TD 1. Opérations ensemblistes...Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2014 2015 TD 1. Opérations ensemblistes Une

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3

UE LM364 Intégration 1 Année 20142015

TD 1. Opérations ensemblistesUne étoile indique un exercice important.

Exercice 1.1. Soit X un ensemble. Soient A,B,C,D des parties de X. On rappelle que l'onnote A4B la diérence symétrique de A et B, c'est-à-dire la partie

A4B = (A ∪B)r(A ∩B) = (ArB) ∪ (BrA)

de X. Calculer A4∅, A 4X et A4A, puis montrer les égalités suivantes :

a) (ArB) ∩ (CrD) = (A ∩ C)r(B ∪D) ;

b) (A ∪B) = (A4B)4 (A ∩B) ;

c) (A4B)4C = A4 (B4C).

Exercice 1.2. Soient X et Y deux ensembles. Soit f : X → Y une application. Que pensez-vous des assertions suivantes ?

a) L'application f est injective si et seulement s'il existe une application g : Y → X telleque g f = idX .

b) L'application f est surjective si et seulement s'il existe une application h : Y → X telleque f h = idY .

? Exercice 1.3. Soient X et Y deux ensembles. Soit f : X → Y une application.

a) Soit A ⊆ X. Montrer que A ⊆ f−1(f(A)) mais que l'égalité peut faire défaut. Montrerqu'on a égalité si f est injective.

b) Montrer que si pour tout sous-ensemble A de X on a l'égalité A = f−1(f(A)), alors f estinjective.

c) Soit B ⊆ Y . Montrer que f(f−1(B)) ⊆ B mais que l'égalité peut faire défaut. Montrerqu'on a égalité si f est surjective.

d) Montrer que si pour tout sous-ensemble B de Y on a l'égalité f(f−1(B)) = B, alors f estsurjective.

? Exercice 1.4. Soient X et Y deux ensembles. Soit f : X → Y une application. Soient (Ai)i∈Iune famille de parties de X et (Bj)j∈J une famille de parties de Y . On suppose I et J nonvides. Soit A une partie de X et B une partie de Y . Démontrer les assertions suivantes.

a) f

(⋃i∈I

Ai

)=⋃i∈I

f(Ai) et f

(⋂i∈I

Ai

)⊆⋂i∈I

f(Ai), avec égalité quand f est injective.

b) f−1(⋃j∈J

Bj

)=⋃j∈J

f−1(Bj) et f−1(⋂j∈J

Bj

)=⋂j∈J

f−1(Bj).

c) c(f−1(B)) = f−1(cB). Quelles inclusions y a-t-il entre c(f(A)) et f(cA) ?

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Exercice 1.5. Soient X et Y deux ensembles. Soit f : X → Y une application.

a) Soit Φ : P(X)→ P(Y ) l'application qui à une partie A de X associe la partie f(A) de Y .

i) Montrer que f est injective si et seulement si Φ l'est.

ii) Montrer que f est surjective si et seulement si Φ l'est.

b) Soit Ψ : P(Y )→ P(X) l'application qui à une partie B de Y associe la partie f−1(B) deX.

i) Montrer que f est injective si et seulement si Ψ est surjective.

ii) Montrer que f est surjective si et seulement si Ψ est injective.

? Exercice 1.6. Soient A,B,C des parties d'un ensemble X. Pour chacune des fonctions sui-vantes, dénies sur X et à valeurs réelles, dire si elle est la fonction indicatrice d'une partie deX et si oui, de laquelle.

a) 1A + 1B ;

b) 1A − 1B ;

c) 1A1B ;

d) |1A − 1B| ;e) 1A+1B−1A1B,f) ||1A−1B|−1C | ;

g) |1A−|1B−1C || ;h) sup(1A,1B) ;

i) inf(1A,1B).

Exercice 1.7. Soit X un ensemble. Construire une bijection entre l'ensemble P(X) des partiesde X et l'ensemble 0, 1X des fonctions de X dans 0, 1.

Exercice 1.8. Soit X un ensemble. Soit n > 1 un entier. Soient A1, . . . , An des parties de X.Montrer que

1⋃n

i=1 Ai=

n∑k=1

(−1)k+1∑

I⊆1,...,ncard(I)=k

1⋂

i∈I Ai.

On commencera par écrire cette formule pour n = 1, n = 2 et n = 3.

Exercice 1.9. Soient A,B,C,D quatre ensembles. On suppose données une bijection f : A→B et une bijection g : C → D.

a) Construire une bijection entre P(A) et P(B).

b) On suppose que A ∩ C = B ∩D = ∅. Construire une bijection entre A ∪ C et B ∪D.

c) Construire une bijection entre A× C et B ×D.

d) Construire une bijection entre AC et BD.

Exercice 1.10. Soient A,B,C trois ensembles. Construire une bijection entre AB×C et (AB)C .

Exercice 1.11. Soient X et Y deux ensembles. Des ensembles P(X × Y ) et P(X)×P(Y ), yen a-t-il un qui soit naturellement inclus dans l'autre ?

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TD 2. Suites d'ensembles

Échauements

Exercice 2.1. Un sous-ensemble A ⊆ N est coni si NrA est ni. Montrer que :

a) l'intersection de deux ensembles conis est conie ;

b) tout ensemble contenant un ensemble coni est coni.

Est-ce encore vrai avec des ensembles nis ? avec des ensembles dénombrables ? codénom-brables ?

? Exercice 2.2. Soit (an)N une suite de R.a) Montrer que lim inf ]−∞, an] ⊆ ]−∞, lim inf an], mais que l'inclusion peut être stricte.

b) Montrer que ]−∞, lim inf an[ ⊆ lim inf ]−∞, an[, mais que l'inclusion peut être stricte.

Exercice 2.3. Soit (An)n≥0 une suite de parties d'un ensemble X. Classer par ordre d'inclusionles parties suivantes de X :

∅, X,∞⋃n=0

An,∞⋂n=0

An, lim inf An, lim supAn.

Est-il possible que toutes les inclusions soient strictes ?

Suites d'ensembles

Exercice 2.4. Soient (An)n≥0 et (Bn)n≥0 deux suites de parties d'un ensemble X. Soit C unepartie de X. Que pensez-vous des assertions suivantes ?

a) limn→∞

Acn =(

limn→∞

An

)cb) lim

n→∞(An ∩ C) =

(limn→∞

An

)∩ C

c) limn→∞

(An∪Bn) = limn→∞

An∪ limn→∞

Bn d) (∃n0 ≥ 0 ∀n ≥ n0 An ⊂ Bn) ⇒ limn→∞

An ⊂ limn→∞

Bn

? Exercice 2.5.Soient (An)n∈N une suite de parties d'un ensemble X et ϕ : N→ N une extraction.

a) Montrer que lim supAϕ(n) ⊆ lim supAn.

b) Montrer que lim inf An ⊆ lim inf Aϕ(n).

c) On suppose que (An) converge vers B ⊆ X. Montrer que (Aϕ(n))n∈N converge aussi versB.

d) Trouver un cas où (Aϕ(n)) converge mais pas (An).

e) On suppose que (A2n)n et (A2n+1)n convergent vers le même ensemble B. Montrer que(An) tend aussi vers B.

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? Exercice 2.6.

a) Étudier l'éventuelle convergence de ([− 1n, 1])n∈N∗ et de (

]− 1n, 1])n∈N∗ .

b) Donner des exemples variés de suites de parties de R dont la limite est ]0, 1] (resp. ]0, 1[).

c) Déterminer les limites supérieure et inférieure de la suite (Bn)n≥1 de parties de R déniepar

B2n−1 =

]−2− 1

n, 1

]et B2n =

[−1, 2 +

1

n2

[.

d) Existe-t-il une suite d'ensembles de limite supérieure [−1, 2] et de limite inférieure [−2, 1] ?

e) Trouver une condition portant sur les suites réelles (an)n∈N et (bn)n∈N qui soit nécessaireet susante pour que l'on ait

limn

[an, bn] = [−1, 1[.

f) Est-il possible que limn[an, 6] n'existe pas quand la suite réelle a converge vers 5 ?

Pour aller plus loin. . .

Exercice 2.7. Existe-t-il une suite (An)n∈N de sous-ensembles de N innis et deux à deuxdisjoints ?

Remarque. On peut même montrer qu'il existe une famille A de sous-ensembles de N telleque :

si X 6= Y sont dans A, alors X ∩ Y est ni la famille A a le cardinal de R !

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TD 3. Cardinaux

Échauement

? Exercice 3.1.

a) Montrer que N0,1 est dénombrable, alors que 0, 1N ne l'est pas.

b) Montrer que l'ensemble des parties nies d'un ensemble dénombrable est toujours dénom-brable.

c) Montrer que l'ensemble des parties innies d'un ensemble inni n'est jamais dénombrable.

d) Existe-t-il un ensemble inni dont l'ensemble des parties dénombrables n'est que dénom-brable ?

Ensembles dénombrables

? Exercice 3.2.

a) Montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone f : [a, b]→ Rest dénombrable. (On pourra considérer les ensembles J(n) = x ∈ ]a, b[ ; |f(x+)− f(x−)| >1/n...)

b) Qu'en est-il pour une fonction réelle croissante dénie sur R tout entier ?

Exercice 3.3. On rappelle qu'un nombre réel est dit algébrique s'il est racine d'un polynômeà coecients entiers. Montrer que l'ensemble des réels algébriques est dénombrable.

Quel cardinal ?

? Exercice 3.4. Soit X un ensemble inni. On admet que CardX2 = CardX. Montrer queCardXX = CardP(X).

? Exercice 3.5. Reconnaître dans la liste ci-après les ensembles dont le cardinal est égal à celuide N, ceux dont le cardinal vaut celui de R, et ceux ayant même cardinal que l'ensemble desparties de R.

a) P(N) b) P(P(N)) c) P(P(P(N))) d) Q×Q e) ∪n∈NNn

f) QQ g) QN h) NQ i) R× R j) R× Z

k) 0, 1N l) 0, 1R m) RR n) NR o) RN

p) l'ensemble des ouverts de Rq) l'ensemble des ouverts de R2

r) l'ensemble des fonctions continues réelles

s) l'ensemble des fonctions continues de C vers Ct) l'ensemble des polygones du plan R2 dont chaque sommet est élément de Q2

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Exercice 3.6. [théorème de Cantor] Montrer que si A est un ensemble, il n'existe pas desurjection de A sur P(A).

Exercice 3.7. [théorème de Cantor-Bernstein] Soient A et B deux ensembles ; on suppose qu'ilexiste une injection f de A dans B et une injection g de B dans A. Montrer sans théorie descardinaux qu'il existe une bijection entre A et B.On pourra procéder comme suit. Poser C0 = Arg(B), pour tout n entier, Cn+1 = g(f(Cn)),et C =

⋃nCn. Montrer que C = C0 ∪ g(f(C)), puis que g(Brf(C)) = ArC. Montrer que f

induit une bijection entre C et f(C), et g une bijection entre Brf(C) et ArC. Conclure.

Remarque. Une petite remarque terminologique : CardR est parfois appelé la puissance ducontinu, ou le continu. Cela ne va pas sans créer quelques malentendus : puissance signieici cardinal, et n'a aucun rapport avec la fonction puissance P(X).

Le coin du curieux. Tous les ensembles que nous avons rencontrés ont un cardinal agréable,qui se ramène plus ou moins facilement à celui d'un ensemble bien connu (N, ou R, ou P(R)).Une question reste en suspens : tout sous-ensemble inni non dénombrable de R est-il enbijection avec R ? Cette propriété, baptisée hypothèse du continu, a fait couler beaucoupd'encre. Cantor s'est usé la santé à tenter de la montrer ; Hilbert l'inscrivit en tête de sesproblèmes pour le vingtième siècle. Gödel puis Cohen (ce dernier obtint ainsi la médaille Fields)montrèrent qu'elle n'est pas décidable sur la base des axiomes de Zermelo et Fraenkel.Une autre question est donc de comprendre pourquoi malgré cette indécidabilité de l'hypothèsedu continu, nous continuons dans ce cours à ne rencontrer que des ensembles dont nous savonstoujours déterminer le cardinal !

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TD 4. Tribus

Échauements

? Exercice 4.1. Soit X un ensemble. Donner des conditions sur X pour que les classes suivantessoient des tribus.a) A = ∅, X.b) A = P(X).c) A = ∅, x, X où x ∈ X.

d) A = ∅, x, cx, X où x ∈ X.e) La classe des parties nies de X.f) La classe des parties dénombrables de X.

g) La classe des parties nies ou conies de X.

h) La classe des parties dénombrables ou codénombrables de X.

Exercice 4.2.

a) Soient A et B des classes de parties de E telles que A ⊆ B. Montrer que σ(A) ⊆ σ(B).

b) Montrer que la réunion de deux tribus n'est pas en général une tribu.

c) Soient A et B deux tribus sur E. Montrer que

σ(A ∪ B) = σ(A ∪B | A ∈ A, B ∈ B) = σ(A ∩B | A ∈ A, B ∈ B).

Tribus engendrées

? Exercice 4.3. Soit E un ensemble.

a) Décrire la tribu engendrée par la classe S des singletons de E.

b) Décrire la tribu engendrée par la classe F des parties nies de E.

c) Décrire et donner le cardinal de la tribu engendrée par une partition nie de E.

d) Même question pour une partition innie dénombrable.

Exercice 4.4. Soit E un ensemble et A ⊆ E. On dénit la classe C = B ⊆ E : A ⊆ B.a) Caractériser σ(C).b) Donner des conditions sur A pour que σ(C) = P(E) (tribu triviale).

c) Donner des conditions sur A pour que σ(C) = ∅, E (tribu grossière).

Tribus et fonctions

Exercice 4.5. Soit f : X → Y une application. Montrer que T = A ∈ P(X)|A = f−1(f(A))est une tribu sur X.

? Exercice 4.6. Soit f : X → Y une application et A une tribu sur X. Montrer par un contre-exemple que la classe des images directes f(A) | A ∈ A n'est en général pas une tribu sur Y .

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Exercice 4.7. Soient (Yi,Bi)i∈I une famille d'espaces mesurables. Soit Y un ensemble etfi : Y → Yi des fonctions. On note B la tribu engendrée par la famille des fonctions (fi)i∈I , c'est-à-dire la plus petite tribu pour laquelle les fi sont mesurables. Montrer que f : (E,A)→ (Y,B)est mesurable si et seulement si pour tout i ∈ I, fi f : (E,A)→ (Yi,Bi) est mesurable.

Tribus sur R? Exercice 4.8. Une partie A ⊆ R est dite symétrique si A = −A, où

−A = x ∈ R : ∃y ∈ A, x = −y.

Soit A = A ∈ P(R) : A = −A l'ensemble des parties symétriques de R.a) Montrer que A = A ∪ (−A) : A ∈ P(R).b) Montrer que A est une tribu de R.c) Caractériser les fonctions mesurables de (R,A) dans (R,A).

d) Caractériser les fonctions mesurables de (R,A) dans (R,P(R)).

e) Montrer que A est la tribu image réciproque de la tribu grossière P(R) de R par lafonction valeur absolue V : R→ R.

f) Décrire la tribu engendrée par a,−a : a ∈ R.Indication : On pourra commencer par montrer qu'elle est incluse dans A ainsi que dans

la tribu engendrée par les singletons.

Pour aller plus loin...

Exercice 4.9. On souhaite montrer qu'il n'existe pas de tribu innie dénombrable. Soit doncX un ensemble et A une tribu dénombrable sur X. On va montrer que X est nie. Pour toutx ∈ X, soit A(x) =

⋂x∈A,A∈AA.

a) Montrer que A(x) ∈ A.b) Montrer que A(x) est le plus petit élément de A contenant x.

c) Montrer que y ∈ A(x)⇒ A(y) = A(x).

d) Soit x et x′ deux éléments de X. Montrer que A(x) = A(x′) ou bien A(x) ∩ A(x′) = ∅.

e) Soit E = B ⊆ X | ∃x ∈ X,B = A(x). Montrer que A = σ(E).

f) En déduire que toute tribu dénombrable est nie.

Le coin du curieux. Dans les exercices au programme, trouver la tribu engendrée par uneclasse C de parties d'un ensemble E se fait généralement en ajoutant à C les unions dénombrableset les complémentaires des parties de C. Si l'on obtient ainsi une tribu, on a bien trouvé la tribuengendrée σ(C). Manque de chance, cela ne marche pas toujours, notamment pour le cas dela tribu borélienne sur R. Si l'on procède de la sorte en partant des intervalles réels, on netombe en eet pas sur une tribu. Il faut en fait itérer ce processus par récurrence transniepour obtenir la tribu des boréliens. Cela explique pourquoi il est impossible de fournir unedescription explicite complète des boréliens de R. On peut montrer que la tribu boréliennesur R a la puissance du continu, ce qui montre l'existence de non-boréliens (car P(R) a unepuissance strictement supérieure à celle du continu).

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TD 5. Fonctions en escalier, fonctions étagées, fonctionsréglées, fonctions boréliennes

Remarque 1 Pour rappel, une fonction dénie sur un segment est réglée, c'est-à-dire limite

uniforme de fonctions en escalier, si et seulement si elle admet une limite à droite et à gauche

en tout point. Ce critère pourra être utilisé pour tous les exercices suivants, et sa preuve fait

l'objet du dernier exercice.

Échauements

Exercice 5.1. Soit f : R2 → R l'application dénie par f(x, y) = x.

a) Décrire la tribu image réciproque de B par f , f−1(B) = f−1(A) : A ∈ B, où B est latribu borélienne de R.

b) Décrire la tribu image directe par f de la tribu borélienne de R2, c'est-à-dire A ∈ P(R) :f−1(A) ∈ B2 avec B2 la tribu borélienne de R2.

Exercice 5.2. Soit f : R → R. Montrer que f est mesurable si et seulement si pour toutcouple de réels (a, b), la restriction de f à [a, b] est mesurable.

Fonctions réglées

? Exercice 5.3.

a) Donner un exemple de fonction étagée qui n'est pas réglée.

b) Existe-t-il une suite de fonctions en escalier qui converge simplement vers 1Q : R→ R ?

Fonctions mesurables

? Exercice 5.4. Soit (E,A) un espace mesurable et fn : E → C une suite de fonctions mesu-rables. Montrer que l'ensemble

A = x ∈ E : la suite (fn(x))n∈N est convergente

est un élément de A.

Exercice 5.5. Soit (E,A) un espace mesurable. Soient f et g deux fonctions réelles sur E quisont (A,B(R))-mesurables. Montrer que f + g est mesurable.

? Exercice 5.6. Soient X et Y deux espaces métriques et f : X → Y une application dontl'ensemble des points de discontinuité est dénombrable. Montrer que f est mesurable (X et Ysont munis de leur tribu borélienne).

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? Exercice 5.7. Soit f : E → (R,B(R)) et Af = f−1(B(R)) la tribu image réciproque de B(R)par f .

a) Soit h : R→ R une fonction borélienne. Montrer que g = hf est une fonctions mesurablede (E,Af ) dans (R,B(R)).

b) Soit s : (E,Af ) → (R,B(R)) une fonction étagée. Montrer qu'il existe une fonctionborélienne t telle que s = t f .

c) Montrer que si g : (E,A)→ R est mesurable, alors il existe h borélienne telle que g = hf .Indication : On pourra approcher g par une suite de fonctions étagées.

Exercice 5.8.

a) Soit X un borélien de R et f : X → R une fonction monotone. Montrer que f estmesurable.

b) Montrer que toute fonction réglée de R dans R est borélienne.

? Exercice 5.9.

a) L'application a =∑

n∈N∗ 1 1n : [0, 1] → R est-elle une fonction réglée ? Étagée ? Boré-

lienne ?

b) Qu'en est-il de l'application b =∑

n∈N∗ 1[ 1n+1

, 1n] : [0, 1]→ R ?

c) Répondre aux mêmes questions, concernant les applications suivantes (depuis [0, 1] vers R).

i) c =∑

n∈N∗ 1] 1n+1

, 1n] ; ii) d =

∑n∈N∗

1n1] 1

n+1, 1n] ;

iii) e(x) = 1xd(x)1]0,1](x) ;

iv) f(x) = xd(x) ;

v) g(x) = 1√xd(x)1]0,1](x).

Pour aller plus loin... Un exercice classique

Exercice 5.10. Montrer qu'une fonction f : [a, b]→ R est réglée si et seulement si elle admeten tout point de ]a, b[ une limite à gauche et une limite à droite.

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TD 6. Rappels de topologie. Ensemble de Cantor.

Échauements

? Exercice 6.1. Soient X et Y deux espaces topologiques. Soit f : X → Y . Montrer que lesassertions suivantes sont équivalentes :

a) L'image réciproque par f de tout ouvert est un ouvert.

b) L'image réciproque par f de tout fermé est un fermé.

c) Pour tout x de X, l'image réciproque par f de tout voisinage de f(x) est un voisinagede x.

Exercice 6.2. Donner un exemple de suite décroissante d'ensembles (An)n∈N telle que pourtout n, An est inni et

⋂n∈NAn = ∅.

Exercice 6.3. Dans un espace métrique E, un ensemble A est dit dense par rapport à unensemble B, si tout point de B est un point adhérent à A, en d'autres termes si B ⊂ A (ou,ce qui est équivalent, si, pour tout x ∈ B, il existe une suite à valeurs dans A convergeant versB).Montrer que si A est dense par rapport à B, et B est dense par rapport à C, alors A est densepar rapport à C.

Topologie générale

Exercice 6.4. Soit (un)n∈N une suite à valeurs dans un espace topologique (ou métrique).Supposons qu'elle converge vers `, et posons K = `∪

⋃n∈Nun. Montrer que K est compact.

? Exercice 6.5. Soit K un espace topologique compact. Montrer que si F ⊆ K est fermé, alorsF est compact. (K n'est pas nécessairement un espace métrique. Il faut donc utiliser la notionde compacité de Borel-Lebesgue. )

? Exercice 6.6.

a) Montrer que l'image continue d'un compact est un compact.

b) On munit R d'une topologie en ajoutant aux ouverts usuels O de R les unions d'ouvertsde la forme Ω∪]a,+∞] et Ω∪ [−∞, a[ où a décrit R et Ω décrit O. Montrer que R, munide cette topologie, est homéomorphe à [0, 1].

c) En déduire que R est compact.

Exercice 6.7. Soit E un espace métrique, etA ⊂ E,A 6= ∅. On dénit d(x,A) = infy∈A d(x, y).

a) Montrer que x 7→ d(x,A) est continue.

b) Établir que pour tout x ∈ E, d(x,A) = d(x,A).

c) Que dire de x tel que d(x,A) = 0 ?

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Pour aller plus loin...

? Exercice 6.8. [L'ensemble triadique de Cantor]On construit une suite d'ensembles récursivement comme suit :

F0 := [0, 1]

∀n ∈ N Fn+1 :=Fn3∪ 2 + Fn

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a) Montrer qu'il s'agit d'une suite décroissante de fermés.

b) Donner rigoureusement un sens à F∞.

c) Montrer que F∞ est compact.

d) Montrer que F∞ est totalement discontinu (ne contient aucun segment d'intérieur nonvide).

e) Caractériser les points de F∞.

f) Montrer que F∞ est sans point isolé (x ∈ F∞ est dit isolé s'il possède un voisinage V telque V ∩ F∞ = x).

g) Montrer que F∞ est équipotent à R.h) Montrer que F∞ est homéomorphe à 2N muni de la topologie produit (de Tychono).

Le coin du curieux

Il peut être prouvé que la tribu borélienne de R est du cardinal de R seulement, et non ducardinal ses parties P(R). Ainsi il existe des sous-ensembles de R non boréliens.Si la mesure de Lebesgue est bien dénie sur la tribu borélienne, on peut la compléter avec lesparties incluses dans des boréliens de mesure nulle. La mesure de Lebesgue est alors dénie surune tribu complétée L, dite de Lebesgue.Cette tribu est bien plus grande que la tribu borélienne. Pour le voir, comme l'ensemble tria-dique de Cantor F∞ est un borélien de mesure nulle, P (F∞) ⊂ L ⊂ P (R), ce qui impliqueune inégalité sur les cardinaux. De plus F∞ a la puissance du continu, donc Card (P (F∞)) =Card (P (R)), et l'égalité Card (L) = Card (P (R)) est prouvée.

A ce niveau, l'argument de cardinalité ne permet plus d'armer qu'il existe des sous-ensemblesde R qui ne sont pas dans la tribu complétée. Des constructions existent comme l'ensemblede Vitali donné dans le polycopié ou le paradoxe de Banach-Tarski, mais font toutes appel àl'axiome du choix ! A cet égard, on peut se demander si l'axiome du choix est essentiel.

Le surprise fut au rendez-vous : Robert Solovay a répondu de façon satisfaisante au problème endémontrant que la proposition Tout ensemble de réels est Lebesgue mesurable est consistanteavec les axiomes ZF sans l'axiome du choix ! Ainsi dans le seul cadre des axiomes ZF, l'existencede non-mesurables réels est une proposition indécidable.

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TD 7. Mesures

Échauements

? Exercice 7.1. Soient (X,A, µ) un espace mesuré, (Y,B) un espace mesurable et f : (X,A)→(Y,B) mesurable. Montrer que µf : B → R+

B 7→ µ(f−1(B))est une mesure sur (Y,B).

Exercice 7.2. On considère la tribuA = A ∈ P(R), A est dénombrable ou cA est dénombrablesur R. Montrer que µ : A → R+

A 7→

0 si A est dénombrable,1 sinon ;

est une mesure sur (R,A).

? Exercice 7.3. Dans cet exercice on considère l'espace mesuré (R,B(R), λ) où λ est la mesurede Lebesgue. Un ouvert de R de mesure nie est-il nécessairement borné ?

Quelques exercices classiques

? Exercice 7.4.

a) Soient (X,A) un espace mesurable et (µj)j∈N une suite croissante de mesures positivessur A (pour tout A ∈ A et pour tout j ∈ N, µj(A) ≤ µj+1(A)). Pour tout A ∈ A, onpose µ(A) = supj∈N µj(A). Montrer que µ est une mesure.

b) Sur l'espace mesurable (N,P(N)), on dénit, pour tout j ∈ N et tout A ∈ P(N), νj(A) =card(A ∩ [j,+∞]). Montrer que pour tout j ∈ N νj est une mesure sur P(N) et que pourtout A ∈ A, νj(A) ≥ νj+1(A).

c) Soit ν l'application positive dénie sur P(N) par ν(A) = infj∈N νj(A) pour toute partie Ade N. Déterminer ν(N) et ν(k) pour tout k ∈ N. Dire si ν est une mesure sur (N,P(N)).

Exercice 7.5. Soient (X,A) un espace mesurable. On suppose que A ∈ A est un atome deA, c'est-à-dire que A est non vide et pour tout B ∈ A tel que B ⊆ A, alors B = ∅ ou B = A.Montrer que µA : A → R+

B 7→

1 si A ⊆ B0 sinon.

est une mesure sur (X,A).

? Exercice 7.6. Soient (X,A, µ) un espace mesuré et f : (X,A) → (R,B(R)) une fonctionmesurable.

a) On pose, pour tout n ∈ N, An = |f | ≤ n. Montrer que, si µ(X) 6= 0, il existe n ∈ N telque µ(An) 6= 0.

b) Montrer que si µ(f 6= 0) 6= 0, alors il existe A ∈ A et ε > 0 tels que µ(A) 6= 0 et pourtout x ∈ A, |f(x)| ≥ ε.

13

? Exercice 7.7. [Lemme de Borel-Cantelli] Soient (X,A, µ) un espace mesuré et (An)n∈N unesuite d'éléments de A telle que ∑

n∈N

µ(An) < +∞ .

Montrer que µ (lim supnAn) = 0.

? Exercice 7.8. Soient µ une mesure nie sur B(R) et F : R → R+ la fonction dénie, pourtout x ∈ R, par F (x) = µ([x,+∞[).

a) Montrer que F est décroissante et continue à gauche sur R et calculer ses limites en +∞et −∞.

b) Pour tout x ∈ R, montrer que F est continue en x si et seulement si µ(x) = 0.En déduire que x ∈ R : µ(x) 6= 0 (l'ensemble des atomes de µ) est dénombrable.


Exercice 7.9. [Théorème d'Egoro] Soit (X,A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < +∞ etsoit (fn)n∈N une suite de fonctions mesurables de (X,A) dans (R,B(R)).

a) Montrer que l'ensemble de convergence C de la suite (fn)n∈N est mesurable.

b) On suppose que la suite (fn)n∈N converge µ-p.p. vers une fonction mesurable f , au sens

où µ( cC) = 0. Pour tout k ∈ N∗ et tout n ∈ N, soit Ekn =

⋂i≥n

|fi − f | ≤

1

k

.

Montrer que C ⊆⋃n≥1E

kn. En déduire que, pour tout réel ε > 0, pour tout k ∈ N∗, il

existe nk,ε ∈ N∗ tel que µ(cEk

nk,ε

)< ε

2k.

c) (Théorème d'Egoro) En déduire que, pour tout ε > 0, il existe Eε ∈ A tel que (fn)n∈Nconverge uniformément vers f sur Eε et tel que µ( cEε) < ε.

d) Donner un contre-exemple lorsque µ(X) = +∞.

Exercice 7.10. [Application du théorème d'Egoro] Soit (X,A, µ) un espace mesuré et soit(fn)n∈N une suite de fonctions mesurables de (X,A) dans (R,B(R)). On dit que la suite (fn)n∈Nconverge en mesure vers f si :

∀ε > 0 limnµ(|fn − f | > ε) = 0.

a) Montrer que si µ(X) < +∞ et la suite (fn)n∈N converge µ-p.p. vers f , alors elle convergeen mesure vers f .

b) Réciproquement, supposons que (fn)n∈N converge en mesure vers f :i) Montrer qu'il existe une sous-suite (fnk

)k≥1 telle que

∀k ≥ 1 µ

(|fnk− f | > 1

k

)<

1

k2.

ii) Soit A = limk|fnk

− f | ≤ 1k. Montrer que (fnk

)k≥1 converge vers f sur A et que

µ( cA) = 0 (en d'autres termes, (fn)n∈N possède une sous-suite qui converge µ-p.p.vers f).

14



TD 8. Mesures. Mesure de Lebesgue. Intégrale desfonctions positives.

Échauements

Exercice 8.1. Soit a un réel. On note δa la mesure de Dirac en a sur (R,B(R)), dénie par,pour tout A ∈ B(R), δa(A) = 1 si a ∈ A et 0 sinon. Pour toute fonction mesurable positivef : (R,B(R))→ (R,B(R)), déterminer

∫R fdδa.

Exercice 8.2. Soient (X,A, µ) un espace mesuré, avec µ une mesure non nulle et f : (X,A)→(R,B(R)) une fonction mesurable. Montrer que pour tout ε > 0 il existe A ∈ A de mesureµ(A) > 0 tel que pour tout x, y ∈ A,

|f(x)− f(y)| < ε.

? Exercice 8.3. On considère l'espace mesuré (R,B(R), λ), où λ est la mesure de Lebesgue.a) Montrer que λ est σ-nie, c'est-à-dire qu'il existe une suite croissante (En)n∈N d'ensembles

mesurables tels que R =⋃n≥1En et λ(En) < +∞ pour tout n ∈ N.

b) Montrer que pour tout compact K de R, λ(K) < +∞.c) Un ouvert de R de mesure nie est-il forcément borné ?

Mesures

? Exercice 8.4. Soit (αk)k≥0 une suite de réels strictement positifs tels que∑+∞

k=0 2kαk ≤ 1.L'ensemble de Cantor associé à cette suite est déni de la manière suivante : on pose A0 = [0, 1],et pour tout n ∈ N, An+1 s'obtient de An en retranchant, de chacun des 2n intervalles lecomposant, un intervalle ouvert, centré, de longueur αn. On dénit alors l'ensemble de Cantorpar K =

⋂n≥0An. En particulier, l'ensemble triadique de Cantor est obtenu pour la suite

αn = 3−n−1 pour tout n ≥ 0.a) Calculer la mesure de Lebesgue de K. En déduire que l'ensemble triadique de Cantor est

d'intérieur vide.b) Montrer que K est toujours d'intérieur vide. Comparer la mesure de K à celle de son

intérieur.

? Exercice 8.5. Soit µ une mesure sur (R,B(R)), telle que µ soit nie sur les compacts de R.Pour tout a ∈ R, on dénit

Fa(t) =

µ([a, t[), si t > a,

−µ([t, a[), si t ≤ a.

Montrer que Fa est croissante et continue à gauche.

Exercice 8.6. En utilisant l'exercice 4, montrer qu'il est possible de construire un ouvertdense dans R de mesure de Lebesgue 5. Proposer également une méthode directe.

15

Intégration

? Exercice 8.7. Soient (X,A, µ) un espace mesuré, et f : X → [0,+∞] une fonction étagéepositive. On dénit pour tout A ∈ A,

µf (A) =

∫X

f1Adµ.

Montrer que µf est une mesure sur (X,A).

? Exercice 8.8. Soient (X,A, µ) un espace mesuré et f, g : X → [0,+∞] des applicationsmesurables et positives. Montrer que :

a) Pour tout a > 0, µ(f > a) ≤ 1a

∫Xfdµ. ;

b) Si∫Xfdµ < +∞, alors f est nie µ-p.p. ;

c)∫Xfdµ = 0 si et seulement si f est nulle µ-p.p. ;

d) Si f = g µ-p.p., alors∫Xfdµ =

∫Xgdµ.

16



TD 9. Intégration. Convergence monotone.Lemme de Fatou.

Échauements

Exercice 9.1. Vrai ou Faux ? Soit (X,A, µ) un espace mesuré.

a) Si f = 1A, avec A ∈ A, alors∫Xfdµ = µ(A).

b) Si f : X → [0,+∞] est mesurable et vérie µ(f−1+∞) = 0, alors f est intégrable.

c) Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable.

d) Soit (fn) une suite décroissante de fonctions mesurables positives et f sa limite.

i)∫fdµ = lim

∫fndµ toujours.

ii)∫fdµ = lim

∫fndµ s'il existe N tel que

∫fNdµ <∞.

iii)∫fdµ ≤ lim

∫fndµ ssi il existe N tel que

∫fNdµ <∞.

iv)∫fdµ ≤ lim

∫fndµ toujours.

Exercice 9.2. Soit (fn) une suite d'applications boréliennes de R+ vers R. Dans les quatrecas suivants, montrer que la suite (

∫R+ fndλ)n converge et déterminer sa limite (aucun calcul

d'intégrale n'est exigé).

a) fn(x) =ne−x√

1 + n2x2;

b) fn(x) =ne−nx√1 + n2x2

;

c) fn(x) = sin(nx)1[0,n](x) ;

d) fn(x) = | cos(x)|1/ne−x.

? Exercice 9.3. Soit (X,A, µ) un espace mesuré et f une fonction A−mesurable positive.Montrer qu'alors :∫

Xfdµ = 0 si, et seulement si, f est négligeable, c'est-à-dire f = 0 µ- p.p..

Quelques applications du théorème de convergence mono-tone

? Exercice 9.4. Ensembles de niveau. Soit (X,A, µ) un espace mesuré. Soit f : X → R unefonction mesurable positive. Pour t > 0, on pose Sf (t) = x ∈ X, f(x) > t et Ψf (t) = µ(Sf (t)).Montrer que ∫

X

fdµ =

∫ ∞0

Ψf (t)dt.

17

? Exercice 9.5. Soit (X,A, µ) un espace mesuré.

a) Soit f ∈ L1R(µ) telle que, pour tout A ∈ A,

∫Afdµ = 0. Montrer que f = 0 µ-presque

partout.

b) Soit f ∈ L1R(µ) et F un fermé de R tel que :

pour tout A ∈ A tel que µ(A) > 0, on a1

µ(A)

∫A

fdµ ∈ F .

i) Soit I ⊂ F c un intervalle ouvert. Montrer que µ(f−1(I)) = 0.

ii) En déduire que f(x) ∈ F pour presque tout x.

? Exercice 9.6. Soit (X,A, µ) un espace mesuré de masse totale nie et f : (X,A)→ (R,B(R))une fonction mesurable.

a)? Montrer que f ∈ L1R(µ) si et seulement si

∑n≥1

nµ(n ≤ |f | < n+ 1) < +∞.

b) Montrer que :

∀n ∈ N∗n∑k=1

kµ(k ≤ |f | < k + 1) =n∑k=1

µ(|f | ≥ k)− nµ(|f | ≥ n+ 1).

c) Soit (un)n≥1 décroissante, convergente vers 0 et telle que la suite vn =∑n

k=1 uk − nun+1

est bornée. Montrer que∑n

k=1 uk − nup+1 ≤ vp pour tout p ≥ n. et en déduire que∑n≥1 un < +∞.

d) Montrer que f ∈ L1R(µ) si et seulement si

∑n≥1

µ(|f | ≥ n) < +∞.

e) Donner un contre-exemple lorsque µ(X) = +∞.

Exercice 9.7.

a) [Lemme de Borel-Cantelli.] Soit (X,A, µ) un espace mesuré, et soit (An)n≥1 une suited'ensembles mesurables tels que

∑n≥1 µ(An) < +∞. Montrer que µ(lim supnAn) = 0.

b) Soit (fn)n≥1 une suite de fonctions mesurables telles que∫X|fn|2dµ ≤M pour tout n ≥ 1,

pour un certain M > 0. Montrer qu'il existe N ∈ A de mesure nulle tel que pour toutx 6∈ N , à partir d'un certain rang, |fn(x)| < n.

Exercice 9.8. Soient (X,A, µ) un espace mesuré et (An)n≥1 une suite d'ensembles mesurables.Soit f : (X,A)→ (R,B(R)) une fonction intégrable telle que :∫

X

|1An − f |dµ −→n→∞

0

a) Montrer que µ-p.p., |f | ≤ 2.

b) Montrer qu'il existe A ∈ A tel que f = 1A µ-p.p..

c) Montrer que si∑

n≥0 µ(An∆A) < +∞ alors 1An

µ−p.p.−−−−→ 1A.

18

? Exercice 9.9. Soient (X,A, µ) un espace mesuré, et f ∈ L1R(µ).

a) Montrer que : ∫X

|f |1|f |>ndµ −→n→∞

0.

b) En déduire que : ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀A ∈ A,

µ(A) ≤ δ =⇒∫A

|f |dµ ≤ ε

(continuité de l'intégrale par rapport à la mesure).

c) Soit f : R → R borélienne et intégrable pour la mesure de Lebesgue. Soit F la fonctiondénie sur R par

F (x) =

∫[0,x]

fdλ, si x ≥ 0,

−∫[x,0]

fdλ, si x < 0.

Montrer que F est uniformément continue sur R.

Autour du lemme de Fatou

Exercice 9.10.

a) Soit (X,A, µ) un espace mesuré. Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions mesurables positivesqui converge simplement vers f . On suppose qu'il existe une constante K telle que :

supn≥0

∫X

fndµ ≤ K.

Montrer que∫X

fdµ ≤ K.

b) On considère sur ([0, 1],B([0, 1], λ) la suite de fonctions (fn)n≥0 dénies par f2n = 1[0,1/2]

et f2n+1 = 1[1/2,1]. Calculer∫

lim supn

fndλ et lim supn

∫fndλ.

? Exercice 9.11. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions dénies sur (X,A, µ) mesurables et posi-tives. On suppose que (fn)n∈N converge simplement vers f µ-p.p., et que :∫

X

fndµ −→∫X

fdµ < +∞.

Montrer que∫X

|fn − f |dµ −→ 0.

19

Le coin du curieux

Il est très facile de construire des exemples où∫

lim inf fn < lim inf∫fn, même si la conver-

gence a lieu presque partout. Voici trois situations typiques, sur l'espace R muni de la mesurede Lebesgue. Soit ϕ une fonction continue, positive, nulle en-dehors de l'intervalle [0, 1], nonidentiquement nulle. Pour n ≥ 1 on dénit

fn(x) = nϕ(nx),

gn(x) = n−1ϕ(n−1x),

hn(x) = ϕ(x− n).

Alors les suites de fonctions (fn), (gn) et (hn) convergent vers 0 partout sur R, pourtant il estfacile de montrer, par des changements de variables évidents, que

∫fn =

∫gn =

∫hn =

∫ϕ.

On dit que la suite (fn) illustre un phénomène de concentration (toute la masse de la suite seconcentre près de 0), la suite (gn) un phénomène d'évanescence (toute la masse part à l'innide manière diuse), tandis que la suite (hn) présente un comportement de bosse glissante (lamasse glisse à l'inni, sans s'étaler).

20



TD 10. Intégration. Théorèmes de convergence.

Échauement, exemples et contre-exemples

? Exercice 10.1.

a) Donner une suite de fonctions boréliennes positives (fn)n≥0 telle que∫R fndλ admet une

limite c > 0 et∫R lim inf fndλ < c.

b) Si (E,A, µ) est un espace mesuré, (fn)n≥0 une suite de fonctions intégrables de signe quel-conque telle que

∫E| lim inf fn|dµ < +∞, a-t-on toujours

∫E

lim inf fndµ ≤ lim inf∫Efndµ ?

c) Donner une suite (fn)n≥0 de fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans [0, 1] telle quepour tout x ∈ [0, 1] la suite fn(x) n'admet pas de limite et limn→∞

∫[0,1]

fndλ = 0.

d) Donner une suite (fn)n≥0 de fonctions continues positives sur [0, 1] telle que :

limn→∞

∫[0,1]

fndλ = 0 et∫[0,1]

supn≥0

fndλ = +∞.

Exercice 10.2. Calculer la limite des suites suivantes :

a)∫R e−|x|/ndx ;

b)∫R13|cos( x

m)|≥2

e−x2

2 cos( xm

)− 1dx ;

c)∑

m≥1nm

sin( 1nm

).

Convergence dominée, variations

Exercice 10.3. Soient (E,A, µ) un espace mesuré et (fn)n≥0 une suite décroissante de fonctionsmesurables positives qui converge µ-p.p. vers une fonction f .

a) On suppose qu'il existe n0 tel que∫Efn0dµ <∞. Montrer que

limn→∞

∫E

fndµ =

∫E

fdµ.

b) Que peut-on dire sans l'hypothèse d'intégrabilité ?

Exercice 10.4. Soit f :]0, 1[→ R une fonction positive, monotone et intégrable. On dénitpour tout n ≥ 1, gn(x) = f(xn). Calculer la limite de

∫]0,1[

gndλ.

21

? Exercice 10.5.

a) Soient (X,A, µ) un espace mesuré, et (fn)n≥0 une suite de fonctions intégrables de (X,A)dans (R,B(R)). Montrer que si

∑n≥0∫X|fn|dµ <∞, alors∑

n≥0

∫X

fndµ =

∫X

(∑n≥0

fn

)dµ.

b) Soit (N,P(N),m) où m est la mesure de comptage. Soit u : N→ R+. Montrer que∫Nu dm =

∑n≥0

u(n).

c) Soit (an,p)n,p≥0 des réels. Montrer que∑p≥0

∑q≥0

|ap,q| <∞ =⇒∑p≥0

∑q≥0

ap,q =∑q≥0

∑p≥0

ap,q.

d) Calculer la limite de∑n

k=1(−1)k+1

k. 1

Convergence en mesure, convergence dominée

? Exercice 10.6. Soit (X,A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < ∞. Soient (fn)n≥1 et f desfonctions mesurables de (X,A) dans (R,B(R)). On dit que la suite (fn)n≥1 converge en mesure

vers f si :∀ε > 0 lim

nµ(|fn − f | > ε) = 0.

a) Montrer que si∫X|fn − f |dµ→ 0, alors la suite (fn)n≥1 converge en mesure vers f .

b) Montrer que si la suite (fn)n≥1 converge µ-p.p. vers f , alors elle converge en mesure vers f .

c) Réciproquement, supposons que (fn) converge en mesure vers f :i) Montrer qu'il existe une sous-suite (fnk

)k∈N telle que

∀k ≥ 1 µ

(|fnk− f | > 1

k

)<

1

k2.

ii) Soit A = limk|fnk

− f | ≤ 1k. Montrer que (fnk

) converge vers f sur A et que

µ(cA) = 0 (en d'autres termes, fn possède une sous-suite qui converge µ-p.p. vers f).

? Exercice 10.7. Soit (X,A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < ∞. Soient (fn)n≥1 et f desfonctions mesurables de (X,A) dans (R,B(R)). On suppose que la suite (fn)n converge enmesure vers f , et qu'il existe une fonction g : X → R intégrable positive telle que |fn| ≤ gµ-p.p. pour tout n ≥ 1.

a) Montrer que |f | ≤ g µ-p.p.

b) En déduire à l'aide de la propriété d'uniforme continuité de l'intégrale que∫X

|fn − f |dµ −→n→∞

0.

1. Indication : appliquer le théorème de convergence dominée à∑

k≥0(−1)kxk sur ]0, 1[.

22

Exercice 10.8. Soient (X,A, µ) un espace mesuré et f : X → R une fonction intégrable.

a) Montrer que limn nµ(|f | ≥ n) = 0.

b) Montrer que ∑n≥1

1

n2

∫|f |≤n|f |2dµ < +∞.

Exercice 10.9. Soient (E,A, µ) un espace mesuré et (fn)n≥1 une suite de fonctions intégrables.On suppose qu'il existe f intégrable telle que∫

E

|fn − f |dµ −→n→∞

0.

Montrer qu'il existe une suite extraite (fφ(n))n≥1 convergeant vers f µ-p.p., et une fonction Bintégrable telle que supn≥1 |fφ(n)| ≤ B µ-p.p.

Le coin du curieux

Exercice 10.10. Soit fn une suite de fonctions continues de [0, 1] dans [0, 1] telle que pourtout x ∈ [0, 1] on ait fn(x)→ 0 quand n→∞. Retrouver sans utiliser la théorie de l'intégrationde Lebesgue que la suite des intégrales de Riemann vérie lim

∫ 1

0fn(x)dx = 0.

23



TD 11. Intégrales dépendant d'un paramètre :convergence, sommation, dérivation.

Échauement

? Exercice 11.1. Déterminer la limite des suites (In)n≥1 suivantes après avoir justié l'existencede In pour n ≥ 1 :

(i) In =

∫ 1

0

ne−x

nx+ 1dx

(ii) In =+∞∑k=1

n+ k

nk3/2 + k3

(iii) In =

∫R

nex2

+ π

ne2x2 + 4x4dx

(iv) In =

∫]0,+∞[

sinx

x2x1/n

1 + x1/ndx

(v) In =

∫ +∞

0

sin(nxn)

nxn+1/2dx.

Interversions somme-intégrale

Exercice 11.2. La fonction f dénie sur [0, 1] par f(x) =+∞∑n=2

1

n2|x− 1n|1/2

est-elle intégrable

sur [0, 1] ?

? Exercice 11.3.

a) Montrer que :∫ +∞

0

sinx

ex − 1dx =

∑n≥1

1

n2 + 1.

b) Soit f : R→ R une fonction borélienne telle que pour tout a ∈ R, la fonction x 7→ eaxf(x)

est intégrable. Montrer que pour tout z ∈ C,∫Rezxf(x)dx =

∑n≥0

zn

n!

∫Rxnf(x)dx.

Intégrales à paramètre

? Exercice 11.4. Le but de cet exercice est de montrer que I :=

∫ +∞

0

sinx

xdx =

π

2.

a) i) Montrer que l'intégrale généralisée I est convergente.

ii) La fonction g : x 7→ sin(x)/x est-elle Lebesgue-intégrable sur R∗+ ?

b) Soit f(x, t) = e−xtsinx

x1]0,+∞[(x).

i) Montrer que pour tout t > 0, la fonction x 7→ f(x, t) est Lebesgue intégrable.

ii) Montrer que la fonction F (t) =∫R f(x, t)dx est dérivable sur ]0,+∞[.

iii) Calculer F ′(t) puis limt→+∞ F (t). En déduire que : F (t) = π2− arctan t.

c) Soient A > 0 et t > 0. Montrer que∣∣∣∫ +∞A

f(x, t)dx∣∣∣ ≤ 2

A.

24

d) Montrer que pour A > 0,

limt→0+

∫ A

0

f(x, t)dx =

∫ A

0

sinx

xdx.

e) Conclure.

Exercice 11.5. Soit ϕ la fonction dénie sur ]0,+∞[ par : ϕ(t) =

∫ +∞

0

e−xt1− cosx

xdx.

a) Montrer que ϕ est dérivable pour tout t ∈ ]0,+∞[ et calculer explicitement sa dérivée.

b) Calculer la limite de ϕ(t) quand t→ +∞. En déduire la valeur de ϕ(t).

Exercice 11.6. Soit f la fonction dénie sur R+ par f(t) =

∫ +∞

0

(sinx

x

)2

e−txdx.

a) Montrer que f est continue sur R+ et deux fois dérivable sur R∗+.b) Calculer f ′′ et les limites en +∞ de f et f ′. En déduire une expression simple de f .

? Exercice 11.7. Soit Γ la fonction dénie sur R∗+ par

Γ(t) =

∫ +∞

0

xt−1e−xdx.

a) Montrer que Γ est de classe C∞ sur R∗+.b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗, Γ(n+ 1) = n!.

c) Montrer que, pour tout t > 0, Γ(t+ 1) =√t tte−t

∫ +∞

−√t

(1 +

y√t

)te−√tydy.

d) Montrer que, pour tout y ≥ 0, la fonction t 7→ t ln(

1 + y√t

)− y√t est décroissante sur

]0,+∞[ et que

∀y ∈]−√t, 0[

t ln

(1 +

y√t

)− y√t ≤ −y

2

2.

e) Montrer que

limt→+∞

∫ 0

−√t

(1 +

y√t

)te−√tydy = lim

t→+∞

∫ +∞

0

(1 +

y√t

)te−√tydy =

∫ +∞

0

e−y2/2dy.

f) En déduire la formule de Stirling : Γ(t+ 1) ∼+∞

√2πt tt e−t.

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Pour aller plus loin

Exercice 11.8. [Théorème de Bohr-Mollerup] Le but de cet exercice est de montrer que lafonction Γ dénie à l'exercice précédent est l'unique fonction G : R∗+ −→ R∗+ qui vérie :

(i) lnG est une fonction convexe (on dit aussi que G est log-convexe) ;

(ii) ∀x > 0 G(x+ 1) = xG(x) ;

(iii) G(1) = 1.

1/ On montre d'abord que la fonction Γ vérie ces trois conditions.

a) Montrer que Γ vérie les conditions (ii) et (iii).

b) Montrer qu'une fonction G est log-convexe ssi

∀λ ∈ [0, 1] ∀x, y > 0 G(λx+ (1− λ)y) ≤ G(x)λG(y)1−λ.

c) En déduire que Γ est log-convexe (on pourra utiliser l'inégalité de Hölder).

2/ Montrons maintenant l'unicité. Soit G : R∗+ → R∗+ une fonction vériant (i), (ii) et (iii).

a) Soient n ∈ N∗ et x ∈]0, 1]. Montrer que

G(n+ x) ≤ nx(n− 1)! et n! ≤ G(n+ x)(n+ x)1−x

(Indication : écrire n + x (resp. n + 1) comme une combinaison convexe de n et n + 1(resp. de n+ x et n+ x+ 1)).

b) En déduire que pour n ∈ N∗ et x ∈]0, 1],

n!(n+ x)x−1

x(x+ 1) · · · (x+ n− 1)≤ G(x) ≤ nx(n− 1)!

x(x+ 1) · · · (x+ n− 1).

c) Conclure.

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TD 1. Opérations ensemblistes...Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2014 2015 TD 1. Opérations ensemblistes Une