Cours de mathématiques en cinquième - Tous nos cours sur https://www.mathovore.fr/cours-maths

Cours de maths en 5ème

Les volumes de

solides

PLANS et DROITES de l’ESPACE LE CUBE

Le cube est un solide dont les six faces sont des carrés.

Ces faces sont les représentations de plans Examiner les neuf schémas et retenir les différentes notions de plans parallèles, plans perpendiculaires, plans sécants ainsi que de droites perpendiculaires à un plan, droites non coplanaires

EXERCICES

PLANS ET DROITES DE L’ESPACE Représente en couleurs...

VERS LE PRISME DROIT - Un découpage du pavé droit On sectionne un pavé droit par un plan perpendiculaire à une de ses faces.

On obtient deux prismes droits

- Réalise le prisme dont le patron est représenté ci-dessous :

Un prisme droit dont la base est un pentagone

Un prisme droit à base triangulaire

LE PRISME DROIT

- Définition et représentation en perspective cavalière

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J Le prisme droit est un solide dont

les faces latérales sont des rectangles les deux bases sont des polygones

superposables Exemple : ABCDEFGHIJ est un prisme droit :

Ses faces latérales ABGF, BCHG, CDIH, DEJI et EAFJ sont des rectangles

Ses bases ABCDE et FGHIJ sont des

pentagones superposables.

- Volume du prisme droit

a

b

Rappel : Le volume du pavé droit est le produit de ses trois arêtes. Or, le produit de deux de ses arêtes est l’aire d’une de ses faces ; la troisième arête est la hauteur du pavé.

h

hV (a b)= × × Formule : De la même façon, le volume du prisme droit est le produit de l’aire de sa base par sa hauteur.

B

AC

D

E

F

G

H

I

J

B

h

V Aire de la base= ×h

Exemple :

Le volume du prisme à base triangulaire réalisé dans la fiche

3,8 cm

2,8 cm

1,9

cm

préparatoire est :

3 33,8 2,8V 1,9 5,32 1,9 10,108 cm 10 cm2×

= × = × = ≈

V aire du triangle de base hauteur= ×

- Aire latérale du prisme droit

L’aire latérale du prisme droit est la somme des aires de ses faces latérales :

Exemple :

L’aire latérale du prisme ABCDEFGHIJ (voir plus haut) est :

Aire latérale aire(ABGF) aire(BCHG) aire(CDIH) aire(DEJI) aire(EAFJ)= + + + +

Aire latérale AB AF BC BG CD CH DE DI EA EJAire latérale AB BC CD DE EAAire latérale

h h h h hh(AB BC CD DE EA)

Aire latérale périm

= × + × + × + × + ×= × + × + × + × + ×= + + + + ×

= ètre de la b hau rase teu×

EXERCICES LE PRISME

- Complète les dessins des prismes suivants (Il manque leurs arêtes cachées) :

- Exprime les volumes des prismes 2, 3, 4 en fonction du volume V du prisme 1.

4 3

2 1

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… - Partage le prisme ci-dessous en trois prismes à bases triangulaires horizontales et à faces verticales. Représente séparément ces trois prismes dans le quadrillage.

VERS LE CYLINDRE DE RÉVOLUTION

Le cylindre est engendré par le segment vertical [AB] tournant autour de l’axe vertical (y’y).

Faire un tour complet se dit aussi faire une révolution d’où le nom de cylindre de révolution.

Le segment [AB] s’appelle génératrice du cylindre de révolution.

Sa représentation en perspective cavalière :

LE CYLINDRE DE RÉVOLUTION

- Définition

O'

OA

B

Un rectangle OABO’, en rotation autour de la droite (OO’), engendre un cylindre de révolution. (OO’) est l’axe du cylindre [AB] est une génératrice du cylindre A et B décrivent, lors de cette rotation, des cercles de centres O et O’ Ces cercles sont les bases du cylindre

- Représentations du cylindre

O'

O

O

O'

a) Cylindre posé sur une de ses bases Les cercles de base sont représentés par des ellipses

b) Cylindre posé sur une de ses génératrices

- Patron du cylindre h

r La surface latérale du cylindre est représentée par un rectangle

dont

Une dimension est la hauteur h du cylindre

L’autre dimension est le périmètre 2 rπ× × du cercle de base de rayon r

L’aire latérale du cylindre est donc : 2 r hπ× × × L’aire de chaque base est : 2rπ ×

- Volume du cylindre de révolution de hauteur h et de rayon de base r C’est le produit de l’aire de la base par la hauteur (comme pour tout prisme droit)

2 hrV π= × ×

EXERCICES 2

PRISME ET CYLINDRE

- On considère une feuille 21 x 29,7 (format A4) Tu as deux façons de former un cylindre avec cette feuille :

Hauteur : 21 cm et périmètre de base : 29,7 cm Hauteur : 29,7 et périmètre de base : 21 cm

Lequel des deux cylindres a le plus grand volume ?

- Une piscine olympique mesure 50 m de long et 20 m de large. Sa profondeur va de 2 mètres à 4 mètres

a) Quel est le volume maximum d’eau contenue dans la piscine ? b) Sachant que le débit de son alimentation en eau est 200L/s,

quel temps faut-il pour mettre cette piscine en eau ?

50 m

2 m

4 m

20 m

- Quel est le volume du plus gros cylindre contenu dans un cube de 5 cm d’arête ?

EXERCICES

PLANS ET DROITES DE L’ESPACE Représente en couleurs...

droites

droites

I

EXERCICES LE PRISME

- Complète les dessins des prismes suivants (Il manque leurs arêtes cachées) :

- Exprime les volumes des prismes 2, 3, 4 en fonction du volume V du prisme 1.

4V 4V 6V - Partage le prisme ci-dessous en trois prismes à bases triangulaires horizontales et à faces verticales. Représente séparément ces trois prismes dans le quadrillage.

EXERCICES 2

PRISME ET CYLINDRE

- On considère une feuille 21 x 29,7 (format A4) Tu as deux façons de former un cylindre avec cette feuille :

Hauteur : 21 cm et périmètre de base : 29,7 cm volume V1 Hauteur : 29,7 et périmètre de base : 21 cm volume V2

Lequel des deux cylindres a le plus grand volume ?

V2 V1

Calcul de V1 :

La longueur du cercle de base est égale à 29,7 cm : 12 R 29,7π = donc : 129,7R2π

=

Le volume V1 est : 2

2 31 1

29,7 882,09 21 882,09 21V R h 21 1474 cm2 4 4

π ππ

ππ π π

× ×⎛ ⎞= = × = = ≈⎜ ⎟ × ××

×⎝ ⎠

La longueur du cercle de base est égale à 21 cm : 22 R 21π = donc : 221R2π

=

Le volume V2 est : 2

2 32 2

21 441 29,7 441 29,7V R h 29,7 1042 cm2 4 4

π ππ π π

ππ

× ×⎛ ⎞= = × = = ≈⎜ ⎟ × ××

×⎝ ⎠

C’est donc le cylindre le moins haut qui a le plus grand volume.

- Une piscine olympique mesure 50 m de long et 20 m de large. Sa profondeur va de 2 mètres à 4 mètres

a) Quel est le volume maximum d’eau contenue dans la piscine ? b) Sachant que le débit de son alimentation en eau est 200L/s,

quel temps faut-il pour mettre cette piscine en eau ?

50 m

2 m

4 m

20 m

a) La piscine a la forme d’un prisme droit dont la base est un trapèze et dont la hauteur mesure 20 mètres.

Son volume est donc : ( ) 32 4 50V aire de la base hauteur 20 150 20 3000 m 3 000 000 L

2+ ×

= × = × = × = =

b) Le temps mis pour la remplir (à raison de 200 L/s) est :

3000000t 15000s 250min 240min 10min 4h10min200

= = = = + =

- Quel est le volume du plus gros cylindre contenu dans un cube de 5 cm d’arête ?

Le plus gros cylindre a :

*un diamètre de base égal à 5 cm donc un rayon de 2,5 cm,

*une hauteur de 5 cm. Son volume est :

2 2R h 2,5 5 6,25 5 98 cmπ π π= × × = × × ≈ 3