Généralités sur les surfaces - Freemaths.collet.free.fr/PdfInsa/CoursSurfaces2009.pdf · Champs de Vecteurs et formes di erentielles Analyse vectorielle Formes di erentielles Int

Champs de Vecteurs et formes différentielles Analyse vectorielle Formes différentielles Intégrales curvilignes Chapitre 3 : Surfaces Intégrales de surfaces Intégrales de surfaces Intégrales triples

Généralités sur les surfaces

Valérie Collet

Université de BourgogneVal [email protected]

http://maths.collet.free.fr/enseignement2.html

Valérie Collet Généralités sur les surfaces 1/130


Plan1 Champs de Vecteurs et formes différentielles

Champs de vecteursDéfinitionTrajectoire et lignes de champEn coordonnées cartésiennesEn coordonnées cylindriquesEn coordonnées sphériques

Champs scalairesDéfinitionExemples

2 Analyse vectorielleGradient

DéfinitionPropriétésExemple

DivergenceDéfinitionPropriétésExemples

RotationnelDéfinitionPropriétésExemples

LaplacienDéfinitionsPropriétéExemple

Relations entre euxPropriétésDéfinitionsExemple

3 Formes différentiellesFormes différentielles de degré 1

DéfinitionRemarquesExemple

Formes différentielles exactesDéfinitionExemples simples

Formes différentielles ferméesDéfinitionExemplePropriétés

4 Intégrales curvilignesArcs orientés, courbes orientéesDéfinitionsÉquations paramétriques et cartésiennes

Équations paramétriques

Longueur d’un arc de courbeÉquations cartésiennes dans le planÉquations cartésiennes dans l’espaceIntégrales curvilignes

DéfinitionPropriétésCalcul 1Calcul 2Cas d’une forme différentielle exacteCas d’un arc orienté fermé

Circulation d’un champ de vecteursDéfinitionPropriétésExemple 1Exemple 2

Calculs d’aires planesFormuleExempleCalcul de certains volumes

Centre d’inertieExemple

Moment d’inertie5 Chapitre 3 : Surfaces

Courbe tracée sur le graphe d’une fonctionPlan tangent à une surface paramétréePlan tangent à une surface de niveauPlan tangent au graphe d’une fonctionExtremum local

5 Intégrales de surfacesIntégrales doublesPropriétésRéduction à des intégrales simples

Domaines simplesChangement de variablesCoordonnées polairesCoordonnées elliptiquesUn cas généralUn autre cas

5 Intégrales de surfacesÉléments de surface

Exemple 1Exemple 2

Intégrale de surfaceDéfinitionExemple 1Exemple 2Aire d’un morceau de surface paramétréeAire d’un morceau de surface ”cartésienne”

FluxDéfinitionExemple 1Exemple 2Exemple 3Formule de Green-Riemann

Théorème de StokesMoment d’inertie

Masse

Moment d’inertieMasseCentre d’inertieMoment d’inertieMoment d’inertie

5 Intégrales triplesPropriétésThéorème de FubiniThéorème de FubiniThéorème de Fubini

Changement de variablesCoordonnées cylindriquesCoordonnées sphériquesUn cas généralUn cas généralUn cas généralUn cas généralVolume d’un morceau de volumeVolume d’un morceau de volumeVolume d’un morceau de volumeThéorème d’Ostrogradski

Moment d’inertieMasseCentre d’inertieMoment d’inertie



Champs de vecteurs

Champs de vecteurs

Définition : Un champ de vecteurs sur un ouvert U de R3 est ladonnée d’une application

−→V de U dans R3.

On appelle (ı→, →, k→) la base canonique de R3.−→V = Pı→+ Q→+ Rk→

Remarque : Chaque composante P,Q,R est une application de Udans R.

Exemple 1 : En tout point de la surface de la Terre, on peut luiassocier un vecteur qui représente la direction, le senset la force du vent ; on définit ainsi un champ devecteurs.

Exemple 2 : Le champ de gravité est également un champvectoriel.



Champs de vecteurs

Trajectoire et lignes de champ

Une trajectoire de−→V est une courbe paramétrée γ (de [a, b] dans

U) telle que pour tout t ∈ [a, b], γ′(t) = −→V(γ(t)

).

Les lignes de champ sont les courbes telles que, en tout point, levecteur tangent à la courbe cöıncide avec

−→V ; ce sont les supports

géométriques des trajectoires.



Champs de vecteurs

En coordonnées cartésiennes

Chercher les trajectoires d’un champ de vecteurs, c’est doncintégrer le système :

x ′(t) = P(x(t), y(t), z(t)

)y ′(t) = Q

(x(t), y(t), z(t)

)z ′(t) = R

(x(t), y(t), z(t)

)Chercher les lignes de champ, c’est résoudre :

x ′(t)

P(x(t), y(t), z(t)

) = y ′(t)Q(x(t), y(t), z(t)

) = z ′(t)R(x(t), y(t), z(t)

)



Champs de vecteurs

Exercice : Trouver les trajectoires et lignes de champ du champplanaire défini par

−→V (x , y) = (−y , x).

Les trajectoires sont les solutions du système :{x ′(t) = −y(t)y ′(t) = x(t)

x = a cos t + b sin t et y = a sin t − b cos t(x2 + y 2 = a2 + b2).

Les lignes de champ sont les solutions dex ′

y= −y

′

x.

xx ′ + yy ′ = 0 : x2 + y 2 = k.Ce sont des cercles centrés en O.

♦ Pour en savoir plus, voir Lelong-Ferrand Tome 4 pages 161 à 164♦ Pour d’autres exemples voir Lelong-Ferrand Tome 4 page 420



Champs de vecteurs

En coordonnées cylindriques

Chercher les lignes de champ, c’est résoudre :

r ′(t)

Vr(r(t), θ(t), z(t)

) = rθ′(t)Vθ(r(t), θ(t), z(t)

) = z ′(t)Vz(r(t), θ(t), z(t)

)Exercice : Trouver les lignes de champ du champ magnétique créépar un fil infiniment long parcouru par un courant.

−→B =

µ0I

2πr−→e θ. Br = 0 et Bz = 0.

dz =BzBθ

rdθ = 0 donc z = cte : les lignes de champ sont

dans les plans perpendiculaires au fil.

dr =BrBθ

rdθ = 0 donc r = cte : les lignes de champ sont

des cercles centrés sur l’axe du fil.



Champs de vecteurs

En coordonnées sphériques

Chercher les lignes de champ, c’est résoudre :

r ′(t)

Vr(r(t), θ(t), ϕ(t)

) = rθ′(t)Vθ(r(t), θ(t), ϕ(t)

) = r sin θϕ′(t)Vϕ(r(t), θ(t), ϕ(t)

)



Champs scalaires

Champs scalaires

Un champ scalaire sur un ouvert U de R3 est la donnée d’uneapplication f de U dans R.Exemple 1 : En tout point de la surface de la Terre, on peut luiassocier un scalaire qui représente la température locale de l’air ; ondéfinit ainsi un champ scalaire.Exemple 2 : Le champ de pression est également un champ scalaire.



Analyse vectorielle

On définit formellement l’opérateur ∇ =( ∂∂x,∂

∂y,∂

∂z

).

Le gradient en M d’un champ scalaire f est :

−−−→grad f (M) =

(∂f∂x

(M),∂f

∂y(M),

∂f

∂z(M)

)= ∇f (M)

Le gradient quantifie les variations du champ ; il pointe dans ladirection où la variation d’amplitude est maximale et il estperpendiculaire aux lignes de niveau (surfaces f = cte).



Propriétés

f , g : R3 −→ R, λ ∈ R, φ : R −→ R dérivable.grad(f + g) = gradf + gradg et grad(λf ) = λgrad(f ).

grad(f .g) = g .gradf + f .gradg .

Si g 6= 0, grad fg

=g .gradf − f .gradg

g 2.

gradφ(f ) = φ′(f ).gradf .

Le gradient est indépendant de la base choisie.



Exemple

Calculer le gradient de f (x , y , z) =√

x2 + y 2 + z2 = r et

g(x , y , z) =1

r.

gradf =x

rı→+ y

r→+ z

rk→.

gradg =0− gradf

r 2= − x

r 3ı→− y

r 3→− z

r 3k→.



Divergence

Divergence

La divergence du champ de vecteurs F = (P,Q,R) est la trace desa différentielle :

divF = ∇.F = ∂P∂x

+∂Q

∂y+∂R

∂z

La divergence caractérise comment un champ évolue dans sapropre direction.Si la divergence est non nulle, on dit que le champ possède unesource ou un puits de champ, et il est dit à flux non-conservatif.Si la divergence est nulle, on dit que le champ est à flux conservatifou solénöıdal.



Divergence

Propriétés

−→F ,−→G : R3 −→ R3, λ ∈ R, f : R3 −→ R.

div(−→F +

−→G ) = div

−→F + div

−→G et div(λ

−→F ) = λdiv(

−→F ).

div(f−→F ) = f .div(

−→F ) + grad(f ).

−→F

La divergence est indépendante de la base choisie.

Exemple 1 : Si f (x , y , z) = (2x , 2y , 2z) alors divf = 6.Exemple 2 : Si f (x , y , z) = (−x ,−y ,−z) alors divf = −3.



Rotationnel

Rotationnel

Le rotationnel du champ de vecteurs F = (P,Q,R) est :

∇∧F = U ⊂ R3−→R3

(x , y , z)7−→(∂R∂y− ∂Q∂z

)ı→+

(∂P∂z− ∂R∂x

)→+

(∂Q∂x− ∂P∂y

)k→

Le rotationnel caractérise le cisaillement d’un champ de vecteur. Ilcaractérise l’évolution du champ dans la direction transversale àlui-même.



Rotationnel

Propriétés

−→F ,−→G : R3 −→ R3, λ ∈ R, f : R3 −→ R.

rot(−→F +

−→G ) = rot

−→F + rot

−→G et rot(λ

−→F ) = λrot(

−→F ).

rot(f−→V ) = frot(

−→V ) + grad(f ) ∧ −→V .

Le rotationnel est indépendant de la base choisie.



Rotationnel

Exemples

Exemple 1 : Si f (x , y , z) = (2x , 2y , 2z) alors rotf = 0.Exemple 2 : Si f (x , y , z) = (−3y , 3x , 0) alors rotf = 6.Exemple 3 : Déterminer le rotationnel des champs :−→F = (y 2 + z2)ı→+ (x2 + z2)→+ (x2 + y 2)k→ et−→G = y ı→+ z→+ xk→.

rot(−→F ) = 2(y − z)ı→+ 2(z − x)→+ 2(x − y)k→ et

rot−→G = −ı→− →− k→.



Laplacien

Laplacien

Le laplacien scalaire du champ scalaire f est :

∆(f ) = div(grad(f )

)=∂2f

∂x2+∂2f

∂y 2+∂2f

∂z2

Le laplacien vectoriel du champ de vecteurs−→V est :

∆(−→V ) = grad

(div(−→V ))−rot

(rot(−→V ))

=∂2−→V

∂x2+∂2−→V

∂y 2+∂2−→V

∂z2

Équation de Laplace : ∆−→V = 0.



Laplacien

Propriété

Le laplacien est indépendant de la base choisie.Calculer le laplacien de f (x , y) = ln(x2 + y 2).

∂f

∂x(x , y) =

2x

x2 + y 2.∂f

∂y(x , y) =

2y

x2 + y 2.

∂2f

∂x2(x , y) =

2(y 2 − x2)(x2 + y 2)2

.∂2f

∂y 2(x , y) =

2(x2 − y 2)(y 2 + x2)2

.

Donc : ∆f = 0.



Relations entre eux

Relations entre eux

rot(grad(f )

)=−→0

div(rot(−→V ))

= 0

rot(rot−→F ) = grad(div

−→F )−∆−→F .

−→V est un champ de gradient si rot(

−→V ) =

−→0 .

f est un champ scalaire harmonique si ∆(f ) = 0.−→V est un champ de vecteurs harmonique si div(

−→V ) = 0 et

rot(−→V ) =

−→0 .



Relations entre eux

Exemple

Pour (x , y , z) dans R3, on pose :

F (x , y , z) = (x + 2y + 4z , 2x − 3y − z , 4x − y + 2z)

Montrer que F est un champ de gradient et déterminer le champde potentiel associé.

♦ : V (x , y , z) =x2

2+ 2yx + 4xz − 3y

2

2− yz + z2 + k.



Formes différentielles

Une forme différentielle ω : U ⊂ R3 −→ (R3)∗ s’écrit :ω(x , y , z) = P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz où P,Q,Rsont C1.(dx , dy , dz) est la base du dual de R3.f : (x , y , z) 7−→ ax + by + cz est un élément du dual de R3

f = adx + bdy + cdzFinalement, une forme différentielle est un champ de formeslinéaires : à tout point de l’espace, on fait correspondre une formelinéaire. On les appelle parfois covecteurs ou champs de covecteurs.



Exemple

La différentielle est une forme différentielle.f : (x , y , z) 7−→ x2 + xyz ,df (x0, y0, z0) = (2x0 + y0z0)dx + (x0z0)dy + (x0y0)dzet df (x0, y0, z0)(h, k, l) = (2x0 + y0z0)h + (x0z0)k + (x0y0)l .



Formes différentielles exactes

Formes différentielles exactes

On dit qu’une forme différentielle est exacte s’il existe uneapplication f de classe C1 telle que : ω = df .f est appelée la primitive de ω. xdy + ydx = d(xy)

xdx + ydy =1

2d(x2 + y 2)



Formes différentielles fermées


Soit ω = ω1dx1 + . . .+ ω3dx3.

ω est fermée si pour tout i , j ,∂ωj∂xi

=∂ωi∂xj

.

ω(x , y) = (3x2y + 2x + y 3)dx + (x3 + 3xy 2 − 2y)dy .∂P

∂y(x , y) = 3(x2 + y 2) =

∂Q

∂x(x , y) : ω est fermée.




Propriétés

Le théorème de Schwarz dit qu’une forme différentielle exacte estfermée.Pour la réciproque :

Pour (x , y) ∈ R2 − {(0, 0}, on pose ω(x , y) = xdy − ydxx2 + y 2

(”fonction angle”).ω est fermée sans être exacte.

Poincaré dit qu’il faut se placer sur un ouvert étoilé.X est un ouvert étoilé par rapport à A si ∀M ∈ X , [AM] ⊂ X .R2 − {(0, 0)} est non étoilé.



Arcs orientés, courbes orientées

Arcs orientés, courbes orientées

On appelle arc orienté, une application de [a, b] ⊂ R dans R3 C1par morceaux :

ϕ : t 7−→(x(t), y(t), z(t)

)La classe d’équivalence d’un arc orienté est appelée courbeorientée.ϕ est un paramétrage de la courbe.ϕ(a) est l’origine.ϕ(b) est l’extrémité.



Équations paramétriques et cartésiennes


Une courbe plane peut être représentée par :

la donnée de lois définissant abscisse et ordonnée (équationsparamétriques).

une équation cartésienne y = f (x).

une équation implicite F (x , y) = 0.−−→OM = x(t)ı→+ y(t)→. t=temps−→V = x ′(t)ı→+ y ′(t)→=vitesse.Où le vecteur dérivé est non nul, on a une tangente de vecteurdirecteur

−→V .




On peut avoir des symétries, des périodicités :

Si M(t) = M(t ′) : on parcourt deux fois la courbe.

Si x(t) = x(t ′) et y(t) = −y(t ′) : on a une symétrie parrapport à l’axe des abscisses.

Si x(t) = −x(t ′) et y(t) = y(t ′) : on a une symétrie parrapport à l’axe des ordonnées.

Si x(t) = −x(t ′) et y(t) = −y(t ′) : on a une symétrie parrapport à l’origine.

Droite, segment de droite : x(t) = a + ct, y(t) = b + dtCercle : x(t) = a + R cos t, y(t) = b + R sin t avec t dans

[0, 2π[.Ellipse : x(t) = a cos t, y(t) = b sin t avec t dans [0, 2π[.

Exercice : x(t) =2

1 + t2, y(t) =

2t

1 + t2.



Longueur d’un arc de courbe


Si A et B sont les points correspondant aux paramètres a et b, onparle de l’arc paramétré AB.

La longueur de l’arc vaut

∫ ba

√x ′(t)2 + y ′(t)2dt.

Exemple 1 : Calcul de la longueur d’un arc de cyclöıde.

x = R(t − sin t) et y = R(1− cos t) avec t ∈ [0, 2π].

L =∫ 2π

0

R

√(1− cos t)2 + sin2 tdt =

∫ 2π0

R√

2− 2 cos t dt

=

∫ 2π0

2R sint

2dt =

[4R(− cos t

2

)]2π0

= 8R.




Exemple 2 : Calcul de la longueur de l’arc de parabole d’équationy 2 = 2x entre les points (0, 0) et (2, 2).

On paramètre la parabole : y = t, x =t2

2.∫ 2

0

√t2 + 1dt =

∫ argsh20

ch2u du. en posant t = shu.

=1

2

∫ argsh20

(1 + ch(2u)

)du =

1

4

[2u + sh(2u)

]argsh20

4! : Il ne faut parcourir la courbe qu’une seule fois si l’on veuttrouver sa vraie longueur géométrique.



Équations cartésiennes dans le plan

Équations cartésiennes dans le plan

Droite, segment de droite : ax + by + c = 0.Un vecteur normal est −→n = aı→+ b→.Cercle : (x − a)2 + (y − b)2 = R2.

Ellipse :x2

a2+

y 2

b2= 1 (équation réduite)

a est la distance de l’axe sur l’axe des abscisses

x2 + 4y 2 − 2x − 16y + 13 = 0

Hyperbole :x2

a2− y

2

b2= 1 (équation réduite).

2a est la distance entre les 2 sommets et une y = ba

x est l’équation d’une

asymptote

(Lorsqu’une lampe munie d’un abat-jour est placée non loin d’un mur vertical, la courbe qui délimite, sur le

mur, la zone éclairée et la zone ombragée est un arc d’hyperbole.)



Équations cartésiennes dans l’espace


Plan : ax + by + cz + d = 0.Un vecteur normal est −→n = aı→+ b→+ ck→.

Formule ”intéressante” :Si A n’est pas un point du plan ax + by + cz + d = 0 :

d(A,P) = |axA + byA + czA + d |√a2 + b2 + c2

.




Exemples d’équations d’un plan déterminé par :

sa normale −→n = (a, b, c) et un point A :M est dans le plan ssi −→n .−−→AM = 0.

un point A et deux vecteurs u et v :

équation paramétrique :

x = xA + λxu + µxvy = yA + λyu + µyvz = zA + λzu + µzv

équation cartésienne :

M est dans le plan ssi det(−−→AM , u, v) = 0.




Déterminants d’une matrice de taille 3

Méthode de Sarrus (utilisable seulement en taille 2 et 3) :∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = aei + dhc + gbf − gec − ahf − dbiUtilisation du caractère multilinéaire :En développant par rapport à la i ème ligne,

Si A = (aij )ij alors det A =n∑

i=1

(−1)i+j aij Aij




Exemple :∣∣∣∣∣∣−2 2 −3−1 1 3

2 0 −1

∣∣∣∣∣∣ = 18.On peut optimiser grâce au pivot de Gauss :∣∣∣∣∣∣−2 2 −3−1 1 3

2 0 −1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

0 2 −30 1 32 0 −1

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣

0 3 00 1 32 0 −1

∣∣∣∣∣∣




Quadriques

ellipsöıde :x2

a2+

y 2

b2+

z2

c2= 1 (équation réduite).




cylindre circulaire (d’axe Oz) : x2 + y 2 = R2.

cylindre elliptique (d’axe Oz) :x2

a2+

y 2

b2= 1.

cylindre parabolique (d’axe Oz) : y 2 = 2px .




hyperbolöıde à 1 nappe :x2

a2+

y 2

b2− z

2

c2= 1.

C’est la réunion de droites reliant 2 points se déplaçant àvitesse constante sur 2 cercles parallèles.




parabolöıde hyperbolique : z =x2

a2− y

2

b2.

C’est la réunion de droites reliant 2 points se déplaçant àvitesse constante sur 2 droites non coplanaire.



Intégrales curvilignes

Définition

Soient ω une forme différentielle et γ = ([a, b], f ) un arcparamétré. L’intégrale curviligne de ω suivant γ vaut :∫

γω =

∫ baω(f (t)

)(f ′(t)

)dt

Lorsque le champ vectoriel représente un champ de force, on parlede travail.




Propriétés

Cette définition est intrinsèque (ne dépend pas duparamétrage).

Si on change l’orientation de la courbe, l’intégrale curvilignechange de signe.

On a la relation de Chasles :

Si C est un point de la courbe,

∫_

ABω =

∫_

ACω +

∫_

CBω.




Calcul 1

∫γ

(xy dx + (x + y)dy

)où γ est l’arc de parabole d’équation

y = x2 pour x variant de −1 à 2.∫ 2−1

(x3dx + (x + x2)2x dx

)=

69

4.




Calcul 2

∫γ

((2x − y)dx + (x + y)dy

)où γ est le cercle de rayon R et

centré en (0, 0) décrit complètement dans le sens direct à partir dupoint (R, 0).∫ 2π

0

((2R cos θ − R sin θ)(−R sin θ) + (R cos θ +

R sin θ)(R cos θ))

dθ = 2πR2.




Cas d’une forme différentielle exacte

Soit γ un arc orienté d’origine A et d’extrémité B.Si ω = df alors ∫

γω =

[f]B

A= f (B)− f (A)

Autrement dit, l’intégrale ne dépend pas de la courbe mais nedépend que des extrémités de la courbe.

On écrit aussi :∫γ

df =

∫∂γ

f où ∂γ désigne le bord de γ




Exemple :∫OA

((x + y)(dx + dy)

)où A = (2, 0).

La forme est exacte(

(x + y)(dx + dy) =1

2d(x2 + y 2)

):∫

OA

((x + y)(dx + dy)

)=[1

2(x2 + y 2)

](2,0)(0,0)

= −2.




Cas d’un arc orienté fermé

Si ω = df et γ est fermé(A = B

), alors :∫

γω = f (B)− f (A) = 0

Important : La réciproque permet de démontrer qu’une forme n’estpas exacte :

ω =x dy − y dx

x2 + y 2sur R2 − {(0, 0)}.

Si γ est un cercle contenant (0, 0) à son intérieur,∫γω = 2π 6= 0.γ étant fermé, ω ne peut pas être exacte.



Circulation d’un champ de vecteurs

Définition

Soient−→A un champ de vecteur et γ un chemin délimité par 2

points M1 et M2.La circulation de

−→A entre M1 et M2 est l’intégrale curviligne le

long de_

M1M2 :

C _M1M2

=

∫ M2M1

−→A .−−→dM

La circulation mesure la ”façon dont le champ tourne en rond”!




Propriétés

Elles sont analogues à celles de l’intégrale curviligne. Entre autres :

Cette définition est intrinsèque (ne dépend pas duparamétrage).

Si le champ de vecteurs dérive d’un gradient, la circulation nedépend que des extrémités du chemin (et non du cheminchoisi).




Exemple 1

Soient A = (1, 1).Circulation du champ F (x , y) = (x2, xy) le long de la courbefermée C constituée du segment [AO] et de l’arc de paraboley = x2 du point O au point A :∫

C

F =

∫[AO]

F +

∫_OA

F .

[A0] : x = y = t avec t : 1 −→ 0 ; dx = dy = dt

D’où :

∫[AO]

F =

∫ 01

(t2 + t2)dt = −23

.

_OA : x = t, y = t2, dx = dt, dy = 2t dt.

D’où :

∫_OA

F =

∫ 10

(t2 + t3 × 2t)dt = 13

+2

5=

11

15.

Conclusion :

∫C

F = −23

+11

15=

1

15




Exemple 2

Circulation du champ G (x , y) =(− y

x2 + y 2,

x

x2 + y 2

)le long du

cercle de centre O et de rayon 3, du point (3, 0) au point(3√

3/2, 3/2) :

L’équation paramétrique de l’arc de cercle C est :

x = 3 cos θ, y = 3 sin θ avec 0 ≤ θ ≤ π6

.

dx = −3 sin θ dθ et dy = 3 cos θ dθ.Si M est un point de l’arc : G (M) =

(−3 sin θ9

,3 cos θ

9

).∫

C

G =

∫ π6

0

(sin2 θ + cos2 θ)dθ =π

6.




Formule

Soit D un domaine du plan délimité par une courbe fermée C.L’aire du domaine D vaut :

A(D) = −∫C

y dx =

∫C

x dy =1

2

∫C

(x dy − y dx)




Exemple

Aire d’une ellipsex2

a2+

y 2

b2= 1 :

∫ a−a

b

√1− x

2

a2dx = ab

∫ π0

sin2 tdt = abπ

2.




Calcul de certains volumes

Un volume de hauteur H dont la section avec un plan z = h apour aire S(h), vaut : ∫ H

0S(h)dh




Le volume obtenu par révolution d’une courbe d’équationy = f (x) autour de l’axe des abscisses vaut

π

∫ xmaxxmin

y 2dx (formule de Leibniz)

Exemple 1 : volume de la sphère :solide engendré par la rotation de la courbe d’équation

y =√

R2 − x2.

V = π∫ R−R

(√R2 − x2

)2dx =

4

3πR3.




Exemple 2 : volume d’une flûte de champagne :solide engendré par la rotation de la parabole d’équationx = 2y 2 pour y compris entre 0 et 52 .

V = π∫ 25

2

0

(√x2

)2dx = π

625

16(un peu plus d’un décilitre).



Centre d’inertie

Formule

Le centre d’inertie (ou centre de masse) d’un arc de courberectiligne (régulier par morceaux) muni de la fonction de masseliné̈ıque m, est le point G défini par :

−−→OG =

1

m

∫γ

m(−→M )−−→OM ds

Si le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme surtoute la longueur, alors on a équivalence entre centre d’inertie etcentre de gravité.



Centre d’inertie

Exemple

Centre d’inertie d’un fil de longueur l :

Si le fil est homogène, m(−→M ) = λ et m = λl ;

−−→OG =

1

λl

∫ l0

λ x dx =l

2.



Moment d’inertie

Moment d’inertie par rapport à une droite

Le moment d’inertie quantifie la résistance à une mise en rotation.Le moment d’inertie est toujours positif ou nul.Le moment d’inertie d’un fil F par rapport à une droite ∆ est :

I∆ =

∫M∈F

MH2dm

où H est la projection orthogonale de M sur la droite



Moment d’inertie

Exemples

Exemple 1 : On prend ∆ et le fil suivant l’axe Oz , de longueur L :

M se projète en lui-même donc HM = 0 :

I∆ = 0.

Exemple 2 : On prend ∆ médiatrice du fil (le fil est de longueur L) :

∆ et le fil se coupent en O et OM = x :

I∆ =

∫ L2

− L2x2

m

Ldx =

mL2

12.



Moment d’inertie

Courbe tracée sur le graphe d’une fonction

f désigne une application C1 d’un ouvert U de R2 dans R.γ est une courbe tracée sur le graphe de f s’il existe une courbeparamétrée α de I ⊂ R dans R2 telle que :

∀t ∈ I , γ(t) = f(α(t)

)Exemple : Sur la sphère unité, la trace d’un plan est un cercle.



Moment d’inertie

Un vecteur tangent à γ est dans la direction du plan tangent à lasurface.



Moment d’inertie

Plan tangent à une surface paramétrée



Moment d’inertie

Plan tangent à une surface de niveau

F désigne une application C1 d’un ouvert U de R3 dans R.S désigne la surface d’équation F (x , y , z) = 0.M0 est un point singulier de la surface S si grad(F )(M0) =

−→0 .

Théorème : S admet un plan tangent en tout point non singulier.Le plan tangent P est le plan passant par ce point M0 et estnormal à grad(F )(M0) =

−→0 .

L’équation cartésienne se calcule en écrivant :

M ∈ P ⇐⇒−−−→M0M.grad(F )(M0) = 0



Moment d’inertie

Plan tangent au graphe d’une fonction

f désigne une application C1 d’un ouvert U de R2 dans R.z = f (x , y) peut s’écrire : z − f (x , y) = 0.



Moment d’inertie

Extremum local



Moment d’inertie

Intégrales doubles

Soit f une fonction de deux variables, définie et continue sur undomaine D (limité par une courbe fermée C ) du plan.On appelle a et b (resp. c et d) sont les abscisses (resp.ordonnées) extrêmes de la courbe C .(a = x1 < x2 < · · · < xn+1 = b et c = y1 < y2 < · · · < yp+1 = d).∆xi = xi+1 − xi et ∆yi = yi+1 − yi .

n∑i=1

p∑j=1

f (xi , yj )∆xi ∆yj tend vers

∫∫D

f (x , y)dx dy .



Moment d’inertie

Propriétés

∫∫D

dx dy représente l’aire du domaine D.∫∫D

f (x , y)dx dy représente le volume délimité par

la surface S d’équation z = f (x , y)et sa projection D sur le plan Oxy :



Moment d’inertie

linéarité :

∫∫D

(λf + g) = λ

∫∫Df +

∫∫Dg .

monotonie :

Si f ≤ g alors∫∫

D

f ≤∫∫

D

g .

Si D1 ⊂ D2 alors∫∫

D1

f ≤∫∫

D2

f .

Relation de Chasles :∫∫D1∪D2

f =

∫∫D1

f +

∫∫D2

f −∫∫

D1∩D2f



Moment d’inertie

symétrie (si D1 et D2 sont symétriques) :∫∫D1∪D2

f (x , y)dx dy = 2

∫∫D1

f (x , y)dx dy

∫∫D

(x2 − y 2)dx dy où D ={

(x , y) ∈ R2/x2

a2+

y 2

b2≤ 1}

.

Ce domaine présente des symétries :∫∫D

(x2 − y 2)dx dy = 4∫∫

D1

(x2 − y 2)dx dy

où D1 ={

(x , y) ∈ R2/x2

a2+

y 2

b2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

}.



Moment d’inertie

Calcul sur un pavé

Exemple : I1 =

∫∫[1,2]×[0,1]

xy

x2 + y 2dx dy :

I1 =

∫ 21

∫ 10

xy dy

x2 + y 2dx =

1

2

∫ 21

x[ln(x2 + y 2)

]10dx

=1

2

∫ 21

x ln(x2 + 1

x2

)dx =

1

4

∫ 41

ln( t + 1

t

)dt

=1

4

[(t + 1)ln(t + 1)− (t + 1)− tlnt + t

]41

=5

4ln(5

4

).



Moment d’inertie

Calcul sur un pavé (cas particulier)

Corollaire du théorème de FubiniSi D est un rectangle [a, b]× [c, d ] et si f (x , y) est le produit dedeux fonctions intégrables (l’une de x et l’autre de y) :∫∫

Df (x , y)dx dy =

∫∫D

f1(x)f2(y)dx dy =

∫ ba

f1(x)dx

∫ dc

f2(y)dy

Exemple :

I2 =

∫∫[0,1]×[−1,1]

xy 2dx dy =(∫ 1

0x dx

)(∫ 1−1

y 2 dy)

=1

3.



Moment d’inertie

Domaines simples

Un domaine est dit domaine simple si une de ses bornes estperpendiculaire à un des deux axes :{

(x , y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}

Domaine simple orthogonal à l’axe des abscisses :

{(x , y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d , x1(y) ≤ x ≤ x2(y)

}Valérie Collet Généralités sur les surfaces 73/130


Moment d’inertie

Théorème de Fubini

Pour toute fonction f , continue sur un domaine simple Dorthogonal à l’axe des abscisses :∫∫

Df (x , y)dx dy =

∫ ba

(∫ y2(x)y1(x)

f (x , y)dy)

dx

Si le domaine simple est orthogonal à l’axe des ordonnées :∫∫D

f (x , y)dx dy =

∫ dc

(∫ x2(y)x1(y)

f (x , y)dx)

dy



Moment d’inertie

Exemple

I =

∫∫D

(x + y)dx dy où D ={

(x , y) ∈ R2/x > 0, y < 1, y > x2}

.

Ce domaine est perpendiculaire à x :

I =

∫ 10

(∫ 1x2

(x + y)dy)

dx

=

∫ 10

[xy +

y 2

2

]1x2

dx

=

∫ 10

(x +

1

2− x3 − x

4

2

)dx

=13

20



Moment d’inertie

Ce domaine est également perpendiculaire à y :

I =

∫ 10

(∫ √y0

(x + y)dx)

dy

=

∫ 10

[x22

+ yx]√y

0dy

=

∫ 10

(y2

+ y√

y)

dy

=[y 2

4+

y52

52

]10

=1

4+

2

5=

13

20



Moment d’inertie

Changement de variables

On prend ϕ : U ⊂ R2 −→ R2(u, v) 7−→ (x , y)

un C1 difféomorphisme.∫∫D

f ◦ ϕ(u, v)∣∣∆ϕ(u, v)∣∣du dv = ∫∫

ϕ(A)f (x , y)dx dy

où ∆ϕ est le jacobien de ϕ.



Moment d’inertie

Coordonnées polaires

Si l’on pose x = r cos θ et y = r sin θ, ∆ϕ = r ,on admet que :∫∫

Af (r cos θ, r sin θ)r dr dθ =

∫∫ϕ(A)

f (x , y)dx dy

Exemple 1 : I1 =

∫∫D

dx dy√x2 + y 2 + 1

où D est le disque unité.

I1 =

∫ 10

∫ 2π0

r dr dθ√r 2 + 1

=[√

t2 + 1]1

0

[θ]2π

0= 2π(

√2− 1)



Moment d’inertie

Exemple 2 : I2 =

∫∫D

(x2 + y 2)dx dy où

D ={

(x , y) ∈ R2/x > 0, x2 + y 2 − 2y < 0}

. En posant, x = r cos θ ety = r sin θ :

θ va de 0 àπ

2. r 2 < 2r sin θ donc r < 2 sin θ

I2 =

∫∫E

r 2r dr dθ =

∫ π2

0

∫ 2 sin θ0

r 3dr dθ = 4

∫ π2

0

sin4 θdθ =3π

4.



Moment d’inertie

Coordonnées elliptiques

Si l’on pose x = ar cos θ et y = br sin θ (avec a, b 6= 0), ∆ϕ = abr .Soit D =

{(x , y) ∈ R2/x

2

a2+

y 2

b2≤ 1}

.∫∫D

(x2 − y 2)dx dy =∫ 1

0

∫ 2π0

(a2r 2 cos2 θ − b2r 2 sin2 θ)abr dr dθ

=ab

4

∫ 2π0

(a2 cos2 θ − b2 sin2 θ)dθ = πab4

(a2 − b2).



Moment d’inertie

Un cas général

I1 =

∫∫D

dx dy

(1 + x)(1 + xy 2)où D =

{(x , y) ∈ R2/0 < x < 1, 0 < y < 1

}avec le changement de variables x = u2 et y =

v

u.

Nouvel élément de surface :

J =

∣∣∣∣ 2u 0− vu2 1u∣∣∣∣ = 2 donc dx dy = 2du dv.



Moment d’inertie

Nouveau domaine

Comme 0 < x < 1, x = u2 et ”changement=bijection”, on a0 < u < 1

Comme 0 < y < 1, y =v

uet que u > 0, on a 0 < v < u

Donc E ={

(u, v) ∈ R2/0 < u < 1, 0 < v < u}

.

Calcul :

I1 =

∫∫E

2du dv

(1 + u2)(1 + v 2)= 2

∫ 10

∫ u0

dv

(1 + u2)(1 + v 2)du

= 2

∫ 10

arctan u

1 + u2du =

[(arctan u)2

]10

=π2

16.



Moment d’inertie

Un autre cas

I2 =

∫∫D

y

xdx dy où D =

{(x , y) ∈ R2/x < y < 2x , x < y 2 < 2x

}avec le changement de variables u =

x

yet v =

y 2

x.

Nouvel élément de surface :

J =

∣∣∣∣∣ 1y − xy2− y2x2 2yx∣∣∣∣∣ = 1x donc 1x dx dy = du dv.



Moment d’inertie

Nouveau domaine

Comme 2x > y 2, x > 0 et comme x < y, y > 0.

Comme x < y < 2x,x

y< 1 et

x

y>

1

2.

Comme x < y 2 < 2x, 1 <y 2

x< 2.

Donc E =

{(u, v) ∈ R2/1

2< u < 1, 1 < v < 2

}.

Calcul :

I2 =

∫∫E

uv du dv =[u2

2

]112

[v 22

]21

=3

8

3

2=

9

16.



Moment d’inertie

Élément de surface

Soit F : D ⊂ R2 −→ R3 une application C1.Soit S = {F (u, v)/(u, v) ∈ D} la surface paramétrée par F .Soient M = F (u, v) et M0 = F (u0, v0) deux points de cettesurface.On appelle C1 (resp. C2) la courbe tracée sur S en fixant v = v0(resp. u = u0).



Moment d’inertie

∂F

∂u(u0, v0)

(∂F∂u

(u0, v0))

dirige la tangente à C1 (à C2) en M0.

M0, F (u0, v) et F (u, v0) et M est un petit morceau de la surface S .Si ∆u = u − u0 et ∆v = v − v0 sont ”petits”, ce petit morceau de surfacepeut être assimilé à un parallélogramme de sommet M0 et de côtés

∆u∂F

∂u(u0, v0) et ∆v

∂F

∂v(u0, v0).

L’élément de surface de S est :

dS =∂F

∂u(u0, v0) ∧

∂F

∂v(u0, v0) du dv

Le vecteur élément de surface, d−→S associé à un élément de

surface d’aire dS est défini par :

d−→S = dS .−→n



Moment d’inertie

Exemple 1

Élément de surface sur un cylindre de révolution

Un cylindre de révolution de rayon r est représenté par :F : [0, 2π]× R −→ R3

(θ, z) 7−→ (r cos θ, r sin θ, z)∂F

∂θ(θ0, z0) = (−r sin θ0, r cos θ0, 0) et

∂F

∂z(θ0, z0) = (0, 0, 1).

D’où : dS =∂F

∂θ(θ0, z0) ∧

∂F

∂z(θ0, z0) dθ dz = r dθ dz.



Moment d’inertie

Exemple 2

Élément de surface sur une sphère :

Une sphère de rayon r est représentée par :F : [0, 2π]× [−π

2, π

2] −→ R3

(θ, ϕ) 7−→ (r cos θ sinϕ, r sin θ sinϕ, r cosϕ)θ ∈ [0, 2π] (longitude, azimuth) et ϕ ∈ [0, π] (colatitude)∂F

∂θ(θ0, ϕ0) = (−r sin θ0 sinϕ0, r cos θ0 sinϕ0, 0) et

∂F

∂ϕ(θ0, ϕ0) = (r cos θ0 cosϕ0, r sin θ0 cosϕ0,−r sinϕ0).

D’où :∂F

∂θ(θ0, ϕ0) ∧

∂F

∂ϕ(θ0, ϕ0)

2 = r 4 sin2 ϕ0

dS = r 2 sinϕ0 dθ dϕ



Moment d’inertie

Intégrale de surface

Soit F : D ⊂ R2 −→ R3 une application C1 (nappe paramétrée).Soit f : D ⊂ R2 −→ R une application C1.On appelle intégrale de surface de f sur S , l’intégrale :∫∫

Sf (m) dS =

∫∫S

f (u, v)∂F

∂u(u, v) ∧ ∂F

∂v(u, v) du dv

L’intégrale de surface ne dépend pas de la représentationparamétrique.



Moment d’inertie

Exemple 1

I1 =

∫∫S

x dS où S est la surface d’équation :

x = uy = vz = u2 + v

pour (u, v) ∈ [0, 1]× [−1, 1]

∂F

∂u(u, v) ∧ ∂F

∂v(u, v) =

102u

∧ 01

1

= −2u−1

1

I1

=

∫ 10

∫ 1−1

u√

4u2 + 2 du dv =[v]1−1

[ 112

(4u2 + 2)32

]10

=1

66

32 − 1

62

32 =√

6−√

2

3.



Moment d’inertie

Exemple 2

I2 =

∫∫S

x2y 2z dS où S ={

(x , y , z)/x2 + y 2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1}

:

S est représentée par : F : [0, 2π]× [0, 1] −→ R3(θ, v) 7−→ (v cos θ, v sin θ, v)

∂F

∂θ=

−v sin θv cos θ0

, ∂F∂v

=

cos θsin θ1

, ∂F∂θ∧ ∂F∂v

=

v cos θv sin θ−v

d’où

∂F

∂θ∧ ∂F∂v

= v√

2.

et : I2 =

∫∫[0,2π]×[0,1]

v 2 cos2 θ v 2 sin2 θ v v√

2 du dv

=√

2

∫ 10

∫ 2π0

v 6 cos2 θ sin2 θ dθ dv

=

√2

7

∫ 2π0

1

4sin2(2θ) dθ =

√2

28

∫ 2π0

1− cos(2θ)2

dθ

=

√2

56

[θ − sin(2θ)

2

]2π0

=π√

2

28.



Moment d’inertie

Aire d’un morceau de surface paramétrée

Si S est une surface de représentation paramétriqueF : D ⊂ R2 −→ R3, l’aire de S vaut :

A(S) =∫∫

DdS(

=

∫∫D

∂F

∂u∧ ∂F∂v

du dv)

Exemple : aire d’une sphère

Une sphère de rayon r est représenté par :F : (θ, ϕ) 7−→ (r cos θ sinϕ, r sin θ sinϕ, r cosϕ)∫∫

D

dS =

∫ 2π0

∫ π0

r 2 sinϕdθ dϕ = r 2[θ]2π0 [− cosϕ]π0 = 4πr 2



Moment d’inertie

Exercice

Sur une sphère de rayon R, on trace un cercle de centre le pôleNord de rayon r (mesuré sur la sphère).Calcul de l’aire du disque D délimité par ce cercle :

F : [0, 2π]× [0, rR ] −→ R3

(θ, ϕ) 7−→ (R cos θ sinϕ,R sin θ sinϕ,R cosϕ)

A(D) =∫∫

C

dS =

∫ 2π0

∫ rR

0

R2 sinϕdθ dϕ

= R2[θ]2π0 [− cosϕ]rR0

= 2πR2(

1− cos rR

).



Moment d’inertie

Aire d’un morceau de surface ”cartésienne”

Si S est définie par une équation cartésienne z = ϕ(x , y) avec ϕ C1, unereprésentation paramétrique est : F : (u, v) 7−→

(u, v , ϕ(u, v)

).

∂F

∂u∧ ∂F∂v

=

10∂ϕ∂u

∧ 01

∂ϕ∂v

= −∂ϕ∂u−∂ϕ∂v

1

.∫∫

D

∂F

∂u∧ ∂F∂v

du dv =

∫∫D

√(∂ϕ∂u

)2+(∂ϕ∂v

)2+ 1 du dv

L’aire de S (d’équation cartésienne z = ϕ(x , y)) vaut donc :∫∫D

√1 +

(∂ϕ∂x

)2+(∂ϕ∂y

)2dx dy



Moment d’inertie

Exemple

Calcul de l’aire de la portion de surface d’équation z = xy seprojetant sur le plan xOy suivant le disque D de centre 0 et derayon 1.

ϕ(x , y) = xy :

A(S) =∫∫

D

dS =

∫∫D

√1 + y 2 + x2 dx dy

=

∫ 10

∫ π−π

√1 + r 2 r dr dθ

=2π

3(2√

2− 1)

Heureusement : A(S) =∫∫

D

√1 + x2 + y 2 dx dy ≥

∫∫D

dx dy = A(D) !



Moment d’inertie

Flux

Le flux du champ de vecteur−→V à travers une surface S orientée

est :

φ =

∫∫S

−→V .d−→S

Cela correspond à la ”quantité intégrée” du champ (“débit de fluide”) traversant

la surface dans le sens de −→n .



Moment d’inertie

Exemple 1

Flux de−→V : (x , y , z) ∈ R3 7−→ (y , x , x + y)

à travers le triangle {(x , y , 0)/x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 2} :S est représentée par : F : (u, v) 7−→ (u, v , 0).x , y ≥ 0 donc u = x ≥ 0 et v = y ≥ 0. x + 2y − 2 ≤ 0 donc2y ≤ 2− x ≤ 2 donc v ≤ 1. Donc v ∈ [0, 1] et u ∈ [0, 2− 2v ].∂F

∂u∧ ∂F∂v

= 1, −→n = k→ et −→V · −→n = x + y.

φ =

∫ 10

∫ 2−2v0

(u + v)du dv

=

∫ 10

[u22

+ vu]2−2v

0dv

=

∫ 10

(2− 2v)dv = 1.



Moment d’inertie

Exemple 2

Flux de−→V : (x , y , z) ∈ R3 7−→ (y , x , x + y) à travers

{(x , y , z)/x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + 2y + z ≤ 2} :S est représentée par : F : (u, v) 7−→ (u, v , 2− u − 2v).x , y ≥ 0 donc u = x ≥ 0 et v = y ≥ 0.x + 2y − 2 ≤ 0 donc 2y ≤ 2− x ≤ 2.Donc v ∈ [0, 1] et u ∈ [0, 2− 2v ].∂F

∂u∧ ∂F∂v

=√

1 + 4 + 1.

Enfin, −→n est de direction : ∂F∂u∧ ∂F∂v

donc −→n = 1√6

(1, 2, 1).

φ =

∫ 10

∫ 2−2v0

(3u + 2v)du dv=8

3.



Moment d’inertie

Exemple 3

Flux de−→V : (x , y , z) ∈ R3 7−→ (y , x , z) à travers la demi-sphère

supérieure de rayon 1 :

S est représentée pour (θ, ϕ) ∈ D = [−π, π]×[0,π

2

]par

F : (θ, ϕ) 7−→ (cos θ sinϕ, sin θ sinϕ, cosϕ)On a déjà vu que dS = r 2 sinϕ dθdϕ.

Comme −→n = (cos θ sinϕ, sin θ sinϕ, cosϕ),−→V .−→n = 2 cos θ sin θ sin2 ϕ+ cos2 ϕ.

φ =

∫∫D

(sin(2θ) sin2 ϕ+ cos2 ϕ

)sinϕ dθdϕ

=

∫ π−π

sin(2θ)dθ

∫ π2

0

sin3 ϕdϕ+ 2π

∫ π2

0

cos2 ϕ sinϕdϕ = · · · = 2π3

.



Moment d’inertie

Formule de Green-Riemann

Soit D un compact de R2 limité par une courbe fermée C de classeC1 et orientée dans le sens direct.Soient P,Q : U ⊂ R2 −→ R de classe C1 sur un ouvert Ucontenant D.

∮C

P(x , y)dx + Q(x , y)dy =

∫∫D

(∂Q∂x

(x , y)− ∂P∂y

(x , y))

dx dy



Moment d’inertie

Exemple 1

Soit D ={

(x , y) ∈ R2/x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 < 1}

.On appelle C le bord de D orienté dans le sens direct.

Calcul de I1 =

∮C

2dx + (x + y 2)dy :

On pose P(x , y) = 2 et Q(x , y) = x + y 2.La formule de Green-Riemann donne :

I1 =

∫∫D

(1− 0

)dx dy

= A(D) = π4



Moment d’inertie

Exemple 2

Soit D ={

(x , y) ∈ R2/x2

4+

y 2

16< 1}

.

On appelle C le bord de D orienté dans le sens direct.

Calcul de I2 =

∮C

(y + y 2)dx + 2x2dy :

On pose P(x , y) = y + y 2 et Q(x , y) = 2x2.La formule de Green-Riemann donne :

I2 =

∫∫D

(4x − 1− 2y

)dx dy

En posant x = 2r cos θ et y = 4r sin θ :

I2 =

∫ 10

∫ 2π0

(8r cos θ − 1− 8r sin θ)8r dr dθ

=

∫ 10

∫ 2π0

64r 2 cos θ dr dθ − 2π[4r 2]1

0−∫ 1

0

∫ 2π0

64r 2 sin θ dr dθ

=64

3

[sin(θ)

]2π0− 8π + 64

3

[− cos θ

]2π0

= −8π.



Moment d’inertie

Théorème de Stokes

Soit S une surface orientée de bord orienté ∂S .Soit−→V un champ vectoriel C1 sur un ouvert de R3 contenant S .∫

∂S

−→V (m).d−→m =

∫∫S

rot−→V (m) · d−→S

“La circulation le long du bord ∂S est égale au flux du rotationnel à

travers S .”



Moment d’inertie

Exemple 1

Circulation de−→V : (x , y , z) 7−→ (2x + yz , xz , xy) le long du cercle

unité C parcouru une fois dans le sens direct :

rot(−→V ) = (x − x , y − y , z − z) = −→0 donc :∫

C

−→V (m).d−→m =

∫∫D

rot(−→V )(m).d

−→S = 0.



Moment d’inertie

Exemple 2

Circulation de−→V : (x , y , z) 7−→ (−y , x , 0) le long d’un contour D

d’une surface S :

On a rot(−→V ) = (0, 0, 2) et −→n = (0, 0, 1).∫

D

−→V (m).d−→m =

∫D

(−y dx + x dy).∫∫S

rot−→V (m) · d−→S =

∫∫S

2dS.

On retrouve :

A(S) =∫∫

S

dS =1

2

∫D

(x dy − y dx)



Moment d’inertie

Masse

Soit D une plaque plane de R2.Soit σ : D −→ R+ une application continue (densité superficielle).La masse de la plaque est :

µ =

∫∫Dσ(m)dx dy

Exemple : Masse d’un disque de centre 0, de rayon R avec une

densité inhomogène σ : m 7−→ Om2

R2:

µ =

∫∫D

x2 + y 2

R2dx dy =

∫ 2π0

∫ R0

r 2

R2r dr dθ

=2π

R2

∫ R0

r 3dr =πR2

2.



Moment d’inertie

Centre d’inertie

Soit D une plaque plane de R2.Le centre d’inertie est le point G défini par :

−→OG =

1

µ

∫∫Dσ(m)

−−→OMdx dy

Dans le cas d’un système matériel homogène, G est appelé centrede gravité



Moment d’inertie

Exercice

Déterminer la masse et le centre d’inertie de la plaque homogènelimitée par la cardiöıde d’équation : r = 1 + cos θ

µ =

∫∫D

σ dx dy = 2σ

∫ π0

∫ 1+cos θ0

r dr dθ

= σ

∫ π0

(1 + cos θ)2dθ

= σ[θ + 2 sin θ +

θ

2+

sin(2θ)

4

]π0

=3π

2σ.

xG = σ2

3πσ

∫∫D

x dx dy

=2

3π

∫ 2π0

∫ 1+cos θ0

r cos θ r dr dθ

=2

9π

∫ 2π0

(1 + cos θ)3 cos θ dθ = · · · = 56

.

yG = σ2

3πσ

∫∫D

y dx dy = · · · = 0



Moment d’inertie

Moment d’inertie

Soient D une plaque plane de R2 et H un point (ou droite) de R2.Le moment d’inertie est le réel IH défini par :

IH =

∫∫Dσ(m)

(d(m,H)

)2dx dy

Le moment d’inertie quantifie la résistance à une mise en rotationExemple : moment d’inertie d’un disque homogène de rayon R parrapport à son centre.

I0 = σ

∫∫D

(x2 + y 2)dx dy = σ

∫ R0

∫ 2π0

r 3dr dθ =πσR4

2.



Moment d’inertie

Exercice

Calculer le moment d’inertie d’un rectangle homogène de côté 2aet 2b par rapport à une diagonale.

H a pour équation y =b

ax donc d(M,H)2 =

|ay − bx |2

a2 + b2.

IH =

∫∫Dσ

(ay − bx)2

a2 + b2dx dy

=σ

a2 + b2

∫ a−a

∫ b−b

(ay − bx)2dx dy

=σ

a2 + b2

∫ a−a

[ (ay − bx)33a

]b−b

dx

=σb3

3a(a2 + b2)

∫ a−a

((a− x)3 + (a + x)3

)dx =

σb3

3a(a2 + b2)

[−(a− x)4 + (a + x)44

]a−a

=σb3

3a(a2 + b2)

16a4 + 16a4

4) =

8σa3b3

3(a2 + b2).


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