LES PUISSANCES EN TRIPHASÉ - cours, examens

École Nationale Polytechnique d’Alger Électrotechnique générale

CHAPITRE IV

LES PUISSANCES EN TRIPHASÉ

Nous avons déjà examiné au chapitre2 l’intérêt d’introduire les notions de puissances actives, réactives et apparentes dans un système monophasé.

L’approche par puissance présentée pour le régime monophasé est étendue au système triphasé, ce qui, sur le plan industriel, correspond à la réalité.

En effet, la production, le transport et la distribution de l’énergie électrique ne se font que par le biais du processus triphasé, et la problématique du dimensionnement des lignes, du respect des paramètres nominaux et des chutes de tension ne se font en réalité que dans ce cadre.

Les mêmes critères pour les choix des câbles d’alimentation sont établis, avec les limites associés à la chute de tension admissible et le calcul des puissances d’un réseau donné est alors nécessaire pour répondre à la qualité d’une ligne de transport ou de distribution.

I- Les puissances en régime triphasé

Le calcul des puissances dans le cas d’un récepteur triphasé est très peu différent de celui déjà étudié pour le récepteur monophasé : il s’agit seulement de ‘sommer’ les différentes puissances actives et réactives au niveau de toutes les phases.

1) Puissance instantanée

Charge triphasée équilibrée

A la différence de la puissance moyenne en monophasé, le calcul montre qu’aucun terme de puissance fluctuante n’apparaît dans l’expression de la puissance instantanée.

En effet, si on exprime les tensions et courants en valeurs instantanées, on peut en déduire la puissance absorbée p(t) à chaque instant :

1 V 1

2 V 2

3 V 3

v (t) 2V cos( t ) j (t) 2J cos( t )

2 2v (t) 2V cos( t ) j (t) 2J cos( t )

3 32 2

v (t) 2V cos( t ) j (t) 2J cos( t )3 3

J

J

J

3

1 2 2 i i V J1

V J V

p(t) p (t) p (t) p (t) v (t) j (t) 2VJ cos( t ) cos( t )

2 2 22VJ cos( t ) cos( t ) 2VJ cos( t ) cos( t )

3 3 3

J

2

3

En développant l’expression précédente on trouve:

Chapitre4 Les puissances en triphasé Mme Dalila Sator-Namane 1


J V V J V J V J

0

4 4p(t) 3VJ cos( ) VJ cos(2 t ) cos(2 t ) cos(2 t )

3 3

Par conséquent :

J Vp(t) 3VJ cos( ) 3VJ cos

On voit que la puissance instantanée est constante et égale au triple de la puissance active par phase. Il n’y a donc pas de puissance fluctuante en régime triphasé équilibré, comme le montre la figure ci-dessous:

Cette particularité est très appréciable dans certaines applications, telle l’électromécanique par exemple. Le couple délivré sur l’arbre des machines tournantes, souvent proportionnelle au courant, se trouve débarrassé de composantes vibratoires préjudiciables à la longévité des paliers mécaniques.

2) Puissances active, réactive

Charge triphasée déséquilibrée

A l’instar du régime monophasé, la puissance active consommée par une installation est égale à la somme des puissances actives consommées par chacun de ses sous-ensembles.

La puissance réactive consommée par une installation est égale à la somme des puissances réactives consommées par chacun de ses sous-ensembles.

3

i i i1 1 1 2 2 2 3 3 3i 1

31 1 1 2 2 2 3 3 3

i i ii 1

P VJ cosP V J cos V J cos V J cos

Q V J sin V J sin V J sin

Q VJ sin

Remarque : Ce théorème ne s’applique pas aux puissances apparentes, que l’on ne peut cumuler (la puissance apparente est une somme complexe, de composantes pas nécessairement en phase).



Charge triphasée équilibrée

Le cas particulier du régime équilibré donne lieu à des expressions simplifiées des puissances. On a dans ces conditions :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

V V V V

J J J J

cos cos cos cos

On obtient :

1 2 3

1 2 3

P P P P 3VJ cos

Q Q Q Q 3VJsin

Si la charge est en étoile :

P 3VJ cos 3UI cosU V 3

I J Q 3VJ sin 3UIsin

Si la charge est en triangle :

U V P 3VJ cos 3UIcos

I J 3 Q 3VJ sin 3UIsin

Finalement, on retrouve la même expression que le récepteur soit en étoile ou en triangle. En résumé, la puissance peut toujours être exprimée de la même manière avec les grandeurs en tête de réseau, tension composée U et courant en ligne I.

C’est pourquoi on utilise souvent la notion de ‘l’étoile équivalente’ : tout un ensemble de récepteur (en étoile et en triangle, branchés sur un réseau constituent une impédance équivalente en étoile (même si elle est en triangle) et on étudie généralement une seule phase (les autres étant identiques du point de vue énergétique).

Cela permet, entre autre, de dégager une expression simple de la chute de tension, de la même façon que cela a été fait pour les lignes monophasées.

On obtient ainsi le schéma par phase (sans préciser phase 1, 2 ou 3 parce que ça n’a pas d’importance sur le plan énergétique):

Schéma général Schéma de l’étoile équivalente (consomme le tiers de la puissance)



3) Représentation complexe

On peut exprimer la puissance complexe qui serait définie par :

S P jQ 3VJ cos j3VJsin

Par conséquent :

j vj( )jS 3VJe 3VJe. 3V.J

La même représentation par phase est définie et où il est possible de représenter la tension simple et le courant simple correspondant. Toutefois il ne faut pas oublier que la puissance représentée sur le plan des complexes doit être multipliée par trois.

4) Facteur de puissance fp

La problématique du facteur de puissance est la même que pour le régime monophasé, il s’agit de ne pas permettre, pour les mêmes raisons que nous avons développé, un facteur de puissance trop bas pour ne pas perturber la distribution de l’énergie en termes de rendement de la ligne et de chute de tension.

Aussi, il faut préciser que dans la réalité, ce sont les récepteurs triphasés, notamment les industriels qui font l’objet de contrôle du facteur de puissance. La démarche est tout à fait analogue à celle déjà étudiée pour les lignes monophasées.

5) Méthode de Boucherot

Soit une installation qui comprend de nombreux récepteurs triphasés équilibrée, les uns peuvent être en étoile, les autres en triangle (on ne précise pas sur le schéma parce que c’est inutile). Il est plus pratique de représenter l’installation de la façon qui suit, en illustrant uniquement les courants de la phase 1 (sachant que les courants des autres phases sont identiques mais déphasés respectivement de 2 3 et 2 3 ). Les courants Ii illustrés sur la figure sont les courants de lignes (composés) de chaque récepteur, qu’il soit en étoile ou en triangle.



La méthode de Boucherot peut se traduire, de même que pour le monophasé par : n n

t i t1 1

P P et Q Q i

On en déduit :

2 2t tS P Q t

En exprimant la puissance apparente en fonction du courant et de la tension composés :

tt

SS 3UI I

3U

et le facteur de puissance : t

tt

Pcos

S

II- Branchement des récepteurs sur le réseau

1) Branchement des récepteurs triphasés sur le réseau

La plaque signalétique d’un récepteur triphasé (comme les moteurs par exemple), comporte parfois deux indications concernant la tension nominale, U1/U2, avec 12 U3U . La sortie du récepteur comporte six bornes permettant de le coupler soit en étoile, soit en triangle, selon la disponibilité du réseau.

Ces six bornes sont reliées à chacune des entrées des trois branches du récepteur de la façon qui suit :

Chaque « branche » du récepteur, prise séparément doit être alimentée correctement pour bien fonctionner sous la tension U1 qui est en fait la tension simple nominale du récepteur.

Si le réseau délivre une tension composée de U1, il faut monter naturellement le récepteur en triangle. Si le réseau délivre une tension composée de 13U , il est nécessaire de monter le récepteur en étoile afin de respecter toujours les valeurs simples nominales. Deux réseaux (ou deux sources) différents peuvent être donc connectés à ce récepteur. La plaque signalétique est conçue de manière à réaliser de façon pratique la configuration « étoile » ou « triangle » à l’aide de « barrettes» (deux pour le coulage étoile et trois pour le couplage triangle (figure ci-dessous)).



Plaque à bornes couplage « étoile » couplage « triangle »

2) Branchement des récepteurs monophasés sur le réseau (alimentation domestique)

La consommation domestique monophasée (220V, 50Hz) comprend tous les récepteurs comme les logements de particuliers ainsi que dans les lieux où les besoins sont similaires : bureaux, boutiques… Chaque récepteur (ou ensemble de récepteurs monophasés) est branché aux bornes d’une branche de l’étoile (si la tension de service exigée est de 220V) ou de triangle (si la tension de service exigée est de 380V). Il est en effet impératif d’assurer la tension de service de tous les appareils branchés sous peine de les endommager ou de ne pas satisfaire un fonctionnement optimal. Respecter la tension nominale de tout récepteur est essentiel dans le domaine de la distribution de l’énergie.

Mais ce n’est pas tout. Le choix de distribuer l’énergie à partir d’un système triphasé n’est intéressant que si on arrive autant que faire se peut à un équilibre des phases, avec un courant dans le neutre proche du zéro : ce serait, d’un point de vue technico-économique le choix le plus approprié.

Ainsi, les distributeurs d’électricité veillent à connecter les différentes charges monophasées de manière à équilibrer les trois phases. C’est pourquoi il arrive que dans un même immeuble par exemple, les appartements ne sont pas tous branchés sur la même phase et qu’il arrive qu’une coupure de courant puisse en toucher certains et pas d’autres. Aussi, grâce à ce choix de branchements, il est raisonnable de considérer que les charges vues du réseau de transport sont équilibrées.

III- chutes de tension dans les câbles d’alimentation

Le schéma équivalent d’une ligne triphasé peut se ramener à l’étoile équivalente et il suffit d’étudier une branche de l’étoile pour déterminer les caractéristiques de la ligne. Le schéma équivalent de la ligne triphasée en est donc grandement simplifié :



Remarquons que le retour qui se fait par le neutre n’est parcouru par aucun courant (la charge étant équilibrée), la chute n’est donc occasionnée que par un seul câble, celui de la phase considérée (1, 2 ou 3). On établit donc l’équation électrique de la ligne :

s c cV (r jx )I V

On définit la chute de tension par :

V Vs V

Si on s’intéresse à la tension composée, on peut aussi définir la chute de tension par rapport à la tension composée de la source :

U 3 Vs V

Comme on s’intéresse à la différence des tensions en module, on établit des expressions analogues à celles établies pour le monophasé en utilisant la formule de Kapp.

Pour une charge selfique, on représente les vecteurs courant-tensions, qui illustrent l’équation électrique de la ligne:

s c cV r I jx I V Le schéma électrique est donc :

On obtient alors :

V=rcIcos +xcI|sin| pour récepteur inductif

Pour une charge capacitive, on représente également les vecteurs courant-tensions, qui illustrent l’équation électrique de la ligne (c’est la même chose sauf que est positif):

s c cV r I jx I V

1e cas V0 2e cas V0

On obtient alors :

V=rcIcosxcI|sin| pour récepteur capacitif

IV-Méthodes de mesure des puissances en triphasé (Circuit équilibré) 1) Principe du Wattmètre Un wattmètre est un appareil qui a une déviation proportionnelle à la puissance moyenne (VJcos) absorbée par un circuit quelconque.



Il possède donc deux circuits : Une bobine « courant » constituée d’un gros fil de résistance négligeable traversée

par le courant J du récepteur (la bobine « courant » se branche comme un ampèremètre)

Une bobine « tension » constituée d’un fil fin de grande résistance alimentée par la tension V imposée au récepteur : (la bobine « tension » se branche comme un voltmètre).

Le symbole « * » sur l’appareil indique l’entrée commune des bobines (il y en a autant que de calibres, la sortie est donc choisie en fonction du calibre).

Si on néglige la résistance de la bobine courant, les deux schémas « amont » ou « aval » sont équivalents :

Montage « amont » Montage « aval »

2) Méthode d’un seul wattmètre

On peut utiliser un seul wattmètre pour mesurer la puissance active puisque la charge est équilibrée. On a en général :

2 2 2 3 3 3 2 2 3 3

2 2 2 3 3 3 2 2 3 3

1 1 1

1 1 1

P = V J cos V J cos V J cos = V J cos J cos J cos

Q = V J sin V J sin V J sin = V J sin J sin J sin

Pour une charge équilibrée on obtient :

P = 3VJcosQ = 3VJsin

Il suffit de mesurer la puissance absorbée par une seule phase, puis de multiplier par trois le résultat obtenu. On branche alors les wattmètres de la manière indiquée sur la figure ci-dessous :



Remarque : Le récepteur peut être en étoile ou en triangle (ou il peut comporter un ensemble de récepteurs) mais ce type de mesure sous-entend qu’on utilise le schéma de l’étoile équivalente, le courant de ligne I et est donc égal à J :

P = 3VIcosQ = 3VIsin

On a donc, si W est la lecture sur le wattmètre :

P = 3W Pour déterminer la puissance réactive, il est nécessaire de mesurer également le courant et la tension absorbés afin d’obtenir la valeur de la puissance apparente, et en déduire Q. En branchant le voltmètre entre phase et neutre (on aura la tension simple V), on peut en déduire S (on peut aussi le brancher entre deux phases on aura la tension composée U):

22 2S = 3VJ = 3UI = P +Q Q = 3UI P 2

3) Méthode des deux wattmètres

En régime triphasé, il faut bien faire attention à la manière dont on branche les bobines courant et tension. Si on utilise la méthode d’un seul wattmètre par exemple, il faut prendre soin d’alimenter le wattmètre par la même phase, en courant et en tension : de cette façon le wattmètre donne l’indication du produit UI par le cosinus du déphasage du courant et de la tension injectés, c'est-à-dire l’angle . Sinon le wattmètre peut indiquer une valeur qui n’a rien à voir avec la puissance à mesurer : par exemple, brancher la bobine courant sur la phase 1 et la bobine tension sur la phase 2 donnera le résultat suivant :

2 21 1W V J cos( V , J )

Si on représente les courants et tensions des trois phases dans le plan des complexes on aura :

2 W VJ cos( ) P

3

Pourtant, il existe des méthodes où justement, il est possible de mesurer la puissance en branchant de façon judicieuse les bobines courants et tensions des wattmètres. En particulier la méthode dite des deux wattmètres où on peut mesurer simultanément la puissance active et réactive d’un circuit triphasé équilibré. Il suffit de brancher les wattmètres de la manière indiquée sur la figure ci-dessous, en prenant soin de tenir compte des sens des indications des deux wattmètres qui peuvent être positifs ou négatifs. Les lectures sont donc des valeurs algébriques.



Le branchement des wattmètres conduit aux indications suivantes :

13 13 23 231 1 21 2W U J cos( U , J ) W U J cos( U , J ) 2

Si on représente vectoriellement les tensions et courants, on peut déterminer les angles entre 13 1U et J , puis entre 23 2U et J :

La représentation vectorielle montre qu’on a :

13 1U , J 30 et 23 2U , J 30

Par conséquent :

13 13 23 231 1 2 21 2W U J cos( U , J ) UI cos(30 ) W U J cos( U , J ) UI cos(30 )

(I=J puisqu’on se ramène toujours à l’étoile équivalente)

On obtient donc :

1 2W W UI cos(30 ) UI cos(30 ) 2UI cos 30 cos 3UI cos En effectuant la différence :

1 2W W UI cos(30 ) UI cos(30 ) 2UI sin 30 sin UI sin

On trouve les deux relations :

1 2P W W 3UI cos 1 2Q 3 W W 3UI cos

Comme cette méthode permet de mesurer les deux puissances à la fois, il est inutile de placer d’autres appareils comme l’ampèremètre ou le voltmètre (sauf si c’est pour contrôler les valeurs absorbées).



Remarque

On montre que, même pour un régime déséquilibré, et en l’absence du fil neutre, la puissance active peut être mesurée à l’aide de cette méthode (mais attention elle n’est pas valable pour la puissance réactive). On a en effet, en valeur instantanée, puisqu’il n y a pas de fil neutre :

1 2 3j j j 0

Si on exprime la puissance instantanée totale, on aura :

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 1 2p(t) v j v j v j v j v j v j j

En arrangeant les termes, on trouve, en instantané :

1 3 1 2 3 2 13 1 23p(t) v v j v v j u j u j 2

On trouve donc la puissance active, qui est la valeur moyenne de la puissance instantanée :

13 13 23 231 1 2P U J cos( U , J ) U J cos( U , J )2

Il est donc possible de mesurer la puissance active à l’aide de cette méthode, même dans le cas déséquilibré.

4) Méthode de Boucherot de mesure de la puissance réactive

Il s’agit d’une méthode de mesure de puissance réactive pour un récepteur triphasé équilibré. Le branchement doit être effectué de la manière indiquée sur la figure ci-dessous :

Le branchement du wattmètre correspond à:

23 231 1W U J cos( U , J )

Si on représente vectoriellement les tensions et courants, on peut déterminer l’angle entre 23 1U et J :

La représentation vectorielle montre qu’on a :

23 1U , J 90

Par conséquent :

23 231 1W U J cos( U , J ) UI cos 90 UI sin

On obtient donc :



QW UI sin Q 3W

3

Pour déterminer la puissance active, il faut mesurer également la puissance apparente à travers le voltmètre et l’ampèremètre :

22 2S = 3UI = P +Q P = 3UI Q 2

IV- Exercices résolus

Remarque importante

Dans les exercices qui suivent les conventions de signe adoptées pour les consommations réactives sont, conformes à ceux choisis au chapitre2 (pages 8 et 9), à savoir :

Consommation selfique Q0 Consommation capacitive Q0

Ces conventions de signe découlent du fait que nous avons défini le déphasage entre tension et courant comme étant : J V .

Et par conséquent :

0 le circuit est inductif (courant en retard par rapport à la tension) 0 le circuit est capacitif (courant en avance par rapport à la tension) Il est tout à fait possible de prendre l’inverse : V J , on aurait eu les signes inversés. Il faut comprendre que cela n’a pas d’importance, pourvu qu’on prenne soin de donner des signes contraires aux consommateurs inductifs (par exemple bobine, moteur, atelier etc) par rapport aux consommateurs capacitifs (condensateurs).

En électrotechnique, c’est souvent la tension (et non le courant) qui est la référence, notamment en terme d’origine de phase, d’où le choix de la définition du déphasage qui a été choisi dans ce cours.

Exercice1

Un moteur connecté en étoile, alimenté sous une tension composée de 380 V, délivre une puissance utile de P=95 kW avec cos=0,8.

1) Sachant que le rendement du moteur est =85%, déterminer le courant simple absorbé.

2) Le même moteur étant connecté en triangle, sous quelle nouvelle tension composée devrait-il être alimenté si on doit respecter la même valeur de la tension simple du moteur (valeur nominale).

3) Dans le cas de la question 2, déterminer les courants simples et composés absorbé par le moteur. Conclusion.

Solution

1) Le rendement d’un moteur est donné par le rapport entre la puissance utile et la puissance électrique absorbée, c'est-à-dire la puissance active :

u uP P 95000P 111,8kW

P 0,85



On a donc: 3P 111,8.10

P 3UIcos I 212,3A3U cos 3.380.0,8

Puisque le moteur est en étoile on a donc :

J I 212,3A

2) Lorsque le moteur était connecté en étoile sous 380V composée (réseau 220/380V), on avait une tension simple de 220V qu’il faut respecter quelque soit le couplage. Si on le met en triangle il faut donc que la tension composée de la source soit de 220V pour assurer au moteur une tension simple de 220V. Donc seul un réseau 127/220V peut convenir :

3) le moteur étant couplé en triangle et alimenté sous la tension composée de 220V, on a dans ces conditions pour le courant de ligne ou composé:

3P 111,8.10P 3UI cos I 367

3U cos 3.220.0,8

A

Le courant simple, puisque le moteur est en triangle est de :

I 367J 212A

3 3

On retrouve bien entendu la même valeur du courant simple.

Exercice2

Un réseau triphasé 220/380V 50 Hz alimente un atelier triphasé équilibré en triangle qui consomme un courant composé I=44,5A avec un facteur de puissance cos de 0,45.

1) Déterminer le courant simple J absorbé par l’atelier et les puissances active et réactive absorbées P et Q. En déduire l’impédance équivalente complexe R+jX de chaque branche de l’atelier (la consommation de l’atelier est inductive).

2) La ligne d’alimentation possède pour chaque fil l’impédance suivante :

cz (0,1 j0,15)

Quelle est la tension en début de ligne? La chute est-elle admissible si on exige un pourcentage de chute inférieur à 3% ?

3) On veut relever le facteur de puissance à 0,95. Expliquer la démarche à suivre pour aboutir à ce résultat puis déterminer le courant de ligne et la nouvelle valeur de la



tension en début de ligne. En déduire la chute en pourcentage. Commentaires et conclusion.

Solution

1) On a, puisque le récepteur est en triangle :

I 44,5J 27,5A

3 3

Les puissances active et réactive :

P 3UI cos 3.380.44,5.0, 45 13180W

Q 3UIsin P.tg 13180.tg arccos 0, 45 26156VAR

On en déduit l’impédance complexe Z :

13180RJ R 6,65

3J 3.25,7Z 6,65 j13, 2

26156Q XJ X 13, 2

3J 3.25,7

22 2

22 2

PP = 3 = =

Q= 3 = =

2) Pertes dans les lignes :

c cr I 0,1.44,7 594W x I 0,15.44,7 891VAR 2 2 2 2p = 3 = 3. q = 3 = 3.

On en déduit les puissances active Ps et réactive Qs fournies par la source :

s

s

P P 13180 594 13774W

Q Q 26156 891 27047VAR

p = =

q = =

La puissance apparente nous permet de déterminer la tension fournie par la source :

s s s s3 U I 30352VA2 2 S = P + Q

s ss

U30352 394 380U 394V 3

U 3803 I 3 44,5

S, 7% 3%

La chute n’est donc pas admissible.

3) Démarche : placer des capacités en étoile ou en triangle selon les possibilités. Le courant de ligne :

P 13180cos ' 0,95 P 3UI 'cos ' I ' 21 A I 44,5 A

3U cos ' 3.380.0,95

P'

Les nouvelles valeurs des puissances absorbées :

P 13180W

13874VA13180.tg arccos 0,95 4332VAR

2 2P'

S' = P' + Q' Q'

Les nouvelles pertes dans les lignes:



c

c

r I ' 0,1.21 132,3W

x I ' 0,15.21 198VAR

2 2

2 2

p' = 3 = 3.

q' = 3 = 3.

Les nouvelles puissances active, réactive et apparente fournies par la source :

ss s s

s

P ' P ' 13180 132 13312W14062VA

Q ' Q ' 4332 198 4530VAR2 2p' = =

S' = P' + Q' q' = =

On en déduit la nouvelle valeur de la tension que doit fournir la source :

s ss s s s

U '14062 387 38014062VA U ' 387V 1,8% 3%

U 3803 I ' 3 21

2 2 S'

S' = P' + Q'

On voit qu’augmenter le facteur de puissance présente le double avantage de réduire le courant de ligne (et donc les pertes actives et réactives) et de limiter les chutes de tension.

Exercice3

Une source de tension sinusoïdale de 380 V, 50 Hz en étoile alimente les récepteurs suivants :

Un moteur triphasé de puissance utile Pu=0,8 kW, =85%, cosm=0,75,

une bobine triphasée équilibrée en étoile avec pour chaque phase :

Z R jX (3 j15)

un atelier triphasé qui absorbe un courant composé de 100 A avec cosa=0,8 (selfique).

Déterminer :

1) le courant global IG de l’installation ainsi que le facteur de puissance global cosG 2) la valeur de la capacité C du condensateur triphasé ajouté en étoile pour augmenter

le facteur de puissance à 0,95 (étudier les deux cas de figure, consommation selfique ou consommation capacitive)

3) que devient alors la valeur du courant global dans ce cas ? 4) Tracer le diagramme vectoriel des tensions et courants pour chaque cas.

Solution

1) On effectue le bilan de puissance:

m

m mm M

uP

Moteur (toujours selfique) donc :

800941, Moteur 2W

0,85

tg 94

1,

P

Q 2tg(arccos 8P )

30VAR



2 22

b b 2 2 2 2

2 22

b b 2 2 2 2

V 220P 3.RI 3.R 3.3 1866 W

R X 3 15 Bobines en étoile

V 220Q 3.XI 3.X 3.15 9331 VAR

R X 3 15

a a a

a a a

P 3UI cos 3.380.100.0,8 52654 W Atelier

Q 3UI sin 3.380.100.0,6 39491 VAR

Le bilan total :

t m b a

t m b a

P P P P 55461 W

Q Q Q Q 49652 VAR

On exprime la puissance apparente globale :

2 2t t tS P Q 74440 VA

Et on a d’autre part :

tt G G

S 74440S 3UI I 113,1

3U 3.380 A

Et le facteur de puissance :

tG

t

P 55461cos 0,745

S 74440

2) Etablissons de nouveau le bilan des puissances en imposant un facteur de puissance de 0,95 et en gardant la même valeur de la puissance active puisque les capacités ne fournissent que de la puissance réactive:

Pour une consommation inductive ou selfique (Q’t0)

t t

t t t

P ' P 55461W

Q' P tg ' 55461.tg(arccos0,95) 18229VAR

La valeur de la capacité à placer est donnée par le bilan des puissances réactives :

t t C C t tQ ' Q Q Q Q' Q 18229 49652 31423VAR

Et puisque les capacités sont en étoile : 2 c

c 2 2

Q 31423Q 3V C 31423VAR C 690µF

3V 220 2 .50

Pour une consommation capacitive (Q’t0)

t t

t t t

P ' P 55461W

Q' P tg ' 55461.tg(arccos0,95) 18229VAR

La valeur de la capacité à placer est donnée par le bilan des puissances réactives :

t t C C t tQ ' Q Q Q Q' Q 18229 49652 67881VAR

Et puisque les capacités sont en étoile :



2 cc 2 2

Q 67881Q 3V C 67881VAR C 4, 46mF

3V 220 2 .50

On voit bien que « rendre l’installation capacitive » exige un coût beaucoup plus élevé (le prix des capacités (à égale qualité) est proportionnel à leur valeur). Ce procédé est donc inutile puisqu’il suffit de respecter la valeur du facteur de puissance exigée par la société de distribution. Dans le deuxième cas, le consommateur fournit du réactif au réseau et ce n’est pas là ce qu’on attend de lui. 3) Le courant absorbé est le même dans les deux cas puisqu’il s’agit de la même puissance apparente (seul le déphasage est positif ou négatif), on a donc :

tt G G G

G

P 55461P 3UI ' cos I ' 88,7

3U cos 3.380.0,95'

'

A

On voit bien que le courant global est diminué par rapport au cas où il n y a pas de capacités de compensation, ce qui est le but recherché. 4) Diagramme vectoriel

Cas où Q’t0 (courant selfique) Cas où Q’t0 (courant capacitif)

(Solution à écarter car peu économique et sans intérêt)

Exercice4

Un alternateur triphasé, branché en étoile, alimente une installation montée en étoile également. L’intensité en ligne est de 100 A, la tension entre phases 125 V et le facteur de puissance vaut 0,7 (circuit selfique). On désire relever à 0,9 le facteur de puissance à l’aide de trois condensateurs identiques.

1) Les condensateurs sont montés en étoile, on demande : La capacité de chaque condensateur C Le courant absorbé par l’installation

2) Mêmes questions si les condensateurs sont en triangle. 3) La ligne alimentant l’installation a pour chaque câble une impédance

07,00346,0 jz c



En supposant que la tension aux bornes de l’installation n’a pas varié, déterminer la tension à l’origine de la ligne avant le branchement des condensateurs et après.

Solution

1) On effectue le bilan de puissance:

Avant le branchement des capacités

P 3UIcos 3.125.100.0,7 15155W

Q 3UIsin 3.125.100.0,714 15458VAR

Après le branchement des capacités

P ' P 15155W

Q ' Ptg ' 15155tg(arccos0,9) 7340VAR

La valeur de la capacité à placer est donnée par le bilan des puissances réactives : YC

C CQ ' Q Q Q Q' Q 7340 15458 8118VAR

Et puisque les capacités sont en étoile :

2 cc Y Y 22

Q 8118Q 3V C 8118VAR C 1,65mF

3V 1253 2 .50

3

Le courant absorbé dans ces conditions : P 15155

P 3UI 'cos I ' 78A 100A3U cos 3.125.0,9

''

On voit bien que le courant global diminue grâce à l’apport capacitif des condensateurs.

2) Si les condensateurs sont en triangle, rien ne change pour le courant global mais la valeur des capacités C à placer est différente, puisque la tension aux bornes de chaque condensateur n’est plus la tension simple V de la source mais la tension composée U de la source :

2 c Yc 2 2

Q C8118Q 3U C 8118VAR C 0,55mF

3U 3125 2 .50 3

On voit donc qu’il est plus économique de placer les condensateurs en triangle plutôt qu’en étoile puisqu’on a :

YC 3C 3) Deux méthodes peuvent être envisagées :

La méthode de Boucherot La méthode du schéma par phase (schéma de l’étoile équivalente)

La méthode de Boucherot des bilans de puissances




2 2c

2 2c

P 3UIcos 15155W Atelier

Q 3UIsin 15458VAR

p 3r I 3.0,0346.100 1038W Ligne triphasée

q 3x I 3.0,07.100 2100VAR

On en déduit les puissances active et réactive fournies par la source :

s 2 2s s s

s

P P p 15155 1038 16193W Source S P Q 23885VA

Q Q q 15458 17558VAR

Et la tension fournie en début de ligne :

sS

S 23885U 138V

I 3 100 3


On raisonne de la même façon :

2 2c

2 2c

P ' 3UIcos 15155W Atelier

Q ' 3UIsin 7340VAR

p ' 3r I ' 3.0,0346.78 631,6W Ligne triphasée

q ' 3x I ' 3.0,07.78 1277,6VAR


s 2 2s s s

s

P ' P ' p ' 15155 631,6 15786,6W Source S ' P ' Q ' 17985VA

Q' Q ' q ' 7340 1277,6 8617,6VAR


sS

S' 17985U ' 133V

I ' 3 78 3

La méthode du schéma par phase Le schéma de l’étoile équivalente est donné par :

On en déduit le diagramme vectoriel suivant :



La chute de tension est définie comme étant :

s sV V V V V


En appliquant la formule de Kapp :

c cV r I cos x I sin 0,0346.100.0,7 0,07.100.0,714 7, 42V

On en déduit la tension simple, puis composée de la source :

s s s

125V V V 7,42 79,6V U V 3 79,6 3 138V

3



c cV r Icos x I sin 0,0346.78.0,9 0,07.78.0, 436 4,8V


s s s

125V V V 4,8 77V U V 3 77 3 133V

3

On voit bien que l’intérêt de relever le facteur de puissance est non seulement de réduire les pertes dans les lignes de distribution, mais également de réduire la chute de tension.

Exercice5

Une ligne triphasée de tension entre phases de 220 V possède pour chaque fil d’alimentation l’impédance :

cz (0,02 j0,04)

Cette ligne alimente en triangle trois bobines ayant chacune l’impédance :

Z R jX (1,6 j1,2)

1) Déterminer la tension composée Us ainsi que le facteur de puissance coss en début de ligne

2) Aux bornes des bobines on connecte en étoile trois condensateurs de 6,6 kVAR chacun. Quelle sera la nouvelle tension à l’origine de la ligne ?

Solution

Deux méthodes ont envisagées : La méthode de Boucherot La méthode du schéma par phase (schéma de l’étoile équivalente)

La méthode de Boucherot On a, puisque les bobines sont placées en triangle :



2 2 2 2

2 2

2 2

U 220J 110A

R X 1,6 1, 2Courants simples et composés

I J 3 190,5A

P 3.RJ 3.1,6.110 58080WBobines

Q 3.XJ 3.1,2.110 43560VAR

Ligne triphasée

2 2

c

2 2c

p 3r I 3.0,02.190,5 = 2177W

q 3x I 3.0,04.190,5 4355VAR


s 2 2s s s

s

P P p 58080 2177 60257W Source S P Q 76985VA

Q Q q 43560 4355 47915VAR


sS

S 76985U 233V

I 3 190,5 3

La méthode du schéma par phase De la même façon que dans l’exercice précédent on applique la formule de Kapp (en n’oubliant pas que les bobines qui sont en triangle sont remplacées par une étoile équivalente qui consommerait donc le courant de ligne I:

Le diagramme vectoriel, conduisant à la formule de Kapp est donc inchangé et la chute de tension est donnée par :

s sV V V V V

Déterminons le facteur de puissance de la bobine :

2 2 2 2

R R 1,6cos = = =0,8 sin 0,6

Z R X 1,6 1, 2


c cV r Icos x I sin 0,02.190,5.0,8 0,04.190,5.0,6 7,6V


s s s

220V V V 7,6 134,6V U V 3 134,6 3 233V

3



2) Appliquons la méthode de Boucherot :

2 2s s s

P ' P 58080W S' P ' Q ' 62752VA

Q' 43560 3.6600 23760VAR

Le courant de ligne a changé à cause des capacités :

ss

S' 62752 S' 3UI ' I' 164,7A

U 3 220 3

Le bilan de puissance dans ces conditions :

2 2c

2 2c

P ' 58080WBobines capacités

Q ' 23760VAR

p ' 3r I ' 3.0,02.164,7 = 1628WLigne triphasée

q ' 3x I ' 3.0,04.164,7 3256VAR


s 2 2s s s

s

P ' P ' p ' 58080 1628 59707W Source S ' P ' Q ' 65534VA

Q ' Q ' q ' 23760 3256 27015VAR


sS

S' 65534U ' 230V 233V

I ' 3 164,7 3

La chute est plus faible, ce qui était prévisible puisque le courant a diminué grâce à l’apport capacitif des condensateurs.

Exercice6

Le réseau 220V/380V, 50 Hz alimente un moteur triphasé 220V/380V supposé parfaitement équilibré. Pour une charge donnée, le courant absorbé mesuré est alors d’environ 7 A. Par ailleurs, on dispose de deux wattmètres analogiques : calibres intensité 5 A et 10 A ; calibres tension : 60 V, 120 V, 240V et 480 V. 1) Quel doit être le couplage du moteur ? 2) Donner le schéma du montage permettant de mesurer les puissances active et réactive absorbées par le moteur par la méthode des deux wattmètres (on précisera les calibres à choisir dans ces conditions). 3) En réalisant la manipulation (avec les calibres établis précédemment), on obtient les déviations suivantes, sachant que le nombre total de divisions est Nd=120:

Wattmètre n°1 : N1=68 Wattmètre n°2 : N2=24

Quelles sont les valeurs des puissances W1 et W2 mesurées par les deux wattmètres ? En déduire les valeurs des puissances active P et réactive Q absorbées par le moteur ainsi que son facteur de puissance cos et la valeur exacte de l’intensité I du courant en ligne.



Solution

1) le couplage doit être en étoile pour assurer la tension nominale simple du moteur qui est de 220V. Si on le mettait en triangle, chaque branche du moteur serait sous la tension de 380V et on risque de griller le moteur. 2) Le montage à effectuer et les calibres choisis, compte tenu des valeurs des tensions et courants à injecter dans les wattmètres (380V et 7A) :

3) On a, compte tenu des déviations des wattmètres :

1 1 2 2

d d

cal U .Cal I cal U .Cal I480.10 480.10W N 68 2720W, W N 24 960W

N 120 N 120

On en déduit :

1 2

1 2

P W +W 2720 960 3680W

Q 3 W W 3 2720 960 3048VAR

La puissance réactive a été prise en valeur absolue mais on sait que le moteur absorbe du réactif donc selon les conventions on aura :

P 3680W Q 3048VAR

Le courant de ligne peut être obtenu à partir de la puissance apparente :

2 2 2 22 2 P Q 3680 3048

S P Q 3UI I 7, 26A3U 380 3

Et le facteur de puissance :

2 2 2 2

P P 3680cos 0,77

S P Q 3680 3048

Exercice7

Un alternateur triphasé en étoile de tension simple V=220V alimente un groupe de 3 récepteurs déséquilibrés couplés en étoile ayant les caractéristiques suivantes :

P1= 3872 W Q1= 0 P2=2420 W Q2=0 P3=2420 W Q3=0

On suppose que le fil neutre possède une impédance négligeable.



1) Calculer les résistances R1 R2 et R3 de chaque récepteur ainsi que les courants simples 1 2 3, ,J J J (prendre 1V origine des phases). En déduire le courant dans le fil

neutre NI puis tracer le diagramme vectoriel des courants.

2) Déterminer les tensions 1 2, ,V V V3 aux bornes des récepteurs s’il y a rupture accidentelle du fil neutre. Conclusion. 3) Le fil neutre étant branché, on remplace le récepteur de la phase 1 par un récepteur purement capacitif consommant une puissance réactive égale à 3872VAR. Tracer le diagramme vectoriel des courants dans ces conditions. Commentaires et conclusion.

Solution

1) Le fil neutre existe et est d’impédance négligeable, on a donc :

s1 1 s2 2 s3 3, , = V V V V V V

Et comme la source est équilibré :

1 2 3 V=220VV V V

D’où : 2 2 2 2 2 2

1 2 31 2 3

V 220 V 220 V 22012,5 , =20 , =20

3872 2420 2420R R R

P P P

On en déduit les courants simples et le courant dans le fil neutre:

11

1

2j 23 j2 3

2

2

2j 23 j3 3

3

3

1 2 3n

V 220J 17,6A

R 12,5

V 220eJ 11e 5,5 j

R 20

V 220eJ 11e 5,5 j9,

R 20

I J J J 6,6A

9,53 A

53 A

Le diagramme vectoriel :




2) Calcul de la tension de déplacement du neutre

2 2j j

3 3

s1 1 s2 2 s3 3n

1 2 3 n

0

220 220e 220eV Y V Y V Y 6,612,5 20 20u 3

1 1 1 1 1 1Y Y Y y12,5 20 20 12,5 20 20

6,7 V

On en déduit les tensions aux bornes des récepteurs :

s1 1 n

s2 2 n

s3 3 n

V V u

V V u

V V u

1 s1 n

2j

32 s2 n 2

2j

33 s3 n 3

V V u 220 36,7 183,3V

V V u 220e 36,7 146,7 j190 V V 240V

V V u 220e 36,7 146,7 j190 V V 240V

Conclusion

Baisse de tension au niveau du récepteur1 et surtension pour les récepteurs 2 et 3. 3) Les courants des phases 2 et 3 restent inchangés. Le courant de la phase 1 est le

même en module, mais est en avance de 2

par rapport à la tension :

1

2 1 2 3n n

3

J j17,6A

J 5,5 j9,53 A I J J J 11 j17,6 A I 20,7A

J 5,5 j9,53 A

Et le diagramme vectoriel correspondant :

On note que, malgré le fait qu’en module les courants sont identiques, le courant dans le fil neutre est beaucoup plus élevé dans ce cas ( ) parce que le facteur de puissance de la phase 1 crée un grand déséquilibre.

20,7A 6,6A

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LES PUISSANCES EN TRIPHASÉ - cours, examens