-
Le dcrypter pour lenseigner
Emmanuel Blancher, CP mission Maths-Sciences
-
Linvention des nombres est une aventure collective
de lHumanit.
On peut tablir un parallle entre lhistoire de lhumanit et
lhistoire scolaire (le cheminement de llve) pour la construction du
nombre. (Le panier)
Un point dhistoire
-
Inconnu, The Maths lesson, Victoria and Albert Museum,
Londres
Dans un certain sens, donc, nous avons tous la bosse des
maths
S. Dehaene, La bosse des maths
-
Ltre humain na pas la notion de nombre
Comme lenfant
Tout au plus, il est capable de dnombrer de trs petites quantits
(de 3 4)
Comme lenfant
Intuition mathmatique (S. Dehaene)
Subitizing (subitisation) : vient du latin subitus qui signifie
soudain
A lorigine
-
La subitisation
S. Dehaene, La bosse des maths
-
Linguiste James Hurford
Les mots un, deux, trois sont diffrents des suivants
Dans un 1er temps, un , un et un autre (deux), beaucoup (trois
et plus)
Difficult classique de lenfant : le passage de 3
Le langage
-
Evolution des nombres et des mots-nombres par le
corps : jusqu une trentaine
Extension de la syntaxe du corps pour les plus grands nombres
parler de nombres quelconques avec une prcision parfaite
Le langage
-
Il utilise des parties de son corps comme moyen de
mdiation avec les quantits, par le biais dune correspondance
terme terme entre des objets et des lments corporels
Comme lenfant
Rle de mdiateur, de mmoire externe (M. Fayol)
Il ralise des entailles sur des os, pour garder trace
Presque comme lenfant
Un peu plus tard
-
1 : Une unit = un signe
2 : Lide de groupement
3 : Les groupes de groupes
4 : Lide de position
5 : Lide du zro
NOTRE SYSTME DE NUMRATOIN
Lvolution travers les ges
-
De 35 000 20 000 av JC : lhomme comptait avec des
cailloux : Voil, nous avons tu autant de bisons que ces
cailloux
Calcul vient du latin calculus qui signifie caillou
Une unit = un signe
-
Une unit = un signe
Os dIshango, 23 000 av JC
Corde noue de Darius Ier (550-486 av JC)
-
Une unit = un signe
Le bton dIshango Un bton qui parle ou que lon fait parler ?
-
Nuzi, vieille ville de Msopotamie : petite bourse dargile
creuse Inscription : Objets concernant des moutons et des chvres
21 brebis qui ont dj eu des petits 6 agneaux femelles 8 bliers
adultes 4 agneaux mles 6 chvres qui on dj eu des petits 1 bouc 2
chevrettes
A lintrieur de la bourse 48 billes en terre crue
Une unit = un signe
-
La construction du concept de nombre entier naturel
passe par la capacit effectuer une mise en correspondance
biunivoque entre la collection des objets compter et une collection
type.
Nombre : concept des mathmatiques qui permet de dnombrer,
dordonner des collections d'objets ou de mesurer des grandeurs.
Une unit = un signe
-
Limites Ces objets taient peu pratiques.
Les entailles ntaient pas lisibles
Tous ces dispositifs matriels ne permettent pas de garder trace
du pass car chaque tape du calcul supprime les prcdentes.
Comment reprsenter ces nombres ?
Les chiffres et les lettres ont une longue histoire commune.
Elle a commenc ds que les hommes eurent lide de lcriture (3 300 av
JC).
Comme lenfant (pas avant et difficile)
Une unit = un signe
-
Regrouper pour moins se fatiguer et pour exprimer
des nombres plus grand
I, II, III, IIII, IIII, IIII I, IIII II
V, X
|||||||||||| |||||||||||
12 + 11
|||
23
Lide de groupement
-
Bien aprs linvention des groupements
Activits diversifies : commerce, changes
Exemple de retranscriptions dun change commercial par un
scribe
Le nombre reprsentait la somme des valeurs de tous les
chiffres.
Les groupes de groupes
-
Tu as |||||| moutons et chaque mouton vaut =|||
Voil ce que valent tes moutons :
=|||=|||=|||=|||=|||=|||
10 traits verticaux remplacs par 1 trait horizontal
=|||=|||=||= = =
10 traits horizontaux remplacs par 1 croix
+|||||||| =
+||||||||
Les groupes de groupes
-
Un chiffre est une signe graphique qui sert
reprsenter les nombres : indo-arabes (0, 1,, 9), romains (I, V,
X,). Ce sont des traces graphiques.
Un nombre est un concept mathmatique qui peut tre reprsent de
plusieurs faons : en lettres (cinq, sixteen), en chiffres (5, V,
16, XVI,)
Le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot.
Un peu de vocabulaire
-
Le numro voque des critures chiffres qui ne renvoient
pas directement la notion de nombre Numro de tlphone
Numro INSEE
Numros de loto
Dans certains cas, il renvoie une signification de nombre
Ordinal : il est n4 mondial, date/quantime (numro
dordre du jour dans le mois)
Mesure : il habite au n241 de la rue X (241m dune extrmit de la
rue)
Un peu de vocabulaire
-
Toutes les civilisations avant notre re
Lunit et quelques groupes (5, 10, 60, 100, 1 000) sont reprsents
par des signes ; pour lire un nombre, on additionne les signes.
La numration additive
-
Au lieu de compter uniquement par units, on
compte par paquets . La plus frquente est la base dcimale (10),
mais on trouve galement :
sexagsimale (60), utilise par les Sumriens et parfois au Moyen
ge en France,
vicsimale (20), utilise par les Mayas,
duodcimale (12),
quinaire (5), utilise aussi par les Mayas
quaternaire (4), utilise par les Shadocks
binaire (2), utilise en informatique
Les bases
-
Comment crire 45 (base 10) en base 4 ?
Avec du matriel Organiser les 45 cubes autrement : faire des
groupes de 4,
de 4=16, 2 groupe de 16, 3 groupes de 4 et 1 45 = 231 en base
4
Avec le calcul Faire des divisions successives de 45 par 4 45 :
4 = 11 et reste 1 : 11 groupes de 4 et 1 unit 11 : 4 = 2 reste 3 :
2 groupes de 4 groupes de 4 et 3 groupes
de 4 45 = 231 en base 4
Les bases
-
Abandon de cet apprentissage en CP
Trop complexe
Contre les 1res connaissances et non en appui
Utilit de cet apprentissage en cycle 3
Eclaire notre propre systme
Les bases
-
A Sumer, vers 3 300 av JC, est ne lcriture. Elle
aurait t labore pour la gestion de lempire, terres, troupeaux,
hommes, grains...
La numration en Msopotamie
-
La numration en Msopotamie
-
Le systme sumrien : un mlange de bases 10 et 60 pour
reprsenter
les nombres : 6 jetons datant de 7 000 ans av JC.
Exemple :
4x1 + 3x10 + 2x60 = 4 + 30 + 120 = 154
La numration sumrienne
1 10 60 600 3 600 36 000
cne bille grand cne grand cne
perfor sphre
sphre perfore
1 10 60 600 3 600 36 000
-
La numration gyptienne
La princesse Nefertiabet
devant son repas (rgne de Kheops, 25902565 av JC,
Louvre)
-
La numration gyptienne
Le temple de Karnak en Egypte
-
La numration gyptienne
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
bton os corde lotus doigt ttard dieu accroupi
-
La numration gyptienne
-
La numration gyptienne
Massue du roi Narmer Menes (dbut du IIIe millnaire)
Sur cet artefact, on peut lire lincroyable butin dune grande
victoire : bufs, chvres et prisonniers.
400 000 bufs
1 422 000 chvres
120 000 prisonniers
-
Une inscription datant de 450 av JC montre lusage
Athnes du systme attique de numration.
Ce systme est un systme additif de base 10
La numration grecque
-
Le systme attique fut progressivement remplac par
le systme ionique.
La numration grecque
-
Ressemble la numration grecque
Jeux : dcoder ces mots-nombres (rgles de formation
non-respectes) :
ICI, CIVIL, DIX, CLIC, MIDI, MIL
Le saviez-vous ? Le signe V vient de la forme de la main Le
signe X vient des 2 mains runies Le signe D vient de la moiti de
mille ( ou CD)
La numration romaine
Chiffre romain I V X L C D M
Valeur 1 5 10 50 100 500 1 000
-
Rgles dcriture Seules les puissances de dix sont concernes : I,
X, C
45 s'crit XLV (-10 + 50 + 5) et non pas VL (50 5)
Une seule lettre soustraite seulement 8 s'crit VIII ( 5 + 1 + 1
+ 1) et non pas IIX (8 1 1)
Pas de soustraction dune lettre plus de 10 fois suprieure 1999
s'crit M CM XC IX (1000 -100 + 1000 10 + 100 1 + 10)
et non pas MIM (1000 1 + 1000)
La numration romaine
-
Rgles dcriture Surlignement x 1 000 :
= 5 000 et = 10 000 Double (ou surpaisseur) x 10 000 :
= 50 000 et = 100 000
Dfi : quel est le plus long nombre (< 5 000) ? Indice 1 :
faire des groupes de 4
Indice 2 : faire 4 groupes de 4
Rponse : MMMM DCCC LXXX VIII = 4 888
La numration romaine
-
Numration additive insuffisante pour exprimer les
grands nombres
Besoin de la multiplication
Numration hybride = additive et multiplicative
La numration hybride
-
La numration chinoise
-
La numration chinoise
-
La numration chinoise
-
23 en gyptien scrit
ou
Toutefois,
se lit moins facilement que
Lide de position
-
Ide non-vidente
Ncessit de choisir un symbole diffrent pour chaque chiffre
Facilitateur de calcul : XIV x VII compliqu !
Lide de position
-
Tablette d'argile (2 400 ans av JC) en criture cuniforme
Pour noter les nombres, les Msopotamiens utilisaient deux
symboles : le clou (1) et le chevron (10).
La numration babylonienne
-
La numration babylonienne
Histoire universelle des chiffres, Georges Ifrah, 1994
-
La numration babylonienne
-
La numration babylonienne
Le seul dfaut du systme est labsence de zro (il sera corrig plus
tard l'poque des Sleucides)
Ainsi lcriture cuniforme
peut reprsenter 90 ou 3630 ...
Puis vint le zro 3610
0 marque labsence comme une prsence
0 va devenir la quantit nulle
-
La numration chinoise
Evolution
-
Les abaques et les bouliers
Abaques
Soroban Boulier japonais
Suan pan Boulier chinois
Boulier russe
-
Les bouliers chinois
-
Les bouliers
http://pointsciences.iahautevienne.ac-limoges.fr/IMG/swf/boulier_1_.swf
http://micetf.fr/boulierHTML5/
-
Lide du zro
Comment indiquer labsence ?
La plus ancienne trace crite se trouve dans un manuscrit indien
datant de 458 .
Au VIIIe sicle, les Arabes avaient adopt le zro.
Les Europens ne sen servirent pas avant le XIIe sicle . En 1202
, Fibonacci rdigea un trait dans lequel il dclara que le zro tait
un symbole remplaant un chiffre absent et destin sparer les autres
chiffres .
-
Lide du zro
Invent
Comme marquant labsence (vers 300 av JC)
Puis le 10e chiffre (vers 400)
Et enfin comme nombre
Le saviez-vous ?
En indien (en sanskrit), zro se dit sunya (vide ou nul). Les
arabes lont traduit par sifr (vide) do provient le mot chiffre.
Sifr, traduit en italien, donna zfiro et donc zro...
Dans des crits astronomiques grecs, le zro est reprsent par la
lettre o initiale du mot grec omdem : rien
-
Lide du zro
Sa place dans la classe :
il faut une tiquette zro dans la bote des chiffres (pas en PS,
pas ncessairement en MS)
il est quasiment inutile dans une bande numrique
-
La numration maya
-
La numration indo-arabe
Invention de cette numration dans lInde au 5e sicle.
Propagation de cette numration (800 ans)
Inde Moyen Orient arabe
Afrique du Nord Espagne maure
Abacistes contre algoristes.
La graphie des chiffres.
-
Les abacistes et les algoristes
Publis la mme anne (1514), les deux traits de Kbel ( gauche) et
de Bschenteyn ( droite) exposent lun le calcul avec des jetons sur
abaque, lautre le calcul la plume sur papier.
-
Les chiffres indo-arabes
-
Notre systme
Cest un systme base dix (dcimal)
Qui utilise 10 chiffres
Cest un systme positionnel
Qui utilise un symbole spcifique pour indiquer l'absence d'une
unit
1515 = 1x1000 + 5x100 + 1x10 + 5
307 = 3x100 + 7
-
Notre systme
Connaissance volue des nombres
Compacit, petit nombre dlments, facilit dapprentissage, rapidit
de lecture et dcriture, aisance des calculs
Elle met en jeu 3 composantes :
La reprsentation des quantits
La reprsentation verbale
La reprsentation symbolique (indo-arabe)
-
Le systme verbal
212 est une criture universelle, mais sa lecture dpend de la
langue
Systme verbal
Des sons qui reproduisent les systmes de numrotation.
Sans doute postrieur aux reprsentations physiques (pas de mots
diffrents pour des choses diffrentes)
-
Le systme verbal
Lexique : un, deux, six, douze, vingt, cent, mille : 29 mots
Combinatoire : syntaxe traduisant des combinaisons Additives
(trente-six) ou Multiplicatives (quatre-vingt ; trois-cents)
Problmes de rgularit :
mmorisation du lexique
acquisition et mise en uvre de la syntaxe
-
Le systme verbal
anglais chinois franais
1 one yi un, une
2 two er deux
3 three san trois
10 ten shi dix
11 eleven shi yi onze
12 twelve shi er douze
13 thirteen shi san treize
20 twenty er shi vingt
21 twenty-one er shi yi vingt-et-un
22 twenty-two er shi er vingt-deux
23 twenty-three er shi san vingt-trois
-
Le systme verbal
Impact des caractristiques verbales sur lacquisition de la
numration verbale Comparaison anglais chinois
-
Le systme verbal
21 : vingt et un ou vingt-et-un ?
Les numraux composs sont systmatiquement relis par des traits
dunion.
ancienne orthographe nouvelle orthographe vingt et un
vingt-et-un
deux cents quatre deux-cent-quatre
un million cent un-million-cent
trente et unime trente-et-unime
-
Le systme verbal
Les mot cent et vingt sont invariables sauf quand ils sont prcds
dun nombre qui le multiplie et ne sont pas suivis par un autre
nombre cardinal.
Certains adjectifs numraux cardinaux peuvent avoir une valeur
ordinale. Ils restent alors invariables. Ex : la page quatre-vingt
(80me).
Millier, million et milliard ne sont pas des adjectifs mais des
noms et donc ne sont pas invariables. Mille est invariable.
200 (deux fois cent) : deux-cents 1 100 (mille plus cent) :
mille-cent
203 : deux-cent-trois 80 : quatre-vingts
81 : quatre-vingt-un 80 000 : quatre-vingt-mille
-
Une remarque
S. Dehaene, La bosse des
maths
-
Point de dpart : Reprsentation des quantits numriques
que nous partageons avec lanimal
Pb : Comment communiquer ces quantits oralement ?
Solution : Les mots un, deux et trois dcrivent directement les
quantits 1, 2 et 3 perues par subitisation.
Pb : Comment se rfrer des nombres plus grands que 3 ?
Solution : Correspondance terme terme avec les parties du corps
(12 = pointage vers lpaule droite)
Lvolution de la numration orale
-
Pb : Comment compter lorsque les mains sont occupes ?
Solution : Les noms des parties du corps deviennent des noms de
nombres (12 = paule droite )
Pb : Nombre limit de parties du corps pour une infinit de
nombres entiers
Solution : Choix dun lexique restreint et invention dune syntaxe
(12 = 2 mains et 2 doigts ).
Lvolution de la numration orale
-
Pb : Comment conserver la trace permanente des
quantits ?
Solution : Gravure de marques dur los, le bois (7=IIIIIII)
Pb : Reprsentation peu aisment lisible
Solution : Regroupement des traits (7=IIII II). Remplacement des
groupes par un symbole unit (7=VII)
Lvolution de la numration crite
-
Pb : Exprimer les grands nombres exige de nombreux
symboles (37=XXXVII)
Impasse 1 : Ajout de nouveaux symboles raccourcis (L=XXXXX)
Impasse 2 : Usage de symboles diffrents pour les u, d, c
(345=TME)
Solution : Expression des nombres par combinaison de
multiplications et dadditions (437=4 centaines, 3 dizaines et
7)
Lvolution de la numration crite
-
Pb : Cette notation souffre dune rptition des
symboles centaine et dizaine
Solution : Invention dune notation abrge, anctre de la notation
positionnelle (437 = 4, 3, 7)
Pb : Cette notation prte confusion lorsquun rang dunit est vide
(407, not 4 7 ressemble 47)
Solution : Invention du symbole zro.
Lvolution de la numration crite
-
Le nombre a t dabord reconnu
comme outil efficace
avant de devenir un objet familier, tudi pour lui-mme
avant dtre compltement thoris
La matrise dun concept commence lcole, mais elle nest y jamais
acheve.
Le concept de nombre
-
La matrise dun concept peut tre caractrise par : ltendue des
problmes que llve est capable de rsoudre
laide du concept
les moyens dexpression et de communication disponibles pour
llve
les proprits connues implicitement ou explicitement
le stock de rsultats stocks en mmoire
Ces 4 catgories de connaissances voluent de manire
interactive.
La matrise dun concept se construit en relation troite avec
celle dautres concepts.
Le concept de nombre
-
La suite
-
Conclusion
Pourquoi enseigner les mathmatiques !
Et parmi tous ces comportements experts, lun est vraiment une
attitude spcifique des mathmatiques que dveloppe la rsolution de
problmes :
Apprendre scher
-
Sitographie
Histoire des maths http://www.math93.com/
Intuition mathmatique (S. Dehaene)
TFM : Apprendre les mathmatiques lcole primaire et au dbut du
collge.
http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/Textes/TexteGenImp.asp
-
Eugne Carrire (1849-1906). La leon darithmtique
