Les solides à l'école primaireI – Matériels :Il est indispensable d’utiliser du matériel pour travailler la géométrie des solides à l’école maternelle et au primaire.

A – Les jeux de construction :

Il peut s’agir de blocs, en bois, en matière plastique, qu’on peut encastrer ou simplement juxtaposer et empiler. Ils permettent de réaliser des constructions diverses. Ils peuvent être utilisés avec profits de l’école maternelle jusqu’à la fin du cycle 2 ou la première année du cycle 3.Il faut privilégier des jeux dans lesquels les blocs ont des dimensions qui permettent des combinaisons (pavés ayant tous 2 cm de hauteur par exemple). Pour construire des polyèdres, il existe des plaques polygonales en matière plastique dont les côtés, munis de sortes de charnières, peuvent tenir assemblés. On peut aussi trouver des systèmes de tiges et d’embouts pour construire des solides réduits à leurs arêtes et leurs sommets, des « squelettes » de solides :

B – Les solides de référence :

Ce sont des polyèdres, cylindres, sphères, cônes, pyramides en bois ou en matière plastique… Il est possible d’en fabriquer en plâtre par moulage.

C – Les emballages :Ils constituent un matériel très varié (des polyèdres dont beaucoup sont des prismes droits). Ils sont souvent des points de départ motivant pour des fabrications et sont intéressants pour une approche des patrons. Ils permettent également de travailler à une échelle plus grande (baril de lessives…).

D – Les puzzles dans l’espace : II – Reconnaître et décrire :

A – Contenus travaillés :Le lexique exigé dans les programmes est volontairement restreint : solide, pavé droit, parallélépipède rectangle, arête, sommet. Les documents d’application pour le cycle 2 indiquent qu’à l’occasion, les mots polyèdre, boule et cylindre peuvent être utilisés par l’enseignant. Ceux pour le cycle 3, ajoutent les mots prisme, pyramide, sphère et cône. Les séances sur les solides ne doivent pas être une succession de monographies sur les divers types de solides. Les apprentissages doivent être centrés sur les notions de faces, d’arêtes (égalité de longueur, orthogonalité) et sur certains solides (le cube, le parallélépipède rectangle).La compétence « reconnaître un solide » prend des significations différentes selon qu’il s’agit du cube et du parallélépipède rectangle ou des autres solides évoqués. Dans le premier cas, les élèves doivent savoir qu’un parallélépipède se reconnaît à ses six faces rectangulaires (éventuellement carré mais dans ce cas elles ne seront pas au nombre de six) et qu’un cube se reconnaît à ses six faces carrés. Pour les autres solides, les élèves doivent pouvoir les retrouver dans un stock de solides à partir de renseignements généralement donnés à l’oral, à l’écrit ou à l’aide de représentations planes.

B – Exemples d’activités :1 – Reconnaissance tactile (école maternelle, cycle 2) :

Il suffit de remplacer, dans l’activité « le sac à forme », les plaques planes par des solides. Les élèves reconnaîtront les pièces de façon tactile. On pourra jouer sur la diversité des solides cachés, sur leur contraste plus ou moins grand pour réduire ou augmenter la complexité de la tâche.

2 – Classement de solides (moyenne section de maternelle au CM2) :Les élèves sont regroupés par 3 ou 4 devant un ensemble de divers solides. Ils doivent mettre

lien

ensemble ceux qui se ressemblent, ceux qui vont ensemble, ceux qui ont la même propriété (la consigne varie selon le niveau) et dire ou décrire pourquoi.Cette activité permet d’analyser les propriétés des solides (présence de faces planes, de faces non planes, de faces arrondies, isométrie de certaines faces, présence d’angles droits…) et d’utiliser ou préciser du vocabulaire. Les propriétés mises en avant, le lexique travaillé dépendent évidemment des solides réunis par l’enseignement. Dans les premiers niveaux, on prendra des solides très contrastés, par la suite on pourra choisir, par exemple, des pavés droits se différenciant uniquement par le nombre de faces carrées qu’ils possèdent.

Exemple maternelle, CP ou CE1 : Les solides sont des cartons adaptés à la taille des élèves et proches de leur environnement (petites boîtes de céréales, boîtes de pellicules photographiques, boîtes de gâteaux…), de formes variées (des pavés, des cylindres et des cubes…). Dans un premier temps les élèves s’appuient naturellement sur l’aspect : ils classent naturellement ensemble des cartons à dominante orange et ce quelque soit leur forme…Après plusieurs activités de ce type au cours de plusieurs séances, toutes suivies de verbalisations, on arrive à des classements dans lesquels les pavés sont mis ensembles, les cubes ensembles… Pour en arriver là, les élèves ont du faire tout un travail d’abstraction : abstraction de ce que représente une boite, de ce qui est écrit dessus pour ne s’intéresser qu’à la forme. Ils passent petit à petit de l’objet physique à l’objet géométrique. Ce travail d’abstraction n’est pourtant pas achevé. Dans l’exemple précédent, il n’est pas dit que les pavés aient été mis dans la même classe. Un paquet jugé plus long (paquet de spaghetti) sera écarté.

3 – Jeu du portrait :Variante 1 : un ensemble de solides est proposé aux élèves. L’enseignant ou un élève, décrit un des solides, ou donne des renseignements sur un solide, suffisant pour le reconnaître. Les élèves doivent découvrir de quel solide il s’agit et justifier leur réponse. Variante 2 : l’ensemble des solides est connu des élèves, ils les ont manipulés, observés mais au lieu d’être visibles, ils sont cachés dans un sac. A partir d’une description ou de renseignements à propos d’un solide, un élève doit sortir du sac le solide concerné sans le voir, il doit l’identifier de façon tactile. Variante 3 : un ensemble de solides est proposé aux élèves. L’un d’entre eux choisit sans le dire parmi l’ensemble. Les autres élèves doivent, en posant des questions auxquelles il ne peut être répondu que par oui ou non, sur les formes des faces, leur nombre ou celui des sommets, des arêtes, trouver le solide choisi. Variante 4 : la règle du jeu est la même que dans la variante n°3 mais les solides sont cachés dans un sac. La description est orale et n’a pas besoin d’être complète pour permettre l’identification. Ce qui importe dans ce type de description est de donner des critères permettant de différencier les formes.

5 – Passer commande :Un marchand (le professeur ou un élève) dispose de plaques cartonnées polygonales. Chaque élève reçoit un polyèdre cartonné et rédige une feuille de bon de commande qu’il adresse au marchand. Celui-ci livre son client, tous deux vérifient si la commande est correcte. Cette activité demande au client de bien décrire les formes des faces, de ne pas en oublier et éventuellement de donner des dimensions. On convient à l’avance si les bons de commandes peuvent contenir des dessins ou seulement du texte. Selon les solides choisis, selon les plaques en réserve chez le marchand, la difficulté de la tâche peut être augmentée ou réduite. Il est important que le marchand ne connaisse

pas les solides des clients pour ne pas combler les imprécisions éventuelles des bons de commande.

C – Difficultés rencontrées par les élèves :De nombreuses activités de description reposent sur le dénombrement des faces, des sommets et des arêtes de divers polyèdres. Les élèves font souvent des erreurs parce qu’ils dénombrent deux fois le même élément (face, sommet ou arête) ou l’oublient faute d’avoir pris des repères sur le solide, tournant et retournant le solide dans leur main et finissant par ne plus savoir ceux qu’ils ont déjà dénombré.D’autres difficultés relèvent du langage géométrique. Les jeunes élèves désignent souvent les formes des solides à l’aide de termes tirés de la géométrie plane : carré pour cube, rond pour cylindre…L’emploi d’un vocabulaire technique dans ce domaine ne leur est pas familier. Leur vocabulaire spontané est fortement dépendant de l’usage fait des solides montrés ainsi que de leur dimension. Ainsi pour des cylindres dont la hauteur est petite par rapport au diamètre, les élèves parleront de « bague », « bracelet », « anneau », « rond » alors que pour des cylindres dont la hauteur est grande par rapport au diamètre ils parleront plutôt de « tube », « tuyau » ou « rouleau ». Pour illustrer les catégories de solides géométriques, certains objets semblent pour les élèves plus caractéristiques que d’autres. Les enfants de cycle 2 mettront volontiers les boîtes de conserve 4/4 (taille normale) dans la catégorie cylindre mais associeront les boîtes de camembert avec d’autres objets non cylindriques. Cette réduction des catégories à un ensemble de stéréotypes (ou prototypes), observable également chez les adultes, et souvent renforcée par les choix de matériels suggérés par les auteurs de manuel. III – Reproduire des assemblages de solides :C’est une tâche souvent proposée en maternelle ou au cycle 2 à partir de jeu de construction. Les élèves disposent d’une construction modèle. La tâche reste cependant difficile. Ils doivent bien repérer les étages de la construction, dénombrer les blocs nécessaires, bien les ajuster pour que la construction tienne en équilibre, respecter l’orientation des blocs les uns par rapport aux autres. Ils doivent regarder le modèle sous plusieurs angles. Même en variant les points de vue, certains blocs resteront cachés. Il ne faudra pas les oublier dans la construction. Il faudra commencer par une construction qui ne demande pas beaucoup de blocs et qu’aucun ne soit caché. IV – Construire des solides :

A – Cette tâche dépend de plusieurs paramètres : Le matériau utilisé : on peut travailler avec de la pâte à modeler, des plaques en matière

plastique, des tiges, du papier bristol prédécoupé ou découpé, ou simplement du papier uni ou quadrillé.

Le type de solide à construire : au primaire, les élèves doivent apprendre à construire le cube et le pavé droit. Ce sont les deux solides de base, mais la tâche n’est pas forcément plus compliquée pour un cylindre, un prisme droit, une pyramide ou un cône, tout dépend des conditions dans lesquelles cette construction est demandée.

Présence ou non d’un modèle :

Moins le solide est familier, plus les élèves doivent pouvoir manipuler le solide à l’échelle 1 afin qu’ils puissent contrôler et ajuster leurs essais.

B – Difficultés rencontrées par les élèves pour construire un solide : Exemple grande section :

On demande aux élèves de faire un cube en pâte à modeler à partir d’un cube en bois. Deux principales difficultés apparaissent. L’une est liée au matériau utilisé, il ne permet pas de bien reproduire les arêtes ni les sommets qui seront toujours un peu arrondis. L’autre vient du fait que l’élève doit à la fois construire son cube et le comparer au modèle. Il n’est pas simple à ce niveau de penser à tourner le modèle en même temps et de la même façon que la reproduction.

Exemple CP, CE1 ou début CE2 :On demande aux élèves d’assembler des morceaux rectangulaires de carton pour reproduire un pavé donné, il leur faut faire souvent plusieurs essais car il est rare qu’ils puissent trouver par le raisonnement le bon agencement des faces. Pour y parvenir sans faire d’essai, il leur faudrait très vite remarquer que les longueurs inégales des rectangles interdisent certaines juxtapositions, il faudrait aussi qu’ils parviennent à contrôler mentalement si leur ébauche de patron convient. En fait les élèves sont obligés de faire tenir quelques faces avec du ruban adhésif (ce qui n’est pas sans difficultés techniques pour les CP ou des CE1) pour contrôler qu’ils sont sur la bonne voie. En cas d’erreur il leur faut décoller puis recommencer.

Exemple CM1 ou CM2 :On demande aux élèves de tracer le patron d’un pavé droit ou d’un cubes sur papier. Ils disposent du solide, ils peuvent le manipuler mais pas le développer. En faisant rouler le solide sur le papier, les élèves parviennent à s’approcher du patron, souvent en dessinant le contour des faces une à une

et de proche en proche. Les sommets seront alors un peu arrondis, les angles pas tout à fait droits et les mesures approximatives. Certains élèves auront parfois dessiné une face de trop ou de moins. Il faudra tout un travail d’analyse de ces ébauches pour arriver à des productions correctes.Même après avoir travailler sur les différentes manières d’obtenir un patron, les élèves ont du mal à reconnaître directement à partir d’un patron quels coté des faces correspondent à la même arrête, à dire quelles faces sont adjacentes ou opposées. On s’en aperçoit quand on demande aux enfants d’analyser des erreurs dans des dessins présentés comme patrons de pavés droits mais qui n’en sont pas.Si les élèves partent de plaques, construire un patron pour une pyramide est plus simple que pour un cube parce que pour une pyramide, sa mise à plat, opération qui permet de trouver ce patron, est quasi immédiate. Le démontage d’un cube conduit l’élève à un ensemble de six carrés qu’il aura du mal à assembler en patron. V – Activités à propos de représentations planes :

Lecture de certaines représentations graphiques – les vues en perspectives ou les photographies :

Les élèves savent très tôt lire et utiliser ce type de représentations graphiques planes. Dès le CP (et même avant), ils savent réaliser des assemblages de cubes à partir de photographies ou de perspectives.

Des constructions précédentes posent parfois problèmes pour diverses raisons :- des illusions d’optiques ;- la présence de « murs » perpendiculaires que certains élèves veulent mettre en

prolongement l’un de l’autre ;- la nécessité de prendre en compte des cubes cachés.

Il faut attendre le cours élémentaire pour que les élèves sachent bien coordonner des points de vue différents.La représentation plane des solides est difficile en raison de la perte d’informations entre l’espace et le passage au plan et en raison du conflit entre ce qui est « vu » et ce qui est « su ». VI - Je retiensOn peut classer les solides en deux groupes :+Certains solides ont toutes leurs faces planes.+Certains solides peuvent rouler. Ils ont au moins une face qui n’est pas plane. Pour décrire un solide, on doit apprendre à compter ses faces, ses arêtes, ses sommetsQuand on représente un solide, on trace en pointillés les arêtes non visibles.

Il faut savoir décrire deux solides particuliers : le cube et le pavé droitQuand on décrit un solide, on nomme la forme des faces+des rectangles, des carrés, +des triangles, +des cercles.

Les solides usuelsPour construire des solides les plus courants, on utilise les figures planes usuelles : les carrés, les rectangles, les triangles rectangles, les triangles isocèles et les triangles équilatéraux.

Figures Noms Particularités

Le cube - Nombre de faces : 6- Nombre d'arêtes : 12- Nombre de sommets : 8- Nature des faces : 6 carrés

un parallélépipède

- Nombre de faces : 6- Nombre d'arêtes : 12- Nombre de sommets : 8- Nature des faces : 6 rectangles(ou 2 carrés et 4 rectangles)

un tétraèdre - Nombre de faces : 4- Nombre d'arêtes : 6- Nombre de sommets : 4- Nature des faces : 4 triangles équilatéraux

une pyramide - Nombre de faces : 5- Nombre d'arêtes : 8- Nombre de sommets : 5- Nature des faces : 1 carré et 4 triangles isocèles (ou 1 rectangle et 4 triangles isocèles)

un prisme - Nombre de faces : 5- Nombre d'arêtes : 9- Nombre de sommets : 6- Nature des faces : 2 triangles et 3 rectangles

un cylindre - Nombre de faces : 3- Nombre d'arêtes : 0- Nombre de sommets : 0

– Nature des faces :– 2 disques et 1 rectangle

Le patronPour construire un solide, il faut d'abord tracer un patron, regroupant les différentes faces du solide selon un agencement particulier.

Exemple :Le patron du cube Il est constitué de 6 carrés. Si l’on découpe et plie la figure selon les pointillés, on peut obtenir un cube.

Remarque :Il existe d'autres solutions pour dessiner le patron du cube...

VII - Réflexion autour des solidesQuelques repèresLes objets de travail- Les solides « sociaux » comme les emballages, certains meubles, certaines constructions qui existent dans l’espace réel et le monde physique uniquement.- Les « maquettes » des solides précédents qui en sont des représentations épurées de leurs propriétés qualitatives, comme par exemples des emballages recouverts de papier uni, des solides construits avec du matériel « polydron », des solides en bois….- Les objets mathématiques qui sont des objets théoriques caractérisés par un ensemble de propriétés mathématiques et qui concernent le monde de la pensée.L’objectif de l’enseignement des solides à l’école primaire est de permettre aux élèves de s’abstraire des propriétés qualitatives des objets sociaux et des maquettes qui les représentent pour ne considérer que les objets mathématiques caractérisés par un ensemble de propriétés géométriques.Par exemple, l’élève devra finalement être capable de désigner par « cube » tout polyèdre ayant 6 faces carrées.

La représentation des solidesLa représentation plane des solides est difficile en raison de la perte d’informations entre l’espace et le passage au plan et en raison du conflit entre ce qui est « vu » et ce qui est « su ».« Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille : l’idéal serait de pouvoir le représenter tel qu’il se présente habituellement au regard (préservation du voir), tout en conservant sur la représentation, l’ensemble de ses propriétés (préservation du savoir). Mais ceci est malheureusement impossible la plupart du temps, d’où conflit qui amène à opérer des choix, c’est-à-dire à éliminer sur la représentation certains aspects du voir et certains aspects du savoir »

Le patron est la principale représentation travaillée à l’école élémentaire.Un patron de solide est une surface plane d’un seul tenant qui permet de reconstruire le solide uniquement par pliage et sans chevauchement.

On peut envisager les approches suivantes :· Le passage de l’espace au plan qui permet de considérer les polygones comme faces des polyèdres.· Le passage du plan à l’espace qui permet de mettre en évidence les relations d’incidence : relations métriques entre les différentes faces (pour accoler deux faces, les côtés concernés doivent avoir même longueur) et nombre d’arêtes issues de chaque sommet.

Plier mentalement un patron pour obtenir le solide et déplier mentalement le solide pour en obtenir un patron implique le recours à ces relations d’incidence.Les programmesDans les programmes de l’école élémentaire au cycle 2Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides.Dans les tableaux proposés dans les I.O donnant des repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages par des équipes pédagogiques, il est suggéré :Au CP : reconnaître et nommer le cube et le pavé droit.Au CE1 : reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé...

Dans les programmes de l’école élémentaire au cycle 3Cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide.- reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ;- vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.

Les tableaux suivants proposés dans les I.O donnent des repères pour l’organisation de la progressivité des apprentissages par les équipes pédagogiques.CE2 CM1 CM2 "dans l’espace :"-Reconnaître, décrire, nommer un cube, un pavé droit.-Utiliser en situation le vocabulaire :face, arête, sommet.-Reconnaître, décrire, nommer les solides droits : cube, pavé, prisme.-Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.-Reconnaître, décrire, nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre,prisme.-Reconnaître ou compléter un patron d’un solide droit.

Dans les programmes actuels, sont donc mentionnés les solides suivants : cube, pavé droit, prismes droits, pyramide.Néanmoins, d’autres solides comme le cylindre, solides non droits peuvent être rencontrés par les élèves lors desactivités proposées. Il s’agit de les reconnaître et d’aborder leur représentation sous forme de patron.Le travail sur les solides à l’école élémentaire doit permettre aux élèves de se fabriquer des images mentales de ces solides pour pouvoir ensuite les mobiliser.A l’issue de l’école élémentaire, les élèves doivent être capables de reconnaître, nommer et décrire les solides usuels.Ce travail ne peut et ne doit pas se faire en utilisant des représentations des solides en perspective cavalière mais en manipulant des solides. On ne peut donc pas se contenter de faire des exercices sur un livre.Pour reconnaître ces solides, il va falloir les différencier parmi d’autres et en particulier parmi ceux qui ne comportent pas uniquement des faces carrées ou rectangulaires (par exemple des faces qui sont des triangles, éventuellement des parallélogrammes ou des disques).

On peut alors utiliser le matériel suivant :· Des prismes droits à base triangulaire de plusieurs sortes (les bases ne sont pas nécessairement des triangles équilatéraux mais peuvent être isocèles et aussi quelconques, les autres faces peuvent être des carrés ou des rectangles).· Des pyramides à base carrée dont les faces qui ne sont pas la base ne sont pas nécessairement des triangles équilatéraux.· Des pyramides à base triangulaire.· Des solides constitués de faces carrées, rectangulaires et triangulaires qui ne soient ni des prismes, ni des pyramides.A partir de ce lot de solides, il est possible de proposer plusieurs types de situations permettant aux élèves d’acquérir les compétences visées.Quelques exemples de situations pour mettre en évidence les propriétés mathématiques des solides

Au cycle 3, il s’agit principalement d’approcher les propriétés mathématiques des solides (l’élève devra être capable de caractériser un solide par le nombre de ses faces, de ses sommets, de ses arêtes mais aussi par la nature de ses faces) ;

Reconnaître un solide dans un lot : le jeu du portraitUn meneur de jeu (élève, groupe d’élèves ou enseignant) choisit un solide.Les autres devront trouver le solide choisi en posant, à tour de rôle, des questions fermées (auxquelles on ne peut répondre que par « oui » ou « non »). Ces questions doivent utiliser les caractéristiques géométriques des solides.Il est interdit d’utiliser leur nom (ex : on ne demande pas est-ce le cube ?).

Si une question est ambiguë ou mal formulée, le maître du jeu répond par « je ne peux pas répondre »Cette activité ne revêt pas du tout la même difficulté suivant que les solides sont mis à distance ou s’ils sont manipulables par les élèves. Dans ce cas, les élèves peuvent le tourner dans tous les sens pour compter les faces, sommets, arêtes, analyser les formes des faces. Ils peuvent mettre de côtés les solides éliminer.Des questions sans grand rapport avec la géométrie risquent d’apparaître (est-ce que ça ressemble à une maison, …) le rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à poser des questions qui portent sur les caractéristiques géométriques du solide. Il rectifiera au fur et à mesure le vocabulaire mal employé.

Le choix des solides doit se faire en adéquation avec l’objectif choisi. Par exemple, si on veut faire amener les élèves à prendre en compte la nature des faces, il est nécessaire de choisir un solide tel que les questions relatives au nombre de faces, de sommets et d’arêtes ne puissent pas permettre de le caractériser.

Cette activité doit permettre d’utiliser le vocabulaire des solides en situation de communication (seule situation qui donne du sens à l’utilisation d’un vocabulaire adéquat) et de travailler les images mentales des solides. Elle fait aussi travailler la logique car il faut agir en fonction des réponses aux questions (il est plus facile d’agir après une réponse « oui » qu’après un « non »).

Les patrons de solides pouvant constituer un support pour le jeu du portrait sont dans le fichier intitulé « patrons solides»

Décrire un solide pour le faire reconnaître ou pour le construire

Habiller un solidePar groupe de deux, les élèves disposent d’un solide et d’un lot de polygones parmi lesquels figurent les faces du solide. Dans un premier temps, il s’agit de choisir parmi ces polygones quels sont ceux qui recouvriront exactement les faces du solide. Dans un second temps, les binômes sont appariés et disposent d’un solide différent. Chacun d’entre eux devra décrire son solide pour que l’autre puisse « l’habiller ».

Construire un solideLes élèves doivent commander des polygones à partir d’un catalogue pour construire un solide identique à un solide donné caché dans un coin de la salle de classe. Les élèves doivent aller prendre des informations sur le solide, les noter sur un quart de feuille de papier puis utiliser ces informations pour consulter le catalogue et commander les polygones qui correspondent aux faces du solide. Pour cela ils disposent d’un bon de commande.Une fois le bon de commande rempli, on leur donne un lot de polygones pour qu’ils puissent

matérialiser leur commande. Du scotch est à leur disposition pour qu’ils construisent le solide à partir de leur commande.Une mise en commun est organisée autour des conditions qui permettent à un bon de commande de construire le solide.Un exemple de catalogue ainsi que des lots de polygones correspondants pouvant être découpés et utilisés lors de la commande sont donné dans les fichiers « catalogue solides » et « polygones pour les commandes »

Etablir une carte d’identité d’un solidePour terminer une séquence sur l’approche des propriétés des solides il est possible d’envisager la rédaction de carte d’identité de quelques solides. Cette carte pourrait être évolutive. Les mêmes choses n’y figureraient pas suivant le niveau de classe concerné (pas forcément de dessin en perspective en CE2).Elle peut contenir le nom du solide, une photo, le nombre de faces, d’arêtes et de sommets, la forme des faces. On peut y insérer des exemples d’objets qui ont cette forme, des dessins des différentes faces (les vues), puis lorsque la notion de patron a été introduite, un patron découpé et collé par une de ces faces. Si c’est sur une affiche, on peut y suspendre un solide du type concerné par l’affiche.Quelques exemples de situations permettant de passer du solide à un de ses patrons et réciproquement et donc d’approcher les relations d’incidence

Découvrir le patron d’un solideICI quelques patrons de soldesObjectif :Faire prendre conscience que n’importe quel assemblage de figures planes ne permet pas toujours de construire un polyèdre.Mettre en évidence les conditions qui vont permettre qu’une figure plane puisse permettre de construire un polyèdre : Introduire le patron d’un polyèdreUn solide est mis à la disposition d’un groupe de deux élèves (par exemple une pyramide à base carrée ou une pyramide à base rectangulaire) ainsi que des gabarits des faces du solide. Les élèves doivent réaliser un dessin leur permettant de construire le solide en utilisant les gabarits. La mise en commun permet une analyse des dessins et la mise en évidence de ceux qui permettent de reconstruire le solide.

Dans une deuxième phase, le solide est éloigné des élèves. Un des élèves du binôme doit aller chercher des informations à l’aide d’un quart de feuille de papier pour que le groupe puisse réaliser le dessin à partir de ces informations. Le message est transmis à un autre binôme qui doit construire le solide à partir d’un lot de polygones mis à disposition.Si les dessins d’un seul tenant n’apparaissent pas dans les messages, on peut, dans un deuxième temps, imposer cette contrainte.

On peut donner aux élèves une des définitions suivantes d’un patron de polyèdre :- Un patron est un développement à plat du polyèdre en un seul morceau qui permet de reconstruire le polyèdre uniquement par pliage sans recouvrement.- Un patron d’un polyèdre est une figure en un seul morceau où toutes les faces du polyèdre sont représentées permettant après découpage du contour et pliage de reconstruire le polyèdre.

Représenter un cube en vue de le faire reproduire.Objectifs :Découvrir le patron du cubeApprocher le fait qu’un cube a plusieurs patronsDans la première phase, les élèves travaillent par groupe de deux. Chaque binôme dispose d’un cube coloré, d’une feuille de papier et de crayons de couleur. Il est associé à un autre binôme qui dispose d’un cube coloré mais différent. Chaque binôme doit produire un message qui sera donné

au binôme associé afin que ce dernier puisse reconstituer le cube de leur camarade avec les mêmes couleurs aux mêmes endroits. Le message ne doit contenir que du dessin (avec les couleurs). Il est interdit d’utiliser des mots, des nombres, des symboles tels que desflèches ou autres.

Le cube doit bien sûr être gardé à l’écart des regards indiscrets.Dans la deuxième phase, les messages sont échangés et les cubes réalisés à partir de carrés de couleur en carton et de ruban adhésif.La validation se fera par comparaison avec l’original conservé par le groupe rédacteur.Il est fort probable que les élèves ne pensent pas au patron, surtout si c’est une séance de découverte du patron.Mais ce n’est pas grave. Le but est de leur montrer que cette représentation est la meilleure solution au problème.Dans le cas ou personne ne pense au patron, l’enseignant le proposera à la fin de la mise en commun. Il proposera d’ouvrir les solides.Il faut prévoir une séance pour donner aux élèves la possibilité d’expérimenter cette solution. L’enseignant peut alors proposer à toute la classe le même solide, les élèves dessinent leur patron, on fabrique les solides d’après les patrons (original caché à ce moment) puis on compare avec l’original.Le cube donné a été réalisé avec du papier. Il contient des carrés blancs (les patrons des deux types de cube sont donnés ) .Ces faces blanches rendent plus difficiles les représentations autres que le patron. Il faut prévoir plusieurs faces d’une même couleur pour la même raison.

Un matériel du type Polydron, permet le dépliage et est donc très favorable à l’étude des patrons. Il peut servir pour valider des exercices de reconnaissance de patrons trouvés dans les manuels.Cette situation peut être proposée avec d’autres solides que le cube.D’autres situations avec les mêmes objectifs sont proposées dans l’ouvrage ERMEL, Apprentissagesgéométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 : « Représenter un solide » et « Assemblons les faces ».Il s’agit alors ensuite d’approfondir ses connaissances sur les patrons et utiliser les relations d’incidence

Des pentaminos (assemblages de cinq carrés) aux patrons du cubeObjectifs :- mettre en évidence le fait qu’un cube a plusieurs patrons- mettre en évidence les relations d’incidences entre les faces d’un cubeIl s’agit de dessiner le carré manquant pour qu’un pentamino (assemblage de cinq carrés, voir annexe 3) puisse devenir le patron d’un cube.Les élèves disposent d’une feuille sur laquelle sont dessinés un ou plusieurs pentaminos .Il doivent dessiner, enutilisant un stylo de couleur verte, le carré qui manque pour que le pentamino devienne le patron d’un cube.Ils n’ont pas le droit de découper l’assemblage.Une fois leur hypothèse matérialisée, ils peuvent la vérifier en utilisant un matériel de type polydron constitué de cinq carrés de même couleur permettant de matérialiser le pentamino et d’un carré d’une autre couleur pour matérialiser le carré qu’ils ont rajouté ou alors en utilisant des carrés de couleur découpés dans du carton.

La situation peut être prolongée par la recherche de tous les patrons du cube.Il y a 11 patrons différents du cube (non superposables) :

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/cube_patrons.htm ICI quelques patrons de soldesDonner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, (cet ouvrage n’est plus édité)ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 HatierTravaux géométriques cycle 3 IREM de Lille CRDP du Nord – Pas- de- Calais, 2000http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm

Annexe 1 Le jeu du portrait avec des objets géométriques

Le jeu du portrait met en oeuvre la description d’un objet géométrique et à cette occasion à la mise en place et à l’utilisation d’un vocabulaire géométrique pour désigner l’objet et ses propriétés.Il s’agit de poser des questions pour reconnaître un objet géométrique choisi parmi un ensemble d’objets donnés.Les réponses aux questions ne peuvent être que « oui » ou « non ».

Le choix des objets géométriques et de la consigneIls doivent être choisis en adéquation avec les objectifs que l’on s’est fixé :Par exemple en CP, si l’objectif est la reconnaissance des figures géométriques telles que le carré, le triangle, le rectangle, le disque et la désignation correcte de ces dernières, alors les objets seront choisis parmi ces derniers et la consigne donnée sera la suivante : vous allez me poser des questions pour deviner quelle figure géométrique j’ai choisie. La consigne est ouverte et on n’interdit pas aux élèves d’utiliser le nom des figures. Mais si l’objectif est d’amener les élèves à utiliser les propriétés de ces figures, ici le nombre des côtés, des sommets ouencore l’isométrie des côtés (côtés « pareils », égaux) alors dans la consigne on interdit les questions dans lesquelles intervient le nom des figures.La consigne doit être précise, sans ambiguïté. Elle ne doit pas être modifiée au cours du jeu. Par exemple, en CM1 si l’objectif est de faire apparaître les différences entre le carré, le losange et le rectangle, la consigne pourra être la suivante : vous allez poser des questions pour deviner quelle est la figure que j’ai choisie. Vous poserez des questions sur le nombre d’angles droits et sur le nombre de côtés de même longueur. Vous n’avez pas le droit de nommer les figures.Dans ce cas, les figures choisies seront uniquement des quadrilatères ce qui empêchera les questions relatives au nombre de côtés.Il est bien sûr possible de jouer au jeu du portrait avec des polyèdres. On pourra alors poser des questions sur la nature des faces, le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d’arêtes.

La vérification des propriétésAu cycle 2, les propriétés seront reconnues de manière perceptive, bien qu’il soit possible à la fin du CE1, de faire utiliser le double décimètre et un gabarit d’angle droit pour les vérifier. On le fera de manière systématique au CE2. On pourra aussi utiliser du papier quadrillé pour dessiner les figures.Au CM1 et au CM2, les élèves ne seront plus autorisés à reconnaître les propriétés des figures de manière perceptive. Ils devront vérifier la présence des propriétés à l’aide des outils usuels (gabarit ou équerre pour vérifier la présence d’angles droits, ou de segments perpendiculaires, compas pour vérifier l’isométrie éventuelle de longueurs). Pour cela, une fois la consigne donnée, ils devront analyser les figures données pour savoir quelles propriétés elles possèdent. Par exemple, sur un jeu de portrait portant sur les quadrilatères, si la consigne est de poser des questions sur la présence de côtés égaux et d’angles droits, les élèves devront vérifier, avec les outils adéquats, la présence éventuelle de ces propriétés sur les figures. Cela peut être une bonne occasion pour coder les propriétés présentes dans les figures. Les élèves peuvent, avant de commencer à poser les questions, analyser chacune des figures en mettant en évidence les propriétés sur lesquelles doivent porter les questions, puis trouver un moyen pour s’en rappeler. Le codage ainsi introduit permet alors de lire rapidement les propriétés

sur les figures et de ne pas les vérifier à chaque fois. Cela permet de poser des questions plus rapidement et plus efficacement.

La manière de gérer les questionsIl semble important de noter les questions et les réponses apportées afin de permettre aux élèves de mieux mémoriser les informations que les réponses apportent. En effet, le jeu du portrait permet aussi d’apprendre aux élèves à coordonner des informations et à tenir compte d’une réponse négative. En effet, bien souvent, une réponse négative correspond, pour les élèves, à l’absence d’information et dans ce cas ils ne tiennent pas compte de la réponse. Par exemple, si la réponse à la question « la figure a-t-elle trois côtés ? » est « non », un élèvepourra ensuite poser la question suivante : « la figure a-t-elle trois sommets ? ».Le fait de noter les questions et les réponses, permet aussi de mieux cadrer les apprentissages en jeu, d’éviter que le jeu ne devienne qu’une partie de devinettes. Il faut que les élèves puissent prendre conscience qu’à travers le jeu ils font de la géométrie, qu’ils perfectionnent leurs connaissances sur les figures géométriques.Il vaut mieux jouer moins longtemps et prendre plus de temps pour gérer chaque jeu.

Les difficultés à prendre en compte

La difficulté à poser des questionsQuand on joue au jeu du portrait avec des élèves de CP, voire avec certains élèves de CE1, il faut prendre en compte leur difficulté à poser des questions. Généralement, ils ne savent pas le faire. Il faut alors le leur apprendre.La difficulté à éliminer les figures à chaque information donnée Il est nécessaire aussi d’apprendre aux élèves à organiser leur recherche et à éliminer les figures qui ne conviennent pas après chaque réponse. C’est pour cette raison, qu’il est plus facile de gérer un jeu de portrait avec des petites affiches sur lesquelles sont dessinées les figures et que les élèves peuvent retourner ou écarter. Si on utilise une feuille sur laquelle sont dessinées les figures, penser à en prévoir plusieurs ou prévoir une feuille de gestion du jeu sur laquelle les élèves pourront à chaque réponse noter les figures qu’ils éliminent ou qu’ils gardent.

La difficulté à prendre en compte une réponse négativeVoir ci-dessus. Il est alors nécessaire de faire reformuler la réponse autrement de manière à ce qu’elle soit prise en compte.

La difficulté à coordonner des informationsD’où la nécessité de noter question et réponse et d’aider les élèves à prendre en compte l’ensemble des informations.

La difficulté à utiliser de manière correcte certaines questions :Par exemple si à la question « A-t-il deux angles droits ? », on répond « oui », cela ne veut pas dire que la figure a seulement deux angles droits, cela veut dire qu’elle en a au moins deux. Il est donc possible d’amener les élèves à affiner leur question en introduisant les expressions « au moins », « seulement »…

Quelques pistes pour prolonger l’activité « jeu du portrait »Il est alors possible, dès le CM1, de proposer aux élèves de résoudre des énigmes géométriques leur permettant de retrouver un polygone parmi plusieurs dessinés sur une feuille :Je suis un quadrilatère Tous mes côtés ont le même longueur Je n’ai pas d’angle droit J’ai seulement deux angles droitsTous mes côtés ont la même longueur. Qui suis-je ?

Les énigmes peuvent avoir plusieurs solutions.Dans un deuxième temps, on peut demander aux élèves d’écrire des énigmes pour leur camarade. Ils seront alors amenés à utiliser de manière précise le vocabulaire géométrique introduit.Il est aussi possible d’établir avec les élèves des cartes d’identités des figures étudiées. On ne donnera pas de définition de ces figures mais la carte d’identité déclinera toutes les propriétés de la figure même si elles sont redondantes pour la définir. Exemple : Le rectangleQuadrilatère 4 angles droits 2 côtés opposés égaux alors qu’on sait qu’une condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un rectangle est qu’il ait trois angles droits.

La notion de condition suffisante ne relève pas de l’école élémentaire. On peut juste approcher cette notion au CM2 en faisant construire aux élèves un quadrilatère qui a trois angles droits et leur faire constater que c’est bien un rectangle parce qu’il possède les propriétés écrites sur la carte d’identité.La carte d’identité peut s’enrichir au fur et à mesure qu’on approfondit ses connaissances sur les figures, par

exemple en introduisant les propriétés sur les diagonales ou la présence éventuelle d’axes de symétrie.

VIII. Etude des solides à l'école primairehttp://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/sommaire-primaire/solides

IntroductionPour l'étude des solides, il faut un stock important de solides de toutes formes. Il y a un gros travail de description à faire, il faut donc des formes diverses pour pouvoir comparer les éléments caractéristiques (surtout nombre et forme des faces).

Dans les programmes sont étudiés principalement les prismes (le cube et le pavé sont des prismes), il faut néanmoins présenter des pyramides, des cônes...aux enfants.Il faudra prendre le temps de distinguer les polyèdres, des non polyèdres. Ceux qui ont des faces plates (polyèdres) et ceux qui ont des faces rondes (non polyèdres), ceux qui ne peuvent pas rouler et ceux qui peuvent rouler.

Enfin, jusqu'en CM2, où l'on pourra construire la notion, il est hors de question de parler ou de proposer des perspectives cavalières des solides.http://manuel.sesamath.net/index.php?page=complements_6e&chapitre=M3

Les programmes 2008CP : - reconnaître et nommer le cube et le pavé droit.CE1 : - reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé… CE2 : - reconnaître, décrire et nommer un cube, un pavé droit. - utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. CM1 : - reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. - reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé.CM2 : - reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - reconnaître ou compléter un patron de solide droit Commentaires: En CP, c'est une reconnaissance globale du cube et du pavé.En CE1, on parle du nombre et de la forme des faces.En CE2, le sommet et l'arête sont introduits.En CM, le patron est introduit ainsi que le cylindre en CM2.

Outilshttp://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/solides/6/accueil6.htm03_Representer_un_solide.doclecon-solides-cm2-doc.rtf Situationssolides.pdfsolide_cache.pdfSolides.pdfsolidesprogressions.pdfcubeapeindre.pdfhttp://matoumatheux.ac-rennes.fr/geom/solides/SEGPA2/accueilS2.htmICI quelques patrons de soldes

En classe CP http://www.sitespe.fr/cp/mathematiques/geometrie/solides_et_patrons.html

solidesCP.pdf

CE1/CE2Découverte des solides.On dispose sur une table, bien en vue des élèves, des solides de toutes formes. On demande si des élèves reconnaissent des solides: le cube, la pyramide et la boule peut être nommés.On prendra le temps de distinguer les polyèdres des non-polyèdres (ceux qui roulent et ceux qui ne roulent pas). solidesCE1.pdf

http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/sommaire-primaire/solides

Jeu du portrait.Chaque solide est désigné par une lettre. L'enseignant choisi un solide et les élèves posent des questions, sans nommer la lettre ou le nom du solide, auxquelles le maître ne répond que par oui ou non.Après chaque réponse un élève élimine, sous le contrôle des autres, les solides qui ne conviennent pas, en expliquant la raison de l'élimination.Le jeu sera repris plusieurs fois, uniquement sur les polyèdres, en binôme, avec des exigences de plus en plus fortes sur le vocabulaire. En CE2, il sera interdit de poser des questions sur la formes ou le nombre des faces afin d'être dans l'obligation de porter le regard sur les arêtes et les sommets.D'autres formes des description consistent à faire des suites logiques: on aligne les solides avec l'obligation d'un point commun à chaque nouveau solide avec le précédent; à jouer la l'intrus: un solide est éliminé à chaque fois en indiquant ce qui le différencie...

Suite logique http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/sommaire-primaire/solides

Trouver l'intrus

Construction de patrons Un patron est une surface plane qui permet uniquement par pliage et sans recouvrement de construire le solide.

Construction de solides avec des gabarits des faces (carton, polydrons). Les enfants ont un solide devant eux et doivent réaliser le même en collant des faces (cartonnées/plastifiées, plasitifiées c'est beaucoup mieux pour coller décoller, pour servir de gabarit par la suite).

Les solides réalisés ici, le sont avec des carrés de 8cm de côtés, des rectangles de 8 cm sur 12 cm, des

triangles équilatéraux de 8 cm de côtés, des triangles isocèles de 8 cm de base et 10 cm de côtés et des hexagones de 8 cm de côtés.Ils réalisent plusieurs solides (plusieurs séances)...les productions sont décrites...puis un jour, le maître prend un solide le développe pour montrer ce qu'est un patron, ce jour là les enfants vont faire de même.

Construction de patron avec des gabarits des faces. Les enfants ont un solide devant eux (par forcément tous le même) et doivent en réaliser un patron en traçant les faces avec le contour des gabarits des faces. Les élèves peuvent avoir le bon nombre de face à la première séance, puis une seule face de chaque forme par la suite (ces aux élèves de piocher dans un réservoir de forme les gabarit donc ils auront besoin). La validation se fait par découpage et pliage.

La situation est reprise avec d'autres solides,puis tous le même solide pour constater de la multiplicité des patrons d'un solide.

Construction de squelettes Les enfants ont un solide devant eux et doivent réaliser le même en assemblant des pailles avec des

"rotules" (j'ai pris cette très bonne idée chez Mr J-F GRELIER). J'ai mis en fichier joint les rotules à découper (c'est un peu long mais ça vaut vraiment la même, on obtient des solides léger et résistant donc manipulable). http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/sommaire-primaire/solides

Ils réalisent plusieurs solides (plusieurs séances)...les productions sont décrites, bien évidemment ce sont les termes d'arête et de sommet ainsi que leurs nombres qui sont ici mis en avant.

En CM2 seulement, les enfants dessinent leur réalisation en pailles, une mise en commun permet de

définir des règles de tracé : - les arêtes qui sont situées derrière, en arrière plan, cachées sont dessinées en pointillées. - les angles droits des faces ne sont pas dessinés (quand on regard le squelette, il n'y a pas tous les angles droits) sauf pour la face de devant si on la regarde bien devant. - les arêtes parallèles sont dessinées parallèles.http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/sommaire-primaire/solides

Photo d'un squelette dont l'ombre est projetée sur une feuille

http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/sommaire-primaire/solides Ce sont les règles de la perspective cavalière.Ces dessins sont comparés aux photos des solides prises sous le même angle de vue.Et pour donner toutes les clés de la lecture de la perspective, on pourra décrire quelques tableaux classiques de la renaissance, les comparer avec des tableaux antérieurs, et montrer qu'il utilise une perspective en point de fuite...

Fiche d'identitéEn synthèse de ce travail sur les solides et en guise de trace écrite, on fait une affiche qui sert de fiche d'identité de certains solides (ceux du programme et d'autres: la pyramide au moins).Sur cette affiche il y a :- le nom du solide.- sa photo.- sa description: nombre et forme des faces / nombre de sommets, d'arêtes.- un patron.- son squelette.- sa perspective cavalière.

En CE1 / CE2, on a les trois premiers points; en CM1 les quatre premiers points et enfin en CM2 l'ensemble des points.

Solides de Thérèse Eveillauhttp://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/

Clique sur les liens ci-dessous :

Des patrons de cubes Pyramides Octaèdre

Solides de Platon Solides encreurs Cylindres

Le cube diamanté Flexagone magique Kaléidocycles

Le cône et le cylindre La cuve Le Vernier

La mouche et l'araignée Nos casseroles Escalier

3 Cercles pour un cube Johnson la suite

Date de création : 04/06/2011 : 18:11