion rouge = 25π cm2

On détermine la probabilité d’atteindre la région rouge :

P(Région rouge) = 25π900π

= 136

On détermine l’aire de la région jaune :

Arégion jaune = Adisque jaune − Arégion rouge

Arégion jaune = π • 152 − 25πArégion jaune = 225π − 25πArégion jaune = 200π cm2

On détermine la probabilité d’atteindre la région jaune :

P(Région jaune) = 200π900π

= 29

On détermine l’aire de la région verte :

Arégion verte = Acible − Adisque jaune

Arégion verte = 900π − 225πArégion verte = 675π cm2

On détermine la probabilité d’atteindre la région verte :

P(Région verte) = 675π900π

= 34

On calcule les probabilités d’obtenir les totaux de points suivants :(voir au bas de la page suivante)

On calcule l’espérance mathématique de la cible :

E(Cible) = 11 296

• 500 + 181

• 100 + 124

• 50

+ 481

• 5 + 4348

• 0 ≈ 3,950 62

Une personne qui joue un grand nombre de fois peut s’attendre à gagner en moyenne environ 3,95 $ à ce jeu.

Pour que les organisateurs ne perdent pas d’argent, il faut que l’espérance mathématique du jeu soit inférieure ou égale à 0.

E(Jeu) = E(Cible) − Coût de participation

0 ≈ 3,95 − Coût de participation

Coût de participation ≈ 3,95

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

L’espérance mathématique du jeu est d’environ 3,95 $. Le coût de participation à ce jeu doit donc être de plus de 3,95 $. On peut proposer aux organi-sateurs de fixer le coût de participation à 4 $.

12. Le don de soiProbabilité conditionnelle, tableau à double entrée


De toutes les personnes qui ont répondu au sondage, 19 % sont âgées entre 45 et 54 ans. De ces per-sonnes, 10 % sont des hommes.

1019

≈ 0,53

La probabilité de choisir un homme, sachant que cette personne a entre 45 et 54 ans, est d’environ 53 %.



De toutes les personnes qui ont répondu au sondage, 50 % sont des femmes. De ces personnes, 8 % ont entre 15 et 24 ans.

850

≈ 0,16

La probabilité de choisir une personne âgée entre 15 et 24 ans, sachant que c’est une femme, est de 16 %.

Élodie a raison.

Manuel • p. 312

13. L’Assemblée nationaleProbabilité conditionnelle, tableau à double entrée


a) 1) La probabilité de choisir au hasard une députée ou un député du PQ en 1989 était

de 29125

.

2) La probabilité de choisir au hasard une députée ou un député du PQ en 1998 était

de 76125

.

b) 1) La probabilité de choisir au hasard une dépu-tée ou un député du PLQ, sachant qu’elle ou

il s’est fait élire en 1981, est de 42122

ou de 2161

.

2) La probabilité de choisir au hasard une dépu-tée ou un député du PLQ, sachant qu’elle ou

il s’est fait élire en 2008, est de 66125

.

c) 1) La probabilité de choisir une personne élue en 2003 parmi les députés de l’ADQ ayant

siégé à l’Assemblée nationale est de 454

ou 227

,

puisqu’on considère le total des députés élus à chaque élection, et ce, même si une même personne s'est fait élire à plusieurs élections.

2) La probabilité de choisir une personne élue en 2007 parmi les députés de l’ADQ ayant

siégé à l’Assemblée nationale est de 4154

.

Manuel • p. 313

14. Une jeunesse activeProbabilité conditionnelle, tableau à double entrée



La pratique d'une activité physique chez les Canadiens âgés de 12 à 19 ans en 2008

Pratique une activité

physique

Ne pratique pas d’activité

physiqueTotal

Femmes 979 562 709 338 1 688 900

Hommes 1 295 823 479 277 1 775 100

Total 2 275 385 1 188 615 3 464 000

Il y a 1 188 615 personnes qui ne pratiquent pas d’activité physique et parmi elles, 709 338 sont des femmes.709 338

1 188 615 ≈ 60 %

La probabilité de choisir une femme, sachant que cette personne ne pratique pas d’activité physique, est d’environ 60 %.

15. Les élections législatives aux Pays-BasScrutin proportionnel


Il y a un total de 150 sièges.

On détermine le nombre de sièges qui devraient être obtenus selon une répartition proportionnelle à l’aide du pourcentage de votes :

Réponse à la question 11, page 311

50 points 35 points 30 points 20 points 15 points et moins

Combinaisons possibles

(rouge, rouge)(rouge, jaune)(jaune, rouge)

(rouge, vert)(vert, rouge)

(jaune, jaune)(jaune, vert)(vert, jaune)(vert, vert)

Probabilité136

• 136

= 11 296

136

• 29 = 2

324 = 1

16229 • 1

36 = 2

324 = 1

162

1162

+ 1162

= 2162

ou 181

136

• 34 = 3

144 = 1

4834 • 1

36 = 3

144 = 1

48

148

+ 148

= 248

ou 124

29 • 2

9 = 4

81

29 • 3

4 = 6

36 = 1

6

34 • 2

9 = 6

36 = 1

6

34 • 3

4 = 9

16

16 + 1

6 + 9

16 = 43

48 Gain ($) 500 100 50 5 0



Les élections aux Pays-Bas en 2006

Formation politique

Nombre de sièges selon une répartition

proportionnelle

Nombre de sièges obtenus

L’Appel démocrate chrétien

150 • 0,265 = 39,75 ≈ 40 41

Parti travailliste 150 • 0,212 = 31,8 ≈ 32 33

Parti socialiste néerlandais

150 • 0,166 = 24,9 ≈ 25 25

Parti populaire pour la liberté et

la démocratie150 • 0,146 = 21,9 ≈ 22 22

Parti pour la liberté 150 • 0,059 = 8,85 ≈ 9 9

Vert gauche 150 • 0,046 = 6,9 ≈ 7 7

Union chrétienne 150 • 0,04 = 6 6

Démocrates ‘66 150 • 0,02 = 3 3

Parti politiquement réformé

150 • 0,016 = 2,4 ≈ 2 2

Parti pour les animaux

150 • 0,018 = 2,7 ≈ 3 2

Autres 150 • 0,012 = 1,8 ≈ 2 0

Total 151 150

Lorsqu’on compare les valeurs de la colonne du nombre de sièges selon une répartition proportionnelle et celles de la colonne du nombre de sièges obtenus, on remarque que les deux partis qui sont en tête (L’Appel démocrate chrétien et le Parti travailliste), le Parti pour les animaux et les Autres partis sont ceux pour lesquels la répartition proportionnelle n’est pas tout à fait respectée. Étant donné que la catégorie « Autres » regroupe tous les autres partis présents à l’élection qui n’obtiennent pas assez de votes pour obtenir un siège, les deux sièges que cette catégorie remporte, de façon globale, sont attribués aux deux partis en tête. De plus, selon le pourcentage de votes de chacun des partis, le total du nombre de sièges selon une répartition propor-tionnelle est de 151. Puisqu’il y a 150 sièges, on a enlevé un siège au Parti pour les animaux. Ainsi, on observe que, de façon générale, les sièges sont obtenus par une répartition proportionnelle sauf quelques exceptions.

Manuel • p. 314

16. L’impact du mode de scrutinScrutin proportionnel, probabilité conditionnelle, tableau à double entrée


a) Il semble que la répartition proportionnelle favorise une meilleure représentation des différents groupes minoritaires qui composent la société dans les Parlements nationaux, car cinq des six pays ayant le plus haut pourcentage de femmes au Parlement utilisent cette procédure de vote comme mode de scrutin.

b) 1) La probabilité qu’une personne soit un homme, sachant qu’elle a été élue en

Norvège, est de 102169

.

2) La probabilité qu’une personne soit une femme, sachant qu’elle a été élue en Norvège,

est de 67169

.

c) On détermine le nombre de sièges obtenus au Parlement à partir d’un mode majoritaire à un tour :

308 + 646 + 435 = 1 389

On détermine le nombre de femmes élues selon le mode majoritaire à un tour :

68 + 126 + 73 = 267

On détermine le nombre d’hommes élus selon le mode majoritaire à un tour :

1 389 − 267 = 1 122

1) La probabilité qu’une personne soit un homme, sachant qu’elle a été élue dans un pays utilisant un mode majoritaire à un tour,

est de 1 1221 389

.

2) La probabilité qu’une personne soit une femme, sachant qu’elle a été élue dans un pays utilisant un mode majoritaire à un tour,

est de 2671 389

.

d) Il y a huit pays où le nombre de femmes au Parlement est supérieur ou égal à 30 %. De ces pays, cinq utilisent un mode de scrutin de

répartition proportionnelle. La probabilité est de 58

.

Manuel • p. 315

17. Le paradoxe de CondorcetCritère de Condorcet, méthode de Borda, vote préférentiel


On construit un tableau afin de présenter les résultats :

Les résultats du vote

48 votants

40 votants

33 votants

4 votants

Premier choix A B C C

Deuxième choix C C B A

Troisième choix B A A B

On confronte chaque proposition « une à une » :

Proposition A – Proposition B : La proposition B l’emporte.

Proposition A – Proposition C : La proposition C l’emporte.

Proposition B – Proposition C : La proposition C l’emporte.



Proposition A

Proposition B

Proposition C


La proposition C a été retenue selon le critère de Condorcet, puisque c’est celle qui remporte toutes ses confrontations.

18. Borda est-il constant ?Méthode de Borda


On détermine l’athlète de l’année en utilisant la méthode de Borda, mais en faisant varier le système de pointage :

Premier système (4 – 3 – 2 – 1) :

On donne 4 points pour un vote de première place, 3 points pour un vote de deuxième place, 2 points pour un vote de troisième place et 1 point pour un vote de quatrième place.

Candidat Nombre de points

1 4 • 6 + 3 • 5 + 2 • 4 + 1 • 2 = 49

2 4 • 5 + 3 • 7 + 2 • 4 + 1 • 1 = 50

3 4 • 3 + 3 • 3 + 2 • 6 + 1 • 5 = 38

4 4 • 3 + 3 • 2 + 2 • 3 + 1 • 9 = 33

Selon ce système de pointage, c’est le candidat 2 qui serait nommé athlète de l’année.

Deuxième système (6 – 3 – 2 – 1) :

On donne 6 points pour un vote de première place, 3 points pour un vote de deuxième place, 2 points pour un vote de troisième place et 1 point pour un vote de quatrième place.

Candidat Nombre de points

1 6 • 6 + 3 • 5 + 2 • 4 + 1 • 2 = 61

2 6 • 5 + 3 • 7 + 2 • 4 + 1 • 1 = 60

3 6 • 3 + 3 • 3 + 2 • 6 + 1 • 5 = 44

4 6 • 3 + 3 • 2 + 2 • 3 + 1 • 9 = 39

Selon ce système de pointage, c’est le candidat 1 qui serait nommé athlète de l’année.

Aurélie a tort de penser que le système de pointage n’a aucune influence sur le candidat gagnant. En effet, en pondérant l’importance accordée aux votes, le candidat nommé athlète de l’année diffère.

Manuel • p. 316

19. La soirée de remise des trophées de la LNHMéthode de Borda


On calcule le nombre de points obtenus par chacun des joueurs des deux catégories :

(voir à la page suivante)

Les trois finalistes pour le trophée Hart 2008-2009 sont Alex Ovechkin, Evgeni Malkin et Pavel Datsyuk. Le grand vainqueur est Alex Ovechkin.

Les trois finalistes pour le trophée James Norris 2008-2009 sont Zdeno Chara, Mike Green et Nicklas Lidstrom. Le grand vainqueur est Zdeno Chara.

Manuel • p. 317

20. L’élection présidentielle française de 2002Scrutin à la majorité, vote par assentiment


Les votes recueillis selon le scrutin majoritaire au premier tour montrent que Chirac a une avance de seulement 21 votes sur Jospin. Selon le vote par assentiment, les électeurs ont le droit de voter pour autant de candidats qu’ils le désirent sans leur attribuer un ordre de préférence. Les électeurs qui hésitaient entre deux candidats au premier tour du scrutin majoritaire à deux tours ont donc pu voter pour les deux lors du vote par assentiment. On constate ainsi, en comparant les votes recueillis selon les deux modes de scrutin, que plus d’électeurs auraient placé Lionel Jospin deuxième, s’ils avaient établi une liste de préférence, comparativement à Jacques Chirac. Cela peut expliquer que, malgré l’avance de Jospin dans les votes recueillis selon le vote par assentiment, ce soit Chirac qui ait obtenu le plus de votes au premier tour du scrutin majoritaire à deux tours. Cependant, sur la base des résultats de cette expérience, on peut croire que, si le mode de scrutin employé lors des élections françaises en 2002 avait été le vote par assentiment, c’est Lionel Jospin qui aurait remporté l’élection.

Manuel • p. 318

21. L’aide internationaleProbabilité conditionnelle


On détermine la probabilité de la première situation :

Il existe 12 régions dont la valeur de l’aide internationale reçue par habitant en 2003 était entre 0 et 10 $ US.



Réponse à la question 19, page 316

Le trophée Hart 2008-2009

Joueur Nombre de points

Evgeni Malkin, PIT 12 • 10 + 71 • 7 + 27 • 5 + 9 • 3 + 8 • 1 = 787

Sidney Crosby, PIT 3 • 7 + 5 • 5 + 13 • 3 + 18 • 1 = 103

Alex Ovechkin, WSH 115 • 10 + 14 • 7 + 2 • 5 + 2 • 3 = 1 264

Pavel Datsyuk, DET 4 • 10 + 14 • 7 + 38 • 5 + 19 • 3 + 19 • 1 = 404

Steve Mason, CBJ 13 • 7 + 21 • 5 + 18 • 3 + 16 • 1 = 266

Tim Thomas, BOS 3 • 7 + 9 • 5 + 7 • 3 + 13 • 1 = 100

Zdeno Chara, BOS 2 • 10 + 3 • 7 + 2 • 5 + 8 • 3 + 4 • 1 = 79

Zach Parise, N.J. 5 • 7 + 20 • 5 + 31 • 3 + 29 • 1 = 257

Le trophée James Norris 2008-2009

Joueur Nombre de points

Mike Green, WSH 50 • 10 + 53 • 7 + 19 • 5 + 4 • 3 + 4 • 1 = 982

Zdeno Chara, BOS 68 • 10 + 36 • 7 + 18 • 5 + 4 • 3 = 1 034

Nicklas Lidstrom, DET 14 • 10 + 34 • 7 + 58 • 5 + 19 • 3 + 8 • 1 = 733

Shea Weber, NSH 4 • 7 + 11 • 5 + 25 • 3 + 28 • 1 = 186

Duncan Keith, CHI 2 • 7 + 4 • 5 + 14 • 3 + 19 • 1 = 95

Andrei Markov, MTL 1 • 7 + 9 • 5 + 10 • 3 + 13 • 1 = 95

Dan Boyle, S.J. 2 • 7 + 4 • 5 + 38 • 3 + 25 • 1 = 173

Mark Streit, NYI 1 • 5 + 5 • 3 + 9 • 1 = 29

Donc, la probabilité que Pierre travaille en Argentine,sachant qu’il travaille dans ces régions, est de 1

12 .

On détermine la probabilité de la deuxième situation :

Il existe 13 régions dont la valeur de l’aide internationale reçue par habitant en 2003 était supérieure à 10 $ US.

Donc, la probabilité que Pierre travaille à Madagascar,

sachant qu’il travaille dans ces régions, est de 113

.

La probabilité la plus forte est celle décrite dans la situation 1 .



Documents

Les probabilités et les procédures de vote 5 · total de premières, de deuxièmes et de troisièmes positions obtenues pour déterminer qui se qualifie, c’est Benoit Matte, qui