L'OFFICIEL FFICIEL DE LA TAUPE AUPE · 2015-09-21 · g en eral pas encore et e assimil ees par la plupart des etudiants de premi ere ann ee. ... 2084. document MS Word c au format

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2013/2014É D I T I O N N A T I O N A L E

N° 20

L'L'OOFFICIELFFICIEL DEDE LALA TTAUPEAUPE

É D I T I O N S G Y R O S C O P E

Apres vos oraux, pensez a nous...Etudiants et enseignants, si vous estimez que l’Officiel de la Taupe vous a rendu service et merite de perdurer, nous vousserions reconnaissants de penser a nous et nous adresser vos planches par e-mail au format que vous voulez(*) :

selon votre option : [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] ou [email protected]

Merci de concourir ainsi a perpetuer un travail dont le but est de rendre l’egalite des chances a tous devant les concours.

Pour nous aider le mieux possible, pensez a noter vos planches le soir meme, ou encore mieux, si vous en avez

le courage : tout de suite a la sortie de votre oral. Les valeurs numeriques sont importantes tant en physiquequ’en chimie et disparaissent des memoires tres vite.

Concernant les planches ci-apres. . .

• Comme vous le constaterez a la fin du fascicule, un indexpermet de retrouver les planches portant sur une partiedonnee du programme.

Cela signifie que certains exercices sont accessibles par leseleves de premiere annee lorsqu’ils ont acheve les partiescorrespondantes du programme. Ceci est en effet tout afait theorique. Les meilleurs pourront toujours se distrairedurant l’ete en cherchant les exercices poses aux ENS...En pratique, beaucoup de ces exercices demandent unematurite, une technique de calcul ou des astuces qui n’ont engeneral pas encore ete assimilees par la plupart des etudiantsde premiere annee.

Le temps faisant son ouvrage, avec du travail, ces exerci-ces deviendront comestibles avec l’experience. Les etudiantsmotives commenceront par gouter les exercices des Con-cours Communs Polytechniques. Si cette premiere experien-ce se revele positive, ils pourront ensuite croquer les autresplanches, plus epicees, des Concours Communs Mines-Pontsou Centrale-Supelec.

Le but n’est pas d’ecœurer les etudiants de premiere annee.Nous avons procede de cette facon pour trois raisons :

- Il est important que chacun se rende compte de l’im-portance, au moins en volume, du programme de premiereannee qui tombe encore plus a l’oral qu’a l’ecrit, parfoisdirectement sous forme de question de cours (machinesthermiques, lois de Kepler, etc.).- L’acces a cette information est souvent difficile pour unetudiant. Nous pensons 〈〈qu’un homme averti en vaut deux 〉〉

et que prendre le temps durant des vacances d’apprehendercomment le programme de premiere annee est exploite parles examinateurs est une curiosite qui portera ses fruits. Unepremiere conclusion a tirer sera de prevoir une periode derevision consacree a ce programme.- Enfin, le cote positif : si vous aboutissez sur certainesquestions alors qu’il vous reste un an pour preparer lesconcours, c’est rassurant : vous etes bien a votre place enprepa. Accrochez-vous.• Certains enonces sont parfois -apparemment- peu clairs oupeu developpes.

Ces enonces 〈〈obscurs 〉〉 sont ainsi poses en connaissancede cause par l’examinateur qui souhaite voir et entendrereflechir l’etudiant, a haute et intelligible voix, et pro-gresser dans l’analyse du sujet avant d’aborder la resolutionproprement dite. En dehors de l’absence involontaire de cer-taines valeurs numeriques (pK ou ∆G en chimie, notam-ment), l’aspect 〈〈 imparfait 〉〉 de certains enonces traduit une

realite des oraux que les livres d’exercices corriges oc-culte :

l’initiative demandee au candidat.

• La compilation d’un grand nombre de planches collecteesaupres d’etudiants engendre inevitablement quelques fautesdans les enonces originaux. Quand un enonce nous paraissaitdouteux, il a ete controle. Vous pouvez rencontrer quandmeme des exercices 〈〈faux 〉〉 : une erreur d’enonce est aussiune facon de tester la capacite d’initiative du candidat.Malgre toute notre attention, il peut aussi demeurer quel-ques fautes involontaires !

• On peut trouver a l’interieur d’un meme concours, dansune meme option, des planches de difficultes tres inegales.Ces ecarts entre interrogations traduisent surtout la reus-site plus ou moins heureuse de chaque etudiant. Lorsquela planche paraıt facile, il faut imaginer que l’etudiant n’apas ete tres brillant dans son entree en matiere, ou troplent, et que l’examinateur a creuse pour savoir si la note de-vait tomber tres bas, d’ou l’apparition de questions jugeessimples. Ajoutez a ceci que de certaines planches sont in-completes. Lorsqu’au contraire, l’oral propose paraıt au-dessus du niveau moyen, c’est le plus souvent que le can-didat s’est montre brillant et rapide sur le premier sujetpropose. L’examinateur va alors chercher a l’evaluer le plusjustement possible en posant un ou plusieurs exercices pluslongs et plus diffciles dont il n’attend necessairement pasune resolution complete : les methodes proposees, l’analyseclaire du sujet ou quelques calculs fins bien menes, suffirontlargement a l’eclairer.En conclusion, n’enviez pas hativement la 〈〈chance 〉〉 de telcandidat inconnu qui a eu une planche facile, ou ne redoutezpas la 〈〈malchance 〉〉 de tel autre, tout aussi inconnu, qui aeu trois exercices de plus en plus difficiles.

• Il apparaıt de plus en plus de planches faisant appel tresdirectement au cours, sans que cela soit forcement un signede mauvaise planche. Les connaissances de premiere anneesont toujours aussi sollicitees, dans toutes les matieres.

• S’il arrive que des exercices retombent d’une annee surl’autre, il nous apparaıt aussi clairement que le bachotaged’un concours dans une option ne portera pas tous les fruitsesperes : de nombreux exercices sont nomades et oscillentd’une annee a l’autre entre deux ou plusieurs concours.Un autre inconvenient du bachotage est dans la multiplicitedes solutions de nombreux exercices.Si vous servez a l’oral une solution manifestement trop〈〈apprise 〉〉, l’examinateur en demandera une autre et se feraalors une meilleure idee de votre capacite de reflexion.

(*) Par ordre de preference :1. document TEX ou LATEX avec le pdf du typeset ;2. tout texte avec et ˆ pour indices et exposants, delta pour δ, Delta pour ∆, etc. ;3. document pdf avec texte accessible ;4. tout document papier bien ecrit et bien scanne ;...2 082. tout document illisible ou sans rapport avec le sujet ;2 083. ne rien envoyer ;2 084. document MS Word c© au format docx.

L’officiel de la taupe numero Page c© MMXIII Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

ENS option MP

Planche 1 Ulm - Lyon - Cachan

Soit n > 1, et Q = [�1, 1]n. Pour toute partie finie � ⇢ Q et pour tout pointx 2 Q, on pose d(x,�) = min

y2�|x� y |.

Soit la suite (MK)K2N definie par : MK = inf�⇢Q,Card�6K

Z

Q

d(x,�)dx.

Montrer que la suite (K1/nMK)K2N est bornee par deux constantes strictementpositives, independantes de K.


Montrer que l’ensemble N des matrices nilpotentes de Mn(R) en est un ferme.Soient A et B deux matrices de SLn(R) (detA = detB = 1).Montrer qu’il existe une application N de [0, 1] dans N , constante par morceaux,telle que l’equation X0 = N(t)X admette une solution continue X, de [0, 1] dansMn(R), de classe C1 par morceaux et verifiant X(0) = A et X(1) = B.


Soient a1

6 a2

6 . . . 6 an et b1

6 b2

6 . . . 6 bn. Soit � 2 �n.

Montrer que

nX

i=1

aibi >nX

i=1

a�(i)bi.


Soit f continue de [0, 1] dans R ; montrer que l’ensemble des points de [0, 1] ou fadmet un maximum local strict est au plus denombrable.


Soit M une matrice complexe inversible d’ordre 2 ; verifier que l’application E(M)qui, a un polynome P a deux variables complexes, homogene de degre 2, associeE(M)(P ) = P �M , est un endomorphisme et donner son spectre en fonction duspectre de M .


Determiner les spectres possibles d’une matrice de permutation (M telle queM(x

1

, . . . , xn) = (x�(1)

, . . . , x�(n)

)) ; on precisera l’ordre de multiplicite desvaleurs propres.Determiner les sous-espaces de Cn stables par toutes les matrices de permutation.


Montrer que l’ensemble H des applications de C dans C de la forme h(z) =az + b

cz + davec (a, b, c, d) 2 Z4 et ad � bc = 1 est un groupe pour la loi de composition des

applications, engendre par f(z) = z + 1 et g(z) = � 1z ·


Soit A une application de classe C1 de [0, 1] dans Mn(R+

).On note (E) : X0(t) = �A(t)X(t) et Xk la solution de (E) qui vaut (1, . . . , 1) autemps t = k. Montrer que 8t 2 [0, k], les coe�cients de Xk(t) sont superieurs a 1.En deduire que (E) admet une solution a coordonnees positives.


On pose g =⇣

a bc d

⌘

2 SL2

(R), c’est-a-dire que ad� bc = 1.

On associe a g l’application g de C dans C definie par g(z) =az + b

cz + d·

Montrer que H = {z 2 C, =mz > 0} est stable par g.

Verifier que SL2

(Z) =n⇣

a bc d

⌘

, (a, b, c, d) 2 Z4, ad� bc = 1o

est un groupe.

Soit D = {z 2 C, |z| > 1 et � 126 <ez 6 1

2} ; montrer que H =

[

g2SL2(Z)

g(D).

Soient (g1

, g2

) 2 SL2

(Z)2 ; montrer que Int g1

(D)\Int g2

(D) = ; si et seulementsi g

1

6= ±g2

, ou IntX designe l’interieur de l’ensemble X.


On note A =

0

B

B

B

B

B

@

2 �1 0 . . . 0

�1 2 �1. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . �1

0 . . . 0 �1 2

1

C

C

C

C

C

A

.

Montrer que si AV , V 2 Rn, est a coe�cients positifs, alors V l’est aussi.Montrer que A est inversible et que A�1 est a coe�cients positifs.Donner les valeurs propres de A.


Soit � de classe C1 sur R2, 2⇡-periodique ; montrer qu’il existe u de classe C1

sur R⇥ [0,+1[, bornee, telle que 8x 2 R, u(x, 0) = �(x, 0) et �(u) = 0.


Montrer que f , croissante de N⇤ dans R⇤+

, telle que pour tout (m,n) 2 N⇤2,premiers entre eux, f(mn) = f(m)f(n), est de la forme f(n) = n↵.

Planche 13 Ulm

Existence et calcul de limn!1

Z ⇡

0

sin(x) sin(nx)

1 + cos2(nx)dx.

Existence et calcul de limn!1

Z

2⇡

0

f(x)g(nx)dx, lorsque f 2 C0([0, 2⇡],R) et

g 2 C0

2⇡(R,R).

Planche 14 Ulm

On donne F (X) =P (X)

Q(X)2 C(X) ; montrer que, pour tout u complexe, il existe

un entier relatif n tel que 8x 2 C, F (x) =

+1X

l=n

alu(x � u)l ou les alu sont des

complexes dependant de u et l ; on justifiera la convergence de cette serie.

Developpement de Laurent de G(u) =1

u2

F� 1u

�

en 0 : G(u) =

+1X

l=n

a1,lul ou

n 2 Z. Montrer que 8F 2 C(X),X

i2C[{+1}

a�l,i = 0.

Pour z1

, . . . , zn complexes tous distincts, calculer

nX

j=1

nY

i=1,i 6=j

1zj � zi

·

Calculer, pour j 2 [[0, n]],

nX

k=j

(�1)k⇣

nk

⌘

.

Planche 15 Ulm

I) Soient E un espace vectoriel norme de dimension n, D1

, . . . , Dp des endomor-phismes diagonalisables de E commutant deux a deux et V un vecteur de E.On note A l’algebre des polynomes en D

1

, . . . , Dp.Donner une CNS sur D

1

, . . . , Dp et V pour que A(V ) = E.II) Une partie X de E, espace de Banach, est dite totalement bornee lorsque,pour tout r > 0, elle peut etre recouverte par un nombre fini de boules ouvertesde rayon r.Montrer qu’en dimension finie, une partie est bornee si et seulement si elle esttotalement bornee.Lorsque E est l’ensemble des suites de carre sommable muni de la norme usuelle,montrer que la boule unite n’est pas totalement bornee.On revient au cas general. Montrer qu’une partie fermee de E est compacte si etseulement si elle est totalement bornee.

Planche 16 Lyon

Soient f continue et 2⇡-periodique de R dans R, (nk)k2Z une suite strictementcroissante d’entiers relatifs telle que si n 6= nk, cn(f) = 0.On note l(k) = max{nk�1

�nk, nk �nk�1

} et on suppose que l(k) tend vers +1quand | k | tend vers +1.Montrer que pour tout polynome trigonometrique T de degre d 6 l(k)� 1 :

cnk

(f) =

Z ⇡

�⇡

f(x)T (x)e�ink

xdx

Z ⇡

�⇡

T (x)dx

·

On suppose de plus que f est derivable en 0 et que f(0) = f 0(0) = 0.

Montrer que cnk

(f) = O� 1

l(k)

�

(on pourra utiliser, µk etant la partie entiere de

l(k)� 1

4, Tk(x) =

⇣

µk

X

j=�µk

eijx⌘

4

=⇣ sin

�

(µk � 12)x�

sin x2

⌘

4

).

Planche 17 Lyon

On note E l’ensemble des ellipses de R2 symetriques par rapport a l’origine.Montrer que pour tout (e

1

, e2

) 2 E2, il existe une base B avec detB = 1 telleque les equations de e

1

et e2

dans cette base soient de la forme aix2 + ciy2 = 1,pour i 2 {0, 1}.Montrer qu’on peut mettre naturellement E en bijection avec une partie C de R3.Montrer que C est convexe.Montrer que l’application � qui, au triplet (a, b, c) 2 C, associe l’aire de l’ellipsecorrespondante, est strictement convexe.

Planche 18 Lyon

Pour r 2 N⇤, donner le nombre de permutations de [[1, n]] n’ayant pas de r-cycle.

Planche 19 Lyon

Soit p premier. On se place dans Z/pZ, que l’on note K.

Donner une CNS sur (i1

, . . . , in) pour que S =X

x2Kn

xi11

. . . xin

n soit nul.

Si elle n’est pas realisee, que vaut S ?Soit R 2 K[X

1

, . . . , Xn] tel que R(0, . . . , 0) = 0 et de degre total strictementinferieur a n ; montrer que le nombre de solutions de l’equation R(x) = 0 est unmultiple de p (on pourra poser Q = 1�Rp�1).

Planche 20 Lyon

Soit P 2 R[X] positif ; montrer qu’il existe (Q,R) 2 R[X]2 tels que P = Q2 +R2.Soit (sn)n2N une suite de reels, et S l’application qui a tout polynome

P =

1X

k=0

akXk, associe

1X

k=0

aksk.

Montrer l’equivalence des propositions suivantes :

(1) 8m 2 N, q(x) =X

i,j2[[0,m]]

2

si+jxixj est une forme quadratique definie positive.

(2) 8P 2 R[X] positif, non identiquement nul, S(P ) > 0.

Planche 21 Lyon

Soient p premier, n 2 N, Q un polynome unitaire a coe�cients entiers.Soit x entier tel que pn divise Q(x) et p ne divise pas Q0(x).

Soit v un inverse de Q0(x) dans Z/pZ ; montrer que p2n divise Q�

x� vQ(x)�

.

L’o�ciel de la taupe numero 20 Page 5 c� MMXIII Editions O�ciel de la Taupe Gyroscope

Planche 22 Cachan

Soit Un l’ensemble des matrices unitaires de Mn(C) (telles que A⇤A = In).Exhiber deux endomorphismes de Mn(C) qui stabilisent Un.Que peut-on dire des valeurs propres d’une matrice de Un ?Soient U et V deux matrices complexes telles que, pour tout x de module 1,U + xV 2 Un ; montrer que U⇤V = 0 et en deduire rg(U) + rg(V ) = n.On(R) est-il connexe par arcs ? Montrer que Un est connexe par arcs.Montrer que, si on prend un chemin continu de l’identite a une matrice W , cheminappele W (t) par exemple, g(t) = rgW (t) est localement croissante.

Planche 23 Cachan

I) Determiner le rayon de convergence et calculer la somme deX

n>0

anzn ou a

0

= 0

et 8n 2 N⇤, an =

nX

i=1

1i·

En utilisant une serie entiere, determiner une expression de an defini par a0

= 1et 8n 2 N⇤, an+1

= 2an + 1.

II) Le schema ci-contre represente un arbre binaire a 6feuilles ; trouver le nombre d’arbres binaires a n feuilles.

Planche 24 Cachan

I) Soit (Fn) une suite de fermes de Rn, tels que Fn+1

⇢ Fn et �(Fn) tend vers 0.Montrer que l’intersection des Fn est reduite a un point.II) Peut-on recouvrir R2 par une union disjointe de cercles de diametre non nul ?

Planche 25

Soient V un sous-espace vectoriel de Mn(C), G un sous-groupe de GL(V ) et Fune application de G dans C. On note VF = {v 2 V, 8g 2 G, g(v) = F (g)v}.Soit H un sous-groupe connexe par arcs de GLn(C) dont tous les elementsadmettent un vecteur propre commun v.Pour h 2 H, on note �h la valeur propre associee a v.Que dire de l’application de G dans C qui a g associe �g ?On note H0 le sous-groupe de H engendre par les aba�1b�1, (a, b) 2 H2.Montrer que 8� 2 H0, 8h 2 H,h�1�h 2 H0 puis que H0 est connexe par arcs.

ENS option PC

Planche 26 Ulm

Pour tout k 2 N, on pose xk = ln k � bln kc. Etudier la convergence de la suite

definie, pour n 2 N⇤, par Sn =1n

nX

k=1

f(xk) ou f 2 C0([0, 1],R).

Planche 27

I) Soit P un polynome unitaire a coe�cients complexes, nul en 0.

On note !k = e2ik⇡/n ; calculer S =

n�1

X

k=0

P (!k).

On donne 3 points du plan A1

, A2

, A3

.Montrer qu’il existe un sommet S du triangle inscrit dans le cercle de rayon R etde centre A

1

, qui verifie SA1

.SA2

.SA3

> R3.II) Image de la sphere unite de R3 par u, lineaire et surjective de R3 dans R2.

Planche 28

Soit � continue, de classe C1 de R dans R, qui tend vers l < 0.Montrer que si f est solution de f 00 +�f = 0, elle admet un nombre fini de zeros.Que se passe-t-il lorsque � tend vers l > 0 ?

Planche 29

Soit M 2 Mn(C) et k 2 N⇤, tels que Mk = In.Montrer que tr(M) = n si, et seulement si, M = In.Montrer que G = {M 2 Mn(C), Mk = In} est un sous-groupe fini de GLn(C)(on pourra montrer que {tr(M), M 2 G} est fini).

´

Ecole Polytechnique option MP

Planche 30

I) Soient p matrices telles que A1

+ . . .+Ap = In.Montrer l’equivalence entre les deux propositions :(i) pour tout i, Ai est un projecteur ;(ii) AiAj = 0 si i di↵erent de j.II) Soient E espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces dememe dimension ; existe-t-il un supplementaire commun a F et a G ?

Planche 31

Pour (sn) une suite reelle, on pose mn =1

n+ 1

nX

k=0

sk.

Montrer que si (sn) converge, (mn) converge aussi.La reciproque est-elle vraie ? L’est-elle dans certains cas ?Soit tn = ↵sn + (1� ↵)mn avec ↵ > 0.Montrer que, si (tn) converge, (sn) converge aussi.

Planche 32

I) Donner un developpement asymptotique a deux termes de un, defini par

u0

> 0, un+1

= un +1un

·II) Soient A

1

, . . . , Ak, matrices de Mn(K) verifiant 8i 2 [[1, k]], A2

i = Ai etA

1

+ . . .+Ak = In ; montrer que, pour i 6= j, AiAj = 0.III) Montrer que 19 divise un nombre de la forme 222 . . . 22.

Planche 33

I) Trouvez tous les endomorphismes de GLn(R) conservant l’orthogonalite (ausens du produit scalaire usuel sur Rn).

On definit T sur Mn(R) par T (A) = tr(tAA).

Montrer que E = {u 2 GLn(R), 8A 2 Mn(R), T (u�1Au) = T (A)} estl’ensemble de la question precedente.

II) Soit f continue de R dans R et possedant en tout point une derivee a gaucheet a droite telles que f 0

d(x) = 2f 0g(x) ; montrer que f est constante.

Planche 34

On note � la courbe d’equation polaire r = e✓ ; montrer que, pour tout point Pdu plan, il existe une infinite de tangentes a la courbe interceptant ce point, puismontrer que, pour P fixe, les points de contact aux tangentes a la courbe passantpar P sont sur un meme cercle que l’on caracterisera.

Planche 35

Soient 2n reels a1

> a2

> . . . > an > 0 et b1

> b2

> . . . bn > 0.

Trouver max�2S

n

nX

i=1

aib�(i).

Planche 36

Soient deux suites reelles positives (an) et (cn) telles queP

cn converge,P

ancn

converge, et 8n 2 N,X

k>n

akck > an.

Montrer que (an) est nulle a partir d’un certain rang.

Planche 37

I) Montrer que fn(x) = xn + xn�1 + . . . + x2 + x � 1 admet une unique racinean > 0 et etudier la suite (an).II) Soit (A,B) 2 Mn(C)2 verifiant rgA = rgB et A2B = A.

Montrer que B2A = B.

Planche 38

Trouver toutes les fonctions f de classe C1 sur R⇤+

a valeurs dans R telles qu’ il

existe k < 0 verifiant f 0(x) = f�kx

�

.

Planche 39

Montrer que l’ensemble G des endomorphismes f de R4 qui laissent invariants laforme quadratique q, definie par q(X) = x2

4

� x2

1

� x2

2

� x2

3

, est un groupe.

Soit M la matrice de f , de coe�cients mij .

Montrer que 8f 2 G, m2

4,4 > 1 et detM2 = 1.

Montrer que G0 = {M 2 G, m4,4 > 0, detM = 1} est un groupe (en notant A la

matrice de q, on pourra montrer que tMAM = A).

Planche 40

Convergence de la serie de terme general un(z) =zn

1 + z2n+1

2 C.

On note U(z) sa somme ; montrer que pour | z | < 1, U est paire.

Planche 41

On note M une application derivable de I ⇢ R dans M2

(R), telle que

8t 2 I, detM(t) = 1 et �(t) = tr�

M(t)�

est derivable sur I.

Montrer que si t0

verifie�0(t0

) 6= 0 et�(t0

) = ±2,M(t0

) n’est pas diagonalisable.Que se passe-t-il si �(t

0

) prend d’autres valeurs ?

Soit l’equation y00(t) + ty(t) = 0 avec les conditions initiales y(0) = y0

ety0(0) = y0

0

.

Trouver M(t) telle que, pour tout t 2 I, t�

y(1) y0(1)�

= M(t)t�

y(0) y0(0)�

.

Planche 42

On note �1

la fonction caracteristique de⇥

� 12, 12

⇤

(qui vaut 1 sur cet ensemble

et 0 autre part) et �n+1

(x) =

Z x

�1

⇣

�n

�

t+ 12

�

� �n

�

t� 12

�

⌘

dt.

Montrer que �n est positive, paire et Cn�2, puis donner son tableau de variations.

Calculer

Z

R�n.

Planche 43

Soit (an) une suite reelle strictement positive et bn =an

a0

+ . . .+ an·

Montrer que�

P

an�

converge si et seulement si�

P

bn�

converge.

Planche 44

Donner la limite de la suite de terme general In =

Z b

a

f(t)sin(nt)

tdt ou f est C1

sur [a, b].

Planche 45

Soit (an) une suite de reels verifiant 8(i, j) 2 N, ai+j 6 ai + aj .

Montrer que�ann

�

converge vers infn2N

ann

2 R.

Que peut-on dire de�

kAn k1/n�

, avec A 2 Mn(K) ?

Montrer que a1

+a2

2+ . . .+

ann > an.


Planche 46

Soient K ⇢ R un Q-espace vectoriel de dimension finie et (a, b) 2 K2 tels queab

/2 Q. Existe-t-il une fonction � de K dans R, additive (ie verifiant 8(x, y) 2 K2,

�(x+ y) = �(x) + �(y)), telle que �(a) = 1 = ��(b) ?Pour tout rectangle [x

1

, x2

]⇥ [y1

, y2

], on pose :µ([x

1

, x2

]⇥ [y1

, y2

]) = �(x2

� x1

)�(y2

� y1

).

Soit A = [x1

, x2

] ⇥ [y1

, y2

] =

n[

k=1

Ak, ou les Ak = [x1,k, x2,k] ⇥ [y

1,k, y2,k] sont

des rectangles hhdisjoints ii (dont l’intersection des interieurs pris deux a deux est

vide). Montrer que µ(A) =

nX

k=1

µ(Ak).

Soit A un rectangle de cotes a et b, dont il existe une decomposition en carres

disjoints ; montrer queab2 Q.

Soit A un carre de cote 1 dont il existe une decomposition en carres disjoints ;montrer que les cotes des carres de la decomposition sont tous des rationnels.

A quelle condition un nombre entier est-il somme d’un certain nombre de carresd’entiers ? Montrer que si a et b sont chacun somme de deux carres, alors ab estsomme de deux carres.

Planche 47

Soient E un ensemble fini de cardinal 2n+ 1 dont les elements sont notes ai et pune application de E dans R⇤

+

appelee fonction poids.

Si A est une partie de E, on appelle poids de A et on note P (A) la somme despoids des elements de A.On suppose que, pour tout i, il existe deux parties disjointes Ai et Bi, toutesdeux de cardinal n, de meme poids, et telles que Ai [Bi [ {ai} = E.Montrer que p est constante.

Planche 48

Soit P (X) = X3 + aX2 + bX + c 2 R[X] ; donner une condition necessaire etsu�sante sur a, b, et c pour que toutes les racines de P aient une partie reellestrictement negative.Soit A 2 M

(3,3) dont la partie reelle de toutes les valeurs propre est negative.

Donner le comportement d’une solution de X0 = AX en +1.

Planche 49

Soient f et g deux fonctions de R+

dans R telles que

Z

+1

0

f2 et

Z

+1

0

g2 existent.

Montrer que 9C 2 R,ZZ

R2+

f(x)g(y)

x+ ydxdy 6 C

⇣

Z

+1

0

f2

⌘

1/2⇣Z

+1

0

g2⌘

1/2

.

Planche 50

Soit x de classe C1 sur [0, 1] a valeurs dans R, telle que x(0) = x(1) = 0.

Montrer que

Z

1

0

x(t)2

t(1� t)dt 6 1

2x0(t)2dt ; quand a-t-on egalite ?

Planche 51

Montrer que l’ensemble P des projecteurs orthogonaux de Mn(R) est compact.Est-il connexe par arcs (on exclura la matrice nulle de P ) ?Montrer que les composantes connexes par arc de P sont les ensembles deprojecteurs orthogonaux de meme rang.

Planche 52

I) Soit z 2 C verifiant l’equation z2 + pz + q = 0, ou p et q sont entiers.On suppose z /2 R et | z | 6 1. Montrer que z est racine de l’unite.

II) A quelle condition, M 2 Mn(Z), inversible dans Mn(C), est-elle inversibledans Mn(Z) ?Soit M 2 GLn(Z), ayant n valeurs propres distinctes, de module inferieur ou egala 1, dans C ; montrer que ces valeurs propres sont de module 1.Trouver une norme telle que, pour tout entier naturel p, kMp k 6 1.

Planche 53

Pour f continue de ]a, b[ dans R, on note, lorsque c’est defini :

�(f)(x) = limh!0

1

h2

�

f(x+ h) + f(x� h)� 2f(x)�

.

On suppose f derivable au voisinage de x0

et que f 00(x0

) existe.Montrer que �(f) est defini en x

0

.On suppose que �(f) est defini et nul sur ]a, b[. Montrer que f est a�ne.

Planche 54

Montrer que Hn, matrice carree de diagonale (v1

, v2

, . . . , vn), de sur-diagonale de1 et de sous-diagonale de 1, admet n valeurs propres reelles.Montrer que les valeurs propres sont entrelacees quand les vi sont fixes, c’est adire que �n,1 < �n�1,1 < �n,2 < . . . < �n�1,n�1

< �n,n.

Planche 55

Soient A 2 Mn(R), B 2 Mnp(R) ; montrer qu’il est equivalent de dire :

(i) 9X 2 Mp(R) telle que M =⇣

A BtB X

⌘

est symetrique et orthogonale ;

(ii) A est symetrique et AtA+BtB = In.

Planche 56

Pour f continue de R dans R, on pose, pour h 6= 0 :

F (x, h) =f(x+ h/2)� f(x� h/2)

het �f(x) = lim

h!0

F (x, h), lorsque elle existe.

Montrer que lorsque f est de classe C1, �f existe pour tout x et que la convergenceest uniforme sur tout compact.On suppose maintenant f seulement continue et �f(x) = 0 pour tout x.Montrer que f est constante (on pourra supposer que f(0) = 0 et introduire lafonction g definie par g(x) = f(x) + "x+ " pour " > 0).

Planche 57

Soient A1

, . . . , Ap, p parties d’un ensemble E.Quel est le cardinal de l’ensemble des parties de E engendre par l’intersection,l’union et le complementaire des Ai (on pensera a utiliser un formalisme denombres binaires) ?

´

Ecole Polytechnique � ESPCI option PC

Planche 58

I) Soient (H1

, . . . , Hm) des hyperplans d’un espace vectoriel E de dimension n.Trouver un minorant de la dimension de H

1

\ . . . \Hm en fonction de n et m.II) On note DR le disque de centre O et de rayon R > 0.

Etudier J =

ZZ

DR

exp(�x2 � y2)dxdy et en deduire L =

Z

+1

0

exp(�x2)dx.

Planche 59

I) Soit f de R+

dans R telle que f 02 soit integrable sur [1,+1[.

Montrer que g, definie par g(t) =�f(t)

t

�

2

l’est aussi.

II) M 2 Mn(R), telle que Mk est diagonalisable, l’est-elle aussi dans tous lescas ? Que peut-on dire de M si Mk est inversible ?

Planche 60

I) Pour M 2 Mn(C) et P 2 C[X], montrer que Sp�

P (M)�

= P�

Sp(M)�

.

II) La suite de terme general un =

q

1 +p

1 + . . .+p1 converge-t-elle ?

Si oui, quelle est sa limite ?

Planche 61

Soit A 2 Mn(R) ; montrer que detA = 0 si et seulement s’il existe une matriceB 6= 0 telle que AB = BA = 0.

Planche 62

I) Montrer que l’intersection de deux sous-espaces a�nes est soit vide, soit unsous espace a�ne. Que dire si l’un des deux est un hyperplan a�ne ?II) Determiner lim

x!⇡/2sinx1/ cos x

III) Soit f , de classe C1 de R+

dans R+

, telle que f 0 soit integrable sur R+

.

Montrer la convergence de h(a, b) =

Z

+1

0

f(ax)� f(bx)

xdx, (a, b) 2 R2

+

, et

l’expliciter entierement a l’aide de

Z

+1

0

f 0(x)dx.

Planche 63

I) Montrer que, pour M 2 Mnp(R), det(tMM) > 0.Soient A

1

, . . . , An, sous-ensembles finis de l’ensemble {k 2 N, 1 6 k 6 t} ; on noteaij = Card(Ai \Aj) et A la matrice de coe�cients aij . Montrer que detA > 0.

II) Pour f continue de [0, 1] dans R, p et q strictement positifs verifiant1p+

1q = 1,

on pose k f kp =⇣

Z

1

0

| f(x) |p dx⌘

1/q

.

Montrer que k f k1

6 1p k f kpp +

1q puis que k f k

1

6 k f kp (on pourra commencer

par le cas k f k1

= 1).

Planche 64

I) Soient t 2 R⇤ et A =

0 t t2

1/t 0 t1/t2 1/t 0

!

. Calculer An.

II) Soit f une solution bornee de l’equation di↵erentielle y00 + x

1 + x3

y = 0.

Montrer que limx!+1

f 0(x) = 0.

III) Etude de l’integrabilite de f(x) = 1lnx

en zero, 1 et +1.

Planche 65

Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de Etels que f � g + g � f = 0.On suppose f inversible et g diagonalisable : montrer que rg g est pair.On suppose que Im f \ Ker f = {0} et que g est diagonalisable : montrer quedim(Im f \ Im g) est paire.

Planche 66

I) Montrer que l’equation xn + x = 1 admet une unique solution xn 2 [0, 1].La suite (xn)n2N converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?Donner un equivalent de 1� xn.II) Montrer que M 2 Mn(R) est nilpotente d’ordre p, alors p 6 n.Donner un exemple de J 2 Mn(R) telle que Jn = 0 et Jn�1 6= 0.On cherche X 2 Mn(R) telle que X2 = J . Existe-t-elle ? Si oui, la donner.III) Toute droite de Rn est-elle l’intersection de deux hyperplans de Rn ?

Planche 67

I) Soit (A,B) 2�

Mn(R)�

2

tel que tr(AtA+BtB) = tr(AB + tAtB).

Montrer que A = tB.

II) Soit f 2 C2(R,R), telle que f 00 > 0 ; montrer que 8x 2 R, f�

x+f 0(x)�

> f(x).

Planche 68

I) Soit A 2 Mn(R) telle que 8X 2 Mn,1(R), tXAX = 0.Montrer que tr(A) = 0, que det(A) > 0 et que det(A) = 0 si n impair.

II) Soit (un)n2N une suite de R⇤+

, telle que 9↵ 2 R⇤+

,un+1

un= 1� ↵

n + o� 1n

�

.

Montrer que si ↵ > 1, la serieP

un converge et que si ↵ < 1, elle diverge.Que dire de cette serie si ↵ = 1 ?

Planche 69

I) Montrer que la serie des xE(

pk) est convergente et calculer sa somme.

II) Montrer que le determinant de A 2 Mn(R), dont tous les coe�cients sontegaux a 1 ou �1, est un multiple de 2n�1.

Planche 70

I) Soit h de classe C1 de R dans R, telle que 8n 2 N⇤, h� 1n

�

=n2

n2 + 1·

Calculer h(k)(0).II) Toutes les matrices symetriques complexes sont-elles diagonalisables ?


´

Ecole Polytechnique � ENS Cachan option PSI

Planche 71

Soit h(x, y, z) = xyz + xy + zy ; a quelles conditions sur x, y et z, la matricehessienne associee a h a-t-elle des valeurs propres positives ?

Montrer que la matrice hessienne de f , de classe C2 de R3 dans R, ayant unminimum local en X

0

= (x, y, z), a ses valeurs propres positives.

Montrer que h n’a pas de minimum local.

Planche 72

I) Montrer que l’ensemble E des fonctions lipschitziennes de R dans R est unsous-espace des fonctions continues.Montrer que F = {f 2 E, f(0) = 0} est un sous-espace de EDonner un supplementaire de F .

Soit 0 < t < 1 ; montrer que �, qui a f 2 F , associe g telle que g(x) = f(x)�f(tx),est bien defini et que c’est un endomorphisme. Est-il injectif ?

On veut montrer que � est isomorphisme.Pour g 2 F , on suppose qu’il existe f 2 F telle que g = �(f).

Exprimer

n�1

X

k=0

g(tkx) pour n 2 N⇤ ; montrer que f(x) =

+1X

k=0

g(tkx) et conclure.

Determiner toutes les fonctions f verifiant f(x)� 2f(tx) + f(t2x) = x.

II) Pour n > 3, soit A 2 Mn(C) verifiant An = In et 8d < n, Ad 6= In.Montrer que 9V 2 Cn tel que (V,AV, . . . , An�1V ) soit une base de Cn.Montrer que les matrices qui commutent avec A sont les polynomes en A.

Planche 73

On note Dn(C) l’ensemble des matrices diagonalisables.Pour D 2 Dn(C), de coe�cients diagonaux d

1

, . . . , dn, on note expD la matricediagonale de coe�cients diagonaux ed1 , . . . , edn .Si M = PDP�1, on note expM = P (expD)P�1.

Montrer que exp est definie sur Dn(C), soit :PDP�1 = QD0Q�1 ) P (expD)P�1 = Q(expD0)Q�1.

Pour M 2 Dn(C) on note f l’application qui a t 2 R associe exp(tM).Montrer que f est derivable sur R et calculer sa derivee.

Si (M,N) 2 Dn(C)2 et R 2 Mn(C), on note Y (t) = exp(tM)R exp(tN).

Montrer que Y (t)�R = M

Z t

0

Y (s)ds+⇣

Z t

0

Y (s)ds⌘

N .

On pose kA k =X

16i,j6n

| aij | ; montrer que kAB k 6 kA k kB k.

On suppose les valeurs propres de M et N a partie reelle strictement negative.

Montrer que limt!+1

Y (t) = 0 et que

Z t

0

Y (s)ds admet une limite quand t tend

vers +1.Montrer qu’il existe X 2 Mn(C), unique, telle que MX +XN = R.

Planche 74

Pour a, b, µ reels, b 6= 0 et A 2 R[X] de degre d, on etudie les suites recurrentesa�nes d’ordre 2 du type un+2

+ aun+1

+ bun = µnA(n).

• On suppose µ2 + aµ+ b 6= 0.Montrer que �, defini sur Rd[X] par �(U)(X) = µ2U(X+2)+aµU(X+1)+bU(X)est un automorphisme.En deduire : 9B 2 Rd[X], �(B) = A et B(n)µn est solution.

• On suppose que µ est racine de X2 + aX + b d’ordre k 2 {1, 2}.Montrer que , qui a U 2 Rd+k[X] associe µ2U(X + 2) + aµU(X + 1) + bU(X)est un endomorphisme surjectif. Trouver une solution particuliere.

• On generalise le probleme : soit r > 2 ; trouver une methode pour obtenir unesolution particuliere de un+r + a

1

un+r�1

+ . . .+ arun = µnA(n).Trouver une solution particuliere de un+2

� 2un+1

+ un = n+ 1.

Planche 75

Pour ↵ > 0, on dit que f , de R dans R est ↵-holderienne si :9c > 0, 8(x, y) 2 R2, | f(x)� f(y) | 6 c |x� y |↵.Montrer que f , ↵-holderienne, est continue et que si ↵ > 1, f est constante.

Dans la suite, on suppose12< ↵ 6 1, f ↵-holderienne et 2⇡-periodique.

Pour � > 0, on pose h(x) = f(x+ �)� f(x).

Trouver C1

en fonction de c, tel queX

p2Z| cp(f) |2 sin2

p�

26 C

1

�2↵.

Pour � =⇡

3.2n, trouver C

2

en fonction de C1

tel que :X

2

n6| p |62

n+1

| cp(f) |2 6 C2

2�2↵n.

En deduire une majoration deX

2

n6| p |62

n+1

| cp(f) |.

Montrer que la serie de Fourier de f converge normalement vers f .

Planche 76

Ensemble de definition de f(x) =

Z

1

0

dtp

(x2 + t2)(1 + t2)·

Montrer que f y est de classe C1. Calculer

Z

1

0

dtp

(x2 + t2)·

Donner les limites et un equivalent de f en 0 et +1.

Concours Commun Centrale � Supelec option MP

Planche 77

I) Donner l’intervalle de definition I ⇢ R de s qui a x associe

+1X

n=1

xnpn·

Quel est le signe de s0 sur I \ R+

?Donner les limites de s aux bornes de I \ R

+

.

Ecrire (1� x)s0(x) sous forme de serie et en deduire le signe de s0 sur I.Etudier la convexite de f definie sur R

+

par f(x) = (px+ 1�

px)x.

Montrer, a l’aide du resultat precedent, que s est convexe.II) Cours : enonce precis du theoreme des series alternees.

Planche 78

Expliciter Pn tel que, au voisinage de 0,p1 + x = Pn(x) + o(xn).

Montrer que Xn divise 1 +X � Pn(X)2.Soit N une matrice complexe, carree, d’ordre n et nilpotente.Pour A = In +N , montrer qu’il existe B 2 C[A] = {P (A), P 2 C[X]}, telle queB2 = A et dont l’unique valeur propre est 1.Soit A 2 GLn(C) ayant une seule valeur propre ; montrer qu’il existe B 2 C[A]telle que B2 = A et B n’a qu’une seule valeur propre.Soit A 2 GLn(C) ; montrer qu’il existe B 2 C[A] telle que B2 = A et

Card�

Sp(B)�

= Card�

Sp(A)�

.

Soient A 2 Mn(C) telle que AA = In et B definie comme precedemment.Montrer que A = BB�1 (on pourra montrer que BB est diagonalisable).

Planche 79

I) Soit A matrice symetrique reelle et Q sa forme quadratique associee.Montrer que {x 2 Rn, Q(x) = 1} est compact non vide si et seulement si A estdefinie positive. Que dire du spectre de A si cet ensemble est vide ?Montrer que A est definie positive si et seulement si il existe M inversible telleque A = tMM .Montrer que M inversible s’ecrit OT ou O represente une isometrie et T esttriangulaire superieure inversible.Montrer que A est definie positive si et seulement si A = tTT avec T triangulaireinversible.

Montrer que 0 < detA 6nY

i=1

aii.

II)Montrer qu’un hyperplan non ferme d’un espace de dimension infinie est dense.

Planche 80 Avec Maple

On donne fn(x) =

nX

k=0

sin(kx)pk

· Tracer sur [0,⇡] les 10 premiers fn.

Donner les 20 premieres valeurs de f2n

� ⇡4n

�

� fn� ⇡4n

�

.

Montrer que (fn) converge simplement. Quid de la convergence uniforme ?Montrer que la limite simple f est la partie imaginaire de :Z

+1

0

exp(ix� t)pt

�

1� exp(ix� t)�

dt.

En deduire le signe de f .


Un entier n est dit pseudo-premier en base a s’il verifie an�1 ⌘ 1[n].Un entier est dit de Carmichael s’il est compose et pseudo-premier en toute base.Autrement dit, les nombres de Carmichael sont les contre-exemples a la reciproquedu petit theoreme de Fermat.

Ecrire une procedure verifiant si un entier est pseudo-premier.Donner, par n’importe quel moyen, la liste des nombres de Carmichael inferieursa 2000.Montrer par l’absurde qu’un nombre de Carmichael n’a pas de facteur carre (onposera n = p2m et a = 1 + pm, puis on observera an modulo n).

On ecrit alors n =

kY

i=1

pi, ou les pi sont des nombres premiers distincts.

Montrer, par une utilisation subtile du theoreme chinois, que 8i, pi � 1 divisen� 1. Donner la liste des nombres de Carmichael inferieurs a 105.


On note (Fn) la suite definie par F0

= 0, F1

= 1, et Fn+2

= Fn+1

+ Fn.A�cher les 20 premieres valeurs de Fn.On note Sk l’ensemble des solutions dans Z de x2 + y2 + 1 = kxy ou k 2 N.Calculer Sk \ [[0, 100]]2 pour k 6 10 ; que conjecturer ?

On suppose k 6= 3 ; montrer que si Sk 6= ;, alors S+

k = Sk \ N⇤2 6= ; et que si

(x, y) 2 S+

k alors x 6= y.

Soit (x, y) 2 S+

k avec x < y ; montrer que (ky � x, y) 2 S+

k et 0 < ky � x < x.Conclure a une contradiction et prouver l’une des conjectures.On suppose k = 3 ; trouver les solutions de S+

3

de la forme (x, x).Montrer, par recurrence sur n, que :

{(x, y) 2 S+

3

, x+ y 6 n} ⇢ {(1, 1}[

p2N⇤

{(F2p+1

, F2p�1

), (F2p�1

, F2p+1

)}.

Planche 83

GLn(C) est-il un sous-espace vectoriel de Mn(C) ? Est-il stable par produit ?Montrer que pour tout couple (x, y) non nul de vecteurs de Cn, il existe A dansGLn(C) telle que Ax = y.En deduire que les sous-espaces de Mn(C) stables par GLn(C) sont Cn et {0}.Soit L un sous-espace de Mn(C) stable par multiplication, tel que les seuls sous-espaces stables par L sont Cn et {0}. On veut montrer qu’il existe une matricede rang 1 dans L. On note m = min{rg(M), M 2 L}.Soit M

0

2 L de rang m que l’on suppose au moins egal a 2.On note (z

1

, . . . , zm) une base de ImM0

.Montrer que {Nz

1

, N 2 L} = Cn, qu’il existe N0

2 L telle que M0

N0

z1

= z2

puis que (M0

N0

M0

,M0

) est libre.Montrer qu’il existe ↵ 2 R⇤ et z dans Cn\{0} tels que M

0

N0

M0

z = ↵z puisconclure a l’aide de M

0

N0

M0

� ↵M0

.Pourquoi n’est-ce plus vrai dans Mn(R) ?Dans Mn(C) on peut trigonaliser ; dans Mn(R) que peut-on faire ?



On note An la matrice carree complexe de coe�cient ankl = !(k�1)(l�1)

n ou

!n = e2i⇡/n.A l’aide du logiciel, calculer les 16 premiers termes de la suite de terme general

un =detAn

nn/2· Quelle conjecture peut-on faire ?

En interpretant An, montrer, sans calcul, que un 6= 0.

Soit n fixe et pour 1 6 l 6 n, Zl =

nY

k=1,k 6=l

(!l�1

n � !k�1

n ).

Exprimer detA2

n en fonction des Zl.En considerant le polynome P (X) = Xn � 1, calculer les Zl de deux faconsdi↵erentes ; en deduire que u2

n 2 R.On note ✓n l’argument, compris entre �⇡ et ⇡, de un.Donner les expressions de un et ✓n en fonction de n.


On dit qu’un polynome A 2 R[X] est stable si et seulement s’il est non constant etsi toutes ses racines reelles ou complexes ont une partie reelle strictement negative.Montrer que si A est stable, il est a coe�cients strictement positifs.

On note a1

, . . . , an les racines de A et on pose B =Y

16i<j6n

�

X � (ai + aj)�

.

Montrer que A est stable si et seulement si tous les coe�cients de A et B sontstrictement positifs.Donner une condition necessaire et su�sante sur A = X3 + aX2 + bX + c pourqu’il soit stable (on pourra utiliser la commande Maple simplify a laquelle onajoutera des arguments).

Planche 86

On note C l’ensemble des endomorphismes u de Rn euclidien, verifiant :8x 2 Rn, ku(x) k 6 kx k.Soit F l’enveloppe convexe de l’ensemble On des automorphismes orthogonaux.Montrer que C est convexe, que On ⇢ E puis que F ⇢ C.

Montrer que �, defini sur E\{0} par �(x) =ku(x) k2

kx k2, admet un maximum atteint

notamment en un vecteur x0

unitaire.Montrer que � est di↵erentiable et calculer sa di↵erentielle.Que vaut cette di↵erentielle en x

0

?


Pour f de classe C1 de [0, 1] dans R2, on pose L(f) =

Z

1

0

�

� f 0(t)�

� dt et

Ln(f) =

n�1

X

k=0

�

�

�

f�k + 1

n

�

� f� kn

�

�

�

�

.

On choisit f(t) =�

t2, 4t(t� 1)�

; tracer, a l’aide du logiciel, la courbe definie par

f et calculer une valeur approchee de L(f).

Ecrire une procedure permettant de calculer Ln(f).Calculer sa valeur approchee pour n = 5k, 1 6 k 6 10.Comparer avec la valeur de L(f).Que peut-on en deduire ? Trouver n tel que |Ln(f)� L(f) | 6 10�4.Montrer que la suite de terme general Ln(f) est bornee.Soit " > 0 ; montrer que :9⌘ > 0, 8(s, t) 2 [0, 1]2, | s� t | < ⌘ ) k f 0(t)� f 0(s) k 6 ".Montrer que | s� t | < ⌘ ) k f(s)� f(t)� (s� t)f 0(t) k 6 " | s� t |.

Planche 88

Montrer qu’un projecteur p d’un espace prehilbertien reel est orthogonal si etseulement si |||p ||| = 1.

Montrer que la suite de terme general vn =1

n+ 1

nX

k=0

uk, ou u est un endomor-

phisme, admet une valeur d’adherence notee p.Montrer que Ker p = Im(u� Id) et Im p = Ker(u� Id).

Montrer que p est un projecteur orthogonal et que, pour tout x,�

vn(x)�

tend

vers p(x).

Planche 89

Soit A 2 Mn(R) telle que trA > 0. Soit x de classe C1 sur R, a valeurs dans Rn,solution de l’equation di↵erentielle x0(t) = Ax(t) et telle que lim

t!+1x(t) = 0.

On notera x1

(t), . . . , xn(t) les coordonnees de x(t) dans la base canonique.

• Exemple : A =⇣

2 �10 1

⌘

.

Exprimer x(t) en fonction de t et de constantes d’integration.Montrer qu’il existe un vecteur v de coordonnees (↵,�) tel que :8t 2 R, ↵x

1

(t) + �x2

(t) = 0. Que represente v pour tA ?• Dans le cas general, on suppose A diagonalisable et on ecrit A = PDP�1.Exprimer x(t) en fonction des valeurs propres de A et d’une base de vecteurspropres.Montrer qu’il existe un hyperplan H tel que 8t 2 R, x(t) 2 H et en deduire qu’ilexiste v tel que 8t 2 R, tvx(t) = 0.Montrer qu’on peut choisir v comme vecteur propre de tA.• Dans la suite, A n’est plus necessairement diagonalisable ; on veut montrer qu’il

existe une forme lineaire non nulle u telle que 8t 2 R, u�

x(t)�

= 0.

On pose z(t) = u�

x(t)�

.

Montrer qu’il existe un vecteur v tel que 8y 2 Rn, u(y) = tvy.Montrer qu’on peut choisir v tel que z verifie une equation di↵erentielle simple.Conclure.


Montrer que l’equation di↵erentielle y0(x) =y(x)2

1� xy(x)admet une solution

maximale sur I = ]↵,�[ verifiant y(0) = 1.La tracer sur Maple (on pourra s’aider de odeplots dans le catalogue with(plots)).Montrer que ↵ = �1 et que � 2 R.Montrer que y est une bijection de I sur J .Trouver une equation di↵erentielle verifiee par sa reciproque et la resoudre.Determiner �.Montrer que y est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et ecrire cedeveloppement a l’ordre 4.Donner le rayon de convergence de h(z) =

P (n+ 1)n�1

n!zn.

Qu’en deduire ?

Planche 91

Soit f continue sur [0, 1], de classe C1 sur ]0, 1], a valeurs dans C, telle que f 0 soitintegrable sur ]0, 1].

Pour � 2 ]0, 1[, et p > 1�, on definit fp sur [�, 1] par fp(x) = p

�

f(x)� f(x� 1p )�

.

Justifier que fp est de classe C1 et montrer que limx!+1

Z

1

�

fp(t)eixtdt = 0.

Montrer, pour � 2 ]0, 1[, que (fp)p>1/� converge uniformement vers f 0 sur [�, 1](on pourra commencer par exprimer, pour x 2 [�, 1], fp(x) � f 0(x) comme uneintegrale en f 0).

Apres avoir justifie la convergence de l’integrale, trouver la limite de

Z

1

0

f 0(t)eixtdt

quand x tend vers l’infini.

Determiner un equivalent de

Z

1

0

f(t)eixtdt pour x tendant vers l’infini dans le

cas ou |f(0)| 6= |f(1)|.

Soit ↵ > 1 ; donner un equivalent de

Z

1

0

sin(t↵)eixt2dt pour x tendant vers l’infini.


Montrer que la courbe d’equation polaire r(✓) = 1 + cos(✓) est parametree, a

l’exception d’un point a preciser, par

8

>

>

<

>

>

:

x(t) =2(1� t2)

(1 + t2)2

y(t) = 4t

(1 + t2)2

.

Tracer la courbe avec Maple, selon les deux parametrages.Donner les points ou la tangente recoupe la courbe en deux points distincts deparametres t

1

et t2

que l’on precisera.Caracteriser le lieu N des points d’intersection des tangentes en M(t

1

) et enM(t

2

).Tracer N avec Maple et montrer qu’il s’agit d’un morceau de conique dont onprecisera la nature et les caracteristiques.

Planche 93

On s’interesse aux series entieres dont le terme general est une suite reelleperiodique a partir d’un certain rang.On note a une telle suite, n

0

2 N sa periode et p 2 N⇤ une periode de a.R est le rayon de convergence de la serie de terme general an et S sa somme.Quelles peuvent-etre les valeurs de R ? Dans quel cas vaut-il +1 ?Montrer que S est une fraction rationnelle.Reciproquement les fractions rationnelles se developpent-elles toutes sous formede series entieres de terme general periodique ?Soit f la suite definie par f

0

= 0, f1

= 1 et fn+2

= fn+1

+ fn.On pose an = 1 si fn est impair et an = 0 sinon.Montrer que a est periodique a partir d’un certain rang et calculer S et R.On definit (an) par a

0

= 1, a2n = an et a

2n+1

= �an.Calculer R ; trouver une relation entre S(x) et S(x2).

Calculer, pour tout p 2 N, limx!1

�

S(x)

(1� x)p· S est-elle une fraction rationnelle ?


Soient f et g deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E de dimension n,tels que f2 = g2 = 0 et f � g + g � f = Id.• On suppose n = 2 et f 6= 0 ; montrer que f2 = 0 si et seulement s’il existe une

base de E dans laquelle f a pour matrice A =⇣

0 10 0

⌘

.

Montrer que g2 = 0 si et seulement si sa trace et son determinant sont nuls.Determiner, a l’aide de Maple, les matrices B telles que B2 = 0 et AB+BA = I

2

.Donner une baseB

1

de Ker f et une baseB2

de Ker g ; verifier que E = Ker f�Ker get donner les matrices de f et g dans une base adaptee a cette decomposition.• On suppose n = 3, f 6= 0, et f2 = 0 ; montrer qu’il existe une base de E dans

laquelle f a pour matrice A =

0 0 10 0 00 0 0

!

.

Determiner, a l’aide de Maple, les matrices B telles que AB +BA = I2

.• On revient au cas general ; montrer que Ker f = Im f et Ker g = Im g.Montrer que n est pair et que E = Ker f � Ker g, f(Ker g) = Kerf ,f(Ker f) = Ker g, dimKer f = dimKer g.Donner les matrices de f et g dans une base adaptee a la decomposition de E.

Planche 95

Pour A 2 Mn(C), on pose V (A) =�X⇤AX

X⇤X, X 2 Cn\{0}

.

Pour (X,Y ) 2 (Cn)2, exprimer kX k et < X,Y > en fonciton de X⇤, X, Y .Montrer que les coe�cients diagonaux et les valeurs propres de A sont dans V (A).On suppose V (A) = {0} ; montrer que A est nilpotente, puis que KerA et ImAsont orthogonaux. Montrer que A est nulle.On suppose A diagonale de coe�cients diagonaux reels : �

1

6 . . . 6 �n : montrerque V (A) = [�

1

,�n].Montrer que, dans le cas general, V (A) est un compact de C.Que dire de V (A) si A est reelle et diagonalisable ?


Concours Commun Centrale � Supelec option PC

Planche 96

I) En quels points, le plan tangent a S d’equation x3 +xy+ z = 0, est-il parallelea (Ox) ? Donner la projection sur (yOz) du contour apparent de la surface.II) Montrer que (A|B) = tr(tAB) est un produit scalaire sur Mn(R).Montrer que �, defini par �(X) = NtXN ou N est une matrice fixee, est unendomorphisme de Mn(R) et qu’il est diagonalisable.Montrer que Sp(tNN) \ R⇤ = Sp(NtN) \ R⇤.Que dire du rang de � suivant celui de N ?

Planche 97

I) Soit f continue sur [0, 1], a valeurs dans [0, 1], non constante.Justifier l’existence de (a, b) dans [0, 1]2 tel que f([0, 1]) = [a, b].Montrer que f � f = f , f|[a,b] est l’identite.Sous ces conditions, montrer que, si a > 0, f n’est pas derivable en a.

II) Trouver les x tels que f(x) =

Z

+1

0

dttx(1 + t)

converge.

Montrer que f est continue sur son domaine de definition D , que si x 2 D, alors1� x 2D et que f(1� x) = f(x). Donner un equivalent de f aux bornes de D.


Identifier la surface ⌃ d’equation x2 + 4y2 + 5z2 � 4xy = 1 dans le repereR = (O, i, j, k) orthonorme direct. Verifier le resultat a l’aide de Maple.On note � l’intersection de ⌃ avec le plan P : x� y + z = 0.Tracer P et ⌃ sur Maple et en deduire �.Determiner le vecteur K normal a P , le vecteur I de meme direction et sens quei+ j et le vecteur J , tels que R0 = (O, I, J,K) soit orthonorme direct puis donnerl’equation de ⌃ dans R0.

Planche 99

I) Soient (x, y, z) 2 C3 tels que

⇢

x+ y + z = 01x +

1y +

1z = 0

.

Montrer que |x | = | y | = | z |.

II )Montrer que (P |Q) =

Z

1

0

P (t)Q(t)dt est un produit scalaire sur Rn[X].

Pour k 2 [[0, n]], on pose �k(P ) =

Z

1

0

tkP (t)dt.

Montrer que B = (�k)k2[[0,n]]

est une base de E⇤ = L(Rn[X],R).Montrer que � = ("k)k2[[0,n]]

ou "k(Xj) = �kj est une base de E⇤

On note Hn la matrice de passage de � a B ; Calculer Dn = detHn.

Planche 100

I) Montrer que f(x, y) = y2 +p

x2 + y2 � 1 est C0 sur R2. Y est-elle C1 ?

Trouver les extrema de f sur D = {(x, y) 2 R2, x2 + y2 6 9}II) Soit f definie et continue sur R.

Montrer que g(x) = 1x

Z x

0

f(t)dt est C1 sur R⇤+

.

Montrer que g est prolongeable par continuite en 0.La fonction ainsi prolongee est-elle derivable en 0 ?

Planche 101

I) Montrer que la serie de terme general un =1

nX

k=1

k3

converge.

Sachant que S2

(n) =

nX

k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6, calculer S

3

(n) =

nX

k=1

k3 en

utilisant (n+ 1)4 � n4.

On rappelle queX

kn>1

1

n2

= ⇡2

6; donner

X

n>1

un.

II) Donner les solutions de l’equation homogene associee a E(a) :

(x2 + 1)y0 � 3xy =�

�x3 � a3�

� ou a 2 R.Resoudre E(0) puis E(a).Donner l’allure des courbes des solutions de E(0) et E(1).


Montrer que < P |Q >=

Z

1

�1

P (t)Q(t)dt est un produit scalaire sur R[X].

Calculer < Xk|Xl > pour (k, l) 2 [[0, 5]]2.Donner la base orthonormee obtenue par le procede de Schmidt a partir de labase canonique de R

5

[X].Tracer les polynomes obtenus sur [�1, 1]. Montrer que ces polynomes verifient

N1(P ) = maxt2[�1,1]

|P (t) | 6 3p2 et discuter du cas d’egalite.

La norme euclidienne et N1 sont-elles equivalentes sur R5

[X] ? Sur R[X] ?

Planche 103

I) Montrer que, pour n 2 N⇤, l’equation xn ln(x) = 1 admet une unique solutionsur R⇤

+

, notee an.

Montrer que la suite (an) est decroissante, convergente et calculer sa limite notee

l. Montrer que an � l ⇠ln(n)n ·

II) Montrer que 8n 2 N⇤, il existe an(x) verifiant :nX

k=1

sin(kx)pk

= an(x) +1

sin x2

nX

k=1

sin kx2

sin(k + 1)x

2

� 1pk� 1

p

(k + 1)

�

.

Montrer que�

an(x)�

converge.

Convergence et developpement en serie de Fourier deP sin(kx)

pk

·


Soient B = (e1

, . . . , en) une base de Rn et f l’endomorphisme defini par8k 6 n� 1, f(ek) = ek+1

et f(en) = e1

.Donner la procedure permettant de creer, en fonction de n, la matrice A de fdans B. La mettre en application pour n = 6.Pour n = 6, donner le polynome caracteristique de A et le factoriser.On note Ri les polynomes irreductibles dont le produit est egal au polynomecaracteristique de A.Donner KerRi(f) et montrer que, pour n = 6, ces noyaux sont supplementairesReduire A dans M

6

(C).Reprendre les questions precedentes pour n quelconque.

Planche 105

I) Etudier la courbe d’equation polaire ⇢(✓) = cos ✓1� cos ✓

·

Donner lim✓!0

y(✓)2

x(✓)et en deduire les asymptotes a la courbe.

II) Montrer que g(t) = ln t

1� t2est integrable sur ]0, 1[.

Montrer que

Z

1

0

ln tdt est convergente.

Calculer

Z

1

0

g(t)dt (on pourra utiliser le resultatX

n>1

1

n2

= ⇡2

6).

Montrer que f(t) =ln(t+

p

1 + t2)

tp

1 + t2est integrable sur ]0, 1[ et calculer

Z

1

0

f(t)dt.

On note E l’ensemble des fonctions de classe C1 de R⇤+

dans R.

Montrer que l’ensemble F des fonctions h de E telles que

Z

+1

0

h(t)2

t2dt soit

convergente, est un sous-espace vectoriel de E.

Montrer que N(h) =⇣

Z

+1

0

h(t)2

t2dt⌘

1/2

est une norme sur F .

Planche 106

I) A =

0

B

@

0 . . . 0 1...

......

0 . . . 0 11 . . . 1 0

1

C

A

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres.

II) Etudier l’equation x cos t+ y sin t+cos t = 0 et donner sa representation dansle plan (xOy).Donner la nature de la conique d’equation x2 + y2 = (x+ y tan t+ 1)2.Montrer qu’elle admet une asymptote parallele a (Ox).En donner les foyers, le centre.


On note fk(t) = exp(ikt)�exp

�

�i(k + 1)t�

k + 1·

A l’aide du logiciel, representer fk pour k = 4 et k = 8.Justifier les symetries remarquees. Calculer la longueur de l’arc.Determiner les vecteurs normaux et tangents en un point quelconque.Calculer la courbure.

Planche 108

I) Montrer que f(g, h) = tr(gh) definit un produit scalaire sur l’ensemble S(E)des endomorphismes symetriques d’un espace euclidien E.Si p et q sont deux projecteurs orthogonaux de E de rang 1, calculer k p� q k enfonction de l’ecart angulaire entre Im p et Im q.II) On note (C) une courbe definie par f(x, y) = 0 et z = 0.Donner une equation du cylindre de base (C) et d’axe dirige par le vecteur decoordonnees (a, b, c).Nature de la surface d’equation (x� 2y)2 + (2y � 3z)2 + (3z � x)2 = 1.Intersection de cette surface avec la sphere d’equation x2 + y2 + z2 = 1.

Planche 109

I) Pour P =

nX

k=0

akXk on pose : N(P ) = max

k2[[0,n]]

| ak | et N1(P ) = maxx2[0;1]

|P (x) |.

Montrer que N et N1 sont deux normes equivalentes sur Rn[X].Trouver An 2 R

+

tel que 8P 2 Rn[X], N1(P ) 6 AnN(P ).Existe-t-il A0

n < An tel que 8P 2 Rn[X], N1(P ) 6 A0nN(P ) ?

On choisit n = 2 ; trouver B 2 R+

tel que 8P 2 R2

[X], N(P ) 6 BN1(P ).

II) Trouver la solution y0

du probleme de Cauchy :n

y0(t) = y(t) + t2

y(0) = 0.

Soit le probleme de Cauchy (E) :n

y0(t) = y2(t) + y(t) + t2

y(0) = 0Montrer qu’il existe une unique solution maximale y

1

de (E) definie sur unintervalle I.Montrer que u(t) = e�t

�

y1

(t)� y0

(t)�

est croissante sur I et en deduire que pour

tout 8t 2 I\]0,+1[, y1

(t) > y0

(t).

Montrer que y1

(t) > 0 et pour tout t 2 I\]x0

,+1[,

Z x

x0

y01

(t)

y21

(t)dt > x � x

0

; en

deduire que I n’est pas infini a droite (il existe M tel que, si x 2 I, alors x 6 M).

Planche 110

I) Soit un =(�1)n

(n!)1/n; nature de

P

un et rayon de convergence deP

unxn.

II) On donne deux reels distincts a et b et on definit f sur R+

par f(x) = a six 2 Q et f(x) = b sinon. Existe-t-il des points ou f est continue ?

Verifier que 8x 2 R+

, f(x) = f⇣

2x+ 316

x+ 1

⌘

.

La proposition : hh8x 2 R+

, f(x) = f�

x2 +316

�

ii est-elle vraie ?

Trouver toutes les fonctions continues sur R+

telles que f(x) = f�

x2 +316

�

.



Soient A =14

0

@

1p3 �

p3 3

�p3 2 0

p3p

3 0 2 �p3

3 �p3

p3 1

1

A la matrice de f dans la base

canonique B et gn =1n

n�1

X

k=0

fk. Calculer A10, A20, A100. Qu’observe-t-on ?

Soit An la matrice dans B de gn ; calculer A2

100

. Que conjecturer ?Determiner les droites vectorielles stables par f .

Verifier que E = Im(f � Id)?� Ker(f � Id) et E = Im(f � 1

2Id)

?� Ker(f � 1

2Id).

Determiner trois nombres reels ↵, ✓ et r, ainsi qu’une base B de R4 tels que la

matrice de f dans B0 soit

0

@

1 0 0 00 ↵ 0 00 0 r cos ✓ �r sin ✓0 0 r sin ✓ r cos ✓

1

A.

Planche 112

I) On definit fn et la suite (xn)n2N⇤ par :

x > 0, a > 0, fn(x) =x

1 + nx2

et xn+1

= fn(xn), x1

= a.

Montrer que la suite (nxn)n>2

est croissante majoree par 1.

En utilisant la suite� 1xn

�

, determiner un equivalent simple de xn en +1.

II) Montrer l’existence de h, definie par h(y) =

Z

+1

0

ln(x)

y2 + x2

dx pour y > 0.

Calculer h(1), en utilisant le changement de variable t = 1x ·

Integrabilite de h sur R⇤+

(on utilisera I =

Z

1/"

"

h(y)dy quand " tend vers 0).

Memes questions pour k(y) =

Z

+1

0

Arc tan ln(x)

y2 + x2

dx.


Dans l’espace a�ne usuel, muni de son repere canonique, on donne les vecteurs

u =

221

!

, v =

122

!

et les points A(2, 3, 4) et B(�1, 1, 1).

La droite D1

dirigee par u, passant par A, et la droite D2

dirigee par v, passantpar B, sont-elles coplanaires ? Les tracer sur un meme graphe.Soit M(x, y, z) ; calculer d

1

(M,D1

) et d2

(M,D2

).Tracer S = {M(x, y, z), d

1

(M) = d2

(M)} et en deduire sa nature.Tracer D

1

, D2

et D sur un meme graphe.Trouver un repere dans lequel S est reduite et donner son equation.Comment trouve-t-on le centre de la quadrique ?Quelle est l’equation reduite d’un paraboloıde hyperbolique ?

Planche 114

I) Donner le repere de Frenet (~T , ~N) en un point de P :n

x(t) = ty(t) = t2

.

Pour k > 0 on note � la courbe Q(t) = M(t)+k ~N ou M(t) est sur P ; determiner

les points stationaires de � puis tracer � et P dans un meme repere pour k =p2.

II) Montrer que N(f) = k f 00 � 5f 0 + 6f k1 est une norme sur l’espace E des

fonctions C2 sur [�1, 1], a valeurs dans R et verifiant f(0) = f 0(0) = 0.Pour f donnee, montrer l’existence et l’unicite de deux fonctions � et µ verifiant8t 2 [�1, 1], e2t�(t) + e3tµ(t) = f(t) et 2e2t�(t) + 3e3tµ(t) = f 0(t).On pose g = f 00 � 5f 0 + 6f ; exprimer �0 et µ0 en fonction de g.Montrer qu’il existe un reel k tel que 8f 2 E, k f k1 6 kN(f).


Montrer que (xn) et (yn), definies par

(

xn+1

=p7� yn

yn+1

=p7 + xn

x0

= y0

= 0, existent.

Donner des valeurs approchees de leurs dix premiers termes et faire une conjecturesur leur convergence. Si elles convergent, quelles sont leurs limites ?Montrer qu’elles convergent et donner n

0

tel que, si n > n0

, alors |xn�`x| 6 10�3

et |yn � `y | 6 10�3.


L’espace R2 est muni de sa structure a�ne canonique.Soit le triangle ABC avec B et C des points sur l’axe des abscisses.Pour M un point de l’axe des abscisses on note :- PM le projete orthogonal de M sur (AC) ;- QM le projete orthogonal de PM sur (AB) ;- RM le projete orthogonal de QM sur (BC).On note ' l’application qui, a l’abscisse de M , associe l’abscisse de RM .On cherche a resoudre '(x) = x avec x 2 R.Etant donne trois points I, J et M tels que I 6= J , determiner le systeme verifiepar les coordonnees du projete de M sur la droite (IJ).Ecrire une procedure proj qui, pour les points I, J et M donnes avec I 6= J ,retourne l’abscisse du projete orthogonal de M sur la droite (IJ).En utilisant la procedure proj, ecrire une procedure qui, pour un reel x donne,retourne l’abscisse du point RM avec M(x, 0).On choisit les points B(0, 0), C(3, 0) et A(1, 2) ; pour x reel, on definit la suite depoints Mn(xn, 0) du plan par x

0

= x et xn+1

= '(xn).

Etant donnes un reel x et un entier N , programmer la representation graphiquedes N + 1 premiers termes de la suite (xn). Tester pour x = 2, 9 et N = 100.Qu’observe-t-on ?Pour M et M 0 des points distincts de (BC) avec M 6= C, justifier l’egalitePMPM0

MM 0 =PMC

MC= | cos c | ou c est la mesure de l’angle BCA.

En deduire 9k 2 ]0, 1[, 8(x, y) 2 R2, |'(x)� '(y) | 6 k |x� y |.En admettant la convergence de la suite (xn), determiner une solution approcheede l’equation '(x) = x.On pose 8n 2 N, un = xn+1

� xn. Montrer que 8n 2 N, |un | 6 kn |u1

� u0

|.En deduire la convergence de

P

un et conclure.

Concours Commun Centrale � Supelec option PSI

Planche 117

I) Montrer que, si p est un projecteur d’un espace de dimension finie, rg p = tr p.

Soit P =

rX

i=1

pi, ou les pi sont des projecteurs.

Montrer que P est un projecteur si et seulement si i 6= j ) pi � pj = 0.

II) Montrer qu’une matrice M inversible, verifiant tM = M2 est orthogonale.Caracteriser les matrices verifiant cette relation.Soit u l’endomorphisme associe a une matrice verifiant cette relation.Montrer que Keru? est stable par u.Trouver toutes les matrices verifiant cette relation pour n = 2 et n = 3.


Donner l’ensemble de definition de f(x) = sinArc sinx

3·

Etudier la parite, la convexite, la monotonie de f et tracer sa coube.Trouver le plus grand intervalle J sur lequel f est C1 et calculer f (k)(0) pour0 6 k 6 10.Trouver une equation di↵erentielle lineaire d’ordre 2 verifiee par f .Montrer que f admet un developpement en serie entiere au voisinage de 0 donton notera ak les coe�cients.Quel est le type de convergence de cette serie ?Calculer ak, 0 6 k 6 10 et controler avec les valeurs de f (k)(0).On note (E) l’equation di↵erentielle trouvee ; quelle est la structure des solutionsde (E) ? Trouver la forme generale de ces solutions.Existe-t-il une solution y telle que y(0) = � et y0(0) = µ ?


Determiner g pour que f , definie sur R2 par f(x, y) = e�2ysh(xy)

y pour y 6= 0 et

f(x, 0) = g(x), soit continue. Quelle est la classe de f sur R2 ?Tracer la surface z = f(x, y).

On pose F (x) =

Z

+1

0

f(x, t)dt ; trouver I ⇢ R+

sur lequel F existe.

Donner une autre expression de F et la tracer.Que peut-on dire de l’integrale de F ?

Planche 120

Soient A,B,C 3 matrices complexes de taille n, telles que AC = CB.On note r le rang de C.Montrer qu’il existe deux matrices complexes inversibles P et Q telles que

C = Q�1JrP ou Jr =⇣

Ir 00 0

⌘

.

Montrer que A et B ont au moins r valeurs propres communes, comptees avecleur ordre de multiplicite.Soient U

1

, . . . , Up, p parties non vides et deux a deux distinctes deE = {1, 2, . . . , n}telles que Card(Ui \ Uj) = a constant ; on note ↵k = CardUk.On definit la matrice A de taille p, n par aij = 1 si j 2 Ui et aij = 0 sinon.

Calculer AtA en fonction de a et ↵k.Quel est le cardinal de {k 2 {1, . . . , n}, a = ↵k} ?En deduire que AtA est inversible.Montrer que p 6 n.


On note E l’ensemble des fonctions reelles de classe C1 sur [�1, 1] et En celui desfonctions polynomiales de degre n au plus.Montrer l’existence et l’unicite d’une famille de fonctions polynomiales Tn tellesque 8✓ 2 R, Tn(cos ✓) = cos(n✓).Donner les 15 premiers Tn.Conjecturer le degre et le coe�cient dominant de Tn.

Montrer que �(f, g) =

Z

1

�1

f(t)g(t)p

1� t2dt est un produit scalaire sur En.

Donner une base de En. Calculer minP2E

n

�(f � P, f � P ) et montrer que cette

quantite tend vers 0 quand n tend vers +1.

Planche 122

I) Determiner les valeurs et vecteurs propres de la matrice A, carree d’ordre n,

de coe�cient aij =ij· Est-elle diagonalisable ?

Calculer Ap en fonction de p 2 N.II) Definir deux matrices orthogonalement semblables.Montrer que A et B symetriques sont orthogonalement semblables.

Planche 123

I) Donner les limites de

nY

k=1

�

1 + kn

�

1/net

nY

k=1

�

1 + kn2

�

1/n.

II) On note F l’ensemble des fonctions continues de [a, b] dans R et G celui desfonctions g de classe C2 de [a, b] dans R telles que g(a) = g(b) = g0(a) = g0(b) = 0.Soit f 2 F ; montrer qu’il existe g 2 G telle que f = g00, si et seulement siZ b

a

f(x)dx =

Z b

a

xf(x)dx.

Soit h a�ne ; montrer que 8g 2 G,

Z b

a

h(x)g00(x)dx = 0.

Soit h 2 F telle que 8g 2 G,

Z b

a

h(x)g00(x)dx = 0. Montrer que, pour h 2 F , il

existe u et v tels que

Z b

a

(h(x) � u � vx)dx = 0 et

Z b

a

x(h(x) � u � vx)dx = 0.

Montrer que h est a�ne.



Montrer qu’il existe une suite de reels (an) verifiant :

8t 2⇤

� ⇡2, ⇡2

⇥

,X

n>0

an cos�

(an + 1)t�

= 1 (on pourra chercher une fonction 2⇡-

periodique dont c’est la serie de Fourier).Tracer la fonction sur Maple pour verifier.

Montrer que f(x, y) =X

n>0

ane1 � (2n + 1)x cos

�

(an + 1)y�

est definie sur

R+

⇥⇤

� ⇡2, ⇡2

⇥

.

Calculer f�

x, ⇡2

�

, f�

x,� ⇡2

�

et f(0, y).

Calculer@f

@y(x, y) et l’ecrire sous forme de somme de series que l’on simplifiera a

l’aide de Maple.

Planche 125

I) A =

0 1 01 0 12 0 0

!

et B =

0 1 11 0 00 2 0

!

sont-elles semblables ?

II ) On note r une rotation de R3 et ✓ son angle.

Soit P un polynome verifiant P (1) = 1 et�

�P (ei✓)�

� = 1.

Montrer que P (r) est une rotation.

Montrer que l’endomorphisme r0

de matrice A =

0 0 11 0 00 1 0

!

dans une base

orthonormale directe, est une rotation.

Verifier que13(2r2

0

� r0

+ 2Id) est une rotation et donner son angle.


Tracer la courbe d’equation polaire r(t) =(1 +

p3) sin t+ (1�

p3) cos t

sin(2t) +p3 cos(2t)

·

Quelles symetries remarque-t-on ? Peut-on reduire l’intervalle d’etude ?

Etudier les branches infinies.Donner une equation cartesienne de la courbe.

Reconnaıtre la courbe :p3(x2 � y2) + 2xy � (1 +

p3)x� (1�

p3)y = 0.

Donner son point critique ⌦.

Donner l’equation de cette courbe dans le repere (⌦,~i,~j) et la tracer.


On donne A1

=⇣

1 10 1

⌘

Trouver U1

2 O2

(R) et S1

2 S+

2

(R) telles que A1

= U1

S1

.

Soit A 2 GLn(R) ; montrer qu’il existe U 2 On(R) et S 2 S+

n (R) telles queA = US (on pourra montrer qu’il existe P 2 On(R) et D diagonale telles quetP tAAP = D2).En deduire qu’il existe V et W telles que V AW = D ou D est diagonale et atoutes ses valeurs propres strictement positives.

Planche 128

I) Soit � une bijection de N et (un) une suite reelle a termes positifs.

Montrer qurX

n>0

un etX

n>0

u�(n)

sont de meme nature et que si l’une des deux

converge, alors les sommes des deux series sont egales.

II) On cherche r =ab

avec (a, b) 2 N⇤2 tel que er =pq , avec (p, q) 2 N⇤2.

On note Pn(X) =1n!

Xn(bX � a).

Montrer que 8(k, n) 2 N⇤2, P (k)n (0) et P (k)

n (r) sont des entiers.

Montrer que q

Z r

0

Pn(t)etdt est un entier et que lim

n!+1

Z r

0

Pn(t)etdt = 0.

Conclure.

Planche 129

I) Soit f de classe C3 de R dans R telle que f 0(0) = f 00(0) = 0.

Montrer que 9C 2 R⇤+

, 8x 2 [�1, 1], | f(x)� f(0) | 6 C |x |3.Cela reste-t-il vrai sur tout R ?

II) Soit un(x) =

nY

k=1

�

1 + xn

�

f� kn

�

ou f est continue sur [0, 1] a valeurs dans R.

Calculer la limite de un(x) pour x fixe.Montrer la convergence uniforme de la suite sur tout segment de R.

Planche 130

I) Montrer que �, defini sur R[X] par �(P )(X) = P (X) + P (X + 1), induit unisomorphisme sur Rn[X].Montrer que c’est un isomorphisme de R[X].

Trouver une expression simple de �k, k 2 N.II) Montrer qu’une loi interne ⇤ verifiant 8(x, y) 2 E2, x ⇤ (y ⇤ x) = y et(y ⇤ x) ⇤ x = y est commutative mais pas forcement associative.

Planche 131

I) Donner la dimension et une base de l’espace E des solutions (x, y), definies sur

R a valeurs dans R2, den

x00 = 3x� 2y00 = 4x� 3

.

II) Soit Sn =

nX

k=0

uk ou (un) est une suite reelle a termes positifs.

On suppose que 8n 2 N⇤, S2n 6

�

1 +1n

�

Sn.

Montrer que la serie de terme general un converge.

Planche 132

I) Soient h > 0 et f de R dans C, 2⇡-peridodique.

Montrer quefh, definie sur R par fh(x) =12⇡

Z x+h

x�h

f(t)dt , est 2⇡ periodique,

de classe C1 et calculer f 0h en fonction de f .

Rappeler la relation entre les coe�cients de Fourier complexes cn(f 0h) et cn(fh).

Calculer cn(fh) en fonction de cn(f).

II) Donner le domaine de definition de f(x) =X

n>1

ln(1+ xn) et montrer que f y

est continue et derivable ; en deduire un equivalent de f .Montrer que �(t) = ln(1 + xt) est integrable sur R

+

pour x 2 [0, 1[.En deduire un equivalent de f .


Ensemble de definition de F (x, y) =

Z

1

0

t2(ln t� xt� y)2dt.

Donner une expression de F ne faisant pas intervenir d’integrale.

Etudier les extrema de F , tracer z = F (x, y) et commenter.Interpreter F comme une projection orthogonale et commenter a l’aide de laquestion precedente.Tracer la fonction ln et �a,b(t) = at+b pour a et b tels que f admette un extremumen (a, b).

Que dire de�

� lnx� �a,b(x)�

�

1 pour x 2 ]0, 1] ?

Planche 134

I) Montrer que les racines a, b, c de P (X) = X3 � 5X2 + 6X � 1 sont reelles etdistinctes. Determiner Q de racines (a� 2)2, (b� 2)2, (c� 2)2.II ) Donner les elements geometriques associes a la transformation s de matrice

A =13

1 �2 �2�2 �2 1�2 �2 1

!

.

Determiner r, la rotation d’axe ~k unitaire et d’angle ✓ 2 ]0, 2⇡[, telle quer � s = s � r.Meme question avec l’hypothese supplementaire tr r = 0.


A�cher a l’ecran la courbe d’equation polaire r(t) =1 + sin(2t)

1� cos t� 2 cos2 t·

Etudier les symetries eventuelles, les point stationnaires, les barnches infinies, lespoints doubles (on donnera des valeurs exactes ou approchees de leurs coordonneesen coordonnees polaires et/ou cartesiennes).Trouver le rayon de courbure (valeur exacte ou approchee) au point ou l’abscissepresente un extremum local.

Planche 136

I) Pour s > 1, donner un equivalent de

nX

k=1

ks.

II) Montrer que f , definie par 8x 6 0, f(x) = 0 et 8x > 0, f(x) = e�1/x est declasse C1 sur R.Construire une fonction paire, 2⇡-periodique, de classe C1, positive, non iden-tiquement nulle, dont toutes les derivees successives sont nulles en 0.

En deduire une suite de reels (an), telle que 8p 2 N,nX

k=0

annp = 0.


Etudier la serie de terme general un =

Z

(n+1)⇡

n⇡

f(t) sin tdt, ou f est continue de

R+

dans R+

, decroissante et de limite nulle en +1.

En deduire que

Z

+1

0

f(t)dt converge.

Pour p 2 N⇤ et a > 0, montrer l’existence de Jp(a) =

Z

+1

0

sin t(t+ a)p

dt.

Calculer les 10 premiers termes de (Jp) pour a 2 {1, 2, 1/4}.Determiner la limite de (Jp) pour a > 1.

A l’aide de Maple, conjecturer un equivalent de Jp(a) pour a > 0.Trouver une relation entre Jp(a) et Jp�2

(a) et verifier cette conjecture.

Planche 138

I) Ensemble de definition et variations de f(x) =

Z

+1

0

t3e�xtp

1 + t4dt.

Montrer que f est de classe C1 sur son ensemble de definition et calculer la limite

de f en 0. Etudier l’integrabilite de f sur ]0, 1] et [1,+1[.

II) Montrer que la suite de terme general un =

nY

k=1

�

1 + kn2

�

converge et

determiner sa limite l. Nature de la serie de terme general un � l.


Montrer que 9!Pn 2 Zn[X] tel que Pn(cotan2 t) =sin�

(n+ 1)t�

sinn+1 t(on pourra

s’interesser aux puissances de cos t+i sin t afin d’exprimer sin�

(n+1)t�

en fonction

de cos t et sin t).Calculer les Pn pour 0 6 n 6 5. Calculer les racines de Pn pour 0 6 n 6 4.

Calculer limn!+1

nX

k=1

cotan2 t2k + 1

· Que peut-on conjecturer ?


Concours Commun Mines � Ponts option MP

Planche 140

I) Montrer l’existence sur ]1,+1[ de h(x) =

+1X

n=2

1ln(n)nx ·

Montrer que h est C1.Donner un equivalent de h en 1 et +1 et ses limites en 1 et +1.

h est-elle integrable sur ]1,+1[ ? si oui calculer

Z

+1

1

h(x)dx.

II) Soit f 2 L(Rn) tel que f? = �f ; Id+ f est-il inversible ?On pose u = (Id+ f)�1, calculer u?.

Quelle relation y-a-t-il entre 12(u+ u?) et u? � u ?

Planche 141

I) Soit a 2 R, on suppose qu’il existe P 2 Q[X] irreductible de degre superieurou egal a 2 tel que P (a) = 0.Montrer que {Q(a), Q 2 Q[X]} est un Q-sous-espace vectoriel de R de dimensionfinie. Que dire de sa dimension ? Montrer que c’est un sous-corps de R.

II) Soit a > 0, etudier la convergence deX

n>1

a

nX

k=1

1k.

Planche 142

I) Soit A = (aij)16i,j6n symetrique reelle telle que :

8i, aii > 1 et 8(i, j),nX

i=1

nX

j=1,j 6=i

a2ij < 1.

Montrer que 8X 2 Rn\{0}, tXAX > 0. En deduire que A est inversible.

II) Determiner limn!1

1n

nY

k=1

(3k � 1)1/n.

Planche 143

I) Soit E euclidien, muni d’une base (e1

, . . . , en). Montrer que f , defini par

f(x) =

nX

k=1

(x|ek)ek est un endomorphisme symetrique positif.

Montrer qu’il existe un unique endomorphisme symetrique positif, note g, tel queg2 = f�1. Que peut-on dire de la famille

�

g(e1

), . . . , g(en)�

?

II) Limite et equivalent en +1 de F (x) =

Z

+1

0

e�t2e�xtdt.

III) Cours : montrer que

Z

+1

0

sin tt

dt converge.

Planche 144

I) Pour n 2 N⇤, soit fn(x) = (x� 1) ln�

1 +1n

�

� ln�

1 +x� 1n

�

.

Ensemble de definition, derivabilite et monotonie de f(x) =X

n>1

fn(x).

Limites et equivalents de f aux bornes de son ensemble de definition.II) Soit A carree, d’ordre n, reelle et antisymetrique.Montrer que si n est impair, A n’est pas inversible.Montrer que si n > 4, A peut etre inversible ou non et que detA > 0.

Planche 145

I) Montrer que y = x est demi-tangente en 0 de x(xx

).II) Faire un developpement limite a l’ordre 2 en 0 de :

f(x) =⇣

tan�

x+⇡4

�

⌘�1/ tan(2x)

et donner l’allure locale de la courbe.

III) Soient u et v deux endomorphismes de E, C-espace vectoriel de dimensionfinie, tels que vu� uv = au+ bv, a et b etant des scalaires.Montrer que u et v ont un vecteur propre commun.L’examinateur a demande au candidat de le prevenir dans le cas ou il aurait

termine la preparation du premier exercice avant la fin du temps imparti, pour

pouvoir lui en donner un deuxieme.

Planche 146

I) On donne une suite reelle (an).Si les series

P

an etP

|an+1

� an| convergent, montrer queP

a2n converge.

II) Soit E = M2

(R) et N =⇣

0 10 0

⌘

; determiner une base de E triangulant a la

fois les endomorphismes �(M) = NM et (M) = MN .Determiner en fonction de � 2 R le rang de + ��.III) Soit a, b, c des reels strictement positifs ; existe-t-il des complexes t, u, v desomme nulle et tels que tt = a2, uu = b2 et vv = c2 ?

Planche 147

I) Soit f continue sur [0, 1] et strictement positive.

On note un =

Z

1

0

�

f(t)�n

dt et vn =un+1

un·

Montrer que (vn) converge et determiner sa limite.II) Montrer que G = {M 2 M

2

(Z), detM = 1} est un groupe pour le produit

matriciel, engendre par⇣

1 10 1

⌘

et⇣

1 1�1 0

⌘

.

Planche 148

I) Existence et calcul de

Z

+1

0

dxx2 + ↵x+ 1

, ↵ 2 R.

II) Soit A 2 S+

n (R), B 2 Mn(R) telles que AB +BA = 0.Montrer que AB = BA = 0.

Planche 149

I) Montrer qu’un projecteur d’un espace prehilbertien reel E, est orthogonal si etseulement si 8x 2 E, k p(x) k 6 kx k.II) Soient (an) une suite reelles decroissante, de limite nulle et (bn) une suite

complexe telle que la suite de terme general Bn =

nX

k=0

bk est bornee.

Montrer queP

anbn converge.

Etudier la convergence de la serie de terme generalsin(nx)pn

·

Sa somme peut-elle etre la somme de sa serie de Fourier ?

F (x) =X

n>1

cos(nx)

npn

est-elle de classe C1 sur R ?

Planche 150

I) Soit un =23n3/2 � 2

3(n� 1)3/2 � 1

2n1/2 � 1

2(n� 1)1/2.

Donner un equivalent de un et en deduire qu’un developpement asymptotique denX

k=1

pk est an3/2 + bn1/2 + c+ o(1) ou a et b sont des constantes a determiner et

c la somme d’une serie qu’on ne sait pas calculer.

II) Calculer

�

�

�

�

�

�

�

n n� 1 . . . 11 n . . . 2...

.... . .

...n� 1 n� 2 . . . n

�

�

�

�

�

�

�

.

Planche 151

I) Etudier et tracern

x(t) = 2 cos t+ cos(2t)y(t) = 2 sin t� sin(2t)

.

II) Pour ↵ 2 [0, 2⇡], montrer que 8x 2 [↵, 2⇡ � ↵], Sn =

nX

k=1

sin(kx) est bornee

independamment de x et de n.Soit (an) une suite reelle positive decroissante et de limite nulle.

Montrer que f(x) =X

n>1

an sin(nx) converge uniformement sur [↵, 2⇡ � ↵].

On suppose an = o� 1n

�

; montrer la convergence uniforme sur [0, 2⇡].

III) Di↵erentielle de � qui, a M 2 GLn(R), associe �(M) = M�1.

Planche 152

I) Soit (a, b) 2 R2

+

tels quepa+

pb = 1. Montrer que 8(u, v) 2 R⇤2

+

, au+

bv > 1

u+ v·

Pour f continue sur [0, 1] a valeurs dans R, on pose N(f) =

Z

1

0

| f(t) |dt.

Montrer que, pour f et g non nulles, continues sur [0, 1] :

N(f)2

N(f2)+

N(g)2

N(g2)>

�

N(f) +N(g)�

2

N(f)2 +N(g)2·

II) Soient A,B,C reelles carrees d’ordre n, P annulateur de A et Q annulateur

de C. Trouver un polynome annulateur de M =⇣

A B0 C

⌘

.

Planche 153

I) Soit D = {(x, y) 2 R2, x2 + y2 6 2}.Etudier les extremums relatifs de f(x, y) = xy

�

�x2 + y2 � 1�

� sur D.

II) Montrer que G, groupe d’element neutre e dont tous les elements sontidempotents, est commutatif.Soit H un sous-groupe de G et a 2 G\H.Montrer que H [ aH est un sous-groupe de G.Montrer que si G est fini, son cardinal est de la forme 2p, p 2 N.Planche 154

I) On donne f une fonction continue sur R+ et bornee.

Domaine de definition de F (x) =

Z

+1

0

e�txf(t)dt

On suppose que f tend vers l en +1 ; donner un equivalent de F en 0+.On suppose que f est T -periodique ; donner un equivalent de F en 0+.On suppose que f est 2⇡-periodique ; montrer qu’il existe une suite (an) et une

suite (bn) telles que 8x > 0, F (x) =a0

x +

+1X

n=1

nan + bnx2 + n2

·

II) On donne �(M) = tr(M)In �M defini sur Mn(R).Montrer que � est bijective et determiner ��1.Determiner les valeurs propres et les sous-espaces propres de �.

Planche 155

I) On note un le terme general d’une suite reelle strictement positive, telle qu’il

existe un reel � verifiant 8n 2 N⇤,un+1

un= 1� �

n +vn, ou vn est le terme general

d’une serie absolument convergente.

Montrer que la serie de terme general�n + ln

un+1

unest absolument convergente.

En deduire que la suite de terme general n�un converge.II) Soit A complexe inversible, verifiant 9p 2 N⇤ tel que Ap est diagonalisable.Montrer que A est diagonalisable. Que se passe-t-il si A n’est pas inversible ?

Planche 156

I) Soit f 2 L�

Mn(C)�

verifiant 8(A,B) 2 Mn(C)2, f(AB) = f(BA).

Que dire des images par f des matrices de la base canonique de Mn(C) ?f est-il diagonalisable ? Donner une base de ses sous-espaces propres.

II) Soit f continue sur R, T -periodique. A l’aide de divers cas particuliers, donner

les domaines de definition possibles de F (x) =

Z

+1

0

e�txf(t)dt.

F est-elle C1sur R+

? Sur R⇤+

? Sur [1,+1[ ?

Donner un equivalent de F en +1, dans le cas ou f(0) > 0.


Planche 157

I) On note a et b les racines complexes de P (X) = X2 + pX + q ou p et q sontdes entiers naturels.

On suppose q non nul ; montrer queab

etba sont racines d’un polynomes a

coe�cients entiers. Meme question pour | a+ b |2 et | a� b |2.II) On definit fn par fn(y) = 0 si y 6 �

pn et fn(y) = e�y

pn�

1 +yn

�nsinon.

Montrer, sans la formule de Stirling, que �(n + 1) =pn nn

en

Z

+1

�1fn(y)dy et

calculer limnt

o+1

Z

+1

�1fn(y)dy.

Planche 158

I) Calculer f(x) =

Z

+1

0

e�xt

tsh(t)dt.

II) Soit A 2 Mn(C).Montrer que le rayon de convergence de la serie entiere

+1X

k=0

tr(Ak)zk est non nul,

et que la fonction f(z) =

+1X

k=0

tr(Ak)zk est une fraction rationnelle.

En deduire que si 8k > 1, tr(Ak) = 0 alors A est nilpotente.

Planche 159

I) On admet le theoreme de decompsition de Dunford : pour A 2 Mn(C), il existeD diagonalisable et N nilpotente telles que A = D +N et DN = ND.Trouver la decomposition de Dunford de expA.On suppose expA diagonalisable ; montrer que A l’est.Resoudre expA = In dans Mn(C).II) Etudier les convergences simple, normale et uniforme de la serie de fonctions,definies sur [0, 1], par un(x) = n↵xn(1� x) ou ↵ 2 R.

Planche 160

I) Convergence de (un), definie par u0

> 0, u1

> 0 et un+2

=pun+1

+pun.

II) Soit A la matrice carree d’ordre n > 2, telle que ai,j = 1 si j > i et ai,j = 0

sinon. On suppose qu’il existe B et k, tels que Bk = A.Montrer que B est triangulaire.

III) A quelle condition sur a, la surface S : xy + xz + yz + a(x2 + y2 + z2) = 0est-elle une quadrique a centre ?

Planche 161

I) Montrer que f(x) =X

n>0

e�n+n2ix est de classe C1 sur R mais n’est pas

developpable en serie entiere au voisinage de 0.II) Montrer que le cardinal d’un sous-groupe d’un groupe cyclique divise lecardinal du groupe.

Planche 162

I) Montrer qu’une application contractante d’un espace complet dans lui-meme,admet un (unique) point fixe.Montrer qu’une application 1-lipchitzienne d’un espace compact convexe danslui-meme, admet un point fixe. Est-il necessairement unique ?II) Montrer que si A, reelle carree d’ordre n est de trace nulle, elle est semblablea une matrice de diagonale nulle.Montrer alors que si A est de trace nulle, elle peut s’ecrire BC � CB ou B et Csont deux matrices carrees reelles d’ordre n.III) Montrer qu’il existe Pn 2 R[X] tel que Xn+1 divise 1 +X �

�

Pn(X)�

2

.

Planche 163

I) Montrer qu’il existe A, polynome a coe�cients reels de degre n, tel que

8P 2 Rn[X],

Z

1

0

A(t)P (t)dt = P (0).

Montrer que la matrice carree H, de coe�cient hij =1

i+ j � 1est inversible ;

justifier qu’elle est symetrique definie positive.

II) Soit f continue sur [0, 1]. Calculer la limite en 0+ de F (x) = x

Z

1

0

f(t)

x2 + t2dt.

Planche 164

I) Trouver, avec un minimum de calcul, les vecteurs propres et valeurs propres

de A =

0

@

0 a b ca 0 c bb c 0 ac b a 0

1

A.

II) Soit Q 2 Rn[X] ; montrer qu’il existe un unique polynome P 2 Rn[X] tel queP � P 0 = Q. Montrer que si 8x 2 R, Q(x) > 0, alors P (x) > 0.

Planche 165

I) On dit qu’une matrice est positive si et seulement si tous ses coe�cientssont positifs ou nuls et qu’elle est monotone si et seulement si elle est positive,inversible, d’inverse positive.Montrer que M est monotone si et seulement si 8X 2 Rn, MX positive entraıneX positive.Soient a

1

, . . . , an des reels positifs ;

montrer que A =

0

B

B

B

B

B

@

2 + a1

�1 0 . . . 0

�1 2 + a2

�1. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . �1

0 . . . 0 �1 2 + an

1

C

C

C

C

C

A

est positive.

II) Etudier la convergence de la suite definie par x0

= a > 0, x1

=pa,

x2

=p

a+pa, xn =

r

a+

q

a+p

a+ . . .pa.

Concours Commun Mines � Ponts option PC

Planche 166

I) Soient E un espace vectoriel de dimension finie, g et h deux endomorphismesde E tels que g � h = h � g et h est nilpotent.Montrer que g + h est inversible si et seulement si g est inversible.

II) Existence et calcul de

Z

1

0

xE� 1x

�

dx ou E est la fonction partie entiere.

Planche 167

I) Soit (an) une suite de reels, an > 0, telle queX an

nconverge.

Que peut-on dire du rayon de convergence deX a

1

a2

. . . ann

xn (on pourra

montrer que limn!+1

1n

nX

i=1

ai = 0) ?

II) Soit A une matrice diagonalisable de Mn(C).Trouver toutes les matrices B verifiant AB +BA = 0.

Planche 168

I) Soient f1

et f2

deux formes lineaires independantes de R4.Montrer que 9(x

1

, x2

) 2 (R4)2, f1

(x1

) = f2

(x2

) = 1 et f1

(x2

) = f2

(x1

) = 0.

II) Nature de la serie de terme general un = e�n3

Z n

0

et3dt.

Planche 169

I) On note E l’espace vectoriel des fonctions de classe C2 de [0, 1] dans R.V = {f 2 E, f(0) = f(1) = 0} ; W = {f 2 E, f 00 = f}

Montrer que (f |g) =Z

1

0

�

f(t)g(t) + f 0(t)g0(t)�

dt est un produit scalaire sur E.

V et W sont-ils orthogonaux ? Supplementaires orthogonaux ?

II) Etudier la serie de terme general un =

Z

+1

0

sin(nt)

1 + nt+ t2dt.

Planche 170

I) Nature de la serie de terme general un = ln

pn+ (�1)n

pn� 4

·

II) Pour A de coe�cients aij et B de coe�cients bij , on munit Mn(R) du produit

scalaire (A|B) =

nX

i=1

nX

j=1

aijbij ; donner une autre definition de ce produit scalaire.

Soit U =

0

B

B

B

@

0 1 0 . . . 0...

. . .. . .

......

. . .. . . 0

0 . . . . . . 0 11 0 . . . 0 0

1

C

C

C

A

. Trouver le projete orthogonal de la ma-

trice A, qui a des 1 sur la premiere ligne et des 0 partout ailleurs, surF = V ect(In, U, . . . , Un�1).III) Cours : qu’est-ce qu’une reflexion ?

Planche 171

I) Pour n 2 N⇤, donner le domaine de definition de In(x) =

Z

1

0

tx�1

�

1� tn

�ndt.

Est-elle continue ? Derivable ? Quelle est la limite de la suite�

In(x)�

?

II) u, qui a M 2 Mn(R) associe u(M) = tr(A)M � tr(M)A, avec A fixee dansMn(R), est-il diagonalisable ?

Planche 172

I) Soient a et b deux reels strictement superieurs a 1.Montrer que les courbes Cf de f(x) = ax et Cg de g(x) = bx sont images l’unede l’autre par une homothetie a�ne.

II) Etudier la serie de terme general un = sin⇣ (�1)n

na +k

n5a

⌘

ou a > 0 et k est

un reel fixe.

Planche 173

I) Ensemble de definition de F (x) =X

n>0

sin3(nx)

n!· Exprimer F .

Montrer que F admet un developpement en serie de Fourier et en donner lescoe�cients.II) Donner les caracteristiques de l’endomorphisme de R3 represente, dans la base

canonique, par17

�2 6 �36 3 2�3 2 6

!

.

Planche 174

Montrer que, sous reserve d’eventuelles restrictions, f(z) =2z + 1

z + 2est une

bijection sur chacun des ensembles suivants :S = {z 2 C, | z | = 1} ; D = {z 2 C, | z | 6 1} ; I = {z 2 C, | z | < 1}Pour z = x+ iy, on note u(x, y) = <e

�

f(z)�

et v(x, y) = =m�

f(z)�

.

Montrer que u et v sont de classe C1 sur R2\{(�2, 0)}.Determiner f�1 quand elle est definie.

Donner le jacobien de l’application qui, a (x, y), associe�

u(x, y), v(x, y)�

.

Calculer

ZZ

D

dxdy�

� (z + 2)4�

�

·

Planche 175

I) Soit A 2 Mn(R) ; montrer que tAA a toutes ses valeurs propres reelles etpositives et que son noyau est inclus dans celui de A.U 2 Mn(R), telle que tU = �U , est-elle diagonalisable dans Mn(C) ?II) Trouver les fonctions f 2 C1(R,C), solutions de f 0(x) = ↵f(x + �) avec(↵,�) 2 R2.


Planche 176

I) Tracer la courbe d’equation polaire r(t) = e⇡e

it(on pourra utiliser la relation

de cinematique d��!OMdt

= ⇢~u+ ⇢✓~v).

II) Soit un le terme general d’une serie complexe absolument convergente.

Montrer que 8x > 1,X

|un|x converge.

On suppose 8k 2 N⇤,

+1X

0

ukn = 0 ; montrer que 9n

0

, n > n0

) |un| 6 12·

Prouver que limk!+1

+1X

n=n0

ukn = 0 puis que lim

k!+1

n0�1

X

n=0

ukn = 0.

Pour P 2 C[X] fixe, trouver limk!+1

n0�1

X

n=0

P (un)ukn.

En deduire que 8n 2 N, |un| < 1. Montrer que 8n 2 N, un = 0 .

Planche 177

I) Montrer que l’equation di↵erentielle y00(x) = a(x)y0(x) + b(x)y(x) ou a et bsont continues de R dans R, admet un systeme fondamental de solutions (f, g)avec f impaire et g paire, si et seulement si a est impaire et b paire.II) Trouver les A 2 Mn(R) telles qu’il existe un entier p verifiant (A+ tA)p = 0.

Planche 178

I) Soit A une matrice complexe carree d’ordre n, dont les valeurs propres sont lesracines nieme de l’unite. Montrer que pour c 2 C\Sp(A), A� cI est inversible.On note B son inverse. Montrer que B2 est un polynome en A.

II) Etudier la suite et la serie de terme general un = e�pn

Z n

0

eptdt.

Planche 179

I) Ensemble de definition de f(x) =X

n>1

xn(1 + nx2)

·

Donner la limite de f en +1 et un equivalent en 0+.

II) A =

1 2 33 1 22 3 1

!

et B =

1 3 22 1 33 2 1

!

sont-elles semblables ?

Planche 180

I) Ensemble de definition de f(x) =X

n>1

(lnn)xn.

Montrer que lnn�nX

k=1

1k

a une limite finie en +1.

Donner un equivalent de f au voisinage de 1.II) Soit A 2 Mn(R) et J la matrice dont tous les coe�cients valent 1.Montrer que 8t 2 R, det(A+ tJ) det(A� tJ) < detA2.

Planche 181

I) Soit f continue, monotone de R+

dans R, ayant une limite finie en +1.Montrer que toute solution de y00 + y = f est bornee.II) Montrer que, si A est symetrique reelle definie positive et r > 0, A+ rIn estaussi symetrique definie positive.Montrer que B = (A� rIn)(A+ rIn)�1 est symetrique et que toutes ses valeurspropres sont dans ]�1, 1[.III) Cours : les trois criteres de diagonalisation.

Planche 182

I) Soit f 2 C0(R+

,R), integrable de R+

. Montrer que

Z x

0

tf(t)dt = o(x) en +1.

II) Soit E un espace vectoriel de dimension finie ; que dire des endomorphismesu 2 L(E) nilpotents tels que tout sous-espace stable par u ait un supplementairestable par u ?

Planche 183

I) Developpement en serie entiere en zero de : f(x) = e�x2/2

Z x

0

et2/2dt.

II) Soit A 2 Mn(R) ; donner le rang, la trace et les elements propres de �, definisur Mn(R) par �(M) = AM .

Planche 184

I) Pour x > 0, decomposer F (x) =

Z

+1

0

sin text � 1

dt en serie de fractions

rationnelles.

Montrer qu’en zero, F ⇠ ⇡2x

(on rappelle que

Z

+1

0

sin tt

dt = ⇡2).

II) Soit A une matrice d’ordre n triangulaire superieure stricte.Montrer que An = 0 sans utiliser de calcul matriciel.

Planche 185

I) Resoudre l’equation di↵erentielle (x2�x)y00+(3x�1)y0+y = 0 ; on chercherad’abord les solutions developpables en entiere puis on e↵ectuera un recollementdes solutions.

II) A =

1 0 00 0 10 �1 2

!

est-elle diagonalisable ?

Pour n 2 N, calculer (A� I3

)n et en deduire An.

Planche 186

I) Soient a 2 C, de module 1 et z1

, . . . , zn les racines n�iemes de a.Montrer que les images de (1 + z

1

)n, . . . , (1 + zn)n sont alignees.II) Montrer que f defini par f(P )(X) = X(X � 1)P 0(X) � nXP (X) est unendomorphisme de Rn[X] dont on determinera les elements propres.

III) Calculer la sommeX

n2N⇤

(n+ 1) xn

(n� 1)!·

Concours Commun Mines � Ponts option PSI

Planche 187

I) Existence et calcul de

Z

1

0

lnx ln(1� x)dx.

Existence et calcul de

Z b

a

ln(x� a) ln(b� x)dx avec a < b.

II) Soient ↵ 2 C et (y1

, . . . , yn) 2 Cn ; resoudre le systeme aux inconnues

complexes (x1

, . . . , xn) : 8i 2 [[1, n]],

iX

j=1

↵i�jxi +

nX

j=i+1

↵j�ixj = yi.

Planche 188

I) Donner les elements propres de A qui a des 1 sur la diagonale secondaire etdes 0 partout ailleurs.

II) CalculerX

n>0

(�1)n

3n+ 1·

Planche 189

I) Montrer que, si deux sous-espaces admettent un supplementaire commun, alorsils sont isomorphes. Montrer que la reciproque est fausse.

II) Montrer que 8z 2 C, si <e(z) > 0 alors

Z

+1

0

tz�1e�tdt 6= 0.

Planche 190

I) Soit f un endomorphisme de Cn.Si rg f = 2, donner son polynome caracteristique en fonction de tr f et tr(f2).Si rg f = 3, le donner en fonction de tr f , tr(f2) et tr(f3).

II) Montrer que F definie par F (x) =

Z

+1

0

e�xt 1� cos t

t2dt est definie et

continue sur R+

. Donner sa limite en +1.Montrer que F est C2 sur R⇤

+

et calculer F 00. Calculer F (0).

III) Soit P 2 R[X] tel que 8x 2 R, P (x) > 0.Montrer que 9(A,B) 2 R[X]2, P = A2 +B2.

Planche 191

I) Donner les valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de R[X] qui a P

associe T (P )(X) = P�X + 1

2

�

(on pourra utiliser les (X + a)k).

Donner les valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de C1(R,R) qui a f

associe T (f)(x) = f�x+ 1

2

�

(on utilisera la suite u0

= x, un+1

=un + 1

2).

II) Trouver f , 2⇡-periodique, C1 de R dans R, verifiant f 0(0) = 1 et�

� f (n)

�

�

1 6 1.

Planche 192

I) Pour M symetrique reelle d’ordre n, definie positive, et C 2 Rn, on notefn(x1

, . . . , xn) = tXMX+2tCX ou X est le vecteur de coordonnees (x1

, . . . , xn).Trouver le minimum de fn sur Rn.Montrer que si A et B sont symetriques reelles d’ordre n, definies positives, alorsA+B est inversible.Trouver inf{tXAX +t Y BY,X + Y = Z}, Z etant fixe dans Rn.

II) Donner les principales proprietes de f(u) = 1

1 + cos2 uet montrer qu’elle est

egale a sa serie de Fourier.Soit g de classe C1 de [�⇡,⇡] dans R.

Quelle est la limite, lorsque x tend vers + l’infini, de I(x) =

Z ⇡

�⇡

g(u)f(xu)du ?

Planche 193

I) On pose �(P )(X) = P (X+1)+P (X�1)�2P (X) ; montrer que � ainsi defini,est un endomorphisme de R

3

[X] dont on donnera le noyau et l’image.II) Convergence de la serie de terme general un = Arg chn�Arg shn.

Planche 194

I) Trouver la limite l de la suite de terme general In =

Z

1

0

dt1 + tn

·

Donner un equivalent de l � In. Montrer que

Z

1

0

ln(1 + y)

ydy =

+1X

k=0

(�1)k

(k + 1)2·

Trouver un developpement asymptotique a 3 termes de In.II) Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et G un sous-espacede E ; montrer que A = {u 2 L(E,F ), G ⇢ Keru} est un sous-espace de L(E,F ).Donner sa dimension.III) Cours : projection orthogonale sur un sous-espace muni d’une base orthonor-male.

Planche 195

I) Resoudre x@f

@x+ y

@f

@y� f = �(x2 + y2) sur R2\{(x, 0), x 2 R} (on pourra

passer en coordonnees polaires).

II) Soit A 2 Rn[X] tel que

Z

1

0

A(t)dt 6= 0.

Montrer que u defini par u(P ) = A

Z

1

0

P (t)dt � P

Z

1

0

A(t)dt est un endomor-

phisme de Rn[X]. Donner les elements propres de u ; est-il diagonalisable ?

Planche 196

I) Montrer que la matrice carree reelle de coe�cient mij est symetrique, a valeurspropres strictement positives, si et seulement s’il existe une base (e

1

, . . . , en) deRn et un produit scalaire tels que mij = (ei|ej).II) Montrer que 8(x, y) 2 R2, |xp � yp | 6 |x� y |p , p 6 1.

Planche 197

I) Trouver les extrema eventuels de f(x, y) = (xy)↵ + �xy, (↵,�) 2 R2.Preciser leur nature.II) Pour A 2 Sn(R), montrer que I = {X 2 Mn(R), tXAX = 1} est un compactnon vide si et seulement si A est definie positive.


Planche 198

I) Montrer que le determinant Dn(X) de la matrice de taille n ayant 1 +X2 surla diagonale, X juste au dessus et juste en dessous de la diagonale et 0 partoutailleurs, est un polynome en X. Quel est son degre ? Calculer Dn.

II) Etudier la convergence de la suite de terme general un =

Z

+1

1

e�xn

dx, puis

la convergence de la serie de terme general un.

Planche 199

I) Dire si A =

1 1 �11 �1 01 0 1

!

est diagonalisable sur R puis sur C.

On note tn = tr(An) ; donner une relation entre 4 termes consecutifs puis exprimer

tn en fonction des valeurs propres de A. Etudier la convergence deP

tnzn.II) Montrer que l’equation di↵erentielle y0�y = f , ou f est continue et integrablesur R, admet une unique solution F bornee sur R. Montrer que F est integrable

sur R et trouver un lien entre

Z

+1

�1f(t)dt et

Z

+1

�1F (t)dt.

Planche 200

I) Soient � 2 R, u et v deux endomorphismes d’un R-espace vectoriel E ; montrerque �Id+ u � v est inversible si et seulement si �Id+ v � u l’est aussi.II) Soit f , paire, 2⇡-periodique, definie sur ]0,⇡] par f(t) = t↵, ↵ 2 ]0, 1[.Montrer que f est continue sur R.

Justifier l’existence de I =

Z

+1

0

u↵�2(1� cosu)du et montrer que I > 0.

Donner, en fonction de I, un equivalent de cn(f) en +1.f est-elle developpable en serie de Fourier ?

Planche 201

I) Soit f , endomorphisme de E euclidien, tel que 8x 2 E, k f(x) k 6 kx k.Montrer que si f(x) = x, alors f⇤(x) = x.Montrer que E = Ker(f � Id)� Im(f � Id).Comparer la norme d’un endomorphisme et celle de son adjoint.

II) Soit f 2⇡-periodique, definie sur [0, 2⇡[ par f(x) =⇡ � x

2·

Donner les coe�cients de Fourier de g definie par g(x) = f(x� 1)� f(x+ 1).

CalculerX

n>1

sin2 nn2

·

III) Cours : inegalite de Bessel.

Planche 202

I) On note x1

, . . . , xp, des vecteurs unitaires de E euclidien de dimension n < p,tels que si i 6= j, kxi � xj k est constante et vaut d.Exprimer d en fonction de p et en deduire que p = n + 1 (on pourra utiliser lamatrice de coe�cient < xi|xj >).

II) Rayon de convergence deX

anxn ou (an) est une suite reelle tendant vers

une limite a ; trouver un equivalent de sa somme f au voisinage de 1.Tracer D = {z 2 C, | z | 6 1, z = 1� rei✓, r > 0, ✓ 2 ]�↵,↵[}.Montrer que les resultats restent valables pour

P

anzn, z 2 D.

Planche 203

I) Montrer que l’equation di↵erentielle y0 = 1 + x2y2, avec la condition initialey(0) = 0, admet une unique solution f maximale.Montrer que f est impaire, definie sur ]�a, a[, avec a 2 R et donner son allure.II) Soient A et B deux matrices carrees d’ordre n reelle. De quelle nature est lafonction f definie sur R par f(x) = det(A+ xB) ? Determiner son degre.

Planche 204

I) Determinant et polynome caracteristique de A =

0

@

a2 ab ab b2

ab a2 b2 abab b2 a2 abb2 ab ab a2

1

A.

Quelles sont ses valeurs propres ? Est-elle diagonalisable ?

II) Nature de la serie de terme general un = Arc cos�31/2

2�

(�1)n

n↵

�

� ⇡6

avec

↵ 2 R.

Planche 205

I) Trouver, de deux manieres di↵erentes, le developpement en serie entiere de

f(x) = e�x2

Z x

0

et2dt.

II) Diagonaliser M1

carree de taille n, dont tous les coe�cients sont nuls saufceux de la derniere ligne et derniere colonne qui valent 1 et M

2

dont tous lescoe�cients sont nuls sauf ceux de la premiere ligne, premiere colonne, derniereligne et derniere colonne qui valent 1.III) Montrer que O

2

(Q) est dense dans O2

(R).

Planche 206

I) Calculer

ZZ

D

dxdy

(1 + x2 + y2)2ou D = {(x, y) 2 R2, y > 0, 2x > y2}.

II) On note E le R-espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, dont lalimite en �1 est un reel.Montrer que �, defini par �(f)(x) = f(x� 1) est un endomorphisme de E.Trouver ses valeurs et vecteurs propres.

Planche 207

I) Trouver � tel que f(t) = tch t

soit solution de y00 + �y0 + y = 0 puis resoudre

l’equation di↵erentielle.

II) En dimension n, pour ↵i et Ai fixes, on pose f(M) =

nX

i=1

↵i(AiM)2.

Determiner les extrema de f et preciser s’ils sont absolus ou relatifs.

Concours Communs Polytechniques option MP

Planche 208

I) Soient une suite de fonctions (fn) et une fonction f de X dans C.Montrer que s’il existe une suite (an) de limite nulle et verifiant :8x 2 X, 8n 2 N, | fn(x)� f(x) | 6 an,alors (fn) converge uniformement vers f sur X.

Si fn(z) = zn, y a-t-il convergence uniforme sur DF (0, 12) ? Sur DO(0, 1) ?

II) Montrer que q(A) = tr(A2) est une forme quadratique sur Mn(R).Montrer, de deux manieres, que la restriction de q a Sn(R) est definie et positive.

Planche 209

I) Pour x 2 [0, 1] et n 2 N⇤, on pose un(x) = ln�

1+xn

�

� xn et, lorsqu’elle existe,

on note S(x) =X

n>1

un(x). Montrer que S est derivable sur [0, 1] et calculer S0(1)

(on pourra faire une decomposition en elements simples).

II) Soit � defini sur Rn[X] par �(P )(X) = P (X + 1) + P (X � 1)� 2P (X).

Donner le degre de l’image par � de Pk(X) = Xk pour 0 6 k 6 n.Montrer que � est un endomorphisme dont on precisera le noyau.

Montrer que � est nilpotent.

Planche 210

I) Montrer qu’il existe une unique valeur m0

du parametre m 2 R telle que le

systeme

8

<

:

x+ y + z = 1x+ y + 2z = 02x� y � z = �1x� 2y + z = m

admette une unique solution et la calculer.

Dans l’espace rapporte a un repere orthonorme (O,~i,~j,~k), on note d et d0 les

droites d’equations respectives

(

x = ty = 2� tz = �1

et

(

x = uy = 2 + uz = �1 + u

Montrer que d et d0 sont concourantes.

Montrer que d est l’intersection des plans d’equations x + y + z = 1 etx+y+2z = 0, puis que d0 est l’intersection des plans d’equations 2x�y�z = �1et x� 2y + z = �5. Retrouver le resultat de la premiere question.

II) Existence et calcul des extremums locaux de f(x, y) = e�(x2+y2

).

Admet-elle des extremums globaux ?

Planche 211

I) Etudier la convergence simple deP (�1)n

n xn.

On note D l’ensemble des x ou cette serie converge et S(x) sa somme.

Etudier la convergence normale puis uniforme sur D.

S est-elle continue sur D ?

II) Soit f 2 L(R3) et represente par A =

2 1 11 0 11 �3 �2

!

.

Trouver les endomorphismes g de L(R3) tels que g3 + 2g = f .

Planche 212

I) Cours : montrer l’inegalite de Cauchy-Schwarz dans un R-espace vectoriel muni

d’un produit scalaire (on pourra s’interesser a kx+ �y k2) ; on precisera le casd’egalite.

II) Etudier et representer f(x) =

Z x

0

dt3 + cos t

·

Planche 213

I) Montrer que �(A,B) = tr(tAB) est un produit scalaire sur M2

(R).

Montrer que F =n⇣

a b�b a

⌘

, (a, b) 2 R2

o

est un sous-espace vectoriel de

M2

(R). Trouver une base de F? et determiner la projection orthogonale de⇣

1 11 1

⌘

sur F?.

II) Ensemble de definition et continuite de f(x) =X

n>0

e�xpn.

Determiner la limite de f en +1 et un equivalent de f en 0+ (on pourra utiliserla comparaison avec une integrale).

Planche 214

I) Decomposer f(x) =1

(x+ 1)(3� x)en elements simples et en deduire les

primitives de f sur ]3,+1[.

Determiner le developpement en serie entiere au voisinage de 0 de f et preciserson rayon de convergence.

Determiner le developpement limite de f a l’ordre 5 en 0.

II) Donner une CNS pour que f(x) = (a|x)b+ b^ x ou a et b sont fixes dans R3,soit un isomorphisme de R3 et determiner f�1.

Planche 215

I) Etudier la courbe d’equation polaire ⇢(✓) = ln(1 � cos ✓) : points doubles,asymptotes, tangente aux points d’intersection avec les axes.

II) Montrer que l’ensemble l2 des suites complexes (xn), telles queP

|xn |2converge, est un sous-espace de l’espace des suites complexes.

Montrer que si x = (xn) et y = (yn) sont deux suites de l2,P

xnyn converge.

Montrer que (x|y) =P

xnyn est un produit scalaire sur l2.

Pour x 2 l2, montrer que �n(x) = xn est lineaire et continue de l2 dans C etcalculer |||�n|||.


Planche 216

I) Determiner le centre, le rapport et l’angle de la similitude directe donnee pars(z) = (i� 1)z + 2� i.Donner les images A0, B0, C0, par s, des points A, B, C d’a�xes respectives i,

�1, �i. Quelle est la mesure de l’angle dA0B0C0 ?Que vaut la longueur A0C0 ? Calculer l’aire du triangle A0B0C0.

II) Montrer que 8n 2 N,Z

1

0

tnp

1� t2dt existe. (In) est-elle monotone ?

Montrer que nIn = (n� 1)In�2

pour n > 2 et en deduire I2p.

Montrer que nInIn�1

=⇡2

et en deduire un equivalent simple de⇣

2nn

⌘

.

Planche 217

I) Soit f un endomorphisme d’un espace E de dimension n.Montrer que E = Im f �Ker f ) Im f = Im f2.Montrer que Im f = Im f2 , Ker f = Ker f2.Montrer que Im f = Im f2 ) E = Im f �Ker f .

II) Montrer que f(t) = sin3 t

t2est integrable sur [x,+1[, 8x > 0.

Exprimer sin3 t en fonction de sin t et sin(3t).

Montrer que 8x > 0, I(x) =

Z

+1

x

f(t)dt = 34

Z

3x

x

sin tt

dt.

Calculer I(0).

Planche 218

I) Soit h continue et positive sur [a, b] ⇢ R, a valeurs dans R.

Montrer que

Z b

a

h(t)dt = 0 ) h = 0.

Montrer que (f |g) =

Z b

a

f(t)g(t)dt est un produit scalaire sur l’espace E des

fonctions continues de R dans R.A l’aide de l’inegalite de Cauchy-Schwarz, majorer

Z

1

0

pxe�xdx.

II) Soit f decroissante, continue et integrable sur R.Montrer que lim

x!+1f(x) = 0 et lim

x!+1xf(x) = 0.

Trouver f continue et integrable sur R, de limite non nulle en +1.

Planche 219

I) Montrer que, si (un) et (vn) sont deux suites reelles telles que un ⇠ vn, un etvn sont de meme signe a partir d’un certain rang.

Trouver le signe de un = sh1n � tan

1n au voisinage de +1.

II) Montrer que

Z

1

0

P (x)Q(x)dx est un produit scalaire sur R2

[X].

Montrer que P0

= 1, P1

= 1 � 2X, P2

= � 12+ 3X � 3X2 forment une base

orthogonale de R2

[X] et rendre cette base orthonormale.Soit u l’endomorphisme de R

2

[X] qui, a P , associe son polynome derive P 0 ;donner l’image de P par l’adjoint u⇤ de u.

Planche 220

I) Soit A une matrice reelle, de taille n, symetrique et positive.Montrer que det(A+ In) > det(A) + 1 ; quand y a-t-il egalite ?On suppose A definie positive ; montrer que 9P 2 GLn(R), tPAP = In.Montrer que si B est symetrique reelle positive, det(A+B) > detA+ detB.Generaliser pour A et B symetriques reelles positives.

II) Soit (un) une suite reelle positive telle queun+1

untend vers l 2 [0, 1[.

Montrer queP

un converge en utilisant la definition de la limite deun+1

un·

Montrer queP n

(3n+ 1)!converge.

Planche 221

I) Existence de un =

Z

+1

0

dt1 + t2 + tne�t

dt et limite de (un).

II) Soit f un endomorphisme symetrique a valeurs propres strictement positives

de Rn euclidien. Montrer que 8h 2 Rn\{0},�

f(h)|h�

> 0.

g(x) = 12

�

f(x)|x�

� (u|x) ou u est un vecteur fixe de Rn, admet-elle des derivees

partielles ? Quels en sont les points critiques ?

Planche 222

I) Montrer que, dans R2, les 3 normes p0

, p1

, p2

definies par p0

(x, y) =p

x2 + y2,p1

(x, y) = |x|+ |y|, p2

(x, y) = max{|x| , |y|} sont equivalentes, sans utiliser le faitque R2 est un espace vectoriel de dimension finie.Pour i 2 {0, 1, 2}, on note Bi la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 pour la

norme pi. Le plan a�ne euclidien est rapporte a un repere orthonormal (O,�!i ,

�!j ).

Pour chaque i 2 {0, 1, 2}, determiner l’ensemble Ei des points M du plan dont

les coordonnees (x, y) dans le repere (O,�!i ,

�!j ) sont dans Bi.

II) Montrer que, 8n > 3 :

ln(2)

2+

Z n

3

ln(t)

tdt 6

nX

k=2

ln(k)

k6Z n

3

ln(t)

tdt+

ln(2)

2+

ln(3)

3·

En deduire un equivalent de Sn =

nX

k=2

ln(k)

k·

Montrer que (ln(n))2 � (ln(n� 1))2 = 2ln(n)n +

ln(n)

n2

+ o� ln(n)

n2

�

.

En utilisant la suite un =ln(n)n � 1

2

�

(ln(n))2 � (ln(n� 1)�

2

, montrer qu’il existe

un reel c tel que Sn =12(ln(n))2 + c+ "(n) avec lim

n!+1"(n) = 0.

Concours Communs Polytechniques option PC

Planche 223

I) Montrer que T (x) =

Z

1

0

dt1 + tx

existe sur R.

Montrer que T (x) + T (�x) = 1 ; calculer T (0), T (1), T (�1), T (2), T (�2).Montrer que T est de classe C1. Trouver les limites de T en +1 et �1.Donner un developpement de Taylor en 0 a l’ordre 1 de T .Trouver un equivalent de T en +1.II) Soit (e

1

, e2

, . . . , en) une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien E,

telle que 8x 2 E, kx k2 =

nX

i=1

(x|ei). Montrer que c’est une famille libre.

Est-ce une famille orthonormale ?

Planche 224

I) Soit un =

nX

k=2

(ln k)2 defini pour n > 2.

Montrer que un > (lnn)2 et en deduire queP

un diverge.

Montrer que

Z n

1

(ln t)2dt 6 un 6Z n+1

1

(ln t)2dt.

Calculer

Z x

1

(ln t)2dt et en deduire que, en +1,

Z x

1

(ln t)2dt ⇠ x lnx.

Trouver un equivalent de1un

et determiner la nature deP 1

un.

II) L’endomorphisme de Mn(C) qui, a A associe tA, est-il diagonalisable ?

Planche 225

I) Soit f 2 L(R3) de matrice A =

1 �3 42 �7 82 �7 7

!

dans la base canonique

(E1

, E2

, E3

) ; on admet que 3 et �1 sont ses seules valeurs propres. f est-ilbijectif ? Donner une base des sous-espaces propres. A est elle diagonalisable ?

On choisit e1

=

122

!

, e2

= µ

121

!

et e3

= E1

+ �e1

.

B = (e1

, e2

, e3

) est-elle une base ? Comment choisir µ et � tels que la matrice de

f dans B soit T =

3 0 00 �1 00 1 �1

!

?

Resoudre

(

u0 = 3uv0 = �v + ww0 = �w

et

(

x0 = x� 3y + 4zy0 = 2x� 7y + 8zz0 = 2x� 7y + 7z

.

II) Calculer limn!+1

Z

1

0

(�1)nxn+1

1 + xdx.

Planche 226

I) On note C l’ensemble des fonctions continues de R dans R, D celui des fonctionsde R dans R sommes d’une serie entiere

P

anxn de rayon de convergence infini,F l’ensemble des fonctions g de R dans R telles qu’il existe une fonction f 2 Dverifiant g(x) = x4f(x).

Montrer que 8P 2 R3

[X],

Z

1

�1

P (t)dt = P� 1p

3

�

+ P�

� 1p3

�

.

Montrer que ch et sh sont dans D.Montrer que D ⇢ C, R

3

[X] ⇢ D et F ⇢ D. Montrer que D est un sous-espace deC et que R

3

[X] et F sont supplementaires dans D.On note p la projection sur R

3

[X] parallelement a F et f0

definie par f0

(0) = 1

et 8x 6= 0, f0

(x) =ex � 1

x · Montrer que f0

2 D et calculer p(f0

).

II) Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien E tel que si < x, y >= 0,alors < f(x), f(y) >= 0 ; soit (e

1

, . . . , en) une base de E.

Montrer que 8(i, j) 2 [[1, n]]2, k f(ei) k2 = k f(ej) k2.Montrer qu’il existe K > 0 tel que 8x 2 E, k f(x) k = K kx k.

Planche 227

I) Montrer que In =

Z

1

0

tnp

1� t2dt est definie.

Montrer que �(P,Q) =

Z

1

0

P (t)Q(t)p

1� t2est un produit scalaire sur R[X].

Exprimer In en fonction de wn =

Z ⇡/2

0

sinn tdt (on pourra e↵ectuer un change-

ment de variable). Montrer que wn+2

=n+ 1

n+ 2wn.

Donner une base orthonormale de Rn[X] pour �.

Determiner a et b tels que

Z

1

0

t2 � at� bp

1� t2dt soit minimal.

II) Montrer que M 2 M3

(R) verifiant M2 + tM = I3

est diagonalisable etdeterminer ses valeurs propres.

Planche 228

I) Montrer que 8t 2 [0, ⇡2], 2t

⇡ 6 sin t 6 t.

Montrer que F (x) =

Z ⇡/2

0

sin tt

e�xtdt est definie sur R.

Montrer que |F (x) | 6 1� e�⇡x/2

x et en deduire la limite de F (x) en +1.

Montrer que F est de classe C1 et exprimer F 0 sans integrale.F est-elle developpable en serie entiere ?Trouver la limite de F en �1.II)Montrer que les trois droites du plan d’equations y = 2, 2y�x = 0, 5y�x = �9delimitent un triangle dont on calculera l’aire.


Planche 229

I) Resoudre l’equation homogene associee a (E) : (1 � x2)y0 � xy = f(x) sur]�1, 1[.

Montrer que h(x) =p1� x2 � Arc cosx est derivable sur ]�1, 1[ et que

h0(x) =

r

1� x1 + x

·

Resoudre (E) sur ]�1, 1[ pour f(x) = 1� x.

Montrer que si (E) admet une solution C1 sur ]�1, 1[, alors

Z ⇡/2

�⇡/2

f(sin t)dt = 0.

On choisit f(x) = ax + b ; montrer que (E) admet une solution de classe C1 sur]�1, 1[ si et seulement si b = 0.

Soit � defini sur Rn[X] par �(P ) =

Z ⇡/2

�⇡/2

P (sin t)dt et � defini sur Rn�1

[X] par

�(P )(X) = (1�X2)P 0(X)�XP (X).

Montrer que dim(Im�) = dim(Ker�) = n.

Montrer que 8k 6 n� 1, ��

�(Xk)�

= 0 ; qu’en deduit-on ?

II) La serie de terme general un(x) = (�1)n ln�

1 +x

n(1 + x)

�

converge-t-elle

simplement sur R+

? Normalement ?

Planche 230

I) Montrer que f(t) =X

n>0

un(t) avec un(t) =e�nt2

n2 + 1est definie et continue sur

R. Montrer que limt!+1

f(t) = 1.

Donner les variations de u0n sur R

+

et en deduire ku0n k1.

Montrer que f est de classe C1 sur R+

.

Donner les variations de f et l’allure de la courbe ; on prendra f(0) = 2 a 10�2

pres.

Montrer que g(t) = f(t)� 1 est integrable sur R+

.

Montrer que

10

X

n=0

1

n2 + 1est une approximation a 10�2 pres de f(0).

II) Soient F et G deux sous-espaces d’un espace euclidien E.

Montrer que F ⇢ G ) G? ⇢ F? ; (F \G)? = F?+G? ; (F +G)? = F?\G? ;E = F �G , E = F? �G?.

Planche 231

I) Soit an =

Z

1

0

tnp

1� t2dt.

On pourra utiliser, sans le demontrer, le resultat : an+2

= ann+ 1

n+ 4·

Montrer que (an) est decroissante et calculer a1

et a0

(on pourra utiliser lechangement de variable t = sinx).Montrer que la suite (n(n+ 1)(n+ 2)anan�1

) est constante.

En remarquant que an+2

6 an+1

6 an, montrer que an ⇠ an+1

et en deduire unequivalent de an.Donner le comportement de

P

an.

II) Soit A inversible telle que tA = A2 ; montrer que A est orthogonale.

Planche 232

I) Montrer que t4 + 4t2 � 1 admet exactement deux racines distinctes.

On note � la courbe d’equations parametriques

8

>

<

>

:

x(t) =1� t2

1 + t2

y(t) =t� t3

1 + t2

.

Que se passe-t-il si on change t en �t ? Etudier les variations de x et y.Tracer �, ses tangentes et ses asymptotes.

Montrer qu’une droite �, passant par M(0), ni verticale ni horizontale, a uneequation de la forme y = p(x� 1) avec p 6= 0.

Montrer que � coupe � en deux points distincts de parametres t1

et t2

, qu’onexprimera en fonction de p.Donner une equation de la droite passant par O et M(t) puis montrer que les

droites�

(OM(t1

)�

et�

(OM(t2

)�

sont orthogonales.

II) Ensemble de definition de S(x) =X

n>0

an

x+ nou a 2 ]�1, 1[.

Montrer que xS(x) tend vers1

1� aquand x tend vers +1.

Planche 233

I) Soit A =

2 0 00 1 10 0 1

!

d’endomorphisme associe u.

Donner le rang de A� I3

et en deduire que A n’est pas diagonalisable.

Donner Ker(u� 2Id) et Ker(u� 2Id)2.Montrer que E = Ker(u� 2Id)�Ker(u� 2Id)2.Soit v l’endomorphisme de matrice X telle que Xn = A ; montrer que u et vcommutent et que Ker(u� 2Id) et Ker(u� 2Id)2 sont stables par v.

Montrer que X est de la forme⇣

↵ 00 Y

⌘

ou ↵ 2 C et Y 2 M2

(R). Trouver X.

II) Donner le minimum local de f(x, y) = a

x2

+b

y2+

xy

a2sur R⇤2

+

.

Soit D = [a3, 9a]2 ; montrer que, sur R⇤2

+

\D, f(x, y) > 3.

Trouver le minimum global de f et montrer que ce minimum est dans D.

Planche 234

I) SoientP

an une serie convergente a termes positifs, (bn) une suite d’entiers

naturels non nuls et f(x) =X

n>1

an cos(2⇡bnx) definie sur [0, 1].

Montrer queX

n>1

an cos(2⇡bnx) converge normalement sur [0, 1].

Montrer que f est continue et definie sur [0, 1]. Calculer

Z

1

0

f(x)dx.

Montrer que SN =1N

N�1

X

k=0

f� kN

�

converge et determiner sa limite.

Montrer queX

n>1

e2ibnk/N vaut N si N divise bn et 0 sinon.

On note In = {n 2 N⇤, N divise bn} ; montrer que Sn =P

n2In

an.

On choisit bn = n! et an =1

n3/2.

Montrer que {n 2 N⇤, n > N} ⇢ In puis que NSN tend vers +1.

II) Montrer que l’ensemble des matrices de M4

(R) qui commutent avec

A =

0

@

0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 1 0 0

1

A est un espace vectoriel et donner sa dimension.

Planche 235

I) Soient A et B deux matrices carrees qui commutent et M =⇣

A B0 A

⌘

.

Montrer que, pour tout entier k, AkB = BAk et calculer Mk.

Montrer que, pour tout polynome P , P (M) =⇣

P (A) BP 0(A)0 P (A)

⌘

.

Montrer que si Q est un polynome scinde a racines simples qui annule A, Q0(A)est inversible.Montrer que si M est diagonalisable, A l’est aussi et B est nulle.Montrer la reciproque.

II) Montrer queX

n>2

ln�

1� 1

n2

�

converge et calculer sa somme.

Planche 236

I) Montrer que 8x 2 R, ex > 1 + x.Montrer que 8k 2 [[1, n� 1]], 8x 2 [0, 1], xk > xn+1.

Soit an =

Z

1

0

xn

1 + x+ x2 + . . .+ xn�1

dx ; montrer que :

8n > 2, an 6Z

1

0

xn

1 + (n� 1)xn+1

dx, puis que 0 6 an 6 lnn

n2 � 1·

Montrer queP

an converge.

Montrer que n2an =

Z

1

0

nt1/n(1� t1/n)

1� tdt, puis que

P

n2an converge vers

l = � ln t1� t

·

Trouver un equivalent de an en +1 (on rappelle deP 1

n2

=⇡2

6).

II) Quel est le rang de A =

0

@

0 1 0 01 k 1 10 1 0 00 1 0 0

1

A ou k 2 C ?

Admet-elle 0 pour valeur propre ?Quelle est la dimension du sous-espace propre associe a 0 ?A est-elle diagonalisable ?

Planche 237

I) On pose, pour n 2 N⇤, fn(x) = xn�1 lnx.

Montrer par recurrence que f(n)

n (x) =(n� 1)!

x ·Le montrer a l’aide de la formule de Leibniz appliquee a xn�1 lnx.

II) Montrer que A, reelle, inversible de taille 6, telle que A3 � 3A2 + 2A = 0 ettrA = 8 est diagonalisable et determiner son polynome caracteristique.

Planche 238

I) Calculer le rang de la matrice An dont tous les coe�cients valent1n ·

Calculer A2

n et en deduire que An est la matrice d’un projecteur.

Soit ↵ 2 ]0, 1[ ; montrer que C =⇣

↵ 1� ↵1� ↵ ↵

⌘

est diagonalisable et donner

ses vecteurs propres.

Montrer que Cn = P⇣

1 00 (2↵� 1)n

⌘

avec P =1p2

⇣

1 �11 1

⌘

et en deduire que

la limite de la suite (Cn) ne depent pas de ↵.

On note F l’ensemble des matrices M 2 Mn(R) dont les coe�cients sont positifs

et verifient 8i 2 [[1, n]],

nX

j=1

mij = 1. F est-il un sous-espace vectoriel ?

Montrer qu’il est stable pour le produit matriciel ; est-ce un groupe multiplicatif ?Montrer que, si B 2 F , 1 est valeur propre de B et si � est une autre valeurpropre de B, |� | 6 1.

Soient deux reel u0

et v0

; on definit (un) et (vn) par un+1

= ↵un + (1 � ↵)vn,vn+1

= (1� ↵)un + ↵vn.Montrer que (un) et (vn) convergent.

P

un etP

vn convergent-elles ?

II) Soit fn(x) =1

n+ n3x2

·

Montrer que la serie de fonctions (fn) converge simplement sur R⇤.Y a-t-il convergence simple sur R⇤

+

?

Montrer queP

fn est C0 sur R⇤+

.


Concours Communs Polytechniques option PSI

Planche 239

I) Montrer que, pour n > 3, la matrice N , carree d’ordre n, qui a des 1 sur ladiagonale, au dessous de la diagonale principale, sur la premiere et la dernierecolonnes, et des 0 partout ailleurs, est diagonalisable.Preciser ses elements propres.

II) Montrer que la serie de terme general an =1

12 + 22 + . . .+ n2

converge.

Pour n 2 N⇤, on note Hn = 1 +12+ . . .+ 1

n (serie harmonique).

Montrer que limn!+1

H2n+1

�Hn = ln 2 et en deduireX

n>0

an.

Planche 240

I) Soit f un endomorphisme d’un R-espace vectoriel.

Montrer que si Im f = Im f � f alors E = Im f +Ker f . Etudier la reciproque.

II) Pour n > 0 et x > 0, on pose fn(x) =sin(nx)

nx+ x2

·

Montrer que les fn sont prolongeables par continuite en 0.Montrer que les fn sont integrables sur [0,+1[.

Montrer que la suite de terme general Un =

Z

+1

0

fn(x)dx converge et determiner

sa limite.

Planche 241

I) Montrer que g, defini sur Rn[X] par :g(P )(X) = n2XP (X)� (X2 +X)P 0(X)�X3P 00(X) est un endomorphisme.Est-il diagonalisable ? Injectif ?II) Determiner les coe�cients de Fourier de f , 2⇡-periodique, definie sur [�⇡,⇡]

par f(t) = ⇡2 � t2. En deduire

+1X

n=1

1

n2

·

Planche 242

I) Existence de In =

Z

+1

0

1(chx)n

dx.

Calculer limn!+1

In et etudierP

(�1)nIn. EtudierP

In.

II) Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien E muni d’une base or-

thonormee (e1

, . . . , en). Montrer que tr(f) =

nX

k=1

< f(ek)|ek >.

On suppose f autoadjoint et ses valeurs propres positives ou nulles.Montrer que 8x 2 E, < f(x)|x >> 0.Si f et g sont deux endomorphismes autoadjoints dont les valeurs propres sontpositives, montrer que tr(f � g) > 0.

Planche 243

I) Montrer que deux endomorphismes f et g d’un espace de dimension finie,diagonalisables et verifiant g � f = f � g admettent une base de vecteurs proprescommune.Soit M une matrice complexe symetrique, de partie reelle R(M) et de partie imag-inaire I(M) ; montrer que, si I(M) et R(M) commutent, M est diagonalisable.

II) Soit f de classe C2, verifiant

Z

2⇡

0

f(x)dx = 0 et | f 00(x) | < | f(x) |.

Montrer que f(x) = a cos t+ b sin t (on utilisera l’egalite de Parseval et la relationentre an(f 00) = an(f)).

Planche 244

I) Donner la serie de Fourier reelle de f , 2⇡-periodique definie sur [�⇡,⇡] par

f(x) = 1� x2

⇡2

·

Etudier les convergences simple et normale et donner la valeur de la somme.

Calculer la somme des1

n2

et puis celle des1

n4

·

II) Soit un endomorphisme symetrique de Rn euclidien dont toutes les valeurspropres sont strictement positives. Prouver qu’il existe une base orthonormee Bdans laquelle la matrice de f est diagonale.Prouver que 8x 2 Rn, < f(x), x > est strictement positif. Soit u un vecteur fixedans Rn.

Montrer que g, definie par g(x) =12

< f(x), x > � < u, x > est de classe C1 et

exprimer les derivees partielles de g en fonction des vecteurs de la base B.Montrer que g admet un unique point critique en c et qui est un minimum global.

Planche 245

I) Donner la matrice, dans la base canonique de Rn[X], de � defini par�(P )(X) = P (X + 1). Calculer ��1.

II) Limite de

Z

1

0

tnf(t)dt

Z

1

0

tndt

ou f est continue sur [0, 1] a valeurs dans R.

Planche 246

I) Ensemble de definition de f(x) =

Z

+1

0

te�xt

et � 1dt. Calculer sa limite en +1.

Pour x > 0, calculer f(x� 1)� f(x) et en deduire f(x) sous forme d’une serie defonctions. Quelle autre methode aurait-on pu utiliser ?

II) A quelle condition (P,Q) =

nX

k=0

P (ak)Q(ak), ou a0

, a1

, . . . , an sont des reels,

est-il un produit scalaire sur Rn[X] ?En supposant cette condition verifiee, trouver une base orthonormale pour ce

produit scalaire et l’orthogonal de F = {P 2 Rn[X],

nX

k=0

P (ak) = 0}.

Quelle est la distance de Xn a F ?

Planche 247

I) Decomposer A, matrice carree complexe de rang 1, comme produit d’unematrice ligne et d’une matrice colonne. En deduire que A2 = (trA)A.Trouver le polynome caracteristique de A.

A quelle condition A+ In est-elle inversible ? Calculer alors son inverse.II) Montrer que y(x) = x est solution de (1 + x2)y00 + xy0 � y = 0.

Calculer la derivee de �(x) = �

p

1 + x2

x sur R⇤ et en deduire les solutions de

(1 + x2)y00 + xy0 � y = xp1 + x2.

Determiner les solutions de cette equation sur R.Planche 248

I) Calculer Bn ou B =

A 0 A0 A 00 0 A

!

avec A 2 Mn(C).

Montrer que por tout polynome P , P (B) =

P (A) 0 AP 0(A)0 P (A) 00 0 P (A)

!

.

Montrer que si B est diagonalisable A l’est aussi puis que A = 0.Trouver une condition pour que B soit diagonalisable.

II) Soit (un) definie par u0

> 0 et un+1

=e�u

n

n+ 1·

Donner la nature des series de terme general un et (�1)nun.

Planche 249

I) Pour 0 6 k 6 n, on pose Pk(X) = Xk(1 �X)n�k ; montrer que (P0

, . . . , Pn)est une base de Rn[X] et exprimer les Xk dans cette base.II) On definit la suite (un) par u

0

= 0, u1

= 1 et un+2

= un+1

+ un.Exprimer un en fonction de n.

Donner le rayon de convergence deX

n>0

unzn et calculer sa somme.

Planche 250

I) Ensemble de definition et continuite de f(x) =X

n>0

e�xpn.

Donner un equivalent de f en 0 et sa limite en +1.II) Soit A symetrique reelle d’ordre n telle qu’il existe un entier k non nul verifiantAk = In. Montrer que A2 = In.

Planche 251

I) Determiner les elements propres de l’endomorphisme qui, a P 2 R[X], associe(2X � 1)P � (X � 1)2P 0.

II) Donner le domaine de definition de S(x) =X

n>1

1

n2x+ npuis montrer que S

est de classe C1 sur R⇤+

.

Donner un equivalent de S en +1 (on rappelle queX

n>1

1

n2

= ⇡2

6).

Planche 252

I) Apres avoir montre son existence, calculer F (x) =

Z

+1

0

1� e�xt2

t2dt, sachant

que

Z

+1

0

e�t2dt =

p⇡

2(on pourra montrer d’abord que F est derivable).

II) Nature de la conique d’equation x2 + 4y2 + 4xy � 4p5x� 3

p5y = 0.

Donner ses caracteristiques.

Planche 253

I) Pour a 2 ]0,⇡[, etudier la serie de Fourier de fa, impaire et 2⇡-periodique,definie sur [0, a] par fa(x) = x(⇡ � a) et sur [a,⇡] par f(x) = a(⇡ � x).

Montrer que

+1X

n=1

sin(na) sin(nx)

n2

vautx2(⇡ � a) si x 2 [0, a] et

a2(⇡ � x) si

x 2 [a,⇡].

Montrer que

+1X

n=1

sin2(nx)

n2

= x2(⇡ � x) ;

+1X

n=1

cos2(nx)

n2

= ⇡2

6� x

2(⇡ � x) ;

+1X

n=1

cos(2nx)

n2

= ⇡2

6� x(⇡ � x).

Pour x 2 [0, 2⇡[, on definit f , 2⇡-periodique, par f(0) = 0 et f(x) =⇡ � x

2sinon.

Montrer que

+1X

n=1

sin2 nn2

=

+1X

n=1

sinnn

12(⇡ � 1).

II) Soit u un endomorphisme de E euclidien, verifiant :8(x, y) 2 E2, < x|y >= 0 )< u(x)|u(y) >= 0.Montrer que les images par u des vecteurs d’une base orthonormee de E sonttoutes de meme norme, que l’on notera µ.Montrer que 8x 2 E, ku(x) k = µ kx k. En deduire 9g 2 O(E) tel que f = µg.

Planche 254

I) Polynome caracteristique de A 2 GL5

(R), verifiant A3 � 3A2 � A = 0 ettrA = 8.II) Soient (un) et (vn) deux suites reelles, (vn) etant a termes positifs et verifiantP

vn converge.Soient Un et Vn, les sommes des series de terme general un et vn respectivement.Montrer que si un = o(vn), alors Un = o(Vn) et que si un ⇠ vn, alors Un ⇠ Vn.

En remarquant que n! ⇠ 1

n(n+ 1)au voisinage de l’infini, determiner un

equivalent de Rn =

+1X

k=n

1

k2·

On note an = lnn!en

(n+ 1)n+1/2; donner un equivalent de an+1

� an et en deduire

un developpement limite de an a la precision o� 1n

�

. Conclure.


Planche 255

I) Soient Fn(x) =

nX

k=0

(�1)kxk et Un =

Z

1

0

Fn(x)dx.

Montrer que les suites de terme general Fn(x) et Un convergent et donner leur

limite. CalculerX

n>0

(�1)n

n+ 1·

Que se passe-t-il si on remplace xk par xkp, avec p entier positif ?Calculer la somme pour p 2 {1, 2, 3}.II) Montrer que f qui a X 2 Mn(R) associe f(X) = X + 2 tX est unendomorphisme. Trouver les valeurs propres de f .Est-il diagonalisable ? Calculer tr f et det f .

Planche 256

I) En fonction de la valeur de a 2 R, donner l’ensemble de definition de

S(x) =X

n>0

an

n+ x· Montrer que S est continue sur R⇤

+

.

Determiner une relation entre S(x) et S(x+ 1) pour x > 0.Donner un equivalent et la limite de S en 0.

II) Donner le rang de A =

0

B

B

B

@

1 0 . . . 0 0...

...... 1

......

......

1 0 . . . 0 10 0 . . . 0 1

1

C

C

C

A

; donner le rang de A2.

Montrer que KerA et ImA sont supplementaires et en deduire que A est semblable

a⇣

0 00 B

⌘

; on explicitera B et la matrice de passage.

Montrer que B est inversible et calculer trB et trB2.A est-elle inversible ? Donner son spectre.

Planche 257

I) Determiner les elements propres de f , l’endomorphisme qui, a une suite de

complexes (un), associe la suite (vn) definie par v0

= u0

et vn+1

=un + un+1

2·

II) Justifier l’existence de I =

Z

+1

0

e�t2dt.

Soit F (x) =

Z

1

0

e�x2(1+t2)

1 + t2dt et G(x) =

Z x

0

e�t2dt .

Montrer que F +G2 est constante ; quelle est la limite de F en +1 ?En deduire la valeur de I.

Planche 258

I) Determiner la nature des series de terme general(lnn)2013

n↵ ou ↵ 2 R, et 1n lnn

·II) On note Mn(x) la matrice carree d’ordre n, a coe�cients reels, ayant x sur ladiagonale, 1 juste en dessous et juste au-dessus, et 0 partout ailleurs.Soit ✓ 2 R\Z ; montrer que Dn = detMn(2 cos ✓) verifie, pour n > 3,Dn = aDn�1

+ bDn�2

, ou a et b sont a determiner.

Montrer que pour n > 1, Dn =sin�

(n+ 1)✓�

sin ✓·

Determiner les valeurs propres de Mn(x). Est-elle diagonalisable ?

Planche 259

I) Soit f continue de [a, b] dans C et telle que f(a+ b� x) = f(x).

Montrer que

Z b

a

xf(x)dx =a+ b

2

Z b

a

f(x)dx.

Calculer

Z ⇡

�⇡

xeix

1 + cos2 xdx.

II) Soient E un R-espace vectoriel de dimension n > 1, f une forme lineaire surE, a une vecteur non nul de E.Montrer que u, defini par u(x) = x+ f(x)a est un endomorphisme de E et qu’iladmet 1 pour valeur propre ; trouver le sous-espace propre associe.

A quelle condition, necessaire et su�sante, u est-il diagonalisable ?Donner dans ce cas ses elements propres.

Planche 260

I) Soient D diagonale, H orthogonale reelles ; montrer que tr(HD) 6 trD.Soient S symetrique et H orthogonale reelles ; montrer que tr(HS) 6 trS.II) On donne une serie de terme general complexe an absolument convergente.

Que dire des rayons de convergences de f(x) =P

anxn et g(x) =P an

n!xn ?

Montrer queP

an =

Z

+1

0

g(t)e�tdt.

Justifier l’existence de I =

Z

+1

0

g(t)e�t/xdt pout x 2 [0, 1] et montrer que

I = xf(x).

Planche 261

I) Caracteriser la surface S d’equation x2 + y2 � z2 = 1.

Donner l’intersection de S avec � :n

z = 1y = x+ 3

.

Donner l’intersection de S avec D :n

x = az + by = cz + d

sachant que⇣

a bc d

⌘

est

orthogonale.

II) Pour t 2 R+

, on pose d(t) = t + cos t, f(t) =1

d(t)et pour x 2 R⇤

+

on pose

g(x) = 1x

Z x

0

f(t)dt.

Montrer que g admet une limite finie ↵ quand x tend vers 0+.On prolonge g par continuite en 0 ; montrer que, sur ]0,+1[ :Z x

0

g(t)2dt = 2

Z x

0

f(t)g(t)dt� xg(x)2.

En deduire que g2 est integrable (on utilisera une integration par parties sur]0, x]).

Concours divers option MP

Planche 262 ENTPE - EIVP

I) Soit � defini par �(X) = AtXA dans Mn(R) muni du produit scalaire< X|Y >= tr(tXY ) ; determiner �⇤.II) Montrer que 8(a, b) 2 Z2, 8n 2 N, a ⌘ b [n] ) an ⌘ bn [n2]III) Soit f un endomorphisme d’un espace E euclidien.Montrer qu’il existe une base orthonormee de E dont l’image par f est une familleorthogonale.


I) Justifier l’existence de Ia =

Z

+1

0

sin(ax)

ex � 1dx pour tout a 2 R et celle de

Jk =

Z

+1

0

sin(ax)e�kxdx pour tout k 2 N⇤.

Calculer Jk et montrer que Ia =

+1X

k=1

aa2 + k2

·

II) Soit f une forme lineaire non nulle sur E espace vectoriel norme.Montrer que H = Ker(f) est ferme si et seulement si f est continue.Dans le cas ou f est continue, on note k kL la norme subordonnee de f .

Montrer que, pour tout x0

2 E, d�

x0

,Ker(f)�

=|f(x

0

)|kfkL

·


I) Montrer que f , endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension finie, estdiagonalisable si et seulement si tout sous-espace de E admet un supplementairestable par f .

II) Extrema locaux de f , definie sur R3 par : f(x, y, z) = (x+ z2)ex(y2+z2+1).

Planche 265 ENSEA - ENSIIE

I) Montrer que M , complexe, inversible, de taille n, telle que M2 soit diagonali-sable dans C, est diagonalisable dans C.Si M n’est pas inversible, est-ce toujours vrai ?

II) Etudier la convergence de la suite reelle (an) qui verifie 0 < a0

< a1

et

an = an�1

+ 2an�2

n · Etudier la convergence de la suite�an

n2

�

·


I) Rayon et intervalle de convergence puis calcul deX

n>2

(�1)nxn

n(n� 1)·

II) Donner l’ensemble des plans contenant la droiten

x = 2y = 3z � 3

et tangents a

la surface d’equation z3 = xy.


I) Rayon de convergence deP

unxn ou un =

Z

p(n+1)⇡

pn⇡

sin(t2)dt.

II) Lieu des points de C d’a�xe z, alignes avec les points d’a�xe z2 et z5.


I) On donne un =

nX

k=0

1

k2 + (n� k)2; trouver la limite de nun en +1 et en

deduire un equivalent de un.II) Soient (xi)

16i6n et (yi)16i6n deux familles de reels ; calculer le determinant

de coe�cient aij = 1+xiyj d’abord pour n = 2 et n = 3, puis pour n quelconque.

Planche 269 Telecom SudParis

I) Nature deX

aSn ou a 2 R et Sn =

nX

k=1

1k·

II) Donner les sous-espaces de R3 stables par

1 2 12 1 10 0 3

!

.


I) Soient a et b reels tels que 0 < a < b, et r 2]0, 1[.Etudier la suite (un) definie par u

0

= a, u1

= b et un+2

= un+1

+ rnun.II) Trouver la relation entre N , nombre des diviseurs d’un entier n, et P le produitde ces diviseurs.


I) Montrer que B =⇣

0 AtA 0

⌘

et tAA, ou A 2 Mn(R), sont diagonalisables et

que A et B ont meme spectre.II) Ensemble de definition, convergences simple, uniforme et normale de :X

n>1

xpx(1 + nx2)

·


I) Existence et limite de In =

Z

+1

0

ln(t)

1 + tndt.

II) Inverse de la matrice M =

0

B

B

@

0 1 . . . 1

1. . .

. . ....

.... . .

. . . 11 . . . 1 0

1

C

C

A

.

III) Valeurs propres de A 2 Mn(R) dont tous les coe�cients valent 1.

IV) Enoncer la formule de Parseval avec les cn, avec les an et bn.


Concours divers option PC


I) Montrer qu’il existe une constante reelle K telle que quand n tend vers +1,nX

k=1

k1/k = n+ 12lnn+K + o(1).

II) Trouver une CNS sur a, b et c pour que A =

a2 ab� c ac+ bab+ c b2 bc� aac� b bc+ a c2

!

soit

orthogonale et determiner dans ce cas ses elements caracteristiques.


I) 1) Calculer la derivee de In(x) =

Z

+1

0

dtt2 + x2

et en deduire la valeur de

In =

Z

+1

0

dtt2 + 1

·

II) Determiner la parite du polynome caracteristique d’une matrice anti-symetrique en fonction de la taille de la matrice.


I) Pour tout n 2 N, calculerZ ⇡/2

0

cos(nx) cosn xdx.

II) Pour A 2 Mn(R), de coe�cient aij , on note S(A) =

nX

i=1

nX

j=1

aijaji.

Montrer que si A et B sont semblables, S(A) = S(B).


I) Developper en serie de Fourier f , 2⇡-periodique, impaire, definie sur [0,⇡[ parf(x) = x(⇡ � x).

CalculerX

n>0

(�1)n

(2n+ 1)3etX

n>0

1

(2n+ 1)6·

II) Soit A une matrice reelle orthogonale de coe�cient aij ; montrer que�

�

�

�

�

�

X

(i,j)2[[1,n]]

2

aij

�

�

�

�

�

�

6 n et etudier les cas d’egalite.


I) Montrer que A =16

1 2 32 2 23 2 1

!

est diagonalisable, sans calcul.

Montrer que A a 3 valeurs propres et les donner.Montrer la convergence des suites (xn), (yn) et (zn) verifiant :8

>

>

<

>

>

:

xn+1

=16(xn + 2yn + 3zn)

yn+1

=13(xn + yn + zn)

zn+1

=16(3xn + 2yn + zn)

.

II) Donner les solutions de x2y0 + (a� x)y = 0.


I) On note DP (R) l’ensemble des matrices de Mn(R) semblables a une matricetriangulaire dont les coe�cients diagonaux sont identiques aux siens.Soit M la matrice qui a un 1 a la premiere ligne et derniere colonne et des 0partout ailleurs.Montrer que M +t M /2 DP (R). DP (R) est-il un sous-espace vectoriel ?

II) Pour P 2 Rn[X] tel que 8x 2 R, P (x) > 0, on pose Q =

nX

k=0

P (k).

Montrer que limx!+1

Q(x) = +1.

Montrer queQ est minore et atteint son minimum. En deduire que 8x 2 R, Q(x) > 0.


I) Montrer que N(x, y) =

Z

1

0

|x+ ty | dt est une norme sur R2 pour laquelle on

precisera la boule unite.II) Si f est g sont deux endomorphismes de E verifiant E = Im f + Im g etE = Ker f +Ker g, montrer que ces deux sommes sont directes.


I) Existence de la suite de terme general In =

Z

+1

0

dt1 + t2 + tne�t

·

Calculer sa limite.II) Soient f et g deux endomorphimes qui commutent d’un espace E de dimensionn, qui ont tous deux n valeurs propres deux a deux distinctes.Montrer que f et g ont les memes vecteurs propres.


I) Etudier la suite de terme general un = n1/n+1n1/n.II) Soit A un point d’un cercle C ; determiner le lieu des points M tels que AMest orthogonal a une tangente a C.


I) Montrer que si P 2 R[X] est scinde sur R, P 0 l’est aussi.

II) Donner l’ensemble de definition D de f(x) =X

n>1

1nx et montrer que f est

continue sur D.Donner un equivalent de f en 1+.

Concours divers option PSI

Planche 283 ENSAM

I) Avec Maple : calculer les coe�cients de Fourier de f , paire et 2⇡-periodique,definie sur [0,⇡[ par f(x) = ax2 + bx+ c.Montrer qu’on peut choisir a, b, c tels que la serie de Fourier de f s’ecrive comme

somme descos(nx)

n2

, pour n > 1.

Tracer la courbe representative de f sur [�⇡,⇡] dans ce cas.En deduire un resultat remarquable sur une somme de serie.II) Soit f un endomorphisme d’un espace E de dimension 3, verifiant f3 = 0 et

f2 6= 0. Montrer que 9x0

2 E tel que�

x0

, f(x0

), f2(x0

)�

soit une base de E.

Trouver les endomorphismes qui commutent avec f .

Planche 284 ENSAM

I) Avec Maple : diagonaliser A, carree d’ordre 5, dont les coe�cients diagonauxvalent 2 et les autres coe�cients valent 1.Calculer An pour n 2 N ; l’expression trouvee est-elle valable pour n 2 Z ?

II) Montrer que g, definie par g(x) =

Z

+1

0

e�xt

1 + t2dt est C2 sur ]0,+1[.

Trouver une equation di↵erentielle d’ordre 2 verifiee par g et en deduire une autreexpression de g.

Planche 285 ENSAM

I) Avec Maple : trouver tous les polynomes P tels que la serie de terme general

un = (n10 + n8 + n7)1/5 �p

P (n) converge.

II) A =

0

B

B

@

0 . . . 0 ↵n�1

... . ..

. ..

0

0 ↵ . .. ...

1 0 . . . 0

1

C

C

A

ou ↵ 2 C, est-elle diagonalisable ?

Si oui, determiner sa forme diagonale et la matrice de passage (on cherchera les

vecteurs propres sous la forme

0

B

B

B

@

a0...0b

1

C

C

C

A

et on distinguera les cas n pair et n impair).

Planche 286 ENSAM

I) Determiner toutes les fonctions f continues de R dans R, telles que :

3Arc tan(x) + x2f(x) = 2x

Z x

1

f(t)dt.

II) Soit (a, b) une famille libre de vecteurs d’un espace euclidien E de dimensionn > 2. Montrer que f(x) =< a|x > b� < b|x > a definit un endomorphisme.Est-ce un automorphisme ? Est-il diagonalisable ?

Planche 287 ENSAM

I) Avec Maple : montrer que B =�

(X + 1)3�k(X � 1)3+k�

�36k63

est une base

de R6

[X] et donner la matrice de passage de la base canonique a cette base.Montrer que � defini par �(P )(X) = (X2 � 1)P 0(X) + (X + 1)P (X) est unendomorphisme de R

6

[X], donner sa matrice dans la base canonique et dans B.

II) Existence de I =

Z

1

0

ln t ln(1� t)pt

dt.

Le cas echeant, l’exprimer a l’aide de series entieres.

Planche 288 ENSAM

I) Avec Maple : Soit g continue sur R⇤+

, a valeurs dans R.On pose f(x, y, z) = g(

p

x2 + y2 + z2).Calculer le laplacien �f de f et resoudre �f = f .Trouver une condition necessaire et su�sante pour que f soit continue en (0, 0, 0).II) Montrer que A, dont tous les coe�cients sont nuls sauf les ai,i+1

qui valent

1, est diagonalisable dans Mn(C) et calculer Jk, k 2 N.

Calculer

�

�

�

�

�

�

�

�

a1

a2

. . . an

an a1

. . ....

.... . .

. . . a2

a2

. . . an a1

�

�

�

�

�

�

�

�

.

III) Trouver les fonctions f qui transforment un segment en un segment de memelongueur.

Planche 289 ENSAM

I) Avec Maple : donner a, b, c, d, e tels que f(x) = tan(x) � ax+ bx3 + cx5

1 + dx+ ex2

soit

un infiniment petit de plus haut degre possible au voisinage de 0.Donner alors un equivalent de f(x) quand x tend vers 0.II) Soit (A,B,C) 2 Mn(C)3 telles que CA = BC et rgC = p, 1 6 p 6 n ;montrer que A et B ont p valeurs propres communes (comptees avec leur ordrede multiplicite).

Planche 290 ENSAM

I) Avec Maple : soit un = 1 +

nX

k=1

1

k3(k + 1)3·

Montrer que les suites de terme general un et vn = un +1

n3

, sont adjacentes.

Representer un et vn pour 0 6 n 6 100 et trouver leur limite commune.II) Soit u un vecteur non nul et de norme ↵ de R3 euclidien.Donner l’image et le noyau de l’endomorphisme f defini par f(x) = u ^ x.Calculer f2 = f � f . Soit A la matrice de f dans la base canonique ; donner A2.Calculer fn en fonction de ↵, f , f2.



I) Trouver A =

6 3 a�2 6 b3 c d

!

de sorte qu’elle soit une matrice de rotation dont

on calculera les elements caracteristiques.

II) Montrer que an = n!

nX

k=0

(�1)k

k!2 Z. Calculer an+1

� (n+ 1)an.

Montrer que

nX

n>p+1

(�1)n

n!existe ; donner le signe de sa somme rp.

Montrer que ap est l’entier le plus proche dep!e ·

III) Calculer la trace et le determinant de l’endomorphisme qui, a une matricecarree, associe sa transposee.


I) Resoudre x2y00 � xy0 + y = 0 sur R (penser aux fonctions a�nes).

II) Donner la longueur de l’arc parametren

x(t) = � sin2 t+ ln sin ty(t) = cos t sin t

entre ses

deux points de rebroussement.


I) Domaine de definition de F (x) =

Z

+1

0

exp(�t(1 + ix))pt

dt.

Montrer que F est derivable et qu’elle verifie une equation di↵erentielle.En deduire F.II) Soient a

1

, . . . , an des nombres complexes non nuls.

La matrice M , de coe�cient mij =aiaj

est-elle diagonalisable ?


I) Montrer que q, forme quadratique de E euclidien telle que 9(u, v) 2 E2,q(u) < 0 et q(v) > 0, n’est pas definie (i.e. trouver w 2 E\{0}, q(w) = 0).

II) Montrer que g(x) =

Z

+1

x

e�tf(t)dt ou f est continue et 2⇡-periodique sur

R, existe. Resoudre y0 � y = f et preciser l’unique solution S bornee sur R.Montrer que S est 2⇡-periodique. Calculer ses coe�cients de Fourier complexeset donner sa decomposition en serie de Fourier.


I) Convergence de la serie de terme general Un =

(�1)npn sin 1p

n

n+ (�1)n·

Quelle est sa nature ?II) Soit A une matrice carree dont le carre a une diagonale formee de k + 1 etdes 1 partout ailleurs.Donner le spectre de la matrice J dont tous les coe�cients valent 1 et en deduirele spectre de A2. Donner le spectre potentiel de A et en deduire que k divise n.


I) Convergence de la suite de terme general un =0! + 1! + 2! + . . .+ n!

n!·

II) Montrer que �, defini par �(P )(X) =1

2n/2(1 + X)nP

�1�X

1 +X

�

est un

endomorphisme de Rn[X].Resoudre l’equation �(P ) = Q, puis montrer que � est un automorphisme etdonner ��1. En deduire que � est diagonalisable.


I) Montrer que Pn(x) = xn � nx + 1 admet une unique solution an dans [0, 1],calculer la limite de (an) et en donner un equivalent.

II) Soient (A,B) 2 Mn(C) ⇥ Mp(C) ; montrer que⇣

A 00 B

⌘

est diagonalisable

si et seulement si A et B le sont.


I) On pose fn(x) = xn + xn�1 + . . .+ x� 1 ; montrer que fn(x) = 0 admet uneunique solution an dans R

+

et calculer la limite de (an).II) Soient (A,B) 2 Mn(C)2 ; montrer que det(In +AB) = det(In +BA).

Concours Banque PT

Planche 299 Groupe Cachan

I) Montrer que �(f, g) =

Z

1

0

fg+f 0g0 est un produit scalaire sur E = C1([0, 1],R)

Montrer que V = {f 2 E, f(0) = f(1) = 0} et W = {f 2 E, f 00 = f} sontsupplementaires orthogonaux.

Soit Ea,b = {f 2 E, f(0) = a, f(1) = b} ; calculer inff2E

a,b

Z

1

0

(f2 + f 02).

II) Cours : CNS de diagonalisation d’une matrice de Mn(R).Planche 300 Groupe Cachan

I) Etudier et tracer les courbes d’equation polaire ⇢ =1

sin(2✓)et ⇢ = a✓, a 2 R.

II) Cours : donner la dimension de E + F en fonction de celles de E et F ;developpement en serie entiere de chx, definition de ch x ; rayon de convergencedeP

(7n + 8(�3)n)zn.


I) Montrer que A =

0

B

B

B

B

B

@

0 1 0 . . . 0

n� 1 0 2. . .

...

0 n� 2. . .

. . . 0...

. . .. . .

. . . n� 10 . . . 0 1 0

1

C

C

C

C

C

A

est la matrice, dans la

base canonique de Rn�1

[X], de l’endomorphisme f defini par :f(P )(X) = (n� 1)XP (X) + (1�X2)P 0(X).Determiner les valeurs et vecteurs propres de A et en deduire qu’elle est diago-nalisable. Calculer A2.II) Cours : sommes de Riemann.


I) Etudier la courbe d’equation polaire r(✓) = 1 + cos(4✓) + sin2(4✓).II) Cours : critere special des series alternees ; definition d’un espace vectoriel.


I) Montrer que �, definie par �(P,Q) =

Z

+1

0

P (t)Q(t) exp(�t)dt est une

application de R[X]2 dans R, que c’est un produit scalaire et calculer �(tp, tq).

Determiner

Z

+1

0

(t2 � at� b)2 exp(�t)dt pour a et b reels.

II) Cours : theoreme de Dirichlet ; egalite des accroissements finis ; theoreme deCauchy-Schwarz.


Etudier et tracer la courbe d’equation :n

x(t) = (sin t)2

y(t) = (1 + cos t) sin tTracer toutes les tangentes aux points particuliers.

Soient M1

�

x(t), y(t)�

et M2

�

x(t+ ⇡), y(t+ ⇡)�

.

Montrer que��!OM

1

et��!OM

2

sont perpendiculaires.Donner l’equation parametree par X(t) et Y (t) du lieu C des milieux de [M

1

M2

].

Simplifier�

X(t)� 12

�

2

+Y (t)2, en deduire l’equation cartesienne de C et sa nature.

II) Cours : theoreme de Dirichlet.


I) Donner le spectre de l’endomorphisme qui, a un polynome P (X) associe(2X2 �X � 1)P 00(X).Prouver qu’il existe un polynome Pk et deux reels ak, bk, tels que :Xk = Pk(X)(2X2 �X � 1) + akX + bk. Trouver ak et bk.II) Cours : proprietes des projections et symetries ; critere special des seriesalternees.


I) Donner, en fonction de n, le signe de f(x) = x2n � 2xn.

Determiner a tel quef(x)� a

x2 � 1admette en +1 une limite que l’on precisera.

Tracer f pour n = 3.

II) Cours : sommes de Riemann ; valeurs de sin�

t+ ⇡2

�

et cos�

t+ ⇡2

�

.

Planche 307 ENSAM

I) Dans le plan euclidien, on note I un point interieur a une parabole P ; unedroite variable passant par I coupe P aux points M

1

et M2

.Donner le lieu du point J , intersection des tangentes a P en M

1

et M2

.II) Avec Maple : trouver a et b reels tels que la serie de terme generalun = lnn+ a ln(n+ 1) + b ln(n+ 2) soit convergente et calculer sa somme.Trouver a et b reels tels que la serie de terme general vn = (�1)nun soitconvergente. Donner un exemple d’une telle serie et calculer sa somme.

Planche 308 ENSAM

I) Limite de la suite de terme general an =

Z

1

0

�1 + t2

2

�ndt.

Nature de la serie des (�1)nan.

II) Avec Maple : trouver la quadrique contenant la courbe :

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

x(t) =1 + t

(1 + t2)2

y(t) = t2

(1 + t2)2

z(t) = t3

(1 + t2)2

.

Planche 309 ENSAM

I) Convergence et limite de la suite de terme general In =

Z

1

0

tn

10 + tdt.

En donner un equivalent en l’infini.II) Avec Maple : montrer qu’une normale au point P de la parabole y2 = x larecoupe en un autre point.Montrer qu’il existe une autre normale a la parabole passant par P .

Planche 310 ENSAM

I) Solutions polynomiales de l’equation homogene associee a x2y00 � 2y = 3x2.Resoudre l’equation complete.

II) Avec Maple : polynome caracteristique P de A =

3 �3 2�3 1 12 1 0

!

.

Calculer P (A). Montrer qu’il existe P10

tel que A10 = P10

(A).Montrer qu’il existe Pn tel que An = Pn(A) et expliquer l’interet de l’existenced’un tel polynome.

Planche 311 ENSAM

I) Determiner le reste de la division euclidienne par X2 + 1, de :

Pn(X) =

nY

k=1

⇣

sin�k⇡n

�

X + cos�k⇡n

�

⌘

.

II) Avec Maple : determiner a, b, c, d pour que la serie de terme general

un =pn⇣

a sin 1

n3/4+ b�

cos1pn

� 1�

+ c sin 1pn

+ d�

cos1

n3/4� 1�

⌘

converge.

Donner un equivalent de un dans ce cas.Que se passe-t-il si on remplace les fonctions trigonometriques par les fonctionshyperboliques correspondantes ?


Planche 312 ENSAM

I) Montrer que (un), definie par u0

= 1, u1

= u2

= 0 et un+3

= (n+2)un+2

+un,n’est pas bornee.

Montrer que le rayon de convergence deX

n>0

unxn est superieur ou egal a 1.

On note f sa somme sur ]�1, 1[.Determiner (a, b, c, d, e) 2 R5 tels que (ax2 + bx+ c)f(x) + (dx+ e)f 0(x) = 0.

II) Avec Maple : tracer � d’equationsn

x(t) = cos3 ty(t) = sin3 t

sur ]0, ⇡2[.

La tangente a � en M(t) coupe (Ox) en P (t) et (Oy) en Q(t).Donner les coordonnees de P et Q. Calculer la longueur du segment [P (t)Q(t)].

Trouver le projete orthogonal sur�

P (t)Q(t)�

de A(t) tel que O, A(t), P (t), Q(t),soient les sommets d’un rectangle.

Planche 313 ENSAM

I) Soit f , definie par 8x > 0, f(x) = cospx et 8x < 0, f(x) = ch(�x).

Montrer que f est developpable en serie entiere.Sur quel ensemble ce developpement est-il defini ?Donner les valeurs de f 0(0) et f 00(0).Tracer la courbe.

II) Avec Maple : tracer la courbe d’equations

8

<

:

x(t) = 1

cos3 ty(t) = 1

sin3 t

.

Deux tangentes a la courbe se coupent en un point M du plan ; donner le lieudes points M ou ces tangentes sont orthogonales et tracer toutes les courbes ainsiobtenues.

Planche 314 ENSAM

I) Montrer que A =17

�2 3 �63 6 2�6 2 3

!

est orthogonale.

Que peut-on dire, sans calcul, de ses valeurs propres ?En deduire une droite D stable par A.Quelle est la restriction de A a D? ? Interpretation geometrique.

II) Avec Maple : tracer f(x) =⇣

(x2 � 1)2�

x+1113

�

⌘

1/5

.

Montrer que f admet une asymptote dont on donnera l’equation.Montrer que la courbe coupe son asymptote en un point unique dont on donnerales coordonnees.Montrer que f a deux maxima dont on donnera les coordonnees.

Planche 315 ENSAM

I) Montrer que f , definie par f(x) = 2x �Z ⇡/2

0

exp(�x sin t)dt est continue et

derivable sur R.Montrer que 8t 2 [0, ⇡

2], 2t

⇡ 6 sin t et en deduire que f s’annule une seule fois sur

[0,

p⇡

2].

II) Avec Maple : Trouver les points singuliers de L :

8

>

<

>

:

x = u+1u

y = v +1v

z =uv +

vu

.

Donner l’equation d’un plan tangent a L en un point regulier.Donner les equations des plans tangents a L paralleles a (Oxy).

Planche 316 ENSAM

I) Donner un equivalent en l’infini de f(t) = 1t�Arc tan

1t·

Caracteriser puis calculer I =

Z

+1

1

f(t)dt.

II) Avec Maple : montrer qu’il existe une seule quadrique contenant la courbe

parametree

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

x(t) = t3

1 + t4

y(t) = t2

1 + t4

z(t) =1 + t2

1 + t4

, en donner l’equation et la simplifier.

Planche 317 ENSAM

I) Justifier que f(x) = x ln(5 + sinx) est C1 sur I = [� ⇡2, ⇡2].

Calculer f 0(x).

Encadrer g(x) = ln(5+ sinx) et h(x) = 15 + sinx

. En deduire les variations de f .

Montrer que f est une bijection de I vers un intervalle J a preciser.

Ecrire un developpement limite de f a l’ordre 4 en 0 et en deduire la tangente au

point�

0, f(0)�

ainsi que la position de la courbe par rapport a cette tangente.

Etudier les branches infinies de f et tracer la courbe.II) Avec Maple : montrer que les 4 points A(1, 1, 1), B(0, 1, 1), C(1, 2, 3) etD(1, 3, 0) ne sont pas coplanaires.Donner le rayon et le centre de la sphere qui passe par ces 4 points.Donner l’equation du plan tangent en B.

Planche 318 ENSAM

I) f , definie par f(x) =

Z

+1

0

e�t2 cos(2xt)dt est-elle C1 ?

Quelle relation y-a-t-il entre f 0(x) et f(x) ?En deduire une nouvelle expression de f .II) Avec Maple : donner l’equation de la normale au point M

1

de la parabole Pd’equation y = x2.Montrer que cette normale recoupe P en un point M

2

distinct de M1

.Montrer que deux normales a P passent par M , point quelconque de P .Montrer que, quel que soit M , la droite (M

1

M2

) passe par un point fixe.

Concours TSI

Planche 319 CCP

I) Donner, suivant �, la nature de S� d’equation x2 + y2 � z2 � xy = �.Donner la nature de l’intersection entre S

0

et le plan z = 1.

II) Montrer que Arc tan(x) =

+1X

k=0

(�1)k x2k+1

2k + 1·

Donner l’ensemble de definition de f(x) =

+1X

k=1

(�1)k(2k � 1) x2k+1

2k + 1et ecrire f a

l’aide de fonctions usuelles.

Planche 320 CCP

I) Rappeler le developpement limite en 0 de ln(1 + x) et en deduire ledeveloppement asymptotique de ln(1 + n) en +1.Donner un equivalent de un = lnn � 2 ln(n + 1) + ln(n + 2) et montrer que lasuite (un) converge.

Montrer que

nX

k=1

uk = ln(n+ 2)� ln(n+ 1)� ln 2, puis calculerX

n>1

un.

II) Soit Pn(X) =

nX

k=0

Xk.

Calculer les racines ↵1

et ↵2

de P2

et donner ↵1

+ ↵2

et ↵1

↵2

.Calculer P

3

(�1) et trouver les trois racines complexes de P3

.Calculer la somme et le produit de ces racines.Montrer que Pn admet n racines dans C et que Pn(X) =

nY

k=1

(X � zk).

En deduire la valeur de

nX

k=1

zk et

nY

k=1

zk

Planche 321

I) Montrer que toute solution de l’equation di↵erentielle y0 � y =ex

2px, est aussi

solution de l’equation di↵erentielle y00 � 2y0 + y =�ex

4xpx·

Resoudre la premiere equation di↵erentielle, puis la seconde.II) Soit S la surface d’equation 2x2 + y2 + 2z2 + 4xz = 1.Donner la nature des intersections de S avec les plans d’equations x = 0, y = 0et z = 0.

Justifier sans calcul que B =

2 0 20 1 02 0 2

!

est diagonalisable et trouver la matrice

P telle que tPBP soit diagonale. Donner la nature de S.III) Cours : definition et techniques de calcul du rayon de convergence d’une serieentiere.IV) Soit A reelle carree d’ordre n et p un entier naturel non nul.Montrer que (tA+A)p est nulle si et seulement si A est antisymetrique.

V) Calculer In =

Z ⇡/2

0

sinn tdt.

Planche 322 CCP

I) Montrer que, pour x > 0, Arc tanx 6 x.

Montrer que f(x) =X

k>0

Arc tan(2�k)xk est definie sur [�1, 1].

Montrer que, pour x 2 [0, 1],

�

�

�

�

�

f(x)�nX

k=0

Arc tan(2�k)xk

�

�

�

�

�

6 2�n.

Majorer

�

�

�

�

�

f(x)�nX

k=0

Arc tan(2�k)xk

�

�

�

�

�

pour x 2 [�1, 0].

II) Soit r(✓) = cos✓3· Montrer que r est periodique de periode 3⇡.

Montrer qu’on peut restreindre l’etude a [0, 3⇡2

].

Etudier les variations de r.Donner les tangentes en M(0) et M

�3⇡2

�

.

Tracer la courbe.

Planche 323 CCP

I) Ensemble de definition de f(x) = 1

�x2 + x+ 2·

Trouver a et b tels que f(x) = a1 + x

+b

2� x·

Donner le developpement en serie entiere et le rayon de convergence dea

1 + xet

12� x

, puis montrer que f est developpable en serie entiere.

Donner ce developpement et son rayon de convergence.

II) Montrer que A =⇣�5 3�6 4

⌘

est diagonalisable.

Donner son polynome caracteristique, la matrice diagonale D et la matrice depassage P .Montrer que Y 2 M

2

(R), telle que Y 3 = D, commute avec D et en deduire queY est diagonale.Resoudre matriciellement Y 3 = D et en deduire l’ensemble des matrices quicommutent avec A.

Planche 324 CCP

I) Donner l’intersection avec les plans x = 0, y = 0 et z = 0 de la surface Sd’equation 3x2 + 6y2 � 2

p3xy + z2 = 4.

Montrer que S0 : 3x2 + 6y2 + 2p3xy + z2 = 4 est l’image de S par une reflexion

par rapport a un plan P a determiner.

II) Resoudre@g

@u=

vu sur (R⇤

+

)2.

On pose �(x, y) =�

x,yx

�

; montrer que � est de classe C1 sur (R⇤+

)2 et calculer

ses derivees partielles.Montrer que � est bijective sur (R⇤

+

)2.


ENS � MP

Planche 1 Ulm

On fait entrer un courant constant par le pole nord d’une sphere, il ressort par lepole sud. Calculer les champs.

Planche 2 Ulm - Lyon - CachanI) Soient un dipole d et un plan conducteur parfait a la masse.Calculer l’energie du systeme.

II) Qualitatif : lors du lancement d’une nouvelle voiture, les journalistes peuvente↵ectuer un test acceleration : combien de temps met la voiture pour passer de 0a 100 km/h ? Comment le retrouver ?

Planche 3 Ulm - Lyon - CachanI) Deux etoiles de meme masse M , a une distance d, sont soumises uniquement aleurs forces de gravite mutuelles, l’une tournant autour de l’autre. On definit unpoint P formant un triangle equilateral avec les deux etoiles.Montrer que dans le referentiel lie a ces deux etoiles (referentiel en rotation, donc),une masse m placee dans la position P est en equilibre stable.II) On considere un axe gradue par un pas a. Une particule est placee sur cet

axe. Tout les temps ⌧ , la particule a une probabilite 12

de se deplacer a gauche

sur l’axe et 12

de se deplacer a droite.

On demande l’equation aux derivees partielles verifiee par la probabilite p(x, t).

Planche 4 UlmUne balle rebondit : pourquoi, comment ? Comment expliquer la deformation ?Estimer la duree entre le moment ou la balle touche la table (il y avait vraimentune balle dans la salle) et ou elle rebondit.

Planche 5 Ulm � raconte comme une histoire �hhje ii = le candidat et sa pensee entre parentheses.hh il ii = l’interrogateur.Lorsque je rentre, il me dit : � En guise d’intro...� (ptit coup de pression)� ... tu vas me montrer la troisieme loi de Descartes...� (C’est quoi ca ?)� ... n

1

sin(i1

) = n2

sin(i2

).� (ouf, ca je connais). Donc je cite le principe de Fermat, fait un petit schemasimple, je place 3 points A, I et B de sorte que le chemin optique du rayonconsidere soit n

1

AI + n2

IB. Il est evident que tout se place dans un plan doncje vais donner des cotes a mes points et chercher le minimum en z.� Il me dit que c’est evidemment correct mais qu’il aimerait mieux que je ne donnepas de nom aux coordonnees de mes points. Il veut une demo hhplus generale ii.� Donc je di↵erencie le chemin optique en I et montre que le gradient est quelquechose comme n

1

~u1

� n2

~u2

ou ~u1

et ~u2

sont les vecteurs tangents a mon rayon.Et par principe de Fermat, ce gradient est normal a la separation des 2 milieux.On en deduit que d(n~u) est colineaire a

��!grad (n).

� Il me demande de trouver le coe�cient de proportionnalite (et me donne la

reponse : hhprojetez sur ~u ii). On trouve alors la jolie formule :d(n~u)

ds=

��!grad (n).

Il me propose alors une application : en considerant un cylindre d’indicen(r) = n

0

� kr (en coordonnees cylindriques), trouver la trajectoire d’un rayonlumineux introduit au centre d’une base du cylindre. Et la, on travaillait ensem-ble. On etablit une formule entre r et s mais on aurait voulu en trouver une enfonction de r et x. Finalement, on est reste sur cette derniere formule.

Planche 6 Ulm - Lyon - CachanI) Un arbre infini dont la branche principale est de longueur l

0

, donne naissancea deux branches plus petites, de longueur l

1

= ↵l0

avec ↵ < 1 mais de memesection s. Elles-meme donnent naissance a deux branches de longueur l

2

= ↵l1

dememe section s, etc.Les branches de l’arbre sont remplacees par des resistances.1. Montrer que la resistance d’une branche est proportionnelle a sa longueur.2. Determiner la resistance equivalente de l’arbre infini.3. On remplace les resistances par des capacites et les rayons des nouvellesbranches sont multiplies par ↵, comme les longueurs. Quelle est la capaciteequivalente de l’arbre infini ?II) On modelise les poumons humains par l’arbre ainsi defini : la trachee est untube de diametre 2 cm et de longueur l

0

= 20 cm qui donne naissance a 2 tubes delongueur, l

1

= ↵l0

, eux-memes donnant chacun naissance a deux nouveaux tubesde longueur ↵l

1

, etc.On donne la formule reliant le debit volumique d’air dans un cylindre de rayon ret de longueur l a la di↵erence de pression a ses extremites (⌘ designe la viscosite

de l’air) : D = ⇡r4

8⌘l�p.

L’arbre pulmonaire n’est pas infini : le diametre des dernieres alveoles (le dernieretage de l’arbre) est 0, 1 mm.Combien l’arbre pulmonaire compte-t-il d’etages ?Quelle force doit exercer le corps humain pour maintenir les poumons al’equilibre ?III) Un peintre monte sur une echelle adossee contre un mur. Un farceur s’estamuse a mettre de l’huile au niveau des points de contact de l’echelle avec le sol etavec le mur, de sorte que les coe�cients de frottement sol/echelle et echelle/mursont nuls. L’echelle glisse sur le mur mais le peintre l’escalade assez vite pourparaıtre immobile a un observateur situe a cote.Determiner les equations horaires du mouvement.

Planche 7 Ulm - Lyon - CachanI) On refroidit un composant electronique avec une ailette rectangulaire. Calculerla puissance dissipee en fonction des dimensions de l’ailette.Ensuite, on donne a l’ailette la forme d’un flocon de Koch. Estimer la tailleminimale des triangles realisables en pratique.II) On considere une charge ponctuelle et un plan conducteur infini situe a unedistance a de la charge. Calculer la force creee par le plan sur la charge.III) On a un tapis dont l’une des extremites est accrochee a un mur fixe. Le tapisest etirable. Bob, le chien, tire l’autre extremite du tapis et lui donne une vitesseV . Alice, qui se trouve initialement contre le mur, marche vers Bob, sur le tapis,a une vitesse v < V . Montrer qu’Alice rejoint Bob.

Planche 8 UlmUn esquimau glisse du haut de son igloo (demi-sphere) : quel est son mouvement ?(frottements negliges).Un enfant glisse sur un toboggan d’equation y = f(x) : a quelle(s) condition(s)peut-il y avoir decollage ?


On veut pieger une particule chargee avec un champ ~E statique : pourquoi n’est-cepas possible ?On envisage une repartition de potentiel V (x, y, z) = (x2 + y2 � 2z2)cos(!t).Ecrire les equations qui regissent le mouvement d’une particule.A partir des equations, sans resoudre, donner la forme des solutions pourhhcomprendre la situation ii.Donner la forme de la transformee de Fourier de la solution, de la variation selon!. Donner un ordre de grandeur de la vitesse d’un ion.

Planche 10 Ulm - Lyon - CachanPour un gaz parfait et dans le modele des spheres dures, relier le coe�cient dedi↵usion particulaire a la pression, la temperature et la masse molaire du gaz.

On donne

Z

Rx2p+1e�x2

dx = 0 et

Z

Rx2pe�x2

dx =(2p)!

22p.p!

p⇡

ENS � PC

Planche 11 CachanI) Lecon. Interferences a deux ondes, conditions sur le dispositif interferentielpour obtenir une figure d’interference visible.II) On considere un cylindre conducteur non ferromagnetique, de conductivitesthermique � et electrique �, autour duquel est enroule un fil parcouru par uncourant electrique i(t) variable. On appelle N le nombre de spires par unite delongueur. Que dire de la puissance de chau↵e du systeme ?

Planche 12 UlmUne bulle de gaz se forme dans l’eau : que se passe-t-il ?Donner l’equation du mouvement.

Planche 13 Lyon - CachanI) Physique, cours : systeme a deux corps, application aux mouvements desplanetes.II) Chimie, cours : cinetique formelle ; reactions inverses l’une de l’autre, reactionsparalleles, reactions consecutives, AEQS.

Planche 14Expliquer pourquoi lors d’un seisme, les ondes P (P pour primaires), de com-pression ou longitudinales, arrivent avant les ondes S (S pour secondaires), decisaillement ou transversales. Le deplacement du sol du aux ondes P se fait par-allelement au deplacement de l’onde, tandis que la deformation due au aux ondesS est perpendiculaire au deplacement de l’onde.

Planche 15I) Decrire qualitativement les interactions entre fluide et solide.II) Par temps d’orage l’air s’ionise. Un courant electrique de forte intensite letraverse. Que se passe-t-il ?

Planche 16Une spire circulaire de rayon a, de resistance electrique R est disposee dans leplan Oxz, centree sur le point O. Elle est fixe. Un petit aimant permanent de

taille negligeable devant a, de moment dipolaire magnetique�!M , est place au

point O et peut tourner sans frottement dans le plan Oxy ; on note ✓ = (~ex,�!M).

On donne les conditions initiales ✓(0) = 0, ✓0(0) = !0

.Quelle vitesse de rotation initiale !

0

minimale faut-il donner a l’aimant pour qu’iltourne d’au moins un tour ?

Planche 17I) Lecon : la mecanique des fluides a deux approches : locale (equations) etglobale (bilans). Donner les conditions d’utilisations et les avantages de ces deuxapproches.II) Expliquer pourquoi un fil de cuivre plein est inadapte a conduire un couranten haute frequence.Expliquer pourquoi un metal est brillant.Expliquer pourquoi les UV traversent ce meme metal.

Planche 18 ChimieI) Lecon : l’epoxydation des alcenes, l’hydrolyse des epoxydes en milieu acide oubasique, et la syn-dihydroxylation des alcenes ; questions sur la regioselectivite etla stereoselectivite.II) On a deux electrodes de cuivre, l’une pure, l’autre avec des impuretes de feret de nickel. On les fait baigner dans une solution acidifiee a pH=0. On realiseune electrolyse : l’electrode pure est la cathode, l’impure est l’anode. Tracer lediagramme i-E. Expliquer pourquoi la ddp doit rester faible. On fait circuler uncourant I durant un certain temps t. Calculer la quantite de cuivre deposee surla cathode en fonction de I et t.Questions sur les orbitales du cuivre. Donner la configuration electronique ;expliquer l’exception a la regle de Klechkowsky, etc. On donne :E0(Ag+/Ag) = 0,80 V ; E0(Cu2+/Cu) = 0,34 V et E0(Fe2+/Fe) = �0,44 V.On considere qu’il n’y a pas de Fe3+.

Planche 19 Chimie CachanI) Lecon : reactions de substitution nucleophile.II) Deux composes A et B existent sous leurs deux formes enantiomeres indicees(l) et (d), parfaitement miscibles a l’etat liquide et non miscibles a l’etat solide.A cristallise en formant un conglomerat et B un racemate.Les deux diagrammes solide/liquide sont fournis.1. Definir la composition des di↵erentes zones du diagramme et la variance dansces zones.2. On part d’un melange de 100 mol de A a 70% de sa forme levogyre.Calculer la quantite maximale de (l) qu’on peut recuperer pur par refroidissement.Meme question pour B.


´

Ecole Polytechnique � MP

Planche 20Deux miroirs sont paralleles, espaces de e et tous deux inclines par rapport a l’axeoptique d’un angle ↵. On envoie un rayon d’intensite I

0

parallelement a l’axeoptique. On observe dans le plan focal image d’une lentille convergente placeeapres les miroirs. Calculer l’intensite observee (en fonction des caracteristiquesdes miroirs, en particulier on est amene a considerer les coe�cients complexes dereflexion et de transmission de ceux-ci).A quoi sert un tel dispositif ? Que voit-on pour ↵ = ↵

0

cos(!t) ?

Planche 21Deux dipoles magnetiques fixes ~m

1

et ~m2

, separes par une distance d,sont libres de tourner dans le plandu dessin.On note J leur moment d’inertiecommun.Determiner les positions d’equilibre.Etudier leur stabilite.

~m1

2

~m

2

✓1

✓

d

Planche 22Deux masses m et 2m sont accrochees aux extremites d’une barre de massenegligeable et de longueur 3L. On la pose verticalement sur le sol (masse men bas), avec un coe�cient de frottements f . Etudier le mouvement.On la pose ensuite, masse m toujours en bas, de facon qu’elle fasse un angle de 45�

avec le sol, puis on lache l’extremite sans vitesse initiale. Etudier le mouvement.

Planche 23On considere le montage ci-contre.Donner une condition necessai-re et su�sante pour que i et Ve

soient en regime sinusoıdal pur(c’est-a-dire i(t) = A cos(!t + '),avec ! a determiner en fonctiondes parametres).

R1

C1

C2

R2Ve

GVeRG>0

Boıte noire

d’avoir Vs = GVe

permettant

i

Planche 24Une masse m peut se deplacer sur un rail horizontal, sans frottements. Un penduleponctuel de masse M est suspendu a la masse m. A l’etat initial, toutes les vitessessont nulles et le pendule fait un angle ✓

0

avec la verticale.1- Calculer les equations du mouvement.2- Etudier les cas limites ; que pourrait-il se passer si le mobile n’est pas immobilea l’instant initial ?3- Combien de modes a-t-on trouve pour ce mouvement ?A-t-on donc completement etudie le systeme ?

Planche 25On considere un cylindre allonge de section S et de longueur L, calorifuge sur lesbords et thermostate a T

1

et T2

a ses extremites.Donner le profil de temperature a l’equilibre.On ote maintenant les thermostats et l’on calorifuge immediatement les extremites.Quelle est l’entropie creee entre cet instant et le retour a l’equilibre ?

Planche 26Un compresseur doit faire passer un gaz de l’etat A(P

1

, T1

) a l’etat B(5P1

, T1

) enne s’autorisant que des echanges de chaleur avec un milieu a la temperature T

1

.Le gaz est de l’air considere comme un gaz parfait diatomique (il faut connaıtre� pour un tel gaz).1. Quelle est le travail minimum a fournir ?2. En pratique, on ne peut realiser la transformation ci-dessus. On decompose endeux etapes, dont une transformation adiabatique reversible. Preciser lesquelles.Calculer le travail associe. Verifier qu’il est bien superieur au precedent.3. Comment diminuer le travail a fournir en n’utilisant que des transformationsdu type des deux precedentes ?4. Quelles sont les valeurs optimales des pressions des transformations in-termediaires Pi ?

Planche 27On prend un cerceau de masse M et de rayon R. On accroche sur un fil sansmasse tendu sur un diametre, a une distance 0 < a < R du centre, une masse m.Determiner les positions d’equilibre, la periode des petites oscillations et le typede mouvement. On considere d’abord le cas ou le plan est horizontal, puis celuiou le plan est incline d’un angle ↵ par rapport a l’horizontale.

Planche 28Le cœur, de rayon R � e, d’un corps spherique de rayon R est occupe par unthermostat a la temperature T

0

; calculer la repartition de temperature (on noteTA la temperature ambiante, supposee constante).En fait, il s’agit d’une modelisation (grossiere) du corps humain. On suppose quela puissance produite par celui-ci est constante en temps normal ; exprimer T

0

enfonction de TA et des grandeurs necessaires.Si la puissance produite par le corps augmente, sur quels facteurs peut-on jouerpour faire diminuer T

0

(on pourra supposer e << R) ?Que se passe-t-il si le contact enveloppe corporelle/thermostat n’est pas parfait ?Si on prend en compte le rayonnement ?

Planche 29

G G

R R

Imm

m

m✓

On dispose d’un demi-cylindre de rayon R sur lequel est posee une tige sans massede longueur 2L. La tige porte une masse m ponctuelle a chaque extremite et roulesans glisser sur le cylindre. On appuie sur une extremite. Mettre en equation puisresoudre aux petits angles.

Planche 30Soient deux spires, placees a une distance d, coaxiales, indeformables. La premiereest parcourue par un courant suppose constant I (maintenu par un dispositifexterieur inconnu). On la deplace le long de son axe. Etude du mouvement.

Planche 31 ChimieOn considere l’equilibre : 2NaHCO

3

(s)

*) NaCO3

(s)

+ CO2

(g)

+ H2

O(g)

.

La reaction a lieu a volume constant (50 L), dans une enceinte qui contientinitialement 2 moles de NaHCO

3

(s)

(la pression est donc nulle).

1) A 47�C, la pression d’equilibre est 0, 033 bar. Calculer K�(47�C).2) A 77�C, le pression d’equilibre est 0, 265 bar. Calculer �rH� et �rS�.3) Donner l’etat final du systeme a 107�C.4) On ajoute du diazote, que se passe-t-il ?

Planche 32 ChimieOn a le mecanisme reactionnel :Br

2

! 2Br⇤ k1

Br⇤ + 2H2

! H⇤ + HBr k2

H⇤ + Br2

! HBr + Br⇤ k3

H⇤ + HBr ! Br⇤ + 2H2

k4

2Br⇤ ! Br2

k5

Quel type de mecanisme est-ce ? Nommer les di↵erentes etapes.Determiner la reaction globale. Determiner sa constante de vitesse.

´

Ecole Polytechnique-ESPCI � PC

Planche 33Un cylindre calorifuge est ferme par un piston mobile sans frottement et sedeplacant a la vitesse ~v. Le gaz contenu dans le cylindre, suppose parfait, subitune transformation et se trouve en evolution adiabatique.En considerant les chocs elastiques sur le piston, determiner une relation entre Vet T au sein du recipient.

Planche 34On considere un faisceau d’ions, d’intensite I, de rayon r tres petit devant lalongueur du faisceau. Quelle est la force qui s’exerce sur un ion ?En deduire le taux d’elargissement dr

dtdu faisceau.

Planche 35Une sphere se deplace dans un fluide parfait.Quelle est la force exercee par le fluide sur la sphere ?

Planche 36Un tonneau rempli d’eau roule sans glisser et contient une petite balle dont ondecrira le mouvement.

Planche 37On prend une bouee gonflee a 1,5 atm. On la perce.Donner l’equation du mouvement en fonction du temps.

Planche 38On cherche a envoyer une sonde depuis la Terre vers Mars.Dans quelle position relative par rapport au Soleil doivent etre la Terre et Marspour minimiser la consommation en carburant lors du trajet ?Donner alors le temps de trajet de la sonde, ses energies et vitesses lors dudecollage depuis la Terre et a l’atterrissage sur Mars.On donne les masses de la Terre MT = 5, 97⇥1024 kg, de Mars MM = 641, 85⇥1021 kget du Soleil MM = 1, 99⇥1030 kg ; et les distances :Terre-Soleil d = 149, 6⇥106 km et Mars-Soleil D = 227, 9⇥106 km.Leurs orbites sont considerees circulaires.

Planche 39On considere un gaz reel d’equation (P +BP 2)V = nR(T +AT 2), avec BP << 1et AT << 1 pour un etat (P, V, T ) proche de (P

0

, V0

, T0

).Trouver A et B tels que Cp(V

0

, T0

) = Cv(P0

, T0

) + nR.

Planche 40On considere un cylindre horizontal, de rayon r, dans l’air.Dans ce cylindre, on place deux pistons, separes d’une distance x << r.On branche une pile entre ces pistons. Que se passe-t-il ?Indication fournie pendant l’epreuve : considerer que l’enceinte est calorifugee.

Planche 41On donne une plaque verticale, parfaitement conductrice.On suspend une boule de charge q (assimilee a une charge ponctuelle) a un fil eton l’approche de la plaque. Que se passe-t-il ?Tracer les lignes de champ ; la boule est-elle attiree ou repoussee par la plaque ?

Planche 42Un wagon cylindrique de masse a vide m peut glisser sans frottements sur desrails. Ses parois laterales sont calorifugees. On introduit une masse m de gaz ap = 15 atm et T = 27�C dans le wagon. La paroi de gauche est au soleil et prendla temperature T

1

= 32�C ; la paroi de droite est a l’ombre a Text

= 27�C.Le wagon avance-t-il ? Si oui, de quelle distance ?Indications fournies pendant l’epreuve : La di↵erence de temperature est faible.On considere le gaz comme parfait.

Planche 43 ChimieI) Dans l’eau, le dibrome se decompose en ions bromure et en acide hypobromeuxHOBr, dont le pKa vaut 8,5.1. Ecrire la reaction de dismutation. Que se passe-t-il a pH = 10 ?2. On fait reagir l’acide hypobromeux sur du E-but-2-ene (E-�-butylene) : pourformer A. Donner le mecanisme par analogie.3. On met ensuite A en presence de HBr. Il se forme un compose indedoublableet ne deviant pas la lumiere polarisee. Ecrire le mecanisme.4. Donner une suite de reactions pour creer le but-2-ene a partir de l’ethylene etde tout reactif inorganique necessaire.

II) On melange 500 mL de Mg(NO3

)2

a 2.10�3 mol.L�1 avec 500 mL d’ammo-niaque a 4.10�3 mol.L�1.1. Montrer que l’hydroxyde de magnesium precipite.Determiner alors le pH et le nombre de moles de precipitees.2. Quelle quantite de chlorure d’ammonium faut-il ajouter pour dissoudre totale-ment le precipite ? Calculer alors la valeur du pH.Donnees : pKs(Mg(OH)

2

) = 11 pKa(NH+/NH) = 4, 8.


´

Ecole Polytechnique-ENS Cachan � PSI

Planche 44On place une plaque en metal dans une solution ionique. Elle absorbe quelquesions, ce qui cree une densite surfacique de charge �. Elle est assimilee a undielectrique de permittivite ". ~uz est le vecteur orthogonal a la plaque.Loin de la plaque, l’element de volume d⌧ de solution est neutre, donc il y a unedensite volumique n

0

de charge +q et n0

de charge �q.V (z) est le potentiel pour un point de coordonnee z selon ~uz . La convention dupotentiel V (z) nul a l’infini s’applique.

On donne n+

= A+

exp⇣

�U+

kb.T

⌘et n� = A� exp

⇣�

U�

kb.T

⌘

1) Determiner les constante A+

et A�.2) Determiner la densite volumique de charge dans la solution.3) Etablir une equation di↵erentielle en V (z).Introduire une longueur caracteristique ld. Justifier que V ne depend que de z.

4) Etablir les conditions au limites pour dVdt

(z).

5) On suppose que | V (z) | << kbT/q. Resoudre l’equation et tracer V (z).6) Calculer le potentiel en z = 0 pour un cylindre entre z = 0 et z infini, d’unrayon unite.

Planche 451. On etudie la chute d’une goutte d’eau. On negligera la resistance de l’air.Peut-on faire de meme avec la poussee d’Archimede ?2. La goutte d’eau se deplace dans une atmosphere saturee en eau, possedant ngouttelettes d’eau par unite de volume. Ces gouttelettes sont supposees immobileset de volume V

0

. On pose ↵ = nV0

. Par un bilan approprie, relier la derivee du

rayon de la goutte drdt

(t) a la vitesse de la goutte v = dzdt

·

3. Par un bilan de quantite de mouvement, relier v(t), dvdt

(t), r(t), ↵ et g.

4. En supposant l’acceleration � de la goutte constante, exprimer � en fonctionde g.5. On donne V

0

= 10�29 m3 et la formule de Duperray donnant la pression devapeur saturante de l’eau, en bar, en fonction de la temperature exprimee en degre

Celsius : PS =⇣

✓100

⌘4

. Calculer la valeur de n puis de ↵ pour ✓ = 20�C.

6. Donner l’allure de r(t) en supposant r(t=0)

⇡ 0 et v(t=0)

⇡ 0. Au bout decombien de temps le rayon de la goutte atteint-il 1 mm ?En realite le rayon de la goutte ne diverge pas. Expliquer pourquoi.

Planche 46On note M l’aimantation.Donner la dimension de M ansi que la relation liant B, M et H.Pour les materiaux usuel, on donne B = f(H) ou M = f(H) (au choix) ; commentobtient-on cette courbe experimentalement ?

Soit un materiau pour lequel div M = 0, ⇣ �!rot M = i dMdt

avec ⇣ complexe.

Quelle est la dimension de ⇣ ? A quelle(s) condition(s), necessaire(s) et su↵-isante(s) sur ⇣, M verifie-elle une equation de d’Alembert ?Si � = 107 nm, f = 867 GHz, donner ⇣.On donne M = M

0

exp�i(!t � kx)

�; montrer que M

0

= M0

(uy + iuz).Interface : dans le milieu 1, ⇣

1

(f) = ⇣0

;

dans le milieu 2, ⇣2

(f)2 = ⇣20

↵f � f0

↵f0

� favec ↵ > 1 ;

les deux milieux sont separes par une interface de longueur L ou ⇣0

(f) = ⇣0

.Que se passe-t-il lorsque f = f

0

? f = 2↵f0

?Il existe des milieux (1 et 2) ou l’on peut imposer a M une direction donnee.A quelle(s) condition(s), necessaire(s) et su�sante(s) sur L, aura-t-on des ondesstationnaires ?

Planche 471. Definir les conditions de Gauss et donner leurs consequences.Un objet AB est place en face d’une lame de verre (n = 1, 5) d’epaisseure. Montrer que l’image de AB par cette lame est situee en aval de l’objet etdeterminer la distance les separant.Dans quel cas les conditions de Gauss sont-elles respectees ?2. Lentille convergente de distance focale f 0 ; OS = �30 cm ; ✓ = 30 degres.S est une source de longueur d’onde �

0

. Montrer que l’image de la source S parce systeme peut etre assimile a deux sources S

1

et S2

coherentes.Determiner la distance entre les deux sources, la distance par rapport a O.3. On place un ecran a 3,6 m ; qu’observe-t-on ? Caracteriser (interfrange,di↵erence de marche, etc)4. On utilise desormais une source en lumiere blanche, qu’observe-t-on ? On placeun spectrometre a 4 mm de l’axe.Le spectre est-il complet ? cannele ? s’il est cannele, donner les cannelures.

Planche 48 TP Physique Demodulation d’amplitudeMateriel : oscilloscope electronique recent, generateur BF qui peut faire lui-memela modulation AM, simple d’utilisation, recent, et des AO. Un topo succint surl’utilisation de la plaque pour faire les montages, sur le generateur +/� 15V etsur l’AO etait donne.Quel est le principe de la modulation d’amplitude ?On choisit fp (porteuse) = 160 kHz ; comment doit-on choisir fi (information) ?

A quoi ressemble le spectre ? Verifier a l’aide de l’oscillateur.On donne le schema general : Antenne � Resonateur � Amplification � Detecteurde crete � Amplification � filtrage � haut-parleur.Amplification : avec un AO, donner le montage d’un amplificateur non inverseur.On veut un gain de 5, choisir les R. Faire le montage.Detecteur de crete : quel en est le principe ? Faire un schema et expliquer lefonctionnement. Comment doit-on choisir R et C ? realiser le montage.Amplificateur : gain de 10. Choisir les R, faire le montage.Filtrage : pour le haut-parleur, on donne R = 8 ⌦ ; choisir C, donner le schema(passe-haut pour filtrer la composante continue).Resonateur : on donne C = 470 pF ; on a un circuit LC ; on fait varier L enbougeant un noyau de fer. On se place a la resonance.On donne un fil de 2 m pour servir d’antenne. On coupe le GBF. On chercheFrance Inter (164 kHz), en bougeant le noyau de fer.A la fin, l’examinatrice fait remarquer au candidat que ca n’a aucune chance demarcher puisqu’on est au sous-sol...

Concours Commun Centrale-Supelec � MP

Planche 49 Avec MapleUne bande de station FM est de largeur 150 kHz et de frequence centralef0

= 100, 0 MHz (75 kHz de part et d’autre de cette frequence centrale). Lesstations voisines emettent aux frequences f

0

+ F et f0

� F avec F = 0, 400 MHz.On souhaite selectionner uniquement la station centrale.1. Preciser la nature du filtre a envisager.2. On choisit un filtre d’ordre 2 ; tracer l’allure du diagramme de Bode en gainpour un facteur de qualite Q = 100.3. Calculer Q pour que le signal utile soit attenue au plus de 3 dB.4. Quelle est alors l’attenuation minimale des stations voisines ?5. On multiplie le signal FM par A cos(2⇡f

0

t) ; montrer qu’on peut doubler lesperformances pour un filtre d’ordre 2.

Planche 50

Dans le circuit ci-contre, D est compose d’une bobine idealepour laquelle L = 50 mH et d’un condensateur ideal decapacite C.1. Determiner D pour que le montage soit un filtre passe-bande.Faire le diagramme de Bode en gain et en phase.

R

Ue UsD

2. On applique ue = e0

cos(!1

t) cos(!2

t) ou !1

et !2

sont, a priori, inconnus. Enjouant sur les valeurs de R et C, on obtient en sortie, au cours de deux experiences(a) et (b), des sinusoıdes simples de periodes respectives Ta = 13, 33 ms etTb = 964 µs ; expliquer le principe de fonctionnement et determiner f

1

et f2

.4. Donner la plage de valeurs de variation de C ; quel role joue R ? Determiner Rpour chaque experience, pour que la sinusoıde represente 99% du signal de sortie.

Planche 51Une roue de rayon a, metallique, dont la partie circulaire est consideree deresistance negligeable, possede 8 rayons metalliques, chacun de resistance R. Onnote J son moment d’inertue. Sa moitie inferieure est plongee dans un champ ~Buniforme, orthogonal au plan de la roue.1. A t = 0, on donne a la roue une vitesse !

0

; qualitativement, que se passe-t-il ?2. Determiner l’intensite dans chacun des rayons (on distinguera les rayons horsdu champ et les rayon plonge dans le champ).3. Donner !(t).

Planche 52Un cylindre de rayon R, de masse m, de moment d’inertie J = 1

2mR2, de centre

d’inertie C, est pose sur un plan horizontal, a l’arriere d’un camion, son axe etantperpendiculaire au sens du deplacement. On note f le coe�cient de frottemententre le cylindre et le plan, d la distance entre la position initiale (contre la cabine)et l’extremite arriere du camion.Ce dernier demarre avec un acceleration � qui reste constante.1. Determiner le temps au bout duquel le cylindre tombe du camion.2. Trouver le travail des forces de contact entre le depart et la chute du cylindre.

Planche 53Une voiture de masse m = 1000 kg, consideree comme ponctuelle, roule sur uneroute horizontale. Le moteur fournit une puissance P = 92 kW. Les frottements del’air exercent une force de norme f = mCv2 ou C est une constante caracteristiquede la voiture et v sa vitesse. La vitesse maximale est de 160 km/h.1. A t = 0, la vitesse de la voiture est nulle et le moteur fournit une puissanceconstante P . Exprimer la distance parcourue en fonction de v.2. Calculer la distance necessaire pour atteindre la vitesse maximale.3. La voiture roule a vitesse maximale, on coupe le moteur a l’instant t0 :determiner la distance parcourue depuis t0 en fonction du temps.

Planche 54Une balle de pate a modeler de masse m, est lancee sur une surface horizontalelisse ; au contact, elle s’accroche. Si l’energie d’ecrasement, egale a l’energie perduepar la balle en se deformant, est superieure a une energie E

0

, elle s’ecrase.La force necessaire au decrochage est notee F

0

.1. On lache la balle sans vitesse initiale d’une hauteur h au dessus du sol (supposelisse) ; a partir de h

0

= 2 m, elle s’ecrase ; on suppose que l’energie recue par lesol est nulle. Determiner E

0

.2. On lache la balle d’une hauteur h au dessus d’une plaque lisse, de masse M ,reliee au sol par un ressort vertical. On suppose que les quantites de mouvementde la balle et de la plaque se conservent pendant le choc.Initialement, la plaque est a l’equilibre ; determiner une condition sur h pour qu’ily ait ecrasement.3. Etudier qualitativement le mouvement pour h = 1 m et h = 3 m.On donne g = 9, 8 m.s�2, m = 50 g, M = 150 g, F

0

= 1 N.

Planche 55Un demi-cylindre de rayon a est pose horizontalement sur le sol. A l’instant initial,on place en son sommet S un cylindre de rayon b < a et de centre G, qui basculesans vitesse initiale. On note O le projete de S sur le sol et ✓ l’angle (OS, OG) ;a t = 0, ✓ = 0.1. On suppose que le cylindre roule sans glisser ; a partir de quel angle ✓

0

decolle-t-il du demi-cylindre ?2. Meme question sans l’hypothese de roulement sans glissement.3. Que se passe-t-il si le demi-cylindre oscille sur le sol ?L’angle ✓

0

est-il plus petit ou plus grand que celui trouve en 1. ?

Planche 56 Avec Maple1. Resistance basse frequence : calculer la resistance d’une bobine composee de100 spires de rayon moyen 7 cm, de fil de cuivre de rayon 0, 5 mm et conductivite� = 6, 7.107 S.m�1.2. Resistance haute frequence : un ruban de largeur a et epaisseur e verifie la loid’Ohm locale. Le plan xOz etant confondu avec le plan du ruban, ez dirige dansle sens de sa longueur, on donne ~j = | j(x) |~ez .

Donner les relations entre ~E, ~B et ~j.

Montrer qued2j(x)

dx2

� K2j(x) = 0 ou K est un nombre complexe a determiner.

Resoudre l’equation et faire apparaıtre une longueur caracteristique �.Calculer � pour 50 Hz, 5 kHz, 500 kHz et 5 MHz.On note I l’intensite totale ; donner l’expression reelle de ~j et celle de ~E.A l’aide de la puissance, determiner la resistance de la bobine.


Planche 57On etudie l’evaporation de l’eau contenue dans un ballon dont les parois sontadiabatiques. On note T

0

la temperature exterieure, Lvap

l’enthalpie massique dechangement d’etat de l’eau, � sa conductivite thermique, ⇢ sa masse volumiqueet c la capacite thermique massique.1. On note ⌧ le temps caracteristique d’evaporation de l’eau ; a quelle conditionpeut-on considerer que la temperature T de l’eau dans le ballon, est uniforme ?2. On note S la surface libre de l’eau ; la masse M d’eau evaporee par unite de

temps, verifie dMdt

= KS ; que peut-on en deduire ?

Initialement, le ballon est rempli d’eau.3. Lors de l’evaporation, il se forme une fine couche de vapeur d’eau au dessus de S,a travers laquelle s’e↵ectue un transfert parietal conducto-convectif de coe�cientGv .Determiner la puissance thermique recue par l’eau liquide du ballon et etablir laloi d’evolution de la temperature T (t) de l’eau dans le ballon.

Planche 58

Sur un plateau P, de masse M et delongueur L, dont l’abscisse initiale dubarycentre est en x = x

0

, est pose uncylindre C, de masse m, de hauteur het de rayon R, dont l’abscisse initiale dubarycentre est en x = x

2,0.

AF x

O

z

~g

CP

On note f le coe�cient de frottement entre P et C. On applique ~F = F~ux sur leplateau.1. Condition pour que C ne glisse pas.2. Condition pour que C ne bascule pas.

3. Peut-on appliquer ~F telle que C reste a la meme abscisse ?Applications numeriques : R = 30 mm, h = 15 cm, L = 30 cm, M = 0, 1 kg,m = 0, 2 kg, f = 0, 3.

Planche 59Le corps interne d’un plongeur est a temperature T (t) uniforme. Son corps externeest de resistance thermique R

1

et sa combinaison de resistance thermique R2

.L’eau est a 15�C, et on note h le coe�cient de conducto-convection entre lacombinaison et l’eau. Le rayonnement est neglige.1) Quelle puissance est dissipee de l’interieur du corps vers l’eau ?2) On suppose que le corps produit une puissance P = 200 W constante. Quelleest la duree maximale d’immersion possible avant d’atteindre l’hypothermie(temperature interne 6 35�C) ? On donne la surface du corps S = 2 m2,h = 300W.K�1.m�2, R

1

= 0, 025 K.W�1 et R2

= 0, 05 K.W�1.3) Justifier que le rayonnement peut en e↵et etre neglige.

Planche 60On considere un supraconducteur de masse m = 10 µg et de capacite thermiquemassique c = 0, 2 J.g.cm�1. Il recoit une puissance thermique P = P

0

(1+cos !t),et est en contact avec un fil de cuivre de conductivite thermique � = 5, 0W.K�1.cm�1

et de rapport Sl

= 10�6 cm.

1. Calculer la duree caracteristique ⌧ du regime transitoire.2. Determiner l’expression de la composante alternative TAC et de la phase 'de la temperature. En tracer les graphes. Montrer que l’on peut determiner c enconnaissant TAC .3. Proposer un moyen de realiser experimentalement la puissance P .

Planche 611. Donner un dispositif interferentiel a deux ondes qui permet d’obtenir des frangesrectilignes. Comment observer les interferences a l’infini ?2. On utilise le modele des trains d’ondes, emis aleatoirement, durant chacun ⌧ .Ou peut-on observer les interferences ?3. On observe sur l’ordinateur que, lorsque le parametre b 2 [1, 100] augmente, lecontraste augmente. Conjecturer une relation entre b et ⌧ .4. Determiner l’eclairage moyen, puis le contraste local. Conclure quant al’influence de ⌧ sur les interferences.

Planche 62Un systeme est constitue de deux lentilles minces de centres optiques respectifsO

1

et O2

, et telles que : O1

O2

= 10 cm, f 01

= 20 cm et f 02

= 20 cm.1. Donner la definition et determiner la position des points F et F 0 associes ausysteme optique forme par les deux lentilles minces convergentes.2. Determiner la position de deux points H et H0 conjugues par le systeme desdeux lentilles, telle que l’image d’un objet passant par H soit un objet de memelongueur passant par H0, i.e. telle que le grandissement transversal soit egal a 1.On utilisera pour cela l’intersection des rayons incident et emergent tracesprecedemment pour la construction de F et F 0.3. Tracer l’image d’un objet AB quelconque par le systeme des deux lentilles. Onutilisera en particulier les rayons suivants :� le rayon parallele a l’axe optique passant par B ;� le rayon passant par B et F 0.4. A l’aide du trace precedent, trouver une relation generale entre H, H0, F etF 0 ainsi que la position A de l’objet et celle A0 de son image par le systeme desdeux lentilles. Commenter.

Planche 63On modelise la foudre qui s’abat sur le sol de deux facons di↵erentes. Dans lesdeux cas, l’etude est faite en regime stationnaire.Modelisation 1 : un courant I constant descend l’axe vertical Oz et se propage demaniere isotrope sur le plan horizontal xOy.Modelisation 2 : un courant I constant descend l’axe Oz et se propage de maniereisotrope sur le demi-espace z < 0.Pour les deux modelisations, calculer le champ magnetique en tout point del’espace et calculer sa valeur maximale au voisinage du sol a une distancer = 0, 10 km de l’axe Oz, avec I = 50 kA. Donnee : µ

0

= 4⇡.10�7 H.m�1.

Planche 64 Chimie, avec MapleOn considere les couples redox (GeO

(s)

/Ge(s)

) ; (GeO2

(s)

/GeO(s)

).

Ge(s)

GeO(s)

(GeO2

(s)

(O2

(g)

�fH� 0 �255 �552 0 kJ.mol�1

S� 21 73 77 205 J.mol�1

Donner les equations des reactions d’oxydation de Ge(s)

par du dioxygene gazeux,en prenant 1 pour coe�cient stœchiometrique du dioxygene.On les note (1) et (2).Donner les expressions de �rG�

1

(T ) et �rG�2

(T ), relatifs a (1) et (2), dansl’approximation d’Ellingham.Ecrire l’equation de la reaction de dismutation de GeO

(s)

, en prenant 2 pour

coe�cient stœchiometrique de GeO(s)

. On la note (3). Calculer �rG�3

(T ).

Comment agissent la pression et la temperature sur l’equilibre de (3) ? Montrerqu’il existe une unique temperature notee Ti qui realise l’equilibre de (3).Calculer numeriquement Ti.Conclure vis-a-vis de la reaction (3) selon la valeur de la temperature.On considere : Ge

(s)

+ O2

(g)

*) GeO2

(s)

(4)

Calculer �rG�4

(T ).Sur le diagramme d’Ellingham de Ge, donne sur ordinateur, on pouvait regarderles equations des droites dont les pentes sont (les valeurs etaient numeriques) :

1 : ��rS�4

2 : ��rS�2

3 : ��rS�1

Completer, en le justifiant, les differentes zonesdu diagramme avec les especes stables corre-spondantes. Justifier l’allure du diagramme.

�G(T )

T875

-420

2

1

3

Expliquer ce qu’il se passe lorsqu’on oxyde Ge(s)

par du dioxygene en augmentantprogressivement la temperature entre 850 K et 950 K.A 950K, dans une cuve vide de volume egal a 100 l, on place une mole de Ge

(s)

et n mole de O2

(g)

. Donner l’evolution de la pression en fonction de n.

Planche 65 Chimie, avec MapleI) Oxydation des ions Sn2+ par les ions Fe3+ :On donne E0(Sn4+/Sn2+) = 0, 151 V ; E0(Fe3+/Fe2+) = 0, 771 V

1. Ecrire l’equation bilan ; calculer la constante de reaction ; conclure si un electronest echange.2. On cherche a calculer l’ordre de la reaction, au moyen de deux experiences :• Experience 1 : Fe3+ en exces, on obtient t

1/2 independant de [Sn2+]i• Experience 2 : [Fe3+]i= 2[Sn2+]i ; on realise plusieurs fois l’experience avec desvaleurs di↵erents de [Sn2+]i :

1 2 3 4

[Sn2+]i C0

1,5C0

2C0

2,5C0

[Fe3+]i 2C0

3C0

4C0

5C0

t1/2 ⌧ 0,67⌧ 0,5⌧ 0,3⌧

Calculer l’ordre partiel de Sn2+.Montrer que l’ordre partiel de Fe3+ est de 1. Quel est alors l’ordre global ?3. [Sn2+]i= C

0

= 1, 0.10�3 mol ; [Fe3+]i=2C0

;un tableau comportant 5 valeurs de l’absorbance a di↵erents instants est donnesur l’ordinateur, en particulier A

0

= 0, 632 et A1 = 0, 110.On note x =[Sn2+] et L la longueur de la cuve ; on associe les coe�cientsd’absorbance "

1

, "2

, "3

, "4

a Fe2+, Fe3+, Sn2+, Sn3+.Exprimer A, A

0

et A1.

Montrer queA � A

0

A1 � A= 2ktC

0

.

4. Determiner k (on pourra utiliser l’ordinateur).5. Calculer l’energie d’activation sachant qu’on augmente de 10�C (aucun autreparametre modifie) et que la vitesse est multipliee par 2.II) La temperature d’ebullition du benzene est de T = 80, 1�C.L’eau, notee 1 et le benzene, note 2, sont non miscibles.L’heteroazeotrope est situee a x

2

= 0, 78 et T = 341 K.1. Tracer l’allure du diagramme binaire isobare et determiner ce que contiennentles zones.2. Initialement, Ti < 341 K et x

2

= 0, 90 ; on augmente T .Decrire l’evolution du systeme et tracer l’allure de l’evolution de T en fonctiondu temps.3. A T = 341 K, on introduit m

2

= 78 g de benzene liquide dans un recipient. Onajoute progressivement de l’eau. Quelle masse m

1

d’eau faut-il introduire pourqu’il n’y ait plus de benzene liquide ?

Planche 66 ChimieOn considere la reaction (1) Si

(s) + O2(g) = SiO

2(s). On donne a 298 K,

�fH0(SiO2(s)) = �411 kJ.K�1 �fH0(O

2(g)) = �fH0(Si(s)) = 0 J.K�1,

S0

m O2(g) = 204, 8 J.mol�1.K�1,

S0

m Si(s) = 18, 8 J.mol�1.K�1, S0

m SiO2(s) = 41, 5 J.mol�1.K�1.

On se place dans l’approximation d’Ellingham.Exprimer �rG0

1

(T ) en fonction de T (on suppose que Si reste solide).Tfus(Si) = 1520 K ; �fusH0(Si) = 40 kJ.K�1.On considere la reaction (2) Si

(l)+ O

2(g)= SiO

2(s).

Exprimer �rG0

2

(T ) en fonction de T pour T > Tfus(Si).Tracer �rG0

1

(T ) et �rG0

2

(T ) sur Graph-2D.On se place a T = 1773 K. On considere la reaction :(3) 2 Mg

(g) + O2(g) = 2 MgO

2(s).

Ecrire la reaction de reduction de MgO par le silicium a T = 1773 K.Preciser les etats physiques. On appellera (4) cette reaction.Calculer, a T = 1773 K, �rG0

4

, K0

4

, ainsi que la pression partielle de Mg(g) a

l’equilibre.On donne les C0

pm, ils sont independants de T .

Justifier que l’approximation d’Ellingham est legitime, c’est-a-dire qu’on a unecart relatif d’au plus 5 % pour �rH0 et �rS0 entre T = 298 K et T = 1773 K.


Concours Commun Centrale-Supelec � PC

Planche 67I) Une onde ultrasonore se propage dans un metal, puis dans l’air, puis dans undetecteur, selon les x croissants.1. Definir l’intensite d’une onde ultrasonore et l’impedance acoustique ; definir lescoe�cients de transmission et de reflexion en amplitude des vitesses, pour uneonde ultrasonore, a la traversee d’un dioptre.Calculer ces coe�cients dans le cas d’une incidence normale entre deux milieux,en fonction de leurs impedances respectives Z

1

et Z2

.Definir les coe�cients de transmission et de reflexion en puissance pour une onde

ultrasonore ; verifier que T =�Z

1

� Z2

Z1

+ Z2

�2

. Que vaut R ?

2. Pourquoi peut-on sommer les intensites qui arrivent sur le detecteur ? CalculerI(d) en fonction de I

0

, T , T 0, R, R0 puis en fonction de I0

, Za, Zm, Zd.On fournit les valeurs des impedance acoustiques (Za << Zm et Zd) ; simplifierI(d) et le calculer ; commentaire ?On remplace l’air par de la glycerine, d’impedance Zg >> Za.Calculer I0(d) ; commenter le resultat.II) Dans une pompe a chaleur, un fluide subit un echange thermique avec unesource chaude, une source froide et le travail d’un condensateur.Les cycles subis par le fluide sont supposes reversibles.A t = 0, les deux sources sont a la meme temperature. Elles sont composes d’unememe masse d’eau me, de coe�cient calorifique ce.Montrer que le produit des temperatures des sources est constant.

Planche 681. Decrire un montage permettant d’obtenir des ondes planes qui puissent eclairerune pupille di↵ractante de largeur a et de recuperer la figure a l’infini creee parcette derniere.2. Etablir alors l’expression de l’eclairement cree par cette fente en incidencenormale.3. On la remplace par un prisme d’angle A et d’epaisseur e(x) = A

�x + a

2

�avec

| x | < a2

; trouver l’expression de l’eclairement, toujours en incidence normale.

4. Determiner l’eclairement quand on dispose p prismes a la suite.

Planche 69I) Une goutte d’eau liquide spherique de rayon R = 2 mm, tombe d’une hauteurz = 500 m a la vitesse v = 30 m/s, dans l’air a Ta = �10�C. Elle reste liquidependant toute la chute et on note Ti sa temperature initiale. Elle echange avecl’air un transfert thermique h

�Ta � T (t)

�par unite de surface et de temps, ou

T (t) est sa temperature.On donne c(eau liquide)= 3, 8.103 J.K�1kg�1.

1. Etablir l’equation di↵erentielle verifee par T (t).Pourquoi ne precise-t-on pas s’il s’agit de cv ou cp ?2. Donner la temperature de la goutte quand elle touche le sol.3. Expliquer la formation de verglas. Quel phenomene intervient ?Calculer la fraction massique x de liquide restant connaissant Lf , enthalpiemassique de fusion de la glace.On s’interesse au phenomene de surfusion : on modelise la goutte par une sphereliquide de rayon r entouree par une couche de glace de rayon exterieur R. Ontient compte de l’energie potentielle liee a l’interface eau/glace : Ep = A⌃ ou ⌃est l’aire de l’interface. On note gs et gl les enthalpies libres massiques respectivesde la glace et de l’eau liquide.4. Comparer gs et gl ; exprimer G en fonction de r ; le fait d’ajouter Ep dansl’expression de G n’est-il pas contraire a la propriete d’extensivite de G ?Definir une grandeur extensive.5. Tracer l’evolution de G. Donner le rapport maximum r

Rpour ne pas avoir de

surfusion.II) Un conducteur cylindrique d’axe (Oz), de conductivite �, est parcouru parune densite volumique de courant ~j = j~ez .1. Determiner le vecteur de Poynting (on justifiera le signe obtenu) et le flux duvecteur de Poynting traversant le conducteur.2. Calculer la resistance R du conducteur.

Planche 70I) Etude thermique d’un fil de cuivre1. Generalite : on considere un fil de cuivre de conductivite thermique �.a) Ecrire la loi de Fourier. Determiner l’equation de la chaleur dans le casunidirectionnel (selon x). On note c la capacite massique du milieu, et µ la massevolumique. On note (1) cette equation.On suppose que le milieu est siege d’une creation de puissance volumique p. Quedevient (1) ? On note (2) cette nouvelle equation.b) Dans le cas general, comment ecrit-on (2) ?Exprimer D, le coe�cient de di↵usion, en fonction de �, µ, et c.2. On considere un fil de cuivre infini, cylindrique de rayon R, de conductivite �(S.m�1). On le met dans l’air a la temperature T

air

. On admet la loi de Newton :� = h(T � Tair)dS, � le flux echange a travers une surface dS. Un courantI traverse le fil. On suppose le vecteur densite de courant

�!je uniforme dans le

cylindre.Donnees : h, I = 40 A.a) Exprimer

�!je . En deduire la puissance volumique dissipee par e↵et Joule.

b) En utilisant invariances et symetries, simplifier reduire le nombre de variablesutiles.c) Etablir l’equation suivante et determiner ↵ en fonction de I, R et � :

�� ddr

⇣r dT

dr

⌘= ↵r

d) Resoudre cette equation di↵erentielle, sans determiner toutes les constantesd’integration.e) Determiner la temperature Ts a la surface du fil. Quelle grandeur est continuea l’interface cuivre/air ?II) Propagation d’une onde dans un tuyau contenant un fluide visqueux1. Rappeler l’equation de Navier-Stokes.2. Di↵erence entre vitesse eulerienne et vitesse lagrangienne ?3. Qu’est-ce que l’approximation acoustique ?4. Pourquoi peut-on considerer la transformation comme etant isentropique ?5. Determiner l’equation de propagation.

Planche 71I) Le bolometre est un detecteur servant a etudier le rayonnement solaireelectromagnetique : ce rayonnement est converti en chaleur au sein d’un absorbeurrelie, par l’intermediaire d’un barreau conducteur thermique de resistance Rth, aun thermostat de temperature T

0

.

On mesure la temperature T (supposee uni-forme) de l’absorbeur, a l’aide d’un thermo-metre incorpore dont les proprietes conduc-trices varient avec la temperature selon la loiR(T ) = Re exp

�↵(T � Te)

�avec ↵ > 0.

On note c la capacite calorifique a pressionconstante de l’absorbeur.

Rayonnement incidentP1(t)

R(T )

Thermostat T0

I0T (t)

Rth

On suppose qu’il n’y a aucun echange de chaleur avec l’exterieur du systeme.1. On se place en regime stationnaire. Calculer le flux thermique entre l’absorbeuret le thermostat ; on rappellera les analogies conduisant a ce resultat.Le bolometre est constamment soumis a un rayonnement parasite, le bruit,de puissance recue constante Pe, et un courant de polarisation I

0

traverse laresistance R(T ).En e↵ectuant un bilan thermique, montrer que, lorsque l’equilibre Te est etabli,on peut donner Re = R(Te) en fonction des autres variables du systeme.2. On soumet le systeme a un rayonnement incident de puissance p(t) ; on a alors

Pi(t) =n

Pe pour t 6 0Pe + p(t) pour t > 0

avec | p(t) | << Pe.

Ce rayonnement donne une variation de temperature de l’absorbeur T (t) = Te+✓(t)avec | ✓(t) | << Te.Le bolometre est polarise a courant I

0

constant.Par un bilan energetique et un developpement limite a l’ordre 1 en " = ↵✓(t),obtenir une equation di↵erentielle de la variable ✓(t).Resoudre cette equation, verifier l’approximation et commenter le resultat.II) Propagation d’onde : On repere par x(t) un mur infiniment rigide de massesurfacique �, pouvant se deplacer sans frottements. On etudie la propagationd’ondes dans le milieu incident.1. Apres des rappels sur les ondes dans les fluides et definitions sur les grandeursutilisees, appliquer le principe fondamental de la dynamique au mur et exprimerson impedance acoustique apres l’avoir definie.2. Definir et exprimer les coe�cients de transmission et de reflexion. Exprimer Jen fonction des parametres du systeme.

Planche 72

I) La vitesse des electrons dans un metal est regie par la loi d~Vdt

+ 1⌧

~V = � em

~E.

On etudie la propagation d’une onde monochromatique ~E = ~E0

exp j(!t � kz).1. Que represente physiquement ⌧ ?Donner la conductivite � du conducteur et la relation de dispersion.

Exprimer k2 en fonction de !p, ⌧ , c, !.2. Montrer que si n est constant, les ondes sont transverses.A quels domaines appartiennent les longueurs d’onde correspondant aux pulsa-

tions 1⌧ et !p ?

3. Etudier trois cas limites pour k, selon des conditions sur ! et ⌧ .II)Un gaz est contenu dans un recipient a pression P

1

legerement superieure a la pression exterieure P0

; satemperature est egale a T

0

, la temperature exterieure.Le manometre indique h > 0.On ouvre brievement le robinet et on le referme ; hs’annule puis, apres un certain temps, reprend unevaleur non nulle.Expliquer qualitativement ; choisir un systeme appro-prie et decrire son evolution dans un diagramme deClapeyron.

hRobinet

Gaz

Planche 73I) Afin de resoudre certains problemes d’audition, une technique employeeconsiste a mettre les organes de l’oreille en contact avec de l’eau a une temperatureTA di↵erente de celle du corps humain notee TH .Le transfert thermique se fait par un os (O) selon l’axe Ox, l’os etant de grandedimension selon cet axe par rapport aux autres dimensions. On note T (x, t) latemperature le long de (O).La circulation sanguine induit une perte thermique notee pv , proportionnelle a latemperature T

1

ou T1

(x, t) = T (x, t) � TH , de coe�cient de proportionalite ↵.Le contact thermique avec le reste de l’oreille se fait via un autre os cylindriquenote (C), perpendiculaire a (O), en contact avec (O) aux abscisses xE et xS .

1. Etablir l’equation aux derivees partielles pour la temperature T1

(x, t). Faireapparaıtre un parametre a, homogene au carre d’une longueur divise par un temps,et un parametre ⌧ , homogene a un temps, puis reecrire l’equation en fonction deces nouveaux parametres.2. On se place en regime permanent ; exprimer T

1

(x) en fonction des parametres↵, �, TA et TH ; exprimer T (xE) � T (xS).3. On neglige ici la perte de chaleur due a la circulation sanguine ; on suppose quela temperature peut se mettre sous la forme T (x, t) = Ap

te�x/4at ou A est une

constante que l’on ne calculera pas et a = 1.10�7 m.s�1.Exprimer T (xE) � T (xS) et ecrire le resultat sous forme numerique en fonctionde A et t.4. On pose f(t) = (0.5 � t

t0

) exp�� t

t0

�et

g(t) = f(t0

) � f(4t0

� t).Deduire du graphe de g en fonction du temps(ci-contre), l’instant ou T (xE) � T (xS) estmaximal. Commenter.5. Quels sont les interets de ce systeme ?

g

s(t )4580

II) Une onde plane progressive monochromatique, se propageant dans le vide,

possede une champ electrique ~E de composantes Ex, Ey et Ez , avec :

Ex = E0

ei2⇡/3�(2x+2y�z)�!t, Ez = 0, � = 6, 6.10�7 m.1. Determiner Ey .2. Exprimer le champ magnetique associe a cette onde.3. Quelles sont les proprietes structurales de cette onde ?A quel domaine du spectre electromagnetique appartient-elle ?4. Donner le vecteur de Poynting puis sa moyenne spatio-temporelle.


Planche 74 Chimie, Avec le logiciel Graphe2D.

I) Equilibre Ceto-enolique

1.a. B :

O

O a un pKa egal a 24. Expliquer.

Comparer a

O

1.b. A :

O O

O le 3-oxobutanoate d’ethyle. pKaA = 11.Expliquer.L’enol E se forme a cause de la labilite du proton. On suppose qu’un seul enoldse forme. Representer E.1.c. Representer les stereoisomeres de E. Comparer leur stabilite.1.d. Calculer �rH0 de formation de E. Quelle(s) grandeur(s) neglige-t-on ?

Liaison C�C C=C C�O C=O C�H O�H

Eliaison en kJ·mol�1 348 612 356 708 410 460

1.e. Experimentalement, a ✓ = 33�C, on a 43% de E.

A l’aide de la question d), que dire si ✓ = 53�C ?2. On suit par RMN la fraction molaire en E.2.a. Comment fait-on ?2.b. On donne un tableau de valeur de la fraction molaire en E au cours du temps.On suppose que A �! E et E �! A sont des actes elementaires.Determiner les constantes de vitesse.3. Synthese : On fait reagir B avec NaEtO, en chau↵ant a reflux, puis on purifieet on refroidit le milieu reactionnel. On ajoute de l’acide acetique a 40 %, pouratteindre un pH ' 5 (pKa = 4, 8). On obtient A.3.a. Proposer un mecanisme.3.b. La reaction aurait-elle eu lieu si de la soude avait ete utilisee au lieu deNaEtO ?3.c. Si l’on utilise Na

(s) que se passe-t-il ?3.d. Quel est le role de l’acide acetique ?II) Autour de l’Iode1. Configuration de I sachant qu’il est dans la colonne 17 et dans la ligne 5.

2. Geometrie de IO�3

.

3. Degres d’oxydation de S dans SO2�3

.4. Titrage.[I�] = 0, 1M, V = 25mL, Eo(I

2

/I�) = 0, 60 V

[IO�3

] = 0, 1M, V = 25mL, Eo(IO�3

/I2

) = 1, 5 V

[S2

O2�3

] = 0, 1M, titrant, Eo(S4

O2�6

/S2

O2�3

) = 0, 09 VAcide fort a la concentration C, V = 20mLDeterminer C.5.A quelles conditions ce titrage est-il valide, coherent ?

Planche 75Devant un miroir parabolique de focale f , on place un dispositif opaque perce dedeux trous O

1

et O2

separes d’une distance d telle que d << f .Par ailleurs, une source ponctuelle est placee en S a une distance D du sommet,telle que f << D, ainsi, l’on pourra considerer que l’onde arrivant au miroir estplane.Montrer qu’il existe des interferences au voisinage de F . Donner l’interfrange.Application numerique : � = 0.65 nm, D = 7.0 m , d = 16.5 cm.Quelles sont les di↵erentes fonctions du miroir ?On remplace les trous par des fentes, la source par une fente source infinimentfine.Le systeme d’interference est-il modifie ?On remplace la source par deux fentes sources sans relation de phase. On les ecarted’une distance a telle que ⇠ = a

D<< 1. Calculer l’eclairement puis le contraste.

Pour quelles valeurs de ⇠ le contraste est-il nul ?

Concours Commun Centrale-Supelec � PSI

Planche 76 Avec MapleI) Chimie : oxydoreduction de l’indiumLe diagramme E-pH, sur l’ordinateur, est representeci-contre. On pouvait pointer sur n’importe quelpoint pour avoir ses coordonnees, et cliquer surles courbes pour avoir leur equation. Donnees :E

0

(In3

+ /In+ ) = �0, 44 V ; E0

(In+/In) = �0, 13 VMontrer que In+ est instable par oxydoreduction.Calculer E

0

pour In3+/In.Identifier les especes sur le diagramme E-pH.

E(V )

pH

0 2 4 6 8 10 12

4,67

0,8 �

0,5 �

0,2

-0,1

-0,4

-0,7

-1,0

�

�

�

�

� � � � � � �

Exploiter le diagramme pour determiner la concentration de trace, ainsi que leproduit de solubilite de l’hydroxyde.L’indium peut-il etre corrode par l’eau ? Ecrire les di↵erentes equations.On voit sur le diagramme que les domaines entre H

2

O et In sont assez proches.Consequence cinetique ?II) Aerostat. Donnees : masse molaire de l’air et du dihydrogene ; p

0

= 1 bar etT0

= 300 K au sol ; masse m du systeme enveloppe + nacelle + passagers.L’enveloppe de l’aerostat contient du dihydrogene. L’aerostat est equipe d’unsysteme qui maintient la pression dans l’enveloppe a la pression exterieure.Au debut, un lest m0 est ajoutee dans la nacelle. E↵ectuer le bilan des forces eten deduire la valeur de m0 necessaire pour maintenir l’aerostat au sol.Modele de l’atmosphere isotherme : determiner la pression et la masse volumiquede l’air, en introduisant une hauteur H.Determiner Z

max

, hauteur maximale que l’aerostat peut atteindre sans lest.Atmosphere polytropique : on a T (z) = T

0

(1 � az) ; quelle valeur choisir poura ? Trouver la pression puis la masse volumique ; montrer que p = p

0

(1 � az)b et⇢ = ⇢

0

(1 � az)b�1, en exprimant b et ⇢0

a partir des donnees de l’enonce.

Planche 77 Avec MapleEcoulement autour d’un cylindre. Donnees : sur Maple, il su�sait de taper surhhentree ii pour visualiser l’allure des champs de vitesse aux questions 3 et 5 ou 6 ;on donne le laplacien scalaire en coordonnees cylindriques :

�f = 1r@@r

✓r@f

@r

◆+ 1

r2@2f

@✓2+@2f

@z2=@2f

@r2+ 1

r@f

@r+ 1

r2@2f

@✓2+@2f

@z2

Loin d’un cylindre allonge d’axe Oz et de rayon R, l’ecoulement d’un fluideincompressible, perpendiculaire a l’axe du cylindre, est uniforme : ~v = v

0

~ex.On veut etudier lecoulement du fluide, de masse volumique ⇢, autour du cylindre.Il s’etablit, pour le regime permanent, un ecoulement potentiel. Un point M dufluide est repere par ses coordonnees cylindriques (r, ✓, z).

On cherche d’abord un ecoulement de potentiel � = r�A + B

r2

�cos ✓.

1. Quelle equation le potentiel des vitesses doit-il verifier ?On suppose dans la suite que cette equation est bien verifiee.2. Montrer qu’il existe (r, ✓) tel que v = �!rot ( ~ez) ; on s’interesse a l’etude deslignes de courant : quel est alors l’interet de ?3. Visualiser l’allure du champ des vitesses sur Maple ; determiner les constantesA et B, ainsi que le champ des vitesses.4. En deduire la pression a la surface du cylindre.Quelle est la resultante des forces de pression ?On met le cylindre en rotation autour de son axe

(�!⌦ = ⌦~ez) ; on a alors � = r

�A + B

r2

�cos ✓ + k✓,

ou A et B sont les constantes de la question 3.5. Determiner le champ des vitesses ~v du fluide aupoint M(r, ✓, z).˚6. Calculer la circulation C du champ de vitesse del’ecoulement, d’abord en fonction de k, puis en fonc-tion de R et ⌦¯.

7. Determiner, suivant le parametre � = kRv

0

, le nom-

bre de points de vitesse nulle et leur(s) position(s) dansun plan de section droite du cylindre.

Maple Profil 1

Maple Profil 2

Planche 78Diode a vide cylindrique : une diode est formee de deux electrodes cylindriquescoaxiales. L’anode est assimilee a un cylindre de rayon R

1

, qui comporte unfilament chau↵e, emettant des photons a vitesse nulle. Entre les parois regne unchamp electrique non uniforme qui accelere ces electrons. Cela cree une intensiteI, recueillie par la cathode (de rayon R

2

> R1

). On impose un potentiel nul pourl’anode et un potentiel U > 0 pour la cathode. Entre les deux cylindres regne unedensite volumique de charge ⇢(r) negative. Modeliser le systeme simplement.Trouver une equation reliant I, ⇢(r), v(r) et r la distance au fil.Trouver une equation reliant v(r) et V (r).Trouver une equation reliant V (r) et ⇢(r).

Laplacien d’un champ V a symetrie cylindrique : �V = 1r

ddr

�r

dV (r)

dr

�

Etablir l’equation aux derivees partielles verifiee par V (r).On ne cherche que les solutions de la forme V (r) = Krp, avec K et p fixes ;determiner K et p. En deduire la relation entre U et I.Donner un ordre de grandeur de I.

Planche 79I) On donne ci-contre le diagramme (S, T ) del’eau. On etudie un systeme dont le but est derecuperer du travail a travers une turbine.1. Par analogie avec le diagramme de Clapey-ron, situer les zones de la vapeur, du liquide,voire des deux. Placer le point critique.

D

T

S

C

A

B310

100

2. En utilisant la relation faisant intervenir H, determiner S(T, P ).Quelle est la forme des courbes isobares ?3. Rappeler l’expression du premier principe pour un systeme ouvert.Determiner hD et le rendement du systeme.4. On modifie ce cycle en rechau↵ant l’eau vapeur jusqu’a une temperature de500�C, suivant une isobare.Completer le diagramme (S, T ) et trouver le nouveau rendement.II) Chimie : chlorure de sodium1. Calculer la compacite de la structure cubique centree.2. Calculer la compacite de la structure cubique face centree.

3. On donne, pour le chlorure de sodium, le rapport r+

r�= 0, 55.

Calculer la compacite.4. De quel reseau se rapproche-t-il le plus ? Expliquer pourquoi.5. On e↵ectue une electrolyse qui produit du dichlore et du dioxygene.Calculer le potentiel standard apparent a pH = 14 du couple O

2

/H2

O.Expliquer l’apparition de dichlore a l’anode a l’aide de courbe intensite-potentiel.

Planche 80

Caracterisation d’une resistance negative :1. Determiner la condition de stabilite dumontage, portant sur les resistances R

1

,R

2

, R01

et R02

, sachant que l’AO verifiel’equation differentielle :

⌧0

· dvsdt

+ vs = µ0

."

2. On considere maintenant l’AO ideal.Determiner la caracteristique ie = f(ve) du dipole AM de droite :- en regime lineaire. Quel type de dipole a-t-on ?- en saturation haute.- en saturation basse.Tracer cette caracteristique.3. Determiner la caracteristique ie = f(ve) du dipole AM de gauche, en regimestatique (e = E constante).La tracer sur le graphe precedent en distinguant les cas selon la stabilite.Comment evolue le nombre de points de fonctionnement avec e ?4. Tracer l’allure de l’oscillogramme XY , avec X = ve et Y = r.ie, ou r est lavaleur d’une resistance, lorsque on fait varier la tension (e) periodiquement etlentement.


Planche 81Dynamo de bicyclette : une bobine plane d’axe ~y, de N spires de rayon a, possedeune resistance interne r, un coe�cient d’auto-induction L et est reliee a uneresistance R modelisant la lampe. Un aimant permanent assimile a un dipolemagnetique ~M. = Id ~S tourne autour de l’axe (O, ~x) a une vitesse ! constante.1. Calculer le flux �~B

du champ magnetique cree par la bobine a travers la surface

equivalente du dipole magnetique ~M .En deduire le flux magnetique �M cree par l’aimant permanent a travers labobine. Exprimer le resultat en fonction de µ

0

, N , M , a, ! et du temps t.2. Donner l’equation di↵erentielle verifiee par i(t). Dans le cas d’un regimesinusoıdal force, exprimer i(t) sous la forme i(t) = I cos(!t + ).Donner l’expression de I et .3. Calculer UR,1 = lim

!!1UR ou UR est la tension aux bornes de la resistance R.

4. Exprimer la puissance instantanee recue par la resistance R.Calculer alors la puissance moyenne electrique recue par la lampe hpeleci.5. Rappeler l’expression du couple cree par sur un aimant permanent par unchamp magnetique ~B permanent (on suppose que c’est le cas ici).

Calculer le couple ~Cm a appliquer pour conserver une vitesse ! constante.En deduire la puissance hpmecai.6. Definir et exprimer le rendement de la dynamo.7. Applications numeriques : on donnait la vitesse du velo en km/h, des donneesgeometriques et la puissance necessaire a la lampe pour s’allumer et il fallait faireplein d’applications numeriques (dixit le candidat).

Planche 82I) Electromagnetisme : on etudie le mouvement d’un electron M de masse m etde charge �e autour d’un noyau O de charge Ze et suppose fixe. On suppose que

le noyau exerce une force de rappel de la forme ~f = �m!2

0

��!OM sur l’electron.

1. Afin de justifier ce modele de la force de rappel, on considere que l’electronevolue dans une sphere de rayon R, representant le noyau et etant chargeeuniformement.Exprimer le champ electrostatique ~E en M (OM = r < R), et en deduirel’expression de la force exercee sur l’electron.

Justifier alors la forme de la force ~f = �m!2

0

��!OM ; exprimer !

0

.Pour l’atome d’hydrogene, on donne R = 100 pm, calculer !

0

et la frequencecorrespondante.

A quelle domaine d’onde electromagnetique appartient cette frequence ?

2. On prend maintenant en compte un frottement visqueux de la forme ~f = �m↵~vainsi qu’un champ electrostatique exterieur ~E = ~E

0

cos(!t).

A quelle condition peut-on negliger l’influence du champ magnetique dans la forcede Lorentz ?

Donner l’equation di↵erentielle verifiee par��!OM .

Exprimer la grandeur complexe��!OM puis ~p = �e

��!OM . Que vaut le dephasage de

~p par rapport a ~E dans les cas ! << !0

, !0

<< ! et ! = !0

?3. Comment expliquer que dans le cas de l’atmosphere, la couleur bleue soitpreponderante ?II) Lixiviation du cuivre : on etudie un procede de lixivation du cuivre.Un exemple de reaction est le suivant :

CuOs

+ H2

SO4

! Cu2+ + SO2�4

+ H2

O1. Un procede similaire permet d’obtenir a partir de Cu

2

S les memes produits ;pour cela il faut egalement apporter du dioxygene comme reactif oxydant.Ecrire l’equation - bilan de cette lixiviation, et identifier les di↵erents couplesoxydant/reducteur.Expliquer quelle est l’influence d’un changement de pression sur l’equilibre de lareaction.2. On fait une electrolyse de la solution obtenue de sulfate de cuivre a l’aide d’uneanode de plomb et d’une cathode d’acier.Ou se forme le cuivre solide ?Quelle reaction a lieu a l’autre electrode ?On donne la surtension anodique ⌘A = 0, 05 V, la surtension cathodique⌘C = 0, 5 V ainsi que la chute ohmique qui vaut 0, 5 V. Representer, en la justifi-ant, l’allure du diagramme intensite-potentiel de cette electrolyse.Applications numeriques : on donne l’intensite du courant surfacique I = 105 A.Calculer la tension a appliquer. Combien de temps faut-il pour produire une tonnede cuivre ?

Concours Commun Mines-Ponts � MP

Planche 83I) Resistivite d’un barreau metallique : un barreau metallique de longueurL = 1 cm, de section rectangulaire l ⇥ e avec l = 1 mm, e = 10�6 m, est placedans un cryostat d’helium gazeux de temperature Te.On note Ox l’axe du barreau, O etant situe au milieu.On fait circuler un courant I = 0, 1 A et, a T = 100 K, on a une di↵erence de

potentiel de U = 10�3 V ; T�� L

2

�= T

�L2

�= Te.

1. Calculer la resistivite du barreau a T = 100 K.2. On modelise la puissance surfacique dissipee par convection par � = h(T �Te) ;en faisant un bilan sur une portion adaptee et en considerant que T ne dependque de x, determiner T (x).3. Determiner l’elevation maximale de la temperature dans le barreau.II) Une spire de surface totale S, de resistanceR, d’inductance L, de vecteur normal ~n, tourneautour de l’axe (Oz) a une pulsation !. Il regne

un champ ~B uniforme, de module constant, quitourne autour du meme axe a une pulsation!0

, avec un dephasage de �.1. Determiner le courant i(t) circulant dans laspire apres la fin du regime transitoire.Exprimer I

e↵

et le dephasage du courant parrapport a la f.e.m. creee.Quelle est la signification physique de I

e↵

?2. Calculer le couple instantane � et le couplemoyen C exerces par le champ sur la spire.

AB

xi

!0

�+t

!t

y

n~

Planche 84I) Cours : forces centrales, etats lies, libres, etc.II) Un cylindre vertical calorifuge, sauf sur son disque inferieur, est rempli d’airde z = 0 a z = L et d’un echantillon de z = 0 a z = �Le.On ne considere que des echanges par conduction.Un laser de pulsation ! est envoye sur le cylindre, recouvert d’une plaquetransparente au rayonnement. Ce dernier chau↵e l’echantillon.La face inferieure du cylindre est a temperature fixee T

0

.Toutes les temperatures et flux sont continus.On donne, pour l’air :conductivite thermique �a = 0, 0234W.m�1.K�1

capacite massique Cp air

= 1005 J.kg�1.K�1

masse volumique ⇢a = 1, 2 kg.m�3.On dispose des memes donnees pour l’echantillon, notees �e, Cp ech

et ⇢e.1. Rappeler la loi de Fourier puis etablir l’equation de la temperature dans l’air.2. Resoudre cette equation dans le cas stationnaire.Sachant que la paroi superieure du cylindre est adiabatique, montrer que latemperature est uniforme dans l’air.3. Le laser chau↵e par une intensite volumique I(z) = I

0

exp(az) ou a est lecoe�cient d’absorption de l’echantillon.Calculer la puissance moyenne sur une tranche entre z et z + dz.Pourquoi etudie-t-on une puissance moyenne et non instantanee ?

4. Etablir l’equation de la temperature dans l’echantillon et donner la formegenerale des solutions dans le cas stationnaire.

5. Ecrire la continuite de la temperature et de j a l’interface z = 0.6. Donner l’expression de la temperature de l’echantillon en regime stationnaire ;on postule que a.Le >> 1.7. Donner l’expression de la temperature dans l’air.Peut-on faire une mesure d’absorption en regime stationnaire ?III) Une masse est accrochee au barycentre d’un triangle equilateral et rattacheeaux 3 sommets par 3 ressorts identiques.

On la lache en un point M0

proche du centre. Etudier le mouvement.

Planche 85

I) Un pendule porte en P une masse m.Il est fixe en O (liaison pivot parfait) etsa longueur OP varie en raison de l’action(colineaire a OL) d’un operateur en L,suivant la loi OP = r = a cos ✓.Le fil est de masse negligeable.1. Quelle equation di↵erentielle verifie ✓ ?2. La resoudre en posant u(✓) = ✓2.3. Pour quelle valeur critique ! de ✓

0

leregime du mouvement change-t-il suivantque ✓

0

> ! ou ✓0

6 ! ?.

.mg~

F~

.

A

L

C

P

z

O

✓

a(+ )

x

r a= cos✓

II) La petite boule est de masse m.La planche glisse sans frottements surle sol et les contacts boule/boule etboule/planche sont en roulement sansglissement.Determiner la force ~F a exercer pourmaintenir l’equilibre des deux boules.

.

F~M

Rr. ↵�

µ m

Planche 86I) Un condensateur cylindrique est compose de deux cylindres d’axe Oz, l’un derayon a, comportant une charge +q, l’autre de rayon b > a, de charge �q.

On impose un champ magnetique constant ~B = B~ez .1. Le condensateur se decharge, les deux cylindres etant relies par un fil conducteurrigide ; calculer le moment cinetique ~�

1

transmis au condensateur.

2. Il n’y a plus de fil entre les deux cylindres. On enleve le champ ~B.Calculer le moment cinetique ~�

2

transmis au condensateur.II) Un point materiel M de masse m se deplace sur un plateau Oxy, tournant

autour de l’axe Oz, a la vitesse angulaire ~⌦ = ⌦~ez , avec ⌦ =

qkm ·

Le point est soumis a la force de rappel �k��!OM .

Quelles sont les trajectoires de M dans les deux referentiels (celui tournant etcelui du laboratoire, suppose galileen) ?

Planche 87

I) On fait rouler la planche P sur le plan inclinemuni de petits cylindres, tous de rayon r, quitournent sans frottement autour de leur axe.On suppose L tres superieure a d.En e↵ectuant des hypotheses de frottementsadaptes au probleme, decrire l’evolution de laplanche initialement au repos et determiner v,la vitesse limite de la planche.

. . . . . . .d

r

L

masse M

↵

II) Dans un cylindre rempli de plasma, regne un courant volumique ~j. On se placeen regime stationnaire, on admet que sa temperature est uniforme et on note n(r)le nombre de particules par unite de volume en un point situe a une distance rde l’axe.1. Traduire la condition d’equilibre du plasma.2. Calculer p(r), pression a la distance r de l’axe.

3. Calculer ~B(r).4. Calculer n(r) puis N le nombre total de particules par unite de longueur de lacolonne de plasma.5. Calculer I, l’intensite du courant qui traverse la colonne de plasma, et fairel’application numerique.


Planche 88I) On considere deux spires, dont l’une (spire 1) est fixe et parcourue par uncourant i

1

(t) = I0

cos(!t), et l’autre (spire 2) est mobile sans frottements.On suppose que le mouvement de la spire 2 est quasi-statique.On note M le coe�cient de mutuelle inductance.1. Determiner < F

1!2

>.2. Quel travail W

op

doit fournir l’operateur pour amener la spire 2 de z0

jusqu’al’infini, le mouvement etant quasi-statique ?

II) On considere une force centrale ~F = � k

r4~er.

Determiner l’energie potentielle e↵ective et discuter des di↵erents mouvementspossibles en fonction de la valeur de l’energie mecanique.

Planche 89I) Thermodynamique : detente de Joule-Gay-Lussac avec un gaz de Van DerWaals.

On donne une expression de l’energie interne de ce gaz : U = TcV � an2

V·

On detend un gaz de Van der Waals d’un volume V0

a un volume 2V0

.Donner l’expression de la temperature finale et la variation d’entropie.II) Mecanique du solide : sur un sol horizontal, on pose une boule sans vitesseinitiale mais avec une vitesse de rotation initiale, le vecteur vitesse de rotationetant parallele au sol.Connaissant le moment d’inertie de cette boule selon n’importe quel axe, donnerl’expression de la vitesse de rotation et de la vitesse du centre d’inertie en fonctiondu temps.

Planche 90

I) Pour le systeme d’eclairement par tubefluorescent TL represente ci-contre, on donneu(t) = 325 cos(!t) et i(t) = 0, 44 cos(!t�0, 93).Quelle est la puissance moyenne d’un systemed’eclairement TL ?Pourquoi 325 dans la formule de u(t) ? u(t)

i(t)

Pour le montage ci-contre, calculer la valeur deC pour qu’il y ait un dephasage de 90� entreles intensites des deux branches.Quel est l’interet de cette operation ?

II) On choisit un repere (Oxyz) direct ou ~uy

est dirige vers le bas.On envoie une onde ~E = E(y) cos(!t � kz)~ux

dans le vide, entre deux plans horizontaux par-alleles, de largeur L, parfaitement conducteurs,l’un en y = 0, l’autre en y = d.Determiner E et B.

u(t)

C

Planche 91I) Cours : mouvement dans le champ de pesanteur avec frottement de l’air.II) Un volume V est constitue d’un melange d’une masse ms d’air sec, d’unemasse mv de vapeur d’eau et d’une masse ml d’eau liquide, avec ml << ms etmv << ms. On note P la pression totale, Pa la pression atmospherique et Ps lapression de vapeur saturante de l’eau a la temperature T .1. Montrer que l’on peut ecrire dH = mscpdT + Lvdmv .2. Exprimer dS.

3. On rappelle la relation de Clapeyron : Lv = T (Uv � Ul)dPs

dt.

Etablir l’equation di↵erentielle verifiee par Ps.4. On considere que Lv ne depend pas de T ; en deduire l’expression de Ps enprenant sa valeur a 100�C pour le calcul des constantes d’integration.5. Exprimer Ps en fonction de P et en deduire une expression de mv en fonctionde P et T .

6. Calculer @T@P

pour une transformation adiabatique reversible de ce melange et

comparer sa valeur a celle obtenue pour l’air sec seul.

Planche 92I) Deux cylindres coaxiaux de hauteur H sont separes par un conducteur deconductivite �. Un courant passe d’un cylindre a l’autre, ~j etant radial et nedependant que de r ; donner la resistance.On suppose que les electrons subissent, dans la partie conductrice intermediaire,une force de frottement fluide ; on suppose connue la densite d’electrons ;determiner la conductivite.On applique un champ magnetique uniforme selon l’axe de revolution des cylin-dres. ~E est toujours radial, mais plus ~j, qui fait un angle avec ~E.Determiner la nouvelle conductivite et interpreter le terme correctif.II) On considere la Terre comme un conducteur thermique.On s’interesse a une onde thermique plane se propageant selon la verticale ;demontrer l’equation de di↵usion.On a D = 10�7m2.s�1 ; donner la distance caracteristique de penetration.Resoudre l’equation quand on impose a la surface T (t) = T

0

+ ✓ cos(!t).

Planche 93I) Un chariot de masse M peut glisser sans frottement sur un support horizontal.En son centre de gravite O est fixee une tige verticale sans masse, au sommet Ade laquelle est accroche un pendule constitue d’une barre de masse m.

A t = 0, O est en x = 0 et le pendule fait un angle ✓ = ✓0

non nul avec la tigeverticale. On se place dans l’approximation des petits angles.1. Trouver ✓(t) et x(t).2. Le chariot est maintenu immobile jusqu’a ce que ✓ atteigne ✓ = 0 pour lapremiere fois ; il est alors relache ; trouver ✓(t) et x(t).II) Un tube en verre d’indice n, de rayon interieur R

1

et de rayon exterieur R2

est rempli de mercure (thermometre).

Calculer le rapportR

1

R2

au dela duquel un observateur aura l’impression que le

tube (y compris la partie en verre) est rempli de mercure.

Planche 94I) Un plateau circulaire de rayon R tourne a vitesse angulaire constante ⌦ autourd’un axe fixe vertical. Il comporte une rainure radiale sur laquelle on pose unpalais M de masse m, qui peut glisser sans frotter.On associe au plateau le repere R(O, x, y, z) tel que (Ox) soit parallele a la rainure.On fixe un ressort de raideur k et de longueur a vide l

0

en O, centre du plateau,et on le relie au palais.1. Etudier le mouvement en fonction de ⌦ (etude complete) et faire une in-terpretation physique dans chaque cas.On supprime maintenant le ressort.2. Determiner la loi horaire x(t) et la reaction de la rainure sur le palais, ensupposant qu’on abandonne, a t = 0, le palais en x

0

sans vitesse initiale.3. Determiner l’instant ou le palais quitte le plateau ; faire une application

numerique pour une vitesse angulaire d’un tour par minute et x0

= R4

·II) Le dispositif ci-contre sert a observer uneetoile qui emet une onde de frequence f et delongueur d’onde �.Les deux telescopes fixent la meme direction,d’angle ↵ avec la ligne qui les relie et sontdistants de D.1. Determiner, a un facteur multiplicatif pres,I(↵, D, �).2. Determiner la periode de I en supposant�↵ voisin de ⇡

2, �� = 10 cm, D = 50 m et

d↵dt

= 5.10�5 rad.s�1.

Decrire le phenomene mis en evidence ; est-ilperceptible a l’œil nu ? Que faudrait-il pourqu’il le soit, si ce n’est pas le cas ?

↵ ↵

s (t)1

s (t)2

s (t)2

s (t)1

+ = s(t)

I(t) s (t)2< >=

3. En realite, on observe une etoile double de direction ↵ et ↵ + ", avec " << 1 ;comment trouver " en mesurant I(t) ?

Planche 95I) Une barre de masse m, longueur l, resistanceR

2

, roule sans frottement sur deux rails courbes(rayon de courbure a) ecartes d’une distance l,relies a une resistance R

1

. La position de labarre est reperee par l’angle ✓.Le champ magnetique est vertical, selon ~uz .Etablir une equation di↵erentielle en ✓(t) et la

resoudre pour ✓(0) = ✓0

et d✓dt

= 0.

Distinguer selon ~B.

AB✓

R1

II) Une source monochromatique � est placeeau foyer objet d’une lentille. Derriere, se trouveun bloc de verre d’indice n. Que se passe-t-il ?Determiner la zone d’interference.Faire l’etude de la figure d’eclairement en fonc-tion des parametres su systeme.Cette experience est-elle facilement realisable ?

↵

S(n)

(L)

Quelle est la tolerance a un defaut de planitude du bloc de verre ?

Planche 96

I) 1. Pour le circuit represente ci-contre, don-ner la relation de recurrence entre Un�1

, Un

et Un+1

.2. On cherche Un sous la forme Un = knU

0

;determiner | k | et k dans le cas ou RC! << 1et donner la signification physique du resultat.

C

R

CC

R R

Un�1

Un Un+1

a

3. On fait tendre a vers 0 et on pose Un = U(x, t) ; introduire des parametreslineiques et determiner une equation aux derivees partielles verifiee par U(x, t).Comment appelle-t-on ce type d’equation ?Comment modifier les dipoles du circuit pour obtenir une equation de d’Alembert ?II) Cours : di↵raction de Fraunhofer.

Planche 97I) Un petit aimant de masse m, assimile a un dipole magnetique de moment ~M ,glisse sans frottement dans un tube fin en verre, place dans un tube plus grand derayon r. Sur le tube exterieur, se trouve un grand ensemble de spires circulairesespacees de h << r.Il regne un champ de pesanteur ~g.Au bout d’un temps relativement court, l’aimant atteint une vitesse limite v

0

quel’on calculera.On donne le potentiel vecteur cree par le dipole magnetique en un point P situe

a une distance d : ~A =µ0

4⇡d2( ~M ^ ~er) ou ~er est le vecteur unitaire radial.

II) Deux points materiels de masse m glissent parfaitement le long d’un cerceaude masse M et de rayon R.Ils se trouvent initialement a l’aplomb de la verticale et on leur donne une petitepichenette : l’un glisse sur la gauche, l’autre sur la droite.Calculer la valeur minimale de m

Mpour que le cerceau decolle du sol.

Planche 98I) Cours : di↵raction par un reseau plan ; determiner les directions pour lesquellesl’intensite est maximale ; comment obtient-on l’expression de l’intensite sortante ?II) Un materiau de conductivite �, de masse volumique µ, de capacite thermiqueC, est compris entre les plans x = 0 et x = L. Il est infini suivant y et z.1. Determiner l’equation verifiee par T (x, t).2. On suppose qu’en x = 0, T (0, t) = T

0

cos(!t) ; determiner T (x, t) (on pourrachercher des solutions de la forme T (x, t) = T

0

(x)ej!t).3. On a maintenant un signal en creneau en x = 0 ; determiner l’expression deT (x, t). On donne la decomposition en serie de Fourier d’un creneau :

S(t) = 4a⇡

+1X

k=0

12n + 1

sin�(2n + 1)!

0

t�

avec !0

= 2⇡T0

·


Planche 99I) Cours : relation de structure, dans le vide, de l’onde plane polarisee monochro-matique ; expression du vecteur de Poynting.II) Une spire de rayon R, horizontale, centree sur l’axe Oz est parcourue par uncourant I(t). On place une seconde spire parallele, de rayon a << R, centree surOz, a une hauteur h au dessus de la premiere.1. Donner le champ cree par la premiere spire sur l’axe.2. Montrer qu’il existe une composante radiale du champ magnetique et ladeterminer.3. Determiner l’inductance mutuelle M .

Planche 100I) Un fil, modelise par un cylindre infini, est parcouru par un vecteur densite ~j.1. Donner une expression vectorielle du champ magnetique a l’interieur du

cylindre, en fonction notamment de��!OM , O etant le projete du point M sur

l’axe du cylindre.2. En deduire le champ a l’interieur et a l’exterieur d’un cylindre de rayon a,

charge en surface, vecteur densite surfacique verifiant��~jS

�� =

��I cos

2⇡a

�� (on

pourra considerer deux cylindres charges en volume, de vecteurs densite opposeset d’axes decales de ").3. Donner l’energie totale contenue dans le cylindre.II) Une barre homogene de masse m est posee sur deux roues identiques R

1

etR

2

, espacees de a.La vitesse de rotation des roues assure a tout moment le glissement avec la barre.Donner l’evolution de l’abscisse de x du centre de gravite de la barre dans lesdeux cas suivants :- R

1

tourne dans le sens horaire et R2

dans le sens anti-horaire.- R

1

et R2

tournent dans le sens horaire.

Planche 101I) Une poulie de masse M et de rayon R est attachee en son centre au plafondpar un ressort de raideur k et longueur a vide l

0

.Un fil inextensible de masse nulle passe sur la poulie ; il est relie au sol d’un coteet de l’autre lui est accrochee une masse m.Donner l’equation di↵erentielle verifiee par l’ordonnee du centre de la poulie.Quelle est la periode des oscillations ?II) Un condensateur cylindrique de hauteur h, de rayon interieur R

1

, de rayonexterieur R

2

contient, entre ses deux armatures, du vide possedant une faibleconductivite �. On negligera les e↵ets de bords. Initialement, l’armature interieurepossede une charge Q et l’armature exterieure une charge nulle.1. Decrire qualitativement les etats initial et final du condensateur.2. Donner une equation di↵erentielle verifiee par ~E en fonction du temps et endeduire l’expression de ~E et ~B.3. Determiner Q

int

(t) et commenter.4. Quelle est la variation d’energie entre les etats initial et final ?Commenter le signe de cette variation.5. Que peut-on dire du vecteur de Poynting ? De la puissance rayonnee ?

Planche 102I) Cours : optique geometrique, definitions, formules de conjugaison ; expliquerpourquoi la distance entre l’objet et l’image est inferieure a 4f 0 ; exprimer legrandissement dans le cas d’egalite.II) Une echelle est appuyee contre un mur ; il n’y a pas de frottement sur le mur,mais il y a un coe�cient de frottement f contre le sol.1. A quelle condition sur l’angle que fait l’echelle avec le mur, pourra-t-on monterjusqu’en haut sans qu’elle ne glisse ?2. L’echelle glisse lorsque l’utilisateur arrive a mi-hauteur ; montrer qu’elle nereste pas en contact avec le mur tout au long de la chute.

Planche 103I) Une onde se propage dans le vide et on donne ~E =

E

0

E00

iE0

!exp�i(ky � !t)

�.

1. Montrer que E00

est nul.2. Determiner la polarisation de l’onde.3. Determiner le champ ~B associe.4. On choisit E

0

= 103 V.m�1 ; calculer l’energie volumique moyenne et lapuissance rayonnee a travers une surface d’un metre carre.II) Sur une tole ondulee d’equation y = A cos(kx), on pose un point materiel.On suppose que le contact point/tole suit la loi de coulomb avec un coe�cient defrottement f .1. Determiner les positions d’equilibre.2. On communique au point materiel, situe en x = 0, une vitesse ~v

0

dirigee selonOx. Determiner le creux de la tole dans lequel le point s’arrete.

Planche 104I) 1. Determiner le champ cree en un point M du plan xOy par un fil semi-infini,oriente selon l’axe Oz, d’extremite z

0

< 0 et de densite lineique de charge �.2. Resolution d’un paradoxe : un fil infini, en translation selon l’axe Oz a la vitessev, est parcouru par un courant I = �v. A l’instant t = 0, on coupe le courant encreant une ouverture et ce jusqu’a l’instant t = "

v ·Lorsque " tend vers 0, on se retrouve dans la configuration d’un fil infini ou, a toutinstant, le flux du champ ~B a travers un disque d’axe Oz vaut µ

0

I ; pourtant,pour t 2 [0, "v ], le courant est nul. Que proposer pour resoudre ce paradoxe ?

II) Un cylindre 1 roule sans glisser sur un cylindre 2 fixe.1. Calculer le vecteur rotation instantanee du cylindre 1.2. Determiner son energie cinetique.3. A partir de quel moment le cylindre 1 et le cylindre 2 ne sont-ils plus encontact ?

Planche 105On considere deux spires paralleles, d’axe Ox (horizontal), de rayon a, placeesen x = a et x = �a, parcourues par des courants opposes, (+I pour la spire degauche, �I pour la spire de droite).1. Calculer le champ sur l’axe au voisinage de x = 0.2. Montrer qu’au voisinage de l’axe, il existe une composante radiale du champ~B, cree par les deux spires, et la calculer.3. On place, entre les spires, un pendule forme par un anneau conducteur deresistance r, de masse m, en oscillation autour de x = 0. On note ✓ l’angle formepar le pendule avec la verticale Oz. Etablir l’equation di↵erentielle verifiee par ✓.

Planche 106I) Une tige de longueur l est placee sur deux rails de Laplace paralleles, reliesa un condensateur dont l’armature superieure possede une charge q(t) verifiant

q(0) = Q > 0. Le systeme est soumis a un champ magnetique ~B permanent,orthogonal au plan contenant le circuit. Determiner le mouvement de la barre.II) On considere une lentille L de distance focale f 0 = 20 cm.On observe sur un ecran, place a 60 cm de la lentille, les images de deux points.Celles-ci sont distantes de 2 mm. Ou sont situes les deux points, et quelle distanceles separe ? Quel est le grandissement du systeme ?

Etudier le dispositif des fentes d’Young avec une lentille verifiant les conditionsprecedentes.

Concours Commun Mines-Ponts � PC

Planche 107I) On donne deux dipoles oscillants identiques, en phase, symetriques par rapporta (Oz) et orthogonaux au plan (xOy).

Calculer�!E en tout point M(x, y, z) de la zone d’emission.

Donner l’equation de dimension de la conductivite electrique �.II) Cours : la viscosite (on s’attachera plus aux experiences qu’aux calculs) ;donner les ordre de grandeur de la viscosite dynamique, de la distance Terre-Lune, de la taille d’un atome.

Planche 108I) Cours : les changements d’etats du corps pur.II) Une plaque percee de 4 trous circulaires disposes en carre est eclairee par unelumiere monochromatique ; on place une lentille et un ecran apres.Qu’observe-t-on sur l’ecran ?

Planche 109

I) Discuter de l’existence d’un champ magnetique tel que�!B = B(r)~er en

coordonnees cylindriques.Donner, en coordonnees cylindrique, les expression du gradient, de la divergence,du laplacien et du rotationnel.II) Un objet, de charge initiale nulle, emet des charges de facon isotopique, decharge �2e, a la vitesse v

0

~er et a un debit D constant.Determiner les champs electrique et magnetique.III) Dispositif de mesure experimentale de la frequence des ondes ultrasonores ;protocole ? Dispositif de determination des axes d’une lame neutre.IV) Cours : machines frigorifiques. Unite du potentiel vecteur en kg, m, s, A.

Planche 110I) Cours : spectroscopie par les reseaux, exemples, applications.Quel doit etre l’ordre de grandeur de la taille de l’objet di↵ractant pour qu’ilpuisse y avoir di↵raction ?Quel est l’interet de la dispersion angulaire ?Dans quel but calcule-t-on la deviation, et plus precisement le minimum dedeviation ?II) Un fil de charge surfacique �, cylindrique, considere comme infini, d’axe (Oz),est parcouru par une densite volumique de courant ~j = j~ez .

Montrer que ~E et ~B sont orthogonaux.On donne 2 fils, paralleles a (Oz), le premier (1) parcouru par un courant I

1

suivant +~ez et de densite lineique de charge �1

, le second (2) parcouru par uncourant I

2

suivant +~ez et de densite lineique de charge �2

.

Montrer que ~E et ~B sont orthogonaux sous certaines conditions.

Que dire si I1

�1

= �2

I2

(on pourra exprimer ~E en fonction de �1

et �2

et ~B enfonction de I

1

et I2

) ?Generaliser pour un nombre pair de fils.

Planche 111I) Une masse m, lachee d’une hauteur h

0

, subit les deux forces ~P = m~g et~F = �kv~ez ou v est la vitesse de la masse. L’axe (Oz) est ascendant.

Etudier le mouvement de la masse.Faire l’analyse dimensionnelle d’une conductivite ; trouver deux grandeurs physiquesdi↵erentes qui ont meme dimension.II) Dans le modele de l’electron elastiquement lie, il y a une force de rappel~F = �k~r ; trouver une methode permettant de calculer numeriquement k.III) Cours : les changement d’etat.Donner les ordres de grandeur du champ magnetique terrestre et de la taille d’unatome.

Planche 112I) Cours : enonce et demonstration du theoreme relatif a la poussee d’Archimede.II) Une corde horizontale est fixee en L et on impose une vibration de la formeAej!t en O, origine de l’axe (Ox).

Il en resulte une perturbation a+

0

qui se reflechit en L avec un coe�cient de

reflexion �R et donne naissance a l’onde a�0

qui se reflechit en O avec un

coe�cient de reflexion �R0

, donnant naissance a une onde a+

1

, etc.Determiner les lieux ou l’energie vibratoire (proportionnelle a aa⇤) se concentreet ou, au contraire, elle est faible.

Planche 113I) Cours : reseaux ; mesure de l’intensite maximale di↵ractee a l’infini.II) Un guide d’onde, oriente selon ~uz est un conducteur parfait.

On donne ~E = E0

(x, y)ei(!t�kz)~ux avec 0 < x < Lx et 0 < y < Ly .

1. Trouver l’equation d’onde, donner les conditions aux limites et en deduire ~E.2. Donner les vitesses de phase et de groupe.3. Calculer les densite surfaciques de charge et de courant.4. Determiner l’equivalent de l’equation de conservation de la charge en surfacique.


Planche 114I) Barre chargee dans un solenoıde.

On considere une barre chargee lineiquement, de charge lineique �, de longueur2a, que l’on place dans un solenoıde tres long, de rayon R. R > a.La barre peut tourner sans frottement autour de l’axe du solenoıde.1. Calculer le moment de la force par rapport a l’axe de symetrie du solenoıdelors de l’etablissement du courant i(t).2. Quelle est la vitesse de rotation de la barre lorsque i(t) = I = cte.II) Planetes et asteroıdes : un astre est considere comme etant une planete, si lahauteur de sa plus haute montagne ne depasse pas le centieme de son rayon.1. Hauteur d’une montagne.On empile des parpaings sur une certaine hauteur, jusqu’au moment ou le faitde rajouter un parpaing en haut de la pile implique l’e↵ondrement du premierparpaing pose. On a ainsi une hauteur H de parpaings.Montrer que H est fonction de g, la gravite a la surface de l’astre, et de Lf , lachaleur de fusion du parpaing.2. Comparaison : Terre, Lune, Vesta. On donne Lf (SiO

2

) = 220 J · kg�1.

Astre Terre Lune Vesta

Masse (kg) 5,9736.1024 7,3477.1022 2,7.1020

Rayon (km) 6371 1737 540

Planche 115I) Cours : pour chacune des configurations d’un interferometre de Michelson(coin d’air et lame d’air), rappeler les conditions d’eclairage, la localisation desinterferences, ainsi que la methode de projection.II) Un fluide se deplace de facon irrotationnelle et incompressible au dessus d’une

surface z(x) = a sin⇣

2⇡xL

⌘.

On suppose que quand z tend vers l’infini, ~v = v0

~ux. Trouver l’expression de ~v .

Planche 116 TP Chimie � Complexe du NickelCours : reducteurs en chimie organique

Le but du TP est de preparer un complexe de formule Ni(NH3

)nClp, et dedeterminer p et n.1. Preparation du complexeOn donne les masses molaires des principaux elements, ainsi que les masses,volumes et concentrations des reactifs :- ammoniac a 13 mol.L�1 ;- chlorure de nickel hexahydrate a 80 g.L�1 ;- 8 g de chlorure de nickel hexahydrate ;- acide chloridrique concentre ;- acide nitrique concentre ;- acide sulfurique ;- chlorure d’ammonium.a) Calculer les quantites de matiere.Manipulation : Peser environ exactement 3 g de chlorure de nickel hexahydratedans un becher de 50 mL. Dissoudre le solide avec quelques mL d’eau distillee.Preparer un bain glace, dans lequel on plonge un erlenmeyer contenant 20 mLd’ammoniac a 13 mol.L�1 et 5 mL de chlorure d’ammonium ; veiller a travaillersous la hotte du moment qu’il y a manipulation d’ammoniac a 13 mol.L�1.Verser le contenu du becher dans l’erlenmeyer. Laisser reposer 15 minutes.Filtrer le precipite violet sur Buchner (montage a realiser). Laver une premiere foisavec quelques mL d’ammoniac (toujours sous hotte). Puis laver avec de l’ethanol(quelques mL). Enfin laver avec de l’ether (quelques mL).Recuperer le solide, et le secher entre deux feuilles de papier filtre. Peser.b) Prevoir le rendement de la reaction.2. Dosage des ions Ni2+ par spectrophotometrieManipulation : Dissoudre 0, 1 g de complexe prepare dans 20 mL d’acide sulfu-rique. On donne les courbes d’absorbance en fonction de la longueur d’onde �pour une solution de Ni2+.c) Quel est le role de l’acide sulfurique ?d) En s’aidant de la courbe, determiner la longueur d’onde a laquelle il faut seplacer pour e↵ectuer le dosage (il s’agit de � = 720 nm).Est-ce coherent avec la couleur de la solution (verte) ?Manipulation : E↵ectuer le dosage, en n’oubliant pas de faire le blanc.

Utiliser la solution de chlorure de nickel hexahydrate a 80 g.L�1 comme reference.Noter les absorbances des di↵erentes solutions.e) Determiner la quantite de Ni2+ dans le complexe prepare.En deduire le pourcentage massique de Ni2+ dans le complexe prepare.3. Dosage des ions Cl� par AgNO

3

Manipulation : Dissoudre 0.1 g de complexe dans 20 mL d’acide nitrique.

Faire le montage d’un dosage potentiometrique. Titrer par AgNO3

a 0,1 M.Faire les mesures tous les 0,2 mL. Determiner le volume equivalent.f) Calculer la quantite de Cl� dans le complexe prepare.

En deduire le pourcentage massique de Cl� dans le complexe prepare.g) Le complexe est-il neutre ? Determiner p.4. Dosage de NH

3

par HClManipulation : Dissoudre 0,5 g de complexe prepare dans 100 mL d’eau distillee(preparer la solution dans un fiole jaugee de 100 mL).Prelever 20 mL, et realiser un titrage par HCl. Determiner le volume equivalent.h) Calculer la quantite de NH

3

dans le complexe prepare.En deduire le pourcentage massique de NH

3

dans le complexe prepare, ainsi quel’indice n.i) Conclure qu’en a la formule du complexe, et du rendement de la reaction.Resultat : le complexe forme est le chlorure d’hexamine nickel (II), Ni(NH

3

)6

Cl2

.

Concours Commun Mines-Ponts � PSI

Planche 117I) Cours : approximation des regimes quasi-permanents ; application a l’e↵et depeau dans un conducteur ; modele du conducteur parfait.II) Mouvement d’une comete : on s’interesseau mouvement d’une comete autour du Soleil.Sa vitesse, a l’apogee de sa trajectoire, vautdeux fois celle de la Terre.On utilise les coordonnees cylindriques.

1. Montrer que r(✓) =p

1 + e cos(✓), en expri-

mant p et e en fonction des donnees.2. Donner la vitesse de la comete au pointd’intersection I. Quel angle fait la vitesse~vC(I) avec le vecteur vitesse de la Terre ?3. Determiner l’energie mecanique.

R 2

R

STerre

I

Planche 118Le schema ci-contre modelise une por-tion de longueur dx d’un cable coaxial.g est la conductance lineique. Etudierla propagation d’une onde dans le cablecoaxial. Pour cela, on etablira des equa-tions di↵erentielles en u et en i.

u(x,t)

i(x,t)

u(x+dx, t)

rdx

gdx�dx

i(x+dx, t)dx�

Planche 119I) Une pompe a chaleur est en contact avec l’atmosphere a la temperature de280 K et 1000 kg d’eau de capacite calorifique c = 4.8 J.g�1 a la temperature de300 K.On chau↵e l’eau jusqu’a 380 K (qui ne se comporte pas comme un thermostat).1. Calculer le travail recu lors de la transformation.2. Calculer le rendement.

II) le circuit de longueur L ci-contrerepresente un cable d’imprimante.1. Etablir l’equation di↵erentielle verifieepar U .

I(x+dx, t)U(x,t)

I(x,t)

U(x+dx, t)

2. Un dispositif permet d’assurer U(x, 0) = E, constant pour tout x et U(0, t) = 0pour tout t ; on pose O(x, t) = U(x, t) � E.Justifier que O verifie la meme equation di↵erentielle que U .3. Calculer O(0, t) et O(x, 0) ; montrer que des solutions de la forme O(x, t) = f(x)g(t)existent et preciser leur forme.Le jet d’encre d’imprimante impose I(L, t) = 0 pour tout t.4. Simplifier au maximum f et g ; en deduire O(x, t).

5. On cherche maintenant O sous la forme

+1X

n=0

Bn sin(2n + 1)x

2Lexp(� t

⌧n) ;

calculer Bn et ⌧n.

Planche 120I) Cours : conversion de puissance.II) Un wagonnet de masse m

0

avance horizontalement et sans frottement a lavitesse initiale v

0

. Soudain, il se met a pleuvoir avec un debit massique constantD sur le wagonnet, qui se remplit progressivement d’eau.La vitesse du wagonnet va-t-elle etre modifiee ? Si oui, de quelle maniere ?

Planche 121I) Un fil electrique est constitue d’un cylindre en cuivre de rayon r

1

, de longueurh, de conductivite thermique �

1

, de densite volumique de courant j constante.Un deuxieme cylindre, coaxial au premier, est de rayon r

2

> r1

, isolant et infinien longueur (pour negliger les e↵ets de bords), de conductivite thermique �

2

. Lasurface du fil electrique est a la temperature T

2

.Partie 1 : le conducteur1. Trouver sa resistance et determiner la puissance par e↵et Joule dans tout leconducteur.2. Determiner la puissance volumique et en deduire la puissance P (r) dans uncylindre de rayon r.3. Exprimer la densite de courant thermique.4. Donner la loi T (r) sachant que l’axe du cylindre est a T

0

et qu’en r1

, on a T1

.Partie 2 : l’isolant1. Exprimer la densite de courant thermique.2. Determiner la loi T (r).Partie 3 : le fil1. Representer les variations de la densite de courant thermique en fonction de r,de r = 0 a r

2

.2. Representer les variations de la temperature en fonction de r.II) Un cylindre de longueur infinie, de rayon R, de densite volumique de charges⇢, est en rotation autour de son axe a la vitesse ! constante.Determiner le champ magnetique B sur l’axe de rotation.

Planche 122I) Dans le dispositif ci-contre, on faitl’hypotese des petits deplacements :'n = L✓n.Determiner l’equation de propagationliant les petits deplacements 'n�1

, 'n

et 'n+1

.Determiner l’equation de dispersion,pour des ondes progressives monochro-matiques.

a a

O On +O1n

✓1n�

1n�

✓n +1n✓

K

L

n'

x

Representer le resultat precedent et indiquer le domaine des oscillations libres ;approximation continue.II) On dispose d’un generateur de Thevenin (E

th

et Zth

= Rth

+jXth

), sur lequelon branche une charge Zu = Ru + jXu.Determiner Zu telle que la puissance active soit maximale.Pourquoi ne prend-on pas Ru = �R

th

?Donner la definition d’une valeur e�cace, et sa signification physique.


Planche 123I) Un train se deplace sur un rail a vitesse ~V = V ~ux ; on le modelise par un cadre

carre de cote b, horizontal. Il regne un champ vertical ~B = Bn cos�!(t � x

V0

)�~uz .

A l’instant t, l’abscisse du milieu du cadre vaut x = V t.On note R la resistance du cadre et on neglige son inductance.

G = 1 � VV0

est un facteur dit hhde glissement ii.

1. Calculer le flux � a travers le cadre.2. En deduire l’intensite I parcourant le cadre.3. Calculer la force de Laplace s’exercant sur le cadre.4. Determiner la puissance de cette force puis la puissance moyenne.5. Discuter, selon les valeurs de G, des cas ou le cadre est freine ou accelere.6. AN : calculer la puissance moyenne.II) On introduit du freon liquide dans un detendeur, a une pression p

1

, quicorrespond a l’equilibre liquide-gaz, et une temperature T

1

= 300 K.En fin de transformation, le freon a atteint T

2

= 240 K.On donne la capacite thermique massique du freon c = 0,05 kJ.mol�1.K�1 et sachaleur latente massique de vaporisation l = 233,95 kJ.kg�1.1. Calculer le titre en vapeur x.2. Calculer la variation d’entropie.III) D’apres la theorie cinetique des gaz parfaits, le nombre de molecules quisortent, par unite de temps, d’un compartiment de volume V , perce d’un petit

trou de section s, suit la loi dNdt

= kN , ou k est une constante fonction de V , s,

v, la vitesse commune des molecules.Le compartiment, initialement vide, est plonge dans l’air atmospherique a la pres-sion P

0

. Au bout de combien de temps la pression a l’interieur du compartimentvaudra-t-elle 0, 76 mmHg ?

Planche 124I) Cours : etude phenomenologique des fluides.II) Sur un fil de fer dont le profil a pour equation y = ax2, on enfile une perle demasse m, qui peut glisser sans frottement.On met le fil en rotation autour de l’axe (Oy), a la vitesse !.Etudier les positions d’equilibre de la perle.

Connaissez-vous d’autres exemples ou l’on adEp

dx=

d2Ep

dx2

= 0 ?

Dessinez la surface d’un fluide dans un recipient en rotation ; vu le profilparabolique, peut-on faire une analogie avec le fil ?

Planche 125I) Cours : mecanique a deux points d’un systeme isole ; lois de conservation,reduction d’un systeme a deux corps a un systeme a un corps.

II) Une barre metallique, de longueur L etresistance R, oscille dans un champ magnetiquepermanent ~B = B

0

~ez . Le circuit forme par lependule est ferme par la barre tout le long duchemin suivi.Determiner l’equation du mouvement en ↵.

O

↵~B

A

L

Planche 126

I) Dans le circuit ci-contre, X represente unmultiplieur. On donne V

3

= kV1

V2

, i = i0

!tet Z = X + jY . Donner une condition sur R

1

et C1

pour que Vs soit constant ; determinersa valeur et determiner X en fonction de cettevaleur. On place un filtre passe-bas en sortie

du multiplieur, avec !0

= 1R

1

C1

·

Z

R0

XV1

V2

V3

R1

VSi

i

C1

On choisit R1

C1

tel que !0

<< 2! pour ne garder que la composante constantede V

3

. Donner fonction de transfert et diagramme de Bode du filtre passe-bas ; aquoi correspond une decade ? Calculer X.On remplace R

0

par une capacite C0

; determiner Y .II) Un helicoptere survole un promeneur qui marche sur un lac gele et ce dernierentend un son grave de puissance maximale quand il incline la tete a 45� pour leregarder. Lorsque le promeneur se trouve sur une pelouse, le son est de puissancemaximale quand l’helicoptere est a la verticale au dessus de lui.Comment expliquer ce phenomene ?Quelles sont les sources secondaires ? Calculer la di↵erence de marche, l’interfrangeet tracer l’intensite en fonction de l’interfrange.

Planche 127I) 1. Decrire le montage de Fraunho↵er.2. Trouver la nature de la fente (� = 500 nm,f 0 = 1 m) permettant d’obtenir la figure ci-contre.

II) On chau↵e une serre de temperature T ,de deux manieres di↵erentes : a l’aide d’unechaudiere (T 0 < T ) ou par un moteur etune pompe a chaleur. On note Q le transfertthermique et T

0

la temperature exterieure.Quel est l’interet de la deuxieme methode (onraisonnera sur le rendement) ?

0,5mm

20 cm

30 cm

Planche 128I) Cours : oscillateur mecanique sinusoıdalement force ; resonnance en position eten vitesse ; analogie electrique.II) Determination du contact optique : l’un des miroirs d’un interferometre deMichelson en lame d’air translate a la vitesse V . On eclaire le dispositif par unesource ayant un spectre continu et dont la frequence � verifie �

1

6 � 6 �2

. On note

E0

l’eclairement au niveau du contact optique, �� = �2

� �1

et ⌫c =�1

+ �2

2·

On place un capteur au foyer focal image d’une lentille convergente et on notes(t) le signal qu’il enregistre, suppose proportionnel a l’eclairement E(t).Montrer que l’etude du signal s(t) permet de determiner le contact optique etevaluer la precision du resultat.A. N. : �

1

= 589 nm et �2

= 589, 6 nm.

Planche 129I) Cours : ondes acoustiques.II) En regime permanent, etablir l’expression de la concentration n(x) d’unbarreau cylindrique de longueur L et de rayon a, soumis a n

0

en x = 0 et anL en x = L. On note D le coe�cient de di↵usion.On suppose les parois du barreau poreuses. Il existe un flux radial de matiere, decoe�cient de di↵usion D0 << D, sur une petite largeur e << a, a l’extremite dela paroi laterale ; etablir l’expression de n(x).

Planche 130I) Un fluide homogene, incompressible, s’ecoule en regime permanent autour d’unesphere en amont de laquelle la vitesse est V

0

~ux.On cherche a determiner l’expression de la vitesse autour de la sphere.1. Montrer que le probleme etudie est analogue a celui d’un dipole electrostatique,situe dans un champ constant E

0

~ux.2. En deduire l’expression de la vitesse.3. Exprimer la pression en un point de la sphere.4. Calculer la resultante des forces de pression s’exercant sur la sphere.II) On considere une chaıne d’oscillateurs : des masses m sont reliees entre ellespar des ressorts de raideur K.1. Donner l’equation di↵erentielle verifiee par la position de la nieme masse.2. Determiner l’equation de dispersion et representer ! en fonction de k.3. Determiner les vitesses de phase et de groupe ; les representer en fonction de k.

4. Etudier le cas ou k est petit.5. Cas de l’approximation des milieux continus.

Planche 131

I) Cours : champ electriquecree en un point du plan mediand’un segment charge uniforme-ment.II) Dans le montage ci-contre,les amplificateurs operationnelssont ideaux en regime lineaireet les diodes sont ideales.1. Etude des etages 1 et 2 :on pose Ve = U sin(⌦t) avec⌦ constant ; calculer u

1

et u2

en fonction de U , R, C, ⌦ etcos(⌦t).

R

R’R0

C

Ve+-

C0 ua

D

R0

C

+-

u2 C0 ub

D

RR’

+-

R’

R’

us

2

3

1 u1

2. Etude des detecteurs de crete : on choisit R0

et C0

tels que R0

C0

⌦ >> 1 ;montrer que ua et ub peuvent etre considerees comme constantes et egales auxamplitudes de u

1

et u2

respectivement.

3. Etude de l’etage 3 : calculer us en fonction de ua et ub.On choisit ⌦

0

tel que RC⌦0

= 1.

Montrer que l’on peut mettre us sous la forme us = U( ⌦⌦

0

� ⌦0

⌦).

On suppose ⌦ = ⌦0

+ �⌦ et on pose ↵ = �⌦⌦

0

, ↵ etant un infiniment petit.

En e↵ectuant un developpement a l’ordre 2, montrer qu’on peut mettre us sousla forme us = U(2↵ � ↵2).4. D’apres les resultats obtenus a la question 3., a quoi sert ce montage ?

Planche 132I) Un solide de masse M , de forme cubique de cote b, glisse le long d’un supportincline d’angle ↵ a une vitesse V

0

sur une longue et fine couche d’huile d’epaisseure (e << b). On considere l’ecoulement de l’huile en regime permanent. Quelle estle coe�cient de viscosite ⌘ de l’huile ? On rappelle l’expression de la force defrottement : ~f = ⌘�~v. Etudier le mouvement du solide. Application numerique :e = 1 mm ; b = 1 m ; M = 10 Kg ; V

0

= 1 m.s�1 ; ↵ = 30�.II) On considere une cathode cylindrique de rayon a d’axe ~uz , de potentiel nulentouree d’une anode de rayon b > a, au potentiel V

0

.1. Trouver une equation di↵erentielle verifiee par le potentiel V (le laplacien encoordonnees cylindriques n’etait pas donne).2. La cathode emet des electrons sans vitesse initiale.

Trouver une relation, notee (1), liant r et drdt

·3. Exprimer le temps de parcours ⌧ de l’electron a l’aide de la fonction

f(x) =

Z x

1

dupln u

·

4. On ajoute maintenant un champ uniforme ~B = B~ez .

La relation (1) est-elle encore valable ? Trouver une relation liant r, r, ✓ et ✓.5. Trouver ✓(r).

Planche 133I) Mecanique du point : on considere une masse m soumise a une force centrale

de la forme ~f = � ↵

r2~er.

1. Montrer qu’il existe une valeur ⌘ pour laquelle le vecteur ~A = ~v ^ ~� + ⌘~er estune constante du mouvement.2. On suppose que la force est repulsive. La masse m arrive de l’infini avec un

parametre d’impact b (ie.��!OM

0

= d.~ı + b.~| avec d tres grand).

Exprimer l’angle de deviation de la masse par la force, en utilisant le vecteur ~A.Que vaut la vitesse apres deviation ?

II) Electromagnetisme : Une onde electromagnetique incidente polarisee circu-lairement et se propageant suivant les z decroissants.Le demi-espace z < 0 est un conducteur parfait. On donne :

~Ei = Ei0(cos(!t + kz)~ı + sin(!t + kz)~| (1)

1. Exprimer le vecteur ~Bi de l’onde incidente, ainsi que le vecteur de Poyntingassocie.2. Rappeler les conditions de passage a l’interface entre les deux demi-espaces.Exprimer les vecteurs ~Er et ~Br de l’onde reflechie. Que vaut le vecteur de Poyntingtotal dans le demi-espaces z > 0 ? Quel type d’onde obtient-on au total ?3. Que se passe-t-il a l’interface ?


Concours Communs Polytechniques � MP

Planche 134I) Conduction/convection : l’extremite d’un cylindre infini de longueur a, derayon R, est a temperature TA, superieure a la temperature ambiante T

0

. Onpose ✓(x) = T (x) � T

0

et on note P (x) la puissance thermique traversant unesection.

Determiner l’equation reliant P (x), d✓dx

, R ; determiner la convection, puissance

proportionnelle a la temperature, a la surface et a un coe�cient h.

Determiner l’equation reliant dPdx

et ✓.

Donner les equations verifiees par P et ✓ puis les resoudre.II) Electrostatique : une densite volumique de charge positive ⇢ se trouve entredeux plans infinis places en x = �a et x = +a.A l’aide des symetries et invariances, determiner les caracteristiques de E, pourM(x, y, z) et M(0, y, z). Calculer E puis tracer E algebriquement.On considere maintenant 3 plans en x = �a, x = 0, x = +a ;- Pour �a < x < 0 la densite volumique de charge est ⇢

0

< 0.- Pour 0 < x < +a la densite volumique de charge est ⇢

0

> 0.- Ailleurs, ⇢ = 0.Exprimer E a l’aide des questions precedentes pour x /2 [�a, a] puis exprimer Epour x 2 [�a, a]. Donner l’allure de E.On considere un electron de vitesse v : quel sera le mouvement ulterieur del’electron selon qu’il arrive des x < 0 ou x > 0 ? A quoi est equivalent ce systeme ?

Planche 135I) Optique : une lentille convergente L

1

et une lentille divergente L2

telles quef1

= f 02

= a sont separees par une distance e.Trouver geometriquement les foyer objet F et image F 0 du systeme si e = 3a.Si e est quelconque, donner l’expression des distances algebriques O

1

F et O2

F .Si AB est un objet place en f

1

, trouver geometriquement A0B0.Determiner le grandissement du systeme.

II) Un signal de periode T est defini par x = E si T 2 [0, ⌧2][ [T � ⌧

2, T ] et x = 0

sinon. On pose ↵ = ⌧T

·

Trouver les coe�cients de Fourier a0

, an, bn (on donnait les expressions theoriques).

Donner les quatre premieres composantes du spectre pour ↵ = 14

·On applique ce signal aux bornes d’un circuit RC en serie ; calculer U

condensateur

pour ↵ = 14

·Donner la valeur e�cace du signal, sachant que cette valeur est la racine carreede la valeur moyenne du carre du signal.

Planche 136I) Une vis (T ) de pas a est libre de tourner autour del’axe (Oz) et porte un ecrou (E), de masse m, dont onrepere la hauteur par z.On note ✓~ez et �~ez respectivement les vecteurs ro-tation de (T ) et (E), I et J leurs moments d’inertierespectifs par rapport a (Oz).Montrer que z = k(✓ � �) ou k est une constante adeterminer.A l’aide du theoreme du moment cinetique, etablir unerelation entre ✓, �, I et J .A l’aide du theoreme de l’energie mecanique, etablirune relation entre ✓, �, z, I, J et m.Deduire des relations precedentes les equations verifieespar � et z.

z

O

a

(E)

(T)

z

II) Pour le circuit ci-contre, quelles hypotheses peut-onfaire ? Les justifier. Dans quel mode peut-on se mettre ?Etablir l’equation di↵erentielle liant e(t) et s(t). Donnerl’expression de s(t) si l’entree est constamment nulle.On prend R

1

= 100 k⌦ ; le montage est-il stable ?Donner la fonction de transfert du montage.Pouvait-on anticiper la nature du filtre auparavant ?

+-

C

R1R

2

R

s(t)e(t) R

C

Donner le diagramme de Bode ; calculer la frequence de coupure f0

.On applique en entree un signal harmonqiue qui presente un terme constant ;

donner l’allure de s(t) pour f = 110

f0

puis pour f = 10f0

.

Meme question pour un signal triangulaire en entree.

Planche 137I) Une sphere pleine de rayon R, de charge Q uniforme est a l’equilibre thermo-dynamique.Donner le champ et le potentiel electrostatiques en tout point M de l’espace.Calculer la capacite de la sphere et son energie electrostatique Ue.Soient deux spheres concentriques (S

1

), pleine, de rayon R1

, dans (S2

) de rayoninterieur R

2

et de rayon exterieur R3

.(S

1

) est au potentiel V1

= 0 et (S2

) au potentiel V2

> 0.Donner la repartition des charges, le champ electrostatique dans l’espace entre lesdeux spheres et la capacite.II) Corps noir : on considere le systeme Terre-Soleil comme un systeme isole.Definir un corps noir, a l’equilibre thermodynamique.Donner les relations entre flux surfaciques partant �p, emis �e, incident �i,reflechi �r, radiatif �

rad

et absorbe �a.Le Soleil est a la temperature Ts ; on note �

is

le flux surfacique recu par la Terredu Soleil (souvent appele constante solaire).Exprimer �

is

en fonction de RT le rayon de la Terre, RS le rayon du Soleil,DST la distance entre le Soleil et la Terre et TS la temperature du Soleil.Application numerique. On se place dans le referentiel heliocentrique ou on a

l’expression r =p

1 + e cos(✓ � ✓0

); decrire la trajectoire de la Terre et preciser les

caracteristiques de l’expression de r.Pour e = 0, 016, trouver la relation avec �

is

.

Planche 138I) Un gaz parfait, occupant initialement un volume V

0

a la pression P0

et latemperature T

0

, subit deux transformations distinctes :une transformation adiabatique reversible et une transformation isotherme a T

0

.On suppose que le rapport des capacites calorifiques molaires a pression et avolume constant � est independant de la temperature.Tracer, dans un diagramme de Clapeyron, l’evolution de la pression du gaz pourles deux transformations en fonction de son volume P (V ).Montrer que le rapport des pentes de l’isotherme et de l’adiabatique est egal a �.Calculer la di↵erence de temperature entre la transformation adiabatique etisotherme en fonction de V

1

, V0

, P0

, T0

et �.Un gaz parfait occupe un volume initial V

0

a la pression P0

et la temperature T0

. La hauteur de liquide h0

initiale dansle tuyau est de 2, 6 cm. L’extremite du tuyau non raccordeeau ballon est plongee dans l’air ambiant a la pression atmo-spherique Pa.On ouvre brievement le robinet R, de telle sorte que le gazsubisse une transformation adiabatique ; la hauteur de liquideest alors h

1

= 0. Le gaz retourne ensuite a la temperatureT0

. On observe alors une legere surpression et on mesure unenouvelle hauteur de liquide h

2

= 2, 0 cm.Tracer, dans un diagramme de Clapeyron l’evolution de lapression du gaz pour les transformations, en fonction de sonvolume P (V ) ; calculer �.Le gaz est-il monoatomique ou diatomique ?

Gaz

R

h

Liquide

II) On donne un filtre de fonction de transfert H =5.10�6jf

1 + 5.10�6 � 250.10�9f2

·

La tension a l’entree du filtre est u(t) = 5 + cos(1333⇡t) + 0, 08 cos(4000⇡t).Etudier H (nature, caracteristiques, diagramme de Bode, etc).Quelle est la tension a la sortie du filtre (analyse frequentielle, valeur moyenne,etc) ?

Planche 139Deux solides S

1

et S2

, de capacites thermiques respectives C1

et C2

, detemperatures initiales T

01

et T02

sont mis en contact et on attend l’equilibrethermique.Determiner la temperature d’equilibre et la variation d’entropie du systeme ; quelest son signe ?On utilise ces deux sources pour faire fonctionner un moteur ; determiner le travailfourni et la temperature finale, que l’on comparera avec la temperature d’equilibreprecedente.

II) Dans le schema ci-contre, l’amplificateur operationnel estideal, le condensateur est initialement decharge. On retournela bobine de 180� et au bout d’un temps t = ⌧ , le condensateurest completement charge. Expliquer le phenomene.Donner l’equation di↵erentielle verifiee par le courant i circu-lant dans la bobine au moment ou on la retourne, en fonctionde R, L et le flux du champ magnetique terrestre a traversla bobine, note �t. Exprimer la charge Q du condensateur al’instant t = ⌧ ; application numerique.

+-

L,R sV

CAxe verticalterrestre

Planche 140I) Mecanique : un velo est modelise par deux roues C

1

et C2

, de masse m, derayon a, de centres respectifs O

1

et O2

, de points de contact au sol I1

et I2

; ellessont reliees par une tige metallique de masse M , de longueur 2l et de milieu C ;le coe�cient de frottement f est tel qu’il y ait roulement sans glissement.En C

2

existe un couple �~ey .On note ~!

1

= !1

~ey et ~!2

= !2

~ey les vitesses angulaires des roues, J = am2 leurmoment d’inertie et MC la masse du cycliste en C.Deduire de la condition de roulement sans glissement, la relation entre la vitessede C note x, !

1

et !2

.A l’aide du theoreme de puissance cinetique, trouver une relation entre l’accelarationen C, M , MC , m, a et �.II) On e↵ectue, sur 0,1 mole de gaz rare pour lequel Cp = 0, 020 kJ.mole�1.K�1

et Cv = 0, 012 kJ.mole�1.K�1, une compression pour passer de P1

= 2 atm aP2

= 10 atm, de quatre manieres di↵erentes :- transformation isotherme- transformation monotherme reversible- transformation adiabatique reversible- transformation adiabatique irreversibleDecrire le processus dans chacun des quatre cas et determiner V

2

, T2

, Q, W , Screee et �S dans chacun des cas.Donnees : T

1

= 300 K ; R = 8, 314 SI.

Planche 141I) On considere un plasma electriquement neutre. N designe le nombre d’electronspar unite de volume ; e et m designeront respectivement la charge et la masse del’electron. Une onde plane polarisee se propage dans le milieu avec les carac-

teristiques suivantes :�!E =

�!Emei(!t�kx),

�!B =

�!Bmei(!t�kx) et

�!Em = Em~ez .

1. En ne considerant que le champ electrique, determiner l’amplitude de la vitessed’un electron.2. Justifier l’approximation faite dans la question precedente.3. Quelle est la densite de courant ~| ?

4. Avec les equations de Maxwell, trouver une equation avec�!E . En deduire

l’equation de dispersion qui regit le milieu.

On donne �!rot (�!rot�!A ) =

��!grad (div

�!A ) �

�!�(

�!A ).

5. En introduisant une pulsation caracteristique du plasma !p que l’on exprimeraen fonction de N, e, "

0

et m, discuter de la propagation de l’onde dans le plasmaet determiner vitesse de phase et vitesse de groupe quand cela a un sens, selonque ! > !p, ! < !p et ! = !p.6. Discuter de la reflexion d’une onde sur le plasma selon que ! > !p ou ! < !p.II) Une comete, soumise a l’attraction du Soleil, assimile a un point S, a unetrajectoire parabolique admettant S pour foyer. Elle passe au plus proche dusoleil, au point P , a la distance SP = d < R, ou R designe le rayon de l’orbiteterrestre supposee circulaire.1. Determiner la vitesse de la comete au point P .2. Donner les coordonnees polaires des points ou la trajectoire de la comete coupecelle de la Terre.3. Quels sont les instants t

1

et t2

ou ces intersections ont lieu ?


Concours Communs Polytechniques � PC

Planche 142I) Un dipole oscillant est constitue d’une charge �q fixe en O et d’une charge qse deplacant sinusoıdalement sur l’axe Oz, d’amplitude z

0

.1. Definir le moment electrique de ce dipole et donner son amplitude p

0

.2. On peut localement definir le champ rayonne comme une onde plane progres-sive ; expliquer les hypotheses permettant de faire cette approximation.

3. On donne la puissance moyenne rayonnee < P >=µ0

p20

!4

12⇡c; expliquer sans

faire aucun calcul comment on trouve ce resultat. Exprimer < P > en fonctionde q et de < a2 > ou a est l’acceleration de la charge q.4. On s’interesse a un atome, dont le noyau est considere comme une chargeponctuelle de masse M et de charge +e. L’electron, de masse m et de charge �edecrit une trajectoire circulaire autour du noyau.Montrer que l’acceleration est normale a la trajectoire et que la vitesse est cons-tante en valeur. Determiner l’energie cinetique, l’energie potentielle et l’energiemecanique de l’electron.Montrer que l’energie mecanique decroıt avec le temps et que l’electron se rap-proche du noyau, en considerant qu’a chaque instant sa trajectoire est circulaire.Determiner la loi r(t).II) Un fluide parfait, de masse volumique ⇢, de debit massique Dm, de vitessev uniforme dans les parties droites, s’ecoule dans une conduite coudee a 90�, desection S constante, et il regne une pression p constante en tout point du fluide.Determiner la force f , sous la forme de fx et de fy , qu’exerce le fluide sur lesparois de la conduite en fonction de p, ⇢, Dm et S.

Planche 143I) On modelise un mammifere par une sphere de centre O et de rayon R.Il produit une puissance thermique volumique ⇢

0

.Il est present dans un fluide de conductivite thermique �.On note r = OM , T ne depent que de r.1. Enoncer la loi de Fourier (on precisera les unites) ainsi que son action physique.

2. Montrer que T (r) = Ar + B et determiner A et B en fonction de ⇢

0

, T0

et R.3. Sachant que la temperature corporelle Tc = 373 K, R = 25 cm, �

eau

= 500 USI,�air

= 5 USI, en deduire ⇢0

en prenant pour T0

une valeur coherente.Expliquer pourquoi il n’existe pas de petit mammifere marin.4. L’homme produit 70 Watts ; expliquer.

II) La tige rigide OC, de longueur `, a un

moment d’inertie JB = 13

m`2 par rapport

a Oz ; Le moment d’inertie du disque D est

JD = 12

mR2 par rapport a Cz, R etant le

rayon commun aux deux disques. il n’y a pasde frottement de la part de la tige ; le disque Droule sans glisser autour du disque A.Trouver l’equation di↵erentielle du mouvementen fonction de �.

.

.O

C

A

D�

x

y

Planche 144I) Le rail de Laplace avec ressort.Un rail est pose sur un circuit electrique desorte qu’il peut se deplacer sans frottementsuivant ~ux. Le systeme est plonge dans unchamp magnetique constant.L’origine est choisie telle qu’en x = 0, L = L

0

,donc x = L � L

0

.A t = 0, on ecarte le ressort de sa positiond’equilibre.1. Calculer la f.e.m e(t) dans le circuit au coursdu mouvement du rail.

L0L

x=0

h

~g~B

x

yz

2. Calculer la force de Laplace qui s’exerce sur le rail.3. Etablir l’equation di↵erentielle du mouvement (on ne demande pas de laresoudre).II) Embout de la lance a incendie.On suppose que le fluide est parfait (E1), homogene (E3), incompressible (L1), etque l’ecoulement est stationnaire (L1).1. Calculer la vitesse d’entree v

1

du fluide dansl’embout et la vitesse v

2

de sortie du fluide de l’embouten fonction du debit volumique DV .2. Calculer la pression P

1

du fluide a l’entree del’embout.3. Calculer la force F

lat

qui s’exerce sur la paroiexterieure de l’embout.4. En supposant que le tuyau est maintenu fixe parl’action d’un operateur, calculer la force F

vis

exerceepar la vis sur l’embout, a l’aide d’un bilan macro-scopique bien choisi. Quel est le sens de F

vis

?

Embout visse

Tuyau

Pas de vis

P1

P0

S

s

x

xy

z

Planche 145I) n moles de gaz diatomique sont a l’etat initial P

0

, V0

, T0

.1. On chau↵e avec une resistance pour obtenir une temperature T = 2T

0

.La transformation est isochore. Comment evolue la pression ?2. Avec le meme etat initial, on fait subir au gaz une compression adiabatiquereversible quasistatique ; la pression finale est 2P

0

. Trouver T1

.3. Avec le meme etat initial encore, on fait subir au gaz une transformationirreversible. Trouver T

2

.4. Commenter les resultats.II) Fentes d’Young :1. Rappeler le principe des fentes d’Young, le schema experimental, l’expressiondu chemin optique, l’interfrange ; quelle est la position des franges si p = 0 ?2. On rajoute une lame a face parallele devant une fente, d’epaisseur e et d’indicen ; comment varie la position des franges ?Donner l’interfrange et l’ordre d’interference.3. Calculer le nouveau chemin optique.4. On place deux lames a faces paralleles pour obtenir un interferometre.Calculer le nouveau chemin optique.

Planche 146I) Un pendule est forme d’une tige AB delongueur L, munie en A d’une masse m et fixeeen B a un ressort de torsion.La liaison en B est supposee non dissipative etle ressort exerce sur le pendule un moment derappel ~MB = �k✓(t)~ux

1. Trouver l’equation di↵erentielle regissant lesysteme en fonction de ✓(t).2. Donner la forme des solutions pour ✓ faible,en fonction des relations entre k et le produitmgL.

✓Az

y

B

.(t)

3. Sachant que l’energie potentielle de rappel du ressort s’exprime sous la forme

Ep1

= 12

k✓2, determiner l’energie potentielle totale notee Ep.

4. Determiner les angles ✓ pour lesquels on a une position d’equilibre.On notera ✓

1

l’un de ces angles et ✓2

les deux autres angles d’equilibre.

Montrer quesin ✓

2

✓2

= kmgL

·

Tracer la courbe de sin xx ; sachant que ✓ 2 ]� ⇡

2, ⇡2[, determiner l’intervalle

auquel doit appartenir kmgL

pour que les positions d’equilibre ✓2

existent.

5. Discuter de la stabilite des di↵erentes positions d’equilibre.II) Dans un tube acoustique de longueur L, il existe une surpression d’expressionp(x, t) = p

0

sin�! x

c

�sin(!t).

Quelles sont les conditions aux extremites ?Montrer qu’il existe seulement un nombre discret de !n verifiant ces conditionset donner leur expression en fonction de n.Donner l’expression des �n associes aux !n.

Planche 147I) Le schema ci-contre modelise le sechage d’un linge.Dans le tube de longueur L et section s, on observeun phenomene de di↵usion des molecules d’eau selonl’axe Oz.On suppose qu’il n’y a pas de convection et on se placeen regime permanent.On note ~jD(M)

= jD(z)~uz le vecteur densite decourant de particules et n(z) la densite particulaire.1. Donner la loi de Fick.2. Montrer que jD ne depend pas de z.

L

Ozair

eau0

3. Donner la valeur de n(L) puis exprimer n(z) en fonction de jD, D (coe�cientde di↵usion) et n

0

= n(0).4. Une masse m

0

= 46 mg d’eau est evaporee. Calculer jD.5. En deduire la valeur de D sachant qu’en z = 0 l’eau est assimilee a un gazparfait en equilibre avec l’eau liquide.Donnees : Pression de vapeur saturante de l’eau P

sat

= 3200 Pa ; L = 1 m ;s = 20 cm2 ; T = 25�C ; R = 8, 31 SI ; M(H

2

O)= 18 g.mol�1.II) On donne un moment dipolaire ~p = p

0

cos(!t)~uz et un champ electrique cree

~E =µ0

4⇡rsin ✓

d2p(t � rc)

dt2~u✓.

1. Donner les approximations conduisant a ~E et donner ses proprietes.2. Calculer le vecteur de Poynting de cette onde puis en deduire la formule deLarmor donnant la puissance moyenne rayonnee sur une sphere de rayon r.3. Expliquer le bleu du ciel et la couleur du soleil couchant.

Planche 148I) La corde vibrante : on considere une corde vibrante, infinie, de masse lineiqueµ. La tension est supposee constante a T.1. Etablir l’equation di↵erentielle verifiee par y(x, t). La corde est selon l’axe (Ox).2. On envoie une onde harmonique.Qu’est ce que la dispersion ? Determiner la relation de dispersion.3. La corde est fixee en x = 0 et x = L, on a une onde stationnaire.Determiner !N en fonction des donnees, N etant le numero du mode considere.4. Determiner ⌧N , le temps de relaxation, en fonction des donnees.Relation entre !N et ⌧N ?5. Pour tenir compte de l’influence de la resistance de l’air, quel type defrottements prendre en compte et comment l’equation de propagation est-ellemodifiee ? En deduire, qualitativement, l’evolution du mouvement.II) Statique des fluides : on dispose d’une cuve contenant du mercure. On remplitun tube d’un gaz suppose parfait, que l’on retourne et place dans la cuve.Initialement, on repere la surface du mercure a z = h

0

.1. Rappeler l’equation d’Euler, ainsi que la loi de l’hydrostatique.2. Determiner les hauteurs, a l’equilibre, des surfaces du mercure dans la cuve etdans le tube.

Planche 149 ChimieI) Cours : titrages redox.

I) Synthetiser

O

O

en presence de AlCl3

et

Cl

O

Apres une hydrolyse acide, on obtient A ; puis ensuite, A+NaBH4

donne B etenfin B+SOCl

2

donne C.Donner les formules topologiques de A, B et C.Donner le mecanisme de la formation de A et justifier la regioselectivite.Combien faut-il utiliser d’equivalents de AlCl

3

? Quel est le role de l’hydrolyse ?C est verse sur Mg(s) dans un ballon, pour donner D : donner la formuletopologique de D.Citer et justifier trois precautions a prendre lors de cette reaction.D est verse sur CO

2

(s) et donne E. donner la formule topologique de E.


Planche 150 TP Chimie : reduction d’une cetone par NaBH4

O OHEtOH

NaBH4

OH OH

Les reactifs sont pre-peses. On donne les masses molaires des principaux elements.1. Calculer les quantites de matieres de tous les reactifs.Prevoir la quantite de produit forme.2. Proposer un mecanisme pour la reduction de la fonction cetone par NaBH

4

.Manipulation : Faire le montage d’un chau↵age a reflux. Ajouter NaBH

4

.Au bout de 15 minutes, plonger le ballon dans un bain glace. Transvaser dansune ampoule a decanter. Ajouter de l’ether 100 mL, agiter puis laisser reposer.Separer la phase organique de la phase aqueuse. Reiterer l’operation deux fois.3. Comment reconnait-on la phase organique de la phase aqueuse ?Manipulation : Secher avec du sulfate de magnesium. Filtrer sur Buchner (mon-tage a realiser), recueillir dans un ballon adapte a l’evaporateur rotatif.Appeler l’examinateur, qui procedera a la manipulation avec l’evaporateur rotatif(installation du ballon, mise en place du vide, abaissement de la pression).4. Precaution a prendre pour utiliser un Buchner ?5. Quel est l’interet de l’evaporateur rotatif ? Comment cela fonctionne-t-il ?Manipulation : Dans un ballon de 50 mL, recuperer le produit apres evaporationdu solvant.Proposer et realiser un montage a distillation fractionnee sous pression reduite.Distiller le produit. Noter les paliers de temperature et la pression dans lemontage. Recuperer le distillat, le peser.Realiser une CCM (reactif, distillat, produit de reference fourni), l’eluant etantun melange d’acetate d’ethyle et de dichloromethane.Reveler avec une solution de permanganate de potassium.6. Calculer le rendement de la reaction.

Concours Communs Polytechniques � PSI

Planche 151I) Physique : N particules spheriques de masse m, rayon R, masse volumique ⇢s,se trouvent dans de l’eau de viscosite dynamique ⌘ et de masse volumique ⇢.On s’interesse a l’une d’entre elles.On donne la force de Stockes : ~f = �6⌘⇡R~v.Faire le bilan des forces. Donner la vitesse limite.En regime permanent, definir un vecteur densite de courant (on precisera lesunites). Enoncer la loi de Fick.Justifier l’existence d’un courant ascendant et appliquer la loi de Fick.Exprimer c(z), la densite particulaire ; on donne C(0) = c

0

.

On donne c(z) = c0

exp��

m⇤gkb

RTz�

; preciser m⇤.

Exprimer D, le coe�cient de di↵usion, en fonction de T , kb, R et ⌘.Tracer c(z). Discuter ce modele lorsque la densite est importante.II) Chimie : pour le silicium, Z=14.1. Quelle est sa structure electronique ? Sa classification ? Que dire de sesproprietes chimiques si on les compare a celles du carbone ?Le silicium est compose de 3 isotopes de masses molaires respectives 28, 29 et30 g/mol. Le 28 et 29 representent 92, 3% en masse, le 29 et le 30, 7, 7%.2. Definir le terme isotrope. Donner la composition du noyau de chaque isotopedu silicium. Donner le pourcentage massique de chaque isotope. Donner la massemolaire moyenne du silicium.Le silicium cristallise dans une structure CFC avec la moitie des sites tetraedriquesoccupes.3. Quelle est la coordinence ? Le nombre d’atomes par maille ? Le rayon d’unatome en fonction de a, parametre de la maille ? Donner la compacite et com-menter. Application numerique.

Planche 152I) Etude d’un dephaseur : on donne sa tension d’entree ue(t) = E sin(!t) et sa

fonction de transfert H =

1 � j !!0

1 + j !!0

·

1. Calculer le module de H.2. Calculer le dephasage �(!) cree par ce dephaseur.3. En realite, la frequence d’entree n’est pas stable et on a !(t) = !

0

+ �! avec�! << !

0

, on a donc �(�!) ; calculer �(�! = 0).

4. Un developpement limite donne �(�!) = � ⇡2

+ �!!0

; tracer �(�!).

Pour mesurer ce dephasage, on utilise le mon-tage ci-contre ou l’amplificateur operationnelest ideal et fonctionne en regime lineaire. Ondonne V e

1

= us = E sin�(!

0

+�!)t+�(�!)�,

V e2

= ue = E sin�(!

0

+ �!)t�, R

1

= R2

= Ret Vs = ud.5. Trouver une relation liant ud, ue et us.6. Montrer que l’amplitude de ud peut se met

sous la formep

2E�1 + �!

!0

�.

+-

R1

R2

Ve1 Ve

2

Vs

7. En deduire une methode pour mesurer �!II) Capteur de niveau : un condensateur cylindrique de hauteur h a une armatureinterieure de rayon R

1

, au potentiel V1

, portant la charge Q1

et une armatureexterieure de rayon interieur R

2

, de rayon exterieur Rext

, au potentiel V2

, portantla charge Q

2

. La permittivite du materiau isolant est "0

.1. Determiner les symetries et invariances du systeme et celles du champ E.Calculer le champ E en fonction de Q

1

, h, et r en prenant Q2

= �Q1

et endeduire le potentiel en fonction de r.Determiner la di↵erence de potentiel V

2

� V1

.Donner la capacite de ce condensateur.2. On plonge une sonde cylindrique de rayon R

1

= 3, 0 cm, dans une cuvecylindrique de hauteur H, de rayon R

2

= 5, 0 m. On remplit la cuve de petrole,de permittivite relative "r = 2, 1, sur une hauteur h.Les deux condensateurs ainsi formes (avec la zone d’air et celle de petrole) sont-ilsequivalents a deux condensateurs en serie ou en parallele ?Determiner l’expression de la capacite totale.Expliquer comment ce systeme peut etre utilise en capteur de niveau dans unecuve a petrole. Est-ce applicable a un autre liquide tel que l’eau ?

Planche 153I) Cours : peut on relier en serie une source de courant et une inductance puresans precaution ? Meme question avec un condensateur ; meme question avec unesource de tension.II) 1. Dans le circuit ci-contre, que choisir pourS ? K et K0 peuvent-ils se trouver dans lememe etat ?Entre 0 et ↵T , K est ouvert et K0 ferme ; entre↵T et T , K est ferme et K0 ouvert.2. Trouver les equations di↵erentielles verifieespar is(t) et us(t).

S

I

is

UK

us

U 0K0 I 0

3. Tracer is(t) sur un premier graphe puis us(t), u et u0 sur un second.4. Trouver une relation entre I, I0 et ↵.5. On note u

min

et umax

les valeurs minimale et maximale de us.Calculer la puissance P fournie par la source et la puissance P 0 recue par la chargeen fonction de I ou I0, ↵, u

min

et umax

.

Planche 154 ChimiePour le cobalt, Z = 27.1. Configuratioon electronique : preciser la ligne et la colonne ou on trouve cetelement dans le tableau preriodique.Preciser les electrons participant aux liaisons chimiques.2. Cristallisation CFC : representer la maille conventionnelle et exprimer leparametre de maille en fonction de la masse volumique.

3. On donne la reaction 3CoO(s)+12O

2

(g)=Co3

O4

(s) ; exprimer K�.

4. Rappeler en quoi consiste l’approximation d’Ellingham et calculer, sous cettehypothese, �rH� et �rS� de la reaction (les valeurs requises sont donnees).5. Calculer la pression Peq en O

2

a l’equilibre, a T = 1050 K.

6. A cette pression Peq en O2

et a T = 1050 K, on met une mole de CoO et 0, 3mole de O

2

dans un recipient de volume V = 10 L.Le systeme evolue-t-il ? Si oui, comment ?7. On comprime le volume : comment le systeme evolue-t-il ?Calculer les volumes V

1

et V2

d’apparition de Co3

O4

et de disparition de CoO.

Planche 155

I) Hacheur alimentant un train : dans le circuitci-contre, l’element M est un moteur a courantcontinu.1. On remplace le systeme de lissage et lemoteur par une source ideale de courant I

0

;pourquoi ? Ce choix est-il justifie ?

i1

ue

u1

u2

i2

i

M

´

Systeme de lissage

2. Quels sont les composants (1) et (2) ?Donner leurs proprietes et tracer i(u) pour ces deux composants. Commenter.3. A quelles conditions ce montage est-il un hacheur (on sera attentif aux courts-circuits et aux places des composants dans le circuit).Tracer i

1

(t), i2

(t), u1

(t), u2

(t) (on pourra considerer des instants di↵erents).Donner une definition du rapport cyclique.4. Si ue = 1500 V, donner la puissance consommee par le moteur.II) 1. Donner les conditions de trace d’un diagramme d’Ellingham.2. A quoi correspondent les ruptures de pente des points E et F pour les couplesCaO/Ca et MgO/Mg ? Ecrire les reactions.3. Quelles sont les variations d’entropie aux changements d’etats ? En donnerl’ordre de grandeur. Est-ce le CaO ou le Ca qui change d’etat ?4. L’alumine Al

2

O3

reagit-elle avec le carbone ? Si oui, quels sont les produits dela reaction ? Calculer approximativement l’enthalpie standard de reaction.

�G(T )

T

-200

0

C

�

-1,0

�

�

�

� � �

�

�

� � � � �

-400

-600

-800

-1000

-1200

CO2

� �

200 400 600 800 1200 1400 1600 18001000 2000

CuO

C

CO

Fe

Cu

CO

MnCr

Si

Al

Mg

Ca

CO2

Fe2

O3

Cr2

O3

Al2

O3

CaO

MgO

MnO

ZnO

Zn

F

E

Planche 156I) Une lunette de Galilee est formee d’une lentille mince convergente (L

1

) dedistance focale f 0

1

= 50 cm et d’une lentille mince divergente (L2

) de distancefocale f 0

2

= �5 cm.1. Faire un dessin du systeme, donner la distance entre les lentilles pour que lesysteme soit afocal et distinguer l’objectif et l’oculaire.2. Dessiner l’image d’un objet situe dans le plan focal image de (L

1

).3. Calculer l’encombrement de la lunette.4. Definir le grossissement et le calculer.5. Quelle est l’influence sur l’image si on prend en compte l’optique ondulatoire ?II) Une barre unidimensionnelle est composee de 2 cylindres de rayon R misbout a bout et colles. Le premier de longueur (L

1

) de conductivite thermique �1

,l’autre de longueur (L

2

) et de conductivite thermique �2

.On appelle T

1

la temperature avant le premier cylindre, T la temperature dejonction et T

2

la temperature apres le seconde cylindre.1. Faire un schema du systeme avec toutes les grandeurs caracteristiques2. Calculer la densite de flux thermique en tout point.3. Trouver l’equation de la temperature en tout point.4. Tracer la temperature en fonction de l’abscisse.5. Trouver T .


Planche 157I) Deux etoiles, assimilees a deux sourcesincoherentes monochromatiques, de lon-gueur d’onde �, s’ecartent l’une de l’autrea la vitesse v

0

.1. Modele de l’optique geometrique : decrireprecisement ce que l’on observe.Que se passe-t-il si on augmente la largeurdes fentes d’Young ?

S2

S1

.

.d

D>>a

a(t)

f 0

M(x)

x

2. Modele de l’optique ondulatoire : montrer que :

I1

(x) = I0

⇣1 + cos

� 2⇡d�

( a2D

+ x

f 0 )�⌘

et en deduire I2

(x) (avec S2

seule).

Montrer que l’intensite totale est I(x) = 2I0

�1 + cos ⇡ad

�Dcos 2⇡dx

�f 0

�.

Quelle est la periode du brouillage de la figure totale ?Que peut-on mesurer ?

II) En entree, on trouve un GBF d’impedancenulle et en sortie un oscilloscope d’impedanceinfinie. R = 1 k⌦, C = 100 nF. Quel est l’ordrede grandeur de l’impedance du GBF ?Pourquoi peut-on la considerer comme nulle ?Donner la fonction de transfert, la pulsation decoupure, faire le diagramme de Bode (asymp-tote, reel et tous les points remarquables).

C

R

RVe Vs

Donner un equivalent de H en basse et haute frequence.On fait entrer, dans le filtre, un sig-nal carre et on obtient, en mode DC,la figure ci-contre. Que signifie hhmodeDC ii ? Expliquer la forme de VS .Donner toutes les caracteristiques dusignal carre d’entree (periode, ampli-tude, valeur moyenne).

Vs

t

mV

20

sµ20

( )

Planche 158Di↵usion brownienne : on observe la di↵usion d’une particule solide, modeliseepar une sphere de rayon R, dans un liquide de hauteur h.On note ⇢ la densite du liquide et ⇢S la masse volumique de la particule solide.Cette derniere est soumise au phenomene de di↵usion brownienne, par lequel elle

parcourt une distance moyenne d(t) =p

6Dt avec D =kBT

6⇡⌘R·

1. Donner l’origine du phenomene de di↵usion brownienne.2. Exprimer le temps caracteristique ⌧D de ce phenomene sur une hauteur h.3. Qu’est-ce que la sedimentation ?4. Etudier plus precisement le mouvement de la particule, en utilisant, pour laforce de trainee sur la sphere, la formule de Stokes : ~f = �6⇡⌘R~v.5. Si on suppose que la particule ne subit aucun choc, donner le temps carac-teristique de sedimentation ⌧S sur une hauteur h.6. Donner une condition sur R pour que la particule ne tombe pas.Exprimer le rayon limite.7. Peut-on negliger ce phenomene pour des particules microscopiques ?8. Caracteriser le nombre de Reynolds d’un ecoulement qui verifierait la loi deStokes. Validite ?

Planche 159 ChimieDioxyde d’azote : le dioxyde d’azote, de formule brute N0

2

, est de couleur brune ;le tetraoxyde d’azote, de formule brute N

2

O4

, est incolore.1. Donner la formule de Lewis du dioxyde d’azote.Montrer qu’un electron celibataire est present sur l’atome d’azote central et direen quoi il est une exception a la regle de l’octet.2. Deux molecules de NO

2

peuvent s’associer pour former du tetraoxyde d’azote ;donner sa formule de Lewis. Soit l’equilibre N

2

O4

*) NO2

.3. Definir la variance puis calculer celle de cet equilibre.4. On melange du N0

2

et du N2

O4

dans une enceinte que l’on comprimebrutalement et on maintient la pression. Le melange devient brun fonce. On attendun peu et il redevient plus clair. Expliquer ces observations.5. On plonge cette enceinte dans une enceinte contenant de l’eau a unetemperature plus elevee. Le melange devient plus fonce.Expliquer et conclure quant au signe de l’enthalpie standard de reaction.6. Ecrire la loi d’action de masse de cet equilibre.7. Sans utiliser de loi de moderation, donner l’influence de P .Le dioxyde d’azote peut etre obtenu par oxydation du monoxyde d’azote parl’oxygene.8. Ecrire l’equation de reaction pour une mole d’oxygene.9. On donne les pressions partielles des trois especes precedentes dans le melange ;est-on a l’equilibre ?

Planche 160 ChimieOn donne les masses molaires des elements suivants : O=16, H=1 et Al=27.La bauxite est un minerai compose a 75% d’alumine (Al

2

O3

).On extrait l’aluminium par electrolyse. L’electrolyseur est compose d’une cuve encarbone constituant la cathode dans laquelle se trouve un electrolyte en fusion(non aqueux) et ou on fait circuler un courant I = 300 kA, V = 1000 V.On fait fondre l’alumine donc il y a des ions aluminium et oxygene dansl’electrolyte et les reactions forment de l’oxygene et de l’aluminium. L’anode estconstituee par une electrode de carbone pur qui trempe dans l’electrolyte.1. Le numero atomique de l’aluminium est Z=13, quelle est sa configurationelectronique a l’etat fondamental ? Sous quelle forme ionique le trouve-t-ond’habitude ?2. Quel est le degre d’oxydation de l’aluminium dans l’alumine ? Sachant quel’alumine est un compose ionique, quelle est sa composition ?3. Dans l’alumine solide, les ions oxygene occupent un reseau cubique a facescentrees. Representer la maille. Combien d’ions possede la maille ? Quels sitesoccupent les ions aluminium ? Combien d’ions aluminium faut-il dans la maille ?4. Faire un schema de l’electrolyseur. Quelles sont les reactions aux electrodes ?Quelle est la reaction globale ?5. Tracer la courbe intensite-potentiel. Faire figure le courant et la tension.Pourquoi n’augmente-t-on pas plus la tension ?6. Calculer la masse d’aluminium produite pour une tonne de bauxite.

Concours Divers � PT

Planche 161 Groupe CachanUn cerceau de masse M , de centre C et de rayon R, roule sans glisser sur le sol.On fixe une masse m en un de ses points note Q. On note ~g le champ de pesanteur

et ↵(t) 2 [0, ⇡], l’angle (�!CI,

��!CQ) ou I est le point de contact du cerceau avec le

sol.1. Donner l’energie cinetique du systeme.

2. Etablir l’equation di↵erentielle du mouvement et trouver la pulsation pour lespetites oscillations, | ↵ | << ⇡

2·

Planche 162 Groupe CachanI) Fentes d’Young : 2 fentes F

1

et F2

distantes de a sont symetriques par rapporta l’axe optique. La source S ponctuelle, monochromatique, de longueur d’onde� = 0, 55 µm, se trouve sur l’axe optique a distance d des fentes.Un ecran est place a distance D des fentes.1. Faire le schema et calculer la di↵erence de marche note �

1

.2. On deplace S d’une distance x orthogonale a l’axe optique ; calculer �

2

.3. On rajoute une lame fine d’epaisseur e et d’indice n = 1, 55 devant F

1

.Calculer �

3

.4. On additionne les cas 2 et 3, calculer la nouvelle di↵erence de marche.II) Cours : enonces historiques du second principe ; rendement de Carnot (avecdemonstration).

Planche 163 Groupe CachanI) Un observateur est situe a d = 40 cm d’une petite cuillere de rayon R = 5 cm.1. Il regarde le cote convexe : donner la position de l’image et le grandissement.2. Meme question s’il regarde le cote concave.

II) La tige, de longueur a et de resistance R,glisse sans frottement.~B est constant et e(t) = e

0

cos(!t).1. Donner l’equation du mouvement de la tige.2. Donner l’amplitude Vm de sa vitesse.

B e(t)k R

3. Identifier Vm et !0

.Evaluer la valeur du facteur de qualite.

4. On donne B = 1 T, m = 200 g, �tige

et !0

.Determiner �

fil

pour que l’on puisse ne con-siderer que la resistance de la tige.

O

V0

Vm

!!0

1

Planche 164 Groupe CachanI) Chimie : on donne CH

4

+H2

O=3H2

+CO, avec �rG� = 227000 � 273, 9T1. Pour augmenter le rendement, vaut-il mieux une basse temperature ou unehaute ?2. Une pression de 30 bar permet-elle d’augmenter le rendement ou de minimiserl’espace utilise (l’encombrement du systeme) ?II) Physique : une OPPM arrive sur le demi-espace y < 0 suppose metallique.

On donne ~E =p

2K�ey/� cos�!t +

y

�� ⇡

4

�~ex avec � =

q2

µ0

�! ·

1. Qu’est-ce qu’un conducteur parfait ? Commenter les expressions de ~E et �.Que represente � ? Donner sa dimension et faire l’application numerique pour lecuivre (� = 59,6.106 S.m�1) a 100 kHz et 10 MHz.La permeabilite du vide, donnee ici, µ

0

= 4⇡.10�7 kg.m.A�2.s�2, ou encoreµ0

= 4⇡.10�7 T.m.A�1, est censee etre connue.2. Calculer la puissance moyenne dissipee et la puissance moyenne transmise.3. Traiter le cas d’un conducteur parfait.

Planche 165I) Donner le moment magnetique d’un circuit filiforme indeformable.Dans le plan xOy, un circuit rectangulaire d’axe � confondu avec Oy, plongedans un champ ~B uniforme dirige selon ~ex, est parcouru par un courant I.Calculer le moment des forces de Laplace par rapport a l’axe �.Retrouver le resultat a l’aide du moment magnetique.De maniere generale, dans quel cas peut-on appliquer directement cette formule ?II) Dans une barre d’uranium de rayon a, les reactions nucleaires liberent unepuissance volumique pv .La surface de cette barre est sujette aux transferts conducto-convectifs associes ala puissance surfacique p = h(T � T

0

) ou T0

designe la temperature exterieure.1. Donner la loi de Fourier et preciser les dimensions.2. Determiner l’equation verifiee par T (r) et la resoudre.3. Determiner l’entropie cree par unite de temps.

Planche 166I) Trouver la pulsation des oscillations autour de la position d’equilibre d’unpiston de masse m coulissant sans frottement dans un tube contenant un fond degaz parfait, le tout a temperature T

0

, sous une pression exterieure P0

.II) Systeme optique : on donne un source ponctuelle situee dans le plan focalobjet d’une lentille convergente, suivie d’une fente d’Young, puis d’une lentilleconvergente, puis un ecran situe dans son plan focal image.Qu’observe t’on avec une source monochromatique ?Trouver les longueurs d’onde du spectre visible telles que les points situes surl’ecran a une distance x

0

de l’axe soient sur une frange sombre.


Planche 167I) Conduction thermique : une barre reliee a un four est plongee dans unecanalisation ou circule un fluide, avec un debit Dm et une capacite thermiquemassique c.1. Quelle est la forme de l’expression de la temperature ?Quelle est celle du flux thermique dans la barre en regime permanent ?Comment est oriente le flux ?Donner l’ordre de grandeur du temps d’etablissement du regime stationnaire.2. Determiner le vecteur de densite thermique et en deduire la puissance dans lacanalisation.La conduction thermique est-elle lente ou rapide ?Connaissez-vous l’e↵et de peau ?II) Un electron de masse m, de charge �e, est soumis, en plus de la forceelectrique, a une force de frottement f dependant de la vitesse v.On donne la masse volumique du cuivre ⇢ = 8, 96 g.cm�3 et le nombre d’AvogadroNA = 6, 02.1023 mol�1.1. Calculer le nombre d’electrons par volume.2. Calculer la conductivite du cuivre ; commenter son ordre de grandeur.3. Calculer la resistance du fil.

Planche 168I) Une centrale nucleaire qui fournit une puissance P = W est assimilee a unemachine ditherme fonctionnant entre deux sources. La source chaude est a latemperature Tc = 920 K et la source froide est une riviere a la temperatureTf = 290 K. On donne le debit de l’eau de la riviere d = 50 m3/s et la capacitethermique massique de l’eau c = 4185 SI.1. Donner la dimension de c et son unite.2. Enoncer et demontrer le theoreme de Carnot pour une machine dithermereversible.3. Le rendement de la centrale nucleaire est la moitie du rendement de Carnotfonctionnant entre les deux memes sources : quelle est la variation de temperaturede la riviere ?II) Un condensateur plan est constitue de deux disques d’axe Oz, de rayon a,situes en z = +a et z = �a.Le champ electrique est de la forme ~E = E

0

exp(j!t)~ez et le champ magnetique

de la forme ~B = B(r, t)~e✓ (coordonnees cylindriques).1. Donner les formes locale et integrale des equations de Maxwell.2. A l’aide d’une equation integrale, determiner ~B.3. Calculer l’energie electromagnetique contenue dans le volume du condensateur.A partir de quel moment l’energie magnetique est-elle negligeable devant l’energieelectrique ? Proposer des valeurs.4. Calculer le flux du vecteur de Poynting a travers un cylindre de rayon a et dehauteur l.5. L’une des equations de Maxwell semble poser un probleme : laquelle ?Expliquer pourquoi.

Planche 169I) 1. Prevoir, sans calcul, la nature du filtre represente ci-dessous.

2. Mettre la fonction de transfert sous la forme

H(x) =1 + jax

1 � x2 + jbxou x = !

!0

·

Donner !0

, a et b en fonction de R, L et C.Exprimer G

dB

(x) et ⇢(x).Determiner les asymptotes.3. On impose en entree un creneau d’amplitudeE dont la decomposition en serie de Fouriers’ecrit :

se RC

R

L

e(t) = E2

+

+1X

n=1

bn sin(n!t) avec b2p = 0 et B

2p+1

= 4E(2p + 1)⇡

·

Determiner s(t) pour ! << !0

et ! >> !0

.

II) Un materiau de conductivite infinie verifie la relation :I

C

~j ~dl = ��

ZZ

S

~B ~dS ave � > 0.

1. Donner les formes locale et integrale des equations de Maxwell.2. Determiner la dimension de �.3. Trouver une equation di↵erentielle verifiee par ~B en regime permanent.4. Resoudre l’equation.

Planche 170I) On donne deux lentilles convergentes L

1

et L2

de focales respectives | f1

| > | f2

|.On place L

1

verticalement sur l’axe optique horizontal.Un rayon arrive avec une inclinaison quelconque en un point A de la lentille, audessus de l’axe optique.1. On souhaite que le systeme soit afocal ; placer L

2

et expliquer.Faire la construction complete du rayon arrivant en A et expliquer.2. On note ✓ l’angle du rayon incident par rapport a l’axe optique et ✓0 celui du

rayon sortant ; exprimer le rapport ✓0

✓·

3. Quel est l’utilite d’un tel systeme ? Quel usage peut-on en faire ?Pourquoi doit-il etre afocal ?4. On place un objet a la distance D de L

1

; expliquer le reglage a faire et calculerla distance entre les deux lentilles.II) Induction (type moteur asynchrone) : une spire conductrice circulaire de centreG, de rayon a, de masse m, de resistance R, est suspendue par un fil inextensibleet sans moment de torsion en O, selon l’axe Oz.

Son moment par rapport a l’axe (Oz) est J = ma2

2·

On la plonge dans un champ magnetique ~B0

= B0

~ex ; on note ↵ l’angle (~ex,~n)ou ~n est la normale a la spire.Pour les applications numeriques, on prendra a = 10 mm, et des valeurs deB

0

, R, m credibles.1. Enoncer la loi de Faraday et definir le moment magnetique du circuit.2. Etablir l’equation di↵erentielle verifiee par ↵.3. Exprimer ↵ en fonction de ↵ (on pourra deriver l’equation di↵erentielle).4. On donne a la spire une vitesse angulaire initiale !

0

. Quel champ faut-il imposerpour que la spire s’arrete de tourner a l’issue d’une rotation d’un angle ↵ ?

Planche 171I) Etude d’un cycle frigorifique avec de l’ammo-niac (1 kg de fluide). On donne : TB = 20�C ;TA = �10�C ; PA = 2, 8 bar ; PB = 8, 6 bar ;la capacite thermique cp = 2, 12 kJ.kg�1.K�1 ;�H

vap

(263 K) = 1300 kJ.kg�1 ;�H

vap

(293 K) = 1180 kJ.kg�1 .AB : compression adiabatique reversible,BC : condensation isobare (le liquide est to-talement condense en C),CD : detente de Joule Thompson. On appellex le titre en vapeur de NH

3

en D,DA : detente isobare.

D

P

V

C E

A

B

1. Faire un diagramme de Clapeyron du cycle.2. Calculer la temperature en B et les transferts thermiques QAB et QCD. Quellefonction d’etat est invariante de C vers D ?3. Calculer W et QDA. Calculer le titre en vapeur x (en D).4. Definir le coe�cient d’e�cacite frigorifique e et le calculer.

5. Definir le cycle de Carnot, questions a son propos sachant que ec =TA

TA + TB·

6. A.N. et comparer e et ec.II) 1. Expliquer le principe de l’interferometre de Michelson ; quel est le role dela compensatrice ?2. En lame d’air : les franges sont-elles localisees ? Comment peut-on les observer ?Decrivez-les. Quelle est la relation donnant l’intensite d’un rayon dont l’angled’incidence avec l’axe des lames vaut i ?3. On remplit avec de l’air un espace initialement vide et, a la fin, le milieu a unindice n ; sur l’ecran, N franges ont defile.On donne e = 5, 0 cm, N = 10, � = 589 nm ; trouver la relation entre n et N .

Planche 172I) On lache un bouchon de masse m dans le goulot d’une bouteille ; on supposequ’il n’y a pas de frottement. On appelle P et V la pression et le volume dans labouteille, P

0

la pression exterieure.A l’equilibre, le volume d’air dans la bouteille est V

0

.1. Quelle est la pression dans la bouteille a l’equilibre ?2. Pourquoi peut-on dire que l’evolution est isentropique ?3. Etablir l’equation di↵erentielle du mouvement du bouchon, pour de petitesoscillations.II) 1. Decrire le dispositif des fentes d’Young a 2 lentilles.2. On place une source dans le plan focal de la premiere lentille, a une distance ade l’axe optique du systeme. Qu’observe-t-on sur l’ecran ?3. Si on fait varier la distance a, que se passe-t-il sur l’ecran ?4. On place une seconde source, symetrique de la premiere par rapport a l’axeoptique ; qu’observe-t-on sur l’ecran ?

Planche 173I) Interferometre de Michelson avec source large monochromatique (� = 0, 5 µm) ;le dessiner ; une fois au contact optique, on deplace le miroir 2 de 1 cm.Decrire le phenomene d’interference. Determiner la phase au centre.Determiner l’ordre d’interference du quatrieme anneau.On precise que la tache au centre n’est pas consideree comme un anneau.On rajoute une lame d’air d’epaisseur e = 1, 0 µm et n = 1, 5.Determiner la variation de l’ordre au centre.II) Chimie en melange gazeux : PCl

5

!PCl3

+ Cl2

.1. Determiner le coe�cient de dissociation ↵ sachant que la densite du melangea l’equilibre est d = 5, 1.2. Calculer la constante de reaction.3. A temperature constante, que se passe-t-il si on augmente la pression ?A-t-on conservation de la masse ? Du nombre de moles ?

Planche 174I) Une cloche, modelisee par une demi-sphere, est posee sur un plan horizontal.On la remplit d’eau par un trou situe au-dessus.Quelle hauteur maximale d’eau peut-on verser au dela de laquelle l’equilibre estrompu ?II) 1. Donner la relation de propagation d’une onde electromagnetique dans levide.2. Que devient cette relation pour une onde plane progressive ?3. Donner l’expression d’une onde plane progressive.

Planche 175 Banque PTI) Le circuit ci-contre est alimente par le generateur

de tension E(t) =E

0

2cos2(!t) = E

0

(1 + cos(2!t).

Determiner la tension aux bornes du condensateur enregime permanent. Dessiner | uC | en fonction de !.Qu’est-ce que la pulsation de coupure ? En donnertrois definitions. Trouver la frequence de coupure.Enoncer le theoreme de superposition (Generateurcontinu et generateur variable).

..C

R

R

A B

E(t)

II) On considere un tube de section S et de longueur L. Il contient un fluide demasse volumique ⇢. Chaque extremite du tube est en contact avec une source dechaleur parfaite, de temperatures T

1

et T2

, respectivement pour x = 0 et x = L.Qu’est-ce que le flux unite ?Pour 0 6 x 6 L, determiner la temperature T (x) en regime permanent.

Planche 176 Banque PTI) Interferometre de Michelson en lame d’air, avec une lampe a vapeur de sodium�1

= 589 nm.1. Faire le schema du dispositif.2. Qu’observe-t-on ? Comment l’observe-t-on ?3. Pourquoi y a-t-il des phenomenes de brouillage pour certaines positions dumiroir ?4. On part d’un brouillage, on deplace le miroir de 1, 055 mm et on voit 6brouillages, determiner �

2

.II) On considere un circuit RLC classique.1. Comment mesurer i(t) ? Faire un schema.2. On a une courbe Im(!). Im est maximum pour ! = 104 rad/s et vaut 0,05 A.Calculer R.3. Calculer la bande passante, la pulsation de resonance.4. Determiner L et C.


Planche 177 Banque PTI) On considere que la Terre est une sphere de rayon R, et qu’elle possede uneconductivite thermique �.

La puissance volumique associee a la radioactivite des roches est p = dPdV

.

1. Rappeler la loi de Fourier et en donner une signification physique.2. Faire un bilan d’energie pour une sphere de rayon r et former l’equation verifieepar T .3. Determiner T en fonction r 6 R, a l’interieur de la Terre.4. Donner un ordre de grandeur de la temperature a l’interieur de la Terre.II) Un alliage est constitue d’atomes de titane, nickel et aluminium, utilise enaeronautique. Les atomes de titane forment un reseau cubique a faces centrees. Lesatomes de nickel occupent tous les sites tetraedriques et les atomes d’aluminiumoccupent tous les sites octaedriques. On donne la valeur du parametre demaille a = 589 pm, les rayons des atomes : r

Ti

= 147 pm, MNi

= 124 pm,rAl

= 143 pm et les masses molaires MTi

= 47, 90 g.mol�1, MNi

= 58, 70 g.mol�1,rAl

= 26, 98 g.mol�1. On rappelle NA = 6, 02.1023 mol�1.1. Dessiner une maille cubique en perspective.2. Determiner la formule de l’alliage.3. Calculer la taille des sites octaedriques et celle des sites tetraedriques.L’inversion de l’occupation des sites est-elle possible ?4. Determiner la compacite et la masse volumique de cet alliage.5. Quel est l’avantage d’utiliser cet alliage ?

Comparer a un acier (⇢acier

= 7 800 Kg.m�3, compacite = 0,70�A) ?

Planche 178 Banque PTI) On considere le cycle du moteur Diesel a 4 temps :- admission du melange ;- compression isenthalpique ;- explosion/echau↵ement isobare ;- detente isenthalpique ;- refroidissement isochore ;- echappement.1. Dessiner le diagramme (P,V).2. Donner le rendement en fonction des taux de compression.II) Le fil interieur, de rayon r, d’un cable coaxial, est parcouru par un courantI. Une couche de vide separe le fil interieur d’une gaine conductrice exterieure,parcourue par un courant I, dans le sens contraire du premier.La gaine exterieure est comprise entre les rayons R

1

et R2

.Calculer le champ magnetique en tout point de l’espace.

Planche 179 ENSAMI) On considere un plasma electriquement neutre. N designe le nombre d’electronspar unite de volume ; e et m designeront respectivement la charge et la masse del’electron. Les ions sont fixes.1. Exprimer le vecteur densite de courant.2. Une OPPM se propage suivant les z croissants.Donner l’equation de dispersion et mettre en evidence une pulsation de coupure.II) Aerostat : on donne la temperature a l’altitude z : T (z) = T

0

� kz.1. En introduisant la masse volumique, donner l’equation di↵erentielle verifiee parla pression P (z). Donner P en fonction de T .2. Le ballon a une masse m et un volume V . Quelle est la condition pour qu’ildecolle ? Quelle altitude limite peut-il atteindre ?

Planche 180 ENSAMI) On dispose d’un reseau comportant 450 traits par mm, eclaire par un doubletde sodium a 589 nm et 589, 6 nm.1. Expliquer les reglages du goniometre.2. Redemontrer la formule du reseau.3. Proposer des applications numeriques.II) Un barreau cylindrique est parcouru par un courant I, dont la di↵usivitethermique se fait radialement. On negligera les e↵ets de bord.1. Enoncer et commenter la loi de Fourier.2. Calculer la puissance volumique de l’e↵et Joule sur un volume dV .3. Realiser un bilan d’energie d’un volume compris entre r et r + dr.En deduire une equation di↵erentielle sur T .

Planche 181 TPMateriel : toupie, gyroscope, tachymetre, chronometre.Objectif : etudie qualitative et quantitative des e↵ets gyroscopiques.I) Analyse qualitative : la toupie.Decrire le mouvement d’une toupie dans le cas ou le point de contact reste fixe.En quoi ce mouvement est-il paradoxal ? Quelles en sont les grandeurs car-acteristiques ?Quelles approximations peut-on faire ?II) Analyse quantitative : le gyroscope.Un gyroscope est constitue d’un disque pouvant etre mis en rotation a l’aided’une ficelle ou a la main. L’axe de ce disque tourne autour d’un axe vertical.Des masselottes coulissantes et une vis en bout d’axe, permettent de deplacer lecentre de masse du gyroscope.Si ce dernier se trouve sur l’axe de rotation vertical, le gyroscope est alors equilibre.A- Rotation autour d’un axe fixe : proposer un protocole experimental permettantde mesurer J , moment d’inertie par rapport a son axe, du disque de masse 1, 5 kg,de diametre 25 cm ; le realiser ; comparer avec la valeur theorique attendue.Le disque ne tournant pas, on laisse evoluer l’axe du gyroscope non equilibrea partir d’une position horizontale ; apres avoir decrit et mis en equation lemouvement, mesurer le moment (quelle est son origine ?) exerce sur le gyroscope(on introduira le moment d’inertie I du gyroscope par rapport a un axe horizontalque l’on estimera numeriquement en justifiant les approximations faites).B- Rotation autour d’un point fixe : sans modifier la position des masselottes,mettre en evidence le phenomene de precession.Dans le cadre de l’approximation gyroscopique (que l’on justifiera), etablir etverifier experimentalement la relation (on notera Tp la periode de precession etT0

la periode propre).Mettre en evidence le phenomene de nutation.Etablir et verifier experimentalement la relation.Les deux examinateurs sont passes ensembles 3 fois pendant les 3heures.Ils posaient beaucoup de questions sur la comprehension des phenomenes et leursorigines. Ils verifiaient que les mesures soient faites au bon moment pour que lavitesse soit bien constante et non pendant la phase d’acceleration.

Planche 182 TP � Filtre RIAAUtilite : le processus d’enregistrement d’un disquevinyle favorise les aigus ; on veut empecher cephenomene.Predetermination :1. Calcul de la fonction de transfert H(j!) sous

la forme H(j!) = H0

1 + j !!1�

1 + j !!2

��1 + j !

!3

� et

donner les elements caracteristiques.2. Donner la relation liant ! et f .A.N. : R

1

= 1 k⌦ , C2

= 330 nF , C3

= 100 nF,f2

= 50 Hz, f3

= 2000 Hz.Trouver R

2

et R3

, et en deduire f1

.

+-R

1

U

R2

R3

C2

C3

A1

Ue s

3. Faire le diagramme de Bode asymptotique en gain.On dispose de resistances de 10 k⌦, 1 k⌦, et 820 k⌦ pour le montage.Manipulation :1. Realiser le montage, verifier qu’il fonctionne correctement.Tracer le diagramme de Bode complet et superposer le diagramme asymptotique.

2. On ajoute un deuxieme circuit, quisimule l’enregistrement et la lecture d’undisque vinyle.Quelle est la nature du filtre ?3. Tracer a nouveau le diagramme de Bodecomplet.4. Etudier les defauts et les saturations(frequence, amplitude) du circuit.

+-

R1

U

R2

R3

C2

C3

U er

Planche 183 TP : interferences et di↵ractionMateriel a disposition :- 1 laser vert,- 3 bifentes d’Young avec des ecartements di↵erents entre les fentes,- 1 fente fine dont on ne connaıt pas la largeur,- 1 objet di↵ractant inconnu,- 1 CD,- 3 reseaux avec 150, 300 et 600 traits/mm.1. Commenter les di↵erentes figures de di↵raction.Determiner la longueur d’onde du laser par deux methodes di↵erentes.2. Determiner les caracteristiques d’un objet inconnu.3. Distance entre les sillons du CD.

Concours Divers � TSI

Planche 184 Centrale-SupelecOn considere un cable coaxial de longueur infini et d’axe ~z.L’ame est cylindrique, de rayon a et porte la charge lineique �(t).La gaine enrobant l’ame a un rayon b > a.1. Que signifie ARQS ? Pourquoi on considere V (t) au lieu de V (z, t) ?2. Quelle est la charge portee par la gaine exterieure ?3. Par des considerations de symetrie, determiner la direction du champ cree ~E,puis le calculer.4. Calculer la capacite lineique ".5. Calculer l’energie electrique dans le cable, par unite de longueur.6. Donner une autre definition de " a l’aide de l’energie.

Planche 185 CCPI) Physique :1. Calculer le champ electrostatique et le potentiel qu’une charge ponctuelle placeeen O creerait en un point A.2. Calculer ensuite le champ electrostatique et le potentiel crees par une spherechargee uniformement en volume.3. Rappeler la definition entre champ et potentiel.II) Chimie : l’atome de brome Br, de numero atomique Z=35, est compose d’unmelange equimolaire.La di↵erence de masse entre les deux isotopes est de 2 g/mol et la masse atomiquemoyenne est de 78, 9 g/mol.1. En deduire la masse de ses isotopes.2. Donner la configuration electronique de l’atome de brome.3. Donner le nom de la colonne dans laquelle il se trouve puis donner un elementde cette meme colonne.4. Donner le nombre d’oxydation de cet element.5. Donner sa structure electronique.

Planche 186 CCPI) Chimie : presentation de la structure electronique des atomes H, C, N, Cr.Structure de Lewis des molecules de H

2

O, CH4

, NH3

et de l’ion NH+

4

.

0n dispose de 125 g de gaz d’une molecule et d’un recipient de 125 ml. A l’etatfinal, de combien de ml de liquide dispose-t-on ? On definira toutes les donneesnecessaires.II) Physique : rails de Laplace.Dans un champ magnetique, on dispose deux rails conducteurs de resistance nulle,sur lesquels sont posees 2 tiges de resistance R et de longueur l.On applique sur chaque tige une force de meme direction que les rails, mais desens oppose, au moyen d’une ficelle et d’une poulie et de masselottes.Determiner le mouvement des tiges et retrouver l’evolution de leur vitesse avec,pour condition initiale V (0) = 0.

Concours Divers � ATS

Planche 187I) Trouver la pulsation et la periode d’un cylotron.

II) Une sphere de rayon r est chargee au potentiel V =qe�r/a

4⇡"0

r·

Trouver le champ electrique, le flux et la charge interieure.III) Donner la composition du noyau, la configuration electronique et celle deLewis de l’atome Na23

11

.Ou se trouve-t-il dans le tableau periodique des elements ?


Index Mathematiques

AApplication 47Application lineaire 46Arithmetique 21, 23, 32, 262, 270

CConique 17, 106, 252Courbe plane 34, 105, 114, 151, 176, 215, 232, 292, 300, 302, 304, 307, 322

DDenombrement 57Determinant

Calcul 150, 198, 258, 268, 288

EEndomorphisme 33, 72, 74, 130, 166, 182, 193–194, 200, 214, 217, 229, 240, 245, 279

Endomorphisme nilpotent 209, 283Projecteur 30, 88, 117, 226

Equation differentielleProbleme de Cauchy 109

Equation differentielle du premier ordre 41, 101, 175, 199, 203, 229, 277, 318

Equation differentielle du second ordre 28, 38, 64, 177, 181, 207, 247, 284, 286, 292,310, 321

Solution developpable en serie entiere 185Espace euclidien

Adjoint d’un endomorphisme 140, 201, 219, 242, 262Base orthonormale 223, 262Distance a un sous-espace 227, 246Endomorphisme symetrique 143, 244Orthogonalite 117, 169, 226, 230, 246, 253, 299Produit scalaire 96, 163, 196, 202, 218, 303Produit vectoriel 290Projecteur orthogonal 149, 170, 213Rotation 125, 134

Espace hermitien 95, 215Espace vectoriel

Base duale 99Forme lineaire 168Hyperplan 58, 66Sous-espace vectoriel 189, 278

Espace vectoriel norme 27, 63, 73Continuite 263Norme 52, 105, 114, 152Normes equivalentes 109, 222

FFonction de deux variables 11, 174

Equation aux derivees partielles 195, 324Extremum 100, 210

Fonction de plusieurs variables 71, 151, 207, 221Differentielle 86Extremum 153, 197, 233, 264Point critique 244

Fonction reelle de la variable reelleContinuite 4, 56, 97, 110, 278Convexite 77Derivation 33, 53, 56, 67, 70, 97, 123, 129, 237Developpement limite 62

Etude de fonction 306, 317Developpement limite 145

Etude de fonction 145Fonction reelle de la variable reelle 128Forme quadratique 20, 208, 294

GGeometrie affine 62, 172, 288Geometrie euclidienne 27, 228, 281Geometrie dans l’espace 317

IInegalite 196Integrale a parametre 76, 97, 112, 138, 143, 154, 156, 158, 163, 171, 184, 189–190, 223,

228, 246, 252, 257, 263, 274, 284, 293, 315, 318Calcul d’integrale 275, 321Integrale double 49, 58, 174, 206Integrale fonction de sa borne superieure 100, 182, 212, 286Integrale impropre/generalisee 13, 42, 44, 50, 58–59, 62, 64, 97, 105, 132, 140, 148, 157,

166, 187, 199, 216–218, 221, 227, 230, 240, 242, 260–261, 280, 287, 294, 316Suite d’integrales 44, 194, 216, 225, 240, 245, 272, 308–309Theorie de l’integration 142, 259

MMaple

Arithmetique 81–82Conique 318Courbe plane 87, 92, 107, 126, 135, 309, 312–313Endomorphisme 94

Equation differentielle 90, 118Espace euclidien 102, 121Fonction de deux variables 119, 124Fonction reelle de la variable reelle 289, 314Geometrie affine 116Integrale a parametre 119, 133Integrale generalisee/Integrale impropre 137Laplacien 288Nombres complexes 84Normes equivalentes 102Polynome 85, 139, 287Quadrique 98, 308, 316Reduction des endomorphismes 104, 111, 127, 310Serie de Fourier 124, 283Serie numerique 116, 137, 285, 307, 311Suite 115, 290Suite de fonctions 80Surface 113, 119, 315

Matrice 32, 37, 61, 64, 66, 68, 117, 160, 165, 177, 192, 272

Commutant 234Determinant 63, 69, 180, 203, 220, 291, 298Exponentielle de matrice 73, 159Matrice antisymetrique 144, 321Matrice orthogonale 173, 231, 273, 276, 291, 314Matrices semblables 122, 125, 162, 179, 275Matrice symetrique 55, 70, 79, 142, 148, 197, 220, 250Matrice unitaire 22Polynome annulateur 248Polynome caracteristique 184, 254Polynome de matrice 60, 72, 178, 211Trace 29, 67, 158, 260, 291

NNombres complexes 27, 52, 99, 146, 186, 267

Homographie 9Transformation complexe 174, 216

PPermutation 35

cycle 18Matrice de permutation 6

Polynome 19–20, 78, 162, 164, 190Polynome a coefficients entiers 157Polynome a coefficients rationnels 141Base 249Division euclidienne 305, 311Racines 134, 320

QQuestion de cours

Convergence d’une integrale impropre usuelle 143Critere special des serie alternees 302, 305Developpement en serie entiere 300Diagonalisation 181Diagonalisation dans R 299

Egalite des accroissements finis 303Espace vectoriel 302Formule de Parseval 272Inegalite de Bessel 201Inegalite de Cauchy-Schwarz 212, 303Projecteur et symetrie 305Projecteur orthogonal 194Rayon de convergence 300, 321Reflexion 170Somme de sous-espace vectoriel 300Sommes de Riemann 301, 306Theoreme de Dirichlet 303–304Theoreme des series alternee 77Trigonometrie 306

RReduction des endomorphismes

Diagonalisation 41, 59, 65, 78, 89, 95–96, 106, 122, 155–156, 167, 171, 175, 185, 195,199, 204–205, 227, 233, 235–239, 241, 243, 255, 258–259, 264–265, 271, 277,284–286, 288, 293, 296–297, 301, 323

Elements propres 5–6, 10, 15, 52, 54, 60, 120, 145, 154, 164, 183, 186, 188, 191, 206,251, 257, 272, 280, 289, 295

Matrice symetrique 181Polynome annulateur 152Polynome caracteristique 190, 247, 274Sous-espace stable 83, 269Trigonalisation 146, 225

SSerie de fonctions 14, 40, 69, 72, 132, 140, 144, 149, 151, 159, 173, 179, 209, 213,

229–230, 232, 234, 238, 246, 250–251, 256, 271Serie de Fourier 16, 75, 103, 132, 136, 149, 173, 191–192, 200–201, 234, 241, 243–244,

253, 276, 294Serie entiere 23, 77, 93, 110, 158, 161, 167, 180, 183, 186, 199, 202, 205, 211, 214, 226,

249, 255, 260, 266–267, 287, 312–313, 319, 322–323Serie numerique 14, 36, 43, 68, 101, 128, 131, 136, 138, 141, 146, 150, 155, 168–170,

172, 176, 178, 188, 193, 198, 204, 220, 222, 224, 231, 235–236, 238–239, 242, 248,254, 258, 269, 291, 295, 308

Structure 12, 15Loi interne 130Structure de corps 141Structure de groupe 7, 25, 29, 39, 147, 153, 161

Suite de fonctions 88, 91, 129, 157, 208Suite reelle 1, 26, 31–32, 37, 45, 60, 66, 74, 103, 112, 123, 147, 160, 165, 219, 265, 268,

270, 273, 281, 296–298, 320Surface 96, 261, 266, 319, 321, 324

quadrique 160Systeme differentiel 2, 8, 41, 48, 89, 131, 225Systeme lineaire 187, 210

TTopologie 2, 17, 25, 51, 79, 197, 205

Continuite 162Topologie d’espace vectoriel norme 15, 22, 24, 86, 279

L’officiel de la taupe numero Page c© MMXIII Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

Index Physique-Chimie

CChimie

Acide Base 43Atomistique 151, 159, 186Cinetique 13, 32Cristallographie 79, 151, 154, 177Diagramme binaire 65Diagramme d’Ellingham 64, 154–156Electrolyse 18, 160Chimie organique 19, 32, 43, 74Oxydo-reduction 65, 74, 76, 79, 82Solubilite 43Solutions aqueuses 43, 74Structure electronique 185Synthese 149Thermochimie 31, 66, 159, 164, 173

Conduction 7, 11, 25, 59, 70–71, 73, 84, 98, 121, 134, 143, 156,165, 167, 175, 177, 180

Convection 7, 25, 59, 69, 83, 134, 147, 165, 177, 180Corps noir 137

DDi↵usion 3, 10, 70, 92, 129Di↵usion brownienne 158

EElectricite 44, 49, 56, 78, 80–81, 120, 134Electricite

Circuit 6, 23, 50, 80, 90, 96, 118–119, 122, 126, 131,135–136, 138–139, 152–153, 157, 175–176, 182

Condensateur 6Filtre 169, 182

Electrocinetique 17, 56, 69–70, 78, 83, 132, 167Electromagnetisme 1, 9, 11, 15–16, 21, 30, 34, 46, 51, 60, 63,

81–83, 86, 92, 95, 97, 101, 104–107, 114, 132, 142, 144,147, 165, 168–169

ElectromagnetismeCable coaxial 178, 184Dipole 21Flux 123, 125Induction 88, 163, 170, 186Onde 133, 141Plasma 15, 141, 179

Electrostatique 2, 7, 41, 44, 78, 130–131, 134, 137, 152, 185,187

GGuide d’onde 113

HHacheur 155Hydrostatique 12, 76

IInterferences 11, 61, 75, 106, 145, 162, 173

MMagnetostatique 1, 99–100, 104, 121Mecanique 2, 6–8, 15, 37, 54, 88, 91, 97, 105–106, 114Mecanique des fluides 35, 45, 77, 115, 124, 130, 132, 142, 144,

146, 151Mecanique du point 3, 8, 13, 24, 27, 36, 38, 53, 82, 84–86, 88,

94, 103, 111, 117, 124–125, 130, 133, 141, 146, 187Mecanique du solide 4, 22, 29, 52, 55, 58, 85, 87, 89, 93,

100–102, 104, 120, 132, 136, 140, 143, 161, 186Mecanique

Corde 112, 148Oscillateur 122, 128, 130Probleme a deux corps 3, 13, 125

Mouvement a force centrale 117

OOnde 14, 46, 67, 70–73, 103, 118–119, 122, 133, 141, 164, 174,

179Ondes acoustiques 129

Optique 5, 20, 47, 93–96, 126, 157, 176Di↵raction 68, 98, 127, 166

Interferences 11, 61, 75, 106, 145, 162, 173Interferometre de Michelson 115, 128, 171, 176Optique geometrique 5, 62, 106, 135, 156–157, 163, 170Reseau 180Fentes d’Young 172

PPlasma 15, 87, 141, 179Propagation dans un fluide 70Propagation dans un tuyau 70

QQuestion de cours

Approximation des regimes quasi-permanents 117Champ cree par un segment 131Changement d’etat du corps pur 108, 111Chimie Cinetique 13Chimie epoxydation 18Chimie reducteurs en chimie organique 116Chimie substitution nucleophile 19Chimie titrage redox 149Circuit 153Conditions de Gauss 47Conversion de puissance 120Di↵raction 110Di↵raction par un rseau 98E↵et de peau 117Etat libre, etat lie 84Etude phenomenologique des fluides 124Forces centrales 84Impedance acoustique 67Interaction entre fluide et solide 15Interferences 11Interferometre en coin d’air et lame d’air 115Loi de Fourier 70Machine frigorifique 109Mecanique des fluides 17Montage de Fraunho↵er 127Onde acoustique 129Onde plane polarisee monochromatique 99Ondes dans un fluide 71Optique geometrique 102Oscillateur mecanique 128Poussee d’Archimede 112Probleme a deux corps 13, 125Reseau, mesure de l’intensite di↵ractee 113Second principe 162Spectroscopie par les reseaux 110Unite du potentiel vecteur 109Vecteur de Poynting 99

RRayonnement 28, 59

SStatique des fluides 12, 76, 148, 174, 179

TThermodynamique 10, 26, 28, 33, 39–40, 42, 45, 57, 67, 69, 72,

79, 89, 91, 114, 145, 165–166, 172, 178Changement d’etat 57, 123Cycle 138, 168, 171Entropie 89, 123, 139–140Pompe a chaleur 119, 127

Travaux PratiquesChimie Dosages 116Chimie Reduction d’une cetone 150Demodulation d’amplitude 48Di↵raction 183E↵et gyroscopique 181


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L'OFFICIEL FFICIEL DE LA TAUPE AUPE · 2015-09-21 · g en eral pas encore et e assimil ees par la plupart des etudiants de premi ere ann ee. ... 2084. document MS Word c au format