Les trafics téléphoniques et la sélection conjuguée en téléphonie automatique

LES TRAFICS T~,,L~PHONIQUES ET LA S~,,LECTION CONJUGU~,,E EN T~,,L~,,PHONIE AUTOMATIQUE (fin) ~

De l'hypothSse de l'ind6pendance stochastique des 6tages et des r~sultats pratiques pour l'~tablis~emeut de projets.

par Pierre hE GALL IngOnieur des TOlOeommunications **

S(IMMAIRE. - - L'augeur reprend l'Jtude dtt blocage des rdseat~x de connexion, dans le cas de la recherche au hasard des organes libres, en abandonnant maintenant l'hypotMse de l'ind@endance stochastique des dtages, ll peut ainsi apprdcier l'imprdcision due h cette hypoth~se, qui donne, en ggnJral, des r de blocage approcMes par dg/aut. ll donne, qaand cela est possible, des [ormules pratiques en tenant compte de la d@endance des gtages. Enfin, duns un appendice, il dggage de son gtude les rJsultats prattques ?t retenir pour l' dtablissement de pro/ets de rJseaux de connexion.

i?LAN.---- In t roduc t i on . - 1. M g t h o d e s e t r e l a t i o n s i m p o r t a n t e s --2. La sd lec t ion c o n j u g u ~ e ~ d e u x dtaf tes . - 3. La sdlection conjugu~e~t t~ois dtages. 6. La sdleetion conjugude d cinq dtayes. Concl,~s~,n.

Appendice : Rdsultats pratiques p o u r i ' d t a b l i s s e m e n t de p r o j e t s . - A t . w x c s .

INTRODUCTION.

Nous rappelons que l'Otude gOnOrale que nous venons de faire repose essentiellement sur l'hypothose de l'ind6pendance stochastique des 6tages. Cette hypothOse, formulOe par M. JAconx~us [9], a, jusqu'h maintenant, 6t6 n6cessaire pour obtenir des rOsuhats pratiques, qui sont essentiellement ceux de M. JACOBAEUS, darts le cas de certains types de groupes de sOlection conjuguOe. Dans l'Otude que nous venons de faire, nous avons pu ainsi aborder le cas gOnOral de la sOlection conjuguOe, pour des trafics h 6couler de nature quelconque, et, notamment, nous avons pu traiter le cas des systOmes dOnommOs ~ (( mailles imparfaits ~) ([ > t), ainsi que celui de l'entr'aide, probl~mes non rfsolus avec rigueur jusqu'h maintenant.

Nous avons dgjh dit que cette hypoth~se, permettant d'aborder commodOment les ~tudes th6o- riques de blocage, 6tait gOnOralement eonsid6rOe comme assez bien vOrifiOe dans de nombreux cas.

Toutefois, la question de l'imprOcision due ~ cette hypoth~se a 6t6 soulevOe lors des discussions qui ont suivi la pr6sentation de cette 6rude an deuxi~me ~c Congr~s International sur l'Application du Calcul des Probabilitgs ~ la TOlOphonie ~ (La Haye, 7-11 juillet t958). Aussi allons-nous aborder maintenant l'~tude de sa validitO. Dans ce but, nous ferons l'Otude du blocage en nous en passant pratiquement, et nous comparerons, dans la mesure du possible, les r6suhats obtenus avec ceux d6jh formul~s.

I1 a d6jh 6t6 fait des essais pour apprOcier l'erreur due ~ cette hypothOse, darts certains cas: tout d'abord par M. JACOBA•US [9], puis par M. Jar~- SEr~ [10], et surtout par M. ROD~.r~BURG [15 bis]. Ce dernier auteur s'est surtout attaqu6 h un cas particulier de la sOlection conjuguOe, celui du pro- blOme des sOlecteurs rotatifs sans position de repos associOs a leurs orienteurs de commande, problOme 6tudi6 aussi par M. FORTET [6 bis].

En outre, M. ELLDIN [5 his] a essay6 d'aborder de front le problOme de la sOlection conjuguOe h deux 6rages, par la mOthode des 6quations d'Otat.

Darts toutes ces 6tudes, il n'a pas 6t6 donn6 de mOthode gOnOrale et sore, permettant d'apprOcier commod6ment et avec prOcision la valeur (alg6- brique) de l'erreur commise avec l'hypothOsc de l'indOpendance.

Darts ce supplOment nous pensons en donner une, et nous nous efforcerons, dans la mesure du possible, de donner des formules pratiques de blocage en tenant compte de la dOpendance des 6rages. Nous constaterons que l'erreur commise avec l'hypothOse de l'indOpendance est tantSt par 6xc~s, tantSt par dOfaut, point qui semble controvers6 jusqu'h maintenant.

Nous commencerons par exposer la m6thode uti- lisOe, et par 6tablir quelques relations importantes, avant d'en faire l'application aux diffOrentes sOlec- tions conjuguOes.

Enfin, darts un appendice, nous dOgagerons, de notre 6rude, les rOsuhats pratiques qui s'en dOduisent pour l'Otablissement de projets de rOseaux de connexion.

* Une premiOre partie de cet article a paru dans les numOros de juillet-aoOt et septembre-octobre 1958 des Anna- les, pages 186-207 et 239-253. Le manu~erit eorrespondant avai t 6t6 re~u le 18 avril 1958"

*~ Au C. N. E. T. D6partement RECHERCHES SUn MACHINES ]ELECTRONIQUES. [ ] En r~gle gOnOrale pour tout renvoi entre crochets au eours du texte d 'un article, pri~re de se reporter h la biblio-

graphie eomplOtant l 'artiele in fine.

-- 278 - -

t. 13. n ~ 11-12.1u581

PII EM 1I~ t /E PA l i t IE

M ~ . T H O D E ]~T R E L A T I O N S I M P O B T A N T E S

1. M6thode gengrale .

Nous rappellerons tout d 'abord los trois hypo- theses dent nous nous sommes servis jusqu'~ maintenant :

hypoth~se I. Fonetionnemcnt sym6tvique d 'un groupe de trafie, correspondant at, cas dc la recherche de pur hasard. C'est It proc6d6 ordinal- rement utilis6 dans los syst~mes crossbar, par oppo- sit 'on h eelui de la recherche siNuentielle dnns lc eas de eommutatcurs rolatifs ;

hypothkse I I . Nature stochastique d 'un gvoupc de trafic non perturb6c par la consti tution phy- sique du rdseau de commutation, d'ofl ind6pen- dauce stochastique des groupes de trafic d 'un ,rttmw 6tage ;

h y p c ! ~ s e I I I . Ind6peadancc stoehastique des btages entre eux.

La premiere hypoth~se n'est nullement contes- table. La scconde, par centre, l'est plus, si la troi- sixth," n'est plus eonsid6r6c eomme valable. En fail:, nous avons signal6 que, clans le cas d 'un taux de porte faiblc d'abonn6 "5 abonn6, seul cas envisag6 ici, eette hypoth~sc est valablc, du fail qu% d6s l'al)parili, m d 'un appel "h l'entr6e du central int6- rcssant le grOUl)C de tralie consid6r6, nous so,ntn,.s prali(luemeut stir qu'il sera 6could pat' ce dernier.

()r, cn admeUant l 'hypoth+se II, nous l~(mvons nous l,aSs~'r dc l 'hypoih+se II1. De sortc qu+, h.s valeurs d('. blocagc cherch6es seront prat iquement exacts+s, si elles sent faibles. Dans la pratique, n<)us voulons des blocages de l'ordrc de ~0 -a, h,s formules que nous donnerons seront done suttisuntes~ quant "~ la pr6cision, pour l'ing+nieur, l 'erreur reht- t i re commise 6tant alors de l 'ordre de n. t0 -a, pour un groupc de s61ection 'h n 6tages.

l tappehms que si l 'on voulait rdsoudre rigoureu- semen, h; lwobl~me, la seule m~thode serait d 'uli- liser le~ 6quations d'6tat. Los calculs deviendraient rap,dement inextricables dans le eas g6n6rat.

Tous los calculs uh6rieurs vent repose," ,,sscuticl- hmmnt sur los rrmar(lues quc nous aliens tout d 'abord exposer.

Considfirons dill'alton,s groupcs dc traiic d 'un m~me 6tage, ehacun rep6r6 par l'indice i, 6coulant un trafic h "h travers ses/t s61ecteurs. Supposons quc ces groupes aboutissent h u n unique groupe (T~, L~)~ off T 1 = H ti. Ce dernier groupe est par exemple

4

l'6tage central des s61ecteurs secondaires d 'un groupe de s61ection conjugu6e i~ deux 6tages, h'.s groupes (h,/i) 6tant alors les faisceaux de sortie de ee groupe. Appelons un faiseeau (ti, l~) faisceau de sortie: et le faisceau (T~, La) faisceau central, et

,.v.s 'rR A V,Cs TI::L~:V.,)N,,.,U,.:S 2/24

supposons, pour simplitier, toutes los combinaisons d'oeeupation possibles dans les divers faiseeaux.

Supposons qu'il y air v conversations quel- eonques dans le faiseeau (tl, Ix) , correspondant done h v liaisons dgtermindes oeeup6es dans le faiseeau central. Quelle est alors la probabilit6 ~ pour que ~.l liaisons dGtermin6es so'out oecup6es et ~ d6termi- n6es libres, cos liaisons 6tant consid6r6es parmi les (L 1 - - v) restantes du faisceau central ?

L '6tat de cos (L 1 - - v) liaisons ne d6pend plus du faisceau (tl, /1). Quelle est alors la probabilit6 P , pour qu'il y ait n occupations quelconques dans cos (L 1 - - ~) liaisons ?

Posons : (2<9

6" : E P,, . ,~ ",

. . . . . ~ [ ) in . , , , n , n = O

off p~., est la probabilit6 pour qu'il y ait n communications en tours dans le [aisceau (ti, l~).

Supposous que gi est pratiquement indgpendant de li, si l~ n'est pas trop faible. Nous nous limiterons, iei, "~ ee cas, qui n'est pas trop restrietif quant ~ la nature stoehastique du trafie 6eou16. Nous pouvons 6or're, dans cos conditions :

l)'ofl :

(l/,)

p { ) l l l "

12x~

n = 0

r = n+ Igi),

i ~ I.

IDa.s h.. uasd~, la to' d'ERLAN% ~. particuli~r,u.us I<VOIIS :

,'--'i ~ $+~fi(l--s), et

en posant :

(; _:: e.--Vr,--q)(I-s) e--'r(,--~)

T::= 7' l - - t 1.

Nous d6duisons imm~diatemcnt :

. q ILv-v~

du fait quc ce traiic T n e s'6coule qu'h tt'avcrs los (L 1 - - v ) liaisons consid6r6es du faisceau central. Dans le cas plus g~n6ral correspondant 'h (ib), oh los variables t+ n ' interviennent plus forc~ment par leur somme Y, t+ = T, nous d6signerons quaud m6me la

i

probabilit6 n correspondaute par le symbole (2b), qui sous-entendra alors une expression beaueoup plus eompliqu6e, ealcul6e h partir de la formule (4) de notre article ant~rieur [15], off les P~ sent donn6s

partir de ('lb). Dans le eas od la dur6e des communications suit

la loi exponentielle, et od le processus d 'appari t ion des appels, pour le faisceau (L a - - ~), est foaetion de [(L 1 - v ) - n], ce que nous appellerons par la suite la condition (A), i l e s t ais6 de voir que la for-

279

3124

mule (4) de C. PALM est valable, d'ofi nous d6dui- s o n s :

(~ c q ~ T I~oq+'J~T it,~v~T t ~" / / i t - - V ~ ~p ]]fztl~" /LL�9

A partir de (3), nous trouvons alors :

/ n ~ l .~tt]T ~___ /ncq+ v nat]T l(.vIT

(3b) est, en particulier, applicable au processus d 'En rx~r et m6me au processus du binbme tron- qu6 sl nous supposons que la deuxi~me expression de (3b) est relative h N abonn6s, et la premiere h (N - - v) seulement, done charge des lignes du faisceau identique dans les deux cas.

Supposons maintenant que les divers faisceaux de sortie /4 6coulent un seul groupe de trafic Tx, done celui du faisceau central.

La probabilit6 ~ n'est autre que la probabilit6 eonditionnelle pour que les (~.~ + ~2) liaisons consi- d6r6es soient dans l '6tat voulu, sachant que v autres d6termin6es sont occup6es. Nous avons alors :

De mgme si la condition [A], pr6c6demment envi- sag6e, est v6rifi6e, nous avons aussi :

(5b) = = ~ .~ ,~,_~.

La diff6rence fondamentale avec le cas pr6c6dent, d'6tages ~coulant des trafics diff6rents, est que c'est la variable T : qui intervient, au lieu de la variable T = T t - - t x.

E n rgsum~ : Une expression, dans le cas de la loi de B~.~-

r~ovr~x, telle que :

( C . P ~ - q ~ ) . ( p : q , ),

qui devient dans le cas de l 'hypoth~se de l'ind6pen- dance stochastique des 6tages :

devient, en abandonnant cette hypoth~.se :

(6b) ~ , - ~ t , ~, ~,,T C~t.(P2.q2 )t.lP .q )~,-~,

en posant T = Tx - - t.

De mgme, dans le cas off les deux 6tages 6coulent le mgme trafic, une expression telle que :

Ct. (P2.q~ )~, ( f ' �9 "q )L,, devient :

" I " k P 2 " / 2 /L," ".~ /LxliF /L,"

Dans le cas du trafic d'ERLA~G (6b) peut encore s'6crire :

(8b) C~.~2 .~ n-~r .~ ~,,~ ,~,-

De m6me (7b) peut alors s%crire :

$'kF2"~t2 /.L t '~g "?l /Lx--v"

La mdthode g6ndrale ayant 6t6 exposde, nous allons maintenant g6n6raliser le thdor~me I.

P . L E G A L L [ANNALE$ DES TI~IM~COIM[I~IC~TIONS

2. TMor~me g~n~ral.

Consid6rons tout d 'abord un groupe de trafic isol6, off l 'hypoth6se I de fonetionnement sym6- trique n'est pas forc6ment respeet~e. La ligne de num6ro ] a une charge p~ (-- l - - q~), et nous pouvons d6finir des probabilit6s telles que {P~'PJI' etc.., d6pendant des indices i, / ....

Consid6rons une expression telle que :

I qt 'q" " " % } ,

cxprimant la non occupation de n liaisons d6ter- min6es (appelons-la 6v6nement A). Pour ces n liaisons, d6finissons les quantit6s :

S~ = E pi, . . . pjm,

off la sommation est 6tendue h toutes les combinaisons possibles de m liaisons prises parmi les n consid6r6es.

D'apr6s le th6or6me de H. Pon~cxnfi, qui nous a servi pour la d6monstration du th6or6me I, nous avons :

t - - { qx.q~ . . . %} = S 1 - - Sz + . . . - - ( t )" S , ,

O U "

(10b) [ q l . q 2 . . . % } = i - S t + S 2 - - . . . + ( - - t ) " . S , .

Ainsi de l '6tude de Iq: 'q2 " " q=}, nous sommes ramen6s h l '6tude de probabilit6s telles que [P: .P2 . . . pro}, exprimant l 'occupation de m liaisons d6termin6es (appelons-la 6v6nement B).

Consid6rons maintenant le cas de deux groupes de trafic appartenant h deux 6tages diff6rents, non ind6pendants entre eux.

Dans la suite nous appellerons 6v6nement A ' , un 6v6nement de la mgme nature que A, mais relatif h n' liaisons d6termin6es d 'un autre 6tage. De m~me, nous appellerons 6v6nement B ' un 6vbne- ment de la mgme nature que B, mais relatif h m' liaisons d6termin~es d 'un autre 6tage.

Portons notre a t tent ion sur une expression telle que : valeur exacte de

lib) I (qt 'q2" '" q-) • ( q l . ~ . . . q~')}= Prob. (Aet A') = Prob. (A) • Prob (A', si A).

Appliquons alors la relation (i0b) sur la proba- bilit6 conditionnelle : Prob. (A ' , si A).

Nous sommes alors amen6s h des expressions telles que :

Prob (B', si A),

qui conduisent finalement h :

Prob (B' et A).

En appliquant de mgme (i0b) sur la probabilit6 conditionnelle :

Prob (A, si Br),

nous sommes finalement conduits h des expressions telles que : (12b) Valeur exaete de I (P l 'P2 " " pro) X ( p ' : . p ' 2 . . .

P'w)}

- - 280 - -

t. 13, n ~ 11-12, 1958]

correspondant h

Prob (Bet B').

Le passage de ( l ib) & (12b) 6rant ind6pendant des lols de probabilit6s, nous pouvons appliquer la loi de BEnNOVLLI pour t rouver commod6ment ce moyen de transformation.

Le raisonnement s '6tend ais6ment au cas de plusieurs 6tages.

Si nous nous souvenons, d'apr6s la d6monstration du th6or6me I, que la valeur du blocage s 'exprime en fonction lin6aire des probabilit6s telles que ( l ib) (dans le cas de deux 6tages), nous pouvons g6n6ra- liser le th6or~me I de la fa~on sulvante :

Thdor~me I I I . Si darts le cas de la loi de BEn- ~OULL*, nous d6signons par p~.~ la charge de la l iaison/darts le groupe de trafic int6ress6 de l '6tage i, la valeur du blocage d 'un groupe de s61ection conju- gu6e, qui est alors un polyn6me du premier degr~ par rapport aux variables p~.~, s 'obtient, dans le cas de trafics de nature quelconque h 6couler, en rem- plagant des expressions telles que

(Pl P~ " ' " Pro) X (]91 ]9"2 " ' " P ' m ' ) " ' "

par leurs valeurs exactes :

{ . . . p . ) • . . . x . . . 1. Ce th6or6me, qui s 'applique done aussi bien dans

le cas de la recherche s6quentielle, montre d'ailleurs route la complexit6 du problbme dans ce dernier cas, que nous n'abordons pas ici.

Dans la pratique, nous ne consid6rerons que la d6pendance entre 6rages adjacents, la d6pendance entre 6rages 6loign6s pouvant gtre n6glig6e.

A l'aide du th6orbme III, il est ais6 de g6n6raliser les notions de fonction fondamentale et de fonction g6n6ratrice attach6e hun groupe de s61ection conju- gu6e, telles que nous les avons d6finies dens notre article ant6rieur [15].

En fair, dans la suite, le th6or~me I I I ne nous serapas utile.

3. l~ tude de d e u x f i tages a d j a c e n t s .

Le probl~me est le suivant. Nous avons essentiellement le faisceau central.(Tx, LI) et les divers faisceaux de sortie (h, lr pr6e6demment d6sign6s. Consid6rons plus sp6cialement le faisceau (t2, 12). Le raccord entre les deux 6tages se fait par ra sec- t ionnements de taille (c • b), c 6tant le nombre de sorties c6t6 faisceau central.

Le faisceau (&, l~) consid6r6, de charge p~, pos- s~de (h) lignes aboutissant h ehaque sectionnement de raccord, de sorte que

l~ ~ h • m.

Consid6rons ]e cas off nous avons vi lignes prises dans le faisceau de sortie, relatives au sectionnement de num6ro i. Nous supposons vi < h pour i ~<tt, et v i = h pour i > F. Quelle est alors la probabilitl; conditionnelle de t rouver x~ lignes

I.lZs TnAFICS TI~LEPtIONIQUES 4/24

ddtcrmindcs occup6es par sectionnement, correspondant h i ~< F, dans le faisceau central ?

Autrement dit que devient ] 'expression /,roT, off x = ~] x~, en abandonnant , dans ce cas, l 'hypo-

th~se de l ' ind6pendance des 6tages ? Si h = i, la solution est donn6e imm6diatement

par (6b), d'ofi :

~vxJL, -> (P*)z,-(.~-m,

avec

T = T ~ - t 2.

Si h e s t sup6rieur h l, ]e probl~me est plus diM- cile.

Nous allons l 'envisager tout d 'abord quand le faisceau central est concentr6, puis quand il est en expansion. Nous restons d 'abord dans le cas o5 les deux 6tages 6coulent des trafics diff6rents. Nous verrons ensuite le cas off les deux 6tages 6coulent le m~me trafic.

.4) I~tages dcoulant des trafics di[[drents.

a) Faisceau central concentrd (b > c). Dans le sectionnement de num6ro i (i ~< F),

consid6rons le cas off ),~ des v~ liaisons du faisceau central, occup6es par les communications en cours passant dans le faisceau (t2, 12), sont jus tement parmi les x~ consid6r6es.

Pour 6crire la probabilit6 d'etre dans ce cas, nous devons remarquer qu'il nous reste (x~ ~ X~) liaisons seulement susceptibles d 'etre occup6es, et tenir compte du nombre de cas alors possibles g6om6- tr iquement. D'ofi cette probabilit6 pour i donn6 :

. I l/c: De sorte que, en tenant compte de t o u s l e s sec-

t ionnements correspondants h i ~< ~, nous avons :

i - - t t

n .{ }, i = I 4 ~-- t

a v e c

~t

X = Z),~. i = l

L'expression exacte de { p~-X } se d6duit alors de (13b) :

= (Pl )t,-~', Off

La probabilit6 cherch6e est done :

x

Dens le produi t entre croehets~ nous ne consid6- t t

rons que des distributions de ),t telles que ~ )~ = Z. i = l

Remarquons que nous obtiendrions le mgme r6sul- ta t en 6crivant (dans le cas de la loi de BERNOULLI

5/24

pour ne pas ~tre ggn6 par les symboles) :

P=m=,l# D'apr6s la relat ion

p~i-x~ =

Cx, ~; -x , .p~,-Xi l ~ , 1. �9 Q �9 c_,~i

p~,i-xi.(p, + q,)X~ =

x ;

nous pouvons encore 6erire le terme entre crochets de la fa~on suivante :

r X i �9 ~ u i �9 c--'~ i I e ] "l~1 "'11 =

q~,~ x,~. (q, ICo) I x c,,-x; } _ " F 1 " 1 "( ~.; C~i - . r , " c--v~

(CZ~-~ lC'f_q pZ~-vi q~ 2 . o , . 1 "

t lemarquons que :

6 ~ - ~ l ~ <~ (x~ IC) ~ c--g~ i ~ c

Le signe 6galit6 s 'obtient pour q~i = 0 ou t , si x~ < c, et pour n ' importe quelle valeur de ~i pour xi ~ c. Dans la prat ique ou nous avons xi ~ c (cas de l 'entr 'aide), ou x~ est bien inf6rieur h c, et nous avons alors :

~ * --q~i ( 5b) - ( JCp'.

Cette 6quivalence est, dans ce cas, d ' au tan t plus justifi6e, que seules les valeurs faibles de ~, interviennent. De plus, l 'erreur commise est, par execs, done du c5t6 de la s6curit6.

(14b) devient alors :

"T,, C ~ i (,~ I . . ' ~ i ~ z i - ~ i ..,~i = p ~ i - v l • ( P l + x i " qilC) "i. r ~ 9 i " ~ i t ~ J �9 Y 1 " '11

Nous avons finalement :

d6b) _v : f l y , , x H i = l

T [Pl + (~/C)'ql]')L,-~"

Si x~ est ind6pendant de i (i ~ ix), posons : xi = /, done x = /ix, et

,~ = Z ,~ = v ' - - (n,-- F.1, i = l

Nous avons alors :

T (t7b) P = (~ t t - '~ . [P l + (tiC) ql] )L...~,.

Ce r6suhat est remarquable, car il ne d6pend plus des vi en particulier, mais de la somme v.

En particulier, si [ = c (cas de l 'entr 'aide), nous avons :

(t8b) P = l d ~-%r ~,Vl ] ( l~ t - -mh}+( i zh - - ' r

Nous savons d'ailleurs, d'apr~s (t5b), que cette relation est rigoureuse dans ce cas.

Si xi[c est tr~s faible, nous avons :

(t9b) p . .~ �9 v - - ( P l ) I L , - - m h ) + ( V l , - - u ) "

Remarquons que (i 7b) peut s 'explieiter ainsi :

(20b) p = Z C~.( /p:)* . (p~-~.q~r I ] (L t - - -mh ) F(Izl,--'~)"

P. L E G A L L [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

Seules, les faibles valeurs de 9 in te rv iennent si if]c) est faible.

Si la condition (A) est v6rifi6e, cas en part iculier du trafic d'ERLANC, (t8b) peut encore s'6crire :

it T v T

ou encore, si / est sup~rieur h h :

it T (22b) P f p ~ " - ~ , I

De m~me, (/7b) s'6crit alors :

(23b) p = (~'~T \ 1 ] ( 5 ~ - - m h ) + ~ h X

' ~ T " ~ T ( [e l -~ (//c).qd)~.-~.-.,./(pd~.-,,,- Nous allons maintenant examiner le cas du fais-

ceau central en expansion.

b) Faisceau central en expansion�9

Consid6rons tou t d 'abord le cas du faisceau central en expansion par rappor t h l '~tage des faisceaux de sortie (b < c). Dans le sect ionnement i, envi- sageons tou t d 'abord le eas (x~, v~, X~) d6fini au paragraphe pr6e6dent.

Intercalons l '6tage de r6f6renee entre les deux 6tages eonsid6r6s. Cet 6tage ne modifie e n r i e n les valeurs de blocage en s61ection eonjugu6e.

Tout se passe alors comme si la taille du sectionnement i s6parant l '6tage de r6f6renee de l '6tage central 6tait devenue [ ( c - - ~ ) X ( b - v~)] pour les liaisons du faisceau central 6coulant le trafic (T 1 - - &) = T.

Dans ces conditions, d'aprgs la formule (16) de notre pr6c6dent article [15], nous devons faire, cette f0is-ci lo subst i tut ion :

,=~ 1 ~ _ ~ ' ] x tPo )L.-r

off Lo(= m. b) est le nombre de lignes de l '6tage de r6f6rence de charge Po = T]Lo = Pl" (clb).

Cette substi tut ion peut encore s'6crire

(24b) { p~-Z ] __> (AIB) , , - x , r �9 t P o ) L o - ~ ' ,

avee :

et

A = fi ~=1

[C~i - - ;q +v, +~ i l I C ' ~ , - - X , b I e J~

s = fi [c;vc:,]. = 1

Si la condition (A) est r6alis6e (cas du trafic d'ERLANG), nous avons alors :

PO )Lo-'/ = PO )LoltP oIL,"

La subsl ihdion (24b) devieut, dans ces co,di- lions :

~" T rff '-x+r I[Pl ]~,"

Nous rappelons que v' est le nombre de communications en cours dans h faisceau de sortie (Q, 19).

Ce r6sultat est remarquable, car il ne d6pend ni des x~, ni des v~, ni des X~ en particulier, mais des

- - 282 - -

t . 13, n ~ 11-12, 1958]

sommes x , v" et 9~. Ce n'est autre que la probabilit6 conditionnelle pour qu'il y ait (x - - Z) lignes d6ter- min6es oecup6es dans le faisceau central 6coulant seulement le trafie T, 6tant entendu que v' autres lignes d6termin6es du faisceau sont d6jh occup6es.

La formule g6n6rale (20b) devient alors :

(26b) p = Z C~ ~ ~+r ~ r ~' T .([Ic) . [~ .q,]L,][Pl]r,,. r

Les raisonnements s '6tendent ais6ment au cas off le faisceau central est en expansion par rapport h un autre 6tage que l'6tage des faisceaux de sortie consid6r& En particulier, si la condition (A) est r6a- lis6e, nous avons I,)ujours la formule pr6c6dente (26b).

B) l~tages ~coulant le m~me trafic.

Les divers faisceaux de sortie 6coulent done le mgme groupe de trafic T,.

Dans ce cas, le raisonnement est tr6s simple, et le r6sultat est le mgme que le faisceau central soit en expansion ou concentr6.

Pour trouvev la valeur de I P~-x I, il suffit de remarquer que ce n'est autre que la probabilit6 conditioxmelle pour que (z - - X) lignes d6termin6cs du faisceau central, 6coulant le trafic T1, soient occup6es, sachant que v' autres lignes du faisceau sont d6jh occup6es.

Nous avons alors h faire la substi tution :

- + L v 1 J L ~ L V l JL~"

La formule g6n6rale (20b) devient alors :

(~8~) p 2 c~. ( l /~? . [ ,d ; ~+''-~ -~~T,~r,,""~"' = "'/1 J L t , / k t ' l JLx " q~

(28b) se d6duit de (26b) en faisant la substi tution :

7 '= T~-- t .~ ->T v

Si le faisceau central est concentr6, les crochets dans (28b) sont h remplacer par des parentheses.

4. l~tude d 'un 6tage central avee deux 6tages ad]acents.

Nous avons toujours ]e m6mc faisceau central, aboutissant d 'un c5t6 vers l'6tage des faisceaux de sortie d6j'~ consid6r6 par l 'interin6diaire de m secfionnements d~ taille (b X c). Mais le faiseeau aboutit , en outre, c6t6 entr6e i~ un autre 6tage constitu6 de faisceaux d'entr6c, le raccord se faisant par n sectionnements de taille (e • d), d 6rant le nomlwe de sorties c5t6 faisceau central.

Consid6rons tout particuli~rement le faisceau d'entr6e (t a, la), dc charge P3" II est raccord6 h c|mque sectionncment par l de ses lignes.

Et consid6rons toujours l e faisceau de sortie (t2, /2), de charge P2, raccord6 h chaque section- de,uent de sortif, par h d e sen li~nes. Nous avons 114)11(! :

/ I:, , . I.

L E S T R A F I C S T E L E P H O N I Q U E $ 6/24 Consid6rons le eas o6 nous avons X~ lignes prises

dans le faisceau de sortie,relatives au sectionnement de sortie de num6ro i, et simultan6ment Fj lignes prises dans le faisceau d'entr6e, relatives au sectionnement d'entr6e de num6ro ]. Nous supposons :

I X~ < tt pour i ~< X, ~tj < k pour 1" ~ F,

et I k~ = h pour i > ~,

~ = k pour /" > t*-

Consid6rons les (f.X.t~) lignes du faisceau central servant h relier les t~ sectionnements d'entr6e, correspondant h ] ~< ~, avec les ), sectionnements de sortie, correspondant h i ~ X.

Quelle est alors la probabilit6 conditionnelle P de trouver ees ([.X.t~) lignes occup6es, sachant que nous sommes dans le cas cit6 ci-dessus ? Autrement dit, que devient, dans ee cas, l'expression :

1 lynx"

Si h e t k sont sup6rieurs h l , les formules sont alors trop complexes pour gtre utilis6es dans lcs calculs num6riques. Nous nous bornerons au cas le plus important dans la pratique, h savoir h = k = 1.

Nous avons done (m ~ X) communications en cours dans le faisceau de sortie, et (n - - ~) en eours dans le faisceau d'entr6e. Nous n6gligeons l'6ven- tualit6 o6 certaines des communications du faiseeau d'entr6e se retrouvent dans le faiseeau de sortie de sorte que nous 6erivons que le nombre de lignes occup6es par ces communications dans le faiseeau central est :

x = ( m - - X ) + (n - - t* )= ( m + n ) - - ( k + F).

En n~gligeant l '6ventualit6 pr6c6dente, nous nous pla~ons, d'ailleurs, du c5t6 de la s6curit6,1a quantit6 x 6rant alors approch6e par exc~s.

Distinguons deux cas :

1 ~ Les trois dtages dcoulet]t des traflcs diff6= ret~ts.

Consid6rons les (L 1 - x) autres lignes du faisceau central. Elles 6coulent donc un trafic T, dont il faut retirer les trafics d'entr6e et de sortie consi- d6r6s, en tenant compte du trafie commun entre ces deux derniers. D'ofi :

T = T 1 - - (t 2 + t ~ - t 2 . t J T 1 ) , OH :

(:~.qD) 7' - T , .(l - - t2/T1) (t . - t3/T,).

Si le fMsceau central est concentr~, (6b) donne alors :

[ ,J Xv:~ T ( 3 0 b ) P = ~,~'1 / [~ , - (~+ ,~ ) ] .4 - (x+~) '

Si la condition (A) e s t r6alis6e, cas du trafic d'ERLANG, nous pouvons encore 6crire, "~ partir de (st,) :

- - 283 - -

7124

Cette derni~re formule se g6n6ralise darts le cas d 'un 6rage central en expansion.

2 ~ Les trois dtages dcoulent le m~me trafic.

Autrement diL ]es faisceaux d'cntr6e et de sortie 6coulent aussi le trafic T z du faisceau central.

Le raisonnement est alors simple. I1 suffit d'6crire que P e s t la probabilit6 conditionnelle pour que ([. X. ~) lignes d6termin6es du faisceau central soient oecup6es, sachant que x autres d~termin~es sont aussi occupdes. Nous avons donc, sl le faisceau ee~- t ral est en expansion :

(~2b) P = [~+~]~ , / [ p f l~ : .

Si le falsceau central est concentr6, il suflh, dans la formule pr6e~dente, de remplacer les crochets par des parentheses.

Dans cette hypoth~se, si la condition (A) est r6a- lis6e, cas du trafic d'E,rANG, nous avons aussi :

(33b) P = [p~l ~ r k /[Lt--(m+,)l+(X+lt)"

La diff6rence essentielle entre (30b) et (33b) rdside donc alors dans le remplacement de T par T v

Nous avons terrain6 ]'6tude des relations g6n& rales. Abordons main tenant ] 'application h la sdlection conjugu6e h deux 6tages.

DEUXII~ME PARTIE

LA S I ~ L E C T I O N C O N J U G U I ~ E A D E U X ~ T A G E S

P . L E GALL [ANNALES DES T~L~COMMUN~CATION$

que h = 1. Les donn6es sont les suivantes :

S E C T I O N N E M E N T S F A I S C E A U DE SOBTIE

PRIMAIRES

K = 7, / = 2 , a = 38, T~ = 136,16 erlangs, L~ = K i n / = t68, EL, (Tx) = 0,968.10 -~.

Nous nous plaqons dans le cas de l 'entr 'aide, od l'appel entrant dispose des sept sectionnements pri- ma~res. Nous devons alors faire les substitutions :

Lz = m = 12, T~ = 3,5 erlangs, E~, (T2) = 0,2t3.t0 -~.

K = 7 ---> t, / = 2 --~ 7 x 2 x 14.

Dans le cas de l 'hypoth6se de l 'ind6pendanc% le blocage a pour valeur :

P = 2.10-~.

Si nous abandonnons cette hypoth~se, nous obtenons, d'apr~s (34b) :

P = 2,55.10 -~.

Le r6suhat e x a c t est done sup6rieur h l 'ancien de 25 %.

Si le t aux de perte de ]'6tage central Ez,,(T~) 6tait net temcnt inf6rieur h celui du faisceau de sortie EL, (:I'2), cette nlajoration seralt bien moins grande, l 'influence de l'~tage central se faisant moins sentir.

Dans la pratique~ l 'erreur due h rhypoth~se de l ' ind6pendance des 6tages d6passe rarement l0 ~o, s i h = 1.

2. Cas h > 1.

1Nous reprendrons les mgmes notations que celles utilis6es dans le texte lors de l '6tude correspon- dante.

u la diff6rence de complexit6 entre les cash = et h > 1, nous commencerons d 'abord par le premier.

1. Cas h = 1.

D'apr~s (t3b), la formule g6n6rale (32) devient en faisant h x = h 2 = h pour simplifier :

�9 p = ~ Cp. (nm--V ,#'~Tt (~fY.~T -m'~t'2 "~ /2 ]L t ' kP ' I ](Lt--m)+~ :

(34b) m[ y . T E~,(T~). X .(v~ )l~,-~,.~'

(m--p.)! T~ avec

T = T 1 -- T 2.

Dans ce cas, les calculs num6riques ne sont gu~re plus longs que ceux obtenus en abandonnant l 'hypoth6se de l ' ind6pendance.

Reprenons, eomme exemple, te groupe de s61ec- tion conjugu6e d6jh pr6sent6 h propos de la for- mute (32), et consid6rons un faisceau de sortie tel

Reprenons tout d 'abord le cas de la loi de BE," NOULU h ehaque 6tage. l~erivons :

P = x c ~ p ~ ( ~ - ~ . ( t - v~)~.~ ~. t~

En outre :

= x c ~ ( - i)~-~.v~t~-zl .(p2 + q2) '~, X

et

--~" V h ) , F 2 "'/2 ;

donc, 6erivons :

0 p ~ ) ~ ~ c ~ ( - ~ - ~ ~ - ~ ~ - - . ~ ) , , ~ . L / �9 " ~ h t " k ' 2 "~/2

= Y~ AC~,~).pW ~. q,~,

8 v e e

(35b) A(~, ,~) = ~ C~.(- ~t)~-;~.Ch.

La formule g6n6rale (32) peut donc encore s'6crire, en faisant h i = h 2 = h pour simplifier :

p = x c~. ~ A(~,~>. ~ �9 .~ , .~ 1 ~,.

~n a})andonnaIlt l 'hypoth~se de l ' ind6pendance

- - 284

t. 13, n ~ 11-12, 1958]

des &ages, la quantit6 [.~, ]~ est h remplacer par la quanti t6 beaucoup plus eomplexe F(it, ~) d6duite de (26b), si l '6tage central est en expansion. Dans (26b) nous avons h faire les substi tutions :

{ ' --> h m - - v v . - + h y . - - v /Ic -+ I IK

l e s t le nombre de sectionnements primaires mis la disposition d 'un appel entrant (f...-~ l[). Nous avons done :

LES T R A F I C $ T I ~ L E P H O N I Q U E $

Nous posons :

(39b)

r = ~i~-[( i + ~ , - ~,)~;- ~" + r =

(36b) F(9,~) =

Z C~ ~.(l/g) ~' r,,~,~+,t~-~-~, . ~ ~r.~,~-~r. - - �9 L V l �9 ~ 1 J L , / k V ' l JLt

La formule g6nbrale de la s6lection conjugu6e h deux &ages s'6crit done, ell abandonnant l 'hypoth~se de l ' ind6pendance des &ages :

(37b) �9 P E C ~ E A ~ h~-,, ",z. = ~ �9 ( ~ , ) . ( a .q~)~,-~(~,~) ,

off A(fz, v) est d6fini par (35b), et F(~z, v) par (36b). Dans cette derni~re formule, les crochets sont h remplacer par des parcnth&es si l '&age central est concentr&

Nous voyons que (37b) conduit h des calculs num6riques en g6n6ral impraticables. Aussl, allons- nous commencer tout d 'abord par le cas le plus simple, celui de l 'entr 'aide.

a) Gas de l 'entr'aide.

Nous avons alors : l = K, et l '&age central est concentr6. (18b) permet alors d%crire :

[ p( Kt--h)~ + v~T F([z,v) = ~ ~ ](r,-,~)+~"

Si la condition (A) est v6rifi6e, cas du trafic d'ERLANG~ nous pouvons encore 6crire :

(38b) F(tt, v ) = iVil(~x_mh}+~.kl~l ]Z,_mh.

l~tudions :

G(v) = [p.~r i l](Lz--mh)+~"

Pour v faible, nous avons :

G(~) _~ (~)~,~,_,,,,, -~ Z, --,,,h = v,,

en posant :

p~ = TI(L 1 - mh).

Remarquons, en outre, que si nous nylons G(v) = i , tout se passerait comme si le hombre de sectionnements primaires, mis h la disposition d 'un appel entrant , 6tait l = K - - b]/. Dans la pratique l e s t compris entre K et (K - - 2). Les blocages PK et P~_2, dans chacun de ces cas, ne sont pas t r& diff6rents si K est, par exemple, sup6rieur h 5. I1 en r6sulte, d'apr~s (38b), que les valeurs influentes de v sont des valeurs faibles. L 'approximation de G(v) par l'expression (pl)" n 'est donc pas d6raison- nable. En fair, il faut pousser l 'approximation plus loin.

s / 2 ~

( i + r ~ ) ( ~ o i ) ' - ~ l . ( - l v l )" + r ~.

Le probl6me est done de t rouver les valeurs de r r %, ~z, et ,~ correspondant h un bon ajustement. C'est un probl6me d'analyse.

Ensuite, il s'agit de trouver lc blocage obtenu correspondant h la substitution de G(~) par une expression telle que x *.

Comptc tenu de (37b), le blocage s'6crit alors :

p(x) = 2 C~.AC~,~) •

{ [T~ '~-V(hm-- v)!]/(l + Tall! + . . . + T~'IL, ! ) I X

cn posant : T = T ~ - T2, L = L 1 -- mh, /" = K t - - h.

Nous pouvons encore 6crire :

P(x) = y(x).@(x), avec

y(x) ~'~ xZ'.O ~'[O/x-i)l

t t , ' e

+ [(r , lx ) [ l ! ] + . . . + [ ( r d ~ ? ' ] L , ! ]

.Ls enassimilant une expresslontelle que Z y~Jtzl h e~.

p- .0

~(x) n 'est autre que le blocage d 'un groupe de s61ection conjugu6e, off nous raisons les substitutions suivantes :

T1 --~ Ta -- T2, (40b) La --> L1-- L2'

/ -> K / - - h, T 2 ---> T2lx.

aVCC

En r6sum/~, le blocage cherch6 a pour expression :

P = (1 + z 1 - z~).P(%.p~) -- ~J.P(~a.Pl) + r P(o%.p~)

pl = ( T 1 - T~)I(L,- L~), (4:1 t,) P(x) = V(x).~e(x),

y(x) . ~ . e~r,tOm-xl,

off ~(x) se calcule h partir de (43), eompte tenu des substitutions (40b), ct oh les coefficients ca, r % et ~-t sont d6finis par l 'a justement (39b).

Si nous estlmons l 'op6ration d 'a jus tement deux ou trois fois plus longue que le calcul d 'un blocage par la formule approch6e (43), nous pouvons dire que le calcul exact du blocage, dans ce cas d 'entr 'aide, cst 5 h 6 fois plus long que le calcul obtenu en appliquant l 'hypoth&e de l 'ind6pendance des &ages.

Prenons, comme exemple, toujours le mgme groupe de s61ection conjugu6e, consid6r6 lots de l 'application de la formule g~n6rale (32), relatif au

- - 285 - -

9/24

tableau [, et reprls ci-dessus au paragraphe lo. Le faisceau de sortie a, cette fois-ci, pour caract~rls- tiques :

m~= 9, h~ = 4 , m ~ = 3 , h~ = 3 , m I -{- m 2 : m : 12, Lo = h I m~ + h z m 2 = hm : 45, T: = 26 erlangs,

L 'a justement (39b) est dbfini par les coefficients :

r = 0,1G, I"~o = 0,97, r : 3,65. i 0- ~, I'~. ~ ---- 1,05,

1'1 ~2 = 1 , 0 8 .

Nous donnons, dans le tableau II[, la valeur exacte de v T (Px)(z~-~a)+~ ct sa valeur approch6e G(v) d6finie par l ' a jus tement (39b), pour quelquesvaleurs d e ~ .

T A B L E A U I I I

v T (191)(Ll--mh)+'~

v = 7 v = t 5 v = 3 0 v = L ~

0,343] 6,9.t0 -~ [1,07.10 -~ 3,34.i0 -e 0,344 9,4 . t0-~ 4,6 .10 -~ 8,6 . t0 -~

Nous voyons que G(v) est approch6 par exc~s Nous obtiendrons donc une valeur approch~e par exc~s du blocage. Toutefois la pr6cision obtenue sera bonne. En effet, la pr6cision de l 'a justement est de t0 % jusqu'h v ---- t0 environ, et pour v > 20 la precision importe pcu. i1 suffit, pour levoir, de consid6rer un autre ajustement, diff6rent du premier uniquement par le coefficient r ~--2-10-2- Ce dernier donne des valeurs approch~es par d6faut pour v > 25, sans que le blocage obtenu alors soit sensiblement diff6rent de celui correspondant h l 'a justement pr6c6dent.

Nous obtenons d o n c :

P(0,97) = 3,43.10 -3, P(l,05) = 9,52.10 -3, P(l,08) = 15.10 -a.

D'oh la valeur exacte du blocage :

P = 2,9.~0-3

En prenant l 'hypoth~se de l 'ind6pendance des 6tages, nous avions trouv6 :

P = 1,5.10 -a.

La valeur exacte est prat iquement le double de cette derni~re valeur.

L'crreur commise cn prenant l 'hypoth~se de l 'ind6pendance des 6tages crolt done avec h, puisque l'exemple pris au paragraphe l ~ ne diff6re de celui-ci que par cette quantit6, le t aux de perte sur le faisceau de sortie EL, (T2) dtant le m~me dans les deux cas.

L'exemple que nous venons de trai ter est un cas pessimiste. Dans la pratique le t aux de perte de

P . L E G A L L [ANNALES DES T]~L]~COMMUNIC&TIONS

l '6tagc central EL, (T1) est inf6rieur h eelui du falsceau de sortie. De sorte que l'~tage central ayant alors moins d'influcnce, ]'erreur commise en prenant l 'hypoth~se de l ' ind6pendance est moins grande.

En g6n6ral, la valeur exacte du blocage sera rare- merit sup6ricure de 50 ~/o h la valeur obtenue avcc l 'hypoth6se de l 'ind6pendancc.

b) Gas Edndral.

La formule de blocage est donn6e par (37b). L'appel entrant ne dispose que d 'un seetionnement primaire (t = 1). Si le nombre K d e sectionnements primaires est grand, (36b) donne alors :

[d tL+ iz , , -V) l T 1 JL~ (42b) F(~,v) ~ [,L,-~3~ ' L t ' l JLj.

si l '6tage central est en expansion. Si l%tage central est concentr6, nous pouvons encore 6crire :

(pratt (43b) F(~,v) = ~, 1 ] ( L , - - L , } + v "

Sous cette forme le calcul exact est abordable mais extrgmement long. I1 n'est gu~re possible de donner une m6thode de calcul approch6e, mais plus rapldc. En effet, nous pouvons encore 6crirc :

ftt T =

avec ( nLt--v)'~T

t~l )L,--Itt H(t~, v) = ? p L ; - ~ "

\ 1 ]L~

H est h la fois fonction de ~ et v, tandis qu 'au paragraphe a) G(v) 6tait fonction seulement de v, cc qui a rendu possible un ajustement relativcment simple.

Si le hombre K de sectionnements primaires est moyen ou faible, il n 'cst prat iquement plus possible de calculer le blocage, vu la complexit6 de l'expres- slon de F(~, v), donn6e par la formule (36b).

Toutefois, nous pouvons faire la remarque suivante. Bien que l 'erreur due h l 'hypoth~se de l'ind6- pendance des ~tages soit fonction croissante de h, un ordre de grandeur peut ~tre donn6 en examinant le c a s h = i , facile h calculer, pour un mgme taux de perte EL, (Te).

Conclusion.

Nous venons de voir quc le blocage exact peut gtre calcul6 ais6ment si h = 1. Si h est sup6rieur h t , il peut encore atre calcul6 dans le cas de l 'entr 'aide (calculs 5 h 6 fois plus longs quc dans le cas de l 'hypoth~se de l 'ind6pendance), et dans le cas g6n6ral si le hombre de sectionnements primaires est grand (calculs tr~s longs). Si le nombre de sectionnements primaires est moyen ou faible, il cst pratiquement impossible h calculer, bien que nous ayons donn6 les formules.

De route fagon, d'apr~s les exemples donn6s, il semble qu'il faille s 'a t tendre h une majoration de 10 % environ sur ]a valeur du blocage obtenue avec

- - 286 - -

t . 13, n ~ 11-12, 1958] L E g T R A F I C S TI~LI~PHONIQUES

t 'hypoth6se de l 'ind6pendance des ~tages, dans le cas g~n6ral, et h une majoration de 50 % au plus dans le cas de l 'entr 'aide. Nous avons toujours une majoration, et non une diminution. Cela t ient pratiquement au fait, comme nous le verrons plus loin, que les charges des faisceaux de sortie sont g6n6ralement plus faibhs que celle du faisceau central.

Nous en avons terrain6 avec la s61ection conju- gu6e h deux 6tages. Nous allons aborder maintenant le cas de la s61eetion conjugu6e h trois 6tages.

TROISII)iME PARTIE

LA SI~.LECTION CONJUGUI~.E A T R O I S ~ T A G E S

Le cas g6n6ral est 6videmment encore plus ina- bordable, quant aux calculs num6riques, que pour la s61ection conjugu6e ~ deux 6rages. I1 est logique de penser que l 'erreur due h l 'hypoth~se de l'ind6- pendance des 6rages est environ le double de ce que nous avons vu prficfdemment. C'est-h-dire que le blocage r6el dolt ~tre rarement sup6rieur au double du blocage correspondant "h l 'hypothSse de Find6- pendance, si les trois 6rages 6coulent des groupes de trafic diff6rents.

Dans ces conditions l 'hypoth~se de l'ind6pen- dance peut ~tre conserv6e. Si les groupes de trafic sont les m~mes h chaque 6rage nous allons voir que l'crreur est beaucoup plus sensible et nous essaierons d 'y rem6dier. Nous nous bornerons h consid6rer deux cas importants : celui des petits commutateurs et celui de l 'entr 'aide, correspondants aux r6seaux du type enchev~tr6.

1. Cas d'un groupe ~ petits r mmutateurs .

Nous reprenons les notations de la figure 13, et des formules correspondantes ; nous supposons, pour simplifier, que la condition (A) est v6rifi6e, cas du trafic d'ERLANG, et que l'6tage central n'est pas en expansion.

(30b) et (33b) permettent d'6crire la valeur du bloeage, dans les deux cas d6jh envisag6s.

a) Oroupes de traHc di f f6rents ~ vhaque ~tage.

(60) devicnt alors :

p = y~ C x [ ~ - x .X~T, CC~[_,~-v .~XT~ ~.,!~ m ' k P 1 " l l Jm" "mkF3 .ClaJm X

k,a\ 2'

(44b) �9

a v e e :

T T,~(I - T,IT , . ) (~ - "r.J'rs

Dans la pratique, les charges des liaisons de l'6tage central n '6tant pas 61ev6es (< 0,6), ce qui revient h dire que l 'encombrement total de eet 6tage est n6gligeable, les termes correspondants it des valeurs 61ev6es de k ou tx sont peu pr6pondbxants.

Nous pouvons alors 6crire d'apr~s (8), dans le cas du trafic d'ERT.ANG, en posant

L = (m ~ - 2 m ) + (X + ~x) :

(pX~)~ ,.., (rlL)X~. [1 + Xlx(Xlz -- 1)aX~/2L] _,~,

(T]L) x~ [1 + XlX(XlX-- 1) d~12m '] ,-~ t # ~ r ' -- Kt, lm 2,

si nous posons :

T' lm 2 - - Tl(m 2 - - 2m).

En r6sum6, la /ormule de blocage est alors la /ormule (60) obtenue dans le eas de l'hypoth~se de l'inddpendance des ~tages, en supposant, cette [ois-ci, que l'dtage central gcoule le trafic :

T ' - T ~ . ( t - - T , I T . , ) (I -- T : , I ' / ' ~ ) . , , , I ( , , , , - "-), (~,r,b)

a v e c

m>>2.

En partieulier, si nous avons m = c, et P t = P 2 = P s , nous d6duisons T 1 - - T a et Tz = roT1, d'ofi :

~~ = 7' . . . (~ ~ 1 . , ) " . . , 1 ( , . - 2) _~ T~.

Nous pouvons done dire que, si les liaisons des divers 6tages sour 6galement charg6es, l 'erreur due h l 'hypoth~se de l ' ind6pendanee des gtages est n6gligeable.

C'est le cas de l 'exemple donn6 dans le texte, off nous trouvions :

P - 4,2.10-~.

En abandonnant l 'hypoth~se de l ' ind6pendanee des bta~es, (44b) donne :

P - 4,1.10 -2.

L'erreur est seulement de 2,5 %. En premiere approximation, la valeur exaete du

bloeage est sup6rieure h eelle correspondant h l 'hypoth~se de l ' ind6pendanee, si la charge des liaisons de l'6tage central est sup6rieure h eelles des 6tages adjaeents. Elle est, au contraire, inf6rieure si eette charge est inf6rieure h celles des 6tages adja- ceats.

b) ~roupes de trafic idexltiques ~ chaque $tage.

Chaque 6tage 6coule done le m~me et unique groupe de trafic T 1. La fornnde (62) devient, comptd tenu de (33b) :

".tlIL," m'kt*3 "~13}L, X l,tx

P2 )(m'-2m) + (X + V)"

Nous avons L 1 = me, si le brassage des trafics entrants ou sortants est suffisamment parfait . Sinon L z sera pris plus faible, et d6termin6 par des consid6rations d'ordre pratique ou par une exp6- rience du genre de celle d6crite k l 'Annexe I du texte.

Avec un raisonnement anah)gue h celui fair au

- - 2 8 7 -

paragraphe pr6c6dent, nous pouvons donner une formule de blocage approch6e en tenant compte de la d6pendance des 6rages, h savoir :

=

avec

(~Sb) T' = T ~ . m l ( m - ~).

e t m ~ 2 .

Rappelons que, dans le cas d'un brassage parfait aux ~tages extrgmes, l'6tage central n'6tant pas en expansion, nous avons, compte tenu de (7) :

L i = m 2,

mgme si nous avons : C > /T/.

Dans la pratique L 1 est un peu plus faible. Ainsi, nous pouvons encore conserver l'hypoth~se de

l'inddpendance, h condition de supposer que l'dtage central dcoule le trafic T' , ddfini par (48b) et tou- ]ours supdrleur h T 1.

(T'IT1) 6tant d 'autant plus grand que m est plus faible, nous pouvons dire que la valeur exaete du blocage est d 'autant plus grande, compar~e h celle correspondant h l'hypoth6se de l'ind6pendance, que m est plus faible, c'est-h-dire que les eommutateurs sont plus grands.

Reprenons l'exemple vu pr6c6demment, et repris h propos de la formule (62). Nous avons

P2 = 0,5 e t m = t0 . D'ofl :

p'~ = T l l m 2 = 0,625.

Tout se passe comme si la charge de l'6tage central 6tait augment6e de 25 %, ce qui est consid6- rable, alors que dans le cas pr6c~dent a), cette charge n'avait pratiquement pas vari6.

Nous voyons bien que l'erreur commise en prenant l'hypoth~se de l'ind6pendance est tr6s sensible dans le cas d'un mgme et unique groupe de trafic h chaque 6tage.

De plus la valeur du blocage, correspondant h cette hypoth~se, est toujours approch6e par d6faut. Nous ne sommes plus du c6t6 de la s6curit6. I1 y a done lieu de tenir compte de la d6pendance, ce qui .est fait avec la formule (47b), qui n'est pas plus compliqu6e que celle correspondant au cas de l'ind6- pendance.

2. Cas de la s~lection conjugu~e /t deux ~tages associ~e ~ un ~tage d'entr'aide.

Nous savons que le type de r6seau correspondant est enchevgtr6 et que l'6tage central est concentr6.

Par le mgme raisonnement que celui utilis6 dans le cas de l'hypoth~se de l'ind6pendance, nous obtenons toujours la formule (56), h savoir :

P = P~.C.

P . L E G A L L [ANNALES DES T]~L~COMMUNICATIONS

Dans P~, nous devons tenir compte de la d6pen- dance entre les deux 6rages principaux, d6pendance consid6r6e dans la formule (4tb). Nous devons aussi tenir eompte de l'6tat de l'6tage d'entr'aide. Vu la petite taille de ce dernier, et la faiblesse du trafic qui y passe, nous pouvons dire que l'erreur commise en n6gligeant la d6pendance entre les 6tages prineipaux et l'6tage d'entr 'aide est presque sfire- ment inf6rieure h celle commise en n6gligeant la d@endance entre les 6tages prineipaux, cette der- nitre ayant ~t6 ~tudi6e h propos de la formule (41b). De route fagon, il semble que les calculs num~riques, dans le cas de la d6pendance avec l'6tage d'entr'aide, sont pratiquement inabordables.

La formule pratique donn~e pour C, h savoir (59), est encore valable, h condition de tenir compte de l'effet de la d6pendance dans P~-s et P~. Comme cet effet semble plus sensible dans P~ que dans PK-a la valeur exacte de ( P r _ d P ~ ) est probablement inf6rieure h celle obtenue dans le cas de l'hypoth~se de l'ind~pendance. I1 enes t donc de mgme pour C. En r~sum6, dans le cas de l'entr'aide, nous 6crirons pour le blocage :

P = PK.C,

off Pt~ est donn6 par (41b) et C par (59).

Conclusion.

Si l'erreur due h l'hypoth~se de l'ind6pendance est plus sensible que dans le cas de la s61ectlon con- jugu6e h deux 6rages, elle est toutefois encore accep- table. La valeur exacte du blocage semble gtre rarement le double de la valeur correspondant au cas de l'hypoth~se de l'ind6pendance des ~tages.

Toutefois, dans le cas off les trois ~tages 6coulent le mgme et unique groupe de trafic, l 'erreur est beaucoup plus importante, et toujours dans le sens d~favorable. Aussi, en tenons-nous compte dans la formule (47b), sans que celle-ei soit plus complexe que dans le cas de l'ind6pendanee.

QUATRI~ME PARTIE

L A S ] ~ L E C T I O N C O N J U G U i ~ . E

A C I N Q ~ . T A G E S

Nous nous placerons, pour simplifier, uniquement dans le eas pratique d~jh envisag6 et correspondant au cas de petits commutateurs, l'6tage central dtant ]e plus concentr&

Nous rappelons qu'h eet 6tage nous avons Lm ~ 0r L'~ ~ ~2 a~ liaisons, 6coulant le trafic total T a = ~2 T. Nous nous bornerons h reconsi- d6rer les deux cas d6jh envisag6s et correspondant aux formules (66) et (67).

1. Groupes de traflc extremes r~duits aux commutateurs eux-m~mes.

D'apr~s des consid6rations identiques h celles qui ont conduit aux formules (45b) et (48b), nous

2 8 8 -

t. 13, n ~ 11-12, 19581

sommes ame~6s "h faire les substitutions :

~,, - ~ p~ = p , ( l - T d T , ) . ~ d ( ~ . . - - ~),

T - ~ T;~,,, = T . ( t - - T d r T) (~ - - T , / ~ T) x

De sorte quc (66) devient :

[ h! \ h! �9 P = E,, (T,).E,,(T,). ,~ ~C~.~) . (C~. "-~)'P,~.n,

avec

c t

(50b)

P~ ~, = ( A ~., V Aa~,, ~ ~,.~ ~,, �9 k at~c,lk otzot,]" t d " k , h / '

LES TRAFICS TI~-LI~,PHONIQUES 1 2 ] ~

pour cette structure de s61ection conjugu6e ~ cinq 6rages que pour une structure du mgme type correspondant h une s61ection conjugu6e h trois 6tages. De route fa~on, nous en tenons compte darts les nouvelles formules.

~&.~ ~.~ et .'~ A-h .~'~ .q~) • (pXatt)T ~,., ,.

Si toutes les charges des liaisons sont identiques, nous avons :

Si, de plus, ~ est suffisamment grand, nous avons :

T~.n_~ T.

Nous voyons encore que, dans ces conditions, l'erreur due h l'hypoth~se de l'ind6pendance est n6gligeable.

2. Brassage parfait d~s les 6tages extr~mes.

Nous avons alors, d'apr~s les raisonnements ayant conduit h (48b), h faire les substitutions :

P~ ~ P2 = P~ .~1 ~.z[(~l ~ -- 1),

(67) devient alors :

P = ( c : . p , .r • k,h

(52b) avec Pk.h = (A~d~)(A~L~)'(Ck.h) ~'

e t "f-k.h ~ ),,l~ ~'~kt'2 "~2 ] ' k ~ h " Y 4 "q4 )X

Dans cette formule, pour les 6tages 2 et 4, nous avons repris la taille effective des groupes de trafic consid6r~s.

Dans la pratique, nous avons t �9

L'erreur due h l'hypoth6se de l'inddpendance se fait surtout sentir h l'6tage central.

Toutefois, si ~l est assez grand, clle peut encore gtre n6glig6e.

Conclusion.

I1 semble donc, que, en g6n6ral, l'erreur due h l'hypoth6se de l'ind6pendance est moins sensible

CONCLUSION.

D'apr6s l'6tudc que nous venom de faire, il semble quc l'erreur due h l'hypoth6se de l'ind6- pendanee stochastique des 6rages est rarement sup6- rieure h 50 % pour la s61ection conjugu6e h deux 6rages, et au double pour celle h trois 6rages. Nous avons donnG dans certains cas importants de s61ec- tion conjugu6e h deux, trois et cinq 6rages, des formules tenant compte de la d6pendance des 6rages, et pouvant 6tre utilis6es pratiquement pour des 6tudes num6riques.

Nous avons vu aussi que le signe de l'erreur d6pend, en grande partie, des charges in6gales entre liaisons d'6tages adjacents, que son importance d6pend de la taille des commutateurs et du hombre de sectionnements hun 6rage donn6. Nous avons constatG enfin, que cette erreur est sensible dans le cas d'6tages 6coulant un mgme et unique groupe de trafic (r6seaux sur concentrateurs), et nous avons tenu compte, dans ce cas, de la d6pen- dance entre Stages, dans nos nouvelles formules.

Nous pouvons conclure que, saul dam ce dernier cas, l 'hypoth~sede l'ind@endance peut pratiquement ~tre conserv6e.

Nous avons termin6 cette longue 6rude sur la s61ection conjugu6e. Nous pensons avoir pratiquement r6solu les principaux probl6mes qui y sont attach6s, dans le cas de la recherche al6atoire des organes libres. Pour ~tre complet, il serait int6res- sant de faire une 6rude analogue dans le cas de la recherche s6quentielle. Mais, jusqu'h pr6sent, ce cas n'a donn6 lieu h aucune 6rude g6n6rale pratique, vu la complexit6 6norme des 6tudes math6matiques qu'il implique.

APPENDICE

RESULTATS PRATIQUES

POUR L'ETABLISSEMENT DE PRO JETS

Les r6sultats simples et pratiques donn6s ci- apr6s se justifient h partir des formules (40), (43), (59 a his) et (51), ainsi que par les annexes qui suivent, les r6suhats exacts, compte tenu de la d6pendance des 6rages, 6tant peu souvent sup6rieurs au double, et en tout cas rarement trois lois plus 61ev6s. Ces r6sultats approch6s peuvent servir pour l'6tablissement de projets, mais non pour des com- paraisons pr6cises, les caract6ristiques g6om6triques des groupes 6tant pratiquement 61imin6es.

Nous nous attacherons surtout aux types de s61ection utilis6s en France.

- - 2 8 9 -

t3/24

I. ~ N O T I O N DE G B O U P E DE TRAFIC.

Dans le 6as de la s61e6tion conjugu~e h deux 6tages, par exemple, le groupe de trafic de base de l'6tage central est constitu6 par l'ensemble de tous les s6lecteurs secondaires de tous les groupes de s61ection en parall~le (exp6rience d6crite h l'An- nexe I du texte, qui precede).

Dans la pratique, h cause des insuffisances d'homo- g6n6it6 darts les brassages impossibles h 6viter, on prendra, comme taille du groupe de trafic de base, celle correspondant h l'ensemble des s61ecteurs secondaires d 'un seul groupe, ou m~me une taille inf&ieure, l 'appr~ciation ~tant laiss~e h l'utilisa- teur, ou pouvant ~tre dgtermin6e par des exp6- riences du type d6crit h l 'Annexe I. Soit l~ le nombre de s61ecteurs correspondant h cette taille et px la charge des s61ecteurs. Ce groupe de trafic est alors consid~r6 comme 6coulant le trafic tl = pllr

Nous insistons sur l ' importance de cette notion, car elle influe consid6rablement sur les valeurs de blocage.

II . - - S I ~ L E C T I O N C O N J U G U I ~ E A D E U X I ~ . T A G E S .

On envisagera, tout d'abord, le cas g6n6ra] eorrespondant h l'aeeessibilit6 totale aux lignes d 'un faiseeau de sortie queleonque. Les notations sont celles de la figure 4.

A. G r o u p e de s ~ l e c t i o n d e s s e r v a n t l e s a b o n n & .

1 ~ Prdsdlectlon (sans l influem'e des enregis- t,'eurs).

Le faisceau de sortie est unique, et l'~tage central est eoneentr6.

a) Appels perdus. Le bloeage 6orrespondant est ddsignd par P0- On

a t o u j o u r s : h > 1. Dans le cas off il est fair usage du proc6d6 de la

transposition h l'6tage d'abonn6s, on prend la for- nmle de M. JACOBAEUS :

(1 C) P0 = Er,(T~)/EL,(T~Ip~),

Si les conditions suivantes sont v+rifi6es [voir Annexe II, fornmlc ('13 d)], ce qui est g6n6ralement le eas :

(1 c bis) I p* = TalL2 > p~' lilt > 1 - - (m/4) .(p,. - - i d l ) ~ / ~ . ( t - - P~I).

Dans ee eas, la valeur exacte est rarement le double (t6 la valeur approch~e donn6e par (lc).

Sinon, on prend la formule (34), compte tenu de (35).

S'il n'est pas fait usage du proc6d6 de la transposition h l'6tage d'abonn6s, on prend la loi du bin6me tronqu6 pour eet usage, et on applique la formule

t ' . LE GALL [ANNALES DES TI~LI~COMbtUNICATION$

g6n6rale (32), compte tenu de (19), (20) et (21). Dans la pratique, (lc bls) 6tant g6n6ralement v6rifi6, on a pour blocage approch6 :

(l cter) Po ~- [EL,(T,)IEL,(TdP~)] + 7~.1, avec :

7~ 1 = FLN , ( ~ ) =

/,1 c~,.~ ~,.(l - ~)N-~,I ~ c~ . ~ . 0 - ~)~-~.

"~ffiO

On d&igne par N 16 nombr6 d'abonn6s r6unis sur un nl~me sectionnement du premier 6tage, desservis par L 1 sorties, et 6coulant le groupe de trafic (L1, T 1 = pl.L1).

Si e est le trafic h 6couler par abonn6, = ~/(1 + ~) est le trafic effectivement 6cou16 par

abonn6. On a done : T 1 = N. ~. Dans la pratique, le t aux de perte ~1 sur le pre-

mier 6tage est donn6 par la table [19] pour N < 50, ou par la table [20] pour 50 ~< N ~ t00. On a d'ailleurs :

Dans des eas particuliers, et notamment dans le cas d'abonn6s trgs in6galement eharggs ou d'abon- n& P. B. X. en assez forte proportion, r6partis sur plusieurs groupes d'abonn6s, on peut s'approeher de la loi de BERNOUILLI pour l'6tage d'abonn6s, mais une justification exp6rimentale est alors n6cessaire.

b) Appels diff&&. On ne t ient 6ompte que de l'iniluence de l 'at tente

sur le deuxi6me 6tagc. D'apr~s l'6tude faite h l 'annexe IV qui suit, on a

l)OU, . b!oeage [volt formule (t9 d)] :

(2 C) /)1 = Po + E~, (T,,.).(P2lq',),

off P,z = / - - q 2 est la charge d'une ligne du deuxi~me ~tage de pr~s6lection, et off P0 est le blocage dans le eas des appels perdus, et d6fini au paragraphe (a) pr6e6dent. I)ans le texte, on a omis le dernier terme, en fait non n6gligeable.

2 ~ ) S61ection, ~ un dtage, d'un abonn~ demandd avec dtage d'entr'aide.

L'apl)el arrive sur Fun des m sectionnements de l'fitage d'entr6e. 126tage principal de liaisons 'h atteindre est unique et n'est autre que l'~tage d'abonn6s, non transposfi. L'appel dispose normalement de [ lignes pour atteindre l 'abonn6 demand6. Dans ce 6as, les dispositifs d 'entr 'aide sont n6ces- saires. Nous avons les notations de la figure 12, en y faisant la substitution K - + m, 6'est-h-dire: q~ s61ecteurs d 'entr 'aide par seetionnement et [' sgleeteurs d 'entr 'aide d 'un seetionnement atteints g6ographiquement par un autre.

A l 'annexe V qui suit, nous donnons le blocage sans entr 'aide :

P; - - p~.

- - 2 9 0 - -

t. 13, I1 ~ 11-12, 1958]

1)'off le trafic d ' en t r ' a ide :

(3 e) t ,-o T. p~,

T g tant le t raf ic to ta l d 'arr iv6e pour le groupc de s61ection consid6r6.

La charge d 'un s61ecteur d ' cn t r ' a ide est alors :

(4 c) p] = t im %

Lc bloeage avec en t r ' a idc cst donn6 par (22 d), c 'est-h-dire :

(5 e) 101 = 771.C1,

avec C1= I + ((m-- l )[2).H.(p]) t'.

r:a, probabi l i t6 d ' e n e o m b r e m e n t sur l '6tagc d 'abonn6s, cst tou jours donn6 par (1 e ter), ct H par (30 d), c 'est-h-dire :

(6 c) I t = [ I I F ~ ~,+2,(f~)] - t.

Si l 'on pra t ique , en outre , le renouvel lement , avcc ehoix au hasard d 'une nouvel le ligne d 'entr6e, le blocage devient alors [formule (27 d), Annexe V] :

(7 c) P~ = rq .C,

H avec : C = I + (l - l l m ) . = . [ p T " + ( m - - 2 ) . p ~ " l .

2 - -

[" est le plus pet i t nombre de s61ecteurs d ' en t r ' a ide d ' un sec t ionnement quelconque a t te in ts h pa r t i r d ' un groupe quelconque, de deux autres sectionnements . On a done 1"/> ['. D'ailleurs, on a souven t : f ' = ['.

H et 7~ 1 sc ealeulent ais6ment 'h l 'a ide des tables [19] et [20] signal6es pr6e6demment .

Les formules (5 c) et (7 c) sont valables si Cn ' e s t pas t rop sup6rieur h t , par exemple si C < 2. Cette condi t ion sert "h d imens ionner l '6tage d ' en t r ' a ide ,

tff ear clle sert h fixer Pl , done q~ et ] ' , t 6 tan t connu par (3 c).

N o t a . - - D a n s le cas off l '6tage principal 6coule un traf ic d'ERLAN6, on a [formule (28 d)] :

[ Th= EL, (T1), / / = [11E2~ (T~)] - t.

3 ~ AppHcntion numdrique.

Consid6rons le eas d ' un groupe de s61ection, appel6 616ment de s61ection de lignes, desse rvan t 20 groupes de 50 abonn6s, chaque abonn6 6coulant effective- men t le t raf ic mix te (dans les deux sens) :

= 0,08 erlang = 4,8 C. M.

Le sec t ionnement , desservant un groupe donn6, 6coule le t raf ic T 1 = 50 X 0,08 = 4 erlangs, desservi par 12 lignes.

L 'usage d ' un %par t i t eu r de inarquage, permet - t a n t de r6par t i r les abonngs de far convenable , just if ie l ' emploi de la loi du b in6me t ronqu6 l '6tage d 'abonn6s , qui n 'es t pas t ranspos6. Le t a u x

LES rRXFU:S T~L~PHONt~UES t4/24

de per te , h cet 6tage, est done, d 'apr~s (1 c ter) :

~1 = F~o ~ (0 ,0S)= 0 ,35 .~0-~ ,

en ut i l isant la tab le [20].

a) PrdMlection.

Le t raf ic d6par t est desservi, au deuxi~lne 6tagc, par L 2 = 60 chercheurs d 'appels , r6part is en m ---- 6 sec t ionnements . Le traf ic vau t , par exemple , T 2 -~ 40 erlangs ; et la charge d ' une ligne de l '~tage d 'abonn6s est :

Pl = T d l 2 = 113.

g o u s avons, en out re :

/ = 121m-- 2, e t :

h = 60/6 = 10.

La condi t ion (t c bis) 6rant v~rifi6c, (1 c ter) donne �9

EL,(T2)IEL, (T2/p~) = E6o(40)lE6o(40 x 9),

E60(40).[1 + 601360 + . . . ] = 0,8.10 -3.

7:1 = 0,35.10--3.

Le blocage, dans le cas des appels perdus, est d 'apr~s (1 c ter), envi ron :

P o = 0, 8-i0--3 + 0,35.10 3 =:= 1,2.10-a.

On a, en out re :

l)~ = T J L 2 = 40 /60= 213 ,

d 'cf i :

EL,(T2).pdq2 :- 2. E L , ( T 2 ) : : ] , 4 . 1 0 - 3 .

Par suite, (2 c) donne pour blocage en pr~s61ection, dans le cas des appels en a t t eu t e :

P-= Po + Er, (Te) .pJq2= 1,2. t0 -3 + 1,4. tO -a,

(Ill :

P = 2,6.10 -3 .

b) Sdlection du demandd.

Le tota l du t raf ic d 'arr iv6c est :

T = 20 • T 1 - - T 2 = 80 -- 40 = 40 erlangs.

Ce t raf ic arr ive sur des s61eeteurs de c inquan- taines, de mgme cons t i tu t ion que l '6tage de eher- eheurs d 'appels , au nombre pr~s. Nous avons done :

m = 6 seetionnements, / = 2 ,

l '6tagc consid6rg about i ssan t d i r cc t emen t sur l 'gtage d 'abonn~s, qui 6coule done un t raf ic mix te (dans les deux sens).

L '6 tage pr incipal d 'ent r6e est assoeig "h un fitagc d ' en t r ' a ide , avee les earaet6r is t iques d6finies au pa ragraphe 2 ~ pr6e6dent :

q~= 2,

1,= f,=_~. 2 9 1 - -

D'apr~s (3 c), le trafie d'entr'aide est :

t _ T . ~ ~ ~0.(t]9) N 4,5 erlangs.

La charge d'un s61ecteur d'entr'aide est done :

pl = t i m ? - 4,5/12-- 0,37.

Utilisons les formules (5 c), (6 c) et (7 c). Nous avons, en utilisant la table [19] :

H = ( 0 , 0 8 ) ] - i = 2 , 9 .

(5 c) donne le bloeage, avec entr'aide :

P , = ~t. C, = 2 .~1 = 0,7.10 -3.

(7 c) donne h blocage, avec entr'aide et renouvellement :

P~= ~1.C = t , 8 . ~ = 0,6.t0 -3.

B. Cas g6n6ral.

P . L E GALL [ANN**.~ DILq T ~ C O M M U N I C A T I O N S

Si Pl est la charge d'une maille, l 'eneombrement total dans eet 6tage interne est :

Etl (Px.l,).

Cette expression varie suffisamment rapidement avee ll, pour que ron ait insist6 pr6c6demment sur la notiou de groupe de trafic, qui influe beaueoup plus sur la pr6eision des ealeuls, que le choix d'une formule de bloeage en s61ection conjugu6e.

Si L, est le nombre de maiUes, on a :

ll < LI.

Dans le eas off l'6tage interne est en expansion, on rappelle que e'est l'6tage de r6f6renee qui intervient : suivant le cas, 6tage d'entr6e ou de sortie, oh tous les faisceaux sont suppos6s plus ou moins fusionn{s. L'encombrement total de l'6tage interne est alors :

On eonsid6re maintenant un groupe de s61eetion conjugu6e h deux 6tages, desservant plusieurs faisceaux de sortie, relatifs chacun h u n groupe de trafie bien d6fini. Le groupe de s61ection est sup- pos6 avoir une accessibilit6 totale h ehacun de ces groupes de trafic de sortie. Les divers 6tages 6coulent tous des trafics d'EnLANG.

Le blocage varie avee le faiseeau de sortie consi- d6r6.

A l'annexe I qui suit, on d6montre la propri6t6 importante suivante: si on eonsid~re deux faisceaux de sortie du mgme groupe, ayant mgme taux de perte [Ez, (T~) ---- Ez,, (T~)], le bloeage, en s61ec- tion conjugu~e, est le plus 61ev6 pour le plus petit faiseeau de sortie. De sorte qu'une valeur sup6rieure du blocage en s61ection conjugu6e est obtenue en substituant au faisceau de sortie consid6r6 (T2, L~ = mh), le faisceau (T~, m) tel que :

EL, (T,) = E. (~2)'

Duns le cas de ce dernier faisceau, oh h ~ 1, les formules d'approximation qui vont suivre sont d'une plus grande pr6cision, par opposition au cas off h est grand. Malheureusement, il peut arriver que cette valeur sup6rieure est beaucoup trop grande pour gtre utilis6e : cas notamment de l'6va- luation approch6e du blocage sans entr'aide, pour un groupe de s61eetion conqu pour fonctionner normalement avec des dispositifs d'entr'vide.

Dans les formules qui vont suivre, le groupe de trafic (tt/i) de l'6tage interne est suppos6 contenir plusieurs sectionnements primaires. Si le brassage est parfait, ee groupe de trafie contient t ous l e s sectionnements pdmaires. Dons la pratique, la r6partition des divers faisceaux d'entr6e sur les sectionnements primaires est souvent peur6guli~re. On est amen6, alors, h prendre pour groupe de trafic de base de l'6tage interne, un hombre de sectionnements primaires inf6rieur au nombre total. Ce hombre peut mgme gtre la moiti6 du hombre total.

Ezo (Po-lo), avec l o < L0,

off L 0 est le hombre total d'entr6es, ou de sortie% suivant le cas.

Dans le cas off h groupe de trafie de l'6tage interne ne comprend qu'un ou deux seetionnements primaires, on applique alors les formules g6n6rales approeh6es (43), (59 a bis) ou (40), suivant le cas.

Dam le cas, tr~s particulier, off l'6tage interne est coneentr6 avee un groupe de trafie de base compre- nant seulement un sectionnement primaire, et off 1'O13. a :

et donc:

/ = h = l ,

l 1 ~- m~

on rappelle la formule rigoureuse de M. JACO- BAEUS [9], simple "~ calculer :

(8 c) P = [T~.E~ (T~) -- mpt.E,~ rap1),

laquelle devient, dans le cas off T 2 = mpl :

(8 c bis) P"" E,~ (T~).[m-- T~ + I].

On envisagera maintenant le cas g6n6ral, o~* le groupe de trafic interne comprend plusieurs sectionnements primaires

(q l~ l ou loire t ~> 3 par exemple).

I ~ l~tage central concentr6.

On a (voir les notations de la figure 4) :

m / < a , K / < b.

Si les conditions (1 c bis) sont v6rifi~es, on a environ :

(9 c) P - [nz. (T2)fEL, (T~]~)] + Et,(p,.l,),

le deuxi~me terme 6tant l 'encombrement total de l'6tage interne, d6fini pr6c6demment.

292 - -

t. 13, n ~ 11-12, 1958]

Si les conditions (1 c bis) ne sont plus v6rifi6es, o n a :

(~.0 c) P = [E~, (T~)/E~, (T,lp~)] . ( J .H)+ E~, (pl . l l ) .F,

off les coefficients J, H et F peuvent ~tre net tement sup6rieurs h 1. A c e sujet, il a 6t6 donn6, dans le texte, l 'exemple (b) relatif h la formule (43), off l'on a :

J = 5,8, H = 1,6, etdone J .H=9 ,3 , F ~ 5 .

Dans ce eas, le coefficient J se caleule h l'aide de (35), et les coefficients H et F h l 'aide de (43), en y faisant, si besoin est, la subst i tut ion: L~-+ l~.

2 ~ l~tage central en expansion par rapport l '6tage d'entr~e.

O n a :

m / > a, K / < b.

On se limite, en outre, au seul cas utilis6 : [ = I. On pose :

Lo= Ka, Po= Pl-(m) �9

Le groupe de trafic de l'6tage de r6f&ence est d6fini par : lo ~< L0.

Ici, les conditions (1 c bis) deviennent :

( t ic) P2>po , t l h > 1 - - a . ( p 2 - p0)214.po.( l- p0).

Si elles ne sont pas v6rifiScs, on a la [ormule (59 a bis) :

(t2 c) I - P = EL,(T2).(J.H)JE~h(T2IPo ) +

[ Eto(Po.lo) .(F. G), avee G= E,,h(T2)/E~(T2).

J se d6termine par (35), en y faisant la substitution :

(13 c) JL,.h(T2, x) ---> J ah.h(T2, Po)"

H et F se d6terminent h partir de (43) en y faisant les substitutions :

L1 --> lo, Pt --> Po, re-+a, 1--+1.

(14 c)

Si on a :

05 c) Eto(Po.lo) < E~,(T2), G<<t ,

on peut pratiquement 6crire :

(t6 c) P__- EL,(T~).(J.H)/Eah(T2/po).

En g6n6ral, les conditions ( l i c) et (15 c) sont v6rifi6es, de sorte que le blocage vaut pratiquement :

(t7 c) P ~ EzdT2)lEah(T2lPo ).

Dans, ee cas, on retrouve une autre formule de M. J ,conAEus [9], dont la pr6cision est alors excel- (21 c) lente.

- - 293 - - T]~X~OOMM~CXOA~ONS

LEB T R A F I C S T E L I ~ P I [ O N I Q U E S 16/24

L'existence d 'un coefficient G, faible, montre, en outre, la validit6 de l 'hypoth~se de la loi de B~.a- NouLrI, pour l'6tage de r6f6rence, dans le cas d 'un 6rage interne en expansion par rapport h l'6tage d'entr6e. On a vu que ce n'est plus le cas darts l 'hypoth~se d 'un 6rage interne concentr6.

En outre, l 'existence de ce coefficient G montre que, dans le cas d 'un 6tage interne en expansion par rapport h l'6tage d'entr6e, le manque d'efficacit6 du brassage sur l'6tage d'entr6e influe peu, ou pas du tout , du fait que le terme G[Et0 (po-lo)] a peu d'importance dans (12 c). On a vu que ce n'est plus forc6ment le cas dans l 'hypoth~se d 'un 6tage interne concentr6.

On rappelle, en outre, la propri6t6 suivante d6jh signal6e. Si on pose :

P = K.E~,(T~),

K a la mgme valeur que pour un groupe de s61ec- tion conjugu6e n 'ayant que a sectionnements secondaires, 6coulant le mgme trafic total, et ayant un faisceau de sortie 6coulant le m6me trafic T2, mais n ' ayan t que (a.h) lignes. Le blocage, darts ce deuxi~me cas, serait :

P = K.Ea~(T2).

3 ~ l~tage central en expansion par rapport l'6tage de sortie.

On, a :

m/ < a, Kl > b.

On pose (voir figure 4):

L o = mb,

p'= (C~lC~,), (is ~)

x = ( K / l b ) . p p ~ = Ppo,

Po = (K[/b).Px.

Eto(po.lo) < E~,(T2),

EL,(T2) << E~,(TJp0,

Le groupe de trafic de l'6tage de r6f6rence est d6fini par l0 ~< L0.

Ici, les conditions (tc bis) deviennent :

(19 c) p~ > x, l l h > 1 - - m . (p~ - - x ) 2 1 4 . x . ( l - - x) .

Si elles ne sont pas v6rifi6es, on a la formule (~0):

(20 c) P = Er,(T2).(J.H)IEL,(TJx 0 + Et~ avec :

F = EL,(T,). G]E~,(T2Ir

J, H et G, sup6rieurs h 1, sont donn6s par (40), en y faisant la substitution :

L o -,,- l o.

Les conditions suivantes 6tant g6n6ralement v~rifi6es :

t7/24

on peut 6crire prat iquement :

(22 c) P~__ E~,(T~).( J . H ) ] E ~ ( T J x t ) .

Dans ce cas d'expansion, on constate encore la faible influence du manque d'h0mog~n6it6 du brassage des trafics d'entr~e dans l'6tage interne.

Si les conditions (11 c) sont, en outre, verifi~es, on a prat iquement :

(23 c) P~__ Ez,(T2)]E~,(T~/M ).

Dans ce dernier cas, la formule de blocage montre que tout se passe comme si une maille interne a pour charge x, le trafic interne 6cou16 v6rifiant la loi de BERNOULLI.

Nota. - - Da~s les trois eas, t ~ 20 et 3 ~ que nous venons d'examiner, si le faisceau de sortie consid6r6 est de peti te taille (L 2 < m), il suffit, dans routes les formules pr~c6dentes, de faire les substitutions :

(24 c) m --> L 2 h = I.

Tout se passe, alors, comme s'il y a seulement L~ sectionnements secondaires.

P. LE GALL [ANNALES DES T~L]~COMMUNICATIONS

I Pr~s~leetion ~ deux 6tages avee enregistreurs

En g6n~ral le taux de perte EL~ (T3) sur l 'ensemble des enregistreurs est net tement plus faible que le blocage dh aux deux 6rages de pr6s61ection.

Ce proc6d6 de pr6s61ection, en s61ection conju- gu6e, est d'ailleurs ancien et existe depuis longtemps en France.

On consid~re uniquement le cas des appels diff6- r6s, et on d6signe par Ps = 1 ~ qs la charge d 'un enregistreur. On prend alors pour bloeage [voir h l 'Annexe IV, la formule (20 d)] :

(28 c) P = Po + EL,(Te).P2[q2 + Ez~(Ta).lJq~,

off Po est le blocage dfi aux deux 6tages principaux dans le cas des appels perdus, et considfir6 au paragraphe (II, A, 1 ~ a).

2. S61ection conjugufie ~ trois fitages (de liaisons) d'un abonnfi demandfi, l'fitage d'abonnfis fitant transposfi, et le premier fitant en expansion par rapport ~ l'fitage d'entrfie.

C. Cas de l'accessibilit~ partielle au Iaisceau de sortie.

Ce cas est peu fr6quent. I1 ne donne pas lieu h une formule g6n6rale, approch6e, et simple, sauf dans le cas suivant. Le groupe de s61ection a acc6s h mh des L 2 lignes (L 2 > mh) du faiseeau de sortie eonsid6r6, 6coulant le trafie T2, de nature quelconque.

A l 'annexe III, qui suit, on donne la formule (17 d) de blocage suivante :

(25 C) P = 7~1.C ,

,, m h ~ T , a v e c : 7~1 = ( P 2 ) L ~ ,

et : C N. i + m.H. p~]2.

H est donn6 par :

(26 c) H = [l/(p2h)~r;_a{m_~) ] -- I.

Si le trafic de sortie est d'ERLANG, on a done, d'apr6s (4):

(27 c) H = [Ez,-hm(T2)]Ez,-h(m-~)(T2)] - - t .

~:x est le taux de perte sur le faisceau de sortie, naturellement sup6rieur h l 'eneombrement total (Pz,)~'~ de tout le groupe de trafic (T2, L2).

La formule (25 c), pratique, n'est valable que si l 'on trouve, par exemple :

c < i,5

ce qui n'est, malheureusement, qu'un cas particulier. Sinon, il y a lieu d'appliquer la formule g6n6rale

(32), ou, mieux, le d6veloppement (14 d), plus rapide calculer num6riquement.

III. S]~LECTION CONJUGUS~E A TROIS I~.TAGES

DU TYPE CLASSIQUE.

Nous entendons par lh celles actuellement uti- lis6es en France. I1 y e n a trois types.

On consid~re la figure 9, off le cablage du deuxi~me 6tage n'est en g6n6ral pas celui utilis6 r6ellement. On y fait les substitutions de notatio~as suivantes :

On a, en outre :

/ = z = l .

A est l 'appel entrant ; Sr sont les mailles de l'6tage d'abonn6s permet tant d 'at teindre un abonn6 demand6 d6termin6.

La transposition permet d'utiliser la loi de BEE- NOULLI h l'6tage d'abonn6s. L'expansion permet aussi de l'utiliser au premier 6rage, d'apr~s ce qui a 6t6 trouv~ au paragraphe pr6c6dent (II, B, 2o).

La loi h utiliser au deuxi~me 6tage est la loi d'EnLANC.

Le trafic total d'arriv6e est T r Le nombre total de lignes d'entr6e, en service, est L 0. Le nombre total de mailles, au premier 6rage, est : L 1 ---- K n .

Le rapport d'expansion du premier 6rage est (L i /Lo) . On pose :

Po = TIILo,

Pl = T1]LI = po'Lo]L1 �9

Pl est la charge d'une maille du premier 6tage. On d6signe par (T2, L2) le groupe de trafie eonsid6r6 au deuxi6me 6tage, qui constitue le faisceau d'arri- v6e au groupe de 400 abonn6s, dont fait partie l 'abonn6 demand6 consid6r6. On d6signe, enfin, par x la charge d'une maille h l '6tage d'abonn6s.

On a normalement n > m, ce qui explique lc cablage irr6gulier au deuxi6me 6tage de liaisons, vu que L2 n'est proportionnel ni h m, ni h n.

Comme c'est ce deuxi~me 6tage qui a l 'encombrement total le plus 61ev6 Ez, (T2), on s 'arrange pour mettre cette quantit6 en facteur dans la formule de blocage.

- - 294 - -

I. lq , n ~ 11-12, 1958]

On pose:

h = Lzl,t, u= x 4- (1 --x) Po, Z = x/u,

~ = n - - r (29c) F ( h ,T )= X ICn~_r.(l--Z)(~-~)-~.Z~}x

~t=0

ilE(~+~)h(Tlu).

F se calculc ais6ment h l'aide de la table d'EnLANC. [18], et le terme entre parenth6ses, h l 'aide de la table [191 .

A l 'annexe u qui suit, on donne pour blocage :

(30 c) P = C.EL:(T2) ,

off C est d6termin6 par les in6galit6s suivantes [for- nmle (45 d)l :

1 1 (31c) E~h(Td ~ < F(h, T2) < C < F(], T~)< E~[T~/,)

T~ est d6fini par la relation : t

(32 ,) Ez, (T~) = E, (T~).

A l'annexe VI, on donne la valeur exacte pour C [formule (39 d)], mais elle conduit h des calculs num6riques bien plus longs que ceux relatifs h l '6valuation de F(I, T~) qui suffit normalement.

Dans le cas d 'une s61ection avec renouvellement, consistant h pr6senter l 'appel sur une autre ligne quelconque du faisceau d'entr6e, suppos6 6galement r6parti sur les divers sectionnements d'entr6e, le blocage P ' devient [voir (46 d)] :

(33 e) p, N P / K + (:t -- i lK) .Pz ,

06 P2 se calcule comme P, d'apr6s (30 c) et (31 c), ~ condition d 'y faire la substitution [voir (50 d)] :

(34 c) Po ---> Po.Pv

Application numdrique :

Dimensions g6om6triques influentes :

K = t0, r = i0, n = 20.

Trafics et charges :

entr6e : Po = T l l L o = 0,76. I er 6tage P l = Po[ 2 = 0,38. 2 e 6tage : T 2 = 16,7 er langs--L 2 = 30. 3 e 6tage : x = 0,3.

On d6duit :

h = L~[n = 1,5, u = 0,83, Z = 0,36, EL,(T2) = 10-~.

t D'apr6s (32 c), on d6duit aussi : T2 = 9,5 erlangs.

Les in6galit6s (31 c) deviennent alors :

3 < 7,9 < C < 10,4 < 145.

On prend done, environ:

C = 9 .

L E g T R A F I C S T b : L s ] 8 / 2 4

Ire blocage, sans renouvellement, est done :

P_'~_ 9.Er~(T2) = 9.10 -a.

Pour le calcul de P2, la substitution (34 c) devient :

Po = 0,76 -+ PoP~ = 0,29.

On a alors :

u = 0,5 Z = x[u = 0,6.

I,es in6galit6s (31 c) deviennent donc:

t,75 < 3,1 < C~ < 4 < 7,6.

On prend :

C 2 = 3,5.

Avec renouvellement, on a d'apr6s (33 c) :

C'='-i-C ( ~ ) -~ 9 (3,5), g + 1-- .C 2= . ( 9 ) + ~ .

OU

C' ,~ 4.

Le blocage, avec renouvellement, vaut donc :

P'__-~ 4.EL~ (T2) = 4.10 -3.

3. S41ection conjugu4e ~ deux 4tages associ4e un 4tage d'entr'aide.

On prend les notations des figures (4) et (12). On a ? s61ecteurs d'entr 'aide par sectionnement primaire, et on d6signe par [' le nombre de s61ecteurs d'entr 'aide d 'un sectionnement quelconque atteints h partir du sectionnement d'origine, off se pr6sente l'appel.

Si t I est le trafic d'entr 'aide, trafic refus6 par le groupe de selection, s'il n '6tait pas fait usage de l 'entr 'aide, la charge d 'un s61ecteur d 'entr 'aide est alors :

(35 c~ p~ = t d g %

Oil commence par 6valuer tp Pour cela, afin de simplifier les calculs, on groupe les faisceaux de sortie en trois ensembles bien distincts. D'abord celui des faisceaux allant vers les groupes d'abonn6s, tous h peu pr6s identiques et importants. On d6finit ainsi un faisceau de sortie moyen (t], l~), ayant un taux de perte faible (10 -a par excmple), dormant lieu h un blocage ~1, en s61ection conjugu6e ordinaire, sans entr'aide. On appelle 01 le trafic total 6coul6 par cet ensemble.

Ensuite, on consid6re l'ensemble des faisceaux de sortie vers l ' interurbain, qui sont d 'une certaine importance. On d6finit un faisceau moyen (t~, l~), dont le t aux de perte Etq(t~) est net tement plus 61ev6 que dans le premier ensemble : par exemple 10 -2. I1 correspond un blocage ~%, en s61ection conjugu6e, sans entr'aide. On appelle 02 le trafic total 6coul6 par ce deuxi6me ensemble.

Enfin, on rassemble dans un troisi6me ensemble les autres faisceaux de sortie d ' importance plus

- - 295 - -

19/24

faible, correspondant h u n taux de perte 61ev6: i0 -~ en g6n6ral. On d6finit un faiseeau moyen de sortie (ts, m) tel que Em(ts) soit 6gal au faux de perte pr6c6dent. On calcule le blocage, sans entr'aide, ~a correspondant. On d6signe par 0 a le trafic 6cou16 par cet ensemble.

On a alors :

T 1= 01+ 0z+ 03,

et :

(36 c) t~ = ~ . 01 + ~2" 0~ + ~3.03.

p[ s'en d6duit par (35 c). Les calculs de ~ , ~ et r~z se font d'apr~s ce qui a

6t6 indiqu6 au paragraphe (II, B, i~ l'6tage central 6tant concentr6.

On d6signe maintenant par P , le blocage, en s61ection conjugu6e ordinaire, correspondant au eas off l 'appel disposerait de n seetionnements primaires (n ~< K), K 6tant le nombre tota ldesect ionnements.

On calcule alors Ptr et PK--s, d'apr~s ce qui a 6t6 indiqu6 au paragraphe (II, B, 1% Comme on a, en g6n6ral, K >1 5, les conditions (1 c bis) sont v6ri- fi6es, et l'on peut 6crire :

T ~t (37 c) Px , " Ez,(T,)IEz,( ,/p~ ) + Et, (p~.l~),

et :

(38

Le

avee

e) p~_a N Ez,(T,)iEz,(T,lp~tr-~)') + Ez.(px.lx).

blocage, avec entr 'aide, est alors :

c) P = P~.C, C _ l + [ (K-- i)13] .H.p i t',

(40 e) off : H = P~-s lPK-x .

(39 c) est valable, si on a : c < 1,5 par exemple, cc qui correspond aux cas pratiques, c mesure l'effi- cacit6 des dispositifs d'entr 'aide.

Pour l '~tablissement d 'un projet, on ealcule les dimensions d 'abord du groupe de s61ection, sans s'occnper de l 'entr 'aide, h l'aide de (37 c). Puis, on d~termine l '6tage d'entr 'aide de la fa~on suivante.

On connalt P~, P~_~, done H d'apr~s (40 c). La condition :

(41 ~) C < 1,5,

jointe h l 'expression (39 c) de C donne alors : p'/'. On connalt, d 'autre part, tl par (36 c). (35 c) per-

met alors de d6terminer [' et 9, c'est-h-dire le dimensionnement de l'6tage d'entr 'aide.

4. R6seaux sur concentrateurs.

Nous entendons, par lh, ceux utilisant des petits commutateurs et 6coulant prat iquement un mgme groupe de trafie h chaque 6tage. Ils sont du type pr6sent6 aux figures ~3 et t4, et ne sont pas utilis6s actuellement en France.

Les formules de blocage, plus longues que celles donn6es jusqu'ici, sont la formule (47 b), compte tenu de (48 b), pour les r6seaux h quatre 6tages do

P . L E G A L L [ A N N A L E S DES TI~L~COMMUNICATIONS

commutateurs, et la formule (52 b), compte tenu de (51 b), pour les r6seaux h six 6tages de commutateurs. Ces formuhs tiennent compte de la d6pen- dance entre les 6rages, dont l'effet est sensible pour les petits r6seaux.

Conclusion.

Pour les types de s61ections conjugu6es utilis6es en France, nous avons donn6 les formules appro- ch6es et simples, ais6ment et rapidement calcu- lables h la r6gle h calcul ; h l'aide de la table de la loi d 'Erlang E~ (T) : table [18] ; et de tables don- nant les termes, individuels et cumul6s, de la loi bin6miale : tables [19], [20] et [21].

A N N E X E S A L ' A P P E N D I G E

I

Consid6rons un groupe de s61ection conjugu6e h n 6tages, et d6signons par (Ti, Li) le groupe de trafic consid6r6 au i e 6rage. Le bloeage peut s%crire, en d6ve- loppant par rapport aux p'~ :

( ld) p = Z - ,_amr~ 2~tz" ~P~ ILl,

off les A~ sont des probabilit6s. Ces coefficients sont donc tous positifs. Nous s~pposons, pour simplifier, l'hypoth6se de ]'ind6pendance des 6tages.

Posons : L~= hl~, et d6finlssons T~ par ]a relation :

Ez,(L ) = Et,(T~).

Posons :

p, = TEL,, p; = T~]l,.

On v6rifie ais6ment l'in6galit6 :

(2 d) (p,5 < i . Nous voulons d6montrer l'in6galit6 suivante :

~F{ LSi ~ ~t'i /L i '

pour : 0 < [x </4.

A l'aide de la relation (4) de C. PArM, il revient au mgme de d6montrer l'in6galit6 :

(4 d) Ea(a_v)(T,) > Ets_v (T~).

Si nous rappelons que, pour p~= t, nous avons :

h T~__ h I(P~)L~ - P~- (1 - E) �9 T t . t

[ (P/)L,' = P," (1 -- E),

avec : Tp E = E~(T~)= E,,( 3,

(2 d) entralne alors (3 d), et done (4 d), pour ~t = 1. Supp, osons alors (4 d) v6rifi6 pour ~, et d6montrons

qu il s ensuit que (4 d) est aussi v6rifi6 pour (~ + t). D6finlssons t par la relation :

(5 d) Ea_~(T ~) = Eh(ti_~)/t)-

Nous d6duisons d'apr6s (4 d), v6rifi6 pour ~ = 1:

E(t~_~t)_l(T~) < EhHti_tL)_l](t), O U :

2 9 6 - -

Eu_(~+~I(T~) < Ehm_C~+~ll(t).

t. 13, n ~ 11-12, 1958] LES TRAFICS

Or, la comparaison de (5 d) et de (4 d) permet d'6crire :

t < T i , ce qui entralne :

E~4t~_(~+~)] (t) < E~it~_(~+~)](T~).

Cette dernigre in6galit6, jointe ~ (6 d), donne :

Eh[t~_(~+l)](T~) > Et~_(~+I)(T~),

ce qu'il fallait d6montrer. Ainsi (4 d), et donc (3 d) sont d6montr6s h l 'aide de

ce raisonnement par r6currence, pour 0 < Ix < l~. Pour [z = ls l 'in6galit6 est remplac~e par une 6galit~.

P o s o n s :

(7 d) P ' = ~ A~. (pi~)~i '.

(3 d) entraine donc :

(s) p < p,.

I I

Consid6rons l 'expression J d6finie par (34) et (35). Ecrivons (35) sous la forme :

J = 1 + B ~ + B ~ + B a + B ~ + B~.

Si (37) est v6rifi6, nous savons que B~, peut s'6crire :

(9 d) B~ = A ,~ (2n)!ln! (L~)'~.K~,

avec :

K,~ = [(pJp~) - t + (2 /Ls ] . . . [(p2fp~) - - 1 + 2(2n)/L,].

Nous avons alors :

K~ > K~ = I [(PJP~) - - 1 + (21L,)] X

[(P2fP~) -- I + (4/L2) ] !n, d'ofi :

B < (B~)~.(2n)![2'~x (n)!]

Nous avons donc :

< + + + + 105B + 9 5B[.

Les deux derniers termes sont d'ailleurs ne t tement sup6rieurs aux valeurs exactes.

Si nous voulons :

(10 d) g < 2,

nous pouvons pra t iquement 6crire :

( t t d) B z < 0,25.

Remarquons que (37) permet d%crire approxima- t ivement :

(i2 d) > / . Ainsi, si nous voulons respecter (10 d) et si (12 d)

est v~rifi6, (1t d) entrMne la condition :

(13 d) (I lk) > i - - m.(p~ -- p])~/4.p] .(1 - - E)-

IIl

Consid6rons un groupe de s61ection conjugu~e h deux 6tages ayan t seulement une accessibilit6 partielle aux faisceaux de sortie. Autrement dit, nous avons :

Lz > mh.

Rappelons que les formules approcMes de blo-

T~LEPHONIQUES 20/24 cage (40), (43) et (59 a bis) ne sont applicables qu 'au cas g6n6ral off le groupe de s61ection a une accessibilit6 totale aux faisceaux de sortie. Nous voulons donner, dans le cas de l'accessibilit6 partielle, une formule de blocage approcMe simple, mais valable seulement dans e e r t a l n s cas .

Avec nos notations habituelles, nous avons pour blocage, dans le cas de la loi de BERr~om.u aux deux dtages :

t'21 " r l �9

D'apr~s lc thdor~me I, nous avons alors pour hlocage, dans le cas de trafics d'ERLAN~ h chaque 6tage :

[ mh,~T= +

.I - • + . . .

Prat iquement , si ~ est faible, nous pouvons ~crire :

F1 ]L= --

d'oh :

(14 d) P = ~p~ ;~, + C~ I ph(,~-~).(t - - )r,.t'~ �9 1

Cette approximation n 'est valable que si les termes correspondant h Ix faible sont seuls influents, ce qui est g6n6ralement le cas. I1 peut mgme arriver que seuls les deux premiers termes influent. Nous avons alors :

(t5 d) p = , , , m~,n r )z,,

avec :

C ~__ ~..3L m l [(ph(+~,-1)L,I~,/"'2"I(r~hm'~Ta]/LIJ- ~" }'P~" =

(t6 d) I + m I [t[(Pa)~:-a(~-,) ] - - i ].p~.

Pour tenir compte de l 'influence des termes suivants, nous pouvons proc6der comme pour la formule (59) de l 'entr 'aide. Au lieu de prendre, pour intervalle de varia- tion de ~, l ' intervalle (0,i), nous prendrons r interval le (0,2), d'ofl :

(17d) C _ ~ I + [m]2].[ 2a t , 1} ' [t/(p )z,-a(~-~)] - - "Pr

Si C est trouv6 inf6rieur h 1,5 par exemple, (17 d) est suiIisant. Sinon, il vaut mieux prendre (14 d), ou, s'il y a lieu, la formule exacte.

IV

D6signons par Po l e blocage d 'un groupe de s61ection conjugu6e h n 6tages, dans le cas des appels perdus. D6signons, en outre, par P l e blocage correspondant au cas des appels avec attente. Nous supposerons essentiellement l 'hypoth~se de l ' ind@endance des 6tages. Consi- d6rons le groupe de trafic (Ti, L~) concern6 au i e 6tage.

D'apr~s la formule (4) de notre article ant6rieur [t5], nous avons :

m~Ti

off 7:~ est la probabilit~ pour qu'il y ait v communications en cours dans le groupe de trafic (T~, Ls), et, s i v = L~, pour qu'il y ait, en outre, des appels en at tente. D6si-

~,n ~f~ les valeurs correspondant au gnons par % (v) et ~r~.oJ~ cas des appels perdus.

Nous avons, pour v < L~:

e t p o u r v = L ~ :

rc(Ld ~-- ~:o (Ld .(t + pdqd = Ex,~ (Ts).(l + pdqd.

297 - -

21/24

D'ofi :

( t8 d) :~i~T~ _ :~L~T~ ~v~ :z~ - ~-o::z~ + E n ( T 0 " (Pdq~)-

Portons ces expressions, pour les diff~rentes valeurs de i, dans P, et n6gligeons les prodults tels que Er~.Ezy. Nous obtenons :

(t9 d) P ~ Po + Z EL, (T~).(pi/qi). i

Dans le cas de la p%s61ection avec attente, nous avons normalement trois 6rages. Un premier de chercheurs primaires, un deuxi6me de chercheurs secondaires, un troisi~me d'enregistreurs. Si le trafic sur les chercheurs primaires est mixte, ce qui est souvent Ie cas, nous n6gli- gerons l 'effet de l ' a t tente sur le premier 6tage, et nous d6signerons par P~ le blocage, en s61ection conjugu~e sur les deux premiers 6tages seulement, dans le cas des appels perdus. D'apr~s (50), nous avons :

Po -~ Po + Ez. (T3).

(t9 d) devient alors :

(20 d) P ~ _ Po + EL~ (T2).p2lq 2 4- EL, (Ta). /q 3.

_Nora : Les formules (50)et (51) ne donnent que P0. En outre, la formule (19 d) suppose essentiellement l 'encombrement par rappor t aux organes, donc par rapport ~ l 'ensemble des abonn6s, et non par rapport

un abonn6 demandeur donn6. Dans ce dernier cas, la loi de choix, dans l 'a t tente , interviendrait . Dans toute notre 6tude, nous nous sommes born6s au premier point de rue , plus simple, et d6finissant mieux la qualit6 d 'un syst~me, que la deuxi~me consid6ration qui, elle, conduit

des quantit6s fonctions de l 'abonn6 consid6r6 et non plus du syst~me consid6%.

V

Consid6rons une s61ection ordinaire, non conjugu6e, associ6e & un 6rage d 'entr 'a ide (voir fig. 12).

D6signons par P1 la charge d 'une ligne de l%tage principal, dont le groupe de trafic de base est (T1, L1). Ce trafic est mixte, alors que l '6tage d 'entr 'a ide est suppos6 6couler le trafic refus6 relatif h un sens seulement, ce qui permet de supposer pra t iquement l ' ind@endance stochastique de l%tage principal et de l '6tage d'entraide.

D6signons par p~ et / ' respectivement la charge d 'un sdlecteur d 'entr 'a ide et le nombre de s41ecteurs d 'entr 'aide d 'un autre sectionnement primaire atteints

par t i r du sectionnement d'origine, off se troupe l 'appel h servir. D6signons par m l e notable de tels sectionnements de l '6tage principal, q~ le notable de s4lecteurs d 'entr 'a ide par sectionnement. D6signons enfin par / le nombre de mailles permet tan t de jolndre un sectionnement pr6c6dent au sectionnement de l '6tage final qu'il s 'agit d 'at teindre, lequel 6coule Ie groupe de trafie de base (L 1 = m/, T1). I1 y a, en tout, K sectionnements fi l '6tage final, chacun 6coulant des groupes de trafic diff6rents. Sans l 'entr 'aide, le blocage est :

P~ = ( p ' : , ,-~ , l / L , - - P l ,

vu que ( / I L l ) = t ] m est faible. Le trafic total d 'arrivde 6tant T2, celul ~coul6 par

l 'entr 'aide est : t = T 2 • p{, d'ofi :

Pl = t / m %

Le blocage avec entr 'aide, en supposant la loi de Ban- ~OULL, ~ chaque 4tage, est :

p .[d + (t - - =

C1 r_/(m-1)_ /m " ' P~" + -,-*'~-Pl Pl ] 'P;Y + " - .

P. LE G A L L [/~NNALES DES TI~L~COMMUNICATIONS

D'o~, d'apr~s le th4or~me I, Ia valeur exacte du blocage :

(21d) p,=, ~I,T, ( P l )L , "4C ( I n - - l ) [ ( p l ( m - - 1 ) ) ~ : - -

/m T, "1" t ( p l ) L , ] . ( p l + - . .

Seuls les premiers termes du d6veloppement sont influents. Nous pouvons done 6crire :

( , . , p[ , , - P l ]m~ - - �9

En outre, comme pour la formule d 'entr 'a ide (59), afin de tenir compte de la 16g~re influence des termes suivants le second, nous remplacerons l ' intervalle de variat ion (0,t) relatif au second terme, par l ' intervalle (0,2), d'ofi :

(22 d) P l = 7~1.C1,

avec

{ _ m / \ T , : L , , T1 ~1 = \ P l ]Lx = ( P l ) L , ,

et

C, = t + [ ( m - /(~-2) r, ,,~ T, 1)12] "[(Pl ) z , / (~ )z, - - i ] . p ] " .

Cette formule est g4n~rale. Elle est valable pour une nature stochastique quelconque du trafic 4cou16 par l%tage principal, ~ condition que C ne soit pas trop grand ( < 2 par exemple).

Posons :

(23 d) H = r : , - , / ( " -~ q',l -- 1. L~FI /L t I~F1 lL,J

Nous avons donc :

(24 d) C , = I 4- (m " ' - l).H.p~' 1"2 .

Consid6rons main tenant le cas du renouvellement. Nous supposons essentiellement que le choix, pour l 'appel entrant , d 'une autre ligne libre du faisceau d'arriv6e est fair au hasard. Ce faisceau poss~de s lignes aboutissant sur un sectionnement d'entr6e quelconque. I1 poss~de donc en tout ms lignes. D6signons par P~ le blocage avec entr 'aide quand l 'appel dispose de deux sectionnements d'entr6e.

Le blocage P, avec entr 'aide et renc, uvellement,

D6terminons P2. Le nombre de s61ecteurs d 'entr 'a ide d 'un sectionnement d'entr~e, at teints & part ir d 'unc combinaison de deux autres seetionnements, est variable suivant cette combinaison. D6signons par /" la plus petite valeur de ce notable. Nous avons souven t / " = [', parfois /" > ft.

Dans le cas de la loi de BEaNOULU & chaque 6tage, nous prenons pour blocage :

= n2'v'Lpl + ( i -

et d'apr~s la mgme m6thode que pour Pl , nous trouvons :

(26 d) P2 = ~,. C2, avee :

C,, I + (m 2) '/" . = - - . H . p 1 ] 2 ,

off H est toujours d6fini par (23 d). D'apr~s (25 d), le blocage P, avec entr 'a ide et renou-

vellement, peut donc s%crire :

(27 d) P = 7:1. C,

vaut donc :

(25 d) I ' s -- 1 ,F~s-- ] . P l + -

( m - l)s ms - 1 "P2 "~

! p , + ( l - I n '., it//, ]

- - 298

t . 1 3 , n ~ 1 1 - 1 2 , 1 9 5 8 ]

a v e c :

c = ~ + (l - Rim). (HI2 ) . [pi ~' + (m - 2)p;"],

si C n'est pas trop grand ( < 2 par exemple). Dans l e c a s off l'6tage principal 6coule un trafic

d'EnLANG, nous avons :

(28 d) = ~ - E ~ (7'~),

Dans lecas off le groupe de tratic (T~, La) dessert _N abonn6s, nous devons prendre la loi d 'Eu t~G-BER- NOULLI, dire encore du bin6me tronqu4.

D6signons par ~ le trafic h {couler par abonn~, et = ~/(~ + ~r le trafic effectivement 6coul6. Posons :

(~9 d) V~ (~) = C ~ . ~ " . ( ~ - - ~ y -~

Nous avons alors :

cL~ (4L, [ 1 - ~ = V~ ~ (~) ~ ~ v "~" ", ~)N--L',

(30 d) H ;~*

2/

V I

L E S T R A F I C S T I ~ L I ~ P H O N I Q U E S 22/24

B~aNOU~LI h l '&age de r6f6rence, si nous avons E~o (T~) < E~, (T2) , ce qui est v~rifi~ en g~n~ral.

Posons : h = __L~ n

Supposons tout d 'abord h = t. Nous avons vu qu'une s~lection conjugu~e, appliqu6e

sur les deux derniers ~tages seulement, donnerait en gSn~ral pour blocage :

P = E~~ (T2)/E~, ( T J x ) ,

ce qui revient 'a dire que tout se passe comme si nous avions : m = L~, x restant inchang6.

Nous pouvons done, sans changer prat iquement la valeur du blocage, supposer que le nombre de sectionnements du troisi~me 6tage de commutateurs est n = L~ au lieu de m, x restant inchang6. Nous sommes ramen6s a u c a s du r6seau du type s6rle-parall~le (fig. 6 et 7).

Posons : x~ = x + (i - - x) p~.

Le blocage dans l e c a s de la loi de B~RNOULLI h chaque 6tage est alors

(3t d) Px = [ 1 - - ( 1 - - x).ql.q2] ~ =

[x~ + (1 - -x2) p~]" = E C~.p~.Q(~,), b~

Nous allons 6tudier l e ca s d 'une s61ection eonjugu6e 5 trois 6tages d 'un abonn6 demand6, oh le premier &age de liaisons est en expansion par rapport h l'6tage d'entrde, et off le troisi~me est celui d 'un dtage d'abonnds transpos6. Le sch6ma est, en g6n6ral, interm6diaire entre celui de la tigure (5 et celui de la tigure 9, en ce qui coneerne le cfiblage du deuxi~me 6tage de liaisons.

l)'apr6s les horatio,is tie la tigure 9, uous avons :

En changeant 16g~reinent lcs notations, appelons respectivement K, n e t m le nombre de sectionnements des 6rages de eommutateurs t, 2 et 3.

D6signons par 7' 1 le lrafie lotal d'arriv6e. La charge d 'une liaison du premier 6rage est :

Pl = T I I K n .

Celle de l'(~tage de r6f6rence esL :

Po ~ T d L o ,

od L 0 est le hombre de ]ignes d'entrde, ( K n l L o ) 6tant le rapport d'expansion. Si r est le nombre d'entr6es d 'un scctionnement du premier 6rage, nous avons :

r < n et K r = L o.

D6signons par P2 - T2]L2 la charge d 'une liaison du deuxi~me 6tage 6eoulant le groupe de trafie (T2, L2) allant vers le groupe de comnmtateurs desservant le groupe d'abonn6s, dont fait partie l 'abonn6 demand6 consid6r& D&ignons par x la charge d 'une liaison du troisi~me 6tage (6tage d'abonn6s), off la transposition permet d'appliquer la loi de BERNOULLI. Nous avons, par contre, des tratics d 'ERLa~a aux deux premiers 6rages.

L 'encombrement E~, (T2) du second &age 6tant le plus 61ev6 des trois, nous orienterons les calculs de fa~on h faire apparaltre ce terme pr6pond&ant en facteur.

Comme nous l 'avons fail remarquer '~ propos de la s6hction conjugu6e "~ deux 6tages, le fail que le premier 6tage soit en expansion permet d 'appliquer la loi de

avec

" - ~ . (1 - x~) ~. Q(~) = x 2

Appliquons maintenant le th6or~me I pour avoir la valeur du bloeage dans l ecas des lois r6elles h ehaque 6tage. Occupons-nous, tout d'abord, du premier 6tage.

La relation (6) donne la substitution :

(3~, a) c~ z,~- ~ c ? ~,o ~,

vu que les bt liaisons eonsid4r6es sont relatives 'h un m~me sectionnement. En gardant provlsoirement la loi de BERNOULLI pour le deuxi~me 6tage, nous avons alors, d'apr~s (3i d) :

p~ 2c~ p~.Q(~,) ..... ~ [ l - ( l - z ) . q o . q d ~ = . ~ 3 ; 2 I*

ob qo = I - - Po.

Posons : u = x + (I -- x) P0, Z = x]u.

P1 devient :

(33 d) P l = (P2 + q', x) '~ - ' .(Pz + qz u)~ = (p~ + q~ ~.z)~-~.(p~ + q~ u?.

Introduisons nlaintenant la loi d'ERLANG au deuxiOlnc 6tage, 5 l'aide de la relation (5). Nous trouvous :

(34 d) P~ = E, , (T~) . [l + ~,. u a l T 2 ] ~-~ x

It + v . u l T d ' . o ~ dr. En 6crivant :

(i + ~, .uZlT2) ~ = [0 - Z) + Z (1 + ~,.ulT~)]"-" =

Z C~_~ .(t - - Z) ("-~) -~ .Z ~ x (l + v . ~ l T 2 ) ~, bL

nous trouvons finalement la valeur exacte de P1 :

(35 d~

a v e c I

(36 d)

P1 = E,,(T2). K2 (T2),

Supposons maintenant h > 1,

K~(T2) = ~ l c L ~ . O - z)("-r)-~.z ~ }x

t1~.,+~ (Tdu). e'est-h-dire L 2 > n.

2 9 9 - -

23/24

Consld4rons le groupe de trafic fictif (n, T~) au deuxi~me ~tage, off T~. est d6fini par la relation :

(37 d) E~(T'~) = Ez,(T2).

D6signons respectivement par P~ et P~ le blocage cherch6 et le blocage dans le cas off le groupe de trafic du deuxi~me 6tagc serait (n, 7" ).

P o s o n s :

P ~ = E~(T~) .K,

P~ = E~(T~).K 2 (T~) = E~, (T2).K2 (T~).

D'apr~s l'~tude faite h l 'annexe I, conduisant h la relation (8 d), nous avons : P l < Pl, et donc:

(38 d) K < g z (T~).

Quant h l'expression exacte de Px, dans le cas de la loi de B~nr~OULH au deuxibme 6rage, (33 d) devient :

(34 d) devient alors, h l'aide de (5):

P~ = E~, (T2)x

X { ( l - z) + z [ ( i - ,4 + + ,,IT2)"]

{ ( l - - u ) + u(l + r162 = EL, (T2) .K

avec :

t~ Z)(~-~)-~.ZIX z { c , ,_ , . ( , - }• IX

+ ,,(, .,-~ d,'.

Si nous raisons appel h (58 a) et h (59 a), (34) et (35) permettent d'dcrire :

(39 d) K = Y-, { C~_ r . ( t - - Z) ( ' - ' ) - I x .Z ~ / • I,I.

J{r+tqh. h(T2 ' u)lEl,+ix)~(T2lu)" Ainsi les relations :

Pl = K .Ez , (T2), (40 d) u = x + (1 -- x) Po,

Z = x/u,

et la relation (39 d) permettcnt d'obtenir la valeur du blocage P~. Toutefois le calcul num6rique relatif (39 d) ~tant encore long, nous pouvons simplifier de la fagon suivante.

Posons :

(41 d) KI(T2) = ~ { C~n_r.(l -- Z)0t-r)-~t.Z Ix } X

t IE (,+~)a (T2lu).

Comme J e s t toujours sup~rieur h t, nous avons :

(42 d) K 1 (T2) < K.

D'apr~s l'in~galit6 :

l/E{r+t~ih(TJu) > llErh(T2lu)= KI(T2) ,

nous pouvons aussi 6crire :

(43 d) K~ (T2) < K1 (T2).

De mfime l'in~galit6 :

qE,+,,(~l,,) <. tIE,,(T~Iu)= K~ (T~),

P . L E G A L L [~kNNALES DES TI~L~GOMMUNIGATIONS

entralne :

(44 d) K 2 (T;) < K; (T;).

Rassemblons les in~galit~s (38 d), (42 d), (43 d) et (44 d). Nous obtenons :

(45d) K ~ ( T 2 ) < K I ( T ~ ) < K < K 2 ( T ~ ) < K~(T~).

Nous allons aborder maintenant le cas de la s61ection avec renouvellement. Cette op6ration consiste h prendre, au hasard, une autre ligne libre du faisceau d'entr6e consider6. La relation (25 d) devient, avec nos notations :

(46d) P ~ P l l K + ( I - - I l K ) P2,

off P e t P2 sont respectlvement [e blocage avec renouvellement, et le blocage dans le cas off l'appel entrant dispose de 2, parmi les K, sectionnements de l'6tage d'entr6e.

Nous venons d'6tudier Pl. Nous passons maintenant h l%tude de P2.

La relation (31 d) devient, cette fois-ci, d'apr~s la substitution p~->p~ :

(47 d) P2 = X C~.p~.Q(lz ). ~t

En outre, d'apr~s (6), la substitution (32 d) est "h remplacer par la suivante :

IX Ix ~t IX tz (48 d) C~.p~IX ---> (C, .po).(C~ Pole,).

Pour faciliter les calculs, nous prendrons une valeur de Pz approch~e l~g~rement par exc~s, obtenue h partir de la substitution :

_.~ IX (49 d) ~,c~. ~"~IX C~. (Po P~)~,

y. IL car p~ est 14g~rement sup~rieur h (Cr .po[Cn), pour Ix pas trop grand.

Si nous passons maintenant, d'apr~s le th~or~me I, au cas de la loi d'EnLANG au deuxi~me dtage de liaisons, la comparaison des substitutions (32 d) et (49 d) montre que P2 se d~duit pratiquement de P l par la substitution :

(50 d) Po "--> (Po'Pl),

off nous rappelons que Poet p~ sont respectivement les charges des liaisons de l%tage fietif de r6f6rence et du premier 6tage.

Manuscrit re~u le 27 no~,embre 1958.

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COMPTES R E N D U S DE LIVREF (Cette rubrique s'dchelonne pp. 301,302,325,328.)

F o n c t i o n s sph6riques de Legendre

et fonc t ions sph6ro ida les *

de L. ROBIN

Un an seulement apr~s le premier tome (**) de cet ouvrage consid6rable, lequel dolt en comporter trois, voici le second volume, qui a 6t6 certainement plus d61icat ~ 6crire que ne fur le premier.

�9 Tome II. Collection technique et scientifique du C. N. E. T. Gauthier-ViUars, Paris (1958), I vol. broch6 (ou eartonn6) 16 X 25 ; VHI-384 p., 26 fig., nombr, r6f. bibl. - - Prix : 5 000 F (ou 5 300 F). Ouvrage re~u en service de presse, annonc6 dans le Bulletin Signaldtique des Tdld- communications (janvier 1959) sous la c6te L 6971.

(**) Un compte rendu du tome I de cet ouvrage a 6t6 donn6 dans les Annales (mars-avril 1958, p. 112), ainsi qu'un signalement bibliographique dans le Bulletin (janvier 1958) sous la cote L 4476.

Aprbs un avertissement relatif aux notations, reproduisant celui du tome I, le chapitre IV de l'ouvrage introduit ~ partir de leur 6quation diff6rentielle les fonctions associ6es de Legendre de degr6 et d'ordre quelconques, dont on s'oc- cupera d6sormais. Comme on salt, cette 6quation diff6rentielle est un cas particulier de l'6quation hyperg6om6trique, dont les transformations sont classiques. Ceci permet de pr6voir l'existence de soixante-douze solutions hyperg6om6triques

l'6quation associ6e de Legendre. Le reste du chapitre en d6coulera. La solution P~(tz) est d6finie par l'int6grale de Jordan-Pochhammer le long du contour de Hobson. La d6finition (6quivalente) de Barnes est seulement rappel6e. Celle de Schliifli, lorsque m est un entier r6el, s'6tablit ai- s6ment. Pour Q~(iz), la d6finition de Hobson (par l'int6grale de Jordan-Pochhammer ou la s6rie en t/t~ 2) est pr6f6r6e

celle de Barnes. Les int6grales de Hobson fournissent par des transformations convenables les expressions de p met Q men s6rie hyperg6om6trique de (1 --- tz) 12, et m~me l'expression de Q men s6rie de 21(1 - - tz) obtenue par Barnes

l'aide des int6'~rales portant sat la fonction eul6rienne. On exprime ensuite Q~_l(~z), p~.m(~) et pn m (--t~) en foaction lin6aire de Pm(t~ ) et Qm(~), ce qm permet d'obtenirles d6ve- loppements de Q_m([z) et Pm(t~ ) e l l ~ et t1(1 - - tz2), puis de Pn(tz) en 21(1 - - tz) et en ( tz-- 1)/(~ + 1). Assez para-

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