Sommaire de la séquence 7 - data.over-blog-kiwi.comdata.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201304/ob_176424_al4ma61tewb... · Exercice 8 Ma boîte à outils Rends-toi à la fin de ton

Sommaire de la séquence 7

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219Je découvre les quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Je découvre le cerf-volant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229J’étudie le losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234J’étudie le rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Je redécouvre le carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Je reconnais des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Je construis des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Je rédige des démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

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ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits.©Cned-2009

Objectifs

Connaître .le .vocabulaire .des .quadrilatères .: .la .notion .de .sommet, .d’angles, . . . .

Connaître .les .quatre .quadrilatères .suivants .: .le .cerf-volant, .le .losange, . .le .rectangle, .le .carré .

. .Savoir .manier .des .définitions, .des .propriétés .et .des .méthodes .pour .reconnaître .certains .quadrilatères .

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© Cned, Mathématiques 6e — 5

Séquence 7séance 1 —

Séance 1Je découvre les quadrilatères

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 7. L’activité de la séquence s’appelle « Ma Boîte à Outils » : elle consiste à remplir progressivement les cartes des pages de découpages intitulées « Ma Boîte à Outils » qui se trouvent à la fin de ce livret. Commence simplement par les regarder. Tu les complèteras plus tard, au fur et à mesure. Tu les découperas et les colleras lorsque je te le dirai.

Maintenant, effectue le test ci-dessous.

je révise les acquis de l’école

1- Sur la figure ci-dessous, un carré est représenté en :

®orange®vert®jaune®bleu

�- Combien de carrés comptes-tu ci-dessous ?

®1®2®3®4

�- Sur la figure ci-dessous, un rectangle est représenté en :

®vert®bleu®orange®rose

4- Deux rectangles sont représentés ci-dessous :

®vrai®faux


Séquence 7 — séance 1

— © Cned, Mathématiques 6e6

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 1

figure 1 figure 2

figure 3 figure 4

figure 5 figure 6

figure 8figure 7

Parmi les huit figures ci-dessus, lesquelles ont à la fois quatre côtés, quatre sommets et quatre angles ?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................




Exercice 2

Complète les phrases suivantes :

K

M

R

A

1- Les sommets du quadrilatère sont les points

....... , ....... , ....... et ....... .

�- Ses côtés sont les segments .............. ,

.............. , .............. et .............. .

�- Ses angles sont .............. , .............. ,

.............. et ..............

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

e retiens Définition : un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés, quatre sommets, et quatre angles.

Ici : A

B

C

D

Les quatre sommets sont les points A, B, C et D. Les quatre côtés sont les segments [AB], [BC], [CD] et [DA].Les côtés [AB] et [CD] sont opposés. Les côtés [BC] et [DA] sont opposés.

Les angles sont ABC∑ , BCD∑ , CDA∑ et DAB∑ .

Les angles ABC∑ et CDA∑ sont opposés.

Les angles BCD∑ et DAB∑ sont opposés.

j

Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.


Exercice 3

K

R E

G T

OU

V

1- Colorie les côtés [KG] et [TO] en bleu.

Le côté opposé à [KG] est ................ . Le côté opposé à [TO] est ................ Colorie-les en vert.

�- Colorie les angles K RE∑ et OUV∑ en orange.

L’angle opposé à K RE∑ est ................ . L’angle opposé à OUV∑ est ................ . Colorie-les en rouge.

Exercice 4

P

V

R

KVoici un jardin dont les bordures constituent un quadrilatère. Une coccinelle souhaite faire le tour de ce jardin.1- Elle part du point K. Elle parcourt le segment [KV].

Arrivée au point V, elle continue son parcours exactement sur les segments [VR] puis [RP], puis [PK].

On peut résumer son chemin de la façon suivante :

K Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë KSi elle avait fait le tour toujours en partant de K mais dans l’autre sens, son chemin aurait été :

K Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë K�- Quelles sont les six autres façons possibles de faire le tour de ce jardin ?

..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....

..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....

..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....�- Les trajets suivants permettent-ils de faire le tour du jardin ? (OUI ou NON)

K Ë R Ë V Ë P Ë K .....................

K Ë P Ë V Ë R Ë K .....................

4- Pour conclure, combien y a-t-il au total de façons différentes permettant de faire le tour de ce jardin ? ................................ .

Lis attentivement le paragraphe ci-après.




e retiens

A

B

C

DUn quadrilatère peut se nommer de plusieurs façons :

Ici, le quadrilatère se nomme ABCD ou encore BCDA ou CDAB ou DABC ou ADCB ou DCBA ou CBAD ou BADC.

Les sommets A et B, par exemple, qui sont les extrémités d’un même côté, sont consécutifs.

Les sommets A et C, par exemple, ne sont pas consécutifs.

Lorsque des sommets ne sont pas consécutifs, on dit qu’ils sont opposés.

A et C sont donc opposés.

j

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 5

K M

R

A

Écris tous les noms possibles du quadrilatère ci-dessous :

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

........................................

Avant d’effectuer l’exercice ci-dessous, rappelons que les diagonales d’un quadrilatère sont les segments qui joignent deux sommets opposés. [KM] et [RA] sont donc les diagonales du quadrilatère AKRM précédent. (Trace-les.)




Exercice 6

Tracer les diagonales des deux quadrilatères ci-dessous.

K M

R

T

SQ

L

A


e retiens

AC

D

B

Définition : les diagonales d’un quadrilatère sont les deux segments dont les extrémités sont deux sommets non consécutifs.

Ici, les deux diagonales du quadrilatère ABCD sont les segments [AC] et [BD].

Remarque : Parfois, on appelle aussi diagonales du quadrilatère ABCD les droites (AC) et (BD).

j

Séance �Je découvre le cerf-volant

Nous allons maintenant découvrir un type de quadrilatère un peu particulier. Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.




Exercice 7

Construis un quadrilatère A’B’C’D’ de mêmes

A’ x

mesures que ABCD, mais tel que : B'A'D'∑ = 30°. A

B

C

D

2,1 cm

4,4

cm


e retiens

Définition d’un cerf-volant : un cerf-volant est un quadrilatère dont deux côtés consécutifs ont la même longueur ainsi que les deux autres côtés.

E

DF

G

Ici, le quadrilatère EDFG est un cerf-volant : les côtés consécutifs [ED] et [EG] ont la même longueur ainsi que les côtés [FG] et [FD].

Le quadrilatère E’D’F’G’ est

E'

D'

F'G'

aussi un cerf-volant : les côtés consécutifs [E’D’] et [F’D’] ont la même longueur ainsi que les côtés [F’G’] et [G’E’].

j

Effectue l’exercice ci-après.




Exercice 8 Ma boîte à outils

Rends-toi à la fin de ton livret aux pages intitulées « Ma Boîte à Outils ». Retrouve la carte qui correspond à la définition du cerf-volant et complète-la. Tu coderas également la figure de la carte.

Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 9

Voici ci-contre un cerf-volant KLMN tel que : KL = KN et ML = MN.

1- Place les sommets K, L, M et N sur la figure. Code l’égalité de longueur KL = KN en vert sur la figure. Code l’égalité de longueur ML = MN en bleu sur la figure.

�- Complète :

Comme ........ = ........ , le point K est sur ............................................... du segment [LN].

Comme ........ = ........ , le point M est sur ............................................... du segment [LN].

La droite (KM) est donc la médiatrice du segment ..................

Trace le segment [LN] et la droite (KM).

�- Soit I le point d’intersection des diagonales (KM) et (LN) du cerf-volant. Comme la droite (KM) est la médiatrice du segment .................. , la diagonale (KM) coupe la diagonale [LN] en son ....................... , et les diagonales sont ....................... .

Code sur la figure ce que tu viens de démontrer.

4- Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) :

• K a pour symétrique .........

• M a pour symétrique .........

• L a pour symétrique .........

• N a pour symétrique .........

La droite (KM) est donc un ........................................ du cerf-volant KLMN.

5- Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) :

L’angle K LM∑ a pour symétrique ................... .

Les angles ................ et ................ sont donc égaux.

Code-le sur la figure.



— © Cned, Mathématiques 6e1�


e retiens Propriétés d’un cerf-volant :

Si un quadrilatère est un cerf-volant, alors :

• une de ses diagonales est la médiatrice de l’autre

• il admet un axe de symétrie : la diagonale qui est la médiatrice de l’autre.

• il possède deux angles opposés de même mesure.

j

Effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 10 Ma Boîte à Outils – suite –

1- Retrouve la carte qui correspond à la propriété des diagonales du cerf-volant, complète-la et code la figure.

�- Retrouve la carte qui correspond à l’axe de symétrie du cerf-volant, complète-la, trace l’axe et code la figure.

�- Retrouve la carte qui correspond aux angles opposés d’un cerf-volant, complète-la et code la figure.

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 11 A

B

C

D

ELe quadrilatère ABCD est un cerf-volant. Démontre que le triangle ADE est équilatéral.


© Cned, Mathématiques 6e — 1�



Exercice 12

1- Trace un segment [AB] de 4 cm. Trace la droite (d), médiatrice du segment [AB]. La droite (d) coupe le segment [AB] au point K. Marque un point E sur la droite (d).

a) Marque un point F de la droite (d) qui n’appartient pas à la demi-droite [KE).

b) Marque un autre point de la demi-droite [KE) et nomme-le G.

�- Démontre que EA = EB.

�- Démontre que FA = FB.

4- Démontre que GA = GB.

5- Quelle est la nature du quadrilatère AFBE ? Justifie ta réponse.

Quelle est la nature du quadrilatère AGBE ? Justifie ta réponse.


e retiens Je reconnais un cerf-volant

A

D

C

B Propriété : si un quadrilatère a une diagonale qui est la médiatrice de l’autre diagonale, alors ce quadrilatère est un cerf-volant.

Ici, la diagonale (AC) est la médiatrice de la diagonale [BD] donc on peut en déduire que ABCD est un cerf-volant.

j



Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un cerf-volant, complète-la et code la figure.

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 14

K

J

L

M

On se propose dans cet exercice de déterminer la nature du quadrilatère JKLM de la figure codée ci-contre. Tu justifieras soigneusement toutes tes réponses.

1- Que représente la droite (KM) pour le segment [JL] ?

�- Quelle est la nature du quadrilatère JKLM ?




Séance �J’étudie le losange

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 15

1- Trace sur du papier calque un segment [AB] de 6,5 cm de longueur. Trace le cercle Ω de centre A et de rayon 4 cm. Trace le cercle Ω’ de centre B et de rayon 4 cm. La lettre grecque Ω se lit « oméga ».

�- Les deux cercles se coupent aux points M et N. Trace le quadrilatère AMBN. Démontre que ce quadrilatère est un cerf-volant.

�- a) Quelle est la particularité de ce cerf-volant ?

b) Te souviens-tu de son nom ?


e retiens Définition d’un losange : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Ici, ABCD et A’B’C’D’ sont deux losanges : leurs quatre côtés mesurent tous 3 cm.

On a : AB = BC = CD = DA = 3 cm A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ = 3 cm

A

B

C

D

B'

A'

C'

D'

On remarque ci-dessus que des losanges peuvent avoir des côtés de même longueur et ne pas être superposables.

j






Retrouve la carte qui correspond à la définition du losange, complète-la et code-la.

Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 17

1- Clément affirme : « Un losange est un cerf-volant ». A-t-il raison ? Justifie ta réponse.

�- Samia affirme : « un cerf-volant est un losange ». A-t-elle raison ? (Réponds uniquement « Oui Samia a raison » ou bien « Non, Samia a tort » mais justifie ta réponse en traçant une figure).

Tu traceras les figures demandées dans les exercices 18 et 19 suivants sur une feuille de papier calque. Après les avoir corrigées par superposition sur le corrigé, tu les colleras dans ton cahier d’exercices.

Exercice 18

Construis un losange RSTU tel que RT = 6 cm et RS = 5 cm. Commence par tracer au brouillon une figure à main levée codée.

Exercice 19

1- Trace un triangle DEF équilatéral de 4 cm de côté.�- Construis ensuite le point G tel le triangle FEG soit également équilatéral.�- Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ? Justifie ta réponse.

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 20

E

D

F

G

1- Trace les diagonales (EF) et (GD) du losange EDFG ci-contre respectivement en noir et en bleu.




�- Complète les phrases suivantes :

Comme EG = ED et que FG = FD on déduit que EDFG est un ......................

Comme GE = GF et que DE = DF on en déduit que EDFG est un ......................

donc

donc

• (EF) est un axe de ................... • (GD) est un ...... de ...............

• Les angles ..................... E DF∑ et E GF∑ sont ..................


• Les angles opposés .........∑ et .........

∑ sont égaux.


• La diagonale (EF) est la ........................ de la diagonale [GD],

c’est-à-dire : la diagonale (EF) coupe la ............... [GD] en son ............ et perpendiculairement.

Code l’angle droit et les distances égales.

• La .................. (GD) est la .................. de la ..................EF],

c’est-à-dire : la .................. (GD) coupe la diagonale [.......] en son ...........................et ...............................

Code les distances égales.

• Si un quadrilatère est un .............................................. alors ses diagonales sont ......................

• Si un quadrilatère est un losange alors ses ..................... ont le même ....................


e retiens Propriétés :

Si un quadrilatère est un losange alors :

D

A

B

C

• il admet deux axes de symétrie : ses diagonales

• ses diagonales sont perpendiculaires

• ses diagonales ont le même milieu

• chaque diagonale est la médiatrice de l’autre

• ses angles opposés sont égaux.

j





1- Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du losange, complète-la et code-la.

�- Retrouve les deux cartes qui correspondent aux propriétés des diagonales d’un losange, complète-les et code-les.

�- Retrouve la carte qui correspond aux angles opposés d’un losange, complète-la et code-la.


Exercice 22

Figure 1 Figure �

Figure � Figure 4

Figure 5





1- Romain affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est

un losange ».

Es-tu d’accord ? ................... (oui / non). En effet, la figure n° ............. permet de dire que Romain a ................... (tort / raison).

�- Damien affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un losange ».

Es-tu d’accord ? ................... (oui / non). En effet, la figure n° ............. permet de dire que Damien a ................... (tort / raison).

�- Maxime pense que Romain et Damien devraient s’associer et réfléchir ensemble pour trouver dans quel cas on est sûr d’obtenir un losange.

Es-tu d’accord avec Maxime ? ................... (oui / non). En effet, d’après les figures n°.......... et n° .......... on constate que : « dès que les diagonales sont ............................ et ont le même ......................, le quadrilatère est un ........................... . » On admettra cette propriété (elle est vraie mais on ne le démontrera pas ici).


e retiens Je reconnais un losange

D

A

B

C

Propriété :

Si un quadrilatère a ses diagonales qui :

• ont le même milieu et • sont perpendiculaires,

alors ce quadrilatère est un losange.

Ici, d’après le codage, les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et leur point commun est le milieu de chacune d’elles, donc on peut en déduire que ABCD est un losange.

j



Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un losange, complète-la et code-la.

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.



— © Cned, Mathématiques 6e�0

Exercice 24 Les segments [AB] et [CD] sont les diagonales d’un losange.

On a : AB = 5 cm et BAC∑ = 48 °.

1- Trace une figure à main levée.

�- Le programme de construction ci dessous est dans le désordre. Dans quel ordre faut-il écrire les étiquettes pour pouvoir construire le losange ?

Étiquette 1 Je trace (d) la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par M.

Étiquette � Je place le milieu M du segment [AB] à 2,5 cm de A sur le segment [AB].

Étiquette � Je construis l’angle BAx∑ de mesure 48°.

Étiquette 4 Je justifie que j’obtiens un losange : comme les diagonales [AB] et [CD] sont perpendiculaire et ont le même milieu, je peux affirmer que le quadrilatère ACBD est un losange.

Étiquette 5 Le point C est le point d’intersection de [Ax) et de (d).

Étiquette 6 Je trace un segment [AB] de 5 cm de longueur.

Étiquette 7 Je reporte à l’aide d’un compas un arc de cercle de centre M et de rayon MC. Cet arc coupe la droite (d) en D.

�- Construis ce losange sur une feuille de papier calque que tu colleras dans ton cahier d’exercices après avoir corrigé par superposition sur le corrigé.

Séance 4J’étudie le rectangle

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. Tu construiras la figure sur du papier calque et tu la colleras sur ton cahier d’exercice une fois que tu l’auras vérifiée.

Exercice 25

Reproduis le quadrilatère CVBN représenté ci-contre à main levée. C N

V B

5 cm

3 cm



© Cned, Mathématiques 6e — �1


e retiens

A

D

B

C

Définition d’un rectangle : un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Ici, ABCD est un rectangle :

∑ = 90°.ABC = BCD = CDA = DAB ∑ ∑∑

j



Retrouve la carte qui correspond à la définition du rectangle, complète-la puis code-la.


Exercice 27 D H

F G

Voici un quadrilatère DFGH qui possède trois angles droits.

Complète les phrases suivantes :

1- Trace en bleu ci-contre les droites (DH) et (FG). Trace en rouge la droite (DF).

D H

F G

Les droites (DH) et (FG) sont toutes les deux ............................ à la droite (DF). Les droites (DH) et (FG) sont donc ................................ .

�- Trace en bleu ci-contre les droites (DH) et (FG). Trace en rouge la droite (HG).

On vient de démontrer que les droites (DH) et (FG) D H

F G

sont ................................ .

La droite (GH) est ......................... à la droite (DH), elle est donc ......................... à la droite (FG). Code la figure.

�- Le quadrilatère DFGH possède donc en fait ........ angles droits. Par définition, c’est donc un ................................................. .

4- On a démontré dans le �- que ses côtés opposés [DH] et [FG] sont .............................. . De même, les côtés opposés [DF] et [HG] sont ...................................... parce qu’ils sont tous les deux ...................................... au côté [DH].



— © Cned, Mathématiques 6e��

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis effectue l’exercice suivant.

e retiens Je reconnais un rectangle Propriété : Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c’est un rectangle.

Ici : ∑ = 90°.DAB = ABC = BCD ∑ ∑

On peut donc déduire que ABCD est un rectangle.

Par conséquent : ∑ = 90°.ADC

j

Exercice 28Retrouve la carte qui correspond à cette façon de reconnaître un rectangle. Complète-la et code-la.

Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.

Exercice 29

K (d)

(d')

N

L M

Reproduis sur une feuille de papier calque la figure précédente et plie le papier calque suivant la droite (d) puis recommence suivant (d’), puis suivant (LN), puis (KM). Parmi les droites (d), (d’), (KM) et (LN), lesquelles sont des axes de symétrie du rectangle ? (On ne demande pas de justifier)


e retiens Axes de symétrie d’un rectangle Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors il possède deux axes de symétrie : les médiatrices de deux côtés consécutifs.

j


B

C

D

A


© Cned, Mathématiques 6e — ��



Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du rectangle, complète-la puis code-la.


Exercice 31

A

I

B C

D

(d)

(d')

La figure ci-contre représente un rectangle ABCD avec ses deux axes de symétrie (d) et (d’). I est le point d’intersection de (d) et (d’).

Complète les phrases suivantes :1- a) Quel est le symétrique du segment [AD] par rapport à la droite (d) ? .....................

Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AD] et [BC] ? ...............................................................

b) Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d’) ? .....................

Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AB] et [DC] ? ...............................................................

c) Quelle propriété viens-tu de démontrer ?

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

�- Trace les diagonales du rectangle ABCD.

a) Quel est le point d’intersection de ces diagonales ? (On ne demande pas de le justifier, on l’admettra) .....................

b) Quel est le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d’) ? .....................

Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AC] et [BD] ? ...........................................


..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

�- a) En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IA et ID :

...........................................

En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances ID et IC :

...........................................

En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IC et IB :

...........................................

En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances IB et IA :

...........................................




b) Compare IA et IC : ................................ puis IB et ID : .............................................

Le point I est le ................................ des diagonales [AC] et [BD]


..................................................................................................................................

..................................................................................................................................


e retiens

Propriétés d’un rectangle A

B

C

D

Si un quadrilatère est un rectangle, alors : • ses diagonales ont la même longueur • ses diagonales ont le même milieu • ses côtés opposés sont parallèles • ses côtés opposés ont la même longueur.

j



1- Retrouve la carte qui correspond aux propriétés des diagonales d’un rectangle, complète-la et code-la.

�- Retrouve les cartes qui correspondent aux propriétés des côtés opposés d’un rectangle, complète-les. Code la figure de la carte concernant les longueurs. Colorie les côtés parallèles de l’autre carte.

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.

Exercice 33

Trace un rectangle ABCD dont les diagonales se coupent en O puis le cercle Ω de diamètre [AC]. Pourquoi le cercle Ω passe-t-il par les points B et D ?

Exercice 34

1- Trace un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, et qui n’est pas un rectangle.

�- Trace un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur, et qui n’est pas un rectangle.

�- Essaie de tracer un quadrilatère qui n’est pas un rectangle dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Y arrives-tu ?





e retiens Je reconnais un rectangle

A

B

C

D

Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales • le même milieu

et

• la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle.

Ci-contre, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu et la même longueur. On peut donc déduire que ABCD est un rectangle.

j



Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un rectangle, complète-la et code-la.

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 36

Les segments [RT] et [US] sont les diagonales d’un rectangle RSTU.

Ces diagonales se coupent en V et l’on a : RT = 6 cm et TVU∑ = °53 .

1- Construis ce rectangle sur une feuille de papier calque tu colleras dans ton cahier après avoir vérifié la construction sur le corrigé. (Commence par réfléchir sur une figure à main levée au brouillon).

�- Rédige le programme de ta construction. (aide : essaie de t’inspirer des étiquettes de l’exercice 24)

�- Justifie pourquoi ce programme de construction donne un rectangle.

Séance 5Je redécouvre le carré

Nous allons découvrir ensemble une définition du carré. Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.




Exercice 37

1- Complète chacune des huit cases vides par OUI ou NON.

la figure 1 ... la figure � ... la figure � ... la figure 4 ...

... est un losange ?

... est un rectangle ?

�- Reconnais-tu la nature de la figure 3 ? ................................................. .


e retiens Définition du carré : un carré est un quadrilatère A

B

C

D

qui est à la fois un losange et un rectangle.

Autrement dit, un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.Ici, AB = BC = CD = DA (donc ABCD est un losange)

∑ = 90°.ABC = BCD = CDA = DAB ∑ ∑∑ (donc ABCD est un rectangle)Par conséquent, ABCD est un carré.

j

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.


Retrouve la carte qui correspond à la définition du carré, complète-la et code-la.

Maintenant, (re)découvrons ensemble les propriétés du carré. Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.





Exercice 39 M

AT

H

Voici un carré MATH :1- Complète :

Un carré est à la fois un .............................. et un .............................., il a donc ............. axes de symétrie qui sont ses .............................. et les .............................. de deux côtés consécutifs.

�- Trace ces axes.

�- Le carré est un losange, donc ses diagonales sont ....................................... et elles ont le même .............................. .

4- Le carré est un .............................. , donc ses diagonales ont la même longueur et ses côtés opposés sont .............................. et ont la même .................................... .


e retiens Propriétés : Si un quadrilatère est un carré alors il possède toutes les propriétés du losange et aussi toutes les propriétés du rectangle. Autrement dit :• Si un quadrilatère est un carré alors il possède quatre axes

de symétrie : ses deux diagonales et les médiatrices de deux côtés consécutifs.

• Si un quadrilatère est un carré alors ses côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.

• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont perpendiculaires.

• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont le même milieu.

• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont la même longueur.

j

Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.


1- Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du carré, complète-la et code-la.

�- Retrouve les deux cartes qui correspondent aux propriétés des diagonales d’un carré, complète-les et code-les.

�- Retrouve la carte qui correspond aux angles d’un carré, complète-la et code-la.

4- Retrouve la carte qui correspond aux quatre côtés d’un carré, complète-la et code-la.



Nous allons découvrir ensemble des propriétés qui permettent de reconnaître un carré. Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 41

1- Construis un losange ABCD de 4,5 cm de coté tel que ABC∑ = 90°

�- Reconnais-tu la nature de ce losange ? .......................................................... (On ne demande pas de démontrer.)


e retiens

Première façon de reconnaître un carré

A

B

C

D

Propriété : si un losange possède un angle droit alors c’est un carré.

Ici, d’après le codage, ABCD est un losange et l’angle ∑BAD

mesure 90° donc on peut en déduire que ABCD est un carré.

j



Retrouve la carte qui correspond à cette première façon de reconnaître un carré, complète-la et code-la.

Exercice 43

1- Construis un rectangle EFGH tel que EF = 6,2 cm et EH = 6,2 cm.

�- Reconnais-tu la nature de ce rectangle ? ....................................................... Démontre ce que tu affirmes.


e retiens Deuxième façon de reconnaître un carré

A

D

C

B

Propriété : si un rectangle possède deux côtés consécutifs de la même longueur alors c’est un carré.

Ici, d’après le codage, ABCD est un rectangle et les côtés consécutifs [AB] et [AD] ont la même longueur donc on peut en déduire que ABCD est un carré.

j






Retrouve la carte qui correspond à la deuxième façon de reconnaître un carré, complète-la et code-la.

Exercice 45

E

FG

H

Complète :

Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu. D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un ........................ », on déduit que EFGH est un ................................ .

Les diagonales de ce quadrilatère ont, de plus la même longueur. D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère ont la même longueur et ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un ........................ », on déduit que EFGH est un ................................ .

Ce quadrilatère est donc un ..................... et un .......................... D’après la définition : « un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un ....................... », on peut affirmer que EFGH est un ................................... .


e retiens Troisième façon de reconnaître un carré

A

D

C

B

Si un quadrilatère a ses diagonales qui : • sont perpendiculaires • ont le même milieu • et ont la même longueur alors ce quadrilatère est un carré.Ici, les diagonales [AC] et [BD] sont telles que : • (AC) ⊥ (BD) , • AC = BD • les segments [AC] et [BD] ont le même milieu,donc on peut en déduire que ABCD est un carré.

j

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.


Retrouve la carte qui correspond à la troisième façon de reconnaître un carré, complète-la et code-la.

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.




Exercice 47

Tu dois construire un carré EFGH tel que EG = 5 cm. Fais d’abord une figure à main levée.

1- Construis ensuite la figure avec tes instruments de géométrie.

�- Rédige le programme de ta construction en justifiant pourquoi tu obtiens un carré. Si tu ne sais pas comment t’y prendre, voici de l’aide : n’oublie pas que le carré est à la fois un losange et un rectangle.

Séance 6Je reconnais des quadrilatères

Maintenant que ta Boîte à Outils est complète, découpe les pages où elle se trouve, soigneusement sur les pointillés, puis prends une nouvelle page de ton cahier de cours, écris en rouge le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 7 : LES QUADRILATÈRES. » puis colle ces pages en t’appliquant et en tenant compte du numéro des cartes. Il ne te reste plus qu’à apprendre et retenir ces définitions et propriétés. Tu en auras besoin dans les séances suivantes.

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 48

A B

C

G

H

D I

E

FEn observant la figure ci-contre, nomme en justifiant tes réponses :

1- Un rectangle

�- Un carré

�- Un cerf-volant

4- Un losange




Exercice 49 A

B

C

D

Voici un quadrilatère ABCD :

1- Quelle la nature précise du triangle ABD ? Justifie.

�- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie.

Exercice 50

AO

B

C

D

E

C

Dans la figure ci-contre le point O est le centre du

cercle C et A, C et E sont des points du cercle C .

1- Détermine la nature du quadrilatère OCDE .

�- Détermine la nature du quadrilatère ABCO .

Tu justifieras chacune de tes réponses.

Exercice 51

On considère un rectangle BEAU dont le côté [BE] est plus long que le côté [BU]. Le cercle Ω de centre B et de rayon BU coupe le segment [BE] au point M. La droite passant par M et perpendiculaire à (BE) coupe [UA] au point N.1- Trace la figure en vraie grandeur avec tes instruments.

�- Détermine la nature du quadrilatère BMNU. Justifie ta réponse.



— © Cned, Mathématiques 6e��

Exercice 52

Le triangle ABC isocèle en B est tel que : AB = 4 cm et A BC∑ = 65°.1- Construis le triangle ABC sur du papier calque puis colle la figure sur ton cahier après

l’avoir vérifiée sur le corrigé.

�- Trace ensuite le cercle C de centre A et de rayon 4 cm puis le cercle C ’ de centre C et de rayon 4 cm.

�- Démontre que : B ∈ C et que : B ∈ C ’.4- Nomme D l’autre point commun aux deux cercles. Détermine la nature du quadrilatère

ABCD en justifiant.

Séance 7Je construis des quadrilatères

Dans cette séance, tu vas t’entraîner à construire des quadrilatères en utilisant les définitions et les propriétés que tu as apprises.

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu utiliseras du papier calque pour tracer les figures et tu colleras ensuite chaque construction dans ton cahier une fois que tu l’auras vérifiée sur le corrigé.

Exercice 53

E

F

G

H

3 cm 4 cmOn souhaite construire un cerf- volant EFGH tel que : EF = 3 cm, EH = 4 cm et FGH∑ = 130̊ .1- Sachant que le quadrilatère EFGH est un cerf-volant,

complète le codage de la figure à main levée ci-contre (directement sur ton livret).

�- Construis la figure.

Exercice 54

1- Construis un cerf-volant IJKL tel que : IJ = 2,5 cm, JL = 5 cm et LI = 3,5 cm.

�- Rédige un programme de cette construction.



© Cned, Mathématiques 6e — ��

Exercice 55

1- Construis un losange dont les diagonales mesurent respectivement 7 cm et 5,4 cm.

�- On cherche à construire un losange ABCD de 3 cm de côté tel que : A DB∑ = 40° .

a) Dessine une figure codée à main levée

b) Recopie et complète :

ABCD est un losange donc sa diagonale (BD) est un ................................ de ce quadrilatère.

(BD) est donc la ................................. de l’angle CDA∑ . ADC∑ = .......... .

c) Construis le losange ABCD.

Exercice 56

1- Construis le rectangle QRST tel que : RQS∑ = 35° et QR = 6 cm.

�- Construis un rectangle EFGH tel que : EF = 4 cm et EG = 5 cm. Tu n’utiliseras pas l’équerre dans cette question.

Exercice 57

Construis un carré IJKL tel que : IJ = 4 cm.

Exercice 58

1- Construis un rectangle JKLM dont une diagonale mesure 6 cm. Construis un rectangle EFGH dont une diagonale mesure 6 cm. Les deux rectangles sont-ils toujours superposables ? (OUI / NON)

�- Construis un carré ABCD dont une diagonale mesure 6 cm. Construis un carré RSTU dont une diagonale mesure 6 cm. Les deux carrés sont-ils toujours superposables ? (OUI / NON)

Dans l’exercice suivant, tu commenceras par reproduire par transparence la figure proposée sur une feuille de papier calque.





Exercice 59

E

(d)

(d')

Reproduis la figure ci-contre et termine la construction du rectangle dont l’un des sommets est le point E et dont les axes de symétrie sont les droites (d) et (d’).

Séance 8Je rédige des démonstrations

Dans cette séance, tu vas t’entraîner à rédiger des démonstrations avec des quadrilatères (à l’aide des définitions et des propriétés que tu as apprises). Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 60

A

B

1- Dans le cadre ci-dessous, trace au compas la médiatrice (Δ) du segment [AB]. Elle coupe le segment [AB] au point M. Trace ensuite le cercle Ω de diamètre [AB]. La droite (Δ) et le cercle Ω se coupent aux points E et F.

�- Trace en vert le quadrilatère AEBF et trace en rouge ses diagonales.

�- a) Henri a conclu : « AEBF est un losange. ».

Victor a conclu : « AEBF est un rectangle. ».

Lou-Ann affirme qu’ils ont raison tous les deux mais Astrid dit que ce n’est pas possible.



D’après toi, qui a raison : Henri ? Victor ? Lou-Ann ? Astrid ? C’est ...................... (complète).

b) Complète les cases suivantes avec les mots :

– médiatrice – diamètre(s) – centre – diagonale(s) – longueur – alignés – cercle –perpendiculaires – milieu – ou avec les lettres A – B – E – F – Ω – de l’énoncé puis code la figure au fur et à mesure :

Maillon 1

Comme la droite (Δ) est la ..................... du segment ........, d’après la définition de la ............................ , (Δ) coupe [AB] en son .............. Le point ...... est donc le milieu de [AB] et c’est le ................... du cercle Ω

Maillon �

Les points E, M et F sont alignés et les points E et F sont sur le .................... de centre ......... donc :

• le segment [EF] est un ................... du cercle Ω.

• le point M est le .................. du segment [EF].

Maillon �

Comme les segments [EF] et [AB] sont deux ........................ du cercle Ω , ils ont la même ........................... .

Maillon 4

Comme (Δ) est la ..................... du segment ........ , d’après la définition de la ............., on a (EF) ........ (AB).

Maillon 5

Comme les diagonales du quadrilatère ............... sont .............................. et ont le même ................. M, je peux conclure que AEBF est un losange.

Maillon 6

Comme les diagonales du quadrilatère AEBF ont le même ................. M et ont la même ................, je peux conclure que AEBF est un rectangle.

c) Reconstitue la démonstration de Henri en écrivant simplement les numéros des maillons dans l’ordre où ils se succèdent dans sa démonstration :

1 - ................................................................................

d) De la même manière, reconstitue la démonstration de Victor :

1 - ................................................................................

e) En conclusion, AEBF est un .................... et un ......................... donc c’est un .................

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu traceras les constructions sur du papier calque puis tu les colleras dans les exercices de ton cahier au fur et à mesure que tu les auras vérifiées sur les corrigés.

Exercice 61

1- Trace un cercle Ω de centre I et de rayon 3 cm. Trace en rouge un diamètre [EF] de ce cercle.

�- Trace ensuite le cercle Ω’ de même centre I et de rayon 4,5 cm. Trace en bleu un diamètre [AB] de ce cercle tel que : (AB) ⊥ (EF).

�- Quelle est la nature du quadrilatère AEBF ?




Exercice 62

Les phrases ci-dessous sont-elles vraies ? (écris « OUI » ou « NON » selon le cas) a) « Un carré est un losange » ..................

« Un losange est un carré » ..................

b) « Un carré est un rectangle » ..................

« Un rectangle est un carré » ..................

c) « Un carré est un cerf-volant » ..................

« Un cerf-volant est un carré » ..................

d) « Les côtés opposés d’un losange ont la même longueur » ..................

« Les côtés opposés d’un cerf-volant ont la même longueur » ..................

Exercice 63 H

I

J

L

K

Voici une figure codée où HKJI est un losange

1- Compare les angles K HL∑ et K J I∂ .

�- Quelle est la nature exacte du triangle HKL ?

Exercice 64

1- Construis un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm.

�- Construis le symétrique B’ du point B par rapport à la droite (AC).

�- Trace en vert le quadrilatère AB’CB. Donne la nature du quadrilatère AB’CB en justifiant ta réponse.

Exercice 65

1- Le triangle EAU est rectangle en A, AE U∑ = 45° et EA = 4 cm. Construis la figure et complète-la au fur et à mesure.

�- Construis le symétrique S du point A par rapport à la droite (EU).




�- a) Trace en vert le quadrilatère SEAU.

b) Démontre que l’angle SE A∑ est droit.

c) Démontre que l’angle E SU∑ est également droit.

d) Démontre que le quadrilatère SEAU est un rectangle.

e) Compare EA et ES.

f) Quelle est la nature précise du quadrilatère SEAU ?

Séance 9J’effectue des exercices de synthèse

Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 66

Trace un quadrilatère ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires. Quelle est la nature de ce quadrilatère ? Ne justifie pas ta réponse.

Exercice 67

Construis le losange RSTU dont les côtés [RS] et [TU] mesurent respectivement 3 cm et 4 cm.




Exercice 68

1- Observe la figure à main levée codée ci-dessous :

A B

C

40°

50°

D E

FGH

3 cm

5 cm

a) Détermine l’angle HGB∑ .

b) Détermine l’angle BGD∑ .

c) Détermine l’angle DGE∑ .

d) Démontre que les points H , G et E sont alignés dans cet ordre.

�- Construis la figure avec tes instruments de géométrie.

Enfin, nous allons terminer cette séquence par un petit test. Effectue-le directement sur ton livret.




je m’évalue

1-La figure à main levée codée ci-dessous est :

® un cerf-volant A

B C

D

® un carré

® un rectangle

® un losange

�- La figure à main levée codée ci-dessous est un :

E

F

G

H® un cerf-volant

® un carré

® un rectangle

® un losange

�- La figure à main levée codée ci-dessous représente :

K

L

M

N

® un cerf-volant

® un carré

® un rectangle

® un losange

4- Coche les phrases vraies :

® « Si un quadrilatère possède deux angles droits alors c’est un rectangle. »

® « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de l’autre alors ce quadri--latère est un cerf-volant. »

® « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de l’autre alors ce quadri--latère est un losange. »

® « Si un quadrilatère possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.»

5- Coche les phrases fausses :

® « Un carré est un cerf-volant. »

® « Un carré est un rectangle. »

® « Un carré est un losange. »

® « Un losange est un cerf-volant. »

6- Coche les phrases vraies :

® « Un rectangle est un carré. »

® « Un losange est un carré. »

® « Un cerf-volant est un losange. »

® « Les diagonales d’un cerf-volant se coupent en leur milieu. »

7- Que peux-tu affirmer sur les côtés opposés d’un carré ?

® ils sont parallèles

® ils sont perpendiculaires

® ils ont la même longueur

® ils ont le même milieu

8- Que peux-tu affirmer sur les diagonales d’un carré ?

® elles sont perpendiculaires

® elles ont le même milieu

® elles ont la même longueur

® l’une est la médiatrice de l’autre

9- ABCD est un losange tel que les triangles ABD et BDC sont équilatéraux. Coche les égalités vraies :

® AB = BC

® AB = DC

® AB = BD

® AC = BD

10- Dans quel cas les triangles ABC et BCD sont-ils isocèles et superposables ?

® quand ABDC est un losange

® quand ABCD est un losange

® quand ABCD est un carré

® quand ABCD est un rectangle



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Sommaire de la séquence 7 - data.over-blog-kiwi.comdata.over-blog-kiwi.com/0/56/36/40/201304/ob_176424_al4ma61tewb... · Exercice 8 Ma boîte à outils Rends-toi à la fin de ton