Logique

LOGIQUE PROFESSEUR : JEAN-LUC GAUTERO

Jeudi 26 Septembre 2013

Jeudi 3 Octobre 2013



Mercredi 23 Octobre 2013

Jeudi 7 Novembre 2013




Jeudi 19 Dcembre 2013

JEUDI 26 SEPTEMBRE 2013

INTRODUCTION

DEFINITION

Logique Logos (= discours, rationalit).

La logique est ltude du raisonnement, cest lart de la controverse Elle soppose la

rhtorique pour faire apparaitre la structure de largumentation.

Cest connaitre les arguments rationnellement forts.

La logique daprs certaines tudes serait ltude de la vrit. Cependant tout dpend de quelle

vrit il sagit

La logique est ltude des vrits dduites, ltude des dductions, ltude du raisonnement

La logique depuis ses origines chez les grecs est cens donner des schmas de raisonnement abstrait qui

font sortir tout ce qui est du domaine de la culture, de laffectif, des diverses connotations que lon peut

attacher au mot et tout cela ne fait que troubler notre raisonnement. Il y a toujours dans un raisonnement

rel des failles qui ne sont peut-tre pas perceptibles dans le raisonnement abstrait.

La rhtorique peut avoir raison contre la logique parce que la logique vacue comme tant dpourvue

dutilit un certain nombre dlments du discours que la rhtorique maintient. Il faudra en logique que

lon tudie des raisonnements purement formels dnus de rhtorique.

QUELQUES LOGIQUES

Lun des points fondamentaux de la logique traditionnelle est sa logique binaire. Tout fonctionne partir

du vrai et du faux. Il y a seulement le vrai et le faux. Au cours du XXe sicle un certain nombre de logiciens

sest rendu compte que cette discussion tait beaucoup trop grossire et ont introduit des logiques

diffrentes.

La logique modale considre aussi quil ny a que le vrai et le faux mais considre galement quau sein de

la vrit et du faux, il y a des vrits et des faussets diffrentes.

Le losange cest le possible, cest ce qui peut tre vrai. Ce quon appelle contingent cest ce qui est possible

mais nest pas ncessaire.

Possible : peut-tre vrai. Ex : 2+2=4

Contingent : peut-tre vrai, peut tre faux. Ex : Il fait beau

Ce qui est obligatoire nest pas forcment vrai. Il y a une infinit de systmes de logiques ontiques. Les

divers systmes de logiques ontiques et dontiques sont bien classifis par les logiciens. Il y a des

systmes de logique qui posent bien plus de problme que cela. Le champ est toujours trs ouvert et on

est toujours dans la construction de nouveaux systmes.

Il y a des systmes de logique temporels. Cad des systmes de logique qui font intervenir dans le cadre de

ltude logique la faon, le fait de savoir si tel vnement, nonc, se situe avant ou aprs.

On ne construit pas un systme de logique par plaisir mais parce quon veut essayer de clarifier tel ou tel

notion que lon emploie de manire confuse. Le systme de logique permet de clarifier et dexpliciter nos

prsupposs. Les infinits de systme logique se collent les uns aux autres, il y a beaucoup de

ressemblances et la diffrence repose sur la relation avec le vrai.

Pour dire que quelque chose est obligatoire on ne se proccupe pas de savoir si cela se droule dans notre

monde.

Les Mathmaticiens utilisaient la logique dans le cadre de leur activit mais ils ne rflchissaient pas la

logique. Au XIXe sicle la complexification des raisonnements oblige les mathmaticiens rflchir sur la

logique. Ils ont commenc se pencher en tant que mathmaticien sur la logique et tudier la logique

comme ils tudient les systmes mathmatiques. Le modle mathmatique que lon a depuis lantiquit est

celui dEuclide. Il y a un certain nombre de dfinitions de sa part qui construise le modle mathmatique

actuel.

La logique, de plus en plus, est devenue une logique formelle dans laquelle on manipule des formules.

JEUDI 3 OCTOBRE 2013

La logique telle quelle stait mise en place la fin du XIXe sicle ressemblait beaucoup un systme

mathmatique avec des ACTIUM, des rgles de dduction qui permettent dtablir des thormes. Cette

prsentation permet de multiplier les logiques. Cette approche est la plus rigoureuse et en mme temps la

plus difficile. Ltude de lemploi des termes :

Premier groupe : ils vont lier ou sparer des membres de phrase

non

et

ou

sialors

quivaut

Seconde groupe : sera tudi au Deuxime Semestre

(Pour) tout

Certains...

LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE

DEFINITION

Il y a des propositions grammaticales en franais mais le sens de proposition en logique nest pas le mme.

Quappelle-t-on une proposition ?

On appelle proposition un assemblage de mots dune langue vrifiant les 3 proprits suivantes :

Il est syntaxiquement ou grammaticalement correct

Il est smantiquement correct : Il a un sens.

Le positivisme a supprim des propositions comme Labsolu est bleu car

personne nest capable de dire la couleur de labsolu ou ce que reprsente

vraiment labsolu ; lEsprit saline est dpourvu de sens.

Cette deuxime caractristique est quelque de parfaitement pertinent car il faut

que les lments de base de notre discours aient un sens mais il nest pas

forcment vident quant savoir ce qui a un sens et ce qui nen a pas.

Louis XIV est un nombre premier est syntaxiquement correct mais

smantiquement incorrect car premier ne sapplique pas Louis XIV ntant pas

un nombre.

Il doit tre sans ambigut.

Le paradoxe du Crtois de Epimnide dit que tous les crtois sont des menteurs. Epimnide peut trs bien

dire quelque chose de faux quand il dit que tous les crtois sont des menteurs. Certains crtois peuvent

parfois dire la vrit.

Eubulide a rform le paradoxe dEpimnide en disant : je suis en train de vous mentir . Il y a un

paradoxe.

UNE PROPOSITION EST TOUT CE QUI EST VRAI OU FAUX

Il y a des cas lesquels il ny a pas beaucoup dambigut.

Une proposition peut tre la fois vraie ou fausse. Russel prend la prcaution de se prmunir contre la

question mais rpond avec rigueur. Russel crit en premier lieu pour ne pas exclure la possibilit dun

si mais je pense quil faut limiter lemploi du mot proposition ce qui peut tre en quelque sens que ce

soit en symbolique une proposition nest pas forcment verbale mais cest un ensemble de

symboles .

Aristote a crit tout discours nest pas une proposition, mais seulement le discours dans lequel rside le

vrai ou le faux Ainsi la prire est un discours mais nest ni vrai ni faux Limportance du vrai et du

faux

Lattitude propositionnelle consiste sinterroger sur la vrit ou la fausset dun nonc. Dans ce cas-l il

y a une proposition. Il y a ce quon appelle des propositions simples et des propositions composes.

Ex : Nous sommes le 3 Octobre et nous sommes en cours de logique .

Cest une proposition ou plutt 3propositions :

o Nous sommes le 3 Octobre

o Nous sommes en cours de logique

o Nous sommes le 3 Octobre et nous sommes en cours de logique

Nous sommes le 3 Octobre et nous sommes en cours de logique est une proposition compose

de 2 propositions.

Nous sommes est insuffisant pour dire si cest vrai ou si cest faux. Donc ce nest pas rellement

une proposition.

Une proposition simple est un lment indcomposable. Une proposition compose est construit de

propositions simples.

Ex : Paul et Quentin sont coupables

Peut tre traduit par :

o Paul est coupable

o Quentin est coupable

Il sagit dune proposition compose car la vrit dpend de Paul est coupable et de Quentin

est coupable .

La vrit de la proposition compose dpend de la vrit des propositions composantes.

Ex : Paul est malade parce quil a mang tous les jours au Restaurant Universitaire

Il y a deux propositions

o P1 Paul est malade

o P2 Paul a mang tous les jours au Restaurant Universitaire

Ce nest pas une proposition compose car il peut y avoir une vrit diffrente pour la

proposition compose

P1 et P2 peuvent tre vrais, P peut tre vrai mais ce nest pas le rsultat de P1 et P2.

Avec la mme vrit pour les 2 propositions il peut y avoir une valeur de vrit diffrente pour P.

Toute proposition qui contient plusieurs propositions nest pas forcment une proposition

compose, elle sera considre comme proposition simple.

Ex : Je crois que vous commencez en avoir assez

Deux propositions

o P1 : Je crois

o P2 : que vous commencez en avoir assez

Ce nest pas une proposition compose mais une proposition logiquement simple : sa vrit

dpend uniquement de ce que je crois et on doit considrer en bloc la proposition.


EXERCICE POUR LE 10/10

1) Nul nentre ici sil nest gomtre.

Proposition vraie

Ce nest pas une proposition compose car il y a une des parties qui nest pas isolment

une proposition

2) Nul nentre ici sil nest gomtre !

Ce nest pas une constatation cest une interdiction de rentrer ici sils ne sont pas

gomtres.

A travers cette interdiction on donne une information qui fait penser quil y a une

proposition.

La phrase ne nous donne pas rellement une information sur ltat mais elle cre un tat.

Ce nest donc pas une proposition

3) Romo et Juliette sont vronais.

On peut penser que ce nest pas une proposition parce que les sujets sont des tres fictifs.

Cependant si introduit ces personnages dans le contexte de notre monde alors il sagit

dune proposition vraie.

Cest une proposition compose car :

Romo est vronais

Juliette est vronaise

4) Romo et Juliette saiment

Proposition Simple mais aussi

une proposition Compose : ide de rciprocit

Romo aime Juliette

Juliette aime Romo

5) Romo et Juliette forment un couple tragique

Proposition simple

6) La phrase 11 est fausse

a parle dune chose qui nexiste pas, a na pas de sens, ce nest pas une proposition

Il ny a pas de phrase 11, or on parle dune phrase 11, a ne peut pas tre vraie donc cest

une proposition fausse.

7) La phrase 10 est fausse

La phrase 10 existe contrairement la phrase 11.

Quand jarrive la conclusion que la phrase 7 est vraie je trouve que 7 nest pas vraie.

Ni 7, Ni 10 ne sont des propositions

8) Mais que diable allait-il faire ?

Dans une interrogation on ne peut savoir ni si cest vrai ni si cest faux

Ce nest pas une proposition

9) La phrase 6 est vraie

Si 6 nest pas une proposition

9 me disant que 6 est vrai me dit que cest une proposition hors 6 est faux donc

9 me ment

9 me donne la vrit de quelque chose qui nest pas une proposition donc 9

nest pas une proposition

Si 6 est une proposition fausse

La phrase 6 est vrai est faux et si cest vrai cest une proposition

CODES ET CONNECTEURS LOGIQUES

CODIFICATION POUR PROPOSITIONS SIMPLES

p, p, q, q, r, s,

CODIFICATION POUR PROPOSITIONS COMPOSEES

A, B, C, D,

CONNECTEURS LOGIQUES :

Et (KPQ) (conjonction). Ex : (pq) ; (p.q) ; (p^q) ; (p&q) Paul et Quentin

Ou(APQ)

Inclusif (disjonction inclusive). Ex : (qup) Paul ou Quentin

Exclusif (disjonction exclusive). Ex : (qwp) Paul ou Quentin

Si Alors (CPQ)(implication). Ex : (pq) ; (p>q) ;(p=>q)

quivaut (EPQ) ( si et seulement si). Ex : (pq) ; (pq) ; (pq) ; (pq)

Non (ngation) : () ;

LES TABLES DE VERITE

Les tables de vrit sont fondes partir des connecteurs logiques et les tableaux se dclinent en fonction

des connecteurs logiques. Tous les rsultats que lon obtient partir des tables de vrit peuvent sobtenir

partir du systme axiomatique ( ?) La prsentation axiomatique est une prsentation syntaxique partir

daxiomes. Les tables de vrit ont t introduites par le philosophe Wittgenstein dans un ouvrage paru en

1922. Dautres disent que cest Emile Post qui serait lorigine du tableau de vrit.

TABLE DE BASE

Une proposition peut tre vraie ou fausse.

Vraie Faux

V F T 1 0

I TABLEAU A 2 PROPOSITIONS

Paul et Quentin sont coupables

Paul (P) Quentin (Q) 1 1 1 0 0 1 0 0

II TABLE A 3 PROPOSITIONS

Quand on ajoute une proposition le nombre de cas est multipli

Paul (P) Quentin (Q) Raphael (R)

1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Pour lexamen terminal en logique et lexercice en continu : tous les documents sont autoriss, il sagit

dtre capable dutiliser la logique.

III LA NEGATION

Tableau de la ngation :

P

1 0 0 1

Russel imaginait un moment quil y avait des propositions par essence affirmatives et par essence

ngatives.

Ex : Paul est mort est ngative car par essence Paul nest plus vivant

Cependant il mit fin ce raisonnement.

IV LA CONJONCTION (ET)

Dsigner la conjonction par (Et) est cependant restrictif et on peut la dsigner de divers manires que le

professeur ne nomme pas.

P Q (pq)

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

EXERCICE POUR LE 17/10

ENONCE : FAIRE UN TABLEAU ET DES PHRASES

TABLEAU

1)

2)

3) Paul est coupable et Quentin est innocent

PHRASE

1) Les lphants qui ont peur des souris se trompent normment

2) Les lphants, qui ont peur des souris, se trompent normment.

3) Oblix est un gaulois bien envelopp

4) Oblix est tomb dans la marmite de potion magique quand il tait petit

5) Si tu veux voyager loin, mnage ta monture !

6) Qui veut voyager loin mnage sa monture.

7) Je vous dclare unis par les liens du mariage

EXERCICE

TABLEAU

3) Paul est coupable et Quentin est innocent

P Q (pq)

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

PHRASE


Proposition Vraie

1 proposition


Proposition Vraie

1 Proposition


Proposition Vraie

1 proposition



Ce nest pas une proposition




CORRECTION

PHRASES


Impossible de savoir si cest vrai ou non


Plusieurs propositions

les lphants se trompent normment

les lphants ont peur des souris


On fait comme si on peut faire des propositions sur des personnages fictifs

envelopp nest pas un terme trs prcis mais il reste suffisant pour dterminer la vracit

de la proposition

La vrit dpend de gaulois et de envelopp

Conjonction des 2 propositions


Ce nest pas une proposition compose car dcoup la phrase perd de son sens originel.


Pour un ordre ou une prire on ne peut pas dterminer le vrai ou le faux alors quun conseil

peut tre une proposition

Ce nest pas une proposition compose mais une proposition simple mme si on pourrait y

voir une certaine proposition compose


Qui mnage sa monture ? Celui qui veut voyager loin.

Sil y a quelquun qui veut voyager loin et qui ne mnage pas sa monture cest faux


.

TABLEAU

P : Paul est coupable Q : Quentin est coupable

1) Paul et Quentin ne sont pas tous les deux coupables : Ngation (pq)

2) Paul et Quentin sont coupables ( )

3) Paul est coupable, Quentin est innocent : (p)

Tableaux :

P Q (pq) Ngation (pq)

( ) (p)

1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

V LA DISJONCTION

(p v q) : disjonction exclusive

p q (p v q) 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

IMPORTANT :

(pq) et ( ) ne sont pas pareils

(p v q) et v ne sont pas pareils

P Q (p v q) (p v q) ( v) ( ) 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1

EXERCICES

ENONCE

Dfinir p et q, R, S, avant de commencer lexercice.

Formaliser puis faire les tables de vrit des phrases suivantes :

1) Paul et Quentin sont coupables mais de Ren et Simon lun au moins est innocent.

2) De Paul et Quentin lun au moins est innocent mais de Ren et Simon lun au moins est au

coupable.

3) Paul et Quentin ne sont pas tous deux coupables et Ren et Simon ne sont pas tous deux

innocents.

4) Paul et Quentin sont tous deux coupables mais Simon et Ren ne sont pas tous deux innocents.

5) ((q v n)) A Traduire en tableau

6) ((pq) v n) A Traduire en tableau aussi ouais aussi

MERCREDI 23 NOVEMBRE 2013

CORRECTION

1) ((pq) (v))

2) ((v) (rvs))

3) (pq) ()

4) ((pq) ())

5) Tableau : ((q v n))

p q r s (pq) (v) A (v) (rvs) B

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

C ET d

p q r s (pq) (

1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

VI LIMPLICATION

Si alors

P Q (pq) (qp) 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1

Il faut que Pierre soit coupable pour que Quentin soit coupable (q p).

Il suffit que Pierre soit coupable pour que Quentin soit coupable (p q).

Que Pierre soit coupable est une condition suffisante pour que Quentin soit coupable / La culpabilit de

Pierre est une condition suffisante de celle de Quentin (pq)

La culpabilit de Pierre est une condition ncessaire de celle de Quentin. (Q p)

EXERCICES POUR LE 7/11

1) La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin nimplique pas linnocence conjointe de Ren et

Simon.

2) Dune part si Pierre est coupable Quentin est innocent ; dautre part si Ren est coupable Simon

est innocent

3) Si Pierre est coupable alors dune part Quentin est innocent et dautre part si Ren est coupable

Simon est innocent.

4) La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin implique que Ren et Simon ne sont pas tous deux

innocents

5) La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin est une condition ncessaire de linnocence de Ren

et Simon

JEUDI 7 NOVEMBRE 2013

EXERCICE

Paul, Quentin, Ren et Simon sont coupables (pqrs)

Paul, Quentin, Ren et Simon ne sont pas coupables : (pqrs)

1) La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin nimplique pas linnocence conjointe de Ren et

Simon. (rs) (pq)

2) Dune part si Pierre est coupable Quentin est innocent ; dautre part si Ren est coupable Simon

est innocent (qp) ( sr)

3) Si Pierre est coupable alors dune part Quentin est innocent et dautre part si Ren est coupable

Simon est innocent. (q(sr)) p

4) La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin implique que Ren et Simon ne sont pas tous deux

innocents (r v s) (pq)

5) La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin est une condition ncessaire de linnocence de Ren

et Simon. (rs) (pq)

p q r s (pq) (v) ( r) (p) ((r))

0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0

0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0

1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0

1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0

0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0

0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0

CORRECTION

A. La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin nimplique pas linnocence conjointe de Ren et

Simon. ((pq) (rs))

B. Dune part si Pierre est coupable Quentin est innocent ; dautre part si Ren est coupable Simon

est innocent ((pq) (rs))

C. Si Pierre est coupable alors dune part Quentin est innocent et dautre part si Ren est coupable

Simon est innocent. (p (q(rs)))

D. La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin implique que Ren et Simon ne sont pas tous deux

innocents ((pq) (rs))

E. La culpabilit conjointe de Pierre et Quentin est une condition ncessaire de linnocence de Ren

et Simon. ((rs) (pq))

p q r s (pq) () A (pq) (rs) B (q(rs)) C (rs) D E

1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0

0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0

VII LEQUIVALENCE

Pour construire la table de vrit de lquivalence il faut regarder en mme temps 2 colonnes.

Ncessaire + Suffisant : Equivalence

Ncessaire : Implication

Suffisant : Implication

P Q (pq) (qp) (p q)

1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1

Soit Pierre et Quentin sont tous les deux soit Ren et Simon sont tous les deux coupables

((pq) (rs))

EXERCICES POUR LE 14/11

A. La culpabilit de Pierre comme celle de Quentin est une condition suffisante de celle conjointe de

Ren et de Simon.

B. La culpabilit conjointe de Pierre et de Quentin est une condition suffisante de celle conjointe de

Ren et de Simon.

C. La culpabilit de Pierre comme celle de Quentin est une condition ncessaire et suffisante de celle

conjointe de Ren et de Simon.

D. La culpabilit conjointe de Pierre et de Quentin est une condition ncessaire et suffisante

conjointe de Ren et de Simon.

E. La culpabilit de Pierre comme celle d Quentin est une condition ncessaire de celle conjointe de

Ren et de Simon.

F. La culpabilit conjointe de Pierre et de Quentin est une condition suffisante de celle conjointe de

Ren et de Simon.

LA HIERARCHIE DES CONNECTEURS

REGLE GENERALE

Faible Prioritaire Fort Moins prioritaire

Et v

Pour savoir o je mets les parenthses je vrifie la porte, la priorit.

pq v r donne et : p ; q v : pq ; r on obtient : ((pq) v r)

p v q r on obtient : ((p v q) r) ce qui est faux : (p v (qr))

EXCEPTIONS

pvq(rs) donne v : p ; q : p v q ;


EXERCICES

FICHE DEXERCICES : PARENTHESES

EXERCICE 1

a) (((p v q) (rs)) ((pq) (r v s)))

o ((pvq) (rs)) ((pq) (rvs))

o (Pvq rs) (pq rvs)

b) ((((pvq) r)s) (p (q (rvs))))

o (((pvq) r)s) (p (q (rvs)))

o ((pvq r)s)(p (qrvs))

o (pvq r)s p (qrvs)

c) ((pv (q(rs))) (((pq) r)v s))

o (pv (q(rs))) (((pq) r)vs)

o (pv (qrs))((pqr)vs)

o Pv (qrs) (pqr)vs

EXERCICE 2

a) Pvq rs pq rvs

o (((pvq) (rs)) ((pq) (rvs)))

b) (pvqrsp)(qrvs)

o ((pvqrsp) (qrvs))

o ((((pvq) (rs)) p) (qrvs))

o ((((pvq) (rs)) p) (q (rvs)))

TABLEAU

p q r s pvq rs A1 pq rvs A2 A B1 B1s B2 pB2 B

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1

Pqrvs : A2 qrvs : B2 pvqrs : A1 pvqr : B1

C1 : q rs ; pvC1 :C2 pqr : C3 C3vs :C4 A1 : pvqrs A2 : pqrvs

B1 :

EXERCICE EN COURS

ENONCE

Brown dit John est coupable et Smith est innocent

John dit si Brown est coupable alors Smith lest aussi

Smith dit : je suis innocent mais au moins lun des 2 autres est coupable

1) Les tmoignages des trois suspects sont-ils compatibles ?

2) En supposant que tous sont innocents, qui a menti ?

3) En supposant que tous les tmoignages soient vraies, qui est innocent et qui est coupable ?

4) En supposant que qui a dit vrai est innocent et qui a dit faux est coupable, qui est innocent et qui

est coupable ?

EXO

b : Brown est innocent B : s

j : John est innocent J :

s : Smith est Innocent S : s( v)

b J S B J v S

1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0

p q r S Rs C1 C2 Pq C3 C4 C Pvq A1 Rvs A B1 B2 B

1 1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 1 1

1 0 1 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 0 1

1) La compatibilit dun tmoignage se trouve lorsque B, J, S, ont tous les 3 la mme valeur. Il existe

une ligne ou les tmoignages des 3 suspects sont compatibles.

2) Si tous sont innocents (1), Brown et Smith ont menti. Si tous sont coupables Smith et Brown ont

menti.

3) Sils ont tous dit vrai alors Brown et Smith sont innocents et John est coupable.

4) Voir 6eme ligne. Brown et Smith sont coupables alors que John est innocent.


EXERCICES

EXERCICE DU 21 NOVEMBRE

Boom Boum Boom Boum


EXERCICE DU 28 NOVEMBRE

Quand on a des phrases compliques, expliquer les phrases avec des mots peut tre compliqu

alors quavec des formules on clarifie les explications pour les gens qui savent lire les formules.

La meilleure faon de procder est de commencer par le plus simple

Commencer par dfinir les propositions :

o On notera p (resp. q) : Paul (resp. Quentin) est coupable

Condition Suffisante : Implication dans le sens normal

Si : Implication dans lautre sens

Soulignez les points dexclamation, les expressions non rencontres en cours

tout comme

moins que

DIALOGUE 1 (D1)

Nikiarkhos (N) : qs [Supposition]

Aristote (A): q s [Supposition]

N: (q s) p

N: (qs) p v (tuv)

N: (qs)(rs) p v (tuv)

DIALOGUE 2 (D2)

Nikiarkhos (N): t u

N : (tu) (tv)

Aristote (A) : (tu) (tv) ou ?

N : 2nd Possibilit : p

N : 2nd Possibilit : (qs) p

N : 2nd Possibilit : ((qr s)p)

A : ou (qrs)p

N : (tu) (tv) w ((qrs)p)

DIALOGUE 3 (D3)

N : sq [Supposition]

A : sq [Supposition]

N : p

N : p v (tu)

N : p v (tu) (t v) (sr) (sq)

PROPOSITIONS

D1 : (qs)(rs) v (tw) D2 : [(tu) (tv) (qrs) p]

D3 : (sr) (sq) p v (tu) (tv)

PROPOSITION A

A : (qs) (rs) (p(tuv))

PROPOSITION B

Paul est coupable moins que Quentin soit coupable

Ex : Je viendrais moins quil pleuve

Sil ne pleut pas et quil vient je serais tout fait satisfait. Vrai

Il ne pleut pas et il ne vient pas. Faux

Il ne vient pas. Il pleut. Vrai

Il vient. Il pleut. Vrai

JEUDI 19 DECEMBRE 2013

CONTROLE DU 5/12

EXERCICE 1

P (resp. q, r, s) : Pierre (resp. Quentin, Ren, Simon) est coupable.

P : q r

Q : (prq) (q rvs) (r)

R : (q) (p rvs)

S: (q)

1) En supposant que tous ont dit vrai, qui est innocent qui est coupable ?

Il ny a aucun tat du monde ou tous ont dit vrais. Aucun dtat du monde ne correspond

pas tous ont dit vrai parce que dans aucune ligne les dclarations pqrs ne sont tous

vrais.

2) En supposant que tous ont menti, qui est innocent et qui est coupable ?

En supposant que tous ont menti on voit que Pierre et Quentin sont coupables tandis que

Ren et Simon sont innocents.

3) En supposant que qui est innocent a dit vrai et que qui est coupable a menti, qui est innocent et

qui est coupable ?

4) En supposant que qui est innocent a menti et que qui est coupable a dit vrai, qui est innocent et

qui est coupable ?

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