Loi de Comportement

Lois de Comportements, Elasticité

Un Nom…

RobertRobertRobertRobert HookeHookeHookeHooke, (18 juillet 1635 -3 mars 1703) à Londres, est undes plus grands scientifiques expérimentaux du XVIIe siècle(physicien, astronome, naturaliste, ingénieur).

MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 2/29

Lois de comportements?Il s’agit de définir le lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements –tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs des contraintes) –notion de dualité.

Pour le solide indéformable, la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6 ddls

Elastique, viscoélastique, hyperélastique,… plastique, élastoviscoplastique,….

Pour le solide indéformable, la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6 ddlsinconnus du mouvement.

Pour le solide déformable, on a beaucoup plus d’inconnues (vecteur déplacement,tenseur des déformations, tenseurs des contraintes).

Le problème de fermeture se résout par la donnée d’une Loi de Comportement –spécificité matériaux constituants les solides déformables – grande diversité.


Les lois de comportements ? Le problème de fermeture en mécanique des solides déformablesconsiste à compléter les lois universelles (lois de conservations,équilibre,…)

Les inconnues: t, ui (i=1..3), Eij - eij et vijLes inconnues:

On dispose des équations suivantes:

Equation de conservation (1):

Equations d’équilibre (3):

Définition des déformations - HPP (6):

Il manque 6 équations pour fermer le problème posé – La loi de

t, ui (i=1..3), Eij - eij et vij

eij = 2

1

2x j

2ui +2xi

2u jc mt

2t22

2ui - fic m-2x j

2v ij= 0

2t

2t+ div t v^ h= 0

Il manque 6 équations pour fermer le problème posé – La loi decomportement.

La loi de comportement est une loi non universelle – 6 relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinématiques

2x j 2xi

c m

vij , ui, Fij, Lij, eij, ....


Plan

Les lois de comportements

Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope

Les constantes élastiques

Dimensionnement du solide déformable

ElastodynamiqueElastodynamique

Equations de Navier et de Beltrami

Synthèse


Les lois de comportementsPrincipaux comportements

Elasticité – viscosité – plasticité: constituent des comportements de

Tx

F

Tx

F

Tx

F

F = kTx F = hT oxF = F0sign T ox^ hT ox ! 0

Elasticité – viscosité – plasticité: constituent des comportements debases - ces comportements sont associables: elastoplasticité,viscoplasticité, élastoviscoplasticité…Exemple: Viscoélasticité – Modèle de Maxwell

T ox = T oxressort + T oxpatin =k

oF+

hF

F t^ h= k e- hk t-s^ h

t

y T oxds = L T ox^ hModèle généralisable en 3D:

Principe du déterminisme, de l’action locale et théorie du 1er gradient:

TxF

F t^ h= k e- ht-s^ h

-3

y T oxds = L0#s# t

T ox^ hS x, t^ h= L

0#s# t,Y!X0

U Y,s^ h^ hS x, t^ h= L

0#s# t

U X,s^ h,F X,s^ h^ h P X, t^ h= L0#s# t

C X,s^ h^ hMSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 6/29

Les lois de comportements – Les essais

Les essais de baseLes essais de baseLes essais de baseLes essais de base

Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de sollicitation

• Essai de traction, ou essai d’écrouissage• Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue

é àMatériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de sollicitation

• Essai à contrainte constante, ou essai de fluage

• Essai à déformation constante, ou de relaxation

Autres essaisAutres essaisAutres essaisAutres essais

Essais sous chargement multiaxial

Traction–torsionTraction–torsionPression interne ou externe

Essais en flexion

Essais de fissuration


Les lois de comportements – Observations Observations:

Zone de comportement caractérisée par des déformations réversibles

Zone de comportement caractérisée par des déformations irréversibles

Zones d’importance très inégale (nature matériau, traitement,…)


Les lois de comportements – Observations

Matériau elasto-plastiqueà forte composante plastique

(Acier doux, duralumin)

Matériau elasto-plastiqueà faible composante plastique(Acier alliés, alliage de titane)

ExpérimentalementMSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU

Matériau fragile(verre, céramiques)

9/29

Le comportement élastique est le plus simple – le modèle convient pourles matériaux à comportement élastoplastique ou viscoplastique en deçà

d’un seuil de plasticité.

Le seuil correspond à une limite d’élasticité – dimensionnement.

Les comportements viscoélastique se ramènent aux comportements

Les lois de comportements

élastiques par transformations.

DDDDéfinitionfinitionfinitionfinition:::: un milieu est dit élastique si l’état de contrainte actuel estentièrement déterminé par le gradient de la transformation à l’instantactuel et non par son histoire passée :

La fonctionnelle mémoire se réduit à une simple fonction. Le

S x, t^ h= LX0

F X, t^ h^ hLa fonctionnelle mémoire se réduit à une simple fonction. Lecomportement ne dépend pas de la vitesse de sollicitation. La forme dela loi dépend à priori de la configuration de référence choisie .

Autre écriture possible:

la loi d’élasticité peut s’écrire avec le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff II et du tenseur droit de déformation de Cauchy–Green.

X0

P X, t^ h= LX0

C X, t^ h^ h



Cas HPP:

Le comportement élastique classique est définit par une relation linéaireentre contraintes et déformations – Existence d’un potentiel élastique.

Le comportement élastique linéaire est homogène s’il est indépendant

S X, t^ h= LX0

E X, t^ h^ h

vij =2eij

2w w Potentiel élastique

Le comportement élastique linéaire est homogène s’il est indépendantdu point:

Cette loi peut inclure les effets thermiques (Thermoélasticité linéaire):

Sans contraintes résiduelles et effet thermique, cette loi se met sous la

S = S0 +K:ES0

Contraintes résiduelles

KTenseur des modules

d’élasticité

S = S0 +K:E+RT cTSans contraintes résiduelles et effet thermique, cette loi se met sous la suivante:

Loi de Hooke - Notation indicielle:

Soit 81 coefficients du tenseur d’ordre 4 intervenant dans la loi –matériaux anisotropes.

S = K:E E = S:S avec S = K-1

S = K:E, vij = Kijklekl



La symétrie des tenseurs des déformations et des contraintes:

Le tenseur de rigidité se réduit à 36 coefficients :

Hypothèse thermodynamique – Le tenseur d’élasticité est symétrique:

Kijkl = Kijlk et Kijkl = K jikl

K = K

Le tenseur d’élasticité se réduit à 21 coefficients indépendants–Notation de VoigtVoigtVoigtVoigt :

Kijkl = Kklij

v11

v22

v33

Z]]]]

_bbbb

K11

K12

K13

K12

K22

K23

K13

K23

K33

K14

K24

K34

K15

K25

K35

K16

K26

K36

RSSSS

VWWWW

e11

e22

e33

Z]]]]

_bbbbv33

v23

v31

v12

[

\

]]

]]]

`

a

bb

bbb

=K13

K14

K15

K16

K23

K24

K25

K26

K33

K34

K35

K36

K34

K44

K45

K46

K35

K45

K55

K56

K36

K46

K56

K66

T

SSSSSS

X

WWWWWW

e33

c23 = 2e23

c31 = 2e31

c12 = 2e12

[

\

]]

]]]

`

a

bb

bbb


Cas linéaire, élastique, homogène et isotropeDans le cas orthotrope, le tenseur d’élasticité se réduit à 9 coefficientsindépendants:

v11

v22

v33

v

Z

[

]]]]

_

`

bbbb=

K11

K12

K13

0

K12

K22

K23

0

K13

K23

K33

0

0

0

0

K

0

0

0

0

0

0

0

0

RSSSSS

VWWWWW

e11

e22

e33

c = 2e

Z

[

]]]]

_

`

bbbb

Dans le cas isotrope le tenseur d’élasticité se réduit à 2 coefficientsindépendants:

v23

v31

v12

[

\

]]]

`

a

bbb

=0

0

0

0

0

0

0

0

0

K44

0

0

0

K55

0

0

0

K66

T

SSSSS

X

WWWWW

c23 = 2e23

c31 = 2e31

c12 = 2e12

[

\

]]]

`

a

bbb

v11

v22

v

Z]]]]

_bbbb

K11

K12

K

K12

K11

K

K12

K12

K

0

0

0

0

0

0

RSSS

VWWW

e11

e22

e

Z]]]]

_bbbb

Avec:

v33

v23

v31

v12

[

\

]]

]]]

`

a

bb

bbb

=K12

0

0

0

K12

0

0

0

K11

0

0

0

0

K44

0

0

0

0

K44

0

0

0

0

K44

T

SSSSSS

X

WWWWWW

e33

c23 = 2e23

c31 = 2e31

c12 = 2e12

[

\

]]

]]]

`

a

bb

bbb

K11 = m+ 2n; K12 = m et K44 = n Coefficients de Lamém et n



Dans le cas élastique, linéaire homogène et isotrope, la loi decomportement est (les termes de rigidités élastiques):

vij = m dij ekk + 2n eij

ekk = trace E^ h= e11 + e22 + e33

v11 = m e11 + e22 + e33^ h+ 2n e11

h

v = 2n e*

Cette loi s’inverse pour déduire les déformations à partir des contraintes(les termes de souplesses élastiques):

v12 = 2n e12

*

vkk = 3m+2n^ hekk

v = trace S^ h= v +v +v

eij =2n1 vij -

2n 3m+ 2n^ hm vkk dij

Les coefficients de Lamé (en Pa) ont un sens physique – sontmesurables à partir d’essais spécifique (traction,…).

vkk = trace S^ h= v11 +v22 +v33



Essai de Traction simple:x2

x1

v v

Définition: on définit le module d’Young et le coefficient de Poissonpar:

D’après la loi de comportement élastique:

S = v e1 7 e1 =

v0

0

0

0

0

0

0

0

> He1,e2,e3^ h

Loi de Comportement E =

eL

0

0

0

eT

0

0

0

eT

> H

o =-eL

eTE =eL

v

m nZD’après la loi de comportement élastique:

Il s’en suit:

eij =2n1 vij -


eL =2n1 v-

2n 3m+2n^ hm v=n 3m+2n^ h

m+nv

eT =-2n 3m+2n^ hm v

Z

[

\

]]

]]

E =m+ n

n 3m+ 2n^ h o =2 m+ n^ hm


Les constantes élastiquesEssai de glissement simple:

x2

x1-x x

x

-x

-x

-x

x

xx1

x2

c

Définition: on définit le module de Coulomb (de cisaillement) par:


S = x e1 7 e2 + e2 7 e1^ h=0

x0

x0

0

0

0

0

> H E =

0

c 2

0

c 2

0

0

0

0

0

> H-x

G =cx


Il s’en suit:

eij =2n1 vij -

2n 3m+ 2n^ hm vkk dij c 2 = x #1 2n

G = n


Les constantes élastiquesEssai de compression hydrostatique:

Définition: on définit le module de compressibilité par:

S = v e1 7 e1 + e2 7 e2 + e3 7 e3^ h=v0

0

0

v

0

0

0

v> H E =

e0

0

0

e0

0

0

e> H

K =v


Soit en résumé:

eij =2n1 vij -

2n 3m+ 2n^ hm vkk dij3K = 3m+2n

G = n

K =3ev

E =m+ n

n 3m+ 2n^ h o =2 m+ n^ hm 3K = 3m+2n

Et:

Ecritures de la loi de comportement:

E =m+ n

^ h o =2 m+ n^ h 3K = 3m+2n

n = G =2 1 + o^ hE m =

1 - 2o^ h 1 + o^ hoE 3K =1- 2o^ hE

eij =E

1 + o vij -Eo vkk dij vij = m dij ekk + 2n eij



Hypothèse de stabilité thermodynamique:

Soit par définition:

Le cas incompressible:

Cas des Matériaux auxétiques:

K 2 0 et n 2 0

E 2 0 et - 1 1 o 121

o =21 K 3 3 div. u = ekk = trace E^ h= 0

Cas des Matériaux auxétiques:

o 1 0!!!!!

Valeurs typiques:

Caoutchouc:

o b 1 3 2n , 3E/4 et K , E

o b 1 2 n , E/3 et K & E


Le dimensionnement des Solides

MSS tc 1- Mécanique des 19/29

Dimensionnement du Solide déformablePlusieurs types de critères peuvent être employés selon la nature desmatériaux (ductiles, fragiles, sensible à la vitesse, …).

Les critères de de dimensionnement s’expriment en fonction descontraintes (déformations) ou des énergies.

La détermination d’un critère est particulièrement délicate. Il n’existepas de critère universel qui intègre tous les résultats expérimentaux.pas de critère universel qui intègre tous les résultats expérimentaux.

la détermination des différentes limites élastiques associées auxdifférents essais fait appel à des machines d’essai plus ou moinssophistiquées qui peuvent être onéreuses.

On utilise des critères qui nécessitent très peu d’essais (1 ou 2) .


Deux critères courantsLe critLe critLe critLe critère de Von re de Von re de Von re de Von MisMisMisMisèssss

Ce critère est basé sur les constats sur un essai avec une compression isotrope.

Il n’y a aucune limite, le critère doit permettre de quantifier une énergie dedéformation qui ne dépende pas de la compression isotrope.

Par l’expérience, on peut montrer que le tenseur des contraintes et desdéformations, est purement sphérique. Les parties déviatoriques sont nulles.d formations, est purement sph rique. Les parties d viatoriques sont nulles.

L’idée associée au critère de Von Misès est donc de limiter l’énergie dedéformation élastique déviatorique (obtenue à partir des tenseurs déviateurs).

v1 -v2^ h2 + v2 -v3^ h2 + v3 -v1^ h2 # 2ve2

v11 -v22^ h2 + v22 -v33^ h2 + v33 -v11^ h2 +6 v122+v23

2+v31

2^ h# 2ve2

trace deviateur S^ h^ h2" , #32 ve

2

Ce critère, qui vérifie particulièrement bien le cas de la compressionhydrostatique, présente l’inconvénient d’être symétrique en traction et encompression.

Il ne permet pas de prendre en compte une différence entre la limite élastique en traction et la limite élastique en compression. Son principal intérêt réside dans sa simplicité d’usage.

^ h ^ h ^ h ^ h


Deux critères courants

Le critLe critLe critLe critère de re de re de re de TrescaTrescaTrescaTresca

Ce critère est basé sur une limitation du cisaillement en un point. Il revient enfait à limiter le rayon du plus grand des cercles de Mohr et de ce fait il estparticulièrement bien adapté à des sollicitations de cisaillement comme la torsiond’une poutre.

LeLeLeLe solidesolidesolidesolide resteresterestereste dansdansdansdans lelelele domainedomainedomainedomaine élastiquelastiquelastiquelastique tanttanttanttant quequequeque lalalala contraintecontraintecontraintecontrainte tangentielletangentielletangentielletangentiellemaximummaximummaximummaximum estestestest infinfinfinférieurerieurerieurerieure à uneuneuneune valeurvaleurvaleurvaleur ddddéterminterminterminterminéeeee parparparpar llll’essaiessaiessaiessai dededede tractiontractiontractiontraction

Son expression est simplement donné en contraintes principales ordonnées par laformule :

2

v1 -v3^ h# xe avec v1 $ v2 $ v3

x = S.n-v n # x x =ve

Comme pour le critère de Von Misès, on se trouve devant un critère simple à

définir et à mettre en œuvre mais qui ne permet pas de prendre en compte lacomplexité des différents résultats d’essais. En particulier, comme pour le critèreprécédent, on constate qu’il n’y a aucune limitation à une sollicitation de tractionisotrope, ce qui va à l’encontre de résultats expérimentaux.

x = S.n-vnn # xe xe =2ve


Elastodynamique(statique)Déterminer:

Déplacements-Déformations:

X2Xtd

2Xu

ui (i=1..3), eij et vij

eij =21

2x j

2ui +2xi

2u jc mDéterminer

Equation de champ:

Loi de comportement élastique…:

X

2X

ui et vij

t2t22

2ui - fic m-2x j

2v ij= 0 6 M ! X0

v = m d e +2n e

Conditions aux limites: sur le bord, 3 informations selon 3 directions

Efforts surfaciques imposés:

Déplacements imposés:

vij = m dij ekk +2n eij

T = S.n = td 6M ! Xtd

u = ud 6M ! Xu

====


Equations de Navier/BeltramiUn problème de Mécanique des Solides déformables (cas élastique,linéaire…) se résume:

^ h

eij =21

2x j

2ui +2xi

2u jc m 6 M ! X0

t2t22

2ui - fic m-2x j

2vij= 0 6 M ! X0

Z

[

]]]]

A ces relations il faut ajouter les conditions initiales du mouvement.

Problème difficile à traiter analytiquement – traitement numérique(Eléments finis,….).

ui,vij^ h: 2tc m

2x j

vij = m dij ekk + 2n eij 6 M ! X0

T = S.n = td 6 M ! Xtd

u = ud 6M ! Xu

[

\

]]]]

Deux schémas de résolutions possibles selon les variables retenues.

Schéma en déplacement si on élimine les contraintes – Equations deNavier.

Schéma en contraintes si on élimine les déplacements – Equations deBeltrami.


Equations de Navier/Beltrami

ui,vij^ h:

eij =21

2x j

2ui +2xi

2u jc m 6 M ! X0

t2t22

2ui - fic m-2x j

2vij= 0 6 M ! X0

vij = m dij ekk + 2n eij 6 M ! X0

T = S.n = td 6 M ! Xtd

u u 6M ! X

Z

[

]]]]

]]]]

Formulation en déplacement – Equations de Navier:

Formulation en contrainte – Equations de Beltrami:

u = ud 6M ! Xu\]]

m + 2n^ h grad div u^ h- n rot rot u^ h+ f = t2t22

2u

m+ n^ h grad div u^ h+ n Tu+ tf = t2t22

2u

Formulation en contrainte – Equations de Beltrami:

TS +1 + o1 grad grad trace S^ h^ h+

1 - oo t div tf^ h1 + t grad tf+ grad tf^ hT^ h= 0

avec tf = f-2t22

2u


Lois de Comportements – Elasticité -Synthèsedéplacements

u

eij =21

2x j

2ui +2xi

2u jc mLoi de comportement

Navier

Équilibre + CL

déformationseij

vij = m dij ekk +2n eij

Loi de comportement

contraintes

vij

déplacementsu Équilibre + CL

déformations

eij

contraintes

Loi de comportement

vij

Belrami

eij =2n1 vij -


Compatibilité


Constantes élastiques


Formulaire coordonnées cylindrique et sphérique


Equations de NavierOn se propose de retrouver les équations de Navier – soit la 1ère

relation d’équilibre:Avec:

Soit:

t2t22

2u1 - f1c m-2x1

2v11 -2x2

2v12 -2x3

2v13 = 0

vij,j =2x j

2vij= m dij

2x j

2ekk + 2n2x j

2eij

v me 2ne ; v 2ne et v 2neSoit:

Avec l’équilibre:Et:

Soit:

Ou:

v11,1 = mekk,1 + 2ne11,1 ; v12,1 = 2ne12,1 et v13,1 = 2ne13,1

0 = tf1 - tc1 + mekk,1 +n 2e11,1 +2e12,2 +2e13,3^ h= 0

eij = 2

1

2x j

2ui +2xi

2u jc m et ekk = div u

0 = tf1 - tc1 + m div u^ h,1 + nTu1 + n

2x12

2x1

2u1 +2x2

2u2 +2x3

2u3c mOu:

Finalement (traitement des deux autres composantes)

MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU

0 = tf1 - tc1 + m div u^ h,1 + nTu1 + n

2x12 div u^ h

0 = tf- tc+ m+ n^ hgrad div u^ h+ nTu

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Loi de Comportement