Les relations

- Règles

- Table de valeurs

- Variables

- Graphiques

Une relation est un lien (un rapport) existant entre des choses, des situations ou des personnes.

Exemples :

Un bureau de médecin offre 20 $ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale.

Il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire gagné.

Un plein d’essence.

Il y a une relation entre la quantité d’essence et le coût.

Le poids d’une personne et le nombre de calories absorbées.

Il y a une relation entre le nombre de calories absorbées par une personne et l’augmentation de son poids.

Ton résultat à un examen.

Il y a une relation entre le nombre de bonnes réponses et la note obtenue.

Une relation est un lien (un rapport) existant entre des choses, des situations ou des personnes.

Exemple :

La mathématique permet de quantifier ou de qualifier ces différentes relations.

Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale.

x

On aimerait trouver une méthode permettant de calculer le salaire de la secrétaire.

et y,le salaire de la secrétaire par une autre lettre soit

En représentant le nombre d’heures travaillées par une simple lettre soit

x

on peut décrire la relation suivante:

Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées

y = 20 $ X

y = 20 x

Cette règle signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire .

L’algèbre nous permet donc d’établir une relation entre ces deux variables.

Il y a autant de règles représentant des relations qu’il y a de situations.

x y = 2 + 5

Chaque règle est constituée de lettres et de nombres.

Les lettres sont appelées les variables, les nombres sont appelés les coefficients.

Dans la règle suivante :

sont les variables

sont les coefficients.

y = x y = 7 x y = - 4 + 3 x y = 2 2 + 5 + 6 x x y = 100 x

y = 2 + 5 x

Attention : 2 x ,

dans le terme le 2 est uni à par le signe de multiplication. x

2 x = 2 x X

En algèbre, il y a toujours une multiplication entre un coefficient et une variable.

Ex. :

Nous pouvons représenter une relation par :

- Un texte : Un bureau de médecin offre 20,00$de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale.

- Une règle : y = 20 x

- Une table de valeurs :

Heures travaillées (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 …

Salaire (y = 20 x) 0 20 40 60 80 100 120 140 …

Temps (heures)

0

140

120

100

80

60

40

20

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Salaire ($)

Salaire d’une secrétaire médicale- Un graphique :

Tu dois donc être capable de passer d’un mode de représentation à un autre.

Avant de commencer, faisons un retour sur le plan cartésien.

234

5

67

89

10

1

-9-8-7

-6-5

-4-3-2-1

-10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

0x

Le plan cartésien sert à situerdes points et des lignes.

L’axe horizontal s’appelle

l’axe des x

L’axe vertical s’appelle

l’axe des y

Le point de rencontre des deuxaxes s’appelle l’origine.

ou l’axe des abscisses.

ou l’axe des ordonnées.

234

5

67

89

10

1

-9-8-7

-6-5

-4-3-2-1

-10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

0x

Situer un point :

Exemple :

D’abord, on donne sa position par rapport à l’axe des abscisses

ici 3

Ensuite, on détermine sa position par rapport à l’axe des ordonnées

ici 8

Puis, une virgule ou un point-virgule est inscrit entre les deux nombres.

3 , 8 ou 3 ; 8

Enfin, ces nombres sont placés entre des parenthèses.

( 3 , 8 )

ou ( 3 ; 8 )

Ce couple de nombres s’appelle les coordonnées du point.

( 3 , 8 )

3 étant l’abscisse du point

8 étant l’ordonnée du point

(x);

( y ).

(l’axe des x).

(l’axe des y).

234

5

67

89

10

1

-9-8-7

-6-5

-4-3-2-1

-10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

0x

Donne les coordonnées des points suivants :

1. ( 7 , 4 )

2. ( 9 , 10 )

3. ( 2 , 0 )

4. ( -5 , 7 )

5. ( -8 , -7 )

6. ( 9 , -4 )

7. ( 0 , 0 )

Exercice :

Un graphique peut utiliser tout le plan cartésien

y

x

Règles de construction :

Chaque axe doit être divisé en parts égales (en morceaux égaux).

234

5

67

89

10

1

-9-8-7

-6-5

-4-3-2-1

-10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

0x

ou seulement une partie.

correctincorrect

incorrectcorrect

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

Règles de construction :

Chaque axe doit être divisé en parts égales.

Les graduations doivent être divisée également.

correctincorrect

15

20

35

50

68

79

80

97

10

0

1 3 6 7 9 10 11 12 15 16

20

30

40

50

60

70

80

90

10

incorrectcorrect

L’origine est le nombre 0.

y

x0

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

20

30

40

50

60

70

80

90

10

Si certaines valeurs ne sont pas représentées, tu dois l’indiquer par ce symbole :

pour respecter les graduations.

Si le graphique représente une situation réelle, tu dois :

- identifier chaque axe;

- donner un titre au graphique;

0

140

120

100

80

60

40

20

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temps (heures)

Salaire ( $ )

Salaire d’une secrétaire médicale

- tracer la courbe.

1

2

3

4

5

6

7

Temps (hres) : x

0

20

40

60

80

100

120

140

Salaire : y = 20x

0

Elle peut être :

0 1 2 3 4 5 6 7

0 20 40 60 80 100 120 140

Temps ( hres) : x

Salaire : y = 20x

- verticale.

La table de valeurs est un autre moyen de représenter une relation.

- horizontale;

Problème : Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle

y = x

1

2

3

4

5

6

7

0

1

2

3

4

5

6

7

0

x y = x

Remplis d’abord une table de valeurs,

soit le couple

( 0 , 0 )

( 1 , 1 )

( 2 , 2 )

( 3 , 3 )

( 4 , 4 )

( 5 , 5 )

( 6 , 6 )

( 7 , 7 )

construis le graphique et trace la courbe.

0

y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

6

7

8

9

1

10

Remarque :

Dans le plan cartésien, une série de points reliés porte le nom de courbe même si c’est une ligne droite.

Problème : Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle

y = 2x

1

2

3

4

5

6

7

0

2

4

6

8

10

12

14

0

x y = 2x

Remplis d’abord une table de valeurs, construis le graphique et trace la courbe.

0

y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

6

8

10

12

14

16

18

2

20

Remarque : La table de valeurs nous permet de graduer correctement le graphique.

Problème : Complète cette table de valeurs et trace le graphique de la règle

y = 4x + 5 selon les valeurs de x indiquées dans la table.

13

25

37

53

65

73

85

5

2

5

8

12

15

17

20

0

x y = 4x + 5

Priorités d’opérations :

Nous devons multiplier le coefficient de x avant d’additionner le coefficient seul.

y = 4 X x + 5

= 5

= 13

y = 4 X 5 + 5= 25

y = 4 X 0 + 5

y = 4 X 2 + 5

y = 4 X 8 + 5= 37

et ainsi de suite…

2

5

8

12

15

17

20

0

13

25

37

53

65

73

85

5

x y = 4x + 5

0

y

x2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

20

30

40

50

60

70

80

90

10

100

Remarque : Les calculs ne coïncident pas toujours avec la grille du graphique;

la précision est donc de mise.

Problème : Complète une table de valeurs, puis trace le graphique de la règle :

y = 100/x pour les valeurs de x indiquées dans la table.

50

25

20

10

5

4

2

100

2

4

5

10

20

25

50

1

x y = 100/x

0

y

x5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

20

30

40

50

60

70

80

90

10

100

Dans tous ces exemples, x et y portent des noms particuliers :

- x est appelé la variable indépendante, car elle sert de référence pour décrire la relation: elle représente les valeurs de départ.

Nous pouvons lui donner n’importe quelle valeur.

- y est appelé la variable dépendante, car elle dépend des calculs effectués avec la règle et les valeurs données à x .

13

25

37

53

65

73

85

5

2

5

8

12

15

17

20

0

Exemples :

9

13

17

21

25

29

33

5

1

2

3

4

5

6

7

0

y = 4x + 5

x y = 4x + 5

y = 4x + 5

x y = 4x + 5

Si x vaut Si x vaut

y dépend des calculs effectués avec la règle et les valeurs données à x.

Déterminer les variables dans une mise en situation.

Il est très facile de déterminer les variables indépendante et dépendante dans une table de valeurs ou un graphique.

0 1 2 3 4 5 6 7

0 20 40 60 80 100 120 140

Temps (hres) : x

Salaire : y = 20 x

Variable indépendante

Variable dépendante

0

140

120

100

80

60

40

20

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temps (heures)

Salaire ($)

Salaire d’une secrétaire médicale

x

y

Variable indépendante

Variable dépendante

Dans une mise en situation, il faut lire attentivement le texte.

Exemple :

Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. On s’intéresse à la relation entre le salaire et le nombre d’heures travaillées.

Variable indépendante (x) : le temps (en heures)

Variable dépendante (y) : le salaire (en $)

Le salaire dépend du nombre d’heures travaillées.

Exemple :

Variable indépendante (x) : le nombre de litres

Variable dépendante (y) : le coût ( en $ )

Le coût dépend de la quantité de litres.

On s’ intéresse au coût d’un plein d’essence selon la quantité de litres versés.

Exemple :

Variable indépendante (x) : le nombre de bonnes réponses

Variable dépendante (y) : ton résultat ( en % )

Ton résultat dépendra des bonnes réponses que tu donneras.

Tu aimerais avoir un bon résultat à ton prochain examen de mathématique.

Exemple :

Variable indépendante (x) : le temps ( en minutes )

Variable dépendante (y) : la quantité d’eau dans le réservoir ( en litres )

La quantité d’eau dans le réservoir dépend du temps de remplissage.

Un boyau remplit un réservoir à raison de 50 litres à la minute.

Exemple :

Variable indépendante (x) : la mesure du rayon

Variable dépendante (y) : l’aire du cercle

L’aire du cercle dépend de la mesure du rayon.

On s’intéresse à l’aire d’un cercle en fonction de son rayon.

Exemple :

Variable indépendante (x) : le nombre d’étages

Variable dépendante (y) : le nombre de marches

Le nombre de marches dépend du nombre d’étages.

À son école Fabienne a remarqué qu’il faut d’abord monter 4 marches pour entrer au rez-de-chaussée, et puis gravir 22 marches par étage.

On s’intéresse aux nombres de marches en fonction du nombre d’étages.

Dans une mise en situation, il faut lire attentivement le texte.