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Licence à distance
Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques
à un pas.
M. Granger
Table des matières
1 Rappels sur le cours d’équations différentielles 21.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Enoncé du théorème de
Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Sur la régularité des solutions. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Méthode d’Euler. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 4
2 Introduction à la notion de schéma numérique 6
3 Quelques exemples de méthodes à un pas 83.1 Méthode
d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 83.2 Méthode de Taylor d’ordre p. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Méthode
du point milieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 9
4 Etude générale de la convergence des méthodes à un pas :
consistance et stabilité 114.1 Consistance, stabilité et
convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.1.1 La notion de consistance d’un schéma . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 114.1.2 La notion de stabilité . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.3 La
notion de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 12
4.2 Quelques conditions suffisantes ou nécessaires et
suffisantes de consistance ou de stabilité. 134.3 Ordre d’une
méthode à un pas et erreur globale. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 16
4.3.1 .- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 164.3.2 La constante SCT de
majoration de l’erreur globale . . . . . . . . . . . . . . .
164.3.3 La constante SCT de majoration de l’erreur globale . . . .
. . . . . . . . . . . 17
5 Quelques remarques sur les aspects numériques 175.1 Sur les
inconvénients du cumul des erreursd’arrondi . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 175.2 Problèmes de Cauchy bien posés
numériquement, probl‘emes mal conditionnés . . . . 18
6 Méthode(s) de Runge Kutta. 196.1 description de la méthode .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Thèmes de TD . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
6.3.1 Tester (RK)4 sur l’exemple fétiche y′ = −y. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 216.3.2 Ordre d’une méthode (RK)4. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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1 Rappels sur le cours d’équations différentielles
Les deux premières sous-sections sont des rappels que nous
donnons pour fixer les notations denotions et de résultats
développés dans le cours d’équations différentielles : cylindre
de sécurité etthéorème de Cauchy-Lipschitz. Les deux suivantes
sont plus spécifiques à notre propos : régularitédes solutions,
avec l’introduction des fonctions f [k](x, y) outil de calcul des
dérivées successives d’unesolution et méthode d’Euler, qui est
la méthode ”de base” pour le calcul approché des solutions.
1.1 Généralités
Les données du problème sont les suivantes :– U ⊂ R× Rm, un
ouvert– f : U → Rm, une application (au moins continue. )On cherche
les solutions de l’équation différentielle
(E) y′ = f(t, y),
c’est à dire les couples (I, ϕ), où I ⊂ R est un intervalle et
ϕ : I → Rm est une application dérivable,telle que :
∀t ∈ I , (t, ϕ(t)) ∈ U et ϕ′(t) = f(t, ϕ(t)).On s’intéresse au
problème de Cauchy de condition initiale (t0, y0), c’est à dire
à l’existence d’une
solution de (E), sur un intervalle I telle que t0 ∈ I, et ϕ(t0)
= y0, et à l’éventuelle unicité, pour I fixé,d’une telle
solution.
La condition sur ϕ équivaut à l’équation intégrale :
ϕ(t) = y0 +∫ tt0
f(t, ϕ(u))du
Dans tout ce qui suit f est au minimum supposée
continue.Cylindres de sécuritéOn choisit un compact K0 = [t0 −
T0, t0 + T0] × B(y0, r0) ⊂ U, centré en (t0, y0), et on note
M = sup(t,y)∈K0
‖f(t, y)‖. Ce nombre M est fini par la compacité de K0 et la
continuité de f. Le choix
de la norme sur Rm est arbitraire.
Proposition 1 .- Soit T = min(T0, r0M ). Toute solution au
problème de Cauchy pour les conditionsinitiales (t0, y0) satisfait
à :
|t− t0| ≤ T =⇒ ‖ϕ(t)− y0‖ ≤ r0On appelle [t0 − T, t0 + T ]×B(y0,
r0) un cylindre de sécurité pour la condition initiale (t0,
y0).
1.2 Enoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz
(sans démonstrations)Nous renvoyons au cours d’équations
différentielles pour la démonstration à l’aide du théorème
du
point fixe et pour d’éventuels énoncés plus généraux.
Théorème 1 .- On suppose que f : U → Rm est continue et
localement lipschitzienne dans ladeuxième variable, ce qui
signifie que tout point de U admet un voisinage de la forme J × V ,
telqu’il existe une constante k (dépendant de J × V !), avec la
condition :
∀t ∈ J, ∀y1, y2 ∈ V, ‖f(t, y1)− f(t, y2)‖ ≤ k‖y1 − y2‖
Alors, pour tout cylindre de sécurité C = [t0−T, t0 +T ]×B(y0,
r0), l’équation (E) admet une uniquesolution, de condition
initiale (t0, y0), définie sur l’intervalle I = [t0 − T, t0 + T
].
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1.3 Sur la régularité des solutions.
Si la fonction f est différentiable de classe Ck, avec k ≥ 1,
on peut en déduire un résultat surl’ordre de dérivabilité des
solutions ϕ, et calculer les dérivées successives de ϕ à l’aide
de fonctionsconstruites récursivement à partir de f . C’est utile
pour obtenir des majorations, fondées sur la formulede Taylor, de
l’erreur commise dans une approximation numérique de ϕ.
Proposition 2 .- 1) Si la fonction f est de classe Ck, avec k ≥
1, toute solution t 7→ z(t), de l’équation(E) est de classe
Ck+1.2) Les fonctions f [i] : U → R, définies récursivement, pour
i = 0, · · · , k, par les formules :
f [0] = f, et f [i+1](t, y) =∂f [i]
∂t(t, y) +
m∑`=0
f`(t, y)∂f [i]
∂y`(t, y)
sont de classes respectives Ck−i, et pour toute solution z(t) de
l’équation (E), ses dérivées successivess’obtiennent par les
formules :
z(i+1)(t) = f [i](t, z(t))
Démonstration.- On démontre ce résultat par récurrence sur
i.-La classe de différentiabilité de f [i], s’obtient par la
formule de récurence et une application directe
de la définition de la classe Ck.-Pour la différentiabilité
de z, on montre par récurrence sur i, pour 0 ≤ i ≤ k, l’existence
de z(i+1),
et la formule annoncée en 2).Pour i = 0, il s’agit simplement
de l’égalité z′(t) = f(t, z(t)), qui signifie que t→ z(t) est une
solution.On voit sur cette relation que z′ est continûment
dérivable et la formule de dérivation des fonctionscomposées
s’écrit :
z′′(t) =∂f
∂t(t, z(t)) +
m∑`=0
z′`(t)∂f
∂y`(t, z(t))
=∂f
∂t(t, z(t)) +
m∑`=0
f`(t, z(t))∂f
∂y`(t, z(t))
= f [1](t, z(t))
Pour le pas général de la récurrence, on suppose que
z(i+1)(t) = f [i](t, z(t)), avec 1 ≤ i < k. Alorspuisque f [i]
est de classe Ck−i, avec k− i > 0, on en déduit que z(i+1) est
encore continûment dérivableet par un calcul semblable au cas de
z′′, on trouve :
z(i+2)(t) = (z(i+1))′(t) =∂f [i]
∂t(t, z(t)) +
m∑`=0
f`(t, z(t))∂f [i]
∂y`(t, z(t))
= f [i+1](t, z(t))
�Exemple : Dans le cas scalaire (m = 1), voici les formules
obtenues pour f [1] et f [2], qui permettent
de calculer z(2) et z(3) :
f [1] =∂f
∂t+ f.
∂f
∂y
f [2] =∂f [1]
∂t+ f.
∂f [1]
∂y
=∂2f
∂t2+ 2f.
∂2f
∂t∂y+ f2
∂2f
∂y2+ f(
∂f
∂y)2 +
∂f
∂t
∂f
∂y
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Exercice : On suppose que f est de classe C1, déterminer par
une inégalité l’ensemble des points(t0, y0) au voisinage desquels
une solution z(t) telle que z(t0) = y0 soit convexe. Expliciter le
résultatpour l’équation y′ = t− y2.
1.4 Méthode d’Euler.
On reprend les notations précédentes concenant un cylindre de
sécurité, et on ne s’occupe poursimplifier que des solutions à
droite c’est à dire sur l’intervalle [t0, t0 + T ].
Dans toute la suite, on gardera les notations suivantes :
t0 < t1 < · · · < tN = t0 + T, hn = tn+1 − tn pour n =
0, · · · , N − 1
définit une subdivision de [t0, t0 + T ], et hn est appelé le
(n+ 1)ième pas de la subdivision. On parlede subdivision à pas
constant si tn = t0 + nTN , hn =
TN indépendant de n.
La méthode d’Euler ou méthode de la tangente consiste à
approcher une solution (éventuelle !) z(t)de (E) par une fonction
y(t) continue affine par morceaux, affine en restriction à chaque
intervalle[tn, tn+1], de pente f(tn, yn) où yn = y(tn). Ceci donne
le calcul par récurrence suivant des yn appeléschéma d’Euler et
l’expression de y(t) :
y(t0) = y0 condition initiale ,yn+1 = yn + hnf(tn, yn) formule
de récurrence pour les yn,y(t) = yn + (t− tn)f(tn, yn) si t ∈ [tn,
tn+1] .
Ce schéma peut être illustré par le dessin suivant où on a
représenté simultanément une solutionexacte z(t) passant par les
point Mi de coordonnées (ti, z(ti)), et une solution approchée
linéaire parmorceaux de graphe la ligne brisée (A0, A1 · · · ),
Ai de coordonnées (ti, yi).
A3
M0=A0
A1
A2
M1 M2
M3
B2
t1t0=a t2 t3=b
fig.1
Noter que la pente f(tn, yn) du segment AnAn+1 diffère en
général (sauf pour n = 0) de z′(tn) =f(tn, z(tn)). Par exemple
sur la figure z′(t1) est la pente du segment [M1B2], et f(t1, y1)
celle dusegment [A1A2]
Exercice : Montrer que dans la situation du théorème 1, toute
solution approchée affine parmorceaux construite par la méthode
de la tangente a un graphe contenu dans le cylindre de
sécuritéC.
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Nous admettrons le résultat suivant de convergence uniforme,
qui implique le théorème 1.Soit yp(t) une suite de solution
approchées, construite par la méthode d’Euler à partir d’une
subdivision tp,0 < tp,1 < · · · < tp,Np de l’intervalle
[t0, t0 + T ]. On note hp,max = max(hp,1, · · · , hp,Np)appelé pas
maximal de la subdivision pour yp.
Dans la situation du théorème 1 toute suite yp(t), de
solutions approchées, dont le pas maximaltend vers zéro lorsque
p→∞, converge uniformément vers la solution z(t).
Dans le chapitre suivant on se place uniquement dans la
situation du théorème 1, avec unicité dez(t).
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2 Introduction à la notion de schéma numérique
On considère une équation différentielle y′ = f(t, y), dans
laquelle f satisfait aux conditions duthéorème de
Cauchy-Lipschitz, et on notera dans toute la suite t 7→ z(t) la
solution unique sur[t0, t0 + T ], dont le graphe est contenu dans
un cylindre de sécutité [t0 − T, t0 + T ]× B(y0, r0).
On appelera parfois z la ”solution exacte”, par opposition aux
solutions approchées notées t 7→ y(t).Pour l’évaluation
approchée de z(t), la stratégie générale est la suivante :•
Définir un schéma numérique : on appelle ainsi les formules de
récurrence associées à une méthode
numérique de résolution des équations différentielles. Il
s’agit d’une méthode de calcul de valeursapprochées notées yn
des z(tn), où les tn sont les termes d’une subdivision à N pas de
[t0, t0 +T ] :
t0 < t1 < · · · < tN = t0 + T
Le nième pas est noté hn = tn+1 − tn (on commence à l’indice
0), et le pas maximum esthmax = max
0≤n≤N−1hn
On peut considérer la fonction affine par morceaux y(t) telle
que pour tout n, y(tn) = yn, ce quidonne précisément :
y(t) = yn +t− tnhn
(yn+1 − yn) si t ∈ [tn, tn+1]
• Evaluer ‖y(t)−z(t)‖ pour t ∈ [tn, tn+1] et trouver un majorant
(en fonction de f et de la méthodeutilisée) de
supn
( supt∈[tn,tn+1]
‖y(t)− z(t)‖
• Etudier le comportement de cette majoration en fonction de la
subdivision et particulièrementlorsque hmax → 0.
Définition 1 Un schéma numérique à un pas explicite est une
équation de récurrence de la forme :{yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn,
hn)tn+1 = tn + hn
Le domaine de définition de Φ contient au moins U ×{0} et on
doit vérifier dans chaque situationconcrète que l’itération est
compatible avec ce domaine de définition.
Mentionnons d’autres types de schémas numériques dont l’étude
dépasse le cadre de ce cours. Dansles méthodes implicites la
fonction Φ dépend aussi de yn+1. Dans un schéma numérique
explicite à qpas Φ dépend aussi d’un nombre fixe de termes
précédemment calculés, yn−q+1 . . . yn, et la méthodedoit être
complétée par une initialisation, pour le calcul des q premiers
termes.
Définition 2 Un schéma numérique à un pas implicite est de
la forme :{yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn, yn+1, hn)tn+1 = tn + hn
Dans le cas d’une méthode implicite il s’agira le plus souvent
de s’assurer que l’équation
y = yn + hΦ(tn, yn, y, h)
a une solution unique du moins pour tout h assez petit. Dans les
cas les plus courants cela résulteradu théorème des fonctions
implicites.
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Définition 3 Un schéma numérique à q pas explicite est de la
forme :{yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn, · · · , yn−q, hn)tn+1 = tn + hn
avec n = Nq, · · · , N − 1.
Bien sur la calcul de yn n’est possible qu’à partir de l’indice
q et la méthode doit être complétée parune initialisation, le
calcul des q premiers termes, par exemple par une méthode à un
pas.
L’erreur de consistance au pas n est par définition l’erreur
commise sur yn+1, lorsqu’on prend pourles valeurs précédentes des
yk les valeurs exactes z(tk), ce qui donne la définition suivante
où nousn’explicitons que pour les méthodes a un pas.
Définition 4 L’erreur de consistance est la suite
en = z(tn+1)− yn+1(tn, z(tn), hn) = z(tn+1)− z(tn)− hnΦ(tn,
z(tn), hn).
Illustration sur la figure 1. Par définition les erreurs de
consistance e1, e2 etc, sont des différencesd’ordonnées égales
respectivement aux mesures des segments orientés M1A1, M2B2 · · ·
. Au premier pase1 n’est autre que l’erreur y1− z(t1), mais dès le
deuxième pas l’erreur y2− z(t2) = M2A2) diffère biensur de e2 car
A2 6= B2, mais aussi du cumul e1 + e2 dès que les pentes f(t1,
y1), et z′(t1) = f(t1, z(t1))des segments A1A2 et M1B2
diffèrent.
Les valeurs de z(ti) n’étant pas connues pour i ≥ 1, l’erreur
de consistance est surtout un outilthéorique qui intervient dans
le calcul d’une majoration de l’erreur |z(tn)− yn|.
Définition 5 On dit qu’un schéma numérique est d’ordre p, si
en = o(hp+1n ), lorsque hn → 0.
Comme on le verra dans la section 4.1.3, L’ordre d’une méthode
est une indication importante quiavec la propriété dite de
stabilité qui dépend de f gouverne la convergence de y(t) vers
z(t). Nousconcluerons seulement cette section par un résultat
admis qui donne une première idée intuitive de lanotion d’erreur
de consistance :
Définition 6 Une méthode numérique est dite consistante
si
limhmax→0
N−1∑n=0
|en| = 0
Théorème 2 .- Une méthode à un pas est consistante si et
seulement si quel que soit (t, y) ∈ U , ona :
Φ(t, y, 0) = f(t, y)
Démonstration.- Nous donnons plus loin une démonstration
détaillée qui fait appel à un maniementde sommes de Riemann.
Intuitivement on peut justifier cet enoncé en remarquant que par
le théorèmedes accroissements finis, z(tn+1)−z(tn) est de l’ordre
de hnz′(tn) = hnf(tn, z(tn)), donc que l’erreur deconsistance en =
z(tn+1)−z(tn)−hnΦ(tn, z(tn), hn) est de l’ordre de
[f(tn, z(tn))−Φ(tn, z(tn), hn)
].hn.
Si la condition de l’énoncé n’est pas remplie cette
différence est pour h tendant vers zéro de l’ordre deh, avec un
facteur multiplicatif ne tendant pas vers zéro. Le cumul des
erreurs d d’arrondi serait doncde l’ordre du cumul des hn c’est à
dire de la quantité fixe T , donc l’erreur ne tendrait pas vers 0
avecle pas. �
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3 Quelques exemples de méthodes à un pas
3.1 Méthode d’Euler.
On a déjà décrit cette méthode appelée aussi méthode de la
tangente qui correspond au cas de lafonction :
φ(t, y, h) = f(t, y)
indépendante de t, définie sur U × R.Calcul de l’erreur de
consistance
en =z(tn + hn)− z(tn)− hn.f(tn, z(tn))=z(tn + hn)− z(tn)−
hn.z′(tn) par définition de z
Lorsque f est de classe C1, z est de classe C2 et l’erreur de
consistance prend la forme suivante grâceà la formule de
Taylor.
en =12h2nz
′′(tn) + o(h2n)
12h2nf
[1](tn, z(tn)) + o(h2n)
Ainsi la méthode d’Euler est d’ordre un.
3.2 Méthode de Taylor d’ordre p.
On suppose ici que f est de classe Cp. On a vu alors que z est
de classe Cp+1 et on a défini desfonction f [k], construite par
récurrence à partir de f et de ses dérivées partielles telles
que z(k)(t) =f [k−1](t, z(t)), pour k = 1, . . . , p+ 1. La formule
de Taylor à l’ordre p+ 1 s’écrit alors :
z(tn + hn) = z(tn) +p∑
k=1
hkn1k!f [k−1](tn, z(tn)) +
1(p+ 1)!
f [p](tn, z(tn))hp+1n + o(hp+1n )
ou avec la formule de Taylor Lagrange :
z(tn + hn) = z(tn) +p∑
k=1
hkn1k!f [k−1](tn, z(tn)) +
1(p+ 1)!
f [p](tn + θhn, z(tn + θhn))hp+1n , θ ∈]0, 1[.
Ceci suggère le schéma numérique suivant obtenu en
remplaçant les valeurs inconnues z(tk) par les yk.
(Tp)
yn+1 = yn +p∑
k=1
hkn1k!f [k−1](tn, yn)
tn+1 = tn + hn
La fonction Φ associée à cette méthode est :
Φ(t, y, h) =p∑
k=1
hk−11k!f [k−1](t, y)
Le résultat suivant généralise celui qu’on a déjà trouvé
pour la méthode d’Euler (T1).
Proposition 3 La méthode de Taylor (Tp) est du point de vue de
l’erreur de consistance d’ordre p.Plus précisément, si on
considère un cylindre de sécurité C = [t0 − T, t0 + T ] × B(y0,
r), on a unemajoration :
en ≤1
(p+ 1)!sup
(t,y)∈C‖f [p](t, y)‖hp+1n
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En effet selon la formule de Taylor qui a servi de base à la
méthode on obtient directement (en prenantla formule de Taylor
avec reste de Lagrange) :
en = z(tn + hn)− z(tn)−p∑
k=1
hkn1k!f [k−1](tn, z(tn))
=1
(p+ 1)!f [p](tn + θhn, z(tn + θhn))hp+1n ≤
1(p+ 1)!
sup(t,y)∈C
‖f [p](t, y)‖hp+1n
3.3 Méthode du point milieu.
Notons Mn le point de coordonnées (tn, z(tn)) du graphe de z.
Le segment [Mn,Mn+1] a une penteplus proche en général de z′(tn +
hn2 ) pente de la tangente au ”point milieu” que de z
′(tn), pente dela tangente en Mn, comme le montre la figure
ci-dessous :
M0
M1
M1/2
T
A1
A’1
tn tn+hnfig.2
On peut donc considérer qu’une approximation de z(tn+1) à
partir de z(tn) meilleure que l’expres-sion z(tn) + f(tn, z(tn)) de
la méthode d’Euler est :
(1) z(tn) + hnz′(tn +hn2
) = z(tn) + hnf(tn +hn2, z(tn +
hn2
))
Dans le schéma numérique que nous avons en vue on peut prendre
par récurrence yn approximationde z(tn).
Comme z(tn + tn2 ) n’est pas connu non plus, il convient d’en
chercher une approximation notéeyn+ 1
2. Le schéma d’Euler suggère de prendre yn+ 1
2= yn + hn2 f(tn, yn).
On aboutit ainsi donc au schéma numérique :
(M)
yn+ 12
= yn +hn2f(tn, yn)
pn = f(tn +hn2, yn+ 1
2)
yn+1 = yn + hnpntn+1 = tn + hn
Ce schéma est encore une méthode à un pas explicite dans
laquelle l’expression explicite de Φ obtenueen développant pn est
:
Φ(t, y, h) = f(tn +hn2, yn +
hn2f(tn, yn))
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Proposition 4 La méthode (M) est d’ordre 2 dès que f est de
classe C2.
Démonstration.- On écrit le schéma (M) avec yn = z(tn) ce qui
donne l’erreur de consistance
en = z(tn + hn)− z(tn)− hnpn, avec pn = f(tn +hn2, yn +
hn2f(tn, z(tn))
Comme pn est une approximation de z′(tn + hn2 ), on a interêt
à décomposer en ainsi :
en = e′n + e′′n avec
{e′n = z(tn + hn)− z(tn)− hnz′(tn + hn2 )e′′n = hn(z
′(tn + hn2 )− pn).
On trouve d’abord en apppliquant la formule de Taylor jusqu’au
terme en h3n aux deux fonctions z etz′ :
e′n = z(tn + hn)− z(tn)− hnz′(tn)− hn(z′(tn +hn2
)− z′(tn))
=h2n2z′′(tn) +
h3n6z(3)(tn) + o(h3n)− hn(
hn2z′′(tn) +
h2n8z(3)(tn)o(h2n))
=h3n24z(3)(tn) + o(h3n) =
h3n24f [2](tn, z(tn)) + o(h3n)
d’autre part on peut appliquer la formule de Taylor par rapport
à la variable y dans l’expression dee′′n, ce qui donne :
e′′n = hn[f(tn +hn2, z(tn +
hn2
))− f(tn +hn2, z(tn) +
hn2
)f(tn, yn))]
= hn∂f
∂y(tn +
hn2,Θn)[z(tn +
hn2
))− z(tn)−hn2
)f(tn, yn)]
avec Θn sur le segment ]z(tn) + hn2 )f(tn, yn), z(tn +hn2
))[=]yn+ 12 , z(tn +
hn2 ))[ Du fait que Θn =
yn + O(hn), et du fait que ∂f∂y est de classe C1 on déduit que
∂f∂y (tn +
hn2 ,Θn) =
∂f∂y (tn, yn) + O(hn)
et finalement tenant compte de z′(tn) = f(tn, z(tn)), et en
appliquant encore la formule de Taylor àl’ordre 2 à z(tn + hn2 )
:
e′′n = hn(∂f
∂y(tn, yn) +O(hn))(
hn2z′(tn) +
12h2n2z′′(tn)−
hn2
)f(tn, yn))
=h3n8∂f
∂y(tn, yn)z′′(tn)o(h3n) =
h3n8∂f
∂y(tn, yn)f [1](tn, z(tn)) + o(h3n)
� En apparence ce calcul semble restreint au cas scalaire m = 1,
mais en fait il est intégralementvalable en général à condition
de considérer que ∂f∂y (t, y).v désigne la valeur sur le vecteur
v ∈ R
n del’application linéaire Rn → Rn dérivé partielle de f au
point (t, y) ∈ U ⊂ R× Rn.Exercice Montrer avec les même calculs
mais la formule de Taylor-Lagrange la majoration explicitesuivante,
qui met en jeu des normes du sup sur le cylindre de sécurité
:
en ≤ (124‖f [2]‖∞ +
18‖∂f∂y‖∞‖f [1]‖∞)hmax.
Un exemple simple : On considère l’équation y′ = −y, avec les
données initiales t0 = 0, y0 = 1, etla subdivision de [0, 1] de
pas constant 110 , tn =
n10 , n = 0, · · · , 10.
10
-
La solution exacte est connue : z(t) = e−t, ce qui permet de
comparer aisément différentes méthodesquant à leur précision
en fonction du pas.
La comparaison est proposée en exercice et on constatera des
erreurs respectives de l’ordre de2.10−2, 10−3, 2.10−5 pour les
schémas (T1) (T2) et (T3). On verra aussi que pour atteindre la
mêmeprécision que par 10 pas avec (T3), le nombre de pas
nécessaires serait de :-100 pas dans le cas de la méthode de
Taylor d’ordre 2.-10000 pas dans le cas de la méthode d’Euler.
Vérifier au passage que la méthode du point milieu donne sur
cet exemple la même formule que T2Cet exemple montre que la
méthode d’Euler n’est pas assez précise pour qu’on puisse s’en
contenter
dans la pratique. L’augmentation du nombre de pas est en effet
préjudiciable à cause du cumul deserreurs d’arrondis, qui pour
une méthode donnée impose une borne à la précision.
Le choix d’une méthode résulte d’un compromis entre la
sophistication du schéma utilisé qui doitrester raisonnable et le
gain d’efficacité.
On étudiera dans la section 6 le méthode(s) de Runge Kutta. Il
y a toute une famille de schémasnumériques qui portent ce nom,
mais le plus classique et le plus utilisé d’entre eux est celui
d’ordre 4.
4 Etude générale de la convergence des méthodes à un pas :
consis-tance et stabilité
4.1 Consistance, stabilité et convergence
4.1.1 La notion de consistance d’un schéma
Il s’agit du bon comportement de l’erreur du même nom.
Définition 7 Une méthode numérique est dite consistante
si
limhmax→0
N−1∑n=0
|en| = 0
4.1.2 La notion de stabilité
Dans la pratique les valeurs de yn sont perturbées par des
valeurs voisines ỹn pour deux raisons :1) Erreurs d’arrondi : on
représente en machine la valeur yn issue du calcul par un nombre
décimal
à q chiffres : |ỹn − yn|, est alors l’erreur d’arrondi majoré
en valeur relative par 10−qyn.2) Incertitude expérimentale Dans la
plupart des problèmes concrets la ”vraie” valeur (notion
mythique...) de y0 est remplacée par une valeur ỹ0 tirée
d’une expérience, d’une hypothèse etc :|ỹ0 − y0| est donc
majorée par un nombre qui dépend de la précision
expérimentale.
La méthode ne peut donc être utile que si la perturbation sur
|ỹN − yN | provoquée par une faibleperturbation |ỹ0− y0| des
données initiales et par les erreurs d’arrondi sur les termes ỹn
antérieurs estfaible :
Définition 8 Une méthode est dite stable s’il existe S > 0
tel que quelle que soient les suites , définiespar récurence par
les formules : {
yn+1 = yn + hnΦ(tn, yn, hn)ỹn+1 = ỹn + hnΦ(tn, ỹn, hn) +
�n,
on a :
max0≤n≤N
|ỹn − yn| ≤ S(|ỹ0 − y0|+N−1∑n=0
|�n|).
11
-
Remarques sur l’évaluation de l’erreur. Dans ces formules �n
est une erreur d’arrondi qu’on majoredans la pratique en erreur
relative par 0, 5.10−q en fonction de la précision de la machine :
q est lenombre de chiffres dans l’écriture en virgule flottante et
si yn ∈ [10k−1, 10k[ avec k ∈ Z, l’erreurd’arrondi absolue est au
plus 0, 5.10k−q. La quantité |ỹ0 − y0|, de son coté doit être
évaluée (doncmajorée) en fonction de la nature (physique ou
autre) du problème modélisé.
Ainsi, selon la définition, on ne peut donc pas espérer une
précision relative à priori meilleure que :
S × (N + 1)× 0, 5.10−16
pour une écriture de réels avec 16 chiffres significatifs.Par
conséquent, le fait qu’une méthode soit stable n’est pas une
garantie d’obtenir des résultats
numériquement fiables lorsqu’on se heurte à l’un des deux
écueuils suivants :- Lorsqu’on on prend un pas très petit, donc N
très grand N le cumul des erreurs d’arrondis peutprovoquer une
erreur trop élevée.- La constante de stabilité S peut être
très grande de l’ordre de 10+16 ou plus ce qui ote
toutecrédibilité aux résultats obtenus. C’est le cas de
problème dits numériquement mal posés. C’est aussile cas,
lorsqu’on cherche les solutions pour [t0, t0 + T ], avec T trop
grand. En effet que S crôıt expo-nentiellement avec T . Voir la
formule finale dans la démonstration du théorème 5 avec une
constantede stabilité en S = eLT , et la sous section 4.3.2 avec
le facteur SCT = eLTCT pour le facteurd’amplification de
l’erreur.
4.1.3 La notion de convergence
Faisant abstraction des contraintes pratiques que nous venons
d’évoquer on a quand même lesrésultats théoriques suivants, de
démonstration très facile, qui relient les deux notions de
consistanceet de stabilité à la convergence de la méthode :
Définition 9 Une méthode numérique est dite convergente si
pour toute solution exacte z définie surun intervalle [t0, t0 + T
] et toute suite (yn) construite, selon le schéma numérique
considéré, à partirde y0 et d’une subdivision de [t0, t0 + T ],
on a la relation de convergence uniforme :
limhmax→0y0→z(t0)
max0≤n≤N
|yn − z(tn)| = 0.
Théorème 3 Une méthode numérique à un pas qui est stable et
consistante est convergente.
Démonstration.- Posons ỹn = z(tn). Dans ce cas l’erreur de
consistance est par définition le réelen qui complète la formule
:
z(tn+1) = ỹn+1 = ỹn + hnΦ(tn, ỹn, hn) + en
Donc en joue pour la suite des z(tn) le role de la correction �n
associé en général à une suite ỹn. D’aprèsla définition de
la consistance on a donc :
max0≤n≤N
|z(tn)− yn| ≤ S(|z(t0)− y0|+N−1∑n=0
|en|)
L’hypothèse de consistance donne alors immédiatement le
résultat annoncé. �
Exercice : Déduire du théorème 4.1.3 la convergence uniforme
de y(t), fonction linéaire par morceauxtelle que y(tn) = yn, vers
z(t) en utilisant la continuité uniforme de z sur [t0, t0 + T
].
12
-
4.2 Quelques conditions suffisantes ou nécessaires et
suffisantes de consistance oude stabilité.
Dans cet énoncé on suppose que Φ remplit la condition suivante
presque toujours réalisée dans lesexemples usuels :
Φ est continue sur un ouvert contenant U × [−h0, h0]
Théorème 4 .- Une méthode à un pas est consistante si et
seulement si quel que soit (t, y) ∈ U , ona :
Φ(t, y, 0) = f(t, y)
Démonstration.- D’après le théorème des accroissement finis,
il existe quel que soit n un réelcn ∈]tn, tn+1[ tel que :
en = z(tn+1)− z(tn)− hnΦ(tn, z(tn), hn)= hnz′(tn)− hnΦ(tn,
z(tn), hn) = hn[f(cn, z(cn))− Φ(tn, z(tn), hn)]hn[f(cn, z(cn))−
Φ(cn, z(cn), 0)] + hn[Φ(cn, z(cn), 0)− Φ(tn, z(tn), hn)]
Pour clarifier les calculs qui suivent on écrira au moment
opportun ce résultat sous la forme :
en = hn(An +Bn)An = f(cn, z(cn))− Φ(cn, z(cn), 0)Bn = Φ(cn,
z(cn), 0)− Φ(tn, z(tn), hn)
D’après l’uniforme continuité de Φ sur C × [−h0, h0] où C est
le polycylindre de sécurité sur lequel ontravaille :
∀� > 0, ∃η > 0, α > 0, tels que (|h| < η, |t− t′|
< η, |y − y′| < α ⇒ |Φ(t, y, 0)− Φ(t′, y′, h)|)
Par ailleurs, quitte à diminuer η, on peut s’assurer en
utilisant l’uniforme continuité de z sur [t0, t0 +T ]que |hn| <
η ⇒ |z(cn)− z(tn)| < α, donc finalement en enchainant les deux
implications précédentespar transitivité :
|hn| < η ⇒ |Φ(cn, z(cn), 0)− Φ(tn, z(tn), hn)| < �
On en tire
hmax < η ⇒N−1∑n=0
hn|Φ(cn, z(cn), 0)− Φ(tn, z(tn), hn)| < �∑
hn = �T
Autrement dit avec les notations abrégées en = hn(An +Bn), on
a obtenu
hmax < η ⇒N−1∑n=0
hn|Bn| < �T
Donc∑N−1
n=0 hn|Bn| tend vers zéro quand hmax → 0. Or on peut par
ailleur écrire les majorationssuivantes :
|N∑n=0
(|en| − hn|An|)| ≤N∑n=0
||en| − hn|An||
≤N∑n=0
|en − hn.An| =N∑n=0
hn|Bn|
13
-
On a donc démontré que∑N
n=0 |en| −∑N
n=0 hn|An| tend vers zéro avec hmax. Or on reconnait dans
lasuite
N∑n=0
hn|An| =N∑n=0
hn|f(cn, z(cn))− Φ(cn, z(cn), 0)|
une suite de sommes de Riemann de l’intégrale I =∫ t0+Tt0
|f(t, z(t)) − Φ(t, z(t), 0)|, donc une suite
qui tend vers I. Le résultat obtenu nous donne alors aussi
:
limhmax
N∑n=0
|en| = I
La condition de consistance est équivalente au fait que cette
limite est nulle donc à∫ t0+Tt0
|f(t, z(t))− Φ(t, z(t), 0)| = 0
La nullité de cette intégrale de fonction positive continue
impose pour tout t : f(t, z(t)) = Φ(t, z(t), 0).Dans tout ce
raisonnement la condition initiale (t0, y0) est arbitraire, et
l’égalité f(t0, y0) = Φ(t0, y0, 0)est valable pour tout (t0, y0)
∈ U �
Théorème 5 .- Une condition suffisante de stabilité :Si Φ est
Lipschitzienne par rapport à la variable y, la méthode est
stable. De plus si L est la
constante de Lipschitz pour Φ, la constante de stabilité est S
= eLT .
Démonstration.- On reprend les notations de la définition 8 et
on pose :
θn = |ỹn − yn|
Par définition de la constante de Lipschitz pour Φ.
|Φ(t, y1, h)− Φ(t, y2, h)| ≤ L|y1 − y2|
quel que soient (t, y1, h) et (t, y2, h) dans le domaine de
définition de Φ. La majoration suivante découleaussitôt de la
définition de la suite de θn et de la condition de Lipschitz :
θn+1 = |ỹn+1 − yn+1| = |ỹn − yn + hn(Φ(tn, ỹn, hn)− Φ(tn, yn,
hn)) + �n| (1)≤ (1 + hnL)θn + |�n| (2)
Lemme 1 : Lemme de Gronwall discret .- Les inégalités (2)
impliquent :
θn ≤ eL(tn−t0)θ0 +n−1∑i=0
eL(tn−ti+1)|�i|
Démonstration.- C’est un exercice élementaire sur les
fonctions R → R de vérifier que ∀x ∈R, 1 + x ≤ ex et on a donc
1 + hnL ≤ eLhn
Le lemme se déduit par une récurrence sans mystère de cette
majoration et de l’inégalité (2).
14
-
L’étape de récurrence de n à n+ 1 s’écrit ainsi :
θn+1 ≤ (1 + hnL)θn + |�n|
≤ (1 + hnL)[eL(tn−t0)θ0 +
n−1∑i=0
eL(tn−ti+1)|�i|]
+ |�n|
≤ eLhn[eL(tn−t0)θ0 +
n−1∑i=0
eL(tn−ti+1)|�i|]
+ |�n|
= eL(tn+1−t0)θ0 +n−1∑i=0
eL(tn+1−ti+1)|�i|+ |�n|
= eL(tn+1−t0)θ0 +n∑i=0
eL(tn+1−ti+1)|�i|
�On déduit de ce lemme que pour tout n,
θn ≤ eLT (θ0 +n−1∑i=0
.|�i|)
Ceci termine la démonstration du théorème de stabilité avec
la constante de stabilité :
S = eLT
�Remarque.- Ces calculs ne sont corrects que tant que les (tn,
yn, hn) et (tn, ỹn, hn) restent dans le
domaine où Φ est Lipschitzienne de constante L.
Corollaire 6 Si f est Lipschitzienne en y, les méthodes d’Euler
et du milieu sont convergentes.
Démonstration.- D’après le théorème 4.1.3 il suffit pour
cela d’établir la consistance et la stabilité.- La consistance
est une conséquence directe du théorème 4, et de l’égalité
Φ|h=0 = f . C’est aussi
valable pour la méthode de Taylor Tp. La stabilité se déduit
du théorème 5 et du fait que Φ estLipschitzienne : pour la
méthode d’Euler, c’est immédiat car f = Φ, et pour la méthode du
milieucela résulte des calculs suivants :
φ = f(t+h
2, y +
h
2f(t, y))
Donc si f est Lipshitzienne en y de constante de Lipschitz L on
obtient :
|Φ(t, y1, h)− Φ(t, y2, h)| ≤ L(|y1 − y2 +
h
2f(t, y1)− f(t, y2)|
)≤ L|y1 − y2|+
hL
2|f(t, y1)− f(t, y2)|
≤ (L+ h2L2)|y1 − y2|
D’où le caractère lipschitzien de Φ avec la constante de
Lipschitz Λ = L + δ2L2, si on se limite a des
pas h assez petits c’est à dire assujettis à une condition : 0
< h ≤ δ �Note : On montre aussi que lorsque f est de classe Cp
la méthode de Taylor Tp est convergente.
15
-
4.3 Ordre d’une méthode à un pas et erreur globale.
4.3.1 .-
Définition 10 Une méthode consistante est dite d’ordre p si
pour tout compact K il existe C ≥ 0, telque pour toute solution
z(t), de graphe {(t, z(t))} contenu dans K, l’erreur de consistance
satisfait àla condition :
|en| ≤ Chp+1n
Mentionnons une caractérisation de l’ordre p qui s’applique à
la méthode de Taylor de même indiceet généralise le critère de
consistance déjà énoncé :
Proposition 5 .- Sous l’hypothèse que Φ est de classe Cp, la
méthode est d’ordre p si et seulement siles conditions suivantes
sont remplies :
∂`Φ∂h`
(t, y, 0) = 1`+1f[`](t, y) pour 0 ≤ ` ≤ p− 1
Démonstration.- Rappelons d’abord que l’erreur de consistance
est :
en = z(tn+1)− z(tn)− hnΦ(tn, z(tn), hn)
La démonstration est similaire (en plus compliqué) a celle de
la caractérisation de la consistance, quicorrespond au cas p = 1.
En appliquent la formule de Taylor Lagrange on a l’existence de cn,
dn ∈]tn, tn+1[ tels que :
z(tn+1)− z(tn) =hnz′(tn) + · · ·+hknk!z(k)(tn) + · · ·+
hpnp!z(p)(tn) +
hp+1n(p+ 1)!
z(p+1)(cn)
=p∑
k=1
hknk!f [k−1](tn, z(tn)) +
hp+1n(p+ 1)!
f [p](cn, z(cn))
Φ(tn, z(tn), hn) =hn[Φ(tn, z(tn), 0) + · · ·+
h`n`!∂`Φ∂h`
(tn, z(tn), 0) + · · ·+hp−1n
(p− 1)!∂p−1Φ∂hp−1
(tn, z(tn), 0)
+hpnp!∂pΦ∂hp
(dn, z(dn), dn)]
On en tire
en = hn[ p−1∑`=0
h`n`!
(f [`](tn, z(tn))
`+ 1− ∂
`Φ(tn, z(tn), 0)∂h`
)]
+hp+1np!
(f [p](cn, z(cn))
p+ 1− ∂
pΦ(dn, z(dn), dn)∂hp
)
Pour que cette expression soit un DL en hn de la forme o(hpn),
il faut et il suffit que tous les termes
f [`](tn,z(tn))`+1 −
∂`Φ(tn,z(tn),0)∂h`
) soient nuls ce qui fournit la condition de l’énoncé puisque
par tout point(t0, y0) passe une unique solution locale. Le reste
fournit la majoration de l’énoncé avec la constanteC =
1(p+1)!‖f
[p]‖K + 1p!‖∂pΦ∂hp |K×[0,δ], où les normes utilisées sont les
normes du sup ‖•‖∞ et les solution
sont supposée confinés dan un ensemble compact K. �N.B. Pour
justifier l’existence des f [`] on remarque que grâce à
l’hypothèse de consistance on a
f = Φ|h = 0, qui est donc bien de classe Cp. Le cas ` = 0 de la
conclusion de l’énoncéredonne lacondion de consistance, avec un
démonstration simplifi’ee par le fait qu’on suppose ici Φ de
classe C1et pas seulement continue.
16
-
4.3.2 La constante SCT de majoration de l’erreur globale
On considère une méthode consistante et stable de constante de
stabilité S qui est d’ordre p avecun facteur multiplicatif C. On a
les majorations d’erreurs suivantes. D’abord le cumul des erreurs
deconsistance (qui n’est pas l’erreur globale ! !) est :∑
en ≤ C∑
hp+1n ≤ C(∑
hn)hpmax = CThpmax
En effet la somme de tous les pas est∑
(tn+1 − tn) = T si on travaille sur l’intervalle [t0, t0 + T ].
Pardéfinition de la stabilité, on trouve alors : Max|yn − z(tn)|
≤ S(|y0 − z(t0)| + CThpmax). L’erreur estdonc majorée dans le cas
d’absence d’erreur sur la condition initiale par
SCThpmax
4.3.3 La constante SCT de majoration de l’erreur globale
On considère une méthode consistante et stable de constante de
stabilité S qui est d’ordre p avec lefacteur multiplicatif p que
nous venons de ttrouver. On a les majoration d’erreurs suivantes.
D’abordle cumul des erreurs de consistance (qui n’est pas l’erreur
globale ! !) est :∑
en ≤ C∑
hp+1n ≤ C(∑
hn)hpmax = CThpmax
En effet la somme de tous les pas est∑
(tn+1 − tn) = T si on travaille sur l’intervalle [t0, t0 + T ].
Pardéfinition de la stabilité, on trouve alors : Max|yn − z(tn)|
≤ S(|y0 − z(t0)|+ CThmaxp). L’erreur estdonc majorée dans le cas
d’absence d’erreur sur la condition initiale par
SCThpmax
5 Quelques remarques sur les aspects numériques
5.1 Sur les inconvénients du cumul des erreursd’arrondi
On considère la suite des valeurs arrondies des yn notées ỹn.
Soit ρn l’erreur d’arrondi dans lecalcul de Φ(tn, ỹn, hn), et σn
l’erreur d’arrondi dans l’évaluqtion de ˜yn+1, ce qui conduit à
la formule :
˜yn+1 = ỹn + hnΦ(tn, ỹn, hn) + hnρn + σn
Alors si S est une constante de stabilité et si ρ et σ sont des
bornes pour les erreurs d’arrondi, ontrouve :
max |ỹn − yn| ≤ S(|�0|+∑|hnρn + σn|) ≤ S(|�0|+ Tρ+Nσ)
En combinant avec la majoration de la dernière sous-section on
trouve :
max |ỹn − z(tn) ≤ S(|�0|+ Tρ+Nσ + CThp)
En nous plaçant pour simplifier dans l’hypothèse de pas
constants, donc avec N = Th , ce derniermajorant devient :
E(h) = S(|�0|+ Tρ) + ST (σ
h+ Chp)
La fonction E(h) passe par un minimum pour une valeur optimale
de h, qu’il est inutile (nefaste)de dépasser puisque lim
h→0E(h) = +∞. Cette valeur est hopt = ( σC )
1p+1 . On trouve le majorant optimal :
E(hopt) = σp
p+1C1
p+1 p1
p+1 (p+1p )
17
-
5.2 Problèmes de Cauchy bien posés numériquement, probl‘emes
mal conditionnés
Exemple 0.- On a déjà vu que le problème de Cauchy :
y′ =√
2|y|, y(0) = 0
est mal posé mathématiquement car la solution n’est pas
unique.Dans les deux exemples suivants on se place dans les
conditions du théorème de Cauchy, mais
d’autres difficultés surgissent.Exemple 1.- {
y′ = 3y − ty0 = 13 à 10
−n prèscalculer y(10).
Dans cet exemple 10−n représente la pr”́ecision de la machine
traité comme un majorant de l’erreurd’arrondi. On prendra donc les
conditions initiales respectives :
y0 =13, et ỹ0 =
13
+ � avec |�| < 10−n
Les solutions exactes se calculent et valent : z(t) = Ce3t + t +
13 , avec C = z(0) −13 . On a donc à
comparer les deux solutions {y(t) = t+ 13
˜y(t) = t+ 13 +�e3t
Donc |y(t)− ˜y(t)| = |y(0)− ˜y(0)|e3t = �e3t, ce qui donne la
majoration :
|y(10)− ˜y(10)| ≤ 10−ne30
Conclusion : Le problème du calcul de y(10) est mal posé
numériquement si on travaille avec n = 12chiffres significatifs,
car le majorant 10−12e30 ≈ 10, 7 est excessif d l’oredre de
grandeur de y(10) ?
La notion d’être mal posé numériquement dépend bien sur de
la longueur T de l’intervalle surlequel on travaille, et aussi de
l’exposant (L=3 ici) de l’exponentielle qui n’est autre que la
constantede Lipschitz de f . Pout T = 1 (calcul de y(1) = 4/3 +
e1), le probolème serait bien posé avec uneamplification de
l’erreur d’arrondi initiale e.10−12. De même le problème de y(10)
reste bien posé sion prend 16 chiffres significatifs et cesse de
l’être à parti de T = 13 environ.
Toutes ces considération reflètent le fait que la constante de
stabilité qu’on a trouvé dans lethéorème 5 est en fonction de
la constante de Lipschitz eLT , donc la constante d’amplification
trouvédans la section précédente est SCT = ELT .C.T
Exemple 2.- {y′ = −150y + 30y0 = 15 à 10
−n prèscalculer y(10).
Cette fois le problème est bien posé numériquement car en
conservant les notation analogues a cellesde l’exemple 1 :
ỹ(t) =15
+ �e−150t
et le problème est bien posé numériquement puisque |y(0) −
˜y(0)|e−1500 est très petit même pour degrandes valeurs de �.
Ceci montre qu’en un certain sens le problème est trop bien posé
: a l’inversse sion cherche a retrouver ỹ0, a partir d’une
perturbation majorée α de y(10) = 15 on trouve : +
tildey(10)− 15| < α⇒ | ˜y(0)− 1
5| < α.e+1500
ce qui est numériquement impraticable.
18
-
On remarque que la constante de stabilité est a nouveau énorme
: S = e+150T = e+1500, etSCT = 10Ce+1500, et resterait excessive
même pour des plus petites valeurs de T . On dit que ceproblème
est mal conditionné. Un tel problème même bien posé
numériquement peut réserver dessurprises à la mise en oeuvre de
la métrhode d’Euler. On trouve :
yn+1 = −150yn + 30, d’ou |yn+1 −15| = −150|yn −
15|
donc ỹn = 15 + (1− 150h)n(ỹ0 − 15). Pour T = 1, si on a
l’imprudence de prendre un pas trop élevé la
suite des ỹn, s’ecarte radicalement de ỹ(tn) très voisin de
1/5. Par exemple si T = 1, et h = 1/50, ontrouve ỹn − 15 =
(−2)
n(ỹ0 − 15) d’ou pour y(1), l’approximation 250(ỹ0 − 15) ≈
10
15(ỹ0 − 15). Le choixde h est bien sur dicté par la
convergence de la suite (1− 150h)n, soit : 0 < h < 175 .
6 Méthode(s) de Runge Kutta.
6.1 description de la méthode
On considère comme d’habitude un problème de Cauchy{y′ = f(t,
y)
y(t0) = y0
ave une solution exacte z(t) sur [T0, t0 + T ] et une
subdivision :
t0 < · · · tN = t0 + T
On part de l’expression intégrale de l’accroissement
z(tn+1)−z(tn), dans laquelle on ramène l’intervalled’intégration
de [tn, tn+1 = tn + hn], à [0, 1], par le changement de variables
t = tn + uhn.
z(tn+1)− z(tn) =∫ tn+1tn
f(t, z(t))dt
=∫ 1
0hnf(tn + uhn, z(tn + uhn))du
ou encore
z(tn+1)− z(tn) = hn∫ 1
0g(u)du (3)
avec g(u) = f(tn + uhn, z(tn + uhn))L’idée est d’utiliser un
opérateur d’intégration approché (O.I.A.) pour calculer
l’intégrale qui ap-
parâıt dans l’équation (3) : ∫ 10g(u)du ∼ Σ(g) =
q∑i=1
big(ci)
Comme les valeurs des g(ci) = f(tn + cihn, z(tn + cihn)) =
f(tn,i, z(tn,i)) ne sont pas connues, il fautaussi évaluer la
fonction z aux points tn,i = tn + cihn par un calcul similaire
d’O.I.A. :
z(tn,i) = z(tn) + hn∫ ci
0g(u)du (4)
On se contentera pour simplifier des méthodes explicites où
l’O.I.A. choisi utilise les valeurs desg(cj) = f(tn,j , z(tn,j)), j
= 1, · · · , i− 1 antérieurement calculées :∫ ci
0g(u)du ∼ Σi(g) =
i−1∑j=1
ai,jg(ci)
19
-
d’où les formules d’approximation :{z(tn,i) ∼ z(tn) + hn
∑i−1j=1 ai,jg(ci)
z(tn+1) ∼ z(tn) + hn∑q
i=1 big(ci)
L’algorithme de Runge Kutta associé aux opérateurs
d’intégration approché Σ et Σi s’obtient enremplaçant chaque
g(ci) par des valeurs approchées notées pn,j , puis z(tn,i) par
des valeurs approchéesyn,i, où on utilise l’O.I.A. Σi avec les
pn,j au lieu des g(cj). Il reste à poser au ième pas : yn,i
=f(tn,i, yn,i). Le passage de yn à yn+1 se fait alors en utilisant
de la même façon l’O.I.A. Σ.
On parle d’algorithme de type RKq, pour indiquer le nombre des
ci. La méthode étant expliciteai,j = 0 pour j ≥ i et on est donc
dontraint à prendre c1 = 0, et pn,1 = f(tn, yn).(NB : RK1
expliciten’est donc rien d’autre que la méthode d’Euler). Le
détail de l’algorithme RKq est donc le suivant :
– c1 = 0 , tn,1 = tn , yn,1 = yn , pn,1 = f(tn, yn)– Pour i = 2,
· · · , q, tn,i = tn + ci hnyn,i = yn + hn∑i−1j=1 ai,jpn,j
pn,i = f(tn,i , yn,i)
–[tn+1 = tn + hnyn+1 = yn + hn
∑qj=1 bjpn,j
Proposition 6 Tout schéma de type RKq définit une méthode à
un pas explicite de la forme : yn+1 =yn + hnΦ(tn, yn, hn).
Il suffit en effet de vérifier par récurrence sur i
l’existence de formules :
yn,i = yn + hnΦi(tn, yn, hn),pn,i = Qi(tn, yn, hn).
On part de Φ1 = 0 et Q1 = f(t, y), et la récurrence se fait
selon les formules :
Φi =i−1∑j=1
ai,jQj(t, y, h)
Qi(t, y, h) = f(t+ cih, y + hΦi(t, y, h)).
et se conclut par Φ(t, y, h) =∑q
j=1 bjQj(t, y, h).
6.2 Quelques exemples
On fait systématiquement l’hypothèse que les O.I.A utilisés
sont d’ordre au moins zéro(=exactssur les fonctions constantes),
ce qui setraduit par les égalités :
ci =i−1∑j=1
ai,j 1 =q∑j=1
bj .
On présent usuellement les données sous forme d’un tableau
:
c1 = 0 | 0c2 | a2,1 0c3 | a3,1 a3,2 0... | . . .... | . . .cq |
aq,1 aq,2 · · · · · · aq,q−1 0−−− | − −− −−− −−− −−− −−− −−−
1 | b1 b2 · · · · · · bq−1 bq
20
-
dans lequel la première colonne est la somme des suivantes.–
Les algorithmes de type RK2 sont donc régis par un tableau du type
suivant :
0 | 0α | α 0
−−− | − −− −−−1 | b 1− b
On pourra voir en TD que pour α 6= 0 fixé la valeur optimale de
b, pour laquelle l’ordre de laméthode est le plus grand est b = 1−
12α .Les O.I.A. de la méthode sont :∫ α
0g(u)du ∼ Σ2(g) = αg(0) (5)∫ 1
0g(u)du ∼ Σ(g)(1− 1
2α)g(0) +
12αg(1) (6)
– Pour α = 1, ce dernier O.I.A. est celui de la méthode des
trapèzes et la méthode correspondante(RK2)α=1 est connue sous le
nom de Méthode de Heun.
– La méthode RK4 classique correspond au tableau :
0 | 0c2 = 12 |
12 0
c3 = 12 | 012 0
c4 = 1 | 0 0 1−−− | − −− −−− −−− −−−
1 | 1626
26
16
Les O.I.A. de la méthode sont :∫ 12
0g(u)du ∼ Σ2(g) =
12g(0)∫ 1
2
0g(u)du ∼ Σ3(g) =
12g(
12
)∫ 10g(u)du ∼ Σ4(g) = g(
12
)∫ 10g(u)du ∼ Σ(g) = 1
6(g(0) + 2g(
12
+ 2g(12
+ g(1))
Les coefficients sont ceux de l’O.I.A. de Simpson.L’algorithme
associé pour le calcul des yn est le suivant : tn,2 = tn + 12
hnyn,2 = yn + 12hnf(tn, yn)pn,2 = f(tn,2 , yn,2)
tn,3 = tn + 12 hnyn,3 = yn + 12hnpn,2pn,3 = f(tn,3 , yn,3)
tn,4 = tn + hnyn,4 = yn + hnpn,3pn,4 = f(tn,4 , yn,4)
et yn+1 = yn +hn6
(pn,1 + 2pn,2 + 2pn,3 + pn,4)
6.3 Thèmes de TD
6.3.1 Tester (RK)4 sur l’exemple fétiche y′ = −y.
Montrer qu’avec un pas h = 0, 1, on trouve yn = (0, 9048375)n,
ce qui donne y10 ' 0, 3678798,ce qui fournit la solution exacte
étant e−t, une approximation de e−1 ' 0, 3678794 à mieux que10−6
près.
21
-
DémonstrationL a reprise de l’algorithme de (RK4) lorsque f(t,
y) = −y donne en effet ;
yn,2 = yn −hn2yn = −pn,2
yn,3 = yn +hn2
(hn2− 1)yn = yn(1−
hn2
+h2n4
) = −pn,3
yn,4 = yn − hn(1−hn2
+h2n4
)yn = yn(1− hn +h2n2− h
3n
4) = −pn,4
et enfin
yn+1 =yn −hn6yn(1 + 2(1−
hn2
) + 2(1− hn2
+h2n4
) + 1− hn +h2n2− h
3n
4)
=yn −hn6yn(6− 3hn + h2n −
h3n4
)
=yn(1− hn +h2n2− h
3n
6− h
4n
24)
Ainsi on trouve par récurrence yn = (1−hn + h2n2 −
h3n6 −
h4n24 )
n, ce qui en reportant h = 0, 1, puisn = 10, fournit les valeurs
numériques approchées indiquées. �On remarque que sur cet
exemple, le résultat est le même que celui que fournit la
méthode deTaylor d’ordre 4.
6.3.2 Ordre d’une méthode (RK)4.
La fonction Φ(t, y, h)), s’obtient de la façon suivante : on
réécrit l’algorithme de Runge Kutta ensubstituant au départ t et
y et h à tn et yn et hn, le même calcul fournissant alors des
fonctionsyi(t, y, h) et pi(t, y, h) au lieu des yn,i pn,i et la
fonction cherchée provient de y + h.Φ(t, y, h)) ala place de
yn+1.– Pour i = 2, · · · , q, ti = t + ci hyi = y + h∑i−1j=1
ai,jpj(t, y, h)
pi(t, y, h) = f(ti , yi(t, y, h))– Φ(t, y, h) =
∑qj=1 bjpj(t, y, h)
La méthode est consistante car on trouve aisément par
récurrence sur i et pour tout i :
yi(t, y, 0) = y pi(t, y, 0) = f(t, y)
d’où Φ(t, y, 0) = (∑q
j=1 bj)f(t, y) = f(t, y) ce qui est la condition suffisante
trouvée dans lethéorème 4.Lemme 2
∂Φ∂h
(t, y, 0) = (q∑j=1
bjcj)f [1](t, y)
DémonstrationO n a Φ =∑q
i=1 bif(t+ cih, yi(t, y, h)) d’où :
∂Φ∂h
(t, y, h) =q∑i=1
bici∂f
∂t(t+ cih, yi(t, y, h)) +
q∑i=1
bi∂yi∂h
∂f
∂y(t+ cih, yi(t, y, h))
Par ailleurs yi(t, y, h) = y +∑q
j=1 ai,jf(t+ cjh, yj(t, y, h)), donc :
∂yi∂h
=q∑j=1
ai,jf(t+ cjh, yj(t, y, h)) + hq∑j=1
ai,j∂
∂h[f(t+ cjh, yj(t, y, h))]
22
-
et puisque yi(t, y, 0) = y, on conclut par :
∂yi∂h
(t, y, 0) = (q∑j=1
ai,j)f(t, y) = cif(t, y).
et
∂Φ∂h
(t, y, 0) =(q∑i=1
bici)∂f
∂t(t, y) +
q∑i=1
bi(cif(t, y))∂f
∂y(t, y)
=(q∑i=1
bici)(∂f
∂t(t, y) + f(t, y)
∂f
∂y(t, y))
=(q∑j=1
bjcj)f [1](t, y).
�On a vu que la condition nécessaire et suffisante pour que la
méthode soit d’ordre 2 est :∂Φ∂h (t, y, 0) =
12f
[1](t, y). Au vu du lemme c’et équivalent à la condition
numérique suivante :
q∑j=1
bjcj =12. (7)
Exemple 1) On reprend l’exemple de (RK2), avec le tableau :
0 | 0α | α 0
−−− | − −− −−−1 | b 1− b
La condition d’être d’ordre 2 est : 0 × b + α(1 − b) = 12 , et
on retrouve la valeur optimaleb = b1 = 1− 12α .2) La méthode
classique (RK4) est d’ordre au moins deux également toujours
d’après l’équation, puisque : 0× 16 +
12
26 +
12 ×
26 + 1×
16 =
12
On montre en fait que la méthode est d’ordre 4.exercice Montrer
en calculant ∂
2Φ∂h2
, à comparer à 13f[2], que la méthode (RK4) est d’ordre ≥
3.
On établira que en général les conditions pour qu’une
méthode de Runge-Kutta d’ordre ≥ 2 soiten fait d’ordre ≥ 3 sont
:
q∑j=1
bjc2j =
13
et∑i,j
biai,jcj =16
On considère uine méthode de Runge Kutta de paramètres ai,j
bj , et on lui associe le coefficientréel positif :
α = maxi
(∑j
|ai,j |)
Proposition 7 Si f(t, y) est Lipschitzienne de rapport k, la
fonction Φ est Lipschitzienne derapport : Λ = k
∑qj=1 |bj |(1 + αhk + · · ·+ (αhk)j−1) et la méthode (RKn)
associée est stable.
23
-
Démonstration On montre par récurrence sur i que la fonction
yi(t, y, h) est Lipschitziennede rapport
1 + αhk + · · ·+ (αhk)i−1
En effet étant données deux condition initiales y et z la
définition de yi aboutit à :
|yi(t, y, h)− yi(t, z, h)| =|y − z + hq−1∑j=1
ai,j(f(t+ cj , yj(t, y, h)− f(t+ cj , yj(t, z, h))|
≤|y − z|+q−1∑j=1
|ai,j |.|yj(t, y, h)− yj(t, z, h)|
≤|y − z|+ (αhk) maxj
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