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Licence L3 mathématiques : UE "Projet" 3M101

Responsable :Marie POSTEL email : marie.postel@upmc.fr

Plan de l’exposéI Présentation de l’UE

I ContenuI DéroulementI Évaluation, notationI Répartition des projets

I Présentation des projets

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Contenu 1. UE 3M101 : projet

2nd semestre, 3ECTSParcours concernés :

I Bi-Disciplinaires majeure MathI Bi-Disciplinaires Intensifs Math-(EEA,Info,Méca,Physique)I Mono-Disciplinaire Math

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Contenu 2. Principes de base

I Thème mathématique proposé et encadré par unenseignant/chercheur

I Séances de travail avec un tuteurI Travail collectif et travail personnelI Partie significative de programmationI Langage ou logiciel à définir par l’encadrantI Support pour commencer le travail : bibliographie fournie

par le tuteur

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Contenu 3. Suivi de projet : acquisition de compétencesnouvelles

I Notions mathématiques (pédagogie inversée)I ProgrammationI Travail en groupeI Mise en forme des résultats

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Contenu 4. Travail individuel et en groupe

I Communication au sein du groupe et avec l’encadrantréactivité et gestion du courrier électronique

I Techniques de travail en groupe (répartition des tâches,mise en forme du travail effectué en vue de le partageravec le groupe, appropriation intelligente du travail descamarades)

I Prise de notes au cours d’une réunion de travail et restitutionsynthétique et rapide

I Travail de bibliographie sur un thème scientifique (plus loin queWikipedia...)

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Contenu 5. Communication

I Préparation systématique de présentations orales courteset informelles

I Mise en forme de documents scientifiques avec LaTeXI Mise en forme de présentations scientifiques avec

LaTeX/beamer

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Déroulement

I l’UE dure tout le second semestreI Nombre minimum de séances avec les étudiants : 5 + une

séance consacrée à la soutenance orale. Une répartitionde ces séances dans le semestre pourrait être

I Séance 1, semaine du 16 janvier : présentation du sujet etde la méthodologie

I Séance 2, avancementI Séance 3, avancement et consignes pour le rapport à

mi-parcours (à renvoyer la semaine du 13 mars)I Séance 4, avant les vacances de printemps (< 31 mars) :

débriefing du rapport à mi-parcours et avancementI Séance 5, après les vacances de printemps (>17 avril) :

avancement et consignes pour le rapport final et lasoutenance

I Séance 6, entre le 16 et le 19 mai : soutenances orales

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Évaluation

note 1e session 2e sessionSuivi de projet individuelle 20% conservéeRapport à mi parcours collective 20% conservéeRapport final collective(*) 30% 30%Soutenance individuelle 30% 30%

La note du rapport final peut devenir individuelle en secondesession si seulement une partie du groupe valide l’UE à lapremière session.Une UE à 3ECTS "traditionnelle" correspond à l’assimilation par unétudiant de 12h de cours et 18h de TD⇒ La quantité de travail raisonnable à fournir dans cette UE ≈une demi-journée par semaine.

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Répartition 1. Calendrier

I Entre le 14 décembre 2016 et le 12 janvier 2017 lesétudiants :

I candidatent sur au moins 3 projets par ordre de préférence,en groupes déjà constitués (de 2 ou 4 étudiants).

I indiquent les plages horaires où le groupe est disponibledans la semaine.

I 13 janvier 2017 : les étudiants sont affectés à un sujetLes encadrants recoivent la liste des étudiants de leursgroupes avec leurs disponibilités horaires.Les étudiants sont convoqués pour la première réunion.

I Semaine du 16 janvier 2017 : première rencontre desgroupes avec leurs tuteurs.

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Répartition 2. Contraintes horaires

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Répartition 3. Instructions pour les voeux des étudiants

1. Formez une équipe de 2 ou de 4 (les binômes serontregroupés par 2)

2. Identifiez au moins 3 sujets possibles3. Identifiez les créneaux horaires de disponibilité de l’équipe4. Inscrivez vous individuellement dans l’UE sur le site des

inscriptions pédagogiques5. Une fois inscrits pédagogiquement dans l’UE, vous

recevrez un "ticket" pour inscrire votre équipe sur uneinterface web qui gèrera la répartition des sujets

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Répartition 4. Responsable de l’UE "projet" 3M101

Marie Postelbureau : 15-25-313

marie.postel@upmc.fr

I Mentionnez ’3M101’ en début du titre de vos messagesI Je ne réponds pas aux emails en provenance d’adresses

I hotmailI 123.comI zz.comI pseudos farfelus en tout genre

I Dans le doute, utilisez votre adresse upmc :prenom.nom@etu.upmc.frhttp ://webmail.etu.upmc.fr/faq/

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UE 3M101 : projets proposés cette année

I Trafic routier : du modèle probabiliste discret au modèle déterministe continuI Fourier et les informateurs anonymesI CryptographieI Théorie des nombresI le jeu de PenneyI Modèles de swarmingI Table de billard, jeu de miroirs et modèle de gazI Polynômes de LegendreI Sommation de séries alternéesI Géométrie d’une moléculeI Compression de fichiersI Étude des fonctions de BesselI EDO et modèles de la biologie : modèles, théorie, simulationsI Contagion et consensusI Calcul du résultant de deux polynômesI Algorithmes d’étude des zéros réels de polynômes

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Trafic routier : du modèle probabiliste discret au modèledéterministe continu

Tutrice : Nina Aguillon (LJLL)DescriptifComment modéliser mathématiquement le comportement des voitures, sur une granderoute nationale toute droite (une seule voie, pas de sortie, pas d’entrée) ? Dans ceprojet on compare deux modèle simples. Dans le premier, on regarde la route de trèsloin, de sorte que les voitures peuvent être vues comme les particules d’un « fluide »qu’on décrit grâce à une équation aux dérivées partielles, l’équation deLighthill-Whitman-Richards (LWR). Ce modèle fait apparaître deux comportementsbien connus des conducteurs : le freinage brutal à l’entrée d’un bouchon, etl’accelération plus tranquille quand on en sort. Le second modèle est le modèleprobabiliste TASEP (totally assymetrical simple exclusion process). Les voitures sontmodélisées une par une. Chacune d’entre elles essaye d’avancer vers la droite selonun modèle exponentiel, mais n’y arrive évidemment que si la place est libre. Unthéorème de Herman Rost montre que quand on met de plus en plus de voitures, touten regardant la route de plus en plus loin, le modèle TASEP tend vers le modèle LWR.Les objectifs de ce projet sont les suivants :- comprendre le modèle LWR : pourquoi il se forme des bouchons, comment définir lasolution une fois le bouchon formé ;- comprendre le modèle TASEP.- faire des simulations numériques des deux modèles, et illustrer numériquement laconvergence du modèle TASEP vers le modèle LWR.

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Fourier et les informateurs anonymes

Tutrice : Nina Aguillon (LJLL)DescriptifLe but de ce projet est de coder (en python ou en matlab) un programme vous

permettant de modifier votre voix (la rendre plus aigue, plus grave, la bruiter, ?), ou de

mélanger la voix de deux personnes de votre groupe. L’outil mathématique derrière le

traitement du son est l’analyse de Fourier, puisqu’une onde sonore est une

superposition de sinusoïdales (pour une même note, c’est la répartition entre la

fréquence principale -la fondamentale- et les secondaires -les harmoniques- qui

distingue votre voix de celle du voisin, et un saxophone d’une guitare).

Numériquement, les signaux sont échantillonnés et on sait faire des transformées de

Fourier très efficacement avec la transformée de Fourier rapide. On peut ensuite jouer

avec, et faire la transformée inverse pour récupérer le son modifié. Ce projet est assez

exploratoire, puisqu’en plus de sa partie maths bien balisée (analyse de Fourier, FFT),

il y a toute une partie acquisition de données (enregistrer et traiter un fichier audio avec

matlab ou python) et traitement du son. Avis aux équipes débrouillardes !

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Théorie des nombresTuteur : Razvan Barbaud (IMJ)DescriptifPierre de Fermat a lancé un défi à John Pell : étant donné unentier d, trouver toutes les solutions entières de l’équation

x2 − dy2 = 1.

Pell n’a pas su la résoudre mais à popularisé l’équation enparlant à plusieurs mathématiciens et finalement la questionest arrivée à Friedrich Gauss qui a publié une solution. Dans lapremière partie du stage nous allons prouver qu’il existe unesolution (x0,y0), dite fondamentale, telle que l’ensemble dessolutions est

{(x , y)|(x +√

dy) = ±(x0 +√

dy0)n avec n ∈ Z}

Dans la deuxième partie nous alons utiliser python (plusprécisément sage) pour calculer une solution fondamentale(x0, y0).

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Cryptographie

Tuteur : Razvan Barbaud (IMJ)DescriptifLe système cryptologique RSA (inventé en 1978) demande uneclé secrète de O(s3) bits pour une sécurité s (un attaquant doitfaire 2s opérations pour casser). Les cryptologues ont inventéde meilleurs systèmes, comme le logarithme discret surcourbes elliptiques (ECDSA inventé en 1985) et le problème duplus court vecteur (NTRU inventé en 1996) qui requièrent unsecrèt de taille O(s). Dans la première partie du projet nousalons étudier l’algorithme de Lenstra-Lenstra-Lovasz qui, étantdonné un sous-groupe de Zn calcule une base réduite, et enparticulier un vecteur court. Dans la deuxième partie on vautiliser cet algorithme pour analyser le système NTRU.

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Jeu de Penney

Tuteur : Olivier Bardou (LPMA et Engie)Descriptifil s’agit d’un jeu de pile ou face proposé en 1969 par Walter Penney dans lequel deuxjoueurs lancent une pièce de monnaie autant de fois qu’il le faut pour obtenir desséquences de piles ou faces fixées à l’avance. On cherche par exemple à obtenir laséquence pile-face, notée PF, ou face-face, notée FF. La question est de savoir laquellea le plus de chances de se présenter en premier, et combien il est raisonnable deparier sur elle ?Bien que les pièces soient non truquées et les tirages indépendants, il s’avère que lejeu est non transitif et qu’un joueur qui parierait sur la séquence PPF a deux fois plusde chance de gagner qu’un joueur pariant sur la configuration PFP.L’étude de ce jeu peut se faire de différentes manières, en utilisant des résultats sur leschaînes de Markov ou bien provenant de la théorie des graphs. John Conway aégalement proposé un algorithme donnant le résultat des confrontations et dont il estpossible d’étudier la convergence.

Par ailleurs, le jeu a des extensions et des applications en théorie de la décision et en

biologie qui pourront faire l’objet d’approfondissement par les étudiants.

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Modèles de swarming

Tutrice : Frédérique Charles (LJLL)DescriptifLes modèles dits de swarming décrivent le mouvement collectif d’entités comme desanimaux (oiseaux, insectes...) qui conduit à des phénomènes d’agrégation étonnants(regardez sur youtube l’une des nombreuses vidéos de vols d’étourneaux parexemple !)L’interaction entre ces individus (que l’on représente par des particules) est modéliséepar des potentiels de différents types (attractif, attractif-répulsif...). On peut s’intéresserdans un premier temps à un modèle "discret", où les positions et vitesses desparticules évoluent à partir d’un système d’équations différentielles. Celles-ci peuventêtre approchées à partir de méthodes numériques de résolution d’équationsdifférentielles.Ensuite, on pourra s’intéresser au modèle "continu", basé sur une équation auxdérivées partielles. Son approximation numérique par une méthode dite particulaire sebase sur une modification simple de l’approximation du modèle discret.

Le projet consistera à s’intéresser à quelques modèles de swarming, d’un point de vue

mathématique et d’approximation numérique. La partie numérique pourra être faite

avec python, matlab ou scilab.

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Table de billard, jeu de miroirs et modèle de gaz

Tuteur : Pierre-Antoine Guihéneuf (IMJ)DescriptifIssus de problèmes concernant la dynamique des gaz, les billards mathématiques sontdepuis des décennies un sujet de recherche très active. Ce sont des objets assezsimples : on considère une boule de billard que l’on place sur une table dont le bord aune forme déterminée. On fait plusieurs approximations : la boule est ponctuelle (elle aun rayon nul), il n’y a aucun frottement et les rebonds sur les bords de la table sontélastiques (la vitesse après le rebond est la même que celle avant) et suivent le loi dela réflexion de Descartes. Sous ces conditions, la boule continue sa trajectoireindéfiniment : la question est de savoir quelles propriétés aura sa trajectoire, enfonction de comment on l’a lancée au départ mais aussi en fonction de la forme de latable.

Le but est ici de traiter ce problème du point de vue numérique : pour différentes

formes de tables (triangulaires, rectangulaires, pentagonales, circulaires, elliptiques,

voire plus compliquées !) on essaiera de détecter sur les simulations le comportement

global des trajectoires des boules sur la table.

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Polynômes de Legendre

Tuteur : Sidi-Mahmoud Kaber (LJLL)DescriptifIl s’agit d’étudier de façon assez exhaustive les propriétés despolynômes de Legendre dans- l’approximation de fonctions,- le calcul d’intégrales sur un intervalle borné,- le calcul des solutions de divers problèmes issus de la physique.Le travail comporte trois parties :- "théorique" : existence et unicité de solutions aux divers problèmesproposés,- "approximation numérique" : estimation de la différence entre lasolution u du problème exact (P) est la solution un d’un problèmeapproché (Pn),- "programmation" : algorithmes de calcul effectif de un. Langage deprogrammation : Python de préférence, mais tout autre langage seraaccepté.Voir https ://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Legendre

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Trois sujets d’algèbre effectiveTuteur : Pierre-Vincent Koseleff (IMJ)Trois sujets sont proposés au choix, parmi des sujets donnés àl’oral de modélisation, option algèbre et calcul formel. L’épreuvede modélisation à l’agrégation de Mathématiques est uneépreuve sur textes. Elle consiste, à partir d’un court texte dequelques pages, à en faire la synthèse, à détailler lasignification ou le schéma de preuve d’une partie du texte, àéclairer des points obscurs ou délicats. Elle doit idéalements’accompagner d’une illustration informatique, à l’aide deslogiciels disponibles. Les candidats disposent de quatre heuresde préparation.Le projet de L3 consiste à étudier un texte utilisé pour l’épreuvede modélisation de l’agrégation de Mathématiques, optionalgèbre effective et calcul formel.Il s’agit d’étudier les aspects théoriques aussi bien quepratiques et de proposer des illustrations informatiques à l’aidede programmes écrits par le (ou les) étudiant(s).Logiciels : tout logiciel de calcul formel, Sage (python)recommandé.

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Sommation de séries alternées

Tuteur : Pierre-Vincent Koseleff (IMJ)DescriptifÉtude du texte "Sommation de séries alternées" :http ://agreg.org/Textes/585.pdfRésumé du texte : On propose un procédé linéaire universeld’accélération de convergence de séries alternées, simple àmettre en oeuvre, qui conduit à une convergence de typegéométrique pour une large classe de séries lentementconvergentes.Thème applicatif, mots clefs : séries alternées, resommation,polynômes orthogonaux.

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Géométrie d’une molécule

Tuteur : Pierre-Vincent Koseleff (IMJ)DescriptifÉtude du texte "Géométrie d’une molécule" :http ://agreg.org/Textes/pub2008-C2.pdfRésumé du texte : Ce texte est consacré à l’étude de lagéométrie d’une molécule, en fonction des données imposéespar les liaisons chimiques (longueurs, angles).Thème applicatif, mots clefs : élimination, géométrie effective,polynômes

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Compression de fichiers

Tuteur : Pierre-Vincent Koseleff (IMJ)DescriptifÉtude du texte "Compression de fichiers" :http ://agreg.org/Textes/public2013-C1.pdfRésumé du texte : Dans ce texte, on présente une méthode decompression de fichiers, utilisée notamment en photographienumérique, et souvent plus efficace que les méthodestraditionnelles basées sur la transformée de Fourier.Thème applicatif, mots clefs : algèbre linéaire, polynômes

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Étude des fonctions de Bessel

Tuteur : Kevish Napal (CMAP)DescriptifDéfinition des fonctions de première et deuxième espèce,développement en série, liens avec la fonction gamma,application à la résolution du problème de diffraction (l’équationde Helmholtz avec condition de radiation).

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EDO et modèles de la biologie : modèles, théorie,simulations.

Tuteur : Benoit Perthame (LJLL)DescriptifLDe nombreuses équations aux différentielles ordinaires sont utilisées pour décriredes phénomènes biologiques. Le pendule, le système de Loka-Volterra proie-prédateur(écologie), le système SI ou SIR (épidémiologie) fournissent des exemples [3]. Lathéorie générale peut s’appliquer, parfois avec quelques aménagements [1].

Toutefois les résultats d’existence ne nous renseignent par sur le comportement des

solutions pour des temps longs. Différents comportements simples sont observés :

point fixe attractif, solutions périodiques [3], synchronisation ou chaos [5]. Se pose

alors des questions théoriques : expliquer cette convergence exponentielle, décrire

comment les solutions dépendent de paramètres du modèle. On peut facilement

illustrer le comportement des solutions à l’aide de simulations numériques qui reposent

sur des méthodes de discrétisation allant du schéma d’Euler aux méthodes de

Runge-Kutta [2, 4]. Ce sujet, pour un groupe de 3 étudiants, traitera donc des 3

aspects : description des modèles, théorie et simulations.

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Contagion et consensus

Tutrice : Marie Postel (LJLL)Descriptif"L’hétérophilie favorise le consensus". Ce n’est pas un sloganpolitique mais (presque) le titre d’une publication scientifique oùles auteurs [S. Motsch et E. Tadmor] proposent quelquesmodèles mathématiques pour la propagation des idées et leregroupement d’individus par affinités. Les résultats dessimulations numériques sont parfois surprenants et à l’encontredes idées reçues. En pratique, le projet donnera l’occasion demanipuler des systèmes d’équations différentielles ordinaires etdes calculs de valeurs propres de matrices.

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Calcul du résultant de deux polynômes

Tuteur : Fabrice Rouillier (INRIA)DescriptifL’objet du projet est de découvrir quelques variations autour ducalcul du résultant de 2 polynômes à coefficients réelsdépendant d’une ou 2 variables et ses applications à l’étudedes courbes algébriques planes. Selon l’envie ou lesconnaissances, le sujet peut être orienté sur l’efficacité desméthodes de calcul autant que sur les applications (tracécertifié, topologie de courbes planes).

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Algorithmes d’étude des zéros réels de polynômes

Tuteur : Fabrice Rouillier (INRIA)DescriptifL’objet du projet est de d’étudier quelques algorithmespermettant d’étudier les zéros réels de polynômes en unevariable à coefficients rationnels. Selon l’envie ou lesconnaissances, le sujet peut être orienté sur l’efficacité desméthodes de calcul autant que sur la généralisation possible deces méthodes à des problèmes plus généraux comme larésolution de polynômes dont les coefficients sont eux mêmesracines d’autres polynômes.

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