L’espace – temps chez Einstein

Thème : l’espace

L’ESPACE – TEMPS CHEZ EINSTEIN

Albert EINSTEIN

Né à ULM en 1879

Mort à PRINCETON en 1955.

1

Alain Robichon

I. LA CONCEPTION DE L’ESPACE AVANT EINSTEIN (1687 1887).

2

II. EINSTEIN ET LA RELATIVITÉ RESTREINTE (1905 ).

III. EINSTEIN ET LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE (1911 1916).

I. LA CONCEPTION DE L’ESPACE AVANT EINSTEIN.

1. Panorama de la physique à la fin du XIXè siècle.

Une science construite sur deux piliers

- A) La mécanique et la thermodynamique.

- B) L’électromagnétisme et l’optique.

3

Isaac Newton (1642 – 1727)

Johannes Kepler(1571 – 1630) Galileo Galilei

(1564 – 1642)

4

I.1.A La mécanique et la thermodynamique

La théorie de NEWTON :

• Un temps absolu• Principe d’invariance galiléenne• Transformation de Galilée

Δ (𝜙 )=−4 𝜋G 𝜌

𝑚 𝑑𝑣𝑑𝑡 = �⃗�

2 2 2 2ds dx dy dz= + +

''''

x x vty yz zt t

ì = -ïïïï =ïíï =ïïï =ïî

5

James Clerck Maxwell(1831 - 1879 )Augustin

Fresnel(1788 - 1827 )

Thomas Young

(1773 - 1829 )

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I.1.B L’électromagnétisme et l’optique.

La théorie de MAXWELL :

Lumière = OEM

Équation de propagation des ondes

où c est la célérité de l’onde

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I. LA CONCEPTION DE L’ESPACE AVANT EINSTEIN.

1. Panorama de la physique à la fin du XIXè siècle.

2. Un colosse aux pieds fragiles...○ A : un milieu bien étrange : l’éther.

○ B : le problème de l’observateur en électromagnétisme.

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I.2.A L’hypothèse de l’éther.

· Les ondes mécaniques ont besoin d’un milieu matériel pour se propager

« Dans l’espace, personne ne vous entend crier »

· Le milieu de propagation de la lumière qui remplit tout l’Univers est l’éther

· c = vitesse de propagation de la lumière par rapport à l’éther

· Un milieu aux propriétés étranges· très rigide compte tenu de la valeur de c· n’oppose aucune résistance aux mouvements

9

I.2.B Le problème de la covariance : changement de référentiel en EM.

· Les lois de la mécanique sont invariantes par la transformation de Galilée.

Or ….

+

+

q

q

�⃗� 𝐸

�⃗� 𝐸

+

+

q

q

�⃗� 𝐸

�⃗� 𝐸

�⃗�𝐵

�⃗�𝐵

𝑣

𝑣

(a) (b)10


· L’équation des ondes n’est pas invariante par la transformation de Galilée.

!!!

En faisant :

On obtient :

De :

' ' ' 'x x vt y y z z t t= - = = =

11


• L’expérience de Michelson et Morley

Albert Michelson(1852 – 1931)

Edward Morley(1838 – 1923)

12

• L’expérience de Michelson et Morley

lunette

M2

SpM1L0

L0

3

4

12

Vitesse de la lumière / Rlabo

1 :

3 :

/T éthervr

1

22 2

32 2

4

c c vc c v

c c v

c c v

ì = -ïïïï = +ïïíï = -ïïï = -ïïî

1cr vr

cr

cr

vr

3cr

13

lunette

�⃗�𝑇 /é h𝑡 𝑒𝑟

M2

Sp

M1

L0

L0

3

4

12

Durée de l’aller – retour entre Sp et M1 :𝑇 1=

𝐿0𝑐−𝑣 +

𝐿0𝑐+𝑣=

2𝐿0𝑐

1− 𝑣2

𝑐2

Durée de l’aller – retour entre Sp et M2 : 𝑇 2=

2𝐿0√𝑐2−𝑣2

=2𝐿0𝑐

√1− 𝑣2𝑐2∆ 𝑇=𝑇1−𝑇 2≈ ( 𝐿0𝑐 )(𝑣𝑐 )

2

⇓Déplacement des

franges dans la lunette

JAMAIS OBSERVÉ↲14

I. LA CONCEPTION DE L’ESPACE AVANT EINSTEIN. 1. Panorama de la physique à la fin du

XIXè siècle.

2. Deux orages menaçants à l’horizon.

3. Vers une réconciliation impossible ?A. Interprétation de l’expérience de MichelsonB. La transformation de Lorentz.

15

I.3.A. L’interprétation de l’expérience de Michelson et Morley.

· L’hypothèse de Fitzgerald (1889).

Le bras // au mouvement de la Terre / éther subit une « contraction »

𝐿0⇢ 𝐿0√1− 𝑣2𝑐2Ainsi

16

I.3.B. La transformation de Lorentz.

{𝑥′=𝛾(𝑥−𝑣𝑡 )

𝑦 ′=𝑦𝑧 ′=𝑧

𝑡 ′=𝛾(𝑡− 𝑣𝑥𝑐2 )avec

𝑣y

x'

y'

x

x

x'

événement

Loi de composition des vitesses

''

''

21x

xx

u vuu v

c

+=+

17

II. EINSTEIN ET LA RELATIVITÉ RESTREINTE (1905).

1. Les deux postulats d’Einstein.

2. L’espace – temps de la relativité restreinte

3. L’équivalence masse - énergie

18


1.Les deux postulats d’Einstein.

• A Le principe de relativité.

« Toutes les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels

inertiels. »Þ C’est la disparition de l’éther

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B. Le principe de la constance de la vitesse de la lumière.

La théorie ne fait pas de supposition sur la nature de la lumière ni sur la façon dont elle se propage dans l’espace.

« La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels d’inertie. Elle ne dépend pas du mouvement de la

source ou de l’observateur »

20


2. L’espace – temps de la relativité restreinte

A. Le problème de la simultanéité.B. La dilatation du temps.C. La contraction des longueurs.

21

A : Le problème de la simultanéité

22

23

B : Une horloge à lumière élémentaire.

00

2' Lt Tc

D = = 02

2

21

Lt Tvc

c

D = =-

24

0T Tg=

C : La contraction des longueurs.

0L x v t= D = DDans le référentiel S

Dans le référentiel S’

' 'L x v t= D = D

25

0 /L L g=

20 021 vL L L

c= - <

002

21TT T

vc

= >-

Dilatation du temps

Contraction des longueurs // à la dirn du mouvement

Résumé.

T mesuré dans R où l’horloge a une vitesse vT0 mesuré au même point par une horloge (fixe dans R0)

L0 longueur propre mesurée dans R au repos / objet.L longueur mesurée dans R en mouvement / objet

26

Apparence des objets du fait de la contraction des longueurs

27


3. L’équivalence masse - énergie

Énergie totale 2E mcg=Quantité de mouvement p mvg= rr

Triangle des énergies 2 2 2 2 2( )E mc p c= +

28

Énergie au repos 20E mc=

29

L’essai Trinity le 16 juillet 1945, quelque

part au Nouveau Mexique….

…en attendant un certain 06 aout

1945…

à

…Hiroshima…

30

II. LA RELATIVITÉ RESTREINTE : CONCLUSION PROVISOIRE.

Le modèle d’espace – temps de la relativité restreinte.

MINKOWSKI (1864 – 1909)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

gmn

æ ö÷ç ÷ç ÷ç - ÷ç ÷ç ÷= ç ÷-ç ÷÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø2 2 2 2 2( )ds cdt dx dy dz= - - -

31

Les limitations et les insuffisances du modèle.

Disparition du concept de vitesse absolue mais qu’en est-il pour l’accélération ?

Limitation à des observateurs inertiels

32

1. Le principe d’équivalence.

2. La courbure de l’espace – temps.

3. Les équations du champ d’Einstein.

4. D’Einstein aux trous noirs.

III. EINSTEIN ET LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE(1911 – 1916).

33

III. 1. Le principe d’équivalence• Le principe d’équivalence « faible » ; l’expérience d’Eötvös

inerte pesantem m=34

III. 2. Courbure de l’espace.• Les caractéristiques d’un espace « plat »

(Euclidien)

a

b

2pa b+ =

22L R

S Rp

p==

R

2S Rµ

35

Autres exemples d’espaces « plats »

36

Un exemple de surface à courbure positive

S croît

moins vite

que R²

37

Un exemple de surface à courbure négative

S croît

plus vite

que R²

38

Chaque espace a sa courbure

39

III. 3. Quelles équations pour quel champ ?Quand la géométrie dépend des conditions physiques

40

Les observations de A : Les observations de B :

• Les règles sur la circonférence sont contractées.

• Les règles sur un rayon ne subissent pas de contraction.

• A voit le plateau comme un espace « courbe »

• La lumière se déplace en ligne droite.

• Ralentissement du temps pour une horloge placée sur la circonférence (effet du mouvement du plateau)

• Les règles sur la circonférence sont contractées.

• Les règles sur un rayon ne subissent pas de contraction.

• Pour B des objets placés en différents endroits du plateau paraissent soumis à une force

• B voit un rayon lumineux décrire une trajectoire courbe.

• Ralentissement du temps pour une horloge placée sur la circonférence (dû à la présence d’une « force »)

41

• courbure des rayons lumineux

Pour l’expérimentateur dans la fusée :

• chute accélérée de la pomme

• objets soumis à une force identique au « poids »

• un espace non euclidien

• ralentissement des horloges

42

• Le principe d’équivalence « fort » entre forces d’inertie et forces de gravitation.

g a= -r r

• Les rayons lumineux sont courbés par la gravité

f L

22gLc

f »

43

• Ralentissement du temps dans un champ de gravitation

44

Bernard Riemann(1826 – 1866)

Marcel Grossmann(1878 – 1936)

…Quand les mathématiques s’en mêlent…

Les équations d’Einstein pour le champ de gravitation (1915)

• La distribution de matière, donnée a priori impose la structure de l’espace – temps, c’est-à-dire sa courbure.

• Les chemins les plus rapides forment les géodésiques de l’espace – temps.

• Le concept de « longueur » n’a plus de sens : seul le temps propre a une signification.

• L’évolution du temps propre est décrite par l’élément linéaire d’espace – temps, le « ds2 », qui permet de calculer la longueur - durée des chemins de l’espace.

45

Les succès théoriques de la relativité générale

Novembre - décembre 1915 :

Einstein calcule de façon approchée le champ de gravitation autour du Soleil (distribution de masse à symétrie sphérique).

NEWTON, verzeihe mir !

Approximation d’ordre 1 : retrouve les lois de Kepler sur le mouvement des planètes

Approximation d’ordre 2 : rend compte de l’avance du périhélie de Mercure

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Un test attendu par tous

L’éclipse de soleil du 29 mai 1919 à

Sobral (Brésil)

47

Modulation gravitationnelle des fréquences des sources lumineuses

Expérience réalisée en 1960 par Pound et Rebka

Tour Jefferson, Harvard

0

21 GMRc

nn =+

si Rn Z ]

48

III. 4. D’Einstein aux trous noirs

La solution de Schwarzschild (1916)

( )22 2 2 2 2

22

21 sin21GM drds c dt r d d

GMrcrc

q q jæ ö÷ç= - - - +÷ç ÷çè ø -

Karl Schwarzschild (1873 – 1916)

22

CGMRc

=

49

Les géodésiques de l’espace – temps de Schwarzschild

50

L’illusion newtonienne des forces de gravitation

Pour Newton : déviations de la ligne droite par les

forces de gravitation

Pour Einstein : Particules suivant librement les géodésiques d’une géométrie

courbe

51

Les trous noirs : un lien entre deux univers…

52

…ou deux régions différentes du même univers ?...

53

Les enjeux de la relativité générale :une théorie magique.

La relativité générale à l’épreuve des faits : des succès inégalés.

La relativité générale au quotidien : une théorie irremplaçable.

Vers de nouveaux horizons :Une théorie quantique de la gravitation ? …

EN GUISE DE CONCLUSION.

54

55

Bibliographie (début)• Physique 3 : ondes, optique et physique moderne.

Harris Benson, De Boeck Université.

• La relativité d’Einstein aujourd’hui.Raymond Schaffer, Sciences 128, Nathan Université.

• Albert Einstein, créateur et rebelle.Banesh Hoffmann, Points Sciences.

• L’espace et le temps aujourd’hui.Collectif, Points Sciences.

• Les trous noirs.Jean-Pierre Luminet, Points Sciences.

• Albert Einstein, Œuvres choisies 2. Relativités 1.Collectif, Editions du Seuil, CNRS.

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Bibliographie (fin)• Mr. Tompkins in Paperback.

Georges Gamow, Cambridge University Press.

• The New World of Mr. TompkinsG. Gamow, R. Stannard, Cambridge University Press.

• La gravitation, l’univers sous influence.Dossier Hors Série Pour la Science, janvier, avril 2003.

• L’histoire de l’univers.Dossier Hors Série Pour la Science, oct, déc 2004.

• A first course in general relativity.Bernard F. Schutz, Cambridge University Press.

• Introduction to general relativity.‘t Hooft, Gerard, RintonPress.

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Documents

L’espace – temps chez Einstein