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Historia Mathematica 41 (2014) 506–517www.elsevier.com/locate/yhmat

Les Récréations Mathématiques d’Édouard Lucas: quelques

éclairages

Anne-Marie Décaillot 1

Disponible sur Internet le 25 juillet 2014

Résumé

L’article est consacré à la contribution d’Edouard Lucas au développement, en France, des récréations mathématiques dans la période de l’après-guerre de 1870. Le nom de Lucas est associé à quatre volumes de Récréations mathématiques, publiés entre 1882 et 1894 (les deux derniers ayant paru à titre posthume), ainsi qu’à L’arithmétique amusante imprimée en 1895 également après son décès. L’auteur analyse le contexte de réforme de l’enseignement scientifique au sein duquel les récréations mathématiques apparurent comme un moyen d’attirer un plus large public vers des activités scientifiques aussi bien que d’inspirer à des jeunes le désir de se tourner vers les sciences. L’article éclaire comment au sein de nouvelles associations qui furent fondées en vue de promouvoir la science (Association Française pour l’Avancement des Sciences, Société Mathématique de France) se constituèrent des groupes sociaux à la dimension internationale et très actifs dans la promotion et le développement des Récréations mathématiques. Enfin, l’article suggère que ce type d’activité mathématique permit de cultiver des domaines que le milieu académique français de l’époque percevait comme marginaux, comme la théorie des nombres, l’analysis situs et leurs applications.© 2014 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

Abstract

The article is devoted to Edouard Lucas’s contribution to the development of mathematical recreations in the France of the post 1870 war period. Lucas’s name is associated to four volumes of Récréations mathématiques published between 1882 and 1894 (the last two having been published posthumously) and to a posthumous volume L’Arithmétique amusante, which appeared in 1895. The author analyzes the context of reform of science education in relation to which mathematical recreations appeared as a means of attracting a wider public to scientific activities and inspiring young people to study science. The article brings to light how the milieu of new associations which took shape to promote science (Association Française pour l’Avancement des Sciences, Société Mathématique de France) allowed the constitution of social groups internationally connected and quite active in the promotion and development of mathematical recreations. Lastly, the article suggests that this type of mathematical activity allowed the cultivation of fields that at the time the French academic milieu perceived as marginal such as number theory and analysis situs as well as their applications.© 2014 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

1 Note de Karine Chemla, éditrice de ce numéro: Anne-Marie Décaillot m’avait confié cet article, pour qu’il soit inséré dans ce numéro special d’Historia Mathematica, peu avant son décès, le 22 novembre 2011, des suites d’une longue maladie. Je l’ai soumis pour elle à la revue, sans qu’elle ait pu le revoir. Sans doute l’aurait-elle révisé, en tenant compte en particulier d’avis de referees. Dans ces circonstances, je n’ai pas voulu modifier l’article, si ce n’est en corrigeant quelques coquilles. La modestie d’Anne-Marie Décaillot s’illustre parfaitement dans le fait qu’elle n’avait pas inclus sa propre thèse de doctorat dans la bibliographie de l’article (Décaillot, 1999). J’ai fait figurer ce titre dans une bibliographie complémentaire à la sienne. En revanche, je n’ai pas ajouté les titres parus après le décès de l’auteur, pas plus que je n’ai jugé opportun d’ajouter les titres qu’elle connaissait et avait choisi de ne pas inclure dans sa bibliographie.

http://dx.doi.org/10.1016/j.hm.2014.05.0050315-0860/© 2014 Elsevier Inc. Tous droits réservés.

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MSC: 97A20

Keywords: Mathematical recreations; Associations; Number theory

1. Les écrits posthumes

Les quatre livres de Récréations mathématiques que nous devons à l’arithméticien Edouard Lucas ont connu des fortunes bien diverses. Seuls les deux premiers volumes sont publiés du vivant de leur auteur (entre 1882 et 1883), avec un succès que confirme leur réédition rapide.

La mort accidentelle de Lucas en 1891 laisse à ses successeurs une série de notes manuscrites dont le dépouillement est confié par la Société mathématique de France à un groupe de scientifiques proches de l’arithméticien. Il s’agit de Henri Delannoy, Émile Lemoine et Charles-Ange Laisant, tous trois anciens élèves de l’École polytechnique.

Henri Delannoy (1833–1915) suit une carrière d’officier d’artillerie, puis de sous-intendant militaire avant de se retirer dans la Creuse. C’est à la lecture des articles que Lucas fait paraître dès la fin des années 1870 dans la revue La Nature, ou La Revue Scientifique (connue aussi sous le nom de Revue rose), que Delannoy entame une carrière de mathématicien amateur. Il devient rapidement un collaborateur de Lucas, qui l’oriente vers l’étude de la combinatoire liée aux cheminements sur un échiquier et vers l’examen de questions concernant les carrés magiques (Schwer and Autebert, 2006).

À la fin de ses études, Émile Lemoine (1840–1912) exerce les fonctions d’enseignant dans plusieurs établissements privés, avant d’être recruté à l’École polytechnique. Il finit par choisir la voie d’ingénieur civil et devient inspecteur du département du gaz à Paris. Son œuvre scientifique concerne la géométrie du triangle. Lemoine attire l’attention sur un point spécifique du triangle, qui porte désormais son nom.2 Il développe également la “géométrographie,” c’est-à-dire la recherche du nombre minimal de constructions à la règle et au compas qu’il faut effectuer pour obtenir une figure géométrique donnée.

Charles-Ange Laisant (1841–1920) amorce une carrière militaire comme officier du Génie; à ce titre, sa conduite est brillante pendant le siège de Paris. Très vite cependant il s’oriente vers une carrière politique. Député, Laisant siège à la Chambre dans le groupe de l’Union Républicaine. Adversaire des ministères “opportunistes,” il mène le combat tant à la Chambre que dans son journal La République radicale. Lié au général Boulanger, Laisant lui apporte la caution du “groupe ouvrier” de 1855 dont il fait parti. L’échec du mouvement boulangiste le décourage; le scandale de Panama achève de l’éloigner de son engagement politique initial. Il abandonne toute activité parlementaire en 1893 et se rapproche alors du mouvement anarchiste, auquel il demeure fidèle jusqu’à ses derniers jours.

Parallèlement à son activité politique, Laisant se montre très actif sur le plan scientifique. Ses publi-cations mathématiques sont nombreuses. Elles sont confortées en 1877 par une thèse sur les applications mécaniques du calcul des quaternions de l’Anglais William Rowan Hamilton (Laisant, 1877). Laisant fonde par ailleurs plusieurs revues scientifiques comme L’Intermédiaire des mathématiciens en 1894, avec Émile Lemoine, et la revue genevoise L’Enseignement mathématique en 1899 avec Henri Fehr. Il dirige également la partie mathématique de la Grande encyclopédie, inventaire raisonné des sciences, des lettres et des arts, sous la direction générale de Marcelin Berthelot.

2 Lemoine prouve que les symédianes d’un triangle (symétriques des médianes par rapport aux bissectrices) sont concourantes en un point appelé “point de Lemoine.”

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Ces personnalités ont plusieurs points communs. Elles ont pour la plupart été engagées dans les durs combats qui ont marqué la France en 1870–1871.3 Toutes sont, d’autre part, membres de sociétés savantes et d’associations scientifiques, point important sur lequel nous reviendrons. Ces engagements permettent de comprendre le choix de la Société mathématique de France qui confie à Laisant, Delannoy et Lemoine la mission de donner forme aux notes manuscrites de Lucas, en vue de publications ardemment souhaitées par l’éditeur Gauthier-Villars.

Il apparaît qu’un troisième volume de récréations figure dans les notes de Lucas sous une forme rédac-tionnelle achevée. Il est rapidement publié puisque le 13 janvier 1893 Laisant annonce à Delannoy que “le 3è volume des Récréations mathématiques va paraître incessamment.”4 Un quatrième volume, à l’état d’ébauche, demande un travail d’écriture et de mise en forme ultime en vue d’une publication. Ce sera la tâche d’Henri Delannoy à qui Laisant précise dans la même lettre: “Vous devez avoir en mains tous les éléments pour le 4è [volume]. Il faudra bientôt vous en occuper.”

Le travail de Laisant consiste pour sa part à examiner les matériaux pouvant concerner un deuxième tome de la Théorie des nombres. Dans une lettre à Émile Lemoine de 1894, il commente ses recherches en ces termes: “Il faudra encore attendre pour la Théorie des nombres et nous y trouverons moins encore que je ne l’avais espéré.”5 En 1895, Lemoine est amené à préciser que le dépouillement des notes de Lucas conduit à une conclusion décevante: “Le tome II et le tome III de la Théorie des nombres ne paraîtront pas; il n’y avait que des jalons et des notes compréhensibles par l’auteur seulement.”6

Cette position est réaffirmée en 1895, dans L’Intermédiaire des mathématiciens, sous la signature de Delannoy, de Laisant et de Lemoine:

L’examen attentif des papiers laissés par Édouard Lucas a conduit à cette conclusion que, contrairement à l’espoir du premier moment, il serait très difficile de publier une suite à la Théorie des nombres, dont le tome I seul a paru. Toutefois, les notes de l’auteur, certains passages de sa correspondance, et la réimpression de quelques Mémoires de lui, assez peu connus, formeraient un volume intéressant pour ceux qui cultivent l’Arithmétique supérieure. C’est là un projet qui n’est pas complètement abandonné, mais dont la réalisation ne saurait être prochaine, quoi qu’il arrive.7

La parution de cet ouvrage de synthèse n’a jamais vu le jour. Toutefois Delannoy annonce la découverte de trois cahiers de Lucas intitulés Arithmétique amusante, et portant la date de 1888.8 Cette arithmétique sera publiée en 1895 par Gauthier-Villars “profitant ainsi de la créativité et de la publicité des Récréations.”9

2. Un contexte de réformes

À quelles finalités obéit dans les années 1880 la rédaction des ouvrages récréatifs d’Édouard Lucas? Les réponses à cette question se trouvent rarement explicitées dans l’œuvre de l’auteur. C’est dans l’examen du contexte politique et scientifique qui marque l’effondrement du Second Empire que nous pouvons avancer quelques premières pistes de réflexion.

3 Laisant est engagé dans la défense de Paris, Lucas dans l’armée de la Loire, Delannoy dans l’armée de l’Est; seul Lemoine, malade, n’a pu prétendre à des activités militaires.4 Lettre de Laisant à Delannoy, 13 janvier 1893, legs de la Société des sciences naturelles et archéologiques de la Creuse, Archives

départementales de la Creuse, L13. Il s’agit de (Lucas, 1893).5 Lettre de Laisant à Lemoine, 8 février 1894, archives citées, L13.6 Lettre de Lemoine à Delannoy, mi-août 1895, archives citées, L14.7 Intermédiaire des mathématiciens, 2 (1895), question 177, p. 34.8 Lettre de Delannoy à Laisant, 19 avril 1894, archives citées, L21.9 Lettre de Gauthier-Villars à Laisant, 14 juin 1894, archives citées, L13. Il s’agit de (Lucas, 1895).

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Le séisme politique provoqué par la défaite française dans le conflit franco-allemand de 1870–1871 entraîne bien des remises en question. L’un des effets remarquables du siège de Paris est un appel à la science afin d’obtenir une victoire rapide sur les Prussiens.10 Son échec va entraîner une réflexion sur l’organisation de l’éducation et de la science elle-même. L’explication de la défaite qui prévaut dans le monde intellectuel est le retard de la France dans le domaine scientifique, au regard de l’Allemagne. Ainsi Zola peut écrire en 1881:

Ce qu’il faut confesser très haut, c’est qu’en 1870 nous avons été battus par l’esprit scientifique. [...] L’esprit scientifique nous a battus, ayons l’esprit scientifique si nous voulons battre les autres.11

Considérations nationalistes et arguments scientifiques s’appuient mutuellement pour préconiser des ré-formes. Pour construire de futures victoires, il est nécessaire d’encourager l’avancement des sciences, ainsi que leur diffusion auprès d’un public élargi, effort qui peut conduire à un renouvellement conceptuel im-portant. Ce renouvellement engage une critique du mode de formation des élites par les seules humanités, et une considération inédite du rôle des sciences pour l’avenir du pays. Un vaste programme de réformes du système éducatif est engagé au plus haut niveau.

En février 1880 est ainsi promulguée la réforme du Conseil supérieur de l’Instruction publique excluant de cette instance les personnalités étrangères à l’enseignement, notamment les ministres des cultes. Cette réforme est d’une portée capitale car elle incite à un grand mouvement de rénovation du système éducatif et de la pédagogie en vigueur. L’éducation scientifique a, dans ce contexte, valeur de modèle pédagogique. L’idée selon laquelle l’apprentissage doit conduire à l’abstraction en procédant de l’observation de faits particuliers à la formulation de lois générales, en limitant l’effort de mémoire, est avancée. Le ministre de l’Instruction publique Agénor Bardoux n’a-t-il pas écrit dès 1879 qu’il faut “intéresser l’enfant en l’amu-sant, exciter et diriger son attention, l’accoutumer à représenter ou à réaliser l’objet de ses conceptions”?12

Ces idées, sans être nouvelles, sont affirmées et mises en œuvre dans l’exercice de la “leçon de choses” qui devient un credo pédagogique de la fin du siècle.

Édouard Lucas est incontestablement “dans l’air du temps” lorsqu’il publie ses Récréations en citant, dans la Préface du premier volume, Claude-Gaspar Bachet de Méziriac:

[...] car encore que ce ne soient que des jeux, dont le but principal est de donner une honnête récréation, et d’entretenir avec leur gentillesse une compagnie, si est-ce qu’il faut bien de la subtilité d’esprit pour les pratiquer parfaitement, et faut être plus que médiocrement expert en la science des nombres pour bien entendre les démonstrations (...).13

Lucas, citant Bachet, est en accord avec ses finalités: la question de la conceptualisation impose un néces-saire recours à la science par la médiation de l’objet récréatif. La récréation se pare alors des couleurs de la “leçon de choses,” au cœur de la science mathématique.

Une réflexion concernant la pédagogie et l’approche des mathématiques est rapportée par Lucas dans l’introduction au premier livre de Récréations et renouvelée dans un article de la revue La Nature.14 Cette insistance suppose un accord avec les thèses de l’auteur, qui n’est autre que Louis-René de Caradeuc de La

10 (Crosland, 1976).11 (Zola, 1881, 97).12 (Bardoux, 1880, 10).13 (Bachet de Méziriac, 1624, Préface à la seconde édition, non paginée, page 3 de la préface).14 (Lucas, 1889).

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Chalotais. Dans son Essai d’éducation nationale ou plan d’études pour la jeunesse de 1763, La Chalotais, janséniste et frondeur, très hostile à l’enseignement pratiqué par les Jésuites, évoque la formation du jeune enfant et en appelle aux mathématiciens:

Je dis que les premiers objets dont on doit l’occuper depuis cinq à six ans jusqu’à dix sont l’Histoire, la Géographie, l’Histoire naturelle, des Récréations physiques et mathématiques; connaissances qui sont à sa portée, parce qu’elles tombent sous le sens, parce qu’elles sont les plus agréables et par conséquent les plus propres à occuper l’enfance [...] La Géométrie ne demande pas plus d’application que les jeux de piquet et de quadrille. C’est aux mathématiciens de trouver une route qui n’ait pas encore été frayée. On pourrait peut-être commencer par des Récréations mathématiques.15

Au tout début de la IIIè République, l’enseignement supérieur a également un urgent besoin de réformes. Ce besoin est exprimé par le mathématicien Gaston Darboux, professeur à la Faculté des sciences de Paris, au fil de sa correspondance avec son collègue Jules Houël, universitaire bordelais. On peut noter la franchise et le naturel déroutants de Darboux épistolier16:

Je vous disais donc [...] que nous avons besoin de refaire notre enseignement supérieur. Je pense que vous êtes du même avis. Les Allemands nous enfoncent par le nombre, là comme ailleurs.17

Quant aux facultés de province, Darboux les considère comme “des maisons de retraite pour des professeurs de lycée incapables de faire leur cours.”18

Enfin le verdict général de Darboux tombe: “Tous nos géomètres d’ailleurs, quoique fort distingués, semblent appartenir à un autre âge. Ce sont des savants éminents restés à la science d’il y a vingt ou trente ans qu’ils perfectionnent, développent avec beaucoup de succès, mais toutes les branches modernes sont pour eux très accessoires.”19

Entre les décrets Goblet-Liard de juillet 1885 et la loi Louis Liard du 10 juillet 1896, les réformes atteignent enfin l’université. Un accroissement du nombre d’étudiants est jugé nécessaire: l’institution se décentralise par la création d’universités de province, dotées d’une autonomie financière. La réforme Louis Liard propose en effet de revitaliser l’université en autorisant les collectivités locales, les entreprises, les chambres de commerce, les sociétés savantes, entre autres, à financer des laboratoires et des enseignements nouveaux. Il apparaît que les savoirs scientifiques peuvent être produits en une grande multiplicité de lieux: muséums, laboratoires, observatoires, sociétés savantes, espaces de vulgarisation scientifique. Ces idées sont reprises et valorisées dans un milieu très particulier qui fait l’objet de la suite de notre étude.

3. Le milieu associatif

L’effort qu’exige la diffusion de ces nouvelles conceptions repose, c’est son originalité, en partie sur un travail associatif. Deux associations, fondées en 1872, la Société mathématique de France (SMF) et l’Association pour l’avancement des sciences (AFAS), vont attirer un public de militants actifs, parmi lesquels figurent Édouard Lucas, Henri Delannoy, Émile Lemoine et Charles-Ange Laisant. Tous quatre

15 (La Chalotais, 1763).16 Les lettres citées proviennent des Archives de l’Académie des sciences, dossier Gaston Darboux, correspondance.17 Lettre non datée, postérieure à 1869.18 Lettre non datée, postérieure à 1869.19 Lettre du 5 mars 1870.

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alimentent le Bulletin de la Société mathématique de France, participent activement aux congrès de l’AFAS, diffusent leurs interventions grâce aux Comptes rendus de l’association.

Des études récentes montrent que la deuxième moitié du XIXè siècle est marquée en France par des tentatives durables d’“élargir le public de la science au delà de la sphère des gens cultivés.”20 Cela est perceptible aussi bien dans l’essor de l’édition scientifique à caractère populaire que dans le succès d’une association comme l’AFAS, ouverte aux scientifiques confirmés tout comme aux simples “amateurs” de science. Cependant la France, à la différence de l’Angleterre, ne peut présenter que de rares figures de la science académique qui s’illustrent dans la diffusion scientifique. À ce titre Édouard Lucas fait figure d’exception. Par sa formation et son parcours professionnel, il relève de la science académique; mais il se trouve dans le même temps engagé dans la diffusion scientifique, aussi bien par son engagement à l’AFAS que par la publication des Récréations et de la Théorie des nombres.

La science est valorisée à l’AFAS, comme l’exprime sa devise “Par la science, pour la patrie” et comme le stipule l’article 1er de ses statuts selon lequel “l’Association se propose exclusivement de favoriser par tous les moyens en son pouvoir le progrès et la diffusion des sciences au double point de vue du perfection-nement de la théorie pure et du développement des applications pratiques.”

Des membres fondateurs de l’AFAS sont amenés à préciser leur conception de la vie scientifique. Si la métaphore militaire fleurit en 1872 chez l’anthropologue Armand de Quatrefages de Bréau:

La lutte n’a pas lieu seulement dans les champs de la guerre. De nos jours plus que jamais, le domaine de l’intelligence, le terrain de la science ont aussi leurs batailles, leurs victoires, leurs lauriers. En attendant l’avenir, c’est là qu’il faut d’abord aller chercher la revanche. Le travailleur scientifique est donc aussi un soldat.21

c’est à une vision plus consensuelle que convie, en 1886, le chimiste Charles Friedel:

Pour servir la patrie, il existe un moyen dont l’emploi ne peut froisser personne: aider au progrès de la science. C’est elle qui nous divise le moins.22

La science est pensée comme facteur de développement national et comme vecteur de consensus social. L’AFAS contribue à répandre l’idée que l’activité scientifique est une activité sociale et non un loisir d’a-ristocrate, et que chacun peut participer à ce collectif de pensée et devenir un “amateur” de science. Afin d’“éveiller la curiosité endormie,” de “charmer en instruisant,” la science doit se faire avenante, humaine et même festive. Il s’agit de satisfaire la curiosité, d’éduquer, mais aussi d’émerveiller, de divertir. Par ses récréations qui cherchent à réconcilier le public savant et amateur, Édouard Lucas joue à merveille le rôle de médiateur scientifique.

À l’AFAS enfin, amateurs ou professionnels peuvent s’exprimer librement. Ce libéralisme est justifié en ces termes:

La liberté est la condition essentielle du développement des sciences. Nous écoutons toutes les doctrines scientifiques, sérieuses ou non, peu nous importe, car celles qui ne le sont pas ne résistent pas à un examen rigoureux, fait librement et en pleine lumière.23

20 (Bensaude-Vincent and Rasmussen, 1997, 13).21 (Quatrefages, 1873, 37).22 (Friedel, 1887, 20).23 (Mercadier, 1880, 34).

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4. Les amateurs de Récréations

Dans la préface à la deuxième édition du premier livre de Récréations, datée de 1891, on peut lire une brève description du public auquel l’auteur destine l’ouvrage: “Si ces pages plaisent à quelques savants, si elles intéressent quelques gens du monde, si elles inspirent à quelques jeunes intelligences le goût du raisonnement, et le désir des jouissances abstraites, je serai satisfait.”24

La demande de milieux instruits ou mondains concernant le ludique, le merveilleux, ou l’énigmatique ne date pas d’hier, de même que le goût de résoudre une énigme, de relever un défi, ou de briller en société.25

Le succès du premier livre de Récréations témoigne en tout état de cause d’une demande sociale pour un type de savoir ludique ou récréatif.

L’analyse des dédicaces qui introduisent les récréations d’Édouard Lucas nous fournit de précieux ren-seignements sur le public qu’il associe à son travail. L’influence prépondérante du milieu associatif apparaît dans les choix qui guident l’auteur, puisque la moitié de ces dédicaces sont destinées à des figures fami-lières de l’AFAS ou de la SMF. Parmi celles-ci on repère des polytechniciens, des militaires, des ingénieurs qui composent une part importante des adhérents de ces mouvements. Citons ici les dédicaces à Édouard Collignon, inspecteur général des Ponts et Chaussées, membre fondateur de l’AFAS et auteur de plus de 60 communications au sein de l’association; au Général Parmentier, membre du comité des fortifications; au Prince Camille de Polignac, vice-président de la SMF; à Gaston Tarry, sous-directeur des contributions à Alger. Gaston Tarry, pur amateur de mathématiques, se fait connaître par une communication au congrès de l’AFAS de Paris en 1900 prouvant l’impossibilité du problème des 36 officiers d’Euler, à l’aide d’un exa-men exhaustif de toutes les combinaisons.26 Lucas n’oublie pas ses plus proches collaborateurs que sont Charles-Ange Laisant, docteur ès sciences et député, et Henri Delannoy à qui non seulement est dédiée une récréation, mais à qui sont adressés de vifs remerciements pour sa contribution à l’édition du premier volume récréatif.27

Des dédicaces peuvent concerner des savants étrangers, comme le sénateur italien Luigi Cremona, l’An-glais James-Joseph Sylvester, professeur à l’Université de Baltimore, l’ancien ministre norvégien Ole Broch, l’académicien russe Pafnuti L. Tchebychev, ou le Belge Paul Mansion, professeur à l’Université de Gand. Toutes ces personnalités ont noué des relations scientifiques ou amicales avec Édouard Lucas au cours des congrès de l’Association Française auxquels ils ont participé. Certains de ces savants sont membres actifs de l’AFAS comme Sylvester et Tchebychev.

Doit-on reconnaître l’influence de Laisant dans les dédicaces destinées à plusieurs députés républicains? Ainsi en est-il de Jules Develle et de Jules François Viette, plusieurs fois Ministres (l’homonymie du second avec le mathématicien François Viète a dû ravir l’auteur), ou de Gaston Marquiset, député et membre de la SMF.

La résolution des récréations est souvent présentée par Édouard Lucas comme l’émanation d’un groupe de scientifiques ou d’amateurs de sciences, proposant variantes et solutions alternatives. Nous retrouverons ce trait en 1891 dans la rédaction de la Théorie des nombres, où bien des exemples illustratifs sont publiés sous le nom de leurs auteurs, comme Eugène Catalan, Ernesto Cesàro, ou Henri Delannoy.

Lucas citant scrupuleusement ses sources d’inspiration, l’émergence d’une collectivité d’amateurs de récréations apparaît dans les solutions avancées au fil des volumes récréatifs. Ainsi les carrés anallagma-tiques de Sylvester et les mosaïques de Laisant inspirent à Lucas le jeu du parquet.28 Les suggestions du

24 (Lucas, 1882, 2è édit., viii).25 (Djebbar, 2000). Voir aussi (Djebbar, 2004).26 (Tarry, 1900).27 (Lucas, 1882, 2è édit., viii).28 (Lucas, 1883, 113–119). Voir à ce propos (Décaillot, 2002).

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Général Parmentier le conduisent à utiliser la numération binaire pour formaliser le jeu du baguenaudier.29

Le polytechnicien Charles Pierre Trémaux, ingénieur des télégraphes, est pour sa part l’auteur d’un algo-rithme repris par Lucas montrant qu’un labyrinthe n’est jamais inextricable.30 Quant au chef d’escadron d’artillerie Hermary, il apporte sa contribution au jeu du solitaire et au jeu de Hamilton.31 On peut noter que le jeu du solitaire inspire également des solutions à un professeur de Delft, M. Mantel, ainsi qu’à un pharmacien parisien, M. Chicandard.

Parmi les récréations proposées, le problème des reines éveille la curiosité des lecteurs: il s’agit de placer p reines sur un échiquier de n2 cases, avec p ≤ n, de façon qu’aucune ne puisse être en prise sur une autre. Ce problème est présent dans la correspondance qu’échange Gauss avec Schumacher au cours de l’année 1850. Lucas le reprend sous forme récréative et il inspire des auteurs aussi divers que Harold Tarry, polytechnicien, inspecteur des finances à Alger et frère de Gaston Tarry, le mathématicien hollandais Pieter Hendrik Schoute, ainsi que le professeur Mantel. Ce dernier calcule le nombre de dispositions de 2 reines sur un échiquier de n2 cases: X2(n) = 1/6n(n − 1)(n − 2)(3n − 1).

De manière générale, Mantel donne le résultat suivant: le nombre de dispositions de p reines non en prise sur un échiquier de n2 cases, avec p ≤ n, peut être représenté par un polynôme en n de degré 2p.32

Les récréations ont-elles permis d’inspirer “à quelques jeunes intelligences le goût du raisonnement”? En tout état de cause, elles sont lues avec attention par un jeune mathématicien allemand, Edmund Lan-dau. Ce dernier apporte en 1896 (il est alors âgé de 19 ans) une contribution au problème des reines dans le Naturwissenschaftliche Wochenschrift.33 Lucas ayant résolu le problème des 2 reines,34 Landau donne une résolution entièrement nouvelle du problème des 3 reines. Sa méthode permet théoriquement la gé-néralisation au nombre de positions de 4 dames, puis de p dames, sur l’échiquier n, bien que les calculs deviennent, d’après l’auteur, rapidement inaccessibles. Landau fait connaître à Henri Delannoy l’existence de cette publication par une lettre datée du 1er août 1896, dans laquelle il apporte des précisions sur l’aspect historique du problème des huit reines.35

5. Retour sur les finalités

Notre interrogation initiale portait sur les motivations auxquelles obéit, dans les années 1880, la concep-tion des ouvrages récréatifs d’Édouard Lucas. Le contexte des réformes éducatives de la Troisième Ré-publique a permis un début de réponse. L’introduction à la Théorie des nombres nous fournit quelques précisions supplémentaires: “Il nous reste à donner, dans une revue rapide, les applications utiles et intéres-santes de l’arithmétique.”36 Lucas range parmi ces applications la combinatoire et le calcul des probabilités, la cryptographie, la cartographie, la géométrie du tissage,37 les classements utiles à l’horlogerie (rouages, engrenages).38 L’auteur évoque à ce propos une nouvelle édition des Récréations mathématiques faisant place aux jeux arithmétiques que l’on peut tirer de la Théorie des nombres, réédition qui n’a pas vu le jour.

29 (Lucas, 1882, 169).30 (Lucas, 1882, 47–51).31 (Lucas, 1882, 118) et (Lucas, 1883, 212–220).32 (Lucas, 1882, 228).33 (Landau, 1896).34 (Lucas, 1891, 98) et (Lucas, 1894, 132).35 La lettre de Landau, qui s’exprime en français, est reproduite dans l’Annexe A.36 (Lucas, 1891, XXXII).37 Voir à ce propos (Décaillot, 2002, 2005).38 Lucas songe à l’utilisation de suites de Brocot en horlogerie (Lucas, 1891, 469–475).

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Ne s’autorise-t-il pas à conclure de manière peut-être un peu hasardeuse:

[...] et d’ailleurs tout théorème de géométrie, d’algèbre ou d’arithmétique peut donner lieu à l’invention d’un jeu correspondant.39

Par sa conception de la théorie des nombres et par ses Récréations, Lucas ne cherche-t-il pas à répondre à l’aspiration de l’AFAS: perfectionner la théorie pure tout en développant les “applications pratiques” de la science? En tout état de cause on peut constater un développement de l’arithmétique supérieure au sein de l’AFAS, sous une forme appliquée mais aussi sous une forme théorique, puisque c’est devant l’association que Lucas présente ses applications de l’arithmétique au tissage, aussi bien que ses études concernant la primalité des nombres.40

Pour saisir les raisons de ce développement, il nous faut aborder un aspect institutionnel peu connu qui fait l’objet de la suite de notre étude.

Lucas remarque en 1891 que bien des récréations ont à voir avec l’arithmétique supérieure qui se trouve “délaissée par les géomètres et l’enseignement officiel.”41 Sans doute songe-t-il au refus que l’Académie des sciences a opposé, en 1887, à la création d’une chaire de théorie des nombres au Collège de France, chaire pour laquelle il était fortement pressenti.

La lettre de refus de l’Académie des sciences, signée de Joseph Bertrand et Louis Pasteur (20 octobre 1887), fait état d’une appréciation de l’importance de la théorie des nombres dans l’ensemble des mathé-matiques:

Le partage du vaste champ des études mathématiques en deux portions, dont l’une serait la théorie des nombres, ne nous semblerait nullement justifié. Ce serait à peu près comme si, voulant dédoubler la chaire d’histoire, on consacrait l’enseignement nouveau à l’étude, très intéressante assurément, de la République de Venise, en laissant au professeur actuel le soin d’étudier tous les autres peuples anciens et modernes.42

La chaire ne sera pas créée et l’appréciation lapidaire de Joseph Bertrand peut avoir contribué au dévelop-pement de la théorie des nombres hors du champ académique, en particulier au sein du monde associatif, où elle trouve à la fin du XIXè siècle un milieu propice à son essor.

Des questions se posent alors à l’historien. Les ouvrages récréatifs ont-ils pour vocation de compenser l’insuffisante prise en compte de certains domaines scientifiques par la culture académique? D’une manière générale, les récréations apparaissent-elles comme un outil d’élargissement du champ mathématique dans la période que nous considérons?

Il est difficile de répondre à des questions aussi complexes et Lucas ne les aborde pas directement. On peut néanmoins remarquer l’abondance des références historiques qui émaillent les Récréations. Elles vont de Fibonacci, Bachet de Méziriac, Fermat, Leibniz, Euler, à Gauss, Clausen, Hamilton, Listing, Tait, pour ne citer que ces noms-là. L’auteur souhaite visiblement insérer les formes de raisonnement ludique dans une tradition ancienne et savante qui est à prendre très au sérieux. Il se réfère à des traditions arabes, à d’autres qui nous sont parvenues de Chine, d’Inde, de Grèce, de l’héritage de Mersenne ou de Fermat,

39 (Lucas, 1891, XXXII).40 (Décaillot, 2007).41 (Lucas, 1882, 2è éd., VI).42 Archives Nationales [F/17/13 554].

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avec quelques faiblesses parfois dans ses justifications historiques.43 Une approche totalement fantaisiste, due à l’imagination de l’auteur, de l’origine du jeu orientaliste constitué par la fameuse “tour de Hanoï” est même avancée.44

En tout état de cause, l’intérêt de grands noms des mathématiques pour les questions récréatives permet à Lucas de mettre en valeur les champs théoriques nécessaires à leur résolution. Il parvient ainsi dans l’in-troduction à la Théorie des nombres à une classification de ses jeux récréatifs qui fait place à la “géométrie de situation” eulérienne (jeu des ponts et des îles, labyrinthes, jeu des dominos, jeu icosien de Hamilton, problème des 4 couleurs), au système de numération binaire (jeu du baguenaudier, tour de Hanoï), à la com-binatoire (jeux des demoiselles, probabilités, jeux de hasard). Le domaine algébrique constitué par l’étude des permutations et par le théorème de Bézout sur le développement d’un déterminant permet de donner des réponses au jeu du taquin. En arithmétique, les propriétés des nombres premiers fondent la géométrie des tissus.45

Lucas accorde une place importante à la géométrie de situation dans ses Récréations ainsi que dans la Théorie des nombres, où elle fait l’objet d’un chapitre.46 L’auteur engage là une série d’études concernant le tracé de chemins sur un réseau (ou graphe), la question des labyrinthes, le coloriage des régions d’un plan, le problème des 4 couleurs, le théorème d’Euler sur les polyèdres. À ce propos les travaux antérieurs sur les polyèdres de Cauchy, Bertrand ou Catalan, ceux d’Auguste Bravais sur la cristallographie sont mentionnés, ainsi que l’emploi des “arbres géométriques” dans la théorie des combinaisons chimiques d’Arthur Cayley. Les principes généraux de la géométrie de situation sont de toute évidence hors du champ couvert par la Théorie des nombres de Lucas, qui privilégie dans chaque étude les questions combinatoires. Cependant deux mémoires de Johann Listing sont cités: Vorstudien zur Topologie47 qui établit les fondements de la géométrie de situation, et Der Census raümlicher Complexe48 qui aborde le problème de la formation et de la classification des nœuds. Cette question fait aussi l’objet d’une série de mémoires de Peter Guthrie Tait “On Knots,”49 et Lucas annonce qu’il consacrera à la théorie des nœuds un chapitre du volume II de son ouvrage de Théorie des nombres (volume non retrouvé). Nul doute que ce chapitre ait alimenté de futures Récréations.

Nous concevons dès lors une situation tout à fait originale. Lucas privilégie les applications d’une disci-pline, y compris sous la forme de jeux, de manière à populariser cette dernière et inciter à son étude. Une perspective très ambitieuse, découlant de cette situation, aurait pu être la recomposition d’une partie des études de mathématiques autour de la théorie des nombres, de la combinatoire, de la géométrie de situation, en une sorte de revanche de la “République de Venise.” Après la rénovation des méthodes pédagogiques, ne peut-on lire les récréations comme une tentative d’action en faveur de la modernisation des contenus et donc des programmes d’enseignement des Mathématiques à la fin du XIXè siècle?

43 Paul Tannery conteste ainsi l’affirmation d’Édouard Lucas selon laquelle Mersenne aurait été en possession d’une méthode importante dans la théorie des nombres premiers, méthode qui ne nous serait pas parvenue (Lucas, 1891, 376–377) et (Tannery, 1892, 164).44 (Lucas, 1894, 228–230).45 La question de la relativité historique des notions de jeux et de récréations peut être posée à propos des carrés magiques. Si Lucas les présente comme des jeux de nombres, des études récentes montrent qu’ils n’étaient pas du tout considérés comme récréatifs par exemple dans la tradition arabe médiévale (Djebbar, 2000).46 (Lucas, 1891, 82–120).47 (Listing, 1847).48 (Listing, 1861).49 (Tait, 1876–1877, 1884, 1885).

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Annexe A. Lettre d’Edmund Landau à Henri Delannoy50

Berlin le 1er août 1896

Monsieur,

Je me permets de vous envoyer, en même temps que cette lettre, un petit article intitulé: “Le problème des huit dames et sa généralisation” que je viens de publier dans la Naturwissenschaftliche Wochenschrift. Ce n’est qu’hier que j’ai vu L’arithmétique amusante de l’immortel Edouard Lucas, que vous avez publiée avec Monsieur C.-A. Laisant et Monsieur E. Lemoine, et je vois que Lucas a connu les passages de la Berliner Schachzeitung qui s’occupent du problème. Cependant deux petites erreurs se sont glissées dans la note IV, n◦1, p. 211, sur lesquelles je prends la liberté d’appeler votre attention. D’abord le problème ne fut pas proposé par Nauck à Gauss; mais Nauck le publia dans la Leipziger Illustrierte Zeitung, et Gauss le lut dans ce journal; puis cette publication n’eut pas lieu vers la fin du siècle dernier; car Nauck proposa le problème en 1850, dans le n◦361 de la [Leipziger] Illustrierte Zeitung, du 1er juin. Les lettres suivantes, entre Gauss et Schumacher, se rapportent au problème:

1- Lettre de G. à S.; 1er sept. 18502- Lettre de G. à S.; 4 sept. 18503- Lettre de G. à S.; 12 sept. 18504- Lettre de G. à S.; 24 sept. 18505- Lettre de G. à S.; 27 sept. 18506- Lettre de G. à S.; 5 oct. 1850Je crois donc que la première mention du problème des huit dames se trouve dans la Berliner Schachzei-

tung.Excusez, monsieur, que j’aie pris la liberté de vous adresser cette lettre; cependant comme admirateur

ardent de l’illustre Lucas, je me suis permis d’attirer votre attention sur ces petites incorrections dans les dates historiques, qui pourront facilement être rectifiées dans une nouvelle édition des récréations mathé-matiques.

Veuillez agréer, monsieur, l’expression de ma plus haute considération

Edm. Landau

N. W. Dorotheenstrasse 54.

Références

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Ajouts de K. Chemla à la bibliographie composée par Anne-Marie Décaillot

Décaillot, A.-M., 1999. Edouard Lucas (1842–1891): le parcours original d’un scientifique français dans la deuxième moitié du XIXè siècle. Université Paris Descartes, Paris. See a version at: http://tony.reix.free.fr/EdouardLucas/LUCAS_BOOK_THESE.PDF.