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ESDEP

GROUPE DE TRAVAIL 7

ELEMENTS STRUCTURAUX

Leçon 7.7

Longueurs de flambement

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OBJECTIF

Introduire le concept de longueur de flambement et décrire son mode d'application au

dimensionnement pratique des poteaux.

PREREQUIS

Leçon 6.3 : Modes d'instabilité élastique

Leçons 7.5.1 & 7.5.2 : Poteaux

Leçon 7.6 : Poteaux composés

LEÇONS CONNEXES

Leçon 7.11 : Portiques

Leçon 7.12 : Treillis et poutres treillis

EXEMPLE ASSOCIE

Exemple 7.7 : Longueurs de flambement

RESUME

Pour les poteaux biarticulés, la longueur de flambement est égale à la longueur réelle ;

de tels poteaux sont toutefois relativement rares en pratique. Prédire la capacité portante

d'un poteau dont les conditions d'appuis sont différentes de celle d'un poteau biarticulé

peut se réaliser par l'intermédiaire de la notion de longueur de flambement (LE).

LE est définie comme la longueur d'un poteau semblable (même section transversale)

biarticulé dont la charge de flambement est égale à celle du poteau considéré. Des

valeurs approximatives de la longueur de flambement à utiliser lors d'un

dimensionnement sont fournies pour une variété de conditions d'appuis différentes.

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1. INTRODUCTION

Lors de la détermination de la charge critique de flambement eulérienne :

2

2

crL

IE = N (1)

on suppose (leçons 6.1 et 7.5.1) que les deux extrémités du poteau sont articulées

(figure 1) ; en pratique toutefois, les conditions d'appuis des poteaux réels sont

différentes ce qui affecte, par conséquent, la valeur de la charge de flambement. Les

conditions d'extrémités doivent être considérées sous deux aspects :

les empêchements en rotation qui peuvent varier de 0 à (ce qui correspond

respectivement à la rotule parfaite ou à l'encastrement parfait),

les empêchements en translation (nœuds déplaçables transversalement ou

non).

L'approche habituelle de dimensionnement consiste à réduire le cas pratique envisagé à

celui d'un poteau équivalent biarticulé par l'intermédiaire du coefficient K de longueur

de flambement.

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2. LONGUEUR EFFECTIVE DES POTEAUX

La longueur de flambement, LE, d'une membrure articulée à ses extrémités est la

distance entre les axes des rotules. Pour d'autres conditions aux limites, la longueur de

flambement, LE, est la longueur de la membrure biarticulée qui possède la même

capacité portante que la membrure réelle considérée.

L'application de cette définition n'est pas aisée en pratique. Des études numériques ont

montré que la notion de longueur de flambement découle de la théorie de la stabilité

élastique. Dans ce cas, le coefficient K de longueur de flambement se présente comme

le rapport entre la longueur (LE) du poteau équivalent et de la longueur (L) du poteau

étudié ; la longueur du poteau équivalent s'identifie alors à la distance entre deux points

d'inflexion consécutifs (points de moment nul) dans le poteau réel (figure 2).

Pour le poteau biarticulé (cas fondamental de flambement d'une barre prismatique

(figure 1), le coefficient de longueur de flambement vaut 1,0 et la distance entre les

points de moment nul équivaut à la longueur réelle du poteau.

Considérons maintenant de manière plus générale les poteaux de l'ossature représentée à

la figure 3a ; si l'on suppose que la rigidité flexionnelle de la poutre est nettement plus

importante que celle des poteaux, aucune rotation des extrémités supérieures des

poteaux n'apparaît lorsque l'ossature se déplace latéralement. Cette situation est décrite à

la figure 3b.

Le moment de flexion dans une section le long du poteau est donné par (figure 3c) :

M = N v + H z

L'équation différentielle suivante peut dès lors être considérée :

IE

zHvN

IE

M

dz

vd

2

2

(2)

En posant k² = N/EI, on obtient :

N

zHkvk

dz

vd2

2

2

2

(2b)

dont la solution est :

N

zHzksinBzkcosAv (3)

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Pour définir les valeurs des constantes A et B, il convient d'exprimer les conditions aux

limites :

pour z = 0 v = 0

pour z = L, 0dz

dv

par conséquent : A = 0

et : Bk cos kL = 0 (4)

De (4), on déduit que B = 0 ou cos kL = 0.

Si B = 0, v = -Hz/N et d²v/dz² = 0 ; dans ce cas, le

moment de flexion devrait être égal à zéro en tout point du poteau.

L'autre possibilité, cos kL = 0, requiert des valeurs de k telles que :

L2

nk avec k = 1, 2, 3… (5)

Une valeur n = 1 permet d'obtenir la plus petite valeur de N pour laquelle l'équation (5)

est satisfaite, ce qui donne kL = /2 dont on déduit que k = /2L.

Si, de plus, on considère que k² = N/EI, alors :

2

2

2

22

crL)(2

IE =

L4

IE = IEk = N (6)

La comparaison des équations (6) et (1) montre que le coefficient K de longueur de

flambement est égal à 2 et que, par conséquent, la longueur de flambement du poteau

vaut le double de la longueur réelle. En d'autres termes, la charge critique du poteau de

longueur L, voir figure 3, est identique à la charge critique d'un poteau similaire

biarticulé de longueur 2L. Le graphique de la figure 3a met clairement cette conclusion

en évidence.

L'utilisation d'une longueur de flambement de poteau doit être considérée comme un

artifice permettant d'établir une relation de comportement entre des poteaux réels à

conditions d'appuis quelconques et des poteaux équivalents biarticulés.

La procédure de dimensionnement de poteaux à conditions d'extrémités particulières est

semblable à celle des poteaux biarticulés (voir leçon 7.5.1) mais en remplaçant

l'élancement L/ry par la valeur LE/ry dans la détermination de la résistance de calcul à

partir de la courbe de flambement.

Le tableau 1 fournit les valeurs théoriques du coefficient K pour des situations

idéalisées dans lesquelles les restreintes en rotation et/ou en translation aux extrémités

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des poteaux sont soit pleinement opérantes soit inexistantes. Chacune de ces valeurs est

obtenue comme dans le cas de l'exemple précédent.

Le tableau propose également des valeurs pour le coefficient K qui sont égales ou

légèrement supérieures aux valeurs issues de la théorie de la stabilité élastique. Utiliser

des valeurs supérieures reflète habituellement la difficulté qu'il y a, en pratique, de

réaliser des encastrements parfaits en rotation comme en translation.

La comparaison, au tableau 1, des cas (b) et (e) met en évidence l'influence des

translations des appuis sur la charge de flambement. Le cas (e) correspond au poteau de

la figure 3a pour lequel le déplacement latéral des extrémités est permis, tandis que,

pour le cas (b), aucune translation n'est autorisée ; la charge de flambement est

multipliée par un facteur 8 {ou (2,0/0,7)²} dès que la translation est empêchée. Pour

cette raison, il est absolument impératif, pour le concepteur, de pouvoir différencier les

structures contreventées de celles qui ne le sont pas.

Selon l’Eurocode 3, une ossature peut être considérée contreventée si sa raideur

transversale, sous l'action de charges horizontales agissant dans son plan, est

suffisamment importante pour que l'on puisse, avec une précision acceptable, négliger

tout effort interne additionnel ou tout moment de flexion résultant du déplacement

transversal de ses nœuds. Toute autre ossature sera considérée à nœuds déplaçables et

les effets des déplacements horizontaux de ses nœuds seront pris en compte lors de son

dimensionnement.

Des détails supplémentaires relatifs à la différenciation des ossatures à nœuds

déplaçables et à nœuds non déplaçables (ou contreventées ou non) sont donnés dans les

leçons du Volume 14.

Un poteau d'ossature contreventée ne subit aucun déplacement relatif transversal de ses

extrémités. Le flambement se matérialise sous la forme d'une déformée caractérisée par

la présence d'au moins un point d'inflexion entre les extrémités de la membrure, comme

pour les cas (a), (b) et (c) du tableau 1 (voir figure 4). Le coefficient K de longueur de

flambement est systématiquement inférieur ou égal à 1 (0,5 K 1).

Dans une ossature non contreventée, l'extrémité supérieure du poteau se déplace

transversalement par rapport à l'extrémité inférieure. Les cas (d), (e) et (f) du tableau 1

correspondent à des situations de flambement avec déplacement transversal ; ceux-ci

sont illustrés à la figure 5. La valeur du coefficient K de longueur de flambement est

toujours supérieure ou égale à 1 et ne possède pas de borne supérieure (1 K ).

Les considérations précédentes relatives aux ossatures à un étage peuvent être étendues

aux ossatures multi-étagées.

Des encastrements parfaits (voir figures 4d, 4e, 5d et 5e) sont peu réalistes en pratique ;

des restreintes partielles d'extrémités sont par contre beaucoup plus habituelles.

En cas de liaisons semi-rigides aux extrémités, le coefficient K de longueur de

flambement peut être déterminé soit par l'intermédiaire de la méthode généralisée des

rotations au second ordre, soit en ayant recours aux fonctions de stabilité (voir [1]).

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La solution du problème s'exprime sous la forme :

K = f ( t, b) (7)

où t et b sont définis comme les facteurs de distribution de rigidité élastique

aux extrémités supérieure et inférieure du poteau considéré.

Des approches de calcul simples sont disponibles en vue de l'évaluation du coefficient K

de longueur de flambement (voir [2], [3], [4], [5] et [6]).

Selon la forme approchée de DONNELL (voir figure 6 et [2])

n

1k (8)

où : 2121

2121

ff8,1ff4,11

ff2,7ff2,1n (9)

et : i

ii

M

IE5,6

1f (10)

Dans le cas d'une barre de treillis soumise à compression :

ii RIE5,6

1f (11)

où :

j j

ji

I

IE3R (12)

caractérise la restreinte apportée par les barres adjacentes, « j ».

Wood [3] et Johnston [4] ont proposé d'autres approches simples qui ne diffèrent qu'au

niveau de leur présentation.

L'approche suggérée par Wood a été adoptée par l’Eurocode 3 ; les deux cas de

structures contreventées ou non y sont considérés.

Il peut arriver qu'une barre comprimée soit supportée élastiquement en un certain

nombre de points sur sa longueur. La figure 7 présente, à titre d'exemple, la membrure

comprimée d'une poutre en treillis ; les appuis intermédiaires de la membrure sont

assurés par les poutres transversales auxquelles les montants du treillis sont solidarisés.

La longueur de flambement est, dans ce cas, supérieure à la distance « a » entre les

poutres transversales et est donnée par (voir [7]) :

Page 7

afIE4

11 4

k (13)

où : f = 1/kr représente le déplacement du ressort (appui intermédiaire) dû à une

force unitaire.

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3. POTEAUX DE STRUCTURES CONTREVENTEES

Wood [3] isole une sous-structure de l'ossature contreventée comme illustré à la

figure 8b (partie AB de l'ossature représentée à la figure 8a).

Les deux facteurs de distribution de rigidité t et b (qui sont tout à fait analogues ici

au coefficient de distribution aux extrémités du poteau définis dans la méthode

d'analyse dite « de Cross ») sont calculés selon les formules suivantes :

t,bCCt KK/K (14)

b,bCCb KK/K (15)

où Kc est la rigidité I/L du poteau,

Kb est la somme des rigidités effectives des poutres aboutissant à

l'extrémité soit supérieure (t) soit inférieure (b) du poteau.

Lorsque les poutres ne sont soumises à aucune charge axiale, leurs rigidités effectives

peuvent être déterminées en se référant au tableau 2, mais à la condition que ces poutres

restent élastiques sous les moments de dimensionnement.

Si, par contre, le moment de dimensionnement atteint la valeur du moment maximum

élastique dans l'une ou l'autre section de poutre ou dans plusieurs, la poutre doit alors

être considérée comme articulée au niveau de cette ou ces sections.

Si une poutre possède des assemblages semi-rigides à ses extrémités, sa rigidité

effective doit être réduite en conséquence.

Lorsque les poutres sont soumises à des efforts axiaux, il devrait en être tenu compte

dans l'expression de leurs rigidités effectives ; la solution peut résider dans l'utilisation

des fonctions de stabilité. Une alternative consiste à négliger l'effet bénéfique d'un effort

de traction sur la raideur flexionnelle et de traduire l'effet d'un effort de compression à

l'aide des formules approchées, mais néanmoins sécuritaires, données au tableau 3.

Le recours à la notion de sous-structure illustrée à la figure 8b et aux coefficients de

distribution définis ci-dessus permet d'obtenir des valeurs du coefficient de longueur de

flambement qui peuvent être présentées sous forme graphique par les courbes de la

figure 9. A ces dernières, l'expression suivante peut également être substituée :

tbtb

tbtb

247,0364,02

265,0145,01K (16)

Page 9

Le modèle peut être adapté au dimensionnement des poteaux continus en supposant que

le chargement de chaque tronçon de poteau est caractérisé par un rapport (N/Ncr)

identique. Dans le cas général où le rapport (N/Ncr) varie d'un tronçon à l'autre, ce

principe conduit à une valeur sécuritaire du coefficient K pour le tronçon de poteau le

plus critique.

Pour chaque tronçon d'un poteau continu, cette hypothèse implique l'utilisation du

modèle défini à la figure 10 et le calcul des coefficients de distribution de rigidité t et

b par les formules suivantes :

t.btc

tct

KKK

KK (17)

b.bbc

bcb

KKK

KK (18)

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4. POTEAUX D'OSSATURES NON CONTREVENTEES

Dans les structures non contreventées (ainsi que dans certaines structures

contreventées), un déplacement transversal apparaît ; le coefficient K de longueur de

flambement est par conséquent supérieur à l'unité et peut tendre vers l'infini lorsque les

poutres sont très flexibles.

K peut être évalué à l'aide d'une approche similaire à celle adoptée pour les ossatures

contreventées ; il faut toutefois mentionner que les résultats obtenus pour les ossatures à

nœuds déplaçables ont un caractère plus approximatif que ceux relatifs aux structures

contreventées.

La méthode de Wood peut être uniquement considérée comme acceptable pour les

ossatures à nœuds déplaçables, si ces dernières sont régulières, c'est-à-dire si les

hauteurs et les moments d'inertie des tronçons de poteaux ainsi que les efforts auxquels

ils sont soumis ne varient pas de manière appréciable.

Le coefficient de longueur de flambement d'un poteau appartenant à une ossature à

nœuds déplaçables peut être obtenu à partir de la figure 11 et de l'équation (19) :

btbt

btbt

6,08,01

12,02,01K (19)

Les facteurs de distribution de rigidité élastique t et b sont calculés comme pour les

ossatures contreventées.

Introduire le concept de longueur de flambement dans le dimensionnement élastique des

poteaux à nœuds déplaçables requiert la prise en compte approximative, par un

coefficient K supérieur à l'unité, des effets du second ordre et des charges

déstabilisantes (dus aux déplacements de l'extrémité supérieure du poteau). L'avantage

de cette approche réside dans sa simplicité, mais il faut bien reconnaître qu'elle est de

portée limitée et peut, en certaines occasions, se montrer imprécise.

Un dimensionnement de la structure tout entière fondé sur des méthodes approchées de

détermination de la charge critique élastique s'avère nettement plus fiable. Ces

méthodes considèrent l'effet, sur la structure, des charges horizontales qui induisent des

moments de flexion et des efforts axiaux dans les poteaux. De plus amples informations

sur ce sujet sont fournies à la leçon 7.11.

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5. CONCLUSION

Le concept de longueur de flambement permet l'utilisation des courbes de

flambement qui ont été développées pour les poteaux biarticulés, en vue du

dimensionnement des poteaux réels dont les conditions aux limites sont très

nombreuses.

Des méthodes simples d'évaluation de la longueur de flambement d'une barre

comprimée sont disponibles.

Pour les poteaux à nœuds transversalement déplaçables, les longueurs de

flambement sont supérieures aux longueurs réelles des poteaux.

Pour les poteaux à nœuds non transversalement déplaçables, les longueurs de

flambement sont inférieures aux longueurs réelles des poteaux.

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6. BIBLIOGRAPHIE

[1] Livelsey, R.K. and CHANDLER, P.B., "Stability Functions for Structural

Frameworks", Manchester University Press, 1956.

[2] Massonnet, Ch. "Flambement des Constructions Formées de Barres Droites".

Note technique, B10.52, CRIF, Bruxelles, 1955.

[3] Wood, R.H., "Effective Lengths of Columns in Multistorey Buildings". The

Structural Engineer, vol. 52, 1974 (pp. 235-244 ; 295-302 ; 341-346).

[4] Johnston, G., "Design Criteria for Metal Compression Members". John Wiley

and Sons, Inc., New York, 1960.

[5] Djalaly, H., "Longueur de Flambement des Eléments de Structures".

Construction Métallique, no. 4, 1975.

[6] Kamal Hassan., "Zur Bestimmung der Knicklänge of Rahmenstrelen", IVBH

Anhandlungen 28-I-1968.

[7] SIA 161, Constructions Métalliques 1979.

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Tableau 1 - Coefficients de longueur de flambement pour poteaux à chargement centré

et à conditions variées d'extrémités.

Avec restreinte latérale

(a) (b) (c)

Sans restreinte latérale

(a) (b) (c)

Valeurs théoriques de K 1,0 0,7 0,5 2,0 2,0 1,0

Valeurs recommandées de K lorsque

les conditions idéales ne sont pas

tout à fait réalisées

1,0 0,8 0,65

2,0 2,0 1,2

Conditions idéales de flambement :

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Tableau 2 - Raideur effective d'une poutre

Restreinte en rotation à l'extrémité opposée de la poutre Raideur effective de la

poutre

(si la poutre reste élastique)

Encastrée à l'extrémité opposée 1,0 I/L

Articulée à l'extrémité opposée 0,75 I/L

Rotation identique à celle de l'extrémité considérée

(double courbure) 1,5 I/L

Rotation égale mais de signe opposé à celle de l'extrémité

considérée (simple courbure) 0,5 I/L

Cas général. Rotation A à l'extrémité considérée, B à

l'extrémité opposée

(1 + 0,5 B/ A) I/L

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Tableau 3 - Formules approchées de la raideur réduite en raison de l'effort axial de

compression

Condition à l'extrémité opposée Raideur effective de la

poutre

Encastrée 1,0 I/L (1 - 0,4 N/Ncr)

Articulée 0,75 I/L (1-1,0 N/Ncr)

Double courbure 1,5 I/L (1 - 0,2 N/Ncr)

Simple courbure 0,5 I/L (1 - 0,2 N/Ncr)

avec Ncr = ²EI/L²

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TRADUCTION DES FIGURES

Figure 1 - Flambement d'un poteau biarticulé

Figure 2 - Longueur équivalente de poteau

Figure 3 - Détermination de la longueur de flambement

Figure 4 - Flambement d'un poteau dans une ossature contreventée

Figure 5 - Flambement d'un poteau dans une ossature à nœuds déplaçables

Figure 6 - Sous-structure à considérer pour l'application de la formule de Donnell

Figure 7 - Flambement d'une barre à appuis transversaux élastiques

Figure 8 - Exemple de cadre équivalent

Coefficient t Coefficient b

Somme des raideurs des poutres aux extrémités supérieure (t) et inférieure (b)

Rotulé Rotulé Encastré Encastré

Figure 9 - Coefficient de longueur de flambement pour poteaux de structure contreventée

Figure 10 - Coefficients de distribution de rigidité élastique pour poteaux continus

Rotulé Rotulé Encastré Encastré

Sommes des raideurs des poutres aux extrémités supérieure (t) et inférieure (b).

Figure 11 - Coefficient de longueur de flambement pour poteau de structure à nœuds

déplaçables

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