Les surfaces de Riemann des fonctions m romorphes

P a r CHARLES BLANC, Lausanne

Introduction

Depuis quelques anndes, la recherche de crit~res de type de surfaces de Riemann simplement connexes a 4td l 'obje t de nombreux t ravaux. Ces crit~res concernent en g~n~ral des surfaces assez simples, no tamment ceux d 'entre eux qui donnent des conditions suffisantes pour le type parabolique; le principe de Bloch (w 11) permet d ' indiquer dans quelle direction on peut t rouver des g~n~ralisations de ces crit~res. M. Ahffors a compl6t~ dans ce sens des conditions suffisantes pour le type hyper- bolique (gdndralisation du thdor~me de Picard par exemple).

Dans le chapitre premier (w 1 h 3), nous rappelons les rdsultats acquis concernant la d~finition des surfaces de Riemann, et leur representat ion par des arbres ou des r~seaux.

La classification, due h M. Iversen, des singularitds des surfaces de Riemann simplement connexes, fair l 'objet du w 4; nous donnons ensuite (w 5) des exemples de singularitds plus compliqudes que celles qui ren- t rent dans cette classification.

Le chapitre 3 expose l 'extension aux surfaces les plus g~ndrales de la reprdsentat ion par les r~seaux de M. Speiser; nous montrons qu's tout r~seau (avec quelques restrictions n~cessaires) correspond une surface de Riemann. En passant , nous dtudions les relations qui doivent exister entre deux rdseaux d 'une m~me surface.

Le chapitre 4 t ra i te du type des surfaces de Riemann. Au w 11, nous exposons l'id~e de M. Bloch et proposons une forme prdcise pour ce que nous appelons le principe de Bloch, h la place du terme de continuitd toplogique qu' i l a donn4 lui-m~me et qui prate s confusion.

Le w 12 donne un crit~re de type qui constitue une ddmonstrat ion par- tielle du principe de Bloch. Aux w167 13 et 14, nous indiquons des g~ndrali- sations (dans le sens indiqud par M. Bloch) d 'un thgor~me de M. 1~. Nevan- linna. Le crit~re donnd au w 15 est dgalement inspird par le principe de Bloch; celui du w 16 montre qu'on peut obtenir le type parabolique non seulement en rar~fiant les singularit~s, mais aussi en les disposant de fa~on assez rdguli~re.

Enfin, aux w167 17 ~ 19, nous introduisons, pour l '~tude du type des sur-

13 Commentarii Mathematici Helvetici 193

faces, une mdthode nouvelle; elle peut ~tre uti le lorsqu'on s'occupe de surfaces dont la sym6trie, ou la dissymdtrie, joue un r61e prdpond~rant. Nous donnons quelques crit~res obtenus grace ~ cette m~thode, et indi- quons, au w 19, comment une ~tude plus complete pourrai t donner la d~monstration du principe de Bloch darts sa forme la plus simple, celle oh la t ransformat ion de ]a surface ne concerne qu'une singularit6 isol~e.

En terminant , il m'es t agr~able de remercier tous ceux s qui je dois d 'avoi r pu prdparer et faire imprimer ce t ravai l ; ma grat i tude va en part iculier s M. Valiron, dont les remarques et les bienveillants conseils m 'on t ~td d 'un si grand prix.

C H A P I T R E I

D6finitions. Rappel de r6sultats

w 1. Dbfinition de la surface de Riemann

La ddfinition que nous donnons est due s Rad61); voir aussi Bochner 2) et de Possel3).

Espace topologique: C'est un ensemble d'dldments, les ,,points"; chaque , ,point" P correspond un sous-ensemble, contenant P , appel6 voisinage de P : V(P). Un voisinage est tel qu' i l peut 8tre reprdsent6 topo- logiquement sur l ' intdrieur d 'un cercle, l ' image de P d tant le centre du cercle. De plus, cet ensemble est tel que:

Axiome 1 : Si Vle t V2 sont deux voisinages de P, P poss6de un voisinage contenu dans V 1 et Vz.

Axiome 2: Si Q est contenu dans V(P), on peut t rouver un V(Q) tel que

V(Q) c V(P)

Axiome 3: Si P :/: Q, on peut choisir V(P) et V(Q) avee

v(p). V(Q) = o

Sur]ace : Espace topologique topologiquement ~quivalent k un domaine plan (, ,schliehtartig").

1) Acta Sz6ged, 2, 1925, p. 101.

8) Math. Annalen, 98, 1928, p. 26. 8) Th~se, J. Ecole Polytechnlque, 2 me s~rie, 30, 1932, p. 9.

194

Sur/ace de Riemann : Soit F une surface, { V} le systSme des voisinages. Chaque voisinage est reprdsentd topologiqucment sur un cercle par une representation T(V). Soient V 1 et V2 deux voisinages avec

V1 " V2 : G

�9 yp i

et somnt G 1 et G 2 les images de G par T(V1) et T(V2). Si latransformation

T(V1) -1 . T(V2)

qui repr~sente G~ sur G~ est conforme et directe, alors on dit que F est une surface de Riemann.

On peut ddfinir une surface de Riemann h partir d 'une fonction ana- .lytique z(w). Un ,,point" est un dldment de la fonction (r~gulier ou alg4- brique); le voisinage est formd des dldments d 'un cercle concentrique et intdrieur au cercle de convergence; T(V) est donnd par

si l 'dl~ment est r~gulier, par 1

- - (w - - a) p si l'~l~ment est algdbrique.

Un dlgment algdbrique sera considdrd comme un ,,point" distingu~ de F, ,,point" que nous appellerons ,,point" critique alg~brique ou singularitd alg~brique.

La fonction z(w) peut avoir des points singuliers transcendants. I] nc leur correspond aucun ,,point" de F ; en effet, il ne serait pas possible de reprdsenter le voisinage correspondant, l 'image du point venant au milieu du cercle.

Soit a un point singulier t ranscendant de z(w). Il est isold si dans un domaine asscz petit D de la sphere de Riemann, contenant a, la branche considdrde de z(w) est prolongeable rationnellement 4) sur tout chemin sauf en a. L'exemple du point zdro pour log w d~montre l'existence de tels points singuliers.

Soit une suite de domaines emboitds DI, D~ . . . . . D~, ... t endant versa. �9 . �9 ^ , t t r

I1 lm correspond une state de domames emboltes D1, D2, . . . , Dn . . . . de F ; nous dirons que cette suite d~finit une singularitd logarithmique (ou singularitd isol~e) de F. Cette singularit~ fair pattie de la fronti~re de F. Par ddfinition, elle ne peut ~tre limite d 'une suite infinie de points critiques alg~briques.

*) C ' e s t . b ~ . d i r e q u ' e n c h a q u e p o i n t w 0 e l l e y a d m e t t m d ~ v e l o p p e m e n t e n s 6 r i e d e

p u i s s a n c e s e n t i ~ r e s d e ( w - - w 0 ) .

195

a eat la t race de la singularitd, de mgme que la t race d 'un point de F eat le point du plan ou de la sphgre simple oh on a l 'dldment correspon- dant de z (w).

On salt que z(w) peut poss6der des points singuliers de nature plus complexeS). Ils forment les singularitds non isoldes de F .

Chemin sur F : C'est un ensemble de points de F , topologiquement dquivalent s un intervalle rectiligne ouvert. La trace d'un ehemin eat l 'ensemble des traces de sos points, oh on compte n fois un point de la sphgre de Riemann ou du plan qui est t race de n points du chemin sur la surface. C'est une courbe, que nous supposerons toujours rectifiable.

Distance de deux points de F : C'est la borne infdrieure de la longueur de la t race des chemins ayant les deux points pour extrdmitds.

Distance d'un point dt une singularitd : C'est la borne infdrieure de la longueur de la trace des chemins dont les extrdmitds sont le point et la singularitd.

Distance de deux singularitds : C'eat la borne infdrieure de la longueur de la trace des chemins dont les extrdmitds sont les deux singularitds.

On ddfinit de la mgme fagon les distances sphdriques, en mesurant les longueurs sur la sphgre de Riemann.

.Type d'une surface de Riemann simplement connexe: Un surface de Riemann simplement connexe peut 6tre reprdsentde conformdment sur un cercle Izl < 1 ou sur le plan ouvert. Dans le premier cas, on dit que la surface est du type hyperbolique, dans le second, qu'elle est du type parabolique.

w 2. Quelques d6finitions sur les surfaces de Riemann

Pavage ~ de la sphere de Rie~nann. Soit ~ > 0. On dit qu 'on a un pavage ~ de la sphere de Riemann lorsque on l 'a enti~rement recouverte d 'un nombre fini de domaines simplement connexes, sans points communs sinon les points fronti~res, e t tels que deux points quelconques d 'un m~me domaine ou de sa fronti~re peuvent toujours ~tre joints par un chemin int6rieur au domaine, et de longueur sphdrique inf~rieure s ~.

On supposera que la fronti~re de chaque pavg est formde d ' un nombre fini d 'arcs analyt iques. De plus, un point sera sur la fronti~re de t rois paves au plus.

Portion d'une sur]ace de Riemann F : Soit P un point de F , dont la trace est intdrieure s un pavd. On appelle portion de F l 'ensemble A des

s) voir Iwraen, Thbse, Helsingfors 1914.

points de F qu 'on peut atteindre par des chemins issus de P e t dont la trace rest~ dans le pay6.

Une portion peut ne pas ~tre simplement connexe, m~me si F l 'est (par exemple si le pav~ contient les points z~ro et infini, et si F est la sur,- face de z = log w).

Supposons maintenant F simplement connexe; on appellera portion ~tendue ~ r la portion zJ ~ laquelle on a adjoint tout ce qu'il fallait pour la rendre simplement eonnexe; cela est possible, et d 'une seule mani~re. On constate que zJ ~ - - LIne contient que des singularit~s alg~briques.

Base singuli~re d'une sur]ace de Riemann : C'est l 'ensemble des traces des singularitSs alg~briques et transcendantes de la surface. On dira qu 'une surface a une base singuli~re finie si l 'ensemble des traces des singularit~s est fini.

Portion circulaire : C'est une portion dont le pav~ est un cercle.

w 3. R~seau topologique d'une surface de Riemann

M. Speiser e) a consid~r~ les surfaces de Riemann simplement connexes dont routes les singularit~s sont logarithmiques et ont pour traces trois points wl, w~, w 3 de la sphere de Riemann. I1 donne une mdthode pour construire ce qu'il appelle l'arbre topologique d'une telle surface. Vofci comment on proc~de: on fait passer une courbe ferrule L, sans points doubles, par les trois points wl, w~, w3, et on fair la representation de la surface snr le cercle Izl < R ( R ~ co). La courbe L se transforme en courbes A du cercle ]z I < R, et ces courbes A d~finissent des domaine~ ]ondamentaux. On choisit sur la sphere deux points I e t E, l ' un int~rieur

L, l 'autre extgrieur. Pour finir, on joint par des courbes ne se coupant pas, les points du plan z qui correspondent ~ I et E et dont les domaines sont contigus. On forme ainsi un arbre, au sens topologique du mot, et c'est ce que M. Speiser appelle l'arbre topologique de la surface de Riemann.

Cette representation peut s'gtendre sans autre aux cas oh l 'on a p(p ~ 2) points au lieu de trois. On peut aussi le faire si la surface, simplement connexe ou non, comporte des points critiques alg~briques. Mais alors on n 'obt ient plus un arbre (au sens topologique du mot), mais un r~seau. On trouve un expos~ sur ce sujet dans le texte de la conference de M. R. Nevanlinna, au Congr~s International de Zurich 7) et une ~tude tr~s complete dans la r~cente th~se de M. E1]vingS).

6) Comm. Math. Helv. 1, 1929 et 2, 1930. ~) Verb. des Int. Math. Kongresses. Zfirich 1932, 1, p. 221. ~) Th~se. Acta Fermicem. Nov. Ser. A, 2, no. 3.

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Le rdseau topologique d 'une surface d6coupe le plan en domaines; chacun de ces domaines correspond une singularit6 de la surface. Ce sont les domaines ~ldmentaires. Si ta singularit6 d 'un domaine est transcen- dante, le domaine a une infinit6 de c6t6s, et r6ciproquement. Si la singu- larit6 d 'un domaine est alg6briquc de degr6 4, le domaine a 2 2 c6t~,s, et r6ciproquementg).

M. Elfving considSre des rdseaux un peu plus pr6cis: ils sont constitu6s pa r l ' image de p courbes I E passant chacune entre deux points wi, wi+ 1 .

Lo r6seau qu'on obtient est le m6me que le pr6c6dent si on considSre comme confondues deux ar6tes ayan t les mSmes extr6mit~s.

On peut parler alors de l 'ordre d 'un r6seau; c 'est le nombre p d 'arStes issues de chaque sommet (on voit que ce nombre est pa r tou t lc m~me). Le nombre p e s t 6gal au nombre de traces de points singuliers.

M. Elfving donne le thdor~me suivant :

Soient p poin ts a 1, a 2 , . . . , a~, une courbe L passant par ces points et

u n rdseau R d' ordre p. I1 existe une sur/ace de R i e m a n n dont lea singularitds

oat pour traces les ~Joints a~ et qui a le r~seau R.

Disons qu'on simplifie un rdseau R, donn6 comme le fair M. Elfving, lorsqu'on considSre comme identiques les ar~tes qui ont mSmes extr6- mit6s, et qu'on le complete lorsqu'on opSre en sens inverse.

On peut se demander si, un r6seau R 6rant donn~ (au sens ordinaire du mot, sans que le nombre d'arStes issues d 'un sommet soit toujours le m~me), il est possible de le compl6ter en sorte qu' i l devienne un r~seau au sens de M. Elfving, avec un ordre fini p.

..(o o) Ouvrago cit~ ~ la no te 8), p . 14 ot 15.

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Une premiere condit ion, n~cessaire, est que le nombre d 'ar6tes issues d ' u n sommet soit toujours inf~rieur ou ~gal s p. Cette condition n'est pas su/fisante; pour le montrer , consid~rons le r~seau de la fig. 1.

Soit p le plus pe t i t ordre possible. Nous disons que p : c~. Prenons les trois ar~tes issues de 0. Pour compldter le r~seau, il faut ad jo indre /~ chaque ar~te un cer ta in nombre d 'ar~tes compl~mentaires . I1 en faut au moins une pour chaque ar~te. E n effet, si une ar6te res ta i t inchang~e, la su ivan te dev ra i t se compl6ter de ( p - - 2 ) ar~tes, d ' oh il rdsulte que Ic sommet su ivan t aura i t (p d- 1) ar~tes. Donc il y a une ar~te ad jo in te au moins. Mais alors, supposons qu ' i l y en ai t une e x a c t e m e n t pour l 'ar~te considdr6e plus h a u t ; le sommet su ivan t aura i t (p d - 2 ) a r ~ t e s au moins ; supposons enfin qu ' i l y air q ar~tes, alors le sommet su ivan t aura i t au moins (p -4- q) ar6tes. On vo i t que p ne saura i t gtre bornd, d 'oh il rdsulte qu ' i l est impossible de faire de R u n rgseau au sens de M. Elfving, R nc p e u t pas correspondre ~ une surface ayan t une base singuli~re finie. Nous verrons plus loin quelles surfaces on peut faire correspondre ~ ces rdseaux.

Les rgseaux nous renseignent sur l 'ordre de connexion d ' une surface de R iemann :

Si une sur[ace de Riemann est multiplement connexe, il existe un polygone /erred du rdseau qui sdpare deux suites in]inies de sommets, et rdciproque- mentlO).

Faisons encore une r emarque : les th~or~mes que l 'on dnonce sur les r~seaux ut i l i sent u n i q u e m e n t les propri~t~s topologiques de ces rdseaux 11) ; mais il est clair que dans bien des d~monstrat ions, on fera in te rveni r des propridtds m6tr iques du rdseau: oll supposera fixdes les courbes I E .

Division d'un rgseau en gdngrations : Prenons d ' abo rd le cas d ' u n arbre. On choisit a rb i t r a i r emen t un s o m m e t A de l 'arbre, que l 'on prend pour origine du systgme des gdndrations. I1 eonst i tue la g6ndration G 0. La rt i~m~ gdndration G~ sera composde des sommets de l ' a rbre qu ' on a t t e in t de A par un polygone formd de n argtes de l'arbre12).

Dans le cas d ' u n rdseau p rop remen t dit, on choisit encore une origine A, qui forme G 0. Puis on d i t que le s o m m e t B appar t i en t s la n i~me gdndrat ion

10) Ouvrage cit~ b, la note ~), p. 16. 1~) Voir p. ex. R. Nevanlinna, Comm. Math. Helv., 5, 1932, p. 95. 11) I1 n'y a pas ambiguit6, pulsque d e u x s o m m o t s no peuvent ~tre reli~s quo par un

s e u l p o l y g o n e , sans quoi o n n ' a u r a i t p a s u n arbre.

199

G~ s'il existe un polygone de n c6tds du rdseau, reliant A ~ B, et aucun de moins de n c6t~s.

Si A correspond ~ un point I , t ous l e s sommets du rdseau qui cor- respond h I appart iennent ~ des gdn6rations paires. I1 en rdsulte que deux sommets consdcutifs ne peuvent 6tre de la mSme gdndration; de plus, ils appart iennent ~ deux gdndrations consdcutives. Soient en effet B e t C deux sommets consdcutifs, de gdndrations m e t n. Si m ~> n -4- 3 il existe un chemin qui relie A ~ B e t qui est formd de n ~- 1 arfites, donc de moins de m arStes, ce qui est impossible. Donc on a m = n -4- 1.

CHAPITRE II

Les singularitds des surfaces de Riemann simplement connexes

w 4. Les r6sultats de M. Iversen

Aprgs Boutroux, M. Iversen 13) a donnd une classification des singularitds des surfaces de Riemann simplement connexes. Nous allons la reprendre bri6vement.

Dgs le ddbut, M. Iversen dcarte le cas de l 'accumulation de singularitds transcendantes. I1 considgre des surfaces de Riemann correspondant s une fonction mdromorphe w ~ /(z), pour toute valeur finie de z. I1 entoure d 'un cercle C le point singulier r de la fonction inverse z ~-- ~(w). Soit D l e domaine correspondant de plan z. Voici la classification qu'i l donne:

A. Point directement critique r : C'est un point tel que ] ( z ) - w n 'a aucune racine dans D, pour C assez petit ;

1 ~ de p~emi~re esp~ee si/~(z) # 0 dans D;

2 ~ de seconde esp~ce si f ( z ) a une infinitd de zdros dans D.

B. Point indirectement critique o): c'est un point tel que C ne contient aucun rayon sur lequel ~0 (w) -+ oo lorsque w --~ co.

C. Point directement et indirectement critique : tout point singulier n ' appar tenan t pas ~ une des catdgories prdcddentes.

Dans chaque cas, M. Iversen dtudie l 'allure de /(z) dans D et le pro- longement de q(w) dans C; il en donne des exemples tr~s simples.

13) Ouvrage cit6 k la note s).

200

w 5. Singularit~s plus g~nbrales

M. Iversen a dcartd de son dtude les singularitd dont le voisinage con- t ient une infinit~ de singularitds transcendantes. On pourrai t alors distinguer, en dehors de sa classification:

1 ~ les singularitds dans le voisinage desquelles la surface poss~de une infinitd de singularitds transcendantes, mais aucune singularit~ alg~- brique;

2 ~ les singularitds dont le voisinage contient une infinitd de singularitds, ran t t ranscendantes qu'alg~briques.

Nous donnerons un exemple de singularit~ dans les deux cas. I1 s 'agi t de singularit~s directement critiques. Nous allons ddmontrer d ' abord un lemme prdliminaire.

Soit z

/(z) --=~zyo(z)dz 0

oh 70 est une fonction entigre, pgriodique de pdriode 2 i ~ . I)e plus on suppose que l ' intdgrale

ov

F 1 = ~ tTo(t)dt t r~el 0

exist(~ et est finie.

Posons

et

puis

et

ht = / ( 2 k i n )

cr

h~ = h A. -~ ~ (t -~ 2/t in) 7o(t + 2ki~)dt t r~el o

71(z) = i re(z) dz o

Fo = ~ 7o (t)dt 0

On suppose encore que

l i w

~ 7o(z)dz = u r 0 o

201

On a, en in t6gran t pa r pa r t i es

2 k i 7 :

h~. -= 2 i z t uk 2 - ~ 71(z)dz o

~i~: k(k - - 1) _ ak 2 A- bk = 2 i ~ u k 2 - - k ~o Y l ( Z ) d z - - 2 i z r u

avec a ~ 0 .

Pu i s

il en r6sul te que l 'on a

h'k = hi. -k F1 -k 2kizrFo

= a k 2 ~ - b ' k - ~ c ' ;

hk-+co et hk-->co (1)

si k -+ co , et de plus, l ' indgalit6

[ f ( 2 k i ~ -~ x) l > K 1 (2)

est vdrifide, quel que soit K1, pour tou t x positif , e t k > ko(K O. Si on a d ' au t r e pa r t [?0(z)[ < K~ pour ~ z < O, ~ z = 2kize, il en rdsulte que, quel que soit V > 0, on aura

I f ( 2 k i z ~ - - x ) - - / ( 2 k i : g ) [ < k2~l(~ + 2izt)K2 , O < x < ~ k

donc pour ~ assez pet i t

[ / ( 2 k i z t - - x)l > a lk 2, O < x < ~ k (3)

Cela dtabli, passons aux exemples annoneds. Soi t

z

w -=/(z) = ~ze-eZdz o

Si on pose ?o(z)== e -e~, on reeonna l t que tou tes les condit ions du l emme sont v6rifides. Done s i m k = h~, on vo i t q u e / ( z ) a des valeurs a symp to t i ques oJk avec

[ ~% ] -+ co pour k -+ co

D ' a u t r e par t , lorsque ~ z --~ -k co sur une dro i te

~ z - - (2k -4- 1)zt k ent ier

202

on a ] / (z)] -+ 0% ce qui donne les singularit6s r = oo de la fonct ion inverse z(w).

Eva luons la fonct ion /(z) dans l 'angle

7g [a rg z - - J r [ < - ~ - - - V .

et P o u r ~ z ( - - k , on a [ e - e ~ - l [ ( � 8 9

z

](z) = / ( - - k ) A- ~ ze-e~dz - -k

z 2 k2 = / ( - - k ) ~ 2 2 -f- z(e - ~ " - 1)dz

- -k

Z2 ~2 Z

l (z) - - T = l ( - - k ) - - - y + .f z(e - ~ ~ 1)dz - -k

donc /(Z) Z2 k2 I Z~" ]

---~ < I / ( - - k ) l + ~ + 4

Ainsi, sur tou t chemin de l ' angle ci-dessus, t e n d a n t vers l ' infini , on a

I/(z)l-~ ~ .

Soit W u n chemin de dd te rmina t ion finie. I1 coupe tou te droite ~z (2k + 1)st en u n nombre fini de points . D ' a u t r e par t , pour [z] assez

7~ grand, il est extdrieur h l ' angle [ arg z - - ~t I < ~ - - ~. I1 ne pen t donc

couper la droite Uz ---- 2k~t q u ' e n u n poin t tel que ~ z > - - k v / ; or le m i n i m u m de I/(z)[ sur ces droites t end vers l ' infini , lorsque k - ~ o o , cela en ve r tu de (2) et (3). Donc W ne petit pas couper toutes les droites ~ z = 2k~, il finit pa r rester dans une bande (2k - - 1)~t < ~ z < (2k + 1)st. S ' i l coupe inddf in iment la droite ~ z ---- 2kzt, la va leur l imite est t%.

Supposons qu '~ la va leur l imite de ](z) sur W corresponde une singu- lari t~ de z(w) aut re que les t%. Alors W e s t compris, d 'apr~s ce que nous venons de voir, dans une bande

ou dans une bande 2kz~ < ~ z < (2k -t- 1)u

(2k - - 1)z~ < ~ z < 2kz~

(ou du moins peut 6tre d~form~ de fa~on que cela soit le cas, sans modifier la va leur l imite).

203

Nous allons montrer qu'il ne peut exister un tel chemin W. Pour cela, on supposera W dans une bande

2k~r < ~z < (2k + 1)~.

Si W est dans une bande (2k - - 1)zt < ~z < 2kzt, la ddmonstration est la mfime.

Reprdsentons la bande 2 k z t < ~ z < ( 2 k + 1)~r, ~ z > 0, sur le do- maine I ~l > 1, ~ ~ > 0, au moyen de la fonction

~ e z

et soit g(~) = / ( l o g ~)

Pour ~ z assez grand

donc

D'autre part , sur route demi-droite 7g

arg ~--~q 0 ~ < q < - - 2-

on a lim g(~) = r

Soit W* l ' image de W dans le plan $ : W* ne peut couper aucune demi-droite

7g a r g $ = ~ ~ = ~ - - - ~ , 0 < ~ < - ~ -

il est donc compris dans l 'angle -2 - - -~ < arg ~ < g . Sur W* et sur 7g

la demi-droite arg ~------~---t , g(~) est born6; les deux chemins

sont compris dans un angle d 'ouver ture cr 2 + 2 t , et on a dans

cet angle I g(~) I < el~t+~.

I1 en rdsulte que I g(~) I est born6 dans l 'angle form6 par W* et la

~r 14) Donc la limite de g(~) sur W* est demi-droite arg ~ = -2- - - ~ " 7g

la mgme que sur arg ~ - ~ - - - ( 3 : c'est to~.

Ainsi, il ne peut exister aueune autre singularit6 t ranscendante que

14) Voir Julia, P r i n c i p e s g ~ o m 6 t r i q u e s d ' A n a l y s e I I , p. 9 e t suiv.

204

celles que nous avons dtudides. D'autre part, il n ' y a qu 'une singularitd algdbrique, qui correspond h z = 0.

Done dans le demi-plan Uz > Ka, tout chemin de ddtermination donne une valeur asymptotique de module supdrieur ~ A. Soit A la pattie de la surface de Riemann qui correspond au demi-plan ~z > Ka; A ne contient que des singularitds extdrieures au eercle I w[ = A. Soit un chemin de A dont les extrdmitds sont sur le cercle I wl = A, et sur lequel on a constamment I w l < A. I1 peut, par une ddformation continue sur Ae t intdrieure s [ w I < A 6tre amend h coincider avec un arc du eercle I wl = A, puisque l wL < A ne contient aucune singularitd. Done tout ehemin reliant deux singularitds de A peut 8tre ddformd sur la surface en un chemin pour lequel Iwl >~A; la portion ddfinie par Iwl >~A et qui contient A contient ainsi routes les singularitds de A; elle en eontient done une infinitd. Le point ~ l 'infini est le seul point d'accu- mulation des traces de ces singularitds, il est donc une singularitd non isolde de z (w) , et le voisinage de l 'infini ne contient aucune singularitd algdbrique, puisque/ ' (z) n 'a qu 'un zdro (pour z = 0).

I1 est ais6 de donner un exemple oh l 'on a darts le voisinage de la singu- laritd dtudide des singularitds transcendantes et algdbriques.

Soit w = ](z) = S z ( e ~ - - 1)e-e~dz.

o

L~ encore, les rdsultats du lemme peuvent s'appliquer, avec ~,0= (e~-I) e -~. Mais la fonction inverse z (w) possgde des singularitds algdbriques qui correspondent aux valeurs de z qui annulent e ~ - - 1 , c'est-b,-dire pour z = 2 k i ~ ; les singularitds algdbriques sont done justement les quantitds h~" dtudides dans le lemme, et on a hk -+ cr Pour le reste, tousles rdsultats concernant l 'exemple prdcddent restent vrais. Comme plus haut, on montre que /(z) ne poss~de pas d'autres valeurs asymptotiques finies que celles qui ont dtd dtudides. Cette fonction nous fournit donc l'exemple cherchd.

CHAPITRE I I I

kes r6seauxtopologiquesdes surfaces de Riemann les plus g6n6rales

Dans ce chapitre, nous nous proposons d'dtendre la reprdsentation des surfaces par les rdseaux aux surfaces les plus gdndrales et en partieulier aux surfaces dont les singularitds sent isoldes mais la base singuligre infinie. Nous verrons ensuite les relations qui existent entre deux rdseaux d 'une m~me surface, puis nous rdsoudrons le problgme de l 'existence d 'une surface de rdseau donnd.

205

w 6. Premii~re g~n~ralisation des r~seaux

Soit F une surface de Riemann dont les singularit~s sont isol~es, la distance sph~rique de deux singularitds (mesurde sur la surface) grant toujours sup~rieure ~ 8 (> 0).

Effectuons un pavage 3 de la sph4re de Riemann. Soient DI, D~,. . . ,

D~ les paves. Supposons pour commencer qu'aucune trace de singularit~ ne se trouve sur la fronti~re d 'un pavd. Soit A une portion de F, d~finie par le pav~ D k. A contient au plus une singularit6; supposons en effet qu'i l en contienne deux au moins ; on pourrait les relier par un chemin de

longueur infgrieure s ~, ce qui est impossible en vertu de la ddfinition

de F. I1 y a donc une singularitd au plus dans A.

Considdrons un point a k dans chaque Dk; on a ainsi p points, nous les relions par une courbe ferm~e sans points doubles C, et nous construisons le rdseau de F comme celui d 'une surface _F* dont les singularitds seraient les points a~; la surface F* r~sulte d 'une ddformation de F, ddformation qu 'on peut considdrer comme ldg~re en regard de la distance de deux singularit~s.

Considdrons main tenant le cas oh des singularitds ont pour trace des points fronti~res d 'un D k. Soit par exemple a une singularitd dont la trace se trouvc sur la fronti~re de Di, D~ et D k (en vertu des hypotheses faites plus haut sur ]e pavage, un point ne peut pas ~tre sur la fronti~re de quatre paves). Je dis que toute portion de F d~finie par D : D i ~- Dj + D~ ne contient qu 'une singularit4 au plus. En effet, s'il y avait deux singu- laritds, on pourrait les relier au moyen d ' un chemin de longueur il~fd- rieure s 8. On retombe sur la ddmonstration donn~e plus haut. Pour construire le rdseau, on consid~re la singularit~ a comme appar tenant une des portions ddfmies par D~, D~, D~.

w 7. Comparaison des difl~rents r~seaux topologiques d'une m6me sur- face de Riemann

Supposons pour commencer que nous avons une surface de Riemann F de base singuli~re finie ; la mdthode de M. Speiser s 'applique sans autre.

Soient al , as, . . . , a~ les points const i tuant la base singuli~re, et soient L et L* deux courbes de Jordan passant chacune par tous les points a~. On obtient s part ir de L e t de L* deux r~seaux R et R*.

Disons que L* se d~duit de L par une d~formation continue si cette ddformation est possible sans passer sur un point a k .

206

Thgor~me 1 : S i L* se ddduit de L par une dg/ormation continue,

R* = R.

La ddlnonstration est immddiate, de m~me que celle du thdor6me rdciproque:

Th~or~me 2 : S i R* = R, L* se dgduit de L par une d~[ormation continue.

Cela revient ~ dire que le rdseau ne ddpend pas de la courbe elle-m6me, mais de l 'ordre des points a~ sur la courbe et des lacets qu'elle fair pour les relier.

Th~or~me 3 : p ~tant /ix~, le nombre de contours essentiellement di//~rents (c'est-s donnant des rdseaux diffdrents) est illimitd, d~s que p ~ 4.

On volt que s i p = 3 il n 'y a que deux contours diffdrents, Fun rdsulte de l 'autre par l 'dchange de l ' intdrieur avec l 'extdrieur.

Pour p = 4, il y a plusieurs arrangements possibles, et diffdrents, des a~; prenons les a~ dans l 'ordre a~, a~, aa, a~ et construisons L de la fa~on suivante: on part de al, on fair une boucle B~ autour de a~ avant d'aller tourner autour de a a et a~, puis on vient faire une seconde boucle Be autour de a2, et ainsi de suite; on peut faire un hombre de boucles arbitrairement grand avant de passer en a~. Pour p = 4 le nombre des contours est donc illimitd. I1 l 'est ~ plus forte raison pour p > 4.

Le thdor~me est ddmontr~.

Comparons deux rdseaux diffdrents R et R* d'une m~me surface de Riemann, donn@ par deux contours L e t L*; on peut choisir les deux points I e t E communs aux deux contours. Or chaque point de F , de trace I ou E, donne un sommet du rdseau; nous avons donc une corres- pondance biunivoque entre les sommets des deux rdseaux: deux sommets se correspondent s'ils sont donnds par le m~me point de F . De m~me, chaque singularitg de F correspond un domaine polygonal D de R et un domaine D* de R*. I1 y a donc correspondance biunivoque entre les domaines de R et de R*; de plus, deux domaines correspondants ont le m~me nombre de cStds.

Th~or~me 4 : Soient a et b deux sommets d' un r~seau R, extrgmit~s d'une m~me ar~te. Soient a* et b* les sommets correspondants de R*. On peut relier a* et b* par un polygone de R*, de ~ c6tds avee

o ~ R ( L , L * ) ~- 1

R ( L , L*) gtant un hombre qui ne ddpend que de la sur/ace et du choix de JL et L*, et non pas de a et b.

207

Remarquons en passant que p est certainement impair , puisque le polygone en question relie un point I s un point E.

Consid~rons le chemin W sur F correspondant au segment ab de R; W coupe L une lois (puisque a et b sont extr6mitgs d 'nne m~me ar~te). Par contre W coupe L* peut-~tre plusieurs lois, mais le nombre de points d ' intersect ion est le m~me pour chaque rayon I E . I1 y a u n nombre fini P -~ � 8 9 1) de rayons I E , donc le nombre des points d ' intersect ion est bornd pour L e t L* donn6s. Soit R (L, L*) -~ 1 la borne sup6rieure. On a bien

~ R ( L , L * ) ~, 1.

On a u n thdor6me analogue pour les domaines 616mentaires:

Th~or~me 5 : Soit a u n sommet de R, D un domaine glgmentaire de R, dont le contour comprend a; a* et D* sont le sommet et le domaine correspon- dants de R*. I1 existe un polygone reliant a* ~ D*, dont le nombre de c6tds est in/grieur ou dgal ~ R(L, L*).

Soit, pour fixer les iddes, I le point auquel correspond a, a~ la singularit4 contenue dans D. Le rayon I a i coupe L* au plus R(L, L*) lois (R a la m~me ddfinition que dans le thdorgme prdcddent). I1 en rdsulte que dans R*, le rayon Ia~ se ddcompose en t ~ R (L, L*) ar6tes, ce qui d6montre le thdorgme.

On ddduit encore du thdorgme 4 le

Thdor~me 6 : Soient R et R* deux rdseaux d' une m~me sur/ace, D 1 et D 2 deux domaines dldmentaires de R, dont les /ronti~res ont v > 2R(L , L*) sommets communs consdcuti/s. Alors les domaines D'I et D~ de R*, correspon- dant ~ D 1 et D~, ont au moins ~ - - 2 R (L, L*) sommets communs.

Consid6rons, dans la suite des sommets communs h D 1 et D2, ceux qui sont ~ une distance sup6rieure ou dgale ~ R (L, L*) des extrdmit6s (il y e n a au moins un, pa r l 'hypoth~se sur ~). Soit a u n de ces sommets, a* son cor- respondant, a* est un sommet de D~ et de D~. Reprenons, pour le montrer , le raisonnement fair dans la d6monstrat ion du th6or~me precedent. Soient a~ e t a t les singularitds correspondant aux domaines D 1 et D~ (donc aussi D~ et D~). Le rayon I a i (on suppose, pour fixer les idles, que a est un point I ) coupe L* au plus R(L ,L*) lois; cela correspond donc R(L, L*) lacets autour des points singuliers a i et aj . Mais, apr~s ces R(L, L*) lacets, on a encore des sommets de D~ et D~. Donc a* est un

208

sommet de D~ et D~. Cela se produit pour tout sommet choisi comme il a dtd dit, donc pour r - 2 R(L, L*) sommets.

Le th~or~me est d~montr6. On en ddduit imm~diatement

Thdor~me 7 : Soient D~ et D2 deux domaines dldmentaires in/inis ayant un sommet commun pour routes lea gdngrations G,,, n ~ n o. Alors les domaines D~ et D'2 correspondants ont nn sommet commun pour route g~n~ration G~, n > no"

Le thdor~me 6 affirme simplement que, dans ce cas, s chaque sommet commun d 'une g~ndration Gn, avec n ~ n o -~ R(L, L*) correspond un sommet eommun ~ D~ et D~, appartenant ~ la g~n~ration G,., avec v = v(n). Posons

n', = min 0~(n) ~ R(L, L*)) pour

n > n o -k R(L, L*)

I1 faut montrer que, pour v > no' il y a toujours un sommet comnmn D~ et D~. Supposons que ce ne soit pas le cas. I1 y aurait, entre D~ et D~

un domaine dldmentaire D~, dont le correspondant serait D.~. Soit b un sommet fronti8re de D~, D~, D~, a k la singularit6 de D 3 (ou D~) Nous considdrons encore le chemin I a k relatif s L*; il coupe L en R(L, L*) points au plus, d'oh il rdsulte que D~ aurait un sommet commun avec D~ et D2, s la gdndration Gl,, p > v0, ce qui est contraire h l 'hypoth8se du thdor~me.

On pout dire encore quelque chose de la correspondance entre R et R*.

Soient D1, D2 . . . . . Dn, des domaines 61dmentaires de R, D~, D~ . . . . . D~, les domaines eorrespondants de R*. Choisissons une origine 0 dans R, et relions 0 s D~, . . . , D , par n polygones du rdseau. On peut choisir ces polygones sans c6t~s communs, s i c e n'est un certain nombre d 'entre eux formant un polygone aboutissant h l'origine. De plus ces polygones n 'ont pas de sommets communs isol~s, si ce n 'est l'origine. On pout num~roter ces chemins, et nous supposons que les indices ont dt6 choisis en sorte que les indices des chemins sont ceux des D k. Alors

Thgor~me 8 : Les D'~ peuvent ~tre relids ~ l' origine O* de R* par des poly- gones ne se coupant pas, et places dana l'ordre naturel des indices du D* k correspondant.

La d~monstration est immddiate; il suffit de se reporter aux chemins eorrespondants sur la surface de l~iemann elle-m~me.

14 Commentarii Mathematic! Helvetic! ~ 0 9

On pourra i t encore prdciser les dnoncds des thdorgmes 4 ~ 7 en faisant in te rven i r pour ehaque chemin I E le n o m b r e de points d ' in te rsec t ion avec L*. On a u r a r ainsi p va leurs RI(L, L*), R2(L, L*) . . . . . R~(L, L*), a v e c

Rk(L , L*) ~ R(L , L*)

Rk(L, L*) 6tan t le nombre de points d ' in tersec t ion , moins un, de L* et d ' u n chemin I E coupant L en un poin t de l ' a rc ak, ak+ 1 .

P o u r un choix convenable de I e t E, on a, pour un indice k au moins

R~:(L, L*) = 0

I1 est clair, d ' au t r e par t , que

Rt (L , L * ) - O ( m o d 2 )

puisque L* est une courbe de Jo rdan , e t que R~(L, .L*) est le nombre de points d ' in tersec t ion , moins un, de L* et d ' u n contour qui va de l ' in tdr ieur

l 'extdr ieur .

Thdor~me 9 : Soit 21, 2~ . . . . , 2~, une suite de nombres positi/s ou nuls, tous pairs; L un contour simple passant par les points al, a S . . . . . a~ dans l'ordre naturel des indices; de plus 21 = O. I1 y a une courbe L* pour laquelle

Ri (L , L*) = 2~.

On ddmont re ce thdor~me en const ru isant L*.

Posons pour commencer

2 ~ = 2 si 2k~>2

2 ~ = 0 si 2 ~ = 0

e t construisons le con tour L ~ qui correspond g c e syst~me 4' 1, 2' 2 . . . . . 2g. Consid6rons le cercle [w[ - - 1 e t les points a k sur ce cercle avec

k 2~ arg a k = - - P

Le cerele I w l = I const i tue L ; on t race deux arcs de cercle concent r iques , l ' un g l ' in t6r ieur , l ' au t re g l ' ext~r ieur de [w I = l , le long de tou t arc

210

(as, ak+l) avec 4~ = 2. Soit as le poin t qui correspond s l ' ex t rdmit~ d ' u n de ces arcs. On dist ingue deux cas:

1 ~ 4 / _ , = 0 4 ~ = 2 ;

alors on relic Fare (ak-~, as) de I wl = 1 ~ l ' a rc intdr ieur de (as, ak+a), et, pa r ak, l ' a rc extdr ieur et Fare de ]w[ = 1 res tant .

2 ~ X~_~ = 2, ,~ = O. On relic Fare extdr ieur de (ak-~, a~) ~ l 'arc I w l = 1 de (as, ak+i), puis les deux arcs res tan ts par as.

La courbe ob tenue est s imple et passe par chaque poin t a s. E n effet, elle ne peu t p a s s e fe rmer le long d ' u n arc (as, a~+z); elle ne rev ien t en arri6re que sur un arc du cercle I wl = 1, et ensui te se raccorde ~ un are extdrieur , ce qui exclut une fe rmeture de L ' a u t r e m e n t que par un tou r complet . D ' a u t r e par t , on a bien

R~(L, L') = 4~.

On const ru i t ensui te une courbe L" pour laquel le

~:.'=4~ si ~ < 4

~ ~- 4 si 4~ > 4

On const ru i t de n o u v e a u x arcs concentr iques 1/~ oh 2~ > / 4 , et on les relic comme prdcddemment , c 'est-~-dire:

1 ~ si 4~_ 1 < 4 ~ , on relic l 'arc de [w[ = 1 en t re a k e t ak+ 1 au premier arc ext6r ieur de (ak, ak+l), puis les aut res arcs de fagon s ne laisser aucune impasse ;

2 ~ si 4k_ 1 > 4~ , on relie l 'arc (ak_l, ak) de ]w[ = 1 au p remier arc intdrieur de (ak_l, as), et ainsi de suite.

On passe ensui te ~ L ~I~, etc. , jusqu"~ ce qu ' on a i t a t t e in t le m a x i m u m de 4 k (qui est fini). La courbe obtenue est L*. E n effet :

1 ~ elle est d ' u n seul t e n a n t (pour la m~me raison que L~);

2 ~ on a bien ~k = R(L, L*).

Donnons un exemple : soit p = 12, 41 = 0, 42 = 4, 4~ = 4, 4a = 6,

4 5 = 2 , 2 e = 0, 4 ~ = 2, ~t s = 2, 4 9 = 2, 4 1 0 = 4 , ~ 1 1 = 2, 4 1 2 = 2.

Dans la construct ion, on pour ra i t remplacer intdr ieur par extdrieur , e t vice-versa , p a r t o u t on en par t i e seulement. On vo i t par 1s qu ' s un syst~me de ~t k peuven t correspondre plusieurs courbes L*.

211

Remarquons encore que co th6or4me montre bien qu'il y a uno infinit6 de courbes L passant par p (p > 3) points, done une infinit~ de r6scaux pour uue m~me surface; ces quelques r6sultats r6v~lent la complexit6 du probl~mo suivant : deux rgseaux R et R* dtant donnL~, reconna~tre s'ils peuvent provenir de la m~me sur/ace de Riemann. Nous avons donn6 quel- ques conditions n6ccssaires sans parvenir ~ fournir un crit~re g6n~ral.

w 8. Comparaison des cliff,rents r~seaux topologiques d'une m~me sur- tace de Riemann (suite)

Consid~rons une surface de Riemann F pour laquelle on peut construire un rSseau topologique au sens du w 6, c'est-s une surface de Rie- mann dent routes les singularit6s peuvent ~tre isol~es au moyen d 'un pavage ~(~ > 0).

Le pavage 8 choisi ~tait arbitraire; un pavage tout ~ fait different changerait consid~rablement l 'allure du r6seau, aussi nous bornerons- nous ~ une modification particuli~re: celle qui consiste s remplacer le pavage ~ par un pavage plus fin, c'est-s tel que chaque nouveau pav~ soit iut~rieur s un ancien pave; de plus, la nouvelle courbe L passe successivement en t o u s l e s points correspondant ~ un pav~ du pavage primitif. Nous dirons alors qu'on a divisd le pavage primitif.

Thgor~me 10 : La division du pavage ~ ne modi]ie pas le r~seau de F.

I l s'agit du rdseau au sens large, et non pas du r~seau plus precis de M. Elf ring.

212

La surface F a une singularitd au plus dans une portion ddfinie par un pavd du pavage 5; tout circuit dans ce pavd est dquivalent h u n lacet autour du point de ce pard; douc les domaines fondamentaux des deux rdseaux sont les m~mes, ils s 'a justent de la m6me mani6re, donc les deux rdseaux sont identiques.

En terminant , dnon9ons un thdorbme qui se d6duit immddiatement de celui qu 'a dnoncd h ce sujet M. Elfving, dans le cas d 'une surface ~ base singuli6re finie.

Thgordme 11 : Soit F une surface de Riemann multiplement connexe, R son rdseau au sens du w 6. II existe un polygone /ermd de R qui sgpare deux suites in/inies de sommets de R.

La mdthode du w 6 revient h faire une transformation topologique de F, pour l 'amener ~ avoir une base singuli~re finie. Cette transformation conserve l'ordre de connexion, d'oh notre thdorgme.

w 9. Itbseau topologique d'une surface de Riemann quelconque

Soit F une surface de Riemann. On appellera F~ l'ensemble des points de F qu 'on peut atteindre d 'un point a 0 de F par un chemin tel que ]a somme des distances d 'un point quelconque de ce chemin ~ deux singu- laritds quelconques de F (alg6briques ou transcendantes) soit toujours supdrieur h 5 (5 > 0). Un tel chemin sera appeld chemin de largeur 5.

On choisit 5 assez petit pour que la distance de a 0 '~ deux singularitds de F soit supdrieure $ 6.

Th~or~me 12: On a F = l i m F,~ ~ o

Cela revient s dire clue:

1 ~ tout point a de _~ peut ~tre reli~ ~ a 0 au moyen d 'un chemin de largeur 6, pour ~ assez petit ;

2 ~ si eo est une singularitd de F, L un chemin tendant vers co, L~ la partie de L int~rieure ~ F~, tout point de L finit par ~tre int~rieur L~, lorsque ~ -~ 0.

Sous cette forme, le th~or~me est ~vident. On dira qu 'une singularit~ w de F est intdrieure s Fa lorsqu'il existe

un chemin aboutissant h ~o et intdrieur ~ F~. I1 en rdsulte que les singu- larit~s de F~ sont h des distances mutuelles supdrieures ~ 5. On peut donc representer F~ au moyen d 'un r~seau topologique au sens du w 6; on passe ensuite s ; pour construire le r~seau de F~, on reprend le pavage

-2- 2

213

de F t e t on le divise pour avoir un pavage assez fin. D'aprbs le thdor~me 10, le rdseau R 0 de F a s e trouve conservd s l ' int6rieur du rgseau R1 de F~ ,

De m~me le rdseau R~ de F ~ est conservd ~ l ' intdrieur du r~seau de 2 n

F 2n+1

Ces rdseaux ne se modifient donc que par l 'udjonction de nouvelles ar~tes.

E n gdn~ral, les rdseaux Rn n'ont pas de limite, e'est-~-dire qu'il n'existe pus un rdseau R dont les v premi6res gdndrations sont identiques aux v premigres gdn6rations de R~, pour n > no(v ).

On peut cependunt dnoneer ce rdsultat:

Thdor~me 13 : S i toutes les singularitds de F sont isol~es, les R~ ont une limite dans ce sens que pour n > no(v ) les v premieres gdndrations des R , sont identiques.

Supposons en effet que ce ne soit pus le cas: il existe alors une grind- ration, la vi6me par exemple, qui s 'enrichit inddfiniment ; le nombre des sommets de eette gdn6ration est illimitd; en d 'autres termes, il existe un sommet S d 'une des gdndrations G o . . . . , G, auquel se ra t tachent des ar~tes en nombre inddfiniment croissant; il y a donc une infinit6 de domuines D qui ont ee point pour sommet. Soit une suite de pavds P1, .- . , P~, ... emboltds les uns duns les autres, et Am, . . . ,A~, ... une suite de portions ddfinies respeetivement par P~ . . . . . Pn, . . . , emboitdes les unes duns les autres et contenant des singularitds des domaines D. Soit eole point limite des P~. oJ est une singularit~ non isolde. En effet, ehaque A, contient une infinit6 de singularitds; de plus, un cercle de centre co et de rayon ~, contient P,~ tout entier pour n assez grand; une portion cireuluire de centre to et de rayon arbitrairement petit contient une infinitd de singularitds. Le thdor6me est ainsi ddmontrd.

w 10. Existence d'une surface de r6seau donn6

Pour que le probl~me de l 'existence d 'une surface correspondant ~ un rdseuu donnd ait une solution, il faut ~videmment supposer que le r~seau n 'u pus d'impasses et que tous les circuits ont un nombre pair de c5tds.

Si l 'on fair l 'hypoth~se qu'& chuque sommet se rut tachent p ar~tes, la question est r~solue par un th~or~me de M. Elfving15).

15) Voir l 'ouvrage tit6 ~ la note e).

214

Dans le cas gdndral, on a l e

Th~ordme 14 : Soit R u n r~seau sans impasses, dont tousles circuits ont un nombre pair de c6tds. I1 existe une sur/ace de R iemann qui admet, au sens du w 9, le rdseau R.

Supposons pour commencer que R soit un arbre. Choisissons une ori- gine A o. On ddcompose ainsi R en g6ndrations Go, G I , . . . Soit P0 le hombre d'ar~tes issues de A0; le domaine fondamental de A 0 correspond

t 'intdrieur du cercle [w] < 1; les singularitds a 1 . . . . , avo contenues dans les domaines 61dmentaires qui ont A 0 pour sommet sont des points du

2k~ cercle I wl = 1, avec arg a k

P0 Prenons un sommet A 1 de GI, celui par exemple qui se trouve entre les

domaines de a 1 et de a2, et soit Pl le nombre d'ar6tes issues de A 1. On prend pour domaine fondamental de A 1 l 'extdrieur du cercle, soit I w[ > 1; les singularitds sont al , a2 et P l - - 2 autres singularitds choisies sur celui des deux arcs (ai, a2) du cerclc I wl ~ i qui contient les singu- laritds de A o. On prend les Pl - - 2 points qui divisent cet arc en Pl - - ] arcs 6gaux.

On proc6de ainsi pour chaque sommet de G1, puis de G~, etc., en prenant toujours les nouvelles singularit6s sur l 'arc qui contient les singularitds du sommet prdcddent.

La surface qu 'on obtient ainsi peut avoir des singularitds non isoldes: on voit par exemple que c'est le cas de la surface qui correspond K l 'arbre de la fig. 1.

Cas d 'un rdseau en gdndral. On peut, en laissant de c6t6 certaines ar~tes d ' u n r6seau, le transformer en un arbre. Soit donc un r6seau R, et R* l 'arbre obtenu en supprimant certaines ar6tes, mais tel que deux domaines logarithmiques quelconques de R soient dans deux domaines diffdrents de R*. On construit comme plus haut une surface dont le rdseau est R*. Soit A un domaine 61dmentaire de R*, dont la singularit6 est a, et soit D~ un domaine dldmentaire algdbrique de R, contenu dans A et ayant sur la fronti~re de A le s ar6tes So, S~ . . . . , Sv. La fronti6re de A se compose de segments So, $ 1 , 2 - 1 , 23, etc., qui correspondent s des demi-droites

On pose arg w = q~

# = min I~o~ - - arg a I pour O <~ k <. p .

On reporte sur [wl = 1, s partir de a, sur l 'arc qui relie a ~ e ~0, et qui

215

ne con t ien t pa,s e i~-1 un arc de longueur/~, d ' ex t rdmi td P , e t on divise cet

a rc aP en t rois pa r t i es aM, MN, NP. On p r e n d a 1 ~ N pour singula,ritd

de D 1 et a,ux segmen t s de la, f ront i6re de D 1 qui ne sont pas des S k on fai t

co r respondre a, l terna,t ivement les demi-dro i tes a,rg w =: a,rg M et

a,rg w :~00 , sau l pour le dernier , qu 'on choisit da,ns l 'angle d6termind

p a r les demi -d ro i t e s arg w : a,rg a et a,rg w - - a , r g a 1 qui ne con t ien t

pa,s la, demi -d ro i t e a,rg w ~ a`rg M .

On a, a,insi divisd le doma,ine A en deux pa r t i e s : un doma,ine D 1 de R et

u n nouveau doma,ine A~, ind6fini. On r e c o m m e n c e pour A 1 ce q u ' o n a fa,it

p o u r A ; puis on proc8de de la, mSme mani6re pour tous les doma,ines de R*. On ob t i en t a,insi une surface F qui r empl i t b ien ]es condi t ions requises.

(A suivre)

(Re~u le 16 fdvrier 1937.)

216